METODE KEKAKUAN / PERPINDAHAN*

1. Matrik Kekakuan2. Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Pegas3. Penggabungan Elemen Pegas 4. Penggabungan Matrik Kekakuan dengan Metode Kekakuan Langsung5. Kondisi Batas6. Contoh KasusMetode Elemen HinggaOutline*

Matrik kekakuan k atau {k} Suatu matrik sedemikian rupa sehingga f= kd untuk suatu elemen, yang mana k menunjukkan matrik kekakuan untuk koordinat lokal (x, y, z) yang berhubungan dengan node d atau [d] untuk gaya-gaya f atau [f] yang bekerja pada satu elemen.

Gambar elemen pegas satu dimensi 2 node yang ditinjau dari koordinat lokal (x, y, z) atau koordinat global (x, y, z)*1. Matrik Kekakuan

Asumsi Elemen Pegas Mengikuti hukum Hook Gaya yang bekerja hanya pada satu arah saja.*2. Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Pegas

Langkah ke 2 : Memilih fungsi perpindahanElemen pegas menahan gaya aksial saja ke arah atau paralel dengan sumbu x, maka derajat kebebasannya atau perpindahan pada koordinat lokal adalah d1x dan d2x. Di sini perpindahannya sesuai dengan fungsi u pada masing-masing node. Selanjutnya ditentukan fungsi perpindahan u ke arah aksial sepanjang elemen pegas dengan asumsi linier :*

**

*Persamaan (2) fungsi bentuk, karena N mengekspresikan bentuk fungsi perpindahan yang telah diasumsikan di koordinat xpada elemen.

Jika N1= 1 pada node 1 maka pada node 2, N2= 0 dan jika N2 = 1 pada node 2 maka N1 = 0 pada node 1.

Untuk sembarang posisi pada koordinat berlaku : N1+ N2 = 1. N juga disebut fungsi interpolasi, karena dengan cara mengintepolasikan, maka didapat harga diantara harga node sesuai dengan fungsinya.Menunjukkan fungsi bentuk untuk masing-masing node (asumsi Linear)*

Langkah ke 3 : Mendefinisikan hubungan antara gaya dan perpindahan Gambar berikut menunjukkan elemen pegas yang mengalami perpanjangan (elongasi) atau terdeformasi disebabkan oleh gaya T. Besar elongasi sebesar d1x kearah kiri (negatif) dan d2x kearah kanan (positif) sepanjang sumbu x.*Elongasi :Hubungan gaya dan perpindahan (elongasi) :

Langkah ke 4 : Menurunkan rumus dan matrik kekakuan elemenSesuai dengan arah beban dan prinsip keseimbangan :

*k = matrik kekakuan lokal. Simetris, jumlah kolom dan baris sama ( m = n ).......... (3)

Langkah ke 5 : Menggabungkan rumus elemen lokal untuk mendapat rumus globalPrinsipnya adalah menjumlahkan masing-masing kekakuan tiap elemen dan gaya tiap elemen sedemikian rupa atau dinyatakan sebagai berikut:*Langkah ke 6 : Menghitung perpindahan nodeHarga perpindahan dapat diketahui setelah diberikan kondisi batas, seperti tumpuan, pada persamaan-persamaan yang telah disusun pada langkah sebelumnya, sehingga dapat diselesaikan persamaan [F]={K}[D] secara simultan.Langkah ke 7 : Menghitung gaya-gaya pada elemenSetelah perpindahan dapat diketahui harganya, maka dengan cara subtitusi kembali pada persamaan gaya, maka gaya pada masing masing elemen dapat diketahui.

