ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. DAEN. Rosio Carrasco MendozaMETODO DE EL ANIQUILADOR

1. DEFINICIÓN .

Es natural buscar razones de por qué el método de los coeficientes indeterminados parece funcionar. Para hacerlo, retornemos a la ecuación diferencial, la cual escribimos en forma de operadores como

Puesto que sabemos cómo resolver la ecuación diferencial con el lado derecho remplazado por cero, es natural preguntar si tales métodos se pueden usar directamente para resolver (1).

Ahora podemos cambiar (1) en una ecuación con el lado derecho cero como sigue. Primero diferencie ambos lados de (1) o equivalentemente opere en ambos lados con el operador D para obtener:

Podemos ahora eliminar el término que contiene e*x en las ecuaciones (1) y (2) al multiplicar la ecuación (1) por 1 y restar de la ecuación (2). El resultado es:

Suponga ahora que inicialmente se nos haya dado (3). Entonces usando los métodos para encontrar soluciones particulares, obtendríamos la solución:

Note que ésta contiene la solución complementaria de (1) y también la solución especial particular y p=c3 e

2x. Así, no teníamos que adivinar la forma de la solución particular, pero en lugar de esto podríamos haber llegado a ella como una consecuencia natural al resolver (3).

Usando y p=c3 e2x (1), encontraríamos como antes c3=

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. El proceso de operar en una

ecuación tal como (1) para así obtener una ecuación con el lado derecho cero es apropiadamente llamado EL MÉTODO DE ANIQUILACIÓN o EL MÉTODO ANIQUILADOR.

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(D2+4 ) y=4e2x…(1)

D (D2+4 ) y=8e2x…(2)

(D−2 ) (D2+4 ) y=0…(3)

y=c1 cos2 x+c2 sen2 x+c3 e2x…(4)

ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. DAEN. Rosio Carrasco MendozaEl operador requerido para hacer esto, tal como D-2 en (3), se llama el operador de Aniquilación o brevemente el aniquilador.

Trabajemos con ejemplos.

Ejemplo 1.

Use el método del aniquilador para resolver:

(D2−4D−4 ) y=6 sen3 …(5)

Debemos encontrar un operador tal .que cuando se aplique, haga el lado derecho cero. Puesto queD(sen3 x)=3cos3x , D” sen3x=−9 sen3 x, así que:

(D2+9 ) sen3 x=0

Vemos que el aniquilador es D2+9 ,usando esto en(5)tenemos:

(D2+9 ) (D 2−4D−4 )=0…(6)

Note que si encontramos la solución de (6) obtenemos:

γ=(c¿¿1+c2 x )e2x+c3 sen3 x+c4 cos3 x ¿

Los dos últimos término son justamente lo que sería la solución particular asumida para (5).

Ejemplo 2.

Use el método del aniquilador para resolver:

(D2+2D+1 ) y=2cos2 x+3x+2+3ex …(7)

Debemos usar el aniquilador D2+4. Similarmente, para aniquilar los términos 3 x+2 y 3ex

, respectivamente, debemos usar el aniquilador D2 y (D−1).

El aniquilador resultante el cual sirve para eliminar todos los términos es por tanto D2(D−l)(D2+4). Aplicando esto a (7) da:

(D2+2D+1 ) y=2cos2 x+3x+2+3ex …(8)

La solución (8) es:

γ=(c¿¿1+c2 x )e−x+c3 sen2x+c4cos 2x+c5 e

x+c6 x+c7 ¿

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ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. DAEN. Rosio Carrasco MendozaLa cual esta compuesta de las soluciones complementarias y particulares de (7).

Ejemplo 2.Resolver usando método de los aniquiladores

y ' '−2 y '+5 y=4ex

y (0)=0 , y ' (0)=0

Este ejercicio en la práctica fue resuelto por el método de variación de parámetros, obteniendo:

yp=ex sen2 (2x )+ex cos2(2x )=1 · ex

Veremos que por el método de coeficiente indeterminado se encuentra la misma solución particular. En efecto,y p=D−1 aniquila a 4 , por lo tanto, tomamos yp de la forma Cex , luego: yp=Cex⇒Lyp=4 ex⇔Cex−2Cex+5Cex=4ex⇔C=1∴ yp(x )=ex es la solucón particular de la EDO..

y− y=xex+cos (2x ),

y (0)=0 , y (0)=0

En efecto, la E.D.O. es:o y− y=(D2−1) y=xex+cos(2 x) ....(1) 1° El polinomio característico de la EDO es: p(λ )=λ2−1⇒ p( λ)=0⇔λ=±1. y por lo tanto, la solucion homogénea a la EDO es:

yh( x)=c1ex+c2e−x , conc1 , c2∈R

Para encontrar la solución particular a la EDO, separaremos el problema en dos:

P1: y− y=xexP2: y− y=cos (2 x)

Resolución de P1.

En efecto, haciendo y (x )=ex z (x) y ocupando la propiedad expuesta en el ejercicio 4 o del listado 5, tenemos que: (D 2−1) y=xex⇔(D2−1)ex z=xex⇔ex (D+1)2−1 z=xex⇔(D2+2D)z=x.Donde observamos que D3 aniquila a x, por lo tanto haciendo zp1(x )=Ax2+Bx+C , luego: (D 2+2D) zp1=x⇔2 A+4 Ax+2B=x⇔ A=111∧B=−∧C∈R4 4

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ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. DAEN. Rosio Carrasco MendozaTomando C=0 y volviendo atrás el cambio de variable concluimos que yp1(x )=(1x 2−1 x)ex.Resolución de P2.En efecto, se tiene que D 2+4 aniquila a cos (2 x), así, tomando como solución particular o yp2(x )=a · sen(2 x)+b ·cos (2x ) , tenemos que: (D 2−1) yp2=cos (2 x)

[−4 a· sen(2 x)−4 b·cos (2 x)]−[a · sen (2x )+b ·cos(2 x )]=cos (2 x)15

−5a · sen (2 x)−5b ·cos (2x )=cos (2 x)⇔b=0∧a=−Entonces :1 yp2(x)=−cos (2x )5

Por principio de superposición de soluciones yp la solución particular a la E.D.O. es la suma de las soluciones particulares de P1 y P2 , esto es:

yp (x)= yp1(x)+ yp2( x)=(x2−x)ex−cos (2 x)

La solución GENERAL a la EDO es:

y (x )= yh(x )+ yp( x)=c1ex+c2e−x+( x2−x )ex−cos (2x )

Calculo de c1 y c2 a partir de las condiciones iniciales:

y (0)=0⇒c1+c2− y (0)=0⇒c 1−c 2

Luego resolviendo el sistema de ecuaciones, por lo tanto la solución general al PVI es:

y ( x )=11129x 21−x e−e+( x2− x ) ex−cos (2 x ) .4040 44 52921c 2=14

BIBLIOGRAFIA

- Ecuaciones diferenciales (Murray Spiegel), Pag(194-197)- http://razonamientomatematicototal.blogspot.com/2011/12/maximo-entero-y-valor-

absoluto.html

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