Metoda BacktrackingMetoda Backtracking

1. Aspecte teoretice2. Exemplu pentru înţelegerea metodei3. Permutări4. Aranjamente5. Combinări6. Problema celor n dame7. Problema colorării hărţilor8. Problema comis voiajorului9. Problema pla

ţii unei sume s utilizând m tipuri de monede10. Backtracking recursiv11. Aranjamente si permutari rezolvate recursiv

1. Aspecte teoretice2. Exemplu pentru înţelegerea metodei3. Permutări4. Aranjamente5. Combinări6. Problema celor n dame7. Problema colorării hărţilor8. Problema comis voiajorului9. Problema pla

ţii unei sume s utilizând m tipuri de monede10. Backtracking recursiv11. Aranjamente si permutari rezolvate recursiv

1. Aspecte teoretice1. Aspecte teoretice

Metoda Backtracking este o metodă de elaborare a algoritmilor. Ea se aplică problemelor în care soluţia se poate reprezenta sub forma unui vector, X=(x1,x2,...xm), care aparţine lui S=S1xS2x...Sm

- S=S1xS2x...Sm se numeşte spaţiul soluţiilor posibile

- Pentru fiecare problemă în parte se dau anumite condiţii între componentele vectorului soluţie care se numesc condiţii interne

- Soluţiile posibile care verifică condiţiile interne se numesc soluţii rezultat

- Metoda Backtracking îşi propune să genereze toate soluţiile rezultat

Metoda Backtracking este o metodă de elaborare a algoritmilor. Ea se aplică problemelor în care soluţia se poate reprezenta sub forma unui vector, X=(x1,x2,...xm), care aparţine lui S=S1xS2x...Sm

- S=S1xS2x...Sm se numeşte spaţiul soluţiilor posibile

- Pentru fiecare problemă în parte se dau anumite condiţii între componentele vectorului soluţie care se numesc condiţii interne

- Soluţiile posibile care verifică condiţiile interne se numesc soluţii rezultat

- Metoda Backtracking îşi propune să genereze toate soluţiile rezultat

O metodă simplă de a genera soluţiile rezultat constă în a genera într-un mod oarecare toate soluţiile posibile şi de a alege dintre acestea doar pe cele care verifică condiţiile interne. Dezavantajul constă în faptul că timpul cerut este foarte mare.

O metodă simplă de a genera soluţiile rezultat constă în a genera într-un mod oarecare toate soluţiile posibile şi de a alege dintre acestea doar pe cele care verifică condiţiile interne. Dezavantajul constă în faptul că timpul cerut este foarte mare.

Metoda Backtracking urmăreşte să evite generarea tuturor soluţiilor posibile. Pentru aceasta elementele vectorului x primesc pe rând valori în sensul că lui xk i se atribuie o valoare doar dacă componentele din faţa sa x1, x2,...xk-1 au primit valori.

Dacă lui xk i s-a atribuit o valoare, nu se trece direct la atribuirea de valori lui xk+1, ci se verifică nişte condiţii de continuare, referitoare la x1, x2,...xk-1 xk. Dacă condiţiile de continuare au fost satisfăcute, se trece la calculul lui xk+1. Neîndeplinirea lor exprimă faptul că oricum s-ar alege xk+1,...,xn, nu se va ajunge la o soluţie rezultat. Evident, ca în cazul neîndeplinirii condiţiilor de continuare va trebui să se facă o altă alegere pentru xk. Sau dacă Sk a fost epuizat, să se micşoreze k cu o unitate, încercând să se facă o nouă alegere pentru xk.

Metoda Backtracking urmăreşte să evite generarea tuturor soluţiilor posibile. Pentru aceasta elementele vectorului x primesc pe rând valori în sensul că lui xk i se atribuie o valoare doar dacă componentele din faţa sa x1, x2,...xk-1 au primit valori.

Dacă lui xk i s-a atribuit o valoare, nu se trece direct la atribuirea de valori lui xk+1, ci se verifică nişte condiţii de continuare, referitoare la x1, x2,...xk-1 xk. Dacă condiţiile de continuare au fost satisfăcute, se trece la calculul lui xk+1. Neîndeplinirea lor exprimă faptul că oricum s-ar alege xk+1,...,xn, nu se va ajunge la o soluţie rezultat. Evident, ca în cazul neîndeplinirii condiţiilor de continuare va trebui să se facă o altă alegere pentru xk. Sau dacă Sk a fost epuizat, să se micşoreze k cu o unitate, încercând să se facă o nouă alegere pentru xk.

2. Exemplu pentru înţelegerea metodei

2. Exemplu pentru înţelegerea metodei

Pentru a înţelege mai uşor prezentăm următorul exemplu:

Presupunem că dorim să ne îmbrăcăm de la un magazin pentru o festivitate şi dorim să cumpărăm: pantofi, ciorapi, pantaloni, cămaşă şi cravata astfel încât acestea să se asorteze între ele, să se genereze toate modalităţile de a ne îmbrăca.

Magazinul are:5 etajeLa etajul 1 are 10 raioane cu pantofiLa etajul 2 are 10 raioane cu ciorapiLa etajul 3 are 10 raioane cu pantaloniLa etajul 4 are 10 raioane cu cămăşiLa etajul 5 are 10 raioane cu cravate

Pentru a înţelege mai uşor prezentăm următorul exemplu:

Presupunem că dorim să ne îmbrăcăm de la un magazin pentru o festivitate şi dorim să cumpărăm: pantofi, ciorapi, pantaloni, cămaşă şi cravata astfel încât acestea să se asorteze între ele, să se genereze toate modalităţile de a ne îmbrăca.

