metodos numericos ajustes

8/18/2019 metodos numericos ajustes

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANCRISTÓBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA MINAS, GEOLOGÍA YCIVIL

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

RESOLUCIÓN DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL

Alumno: Código: Docente:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CASAFRANCA LUZA Jhonatan . . 16110562

Ing. QUIS-PE AUCA-PUCCLLA

Nolbert Luis


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Índice general

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Capítulo 0 1. AJUSTE DE CURVAS Página 2

1.1. Ajuste de curvas y práctica en ingeniería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. ANTECEDENTES MATEMÁTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Estadística simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Regresión por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1. REGRESIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2. Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . 41.3.3. Linealización de relaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.4. REGRESIÓN POLINOMIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.5. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.6. MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES EN GENERAL . . . . . . . . 81.3.7. REGRESIÓN NO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Capítulo 0 2. S. C. CHAPRA Y R. P. CANALE Página 10

2.1. Problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Problema 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Problema 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Problema 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Problema 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6. Problema 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7. Problema 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8. Problema 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.9. Problema 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ingenieria civil II


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Resumen


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é

o

d

N

u

m

é

c

o

I

C

3

a

l

a

b

INTRODUCCÍONEs común que los datos se dan como valores discretos a lo largo de un continuo. Sin

embargo,quizás usted requiera la estimación de un punto entre valores discretos. Esta parte dellibro escribe las técnicas para ajustar curvas a estos datos para obtener estimaciones

intermedias. Además,usted puede necesitar la versión simplificada de una función complicada.Una manera de hacerlo es calcular valores de la función en un número discreto de valores en el

intervalo de interés.Después,se obtiene una función más simple para ajustar dichos valores.Estas dos aplicaciones se conocen como ajuste de curvas. Existen dos métodos generales para

el ajuste de curvas que se distinguen entre sí al considerar la cantidad de error asociado con losdatos. Primero, si los datos exhiben un grado significativo de error o ?ruido?, la estrategia seráobtener una sola curva que represente la tendencia general de los datos. Como cualquier dato

individual puede ser incorrecto,no se busca intersecar todos los puntos. En lugar de esto,seconstruye una curva que siga la tendencia de los puntos tomados como un grupo. Un

procedimiento de este tipo se llama regresión por mínimos cuadrados.Segundo, si se sabe que los datos son muy precisos, el procedimiento básico será colocar una

curva o una serie de curvas que pasen por cada uno de los puntos en forma directa. Usualmente

tales datos provienen de tablas. Como ejemplos se tienen los valores de la densidad del agua ola capacidad calorífica de los gases en función de la temperatura.

La estimación de valores entre puntos discretos bien conocidos se llama interpolación.


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AJUSTE DE CURVAS

Capítulo 1

Ecuaciones no Lineales

v

a

r

i

s

t

e

G

alois

TODOS

NU RICOS


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Ingenieria civil Ingenieria civil

1.1 Ajuste de curvas y práctica en ingeniería

Su primer encuentro con el ajuste de curvas podría haber sido determinar valores intermedios a

partir de datos tabulados (por ejemplo, tablas de interés para ingeniería económica, o tablas devapor en termodinámica). En lo que resta de su carrera,usted tendrá frecuentes oportunidadespara estimar valores intermedios a partir de tablas.

1.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS

Los fundamentos matemáticos de la interpolación se encuentran en el conocimiento sobre lasexpansiones de la serie de Taylor y las diferencias finitas divididas que se presentaron en elcapítulo 4. La regresión por mínimos cuadrados requiere además de la información en el campo

de la estadística. Si usted conoce los conceptos de la media, desviación estándar, suma residualde los cuadrados, distribución normal e intervalos de confianza, puede omitir el estudio delas siguientes páginas y pasar directamente a la sección PT5.3. Si no recuerda muy bien estosconceptos o necesita de un repaso, el estudio del siguiente material le servirá como introduccióna esos temas.

1.2.1. Estadística simple

El estadístico de posición más común es la media aritmética ȳ. La media aritmética de unamuestra se define como la suma de los datos yi dividida entre el número de datos (n), o dondela sumatoria (y todas las sumatorias que siguen en esta introducción) va desde i = 1 hasta n.

