METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI

DENGAN MODEL VOLATILITAS RISK ADJUSTED PRICING

METHODOLOGY (RAPM)

ILHAM SYATA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Metode Numerik untuk

Menentukan Nilai Opsi dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology

(RAPM) adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan

belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber

informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak

diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam

Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Oktober 2015

Ilham Syata

G551130061

RINGKASAN

ILHAM SYATA. Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model

Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM). Dibimbing oleh DONNY CITRA

LESMANA dan HADI SUMARNO.

Fisher Black dan Myron Scholes (1973) menunjukkan bahwa harga opsi

merupakan solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP) yang disebut

persamaan Black Scholes. Fisher Black dan Myron Scholes dalam merumuskan

persamaan Black-Scholes standar menggunakan asumsi bahwa tidak ada biaya

transaksi dalam jual beli aset atau opsi. Asumsi tersebut tidak relevan, karena

sebenarnya dalam jual beli aset selalu ada biaya transaksi. Dengan memasukkan

biaya transaksi ke dalam model, Jandacka & Sevcovic (2005) menunjukkan

bahwa volatilitas menjadi tidak konstan, yaitu suatu fungsi yang bergantung pada

harga saham dan turunan parsial kedua harga opsi terhadap harga saham.

Dengan mengasumsikan bahwa terdapat biaya transaksi untuk pembelian

dan penjualan aset atau opsi, persamaan Black-Scholes dengan volatilitas konstan

berubah menjadi Persamaan Black-Scholes taklinear sebagai berikut

dengan adalah harga opsi, suku bunga bebas risiko,

adalah volatilitas termodifikasi, dengan adalah waktu dan

adalah waktu jatuh tempo, adalah harga saham.

Jandacka dan Sevcovic (2005) dalam tulisannya berargumentasi bahwa

harga opsi adalah solusi dari persamaan diferensial parsial taklinear pada

persamaan di atas dengan volatilitas termodifikasi sebagai berikut

( (

)

)

dengan

adalah turunan parsial kedua U terhadap S,

adalah ukuran biaya transaksi dan adalah ukuran premi risiko,

adalah volatilitas sebagai fungsi dari dan .

Secara umum persamaan diferensial parsial taklinear tidak memiliki solusi

analitik, termasuk pada kasus ini, sehingga diperlukan metode numerik untuk

menyelesaikannya. Persamaan Black-Scholes taklinear diaproksimasi dengan

metode implisit untuk diskretisasi waktu, dan metode beda hingga upwind untuk

diskretisasi ruang (harga saham). Metode beda hingga upwind adalah suatu

metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear

dengan cara mengkombinasikan antara beda hingga maju dan beda hingga

mundur.

Skema diskretisasi metode beda hingga upwind dan metode implisit

menghasilkan matriks sistem berupa matriks M. Skema diskretisasi tersebut

terbukti monoton, konsisten dan stabil untuk penyelesaian persamaan Black-

Scholes taklinear dengan model volatilitas RAPM. Selanjutnya, ditentukan orde

kekonvergenan solusi hampiran persamaan Black-Scholes taklinear dengan

metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham dan metode implisit

untuk diskretisasi waktu. Orde kekonvergenan opsi call, opsi put, opsi butterfly,

dan opsi cash or nothing (CoN) yaitu berkisar antara

Kata kunci : Opsi Eropa, Metode Beda Hingga Upwind dan metode Implisit,

Persamaan Diferensial Parsial taklinear, Volatilitas RAPM.

SUMMARY

ILHAM SYATA. Numerical Method for Determining Option Price with Risk

Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Model. Supervised by DONNY CITRA

LESMANA and HADI SUMARNO.

Fisher Black and Myron Scholes (1973) showed that option price is the

solution of partial differential equations (PDE) called Black-Scholes equation.

When formulating the standard Black-Scholes equation, they assume that there is

no transaction costs on buying and selling either assets or options. This is

irrelevant because buying and selling assets always involve transaction costs. By

applying the transaction costs into the model, Jandacka and Sevcovic (2005)

showed that the volatility becomes a function of stock prices and the second

derivative of the option price.

Assuming that the transaction costs exist, the Black-Scholes equation with

constant volatility turns into a nonlinear Black-Scholes equation as follow

where is the option price, is a constant riskless interest rate,

is a modified volatility, with is time and is the

expiry date, and is stock price.

Jandacka and Sevcovic (2005) argue that option price is the solution of

nonlinear partial differential equations in the equation above with modified

volatility as follow

( (

)

)

where

is the second partial derivative of U,

is a measure of transaction costs and is a measure of the risk

premium, is the modified volatility as a function of and .

In general, nonlinear partial differential equations do not have analytical

solutions, including this one, so we require numerical methods to solve the

equations. The nonlinear Black-Scholes equation is approximated using an

implicit methods for time discretization and an upwind finite difference method

for space discretization. An upwind finite difference method solves the nonlinear

partial differential equations in a way that combines forward and backward finite

difference. From its discretization scheme, we have an M-matrix for the system

matrix. We show that the discretization scheme converges to the viscosity solution

to the equation by showing that the scheme is monotone, consistent, and stable.

The convergence rates of the approximation solutions to the nonlinear

equatioan using an upwind finite difference method for space discretization and an

implicit method for time discretization are calculated, and the results for call

option, put option, butterfly option, and cash-or-nothing (CoN) option are shown

to be betwen

Keywords: European Options, Upwind Finite Difference and implicit methods,

nonlinear Partial Differential Equations, RAPM Volatility

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan

atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,

penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau

tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan

IPB

Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini

dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Magister Sains

pada

Program Studi Matematika Terapan

METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI

DENGAN MODEL VOLATILITAS RISK ADJUSTED PRICING

METHODOLOGI (RAPM)

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

ILHAM SYATA

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat

dan ridho-Nya, kesempatan, dan kesehatan yang dikaruniakan-Nya sehingga

karya ilmiah yang berjudul “Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi

dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM)” ini dapat

terselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada:

1. Ayahanda dan Ibunda tercinta Muhammad Syata dan Sitti Rahman yang

telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang.

2. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, MFinMath dan Dr Ir Hadi Sumarno MS

selaku pembimbing, atas kesediaan dan kesabaran untuk membimbing dan

membagi ilmunya kepada penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini.

3. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan

Institut Pertanian Bogor.

4. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji luar komisi.

5. Dosen Departemen Matematika Terapan IPB yang telah mengasuh dan

mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan

studi, serta seluruh staf Departemen Matematika Terapan IPB atas bantuan,

pelayanan, dan kerjasamanya selama ini.