Magazinul are:5 etajeLa etajul 1 are 10 raioane cu pantofiLa etajul 2 are 10 raioane cu ciorapiLa etajul 3 are 10 raioane cu pantaloniLa etajul 4 are 10 raioane cu cămăşiLa etajul 5 are 10 raioane cu cravate

Deoarece soluţia are mai multe componente, 5 – câte etaje are magazinul, putem folosi metoda Backtracking. Pentru rezolvare vom folosi:

k : variabilă întreagă care reprezintă etajul pe care ne găsim

x : vector care are 5 componente întregi, adică exact câte etaje are magazinul cu proprietatea că xk reprezintă numărul raionului de la care s-a cumpărat pe etajul k. În cazul de faţă xk {1,...,10} unde k{1,...,5}

as este o variabilă întreagă care primeşte valoarea 1 dacă pe etajul k mai sunt raioane nevizitate şi primeşte valoarea 0 dacă pe etajul k nu mai sunt raioane nevizitate.

ev este o variabilă întreagă care primeşte valoarea 1 dacă ce este la raionul xk convine şi primeşte valoarea 0 dacă ce este la raionul xk nu convine.

Deoarece soluţia are mai multe componente, 5 – câte etaje are magazinul, putem folosi metoda Backtracking. Pentru rezolvare vom folosi:

k : variabilă întreagă care reprezintă etajul pe care ne găsim

x : vector care are 5 componente întregi, adică exact câte etaje are magazinul cu proprietatea că xk reprezintă numărul raionului de la care s-a cumpărat pe etajul k. În cazul de faţă xk {1,...,10} unde k{1,...,5}

as este o variabilă întreagă care primeşte valoarea 1 dacă pe etajul k mai sunt raioane nevizitate şi primeşte valoarea 0 dacă pe etajul k nu mai sunt raioane nevizitate.

ev este o variabilă întreagă care primeşte valoarea 1 dacă ce este la raionul xk convine şi primeşte valoarea 0 dacă ce este la raionul xk nu convine.

se pleacă de la primul etajdin faţa uşiiatâta timp cât încă ne aflăm la un etaj , k

repetămne întrebăm dacă mai sunt raioane pe etajul kdacă da, atunci

se verifică dacă ne convine ce conţine raionul care urmeazăatâta timp cât mai sunt raioane şi nu am găsit ce ne place.dacă am găsit atunci

dacă le-am luat pe toate atunci

se afişeazăaltfel

se merge la etajul următor în faţa uşiialtfel

se coboară la etajul de jos

se pleacă de la primul etajdin faţa uşiiatâta timp cât încă ne aflăm la un etaj , k

repetămne întrebăm dacă mai sunt raioane pe etajul kdacă da, atunci

se verifică dacă ne convine ce conţine raionul care urmeazăatâta timp cât mai sunt raioane şi nu am găsit ce ne place.dacă am găsit atunci

dacă le-am luat pe toate atunci

se afişeazăaltfel

se merge la etajul următor în faţa uşiialtfel

se coboară la etajul de jos

Cum se procedează:

k=1; (se pleacă de la primul etaj)x[k]=0; (din faţa uşii)while (k>0) (atâta timp cât încă ne aflăm la un etaj , k)

{do (repetăm)

{succ(x,k,as); (ne întrebăm dacă mai sunt raioane pe etajul k)if(as) (dacă da, atunci)

valid(x,k,ev); (se verifică dacă ne convine ce conţine raionul care urmează)

}while(as&&!ev); (atâta timp cât mai sunt raioane şi nu am gasit ce ne

place.)if (as) (dacă am găsit atunci)

if(k==5) (dacă le-am luat pe toate atunci)afis(x,k) (se afişează)

else (altfel){

k=k+1; (se merge la etajul următor)x[k]=0; (în faţa uşii)

}else (altfel)

k=k-1; (se coboară la etajul de jos)}

k=1; (se pleacă de la primul etaj)x[k]=0; (din faţa uşii)while (k>0) (atâta timp cât încă ne aflăm la un etaj , k)

{do (repetăm)

{succ(x,k,as); (ne întrebăm dacă mai sunt raioane pe etajul k)if(as) (dacă da, atunci)

valid(x,k,ev); (se verifică dacă ne convine ce conţine raionul care urmează)

}while(as&&!ev); (atâta timp cât mai sunt raioane şi nu am gasit ce ne

place.)if (as) (dacă am găsit atunci)

if(k==5) (dacă le-am luat pe toate atunci)afis(x,k) (se afişează)

else (altfel){

k=k+1; (se merge la etajul următor)x[k]=0; (în faţa uşii)

}else (altfel)

k=k-1; (se coboară la etajul de jos)}

Reprezentarea a ceea ce s-a spus mai sus este:

Cum ne dăm seama dacă mai sunt raioane la etajul

k?

Cum ne dăm seama dacă mai sunt raioane la etajul

k?dacă numărul raionului de la etajul k este mai mic decât 10

atuncimai sunt raioane pe etajul kşi mergem la raionul următor

altfelnu mai sunt raioane pe etajul k

dacă numărul raionului de la etajul k este mai mic decât 10

atuncimai sunt raioane pe etajul kşi mergem la raionul următor

altfelnu mai sunt raioane pe etajul k

void succ(sir x,int k,int &as) (funcţia care determină dacă mai sunt raioane la etajul k){

if(x[k]<10) (dacă numărul raionului de la etajul k este mai mic decât 10)

{ (atunci)as=1; (mai sunt raioane pe etajul k)x[k]=x[k]+1 (şi mergem la raionul

următor)}

else (altfel)as=0; (nu mai sunt raioane pe etajul k)}

void succ(sir x,int k,int &as) (funcţia care determină dacă mai sunt raioane la etajul k){

if(x[k]<10) (dacă numărul raionului de la etajul k este mai mic decât 10)

{ (atunci)as=1; (mai sunt raioane pe etajul k)x[k]=x[k]+1 (şi mergem la raionul

următor)}

else (altfel)as=0; (nu mai sunt raioane pe etajul k)}

Cum se realizează afişarea

Cum se realizează afişarea

pentru i de la 1 la kse afişează x[i]

cursorul trece la linia următoare

pentru i de la 1 la kse afişează x[i]

cursorul trece la linia următoare

void afis(sir x, int k){int i;

for(i=1;i<=k;i++) (pentru i de la 1 la k)cout<<x[i]<<” ”; (se afişează x[i])

cout<<endl; (cursorul trece la linia următoare)

