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Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Método dos trabalhos virtuais

Jacob Bernoulli (também James ou Jacques)

(Suiça, 27 December 1654 – 16 August 1705)


Escalar

Unidade = N.m = J (Joule)

F

rd

0

z

yx

A

Ar

rdr

Trabalho mecânico de uma força num deslocamento infinitesimal

(trabalho elementar)

Vector de posiçãor

cos

cos cos

d F dr F dr

F dr dr F

-partícula A (ponto de aplicação), ou ponto A pertence a um corpo

-deslocamento infinitesimal considera-se recto

0F dr d

projecção do

deslocamento na linha

de acção da força

projecção da força na

direcção do

deslocamento

0 0dr d

Trabalho mecânico


Regra da mão direitad M d

Trabalho mecânico de um momento numa rotação infinitesimal

A BM F AB F AB

AB A B A B

//AB A B

*A A B B A A B B B B B

B B B

A A

d F dr F dr F dr F dr dr F dr

F d A B F A B d F A B d

F A B d F AB d M d Md

para simplificar: 2D

positivo quando os

sentidos são iguais

AFA

BBF

A

B

B

Adr

*Bdr

Bdr

d

Bdr


Propagação de deslocamentos elementares

caso geral em 2D

B Adr dr d AB

A

B

A

B

B

Adr

*BdrBdr

d

Bdr

Bdr d AB

*B Adr dr

A B

AB ABdr dr

AB AB

projecções na linha AB tem que ser iguais

a prova no slide anterior usa o conceito de

Ou seja, sabendo a posição do A’ e da direcção BB’

a intensidade BB’ já é dependente.

Isso verifica-se no caso 2D, mas não em 3D.

translação

rotação

versor da direcção AB

Regra da mão direita


Princípio dos trabalhos virtuais

Deslocamento virtual (não real): qualquer cinematicamente possível

Trabalho virtual (não real): trabalho no deslocamento virtual

r

1 2 1 2... ... 0n nF r F r F r F F F r R r

Partícula

1F

2FnF

r não está provocado pelas forças aplicadas

representa um deslocamento fictício

É condição necessária e suficiente para que uma partícula esteja em

equilíbrio que seja nulo o trabalho virtual de todas as forças que nela

actuam para qualquer deslocamento virtual da partícula.

r

ou seja compatível com os apoios e ligações internas


Os trabalhos virtuais das forças interiores anulam-se,

seja o sistema em equilíbrio ou não

forças exteriores (externas, interacção entre o sistema e o exterior)

forças interiores (internas, interacção entre partes constituintes, reacções das

ligações não flexíveis) sempre duas opostas de igual intensidade

forças de ligações flexíveis (molas lineares ou rotacionais)

0k k kF r uma partícula k,

Fk é resultante das forças

Sistema de partículas

em equilíbrio

0k k

k

F r

,int ,ext ,ext 0k k k k k

k k

F F r F r

Num sistema de partículas em equilíbrio é nulo o trabalho virtual das

forças externas e forças das ligações flexíveis para qualquer

deslocamento virtual compatível com as ligações.

todas as partículas do sistema


cada corpo rígido é composto pelas partículas, por isso o PTV pode ser

alargado para sistemas de corpos rígidos

deslocamento virtual tem que ser compatível com as ligações

estrutura isostática: não existe qualquer deslocamento virtual excepto

dos casos de reacções mal distribuídas

estrutura hipostática do 1º grau: qualquer campo do deslocamento

virtual é plenamente caracterizável via 1 parâmetro: mecanismo com 1

grau de liberdade cinemática, 1GDL

estrutura hipostática de grau n: qualquer campo do deslocamento

virtual é possível plenamente caracterizar via n parâmetros: mecanismo

com n graus de liberdade cinemática, nGDL

Conjunto de corpos rígidos (não deformáveis)

Ligações “fixas” (não flexíveis) ou pelas molas (deformáveis, flexíveis)


Utilização do PTV em problemas de equilíbrio dos sistemas de corpos

cálculos das reacções externas

Pode-se resolver apenas

1 incógnita em cada cálculocálculo dos esforços internos

cálculos das reacções internas

Estruturas hipostáticas do 1º grau

todos os deslocamentos virtuais são proporcionais

e descrevem-se usando 1 parâmetro

determinar uma relação entre as forças actuantes, que assegura o equilíbrio

determinar a posição do mecanismo que assegura o equilíbrio

Estruturas isostáticasé necessário introduzir 1 libertação para obter

um mecanismo que pode sofrer deslocamento virtual

Estruturas hipostáticas do 2º ou maior grau

2 ou mais parâmetros para descrever a posição deformada

casos excepcionais, habitualmente com uma condição adicional


Propagação de deslocamentos elementares

B Adr dr d AB

L

dud

cos

LL L

d

dudu d

L

d du Ld

caso simples

A, B tem que pertencer ao mesmo corpo rígido

o deslocamento elementar do ponto B é igual ao:

deslocamento do A (translação em que todos os pontos sofrem o mesmo

deslocamento tal como o ponto A)

