metode komputasi-numerik bab 3ok

8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok

1/29

BAB 3

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

A. SASARAN BELAJAR

Mahasiswa memahami dan dapat meggunakan berbagai Metode penyelesaian persamaan

non linier dan merancang program komputer untuk berbagai Metode penyelesaian

persamaan non linier

B. SASARAN PEMBELAJARAN & DESKRIPSI

Setelah menyelesaikan bagian ini mahasiswa diharapkan

a) Dapat menjelaskan tentang penyelesaian persamaan non linier

b) Dapat menyelesaiak persamaan dengan menngunakan Metode Biseksi

c) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Regula Falsi

d) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Iterasi Sedrhana

e) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Newton Rophson

) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Scant

g) Memahami !ontoh "asus #enyelesaian #ersamaan Non $inier

C. METODE PEMBELAJARAN & DESKRIPSI PELAKSANAAN

Metode pembelajaran pada kuliah ini dengan memberikan kuliah %!eramah) tatap muka&

diskusi %collaborati' $earning)& memberikan contoh(contoh aplikasi pemakain computer

untuk penyelesaian masalah sistem bilangan dan kesalahan dan latihan soal terbimbing

dan penugasan

D. INDIKATOR PENILAIAN

Melakukan tanya jawab& "emampuan Mahasiswa dalam mengaplikasikan metode

penyelesaian persamaan non linier dalam bentuk program komputasi& menjelaskan

perinsip penyelesaian sederhana berbagai pemakain dan penyelesaian persamaan non

linier pada metode numerik&

3.1. Pendahuluan

*assing +,


2/29

#enyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar(akar persamaan non linier

Dimana akar sebuah persamaan %-) ./ adalah nilai(nilai - yang menyebabkan nilai %-) sama

dengan nol Dengan kata lain akar persamaan %-) adalah titik potong antara kur'a %-) dan

sumbu 0

*ambar ,1 #enyelesaian persamaan non linier

#enyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta& dapat

dihitung dengan 2

mx + c = 0

- . (

#enyelesaian persamaan kuadrat a-+ 3 b- 3 c . / dapat dihitung dengan

menggunakan rumus 4B!

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan theorema sisaSehingga

tidak memerlukan metode numeric dalam menyelesaikannya& karena metode analitik dapat

dilakukan5etapi bagaimana menyelesaikan persamaan

*assing +6


3/29

5ampaknya sederhana& tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan

metode pencarian akar secara berulang(ulang akar persamaan sebagai penyelesaian

Theorema 3.1.

Suatu range x = 7a & b8 mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau

memenuhi f(a).f(b)


4/29

Dari tabel ini& bila ditemukan f( ). / atau mendekati nol maka dikatakan bahwa adalah

penyelesaian persamaan f( ) . / Bila tidak ada f( ) yang sama dengan nol& maka dicari

nilai f( ) dan f( ) yang berlawanan tanda& bila tidak ditemukan maka dikatakan tidak

mempunyai akar untuk - . [b,a], dan bila ditemukan maka ada + pendapat untuk

menentukan akar persamaan& yaitu 2

1. 4kar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat& bila : f( )| ≤ |f( ):

maka akarnya dan bila |f( ): < : f( )| maka akarnya

2. 4karnya perlu di cari lagi& dengan range - . [ ]

Secara grais& metode table ini dapat dijelaskan untuk - . [b,a], ungsi f(x) dibagi

menjadi N bagian seperti gambar berikut 2

*ambar ,, Metode 5abel

*assing +;


5/29

*ambar di atas menjelaskan bahwa penyelesaian diperoleh dengan membagi - . [b,a],

sebanyak(banyaknya hingga diperoleh suatu garis yang melalui akar persamaan dan nilai

- dari garis tersebut adalah penyelesaian dari persamaan F%-) . /

Conoh 3.1!

Selesaikan persamaan 2 x+e x = 0 dengan range - . [−1&/]

dengan F%-) . /&//66>

Conoh 3. "!

Selesaikan persamaan -e(- 3 1 = 0


6/29

Dari gambar di atas terlihat bahwa akar persamaan berada pada range 7(/&; & (/&98 dari range

ini dibuat table dengan membagi range menjadi 1/ bagian sehingga diperoleh 2

Dari table tersebut dapat dikatakan bahwa akar persamaan berada antara =/&9> dan =

/&9;& atau dengan menggunakan selisih terkecil maka dapat dikatakan bahwa akar persamaan

terletak di - . (/&9> dengan F%-) . (/&//>?1

Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang

kecil& karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier& 5etapi

metode ini digunakan sebagai taksiran awal untuk mengetahui area penyelesaian yang benar

sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian

Al#or$ma Meode Ta%el !

