Metode Numerik

By Yuwono Marta Dinata

Meet 1

●Outline :●Perkenalan●Sistem Nilai●Referensi●Pendahuluan

●www.blog.stikom.edu/yuwono

●Yuwono MD●Solo, 14 Juni

1981●Sulung

Perkenalan

●UTS : 30 %●UAS : 30 %●Resume : 6 %●Tugas : 12 %●Quiz : 12 %●Keakifan : 10 %

Sistem Nilai

Referensi●Subekti, Irwan. Metode Numerik, edisi Jurusan T.Informatika - ITS●Munir, Renaldi. Metode Numerik, Informatika Bandung. Agustus 2003.●Munif, Abd.Cara praktis penguasaan dan penggunaan metode Numerik, edisi 1.PT. Guna Widya, 1995.●Soehardjo. Analisa Numerik.ITS – ITATS●Triatmodjo, Bambang. Metode Numerik, Beta Offset.1996

Pendahuluan●Mata kuliah semester 3●Kredit : 3 sks●Tujuan :

●memahami konsep dasar numerik●Kelebihan dan kekurangan masing2 metode numerik●Mencari akar2 persamaan●Menyelesaikan persoalan SPL●Mahasiswa dapat membuat formula dari data2 yg ada

●

Topik ●Peraturan kuliah, silabus/materi●Pendekatan kesalahan●Error●Angka signifikan●Akurasi dan presisi

Topik

●Metode mencari akar2 SPL●Metode Bisection ●Metode Regula Falsi●Metode Newton Rapson●Metode Secant

Topik

●Interpolasi :●Interpolasi Linear●Interpolasi Kuadrat

●Regresi :●Regresi Linear●Regresi Tak Linear

●Interpolasi Polynomial Newton●Interpolasi Lagrange

Topik

●Integrasi numerik●Integrasi numerik – trapesium banyak bias●Eliminasi gauss●Program C++

Pendahuluan

Metode Numerik Teknik Masalah

Matematika

Operasi Aritmatika Menjadi

Problem

Masalah-masalah Model

Error

● Walaupun kita berusaha untuk memperoleh jawaban eksak, namun jawaban demikian jarang diperoleh secara numeris

● Pada tiap langkah penyelesaian masalah, dari formulasi hingga komputasi numerisnya, error dan ketidakpastian dapat terjadi

Proses Problem Solving

Berlangsung dalam tahap:● Perumusan secara tepat dari model

matematis dan model numeris● Penyusunan metode untuk

pemecahan masalah.● Penerapan metode untuk

menghitung dan mencari jawaban.

Dalam perumusan model biasanya dilakukan:

● IDEALISASI● APROKSIMASI

● IDEALISASI:● MENGANGGAP IDEAL● TIDAK MENGENAL KETIDAKPASTIAN● KURANG SESUAI DENGAN REALITA

●APROKSIMASI:Dapat dilakukan dengan cara●Pendekatan atau penyederhanaan

perumusan masalah●Solusi pendekatan terhadap solusi

eksak●Gabungan dari keduanya

●Pendekatan dilakukan sedemikian rupa shg hanya hal-hal penting saja yang dimasukkan dalam model.

Pada umumnya metode numeris tidak mengutamakan diperolehnya jawaban yang eksak, namun mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawaban pendekatan yang dapat diterima berdasar pertimbangan praktis, tetapi cukup dapat memberikan solusi atas persoalan yang dihadapi.

● Program (software) yang istimewa tidak dapat menggantikan pilihan metode yang buruk, dan

● Program (software) yang buruk dapat merusak metode yang baik

● Penggunaan software yang siap pakai tetap menuntut

pengetahuan akan tujuan dan kemampuan dan keterbatasan

software tersebut, serta apakah sesuai dengan

kasus/permasalahan yang dihadapi.

