SEMINARIO DE TOPICOS ESPECIALES, FIEE-UNI, 2015-I 1

Metodo de puntos interiores de orden superiormejorado para minimizar las perdidas de potencia

activa en sistemas electricos de potencia

AbstractEn este artculo se propone un metodo para min-imizar las perdidas de potencia activa en mercados electricoscompetitivos . El problema de minimizacion de la perdida depotencia activa se formula como un flujo de potencia optimo(FPO) con restricciones no lineales de igualdad y desigualdad quetoma en cuenta la seguridad del sistema de potencia. El FPO hasido resuelto mediante el metodo de puntos interiores predictor-corrector multiple (MPC) de la familia de los metodos de puntosinteriores de orden superior, con un procedimiento mejoradopara el calculo de la longitud de paso durante las iteracionesde Newton. La utilizacion de la propuesta MPC mejorado llevaa la convergencia con un menor numero de iteraciones y conun mejor tiempo de calculo que algunos resultados publicadosen la bibliografa. Un calculo eficiente de la longitud de pasoprimal y dual es capaz de reducir los errores de la funcionobjetivo primal y dual, respectivamente, asegurando continua-mente errores decrecientes durante las iteraciones del proceso delmetodo de punto interior. La metodo propuesto ha sido simuladopara importantes sistemas de prueba IEEE y dos sistemasreales, incluyendo una configuracion de 464 barras del SistemaElectrico Peruano Interconectado, y un escenario de 2256 barrasdel Sistema Electricos Sur-Sureste Brasileno interconectado. Elresultado de las pruebas mostro que la convergencia es facilitaday el numero de iteraciones puede ser pequeno.

KeywordsIEEEtran, journal, LATEX, paper, template.

I. INTRODUCCION

La minimizacion de las perdidas de potencia activa de lossistemas potencia (EPS) puede ser considerado un requisitofundamental en los actuales mercados electricos competitivospara la obtencion de una mejor economa y la calidad dela energa. En la planificacion y operacion de sistemas depotencia la seguridad y la fiabilidad se evaluo a traves deuna serie de programas de computadora, que incluyen flujode potencia optimo (OPF). Un objetivo de la solucion deun problema OPF es determinar el funcionamiento en estadoestable optimo de la potencia sistema. El problema OPF puedeser modelado como un problema de programacion no lineal(PNL) en la que el objetivo es minimizar la funcion sujeta aun conjunto de restricciones tecnicas y economicas.

Hay importantes metodos convencionales de solucion deproblemas OPF, por ejemplo: secuencia lineal y de progra-macion cuadratica , gradiente y metodo de Newton. Entre lassoluciones OPF la mas reciente es el metodo de punto interior(MIP). Originalmente desarrollado para resolver problemas deprogramacion lineal (LP), el IPM ofrece un mejor rendimientode calculo para problemas de gran escala que los metodosclasicos tales como el metodo simplex. Por otra parte, la MIP

puede ser reformulado y adaptado para resolver problemas deprogramacion no lineal.

En la ingeniera de potencia el IPM se ha aplicado paraoptimizar la operacion de los sistemas de potencia con granexito . Los metodos de punto interior vienen siendo usadospara resolver problemas tales como el flujo de potencia optima,el envo de potencia reactiva, estimacion de estado , la max-imizacion de la capacidad de carga , estabilidad de tension,despacho hidrotermico y despacho economico de seguridadrestringida. Los resultados muestran que el IPM tiene ungran potencial para resolver problemas del planificacion yfuncionamiento de sistemas de potencia, en comparacion conla metodos convencionales. La mayora de estas aplicacionesse ha adoptado el metodo de punto interior (PD-IPM) primal-dual. El paso mas importante en el PD-IPM es la solucionde un sistema algebraico no lineal de ecuaciones usando elmetodo de Newton (NM). Sin embargo, se necesita un grannumero de iteraciones y se detectaron algunos casos de diver-gencia en los calculos de busqueda direcciones. Mehrotra en1992 propuso mejoras en la busqueda de direcciones mediantela resolucion de dos sistemas de ecuaciones lineales. Estosdos sistemas definen los pasos de prediccion y correccion quegenera el metodo de punto interior predictor-corrector primal-dual (PCPD-IPM). A pesar de la aceptacion de PCPD-MIPpara calculo de direcciones de busqueda, mejores resultadosse pueden obtener mediante la adicion de otro paso correctorpara el proceso de optimizacion. El metodo resultante sellama el metodo de punto interior predictor-corrector multiple(MPC-IPM). El uso del metodo MPC-MIP puede mejorar elrendimiento de la convergencia, lo que resulta en un pequenonumero de iteraciones.