*assing +@


7/29

%1) Deisikan ungsi %-)

%+) 5entukan range untuk - yang berupa batas bawah - bawah dan batas atas -atas

%,) 5entukan jumlah pembagian N

%6) Aitung step pembagi h

%9)


8/29

*ambar ,6 Metode Biseksi


9/29

Dimana+

ba x

+=

#ada iterasi ke 1/ diperoleh - . (/9;>,@ dan %-) . (////;;


10/29

%?) Eika :b(a: e atau iterasi iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan

akar . -& dan bila tidak& ulangi langkah ;

3.3. Meode Re#ula (al$

Metode regula alsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanaatkan

kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range Seperti halnya metode biseksi&

metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range 5itik pendekatan yang

digunakan oleh metode regula(alsi adalah 2

)%)%

)%)%

a f b f

ba f ab f x

−

−

=

Dengan kata lain titik pendekatan - adalah nilai rata(rata range berdasarkan %-) Metode

regula alsi secara grais digambarkan sebagai berikut 2

*ambar ,9 Metode Regula Falsi

Conoh 3. )! Selesaikan persamaan -e(- 31 = 0& pada range -. [−1, 0 ]& dengan

menggunakan metode regulasi alsi maka diperoleh

*assing ,+


11/29

5abel sebagai berikut 2

4kar persamaan diperoleh di -.(/9;>61 dengan kesalahan ./&///>6

Al#or$ma Meode Re#ula (al$

1 deinisikan ungsi %-)

+ 5entukan batas bawah %a) dan batas atas %b)

, 5entukan toleransi error %e) dan iterasi maksimum %n)

6 Aitung Fa . %a) dan Fb . %b)

9


12/29

; 4kar persamaan adalah -

3.). Meode Iera$ Sederhana.

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan - dengan sebagian - yang

lain sehingga diperoleh 2 - . g%-) Sebagai contoh untuk menyelesaikan persamaan - = e- . /

maka persamaan di ubah menjadi 2 - . e- atau g%-) . e-& g%-) inilah yang menjadi dasar iterasi

pada metode iterasi sederhana iniMetode iterasi

sederhana secara grais yang dapat dijelaskan sebagai berikut 2

*ambar ,; Metode Iterasi Sederhana

Conoh 3. *!

Selesaikan - 3e- . /& maka persamaan diubah menjadi - . e- atau g%-) . e- 4mbil

titik awal di -/ . (1 & maka

Iterasi 1 2 - . (e(1 . (/,;>? F%-) . /&,+6,

Iterasi + 2 - . e(/,;>? . (/&;?++ F%-) . (/&1?1>,

Iterasi , 2 - . (e(/&;?++ . (/&9//6> F%-) . /&1/9>>

Iterasi 6 2 - . (e(/&9//6> . (/&;/;+6 F%-) . (/&/;/@9

Iterasi 9 . - . (e(/&;/;+6 . (/&9696 F%-) . /&/,6+1>

*assing ,6


13/29

#ada iterasi ke 1/ diperoleh - . (/&9;@6, dan F%-) . /&/,6+1>

Al#or$ma Meode Iera$ Sederhana

1 Deinisikan F%-) dan g%-)

+ 5entukan toleransi error %e) dan iterasi maksimum %n)

, 5entukan pendekatan awal -[0]

6


14/29

Conoh 3. -!

Selesaikan persamaan - = e(- . / dengan titik pendekatan awal -o . /

%-) . - ( e(- %-) . 13 e(-

%-o) . / = e(/ . (1

%-o) . 13 e(/ . +

9/&/+

1/

)%

)%

/

1

/

/1 =−

−=−=

x f

x f x x

%-1) . (/&1/;;,1 dan 1%-1) . 1&;/;9,

9;;,1&/;/;9,&1

1&/9&/

)%

)%

1

1

11+ =

−−=−=

x f

x f x x

%-+) . (/&//1,/69 dan 1%-+) . 1&9;>;+

9;>16,&/9;>;+&1

//1,/691&/9;;,1&/

)%

)%

+

1

++, =

−−=−=

x f

x f x x

%-,) . (1&?;1/(> Suatu bilangan yang sangat kecil dan 1%-,) . 1&9;>;+

maka akar persamaan dapt diperoleh dengan nilai mendekati eksat - . /&9;>;+

*assing ,;


15/29

#ada program di atas& tuliskan ungsi(ungsi ini pada deinisi ungsi2 %-) pada ungsi dan

H%-) pada turunan

Aasilnya adalah2

4kar terletak di - . +/9?@?

