methodes des elements finis master 1 lmd génie civil · 2020. 11. 4. · faculte de genie civil et...

R é p u b l i q u e A l g é r i e n n e D é m o c r a t i q u e e t P o p u l a i r e

M i n i s t è r e d e l ’ E n s e i g n e m e n t S u p é r i e u r

e t d e l a R e c h e r c h e S c i e n t i f i q u e

Université Hassiba Benbouali de Chlef

العلمــــيو البحث العــــاليم ــــوزارة التعلي

FACULTE DE GENIE CIVIL ET D’ARCHITECTURE

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

POLYCOPIE

Par : KADA Abdelhak

Octobre 2017

METHODES

DES ELEMENTS FINIS

Master 1

LMD Génie Civil

𝐾 𝑈 = 𝐹

Par : KADA Abdelhak

"Les lois fondamentales de la physique, qui sont la base de l’analyse statique et dynamique, sont vieilles de plusieurs centaines d’années. De ce fait, toute personne qui croit avoir découvert un principe fondamental de calcul des structures nouveau est tout simplement victime de sa propre ignorance."

[ Pr E. L. Wilson 1998 – Berkeley University]

A la mémoire de mon Père

AVANT- PROPOS

Le contenu de ce polycopié s’adresse en premier lieu aux étudiants de première année de

master de génie civil, leur permettant de s’imprégner des différents aspects théoriques et

approches de la méthode des éléments finis (MEF).

Il est question de présenter la MEF selon le programme de Master académique, unité

d’enseignement UEM 1.2 avec le but de faire comprendre à l’étudiant le déroulement de la

méthode pour pouvoir assimiler les procédures et les étapes souvent dissimulées dans les logiciels.

Le polycopié est organisé en quatre chapitres, d’abord une introduction avec des énoncés de base,

l’approximation par des éléments finis à une, deux et trois dimensions et enfin une partie réservée à

un certain nombre d’applications de la méthode. Ces derniers sont dédiées à la résolution de

problèmes de barres, de poutres et des problèmes d’élasticité plane dans le but de faciliter la

compréhension des étapes de la MEF pour le calcul des structures.

Ce polycopié représente un outil de travail pour les étudiants de master 1 et les chapitres

correspondent à des cours dispensés par l’auteur.

Je remercie, Pr Lamri Belkacem, Dr Benarous Abdellah (enseignants à l’Université Hassiba Benbouali

de Chlef) et Pr Kerdal Djamel (enseignant à l’Université des Sciences et de la Technologie d’Oran

Mohamed Boudiaf), pour la relecture du polycopié, ainsi que pour les nombreuses remarques

constructives qui m’ont été prodiguées.

L’auteur : KADA Abdelhak

Université Hassiba Benbouali de Chlef

Octobre 2017 .

TABLE DES MATIERES

Page

Chapitre1 Introduction

1.1. Introduction 1

1.2. Objectifs du cours de la MEF 1

1.3. Idée de base de la Méthode des Eléments Finis 1

1.4. Pourquoi la MEF ? 3

1.5. Domaines d’application de la MEF 3

1.6. Problèmes de conditions aux limites 4

A- Equations gouvernantes

B- Autre problème par comparaison

1.7. Un bref historique de la MEF 6

1.8. Concepts de base et procédures de la MEF 7

A- Concepts

B- Procédures

C- Support informatique et logiciels incorporant la MEF

D- Avantages de la MEF

1.9. Notion de modélisation et comparaison de la MEF à d’autres méthodes 13

A- Notion de modélisation - system continu et system discret

B- La MEF et les autres méthodes d’analyse

C- Illustration du principe de la modélisation par un exemple

Chapitre2 Éléments finis à une dimension

2.1. Introduction 18

2.2. Méthode Directe pour les structures à éléments discrets 18

A- Elément ressort linéaire

B- Elément fini barre (Treillis plan de barres)

C- .Formulations pour les éléments finis

2.3. Application à des barres prismatiques uniformes 25

A. Hypothèses et position du problème

B. Formation du système d’équations d’équilibre

C. Transformation d’une base locale vers une base globale

D. Matrice de rigidité dans un espace bidimensionnel –2D

E. Contraintes et forces internes élémentaires

2.4 Application aux ossatures planes de poutres 31

A. Position du problème

B. Matrice de rigidité élémentaire

C. Matrice de rigidité d’un élément poutre à orientation arbitraire

2.5 Généralisation 35

A. Elément de poutre bidimensionnelle- 2D

B- Elément de poutre tridimensionnelle -3D

2.6 Influence de la numérotation des nœuds sur la largeur de la bande de K 37

A- Matrice de connectivité

C- Semi – bande

2.7 Méthode Formelle -Fonction d’Interpolation & Fonction de Forme 42

A. Introduction

B. Position du problème et définition

C. Approximation nodale

D. Choix de la fonction de déplacement

E. Principe de l’approximation par éléments finis

E- Types d’Eléments Finis à une dimension

2.8 Matrices Caractéristiques par minimisation de l’énergie potentielle 51

A. Energie potentielle totale minimum

B- Formulation de l’énergie potentielle stationnaire

C. Energie potentielle totale

2.9 Formulation de la matrice de rigidité et du vecteur charge équivalent 54

A. Déformation et contrainte moyenne dans un E.F unidimensionnel 1-D


C. Vecteur de charges équivalentes aux nœuds

2.10 Construction des Fonctions de Forme 56

A. Principe de la méthode

B. La méthode des déterminants

Chapitre 3 Éléments finis à deux et trois dimensions

3.1 Idée de base 59

3.2 Types d’Eléments Finis 2D et 3D 59

A- Eléments bidimensionnels - 2D

B- Triangle de Pascal

3.3 Construction des fonctions de forme pour L’EF ‘T3’ 65

3.4 Transformation géométrique 66

A- Relation entre les variables généralisées et les variables nodales

B- Règles et propriétés de la matrice de transformation Te

3.5 Système de coordonnées de référence 72

A- Système de coordonnées locales normalisé

B- Système de coordonnées naturel

3.6 Cas de problèmes d’éléments finis bidimensionnels de classe C0 75

A- Rappel et formulation de la théorie de base

B- Contraintes planes et déformations planes

C- Relation contrainte- déformation

D- Formulation de la matrice de rigidité

E- Equations d’équilibre et conditions aux limites

3.7 Intégration numérique – Méthode de Gauss 84

A- Intégration dans un espace unidimensionnel 1-D

B- Intégration dans un espace à deux dimensions (2-D)

C- Intégration dans un espace à trois dimensions (3-D)

D- Transformation du domaine d’intégration (base globalebase locale)

3.8 Intégration de la matrice de rigidité 92

Chapitre4- Applications des éléments finis de base,

aux problèmes de classe C1 et C

0

4.1 Applications au problème ‘1D’ de barre 94

4.2 Applications au problème de classe C1 élément fini type Hermitien 99

4.3 Applications au problème ‘2D’ de Classe C0 103

E.F. Triangle linéaire à 3 nœuds (T3)

4.4 Applications au problème ‘2D’ élément fini rectangle linéaire à 4 nœuds – Q4 118

A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"

Chapitre 1

Introduction

Stade d’Oran (en réalisation) : Toiture réalisée par des barres tubulaires en acier

tubulaires



- 1 -

APERÇU

Ce chapitre, présente l’historique et la nécessité d’étudier la méthode des éléments

finis.Il énumère brièvement les différents types de problèmes pour lesquels elle est

appliquée ainsi que ses concepts de base.

Il s’agit en particulier de discerner la différence entre les autres méthodes et la MEF

et d’examiner la notion de l’approximation par les éléments finis.

1.1. Introduction :

Des problèmes, qui dans un passé récent ont été considérés comme insolvables par les

méthodes analytiques classiques, sont maintenant aisément résolus par les méthodes

numériques dont la plus utilisée est la Méthode des Eléments Finis ou ‘MEF’. De ce fait,

la complexité des calculs n’est plus d’actualité scientifique, surtout par l’avènement de

l’ordinateur qui a amené les sciences de l’ingénieur au summum jamais atteint auparavant.

1.2. Objectifs du cours de la MEF :

Comprendre les idées fondamentales de la MEF.

Connaître le comportement et l’utilité et de chaque type d’élément.

Comprendre le comportement physique du problème.

Être capable de préparer un modèle EF convenable pour un problème donné.

Connaître les limites du modèle par la MEF (outil numérique !).

Avoir un bagage théorique, pour être à même de comprendre comment

fonctionnent les logiciels (Boites Noires), et de pouvoir réagir efficacement vis à vis

des messages d’erreurs sur ordinateur.