● Penyelesaian secara numeris hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dari penyelesaian analitis

● Berarti dalam penyelesaian numeris tsb terdapat error terhadap nilai eksak

Jenis Error

1.Asumsi-asumsi yang digunakan untuk mengubah peristiwa real ke dalam model matematis

2.Kesalahan aritmatik dan programming

3.Ketidakpastian dalam data4.dll.

Asal dari error:

Error dapat terbagi atas 3 jenis

●Error Bawaan (Inheren)●Error Pemotongan (truncation

error)●Error Pembulatan (round-off

error)●Error Pemrograman

1. Error Bawaan (Inheren)

●Merupakan kesalahan dari nilai data.●Dapat terjadi karena salah menyalin data,

salah membaca skala,●Kesalahan karena kurangnya pengertian

atau pemahaman mengenai data yang diukur●Kadang disebut juga sebagai error

eksperimen jika terjadi saat eksperimen.

2. Error Pemotongan(truncation error)

Pengantar:Error inheren berhubungan dengan error pada data, sedang dua error yang lain berhubungan dengan error yang disebabkan oleh cara pelaksanaan prosedur numeris.

● Error pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematis yang benar

● Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga.

3. ERROR PEMBULATAN (round-off error)

● Terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan,

● Bilangan dibulatkan pada posisi ke-n dengan membuat semua angka di sebelah kanannya menjadi nol.

● Contoh: ● 8632574 dibulatkan menjadi 8633000● 3,1415926 dibulatkan menjadi 3,14

Error Pemrograman

● Error pemrograman dapat terjadi saat penerapan metode ke dalam

software/program.● Untuk itu program harus dibuat

seteliti mungkin untuk menghindarkan kesalahan dan perlu

dilakukan pemeriksaan sebelum aplikasi real.

Perambatan Error

1.Bagaimana error pada suatu titik dalam perhitungan dirambatkan???

2.Apakah error bertambah atau berkurang setelah pelaksanaan operasi???

Persoalan Utama:

Penjumlahan dan pengurangan

Jika kita mempunyai dua bilangan pendekatan

xa dan ya Dengan nilai sebenarnya x dan y,Masing-masing errornya ex dan ey.Maka

x + y = (xa + ya ) + (ex + ey)Error dalam penjumlahan

ex+y = (ex + ey)

Error dalam pengurangan ex-y = (ex - ey)

Akan tetapi baik ex maupun ey dapat bernilai positif maupun negatif, dan error mutlak terbesar:

|ex-y| = |ex| + |ey|

Dengan cara yang sama

● Jika dinyatakan dalam error relatif maka:

Contoh 1

x = � y = 22/7xa = 3,1416 ya = 3,1429

Hitunglah x-xa, rel ex, y-ya, rel ey, (x-y), (xa – ya), dan selisihnya.

x – xa = -7,35 x 10-6 Rel (ex) = -7,35 x 10-6/� = -2,34 x 10-6

y – ya = -4,29 x 10-5 Rel (ey) = -4,29x10-5/(22/7)

= -1,36 x 10-5

(x – y) – (xa – ya) =-0,0012645 – (-0,0013)= 3,55 x 10-5

Rel (xa – ya) = -0,028

Maka meskipun error untuk perhitungan menggunakan (xa – ya) kecil namun “error relatif” nya cukup besar.

2.4.2 Perkalian

x . y = (xa + ex) . (ya + ey) = xaya + xaey + yaex + exey

Jika dianggap error exey diabaikan makax . y � xaya + xaey + yaex exy � xaey + yaex

error relatif dapat dicari dengan

Jika Rel(ex) . Rel(ey) << 1Maka (xa . ya) = Rel(ex) + Rel(ey)

2.4.3 Pembagian

● Faktor dalam kurung dapat diuraikan dalam bentuk deret

● Dengan mengalikan dan membuang semua bentuk perkalian atau pangkat yang lebih besar dari pada 1 pada ex dan ey, didapat

Sehingga