1. METODO DE INCREMENTO VARIABLES

2. METODO DE LA CURVA NORMAL LOGISTICAFUNCION LOGISTICA Lafuncin logstica,curva logsticaocurva en forma de Ses una funcin matemtica que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagacin de enfermedades epidmicas y difusin enredes sociales. Dicha funcin constituye un refinamiento delmodelo exponencialpara el crecimiento de una magnitud. Modela lafuncin sigmoideade crecimiento de un conjuntoP.El estudio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competencia entre algunos miembros dePpor algn recurso crticoK("cuello de botella") y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se detiene.La funcin logstica simple se define mediante la expresin matemtica:

donde la variablePpuede ser considerada o denotada comopoblacin, dondeees laconstante de Eulery la variabletpuede ser considerada eltiempo.1Para valores deten el rango de losnmeros realesdesde a +, la curva S se puede obtener. En la prctica, dada la naturaleza de lafuncin exponencial,et, es suficiente con computartpara un pequeo rango de nmeros reales como pueden ser [6,+6].En su forma ms general, la funcin logstica se define por la frmula matemtica:

para parmetros realesa,m,n, y. Estas funciones tienen un campo de aplicacin muy amplio, desde labiologaa laeconoma.

LA ECUACION VERHULSTEl crecimiento logstico est relacionado con elcrecimiento exponencial, de hecho para pequeos valores de la magnitud que presenta crecimiento logstico, el crecimiento logstico se asemeja mucho al crecimiento exponencial. Sin embargo, a partir de un cierto punto el crecimiento se ralentiza, eso hace que la curva pueda representar adecuadamente la propagacin de rumores, la extensin de una innovacin tecnolgica o una epidemia: al principio estas se propagan rpidamente, cada "infectado" o "afectado" por la innovacin es susceptible de traspasar el "contagio" a otro individuo que tenga contacto con l, pero cuando el nmero de "infectados" crece es ms difcil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la enfermedad o innovacin.Esta tpica aplicacin de la ecuacin logstica es un modelo comn delcrecimiento poblacionalsegn el cual: la tasa de reproduccin es proporcional a la poblacin existente. la tasa de reproduccin es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.El segundo trmino modela, por tanto, la competicin por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.SiPrepresenta el tamao de la poblacin ytrepresenta el tiempo, este modelo queda formalizado por laecuacin diferencial:(1)donde la constantedefine la tasa de crecimiento yes lacapacidad de persistencia. La solucin general a esta ecuacin es una funcin logstica. Con una poblacin inicial:

donde

3. MTODO DE MNIMOS CUADRADOSEste procedimiento consiste en calcular la poblacin de proyecto a partir de un ajuste de los resultados de los censos en aos anteriores, a una recta o curva, de tal modo que los puntos pertenecientes a stas, difieran lo menos posible de los datos observados.Para determinar la poblacin de proyecto, ser necesario considerar el modelo matemtico que mejor represente el comportamiento de los datos de los censos histricos de poblacin (lineal, exponencial, logartmica o potencial), obteniendo las constantes a y b que se conocen como coeficientes de la regresin.Existe un parmetro que sirve para determinar que tan acertada fue la eleccin de la curva o recta de ajuste a los datos de los censos. Este se denomina coeficiente de correlacin r, su rango de variacin es de -1 a +1 y conforme su valor absoluto se acerque ms a 1 el ajuste del modelo a los datos ser mejor.A continuacin se presentan varios modelos de ajuste, donde se definirn las expresiones para el clculo de los coeficientes a, b y r.1.2.1 Ajuste LinealEn el caso de que los valores de los censos histricos, graficados como poblacin en el eje de las ordenadas y los aos en el de las abscisas, se ajusten a una recta, se utiliza la siguiente expresin caracterstica, que da el valor de la poblacin para cualquier ao.

1.2.2 Ajuste No-LinealCuando los datos de los censos histricos de poblacin, se conformen ms bien a una curva, en lugar de una recta, se pueden ajustar estos datos a una curva exponencial, una logartmica o una potencial, las cuales se tratan a continuacin.a) Ajuste ExponencialLa expresin general est dada por:

b) Ajuste LogartmicoEste modelo tiene la expresin general:

c) Ajuste PotencialLa expresin general est dada por:

4. METODO DE LA PARABOLA CUBICA