......... (4)

3. Penggabungan Elemen PegasStruktur seperti truss, frame dan kontruksi jembatan, terdiri dari komponen-komponen struktur yang saling berhubungan satu dengan yang lainnya. Untuk menganalisanya maka, kekakuan seluruh struktur yang terdiri dari elemen-elemen harus ditentukan terlebih dahulu. Perlu disusun matrik kekakuan global (seluruh struktur) yang terdiri dari kekakuan lokal. Gambar berikut menunjukkan dua elemen pegas yang saling berhubungan, dan sesuai dengan langkah 5, matrik kekakuan global akan disusun.*

Elemen 1 Elemen 2Kedua elemen tersebut terhubung pada node 3Gaya yang bekerja pada node 3 Gaya yang bekerja pada node 1 dan 2......... (5)......... (6)*

Mensubtitusikan persamaan-persamaan sebelumnya: Diatur sedemikian rupa sehingga bisa berurutan dari node 1 sampai ke node 3......... (7)...... (8)*

*4. Penggabungan Matrik Kekakuan dengan Metode Kekakuan LangsungSering digunakan karena lebih mudah untuk menyusun matrik kekakuan global. Berdasarkan superposisi pada tiap elemen pada suatu strukturmenunjukkan masing-masing derajat kebebasan pada tiap-tiap node sesuai dengan harga k-nya

*Sistem pegas pada kasus mempunyai 3 derajat kebebasan atau 1 derajat kebebasan pada masing-masing node, Matrik kekakuan untuk masing-masing elemen dapat dinyatakan dalam matrik yang berdimensi 3 x 3Elemen 1Elemen 2......... (9)......... (10)

*3 derajat kebebasan : Matrik kekakuan global (3 x 3)Matrik kolom perpindahan dan gaya global (3 x 1 ; jumlah barisnya = jumlah derajat kebebasan)......... (11)

*Matrik K disusun dengan secara langsung menjumlahkan nilai k pada tiap node-nya. Tulis kembali matrik k pada masing-masing elemen Jumlah derajat kebebasannya adalah 3, maka matrik K pasti berdimensi 3 x 3, langsung buat matrik dengan dimensi tersebut. Susun sel pada matrik K dari tiap sel dari matrik k

*5. Kondisi BatasPersamaan kekakuan global dapat diselesaikan, maka suatu struktur harus mempunyai kondisi batas. Kondisi batas, dalam kasus ini adalah tumpuan. Ada dua jenis kondisi batas : homogen dan non homogen. Kondisi batas homogen terjadi pada tumpuan yang harga perpindahannya nol. Sedangkan untuk non homogen jika perpindahannya mempunyai harga tertentu atau tidak nol.

a. Kondisi batas di node 1 : homogen (perpindahannya nol)

Jika rumus ke dua dan ke tiga pada persamaan (12) diubah ke bentuk matrik maka:*

a. Kondisi batas di node 1 : tidak homogen (perpindahannya tidak nol, misal d1x = L)F1x, = besar gaya pada saat node 1 telah berpindah sebesar L *

Pada kondisi batas non homogen Kolom dan baris pertama matrik K dan baris pertama pada matrik d yang berhubungan dengan kondisi batas tidak dapat dihapus karena merupakan perkalian dengan harga lebih besar dari nol dan hasilnya harus dipindah ke ruas kanan sebelum perpindahan yang tidak diketahui (d2x dan d3x) diselesaikan.*

Contoh Kasus (1)Suatu rangkaian pegas mempunyai harga konstanta pegas k1 = 2000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 6000 N/m dan diberi beban P = 10 000 N pada node 4, tentukan ;a. Matrik kekakuan global, b. Perpindahan pada node 3 dan 4 c. Gaya reaksi pada node 1 dan 2d. Gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing pegas

Contoh Kasus (2)Gambar berikut menunjukkan rangkaian elemen pegas, Node 1 adalah tetap sedangkan node 4 mempunyai perpindahan sebesar L = 0,2 m. Konstanta pada semua elemen pegas adalah sama yaitu k = 100 kN/m. Tentukan :Matrik kekakuan global, Perpindahan pada node 3 dan 4Gaya-gaya globalGaya lokal pada masing-masing elemen.

*

*********