Pouvoir consulter sans difficulté les livres et les recueils sur le ‘Net’, concernant la

MEF.

_____________________________________________________________________

! Un logiciel commercial dont lequel la MEF est complètement dissimulée, est un système

CAE (Computer Aided Engineering) qui ne peut être utilisé comme un outil de dessin

autoCAD, donc une connaissance en la matière est nécessair.! Extrait de propos de BATH –MIT University

!.... bien que les logiciels de MEF peuvent rendre un bon ingénieur excellent, ils peuvent

cependant rendre un mauvais ingénieur dangereux ! Commentaire de Cook & Ass. dans son livre ″ Concepts and Applications of Finite Element

Analysis"



- 2 -

1.3. Idée de base de la Méthode des Eléments Finis:

On apprend comme ingénieur débutant à calculer les surfaces et volumes de corps de

forme quelconque en les décomposant en un ensemble de corps élémentaires de formes

connues pour ensuite l’appliquer au calcul de moments d’inertie ou de centres de gravité.

Ce mode de pensé à conduit à la Méthode des Eléments Finis (MEF), ou analyse par

élément finis (AEF), qui est basée sur l’idée de construire un objet compliqué avec des

blocks simples, c’est à dire diviser l’objet compliqué en un petit nombre de pièces

facilement manipulables.

On peut rencontrer l’application de cette idée simple aussi bien dans la vie de tous les

jours qu’en technologie et pour tous les problèmes de l’ingénieur.

Exemples :

- Lego (jeux d’enfants de construction)

- Bâtiments

- L’approximation de la circonférence et de la surface d’un cercle en est un simple

exemple :

La figure1.1(a) est une illustration du concept même des éléments finis par les mathématiques

anciennes, pour trouver la circonférence d’un cercle par approximation de polygones.

En utilisant l’appellation moderne on peut qualifier chaque côté du polygone d’élément finis.

On remarquera que lorsque le nombre de polygones augmente la valeur d’approximation

converge vers la valeur exacte.

La figure1 (b) illustre aussi l’idée bien ancienne d’un calcul approché bien avant que le

nom ‘’ élément finis’’ ne soit courant.

Figure1.1 (a) Limite supérieure et inférieure de la circonférence d’un cercle

(b) Approximation de l’aire d’un cercle par des triangles

S(sup)

S(inf)

)

S

i

R

Elément Si

(a) (b)



- 3 -

La surface d’un seul triangle est : ii RS sin21 2

La surface du cercle :

N

iiN SS

1RR N

N22

)2sin(21 lorsque N

N - nombre total des triangles considérés dans l’approximation (éléments).

On remarque que des objets compliqués peuvent être représentés par des parties

simples (éléments)

1.4. Pourquoi choisir la MEF ? :

Les procédés de conception de calcul et d’analyse reposent sur le calcul à la main,

l’expérience ou le calcul automatique et la simulation par ordinateur.

La MEF c’est la méthode de simulation par ordinateur la plus utilisée

par les ingénieurs. C’est une technique essentiellement numérique à partir de laquelle

les équations gouvernantes (systèmes d’équations différentielles), sont représentées

sous une forme matricielle très adaptée à une solution automatique par ordinateur.

Elle est intégrée dans toutes les applications de logiciels commerciaux de calcul

des structures à interface graphique (GUI).

1.5. Domaines d’application de la MEF :

Les principaux domaines d’application de la MEF sont au nombre de trois :

Problèmes d’équilibre et statique : dans lequel le comportement du système ne

varie pas avec le temps,

Problèmes de dynamique et de stabilité (valeurs propres): ce sont des extensions

des problèmes d’équilibre pour lesquelles des valeurs spécifiques ou critiques de

certains paramètres sont déterminés,

Problèmes de propagation : ils concernent les problèmes où les phénomènes dont

le comportement est dépendant du facteur temps.

Le tableau 1 suivant résume ces types d’applications :

Spécialité Problèmes d’équilibre Problèmes

de valeurs propres

Problèmes

de propagation

Génie Civil -

structure

Analyse statique de

structures : treillis, portiques,

plaque, coques, voiles, ponts,

béton précontraint

Fréquences et modes

propres et stabilité

des structures.

Réponse des

structures à des

charges accidentelles

(séisme, incendie)



- 4 -

Géotechnique Analyse des excavations,

stabilité des talus,

murs de soutènement,

interaction sol-structure ,

analyse des contraintes dans

les sols

Fréquence et modes

propres des ouvrages

enterrés et semi-

enterrés ,

et problèmes

d’interaction sol-

structure

Problèmes de sol-

structure dépendant

du temps.

Propagation de

contraintes dans les

sols et les roches

Hydraulique Analyse d’écoulements

potentiels, d’écoulements à

surface libre, écoulement

visqueux.

Analyse de structures

hydrauliques et barrages, etc.

Périodes et modes

propres de bassins

superficiels, digues,

mouvements des

liquides dans des bacs

(conteneurs) rigides

ou flexibles

Analyse de

problèmes

d’écoulements

turbulents et

propagation d’ondes.

Ecoulements

hydrodynamiques

Génie

Mécanique

Problèmes de concentration

de contraintes.

Analyse de contrainte de

pistons, de matériaux

composites, etc.

Fréquences propres

de vibrations et

stabilité des machines

Problèmes de

fissures et de

fractures sous

charges dynamiques

Biomédical Analyse de contraintes dans

les os , les dents.

Capacité portante des

systèmes des implants et

prothèses.

Mécanique des valves du

cœur artificiel

-----_________------

Analyse d’impact

Sur le crane.

Dynamiques de

structures

anatomiques

1.6. Problèmes de conditions aux limites :

A- Equations gouvernantes

Les différents problèmes d’ingénieurs présentent tous une écriture en équations différentielles,

dont la solution dépend des conditions aux limites (problème à valeur initiale), qui pour un

ingénieur de génie civil, sont spécifiques aux appuis d’une structure quelconque.

Ces équations peuvent prendre plusieurs formes :

* l’exemple le plus simple est peut être celui de la barre tendue d’un système à treillis

figure 1.2:

x N

(a) (b)

Figure 1.2 : Barre tendue 0)()(

)1.1(0..

buau

bxadx

duEA

dx

d

Ndx

duAE



- 5 -

Le plus souvent les équations différentielles de ces problèmes sont identifiées, comme étant

de type équations de Poisson ou de type équations de Laplace à une ou deux dimensions.

* Un autre exemple étant celui de l’équation de mouvement harmonique simple :

bu

au

bxaudx

ud

/

2

2

2

)(

.

(1.2)

L’équation (1.2) définie un problème à valeurs initiales, unidimensionnel linéaire du second

ordre.

Le terme unidimensionnel fait référence au domaine qui est défini par un segment bxa .

Le terme "second ordre" tient de l’équation (1.2) dont laquelle l’ordre le plus élevé de la

dérivée est 2 (second ordre).

Le terme linéaire provient du faite que le degré de chaque terme faisant intervenir la variable

u est égal à 1.

Bien que la MEF possède des applications très larges, l’objet de notre cours traitera dans la

plus part des cas des problèmes à valeurs initiales linéaires du 2eme

et 4eme

ordre, qui sont

importants en génie civil, pour le calcul des structures.

* Un exemple d’un problème à valeurs initiales de 4eme

ordre est celui de la flexion

d’une poutre, figure 1.3.

0)()(

0)0()0(

0.2

2

2

2

ldx

dulu

dx

duu

lxxFdx

udEI

dx

d

(1.3)

* Un autre exemple de problème bidimensionnel linéaire est celui de torsion d’une

poutre (type équation de Poisson)

),0

)(,22

2

2

2

suryxu

domaineDyxy

u

x

u

(1.4)

* Un dernier exemple est celui de l’analyse de la flexion de plaque (dalle) simplement

appuyée sur ses côtés sous sollicitation F(x,y) :

L

Q

Figure 1.3 : Poutre encastrée aux extrémités

(limite du domaine D)



- 6 -

suryuxuetu

DyxyxFy

u

x

u

yy

u

x

u

x

0)(0

,,

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1.5)

B- Autre problème par comparaison

Toutes les formules de calcul des structures possèdent leurs vis-à-vis dans d’autres domaines

proches de celui du génie civil, tel que le transfert thermique (conduction) largement utilisé

dans le bâtiment que ce soit pour le calcul incendie ou l’isolation thermique des parois.

