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Metodi di analisi geologico strutturale
Andrea Bistacchi
MAGS_02
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Statistica direzionale
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Andrea Bistacchi3
Elementi planari e lineari del fabric granulare
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Andrea Bistacchi4
Coordinate sferiche
Coord. sferiche
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Andrea Bistacchi5
Come esprimere i dati strutturali
Strike, dip direction, dip(direzione, immersione, inclinazione)
Trend, plunge(immersione, inclinazione)
Rake/pitch(angolo contenuto nel piano)
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Andrea Bistacchi6
Come esprimere i dati strutturali
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Andrea Bistacchi7
Come esprimere i dati strutturali
[Ragan & Arrowsmith]
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Andrea Bistacchi8
Inclinazione apparente
' tanD AA
Quindi:
arctan(tan *cos )
[Ragan & Arrowsmith]
D
A
' tanA AA
cosA D u Du
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Andrea Bistacchi9
Stereonet
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Andrea Bistacchi10
Proiezione stereografica (Wulff net)
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Andrea Bistacchi11
Proiezione stereografica (Wulff net)
12
12
,
' tan
45
' tan 45
p p
p
p
plunge trend
CP R
CP R
'cos 'sin
90
'sin 'cos
p
p p
x CP y CP
x CP y CP
12
12
polo di una linea , :
tan 45 sin
tan 45 cos
p p
p p
p p
x R
y R
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Andrea Bistacchi12
Proiezione stereografica (Wulff net)
2 2
grande cerchio di un piano , :
tan sin ( / cos )cos
tan cos ( / cos )sin
dove è un parametro t.c. 0 2
e x
d d
d d d
d d d
x R R
y R R
y R
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Andrea Bistacchi13
Proiezione equiareale di Lambert (Schmidt net)
12
12
polo di un piano , :
2 sin 45 sin
2 sin 45 cos
p p
p p
p p
x R
y R
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Andrea Bistacchi14
Statistica direzionale: Fisher
1
Il vettore medio (mean vector) da una popolazione di n vettori è:
1( ) dove i vettori ( ) sono di lunghezza unitaria
In generale 1
La varianza sferica è definita come (Davi
n
i
i in
U u u
U
2
s
s, 1986, p.334):
s 1
Si possono calcolare intervalli di confidenza conici sulla media
(analoghi all'errore std sulla media) associati ad un dato livello
di probabilità (es. 95%), ma questo dipende mo
U
lto da assunzioni
sulla funzione di distribuzione.
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Andrea Bistacchi15
Statistica direzionale: Fisher
2
La distribuzione di Fisher è unipolare, "analoga" alla
Gaussiana, basata sui due parametri e :
11 per 16
1 per 16
Al contrario della Gaussiana,
nn
nn n
nn
n n
U
U
U
1
1
un parametro
elevato indica bassa dispersione.
L'intervallo di confidenza per una distribuzionedi Fisher è dato da:
1 1arccos 1 1
dove è il livello di confidenza.
n
U
U
Ad es. 0.05 indica una probabilità
del 5% che il mean vector (vero) della popolazione cada all'esterno di un cono
con semi-angolo al vertice centrato sul mean vector campionario .
U
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Andrea Bistacchi16
Statistica direzionale: Bingham
2
2
2
Matrice delle somme dei prodotti delle componenti , m , n di una popolazione di n vettori unità:
(Mardia, 1972 - Analogo al momento di inerzi
i i i
i i i i i
i i i i i
i i i i i
l
l l m l n
l m m m n
l n m n n
T
T
max med min max med min
max
a)
La distribuzione degli n vettori è descritta dai tre autovettori , , e autovalori , ,
di . Per una distribuzione unipolare, si ha convergenza con il caso precedente:
t t t
n
T , .t nU
Autovalori: Tipo di distribuzione: Note:
tmin ≈ tmed ≈ tmax uniforme nessuna orientazione significativa
tmin ≈ tmed « tmax unipolare se │U │ ≈ 1, altrimenti bipolare simmetria rotazionale intorno a tmax
tmin < tmed « tmax unipolare se │U │ ≈ 1, altrimenti bipolare
simmetrica
concentrazione ad una o ad entrambe
le estremità di tmax
tmin « tmed < tmax girdle (cintura) asimmetrica ellittica il piano della girdle (cintura) è
individuato da tmax, tmed
tmin « tmed ≈ tmax girdle (cintura) simmetrica simmetria rotazionale intorno a tmin
Il calcolo degli intervalli (coni a sezione ellittica) di confidenza è complesso e dipende da ipotesi sul tipo di distribuzione
di Bingham (normalmente non si fa).