6. Mahasiswa Pascasarjana Departemen Matematika Terapan IPB, Petapa

Timbul IPB, dan HIMMPAS IPB atas segala bantuan dan kebersamaannya

selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam menuntut

ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat penulis

sebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Bogor, Oktober 2015

Ilham Syata

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

1 PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

2 TINJAUAN PUSTAKA 2

Opsi 2

Aset yang Mendasari Opsi (Underlying Asset) 5

Persamaan Black-Scholes 5

Proses Harga Saham 7

Penurunan Persamaan Black-Scholes 7

Model Volatilitas RAPM 9

Metode Iteratif Newton 9

Matriks M 10

Solusi Viskositas 10

Operator Beda Hingga 11

3 METODE PENELITIAN 12

Langkah-langkah Penelitian 12

4 HASIL DAN PEMBAHASAN 12

Syarat awal dan Syarat Batas 12

Skema Diskretisasi 13

Kekonvergenan Skema Diskretisasi 14

Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi 18

Simulasi Numerik 21

5 SIMPULAN DAN SARAN 25

Simpulan 25

DAFTAR PUSTAKA 25

LAMPIRAN 27

RIWAYAT HIDUP 32

DAFTAR TABEL

1 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi call 22 2 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put 23 3 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi butterfly 24 4 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi cash or nothing 25

DAFTAR GAMBAR

1 Payoff untuk opsi call dengan pada 5

2 Payoff untuk opsi put dengan pada 5

3 Payoff untuk opsi butterfly dengan dan

pada 5

4 Payoff untuk opsi cash or nothing dengan dan pada

5

5 Harga opsi call Eropa dengan 21

6 Harga opsi call Eropa dengan 21

7 Harga opsi put Eropa dengan 23

8 Harga opsi butterfly Eropa dengan 24

9 Harga opsi cash or nothing Eropa dengan 24

DAFTAR LAMPIRAN

1 Pembuktian Lemma Ito’ 27 2 Sintaks program 27

1 PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pasar keuangan (financial market) terdiri atas pasar uang (money market)

dan pasar modal (capital market). Pasar uang adalah suatu tempat pertemuan di

mana para pemilik dana jangka pendek dapat menawarkan kepada calon pemakai

yang membutuhkannya, baik secara langsung maupun melalui perantara.

Sedangkan yang dimaksud dengan dana jangka pendek adalah dana-dana yang

dihimpun dari perusahaan maupun perorangan dengan batasan waktu dari satu

hari sampai satu tahun, yang dapat diperjualbelikan di dalam pasar uang.

Sedangkan untuk pasar modal terjadi jual beli aset keuangan untuk jangka panjang.

Pasar modal terdiri atas pasar obligasi, pasar saham, dan pasar derivatif (Bodie et

al 2003).

Derivatif digunakan oleh manajer investasi atau manajer portofolio,

perusahaan dan lembaga keuangan, serta investor perorangan untuk mengelola

posisi yang mereka miliki terhadap risiko dari pergerakan harga saham, komoditas,

suku bunga, atau nilai tukar valuta asing tanpa memengaruhi posisi fisik produk

yang menjadi acuannya (underlying). Produk derivatif merupakan suatu instrumen

keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya seperti

saham, obligasi, dan lain-lain. Salah satu produk derivatif adalah opsi. Opsi adalah

suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk

membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga dan waktu yang telah

ditentukan.

Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 menunjukkan bahwa

harga opsi merupakan solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP) yang

disebut persamaan Black Scholes (Black & Scholes, 1973). Dalam merumuskan

persamaan Black-Scholes, salah satu asumsi yang digunakan adalah tidak ada

biaya transaksi dalam jual beli aset atau opsi. Asumsi tersebut sudah tidak relevan,

karena sebenarnya dalam jual beli aset selalu ada biaya transaksi. Dengan

memasukkan biaya transaksi ke dalam model, volatilitas menjadi tidak konstan

yaitu suatu fungsi yang bergantung pada turunan kedua dari harga saham,

persamaan Black-Scholes standar menjadi persamaan diferensial parsial taklinear

yang disebut persamaan Black-Scholes taklinear (Jandacka & Sevcovic, 2005;

Barles & Soner, 1998; Lesmana & Wang, 2013; Ankundinova & Ehrhardt, 2008;

Boyle & Vorst, 1992). Secara umum persamaan diferensial parsial taklinear sulit

diselesaikan secara analitik, termasuk pada kasus ini, sehingga diperlukan metode

numerik.

Beberapa pendekatan secara numerik dapat dilakukan untuk menentukan

harga opsi, antara lain pendekatan numerik dengan metode beda hingga (finite

difference method), metode volume hingga (finite volume method) (Wang 2004),

metode element hingga (finite element method) dan simulasi Monte Carlo (Monte

Carlo Simulation). Metode beda hingga upwind dan metode volume hingga

terbukti konsisten, stabil dan monoton (Zhang & Wang 2009; Lesmana & Wang

2013). Metode beda hingga (finite difference method) dengan metode diskretisasi

fully implisit monoton dan konvergen ke solusi viskositas, sedangkan Crank-

Nicolson hanya monoton bersyarat (Pooley et al 2001).

2

Berdasarkan uraian di atas, pada penelitian ini akan dikaji perilaku dan

kecepatan kekonvergenan solusi numerik menggunakan metode beda hingga

upwind untuk diskretisasi harga dan metode implisit untuk diskretisasi waktu,

untuk model Black-Scholes dengan volatilitas RAPM.

Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah:

1. mengembangkan metode numerik untuk mencari harga opsi ketika terdapat

biaya transaksi. Metode tersebut didasarkan pada metode implisit untuk

diskretisasi waktu, serta metode beda hingga upwind untuk diskretisasi

harga saham.

2. menentukan orde kekonvergenan solusi hampiran menggunakan metode

beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham, serta metode implisit

untuk diskretisasi waktu.

2 TINJAUAN PUSTAKA

Opsi

Definisi 1 (Opsi)

Opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian antara dua pihak, di mana salah satu

pihak (sebagai pembeli opsi) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu

aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang

ditentukan (Hull, 2006).

Nilai Opsi

Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk

mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat.

Ada beberapa hal yang memengaruhi nilai opsi, yaitu:

a) Harga underlying asset (S)

Underlying asset yang digunakan adalah saham. Harga saham berpengaruh

terhadap harga opsi. Jika harga saham naik maka harga opsi call akan

meningkat, sedangkan jika harga saham naik maka harga opsi put akan turun.

b) Harga strike (K)

Harga strike atau harga exercise merupakan harga jual atau harga beli saham

yang tercantum dalam kontrak opsi dan besarnya akan tetap selama masa

berlangsungnya opsi tersebut. Jika faktor lain diasumsikan tetap, maka

semakin rendah harga strike maka akan semakin tinggi harga opsi call,

sedangkan untuk opsi put semakin tinggi harga strike maka akan semakin

tinggi harga opsi tersebut.

3

c) Waktu jatuh tempo (T)

Waktu jatuh tempo akan memengaruhi perubahan harga opsi. Semakin lama

jangka waktu jatuh tempo suatu opsi maka akan semakin besar peluang harga

saham mempengaruhi harga opsi.

d) Volatilitas (σ)

Volatilitas merupakan suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga

berfluktuasi dalam suatu periode (Lo 2003). Volatilitas atas saham ini

mengukur tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham tersebut di masa

yang akan datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka kemungkinan

menyimpang dari nilai harapan juga semakin tinggi.

e) Suku bunga bebas risiko ( )

Pada tingkat suku bunga bebas risiko yang tinggi, investor akan lebih tertarik

untuk membeli opsi daripada membeli saham karena:

1. pemegang opsi dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau

tidak hingga masa jatuh tempo berakhir,

2. serta para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan

dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga

naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung

turun maka akan membeli opsi put.

