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Métodos estatísticos II
Almir R. Pepato(Aula preparada com a ajuda daquelas disponibilizadas por Fred(rik) Ronquist)
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Resolução do exemplo numérico
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Resolução do exemplo numérico
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0100
0.000970.028280.028280.00097
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Resolução do exemplo numérico
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0.0000026
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Resolução do exemplo numérico
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0100
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0.0000026 0.0218338
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Resolução do exemplo numérico
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0.0000026 0.02183380.0000259
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Resolução do exemplo numérico
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0010
0100
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
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Inferência BayesianaExemplo Simples, comparando dois modelos.Há dois sapos de origami, Joe e Herman. Por experiências anteriores sabe-se que Joe cai 60% das vezes em pé, enquanto Herman cai apenas 20% das vezes. O nome dos sapos foi apagado. Como podemos inferir qual é Joe apenas fazendo-os saltar?
Primeiro lançamento, caiu em pé:
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Inferência BayesianaSegundo lançamento, caiu em pé:
Terceiro lançamento, caiu de costas:
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Inferência Bayesiana aplicada à filogenias
Grupo externo:
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A
B
C
Inferência Bayesiana aplicada à filogenias
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Inferência Bayesiana aplicada à filogenias
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade a priori
Probabilidade a posteriori
Dados
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Inferência Bayesiana aplicada à filogenias
tree 1 tree 2 tree 3
)|( Xf
Espaço paramétrico
Prob
abili
dade
pos
terio
r
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( ) ( | )( | )
( ) ( | ) d
f f Df D
f f D
ProbabilidadePosterior
Prior ”Verossimilhança”
Constante Normalizadora
D = Dados = Parâmetros do modelo
Inferência Bayesiana aplicada à filogenias
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Monte Carlo-Cadeia de Markov
1-Inicia-se em um ponto arbitrário (θ)2-Faz-se uma pequena modificação propondo um novo estado (θ*)3-Calcula-se a razão r entre novo estado θ*, e θ:(a) r>1: novo estado é aceito.(b) R<1: novo estado é aceito com uma probabilidade r.
)|(
)|(
)|(
)|(
)(
)(
)|(
)|(
)(/)|()(
)(/)|()(
)|(
)|(
)|(
)|(*
***
*
***
*
**
f
f
Df
Df
f
f
f
f
DfDff
DfDff
f
f
Df
Dfr
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Monte Carlo-Cadeia de Markov1-Inicia-se em um ponto arbitrário (θ)2-Faz-se uma pequena modificação propondo um novo estado (θ*)3-Calcula-se a razão r entre novo estado θ*, e θ:(a) r>1: novo estado é aceito.(b) R<1: novo estado é aceito com uma probabilidade r.
tree 1 tree 2 tree 3
Sempre aceito
Aceito às vezesO tempo que a MCMC passa amostrando uma região do espaço paramétrico é uma estimativa da densidade da probabilidade posterior naquela região.
1
2b
2a
20 % 48 % 32 %
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Regulando a cadeia de Markov
• Tipicamente um ou poucos parâmetros são modificados por vez.
• Uma geração é um ciclo completo ou uma nova proposta tomada ao acaso.
Novos valores são retirados uniformemente de uma janela de tamanho δ e centrada em x. Para lances mais “ousados”: aumente δ, mas isso também diminuirá as chances de novos estados serem aceitos...
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Regulando a cadeia de Markov
”burn-in”
“Mixing”: capacidade da cadeia de explorar adequadamente as regiões de maior probabilidade posterior do espaço paramétrico
Não adianta amostrar todas as gerações. As mais próximas estão muito correlacionadas.
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Valo
res
amos
trad
os
Distribuição esperada
Lances muito acanhados: taxa de aceitação dos novos estados altos. “Mixing” deficiente.
Lances muito ousados: taxa de aceitação muito baixa. “Mixing” deficiente.
Lances “na medida”Bom “mixing”
Regulando a cadeia de Markov
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ConvergênciaConvergência é o grau em que a cadeia convergiu para a distribuição de máxima probabilidade posterior.
Trocando em miúdos: MCMC é uma técnica heurística, precisamos algo que nos dê segurança a respeito da busca.
Indicadores de convergência:
1- A cadeia atingiu um platô.2- O comportamento da busca parece adequado:
Através do ESS (Effective Sample Size ):
O número de amostras realmente independentes da distribuição posterior à que a cadeia de Markov é equivalente.
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Convergência
Telas do programa TRACER
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Convergência entre corridas
• Topologias:– Compara as probabilidades dos clados (”split
frequencies”), a diferença entre o desvio padrão das duas ou mais corridas deve tender a zero.
• Variáveis contínuas– ”Potential scale reduction factor” (PSRF). Compara
variância dentro e entre as corridas. Deve tender a zero na medida em que as corridas convergem.
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Convergência
Telas do programa AWTY (Are We There Yet)
Comparação das probabilidades posteriores dos clados de duas corridas.
Esta análise funciona como que parando a corrida em pontos a intervalos regulares e verificando as probabilidades posteriores até aquele ponto.
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MC3: Metropolis Coupling Markov Chain Monte Carlo
iT 1/1 1,...,1,0 ni
62.0
71.0
83.0
00.1
|62.03
|71.02
|83.01
|00.10
Distr.
