mÉtodo de holzer para vibraÇÕes torcionais · a equação do movimento que relaciona força com...
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MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
� Este método apróximado é adequado para vigas com características não uniformesacentuadas, ou sistemas com um número grande de massas concentradas.
� Substitui-se o sistema contínuo por um sistema discreto
� O sistema é representado por um conjunto de n massas discretas e rígidasconcentradas em n pontos chamados de estações
� Os segmentos de veio entre as massas discretas assumem-se sem massa e com rigidez uniforme e chama-se de campos
� A equação do movimento que relaciona força com a deformação (oudeslocamento) é substituida por equações de diferenças finitas correspondentes
� A solução obtém-se passo a passo
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
A relação entre o deslocamento angular e o momento torçor é dada por:
( ) ( )( )xJG
txMx
tx T ,, =∂
θ∂
( ) ( ) ( )2
2 ,,t
txxI
xtxMT
∂θ∂
∂=∂
(6.1)
(6.2)
Por outro lado, deduziu-se anteriormente a equação diferencial que governa as vibrações torcionais livres de vigas:
Como as vibrações livres do movimento síncrono são harmónicas então tem-se que o deslocamento angular e o momento torçor são representados por:
( ) ( ) ( )φωθ −Θ= txtx cos,
( ) ( ) ( )φω −= txMtxM cos,
( ) ( )( )xJGxM
xdxd =Θ
(6.3)
(6.4)
(6.5)
Eliminando a dependência do tempo, pode-se substituir (6.1) e (6.2) por:
( ) ( ) ( )xxIxdxdM Θ−= 2ω (6.6)
As equações anteriores são a base do método de diferenças finitas a deduzir
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Represente-se a viga não uniforme da figura por n+1 discos rígidos ligados por veioscirculares, sem massa e com rigidez uniforme.
Os discos têm momentos polares de inércia dados por:
( )( ) ( ) nixxIxxxII iiiiii ,...,2,1 21
1 =∆≅∆+∆= −
( ) ( ) nnn xxIIxxII ∆=∆= ++ 11111 21
21
(6.7)
(6.8)
Onde os incrementos ∆xi são suficientemente pequenos para que as aproximações em (6.7) e (6.8) sejam válidas.
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
nixxGJGJ iii ,...,2,1 21 =�
�
���
� ∆+=
Adicionalmente usa-se a notação:
(6.9)
Diagrama de corpo livre da estação i e do campo io Os índices R e L referem-se respectivamente aos lados direitos e esquerdo da estaçãoo O lado esquerdo do campo i usa a notação correspondente ao lado direito da estação io O lado direito do campo i usa a notação correspondente ao lado esquerdo da estação i+1
estação campo
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
iLi
Ri Θ=Θ=Θ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiiiiii xxxIxxxxIxM ∆Θ−≅∆+∆Θ−=∆ −2
12
21 ωω
Lii
Li
Ri IMM Θ−= 2ω
Ri
Li MM =+1
Vão ser utilizadas as equações (6.5) e (6.6) para relacionar os deslocamentos angulares e osmomentos torçores nos dois lados da estação i e do campo i.
Como os discos são rígidos os deslocamentos nos dois lados da estação são iguais:
(6.10)
Por outro lado a equação (6.6) na forma incremental é:
Utilizando (6.7), (6.8) e (6.10), a expressão anterior vem:
Como o segmento de veio associado ao campo i não tem massa, tem-se que:
A equação (6.5) na forma incremental e quando aplicada ao campo i é:
( )i
iRi
Li
ii
iiiii GJ
xMM
xxGJ
xxxMxx
∆+≅��
���
� ∆+
∆��
���
� ∆+=��
���
� ∆+∆Θ +121
212
121
(6.13)
(6.12)
(6.11)
(6.14)
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Rii
Ri
Li Ma+Θ=Θ +1
i
ii GJ
xa
∆=
��
�� �
���
�
−=
��
��
Li
Li
iRi
Ri
MIM
θω
θ101
2
Utilizando a equação (6.13) a expressão (6.14) reduz-se a:
onde:
representa o coeficiente de influência da flexibilidade torcional. Pode ser intrepertado como o deslocamento angular do disco i + 1 devido a um momento unitário na estação i + 1, mantendo o disco i sem rotação.
