metodo degli elementi finiti

Capitolo 17 Il metodo degli Elementi Finiti

In questo capitolo sono raccolte le relazioni fondamentali sulle quali si fonda tutta la trattazione di questa dispensa dedicata al metodo degli elementi finiti o, più precisamente, al metodo degli spostamenti, cioè, a quel metodo degli elementi finiti in cui le incognite primarie sono spostamenti e rotazioni e loro derivate di vario ordine.

Nel primo paragrafo vengono ricavate le relazioni che definiscono le matrici di rigidezza, di massa ed il vettore dei carichi nodali di un elemento, facendo anche cenno alle procedure di assemblaggio.

Il secondo paragrafo contiene una breve trattazione delle tecniche di integrazione numerica di funzioni in una e due variabili indipendenti.

Nel terzo paragrafo vengono ricavate le matrici che legano le derivate parziali prime e seconde di funzioni rispetto a due diversi sistemi di coordinate.

17.1 Introduzione Come è noto, il metodo degli elementi finiti è una metodologia per la ricerca di soluzioni approssimate a problemi di varia natura fisica, che ottimamente si presta alle esigenze del calcolo automatico. L'originalità del metodo sta nel fatto che esso consente di costruire una soluzione approssimata facendo uso di approssimazioni locali, cioè, il sistema di funzioni base Φi utilizzate per sviluppare la soluzione approssimata è definito su ciascun sottodominio De in cui si pensa di suddividere il dominio totale D di definizione del problema. Facciamo un’ipotesi sulla geometria del problema:

( )

1

E e

eD D

== ∑ e (17.1)

' ( )

1

E e

eS S

== ∑

1

Marco Di Sciuva – Elementi di analisi strutturale 2

avendo indicato con E il numero totale di sottodomini (o elementi finiti) in cui si è suddiviso il dominio D ed E’ il numero di elementi finiti che hanno almeno un lato sul contorno S. Ovviamente, risulta E’ ≤ E. In realtà, le condizioni (17.1) difficilmente sono soddisfatte in quanto sul contorno si può perdere qualche fettina di dominio.

Figura 17.1 Esempio di suddivisione del dominio in sottodomini o elementi finiti. Le regioni tratteggiate sono prese nelle sommatorie

17.2 Formulazione mediante elementi finiti delle equazioni dell’elastodinamica lineare

17.2.1 Le componenti di deformazione e di tensione Sia ( ) ( ) ( )e eu N q⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e (17.2) la relazione che lega la matrice colonna (vettore) ( )eu udelle componenti di

spostamento di un generico punto appartenente all'elemento e al vettore ( )eq dei gradi

di libertà nodali appartenenti allo stesso elemento; ( )eN⎡ ⎤⎣ ⎦ è detta la matrice delle funzioni di forma o di interpolazione. In generale, possiamo scrivere ( ) ( ) ( )e e eB qε ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (17.3) dove gli elementi della matrice possono essere espressi come combinazione lineare

degli elementi della matrice .

( )eB⎡⎣ ⎤⎦( )eN⎡ ⎤⎣ ⎦

Per esempio, in campo lineare (deformazioni infinitesime),

Capitolo 17: Il metodo degli elementi finiti 3

1,1 2,2 3,3 1,2 2,1 3,1 1,3 3,2 2,3T u u u u u u u u uε = + + +

ovvero [ ] D uε = (17.4) dove

(17.5) [ ],1 ,2 ,3

,2 ,1 ,3

,3 ,1 ,2

(..) 0 0 (..) (..) 00 (..) 0 (..) 0 (..)0 0 (..) 0 (..) (..)

TD⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

Quindi, [ ]( ) ( )eB D N e⎡ ⎤ ⎡= ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (17.6) Per le componenti di tensione, ricordando la legge di Hooke generalizzata, [ ] ( ) ( )e Cσ = eε (17.7) abbiamo [ ] ( ) ( ) ( )e eC B qσ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e (17.8)

17.2.2Espressione discretizzata del potenziale elastico, energia cinetica e potenziale dei carichi applicati

Scriviamo ora l’energia potenziale elastica per un corpo elastico:

12

T

VdVσ εΦ = ∫ (17.9)

analogamente scriviamo l’espressione dell’energia cinetica:

12

Tc

VE u u dρ= ∫ V (17.10)


in più sappiamo che per un dato sistema di carichi per unità di volume ˆVX e per unità di

superficie ˆSX possiamo scrivere l’energia potenziale come:

ˆ ˆT TV

V SU L u X dV u X dS⎛= − = − +∫ ∫⎜

⎝ ⎠S⎞⎟ (17.11)

Se vale la discretizzazione operata in precedenza possiamo scrivere le espressioni (17.9), (17.10) e (17.11) per ogni elemento finito, sostituendo i risultati ottenuti nelle (17.2), (17.8) e portando fuori dagli integrali ciò che non dipende dalle variabili spaziali. In questa maniera otteniamo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1212

Te e e

Te e eC

Te e e

q K q

E q K q

U q F

⎡ ⎤Φ = ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e

e

dV

e

(17.12)

dove

( )

( ) ( ) ( ) ( )

e

Te e e e

VK B C B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ matrice di rigidezza dell’elemento

( )

( ) ( ) ( )

e

Te e

VM N N dρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ V matrice delle masse dell’elemento

(17.13)

( ) ( )

( ) ( ) ( )ˆe e

Te e e

Sp VF N X dS N Xσ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +∫ ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ˆTdVρ vettore dei carichi nodali

equivalenti dell’elemento

17.2.3 L’equazione di Lagrange discretizzata Per ogni elemento possiamo scrivere l’equazione di Lagrange per il caso di moto non smorzato, ovvero:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

e e eC

e e e

E Ut q q q

⎛ ⎞∂∂ ∂Φ ∂⎜ ⎟ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

= (17.14)

che sostituendo le (17.12) e derivando diventa


( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e e eM q K q F⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (17.15) ovvero l’equazione del moto non smorzato, discretizzata per un generico elemento finito e. ♠ Per chiarire i concetti, supponiamo si voglia analizzare la configurazione di equilibrio del sistema di molle rappresentato in Figura 17.21

Per la formulazione della matrice di rigidezza possiamo utilizzare il metodo diretto o il metodo energetico. Con riferimento allo schema di Figura 17.3, si ha:

• Metodo diretto: Per la legge di Hooke, possiamo scrivere

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2( )e e e eF k u u= − ; ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 1( )e e e eF k u u= −

ed in forma matriciale

( ) ( )( )1 1

( ) ( )2 2

1 11 1

e ee

e e

F uk

F u⎧ ⎫ ⎧−⎡ ⎤

=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩

⎫⎬⎭

ovvero ( ) ( ) ( )e eF K u⎡ ⎤= ⎣ ⎦e

essendo k(e) la costante della molla e. La sopralineatura sta ad indicare che le grandezze sono valutate nel sistema locale della molla indicato in Figura 17.3. Si noti che

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

11 12 21 22( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

; ; ;e e e e

e e e e e e ee e e e

F F F Fk K k K k K k Ku u u u

∂ ∂ ∂ ∂= = = − = = − = = =

∂ ∂ ∂ ∂e

e, in generale,

( )( )

( )

ee i

ij ej

FKu

∂=

∂

1 E’ importante sottolineare che non si tratta di un'analisi agli elementi finiti, ma semplicemente di un'analisi matriciale che contiene in sé molti degli aspetti connessi con la procedura agli elementi finiti.


Figura 17.2 Sistema di molle. Analisi statica.

Figura 17.3 Elemento molla. Formulazione della matrice di rigidezza.

• Metodo energetico

Sappiamo che l'energia di deformazione elastica della molla vale

( )2( ) ( ) ( ) ( )2 1

12

e e e ek u uΦ = −

Per il teorema di Castigliano è

( )( )

( )

ee

iei

Fu

∂Φ=

∂

e quindi, ricordando il risultato precedente,


2 ( )( )

( ) ( )

ee

ij e ei j

Ku u∂ Φ

=∂ ∂

Si noti che

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1

1 2 ( )( ) ( )2

12

ee ee e e

ee e

uk ku u

uk k⎧ ⎫⎡ ⎤−

⎡ ⎤Φ = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ovvero ( ) ( ) ( ) ( )1

2Te e eu K u⎡ ⎤Φ = ⎣ ⎦

e

cioè, l'energia di deformazione elastica è una forma quadratica dei gradi di libertà nodali. ♠

17.2.4Sistema di riferimento locale e sistema di riferimento globale (struttura). Trasformazione di coordinate.

Siano

• ( )e

lq il vettore dei gradi di libertà nodali dell'elemento nel sistema di riferimento

locale; • ( )e

gq il vettore dei gradi di libertà nodali dell'elemento nel sistema di riferimento

globale; • la matrice dei coseni direttori del sistema di riferimento locale rispetto a

quello globale.

( )e⎡Λ⎣ ⎤⎦

Allora sussiste la seguente relazione

( ) ( ) ( )e e

lq ⎡ ⎤= Λ⎣ ⎦

e

gq

⎤⎦e

(17.16)

e, di conseguenza, sostituendo questa relazione nell’equazione del moto e ricordando che

la matrice è una matrice ortogonale, così, ( )e⎡Λ⎣1( ) ( ) Te −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Λ = Λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , otteniamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e

g gg gM q K q F⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ g

(17.17)


ove

e

l⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Λ Λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ matrice di rigidezza dell’elemento nel

e

g lM ⎤ to nel

7.18)

d

( ) ( ) ( ) ( )Te e e

gK K⎡ ⎤⎣ ⎦

sistema di riferimento globale ( ) ( ) ( )Te e eM⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Λ Λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ matrice di rigidezza dell’elemen( )

sistema di riferimento globale (1

( ) ( ) ( )Te e e

g lF F⎡ ⎤= Λ⎣ ⎦ vettore dei carichi nodali equivalenti

n riferimento all'elemento molla ed allo schema di figura 3.4, possiamo scrivere

nel sistema di riferimento globale ♠Co

a

Figura 17.4 Rotazione del sistema di riferimento.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e e ei i l i l i g is u i v j u i v j= + = + e

g

vendo indicato con s(e)

i lo spostamento del generico nodo ia . Moltiplicando scalarmente per i(e)

l, ottengo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e e ei i l g i l g i iu u i i v i j u l v m= × + × = + e

oltiplicando scalarmente per j(e)

l, ottengo M

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e e ei i l g i l g i iv u j i v j j u l v m= × + × = − + e


essendo

l gi i lα× = = ;

( ) ( ) ( )cose e e ( ) ( ) ( ) ( )cos sin

2e e e

l gej i mπ α α⎛ ⎞× = + = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠;

( ) ( )sine el gi j α× = ; e= =

l , m ) coseni direttori di i )l rispetto a ig e jg; ( -m ), l(e) ) coseni direttori di j(e)

l rispetto

( ) ( ) ( )cose el gj j lα×

(e) (e) (e (e(

a ig e jg. In forma matriciale

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

e ee ei i

e ee ei i

u ul mv vm l

⎧ ⎫ ⎧⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩

⎫⎬⎭

e per i due nodi i

e j dell'elemento molla

( ) ( )e eu u⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 00 0

0 00 0

eei i

e ee ei i

e ee ej je ee e

j j

l mv vm lu ul mv vm l

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

da cui segue l'espressione per la matrice di rotazione ( )e⎡ ⎤Λ⎣ ⎦

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

0 00 0

0 00 0

e e

e ee

e e

e e

l mm l

l mm l

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤Λ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Per un elemento il cui sistema locale è scelto in modo che ( ) ( ) 0e e

i jv v= = , si ha

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 00 0

eiee e e

iie e e e

j je

j

uvu l m

u l m uv

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦

⎪⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

e, in forma compatta

( ) ( ) ( )e eu u⎡ ⎤= Λ⎣ ⎦ e


♠

7.2.5 Assemblaggio

e la struttura è stata discretizzata in un numero E di elementi finiti, l'energia di

e=

1 Sdeformazione elastica dell'intera struttura è data da

( )E e 1

Φ = Φ∑ (17.19)

ove d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

T Te e e e e e e

l gl l gq K q q K q⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ g

(17.20)

ra, espandiamo la matrice di rigidezza globale come segue

O

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]

( ) ( )

0 0 0ˆ 0 0

0 0 0

e e

gK K

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ssendo z il numero dei gradi di libertà di tutta la struttura discretizzata. e

Sia q il vettore dei gradi di libertà nodali di tutta la struttura; supponiamo, per semplicità d ttazione, che esso sia stato organizzato in modo che i gradi di libertà nodali dell'elemento

i trae occupino le posizioni corrispondenti agli elementi della matrice ( )e

gK⎡ ⎤⎣ ⎦

nella matrice ( )ˆ eK⎡ ⎤⎣ ⎦ . Allora,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ˆ2 2

T Te e e e e e

gg g gq K q q K q⎡ ⎤⎡ ⎤Φ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e (17.21)

, per sostituzione nella (17.19),

e

( ) [ ] ( )

1

1 1ˆ2 2

ET Te

geq K q q K q

=⎡ ⎤Φ = =∑ ⎣ ⎦ (17.22)

a cui, per confronto, d

[ ] ( )

1

ˆE e

geK K

=⎡ ⎤= ∑ ⎣ ⎦ (17.23)


La stessa procedura vale anche per la matrice delle masse. Per quel che riguarda il vettore

mblaggio equivale ad imporre le condizioni di cong

1. degli spostamenti nodali; cioè gli spostamenti generalizzati di un

2. do

oncludendo, per l'intera struttura possiamo scrivere

dei carichi nodali equivalenti, va ricordato che in questa operazione, le forze interne si annullano in quanto a due a due uguali e contrarie e, quindi, nel vettore dei carichi nodali Fcompaiono solo i carichi esterni applicati.

Da un punto di vista meccanico, l'asseruenza e di equilibrio ai nodi: la congruenza nodo debbono avere lo stesso valore per tutti gli elementi di cui il nodo fa parte; l'equilibrio nel nodo delle forze esterne; cioè le forze esterne applicate in un nodevono essere equilibrate dalle forze interne trasmesse dagli elementi che concorrono in quel nodo.

C [ ] [ ] M q K q F+ = (17.24)

ove [K] matrice di rigidezza ( NxN ) dell’intera struttura;

[M] matrice dell masse ( NxN ) dell’intera struttura;

F vettore dei carichi nodali equivalenti ( Nx1 ) dell’intera struttura;

ssendo N il numero totale dei gradi di libertà dell'intera struttura.

r ricavare l'equazione di equilibrio della molla nel sistema di riferimento struttura,

d e ♠Pepossiamo partire dall'espressione dell'energia di deformazione elastica che, essendo uno scalare, è un invariante rispetto al sistema di riferimento

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2

T T TTe e e e e e e e e e eu K u u K u u K u⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = = Λ Λ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ e

ssendo e

( ) ( ) ( ) ( )Te e eK K⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= Λ Λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ e ⎤⎦

matrice di rigidezza ( 4x4 ) della molla nel sistema di riferimento struttura. Applicando il

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

lateorema di Castigliano, otteniamo l'equazione di equilibrio per la generica molla

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 12 13 141 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21 22 23 242 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )31 32 33 343 3( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )41 42 43 444 4

e e e ee e

e e e ee e

e e e ee e

e e e ee e

K K K KF uK K K KF uK K K KF uK K K KF u

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩⎣ ⎦


e, in forma compatta,

( ) ( ) ( )e e eF k u⎡ ⎤= ⎣ ⎦

onsideriamo l'equilibrio del nodo 4 (vedi Figura 17.5 ). Per l'equilibrio nelle direzioni x

Ced y, deve essere

Figura 17.5 Assemblaggio al nodo 4

equazione di equilibrio per la generica molla ricavata in precedenza, otteniamo

11 1 12 2 13 3 14 4

F K u K u K u K u

K u K u K u K u

= + + + +

+ + + + +

e così per F8. Imponiamo la congruenza degli spostamenti

7 3 3 1 8 4 4 2(1) (2) (5); (1) (2) (5)F F F F F F F F= + + = + + da cui, tenendo presente l'

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)

7 13 1 23 2 33 3 34 4(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 13 1 23 2 33 3 34 4(5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5)K u K u K u K u+ + + +


4;

8

12

(5) (5)13 11 14 12

F K u K u K u K u

K K K u K K K u

K u K u

= + + + +

+ + + + + +

+ +

2) ;

n modo per ottenere i vari contributi è il seguente:

(1) (1) (2) (2)1 1 2 2 1 3 2; ; ;u u u u u u u u= = = =

(1) (2) (5) (1) (2) (5)3 3 1 7 4 4 2; ;u u u u u u u u= = = = = =

(5) (5)3 11 4;u u u u= =

Si ottiene così

8( ) ( )(1) (1) (2) (2)

7 13 1 23 2 13 3 24 4

(1) (2) (5) (1) (2) (5)33 33 11 7 34 34 12

Quindi

(1) (1) (2) (17 13 27 23 37 13 47 23

(1) (2) (5)57 67 77 33 33 11

(1) (2) (5)78 34 34 12 79 710

(5)7,11 13 7,12 14

; ; ;

0; ;

; 0;

K K K K K K K K

K K K K K K

K K K K K K

K K K K

= = = =

= = = + +

= + + = =

= =

U

(1) (1) (1) (1)11 12 13 14(1) (1) (1) (1)

(1) 21 22 23 24(1) (1) (1) (1)31 32 33 34(1) (1) (1) (1)41 42 43 44

K K K KK K K K

KK K K KK K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

13 14(2) (2) (2) (2)

(2) 21 22 23 24(2) (2) (2) (2)31 32 33 34(2) (2) (2) (2)41 42 43 44

KK K K K

KK K K KK K K K

⎡ (2) (2)11 12K K K (2) (2) ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5) (5) (5) (5)11 12 13 14(5) (5) (5) (5)

(5) 21 22 23 24(5) (5) (5) (5)31 32 33 34(5) (5) (5) (5)41 42 43 44

K K K KK K K K

KK K K KK K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e, quindi,


2) ;

In modo analogo si ottengono gli altri contributi della matrice [K]. L'equazione di equilibrio dell'intero sistema di molle è

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 2122

31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 3123

41 42 43 44 45 44

5

6

7

8

9

10

11

12

K K K K K K KK K K K K K K K K K K KFK K K K K K K K K K K KFK K K K K KF

FFFFFFFF

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

6 47 48 49 410 411 412

51 52 53 54 55 56 57 58 59 510 511 512

61 62 63 64 65 66 67 68 69 610 611 612

71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 712

81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 811 812

91 92 93 94 95 96 97

K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K98 99 910 911 912

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012

111 112 113 114 115 116 117 118 119 1110 1111 1112

121 122 123 124 125 126 127 128 129 1210 1211 1212

K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K K

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎦

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

uuuuuuuuuuuu

(1) (1) (2) (17 13 27 23 37 13 47 23

(1) (2) (5)57 67 77 33 33 11

(1) (2) (5)78 34 34 12 79 710

(5)7,11 13 7,12 14

; ; ;