La evidencia emprica sugiere que en el metodo de Newton,cuando se utiliza en el procedimiento MIP, sera necesario uncalculo adecuado de la longitud de pasos primal y dual parafacilitar la convergencia de la iteracion de Newton. En estetrabajo se propone un metodo para el calculo eficiente de laslongitudes de paso primal y dual que reduzcan al mnimo loserrores de la funcion objetivo primal y dual, respectivamente,asegurando una disminucion continua durante las iteracionesdel metodo de punto interior. El problema de minimizacin dela perdida de potencia activa se formula como un flujo optimode potencia que se ha resuelto mediante el metodo de puntointerior predictor-corrector multiple mejorado con el enfoquede longitud de paso propuesto. La metodologa se ha aplicadocon exito para reducir al mnimo la perdida de potencia activade los sistemas de prueba IEEE de 30, 57, 118 , y 300 barras.Tambien se utilizo una configuracion de 464-barras del sistema

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interconectado peruano y en el sistema de alimentacion 2256-barras correspondiente al sistema interconectado Sur-Surestede Brasil tambien fue usado. Resultados de las pruebas hanindicado que la convergencia se ve facilitada y el numero deiteraciones puede ser pequeno.

II. MODELO DE FLUJO OPTIMO DE POTENCIA

El problema OPF consiste en minimizar la perdida de po-tencia activa sujeto a restricciones de seguridad. Las variablesde decision son las tensiones en las barras, potencia reactivaen los compensadores de derivacion y las posiciones de lostaps del transformador. El modelo de optimizacion esta dadopor:

MinVns

nbj=1

VjYnsjcos(nsj + i ns) (1)

Sujeto a

nbj=1 ViVjYijcos(ij + j i) PGi + PDi = 0;

i = 1, ..., nb(2)

nbj=1 ViVjYijcos(ij + j i)QGi +QDi = 0;

i = 1, ..., nb(3)

QminGi QGi QmaxGi ; i = 1, ..., ng (4)V mini Vi V maxi ; i = 1, ..., nb (5)

QShmini QShi QShmaxi ; i = 1, ..., nsh (6)tapmini tapi tapmaxi ; i = 1, ..., nt (7)

donde ns es el numero de la barra slack, PGi y QGi son laspotencias activa y reactiva de generacion en la barra i, PDiy QDi son el componentes de potencia activa y reactiva dela carga en la barra i, Vi y i son la magnitud de la tensiony angulo de fase en la barra i, Yij y ij son la magnitud yangulo de fase del elemento ij de la matriz de admitancias,nb, ng, nsh y nt son, respectivamente, el numero de barras,generadores, compensadores y transformadores, GmaxGi y G

minGi

son los lmites maximo y mnimo de generacion de potenciareactiva en la barra i, V maxi y V

mini son los lmites de

tension maxima y mnima en la barra i, QShmaxi , QShi yQShmini son las potencias reactivas maxima, actual y mnimadel compensador shunt i, y tapmaxi , tapi y tap

mini son el

maximo, actual y mnimo posicion del tap del transformadori.

Las expresiones (2) y (3) representan las ecuaciones conven-cionales de flujo de potencia. Los lmites de potencia reactivade los generadores estan representados por (4). Los lmites dela magnitud del voltaje se dan en (5) y los lmites de potenciareactiva en los compensadores de derivacion se consideran en(6). Los lmites de las posiciones de los taps del transformadorestan incluidos en (7).