Hal ini akan menyebabkan harga opsi naik.

f) Dividen ( )

Dividen merupakan bagian dari keuntungan perusahaan yang dibagikan

kepada para pemegang saham. Dividen menyebabkan harga saham turun

sesaat setelah pembagian dividen, sehingga memengaruhi harga opsi.

Beberapa istilah yang berhubungan dengan harga saham (S) dan harga strike

(K), yaitu:

1. opsi call

a) jika , maka opsi call dikatakan dalam keadaan in the money.

Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan membeli saham

dengan harga strike (K), yang lebih kecil dari harga saham (S), kemudian

menjualnya di pasar dengan harga sebesar (S), sehingga pemegang opsi

tersebut akan mendapatkan imbalan sejumlah ,

b) jika , maka opsi call dikatakan dalam keadaan at the money,

c) jika , maka opsi call dikatakan out of the money dan investor tidak

akan mengeksekusi hak atas opsinya.

2. opsi put

a) jika , maka opsi put dikatakan in the money. Pemegang opsi akan

mengeksekusi opsi put, yaitu dengan menjual saham dengan harga strike

(K), yang lebih besar dari harga saham (S), kemudian membelinya di pasar

dengan harga sebesar (S), sehingga pemegang opsi tersebut akan

mendapatkan imbalan sejumlah b) jika , maka opsi put dikatakan dalam keadaan at the money,

c) jika , maka opsi put dikatakan dalam keadaan out of the money dan

investor tidak akan mengeksekusi hak atas opsinya.

4

Jenis-jenis opsi

Jenis-jenis opsi yaitu:

1. opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu

dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price)

pada atau sebelum waktu jatuh tempo.

2. opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu

dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo.

3. opsi butterfly merupakan strategi spread yang melibatkan kombinasi antara

empat opsi call dengan 2 harga strike yang berbeda dan dua harga strike

yang sama, di mana investor tidak bisa menentukan nantinya harga saham

naik atau turun.

4. opsi cash or nothing merupakan opsi yang memberikan imbalan sebesar 1

satuan jika harga saham lebih besar dari harga strike dan memberikan

imbalan sebesar 0 jika harga saham lebih kecil harga strike. Opsi cash or

nothing disebut juga opsi call digital atau opsi biner.

Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi

tipe Amerika.

1. opsi tipe Eropa (European option) adalah opsi yang memberikan hak kepada

pemegangnya untuk membeli atau menjual underlying asset hanya pada

waktu jatuh tempo.

2. opsi tipe Amerika (American option) memberikan hak kepada pemegangnya

untuk membeli atau menjual underlying asset pada saat atau sebelum waktu

jatuh tempo.

(Hull, 2006).

Payoff harga opsi

Payoff adalah imbalan yang diperoleh dari jual beli opsi ketika opsi tersebut

dieksekusi. Payoff opsi tipe Eropa sebagai berikut

{

untuk call

untuk put

untuk butterfly

untuk CoN

dengan adalah fungsi heaviside, adalah konstanta, , , , dan adalah

harga strike, dan

{

(Lesmana & Wang 2013).

Diagram payoff untuk opsi call, opsi put, opsi butterfly dan opsi cash or nothing

(CoN) digambarkan pada Gambar 1 – 4.

5

Aset yang Mendasari (Underlying Asset)

Aset yang mendasari (underlying asset) adalah aset yang dijadikan sebagai

objek atau dasar transaksi. Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang

dapat digunakan sebagai aset dasar, antara lain indeks (index), valuta asing

(foreign currency), surat berjangka (future) dan saham (stock). Opsi indeks adalah

suatu opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah

suatu opsi dengan aset berbasis mata uang asing dengan kurs tertentu, opsi

berjangka adalah suatu opsi dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan

opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham.

Dalam tulisan ini, underlying asset yang digunakan adalah saham.

Bursa Amerika yang memperdagangkan opsi saham antara lain The Chicago

Board Option Exchange (CBOE), The Philadephia Stock Exchange (PHLX), The

American Stock Exchange (AMEX), dan New York Stock Exchange (NYSE).

Bursa Indonesia yang memperdagangkan opsi saham adalah Bursa Efek Jakarta

(BEJ).

Persamaan Black-Scholes

Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi

mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:

6

1. suku bunga bebas risiko ( ) adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh

tempo.

2. dimungkinkan adanya short selling terhadap aset (saham). Short shelling yaitu

meminjam suatu aset kepada seseorang kemudian menjualnya dengan harapan

bahwa bisa membeli kembali aset tersebut dengan harga yang lebih murah

kemudian mengembalikannya.

3. perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.

4. tidak terdapat peluang arbitrage.

5. tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.

6. harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai

fungsi kepekatan peluang lognormal.

7. tidak ada biaya transaksi dalam pembelian atau penjualan aset atau opsi.

Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan

beberapa istilah berikut:

Definisi 2 (Proses Stokastik)

Proses stokastik adalah suatu koleksi (gugus, himpunan, atau

kumpulan) dari peubah acak (random variables). Untuk setiap t pada himpunan

indeks H, W(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai waktu

(Ross, 1996).

Definisi 3 (Gerak Brown)

Proses stokastik disebut gerak Brown jika memenuhi

persyaratan berikut (Ross, 1996):

1. 2. untuk peubah acak = di mana

saling bebas.

3. untuk setiap berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi

.

Proses Wiener

Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).

Definisi 4 (Proses Wiener Umum (Generalized Wiener Process)) Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak S dapat dinyatakan sebagai berikut

(Hull 2006):

(1)

dengan disebut sebagai komponen deterministik dan menyatakan

komponen stokastik, serta adalah proses Wiener, sedangkan dan

masing-masing menyatakan rataan (drift rate) dan standar deviasi (variance rate)

dari S.

Definisi 5 (Proses Ito’)

Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari

peubah acak S dan waktu t. Secara aljabar proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai

berikut (Hull, 2006).

. (2)

7

Lemma Ito’

Misalkan fungsi merupakan fungsi kontinu yang dapat diturunkan secara

parsial terhadap x dan t, yaitu

,

,

ada. Selanjutnya didefinisikan persamaan

diferensial stokastik dari variabel x dengan drift rate dan variansi rate

, (3)

dengan merupakan gerak Brown, dan adalah fungsi dari x dan t. Maka

fungsi akan mengikuti proses:

{

}

(4)

Proses Harga Saham

Dengan kondisi pasar yang tidak menentu menyebabkan terjadinya perubahan

harga saham. Harga saham merupakan variabel stokastik karena dipengaruhi oleh

faktor-faktor yang tidak dapat ditentukan secara pasti. Sehingga perubahan harga

saham dapat dimodelkan menggunakan persamaan diferensial stokastik berikut:

(5)

dengan adalah komponen deterministik, adalah komponen

stokastik dan adalah proses Wiener. Sedangkan dan masing-masing

menyatakan nilai harapan dan volatilitas dari harga saham tersebut. Persamaan ini

juga dikenal sebagai model pergerakan harga saham.