Le tableau 2, ci-dessous dresse une comparaison des équations de base dans les deux

domaines :

Tableau 2 : variables de calcul et équations de base pour une analyse par les éléments finis

Paramètres structure Conduction thermique

Variables indépendantes

Variable dépendante(s)

Champ de gradient

Matrice de compatibilité

Champ induit

Charge de surface

Effort interne

Equation d’équilibre

Coordonnées x, y, z

Déplacements u, v, w

Déformations xyyx ,,

Constantes élastiques D

Contraintes = D.

Forces reparties en surface t

Forces internes Fx, Fy, Fz

0 FT

Coordonnées x, y, z

Température T

T=[ T,x T,y T,z]

Conductivité thermique k

Flux de chaleur f=-k. T

Flux normal fn aux limites

Chaleur interne diffusée Q

Fx,x+fy,y+fz,z – Q = 0

On notera au passage, que la conduction de chaleur est un problème scalaire car le paramètre

champ, qui est la température T, n’est associé à aucune direction. Par opposition au champ de

déplacement en structure qui est un champ de vecteur ayant des composantes orientées selon

un système de coordonnées.

1.7. Un bref historique de la MEF :

Quoi que le label Méthode des Eléments Finis fut utilisé pour la première fois en 1960(4)

,

lorsqu’il a été utilisé par Ray Clough dans une publication sur les problèmes d’élasticité

plane, l’idée de l’analyse par éléments finis date des années d’avant.

En effet, aux questions qui est à l’origine de le MEF ? et en quelle période ?, il existe trois

réponses selon que l’on s’adresse à un physicien( 1)

, mathématicien(2)

,ou un ingénieur ( 3)

. Le

Tableau 2 montre l’évolution chronologique de la méthode.

(2) Une approche similaire à la méthode des éléments finis, utilisant un développement de

fonctions continues (une approximation à un certain ordre) défini pour des régions



- 7 -

triangulaires a été pour la première fois proposé par Courant en 1943 dans la littérature des

mathématiques appliquées pour la solution au problème de torsion de St Venant.

(3)La méthode des éléments finis tel que reconnue aujourd’hui a été présentée par Turner,

Clough, Martin et Topp en 1956 dans ‘Journal of the aeronautical sciences), sous le titre

"Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures".

Tableau 3 : Publications et périodes ayant marquées l’évolution de la MEF

1941 (1)

Hrenikoff : Division d’un problème

d’élasticité au domaine

continue, en un certain nombres

d’éléments.

1943 (2)

Courant : Méthodes variationelles

1956 (3)

Turner,Clough,Martin, Topp :

Rigidité-Methode Directe

1960 (4)

Clough : Finite Element,

problèmes plans

(le terme Elément Fini

utilisé pour la 1er fois)

1970 (années

70)

Applications sur gros ordinateurs

1980

(années 80)

Applications sur micro-ordinateurs

1990

(années 90)

Possibilité d’analyse de gros systèmes de

structures

La publication est une représentation systématique de la méthode des déplacements.

C’est une contribution clé pour la solution aux problèmes de contraintes planes tel quelle se

présente aujourd’hui en utilisant des éléments finis dit "triangulaires" dont les propriétés sont

déterminé à partir des équations de la théorie de l’élasticité .

L’ordinateur a offert un moyen très rapide pour tous les calculs multiples et divers

(essentiellement numériques) qu’exige la MEF, ce qui a fait que la méthode est devenue très

intéressante dans sa pratique.

En même temps que le développement d’ordinateurs de plus en plus rapides, l’application de

la MEF a aussi progressée à grands pas.



- 8 -

1.8. Concepts de base, procédures de la MEF:

A- Concepts

C’est l’intuition physique qui pour la première fois, a mis en évidence les concepts de

la MEF, pour les ingénieurs.

Pour un ingénieur de structure, le problème d’un treillis par exemple figure 5 (a), sera un

ensemble de barres dont il combine les caractéristiques individuelles selon les lois d’équilibre

pour ensuite résoudre le système d’équations pour tout le système.

Cette procédure marche bien pour un certain nombre de points de connections (nœuds), mais

qu’en est il cependant d’une structure continue comme la plaque figure 5 (b) qui possède un

nombre infini de points de connexion (nœuds) ?

Le problème aurait été plus difficile sans l’intuition de Hrenikoff ((1)

Tableau 2) qui proposa

de diviser la structure continue en un certain nombre d’éléments de sections de structure

(barres ou poutres) interconnectés à un nombre fini de points nodaux, figure 1.4 .

Concept 1

Les problèmes d’ingénieurs sont le plus souvent exprimés en terme :

d’équations gouvernantes (différentielles essentiellement) et

des conditions aux limites

Exemple : Barre en traction (figure 1.5)

0)()(

)6.1(..

buau

bxaCstNdx

duEA

(b)

Charge

(a)

Charge

Figure 1.4 : Exemple (a) d’un treillis et (b) d’une plaque de forme

similaire supportant la même charge

Plus généralement :

(u)

x (a)

1

(b)

2

N

Figure 1.5 : Barre tendue



- 9 -

L et B sont des opérateurs : d2( . )/dx

2 ; . [d

2( . )/dx

2+. d

2( . )/dy

2] ; d/dx

Concept 2

On connaît toutes les équations mais on ne peut pas résoudre manuellement.

Concept 3

La nature des différents paramètres pour certaines applications est décrite dans le tableau 3.

Tableau 4 : Matrices et vecteurs caractéristiques pour certaines applications

Propriété de K

Comportement U Sollicitation F

Elasticité Rigidité

Déplacement Force

Transfert de chaleur Conductivité

thermique

Température Source de chaleur

Fluide Viscosité

Vitesse Force interne

Problèmes d’Elasticité

Problèmes de transfert de chaleur

Ecoulement hydraulique

Etc.…

L(u) + f = 0 eqt. diff.

(1.7)

B(u)+ g =0 Condition aux limites

Propriété Comportement Sollicitation

K . U = F Résolution U = K-1

. F (1.9)

L(u) + f = 0 Eqt. Diff.

B(u)+ g =0 Condition aux limites

MEF (Système d’équations

algébriques)

K . U = F (1.8)

-Approximation-

(Géométrie du domaine

compliquée….)

K – Matrice de rigidité du système

U – Vecteur de déplacement

F – Vecteur force



- 10 -

Concept 4

Il est difficile d’obtenir un système d’équations pour la totalité du domaine.

Diviser le domaine en un nombre d’éléments petits et simples,

Choisir un paramètre de champ (déplacement, température, vitesse) représentant les degrés de liberté (d.d.ls.) via une interpolation (approximation) polynomiale sur

chaque élément,

Les éléments adjacents partagent les mêmes degrés de liberté aux points d’intersection (nœuds).

Un exemple de plaque est présenté dans la figure 1.9

Concept 5

Obtenir les équations algébriques pour chaque élément (Facile !)

Mettre tous les éléments ensembles (processus d’assemblage de tous les éléments,

FUKFUK eee .. (1.10)

Concept 6

Résoudre le system d’équations pour obtenir les variables inconnues (déplacements) aux

nœuds.

B- Procédures

Diviser la structure en un certain nombre de pièces (formant des éléments avec des

nœuds)

Décrire le comportement des quantités physiques pour chaque élément

(champs de déplacement - choix d’une forme d’approximation)

Relier (assembler) les éléments aux nœuds pour former un système d’équations

approximatif pour toute la structure.

Résoudre le system d’équations comportant les inconnues aux nœuds

(en génie civil les inconnues sont en général des déplacements).

Calculer les quantités désirées (en génie civil, il s’agit de contraintes et

déformations) pour des éléments choisis.

K . U = F Résolution U = K-1

. F (1.11)



- 11 -

Exemples :

Elément typique

Nœud typique (a) (b)

Figure 1.8 Plaque rectangulaire avec ouverture

(a) Model de base (b) Discrétisation par EF de tailles différentes

P1

P2

Figure 1.7: Poutre à caisson (a) structure originale (b) Modèle éléménts finis

(a) (b)

Eléments Barres

(raidisseurs)

Figure 1.6 : Décomposition de la structure d’une aile d’avion (premier

exemple de discrétisation par Eléments finis de la publication (3)

Elément de panneaux rectangulaires

Elément de plaque triangulaire (tôle de

couvertures)



- 12 -

C- Support informatique et logiciels incorporant la MEF:

Exemples de logiciels

La possibilité d’une application presque généralisée de la MEF, lui a permis d’être un outil

puissant et versatile pour résoudre une large variété de problèmes.

De ce fait, un grand nombre de logiciels professionnel ont été développés pour résoudre un

grand nombre de problèmes d’ingénieur et de génie civil en particulier.