Xf
Xf
Xf
Xf
Ti
T é a temperatura, é o coeficiente de aquecimento
Exemplo para = 0.2:
Cadeia fria
Cadeia aquecida
A idéia consiste em introduzir uma série de cadeias rodando em paralelo e acopladas, ou seja, trocando valores entre si. Algumas dessas cadeias’ são aquecidas, isto é: a sua probabilidade posterior é elevado a um número menor que 1. Assim o espaço de probabilidades aparece como que aplainado.
Determinar a melhor temperatura é crucial.
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Cadeia fria
Cadeia aquecida
MC3: Metropolis Coupling Markov Chain Monte Carlo
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Cadeia fria
Cadeia aquecida
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Cadeia fria
Cadeia aquecida
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Cadeia fria
Cadeia aquecida
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Troca mal sucedida
Cadeia fria
Cadeia aquecida
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Cadeia fria
Cadeia aquecida
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Cadeia fria
Cadeia aquecida
![Page 33: Métodos estatísticos II Almir R. Pepato (Aula preparada com a ajuda daquelas disponibilizadas por Fred(rik) Ronquist)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062700/552fc12e497959413d8d3076/html5/thumbnails/33.jpg)
Troca bem sucedida
Cadeia fria
Cadeia aquecida
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Sumarizando as árvores• Árvore de Maior Probabilidade Posterior
– Pode ser difícil de encontrar– Pode ter baixa probabilidade para alguns clados (não reflete suporte)
• Árvore de consenso de Maioria– Reflete melhor a probabilidade posterior dos clados– Distribuição de comprimento de ramos pode ser multimodal
• Intervalo de credibilidade de árvores– Incluí as árvores em ordem decrescente de probabilidade até obter
um intervalo de credibilidade de, e.g., 95 %
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Consenso de maioria
Frequências representam a probabilidade posterior dos clados
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Sumarizando os parâmetros
• Média, mediana, variância são os mais comuns
• intervalo de credibilidade de 95 %: descarte os 2.5 % superiores e inferiores
• Intervalo de 95 % de maior densidade posterior: encontre a menor região contendo 95 % da probabilidade posterior
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Média e o intervalo de credibilidade de 95% para os parâmetros do modelo.
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PriorsAntes de falar dos priors é necessário revisar as principais distribuições contínuas e discretas.
Distribuições contínuas
• Normal • Beta • Gama• Dirichlet • Exponencial• Uniforme• Lognormal
Distribuições discretas
• Uniforme• Binomial • Multinomial • Poisson
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Espaço amostral
{1,2,,k}
1
2
3
4
5
6
Função da distribuição
m()
Distribuição uniforme discretaDistribuições uniformes são utilizadas quando quer se expressar ausência completa de conhecimento a respeito de um parâmetro que tem impacto uniforme sobre a verossimilhança. A uniforme discreta é utilizada para as topologias, por exemplo.
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Espaço Amostral(um intervalo)
0,1
Disco com circumferência 1
f (x) Função da densidade de probabilidades(e.g. Uniforme (0,1))
Pr(E) f (x)xE dx Probabilidade
E a,b Evento (um subespaço do espaço amostral)
a b
Distribuição contínua
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f (x)e x
Média:
1/
= taxa de decaimento
Exp()X ~
Parametros:
Distribuição exponencialLembram dessas equações?
Nelas percebemos que a probabilidade, base do calculo da verossimilhança é uma função exponencial negativa do comprimento do ramo. Nada mais natural portanto que usar uma distribuição exponencial para seu prior.
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f (x) x 1e x
Média:
/
= formato
Gamma(,)X ~
Parâmetros:
= escalar
Gama escalonado:
Gama escalonado
Distribuição Gama
Como vimos na aula sobre modelos, a distribuição gama é utilizada para descrever a variação na taxa de evolução entre sítios.
Na verdade, aqui temos um Hiperprior , isto é, α dita a distribuição a priori das taxas de variação e é retirado de uma distribuição (uniforme por exemplo) .
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f (x) x1 1(1 x)2 1
Modo:
1 1 i 1
i
1,2 = formato
Beta(1,2)X ~
Parâmetros:
Distribuição Beta
É utilizada para parâmetros que descrevem proporções de um todo, com apenas dois eventos possíveis. Por exemplo: proporção de invariáveis e razão de Transversões/Transições.
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f (x) x i i 1
i
= vetor de k shapes
Dir() : 1,2,...,k X ~
Parâmetros:
Definida como k proporções de um todo
Dir(1,1,1,1)
Dir(300,300,300,300)
Distribuição Dirichet
Semelhante à Beta, mas para várias classes de eventos: descreve a frequência de nucleotídeos e as taxas no GTR por exemplo.
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Porque usar análises Bayesianas
tree 1 tree 2 tree 3
20% 48% 32%
Nós podemos focar em qualquer parâmetro de interesse (não existem parâmetros “sem uso”) marginalizando a probabilidade posterior por sobre outros parâmetros (integrando a incerteza dos outros parâmetros)
(Porcentagens mostram a probabilidade marginal das árvores)
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Porque usar análises Bayesianas
32.048.020.0
38.014.019.005.0
33.006.022.005.0
29.012.007.010.0
3
2
1
321
Probabilidades conjuntas
Probabilidades marginais
árvores
Com
prim
ento
s do
s ra
mos
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Porque usar análises Bayesianas
•Capaz de implementar modelos altamente parametrizados.
•A estimativa da incerteza da árvore e a hipótese filogenética são obtidas ao mesmo tempo.
•As probabilidades posteriores são de interpretação intuitiva
•Pode incorporar conhecimento prévio a respeito do problema (através do Prior)
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Possível problema
Os Priors!