III. METODO DE PUNTO INTERIOR DE ORDEN SUPERIORLa formulacion de OPF se muestra en (1) - (7) que tambien

puede ser escrito como un problema general de programacionno lineal, dada por:

Min f(x)subject to : g(x) = 0hl h(x) huxl Ix xu

(8)

donde x representa las variables de decision, f(x) es lafuncion objetivo, g(x) contiene las restricciones de igualdad,h(x) representa las restricciones de desigualdad, hu y hl son,respectivamente, los lmites superior e inferior de h(x), yxu y xl son, respectivamente, los lmites superior e inferiorde x. El primer paso en la derivacion del MIP consiste enla transformacion de las restricciones de desigualdad de (8)en restricciones de igualdad a traves del uso de variables deholgura.

Min f(x)subject to : g(x) = 0s1 s2 hl + hu = 0h(x) s2 + hu = 0s3 s4 xl + xu = 0Ix s4 + xu = 0s1, s2, s3, s4 0

(9)

Las variables de holgura no negativas s1, s2, s3 y s4, puedeser manejada anadiendo la funcion de barrera logartmica parala funcion objetivo:

Min f(x)

kndh

j=1(lns1j + lns2j)

kndxj=1(lns3j + lns4j)subject to :g(x) = 0s1 s2 hl + hu = 0h(x) s2 + hu = 0s3 s4 xl + xu = 0Ix s4 + xu = 0

(10)

donde k > 0 es un parametro de barrera y ndx y ndhson los numeros de las variables de control y las restriccionesde desigualdad, respectivamente. La funcion lagrangiana L de(10) es:

L = f(x) kndhj=1(lns1j + lns2j)kndxj=1(lns3j + lns4j)yT g(x) zT1 (s1 s2 hl + hu)zT2 (h(x) s2 + hu)zT3 (s3 s4 xl + xu) zT4 (I s4 + xu)

(11)

donde y, z1, z2, z3 y z4 son vectores multiplicadoresde Lagrange. Segun Fiacco y el teorema de McCormick, sidisminuye montonamente a cero durante el proceso iterativo,la solucion de (10) se aproxima a la solucion local de (9).Sea x sea el mnimo local del problema (10). Por lo tanto

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x satisface las condiciones de primer orden de optimalidadnecesarias de KarushKuhnTucker (KKT), que es:

s1L = kS11 e+ z1 = 0s2L = kS12 e+ z1 + z2 = 0s3L = kS13 e+ z3 = 0s4L = kS14 e+ z3 + z4 = 0z3L = s3 + s4 + xl xu = 0z4L = Ix+ s4 xu = 0z1L = s1 + s2 + hl hu = 0z2L = h(x) + s2 hu = 0xL = f(x) Jg(x)T y + Jh(x)T z2 + IT z4 = 0yL = g(x) = 0

(12)

donde f(x) es el gradiente de f(x), Jg(x) es el jacobianode las restricciones de igualdad, Jh(x) es el jacobiano de lasrestricciones de desigualdad, S1, S2, S3 y S4 son matricesdiagonales que contienen s1 , s2, s3 y s4, respectivamente, ees un vector del tamano apropiado. La ecuacion (12) puedeser escrita en forma mas compacta como:

F (w) = 0 (13)

Donde

F (w) =

kS11 e+ z1kS12 e+ z1 + z2kS13 e+ z3

kS14 e+ z3 + z4s3 + s4 + x

l xuIx+ s4 xu

s1 + s2 + hl hu

h(x) + s2 huf(x) Jg(x)T y + Jh(x)T z2 + IT z4

g(x)

, w =

s1s2s3s4z3z4z1z2xy

(14)

La ecuacin (12) se puede resolver por el mtodo de Newton.Esto implica resolver un sistema de ecuaciones lineales en cadaiteracin k,

JF (wk)wk = F (wk) (15)