0; ;

; 0;

K K K K K K K K

K K K K K K

K K K K K K

K K K K

= = = =

= = = + +

= + + = =

= =

11 12 13 14 151 K K K K KF⎧ ⎫ ⎡ 16 17 18 19 110 111 112

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥ ⎩ ⎭

7.2.6 Imposizione delle condizioni al contorno

o statico. In tal so la (17.24) si riduce a

1

Per semplificare la discussione che segue, ci limitiamo a considerare il casca [ ] K q F= (17.25) la quale rappresenta un sistema completo di equazioni algebriche lineari a coefficienti ostanti. È ben noto che la (17.25) ammette una soei coefficienti [K] non è singolare, cioè, se il suo determinante è diverso da zero.

iarire la proced

c luzione unica se, e solo se, la matrice d

Da un punto di vista meccanico ciò equivale ad eliminare i moti di corpo rigido della struttura. Così, prima di procedere oltre, sarà necessario imporre le condizioni al contorno della struttura, cioè, identificare i suoi gradi di libertà vincolati. Per ch

ura, sia Nc < N il numero dei gradi di libertà vincolati. Per semplicità, supponiamo che essi siano nulli; allora, il vettore q dei gradi di libertà può essere riorganizzato come segue


0

q fq⎧ ⎫⎪ ⎪ = ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭ (17.26)

ove qf, dimensione ( N - Nc )x1, è il vettore dei g

il vettore F dei carichi nodali equivalenti assumerà la forma d radi di libertà liberi. In corrispondenza,

aF

FR

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(17.27)

ove Fa, dimensione ( N – Nc )x1, è il vettore F

lavoro sui gradi di libertà liberi, e R, dimensione Nc, è il vettore delle reazioni nodali quivalenti corrispondenti ai gradi di libertà vincolati. Da ciò segue la seguente forma

d dei carichi esterni nodali che fanno

epartizionata per la (17.25)

[ ] [ ]

[ ] [ ]

21 22 0T

11 12 f aqK K F⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪

RK K=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (17.28)

Per il sistema di molle considerato, possiamo scrivere

♠

[ ] [ ] [ [ ] [ ]

]1 2 3 4 5 6

7 8 10 11 12

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0

T

cT

PaT

q u u u u u u

F P P U P P P

R P P P P P P

= =

=

=

e riscrivere l'equazione di equilibrio dell'intero sistema di molle nel modo seguente

7 8 9 10 11 12f

T

q u u u u u u=


7 77 78 79 710 711 712 71 72 73 74 75 76

8 87 88 89 810 811 812 81 82 83 84 85 86

9 97 98 99 910 911 912 91 92 93 94 95 96

10 107 108 109 1010

11

12

1

2

3

4

5

6

P K K K K K K K K K K K KP K K K K K K K K K K K KP K K K K K K K K K K K KP K K K KPPPPPPPP

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1011 1012 101 102 103 104 105 106

117 118 119 1110 1111 1112 111 112 113 114 115 116

127 128 129 1210 1211 1212 121 122 123 124 125 126

17 18 19 110 111 112 11 12 13 14 15 16

27 28 29 210 211 212 21

K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K22 23 24 25 26

37 38 39 310 311 312 31 32 33 34 35 36

47 48 49 410 411 412 41 42 43 44 45 46

57 58 59 510 511 512 51 52 53 54 55 56

67 68 69 610 611 612 61 62 63 64 65 66

K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎦

7

8

9

10

11

12

000000

uuuuuu

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥ ⎩ ⎭

♠

17.2.7 Risoluzione del sistema di equazioni • Caso statico Riscriviamo la (17.28)

[ ] [ ]

[ ] [ ]

11 12

21 22 0f a

T

qK K F

RK K

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(17.29)

da cui, sviluppando

[ ]

[ ] 11

12

f a

T

f

K q F

K q R

=

=

e risolvendo

[ ]

[ ] [ ]

111

112 11

f

T

a

q K Fa

R K K F

−

−

=

= (17.30)

• Caso dinamico


Assumendo per qf una soluzione del tipo2

j t

qfq A e ω=

si ha [ ] [ ] 2

11 11 q fM K A Aω⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ (17.31) e per oscillazioni libere non smorzate [ ] [ ] 2

11 11 0qM K Aω⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ (17.32) che è un tipico problema di autovalori ed autovettori.

17.2.8 Le funzioni di forma Le funzioni di forma (o polinomi interpolatori) possono essere di forma molto semplice, come funzioni trigonometriche o polinomi; tuttavia questi ultimi sono generalmente preferiti nella letteratura in quanto si prestano più facilmente alla manipolazione matematica. Si tenga presente che i polinomi utilizzati sono quasi sempre lineari, quadratici o cubici e pertanto essi possono fornire solo un'approssimazione del reale andamento delle funzioni incognite all'interno dell'elemento: questa assunzione costituisce l'approssimazione basilare del metodo degli elementi finiti.

Nella scelta delle funzioni di forma si devono tener comunque presenti tre fattori fondamentali:

• il grado del polinomio, il quale influisce sulla bontà del modello di spostamento

migliorandola all'aumentare del numero dei termini presi in considerazione. Va tuttavia osservato a questo proposito che spingersi troppo oltre in questa direzione può essere deleterio in quanto ne derivano complicazioni di calcolo analitico e numerico.

• la scelta dei parametri nodali, che saranno poi le incognite del sistema da risolvere, la quale dipende dal problema trattato e dalle quantità che si vogliono ottenere come risultato finale; essi sono in genere spostamenti e rotazioni.

• il modello di spostamento deve soddisfare certi requisiti che garantiscono la convergenza della soluzione numerica a quella analitica man mano si infittisce la discretizzazione.

Si hanno elementi compatibili o conformi quando viene assicurata la continuità delle funzioni di forma e delle loro derivate fino all'ordine r - 1 (se r è l'ordine max di derivata che compare nell'energia di deformazione elastica); si hanno elementi completi quando le

2 Ciò nell'ipotesi che sia Fa=AFejωt


j

funzioni di forma assicurano un campo di spostamenti uniforme all'interno dell'elemento e di deformazioni.

17.3 Piano naturale Il fatto che gli elementi finiti possano assumere un numero illimitato di geometrie (si pensi solo alle possibilità offerte dalle forme triangolari e quadrangolari!) pone dei problemi pratici nel definire la regione di integrazione delle funzioni che compaiono nelle espressioni delle matrici [K(e)], [M(e)] e del vettore F(e). Se si volesse condurre l'integrazione nelle variabili x1 e x2 si perderebbe senz'altro la generalità del metodo e con essa verrebbe a mancare la carta vincente che ne ha determinato il successo.

Si tratterebbe infatti di valutare gli integrali relativi a ciascun elemento della mesh sulla regione effettivamente occupata dall'elemento, e quindi diversa l'una dall'altra.

Per uniformare le procedure di calcolo si effettua una trasformazione di coordinate dal piano ( x1, x2 ) ( piano fisico ) al piano ( ξ1, ξ2 ) ( piano naturale ), dove tutti gli elementi di una data geometria (per esempio, elementi triangolari a lati rettilinei) vengono trasformati sempre nello stesso elemento triangolare fittizio (per esempio, un triangolo rettangolo di cateti unitari e paralleli agli assi ξ1e ξ2 ).

In quel che segue si farà esplicito riferimento agli elementi triangolari a tre nodi e quadrangolari a quattro nodi, in quanto essi verranno trattati diffusamente nel seguito. Resta inteso che la metodologia può essere estesa al caso di elementi piani di geometria più complessa ed al caso di elementi tridimensionali.

Per entrambi gli elementi, la legge di trasformazione è

( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2

1 1( , ); ( , )

NE NEj jj

j jx x N x x Nξ ξ

= == =∑ ∑ ξ ξ

2

(17.33)

dove NE sta per il numero di nodi dell'elemento, x1

(j) e x2(j) sono le coordinate del nodo j,

Nj( ξ1, ξ2 ) sono funzioni scelte opportunamente (la loro forma esplicita dipende dalla forma in pianta dell'elemento nel piano fisico e dalla posizione di questo nel piano trasformato; esse godono della proprietà di valere 1 nel nodo j e 0 negli altri nodi).

17.3.1 Elemento triangolare a tre nodi In tal caso (vedi Figura 17.6) NE = 3 e 1 1 2 2 3 1; ; 1N N Nξ ξ ξ= = = − ξ−

1

(17.34) In tal modo gli integrali delle funzioni di x1 e x2 estesi alla regione ricoperta dall'elemento possono essere trasformati in integrali di funzioni in ξ1 e ξ2 estesi all'area triangolare definita da: 1 20 1 0 1eξ ξ≤ ≤ ≤ ≤ −ξ identica per ciascun elemento.


Si noti che la scelta del riferimento naturale è operata in modo tale che le due coordinate coincidano numericamente con due delle tre coordinate d'area del triangolo (vedi paragr refsec:Area). Ne deriva che le coordinate del piano naturale sono pensabili anche come coordinate d'area per cui l'integrazione potrà essere effettuata senza problemi, come si vedrà nel paragr. refsec:Area.

17.3.2 Elemento quadrangolare a quattro nodi In tal caso (vedi Figura 17.7 ) NE = 4; posto ( ) ( )1 21 ;L Lη η η η= − = (17.35)

Figura 17.6 Trasformazione di coordinate. Si ha

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2

3 2 1 2 2 1 2 4 1 1 2 2 1

1 1 ; 1; 1

N L L N L LN L L N L L

)2

;ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

= = − − = == = = = −

− (17.36)

ovvero, in forma compatta, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 21 2 1 1 2 1j j j jjN 2ξ ξ ξ ξ ξ ξ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dove ξ1

(j) e ξ2(j)

sono le coordinate del nodo j nel piano naturale.


Figura 17.7 Trasformazione di coordinate.

Se invece della trasformazione rappresentata in Figura 17.7, si vuole ottenere la trasformazione rappresentata in Figura 17.8, allora si ha

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 211 ; ; ;2 2

L L L L 1ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= − = = − = + (17.37)

si ha

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2

3 2 1 2 2 1 2 4 1 1 2 2 1 2

1 11 ;2 2

1 1; 12 2

N L L N L L

N L L N L L

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ;

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

(17.38) ovvero, in forma compatta,

( )( ) ( ) ( )1 1 1 2

11 2 1 22

j j jjN 2ξ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠



Ed ancora, se si vuole ottenere la trasformazione rappresentata in Figura 17.9, allora si ha

( ) ( ) ( ) (1 21 1 ; 12 2

L L )1η η η= − = +η (17.39)

ed, in corrispondenza,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )(

( ) ( )

)

( )( ) ( ) ( ) ( )(

1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2

3 2 1 2 2 1 2 4 1 1 2 2 1 2

1 11 1 ; 1 14 41 11 1 ; 1 14 4

N L L N L L

N L L N L L )

;ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

= = − − = = +

= = + + = = − ξ

−

+

(17.40) ovvero, in forma compatta,

( )( )( ) ( )1 1 2 2

1 1 14

j jjN ξ ξ ξ ξ= − −



17.4 Integrazione numerica La valutazione delle matrici di rigidezza e massa, nonché del vettore dei carichi nodali del singolo elemento, richiede in generale il calcolo di integrali di volume, di superficie o di linea, a seconda che trattasi di elemento tri, bi o monodimensionale.

In ogni caso, però, ci si riconduce al calcolo di integrali di funzioni di una sola variabile spaziale. In questo paragrafo ci si propone di descrivere brevemente le metodologie di integrazione numerica più comunemente adottate.

17.4.1 Metodo di Gauss Si supponga di dover integrare una funzione di una sola variabile definita nell'intervallo [-1;1]; un metodo per trovare una soluzione approssimata può essere quello di determinare un polinomio che passi per un certo numero di punti scelti a priori, e quindi integrare analiticamente il polinomio. Si tratta cioè di scrivere:

1

11

( ) ( )N

i ii

I f p dp H f p=−

= ∑∫

ove Hi è il valore che il polinomio assume per p = pi, ed è solitamente chiamato peso di integrazione. Questo metodo, noto come metodo di integrazione di Newton-Cotes, garantisce un errore di ordine ∆N se ∆ è l'intervallo tra le ascisse dei punti per i quali è imposto il passaggio della funzione, ed N è il numero di tali punti.


Si può ottenere una migliore approssimazione nella valutazione dell'integrale se si scelgono i punti di campionamento in modo da minimizzare l'errore, invece di sceglierli a priori. In tal modo sono poste 2N condizioni: N sui valori assunti dalla funzione nei punti, come già per Newton-Cotes, ed N sulle ascisse dei punti stessi. Si può quindi determinare un polinomio di grado 2N - 1 ( 2N costanti da determinare con 2N condizioni) e pertanto l'errore sarà di ordine ∆2N, più piccolo di quello di Newton-Cotes a parità di punti di campionamento. Ciò significa anche che il metodo di Gauss permette di integrare esattamente un polinomio di grado 2N - 1. Per risolvere il sistema delle 2N equazioni sono richieste particolari manipolazioni matematiche, con le quali si arriva alla soluzione esplicita in termini di polinomi di Legendre. In tabella 3.1 sono riportati i valori dei pesi e dei punti di campionamento per N = 3 ed N = 5

N pi Hi

3 -0.77460 0.00000 0.77460

0.55556 0.88889 0.55556

5

-0.90618 -0.53847 0.00000 0.53847 0.90618

0.23693 0.47863 0.56889 0.47863 0.23693

Tabella 17.1 Punti e pesi per integrazione gaussiana

Qualora la funzione integranda dipenda da due variabili, il modo più ovvio di ottenere l'integrale con il metodo di Gauss è quello di integrare prima rispetto ad una variabile:

1 1 1

11 1 1

( , ) ( , )N

j jj

I f p q dpdq H f p q dq=− − −

= ∑∫ ∫ ∫

e quindi rispetto all'altra:

1 1

( , )N N

i j j ii j

I H H f p q= =∑∑

dove si è supposto di scegliere lo stesso numero di punti di campionamento in ciascuna direzione, il che non è ovviamente necessario. Scegliendo, ad esempio, N = 5 si integra esattamente una funzione che sia prodotto di due polinomi di nono grado in ciascuna delle due variabili. Naturalmente si potrebbe anche affrontare il problema di integrare direttamente tale funzione con un'unica integrazione, scrivendo quindi:

1 1

11 1

( , ) ( , )M

i j ii

I f p q dpdq W f p q=− −

= ∑∫ ∫

Si può dimostrare che in questo caso sono sufficienti 7 punti di campionamento per ottenere la stessa accuratezza.


Una formula di questo tipo viene utilizzata quando il dominio di integrazione è triangolare. La formula si può porre nella forma

( )1

, ,M

i i i ii

fdA A W f ξ η ς=∑∫ ∫

In cui f è la funzione da integrare numericamente; Wi sono i pesi di integrazione; A è l'area del dominio triangolare; ξi, ηi, ζi, sono le coordinate d'area dell'i-esimo punto di integrazione. I valori dei pesi e delle coordinate per M = 7 (grado di precisione 5) ed M = 13 (grado di precisione 7) sono riportati nella tabella3.2 tratta dal lavoro di G.R. Cowper. Ricordiamo che con grado di precisione si indica il massimo ordine del polinomio in due variabili che la formula integra esattamente.

wi ξi Ηi ζi molteplicità M = 7 0.2250000000 0.1259391805 0.1323941528

0.33333333330.79742698540.4701420641

0.33333333330.10128650730.4701420641

0.33333333330.10128650730.0597158718

1 3 3

M = 13 -0.14957004450.1756152574 0.0533472356 0.0771137609

0.33333333330.47930806780.86973979420.6384441886

0.33333333330.26034596610.06513010290.3128654960

0.33333333330.26034596610.06513010290.0486903154

1 3 3 6

Tabella 17.2 Punti e pesi di integrazione gaussiana per triangoli

Oltre al metodo di Gauss, che è quello generalmete adottato nei codici di calcolo agli elementi finiti, esistono altri metodi di integrazione numerica, che qui di seguito richiamiamo brevemente.

17.5 Metodo di interpolazione lineare o dei trapezi

Si supponga di dover integrare una funzione di una sola variabile definita nell'intervallo [a;b] e che detta funzione sia nota in un certo numero di punti, i quali suddividono l'intervallo [a;b] in un certo numero di intervallini di ampiezza costante e pari a λ. Ora supponiamo di interpolare la curva nel generico tratto λ con una retta, ottenendo così una spezzata, vedi figura . L'area del singolo trapezio vale

( )1 12i i iA f fλ+ += +


Calcolando l'integrale come somma delle aree dei singoli trapezi, si ottiene

1 1

10 0

( ) ( )b N N

i i ii ia

I f p dp H f p A− −

+= =

= =∑ ∑∫

da cui

0 1 2 1; ....... ;2 2N NH H H H Hλ λ

−= = = = = (17.41)

17.6 Metodo di interpolazione quadrata ( o di Simpson)

Supponiamo di interpolare la curva f(p) nel generico tratto λ con una parabola passante per tre generici punti consecutivi pj-1, pj e pj+1, vedi figura**. Supponiamo che l'asse delle ordinate sia traslato fino a portare l'origine del centro degli assi a coincidere con l'estremo sinistro dell'intervallo [a;b]; detta y = ax2 + bx + c la generica parabola, si ha

2

2

(0)(1)(2) 4 2

f cf a b cf a b

λ λ

λ λ c

=

= + +

= + +

il quale rappresenta un sistema di 3 equazioni nelle tra incognite a, b e c. A conti fatti, risulta

2 2

(0) (2) 2 (1) 4 (1) (0) (12);2 2

f f f f f fa bλ λ

+ − − −= = ; (0)c f= (17.42)

Integrando ora nell'intervallo [0;2λ] la parabola con i coefficienti dati dalla Tabella 17.2, si ottiene

2

0

(0) 4 (2)( ) (1)3 3 3

f ff p dp fλ

λ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Ripetendo lo stesso calcolo per i punti di ascisse 2λ, 3λ, 4λ, si ottiene

4

2

(0) 4 (2)( ) (1)3 3 3

f ff p dp fλ

λ

λ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Sommando tutti i contributi, ottengo per i pesi i seguenti valori


0 1 2 3 14 2 4 2; ; ; ; ;

3 3 3 3 3NH H H H H H3N

λ λλ λ λ λ−= = = = = = (17.43)

Si può notare che, esclusi gli estremi, i pesi con indice pari valgono 23

λ e quelli

dispari 43

λ . Si noti ancora che per poter applicare il metodo è necessario che il numero di

intervallini sia pari.