On peut citer un certain nombre de logiciels pouvant être utilisés sur ordinateurs personnels:

SAP, ETAPS, ROBOT - Analyse statique/dynamique, linéaire/non linéaire, effet de

température, sols et structures etc. ayant acquis une popularité d’utilisation dans les

bureaux d’études de génie civil.

ANSYS -Utilisation pour une analyse plastique, fracture mécanique, hautes

températures et retrait, coques et systèmes tubulaires,

ABAQUS -Utilisation pour des analyses non linéaires et dynamiques,

PAFEC -Utilisation pour l’analyse des structures avec différents types de

propriétés .Analyses de contraintes, déplacements, stabilité et fréquences, fatigue,

optimisation et transfert de chaleur,

NAG library : Bibliothèque de sous-programmes d’Eléments Finis en langage

Fortran pouvant êtres assembler et appelé par le biais d’un programme principale

pour résoudre un problème précis. (Bon pour l’apprentissage didactique de la mise

en œuvre de la MEF),

-MATLAB (Utilisation pour tous les problèmes d’ingénieurs, ayant acquis une

popularité parmi les ingénieurs de mécanique, électrotechniques et d’électronique)

-MATHEMATICA (Ensemble de programmes et sous programmes pour l’analyse

matricielle des structures et par MEF)

On notera enfin que pour une utilisation rationnelle et économique des matériaux dans un

processus de conception et de calcul, on est amené plus souvent, à utiliser les propriétés non

linéaires (i.e. des équations non linéaires). Ceci nécessite des utilisateurs d’une certaine

expérience qui retrouvent dans la plus part de ces logiciels la possibilité d’analyse de

contraintes non linéaires pour les problèmes de grandes déformations, plasticité, retrais et

stabilité.

Support informatique de mise en œuvre de la MEF :

Pour l’analyse par la MEF, la mémoire, l’espace disque, la vitesse du processeur, et la

résolution graphique sont très importantes .



- 13 -

On peut cependant dire que l’analyse par la MEF demande beaucoup plus de puissance

matérielle que de programmes.

La MEF dans les packages des logiciels Multiphysic repose sur trois phases:

Construire le modèle éléments finis, charges et conditions aux limites

(prétraitement)

Assembler et résoudre le système d’équations (résolution)

Sélectionner et afficher les résultats (post-traitement)

D- Avantages de la MEF:

La MEF étant versatile, elle présente des avantages par rapport aux autres méthodes

numériques :

Elle est applicable à tout type de problème dit de champs, d’analyses de contraintes,

de transfert thermique, etc,

Elle n’impose aucune restriction géométrique, le corps ou le domaine à modéliser

peut avoir une forme quelconque,

Elle n’impose aucune restriction sur les conditions aux limites et le type de

chargement,

Elle n’impose aucune restriction sur les propriétés du matériau. Ces propriétés ne sont

donc pas réduites à l’isotropie, et peuvent changer d’un élément à un autre,

Les éléments possédant différents comportements (modèles mathématiques) peuvent

être combinées (ex : voile-portique dans une structure 3D), donc un seul modèle

d’élément fini (EF) peut contenir des barres, des poutres, des plaques, etc.

La structure modélisée par les éléments finis représente le possible à la structure réelle

ou au domaine à analyser.

L’approximation peut être facilement améliorée en développant la taille du maillage

en augmentant le nombre d’éléments.

1.9. Notion de modélisation et comparaison de la MEF à d’autres méthodes:

A- Notion de modélisation - System continu et system discret:

La figure 1.9 résume la notion fondamentale de modélisation dans un domaine prédéfini au

préalable pour pouvoir faire une approximation du champ de déplacement avec une source

d’erreur appréciable.

Alors que le system continue est le domaine (structure) réel qui possède une infinité de degré

de libertés (d.d.ls.), le system discret possède un nombre fini de d.d.ls.



- 14 -

B- La MEF et les autres méthodes d’analyse :

On a donc le choix entre la recherche d’une solution précise pour un problème trop simplifié

ou d’opter pour une solution approximative pour un problème pris généralement dans sa

forme la plus complexe.

Dans les deux cas on a créé une source d’erreur, cependant dans le cas de la MEF on a la

possibilité de construire une bonne précision et une bonne exactitude du résultat, avec plus de

travail sur le modèle pour son amélioration.

Les méthodes d’analyses existantes pour les problèmes de champs à équations différentielles

tel que les problèmes d’élasticité, des écoulements de fluides et de transfert de chaleur

peuvent être classés comme suit, figure 1.10:

Méthodes d’analyses

Figure1.10: Méthodes de résolution

Méthodes

Analytiques

Méthodes

Numériques

Méthodes exactes :

Les méthodes des

variables séparables

, et de la

transformation de

Laplace

Méthodes

approximatives :

Les méthodes de

Rayleigh-Ritz , et de

Galerkin- Bubnov

Solution numérique

pour les équations différentielles

Intégration

numérique

Différences

Finis

Méthode des

Eléments Finis

MEF

Figure 1.9: Schéma fondamental de modélisation

Modèle mathématique

(Model physique) Model Numérique

(Modèle discret)

Solution discrète

Discrétisation U (Champ de déplacement) Approchée (Interpolation)

Erreur de la simulation=Modélisation + erreur de la solution

Model idéal

(Système d’équations

algébriques)

Sans Intérêt !



- 15 -

C- Illustration du principe de la modélisation par un exemple

Laisser toutes les complications

(au moins les termes importants

même si le problème reste difficile)

Résoudre

approximativement

(Solution numérique)

Méthode Analytique

MEF

(méthode numérique)

Problème

(domaine, structure)

Modèle simplifié Modèle complexe

Solution Exacte

(pour un modele approximatif)

Solution approximative

(pour un model ± "Exacte")

Processus de

résolution

Processus de

Modélisation

Faire des hypothèses

de simplification

Résoudre exactement

(Solution Analytique)

!

!

! Niveaux d’introduction d’approximations

(source d’erreur)

Figure 1.11: Schéma comparatif des processus de modélisation

Ab

Ah

P

Structure

Sol

Ab

Ah P

Support

rigide

Modèle

1

3

2

Représentation

physique

PAtt .

Modèle discret

P

Représentation par

Elements Finis

A1

A2

A3

Figure 1.12: Etapes pour la modélisation et l’analyse par la MEF

d’un poteau à section variable

Poteau



- 16 -

Pour l’illustration, l’application qui suit considère une section variable égale à "7A" à

l’encastrement et "A" à l’extrémité libre, figure 1.13.

L’essence de la méthode est l’approximation du champ de déplacement "u"par un ensemble

de déplacements "ui" pris dans des intervalles, formés par des éléments dont les extrémités

sont des nœuds.

C’est un problème isostatique, de contrainte uniaxiale.

Chaque élément est considéré uniforme, linéaire élastique de longueur L, figure 1.12 et le

déplacement "u" pour l’élément du milieu par exemple peut écrit en fonction des

déplacements nodaux u2 et u3 selon l’équation suivante :

3

/

2

/

.1 uL

xu

L

xu

(1.12)

x/ est une coordonnée axiale prise le long de l’élément

L’équation (1.12) exprime une variation linéaire de u en fonction de x/ et u= u2 pour x

/=0 et

u= u3 pour x/=L.

Il y va de même pour l’élément le plus à droite, avec des déplacements nodaux u3 et u4 et de

manière similaire pour l’élément le plus à gauche, avec le déplacement u1=0 car l’extrémité

gauche de la structure est fixée.

A partir de la relation contrainte-déformation et la définition de la déformation comme une

variation de la longueur par rapport à la longueur initiale, on obtient les expressions des

contraintes axiales comme suit :

L

uE 2

21 . ; L

uuE 23

32 .

; L

uuE 34

43 .

(1.13)

x P

7A

A

LT

u

Figure 1.13 : Exemple de discrétisation à base de 3 éléments de sections différents

L L L

1 2 3 4

6A 4A 2A P

u2 u3

x/ x

/ x/



- 17 -

Le problème bien sûr est élémentaire et ne nécessite pas des écritures matricielles, (comme on

le verra au fil des chapitres qui vont suivrent, et les déplacements aux nœuds peuvent être

déduites comme suit :

01 u EA

LPu

62

EA

LPuu

423

EA

LPuu

234 (1.14)

Les déplacements peuvent être aussi exprimés en fonction de la longueur totale LT.

les contraintes de l’élément obtenues à partir des équations (1.12) peuvent être vérifiées en divisant la

charge "P" par les sections droites.