*assing ,>


16/29

Permaalahan ,ada ,ema'a$an meode ne+on ra,hon adalah !

1 Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik

ekstrim atau titik puncak& karena pada titik ini nilai F 1%-) . / sehingga nilai

penyebut dari)%

)%1 x F

x F sama dengan nol& secara grais dapat dilihat sebagai

berikut2

*ambar ,> #endekatan pada titik puncak

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak& maka titik selanjutnya akan berada di tak

berhingga

+ Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik

pendekatannya berada di antara dua titik stasioner titik puncak

*assing ,@


17/29

*ambar ,@ 5itik pendekatan berada diantara + titik puncak

Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya

penyelesaian %di!er"ensi) Aal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu

titik puncak atau arah pendekatannya berbeda


18/29

*ambar ,? *raik #=x.e-x +c$s(%x)

Iterasi menggunakan metode Newton Raphson adalah sebagai berikut2

4kar yang ditemukan adalah -.>1,;9& padahal dalam range / sampai dengan 1 terdapat akar

di sekitar /9 sd 1

,;?+

*assing 6/


19/29

Al#or$ma Meode Ne+on Ra,hon den#an mod$/$'a$ a%el !

1 Deinisikan ungsi F%-)

+ ambil range nilai - . 7a&b8 dengan jumlah pembagi n

, Masukkan torelansi error %e) dan masukkan iterasi n

6 *unakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal -/ dari 2

F%-k ) F%-k31) / maka -/ . -k

9 Aitung F%-/) dan F1%-/)

; Bila F(abs(F1(x0))) < e maka pendekatan awal -/ digeser sebesar d-

%dimasukkan)

-/ . -/3 d-

hitung F%-/) dan F1%-/)

>


20/29

4kar terletak di - . /?>,;?+

4kar terletak di - . ++,96?

4kar terletak di - . ,?;6;6

3.-. Meode Sean

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula(alsi dan newton raphson

dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit& dengan mengambil bentuk garis lurus

yang melalui satu titik

Dimana m diperoleh dari2

Bila y . F%-)& ny dan -n diketahui maka titik ke n31 adalah 2

Bila titik -n31 dianggap akar persamaan maka 2

yn31 . /

sehingga diperoleh 2

*assing 6+


21/29

atau 2

#ersamaan ini yang menjadi dasar pada proses pendekatan dimana nilai pendekatannya

adalah 2

Sehingga untuk menggunakan metode secant ini diperlukan dua

titik pendekatan -1 "edua titik pendekatan ini diambil pada titik(titik yang dekat agar

kon'ergensinya dapat dijamin

Conoh 3. 11!

Selesaikan persamaan 2 -+ = %- 3 1)e(- . /


22/29

Iterasi Metode Secant adalah sebagai berikut 2

Iterasi Metode Secant adalah sebagai berikut 2

Iterasi 1 2 . @@1@19&/

#% . //19,&/

Iterasi + 2 .@@+9+@&/

y, . 1&,1/(9

Iterasi , 2 . @@+9,6&/

y6 . 6&?11/(?

Diperoleh akar - . /&@@+9,6

Al#or$ma Meode Sean !

1 Deinisikan ungsi F%-)

+ Deinisikan torelansi error %e) dan iterasi maksimum %n)

, Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu -/ dan -1&

sebaiknya gunakan metode tabel atau grais untuk menjamin titik pendakatannya

adalah titik pendekatan yang kon'ergensinya pada akar persamaan yang diharapkan

6 Aitung F%-/) dan F%-1) sebagai y/ dan y1

9


23/29

Aasil untuk penyelesaian persamaan 2 -+ = %- 3 1) e(- . / dengan pendekatan awal di /&@ dan

/&?& dan toleransi error /////1 adalah sebagai berikut2

4kar persamaan di - . /@@+9,6

3.2. Conoh Kau Penelea$an Peramaan Non L$n$er

#enyelesaian persamaan non linier terkadang muncul sebagai permasalahan yang

terpisah& tetapi terkadang pula muncul sebagai satu kesatuan atau satu rantai dari

penyelesaian permasalahan dimana penyelesaian persamaan non linier justru menjadi kunci

dalam perhitungannya Beberapa contoh permasalahan dimana memerlukan penyelesaian

persamaan non linier sebagai kuncinya adalah sebagai berikut2

• #enentuan nilai maksimal dan minimal ungsi non linier

• #erhitungan nilai konstanta pada matrik dan determinan& yang biasanya muncul dalam

permsalahan sistem linier& bisa digunakan untuk menghitung nilai eigen

• #enentuan titik potong beberapa ungsi non linier& yang banyak digunakan untuk

keperluan perhitungan(perhitungan secara grais

Dan masih banyak lagi yang lainnya dan tidak mungkin dapat dibahas semua dalam satu