}

void afis(sir x, int k){int i;

for(i=1;i<=k;i++) (pentru i de la 1 la k)cout<<x[i]<<” ”; (se afişează x[i])

cout<<endl; (cursorul trece la linia următoare)

}

void valid(int &ev){

ev=1; (presupunem că orice alegere de haine ne convine)

}

void valid(int &ev){

ev=1; (presupunem că orice alegere de haine ne convine)

}

Pentru realizarea programului se parcurg următoarele etape:

construirea tipului sir declararea tuturor variabilelor care apar în cadrul programului principal

realizarea funcţiei succ realizarea funcţiei valid realizarea funcţiei afiş programul principal care conţine rutina principală

Pentru realizarea programului se parcurg următoarele etape:

construirea tipului sir declararea tuturor variabilelor care apar în cadrul programului principal

realizarea funcţiei succ realizarea funcţiei valid realizarea funcţiei afiş programul principal care conţine rutina principală

construirea tipului sirconstruirea tipului sir

#include<iostream.h>#include<stdio.h>typedef int sir[100];sir x;

#include<iostream.h>#include<stdio.h>typedef int sir[100];sir x;

declararea tuturor variabilelor care apar în cadrul programului principal

declararea tuturor variabilelor care apar în cadrul programului principal

int k, as,ev; int k, as,ev;

realizarea funcţiei succrealizarea funcţiei succ

void succ(sir x, int k, int&as){if(x[k]<10)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void succ(sir x, int k, int&as){if(x[k]<10)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

Verific dacă mai sunt sau nu raioane pe etajul k

realizarea funcţiei validrealizarea funcţiei valid

void valid(int&ev){

ev=1;}

void valid(int&ev){

ev=1;}

Am găsit ce îmi place

realizarea funcţiei afişrealizarea funcţiei afiş

void afis(sir x,int k){int i;

for(i=1;i<=k;i++)cout<<x[i]<<" ";

cout<<endl;}

void afis(sir x,int k){int i;

for(i=1;i<=k;i++)cout<<x[i]<<" ";

cout<<endl;}

Afişarea rezultatului

programul principal care conţine rutina

principală

programul principal care conţine rutina

principalăint main(void){k=1;x[k]=0;while(k>0){

do{

succ(x,k,as);if (as)

valid(ev);}

while(as&&!ev);

int main(void){k=1;x[k]=0;while(k>0){

do{

succ(x,k,as);if (as)

valid(ev);}

while(as&&!ev);

if(as)if(k==5)

afis(x,k);else

{

k=k+1;

x[k]=0;}

else k=k-1;}}

ComentariiComentarii

1. Dacă la etajul 1 ar fi fost n1 raioanela etajul 2 ar fi fost n2 raioane

.......la etajul k ar fi fost nk raioane

Funcţia succesor se modifică astfel:

1. Dacă la etajul 1 ar fi fost n1 raioanela etajul 2 ar fi fost n2 raioane

.......la etajul k ar fi fost nk raioane

Funcţia succesor se modifică astfel:

void succ(sir x, int k, int&as)

{if(x[k]<n[k])

{as=1;x[k]=x[k]

+1;}

else as=0;}

void succ(sir x, int k, int&as)

{if(x[k]<n[k])

{as=1;x[k]=x[k]

+1;}

else as=0;}

ComentariiComentarii

2. Dacă magazinul are m etaje atunci condiţia „dacă s-au făcut toate cumpărăturile” sau „s-a ajuns la ultimul etaj” se scrie

if(k==m)

2. Dacă magazinul are m etaje atunci condiţia „dacă s-au făcut toate cumpărăturile” sau „s-a ajuns la ultimul etaj” se scrie

if(k==m)

ComentariiComentarii

3. Dacă la fiecare etaj numărul de magazine este variabil (nu 10) condiţia de testare din funcţia succesor este

if(x[k]<n[k])

3. Dacă la fiecare etaj numărul de magazine este variabil (nu 10) condiţia de testare din funcţia succesor este

if(x[k]<n[k])

Atunci când nu există condiţii între componentele vectorului soluţie funcţia valid are forma:

void valid(int&ev){

ev=1;}

Atunci când nu există condiţii între componentele vectorului soluţie funcţia valid are forma:

void valid(int&ev){

ev=1;}

Atunci când componentele vectorului soluţie trebuie să fie distincte trebuie arătat că xkxi pentru i=1...k-1 se procedează astfel:

- se presupune că xk este diferit de toate elementele din faţa sa- se parcurg indicii 1...k-1 cu i- dacă xk nu este diferit de xi, atunci presupunerea este falsă

void valid(int&ev){

int i;ev=1;for(i=1;i<=k-1;i++)

if(!(x[k]!=x[i]))ev=0;

}

Atunci când componentele vectorului soluţie trebuie să fie distincte trebuie arătat că xkxi pentru i=1...k-1 se procedează astfel:

- se presupune că xk este diferit de toate elementele din faţa sa- se parcurg indicii 1...k-1 cu i- dacă xk nu este diferit de xi, atunci presupunerea este falsă

void valid(int&ev){

int i;ev=1;for(i=1;i<=k-1;i++)

if(!(x[k]!=x[i]))ev=0;

}

X[k] nu este diferit de x[i]

PermutăriPermutăriO permutare a unei mulţimi cu n elemente este un şir

de elemente obţinut prin schimbarea ordinii elementelor mulţimii date sau chiar mulţimea însăşi.

Ne gândim la generarea permutărilor atunci când se dă o mulţime cu n elemente ca date de intrare iar soluţia este sub forma de vector, tot cu n elemente, ale cărui componente sunt distincte şi aparţin mulţimii date.

Exemplu: Fie A={1,2,3}. Permutările mulţimii A sunt: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Fie A={a1, a2,…,am} o mulţime cu elemente de tip întreg. Trebuie determinate elementele mulţimii { y1, y2,…,ym }| ykA, k=1,2,...,m, pentru yiyj pentru ij}.

Deci, x=( x1, x2,…,xm) unde x{1,...,m}, elementele vectorului x trebuie să fie distincte.