Selanjutnya dari Lemma Ito’, diketahui bahwa jika harga saham

mengikuti model saham pada persamaan (5), maka bentuk persamaan diferensial

stokastik untuk sebuah fungsi U(S(t), t) dengan dapat dinyatakan dalam

bentuk

(

)

. (6)

Solusi dari persamaan (5) adalah:

{(

) } (7)

dengan dan T berturut-turut adalah harga saham pada awal kontrak,

harga saham pada saat jatuh tempo, suku bunga bebas risiko, volatilitas harga

saham, dan waktu jatuh tempo (Hull, 2006).

Penurunan Persamaan Black-Scholes Standar

Misalkan menyatakan harga opsi pada harga saham S dan pada

waktu t, serta dari persamaan (5) diketahui bahwa perubahan harga saham S

bergerak mengikuti proses

, (8)

8

berdasarkan Lemma Ito’, proses untuk U berubah atas interval waktu dt yang

sangat kecil, akan diperoleh

(

)

(9)

Versi diskret dari persamaan (8) dan (9) adalah

(10)

dan

(

)

(11)

di mana dan adalah perubahan harga saham S dan harga opsi U pada

selang waktu . Adapun pada persamaan (10) dan (11) adalah √

karena proses Wiener pada persamaan (10) dan (11) adalah sama. Selanjutnya

dipilih sebuah portofolio dari saham S dan opsi U sehingga proses Wiener

dapat dihilangkan.

Portofolio tersebut adalah opsi dan

saham. Pemegang portofolio

ini akan menjual satu opsi dan membeli saham sebanyak

. Nilai dari portofolio

tersebut adalah sebesar x, dengan

. (12)

Perubahan nilai portfolio dalam selang waktu adalah

. (13)

Substitusi (10) dan (11) ke dalam (13), menghasilkan

(

) . (14)

Portofolio ini dikatakan tidak berisiko karena tidak ada faktor ketidakpastian.

Portofolio ini dikatakan konstan sehingga portofolio ini mempunyai pendapatan yang

sama dengan saham jangka pendek lainnya yang bebas risiko.

Perubahan nilai portofolio bebas risiko dapat dinyatakan dengan , dengan

r adalah suku bunga bebas risiko. Dengan mensubstitusi persamaan (12) dan ke persamaan (14) diperoleh

(

) (

) (15)

(16)

Persamaan (16) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes standar.

Dengan melakukan transformasi , maka

(17)

sehingga persamaan (16) dapat dituliskan sebagai berikut:

9

(18)

Model Volatilitas RAPM

Dengan mengasumsikan bahwa terdapat biaya transaksi untuk pembelian

dan penjualan aset atau opsi, volatilitas menjadi suatu fungsi yang bergantung

pada saham dan turunan parsial kedua harga opsi terhadap harga saham. Sehingga

persamaan Black-Scholes standar berubah menjadi persamaan Black-Scholes

taklinear sebagai berikut

(19)

dengan adalah harga opsi, suku bunga bebas risiko,

adalah volatilitas, dengan adalah waktu dan adalah waktu

jatuh tempo, adalah harga saham.

Jandacka dan Sevcovic (2005) dalam tulisannya berargumentasi bahwa

harga opsi adalah solusi dari persamaan diferensial parsial taklinear pada

persamaan (19) dengan volatilitas termodifikasi sebagai berikut:

( (

)

) (20)

dengan

adalah ukuran biaya transaksi dan

adalah ukuran premi risiko,

adalah turunan parsial kedua U terhadap

S, adalah volatilitas sebagai fungsi dari dan . Persamaan Black-

Scholes taklinear tersebut yang akan dibahas dalam tesis ini.

Metode Iteratif Newton

Metode iteratif Newton digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan

taklinear yang memiliki bentuk sebagai berikut:

(21)

Untuk menyederhanakan notasi, definisikan sebagai vektor x

dan dengan adalah vektor nol. Dengan notasi tersebut,

sistem persamaan (21) dapat ditulis dalam notasi matriks menjadi .

Berikut ini adalah pendekatan yang dilakukan dengan metode iteratif Newton

(22)

dengan,

10

bilangan cacah (23)

serta elemen-elemen adalah turunan parsial dari yaitu

(

)

(24)

dengan metode iteratif Newton, akan dicari vektor yang membuat konvergen

ke vektor nol, sehingga

(25)

(26)

(27)

di mana adalah matriks segi dan adalah vektor yang diketahui.

Untuk langkah selanjutnya, penentuan solusi memiliki proses berikut:

1. Selesaikan

2.

3. Ulangi proses iterasi sampai konvergen dengan | | dengan adalah

bilangan positif yang sangat kecil.

Matriks M

Definisi 6 (Matriks M)

Matriks merupakan matriks dengan invers matriks bernilai positif di mana

diagonal utama bernilai positif dan elemen yang lainnya bernilai takpositif.

Misalkan adalah suatu matriks taksingular berukuran dengan ≤ 0

untuk setiap dan untuk setiap dan ∑ | |

maka matriks disebut matriks (Fujimoto & Ranade 2004).

Solusi Viskositas

Misalkan diberikan PDP orde-2 sebagai berikut

, (28)

Solusi viskositas diberikan pada definisi berikut

Definisi 7 (Solusi Viskositas)

Misalkan adalah himpunan terbuka dan kontinu di i. Dikatakan bahwa adalah subsolusi viskositas persamaan (28) pada titik

, jika dan hanya jika, untuk setiap fungsi uji sedemikian

sehingga yang mencapai maksimum lokal di , dan

(29)

11

ii. Dikatakan bahwa adalah supersolusi viskositas persamaan (28) pada titik

jika dan hanya jika, untuk setiap fungsi uji sedemikian

sehingga yang mencapai minimum lokal di , dan

(30)

iii. Dikatakan bahwa adalah solusi viskositas pada himpunan terbuka jika

adalah subsolusi viskositas dan supersolusi viskositas, pada setiap titik

(Dragoni, 2009).

Operator Beda Hingga

Persamaan Black-Scholes taklinear akan diaproksimasi dengan diskretisasi

menggunakan metode implisit untuk diskretisasi waktu, serta metode beda hingga

upwind untuk diskretisasi harga saham. Metode beda hingga upwind adalah suatu

metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear

dengan cara mengkombinasikan antara beda hingga maju dan beda hingga

mundur.

Untuk diskretisasi harga, misalkan dibagi menjadi sub-

interval, di mana

dengan , dan untuk setiap

dimisalkan . Untuk diskretisasi waktu, misalkan dibagi

menjadi sub-interval, di mana

dengan dan untuk setiap

dimisalkan .