buku yang singkat ini

3.2.1. Penenuan N$la$ Ma'$mal dan M$n$mal (un#$ Non L$n$er

#enentuan nilai maksimal dan minimal pada ungsi non linier sebenarnya merupakan

permasalahan penyelesaian persamaan non(linier #ada penyelesaian persamaan non linier

dengan ungsi %-)& maka dicari - yang memenuhi %-)./ Sedangkan pada penentuan nilai

maksimal dan minimal dari ungsi %-)& yang dicari adalah nilai - yang memenuhi H%-)./

*assing 69


24/29

Eadi sebelum menggunakan metode numerik untuk menentukan nilai maksimal dan

nilai minimal pada ungsi %-)& maka terlebih dahulu dihitung g%-). 1%-) Nilai ungsi g%-)

inilah yang menjadi ungsi acuan untuk menentukan nilai - dimana g%-)./ tetapi pemakaian

metode numerik di sini tidak dapat menunjukkan apakah nilai yang dihasilkan adalah nilai

maksimal atau nilai minimal& karena siat maksimal dan minimal ditentukan oleh +%-)

Sehingga untuk menyajikan apakah titik yang diperoleh adalah titik maksimal atau titik

minimal& maka perlu dihitung g1%-)

Conoh 3. 13!

*ambar ,1/ Fungsi %-) . -+ = %- 3 1)e(+- 3 1

Dari gambar di atas nilai minimal terletak antara =/6 dan =/+


25/29

Akar persamaan di x = -0.329523

Eadi nilai minimal ungsi %-) terletak di -.(/,+?9+,

3.2.". Penenuan N$la$ E$#en Pada Mar$'

Nilai eigen pada suatu matrik 4& merupakan nilai(nilai yang menyajikan karakteristik

kestabilan matrik Nilai eigen ini dapat dihitung menggunakan 2

: & −λ ' : = 0

dimana I adalah matrik identitas dan λ adalah nilai eigen dari matrik 4

Bila matriks 4 mempunyai ukuran n - n maka akan terdapat n nilai λ yang disajikan dalam

bentuk persamaan polinomial pangkat n sebagai berikut 2


26/29

Secara grais bisa digambarkan sebagai berikut 2

*ambar ,11 *rik ungsi akar

Dari gambar terlihat akar persamaan terletak pada - antara ,&+ dan ,&6

Dengan menggunakan metode secant diperoleh2

Akar persamaan di x = 3.32472

3.2.3. Men#h$un# N$la$ A'ar

#erhitungan nilai akar a dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan

%-) . -+ = a. Ini dapat dilakukan dengan menghitung penyelesaian dari persamaan 2

-+ =a . /

Conoh 3. 1*!

Menghitung akar , dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan 2

0+ = , . /

Dengan menggunakan metode secant diperoleh 2

*assing 6@


27/29


3.2.3. Men#h$un# T$$' Poon# " Buah Kur4a

#erhatikan dua buah kur'a #=f(x) dan #="(x) yang berpotongan di titik

seperti gambar berikut 2

*ambar ,1+ perptongan dua buah kur'a


28/29

*ambar ,1, kur'a dan titik potong

Dari gambar di atas terlihat akar terletak di antara /@ dan 1

Dengan menggunakan metode Secant& terlebih dahulu disusun ungsi dari persamaannya

adalah sebagai berikut2

# = %x-x * e-x

#emakaian metode secant dengan titik pendekatan awal /&@ dan 1 adalah sebagai

berikut2

#endekatan awal di -/ . /&@ dan -1 . 1

5oleransi error . 11/(9 dalam program komputer error .1e(//9


*assing 9/


29/29

3.5. SOAL DAN T67AS

"erjakan soal ini secara manual dan dengan menggunakan program komputer

1. Aitung nilai akar +> dan akar 9/

%. 5entukan nilai puncak pada kur'a y.-+ 3 e(+- sin%-) pada range -.7/&1/8

. *unakan metode newton raphson& regula alsi dan secant untuk menghitung akar 1/

#erhatikan kesalahan dan jumlah iterasinya dan ambil kesimpulan

. 5entukan titik potong lingkaran dengan titik pusat %1&/) dan jari(jari + dengan kur'a

y.-+

. 5entukan titik potong antara #=x.e-x dan #=x% dengan menggunakan metode secant

dan newton raphson Bandingkan jumlah iterasi dan kesalahannya

. 5entukan titik puncak dari #=x.e

metode komputasi-numerik bab 3ok

Documents