(6.16)
(6.15)
As equações (6.10) e (6.12) podem ser representadas na forma matricial:
e representam o deslocamento e torque no lado direito da estação i em termos de quantidadessemelhantes no lado esquerdo.
(6.17)
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
L
iLi
Li
R
iRi
Ri
MMMM ��
��Θ
=��
��
�
���Θ
��
��Θ
=��
��
�
���Θ
[ ] �
���
�
−=
101
2i
iE IT
ω
[ ]L
iiE
R
iM
TM �
�
��
≡��
�� θθ
[ ]R
iiC
L
i MT
M ��
��=
��
��
+
θθ
1
(6.18)
Definem-se as seguintes quantidades como vectores de estado, que são os deslocamentosangulares e torques nos lados direito e esquerdo da estação i :
Define-se ainda a matriz de transferência da estação que relaciona os dois vectores de estado (6.16):
(6.19)
Deste modo a equação (6.17) pode ser escrita numa forma mais compacta:
(6.20)
De forma semelhante as equações (6.13) e (6.15) podem ser representadas por:
onde:
(6.21)
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
[ ] �
���
�=10
1 iiC
aT
[ ]L
ii
L
i MT
M ��
��=
��
��
+
θθ
1
[ ] [ ] [ ]iEiCi TTT =
[ ] [ ] [ ] [ ] niM
TTTTM
L
ii
L
i
,...,2,1 ...1
1211
=��
��Θ
=��
��Θ
−+
Onde se define a matriz de transferência do campo:
(6.23)
(6.25)
(6.24)
(6.22)
Introduzindo (6.20) em (6.21) obtém-se:
Onde:
Representa a matriz de tranferência que relaciona o vector de estado no lado esquerdo daestação i + 1 com o vector de estado no lado esquerdo da estação i.
Pode-se provar que começando com o primeiro disco i = 1, se tem a seguinte relação:
Adicionalmente, observando a última figura apresentada, conclui-se que:
[ ]LR
n MT
M 11 ��
��Θ
=��
��Θ
+
(6.26)
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1211 ... TTTTTT nnnE −+=
LLRn
LLRn MTTMMTT 12212111121111 +Θ=+Θ=Θ ++
0 0 11 == +Rn
L MM
(6.27)
Onde a matriz de transferência global é:
e relaciona o vector de estado no lado esquerdo da estação 1 com o vector de estado no ladodireito da estação n + 1.
A equação (6.26) escrita na forma explícita é:
Onde os elementos Tij (i,j= 1,2) da matriz de transferência global [T] representam polinómiosem ω2. A equação do sistema em ordem à frequência obtém-se fazendo um dos elementosdesta matriz, ou uma combinação de elementos, igual a zero através das c.f. nos extremos daviga.