Aproksimasi turunan parsial pertama dan kedua diperoleh dari ekspansi

deret Taylor sebagai berikut:

Untuk sembarang

dan

dengan

dan , didefinisikan turunan pertama dan turunan

kedua mengikuti operator beda hingga berikut:

(31)

,

(32)

(33)

12

3 METODE PENELITIAN

Langkah-langkah Penelitian

Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. melakukan diskretisasi untuk persamaan Black-Scholes taklinear dengan

metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham, dan metode

implisit untuk diskretisasi waktu.

2. memeriksa kekonvergenan skema diskretisasi yaitu dengan membuktikan

Lemma monoton, konsisten, dan stabil.

3. membandingkan hasil numerik yang diperoleh dari metode implisit dan

eksplisit.

4. melakukan simulasi numerik untuk menunjukkan akurasi dari metode beda

hingga upwind untuk diskretisasi variabel harga saham, dan metode implisit

untuk diskretisasi variabel waktu.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN

Syarat Awal dan Syarat Batas

Persamaaan Black-Scholes taklinear mempunyai domain . Untuk

perhitungan komputasi perlu dibatasi menjadi , dengan

merupakan nilai yang cukup besar yang menjamin akurasi dari solusi. Syarat batas

untuk persamaaan Black-Scholes taklinear dapat ditentukan sebagai berikut:

(34)

(35)

(36)

dengan , , dan adalah suatu fungsi sedemikian sehingga

dan . Fungsi , , dan dipilih berdasarkan jenis opsi tipe

Eropa yaitu opsi call, opsi put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing (CoN).

Syarat awal dan syarat batas untuk opsi tersebut yaitu sebagai berikut:

{

untuk call

untuk put

untuk butterfly

untuk CoN

{

untuk call

untuk put

untuk butterfly

untuk CoN

13

{

untuk call

untuk put

untuk butterfly

untuk CoN

dengan adalah fungsi heaviside, adalah konstanta, , , , dan adalah

harga strike, dan

{

(Lesmana & Wang 2013).

Skema Diskretisasi

Dengan menggunakan operator (31-33) dan dengan mengaplikasikan

metode beda hingga upwind, persamaan Black-Scholes taklinear (19)

diaproksimasi menjadi sebagai berikut:

(

)

(

)

.

(37)

Dalam model jandacka dan Sevcovic (2005) diketahui bahwa nilai sehingga persamaan (37) menjadi

,

(38)

(

)

(

)

.

(39)

Selanjutnya, diperoleh:

(

)

(

)

(

)

.

(40)

Untuk penyederhanaan, persamaan (40) dapat dituliskan menjadi bentuk berikut:

, (41)

untuk dan di mana:

, (42)

, (43)

. (44)

Berdasarkan (34-36), didefinisikan syarat awal dan syarat batas untuk

persamaan (41) sebagai berikut

(45)

14

untuk dan Dengan syarat awal dan syarat batas di

atas, persamaan (41) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks berikut

, (46)

di mana

[

]

untuk

Teorema 1. Matriks M

Untuk sembarang , matriks ( ) adalah matriks M untuk

yang diberikan.

Bukti:

Untuk membuktikan Teorema 1, harus ditunjukkan bahwa

(47)

|

| | | (48)

untuk .

Untuk matriks , dari persamaan (42) - (44) dapat dilihat bahwa syarat

(47) terpenuhi. Selanjutnya, karena dan

maka:

|

| | |

|

| | |

| | |

| (49)

Dari definisi ( ), diperoleh:

∑|

|

Sehingga merupakan matriks M karena matriks tridiagonal memiliki

diagonal utama yang bernilai positif dan dua diagonal atas dan bawah bernilai

takpositif.

Kekonvergenan Skema Diskretisasi

Persamaan (19) memiliki solusi unik yang disebut solusi viskositas. Barles

(1997) telah menunjukkan bahwa metode numerik dikatakan konvergen ke solusi

viskositas jika metode tersebut terbukti konsisten, stabil dan monoton. Pada

15

bagian ini akan ditunjukkan bahwa skema diskretisasi memenuhi syarat

kekonvergenan tersebut.

Untuk dan didefinisikan suatu fungsi

yaitu

(

)

(

)

(50)

di mana .

Kemudian, persamaan (41) dapat ditulis dalam bentuk

. (51)

Untuk skema diskretisasi ini, diberikan lemma berikut:

Kemonotonan

Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan monoton melalui Lemma 2.

Lemma 2

Skema diskretisasi (41) monoton yaitu untuk sembarang dan

(52)

dan

(

)

(53)

Bukti:

(

)

( )( ).

(54)

Karena

,

dan

, maka tiga bagian pertama pada

ruas kanan dari persamaan (50) secara berturut-turut taknaik terhadap , naik

terhadap dan turun terhadap

.

Misalkan ( ⏟

)

adalah suatu matriks berukuran .

Berdasarkan definisi , diperoleh

( )

dan

( )

16

Selanjutnya, diperiksa tanda pada bagian taklinear

, di mana didefinisikan sebagai berikut

( (

)

) (55)

maka,

( ) ( )

( (

)

) ( ),

(56)

misalkan dan

(

(

) )

(

)

(

)

(57)

( (

)

)

(58)

Diketahui dan (

)

jelas karena dan

selanjutnya akan dibuktikan bahwa

(

)

(59)

karena

maka

(

)

(

)

(

)

(60)

Dari persamaan di atas diperoleh bahwa

( (

)

) (61)

Dengan demikian adalah fungsi naik pada dengan syarat bahwa

Dengan demikian untuk sembarang dan diperoleh

gabungan bagian linear dan bagian taklinear dari persamaan (50) sebagai berikut:

(

) (

)

17

*( (

(

))

)+ (

)

dengan cara yang sama diperoleh

(

)

(

)

*( (

(

))

)+ (

)

∎

Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti monoton.

Kestabilan

Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan stabil melalui Lemma 3.

Lemma 3

Skema diskretisasi (41) stabil, yaitu untuk setiap misalkan

( ( )

)

di mana adalah solusi dari (46), maka

memenuhi

dengan , dan adalah syarat awal dan syarat batas (34 – 36) dan ‖ ‖

adalah norm .

Bukti:

Untuk sembarang persamaan (41) dapat dituliskan sebagai

berikut:

(62)

untuk Perlu diingat kembali bahwa ,

dan

. Sehingga diperoleh:

|

| |

| |

|

| |

‖ ‖

‖ ‖

‖ ‖ (63)

untuk Jika |

| untuk , maka persamaan berikut:

‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ (64)

dengan menjadi:

‖ ‖

‖ ‖ (65)

Sehingga, dengan menggunakan persamaan (48) maka pertidaksamaan (65)

menjadi sebagai berikut:

18

‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖ (66)

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ .

Selanjutnya jika ‖ ‖ | | atau ‖ ‖ |

|maka berdasarkan

persamaan (35), (36) dan (45) dapat dilihat bahwa:

| | |

| (67)

dari persamaan (66) dan (67), diperoleh:

| | |

| . ∎

Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti stabil.

