método de bowditch

7/25/2019 Mtodo de Bowditch

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Los mtodos clsicos de ajuste y compensacin para

estas aplicaciones son el de BOWDITCH y el de

BAARDA.

La denominacin de itinerario responde a aplicaciones

de menor entidad (deslindes, taquimetra) en cuyo

caso los aparatos de observacin y los mtodos declculo se acomodan a las tolerancias exigidas.


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En cada punto de estacin se realizan mediciones de

frente y espalda, tanto para la determinacin de las

distancias como para las direcciones, aparte de la

obligada aplicacin de la regla de Bessel, con el fin de

aumentar la precisin en las mediciones y evitar losposibles errores groseros.

En el caso de la figura siguiente el itinerario se

encuadra en cuatro vrtices de la red (0, 1,.....,n, n+1),lo cual permite conocer lo acimut en los puntos 1 y n,

as como los valores de su coordenadas.

Descripcin del mtodo:


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ECUACIONES DE CONDICIN

1La suma del acimut inicial q1ms los ngulos

observados en los vrtices 1,2,...,n deben coincidircon el acimut final.

Innnni

180......

1

21

0

1 qq

Dado que los ngulos iestn afectados de errores

de observacin ei, para que se cumpla la condicin 1:

n

i i

n

n

n

i

i

n

i i

n

nni

nce

neeee

1

0

1

1

1

1

0

1

1

21

180

180......

qq

qq


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2 Las coordenadas conocidas del vrtice n (Xn, Yn)deben ser iguales que las calculadas a partir de los

vrtices del itinerario. Sus discrepancias sern elerror de cierre.

El clculo de la coordenada parcial X en losvrtices del itinerario ser:

Discrepancias en X:

, 1

3 ,3 23

..

,

1


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, 1

3 ,3 23

..

, 1

,+ = +

De donde:

Para que se cumpla la condicin II habr que corregir

las distancias y azimuts de los errores de observacin.


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(,+,+) = ( ++)

Donde:

di,i+1= Error en distancia del lado i,i+1. .Dado que el valor es de poca magnitud:

cos 1sen = 0


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(,+,+) (++

cos +)

=

Despreciando el trmino de segundo orden:

(,++ ,+ cos + ,+ +

=


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3 La tercera ecuacin de condicin se forma demanera anloga para la coordenada Y.

(,+,+) = ( ++)

(,+,+) (+ sen +)

=

(,+,+) (+ sen +)

=

(,++ ,+ sen + ,+ +

=


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Mtodo de BOWDITCH

Es el ms comn para la compensacin de

poligonales. Este procedimiento distribuye

inicialmente el error angular de cierre por partes

iguales entre todos los ngulos del itinerario.

Una vez corregidos los ngulos se calculan los

azimuts compensados y se aplican los siguientes

criterios de ajuste:


11/28Sea CRel vector error total de la poligonal.

Figura 1


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RR

nnnnR

nn

nny

nnx

CdevectordelAcimut

yyxxC

calculadasscoordenada sonyx

Donde

yyC

xxC

,

:

2'2'

''

'

'

q


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a).- El lado de la poligonal de acimut

R

i

i qq

1

se corrige solamente en escala.

b).- El lado de la poligonal perpendicular a la direccin

del vector CRse corrige solo en orientacin

c).- A un lado de la poligonal de distancia D i,i+1y

acimut

i+1con vector error OA le corresponden las

siguientes correcciones: di,i+1en escala y Dqii+1en

orientacin.


14/28

Expresando estas correcciones segn la figura 2 :

Figura 2


15/28

1

1

1

1

1

1

1

1

11,

1

1

1

11,

cos

cos

cos90cos

DDD

DD

DD

i

ii

i

ii

i

i

i

ii

i

iiii

i

ii

i

iiii

senYX

YsenXd

YXd

qqq

qq

qq

Por otro lado, si hacemos la correccin di,i+1

proporcional a:

1

1, cos

i

iRiiD qq

y la correccin Dqii+1proporcional a:

1

1, sen

i

iRii

D qq


16/28

Tendremos que:

11,

1

1

1,1,

sen

cos

D

i

iRii

i

i

i

iRiiii

DK

DKd

qqq

qq

De la figura 1:

R

y

R

R

x

RC

C

C

C qq cos,sen

Desarrollando las expresiones anteriores:


17/28

1

1,

1

1,

1

1

1,

1

1,1,

11

1,

1

111,1,

sencos

sencos

sencos

sencos

D

D

i

iyii

R

i

ixii

R

i

i

i

ixii

R

i

iyii

R

ii

i

i

R

yi

i

R

xii

i

i

ii

R

xii

R

y

iiii

CDC

KCD

C

K

CDC

KCD

C

Kd

C

C

C

CDK

C

C

C

CDKd

qqq

qq

qqq

qq


18/28

De donde segn las expresiones obtenidas de lafigura 2, tendramos:

yii

R

i

xii

R

i

CDC

KY

CDC

KX

D

D

1,1

1,1

La suma de los errores parciales dar los

componentes totales del vector error resultante delcierre del itinerario:


19/28

y

R

n

i

ii

y

n

i

i

x

R

n

i

ii

x

n

i

i

CC

D

KCY

C

C

D

KCX

D

D

1

1

1,

1

1

1

1,

1

Por tanto, tendremos que:

1

1

1,

n

i

ii

R

D

C

K


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Sustituyendo el valor de K en la ecuacin anterior:

yn

i

ii

ii

i

xn

i

ii

ii

i

C

D

DY

C

D

DX

D

D

1

1

1,

1,

1

1

1

1,

1,

1


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Lo cual implica, que las correcciones a aplicar a los

errores de cierre son directamente proporcionales a

las distancias de los lados e inversamente

proporcional a la longitud del itinerario.

La sistemtica de la compensacin se realiza de la

siguiente forma:

Se transforma en acimuts todos las direcciones

observadas, y se compensa el error de cierre angular

c en todos los ngulos del itinerario, n, en lacantidad:

n

c


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Con estos acimuts compensados y las distancias

medias de los lados se calculan las coordenadas

parciales de los vrtices, que sumados a las

coordenadas iniciales darn como resultado lascoordenadas finales.

Calculados sus discrepancias respecto a las

coordenadas finales conocidas nos dar los erroresCx, Cy.

Aplicando las frmulas anteriores, obtendremos lascorrecciones a aplicar, y de ellas las coordenadascompensadas.


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Una variante del procedimiento de compensacin es

la siguiente:

Expresemos las coordenadas parciales en un vrtice

del itinerario:

ii XX

1

y su correccin est dado, obviamente por:

xn

i

ii

iiC

D

D

1

1

1,

1,


24/28

Las coordenadas parciales compensadas sern:

1

1

1,

1

1,

1

1

1,

1,1

1,1

sen

sen

n

i

ii

xi

iii

xn

i

ii

iii

iiiii

D

CD

C

D

DDXX

q

q


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Llamando

1

1

1,

1

1

1,

n

i

ii

y

n

i

ii

x

D

Cqy

D

Cp

Luego, tendremos como expresin de las

coordenadas parciales compensadas:

11,

1

1,

cos

sen

i

iii

i

iii

qDy

pD

q

q


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p y q son cantidades constantes que se tienen que

aadir a las funciones trigonomtricas que originan

cambios de escala y orientacin.

Si Cxy Cyse expresan en milmetros (10-3m) y la

distancia total de la poligonal (SD en kilmetros (103

m), los factores p y q estarn referidos en unidades10-6.

6

3

3

10

10

10

D

C

metrosDkmD

metrosCmmCxxx

Esto significa que las funciones trigonomtricas

pueden sumarse algebraicamente con los factores p y

q expresados.


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Se basa en el valor Mi=Xi+ Yi, suma de las

coordenadas parciales compensadas del vrtice i, al

poderse obtener de dos formas independientes,ambos resultados deben ser coincidentes:

45sen2

22

:

45sen2

2

45sen2

cossen

:

cossen2

245sen

cossen

1

1

1

11

111

11

iii

i

ii

i

iii

i

i

i

iiii

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

iii

NDM

qpNyDD

llamamosSi

qp

D

DqpD

DqpDM

Luego

qDpDM

q

q

q

qq

qqq

qq


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