Donde w = [s1s2s3s4z3z4z1z1z2xy]T .JF es el jacobiano de F (w) y w es el vector de correccionesen el vector independiente w. Despus de resolver (14) en cadaiteracion k, se obtiene una estimacion de las variables.

xk+1 = xk + kpx

sk+1i = ski +

kpsii = 1, 2, 3y4

yk+1 = yk + kdyzk+1i = z

ki +

kdzii = 1, 2, 3y4

(16)

donde kp y kd son, respectivamente, las longitudes de paso

primal y dual en cada iteracion k. Las maximas longitudes depaso primal y dual se calculan utilizando (17)

Fig. 1.

kpmax ={.min

{mins1

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un calculo adecuado de los longitudes de paso primal y dualpara facilitar la convergencia. En este trabajo es propuesto uncalculo eficiente de las longitudes de paso primal y dual loscuales minimizan los errores de las funciones objetivo primaly dual, respectivamente, asegurando una disminucion continuade las iteraciones del procedimiento MIP (fig. 1). El kp es lasolucion de la busqueda mostrado en(20):

minpinf(xk + kpx) (17)

s.a.0 kp kpmax (18)Despues de que el calculo de la longitud de paso primal

kp las variables primarias (x, s1, s2, s3ys4) se actualizan uti-lizando la (15), a continuacion, kd es calculado del problemamostrado en (21)

mindinf(xk+1, yk + kdy, zk4 +

kdz4) (19)

s.a.0 kd kdmax (20)Con kd conocido, las variables duales (y, z1, z2, z3yz4) se

actualizan a traves de (16). Los problemas de busqueda dedos dimensiones para el calculo de las longitudes de paso kpy kd (ver los problemas (20) y (21)) esto se puede resolvermediante el metodo que se presenta en la Seccion 4. La brechade la complementariedad (valor residual de la condicion decomplementariedad) se calcula en cada iteracion k por

k = (zk1 )T sk1 + (z

k1 + z

k2 )T sk2 + (z

k3 + z

k4 )T sk4 (21)

En la iteracion k el valor de k se calcula basado en ladisminucion de la brecha de la complementariedad.

k+1 = max

(min

(k

k

2 (ndx+ ndh), 0.9k

), 0.05k

)(22)

Donde k (0, 1) es llamado el parametro de centrado yes elegido dinamicamente como k+1 = max

{0.95k, 0.1

}.

Los criterios de convergencia del NM son las siguientes:

pinf(xk) 104dinf(xk, yk, zk2 , z

k4 ) 104

k

1 + xk2 104

k 108

El calculo de w de (14) consiste en la factorizacion deJF y la solucion de los dos sistemas triangulares (sustitucionesadelante / atras). La factorizacion de JF corresponde al calculomas intensivo en las iteraciones del IPM. La eficiencia dela IPM puede mejorarse sustancialmente si el numero defactorizaciones es minimizada. Mehrotra [11] obtuvo mejoresdirecciones de busqueda w resolviendo dos sistemas de ecua-ciones lineales en cada iteracion k. Estos dos sistemas definen

los pasos de prediccion y correccion, los cuales requieren elmismo matriz JF y diferentes vectores independientes en (14).Por lo tanto solo una factorizacion de JF es necesario paraambos pasos. La matriz Jf esta dada por:

JF =

D1 0 0 0 0 0 I 0 0 00 D2 0 0 0 0 I I 0 00 0 D3 0 I 0 0 0 0 00 0 0 D4 I I 0 0 0 00 0 I I 0 0 0 0 0 0

0 0 0 I 0 0 0 0 I 0I I 0 0 0 0 0 0 0 00 I 0 0 0 0 0 0 Jh 0

0 0 0 0 0 IT 0 JhT HL JgT0 0 0 0 0 0 0 0 Jg 0

(23)

Donde:

HL = Hf (xk)

ndgj=1

ykjHgj(xk) +

ndhj=1

zk2jHhj(xk) (24)

El calculo de la matriz HL requiere las matrices de hessianasHf (x

k) , Hg(xk) y Hh(xk) que corresponden a la funcion ob-jetivo, restricciones de igualdad y restricciones de desigualdad,respectivamente. Ademas, D1 = S11 , D2 = S

12 (Z1 + Z2),

D3 = S13 Z3 y D4 = S

14 (Z3 + Z4), Z1, Z2, Z3 y Z4 son

matrices diagonales definidas por los componentes de z1, z2,z3 y z4, respectivamente; ndg es el numero de variables de lasrestricciones de igualdad.

