CONCEPTOS BÁSICOS DE MATRICES

MÓNICA YAMILE CAMACHO

2010

MATRICES

CONTENIDO

1. Definición

2. Matriz triangular superior

3. Matriz triangular inferior

4. Determinante de una matriz

regla de sarrus

5. Matriz bandeada

6. Suma de matrices

7. Multiplicación de matrices

8. Matriz transpuesta

9. Matriz inversa

MATRICES

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m*n, donde m y n son dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Llamamos a una matriz superior si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Se llama matriz inferior si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A)

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Def. 1: Determinante de una matriz de orden 1

Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.

Def. 2: Menores y cofactores de una matriz de orden n

Sea A una matriz de orden , definimos el menor asociado al elemento de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor asociado al elemento de A esta dado por .

Def.3: Determinante de una matriz de orden superior

Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus respectivos cofactores.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Regla de sarrus: solo se puede utilizar para matrices de orden 3.

La regla de sarros consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Teorema 1: Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A esta dado por

Desarrollo del i-

ésimo renglón o tal vez

Desarrollo del j-

ésima columna

MATRIZ BANDEADA

En matemáticas, particularmente en la teoría de matrices, una matriz bandeada es una matriz dispersa, cuyos elementos no cero son confinados o limitados a una banda diagonal: comprendiendo la diagonal principal y ceros o mas diagonales a ambos lados.

Formalmente, una matriz n*n A= a(i,j) es una matriz bandeada si todos los elementos de la matriz son cero por fuera de la banda diagonal cuyo rango es determinado por las constantes K1 y K2:

Ai, j =0 si j< i – K1 o j> i + K2; K1, K2 ≥ 0.

Las cantidades k1 y k2son el ancho de banda izquierda y derecha, respectivamente. El ancho de la banda de la matriz es k1 + k2+1 (en otras palabras, el menor número de diagonales adyacentes de las cuales no se tienen elementos diferentes de cero).

Una matriz bandeada con k1 = k2 = 0es una matriz diagonal; una matriz bandeada con k1=k2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k1 = k2 = 2 uno tiene una matriz pentadiagonal y así sucesivamente. Si uno pone k1 = 0, k2 = n-1, se obtiene la definición de una matriz triangular superior; similarmente, para k1 = n-1, k2 = 0 uno obtiene una matriz triangular inferior.

MATRIZ BANDEADA

MATRIZ BANDEADA

SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (aij)   y  B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A + B  es otra matriz S = (sij)  de la misma dimensión, de modo que cada elemento sij de la matriz S, se obtiene como:  sij = aij + bij.  Es decir, para que dos matrices A y B  se puedan sumar tienen que tener la misma dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma posición.

A+B=S

SUMA DE MATRICES

Propiedades de la suma de matrices:

1.  Conmutativa:    A + B = B + A

2.  Asociativa:    (A + B) + C = A + (B + C)

3.  Elemento neutro:   0  (matriz cero o matriz nula).

0 + A = A + 0 = 0

4.  Elemento simétrico: - A   (matriz opuesta de A).

A  + (-A) = (-A) + A = 0

La opuesta de la matriz A  se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A: - (aij) = (-aij).

SUMA DE MATRICES

Ejemplo:

Sumar las siguiente matrices

Solución

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

El producto de matrices no está definido en todos los casos. Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B, es decir, si la matriz A = (aij)  tiene dimensión m x n   y la matriz B = (bij)  tiene dimensión p x q,  para que se pueda efectuar el producto A * B  es necesario qué n = p. 

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Propiedades del producto de matrices:

Sean A, B Y C  matrices. Siempre que sea posible efectuar los productos indicados, de acuerdo con la condición anterior, se verifica:

1.  Asociativa:   (A.B). C = A. (B. C)

2.  Elemento neutro:   I   (matriz identidad o unidad)       A. I = I. A = A

3.  Distributiva respecto de la suma de matrices:   A. (B + C) = A. B + A. C

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

4.  El producto de matrices no es, en general, conmutativo: A. B  ≠  B. A

5.  Matriz Inversa: Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B  que verifique A. B  =  B. A = I  (matriz identidad), entonces se dice qué B  es la matriz inversa de A  y se representa por A-1.  

(A. A-1 = A-1. A = I).

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Ejemplo

Resuelva la siguiente operación de matrices

Solución:

MATRIZ TRANSPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por A exp. t  ó  A exp T

MATRIZ SIMÉTRICA

La matriz simétrica es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

La matriz inversa de una matriz cuadrada     de orden     es la matriz,   ,   de orden     que verifica:

donde     es la matriz identidad de orden   .

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa se llaman matrices singulares.

MATRIZ INVERSA

MATRIZ INVERSA

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son:

1. Si existe,     es única.

2.

3.

BIBLIOGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/matrices_operaciones_II.htm

http://personal.redestb.es/ztt/tem/t6_matrices.htm

http://www.vadenumeros.es/segundo/matriz-inversa-ecuaciones.htm