Les résultats sont présentés dans la figure 1.14 et donnent une idée sur l’évolution de la solution par la

MEF, par rapport à la solution exacte.

Pour cet exemple, la représentation graphique de la contrainte axiale en "escalier" montre que

les contraintes sont exactes au milieu des éléments.

Ailleurs, les contraintes sont représentées avec moins d’exactitude que les déplacements, car

la plus part des éléments finis se basent sur une forme d’interpolation des champs de

déplacement, et les contraintes sont généralement calculées (déduction) à partir des variations

des déplacements.

Figure 1.14 : Barre à section variable,

discrétisée par éléments uniformes à 2 noeuds

u Déplacement axial

x LT

Solution EF

Solution exacte

Contrainte axiale

x LT

Solution EF

Solution exacte


Chapitre 2

Éléments finis à une dimension

Projet du stade de Baraki-Alger : Toiture réalisée par des barres tubulaires en acier tubulaires


A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 18 -

APERÇU

On examine dans ce chapitre, l’approche des éléments finis par la méthode directe

en considérant des structures composés d’éléments discrets et ensuite par la méthode

formelle en se basant sur le principe de l’énergie potentielle minimum. On présente

des éléments simples dans une structure à une dimension pour étudier les différentes

étapes pour la résolution par la MEF. Il s’agit d’établir d’une manière simple, la

matrice de rigidité élémentaire, l’assemblage, l’introduction des conditions d’appuis

et de charge et enfin la résolution.

2.1 Méthode directe pour les structures à éléments discrets:

A. Introduction

La méthode directe est une approche pour des systèmes discrets, basée sur la méthode des

rigidités. Elle est de loin le procédé le plus simple pour introduire les concepts de base de

MEF et présente les avantages suivants :

Application de concept physique (équilibre des forces, conservation d’énergie,

conservation de masse,…) directement à des éléments discrets.

Facile dans son interprétation physique.

Ne demande pas de concept ou de manipulation mathématique sophistiquée.

Son application est limitée à un certain nombre de problèmes pour lesquelles les lois

d’équilibre et de conservation peuvent être facilement exprimées en termes des quantités

physiques que l’on désire obtenir (déplacements).

En général, les systèmes à treillis et les portiques sont constitués d’éléments discrets d’eux-

mêmes selon le sens physique et sont de parfaits exemples pour illustrer la méthode.

B. Elément fini barre (Treillis plan de barres) :

Le système à treillis est formé d’un ensemble membrures appelé barres, qui sont sollicités par

des efforts agissant le long de leur axe moyen.

Le schéma statique de la barre impose la présence de rotules aux deux extrémités (nœuds).

Ce sont les premiers éléments présentés par la MEF suivi des éléments poutres assemblés en

ossature.



C. Elément ressort linéaire :

L’élément barre possède des caractéristiques similaires à celles d’un ressort élastique.

On considère que chaque élément de structure se comporte comme un ressort élastique c'est-

à-dire que la relation charge déplacement est linéaire.

On appelle k la raideur (rigidité) et correspond à la pente du graphe charge –déplacement.

k

Figure 2.2 : Analogie barre- ressort

k F

u

i j

Figure2.3 : Déformation d’une ressort élastique

Déplacement u

de l’extrémité j

Charge F

Pente k

Figure2.4 : Relation charge –déplacement d’un ressort élastique

Figure 2.1 : (a) Structure à treillis représentant une ferme de toiture.

(b) Modèle d’élément barre

(b)

Elément barre de référence

(a)

Eléments barre

Support Noeud

s



Connaissant la valeur de la rigidité et de la charge appliquée on a les relations :

F = k . u et F

ku .

1

(2.1)

C. Formulations en éléments finis :

D.1. Matrice de rigidité élémentaire

Convention de signes :

Cette même convention est adoptée pour les charges et les déplacements.

Équilibre :

Nœud 1 f1= -k. ( u2 – u1 )

Nœud 2 f2= k. ( u2 – u1 )

Pour l’équilibre des forces f1=- f2

Ecriture matricielle pour un élément :

2

1

2

1

f

f

u

u

kk

kk

eee FUK .

Ke- Matrice de rigidité élémentaire

Fe- Vecteur résultant de forces nodales

k 1 2

x

f1 f2

u1 u2

u1, u2: Déplacements aux nœuds 1 et 2

f1, f2 : Forces (internes) aux nœuds 1 et 2

Figure 2.5 : Ressort équivalent d’une barre à deux rotules

- ( f, u ) + ( f, u )

Figure 2.6 : Convention de signes

(2.2)

(2.3)



Ue- Vecteur de déplacements aux nœuds

Remarque1:

Une colonne de Ke représente le vecteur charge qui doit être appliqué aux nœuds de

l’élément pour obtenir un état de déformation où le degré de liberté nodal est égal à 1 alors

que les autres sont nuls.

Exemple : u1=0 et u2=1

1

1.

1

0k

kk

kkF

Donc le produit Ke . U

e = F

e représente la 2eme colonne de K.

D.2. Matrice de rigidité d’un ensemble d’éléments (Assemblage) :

Il est question dans cette étape de décider comment les matrices de rigidités élémentaires sont

combinées ensembles pour former la matrice d’une structure composée de plusieurs éléments.

Pour la simplicité de l’analyse étudions dans un premier temps le système de deux ressorts co-

linéaires [1] et [2].

Elément 1:

1

2

1

1

2

1

11

11

f

f

u

u

kk

kk

Elément 2:

2

2

2

1

2

1

22

22

f

f

u

u

kk

kk

Avec fie- Forces internes agissant au nœud i de l’élément e (i=1,2)

En utilisant l’équilibre des charges aux nœuds 1, 2 et 3 respectivement, on aboutit à

l’assemblage de la matrice de rigidité pour tout le system.

u2

K1 K2

u1 [ 1 ] [ 2 ]

f2(1) f1

(2)

f1(1)

f2(2)

u3

F1 F2 F3

(2.4)

(2.5a)

(2.5b)

Figure 2.7 : Système à deux ressorts co-linéaires



Soit :

F1 = f11

F2 = f21+f1

2

F3= f22

Ecriture matricielle :

3

2

1

3

2

1

22

2211

11

.

0

0

F

F

F

u

u

u

kk

kkkk

kk

Soit K . U = F

avec

22

2211

11

0

0

kk

kkkk

kk

K

K – Matrice de rigidité globale du système.

Remarque2 :

Les matrices K et Ke sont symétriques et, moyennant une numérotation appropriée des nœuds

K prennent la forme d’une "matrice bande".

On verra par la suite, que ces deux caractéristiques en plus, de la propriété d’une matrice à

être définie positive, vont contribuer efficacement à une optimisation dans la résolution du

système d’équations.

D.3. Technique d’assemblage par superposition (addition) :

Bien que l’assemblage de la matrice de rigidité K ne soit pas difficile pour ce cas particulier,

il le sera si la structure comporte un nombre important de ressorts.

On se demande s’il est possible d’obtenir la matrice de rigidité globale K à partir des matrices

de rigidité Ke de chaque élément ?

Elément 1 Elément 2

F1 = k1 . u1 – k1 . u2

F2 = - k1 . u1 + (k1 + k2 ) u2– k2 . u3

F3 = -k2 . u2 + k2 . u3

(2.6)

(2.7)

(2.8)



Les équations (2.5) et (2.8) possèdent certaines similarités, cependant la procédure n’est pas

immédiate.

Les équations (2.5a) et (2.5b) sont du même ordre, mais ne peuvent être sommées directement

car elles font référence à des déplacements (degré de libertés) différents.

La technique est de procédé par insertion de zéros en termes de lignes et de colonnes, tel que

chaque matrice soit étendue pour englober tous les degrés de liberté u1, u2, u3.

Soit :

3

2

1

11

11

1

2

1

1

000

0

0

0 u

u

u

kk

kk

f

f

et

3

2

1

2

22

2

2

2

1

00

0

0000

u

u

u

k

kk

f

f

On utilise ensuite la règle de l’addition de matrices. C’est une opération identique à

l’utilisation de la superposition pour obtenir l’équation (2.7), sauf que les déplacements de la

structure sont considérés élément par élément au lieu de nœud par nœud.

2

2

2

1

1

2

1

1

3

2

1

22

2211

11

.

0

0

f

ff

f

u

u

u

kk

kkkk

kk

C’est la même écriture matricielle obtenue par le concept de l’équilibre des forces.

D.4. Procédure de résolution :

La matrice de rigidité (2.8) est singulière, sont déterminant est nul et donc mathématiquement

elle ne possède pas de matrice inverse.