+parcela que corresponde à rotação do segmento AB em torno do ponto A

pelo ângulo dθ

ângulos infinitesimais

cos 1d

sin d d

tan d d

L

A B

F

d Fdu FLd Md

forças podem ser consideradas na estrutura não-deformada


Justificação da existência

C

A B

B

AB

D

D

movimento finito

CIR

AB

B

AB

D D

D

Centro instantâneo de rotação

d

movimento infinitesimal


CIR

Rotação

CIR

A

A

u

xuxu

yu

yu

b

h

u CIR A

u CIR A

0 0

0 0

i j k h

u b

b h

cos cosxu u CIR A h

sin sinyu u CIR A b

Simplificação b h

h b

F

x x y y

x y F

F u F u

F h F b M

do segundo

deslocamento

apenas sabemos

a direcçãopq. são

ortogonais

Com sinais correctos


Deslocamentos e rotações consideram-se infinitesimais.

CIR

d

,CIR Bdu D d

O trabalho virtual da força equivale ao produto da

intensidade da força e do valor da projecção do

deslocamento na linha de acção da força (com sinal)

O trabalho virtual

da força equivale

ao produto do

“momento” da

força em torno do

CIR (na posição

não-deformada) e

do ângulo de

rotação

infinitesimal

,

,

cos

cos

cos

CIR B

CIR B

d Fdu

F D d

F D d

FPd

d

,CIR BD

Produto de braço da

força e do ângulo

infinitesimal equivale

ao deslocamento

infinitesimal

projectado na linha

de acção da força

CIR

BB

F

BB

,CIR Bdu D d

, cosCIR BP D

d


Exprimir o trabalho virtual

soma dos trabalhos dos momentos actuantes

em cada corpo em relação ao seu CIR

Determinação do CIR

Absoluto

Relativo

2121 CIRCIRCIR 231312 CIRCIRCIR

CIRapoios externos

CIR

u d

Teoremas

ligações internas

Mecanismos em 2D

=CIR(CIR)

d

F

=CIR12


Dois corpos ligados pela rotula interna

Dois corpos ligados pelo encastramento deslizante

CIR2

CIR1

CIR12

CIR2

CIR1

CIR12

1L

2L

1

2

u

1 1 2 2u L L

21 2

1

L

L

2

11 2

deslocamento igual

(deslocamento relativo nulo)

ângulos diferentes

(ângulo relativo não nulo)

deslocamentos diferentes

(deslocamento relativo não nulo)

ângulos iguais

(ângulo relativo nulo)1L

2L

1 2

1 2

u u

L L

1u

2u


O ângulo da rotação é igual para o corpo todo

Translação

O trabalho virtual do momento equivale ao produto da intensidade do

momento e do ângulo da rotação infinitesimal, independentemente do

ponto da aplicação do momento no corpo (com sinal)

O trabalho virtual da força equivale ao produto da

intensidade da força e do valor da projecção do

deslocamento na linha de acção da força (com sinal)

O trabalho virtual do momento é nulo

Translação com rotação ou apenas rotação

O trabalho virtual da força equivale ao produto do “momento” da

força em torno do CIR (na posição não-deformada) e do ângulo de

rotação infinitesimal


Trabalho mecânico da força interna de uma mola num deslocamento infinitesimal

u

F

F

eF ku

ku

ku

ku

R F

k: Rigidez (linear) da mola [N/m]

u

eF

Ktg

F: trabalho positivo

Fe: trabalho negativo

d Fdu

du

d kudu


Momento interno de uma mola rotacional numa rotação infinitesimal

Trabalho negativo

Retirando a força externa a mola volta à sua posição não deformada

d k d

Rigidez rotacional da mola [Nm/rad]

k


Trabalho mecânico de uma força num deslocamento finito

2

1

A

A

21 rdF

Trabalho mecânico de um momento numa rotação finita

2

1

dM21

Propriedade aditiva

“soma” dos trabalhos elementares

Trabalho mecânico


Forças conservativas ou com potencial

Existe uma função escalar V, que satisfaz:

F V x

VF

x

ou seja y

VF

y

z

VF

z

0F V isso implica (vectores colineares)

isso define condição necessária e suficiente

y yx x z zF FF F F F

y x z x y z

em consequência

0F dr ou seja

O trabalho mecânico num deslocamento finito não depende do caminho

(trajectória) que a força percorre entre as posições inicial e final

A

B 0A A

1 2

0A B B A

1trajectória

2trajectória

1 2

A B A B


Todas as forças que não alteram o a sua intensidade, direcção e sentido são

conservativas no sentido matemático descrito acima

Todas as forças que fazem perder a energia total do sistema não são

conservativas: forças de amortecimento, atrito, etc. (sentido físico)