ȳ =

yi

n

La medida de dispersión más común para una muestra es la desviación estándar (sy) respectode la media,

sy =

S tn − 1

donde (S t) es la suma total de los cuadrados de las diferencias entre los datos y la media, o

S t =

(yi − ȳ)2

La dispersión también se puede representar por el cuadrado de la desviación estándar, llamadala varianza:

sy2 =

S tn − 1

Se deberá observar que hay otra fórmula alternativa más conveniente, para calcular la desviaciónestándar,

sy2 =

yi2 − (

yi)

2/n

n

− 1

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1.3 Regresión por mínimos cuadrados

Cuando los datos tienen errores sustanciales, la interpolación polinomial es inapropiada y puede

dar resultados poco satisfactorios cuando se utiliza para predecir valores intermedios.Una estrategia más apropiada en tales casos consiste en obtener una función de aproximaciónque se ajuste a la forma o a la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente entodos los puntos.Para dejar a un lado dicha subjetividad se debe encontrar algún criterio para establecer una basepara el ajuste.Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos yla curva. Una técnica para lograr tal objetivo, llamada regresión por mínimos cuadrados, seanalizará en este trabajo.

1.3.1. REGRESIÓN LINEALEl ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta aun conjunto de observaciones definidas por puntos. La expresión matemática para la línea rectaes:

y = a0 + a1x + e

donde a0 ya1 son coeficientes que representan la intersección con el eje y y la pendiente,respectivamente, e es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones.

La estrategia que mejor nos conviene para los errores residuales consiste en minimizar la suma

de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal:

S r =ni=1

ei2 =

ni=1

(yi,medida − yi, mód elo)2 =ni=1

(yi − a0 − a1xi)2

1.3.2. Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados

Para determinar los valores de a0 y a1 , se deriva con respecto a cada uno de los coeficientes:

∂S r

∂a0= −

2 (yi − a0 − a1xi)∂S r∂a1

= −2

[(yi − a0 − a1xi)xi]Cuando asumimos un error cero tendremos:

a1 = n

xiyi −

xi

yi

n

xi2 − (

xi)2

a0 = ȳ − a1x̄

donde ȳ y x̄ son las medias de y y x, respectivamente.

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Error estándar del estimado.Una ?desviación estándar? para la línea de regresión se determina como sigue:

sy/x =

S rn − 2La diferencia entre estas dos cantidades,S t − S r, cuantifica la mejora o reducción del error pordescribir los datos en términos de una línea recta en vez de un valor promedio.Como la magnitud de esta cantidad depende de la escala, la diferencia se normaliza a S t paraobtener:

r2 = S t − S r

S t

donde r2 se conoce como el coeficiente de determinación y r es el coeficiente de

correlación(

√ r2

) . En un ajuste perfecto,S r = 0 y r = r2

= 1, significa que la línea expli-ca el 100 % de la variabilidad de los datos. Si r = r2 = 0 y S r = S t el ajuste no representaalguna mejora.Una representación alternativa para r que es más conveniente para implementarse en una compu-tadora es:

r = n

xiyi − (

xi)(

yi)

n

xi2 − (

xi)

n

yi2 − (

yi)2

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1.3.3. Linealización de relaciones no linealesCambio de variables para linealizar los datos

función y=f(x) Linealizacion Y=Ax+B Cambios

y = Ax

+ B y = A 1x

+ B X = 1x

, Y = y

y = Dx+C

y = −1C

(xy) + DC

X = xy, Y = y

C = −1A

, D = −BA

y = 1

Ax+B

1

y = Ax + B X = x, Y = 1

y

y = xAx+B

1y

= A 1x

+ B X = 1x

, Y = 1y

y = A ln(x) + B y = A ln(x) + B X = ln(x), Y = y

y = C eAx ln(y) = Ax + ln(C ) X = x, Y = ln(y)

C = eB

y = C xA ln(y) = A ln(x) + ln(C ) X = ln(x), Y = ln(y)

C = eB

y = (Ax + B)−2

y−1/2

= Ax + B X = x, Y = y−1/2

y = C xe−Dx ln( yx

) = −Dx + ln(C ) X = x, Y = ln(yx

)

C = eB, D = −A

y = L1+CeAx

ln(Ly − 1) = Ax + ln(C ) X = x, Y = ln(

Ly − 1)

C = eB

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1.3.4. REGRESIÓN POLINOMIAL

El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de datos conun polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo

grado o cuadrático:y = a0 + a1x + a2x

2 + e

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es:

S r =ni=1

yi − a0 − a1xi − a2xi2

2∂S r∂a0

= −2


∂S r∂a1

= −2x1 yi − a0 − a1xi − a2xi2∂S r∂a2

= −2

x12


sy/x =

S r

n − (m + 1)