O permutare a unei mulţimi cu n elemente este un şir de elemente obţinut prin schimbarea ordinii elementelor mulţimii date sau chiar mulţimea însăşi.

Ne gândim la generarea permutărilor atunci când se dă o mulţime cu n elemente ca date de intrare iar soluţia este sub forma de vector, tot cu n elemente, ale cărui componente sunt distincte şi aparţin mulţimii date.

Exemplu: Fie A={1,2,3}. Permutările mulţimii A sunt: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Fie A={a1, a2,…,am} o mulţime cu elemente de tip întreg. Trebuie determinate elementele mulţimii { y1, y2,…,ym }| ykA, k=1,2,...,m, pentru yiyj pentru ij}.

Deci, x=( x1, x2,…,xm) unde x{1,...,m}, elementele vectorului x trebuie să fie distincte.

Programul:Programul:

#include<iostream.h>#include<stdio.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,m;int as,ev;sir a;

#include<iostream.h>#include<stdio.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,m;int as,ev;sir a;

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<m)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<m)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void valid(sir x, int k, int &as){int i;ev =1;for(i=1;i<=k-1;i++)

if(!(x[i]!=x[k]))ev=0;

}

void valid(sir x, int k, int &as){int i;ev =1;for(i=1;i<=k-1;i++)

if(!(x[i]!=x[k]))ev=0;

}

void afis(sir x, int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<a[x[i]]<<" ";cout<<endl;}

void afis(sir x, int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<a[x[i]]<<" ";cout<<endl;}

int main(void){cout<<"m=";cin>>m;for(i=1;i<=m;i++)

cin>>a[i];k=1;x[k]=0;while(k>0)

{do{succ(x,k,as);

if(as) valid(x,k,ev);

}while(as&&!ev);

int main(void){cout<<"m=";cin>>m;for(i=1;i<=m;i++)

cin>>a[i];k=1;x[k]=0;while(k>0)

{do{succ(x,k,as);

if(as) valid(x,k,ev);

}while(as&&!ev);

if(as) if(k==m) afis(x,k);else

{k=k+1;x[k]=0;

}else k=k-1;}}

if(as) if(k==m) afis(x,k);else

{k=k+1;x[k]=0;

}else k=k-1;}}

AranjamenteAranjamente

Se dau două mulţimi A={1,2,…,p} şi B={1,2,…,m} se cer toate funcţiile injective definite pe A cu valori în B. O astfel de problemă este una de generare a aranjamentelor de n luate cate p (An

p).

Exemplu: p=2, n=3. Avem (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2). De exemplu (2,1) este funcţia f:A→B dată astfel f(1)=2, f(2)=1. Avem relaţiile: =m(m-1)...(m-p+1).

Se dau două mulţimi A={1,2,…,p} şi B={1,2,…,m} se cer toate funcţiile injective definite pe A cu valori în B. O astfel de problemă este una de generare a aranjamentelor de n luate cate p (An

p).

Exemplu: p=2, n=3. Avem (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2). De exemplu (2,1) este funcţia f:A→B dată astfel f(1)=2, f(2)=1. Avem relaţiile: =m(m-1)...(m-p+1).

Avem relaţiile:Avem relaţiile:)(

!

pm

mA pn

= m(m-1)...(m-p+1).

Se citesc m şi p. Să se genereze toate aranjamentele de m luate câte p.

Se observă că dacă se cunoaşte fiecare submulţime de p elemente a mulţimii de m elemente, atunci aranjamentele se pot obţine permutând în toate modurile posibile elementele unei astfel de mulţimi.

O soluţie este de forma: x1,x2,...xp unde x1,x2,...xpB. În plus x1,x2,...xp trebuie să fie distincte. O soluţie are p numere din mulţimea B şi numerele trebuie să fie distincte.

De aici rezultă că algoritmul este acelaşi ca la permutări, diferenţa fiind dată de faptul că soluţia are p numere, nu m ca în cazul permutărilor.

#include<iostream.h>#include<stdio.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,m,p;int as,ev;sir a;

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<m)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void valid(sir x, int k, int &as){int i;ev =1;for(i=1;i<=k-1;i++)

if(x[k]==x[i])ev=0;

}

void afis(sir x, int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<a[x[i]]<<" ";cout<<endl;

}

se verifică dacă xkxi unde i=1,2,...,k-1

se afişează elementele din mulţimea A care corespund poziţiilor date de elementele

vectorului x

int main(void){cout<<"m=";cin>>m;for(i=1;i<=m;i++)

cin>>a[i];cout<<"p=";cin>>p;

k=1;x[k]=0;while(k>0)

{do

{succ(x,k,as);

if(as) valid(x,k,ev);}

while(as&&!ev);if(as)

if(k==p) afis(x,k);else{

k=k+1;x[k]=0;

}else k=k-1;

}}

CombinăriCombinări

Fiind dată o mulţime A cu n elemente, a combina elementele mulţimii în grupe de câte p<n elemente înseamnă a determina toţi vectorii cu p elemente ale căror componente aparţin mulţimii A şi sunt sortate crescător.

Ne gândim la generarea combinărilor atunci când se dă o mulţime cu n elemente ca date de intrare iar soluţia este sub forma unui vector cu p<n elemente, astfel încât să nu aibă importanţă ordinea pe care o au în cadrul şirului. Componentele sunt sortate crescător şi aparţin mulţimii date.

Fie A={1,2,3}. Combinările mulţimii A în grupe de câte două elemente sunt (1,2), (1,3), (2,3).

Fiind dată o mulţime A cu n elemente, a combina elementele mulţimii în grupe de câte p<n elemente înseamnă a determina toţi vectorii cu p elemente ale căror componente aparţin mulţimii A şi sunt sortate crescător.

Ne gândim la generarea combinărilor atunci când se dă o mulţime cu n elemente ca date de intrare iar soluţia este sub forma unui vector cu p<n elemente, astfel încât să nu aibă importanţă ordinea pe care o au în cadrul şirului. Componentele sunt sortate crescător şi aparţin mulţimii date.

Fie A={1,2,3}. Combinările mulţimii A în grupe de câte două elemente sunt (1,2), (1,3), (2,3).