Estas forças transformam a energia mecânica para térmica, acústica ou outras

O trabalho mecânico de uma força conservativa depende apenas das posições

inicial e final do seu ponto de aplicação

A B B AV V

B B B

A B

A A A

V V VF dr dx dy dz dV

x y z

Introduzindo um nível zero, o potencial representa a energia potencial

O trabalho mecânico de uma força corresponde ao negativo da sua energia

potencial, assumindo que o nível zero corresponde à posição inicial da força

Todas as afirmações acima podem servir como definição das forças conservativas

Forças não-conservativas


2

1

2 2

1 2 2 1

1

2

u

u

ku du k u u

Trabalho mecânico da força interna de uma mola num deslocamento finito

u

eF

1u 2u

2ku

1ku

Trabalho = - área

2

1

2 2

1 2 2 1

1

2k d k

Mola rotacional

A força elástica de uma mola é uma força conservativa21

2V ku C


Energia potencial

= - trabalho mecânico das forças conservativas

A trajectória mais simples possível

A trajectória começa no nível zero

Neste caso trata-se de energia de deformação interna (energia elástica),

que é sempre positiva, porque corresponde à energia acumulada, que se

pode libertar voltando a mola para a sua posição não-deformada

assim o nível zero é obrigatoriamente a posição não deformada da mola,

no entanto não é obrigatório ter o mesmo nível zero para definir a energia

potencial do sistema

O nível zero é completamente arbitrário

Forças externas aplicadas incluindo o peso

Molas


Energia potencial e equilíbrio

É possível resolver mais incógnitas

Mas é mais difícil fazer deformada de um mecanismo com 2 ou

mais graus de liberdade

0V

incógnita

Na posição de equilíbrio todas as derivadas parciais segundo os

parâmetros das incógnitas cinemáticas são nulas

Isso é consequência dos princípio variacionais, que estipulam

que na posição do equilíbrio estável a energia potencial total do

sistema atinge o seu mínimo

em alternativa

0 0 0V V

V


Além da determinação da posição de equilíbrio, a função da energia

potencial usa-se para a determinação da carga crítica e da qualidade

de equilíbrio

A qualidade do equilíbrio

Equilíbrio

Estável

Energia potencial

do peso da esfera

aumenta

Equilíbrio

Indiferente

Energia potencial

do peso da esfera

é igual

Equilíbrio

Instável

Energia potencial

do peso da esfera

diminui

Deslocar e libertar a esfera

Forma da cavidade está em analogia com o gráfico da função de energia potencial


1º de liberdade cinemática = 1 parâmetro que descreve a posição deformada

0 eq

V

1 equação para 1 incógnita

Função V tem extremo ou ponto de inflexão em eq

2

2

eq

V

>0 indica equilíbrio estável

segunda derivada =0 e todas as derivadas de ordem maior =0

indica equilíbrio indiferente (V localmente constante)

<0 indica equilíbrio instável

=0, mas a terceira derivada diferente de zero indica equilíbrio estável (inflexão)

=0, terceira derivada =0, quarta derivada positiva (negativa)

indica equilíbrio estável (instável)


Quando a posição de equilíbrio não depende do valor da força

0

eq

VP

2

2

eq

VP

Existe um intervalo de forças para as quais o equilíbrio é estável

=0 para P=Pcrítica

Pode se deixar P como parâmetro

Existe um intervalo de forças para as quais o equilíbrio é instável

P0

critPhabitualmente

Carga crítica: o valor da carga que faz a separação entre o equilíbrio estável e o

instável, corresponde ao equilíbrio indiferente


2º de liberdade cinemática = 2 parâmetros que descrevem a posição deformada

1

1, 2,

2

0

,

0eq eq

V

V

2 equações para 1 incógnitas

1 1, 2 2,

2

2

1 1 2

2

2

1 2 2 ,eq eq

V V

KV V

1 2

Tensor das curvaturas Neste caso o equilíbrio estável está

assegurado quando a curvatura em

qualquer direcção é positiva, para

isso basta que a curvatura mínima

seja positiva

min

max

k0

0k

Valores próprios


2. invariante

maxmin

2

1222112 kkkkkKdetI

Quando det(K)>0 ambas curvaturas principais são positivas ou ambas negativas

Basta assegurar para o equilíbrio estável:

Quando ambas curvaturas principais são positivas, também ambas k11 e k22

são positivas

0k0Kdet min

0kou0k&0Kdet 2211

Justificação 0k0k max11


Quando a posição de equilíbrio não depende do valor da força

1 1, 2 2, 1 1, 2 2,1 2, ,

0 & 0

eq eq eq eq

V VP

0Kdet

Existe um intervalo de forças para as quais o equilíbrio é estável

Resolvem-se raízes

Pode se deixar P como parâmetro

P0

raíz.1P raíz.2P

0Kdet 0Kdet 0Kdet

Basta verificar o sinal do k11 ou k22 para um

único valor da força, por exemplo P=0


nº de liberdade cinemática = n parâmetros que descrevem a posição deformada

n equações para n incógnitas

n1,...,

0i

Vi

2 2

20 & 0

i j i

V Vi

Tensor das curvaturas

,

2

i i eqi j i

VK

Equilíbrio estável

E todos os sub-determinantes diagonais

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