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METODOS NUMERICOS 3006907Integración numérica

Febrero 12, 2019

METODOS NUMERICOS 3006907 Integración numérica

Contenido

1. Fórmulas básicas2. Error en la cuadratura3. Cuadraturas compuestas4. Fórmulas de Newton-Cotes5. Coeficientes indeterminados


La integral definida∫ ba f (x) dx es un número y el proceso de

calcularlo, con base en valores de la función f, se conocecomo integración numérica o cuadratura. (Esta última palabrase refiere a encontrar un cuadrado cuya área sea igual al áreabajo una curva.) Más precisamente, toda fórmula deintegración numérica para la integral

∫ ba f (x) dx es una suma

de la forma

Q [f ] =

n∑j=0

ajf (xj) .


Las formas de escoger los xj y los aj , generan los distintostipos de cuadratura.Frecuentemente lo que se requiere para cálculos numéricosson aproximaciones numéricas en lugar de solucionesanalíticas. En este caso, podemos decir que utilizar integraciónnumérica es tan importante cuando no se conoce antiderivadapara la función como cuando se conoce.


Cuadraturas simples o básicas

La primera fórmula básica para aproximar∫ x1x0f (x) dx es la

regla trapezoidal, definida así:

T [f ] =1

2[f (x0) + f (x1)] .

Si f es una función no negativa, la regla trapezoidal consisteen aproximar el área bajo la curva por el área del trapecio conbases f (x0) y f (x1) y altura h = x1 − x0. Para la función2√πexp

(−x2

), con x0 = 0, x1 = 1 las dos áreas se pueden ver

en la siguiente gráfica:


−1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Regla trapezoidal


Cuadraturas simples o básicas

La segunda fórmula básica es la Regla de Simpson para∫ x2x0f (x) dx. Si x1 es el punto medio del intervalo y

h =x2 − x0

2, la fórmula es

S [f ] =h

3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] .


SeanT [f ] =

h

2[f (a) + f (b)] .

donde h = b− a y

S [f ] =h

3

[f (a) + 4f

(a+ b

2

)+ f (b)

]donde h =

b− a2

.

Si f tiene suficientes derivadas, los errores en cada una deestas cuadraturas están dados por∫ b

af (x) dx− T [f ] = − 1

12h3f (2) (η) ,

y ∫ baf (x) dx− S [f ] = − 1

90h5f (4) (τ)

En estas fórmulas τ y η están entre a y b.


Una consecuencia de estas fórmulas de error, es que la reglade Simpson es exacta para polinomios hasta de grado 3 y quela regla trapezoidal es exacta para polinomios hasta de grado1. En efecto, la cuarta derivada de un polinomio de grado 3 omenor, es cero y la segunda derivada de un polinomio degrado 1 es cero.


Las cuadraturas trapezoidal y de Simpson normalmente seaplican sobre intervalos pequeños que conforman uno grande,pues de esa manera se obtienen errores menores.Supongamos que queremos aproximar I =

∫ ba f (x) dx.

Entonces dividimos el intervalo [a, b] en M subintervalos, cada

uno de longitud h =b− aM

. Sean xj = a+ jh, j = 0, 1, ...,M.Sabemos que en cada subintervalo la regla trapezoidal es

T (f, xj−1, xj) =h

2(f (xj−1) + f (xj))


y al sumar todas estas aproximaciones, obtenemos unaaproximación para I. Tal suma la denotamos T (f, h) y lallamamos regla trapezoidal compuesta. Su valor es

T (f, h) =M∑j=1

T (f, xj−1, xj)

=M∑j=1

h

2(f (xj−1) + f (xj))

=h

2f (x0) + h

M−1∑j=1

f (xj) +h

2f (xM ) .


Si f es suficientemente suave, el error para esta cuadratura es∫ baf (x) dx− T (f, h) = −(b− a)h

2f (2) (τ)

12,

donde τ ∈ (a, b) . El factor h2 es muy importante. Indica que siel número de puntos se duplica, el nuevo error es del mismoorden de magnitud que el anterior error dividido por 4.


De forma análoga se define la regla de Simpson compuesta lacual requiere para su definición que el número de subintervalossea par. Si [a, b] se divide en 2M subintervalos y los nodos de

integración son xk = a+ kh, k = 0 : 2M, entonces h =b− a2M

y

S (f, h) =h

3

M∑j=1

[f (x2j−2) + 4f (x2j−1) + f (x2j)] .

Si f es suficientemente suave, el error para esta cuadratura es∫ baf (x) dx− S (f, h) = −(b− a)h

4f (4) (τ)

180,

para algún τ ∈ (a, b) .


Fórmulas de Newton-Cotes

Buscamos una cuadratura para∫ ba f (x) dx de la forma

n∑j=0

wjf (xj) , donde x0, x1, ..., xn son puntos distintos del

intervalo [a, b] . Queremos además que sea exacta parapolinomios hasta de grado n. ¿Será posible encontrarw0, w1, ..., wn tales que para todo polinomio p de grado a lo másn, la igualdad ∫ b

ap (x) dx =

n∑j=0

wjp (xj)

es cierta? La respuesta es afirmativa y la escribimos en formade teorema.