Le system d’équations ne peut être résolu !

L’explication physique est que la structure est dépourvue d’attaches ; l’application de

n’importe quel chargement résulte en un "mouvement de corps rigide" du système.

Pour y remédier, on doit imposer au système des conditions aux limites suffisantes.

Conditions aux limites :

Condition géométrique – Condition limite essentielle

Déplacement : u1=0 spécifiée u2, u3 inconnues

Condition de charge – Condition aux limite naturelle

Charges : F2= F3= F spécifiées F1 réaction inconnue

(2.9)

(2.10)



Remarque3 :

Pour chaque nœud, on n’admet qu’un seul des deux conditions aux limites, déplacement ou

force soit spécifié. Il n’est pas de nature de spécifier les deux à la fois.

Si aucun des deux n’est connu, alors le problème est mal posé, ou tout simplement on n’a pas

de problème à résoudre.

On notera que si on n’a pas de condition géométrique, il n’y a pas de solution unique et dans

notre cas de notre système, le ressort peut se déplacer selon l’axe des x sans élongation.

Dans ce cas la matrice de rigidité globale devient singulière avec :

∑ lignes de la matrice =0 éléments kij linéairement dépendants

Résolution :

L’équation (2.9) peut être écrite sous la forme partitionnée suivante :

P

P

F

u

u

kk

kkkk

kk 1

3

2

22

2211

11 0

.

0

0

(2.10a)

A ce stade nous utiliserons la méthode dite "brutale" en enlevant les lignes et les colonnes de

K, correspondant aux déplacements nuls. K se réduit alors à :

p

p

u

u

kk

kkk

3

2

22

221.

et F1= - k1. u2

Les inconnues sont :

3

2

u

uu et la force de réaction F1 (si l’on veut).

Remarque 4 :

Une fois les déplacements calculés, les forces internes dans chaque élément peuvent

être déterminées à l’aide des relations forces déplacements des ressorts.

Si f1 et f2 représentent les forces internes dans les ressorts [1] et [2] respectivement,

alors :

f1= k1 . (u2-u1) et f2= k2. (u3 – u2)

Ce qui complète le processus de résolution.

Résumé des Opérations pour une analyse par la méthode directe:

Il est important de présenter les différentes étapes de l’analyse (Tableau 2.1), car elles restent

inchangées quel que soit le problème et le type d’éléments.

(2.11)

(2.12)



Tableau 2.1 : Etapes d’analyse par la méthode directe

Etape Opération

1

2

3

4

5

-Former la matrice de rigidité Ke pour chaque élément.

-Assembler la matrice de rigidité globale K du système à partir de Ke

pour chaque élément,

-Appliquer les conditions aux limites,

-Résoudre afin d’obtenir les déplacements, et les réactions si

nécessaire,

-Utiliser les relations charge –déplacement de l’élément pour obtenir

les forces internes.

2. 2. Application à des barres prismatiques uniformes :

A. Hypothèses et position du problème

On a présenté la méthode d’analyse d’une série de ressorts colinéaires par analogie à un

système de barres à rotules. Nous voulons maintenant attribuer une valeur à la quantité k pour

le cas d’une barre prismatique, figure 2.8, à partir de la relation contrainte – déformation par

une analyse statique linéaire basée sur les suppositions suivantes :

petites déformations

matériau élastique

charge statique

L’étude statique en élasticité linéaire consiste, connaissant les caractéristiques des éléments –

barres (matériau et section) et la géométrie de la structure, à calculer :

o les déplacements des nœuds non liés au support ;

o les efforts de liaison exercés par le support sur les nouds concernés ;

o les contraintes dans les barres.

Cette étude peut apporter la plupart des informations sur le comportement de la structure, et

elle peut être une bonne approximation pour beaucoup d’analyses.

La barre prismatique uniforme possède les caractéristiques suivantes, longueur (L), section

(A), module d’élasticité (E).

i j

ui uj

fi fj

x L

Figure 2.8 : Barre prismatique uniforme à deux rotules



B. Formation du système d’équations d’équilibre

u=u(x) déplacement ;

= (x) déformation ; )(x contrainte

Relation déformation – déplacement

dxdu

Relation contrainte –déplacement

E

La rigidité de la barre peut être obtenue à partir de (2.14) :

ii uL

EAf .

.

L

EAk

.

Pour la barre de section uniforme l’équation (2.3) s’écrit sous la forme :

j

i

j

i

u

u

L

EA

f

f.

11

11.

La relation (2.15) représente la relation entre les forces agissant aux extrémités de la barre et

les déplacements au niveau des nœuds dans un système de coordonnées propre à l’élément dit

"local ". Cependant, puisque les éléments d’une structure plane se présentent sous des angles

différents les uns par rapport aux autres, il est nécessaire d’en tenir compte.

Dans l’élaboration de la matrice de rigidité globale K du system, il est nécessaire d’écrire la

matrice de rigidité pour chaque élément de la structure non pas en fonction du système de

coordonnées local (x,y), mais en fonction du système de repère globale (X,Y), référence pour

l’ensemble de la structure.

C. Transformation d’une base locale vers une base globale

Cette transformation est très importante avant l’assemblage des matrices et vecteurs

caractéristiques pour tenir compte de l’aspect vectoriel du champ de déplacement.

Toutes les caractéristiques élémentaires sont aisément programmées dans un système de

coordonnées locales, pour minimiser l’effort de programmation.

(2.13)

(2.14)

(2.15)



En définitif si un système de coordonnées local est utilisé, il est nécessaire avant d’assembler

les équations élémentaires de les transformer de façon à ce qu’elles fassent référence à un

système de coordonnée global.

La figure 2.9 montre, une barre inclinée d’un angle par rapport au système d’axe global et

les conventions de signes adoptés avec pris positif dans le sens contraire des aiguilles d’une

montre.

Le tableau 2.2 présente les degrés de libertés à considérer dans les deux cas de repères, local

et global.

Tableau 2.2 : Degrés de libertés selon les deux différents axes de coordonnées local et global.

A noter que le déplacement latéral vi’ ne contribue pas à l’allongement de la barre,

conformément à la théorie linéaire.

Relations de transformation :

ui

ui’ = ui cos + vi sin =< c s > vi

vi’ = -ui sin + vi cos =<-s c > ui (2.16)

vi

Base locale

à l’élément Base Globale

à la structure

x, y

u’i ,( v’i)

1 ddl par nœud

X,Y

ui ,vi

2 ddls par nœud

Figure 2.9 : Systèmes de coordonnées de transformation

y

x

ui’

vi

j

X

ui

i

+ +

+

Y

vi’

'i’

Global

Local



où c= cos ; s= sin

Forme matricielle :

(2.17a)

soit ,

ui’ = T ui (2.17b)

La matrice de transformation étant :

(2.18)

Elle est orthogonale, soit T-1

= TT

Pour les deux nœuds de l’ EF barre, on a :

(2.19)

Soit u’ = T u avec T = (2.20)

Les charges aux nœuds sont transformées de la même façon.

f’ = T . f

D. Matrice de rigidité dans un espace bidimensionnel –2D

Un élément est caractérisé par une matrice de rigidité reliant les efforts Ni et Nj exercés par les

nœuds (i,j), aux déplacements de ces nœuds.

c s

=

- s c

ui’

vi’

ui

vi

c s

-s c

T =

ui’ c s 0 0 ui

vi’

=

-s c 0 0 vi

uj’ 0 0 c s uj

vj’ 0 0 -s c vj

T 0

0 T

(2.21)



Dans un système de base locale, la relation (2.15) s’écrit :

(2.22)

En étalant cette écriture à l’ensemble des degrés de liberté on obtient :

(2.23a)

Soit,

k’ . u’ = f’

En utilisant les transformations (2.20), on obtient :

k’. T . u = T . f

En multipliant les deux côtés de l’égalité par TT et sachant que T

T T = I , on obtient :

TT. k’. T . u = f

On obtient alors l’écriture de la matrice de rigidité Ke dans le système de coordonnée

globale, sous la forme suivante :

Ke = T

T. k’ .T

LEA

1 0 - 1 0

0 0 0 0

-1 0 1 0

0 0 0 0

ui’

vi’

uj’

vj’

=

Ni

0

Nj

0

(2.23b)

(2.24)

Ni

Nj

E,A L x

y

LEA

1 -1

-1 1

ui’

uj’

=

fi’

fj’

Ni

Nj

=

Figure 2.10 : Elément barre sous sollicitation axiale



qui représente une matrice 4x4 symétrique

La forme explicite de Ke devient:

(2.25)

Calcul des cosinus directeurs c et s :

c= cos = L

XX ij , s =sin =

L

YY ij

La matrice de rigidité de la structure est assemblée en utilisant les matrices de rigidité

élémentaires de la même manière que dans le cas des barres colinéaires.