A - Veio livre nas duas extremidades
Como não existem momentos torçores nas extremidades, as condições fronteira são:
(6.28)
(6.29)
Introduzindo as c.f. na segunda equação de (6.26) conclui-se que:
021 =T
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
0 0 11 ==Θ +Rn
L M
0 0 11 =Θ=Θ +Rn
L
B - Veio encastrado numa extremidade e livre na outra
Na extremidade esquerda o deslocamento é zero e no lado direito o torque é zero:
(6.30)
Neste caso tem-se que substituindo em (6.26) resulta:
022 =T
C - Veio encastrado nas duas extremidades
Neste caso as condições fronteira são:
O que resulta em:
012 =T
(6.31)
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES À FLEXÃO (vibrações transversais de vigas)
Representa uma extensão do método de Holzer, neste caso para as vibraçõestransversais de vigas
� Vibrações torcionais de vigas:
Equação diferencial de 2ª ordem
Os vectores das estações são 2D, as componentes são o deslocamentoangular e o momento torçor
� Vibrações transversais de vigas:
Equação diferencial de 4ª ordem
Os vectores das estações são 4D, as componentes são o deslocamento, declive, momento flector e esforço de corte
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
� Assume-se uma viga esbelta, elástica, linear e não uniforme
� Representa-se a viga por um conjunto de massas concentradasligadas por vigas sem massa e rigidez à flexão uniforme
� As massas são as estações
� As vigas uniformes são os campos
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Resumo do Método
(a) Representar a viga esbelta e não uniforme por um conjunto de massas concentradasligadas por segmentos de veio sem massa e com rigidez à flexão uniforme
(b) Fazer o d.c.l. da estação i e do campo i para obter uma equação do momento e outraequação da força
(c) Campo: representar o deslocamento e a rotação em i+1 em função do deslocamento, rotação, força e momento em i .
Oscilações livres – movimento harmónico
d) Deduzir a matriz de transferência da estação i : passar do ladoesquerdo para o lado direito da estação i
e) Deduzir a matriz de transferência do campo i : passar do lado
esquerdo para o lado direito do campo i
f) Deduzir uma matriz geral que relaciona no lado direito da vigacom as mesmas quantidades no lado esquerdo
g) Especificar as condições fronteira para obter a equação da frequência a partir daequação que relaciona os e
QMw ,,, Ψ
QMw ,,, Ψ
QMw ,,, Ψ
Rnv L
0v
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Diagrama de corpo livre da estação i e do campo i sujeitos a flexão
(a) estação i (b) campo i
(b) Fazer o d.c.l. da estação i e do campo i para obter uma equação do momento e outra equação da força
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Da figura (a) e por haver continuidade tem-se:
Onde Ψi representa o declive (tangente à curva de defleção)
Para vigas esbeltas despreza-se a inércia à rotação, logo o equilibrio de momentos para a estação i é:
O equilibrio de forças para a estação i é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ttttwtwtw iL
iR
iiLi
Ri Ψ=Ψ=Ψ== (6.32)
( ) ( )tMtM Li
Ri =
( ) ( ) ( )twmtQtQ iiLi
Ri ��=−
(6.33)
(6.34)
Interessa definir of coeficientes de influência de flexibilidade da estação i (assumidacomo restringida nos movimentos):
é a translação em i+1 devido a uma força unitária em i+1,
é a translação em i+1 devido a um momento unitário em i+1,
é a rotação em i+1 devido a uma força unitária em i+1,
é a rotação em i+1 devido a um momento unitário em i+1,
wQiawMia
QiaΨ
MiaΨ
11 =+LiQ
11 =+LiM
11 =+LiQ
11 =+LiM
(c) Campo: representar o deslocamento e a rotação em i+1 em função do deslocamento, rotação, força e momento em i .
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Então da figura (b) obtém-se:
Adicionalmente como as os segmentos de veio não têm massa, da fig (b) tem-se:
Introduzindo as equações (6.36) em (6.35) obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tQatMatxtwtw Li
wQi
Li
wMi
Rii
Ri
Li 111 +++ ++Ψ∆+=
( ) ( ) ( ) ( )tQatMatt Li
wQi
Li
wMi
Ri
Li 111 +++ ++Ψ=Ψ
(6.35a)
(6.35b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tQaxatMatxtwtw Ri
wMii
wQi
Ri
wMi
Rii
Ri
Li ∆−++Ψ∆+=+1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tQaxatMatt Ri
Mii
Qi
Ri
Mi
Ri
Li
ΨΨΨ+ ∆−++Ψ=Ψ 1
(6.36a)
(6.36b)
(6.37a)
(6.37b)
( ) ( ) ( )tQxtMtM Rii
Ri
Li ∆−=+1
( ) ( )tQtQ Ri
Li =+1
(d) Deduzir a matriz de transferência da estação i : passardo lado esquerdo para o lado direito da estação i
QMw ,,, Ψ
Vai-se analisar as oscilações livres sem amortecimento, logo as vibrações sãoharmónicas e deste modo pode-se eliminar a dependência do tempo das eqs anteriores
Define-se os vectores da estação i como:
onde as várias componentes representam constantes pois a dependência do tempo foieliminada
Deste modo as equações (6.32) a (6.34) podem ser escritas na seguinte forma:
Onde Tsi é a matriz de transferência que permite representar o deslocamento no ladodireito da estação i em função do deslocamento no lado esquerdo:
[ ] [ ]TLi
Li
Li
Li
Li
TRi
Ri
Ri
Ri
Ri QMwQMw ve v ψψ ==
LiSi
Ri T vv =
(6.38)
(6.39)
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Onde Tsi é a matriz de transferência que permite representar o deslocamento no ladodireito da estação i em função do deslocamento no lado esquerdo.