17.7 Metodo con i polinomi di Lagrange In questo caso si usano i polinomi di Lagrange come polinomi interpolatori della funzione passante per un numero prestabilito di punti. Si ha

( )0 0

( ) ( ) ( )b b bN N

i i ii ia a a

iI f p dp L p f dp L p dp f= =

= =∑ ∑∫ ∫ ∫

da cui segue che

(17.44) ( ( )b

i ia

H L p d= ∫ )p

17.8 Matrici Jacobiane Nello sviluppo di alcuni degli elementi finiti descritti nel capitolo successivo ci si troverà di fronte all'esigenza di valutare le derivate parziali prime e seconde rispetto ad una coppia di coordinate, di funzioni esplicite di una coppia di coordinate diversa dalla precedente.

17.8.1 Matrice [ j ] Nel caso si debbano valutare le derivate prime in x1 e x2 di funzioni delle coordinate ξ1e ξ2, va tenuto presente che


, 1,

xJ con J e

xβ

αβ αβα β α

α βξ ξ

∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂2=

(17.45)

e, in forma matriciale,

[ ] [ ]1 2

1 1 1

1 2

2 2 2 2

1

x xx

J con Jx x

x

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂∂ ∂ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(17.46)

[J] = (Jαβ) è la matrice jacobiana della trasformazione 1 1 1 2 2 2 1 2( , ); ( , )x x x xξ ξ= = ξ ξ (17.47) Invertendo la relazione, si ha

[ ] 11

2 2

xJ

x

1ξ

ξ

−

∂ ∂⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎪⎭

(17.48)

con

[ ]2 2

1 2 1 22 12

21 111 1

2 1

1 1x x

J JJ

J Jx xJ Jξ ξ

ξ ξ

−

∂ ∂⎡ ⎤−⎢ ⎥∂ ∂ −⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥−∂ ∂⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

(17.49)

dove |J| è il determinante della matrice [J],

1 2 2 211 22 12 21

1 2 1 1

x x x xJ Jξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ ∂J J J (17.50)

In forma indiciale la (17.48) diventa

1Jx αβ

α βξ−∂ ∂

=∂ ∂

(17.51)

avendo indicato con Jαβ-1 gli elementi di [J]-1. ♠


A titolo di esempio, proviamo a calcolare gli elementi della matrice [J] per il caso della trasformazione dell'elemento quadrangolare rappresentato in Figura 17.8, nel caso in cui i lati 14 e 23 siano paralleli all'asse x2, Figura 17.10, si ha

4

( )

1

jj

j

NxJ xβ

αβ βα αξ ξ=

∂∂= =

∂ ∂∑ (17.52)

Figura 17.10 Calcolo della matrice [J]

Ma

( )

( )

( ) ( )1 2 2

1

( ) ( ) ( )1 1 1

2

12 1 22

2 1 2 1

j jJ

j jJ

N

N

ξ ξ ξξ

2jξ ξ ξ ξ

ξ

∂ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∂ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∂

(17.53)

che dimostra che Jαβ = Jαβ( ξ1, ξ2 ). Dalla Figura 17.10 si ricavano le seguenti relazioni

(2) (1) (2) (1)1 1 1 2 2 1 0(3) (1) (3) (1)1 1 1 2 2 1 0 2

(4) (1) (3) (1)1 1 2 2 2

; tan; tan

; ;

t

r

x x l x x lx x l x x l l

x x x x l

= + = + Λ= + = + Λ +

= = +

;;

Per la legge di trasformazione abbiamo


( )

( )

( )

(1)1 1 1 1

(1)2 2 1 0 2 3 2 3 2 4

(1)2 1 0 1 2 1 2 2 1 2

(1)2 1 0 1 2 1 2 1 2

;tan

1tan 12 2

1tan 12

t r

t r

t r

x x lx x l N N l N l N

x l l l

x l l l

ξ

1ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

= += + Λ + + +

⎛ ⎞ ⎛= + Λ + + + − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤= + Λ + + − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎞⎟

0

(17.54)

la quale, volendo, può modificarsi se si tiene conto del fatto che 2 1 1 2 1tan tanr tl l l l+ Λ = + Λ Si noti che la legge di trasformazione è nonlineare in ξ1e ξ2. Posto

( )

(0) (1) (1)1 1 1 1

(0) (1) (1)2 2 2 2 1 0 2 2

(2) (3)2 2 2 2 2

; ;1 1; tan2 2;

r t

r t

k x k l

k x l k l l l

k l k l l

= =

= + = Λ + −

= = −

;r

r

1 2

possiamo scrivere in modo simbolico

(1) (1)

1 1 1 1(0) (1) (2) (3)

2 2 2 1 2 2 2

x x kx k k k k

ξξ ξ ξ

= += + + + ξ

1

(17.55)

e, quindi,

[ ](1) (1) (3)1 1 2 2

(2) (3)2 20

k k kJ

k kξξ

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

(17.56)

In corrispondenza, si ha

[ ](2) (3) (1) (3)

1 2 2 1 1 2 2(1) (3) (3) (1)

1 2 2 1 1

10

k k k kJ

k k k k

ξ ξξ

− ⎡ ⎤⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦= ⎢ ⎥⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(17.57)

Come si vede, gli elementi di [J] e [J]-1 dipendono da ξ1 e ξ2 in modo nonlineare. Si noti che per l2

t = l2r (elemento parallelogrammico) risulta k2

(3) = 0 e gli elementi delle matrici jacobiane risultano indipendenti da ξ1 e ξ2. L'importanza di ciò sta nel fatto che per il calcolo degli integrali serve l'espressione dell'elemento di area (se trattasi di integrali di superficie) 1 2 1 2dx dx J d dξ ξ=

♠


17.8.2 Matrice [H] Applicando consecutivamente la relazione valida per le derivate prime si ottengono le espressioni delle derivate seconde fatte rispetto a x1 ed x2 in funzione delle derivate fatte rispetto a ξ1 e ξ2

122

2211

11 12 13 14 15 22

21 22 23 24 2521 22

31 32 33 34 35 22

221 2

2

xH H H H HH H H H H

xH H H H H

x x

ξ

ξ

ξ ξ

ξ

ξ

∂⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ∂∂⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂∂⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥ ∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ∂∂

⎪ ⎪ ⎪∂∂ ∂⎪ ⎪

⎪⎬⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪∂⎪ ⎪

∂⎪ ⎪⎩ ⎭

dove gli elementi della matrice [H] sono così definiti


2 22 2 2 2 2 2 2 2

11 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1

2 212 2

2 2

2 213 2

1 2

2 214 2

1 1

2 22 2 2

15 21 1 2 2

1 1

1

12

1

1

J Jx x x x x x x xHJJ

x xHJ

x xHJ

x xHJ

x x x xHJ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

⎡ ⎤⎛ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + −

⎞⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2 222 1 2 1 1 1

2 21 1 1 1 1 1 1 1

21 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1

1 122 2

2 2

1 123 2

1 2

1

1 1

1

12

J Jx x x xJ


x xHJ

x xHJ

H



ξ ξ

ξ ξ

2

⎡ ⎤⎛ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ −

⎞⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + −

⎞⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 124 2

1 1

2 21 1 1 1 1 1 1 1

25 2 21 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2

2 22 1 2 1 2 1 2 1

31 2 21 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2

1

1 1

1 1

x xJ



ξ ξ



⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + −

⎞⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎛ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + −⎢ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎝ ⎠⎣

⎞

2 132 2

2 2

2 1 2 133 2

2 1 1 2

2 134 2

1 1

2 22 1 2 1 2 1 2 1

35 2 22 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1

2

35 2

1

1

1

1 1

1

x xHJ

x x x xHJ

x xHJ


y xHqJ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ


ξ

⎤⎥⎥⎦

⎛ ⎞∂ ∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + −

⎞⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∂ ∂=

∂ ∂

2

2

1 J Jy x y x y xp p p q J p p q q p p

⎡ ⎤⎛ ∂ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


17.8.3 Matrice [JJ] Tra le derivate seconde rispetto a ξ1 e ξ2 e le derivate rispetto a x1 ed x2 sussiste la seguente relazione:

1

2

221

11 12 13 14 15 22

221 22 23 24 2511 2

31 32 33 34 35 22

21 22

2

22

x

xJJ JJ JJ JJ JJJJ JJ JJ JJ JJ xJJ JJ JJ JJ JJ

x x

x

ξ

ξ ξ

ξ

∂⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪

∂⎪ ⎪⎧ ⎫∂⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂∂⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥ ∂∂ ∂⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ∂∂

⎪ ⎪ ⎪∂ ∂∂⎪ ⎪

⎪⎬⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪∂⎪ ⎪

∂⎪ ⎪⎩ ⎭

essendo gli elementi della matrice [JJ] così definiti:

2 22 21 2 1 1 2

11 12 13 14 152 21 1 1 1 1

2 21 2 1 1 1 2 1 2 2 2

21 22 23 24 251 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

21

31 22

; ; ; 2 ;

; ; ; ;

;

x x x x xJJ JJ JJ JJ JJ 2

1

;

;

x

x x x x x x x x xJJ JJ JJ JJ JJ

xJJ JJ

ξ ξ ξ ξ ξ

x

ξ


ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂=

∂

ξ

∂∂

2 222 1 1 2

32 33 34 3522 2 2 2

; ; 2 ;x x x xJJ JJ JJξ ξ ξ ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2

xξ

∂∂

17.9 Elementi finiti mono e bidimensionali In questo capitolo formuleremo alcuni elementi finiti mono e bidimensionali membranali e piastra. In particolare, formuleremo:

• gli elementi finiti monodimensionali: o asta, ROD; o trave, BEAM;

• gli elementi finiti bidimensionali:


o triangolare a tre nodi in stato di deformazione uniforme, CST-Constant Strain Triangle;

o quadrangolare a quattro nodi in stato di tensione membranale, Q4M; o piastra rettangolare a quattro nodi, Q4.

Per la formulazione di tutti e tre gli elementi finiti bidimensionali si farà uso della teoria delle piastre di Kirchhoff applicata alle piastre composite multistrato.

17.10 Elemento finito asta, ROD Si consideri l'elemento asta rappresentato in Figura 17.11

Figura 17.11 Elemento asta sollecitato da un sistema di carichi concentrati nei nodi e distribuito lungo

l’asse

Dalle ipotesi comportamentali del modello asta, segue3

• campo di spostamenti:

1 1 2 3 1 1 2 3( , , ) ( ); 0; 0u x x x u x u u= = =

• campo di deformazioni 11 1,1 22 33 12 13 23; 0uε ε ε ε ε ε= = = = = =

• campo di tensioni (materiale isotropo, legge di Hooke) 11 11 1,1E Euσ ε= = (17.58)

3 Si noti che tutte le quantità (caratteristiche del materiale, geometria, spostamenti, deformazioni, ecc.) si riferiscono al generico elemento e; quindi, esse andrebbero contrassegnate con l'apice (e). Per non rendere troppo pesante la scrittura delle relazioni, ove non necessario tale apice verrà omesso. Ciò vale anche per gli altri elementi finiti.


In corrispondenza,

21 1

0 0

1 1 2 2 1 1 10

21 1

0

1 1 12 2 2

ˆ

L LT T

VL

ex

L

in

dV AE dx AEu dx

L FU F U p u dx

L Au dx

σ ε ε ε

ρ

Φ = = =

= + +

= −

∫ ∫ ∫

∫

∫

,1 1

(17.59)

essendo L la lunghezza, A l'area della sezione trasversale, E il modulo di elasticità longitudinale o di Young, ρ la densità del materiale dell'elemento considerato.

Poichè nell'espressione dell'energia di deformazione elastica compare solo la derivata prima, è sufficiente assicurare la continuità della funzione; quindi, come funzioni di forma posso scegliere i polinomi di primo grado di Lagrange o di Hermite. Posto4 ξ=x1/L, si ha

( )( ) ( ) ( )

1 1( ) 1e eu U U2eξ ξ ξ= − +


[ ] ( )

( ) ( ) ( )11 ( )

2

( ) 1e

ee

Uu

Uξ ξ ξ

⎧ ⎫⎡ ⎤= − =⎨ ⎬ ⎣ ⎦

⎩ ⎭e eN q (17.60)

Tenendo presente che 1

1df dfdx L dξ

= , si ottiene

( ) 1 211

e U UL

ε − +=


( ) ( ) ( )111

2

1 1e U e eB qL L U

ε⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − =⎨ ⎬ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(17.61)

Si ottiene così

4 Trattasi di una trasformazione di coordinate che rende unitaria la lunghezza del generico elemento.


( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )1 11 1 1 1

2 20

( ) ( ) ( )

1 11 1

11ˆ ˆ cos12

2 11 26

e

e

Te e e

V

LTe e

Te e e

V

EAK B E B dVL

F FF p N dx p L se p t

F F

ALM N N dV ρρ

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤= + = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

∫

∫

(17.62)

Si noti che il campo di deformazioni assunto (17.61) è costante lungo l'asse dell'asta (constant strain field ); ciò è quanto previsto dalla soluzione esatta per l'asta caricata solo nei nodi, ma non lungo l'asse della stessa. Quindi, per l'asta caricata solo ai nodi la presente trattazione rientra nella formulazione matriciale dei problemi strutturali, cioè, non si tratta di elementi finiti. In effetti, come si può facilmente concludere dalla trattazione fatta, la matrice di rigidezza è indipendente dal sistema di carichi e coincide con quella esatta nel caso dell'asta caricata solo ai nodi. Infatti, per l'asta caricata solo nei nodi ( )1 2F F F= = ,

lo sforzo normale è costante ( ) ( ) ( ) ( )

11 11 1,1e e e eN A EA EAu Fσ ε= = = =

Affinché sia 1,1 cosu = t , deve essere 1 1( )u x lineare; posto 1 1 0 1 1( )u x K K x= + ed imponendo che per x1 = 0 sia 1u U1= e che per x1 = L(e) sia 1u U2= , si ricava

2 10 1 1; U UK U K

L−

= =

e, quindi,

( )( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 2 1 1 2( ) 1 ( ) 1e e ex xu x U U o anche u U U

L Leξ ξ ξ⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Quindi assumo come soluzione approssimata per l'asta caricata anche lungo l'asse la soluzione esatta per l'asta caricata solo nei nodi.

Per quel che riguarda il vettore dei carichi esterni, evidentemente esso varia al variare del sistema di carichi applicati all'asta ed è affetto da errore in quanto nella riduzione di 1p ai nodi faccio uso di un campo di spostamento che non è quello effettivo. Analogo discorso vale anche per la matrice delle masse.

Giova osservare che nella derivazione delle caratteristiche dell'elemento asta si è fatto uso delle espressioni di Φ e Lin scritte sfruttando il modello unidimensionale dell'asta,


il quale è di per sé già un'approssimazione. Ecco allora che se anche discretizzassi il sistema con un numero molto elevato di elementi, quest'approssimazione me la porto sempre dietro. Naturalmente, se volessi una soluzione molto più accurata e svincolata dalle ipotesi tipiche del modello unidimensionale dell'asta, dovrei utilizzare elementi finiti tridimensionali, con ciò rendendo il calcolo molto più laborioso e costoso. Se utilizzo questo modello per studiare un corpo che non si comporta come un'asta ottengo evidentemente dei risultati non attendibili. Posso indagarne il comportamento col modello trave, prima di ricorrere agli elementi tridimensionali. Per quel che riguarda la matrice di rotazione, essa coincide con quella vista per le molle.

17.11 Elemento finito trave, BEAM Si consideri l'elemento trave rappresentato in Figura 17.12; sia (x1,x2,x3) un sistema di assi baricentrici, con (x1,x3) piano di inflessione e x2 asse neutro. Si suppongono verificate le ipotesi del modello trave di Eulero-Bernoulli.

x = L1 ξψ2 2,Mψ1 1,M

Figura 17.12 Elemento trave

Dalle ipotesi fatte, segue

• campo di spostamenti:

1 1 2 3 3 3,1 2 1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , ) 0; ( , , )u x x x x u u x x x u x x x u= − = =

• campo di deformazioni:


11 3 3,11 22 33 12 13 23; 0x uε ε ε ε ε ε= − = = = = =

• campo di tensioni (materiale isotropo; validità della legge di Hooke)

11 11 3 3,11E x Euσ ε= = − (17.63) In corrispondenza

21 1,1

0 0

1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 3 3 10

23 1

0

1 1 12 2 2

2 ˆ3

L LT T

VL

ex

L

in

dV EJ dx EJu dx

LL FW F W M M Fu x p u dx

L Au dx

σ ε ε ε

ψ ψ

ρ

Φ = = =

⎛ ⎞= + + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

∫ ∫ ∫

∫

∫

1

(17.64)

In aggiunta alle grandezze già introdotte per l'elemento asta, si è qui introdotto J, il momento d'inerzia della sezione trasversale della trave rispetto all'asse neutro x2. Poiché nell'espressione dell'energia di deformazione elastica compare la derivata seconda dello spostamento trasversale u3, per l'esistenza degli integrali che compaiono nell'energia di deformazione elastica, la funzione u3(x1) deve avere almeno la derivata prima continua nei nodi. Perché ciò avvenga è necessario che tra i gradi di libertà nodali figuri anche la derivata prima di u3. Utilizzando un'espressione in funzione dei parametri nodali, posto

3,1 1 1( ) ( )u x xψ= , sul piano trasformato ξ = x1/L possiamo scrivere 3 1 1 2 1 3 2 4( )u N W N N W N 2ξ ψ ψ= + + + e, in forma matriciale, ( ) ( )

3 ( ) e eu N qξ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (17.65) dove si è posto [ ] ( ) ( )

1 2 3 4 1 1 2 2;Te eN N N N N q W Wψ ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎣ ⎦

per le funzioni di forma utilizziamo i polinomi di Hermite cubici, 2m = 4 (per includere le sole derivate prime)5; si ottiene

5 Si noti che la nostra variabile nodale è ψ =u3,1, mentre nello sviluppo di u3( ξ ) in termini di polinomi di Hermite compare u3,ξ = L u3,1. Ne consegue che le funzioni di forma relative alle derivate prime si ottengono dai corrispondenti polinomi di Hermite moltiplicando questi ultimi per L.


4

11 4

2224

33

34 4

4

1 0 3 2 10 20 0 3 20 0

HNN LH L L LN HN L L

LH

ξξξ

⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

In corrispondenza

[ ]

11 3 3,11 3 3,2

( )32

( ) ( ) ( ) ( )32 ,

1

6 12 ( 4 6 ) 6 12 ( 6 ) e

e e e e

x u x uL

x L LL

x N q B qL

ξξ

ξξ

ε

ξ ξ ξ ξ

= − = −

= − − + − + − − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

q (17.66)

dove l'espressione di [B(e)] si ottiene per confronto. Si ottiene così

( )

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )3 14 , ,

0

2 21( ) ( )

3 3, ,0

2 2

1

6 3 6 33 2 32

6 3 6 33 3

e

LT Te e e e e

AV

Te e

K B E B dV Ex dA N N dxL

LL L L LEJ EJN N d

L LL LL L L L

ξξ ξξ

ξξ ξξξ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−

2

L⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

(17.67)

( )

2 2( ) ( ) ( )

2 2

156 22 54 1322 4 13 354 13 156 2242013 3 22 4

e

Te e e

V

L LL L L LALM N N dV

L LL L L L

ρρ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

∫ (17.68)

1

( ) ( ) ( )12 332 0

2

1

1 3

2

2

ˆ

7 62 ˆ20 627 124

LT Te e

FM

F N F L p NFM

FL LM p LF

FL LM

ξ

e dξ=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

∫

(17.69)

nel caso di 3p = cost.