E. Contraintes et forces internes élémentaires :

Soit :

Contraintes

e = L

E -c -s c s> (2.26)

Forces internes dans chaque élément [e] aux nœuds i,j

e

ji

ji

jiji

e

vv

uusc

L

EANf

..

.

e = E e = E B

ui’

uj’ = E < -

L1

L1 >

c s 0 0

0 0 c s

ui

vi

uj

vj

ui

vi

uj

vj

L

EA

c2 c.s -c

2 -c.s

c.s s2 -c.s -s

2

-c2 -c.s c

2 c.s

-c.s -s2 c.s s

2

Ke =

ui vi uj vj

(2.27)



2.3 Application aux ossatures planes de poutres :

A. Position du problème

Pour une poutre droite d’une ossature plane Figure2.11, qui se différencie de l’élément

précédent par le fait que les nœuds peuvent transmettre des moments aux extrémités, la

matrice de rigidité fait aussi intervenir le moment quadratique I.

B. Matrice de rigidité élémentaire :

En négligeant l’influence de l’effort tranchant, la matrice de rigidité peut être obtenue en

utilisant les formules de "Bresse".

Conventions de signes :

Les rotations nodales contiennent l’indice z pour marquer leurs représentations vectorielles

selon l’axe z, normal au plan xy. Les charges nodales sont prises chacune positive s’ils

agissent dans la même direction que leurs degrés de libertés respectifs ; Figure 2.12.

i Mi

j Mj

Ti

Tj

x

y

z i

z j

i

j vi

vj

L x

y

Figure 2.12 : Elément poutre dans le plan xy,

ses charges nodales (a) et ses degrés de liberté (b) .

(a) (b)

Figure 2.11 : (a) Portique plan à éléments poutres AB, BC, CD.

(b) Cantilever fixé en A et chargé en B

h1

h2

b

A

A A-A E, I2

A

B

C

D x

y

E, I1

E, I3

H

(a)

A

B

(b)

H

L



jzjiziiL

IEv

L

IE

L

IEv

L

IEM .

..2.

..6.

..4.

..62

et

jzjizijL

IEv

L

IE

L

IEv

L

IEM .

..4.

..6.

..2.

..62

À partir de l’équilibre statique :

L

MMTT

ji

ji jzjiziL

IEv

L

IE

L

IEv

L

IE .

..6.

..12.

..6.

..122323

Ces équations peuvent être écrites sous la forme matricielle suivante :

jz

j

iz

i

j

j

i

i

v

v

LLLL

LL

LLLL

LL

L

IE

M

T

M

T

.

.4.6.2.6

.612.612

.2.6.4.6

.612.612

..

22

22

3

Résumé sous la forme suivante :

eeeUKF .

Ceci défini la matrice de rigidité e

K pour un élément poutre horizontal.

Remarque 5:

Si l’extrémité gauche de l’élément poutre est fixée tel que vi=0 et zi=0, on obtient une

structure avec vj=0 et zj=0 comme des degrés de libertés actives et la matrice de rigidité de

l’élément poutre cantilever figure2.11b, est la sous matrice inférieure droite (2.29) de

dimension 2 par 2

eK =

jz

j

iz

i

v

v

LLLL

LL

LLLL

LL

L

IE

.

.4.6.2.6

.612.612

.2.6.4.6

.612.612

..

22

22

3

C. Matrice de rigidité d’un élément poutre à orientation arbitraire.

Pour permettre à un élément poutre de s’allonger en même temps que de fléchir, on ajoute les

déplacements ui et uj au vecteur degré de liberté Ue et étendre K

e à une dimension de 6x6 en

introduisant la rigidité axiale AE/L à partir de (2.15).

Après combinaison avec la matrice de rigidité axiale (élément barre), on obtient Ke :

(2.28)

(2.29)



Pour un élément de poutre orienté arbitrairement tel que l’élément BC de la figure 2.11a, il est

nécessaire d’étendre la matrice e

K pour permettre la transformation des degrés de liberté

selon les deux déplacements u et v dans le système de base globale. Les moments ne sont pas

concernés.

Les relations de transformation utilisées pour le cas de l’élément barre (2.24) restent valable

pour ce cas d’élément poutre sauf que l’équation (2.30) doit être considérée comme k’ et la

matrice de transformation T est :

soit

t

tT

0

0

avec

100

0

0

cs

sc

t

En utilisant (2.30) et (2.31) et en effectuant K =TT.K

e.T, on obtient l’écriture matricielle

suivante à utiliser dans le cas d’éléments de portique

ui vi i uj vj j

L

EA 0 0 -L

EA 0 0

0 3

12

L

EI 2

6

L

EI 0 -3

12

L

EI 2

6

L

EI

0 2

6

L

EI

L

EI4 0 -2

6

L

EI

L

EI2

- L

EA 0 0 L

EA 0 0

0 -3

12

L

EI - 2

6

L

EI 0 3

12

L

EI -2

6

L

EI

0 2

6

L

EI

L

EI2 0 -2

6

L

EI

L

EI4

eK =

(2.30)

c s 0 0 0 0

-s c 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 c s 0

0 0 0 -s c 0

0 0 0 0 0 1

T =

(2.31)



I

cL

I

cL

IsA

sL

I

scL

IAs

L

IcA

Ic

L

Is

L

II

cL

I

cL

IsAsc

L

IAc

L

Ic

L

IsA

sL

I

scL

IAs

L

IcAs

L

Isc

L

IAS

L

IcA

L

EK

4

.6

.12

.

.6

.).12

(.12

.

2.

6.

64

.6

).12

.(..)

12(.

6.

12.

.6

.)12

().12

.(.6

.).12

(.12

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Remarque 6 :

Cas particulier : Matrice de rigidité d’une poutre arbitrairement orienté dans le plan :

La relation entre les degrés de libertés de la base locale et ceux de la base globale s’écrit :

zj

j

j

zi

i

i

zj

j

zi

i

v

u

v

u

cs

cs

v

v

100000

0000

000100

0000

'

'

'

'

avec

100000

0000

000100

0000

cs

cs

T

'

K = .

.4.6.2.6

.612.612

.2.6.4.6

.612.612

..

22

22

3

LLLL

LL

LLLL

LL

L

IE

En utilisant la relation (2.24) on obtient la matrice de rigidité de cette élément poutre:

SYMETRIQUE

j x

y

’z i

i

v’i

’z j

v’j

X

Y



22

22

22

22

22

22

3

4.6.62.6.6

.612.12.612.12

.6.1212.6.1212

2.6.64.6.6

.612.12.612.12

.6.1212.6.1212

..

LcLsLLcLsL

cLccsclccs

sLcsssLcss

LcLsLLcLsL

cLccscLccs

sLcsssLcss

L

IEK

e

2.4 Généralisation :

A. Elément de poutre bidimensionnelle- 2D

On modifie les termes de la rigidité de flexion pour tenir compte des déformations

transversales de cisaillement, produisant ainsi un élément poutre de Timoshenko.

Pour une déformation dans le plan xy la matrice K s’écrit sous la forme :

zj

j

j

zi

i

i

v

u

v

u

YYYY

YYYY

XX

YYYY

YYYY

XX

K

3242

2121

4232

2121

00

00

0000

00

00

0000

avec

L

EAX

.

31).1(

.12

L

IEY

y

z

22).1(

.6

L

IEY

y

z

L

EIY

y

zy

)1(

).4(3

L

EIY

y

zy

)1(

)2(4

2..

.12

LGA

kEI yz

y

G Module de cisaillement ; et A/ky est la surface effective de cisaillement pour la

déformation de cisaillement transversal dans la direction y.

Des exemples de valeurs usuelles adoptées sont :

2.1yk Pour une section rectangulaire

0.2yk Pour une section tubulaire

(2.32)

(2.33)



Remarque 7 :

Lorsqu’un élément devient de plus en plus élancé, y tend vers zéro, et les coefficients de

flexion Yi se réduisent aux coefficients de la relation (2.29), ou la déformation de cisaillement

transversale a été négligée.

Dans la relation (2.29) le degré de liberté de rotation défini la valeur nodale, de la pente dv/dx

et la rotation de la section droite ensembles.

Si la déformation transversale de cisaillement est présente, la pente et la rotation de la section

droite ne sont pas les mêmes, alors zi et zj doivent être considérées comme des rotations des

sections droites de la poutre aux nœuds.