#include<iostream.h>#include<stdio.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,m,p;int as,ev;sir a;

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<m)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void valid(sir x, int k, int &as){int i;ev =1;for(i=1;i<=k-1;i++)if((k>=2)&&!(a[x[k]]>a[x[k-1]])) ev=0;}

void afis(sir x, int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<a[x[i]]<<" "; cout<<endl;

}

se verifică dacă componentele aparţin mulţimii date şi sunt

sortate crescător

se afişează elementele din mulţimea A care corespund poziţiilor date de elementele

vectorului x

int main(void){cout<<"m=";cin>>m;for(i=1;i<=m;i++)

cin>>a[i];cout<<"p=";cin>>p;

k=1;x[k]=0;while(k>0)

{do

{succ(x,k,as);

if(as) valid(x,k,ev);}

while(as&&!ev);if(as)

if(k==p) afis(x,k);else{

k=k+1;x[k]=0;

}else k=k-1;

}}

Problema celor n dameProblema celor n dame

Pentru rezolvare se vor folosi:k = variabila întreagă ce reprezintă linia pe

care se aşează a k-a damăx = vector cu componente întregi cu

proprietatea că xk reprezintă coloana pe care se aşează a k-a damă

Deoarece tabla are n linii şi n coloane k{1,2,..,n} si xk{1,2,...,n} adică:

x=(x1,x2,...,xn) unde xk{1,2,…n}, k{1,2,...,n}.

Pentru rezolvare se vor folosi:k = variabila întreagă ce reprezintă linia pe

care se aşează a k-a damăx = vector cu componente întregi cu

proprietatea că xk reprezintă coloana pe care se aşează a k-a damă

Deoarece tabla are n linii şi n coloane k{1,2,..,n} si xk{1,2,...,n} adică:

x=(x1,x2,...,xn) unde xk{1,2,…n}, k{1,2,...,n}.

În desenul de mai jos este ilustrată situaţia în care dama k şi dama i sunt situate pe aceeaşi diagonală.

În desenul de mai jos este ilustrată situaţia în care dama k şi dama i sunt situate pe aceeaşi diagonală.

k

i

xi xk

k-i=xk-xi

(trebuie ca damele să fie aşezateÎn colţurile unui pătrat cu latura K-i, respectiv xk-xi)

În desenul de mai jos este ilustrată situaţia în care dama k şi dama i sunt situate pe aceeaşi diagonală.

În desenul de mai jos este ilustrată situaţia în care dama k şi dama i sunt situate pe aceeaşi diagonală.

k

i

xk xi

k-i=xi-xk

(trebuie ca damele să fie aşezateÎn colţurile unui pătrat cu latura K-i, respectiv xi-xk)

Dama k şi dama i se găsesc pe aceeaşi diagonală dacă k-i=|xk-xi|

Dama k şi dama i se găsesc pe aceeaşi coloană dacă xk=xi.

Dama k şi dama i nu se află e aceeaşi lunie niciodată datorită modului de construire a vectorului x

Dama k şi dama i se găsesc pe aceeaşi diagonală dacă k-i=|xk-xi|

Dama k şi dama i se găsesc pe aceeaşi coloană dacă xk=xi.

Dama k şi dama i nu se află e aceeaşi lunie niciodată datorită modului de construire a vectorului x

Funcţia valid trebuie să verifice dacă dama k nu se află pe aceeaşi coloană sau pe aceeaşi diagonală cu dama i.

Deci trebuie arătat că:

xkxi şi k-i|xk-xi| pentru i=1,2,…,k-1.

adicăif((x[k]==x[i])||(k-i==abs(x[k]-x[i])))

Funcţia valid trebuie să verifice dacă dama k nu se află pe aceeaşi coloană sau pe aceeaşi diagonală cu dama i.

Deci trebuie arătat că:

xkxi şi k-i|xk-xi| pentru i=1,2,…,k-1.

adicăif((x[k]==x[i])||(k-i==abs(x[k]-x[i])))

typedef int sir[100];sir x;int i,k,n;int as,ev;

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<n)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void valid(sir x, int k, int &ev){ev =1;for(i=1;i<=k-1;i++)

if((x[k]==x[i])||(k-i==abs(x[k]-x[i])))

ev=0;}void afis(sir x,int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;}

int main(void){cout<<"n=";cin>>n;k=1;x[k]=0;while(k>0){ do { succ(x,k,as); if(as) valid(x,k,ev); } while(as&&!ev);

if(as) if(k==n) afis(x,k); else {

k=k+1;x[k]=0;

}else k=k-1;

}}

Problema colorării hărţilor

Problema colorării hărţilor

Fiind dată o hartă cu n tări, se cer toate modalităţile de colorare a hărţii, utilizând cel mult m culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorare diferit. Este demonstrat faptul că sunt suficiente numai 4 culori ca orice hartă să poată fi colorată.

Pentru rezolvare se vor folosi:k: variabilă întreagă, care reprezintă o ţarăx: vector cu componente întregi cu proprietatea

xk reprezintă culoarea ţării cu numărul kdeoarece sunt n ţări şi m culori, k={1,...,n} şi

xk={1,...,m}x=(x1,x2,...,xn) unde xk{1,...,n}.

Fiind dată o hartă cu n tări, se cer toate modalităţile de colorare a hărţii, utilizând cel mult m culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorare diferit. Este demonstrat faptul că sunt suficiente numai 4 culori ca orice hartă să poată fi colorată.

Pentru rezolvare se vor folosi:k: variabilă întreagă, care reprezintă o ţarăx: vector cu componente întregi cu proprietatea

xk reprezintă culoarea ţării cu numărul kdeoarece sunt n ţări şi m culori, k={1,...,n} şi

xk={1,...,m}x=(x1,x2,...,xn) unde xk{1,...,n}.

esunt vecinnu j tarasi i taradaca 0

esunt vecin j tarasi i taradaca 1

,

,

ji

ji

a

aA

1

2

34

5

Pentru reprezentarea hărţii în program se va folosi matricea de adiacenţă definită astfel:

Exemplu: pentru harta de mai jos:Matricea de adiacenţă este:

01111

10111

11000

11001

11010

A

Concluzie:Ţara k şi ţara i sunt vecine, dacă (ai,k=1) sau

(ak,i=1)

Ţara k şi ţara i au aceeaşi culoare dacă xk=xi

Comentarii la funcţia valid:Trebuie verificat dacă ţara k şi ţara i ce sunt

ţări vecine au culori diferite, adică dacăak,i=1 pentru xkxi, pentru i=1...k-1.

