1

METODEREGULA FALSISolusi Persamaan Non Linier

Purwanto,S.SiUniversitas Budi Luhur

2

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

METODE REGULA FALSIMetode regula falsi merupakan salah satu metodetertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaannon linier, dengan prinsip utama sebagai berikut :1) Menggunakan garis scan [garis lurus yang

menghubungkan 2 koordinat nilai awal thp kurva] untukmendekati akar persamaan nonlinier (titik potongkurva f(x) dengan sumbu x)

2) Taksiran nilai akar selajutnya merupakan titikpotong garis scan dengan sumbu x

3

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

PROSES ITERASI

y

xa b

f(x)

a0 b0

c

c

f(a)

f(b)

f(c)c1

f(c1)

a1 b1c1

a2 b2

c = a + w(b – a)

w =f(a) - f(b)

f(a)

4

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

LANGKAH PENYELESAIAN1. Tentukan nilai awal a dan b2. Cek konvergensi nilai f(a) dan f(b)

a) Jika tanda f(a) ≠≠≠≠ tanda f(b), nilai awal dapat digunakan untukiterasi selanjutnya

b) Jika tanda f(a) = tanda f(b), pilih nilai awal yang baru3. Lakukan Iterasi4. Hitung nilai tengah (c) antara a dan b, dimana c = a + w(b – a)

dengan w = f(a) / (f(a) – f(b))5. Cek konvergensi nilai c

a) Jika terdapat XTOL, bandingkan XTOL dengan ErcErc = | cn – cn-1| / |cn|

b) Jika terdapat FTOL, bandingkan FTOL dengan | f(cn) |c) Jika nilai cn-1 dan cn konstand) Jika nilai f(cn) = 0

6. Jika belum konvergen juga, tentukan nilai awal baru dengan cara :a). Jika tanda f(c) = tanda f(a) maka c akan menggantikan ab). Jika tanda f(c) = tanda f(b) maka c akan menggantikan b

5

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

CONTOH

Dengan mengunakan Metode Regula Falsi,tentukanlah salah satu akar dari persamaan f(x) = x2 - 5x + 4. Jika diketahui nilai awal x = 2 dan x = 5 serta ketelitian hingga 3 desimal.

6

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

PENYELESAIANMetode Regula Falsi

f(x) = x2 - 5x + 4

Cek Nilai Awala = 2b = 5

Karena tanda f(a) ≠ f(b) � nilai awal dapat digunakanuntuk iterasi selanjutnya.

� f(2) = (2)2 - 5(2) + 4 = -2� f(5) = (5)2 - 5(5) + 4 = 4

7

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

n a bf(a) f(b) c f(c)w

PENYELESAIAN

a = 2� f(2) = (2)2 - 5(2) + 4 = -2b = 5 � f(5) = (5)2 - 5(5) + 4 = 4

0 2

Nilai Awal

-2 5 4

c = 2 + 0,333(5 – 2)

w =(-2) - (4)(-2)

= 0,333

0,333

= 3

3

� f(3) = (3)2 - 5(3) + 4 = -2

-2

8

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

n a bf(a) f(b) c f(c)w

PENYELESAIAN

0 2 -2 5 4 0,333 3 -2

1 3 -2 5 4

9

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

n a bf(a) f(b) c f(c)w

PENYELESAIAN

0 2 -2 5 4 0,333 3 -2

1 3 -2 5 4

c = 3 + 0,333(5 – 3)

w = (-2) - (4)-2 = 0,333

= 3,667

� f(3,667) = (3,667)2 - 5(3,667) + 4 = -0,889

0,333 3,667 -0,889

10

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

n a bf(a) f(b) c f(c)w

PENYELESAIAN

0 2 -2 5 4 0,333 3 -2

1 3 -2 5 4 3,6670,333 -0,889

3,667 -0,889 5 42

11

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

n a bf(a) f(b) c f(c)w

PENYELESAIAN

0 2 -2 5 4 0,333 3 -2

1 3 -2 5 4 3,6670,333 -0,889

3,667 -0,889 5 42

c = 3,667 + 0,182(5 – 3,667)

w = (-0,889) - (4)-0,889 = 0,182

= 3,909

� f(3,909) = (3,909)2 - 5(3,909) + 4 = -0,264

0,182 3,909 -0,264

12

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

n a bf(a) f(b) c f(c)w

PENYELESAIAN

0 2 -2 5 4 0,333 3 -2

1 3 -2 5 4 3,6670,333 -0,889

3,667 -0,889 5 42 0,182 3,909 -0,264

3 3,909 -0,264 5 4

13

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

n a bf(a) f(b) c f(c)w

PENYELESAIAN

0 2 -2 5 4 0,333 3 -2

1 3 -2 5 4 3,6670,333 -0,889

3,667 -0,889 5 42 0,182 3,909 -0,264

3 3,909 -0,264 5 4

c = 3,909 + 0,062(5 – 3,909)

w = (-0,264) - (4)-0,264 = 0,062

= 3,977

� f(3,977) = (3,977)2 - 5(3,977) + 4 = -0,069

0,062 3,977 -0,069

dan seterusnya....14

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

PENYELESAIAN

� Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7, karenac6 dan c7 konstan (c6= c7= 4,000) sehingga diperolehakar dari persamaan non liniernya adalah 4,000

15

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

LATIHAN 11) Dengan menggunakan Metode Regula Falsi, tentukan salah

satu akar dari persamaan nonlinier f(x) = 2x2 + x – 1, jikadiketahui nilai awal x = 0 dan x = 1 dan dengan ketelitianhingga 3 desimal

2) Misal diketahui persamaan nonlinier f(x) = x3 - 3x, dengannilai awal x = -2 dan x = -1 ; dan ketelitian 2 desimal,toleransi galat relatif terhadap x = 0,01. Denganmenggunakan Metode Regula Falsi, apakah pada iterasike 6 telah ditemukan salah satu akar dari persamaantersebut?

3) Misal diketahui persamaan nonlinier f(x) = x2 - 3x - 4,mempunyai nilai awal x = 1,5 dan x = 4,5 ; dan denganketelitian hingga 3 desimal, toleransi galat relatif terhadapx = 0,001. Dengan menggunakan Metode Regula Falsi,temukan salah satu akar dari persamaan tersebut?

�

�

�

16

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

LATIHAN 2

1) Tentukanlah salah satu akar dari persamaan nonlinier f(x) = x2 – 7x + 1 dengan menggunakanmetode Regula Falsi, jika diketahui nilai awal x = 0,5dan x = 9 serta ketelitian hingga 2 desimal.

2) Tentukanlah salah satu akar dari persamaan nonlinier f(x) = (2/3)x2-(3/4)x-1 dengan menggunakanmetode Regula Falsi, jika diketahui nilai awal x = -0,5dan x = 3,25, toleransi galat relatif terhadap x = 0,05 serta ketelitian hingga 2 desimal.

17

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

Thank You

18

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

SOLVEf(x) = 2x2 + x – 1, Nilai awal x = 0 dan x = 1

Ketelitian s/d 3 desimal

19

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

SOLVEf(x) = x3 - 3x, Nilai awal x = -2 dan x = -1 ;

XTOL = 0,01, s/d iterasi ke 6, Ketelitian s/d 2 desimal

20

NUMERICALMETHODS

Purwanto,S.Si

SOLVE

XTOL = 0,001 ; Ketelitian s/d 3 desimalf(x) = x2 - 3x - 4, Nilai awal x = 1,5 dan x = 4,5;