Teorema(Cuadratura de Newton-Cotes) Sean lj , j = 0, 1, ..., n lospolinomios básicos de Lagrange sobre x0, x1, ..., xn. Entonces

wj =

∫ balj (x) dx, j = 0, 1, ..., n (1)

son los únicos coeficientes tales que

grad (p) ≤ n⇒∫ bap (x) dx =

n∑j=0

wjp (xj) . (2)


Puesto que los polinomios de Lagrange tienen grado n, paraellos debe cumplirse el lado derecho de (2), es decir,∫ b

alk (x) dx =

n∑j=0

wjlk (xj) = wk.

De manera que el único posible valor para cada wj es elpropuesto en (1).Tomemos ahora un polinomio p de grado a lo más n que se

escribe p (x) =n∑

j=0p (xj) lj (x) . Por tanto,

∫ bap (x) dx =

n∑j=0

p (xj)

∫ balj (x) dx =

n∑j=0

wjp (xj) .


Es apropiado observar que para cada n y cada colección den+ 1 puntos, hay una cuadratura de Newton-Cotes.

Ejemplo: Regla trapezoidal

La regla trapezoidal es la cuadratura de Newton-Cotes sobre[a, b] con n = 1, x0 = a y x1 = b.

Sin pérdida de generalidad, trabajamos en [0, 1] . Es fácil ver

que∫ 10 lk (x) dx =

1

2para k = 0, 1. Es decir, para aproximar∫ 1

0 f (x) dx, la cuadratura de Newton-Cotes sobre [0, 1] con

n = 1, x0 = 0 y x1 = 1 es1

2(f (0) + f (1)) ,que es T (f, 1) .


Método de coeficientes indeterminados

Explicamos el método por medio de la solución del siguienteejemplo.

Ejemplo

Encontrar la cuadratura de Newton-Cotes sobre [0, 1] conn = 2, x0 = 0, x1 = 0.5 y x2 = 1.

Buscamos una cuadratura para∫ 10 f (x) dx que sea de la forma

2∑j=0

wjf (xj) y que sea exacta para polinomios de grado a lo

más 2. Los coeficientes que encontremos, serán los de lacuadratura de Newton-Cotes pedida, es decir, los dados en (1).


Escogemos 1, x y x2 como los polinomios de grados 0, 1 y 2respectivamente, que nos permitan enunciar un sistema pormedio del cual encontramos los coeficientes wj de lacuadratura. Evaluamos el polinomio y la cuadratura para cadauno de los polinomios, así:

Para 1 : 1 · w0 + 1 · w1 + 1 · w2 =∫ 10 1dx = 1

Para x : 0 · w0 + 0.5 · w1 + 1 · w2 =∫ 10 xdx = 0.5

Para x2 : 0 · w0 +1

4· w1 + 1 · w2 =

∫ 10 x

2dx =1

3.


Este sistema tiene una única solución dada por w0 = w2 =1

6y

w1 =2

3. Estamos ante la cuadratura de Newton-Cotes sobre

[0, 1] con n = 2, x0 = 0, x1 = 0.5 y x2 = 1 y no es más que laregla de Simpson.Para x3, la ecuación que resulta es

1

8w1 + w2 =

∫ 10x3dx =

1

4

y en efecto, los valores encontrados antes para w1 y w2,también satisfacen esta ecuación. Esto significa que la reglade Simpson también es exacta para polinomios de grado 3.Nótese que la regla de Simpson no es una cuadratura deNewton-Cotes para n = 3, pues no se utilizan 4 puntos en suformulación.


Otras cuadraturas

Para el cálculo aproximado de la integral∫ ba f (x) dx, tenemos

cuadraturasn∑

j=0

wjf (xj) (3)

con n+ 1 nodos y n+ 1 coeficientes de ponderación que sonexactas para polinomios de grado a lo más n. Hasta ahora, losnodos están fijos de antemano y hay n+ 1 coeficientes deponderación wj por determinar, tantos como coeficientes tieneun polinomio de grado n. Ahora intentamos algo más:considerar nodos y coeficientes de ponderación comoincógnitas, un total de 2n+ 2 incógnitas.


Ejemplo

Utilizar el método de coeficientes indeterminados para hallar elsistema de ecuaciones correspondiente a la cuadraturacorrespondiente a n = 1 en [−1, 1] en la que tanto nodos comopesos son incógnitas.

Nuestras 2n+ 2 incógnitas son x0, x1, w0 y w1. Escogemos lospolinomios 1, x, x2 y x3 para las evaluaciones.


Sistema de ecuaciones

Para 1 : w0 + w1 =∫ 1−1 1dx = 2

Para x : x0w0 + x1w1 =∫ 1−1 xdx = 0

Para x2 : x20w0 + x21w1 =

∫ 1−1 x

2dx =2

3

Para x3 : x30w0 + x31w1 =

∫ 1−1 x

3dx = 0.

(4)


Lo primero que salta a la vista es que el sistema al quellegamos es no lineal. Para resolverlo, podemos hacer algunasmanipulaciones algebraicas o recurrir al método de Newton.Pero la no linealidad no es el único problema que este sistematiene, pues es sabido que padece de inestabilidad numérica,es decir, un pequeño error en un paso puede conducir asoluciones lejanas a las verdaderas.


Los dos inconvenientes, no linealidad e inestabilidad numérica,están presentes en todos los sistemas a los que se llega si seintenta el método de coeficientes indeterminados. Esteproblema lo resolvió Gauss (1777-1855) hace cerca de 200años quien encontró una manera de basar los cómputos en losceros de familias de polinomios ortogonales. El tema seconoce como cuadratura gaussiana pero no lo desarrollaremosaquí.


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