Giova osservare che poichè il metodo degli elementi finiti trasferisce i carichi applicati ai nodi, lo sviluppo di un elemento finito con un carico concentrato lungo la linea d'asse ha solo interesse da un punto di vista didattico. Si vede infatti che il carico concentrato viene trasformato in un sistema di carichi equivalenti ai nodi (forze e momenti). Ancora, la trattazione con i polinomi di Hermite cubici coincide con la soluzione esatta della flessione di una trave caricata solo da carichi concentrati, come si vedrà in una esercitazione. Un'altra osservazione riguarda la possibilità di aumentare il grado dei polinomi costituenti le funzioni di forma. E’ evidente che tale risultato può essere ottenuto in modo diverso a seconda che si faccia uso di elementi langrangiani o hermitiani. Nell'ambito degli elementi lagrangiani per aumentare il grado del polinomio è necessario introdurre dei nodi intermedi. Per esempio, per avere un'interpolazione quadratica \è necessario far uso dell'elemento a tre nodi di Figura 17.13; infatti, per esso abbiamo

3 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3( ) ( ) ( ) ( )u x L x W L x W L x W= + + con 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1( ) 2( 0.5)( 1); ( ) 4 ( 1); ( ) 2 ( 0.5)L x x x L x x x L x x x= − − = − − = − In corrispondenza, il campo di deformazioni vale 11 3 3,11 3 1 1 1,11 1 2,11 1 2 3,11 1 3( ) ( ) ( )x u x L x W L x W L x Wε ⎡ ⎤= − = − + +⎣ ⎦ che è costante all'interno del singolo elemento essendo L1,11 = 4; L2,11 = -8; L3,11 = 4. Tenendo presente che:

• la funzione u3 è continua all'interno del singolo elemento; • le funzioni di forma godono della proprietà di valere 1 nel nodo cui si riferiscono e

valere 0 negli altri; si conclude facilmente che l'operazione di assemblaggio assicura la continuità della funzione u3 su tutto l'intervallo definito dalla lunghezza dell'intera trave. Per quel che riguarda la derivata prima, si ha 3,1 1 1,1 1 1 2,1 1 2 3,1 1 3 1 1 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) 2(2 1) 4(2 1) (4 1)u x L x W L x W L x W x W x W x W⎡ ⎤= + + = − + − − + −⎣ ⎦ da cui si evince che il valore della derivata prima in un nodo non dipende solo dal valore della funzione in quel nodo, ma anche dal valore della funzione negli altri due nodi. Per esempio, per il nodo 1 abbiamo ( )(1)

1 3,1 3,1 1 1 20 2 4u u x W W W3ψ = = = = − + − Quindi, l'assemblaggio non assicura in questo caso la continuità della derivata prima nel passaggio da un elemento a quello contiguo. Secondo quanto detto in precedenza, l'elemento hermitiano cubico è un elemento conforme o compatibile; l'elemento lagrangiano quadratico non lo è. Da quanto precede, è evidente che non sempre è facile formulare elementi conformi per cui spesso si preferiscono formulazioni non conformi che a volta da un punto di vista numerico presentano un comportamento migliore di quelli


conformi; infatti, il requisito di conformità è una condizione sufficiente, ma non necessaria per la convergenza della soluzione approssimata a quella esatta.

Figura 17.13 (a) Elemento trave lagrangiano a tre nodi. (b) Trave a sbalzo suddivisa in tre elementi a

tre nodi.

Per quel che riguarda la matrice di rotazione, essa si ottiene direttamente da quella ricavata nel paragr. 3.2.4 ricordando che nella trasformazione per rotazione gli angoli, e quindi ψ, non cambiano. Con riferimento alla Figura 17.14, si ha

1

21

11

32

42

2

0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 1

UUm lW

Um lWU

ψψ

ψψ

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

da cui segue l'espressione per la matrice di rotazione [Λ(e)]

( )

0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 1

e

m l

m l

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤Λ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Prima di chiudere con l'elemento Beam, ricordiamo che per l'elemento trave sollecitato a torsione pura6 , si può facilmente verificare (operando come fatto per l'elemento Rod e sostituendo al posto della rigidezza assiale EA la rigidezza torsionale GJt) che vale la seguente equazione di equilibrio torsionale

6 Nella letteratura, un elemento in grado di sopportare carichi assiali e momenti torcenti prende il nome di elemento BAR.


( ) ( ) ( )e eF K q⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e ove

1 1( ) ( ) ( )

2 2

1 1; ;

1 1te et

t

MGJK F qML

e θθ

− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤ = = =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

⎨ ⎬ (17.70)

x

x

x

x

U

U

U

U

Figura 17.14 Elemento trave ruotato

x

Figura 17.15 Elemento trave sollecitato da momenti torcenti di estremità

essendo G il modulo di elasticità tangenziale, Jt il modulo di rigidezza torsionale della sezione trasversale, θ1 e θ2 le rotazioni delle sezioni terminali, Mt1 ed Mt2 i momenti torcenti applicati alle sezioni teminali, come indicato in Figura 17.15.


2i

2

17.12 Elemento finito CST Si tratta di un elemento triangolare a tre nodi, che può assumere nel piano la geometria di un qualunque triangolo a lati rettilinei. Ciascun nodo è dotato di due gradi di libertà

,che sono le componenti di spostamento lungo gli assi x( ) ( )1

iu e u 1u e u 1 ed x2 del sistema struttura, rispettivamente7, Figura 17.16.

17.12.1 Piano naturale Il fatto che l'elemento CST possa assumere un numero illimitato di geometrie triangolari pone dei problemi pratici nel definire la regione di integrazione delle funzioni che compaiono nelle espressioni delle matrici ( )eK⎡ ⎤⎣ ⎦ , ( )eM⎡ ⎤⎣ ⎦ e del vettore ( )eF . Si tratterebbe infatti di valutare gli integrali relativi a ciascun elemento della mesh sulla regione effettivamente occupata dall'elemento, e quindi diversa l'una dall'altra. Come già detto, per uniformare le procedure di calcolo si opera una trasformazione della geometria del generico elemento dal piano fisico ( x1, x2 ) al piano naturale attraverso una opportuna scelta del sistema di riferimento locale ( ξ1 , ξ2 ). Prima di procedere oltre, introduciamo il concetto di coordinate di area.

x

x

7 Esso può essere impiegato per simulare il comportamento membranale di piastre composite simmetricamente laminate [B]=[0].


Figura 17.16 Elemento finito CST. Gradi di libertà nodali.

Coordinate di area

Come ben noto, un sistema di coordinate nel piano è un sistema di due parametri indipendenti atti ad individuare univocamente la posizione dei punti nel piano. Le coordinate di area rappresentano un particolare sistema di coordinate che si presta molto bene alla formulazione degli elementi finiti triangolari.

Si consideri il triangolo rappresentato in figura 4.7

H

x

x

H

H

Figura 17.17 Definizione delle coordinate di area.

Sia P( x1, x2 ) un generico punto appartenente a tale triangolo. E’ evidente che la posizione di tale punto può essere individuata dando le coordinate ( x1, x2 ) rispetto all'origine O, oppure dando le coordinate dei vertici 1, 2 e 3 rispetto all'origine O e la posizione di P rispetto ai vertici del triangolo stesso. Per individuare la posizione di P rispetto ai vertici posso pensare di dare le distanze h1 ed h2 delle due rette passanti per P e parallele ai lati 23


e 13 del triangolo8. Evidentemente, essendo tre i lati del triangolo, tre sono anche le rette che posso tracciare per P: segue che le tre quantità h1, h2 e h3 non sono indipendenti fra di loro, come si vedrà tra breve. Possiamo ora anche pensare di adimensionalizzare queste quantità in modo che esse varino tra 0 e 1. Per fare ciò, basta dividere hi per Hi. Poniamo allora

; 0 1; 1,2,3ii i

i

h iH

ξ ξ= ≤ ≤ =

Notiamo ora che, detta Ai( i=1,2,3 ) l'area del triangolino che ha come base il lato del triangolo opposto al vertice i e come vertice il punto P (Figura 17.18 a), si ha

31 21 2 3

22 2; ;23 13 12

AA Ah h h= = =

Ora è anche

1 2 32 2; ;23 13 12

2A A AH H H= = =

Sostituendo queste espressioni nell'espressione di ξ1, si ha

; 0 1; 1, 2,3ii i

A iA

ξ ξ= ≤ ≤ =

Queste coordinate prendono il nome di coordinate di area. E’ ora anche evidente che i tre parametri non sono indipendenti sussistendo la relazione 1 2 3 1ξ ξ ξ+ + = (17.71) In Figura 17.18 b è rappresentato l'andamento di una delle tre coordinate di area. Si noti che esse valgono 1 nel nodo cui si riferiscono e 0 negli altri due. Quindi possono essere utilizzate come funzioni di forma, come si farà tra breve.

8 Dare, per esempio, solo h1 significa evidentemente non distinguere più il punto P da tutti gli altri punti che giacciono sulla stessa retta ed appartengono al triangolo; è come se io sostituissi al triangolo un segmento di lunghezza pari all'altezza H1 del triangolo rispetto alla base 23. Lo stesso dicasi per le altre due direzioni perpendicolari ai lati 12 e 13.


Figura 17.18 (a) Definizione delle aree Ai. (b) Diagramma delle coordinate di area.

Le coordinate di area godono della importante proprietà di trasformare un qualsiasi triangolo del piano (x1, x2) in un triangolo rettangolo nel piano naturale (ξ1 , ξ2), v. figura 4.9.

Figura 17.19 Mapping di un generico triangolo in un triangolo rettangolo.

La corrispondenza biunivoca tra i due sistemi di coordinate (legge di trasformazione) è data dalle relazioni:


ii

3 3( ) ( )

1 1 2 21 1

;ii

i ix x x xξ ξ

= =

= =∑ ∑ (17.72)

dove ( ) ( )

1i

2ix e x sono le coordinate dei vertici del triangolo considerato nel piano fisico,

Figura 17.19. In tal modo gli integrali delle funzioni di 1 2x e x estesi alla regione ricoperta dall'elemento possono essere trasformati in integrali di funzioni in ξ1 e ξ2 estesi all'area triangolare definita da 1 20 1 0 1e 1ξ ξ≤ ≤ ≤ ≤ −ξ

2

3

identica per ciascun elemento. La legge di trasformazione (17.72) insieme con la condizione (17.71) può essere posta nella seguente forma matriciale

1

(1) (2) (3)1 1 1 1

(1) (2) (3)2 2 2 2

1 1 1 1x x x xx x x x

ξξξ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Per la legge di trasformazione inversa (che è quella di nostro interesse), detta Aij l'area spazzata dal raggio vettore che ha origine in O e la cui estremità descrive il lato individuato dai vertici i e j, si ha

1 23 1 1

2 31 2 2

3 12 3 3

2 11 2

22

A b aA b a x

AA b a x

ξξξ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

1

2

dove le quantità ai e bi sono definite in Figura 17.20. Esse, e quindi la matrice di trasformazione, sono note se sono note le coordinate dei vertici del triangolo nel sistema di coordinate (x1, x2). ♠


Figura 17.20 Definizione delle quantità Aij, ai, bi.

A titolo di esempio, si voglia calcolare Aij. Con riferimento allo schema di Figura 17.21 a, si ha 1 2ij T t t rA A A A A= − − − dove

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ( ) ( ) ( )

2 1

; ;2 2

;2

j j i i

T t

j i j ij i

t T

x x x xA A

x x x xA A

= =

− −= = 1 2

ix x x−

Sostituendo queste espressioni nella relazione che ci dà Aij e svolgendo i calcoli, otteniamo

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

12

i j j iijA x x x x= −

Per il calcolo delle aree Ai possiamo utilizzare la stessa formula generalizzandola al caso in cui il punto O sia un generico punto P di coordinate (x1, x2). Si ha (vedi Figura 17.21 b )


( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 22 i j j i

ijA x x x x x x x x= − − − − − Risulta così,

( )( ) ( )( )( ) ( ) (

( )( ) ( )( )( ) ( )

(2) (3) (3) (2)1 1 1 2 2 1 1 2 2

(2) (3) (3) (2) (2) (3) (3) (2)1 2 1 2 1 2 2 2 1 1

23 1 1 1 2

(1) (3) (3) (1)2 1 1 2 2 1 1 2 2

(1) (3) (3) (1) (1) (3) (3)1 2 1 2 1 2 2 2 1

2; 3) 2

2

1; 3) 2

i j A x x x x x x x x

)x x x x x x x x x x

A b x a x


x x x x x x x x x

= = = − − − − −

= − + − + −

= + +

= = = − − − − −

= − + − + −( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) (

( )( ) ( )(

(1)1

13 2 1 2 2

(1) (2) (2) (1)3 1 1 2 2 1 1 2 2

(1) (2) (2) (2) (1) (2) (2) (1)1 2 1 1 1 2 2 2 1 1

12 3 1 3 2

(2) (1) (3) (1) (3) (1) (2) (1)1 1 2 2 1 1 2 2

3 2 2 3

2

1; 2) 2

2

2; 3; 1) 2

x

A b x a x


)

)

x x x x x x x x x x

A b x a x

i j P A x x x x x x x x

a b a b

= + +

= = = − − − − −

= − + − + −

= + +

= = = = − − − − −

= −

Figura 17.21 Calcolo delle quantità Aij

♠

Per le derivate prime abbiamo, come si può facilmente verificare operando sulla (17.37),


1 2

;2 2

i i ib ai

x A x Aξ ξ∂ ∂

= =∂ ∂

Quindi, per una generica funzione f(ξ1 , ξ2),

3 331 2

1 11 1 1 2 1 3 1 1

3 331 2

1 12 1 2 2 2 3 2 2

2

2

i i

i ii

i i

i ii i

bf f f f f f

ix x x x xaf f f f f fA

x x x x x

ξ ξξ ξξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξξ ξξ ξ ξ ξ ξ

= =

= =

∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∑ ∑

∑ ∑ A

⎤⎦

(17.73)

Il risultato espresso dalla (17.73) è di notevole importanza in quanto esso consente di esprimere in modo esplicito le derivate fatte rispetto alle coordinate (x1, x2) in funzione delle derivate fatte rispetto alle coordinate (ξ1 , ξ2). Ciò vuol dire che se noi attribuiamo alle coordinate (x1, x2) il significato di coordinate globali (sistema struttura) ed alle coordinate (ξ1 , ξ2) quello di coordinate locali (sistema locale), allora le deformazioni possono essere calcolate direttamente nel sistema struttura (pur essendo le funzioni di forma espresse nel sistema locale), evitando così il calcolo della matrice di rotazione , come si vedrà tra breve. ( )e⎡Λ⎣

Prima di chiudere questo paragrafo, ricordiamo che un ulteriore interesse per le coordinate di area sta nel fatto che esse consentono un calcolo immediato degli integrali. Risulta infatti

1 2 3! ! ! 2

( 2)p q r

A

p q rdA Ap q r

ξ ξ ξ =+ + +∫ !

(17.74)

17.12.2 Scelta delle funzioni di forma Per la scelta delle funzioni di forma scriviamo l'energia di deformazione elastica di una piastra di Kirchhoff simmetricamente laminata [B]=[0] e in stato di tensione membranale (assenza di curvature della superficie media, κp=0 )

[ ] 12

T

p pA

A dε εΦ = ∫ A

essendo [A] la matrice delle rigidezze membranali e

11 1,1

22 2,2

12 1,2 2,1

p

uu

u u

εε ε

ε

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎩ ⎭ ⎩ ⎭


il vettore delle componenti di deformazione9. Poiché nell'integrale dell'energia di deformazione elastica compaiono solo le derivate prime delle componenti di spostamento membranale u1 e u2 ne consegue che per approssimare queste componenti di spostamento sono sufficienti delle funzioni continue. Alla luce di quanto detto in precedenza, sono sufficienti funzioni di interpolazione lineari. Dianzi si è fatto vedere come le coordinate di area godano della proprietà delle funzioni di forma di valere 1 nel nodo cui si riferiscono e 0 negli altri. Quindi esse possono essere direttamente utilizzate come funzioni di interpolazione lineari. Per il caso trattato possiamo dunque porre10

; 1,i iN iξ= = 3 In corrispondenza, si ha

3(1) (2) (3) ( )

1 1 2 1 1 1 2 1 3 11

3(1) (2) (3) ( )

2 1 2 2 1 2 2 2 3 21

( , )

( , )

ii

i

ii

i

u x x u u u u

u x x u u u u

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

=

=

= + + =

= + + =

∑

∑ ξ


(1)1(2)1(3)

1 2 31 1(1)

1 2 32 2(2)2(3)2

( )1

( ) 2

0 0 00 0 0

0

0

T Te

TT e

uu

u uu u

uu

N UUN

ξ ξ ξξ ξ ξ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

e in forma matriciale compatta ( ) ( ) ( )e eu N q⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e

(17.75) con ovvia definizione delle varie matrici introdotte. Si noti che:

9 Per semplicità di scrittura nelle precedenti relazioni, così come in quelle che seguiranno, si è tralasciato l'apice (o) nelle componenti di spostamento e di deformazione. 10 Si noti che la legge di interpolazione per gli spostamenti del generico punto appartenente all'elemento è la stessa di quella di interpolazione delle coordinate dello stesso punto; in tal caso si parla di elemento isoparametrico.


• le funzioni di forma soddisfano al cosiddetto requisito di isotropia, cioè, esse garantiscono uno stesso comportamento dell'elemento rispetto ai tre nodi del dominio triangolare o, in altri termini, l'elemento fornisce gli stessi risultati comunque sia orientato all'interno della struttura schematizzata;

• l'elemento così formulato è in grado di rappresentare uno stato a deformazione costante ed uno spostamento membranale di corpo rigido;

• gli spostamenti dei punti appartenenti ad un lato del triangolo dipendono solo dagli spostamenti dei nodi appartenenti a quel lato; infatti:

o lato 1-2: ξ3=0. Dalla (17.75) si ricava (1) (2)

1 1 1 1 2(1) (2)

2 2 1 2

;u u u

u u u 2

ξ ξ

ξ ξ

= +

= +

o lato 2-3: ξ1=0.