Concluzie:Ţara k şi ţara i sunt vecine, dacă (ai,k=1) sau

(ak,i=1)

Ţara k şi ţara i au aceeaşi culoare dacă xk=xi

Comentarii la funcţia valid:Trebuie verificat dacă ţara k şi ţara i ce sunt

ţări vecine au culori diferite, adică dacăak,i=1 pentru xkxi, pentru i=1...k-1.

#include<iostream.h>#include<math.h>typedef int sir[100];sir x;int m,i,k,n,j;int as,ev;int a[100][100];

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<n)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void valid(sir x, int k, int &ev){ev =1;for(i=1;i<=k-1;i++)

if((a[k][i]==1)&&(x[k]==x[i]))ev=0;

}

void afis(sir x,int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;}

Se verifică dacă ai,k=1 atuncixkxi, unde i=1,...k-1

int main(void){cout<<"Dati numarul de tari:";cin>>n;for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++){

cin>>a[i][j];a[j]

[i]=a[i][j];}

k=1;x[k]=0;while(k>0) { do { succ(x,k,as); if(as) valid(x,k,ev); } while(as&&!ev); if(as) if(k==n) afis(x,k); else

{ k=k+1; x[k]=0;}

else k=k-1; }}

Problema comis voiajorului

Problema comis voiajorului

Un comis voiajor trebuie să viziteze un număr de n oraşe. Iniţial acesta se află într-unul din ele, notat 1. Comis voiajorul doreşte să nu treacă de două ori prin acelaşi oraş iar la întoarcere să revină în oraşul 1. Cunoscând legăturile existente între oraşe, se cere să se tipărească toate drumurile posibile pe care le poate efectua comis voiajorul.

Un comis voiajor trebuie să viziteze un număr de n oraşe. Iniţial acesta se află într-unul din ele, notat 1. Comis voiajorul doreşte să nu treacă de două ori prin acelaşi oraş iar la întoarcere să revină în oraşul 1. Cunoscând legăturile existente între oraşe, se cere să se tipărească toate drumurile posibile pe care le poate efectua comis voiajorul.

Pentru rezolvarea problemei se vor folosi:k: variabilă întreagă care reprezintă la al

câtelea oraş s-a ajuns (al doilea, al treilea...)

x: vector cu componente întregi, cu proprietatea

că xk reprezintă al k-lea oraş din traseu

Pentru rezolvarea problemei se vor folosi:k: variabilă întreagă care reprezintă la al

câtelea oraş s-a ajuns (al doilea, al treilea...)

x: vector cu componente întregi, cu proprietatea

că xk reprezintă al k-lea oraş din traseu

Pentru a evita parcurgerea unui drum de două ori, se va recurge la strategia de a atribui lui x1 valoarea 1, adică toate drumurile să plece de la primul oraş. Din acest motiv, xk{2,…,n} pentru k{2,…,n}.

x=(x1,x2,…,xn) unde xk{2,…,n} şi x1=1, pentru k{2,…,n}.

Pentru a evita parcurgerea unui drum de două ori, se va recurge la strategia de a atribui lui x1 valoarea 1, adică toate drumurile să plece de la primul oraş. Din acest motiv, xk{2,…,n} pentru k{2,…,n}.

x=(x1,x2,…,xn) unde xk{2,…,n} şi x1=1, pentru k{2,…,n}.

Observaţie: Pentru reprezentarea grafului seva folosi matricea e adiacenţă definită astfel:

ai,j=1, dacă există drum între oraşele i şi j

ai,j=0, dacă nu există drum între oraşele i şi j

Observaţie: Pentru reprezentarea grafului seva folosi matricea e adiacenţă definită astfel:

ai,j=1, dacă există drum între oraşele i şi j

ai,j=0, dacă nu există drum între oraşele i şi j

Exemplu: pentru harta de mai jos, Exemplu: pentru harta de mai jos,

1

2

3

4

5

matricea de adiacenţă este:

00111

00111

11000

11001

11010

A

Concluzii:Între oraşele k şi i există drum dacă ak,i=1 şi (ai,k=1), deci între oraşele xk şi xi există drum dacă a[xk][xi]=1 (şi a[xi][xk]=1)

oraşul xk trebuie să fie diferit de oraşul xi pentru i=1...k-1oraşul xn trebuie să fie vecin cu oraşul x1 adică a[xk][x1]=1

Concluzii:Între oraşele k şi i există drum dacă ak,i=1 şi (ai,k=1), deci între oraşele xk şi xi există drum dacă a[xk][xi]=1 (şi a[xi][xk]=1)

oraşul xk trebuie să fie diferit de oraşul xi pentru i=1...k-1oraşul xn trebuie să fie vecin cu oraşul x1 adică a[xk][x1]=1

Comentarii la funcţia Valid:Trebuie verificat dacă:- există drum între oraşele xk-1 şi xk adică

trebuie de verificat dacă a[xk-1][xk]=1;

- oraşul xk este diferit de toate oraşele prin care s-a trecut adică xkxi pentru i=1..k-1

- dacă s-a ajuns la al n-lea oraş, trebuie să existe un drum între acesta şi primul oraş adică dacă k=n trebuie a[xk][x1]=1

Comentarii la funcţia Valid:Trebuie verificat dacă:- există drum între oraşele xk-1 şi xk adică

trebuie de verificat dacă a[xk-1][xk]=1;

- oraşul xk este diferit de toate oraşele prin care s-a trecut adică xkxi pentru i=1..k-1

- dacă s-a ajuns la al n-lea oraş, trebuie să existe un drum între acesta şi primul oraş adică dacă k=n trebuie a[xk][x1]=1