(6.39)
�
�
����
�
�
−
=
100010000100001
2i
Si
m
T
ω
Utilizando as eqs (6.36) e (6.37) deduz-se a operação de transferência do campo i:
Onde os coeficientes de influência são:
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
RiFi
Li T vv 1 =+
( )
�
�
�����
�
�
∆−∆−∆−∆∆
=
1000100
2/106/2/1 2
i
iii
iiiii
Fix
xaa
xaxax
T
(e) Deduzir a matriz de transferência do campo i : passardo lado esquerdo para o lado direito do campo i
QMw ,,, Ψ
( ) ( ) ( )
( ) ,
22
, 22
, 33
2
223
ii
Mi
ii
i
iQi
ii
i
iwMi
ii
i
iwQi
aEI
xa
xaEIx
a
xaEIx
axa
EIx
a
=∆=∆=∆=
∆=∆=∆=∆=
ΨΨ
(6.40)
(6.41)
(6.42)
Ou seja, deduzir uma matriz de transferência que relaciona com :
Combinando (6.39) e (6.40) representa-se v no lado esquerdo do campo i+1 em funçãode v no lado esquerdo de i:
Prova-se que a transferência do lado esquerdo da 1ª estação para o lado esquerdo daestação n é:
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
(f) Deduzir uma matriz geral que relaciona no lado direito daviga com as mesmas quantidades no lado esquerdo
QMw ,,, Ψ
RnV L
0V
LRn T 0vv =
RiFi
Li T vv 1 =+
LiSi
Ri T vv = (6.39) (6.40)
Lii
LiSiFi
Li TTT vvv 1 ==+
(6.43)
(6.44)
Lnn
Ln TTTT 11221 v...v −−= (6.45a)
Onde:
Para transferir v para o lado direito da estação n usa-se TSn:
SiFii TTT = (6.45b)
Para transferir v para o lado direito da estação n usa-se TSn:
E a matriz de transferência que passa o vector v do lado esquerdo da estação 1 parao lado direito da estação n é:
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
LnnSn
Rn TTTTT 11221 v...v −−=
1221 ... TTTTTT nnSn −−= (6.47)
(6.46)
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
�
�
����
�
�
�
�
����
�
�
=
�
�
�����
�
�
Ψ
0
0
44434241
34333231
24232221
14131211
00
00
Q
M
TTTT
TTTT
TTTT
TTTTwRn
Rn
( ) ( )( ) ( ) 0det
244
243
234
233 =
�
���
�
ωωωω
TT
TT
0 , 0M 0, , 0 00 ==== Rn
Rn Qw ψ
(g) Especificar as condições fronteira para obter a equação da frequência a partir da equação que relaciona os eR
nv L0v
Exemplo: viga encastrada numa extremidade e livre na outra
As cond fronteira são:
Substituindo as c.f. na equação (6.43) resulta:
Para satisfazer as duas últimas equações deve-se verificar a seguinte condição:
Equação das frequênciasA solução dá os valores próprios, 22
221 ,...,, nωωω
(6.48)
(6.49)