(1) (2)1 1 2 1 3

(1) (2)2 2 2 2

;u u u

u u u 3

ξ ξ

ξ ξ

= +

= +

o lato 1-3: ξ2=0.

(1) (2)1 1 1 1 3

(1) (2)2 2 1 2 3

;u u u

u u u

ξ ξ

ξ ξ

= +

= +

Quindi con l'assemblaggio viene assicurata la continuità di u1 e u2 su tutto il dominio di definizione del problema.

17.12.3 La matrice di rigidezza La matrice di rigidezza del singolo elemento si ottiene dall'espressione dell'energia di deformazione elastica dello stesso. Cominciamo allora col calcolare l'espressione del vettore delle componenti di deformazione εp. Ricordando che

3 3

1 11 13 3

1 12 2

2

2

i i

i ii i

i i

i ii i

bf f fx x A

af f fx x A

ξξ ξ

ξξ ξ

= =

= =

∂∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

∑ ∑

∑ ∑

si ha


( )

( )

( ) ( )

( )3 1

( )1

( )1,1 3 2

2,2 ( )1

1,2 2,1( ) ( )

3 31 2

( ) ( )1 1

( )3

( )1

( )3

( )1

(

2

2

2 2

02

02

Te

ie

i i

Te

ip e

i i

T Te e

i ie e

i ii i

TeTi

ei i

TeT i

ei i

N U bA

u N U auA

u uN U N Ua b

A A

N bA

N aA

N

ξ

εξ

ξ ξ

ξ

ξ

=

=

= =

=

=

⎧ ⎫∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ∂⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ∂⎪ ⎪ ⎪+⎩ ⎭ ⎪ ⎪

∂ ∂⎪ ⎪+⎪ ⎪

∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

∂

∂

∂=

∂

∂

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

⎬⎪

1

2

) ( )3 3

( ) ( )1 1

( ) ( )

2 2

T Te ei i

e ei ii i

e e

UU

Na bA A

B q

ξ ξ= =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

∑ ∑

(17.76) Quindi,

( )3

( )1

( )3( )

( ) ( )1

( ) ( )3 3

( ) ( )1 1

02

010 0

2 2

2 2

TeTi

ei i T T

TeT Te i

e ei i T T

T Te ei i

e ei ii i

N bA

bN aB a

A Aa b

N Na bA A

ξ

ξ

ξ ξ

=

=

= =

⎡ ⎤∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂

T

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

∑ ∑

(17.77)

essendo [ ] [ ]1 2 3 1 2 3;T Ta a a a b b b b= = Si ottiene così (17.78) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T Te e e e e e e e

A

K B A B dA A B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣∫ ⎤⎦


essendo la funzione integranda costante rispetto alle variabili di integrazione. Si noti che la matrice di rigidezza è ottenuta direttamente nel sistema struttura in quanto le derivate sono calcolate rispetto a x1 e x2.

Ancora, il campo di deformazioni risulta costante all'interno del singolo elemento. Di qui il nome di constant strain triangle (CST) dato a questo elemento. Sostituendo la (17.77) nella (17.76), si ottiene

( ) (1) (2) (3)11 1 1 2 1 3 1

( ) (1) (2) (3)22 1 2 2 2 3 2

( ) (1) (2) (3) (1) (2) (3)12 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 3 2

2

2

2

e

e

e

A b u b u b u

A a u a u a u

A a u a u a u b u b u b u

ε

ε

ε

= + +

= + +

= + + + + +

le quali mostrano che nel caso più generale le componenti della deformazione dipendono dagli spostamenti di tutti e tre i nodi dell'elemento. Ciò comporta una discontinuità nelle deformazioni all'interfaccia tra i vari elementi.

17.12.4 La matrice delle masse La matrice delle masse del singolo elemento si ottiene dall'espressione dell’energia cinetica dello stesso

( ) ( )

[ ]

2 2 2 21 2 1 2

1 12 2

12

cV A

T

A

E u u dV mu mu

u m u dA

ρ= + = +

=

∫ ∫

∫

dA (17.79)

avendo posto

[ ] 00m

m e mm

ρ⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(17.80)

Sostituendo nella (17.79) la (17.75), si ottiene per l'elemento finito

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12

12

e

Te e ec

A

Te e e

E u m u

q M q

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

∫ dA (17.81)

Si ottiene così per la matrice delle masse l'espressione


[ ] [ ]

[ ] [ ]( )

11( ) ( ) ( ) ( )

22

00e

Te e e e

A

MM N m N dA

M⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ (17.82)

dove, tenuto conto della (17.74),

[ ] [ ]( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

11 22

2 1 11 2 1

121 1 2e

e eTe e e

A

m AM M m N N dA⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Nella letteratura, la matrice delle masse data dalla (17.82) è nota come consistent mass matrix in quanto essa è coerente col campo di spostamento (17.75) assunto all'interno dell'elemento. Molto spesso si fa uso della cosiddetta lumped mass matrix

[ ] [ ]( ) ( )

11 22

1 0 00 1 0

30 0 1

e em AM M⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ottenuta semplicemente assegnando a ciascun nodo la massa totale dell'elemento divisa per il numero di nodi dell'elemento, ovvero, assegnando all'elemento posto sulla diagonale principale il valore dato dalla somma di tutti gli elementi appartenenti alla sua stessa riga.

17.12.5 Il vettore dei carichi nodali Il vettore dei carichi nodali equivalenti del singolo elemento si ottiene dall'espressione del lavoro virtuale delle forze applicate all'elemento. Nell'ipotesi che sui lati del triangolo agiscano ( ) ( )

1ˆi

2ˆ ip e p , costanti su ogni lato (vedasi Figura 17.22) e che le facce siano scariche, detto Γ il perimetro del triangolo, si ha


Figura 17.22 Calcolo del vettore dei carichi nodali equivalenti.

[ ]1 1 2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) T

exL h p u p u d con p p pΓ

= + Γ =∫ 2 (17.83)

Sostituendo nella (17.83) la (17.75) si ottiene per l’elemento finito

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆe

T Te e e eexL h q N p d q F

Γ

⎡ ⎤= Γ =⎣ ⎦∫T e (17.84)

ove

( )

( ) ( ) ( )ˆe

Te e eF h N p dΓ

⎡ ⎤= Γ⎣ ⎦∫

Per esplicitare ulteriormente l'espressione di F(e) scindiamo l'integrale esteso a Γ(e) nei tre contributi valutati sui tre lati del triangolo di lunghezze C1, C2 e C3, rispettivamente,

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3ˆ ˆ

T T Te e e e e e e

C C C

F h N p dC h N p dC h N p dC⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ˆ

avendo indicato con ( )ˆ e

ip il vettore ( )ˆ ep relativo al lato i:

( ) ( ) ( )1 2ˆ ˆ ˆ

Te eip p p e⎡ ⎤= ⎣ ⎦


Si consideri ora il contributo relativo al lato C1. Ricordando che su questo lato ξ1 = 0, dalla condizione 1 2 3 1ξ ξ ξ+ + = segue che sul lato C1 è 3 1 2ξ ξ= − . Dunque, si ha

1 1

(1)2 2( ) ( ) 1

1 (1)2 2 2

0 1 0 0 0 ˆˆ

0 0 0 0 1 ˆ

TTe e

C C

ph N p dC h dC

pξ ξ

ξ ξ− ⎧ ⎫⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎩ ⎭∫ ∫ (17.85)

dalla trattazione svolta nel paragrafo 17.12.1 sappiamo che

22

2

hH

ξ = da cui segue che 22

2

dhdH

ξ =

Ma è anche (vedi Figura 17.23)

H

Figura 17.23 Relazione tra dC e dξ

2

1 1

cos H dhC dC

α = = 2 da cui segue che 2 1

2 1

dh dCH C

=

Si ottiene così 1 2C d dC1ξ = (17.86) Al risultato espresso dalla (17.86) si può pervenire in modo più formale e generale come segue. Il generico segmento di lunghezza ds appartenente all'elemento finito vale 2

1( ) ( )ds dx dx= + 22 (17.87)

Ricordando che


3

1

ii j

j j

xdx d J dji jξ ξξ=

∂= =

∂∑

essendo dx

Jd

βαβ

αξ= il generico elemento della matrice jacobiana della trasformazione xi =

xi(ξj), e tenendo presente la(17.72), si ottiene

( )jiij i

j

xJ xξ

∂= =

∂

e, quindi,

3

( )

1

ji i

jdx x d jξ

=

= ∑ (17.88)

Supponiamo ora che il segmento giaccia sul lato 23; in tal caso 1 1 3; 0;ds dC dxi d 2ξ ξ= = = − Dalla (17.88) si ricava ( )(2) (3)

2i i idx x x dξ= − che sostituito nella (??) fornisce

( ) ( )2 2(2) (3) (2) (3) 2 21 2 1 1 2 2 2 1 1 1dC d x x x x d a b C d 2ξ ξ ξ= − + − = + =

cioè, la (17.86) . Sostituendo la (17.86) nella (17.85), si ottiene

1

1 (1)2 2( ) ( ) 1

1 1 (1)2 2 20

(1)11

(1)2

0 1 0 0 0 ˆˆ

0 0 0 0 1 ˆ

0 1 1 0 0 0 ˆ0 0 0 0 1 1 ˆ2

TTe e

C

T

ph N p dC hC d

p

phCp

ξ ξ2ξ

ξ ξ− ⎧ ⎫⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

∫ ∫ (17.89)

Operando in modo analogo sugli altri due lati, si ottiene

2

1 (2)2 1( ) ( ) 1

2 2 (2)2 1 20

(2)12

(2)2

0 1 0 0 0 ˆˆ

0 0 0 0 1 ˆ

1 0 1 0 0 0 ˆ0 0 0 1 0 1 ˆ2

TTe e

C

T

ph N p dC hC d

p

phCp

ξ ξ3ξ

ξ ξ− ⎧ ⎫⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

∫ ∫

(17.90)


3

1 (2)1 2( ) ( ) 1

3 3 (2)1 2 20

(2)13

(2)2

1 0 0 0 0 ˆˆ

0 0 0 1 0 ˆ

1 1 0 0 0 0 ˆ0 0 0 1 1 0 ˆ2

TTe e

C

T

ph N p dC hC d

p

phCp

ξ ξ2ξ

ξ ξ− ⎧ ⎫⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

∫ ∫ (17.91)

Sommando opportunamente i contributi dalle (17.89), (17.90) e (17.91), si ottiene

(2) (3)1 2 1 3(1) (3)1 1 1 3(1) (2)

( ) 1 1 1 2(2) (3)2 2 2 3(1) (3)2 2 2 3(1) (2)2 2 2 3

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ2ˆ ˆˆ ˆ

e

p C p Cp C p Cp C p ChFp C p Cp C p Cp C p C

⎧ ⎫+⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪= ⎨ ⎬

+⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪

+⎪ ⎪⎩ ⎭

(17.92)

la quale ci dice che i carichi distribuiti sui lati del triangolo si traducono in carichi concentrati nei nodi di intensità pari a metà della risultante del carico distribuito sui lati che convergono in quel nodo. ♠ A titolo di esempio, si supponga di voler calcolare il vettore dei carichi nodali equivalenti al sistema di carichi rappresentato in Figura 17.24. Applicando il risultato espresso dalla (17.92), otteniamo

(1)1 1(1)1 1( )

0ˆˆ

0200

e

p Cp ChF

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(17.93)

cioè, metà del carico complessivo viene applicato ai nodi 2 e 3.


Figura 17.24 Calcolo dei carichi nodali equivalenti.

♠

17.13 Elemento quadrangolare a quattro nodi, Q4M

Si tratta di un elemento che può assumere nel piano la geometria di un qualunque parallelogramma. Per ipotesi esso è in uno stato di deformazione piano di tipo membranale (cioè, costante lungo lo spessore); dunque, anche per questo elemento ciascun nodo è dotato di due gradi di libertà , che sono le componenti di spostamento

lungo gli assi

( ) ( )1

iu e u2i

2 21u e u 1x e x del sistema struttura, rispettivamente11,

11 Come l'elemento triangolare precedente, esso può essere impiegato per simulare il comportamento membranale di piastre composite simmetricamente laminate [B]=[0].


x

x

Figura 17.25 Elemento finito Q4M. Gradi di libertà nodali.

17.13.1 Piano naturale Come già detto a proposito dell'elemento triangolare, per uniformare le procedure di calcolo si opera una trasformazione della geometria del generico elemento dal piano fisico x1, x2 al piano naturale attraverso una opportuna scelta del sistema di riferimento locale ξ1 , ξ2. Per il parallelogramma si è detto che esistono diverse leggi di trasformazione (vedi paragr. 17.3). Per la trasformazione rappresentata in Figura 17.26


Figura 17.26 Mapping di un parallelogramma in un quadrato.

la corrispondenza biunivoca tra i due sistemi di coordinate (legge di trasformazione) è data dalle relazioni:

( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2

1 1( , ); ( , )

NE NEj jj

j jx x N x x N jξ ξ

= == =∑ ∑ ξ ξ (17.94)

con

( )(( ) ( )1 1 2 2

1 1 14

jjN )jξ ξ ξ ξ= − − (17.95)

( ) ( )1 2,i ix x sono le coordinate dei vertici del parallelogramma considerato nel piano fisico e ( ) ( )

1 2,i iξ ξ quelle degli stessi vertici nel piano naturale, Figura 17.26. In tal modo gli integrali delle funzioni di 1 2,x x estesi alla regione ricoperta dall'elemento vengono trasformati in integrali di funzioni in 1 2,ξ ξ estesi all'area del quadrato definita da 1 21 , 1ξ ξ− ≤ ≤ identica per ciascun elemento. Alla (17.94) può essere data la seguente forma matriciale

( )11

( )2 2

0

0

T Te

TT e

N xxx xN

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢⎩ ⎭⎥⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

(17.96)

dove (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2T Tx x x x x e x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ sono i vettori

contenenti, rispettivamente, le ascisse e le ordinate dei nodi dell'elemento. Come già detto, nel caso più generale non è possibile determinare la legge di trasformazione inversa (che è


quella di nostro interesse), cioè, non è possibile invertire la (17.96), ovvero esprimere 1 2,ξ ξ in funzione di 1 2,x x .

17.13.2 Scelta delle funzioni di forma Per la scelta delle funzioni di forma valgono le stesse considerazioni fatte a proposito dell'elemento triangolare. La conclusione è anche qui che per approssimare le componenti di spostamento membranale u1 e u2 sono sufficienti delle funzioni continue. Alla luce di quanto detto in precedenza, sono sufficienti funzioni di interpolazione lineari.

Cominciamo col costruire la funzione di forma relativa al nodo 1, 1 1 2( , )N ξ ξ , ricordando che essa deve godere della proprietà di valere 1 nel nodo 1 e 0 negli altri tre. Adottando la tecnica della separazione delle variabili, poniamo

1 1 2 1 1 1 2( , ) ( ) ( )N f gξ ξ ξ ξ= Se immaginiamo di far variare 1 1( )f ξ mantenendo fissa 1 2( )g ξ , allora ci stiamo muovendo lungo la direzione 12. Poichè 1 1( )f ξ deve essere lineare e valere 1 nel nodo 1 e 0 nel nodo 2, essa non è altro che il polinomio di Lagrange lineare 1 1( )L ξ riferito al nodo 1, cioè,

( )1 1 1 1 11( ) ( ) 12

f Lξ ξ ξ= = −

Se invece usciamo dal nodo 1 spostandoci sul lato 14, allora 1 1( )f ξ resta fissata, mentre

1 2( )g ξ varia linearmente dal valore 1 nel nodo 1 al valore 0 nel nodo 4; essa non è altro che il polinomio di Lagrange lineare 1 2( )L ξ riferito al nodo 1, cioè,

( )1 2 1 2 21( ) ( ) 12

g Lξ ξ ξ= = −

Risulta così

( )(1 1 2 1 1 1 2 1 21( , ) ( ) ( ) 1 14

N L L )ξ ξ ξ ξ ξ= = − ξ−

Per la funzione di forma relativa la nodo 2, poniamo

2 1 2 2 1 2 2( , ) ( ) ( )N f gξ ξ ξ ξ=


Se mi sposto dal nodo 2 al nodo 1, 2 2( )g ξ resta fissa, mentre 2 1( )f ξ deve variare linearmente dal valore 1 nel nodo 2 e al valore 0 nel nodo 1; essa non è altro che il polinomio di Lagrange lineare 2 1( )L ξ riferito al nodo 2, cioè,

( )2 1 2 1 11( ) ( ) 12

f Lξ ξ ξ= = +

Se invece esco dal nodo 2 spostandomi sul lato 23, allora 2 1( )f ξ resta fissata, mentre

2 2( )g ξ deve variare linearmente dal valore 1 nel nodo 2 al valore 0 nel nodo 3; essa non è altro che il polinomio di Lagrange lineare 1 2( )L ξ riferito al nodo 2, cioè,

( )2 2 1 2 21( ) ( ) 12

g Lξ ξ ξ= = −

Risulta così

( )(2 1 2 2 1 1 2 1 21( , ) ( ) ( ) 1 14

N L L )ξ ξ ξ ξ ξ= = + ξ−

Operando in modo analogo, si ottiene

( )( )

( )(

3 1 2 2 1 2 2 1 2

4 1 2 1 1 2 2 1 2

1( , ) ( ) ( ) 1 141( , ) ( ) ( ) 1 14

N L L

N L L )

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

= = +

= = − ξ

+

+

In forma compatta

( )(( ) ( )1 1 2 2

1 1 14

i iiN )ξ ξ ξ ξ= + + (17.97)

che coincide esattamente con la (17.95). Quindi anche questo elemento è un elemento isoparametrico. In Figura 17.27 è rappresentato l'andamento di 1 1 2( , )N ξ ξ . Possiamo dunque scrivere la legge di interpolazione delle componenti di spostamento,


Figura 17.27 Diagramma della funzione N1.

4(1) (2) (3) (4) ( )

1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 11

4(1) (2) (3) (4) ( )

2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 21

( , )

( , )

ii

i

ii

i

u x x u N u N u N u N u N


=

=

= + + + =

= + + + =

∑

∑ e, in forma matriciale espansa,

(1)1(2)1(3)1(4)

1 1 2 3 4 1(1)

1 2 3 42 2(2)2(3)2(4)2

( )1

( )2

0 0 0 00 0 0 0

0

0

T Te

TT e

uuu

u N N N N uN N N Nu u

uuu

N U

UN

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

e, in forma matriciale compatta, ( ) ( ) ( )e eu N q⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e (17.98) con ovvia definizione delle varie matrici introdotte. Si noti che:


• le funzioni di forma soddisfano al cosiddetto requisito di isotropia, cioè, esse garantiscono uno stesso comportamento dell'elemento qualunque sia la sua orientazione all'interno della struttura schematizzata;

• l'elemento così formulato è in grado di rappresentare uno stato a deformazione costante ed uno spostamento membranale di corpo rigido.