ProgramulProgramul

#include<iostream.h>#include<math.h>typedef int sir[100];sir x;int i,j,k,n,as,ev;int a[100][100];

#include<iostream.h>#include<math.h>typedef int sir[100];sir x;int i,j,k,n,as,ev;int a[100][100];

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<n)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<n)

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void valid(sir x, int k, int &ev){ev =1;if(a[x[k-1]][x[k]]==0) ev=0;else

{for(i=1;i<=k-1;i++)

if(x[i]==x[k]) ev=0;if((k==n)&&(a[x[n]][x[1]]==0))

ev=0;}

}

void valid(sir x, int k, int &ev){ev =1;if(a[x[k-1]][x[k]]==0) ev=0;else

{for(i=1;i<=k-1;i++)

if(x[i]==x[k]) ev=0;if((k==n)&&(a[x[n]][x[1]]==0))

ev=0;}

}

void afis(sir x,int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;}

void afis(sir x,int k){int i;for(i=1;i<=k;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;}

int main(void){cout<<"Dati numarul de orase:";cin>>n;for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++){

cin>>a[i][j];a[j][i]=a[i][j];

}x[1]=1;k=2;x[k]=1;

int main(void){cout<<"Dati numarul de orase:";cin>>n;for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++){

cin>>a[i][j];a[j][i]=a[i][j];

}x[1]=1;k=2;x[k]=1;

while(k>1){

do{

succ(x,k,as);if(as) valid(x,k,ev);

}while(as&&!ev);if(as)

if(k==n) afis(x,k);else

{k=k+1;x[k]=1;

}else k=k-1;

}}

while(k>1){

do{

succ(x,k,as);if(as) valid(x,k,ev);

}while(as&&!ev);if(as)

if(k==n) afis(x,k);else

{k=k+1;x[k]=1;

}else k=k-1;

}}

Pentru exemplul dat mai sus, si matricea de adiacenţă corespunzătoare, drumurile posibile sunt:

1 2 4 3 51 2 5 3 41 4 3 5 21 5 3 4 2

Pentru exemplul dat mai sus, si matricea de adiacenţă corespunzătoare, drumurile posibile sunt:

1 2 4 3 51 2 5 3 41 4 3 5 21 5 3 4 2

1

2

3

4

5

Problema plăţii unei sume s utilizând m tipuri de

monede

Problema plăţii unei sume s utilizând m tipuri de

monede Se dau suma s si m tipuri de monede

având valorile a1, a2, ..., am lei. Se cer toate modalităţile de plată a sumei s utilizând aceste monede.

Va trebui să se genereze toţi vectorii de forma X=(x1,...xm), care verifică relaţia:

x1·a1+x2·a2+...+xm·am=S

Se dau suma s si m tipuri de monede având valorile a1, a2, ..., am lei. Se cer toate modalităţile de plată a sumei s utilizând aceste monede.

Va trebui să se genereze toţi vectorii de forma X=(x1,...xm), care verifică relaţia:

x1·a1+x2·a2+...+xm·am=S

Din această relaţie se poate vedea că:x1 poate lua valori între 0 şi n1=

x2 poate lua valori între 0 şi n2=

......................................................xk poate lua valori între 0 şi nk=

.......................................................xm poate lua valori între 0 şi nm=

Trebuie să se determine elementele mulţimii:{x1,…,xm}| xk{0,…,m} unde k=1,…,m şi x1·a1+x2·a2+...

+xm·am=S

Din această relaţie se poate vedea că:x1 poate lua valori între 0 şi n1=

x2 poate lua valori între 0 şi n2=

......................................................xk poate lua valori între 0 şi nk=

.......................................................xm poate lua valori între 0 şi nm=

Trebuie să se determine elementele mulţimii:{x1,…,xm}| xk{0,…,m} unde k=1,…,m şi x1·a1+x2·a2+...

+xm·am=S

1a

S

ma

S

ka

S

2a

S

Exemplu: S=3; m=2, a[1]=1, a[2]=2.Programul va genera soluţiile:(1,1) ce corespunde la

1·a1+1·a2=1·1+1·2=3(3,0) ce corespunde la

3·a1+0·a2=3·1+0·2=3

Exemplu: S=3; m=2, a[1]=1, a[2]=2.Programul va genera soluţiile:(1,1) ce corespunde la

1·a1+1·a2=1·1+1·2=3(3,0) ce corespunde la

3·a1+0·a2=3·1+0·2=3

0 1 … nm

0 1 … nm-1

… … … … …

0 1 … n2

…

0 1 … n1

1

k

m

xk nk

Programul Programul

#include<iostream.h>typedef int sir[100];sir x,n,a;int m,i,k,S,as,ev;

#include<iostream.h>typedef int sir[100];sir x,n,a;int m,i,k,S,as,ev;

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<n[k])

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void succ(sir x, int k, int &as){if(x[k]<n[k])

{as=1;x[k]=x[k]+1;

}else as=0;}

void valid(int &ev){ev =1;}

void valid(int &ev){ev =1;}

void afis(sir x,int k){int i,s1;s1=0;for(i=1;i<=k;i++)

s1=s1+x[i]*a[i];if(S==s1)

{for(i=1;i<=k-1;i++)

cout<<x[i]<<"*"<<a[i]<<"+";cout<<x[k]<<"*"<<a[k]<<"="<<S<<endl;

}}

void afis(sir x,int k){int i,s1;s1=0;for(i=1;i<=k;i++)

s1=s1+x[i]*a[i];if(S==s1)

{for(i=1;i<=k-1;i++)

cout<<x[i]<<"*"<<a[i]<<"+";cout<<x[k]<<"*"<<a[k]<<"="<<S<<endl;

}}

int main(void){cout<<"Dati valoarea sumei:"; cin>>S;cout<<"Dati numarul monedelor m="; cin>>m;cout<<"Dati valorile celor "<<m<<" monede: ";

for(i=1;i<=m;i++){

cin>>a[i];n[i]=S/a[i];