Kekonsistenan Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan konsisten melalui Lemma 4.

Lemma 4

Skema diskretisasi (41) konsisten.

Bukti

Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten untuk

persamaan diferensial parsial dengan masalah nilai awal yang diberikan

(Strikwerda 1989). ∎

Teorema 2. Kekonvergenan

Solusi numerik dari skema diskretisasi (41) konvergen ke solusi viskositas

persamaan (19) dengan syarat batas yang diberikan oleh (34)-(36) ketika

.

Bukti:

Barles (1997), membuktikan bahwa jika suatu diksretisasi dari PDP taklinear

orde-2 konsisten, stabil dan monoton, maka konvergen ke solusi viskositas.

Berdasarkan Lemma 2, Lemma 3, dan Lemma 4 maka diskretisasi terbukti

konsisten, stabil dan monoton, maka skema diskretisasi (46) konvergen ke solusi

viskositas persamaan (19). ∎

Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi

Untuk menyelesaikan sistem taklinear skema diskretisasi (46) disusun

sebuah metode iterasi pada setiap langkah waktu. Diketahui diskretisasi (46)

berbentuk

,

dengan

Misalkan

(

)

komponen ke-i dari

19

dengan dan

didefinisikan pada (45). Matriks Jacobi dari

dinotasikan sebagai dengan

[

]

di mana

untuk semua dan . Dengan menggunakan persamaan

(31) - (33), dan (20), serta menggunakan notasi Lemma 1, diperoleh persamaan

untuk turunan berikut

(

)

(

)

(

)

Dengan cara yang serupa, diperoleh

(

)

(

)

Menggunakan matriks Jacobi , diberikan algoritma metode Newton sebagai

berikut

Algoritma 1

1. Pilih Untuk , evaluasi syarat awal

,

menggunakan (45).

2. Ambil dan

3. Selesaikan

Hitung

20

4. Jika ‖ ‖ set dan kembali kelangkah 3. Jika sebaliknya,

lanjutkan ke langkah berikutnya.

5. Tentukan Jika . Set dan kembali ke

langkah 2. Jika sebaliknya berhenti.

Dengan menggunakan matriks Jacobi , diperoleh Teorema 3 berikut.

Teorema 3

Untuk sembarang dengan , adalah matriks M.

Bukti

Untuk membuktikan Teorema 3, harus ditunjukkan bahwa

(68)

|

| | | (69)

Untuk matriks , diperoleh

(

)

(

)

(

)

(

) (menggunakan persamaan 61).

Hal yang sama untuk

(

)

(

)

(

)

(

) .

Selanjutnya karena dan

maka

|

| | |

| | |

|

untuk sembarang dengan ketentuan bahwa

. Oleh karena itu, matriks adalah matriks M. ∎

Sistem linear pada langkah 3 dari Algoritma 1 biasanya berskala besar dan

teorema di atas menjamin bahwa sistem linear tersebut memiliki solusi khusus.

Solusi untuk sistem linear dengan dekomposisi LU atau metode iteratif akan stabil

secara numerik.

21

Simulasi Numerik

Simulasi numerik dengan metode beda hingga upwind dan implisit untuk

menentukan harga opsi empat jenis tipe Eropa dilakukan dengan mengambil contoh

kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati perbandingan harga opsi metode implisit dan

metode eksplisit, serta dihitung orde kekonvergenan dari metode implisit dengan

memilih serangkaian mesh yang dibangkitkan dengan membagi-dua parameter

mesh pada iterasi sebelumnya.

a) Opsi Call

Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi call pada metode implisit

dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat

dilihat pada Gambar 5.

(a) metode implisit (b) metode eksplisit

Gambar 5 Harga opsi call Eropa dengan dan

Dengan mengganti mesh seragam Perbandingan harga opsi call pada metode implisit dan metode eksplisit untuk

posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 6.

(a) metode implisit (b) metode eksplisit

Gambar 6 Harga opsi call Eropa dengan dan

22

Pada Gambar 6, metode implisit masih memberikan solusi, sedangkan

metode eksplisit tidak memberikan solusi (tidak stabil).

Untuk menghitung norm dan rasio skema tersebut, dipilih serangkaian

mesh yang dibangkitkan secara berurutan dengan membagi dua ukuran mesh

sebelumnya. Selanjutnya akan dihitung norm dan rasio metode tersebut dengan

membandingkan solusi “eksaknya” (“ ”). Dalam menentukan solusi “eksak”

(“ ”) digunakan solusi numerik dengan mengambil ukuran mesh yang sangat

kecil, yaitu dan Selanjutnya dengan menggunakan solusi “eksak” tersebut, dihitung rasio dari

solusi numerik dari mesh yang berurutan dengan

‖

‖

‖ ⁄ ⁄

‖

di mana adalah solusi pada mesh dengan ukuran mesh saham dan ukuran

mesh waktu, serta rumus untuk menghitung norm sebagai berikut

‖ ‖ ‖ ‖

| |.

Orde kekonvergenan metode numerik dihitung dengan menghitung rata-rata dari

rasio.

Tabel 1 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi call

M N Metode implisit

‖ ‖ Rasio

20 10 0.680475

40 20 0.576298 1.18

80 40 0.399196 1.44

160 80 0.249871 1.60

320 160 0.103894 2.41

640 320 0.054964 1.89

1280 640 0.034690 1.58

Hasil perhitungan di Tabel 1 menunjukkan orde kekonvergenan pada opsi call

adalah sekitar 1.7.

b) Opsi Put

Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi put pada metode implisit dan metode

eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada

Gambar 7.

23

(a) metode implisit (b) metode eksplisit

Gambar 7 Harga opsi put Eropa dengan dan

Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan

norm dan rasio untuk opsi put sebagai berikut

Tabel 2 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put

M N Metode implisit

‖ ‖ Rasio

20 10 0.688835

40 20 0.579316 1.19

80 40 0.400468 1.45

160 80 0.250274 1.60

320 160 0.104061 2.41

640 320 0.054532 1.91

1280 640 0.034709 1.57

Hasil perhitungan di Tabel 2 menunjukkan orde kekonvergenan opsi put adalah

sekitar 1.7.

c) Opsi Butterfly

Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh

seragam Perbandingan harga opsi

butterfly pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai

pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 8.

24

(a) metode implisit (b) metode eksplisit

Gambar 8 Harga opsi butterfly Eropa dengan dan

Tabel 3 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi butterfly

M N Metode implisit

‖ ‖ Rasio

20 10 0.739988

40 20 0.406605 1.82

80 40 0.335519 1.21

160 80 0.270862 1.24

320 160 0.156669 1.73

640 320 0.091377 1.71

128 640 0.052516 1.74

Hasil perhitungan di Tabel 3 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi

butterfly adalah sekitar 1.6.

d) Opsi Cash or Nothing

Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi cash or nothing pada

metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long

position) dapat dilihat pada Gambar 9.