1.3.5. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Una extensión útil de la regresión lineal es el caso en el que y es una función lineal de dos omás variables independientes. Por ejemplo, y podría ser una función lineal de X 1 y X 1 , comoen:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + e

S r =ni=1

yi − a0 − a1x1i − a2x2i2

2∂S r

∂a0=

−2yi − a0 − a1x1i − a2x2i

2∂S r∂a1

= −2

x1

yi − a0 − a1x1i − a2x2i2

∂S r∂a2

= −2

x12

yi − a0 − a1x1i − a2x2i2

n

x1i

x2i

x1i

x21i

x1ix2i

x2i

x1ix2i x22i

a0a1a2

=

yi

x1iyi

x2iyi

sy/x =

S r

n − (m + 1)

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1.3.6. MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES EN GENERAL

1.3.7. REGRESIÓN NO LINEAL

Hay muchos casos en la ingeniería donde los modelos no lineales deben ajustarse a datos. En elpresente contexto, tales modelos se definen como aquellos que tienen dependencia no lineal desus parámetros. Por ejemplo,

f (x) = a0(1 − e−a1x) + e1.3.7.1. método Gauss - Newton

Para ilustrar cómo se logra esto, primero se expresa de manera general la relación entre laecuación no lineal y los datos, de la manera siguiente:

yi =

f (xi

;a0, a1,...,am

) + ei

El modelo no lineal puede expandirse en una serie de Taylor alrededor de los valores de losparámetros y cortarse después de las primeras derivadas.Por ejemplo, para un caso con dos parámetros:

f (xi) j+1 = f (xi) j +∂f (xi) j

∂a0∆a0 +

∂f (xi) j∂a1

∆a1

donde j = el valor inicial, j + 1 = la predicción,∆a0 = a0,j+1 − a0,j . De esta forma, hemoslinealizado el modelo original con respecto a los parámetros y obtenemos:

yi − f (xi) j =∂f (xi)

j∂a0 ∆a

0 +∂f (xi)

j∂a1 ∆a

1 + e1

O en forma matricial:

{D} = [Z J ] {∆A} + {E }donde:

[Z j

] =

∂f 1/∂a0 ∂f 1/∂a1∂f 2/∂a0 ∂f 2/∂a1

. .

. .

. .∂f n/∂a0 ∂f n/∂a1

donde n = el número de datos y ∂f i/∂ak = la derivada parcial de la función con respecto alk-ésimo parámetro evaluado en el i-ésimo dato. El vector D contiene las diferencia entre lasmediciones y los valores de la función:

{D}

=

y1 − f (x1)y2 − f (x2)

.

.

.yn − f (xn)

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y el vector ∆A contiene los cambios en los valores de los parámetros,

{∆A} =

∆a0∆a1

.

.

.∆am

Si se aplica la teoría de los mínimos cuadrados lineales se obtienen las siguientes ecuacionesnormales :

[Z j]T [Z j ]

{∆A} =

[Z j]

T {D}∆

Así, el procedimiento consiste en resolver para ∆A

, que se utiliza para calcular valores mejora-dos de los parámetros, como en:

a0,j+1 = a0,j + ∆a0

a1,j+1 = a1,j + ∆a1

Este procedimiento se repite hasta que la solución converge, es decir, hasta que

|εa|k =

ak,j+1 − ak,jak,j+1

100%

está por debajo de un criterio de terminación aceptable.

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S. C. CHAPRA Y R. P. CANALE

Capítulo 2

Ecuaciones no Lineales

v

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r

i

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2.1 Problema 01

Utilice la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:

x 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19y 5 6 7 6 9 8 7 10 12 12

Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coe-ficiente de correlación. Haga una gráfica de los datos y la línea de regresión. Después repitael problema, pero ahora efectúe la regresión de x versus y, es decir, intercambie las variables.Interprete sus resultados.Solución:

La ecuación de la recta es:

y = 0,35247x + 4,8515

Cambiando el orden de los datos y por x:

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la ecuación de la recta nueva sería:

y = 0,91477x + 2,3741

Al dibujar simultáneamente las gráficas se ve que la primera parte es una pendiente más pro-nunciada que las segunda pero los puntos están a la misma distancia a la recta que en el segundocaso, se ve como si fuera como un espejo la recta al cambiar los puntos x por y.