1) Paso PredictorDe acuerdo con Mehrotra [11] la direccion deescalamiento afn es calculado como:

JF (wk)

saf1saf2saf3saf4zaf3zaf4zaf1zaf2xaf

yaf

=

z1z2 z1z3

z3 z4s3 s4 xl + xuIx s4 + xus1 s2 hl + huh(x) s2 + hu

f(x) + Jg(x)T y Jh(x)T z2 IT z4g(x)

(25)

waf es usado para obtener una estimacion para elvector independiente de la etapa de corrector de y parael parametro de barrera af . Para calcular el valorde af los longitudes de paso primal y dual, afp yafd deben ser calculados, junto con la direccion debusqueda afin , utilizando (17) el cual corresponde alas longitudes de paso maximo primal y dual. Una

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estimacion de la brecha de la complementariedad vienedada por:

af = (zk1 +

afd z

af1 )

T (sk1 + afp s

af1 )+

(zk1 + afd z

af1 + z

k2 +

afd z

af2 )

T (sk2 + afp s

af2 )

+ (zk3 + afd z

af3 )

T (sk3 + afp s

af3 )+

(zk3 + afd z

af3 + z

k4 +

afd z

af4 )

T (sk4 + afp s

af4 )

Una estimacion para af es obtenida por

af = min

{(afk

)2, 0.2

}af

2 (ndx+ ndh)(26)

2) Paso Corrector

La direccion w se calcula como:

JF (wk)

s1s2s3s4z3z4z1z2xy

=

S11 (afeSaf1 zaf1 ) z1

S12 (afeSaf2 (zaf1 + zaf2 )) z2 z1S13 (

afeSaf3 zaf3 z3S14 (

afeSaf4 (zaf3 + zaf4 )) z3 z4s3 s4 xl + xuIx s4 + xus1 s2 hl + huh(x) s2 + hu

f(x) + Jg(x)T y Jh(x)T z2 IT z4g(x)

(27)

Donde Saf1 , Saf2 , S

af3 y S

af4 son matrices diagonales

definidas por los componentes saf1 , saf2 , s

af3 y s

af4

respectivamente. Desde que los pasos de predicciony correccion utilizan la misma matriz JF, el esfuerzocalculo adicional para el metodo predictor-correctorconsiste en la solucion de un sistema lineal para elcalculo de waf . La tecnica propuesta por Mehrotra esadoptada para el calculo de direcciones de busqueda enel IPM. Sin embargo, todava mejores resultados puedenser obtenidos mediante la adicion de otro paso correctorpara el proceso. El metodo resultante se denominamultiple predictor-corrector [12]. El uso del metodoMPC mejora el rendimiento de convergencia, lo queresulta en un pequeno numero de iteraciones. El pasocorrector de Mes consiste en resolver (31).

JF (wk)

sm+11sm+12sm+13sm+14zm+13zm+14zm+11zm+12xm+1

ym+1

=

S11 (afeSm1 zm1 ) z1

S12 (afeSm2 (zm1 + zm2 )) z2 z1S13 (

afeSm3 zm3 z3S14 (

afeSm4 (zm3 + zm4 )) z3 z4s3 s4 xl + xuIx s4 + xus1 s2 hl + huh(x) s2 + hu

f(x) + Jg(x)T y Jh(x)T z2 IT z4g(x)

(28)

Alonso Mart Portella Retuerto Estudiante de In-geniera Electrica de la Universidad Nacional deIngeniera.