(a) metode implisit (b) metode eksplisit

Gambar 9 Harga opsi cash or nothing Eropa dengan dan

Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan

error dan rasio untuk opsi cash or nothing sebagai berikut:

25

Tabel 4 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi cash or nothing

M N Metode implisit

‖ ‖ Rasio

20 10 0.355600

40 20 0.233282 1.52

80 40 0.173773 1.34

160 80 0.127596 1.36

320 160 0.105250 1.21

640 320 0.077006 1.37

1280 640 0.046460 1.66

Hasil perhitungan di Tabel 4 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi cash

or nothing adalah sekitar 1.4.

SIMPULAN

Persamaan Black-Scholes taklinear diaproksimasi dengan metode implisit

untuk diskretisasi waktu dan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi

harga saham diperoleh:

1. suatu sistem matrix yang disebut matriks M yang menjamin solusi bernilai

positif.

2. skema diskretisasi terbukti monoton, konsisten, dan stabil. Sehingga, solusi

numerik skema diskretisasi konvergen ke solusi viskositas persamaan Black-

Scholes taklinear.

3. dengan sub-interval harga saham dan sub-interval waktu

menghasilkan orde kekonvergenan opsi call, opsi

put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing bekisar antara

DAFTAR PUSTAKA

Ankudinova J, Ehrhardt M. 2008. On the numerical solution of nonlinear Black-

Scholes equations. Comput. Math. Appl. 56: 799-812.

Barles G. 1997. Convergence of Numerical Schemes for Degenerate Parabolic

Equations Arising in Finance, in: L.C.G. Rogers, D. Talay (Eds.),

Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge University Press.

Barles G, Soner HM. 1998. Option pricing with transaction costs and a non-

linear Black-Scholes equation. Finance and Stochastics. 2(4):369-397.

Black F, Scholes M. 1973. The pricing of options and corporate liabilities. J.

Political Economy. 81(3):637-659.

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2003. Invesment. United State of America: The

McGraw-Hill.

26

Boyle P, Vorst T. 1992. Option replication in discrete time with transaction costs.

The Journal of Finance. XLVII(1):271-293.

Dragoni F. 2009. Introduction to Viscosity Solutions for Nonlinear PDEs.

London: Notes Imperial College London.

Fujimoto T, Ranade R. 2004. Two characterizations of inverse-positive matrices:

the Hawkins-Simon condition and the Le Chatelier-Braun principle.

Electronic Journal of Linear Algebra 11: 59–65.

Hull J. 2006. Option, Futures and Other Derivatives. 6th Ed. New Jersey:

Prentice – Hall.

Jandacka M, Sevcovic D. 2005. On the risk-adjusted pricing-methodology-based

valuation of vanilla options and explanations of the volatility smyle. J Appl.

Math. 3: 235-258.

Lesmana DC, Wang S. 2013. Numerical method for non-linear partial

differential equations and inequalities arising from option valuation under

transaction cost. Appl. Math. Comput. 219:8811–8828.

Lo MS. 2003. Generalized Autoregressive Conditional Heterscedasticity Time

Series Model [Thesis]. Burnaby: Department of Statistics and Actuaria

Science, Simon Fraser University.

Niwiga DB. 2005. Numerical Method for Valuation of Financial Derivatives,

[Thesis]. South Africa (tZA): University of Werstern Cape.

Pooley DM, Forsyth PA, Vetzal KR. 2001. Numerical convergence properties of

option pricing PDEs with uncertain volatility. IMA J. Numer. Anal. 23:

241-267.

Ross SM. 1996. Sthochastic Process. New York: John Wiley & Son Inc.

Strikwerda JC. 1989. Finite Difference Schemes and Partial Differential

Equations. 1st Ed. Madison: Wadsworth & Brooks.

Zang K, Wang S. 2009. A computational scheme for uncertain votality model in

option pricing. Appl. Numer. Math. 59:1754–1767.

Wang S. 2004. A novel fitted finite volume method for the Black-Scholes

equation governing option pricing. IMA J. Numer. Anal. 24:699-720.

27

LAMPIRAN

Lampiran 1 Pembuktian Lemma Ito’

Diasumsikan bahwa model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut:

(

1.a)

Misalkan U(S(t),t) dan berdasarkan ekspansi deret Taylor diperoleh

. (

1.b)

Dengan menguadratkan kedua ruas pada persamaan (1.a), diperoleh

sebagai berikut

Diketahui bahwa dan maka

(1.c)

Dengan menyubstitusikan persamaan (1.a) dan (1.c) pada persamaan (1.b) akan

diperoleh:

(

)

.

Jadi, Lemma Ito’ terbukti.

Lampiran 2 Sintaks program

Beda Hingga Upwind dan Eksplisit

function B=ExplisitIL(u0,g1,g2,S_end,T,nS,nt)

format long

nS1 = nS + 1; %% jumlah titik S

nt1 = nt + 1; %% jumlah titik t

hS = S_end/nS; %% panjang sub-interval S

hS2 = hS*hS;

ht = T/nt; %% panjang sub-interval t

sigma0 = 0.2; %% Sigma from standard BSM

r = 0.08; %% tingkat suku bunga bebas risiko

b = 0.35; %% Biaya Transaksi

p = 0.5; %% Premi Resiko

%%%% Grid untuk variabel S dan t

Svec = hS*(0:nS); %% size = 1x(nS+1)

tvec = ht*(0:nt); %% size = 1x(nt+1)

%%%% Batas

U= zeros(nt1, nS1); %% size = (nt+1)x(nS+1)

for h = 1:nS1

U(1,h) = feval(u0,Svec(h)); %%Syarat awal

28

end

for k = 1:nt1

U(k,1) = feval(g1,tvec(k)); %% Syarat batas 1

U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k)); %% syarat batas 2

end

for m = 2:nt1

Vtemp = U(m-1,:);

U_SS = zeros (1, nS1-2);

for j = 2:nS1-1

U_SS(j-1) = (Vtemp(j-1)-2*Vtemp(j)+ Vtemp(j+1))/hS2;

end

%%%% Volatilitas RAPM

sigma2 = zeros(nS1-2, 1);

for i = 1:nS1-2

if Svec(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*b^2*p)&&

Svec(i)*U_SS(i)>0

sigma2(i) = sigma0^2*(1-

3*(b^2*p*Svec(i)*U_SS(i)/(2*3.14))^(1/3));

else

sigma2(i) = sigma0^2;

end

end

%%%% Menentukan harga Opsi secara eksplisit

for j = 1:nt1-1

for i = 2:nS1-1

U(j+1,i) = ht*0.5*sigma2(i-1)*(Svec(i)^2)*((U(j,i-1)-

2*U(j,i)+ U(j,i+1))/hS2)+ ht*r*Svec(i)*((U(j,i+1)-U(j,i))/hS) +

ht*(1/ht - r)*U(j,i);

end

end

end

B = zeros(nt1,nS1);

for j = 1:nt1

B(j,:) = U((nt1+1)-j,:);

end

%%%%% Plot Solusi Numerik

surf(Svec,tvec,B)

ylabel('Waktu');

xlabel('Harga Saham');

zlabel('Harga Opsi');

s1=sprintf('h_t=%6.4f h_S=%6.4f', ht, hS);

title(s1);

end

Beda Hingga Upwind dan Implisit

function V=BedaHinggaUP(u0,g1,g2,S_end,T,nS,nt) % % INPUT % u0 = u0(S) : syarat awal % g1 = g1(t) : syarat batas 1 pada S=0 % g2 = g2(t) : syarat batas 2 pada S=S_end % S_end : S_max % T : waktu jatuh tempo