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Andrea Bistacchi17
Statistica direzionale: Bingham
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
tmin
«tm
ed<
tmax
tmin
«tm
ed≈
tmax
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
tmin
< t
med
« t
max
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
tmin
≈ t
med
« t
max
tmin
tmed
tmax
tmin
tmed
tmax
tmin
tmed
tmin
tmed
tmax ≈ U
tmax ≈ U
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Andrea Bistacchi18
Bibliografia
• Groshong R.H., 2006. 3-D Structural Geology - A Practical Guide to Quantitative Surface and Subsurface Map Interpretation (2nd ed.). Springer-Verlag.
• Means W., 1976. Stress and strain. Springer-Verlag.
• Pollard D.D. & Fletcher R.C., 2005. Fundamentals of Structural Geology. Cambridge University Press.
• Spencer A.J.M., 2004. Continuum mechanics. Dover.
• Davis, J.C., 2002. Statistics and Data Analysis in Geology, 3rd ed. John Wiley & Sons.
• Mardia, K., 1975. Statistics of Directional Data. J. R. Stat. Soc. Ser. B-Methodological 37, 349–393.
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Andrea Bistacchi19
Funzioni utili in Matlab® (dettagli con <fn> help)
plot plottare qualunque cosa in 2D inclusi stereoplot (usare opzione
axis equal e vedere help plot)
% per conversione gradi <> radianti
rad = pi/180; deg = 180/pi;
% polo di un piano
Plunge = 90-Dip; Trend = DipAzimuth+180; Trend = Trend-(Trend>360)*360;
% vettore unità
Normal = [ cos(Plunge*rad)*sin(Trend*rad)
cos(Plunge*rad)*cos(Trend*rad)
-sin(Plunge*rad) ];
% numero dati in input (da adattare secondo formato)
Ndata = length(data);
% autovalori e autovettori
[V,D] = eig(A) restituisce una matrice diagonale D con autovalori
ordinate e una matrice V con autovettori in colonna t.c. A*V = V*D
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DOM = Digital Outcrop Model(virtual outcrop)
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Raw data: TLS/LIDAR
TLS (Terrestrial Laser Scanner)/LIDAR (Laser Imaging
Detection And Ranging)
• Yields point clouds with XYZ coordinates with errors:
range ± 5mm @200m, ± 2cm @1000m, angle 0.005°,
beam footprint ~25cm @1000m.
• Typical range ≤ 1 km, long range up to ~2 km.
• Spatial resolution generally ~1-10 point/cm2.
A camera is generally attached
to the laser head, allowing to
obtain co-linear images
(±errors), used to “colorize” the
point cloud with RGB values and
make it “photorealistic”.
Resolution of the image is
independent from the point
cloud and depends on the
camera and lens!
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Raw data: TLS/LIDAR
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Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
Local errors (between two
adjoining photos) ≤ pixel
(otherwise convergence not
attained).
Point cloud and oriented
photos are perfectly co-
registered and have similar
resolution.
Arbitrary resolution
depending on sensor and
lens.
Possible large scale
distortion due to small-scale
error propagation (
acquisition).
Principles of stereo-
photogrammetry:
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Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
image fans or “point of interest”
(oblique views)
image strip survey
(nadir or perpendicular views)
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Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
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Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
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Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
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Raw data: laser vs. SFM
TLS/LIDAR• More standard
• Almost fixed resolution
• Granted accuracy on several kinds of surfaces
• People say it is more reliable
• “Sees” through vegetation
• Heavier and more complex in the field
• Less measurement stations
• Possible errors in pointcloud/images alignment
SFM• More flexible
• Arbitrary resolution
• Granted accuracy on textured/patterned surfaces (rocks)
• With proper software and acquisition, possibly more accurate
• Do not “see” through vegetation
• Lighter and faster in the field
• Needs several shooting stations (drone…)
• Granted pointcloud/images alignment