Prima di chiudere il paragrafo osserviamo che le funzioni di forma lagrangiane possono essere ottenute dai corrispondenti polinomi di Lagrange unidimensionali effettuando il prodotto tensore delle funzioni di interpolazione unidimensionali in direzione ξ1 con le altre in direzione ξ2. Si ha

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

11 2

2 23 4

1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 12 1 11 2 212

1 11 1 1 14 41 11 1 1 14 4

N NN N

ξξ ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤= −⎨ ⎬⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎪ ⎪+⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤− − − +⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥+ − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(17.99)

17.13.3 La matrice di rigidezza La matrice di rigidezza del singolo elemento si ottiene dall'espressione dell'energia di deformazione elastica membranale, che per una piastra di Kirchhoff simmetricamente laminata, [B]=[0], vale

[ ] 12

T

p pA

A dε εΦ = ∫ A

essendo [A] la matrice delle rigidezze membranali e

11 1,1

22 2,2

12 1,2 2,1

p

uu

u u

εε ε

ε

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎩ ⎭ ⎩ ⎭

il vettore delle componenti di deformazione.

Cominciamo allora col calcolare l'espressione del vettore delle componenti di deformazione εp. Ricordiamo innanzitutto che (vedi paragr. 17.8 )


[ ] 11 1

2 2

xJ

x

ξ

ξ

−

∂ ∂⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎪⎭

essendo [J] la matrice jacobiana della trasformazione (17.96) i cui elementi valgono

( )

,

TexJ N

α

β xαβ βξαξ

∂= =

∂

Quindi,

[ ]

( )

,1 2

( )

,

Te

Te

NJ x

N

α

α

ξ

ξ

⎡ ⎤⎢ ⎥= x⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

In corrispondenza abbiamo

1 2

1 2

1 2 1

(0) (0)22 1, 12 1,1,1(0) (0)

2,2 21 2, 11 2,

(0) (0) (0) (0)1,2 2,1 22 2, 12 2, 21 1, 11 1,

(0) (0)22 12

(0) (0)21 11

(0) (0) (0) (0)21 22 11 12

0 00 0

p

J u J uuu J u J u

u u J u J u J u J u

J JJ J

J J J J

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ

ε

2ξ

⎧ ⎫−⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= = − +⎨ ⎬ ⎨

⎪ ⎪ ⎪+ − − +⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢⎢− −⎣ ⎦

1

1

2

2

1

2

1,

2,

1,

2,

1(0) (0)22 12

2 ,(0) (0)21 11

(0) (0) (0) (0) 121 22 11 12

2 ,

(0) (0)22 12

(0) (0)21 11

(0) (0) (0) (0)21 22 11 12

0 00 0

0 00 0

u

u

u

u

uJ J u

J JuJ J J Ju

J JJ J

J J J J

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎧ ⎫⎨ ⎬⎪ ⎪⎡ ⎤−⎩ ⎭⎪ ⎪⎢ ⎥= − ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

−= −

− −

1

2

( )

,

( )

,

e

e

u

uξ

ξ

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪

⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦

⎬⎪

avendo posto (0) /J Jαβ αβ= J . Ricordando la (17.98), si ha ( ) ( ) ( )

,,

e eu N qαα ξξ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦e


e, quindi,

(17.100)

1

2

(0) (0) ( )22 12,(0) (0) ( )

21 11 ( )(0) (0) (0) (0)

,21 22 11 12

( ) ( )

0 00 0

e

ep e

e e

J J NJ J

NJ J J J

B q

ξ

ξ

ε⎡ ⎤− ⎧ ⎫⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎣ ⎦− − ⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

q

J

dove, per confronto, è

(0) (0)22 12

( ) (0) (0)21 11

(0) (0) (0) (0)21 22 11 12

0 00 0e

J JB J

J J J J

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(17.101)

Restano da valutare le derivate rispetto a αξ di ( )eN , le quali entrano anche nelle

espressioni di (0)Jαβ ; si ha

( )

( )1

2

( ), 2

( ), 1

1 141 14

jj

jj

N

N

ξ

ξ

2

1

ξ ξ

ξ ξ

= −

= −

Si noti che l'elemento QM4 è caratterizzato da un campo di deformazioni (e, di conseguenza, di tensioni) variabili da punto a punto in modo complicato, pur essendo

,jNαξ funzioni lineari di αξ ; ciò è dovuto ai termini (0)Jαβ .

Sostituendo la (17.100) nell'espressione dell'energia di deformazione elastica, si ha

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) 12 e

TTe e e e e

A

q B A B q d⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ A

e ricordando che ( ) eq non dipende da αξ ,

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12

12

e

T Te e e e

A

Te e e

q B A B dA q

q K q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

∫ e

Si ottiene così la seguente espressione per la matrice di rigidezza

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 21 1e

T Te e e e e e e

A

K B A B dA B A B J d dξ ξ+ +

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (17.102)


formalmente identica a quella dell’elemento triangolare CST. La differenza notevole è che in questo caso le funzioni integrande degli integrali che compaiono nelle espressioni di

sono in generale funzioni complesse delle variabili ξ( )eijK 1, ξ2. Per il loro calcolo si può far

ricorso alle formule di integrazione numerica viste in precedenza oppure a programmi di calcolo simbolico, quali Macsyma, Maple V, Matematica Derive ed altri. ♠ Si consideri il caso particolare dell'elemento finito rettangolare mostrato in Figura 17.28. Per esso valgono le seguenti relazioni ( ) ; 1Ox x con a aα α α α α αζ ζ= + − ≤ ≤ = , 2α avendo indicato con 2aα le lunghezze dei lati del rettangolo e con O l'origine del sistema di riferimento locale αζ (parallelo al sistema di riferimento struttura xα ) coincidente col baricentro del rettangolo.

Figura 17.28 Elemento finito rettangolare e sua trasformazione nel piano naturale.

Per ricondurci al concetto di coordinate naturali, poniamo

1 1αα α

α

ζξ ξα

= − ≤ ≤

ottenendo così la legge di trasformazione ( ) 1, 2Ox xα α α αα ξ α= + = (17.103)


Facciamo innanzitutto vedere che la (17.103) è un caso particolare della (17.94). Per fare ciò, introduciamo nella (17.103) le coordinate dei nodi. Tenendo presente che

(2) (1) (3) (4) (3) (2) (4) (1)( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 21 2

(2) (1) (3) (4) (3) (2) (4) (1)1 1 1 1 2 2 2 2

1 2

; ;2 2 2 2

;2 2 2 2

O Ox x x x x x x xx x

x x x x x x x xa a

+ + + += = = =

− − − −= = = =

si ottiene

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

(2) (1) (2) (1)(1) (2)1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

(1) (2)1 2 2 1 1 2 2 1

(1) (2) (3) (1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

4( )1

1

1 11 12 2 2 2

1 11 1 1 1 1 14 4

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4

ii

i

x x x xx x

x x

4)

x

x x x

x N

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ


=

+ −= + = − + +

= − − + + + + − + +

= − − + + − + + + + − +

= ∑

x

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

(3) (2) (3) (2)(2) (3)2 2 2 2

2 2 2 2

(2) (3)2 1 1 2 2 1 1 2

(1) (2) (3) (1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2

4( )2

1

1 11 12 2 2 2

1 11 1 1 1 1 14 4

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4

ii

i

x x x xx x

x x

2 2

4)

x

x x x

x N

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ


=

+ −= + = − + +

= − − + + + + − + +

= − − + + − + + + + − +

= ∑

x

he coincidono con le (17.94) e (17.95). Quindi, nella trattazione che segue utilizzeremo la trasformazione (17.103). Alla luce di ciò, si ha

0

x a perJ

perβ α

αβα

α βα βξ

∂ =⎧= = ⎨ ≠∂ ⎩

e 1 2J a a= . Quindi, la (17.101) assume la forma

1

2

( )2,( )

1 ( )1 2

,2 1

0 0 01 0 0 0

0 0

e

e

e

a NB a

a a Na a

ξ

ξ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(17.104)


Si noti che in questo caso la (17.103) è invertibile; si ha

( )Ox x

aα α

αα

ξ −= (17.105)

cui seguono immediatamente tutte le relazioni ricavate in precedenza come casi particolari delle relazioni generali per un parallelogramma.

♠

17.13.4 La matrice delle masse La matrice delle masse del singolo elemento si ottiene dall'espressione dell’energia cinetica dello stesso:

( ) ( )

[ ]

2 2 2 21 2 1 2

1 12 2

12

cV A

T

A

E u u dV mu mu

u m u dA

ρ= + = +

=

∫ ∫

∫

dA

(17.106)

Per la simbologia, vedasi il parag 17.12.4. Sostituendo nella (17.106) la (17.98), si ottiene per l'elemento finito in esame

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12

12

e

Te e ec

A

Te e e

E u m u

q M q

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

∫ dA

(17.107)

Si ottiene così per la matrice delle masse l'espressione

[ ] [ ][ ] [ ]( )

11( ) ( ) ( ) ( )

22

00e

Te e e e

A

MM N m N dA

M⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

(17.108)

dove si è posto

[ ] [ ] ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 22 1 21 1e

T Te e e e e e

A

M M m N N dA m N N d dξ ξ− −

= = =∫ ∫ ∫ (17.109)


♠ Per l'elemento rettangolare di Figura 17.28, si ha

( )

1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 21 1e

T Te e e e

A

N N dA a a N N d dξ ξ− −

=∫ ∫ ∫

e, quindi,

( ) ( ) 1 1

( ) ( ) ( )1 2 1 211 22

1 1

( , 1, 4)Te e e

ij ijM M m a a N N d d i jξ ξ− −

= = =∫ ∫

Tenendo presente che

1 1 1

2 2

1 1 1

8(1 ) 2; (1 ) (1 )3

d dη η η η η η− − −

− = + = − =∫ ∫ ∫ 2 d

si ottiene

[ ] [ ]( )

11 22

16 12 9 1212 16 12 99 12 16 1236

12 9 12 16

e

M M

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

avendo indicato con la massa totale dell’elemento. ( ) ( )

1 2e en a a=M

♠

17.13.5 Il vettore dei carichi nodali Il vettore dei carichi nodali equivalenti si ottiene dall'espressione del lavoro virtuale delle forze applicate all'elemento. Nell'ipotesi che sui lati dell'elemento agiscano ( )

1ˆ ip e ( )2ˆ ip ,

costanti su ogni lato (vedasi Figura 17.29) e che le facce siano scariche, detto Γ il perimetro del parallelogramma, si ha


= -1

= -1

= 1= 1

Figura 17.29 Calcolo del vettore dei carichi nodali equivalenti.

[ ]1 1 2 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) T T

exL h p u p u d h u p d con p p pΓ Γ

= + Γ = Γ =∫ ∫ (17.110)

Sostituendo nella (17.110) la (17.98), per l'elemento finito avente spessore h costante si ottiene

( )

( ) ( ) ( ) ( )ˆe

T Te e eexL h q N p d q F

Γ

⎡ ⎤= Γ =⎣ ⎦∫T e (17.111)

ove

( )

( ) ( ) ˆe

Te eF h N p dΓ

⎡ ⎤= Γ⎣ ⎦∫ (17.112)

Per esplicitare ulteriormente l'espressione di F(e) scindiamo l'integrale esteso a Γ(e) nei quattro contributi valutati sui quattro lati del parallelograma di lunghezze C1, C2 , C3 e C4, rispettivamente,


1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ

T T T Te e e e e e e e

C C C C

F h N p dc h N p dc h N p dc h N p⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ e dc

(17.113) avendo indicato con ( )ˆ e

ip il vettore ( )ˆ ep relativo al lato i: ( ) ( ) ( )

1 2ˆ ˆ ˆe ei

ep p p⎡ ⎤= ⎣ ⎦ Si consideri ora il contributo relativo al lato C1. Ricordando che su questo lato ξ1 = -1, si ha

1

1

( ) ( )1

(1)2 2 1

(1)2 2 2

ˆ

1 0 0 1 0 0 0 0 ˆ10 0 0 0 1 0 0 1 ˆ2

Te e

C

T

C

h N p dc

pdc

pξ ξ

ξ ξ

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

− + ⎧ ⎫⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎩ ⎭

∫

∫ (17.114)

Resta da esprimere dC1 in funzione di 2dξ . Per fare ciò utilizziamo le relazioni di trasformazione (17.94). Come già visto in precedenza per l'elemento CST,

x

dx J d con J ββ αβ α αβ

α

ξξ

∂= =

∂

Per il caso trattato, si ha

( )i ix NJ xβαβ β

α αξ ξ∂ ∂

= =∂ ∂

e, in corrispondenza,

( ) ( )1 2

1 2

i ii iN N Ndx x d x d dβ β α βα

iξ ξ ξξ ξ ξ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= = +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

essendo, per la (17.94),

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 1

1 2

1 1(1 ); (1 )4 4

i i i ii iN N1ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ∂ ∂

= + = +∂ ∂

Particolarizzando i risultati ai singoli lati, si ha ( vedi Figura 17.29 )

• lati C1, C3 : 1 11 0d .ξ ξ= ± ⇒ = Segue


1

( ) 12

2 1

i Ndx x dα αξ

ξξ

=±

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Tenendo presente che

1

( ) ( )12 1

2 1

1 (1 )4

i iN

ξ

ξ ξξ

=±

⎛ ⎞∂= ±⎜ ⎟∂⎝ ⎠

si ha

( ) ( ) ( ) (4) (1)2 1 2

( ) ( ) ( ) (3) (2)2 1 2

1 1(1 ) ( )4 21 1(1 ) ( )4 2

i i i

i i i

dx x x x d lato C

dx x x x d lato C

α α α α

α α α α

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

= − = −

= + = −

1

3

Quindi,

(4) (1) 2 (4) (1) 21 2 1 1 2 2 1

1 ( ) ( )2 2

dC d x x x x C d 21ξ ξ= − + − = (17.115)

(3) (2) 2 (3) (2) 23 1 1 1 2 2 3

1 ( ) ( )2 2

dC d x x x x C d 11ξ ξ= − + − = (17.116)

• lati C2, C4 : 2 21 0d .ξ ξ= ± ⇒ =

Risulta

2

( ) 11

2 1

i Ndx x dα αξ

ξξ

=±

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Operando come prima, si ottiene

(2) (1) 2 (2) (1) 22 1 1 1 2 2 2

1 ( ) ( )2 2

dC d x x x x C d 11ξ ξ= − + − = (17.117)

(3) (4) 2 (3) (4) 24 1 1 1 2 2 4

1 ( ) ( )2 2

dC d x x x x C d 11ξ ξ= − + − = (17.118)

Sostituendo la (17.115) nella (17.114), si ricava per il caso di carichi uniformemente distribuiti

1

1( ) ( ) ( ) ( ) (1) (1) (1) (1)

1 1 1 2 1 1 1 21

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 02 2

T T Te e e e

C

N p dc N p C d C p p p pξ+

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ 2ˆ

Operando in modo analogo sugli altri integrali che compaiono nella (17.113), si ha


2

3

4

1( ) ( ) ( ) ( ) (2) (2) (2) (2)

2 2 2 1 2 1 1 2 21

1( ) ( ) ( ) ( ) (3) (3) (3) (3)

3 3 3 2 3 1 1 21

1( ) ( )

41

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 02 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 02 2

1ˆ2

T T Te e e e

C

T T Te e e e

C

Te e

C

N p dc N p C d C p p p p

N p dc N p C d C p p p p

N p dc

ξ

ξ

+

−

+

−

+

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2

( ) ( ) (4) (4) (4) (4)4 4 1 4 1 1 2 2

1ˆ ˆ ˆ0 0 0 02

T Te eN p C d C p p p pξ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ˆ ˆ

Sommando i vari contributi, si ottiene il vettore dei carichi nodali equivalenti

(1) (2)1 1 1

(2) (3)2 1 1

(3) (4)3 1 1

(1) (4)4( ) 1 1

(1) (2)5 2 2

(2) (3)6 2 2

(3) (4)7 2 2

(1) (4)8 2 2

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ1ˆ ˆ2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

e

F p pF p pF p pF p p

F hF p pF p pF p pF p p

⎧ ⎫+⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ +⎪ ⎪⎪ ⎪

+⎪ ⎪ ⎪= = ⎪⎨ ⎬ ⎨

+⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ + ⎪⎪ ⎪ ⎪

+⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪

(17.119)

17.14 Elemento rettangolare a quattro nodi, Q4 Si tratta di un elemento piastra multistrato a quattro nodi basato sulla teoria classica della laminazione. Per generalizzare la trattazione, non si fa alcuna ipotesi semplificatrice sul tipo di stratificazione, cioè, la piastra può avere una stratificazione qualsiasi. Essendo dunque nel caso generale [ ] [ ]0B ≠ , è presente un accoppiamento tra il comportamento membranale e quello flessotorsionale. Ciascun nodo è dotato di sei gradi di libertà, Figura 17.30, che sono

• , le componenti di spostamento lungo gli assi x( ) ( )1

eu e u2e

,2e

1 e x2, rispettivamente; • la componente di spostamento lungo l'asse x(e)

3u 3; • ( ) ( ) ( ) ( )

1 3,1 2 3e e eu e uψ ψ= =

e

, le pendenze della superficie di riferimento nei piani (x1, x3) e (x2, x3), rispettivamente (in altri termini, esse sono le rotazioni della normale alla superficie di riferimento attorno agli assi x2 ed x1, rispettivamente);

• ( ) ( )12 3,12

e uψ = , lo svergolamento della superficie di riferimento; per un totale di 24 d.o.f.


( )0,1

Figura 17.30 Elemento finito Q4. Gradi di libertà nodali.

17.14.1 Piano naturale Come visto nel paragr.?? , per questo elemento la legge di trasformazione dal piano fisico (x1, x2) al piano naturale (ξ1 , ξ2) è molto semplice. Posto ( ) ( ) ( ); ; ;O O Ox x x x x a aα α α α α α α α αζ α ζ= + ≤ ≤ + − ≤ ≤ = 1, 2α (17.120)

si ottiene αα

α

ζξα

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠,

( ) 1, 2Ox xα α α αα ξ α= + = (17.121) e, in corrispondenza

0x a per

Jper

β ααβ

α

α βα βξ

∂ =⎧= = ⎨ ≠∂ ⎩

Quindi

[ ] [ ] 1 11

2

2

1 00

0 10

aaJ e J

aa

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


17.14.2 Scelta delle funzioni di forma Per la scelta delle funzioni di forma, riscriviamo l'espressione dell'energia di deformazione elastica, che per una piastra di Kirchhoff vale

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] (12

T Tp p p

AA B B Dε ε κ κ ε κ ) dA⎡ ⎤Φ = + + +∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(17.122)

essendo [A] la matrice delle rigidezze membranali, [B] la matrice delle rigidezze di accoppiamento e [D] la matrice delle rigidezze flessotorsionali;

1,111

22 2,2

12 1,2 2,1

p

uuu u

εε ε

ε

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪

è il vettore delle componenti di deformazione membranale e

3,1111

22 3,22

12 3,122

uu

u

κκ κ

κ

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎪

è il vettore delle curvature e dello svergolamento della superficie di riferimento della piastra. Poiché nell'integrale dell'energia di deformazione elastica compaiono le derivate prime delle componenti di spostamento e e le derivate seconde della componente di spostamento , ne consegue che per approssimare e sono sufficienti delle funzioni continue, mentre per è necessario imporre anche la continuità delle sue derivate prime. Alla luce di quanto detto in precedenza, per approssimare le componenti di spostamento membranale e utilizzeremo, per esempio, i polinomi di Lagrange (o di Hermite m=1) lineari; per approssimare la componente di spostamento trasversale utilizzeremo i polinomi di Hermite cubici (m=2) e, di conseguenza, come parametri nodali incogniti avremo lo spostamento trasversale

1u 2u

3u 1u 2u

3u

1u 2u

3u

( )3eu e le rotazioni della normale ( ) ( )

1 3e euψ = ,1 e ( ) ( )

2 3e euψ = ,2 .