29

% nS : banyak sub-interval dari [0, S_end] % nt : banyak sub-interval dari [0, T] % % OUTPUT % U : solusi (u(j,i)), j adalah indeks untuk waktu, i adalah

indeks untuk % harga saham format long nS1 = nS+1; % Jumlah titik S (harga saham) hS = S_end/nS; % panjang subinterval S hS2 = hS*hS; % nt1 = nt+1; % Jumlah titik t (waktu) ht = T/nt; % panjang subinterval t sigma0 = 0.2; bt = 0.35; %biaya_transaksi pr = 0.5; %premi_risiko r = 0.08; % tingkat suku bunga bebas risiko rat = 1/ht; %

% titik untuk variabel S dan t Svec = hS*(0:nS); % size = 1x(nS+1) tvec = ht*(0:nt); % size = 1x(nt+1)

% mendefinisikan matriks U U = zeros(nt1, nS1); % size = (nt+1)x(nS+1) for k = 1:nS1 U(1,k) = feval(u0,Svec(k)); end for k = 1:nt1 U(k,1) = feval(g1,tvec(k)); U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k)); end for m = 2:nt1 % time-step iteration Vtemp = U(m-1,:); Vtemphit = U(m-1,2:nS1-1)'; Un = U(m-1,2:nS1-1); tol = 1; iter = 1; while tol > 1.0e-5 && iter <= 1000 U_SS = zeros (1, nS1-2); for j = 2:nS1-1 U_SS(j-1) = (Vtemp(j-1)-2*Vtemp(j)+ Vtemp(j+1))/hS2; end

Svechit = zeros(1, nS1-2); for j=1:(nS1-2) Svechit(j) = Svec(j+1); end

%%%% Volatilitas RAPM sigma2 = zeros(nS1-2, 1); for i = 1:nS1-2 if Svechit(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*bt^2*pr)&&

Svechit(i)*U_SS(i)>0 sigma2(i) = (sigma0^2)*(1-

3*(bt^2*pr*Svechit(i)*U_SS(i)/(2*3.14))^(1/3)); else sigma2(i) = (sigma0^2);

30

end end %%%%%%%%%%%%******** b = r*Svechit; A = zeros(nS1-2,3); % entri dari koefisien matrix untuk systems tridiagonal (to be % solved at each time level) for i = 1:(nS1-2) A(i,2) = rat+2*sigma2(i)*(Svechit(i)^2)/hS2 +

(1/(hS)*b(i))+ r; end for i = 1:(nS1-2) A(i,1) = -sigma2(i)*(Svechit(i)^2)/hS2; end for i = 1:(nS1-2) A(i,3) = -sigma2(i)*(Svechit(i)^2)/hS2 -(1/hS)*b(i); end

F = zeros(nS1-2,1); F(1) = A(1,1)*U(m,1) + A(1,2)*Vtemphit(1) +A(1,3)*Vtemphit(2)-

rat*Un(1); F(nS1-2) = A(nS1-2,1)*Vtemphit(nS1-3)+A(nS1-2,2)*Vtemphit(nS1-

2)+A(nS1-2,3)*U(m, nS1) - rat*Un(nS1-2); for i = 2:(nS1-3) F(i)=A(i,1)*Vtemphit(i-1) + A(i,2)*Vtemphit(i)

+A(i,3)*Vtemphit(i+1)-rat*Un(i); end

% Generate Jacobian matrix Jacval = zeros(nS1-2,1); for i = 1:(nS1-2) if Svechit(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*bt^2*pr)&&

Svechit(i)*U_SS(i)>0 Jacval(i) =

((sigma0^2)/hS2)*Svechit(i)^2*((bt^2*pr*Svechit(i)*U_SS(i)/(2*3.14

))^(1/3)); else Jacval(i) = 0; end end % Matrix Jacobian J = zeros(nS1-2,3); for i = 1:(nS1-2) J(i,2) = A(i,2)- Jacval(i); end for i = 2:(nS1-2); J(i,1) = A(i,1)+ 0.5*Jacval(i); end for i = 1:(nS1-3) J(i,3) = A(i,3)+ 0.5*Jacval(i); end

%%%%% Menyelesaikan matrix tridiagonal J*y=-F menggunakan

Factorization Crout lamb1 = zeros(nS1-2,1); lamb1(1)=J(1,3)/J(1,2); d = zeros(nS1-2,1); d(1) = -F(1)/J(1,2);

31

for k = 2:(nS1-3) lamb1(k) = J(k,3)/(J(k,2)-J(k,1)*lamb1(k-1)); d(k) = (-F(k)-J(k,1)*d(k-1))/(J(k,2)-J(k,1)*lamb1(k-1)); end y = zeros(nS1-2,1); y(nS1-2) = (-F(nS1-2)-J(nS1-2,1)*d(nS1-3))/(J(nS1-2,2)-J(nS1-

2,1)*lamb1(nS1-3)); for k = (nS1-3):-1:1 y(k) = d(k) - lamb1(k)*y(k+1); end %%%%%%%%%%%%% End for Tridiagonal matrix %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vtemphit = Vtemphit + y; tol = max(y); iter = iter + 1; Vtemp = [U(m,1) Vtemphit' U(m,end)]; end %%%%% End for while

for i = 1:nS1 U(m,i) = Vtemp(i); end end %%%%%%%%%%%% End untuk time-step iteration

V = zeros(nt1, nS1); for j = 1:nt1 V(j,:) = U((nt1+1)-j,:); end

%%%%%%% Plot Solusi Numerik surf(Svec,tvec,V) xlabel('Harga Saham'); ylabel('Waktu'); zlabel('Harga Opsi'); s1=sprintf('h_t=%6.4f h_S=%6.4f', ht, hS); title(s1);

32

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Balusu Desa Balusu Kec.Balusu Kab.Barru Sul-Sel

pada tanggal 09 Agustus 1990, sebagai anak keempat dari pasangan Muh Syata

dan Sitti Rahman. Pendidikan sekolah menengah ditempuh di SMA Negeri 1

Soppeng Riaja Program IPA, lulus pada tahun 2008. Pada tahun yang sama

penulis diterima di program studi Matematika Universitas Negeri Makassar, dan

menyelesaikannya pada tahun 2011.

Sebuah artikel dengan judul “Numerical method for determining option

price with Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) volatility model” telah

diterima untuk diterbitkan di jurnal Applied Mathematical Sciences (AMS),

Hikari Ltd, Bulgaria. Karya ilmiah tersebut merupakan bagian dari penelitian S-2

penulis.