2.2 Problema 02

Emplee la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:

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x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 1 1.5 2 3 4 5 8 10 13

a) Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coe-

ficiente de correlación. Grafique los datos y la línea recta. Evalúe el ajuste.b) Vuelva a hacer el cálculo del inciso a), pero use regresión polinomial para ajustar una pará-bola a los datos. Compare los resultados con los del inciso a).Solución:

La ecuación de la recta es:

y = 1,4583x − 2,0139

El error estándar es:

1.3067

El coeficiente de correlación es:

0.95622

Ahora hallamos la ecuación de la parábola:

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La ecuación para la parábola sería:

y = 0,159x2

Al dibujar simultáneamente las gráficas se ve que la la ecuación de la parábola se acerca más alajuste de curvas.

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2.3 Problema 03

Ajuste los datos siguientes con el modelo de potencias (y = axb). Use la ecuación de potenciasresultante para hacer el pronóstico de y en x = 9.

x 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20

y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3Solución:

La ecuación solicitada de la forma y = axb es:

y = 21,1458x−0,54029

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Para hallar el pronóstico de y en x=9:

y = 21,1458(9)−0,54029

y = 6,4514

2.4 Problema 04

Ajuste a un modelo exponencial a :

x 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.3y 800 975 1500 1950 2900 3600

Grafique los datos y la ecuación tanto en papel milimétrico como en semilogarítmico.Solución:

La ecuación solicitada de la forma y = aebx es:

y = 546,5909(e)0,81865x

2.5 Problema 05

En vez de usar el modelo exponencial de base e , una alternativa común consiste en utilizar unmodelo de base 10.

y = α510β5x

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Cuando se usa para ajustar curvas, esta ecuación lleva a resultados idénticos que los de la versióncon base e, pero el valor del parámetro del exponente (b). Use la versión con base 10 pararesolver el problema 04(17.10) Además, desarrolle una formulación para relacionar β 1 = β 5

Solución:

La ecuación solicitada de la forma y = a10bx es:

y = 546,5909(10)0,35554x

Relacionando los exponenciales β 1 = β 5 tenemos:

β 1 = k.β 5

0,81865 = k(0,35554)

k = 2,302

Por lo tanto:

β 1 = (2,302)β 5

2.6 Problema 06

Además de los ejemplos de la figura 17.10, existen otros modelos que se pueden hacer linealescon el empleo de transformaciones. Por ejemplo,

y = α4xeβ4x

Haga lineal este modelo y úselo para estimar α4 y β 4 con base en los datos siguientes. Elaboreuna gráfica del ajuste junto con los datos.

Solución:

La ecuación solicitada de la forma y = axebx es:

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y = 1548,9486xe−0,059509x

2.7 Problema 07

Ajuste a una ecuación cubica:

x 3 4 5 7 8 9 11 12

y 1.6 3.6 4.4 3.4 2.2 2.8 3.8 4.6Solución:

La ecuación solicitada de la forma

y = ax3 + bx2 + cx + d

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es:

y = −11,4887x3 + 7,14382x2 − 1,04121x + 0,046676

2.8 Problema 08

Utilice regresión lineal múltiple para ajustar

x1 0 1 1 2 2 3 3 4 4x2 0 1 2 1 2 1 2 1 2y 15.1 17.9 12.7 25.6 20.5 35.1 29.7 45.4 40.2

Calcule los coeficientes, el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación.

Solución:La ecuación resultante es:

y = (7,773) x1 − (3,161) x2 + 14,852

Hallando el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación

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2.9 Problema 09

Después de una tormenta, se vigila la concentración de la bacteria E. coli en un área de natación:t(hrs) 4 8 12 16 20 24

c(CFU/100ml) 1590 1320 1000 900 650 560

El tiempo se mide en horas transcurridas después de finalizar la tormenta, y la unidad CFU esuna ?unidad de formación de colonia?. Use los datos para estimar a) la concentración al finalde la tormenta (t = 0), y b) el tiempo en el que la concentración alcanzará 200 CFU / 100 mL.Observe que la elección del modelo debe ser consistente con el hecho de que las concentracio-nes negativas son imposibles y de que la concentración de bacterias siempre disminuye con eltiempo.Solución:

Debido a que disminuye la cantidad de bacterias y no hay cantidades negativas usaremos laexpresion exponencial:y = aebx.

La ecuación resultante es:

y = 1978,6287e−0,0532

Consecuentemente:

La concentración en t=0 es 1978.6287

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El tiempo para alcanzar 200 CFU / 100 mL es: 43.08 d

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