Per migliorare le caratteristiche di convergenza, aggiungiamo un altro parametro nodale, lo svergolamento della superficie di riferimento ( ) ( )

12 3,12e uψ = e . Per concludere, in ogni nodo

sono assunti come gradi di libertà i seguenti

1;u 2 ;u 3;u 1;ψ 2;ψ 12.ψ


Quindi,

( ) [ ]1 2 3

Teu u u= u (17.123)

( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 1 1 1 2 2 2 2 12 12 12 12

[

]

Te

Te

u u u u

q u u u u u u u u u u u u

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

=

=

(17.124) Per la costruzione delle funzioni di forma relative alle componenti di spostamento membranale nulla varia rispetto a quanto detto a proposito dell'elemento Q4M. Ripetendo il procedimento ivi illustrato, si ottiene la legge di interpolazione delle componenti di spostamento membranale,

(17.125) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

41 2 3 41 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1

141 2 3 4

2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 21

,

,

ii

i

ii

i



=

=

= + + + = ∑

= + + + = ∑

In forma matriciale espansa,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

11

21

31

411 11 2 3 4

11 2 3 42 22

22

32

42

00 0 0 00 0 0 0 0

T Te

TT e

u

u

uN Uu uN N N N

N N N Nu Uu Nu

u

u

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

e, in forma matriciale compatta, ( ) ( ) ( ) e e

p pu N⎡ ⎤= ⎣ ⎦e

pq (17.126)


con ovvia definizione delle varie matrici introdotte. L'indice p sta ad indicare che quella quantità è relativa alle componenti di spostamento membranale. Inoltre12

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 1 1 2 2 1 2

2 1 2 2 1 1 2 1 2

3 1 2 2 1 2 2 1 2

4 1 2 1 1 2 2 1 2

, 1

, 1

,

, 1

N L L

N L L

N L L

N L L

1ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

= = −

= = −

= =

= = −

ξ−

12Ψ

2

Per lo spostamento trasversale, abbiamo

(17.127)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 43 1 3 2 3 3 3 4

1 2 3 41 1 1 2 1 3 1 4

3 1 2 1 2 3 42 1 2 2 2 3 2 4

1 2 3 412 1 12 2 12 3 12 4

4 4 4 4

3 1 2 121 1 1 1

3 1 2

,e

i i i ii i i i

i i i iT T T Te e e e

u H u H u H u H

P P P Pu x x

R R R R

S S S S

u H P R S

H U P R S

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ= = = =

+ + + +

+ + + +=

+ + + +

+ + +

= + + +∑ ∑ ∑ ∑

= + Ψ + Ψ +

dove si è posto

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]( ) [ ]

1 2 3 43 3 3 3 3

1 2 3 42 2 2 2

1 2 3 4

1 2 3 4

;

;

;

;

T

T

Te

Te

U u u u u

H H H H H

R R R R R

ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤Ψ = ⎣ ⎦

=

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]( ) [ ]

1 2 3 41 1 1 1 1

1 2 3 412 12 12 12 12

1 2 3 4

1 2 3 4

;

;

;

;

T

T

Te

Te

P P P P P

S S S S S

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤Ψ = ⎣ ⎦⎡ ⎤Ψ = ⎣ ⎦

=

=

Per le funzioni di forma utilizziamo i polinomi di Hermite cubici, 2m=4. Esse sono date in Tabella 17.3.Alla (17.127) può essere data la seguente forma matriciale compatta

( ) ( ) ( ) 3e e

k ku N q= e

(no sommatoria su k!) (17.128)

dove

12 Si noti che per l’elemento di figura 4.20 l’intervallo di definizione di αξ è [ ]0;1


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 1 2 12

T T T T Tek

T T T Te e e e ek

q U

N H P R S

⎡ ⎤= Ψ Ψ Ψ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

T

Mettendo assieme la (17.126) e la (17.127) possiamo scrivere la legge di interpolazione per le tre componenti dello spostamento nel modo seguente

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

13

21

3

2

12

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

T T T T T Te

TT T T T Te

T T T TT T e e e e

U

UNu

Uu Nu

H P R S

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

Ψ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪Ψ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦

⎪ ⎪Ψ⎩ ⎭

e in forma matriciale compatta

( ) ( )

( )

( ) [ ]

( )

( ) ( ) 3

0

0

Te eep ppe

TT eeekk

N quu

qNu

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦

⎪⎬⎪

(17.129)


( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )(

( ) ( ) ( )

3

3

3

3

1

4 42 3 2 3

1 11 1 1 2 1 1 2 2

4 42 3 2 3

3 12 2 1 2 1 1 2 2

4 42 3 2 3

3 33 3 1 2 1 1 2 2

4 42 3 2 3

1 34 4 1 2 1 1 2 2

4 42 3 2

11 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2

1 3 2 1 3 2

3 2 1 3 2

3 2 3 2

1 3 2 3 2

2 1 3 2

u

u

u

u

H N H H

H N H H

H N H H

H N H H

P N a H H aψ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ


= = = − + − +

= = = − − +

= = = − −

= = = − + −

= = = − + − +( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( )(( ) ( )

1

1

1

2

2

3

4 42 3 2 3

12 2 1 4 1 2 1 1 1 2 2

4 42 3 2 3

33 3 1 4 1 2 1 1 1 2 2

4 42 3 2 3

34 4 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2

4 42 3 2 3

21 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

4 42

22 2 2 3 1 2 2 1

1 3 2

3 2

2 3 2

1 3 2 2

3 2

P N a H H a

P N a H H a

P N a H H a

R N a H H a

R N a H H a

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ


)

)

2

))2ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

= = = − + − +

= = = − + −

= = = − + −

= = = − + − +

= = = −( )(( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( )(

2

2

12

12

1

3 2 31 2 2 2

4 42 3 2 3

43 3 2 3 1 2 2 1 1 2 2

4 42 3 2 3

44 4 2 1 1 2 2 1 1 2 2

4 42 3 2 3

21 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

4 42 3 2 3

22 2 1 2 4 1 2 1 2 1 1 2 2 2

3 3

2

3 2

1 3 2

2 2

2

R N a H H a

R N a H H a

S N a a H H a a

S N a a H H a a

S N

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

)

))

)2ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ


− +

= = = − − +

= = = − + − +

= = = − + − +

= = = − + − +

= ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )(

2

12

4 42 3 2 3

41 2 4 1 2 1 2 1 1 2 2

4 42 3 2 3

44 4 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 22

a a H H a a

S N a a H H a aψ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ


= = − + − +

= = = − + − +

ξ

)

Tabella 17.3 Funzioni di forma per lo spostamento trasversale, . 3u

17.14.3 Componenti della deformazione Cominciamo col calcolare gli elementi del vettore di deformazione membranale, pε . Nel sistema di riferimento locale, si ha


( )

( )

( ) ( )

11

22

2 12 1

11 1,1 1, 1,1 1

22 2,2 2, 2,2 2

12 1,2 2,1 1, 2, 1 2, ,2 1 2 1

1 1

1 1

1 1 1 1

Te

Te

T Te e

u u N Ua a

u u N Ua a

u u u u N U N Ua a a a

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ε

ε

ε

= = =

= = =

= + = + = +

Quindi,

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2

2 1

1

2

2 1

1,1

11

22 2,2

21

1 2, ,2 1

,1

1

,2 2

, ,2 1

1

1

1 1

1 0

10

1 1

Te

Tep

T Te e

T Te

TT e

T Te e

e ep p

N Ua

N Ua

N U N Ua a

Na

UN

a U

N Na a

B q

ξ

ξ

ξ ξ

ξ

ξ

ξ ξ

εε ε

ε

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨

⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎬⎪

⎪ ⎪+⎪ ⎪

⎩ ⎭⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦

dove si è posto

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

2

2 1

,1

,2

, ,2 1

1 0

10

1 1

T Te

TTep

T Te e

Na

Ba

N Na a

ξ

ξ

ξ ξ

eN

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(17.130)

Per gli elementi del vettore delle curvature, abbiamo


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 2

11 3,11 3,21

3 1 2 122 , , , ,1

22 3,22 3,22

3 1 22 , , , ,2

12 3,12 3,1 2

3,1 2

1

1

1

1

22

2

T T T Te e e e

T T T Te e e e

Te

u ua

H U P R Sa

u ua

H U P R Sa

u ua a

H Ua a

ξ ξ


ξ ξ


ξ ξ

ξ ξ

κ

κ

κ

= − = −

⎛ ⎞= − + Ψ + Ψ + Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = −

⎛ ⎞= − + Ψ + Ψ + Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = −

= − ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2

1 2, , ,

T T Te e eP R Sξ ξ ξ ξ ξ ξ

⎛ ⎞+ Ψ + Ψ + Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

12

12

Quindi,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

11

22

12

3 1 2 122 , , , ,1

3 1 2 122 , , , ,2

3 1 2 12, , , ,1 2

1

1

2

T T T Te e e e

T T T Te e e e

T T T Te e e e

H U P R Sa

H U P R Sa

H U P R Sa a




κκ κ

κ

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞+ Ψ + Ψ + Ψ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞= − + Ψ + Ψ + Ψ⎜ ⎟⎨ ⎬⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞+ Ψ + Ψ + Ψ⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2, , , ,1 1 1 1

2 2 2 2, , , ,2 2 2 2

, , , ,1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

T T T Te e e e

T T T Te e e e

T T T Te e e e

e ek k

H P R Sa a a a

H P R Sa a a a

H P R Sa a a a a a a a

B q




⎪⎪⎪⎭

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

dove si è posto


( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2, , ,1 1 1 1

2 2 2 2, , ,2 2 2 2

, , ,1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

T T Te e e e

T T Te e e ek

T T Te e e

H P R Sa a a a

B H P R Sa a a a

H P R Sa a a a a a a a




⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

,

,

T

Te

Te

(17.131)

17.14.4 Matrice di rigidezza Sostituendo le espressioni delle componenti della deformazione nell'espressione dell’energia di deformazione elastica, si ottiene

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )( )

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

121 [2

]

1 (2

e

e

e

T Te e e e e e ep p p

A

T Te e e e e ep p p p k k

AT Te e e e e e

k k p p k k

eT T T pe e e e e

p p p p k eA k

Te ek k

A B B D dA

q B A B q B B q

q B B B q D B q dA

qq B A B B B B

q

q B

ε ε κ κ ε κ⎡ ⎤Φ = + + +∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −∫ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +∫ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡+ − ⎣ [ ] ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

)

12 e

eT T pe e e

p k k ek

T T ee e e eT T pp p p ke e

p k T T ee e e eA kk p k k

qB B B D B dA

q

qB A B B B Bq q dA

qB B B B D B

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎨ ⎬⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎡ ⎤= ∫ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Possiamo quindi scrivere

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )( )

( ) 12 e

T Te e e eT p p p ke e e

p T Te e e eAk p k k

B A B B B Bq q

B B B B D B

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥Φ = ∫ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

dA (17.132)

Per definizione, in un sistema a parametri concentrati è


( ) ( ) ( ) ( ) 12

Te e eq K q⎡ ⎤Φ = ⎣ ⎦e (17.133)

Posto

( )( ) ( )

( ) ( )

11 12

21 22

e e

e

e e

K KK

K K

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

per confronto della (17.132) con la (??), si ricava

(17.134)

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )( )

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )( )

( )

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )( )

1 1

11 1 2 1 20 0

1 1

12 1 2 1 1 210 0

1 1

22 1 2 1 20 0

e

e

e

T Te e e e ep p p p

A

T Te e e e ep k p k

A

T Te e e e ek k k k

A

K B A B dA a a B A B d

K B B B dA a a B B B d

K B D B dA a a B D B d

ξ δξ

ξ δξ

ξ δξ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =∫ ∫ ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= = −∫ ∫ ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =∫ ∫ ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

eK ⎤= ⎦

17.14.5 La matrice delle masse La matrice delle masse del singolo elemento si ottiene dall'espressione dell’energia cinetica dello stesso. Abbiamo visto in precedenza che

( ) ( )( ) ( )

2 2 21 2 3

1 3,1 1 2 3,2 2

23 1 3,1 3,1 2 3,2 3,2

12

1 [2

]

cv

A

E u u u d v

Mu Su u Mu Su u

Mu Su Ju u Su Ju u dA

ρ⎛ ⎞

= + +∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + − +∫

− − − −

Per la simbologia, vedasi il parag.??.Posto

[ ]

1 2 3 3,1 3,2

0 0 00 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0

T u u u u u

M SM S

M MS J

S J

η ⎡ ⎤= ⎣ ⎦−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦


segue

[ ] 12

Tc

AE Mη η= ∫ dA (17.135)

Tenendo presente la legge di interpolazione per le componenti di spostamento, si ha13

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

1 1 1 1

2 2 2 2

1

2

3

1

, , , , 21 1 1 1

12

, , , ,2 2 2 2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

1 1 1 10 0

1 1 1 10 0

0

0

T T T T T Te

TT T T T Te

T T T TT T e e e e

T T T TT T e e e e

T T T TT T e e e e

T Tep

T

NU

N U

UH P R S

H P R Sa a a a

H P R Sa a a a

N

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

η

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥ ⎨ ⎬

Ψ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪Ψ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪Ψ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

=

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2

,1

,2

10

10

Teek

p

T e ek k

T ek

e e

N q

N qa

Na

N q

ξ

ξ

η

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎨ ⎬⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎩ ⎭

⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤

⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦

(17.136)

ove si è posto

( )

( ) [ ]

( )

( )

( )

1

2

,1

,2

0

0

10

10

T Tep

T ek

eT e

k

T ek

N

N

NN

a

Na

η

ξ

ξ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤

⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤

⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(17.137)

13 Ricordare che si è introdotta la posizione ;3,1 1 3, 2 2u uψ ψ= = .


Sostituendo la (17.137) nella (17.135), si ottiene

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1212

12

T Te e e ec

A

T Te e e

A

Te e e

E q N M N q

q N M N dA q

q M q

η η

η η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∫ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∫ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e

dA

(17.138)

dove l'espressione di ( )eM⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, la matrice delle masse dell'elemento, si ottiene per

confronto e vale

( )

( ) [ ] ( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

011 13

0 22 23

31 32 33

e eM M

e eM M

e e eM M M

eM

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

con

( ) ( ) ( ) ( )11 22

Te e eM M N N dA MA

e⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡= ∫ ⎨ ⎬⎨ ⎬

⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

e

e

(17.139)

(17.140) ( ) ( ) ( ) ( )13 1 31, 1

TTe e eM a S N N dA MA ξ

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤= − =∫ ⎨ ⎬⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(17.141) ( ) ( ) ( ) ( )23 2 32, 2

T Te e eM a S N N dA MA ξ

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤= − =∫ ⎨ ⎬⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(17.142) ( ) ( )33 32

Te eM dA M⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

17.14.6 Vettore dei carichi nodali Supponendo di trascurare le forze di massa X ρ , per i soli carichi distribuiti agenti sulle

facce della piastra il lavoro si scrive


dA

(17.143) ( )

1 1 2 2 3 3 1 3,1 2 3,2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

exA

T

A

L p u p u p u m u m u

p dAη

= ∆ + ∆ + ∆ − −∫

= ∫

ove si è posto

[ ]1 2 3 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆT2ˆp p p p m m= ∆ ∆ ∆ − −

Sostituendo nella (17.143) la (17.136), si ha

( ) ( ) ˆT Te e

exA

L q N pη⎡ ⎤= ∫ ⎣ ⎦ dA (17.144)

Dovendo essere per un sistema a parametri concentrati

( ) ( ) Te eexL q F=

per confronto si ricava

( ) ( ) ˆTe e

AF N pη

⎡ ⎤= ∫ ⎣ ⎦ dA (17.145)

Ricordando la (17.137) possiamo esplicitare la (17.145). Posto

( )

( ) ( ) ( )

1

2

3

e

e e

e

F

F F

F

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

si ha ( ) ( ) 1 ê e

AF N= ∆∫ 1p dA (17.146)

( ) ( ) 2 ê e

AF N= ∆∫ 2p dA (17.147)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

3 3 1 1 2, ,ˆ ê e e e

k k kA

F N p a N m a N mξ ξ

= ∆ − −∫ 2ˆ dA (17.148)

Nel caso più comune che sia , si ha 1 2ˆ ˆ 0p p∆ = ∆ =


( ) ( ) ( ) 3 ˆe e ek

AF F N p= = ∆∫ 3dA

U

(17.149)

La (17.145) tiene conto solo dei carichi distribuiti sulle facce dell'elemento. Vanno ancora aggiunti nella (17.146) e nella (17.147) i contributi di eventuali carichi membranali agenti sui lati dell'elemento, in analogia con quanto fatto per l'elemento quadrangolare Q4M.

17.15 Elementi finiti di ordine superiore Nei paragrafi precedenti abbiamo discusso, tra l'altro, di elementi finiti membranali mono (elementi ROD e BAR) e bidimensionali (elementi CST e QM4), tutti caratterizzati dall'avere funzioni di forma che sono dei polinomi lineari nelle variabili spaziali. In questo paragrafo faremo un cenno alla costruzione delle funzioni di forma di ordine superiore, cioè, con polinomi di interpolazione di grado superiore al primo.

17.15.1 Elementi ROD e BAR Per l'elemento finito a tre nodi14 mostrato in Figura 17.31 a le funzioni di forma sono i polinomi di lagrange quadratici, come già accennato anche nel paragr. 17.11. Si ha

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

1 1 1 2 2 3 31

i ii

u L U L U L U Lξ ξ ξ ξ ξ=

= + + = ∑

con ( ) 0 1ξ≤ ≤

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 32 0.5 1 ; 4 1 ; 2 0.5L L Lξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= − − = − − = − );

14 In tutti gli elementi trattati in questo paragrafo,i nodi sono assunti equidistanti


U

Figura 17.31 Elementi.