}k=1;x[k]=-1;

int main(void){cout<<"Dati valoarea sumei:"; cin>>S;cout<<"Dati numarul monedelor m="; cin>>m;cout<<"Dati valorile celor "<<m<<" monede: ";

for(i=1;i<=m;i++){

cin>>a[i];n[i]=S/a[i];

}k=1;x[k]=-1;

while(k>0){

do{

succ(x,k,as);if(as) valid(ev);

}while(as&&!ev);if(as)

if(k==m) afis(x,k);else

{k=k+1;x[k]=-1;

}else k=k-1;

}}

while(k>0){

do{

succ(x,k,as);if(as) valid(ev);

}while(as&&!ev);if(as)

if(k==m) afis(x,k);else

{k=k+1;x[k]=-1;

}else k=k-1;

}}

Bactracking recursivBactracking recursivvoid back(int k){

if(solutie(k)) afis(x,k);else

{x[k]=0;while(succ(x,k))

{

valid(x,k,ev)if(ev)

back(k+1);}

}}

void back(int k){

if(solutie(k)) afis(x,k);else

{x[k]=0;while(succ(x,k))

{

valid(x,k,ev)if(ev)

back(k+1);}

}}

1. Funcţia back are un parametru întreg k şi funcţionează astfel:- dacă s-a ajuns la o soluţie, se tipăreşte şi se revine la nivelul anterior- dacă nu s-a ajuns la o soluţie

- se iniţializează nivelul- atâta timp cât este

succesor pe acest nivel- dacă este valid,

funcţia back se autoapelează pentru k+1

- dacă nu este succesor, se trece pe nivelul k-1 prin ieşirea din funcţia back.

Se apelează back(1)

1. Funcţia back are un parametru întreg k şi funcţionează astfel:- dacă s-a ajuns la o soluţie, se tipăreşte şi se revine la nivelul anterior- dacă nu s-a ajuns la o soluţie

- se iniţializează nivelul- atâta timp cât este

succesor pe acest nivel- dacă este valid,

funcţia back se autoapelează pentru k+1

- dacă nu este succesor, se trece pe nivelul k-1 prin ieşirea din funcţia back.

Se apelează back(1)

2. Funcţia succ verifică dacă mai sunt elemente în Sk.3. Funcţia valid verifică dacă sunt satisfăcute condiţiile

de continuare4. Funcţia afiş afişează o soluţie rezultat5. Funcţia soluţie returnează

1 dacă pe nivelul k s-a ajuns la soluţie0 dacă pe nivelul k nu s-a ajuns la soluţie

În general funcţia soluţie se defineşte astfel:int soluţie(int k){

return(k==n+1)}

2. Funcţia succ verifică dacă mai sunt elemente în Sk.3. Funcţia valid verifică dacă sunt satisfăcute condiţiile

de continuare4. Funcţia afiş afişează o soluţie rezultat5. Funcţia soluţie returnează

1 dacă pe nivelul k s-a ajuns la soluţie0 dacă pe nivelul k nu s-a ajuns la soluţie

În general funcţia soluţie se defineşte astfel:int soluţie(int k){

return(k==n+1)}

Permutări – recursivfuncţia succ

Permutări – recursivfuncţia succ

#include<iostream.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,n,ev;

int succ(sir x, int k){if(x[k]<n)

{x[k]=x[k]+1;return 1;

}else return 0;}

#include<iostream.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,n,ev;

int succ(sir x, int k){if(x[k]<n)

{x[k]=x[k]+1;return 1;

}else return 0;}

void valid(sir x, int k, int&ev){int i;ev=1;for(i=1; i<=k-1;i++)

if(!(x[k]!=x[i])) ev =0;}

void afis(sir c, int k){int i;for(i=1;i<=k-1;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;

}

void valid(sir x, int k, int&ev){int i;ev=1;for(i=1; i<=k-1;i++)

if(!(x[k]!=x[i])) ev =0;}

void afis(sir c, int k){int i;for(i=1;i<=k-1;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;

}

funcţiile valid şi afişfuncţiile valid şi afiş

void back(int k){if (k==n+1) afis(x,k);else

{x[k]=0;while(succ(x,k))

{valid(x,k,ev);if(ev)

back(k+1);}

}}

void back(int k){if (k==n+1) afis(x,k);else

{x[k]=0;while(succ(x,k))

{valid(x,k,ev);if(ev)

back(k+1);}

}}

funcţia backfuncţia back

programul principalprogramul principal

int main(void){cout<<"n=";cin>>n;back(1);}

int main(void){cout<<"n=";cin>>n;back(1);}

Aranjamente - recursivAranjamente - recursiv

#include<iostream.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,n,ev,m;

int succ(sir x, int k){if(x[k]<n)

{x[k]=x[k]+1;return 1;

}else return 0;}

#include<iostream.h>typedef int sir[100];sir x;int i,k,n,ev,m;

int succ(sir x, int k){if(x[k]<n)

{x[k]=x[k]+1;return 1;

}else return 0;}

Funcţiile valid şi afişFuncţiile valid şi afiş

void valid(sir x, int k, int&ev){int i;ev=1;for(i=1; i<=k-1;i++)

if((x[k]==x[i])) ev =0;}

void afis(sir c, int k){int i;for(i=1;i<=k-1;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;

}

void valid(sir x, int k, int&ev){int i;ev=1;for(i=1; i<=k-1;i++)

if((x[k]==x[i])) ev =0;}

void afis(sir c, int k){int i;for(i=1;i<=k-1;i++)

cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;

}

Funcţia backFuncţia back

void back(int k){if (k==m+1) afis(x,k);else

{x[k]=0;while(succ(x,k))

{valid(x,k,ev);if(ev)

back(k+1);}

}}

void back(int k){if (k==m+1) afis(x,k);else

{x[k]=0;while(succ(x,k))

{valid(x,k,ev);if(ev)

back(k+1);}

}}

programul principalprogramul principal

int main(void){cout<<"n=";cin>>n;cout<<"m=";cin>>m;back(1);}

int main(void){cout<<"n=";cin>>n;cout<<"m=";cin>>m;back(1);}