Per l'elemento finito a quattro nodi mostrato in Figura 17.31b le funzioni di forma sono i polinomi di Lagrange cubici; si ha

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

1 1 1 2 2 3 3 4 41

i ii

u L U L U L U L U Lξ ξ ξ ξ ξ ξ=

= + + + = ∑

con

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

3 1

9 1 2 27 21 ; 1 ;2 3 3 2 3

27 1 9 1 21 ; ;2 3 2 3 3

L L

L L



⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

In generale, per un elemento ROD ad N nodi, abbiamo

( ) ( )11

N

i ii

u Lξ ξ=

= ∑ U

con (vedi eq.??)

( )( )

( ) ( )1;

jN

i i jj j i

L ξ ξξξ ξ= ≠

−= ∏

−

dove ( )mξ rappresenta il valore che la coordinata naturale ξ assume in corrispondenza del nodo m. Evidentemente, nell'ipotesi adottata di nodi equidistanti, si ha

( ) 1 ; 1,2,...,1

m m mN

ξ N−= =

− (17.150)

Lo stesso tipo di approssimazione vale anche per l'elemento BAR.

17.15.2 Elementi triangolari Si consideri l'elemento triangolare mostrato in Figura 17.32. Sia n il numero di nodi (equidistanti) giacenti su ogni lato del triangolo; il numero totale N di nodi dell'elemento è evidentemente dato da

( ) ( ) (1

01 2 ... 1

n

rN n n n n

−

== + − + − + + = −∑ )r


Nel paragr?? si è introdotto il concetto di coordinate di area. Si è fatto osservare che se

, e sono i tre vertici del triangolo, allora ,i j k iξ rappresenta la distanza,

adimensionalizzata rispetto all'altezza del triangolo relativa al lato iH jk , di una retta parallela al lato stesso. Se ne deduce che per quel che riguarda la coordinata iξ è indifferente considerare il triangolo o un segmento di lunghezza pari all'altezza ; lo stesso dicasi per le altre due coordinate

iH

jξ e kξ . Allora, per ogni coordinata di area è come se fossimo in presenza di un elemento unidimensionale e per essa vale quanto detto nel paragrafo precedente; in particolare, il polinomio di Lagrange relativo a tutti i nodi che

giacciono su una retta parallela al lato mL

jk (quindi,di coordinata15 ( ) 1 ; 1,2,...,

1m m m

Nξ −

= =−

N ) si scrive

( )( )

( ) ( )1;

pni i

m i m pp p m i i

L ξ ξξξ ξ= ≠

−= ∏

−

Analogamente, i polinomi di Lagrange relativi ai nodi giacenti su rette parallele ai lati ik e ij si scrivono, rispettivamente,

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

1;

1;

pn j j

m j m pp p m j j

pnk k

m k m pp p m k k

L

L

ξ ξξ

ξ ξ

ξ ξξξ ξ

= ≠

= ≠

−= ∏

−

−= ∏

−

è possibile ora costruire le funzioni di forma per il triangolo di Figura 17.32, ricordando che le funzioni di forma debbono soddisfare alla proprietà di valere 1 nel nodo cui si riferiscono e 0 in tutti gli altri. Evidentemente, ricordando le proprietà dei polinomi di Lagrange, per i nodi di vertice , e si ha,i j k 16

15 Nello schema adottato, si riferisce ai lati del triangolo e 1m = m n= si riferisce ai vertici. 16 Nello scrivere le espressioni che seguono si è tenuto presente che nel vertice si ha i ( ) 1n

i iξ ξ= = ; nel

vertice si ha j ( ) 1nj jξ ξ= = ;nel vertice si ha k ( ) 1n

k kξ ξ= = .


( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

pni i

i i i i pp i

pn j j

j j j j pp j

pnk k

k k i k pp k

N L

N L

N L

ξ ξξ ξξ

ξ ξξ ξ

ξ

ξ ξξ ξξ

−

=

−

=

−

=

−= = ∏

−

−= = ∏

−

−= = ∏

−

(17.151)


Restano da determinare le funzioni di forma relative ai nodi non di vertice. Esse si costruiscono agevolmente se si tiene presente che i fattori che compaiono a numeratore nelle espressioni dei polinomi di Lagrange rappresentano, quando uguagliati a zero, le equazioni delle rette passanti per i punti nodali, escluso il nodo cui si riferisce la funzione; il denominatore non è altro che il numeratore valutato nel nodo cui si riferisce la funzione. Allora la funzione di forma relativa al generico nodo r avrà a numeratore il prodotto delle espressioni che si ottengono dalle equazioni che rappresentano le rette non passanti per il nodo r ed a denominatore il numeratore valutato nel nodo r. ♠ Per chiarire la procedura esposta, si consideri come primo esempio il triangolo a sei nodi rappresentato in Figura 17.33. Per esso si ha N=6; n=3.



Per il nodo 1= nodo i, abbiamo

( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1 1

10; ; 1;2

iξ ξ ξ ξ= = = =

Segue dalla eq. (17.151)(1),

( )( )

( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )1 2

2 1 1 1 11 11 1 1 11 21 1 1 1

2 11 1 1

p

pp

Nξ ξ ξ ξξ ξξ ξ

ξ ξ ξ=

− −−= = =∏

− − −ξ −

Per il nodo 2 = nodo j, abbiamo

( ) ( ) ( ) ( )1 2 32 2 2 1

10; ; 1;2

iξ ξ ξ ξ= = = =


( )( )

( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )1 2

2 2 2 2 22 22 2 2 21 21 2 2 2

2 11 1 1

p

pp


ξ ξ ξ=

− −−= = =∏

− − −ξ −


Per il nodo 3 ≡ nodo k, abbiamo

( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 3 3 1

10; ; 1;2

iξ ξ ξ ξ= = = =


( )( )

( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )1 2

2 3 3 3 33 33 3 3 31 21 3 3 3

2 11 1 1

p

pp


ξ ξ ξ=

− −−= = =∏

− − −ξ −

Per le funzioni di forma relative ai nodi di vertice possiamo pertanto scrivere

( ) ( )2 1 1, 2,i i i iN iξ ξ ξ= − = 3

Consideriamo ora il nodo di vertice 4. Esso ha coordinate 1 2 31 1; ;2 2

ξ ξ ξ 0= = = . La

funzione deve annullarsi nei nodi 1, 2, 3, 5 e 6 ed assumere valore unitario nel nodo 4:

ciò equivale ad imporre che si annulli sui lati 4N

4N 13 e 23.Queste due linee in termini delle coordinate di area 1 2,ξ ξ e 3ξ hanno equazioni 2 0ξ = e 1 0ξ = , rispettivamente. Si ottiene così

( ) 1 24 1 2 1 2, 41 1

2 2

N ξ ξξ ξ ξ= = ξ

Ripetendo lo stesso discorso per gli altri due nodi non di vertice, abbiamo

( )

( )

2 35 2 3 2 3

1 36 1 3 1 3

, 41 12 2

, 41 12 2

N

N

ξ ξξ ξ ξ

ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

= =

= = ξ

Per le funzioni di forma relative ai nodi non di vertice possiamo pertanto scrivere (quando

3j = allora ) 1 1j + =

14 ; 3; 1,2,i i iN i j j 3ξ ξ += = + =

Come ulteriore esempio, consideriamo il triangolo a 10 nodi mostrato in Figura 17.34. Per esso si ha N=10; n=4.



Per il nodo 1≡ nodo i, abbiamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 1 1

1 20; ; ; 1;3 3

iξ ξ ξ ξ ξ= = = = =


( )( )

( )

1 1 131 1

1 1 1 1 11 1

1 29 13 3

1 2 2 31 1 13 3

p

pp

Nξ ξ ξ

ξ ξξ ξξ=

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎛ ⎞⎛⎝ ⎠⎝ ⎠= = = −∏ ⎜ ⎟⎜⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎝ ⎠⎝− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

23

ξ ξ ⎞− ⎟⎠

Analogamente, per il nodo 2≡ nodo j ed il nodo 3≡ nodo k abbiamo

( )

( )

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

9 12 39 12 3

N

N

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

⎛ ⎞⎛ ⎞1313

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


Consideriamo ora il nodo di vertice 4. Esso ha coordinate 1 2 32 1; ;3 3

ξ ξ ξ 0= = = . La

funzione deve annullarsi in tutti i nodi, tranne che nel nodo 4 dove assume valore

unitario: ciò equivale ad imporre che si annulli sui lati 4N

4N 13 e 23 e sulla linea 58 . I due lati in termini delle coordinate di area 1, 2ξ ξ e 3ξ hanno equazioni 2 0ξ = e 1 0ξ = ,

rispettivamente; la linea 58 equazione 113

ξ = . Si ottiene così

( )1 2 1

4 1 2 1 2 1

127 13,

2 1 2 1 2 33 3 3 3

Nξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠

−

Ripetendo lo stesso discorso per gli altri cinque nodi posti sui lati del triangolo, abbiamo

( )

( )

( )

( )

( )

5 1 2 1 2 2

6 2 3 2 3 2

7 2 3 2 3 3

8 1 3 1 3 3

9 1 3 1 3 1

27 1,2 3

27 1,2 327 1,2 327 1,2 327 1,2 3

N

N

N

N

N

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Consideriamo ora il nodo interno 10. Esso ha coordinate 1 2 31 1; ;3 3

ξ ξ ξ 13

= = = . La

funzione deve annullarsi in tutti i nodi, tranne che nel nodo 10 dove vale 1: ciò equivale ad imporre che si annulli su tutti e tre i lati del triangolo, i quali in termini delle coordinate di area

10N

10N

1 2,ξ ξ e 3ξ hanno equazioni 1 0ξ = , 2 0ξ = e 3 0ξ = . Si ottiene così

( ) 1 2 310 1 2 3 1 2 3, , 271 1 1

3 3 3

N ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ= =

♠


17.15.3 Elementi quadrangolari Si consideri il generico elemento quadrangolare mostrato in Figura 17.35.


In generale, un elemento quadrangolare lagrangiano di ordine p ha un numero di nodi N dato da17

( )21 0,1,2,....N p p= + =

Esso è caratterizzato dall'avere su ogni lato e su ogni parallela ad esso un numero di nodi n=p+1. L'elemento quadrangolare a quattro nodi QM4 studiato nel paragr. 17.13 è dunque un elemento lagrangiano del primo ordine. Anche le funzioni di forma lagrangiane per gli elementi di ordine superiore si ottengono dal prodotto tensore delle corrispondenti funzioni di interpolazione unidimensionali discusse nel paragr. 17.11 , come visto nel paragr. 17.13, eq. ??. ♠ Per chiarire quanto detto, si consideri come primo esempio l'elemento quadrangolare a nove nodi rappresentato in Figura 17.36. Per esso si ha N=9 e, quindi, p=2. Trattasi dunque di elemento lagrangiano del secondo ordine.

17 Il caso è rappresentato da un elemento con un solo nodo nel centro stesso. 0p=


21 3

8 9

7 6 5

4


Per le funzioni di forma, effettuando il prodotto tensore delle funzioni di interpolazione unidimensionali (polinomi di Lagrange quadratici) in direzione 1ξ con le altre in direzione

2ξ ,si ha

( )

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )1 1

1 8 7

2 9 6 1 2 2 2 2 2 2 2

3 4 51 1

1 12 1 11 1 1 1 1 1

2 21 12

N N NN N NN N N

ξ ξ


ξ ξ

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪

ξ⎡ ⎤⎢ ⎥ = − + − − + +⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪+⎩ ⎭

ovvero


( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

21 1 2 1 2 2 1 2

23 1 2 1 2 1 1 2

25 1 2 1 2 6 1 2

27 1 2 1 2 8 1 2

2 29 1 2

1 11 1 1 14 2

1 11 1 1 14 2

1 11 1 1 14 4

1 11 1 1 14 4

1 1

N N

N N

N N

N N

N

2

1

2

1





ξ ξ

= − − = − −

= + − = + −

= + + = − +

= − + = − −

= − −

Come secondo esempio si consideri l'elemento quadrangolare a 16 nodi rappresentato in Figura 17.37. Per esso si ha N=16 e, quindi, 3=2. Trattasi dunque di elemento lagrangiano del terzo ordine.

1 4

12

10 7

5

2

13

9

3

14

8

11 616 15

Figura 17.37. Elementi.

Per le funzioni di forma, utilizzando i polinomi di Lagrange cubici, si ha


( )

( )

( )

( )

( )2 21 1 2 2

1 12 11 10 21 1 2

2 13 16 9

3 14 15 8 21 1

4 5 6 7

21 1

18 1 18 11 135 36 35 36

108 1 108 1135 6 35 6108 1 135 6

18 1135 36

N N N NN N N NN N N NN N N N

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝⎢ ⎥ = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎪ ⎪− + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪

⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

( )

( )

( )

22

22 2

22 2

1

108 1 135 6

18 1135 36

T

ξ

ξ ξ

ξ ξ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎟⎪ ⎠ ⎪⎨ ⎬

⎛ ⎞⎪ ⎪− + −⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪

⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

♠

17.15.4 Elemento quadrangolare ad 8 nodi Dalla trattazione degli elementi triangolari e quadrangolari di ordine superiore sviluppata nel paragrafo precedente, risulta chiaro che i nodi interni non contribuiscono alla congruenza tra elementi adiacenti. E’ quindi interessante indagare se esista la possibilità di sviluppare elementi di ordine superiore privi di nodi interni. In effetti ciò è possibile e nella letteratura tali elementi vanno sotto il nome (invero non facile da tradurre in italiano) di serendipity elements. Per chiarire la procedura impiegata per costruire tali elementi, si consideri l'elemento quadrangolare ad 8 nodi mostrato in Figura 17.38.

1 3

7 56

8

2

4



E’ evidente che questo non è un elemento lagrangiano e, di conseguenza, le funzioni di forma non possono essere ottenute come prodotto tensore di polinomi di Lagrange unidimensionali. Mostriamo allora la procedura per costruire le funzioni di forma. Come già ripetutamente detto, la funzione di forma deve annullarsi nei nodi 2,3,....,8 ed assumere valore unitario nel nodo 1: ciò equivale a dire che deve annullarsi, vedi figura 17.38, sui lati di equazioni

1N

1N

1 1ξ = e 2 2ξ = e sulla retta di equazione 1 21 0ξ ξ+ + = . Dunque, assume l'espressione 1N

( )( )( )1 1 2 11 1 1N c 2ξ ξ ξ ξ= − − + +

dove la costante c si determina imponendo che ( )1 1, 1 1N − − = ; si ottiene 14

c = − .

Procedendo in modo analogo per tutte le altre funzioni di forma, si ottiene il seguente risultato

• Nodi di vertice

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 1 2 21 1 1 1 ; 1,3,4

i i i iiN iξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= + + + − = 5,7

• Nodi intermedi

( ) ( )( )21 2 2

1 1 1 ; 22

iiN ξ ξ ξ= − + = ,6i (17.152)

( )( )( )21 1 2

1 1 1 ;2

iiN ξ ξ ξ= + − = 4,8i (17.153)

17.15.5 Effetti termici Come ben noto, gli effetti termici si traducono in una dilatazione senza tensioni se il corpo è libero di dilatarsi; in caso contrario, gli effetti termici generano uno stato tensionale all'interno del corpo. In questo paragrafo ci proponiamo di ricavare l'espressione dei carichi nodali igrotermici equivalenti. Per fare ciò, riscriviamo l'espressione dell'energia di deformazione elastica in presenza di effetti meccanici ed igrotermici nel caso generale di materiale composito multistrato. Per il generico strato s, si ha

• Legge di Hooke generalizzata

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*s Q s s sσ ε⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ε (17.154)

avendo indicato con ( ) sε ∗ il vettore delle componenti della deformazione dovuta agli

effetti igrotermici.


• Deformazioni igrotermiche

( ) ( ) ( ) s T s m sε α∗ = ∆ + ∆ β (17.155)

dove

( ) ( ) ( ) ( )11 22 12T

s s sα α α α= s⎡ ⎤⎣ ⎦

è il vettore dei coefficienti di dilatazione termica dell' s-esimo strato (supposti indipendenti da e ), riferiti agli assi T∆ m∆ 1 2,x x e

( ) ( ) ( ) ( )11 22 12T

s s sβ β β β= s⎡ ⎤⎣ ⎦ è il vettore dei coefficienti di dilatazione per assorbimento di umidità (supposti indipendenti da e ) dell' s-esimo strato, riferiti agli assi T∆ m∆ 1 2,x x ; e (in generale funzioni di

T∆ m∆

1 2 3, ,x x x ) rappresentano l'incremento di temperatura T e d’ umidità m (espresso in percentuale di incremento di peso) rispetto ad un valore di riferimento.

• Variazione virtuale dell'energia di deformazione elastica La variazione virtuale dell'energia di deformazione elastica della piastra composita, conseguente ad una variazione virtuale δ ε della deformazione totale vale

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

( )

T T Tp

p p p

T T

p

d s s d N M

A B B D

N M d

σ δ ε δ ε δ κ

ε κ δ ε ε κ δ κ

δ ε δ κ

Ω Ω

Ω

∗ ∗

Ω

Φ = Ω = + Ω∫ ∫

⎡ ⎤= + + +∫ ⎣ ⎦

− + Ω∫

d

dΩ (17.156)

dove si sono introdotte le seguenti risultanti di tensioni termiche

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxx

yy yy

xy xy

NN N Q s s T Q s s m

N

σσ α βσ

∗∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ∆ + ∆⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(17.157)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxx

yy yy

xy xy

M zM M z z Q s s T z Q s s

M z

σσ α βσ

∗∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ∆ + ∆⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

m (17.158)


♠ Per esempio, nell'ipotesi che il gradiente di temperatura abbia andamento lineare lungo lo spessore del laminato e che sia costante la percentuale di umidità assorbita,

0 1;T T zT m∆ = + ∆ = costante

si ottiene

(17.159) 1 1

0 2 1 2 2

6 6

t txx

t tyy

t txy

N A BN T A T B m AN A B

∗

∗

∗

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + + ∆⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

1

6

m

m

m

A

A

1

6

m

m

m

1 1

0 2 1 2 2

6 6

t txx

t tyy

t txy

M B D BM T B T D m BM B D B

∗

∗

∗

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + + ∆⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩

⎫⎪⎬⎪⎭

(17.160)

dove

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2, , 1, ,

, 1,

t t t ti i i i

m m mi i i

A B D z z Q

A B z Q

=

=

e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 6

1 2 6

ti xx yyi i i

mi xx yyi i i

Q s Q s s Q s s Q s s

Q s Q s s Q s s Q s s

α α

β β

= + +

= + +

xy

xy

α

β

per . 1,2,6i =

♠


Bibliografia

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metodo degli elementi finiti

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