B- Elément de poutre tridimensionnelle -3D

On considère six degrés de liberté par nœud : trois déplacements et trois rotations, comme le

montre la figure 2.13.

Les degrés de liberté w et y tiennent compte des déformations latérales dans le plan zx. Le

degré de liberté x tient compte de la torsion autour de l’axe x, pour lequel le coefficient de

rigidité est G.K/L, avec K une propriété tenant compte de la forme et de la dimension de la

section droite

Remarque 8 :

K peut être égal à J, le moment d’inertie polaire d’une section droite par rapport à son centre,

seulement pour les sections circulaires ou tubulaires.

Pour les sections à parois minces, tel que tel que les sections standards de profile I ou U, K

représente une petite fraction de J.

x

y

L

z

i

j ui

uj

vi vj

wi wj

xi

yi

zi

xj

yj

zj

Figure 2.13 : Elément fini poutre selon l’axe x d’un système de coordonnées orthonormées,

avec des degrés de libertés définissant, un déplacement, une rotation et une

déformation latérale selon y et z.



Matrice de rigidité K, généralisée à un système 3D :

zj

yj

xj

j

j

j

zi

yi

xi

i

i

i

w

v

u

w

v

u

Y

Z

S

ZZ

YY

X

YYY

ZZZ

SS

ZZZZ

YYYY

XX

K

3

3

21

21

423

423

2121

2121

0

00

00

000

00000

0000

00000

0000000

000000

0000000

0000000000

où S=G.K/L , les termes X et Yi, sont définis selon (2.33) et les termes Zi sont toujours

définies selon (2.33) mais avec une permutation des indices.

Exemple: 31

).1(

.12

L

IEZ

z

y

et

2..

.12

LGA

kEI zy

z

Remarque 9 :

Cette forme généralisée d’écriture de K pour un élément fini de type poutre est adoptée par la

plupart des logiciels de calcul des structures.

La relation (2.34) doit être considérée comme k’ car prise dans sa base locale.

La relation de transformation T pour une base globale utilisée pour calculer ke est :

t

t

t

t

T

000

000

000

000

, avec

100

0

0

cs

sc

t

2.5 Influence de la numérotation des nœuds sur la largeur de la bande de K :

En remarque à partir des exemples que la matrice de rigidité globale possède des termes dans

la diagonale principale ii et jj et des termes dans des positions en dehors de la diagonale ij et

ji. Pour garder une 'largeur de bande' de la matrice K la plus petite possible, les nœuds doivent

être numérotés tel que la différence maximale dans la numérotation des nœuds soit la plus

petite possible.

Symétrique

(2.34)



On est à la recherche d’une "topologie" qui permet de réduire la capacité de stockage de la

matrice de rigidité du système dans la mémoire de l’ordinateur en vue d’une exécution rapide

lors de la résolution du système d’équations.

Ceci est d’autant plus important que le nombre de degrés de liberté devient de plus en plus

élevé.

Toutes ces considérations sont discutées par une illustration d’exemple de structure, figure

2.14, formée d’élément finis barres à deux nœuds avec deux degrés de libertés u et v par

nœud.

A- Matrice de connectivité :

Elle donne une information sur la topologie de la structure, car elle contient le numéro de

l’élément et les numéros des nœuds qui lui correspondent.

Elle est importante pour l’assemblage des éléments finis du modèle et elle est présentée sous

forme de tableau pour ces deux cas.

Numéro de

l’élément

P

1

2 3

8

4

5

6 7

9

(a)

Figure 2.14 : (a) structure à élément de barres sous charge horizontale P supportée par deux bases à appuis doubles

(b) topologie 1 : numérotation horizontale

(c) topologie 2 : numérotation verticale

(b)

1

2 3 4

5

6 7 8

9

1 2

3 4

5 6

1

7

2 3 4

5

6 8

9

1

2

3 4

5

6

(c)



Pour une raison de commodité de présentation on représente les différents termes des matrices

de rigidités élémentaires par le numéro de l’élément (e).

Un exemple de matrice rigidité élémentaire de chaque topologie est considéré pour

l’illustration (Elément (1)):

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1(K

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1(K

En généralisant cette forme de représentation à l’ensemble des éléments pour chaque type de

topologie et en procédant à l’assemblage de la matrice globale pour chaque système, on

obtient les matrices de rigidité pour la topologie1 et, la toplogie2 respectivement (figures,

2.15 et 2.16).

B- Semi – bande :

En se référant aux figures 2.15 et 2.16, il y a un total de 12 degrés de libertés (6x 2ddls) et si

on n’exploite pas l’avantage de la matrice symétrique bande, on aura besoin de réserver une

dimension de matrice pour 122 termes.

En tenant compte de la semi – bande, on aura besoin de 6x12 termes seulement pour le

modele de topologie1 dont la numérotation des nœuds a été bien choisie, et 12x12 pour le

model topologie2 dont la numérotation est mal adapté.

Elément Nœuds

1 2

1 2

1 3

2 3

2 4

3 4

3 5

4 5

4 6

5 6

1

2

3

5

6

7

4

8

9

Elément Nœuds

1 2

1 6

1 2

2 6

5 6

2 5

2 3

3 5

4 5

3 4

1

2

3

5

6

7

4

8

9

Tableau2.3 : matrice topologique 1

Tableau2.4 : matrice topologique 2

U1 V1 U2 V2

Topologie 1 : Elément (1)

U1

V1

U2

V2

U1 V1 U6 V6

Topologie 2 : Elément (1)

U1

V1

U6

V6



La semi – bande est calculée comme suit :

B= f. (d +1) (2.35)

f- nombre de degré de liberté par nœud

d- différence maximale entre numéros de nœud (en inspectant tous les éléments de

l’assemblage)

Topologie 1 Topologie 2

B1= 2.( 2+1) =6 B2= 2.( 5+1) =12

Profile de la matrice de rigidité de la structure :

On définit une limite dite "ligne de ciel" en englobant les termes non nuls de chaque colonne

(figure 2.15).

A cause de la symétrie, on n’a besoin de stocker que la matrice triangulaire supérieure pour

avoir toute l’information sur la matrice globale. Aussi pour la résolution des équations on ne

traite que les termes au-dessous de la "ligne de ciel".

On peut donc stocker tous les coefficients nécessaires dans un seul vecteur, en prenant les

colonnes dans l’ordre tous en incluant les coefficients de la ligne de ciel jusqu’au bas de la

diagonale.

Les zéros entre la ligne de ciel et la diagonale sont retenues car les méthodes de résolutions

directes (non itératives) transforment ces zéros situés au-dessous de la ligne de ciel en valeurs

non nulles.

Le nombre de termes stocker sous ce format est appelé "profil" de la matrice de rigidité de

la structure.

Les logiciels on besoin de savoir quels sont les termes dans ce vecteur de stockage, qui

représentent les termes de la diagonale de la matrice carrée (nxn).

Cette information est donnée sous forme d’un vecteur auxiliaire à n nombres qui donnent la

position de chaque colonne.

Comparaison des profils des deux matrices de rigidité respectives:

Topologie 1 [ 1 2 3 4 5 6 5 6 5 6 5 6 ] ∑ (nombres) = 54

Topologie 2 [ 1 2 3 4 3 4 3 4 7 8 11 12 ] ∑ (nombres) = 62

La matrice à toplogie2 procède un profil plus grand, ce qui reflète la mauvaise numérotation

adoptée pour ce cas.



Matrice de rigidité :

(1) (2) (1) (2) (1) (1) (2) ( 2 )

(1) (2) (1) (2) (1) (1) ( 2 ) ( 2 )

( 1 ) ( 1 ) (1) (3)

(4)

(1) (3)

(4)

( 3 ) ( 3 ) (4) ( 4 )

( 1 ) (1)

(1) (3)

(4)

(1) (3)

(4) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 4 )

( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) (2) (3)

(5) (6) (2) (3)

(5) (6) ( 5 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 6 )

( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) (2) (3)

(5) (6) (2) (3)

(5) (6) ( 5 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 6 )

( 4 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 5 ) (4) 5)

(7) (8) (4) (5)

(7) (8) ( 7 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 8 )

( 4 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 5 ) (4) (5)

(7) (8) (4) ( 5)

(7) (8) ( 7 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 8 )

( 6 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 7 ) (6) (7)

(9) (6) (7)

(9) ( 9 ) ( 9 )

( 6 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 7 ) (6) (7) (9) (6) (7) (9) ( 9 ) ( 9 )

( 8 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 9 ) (8) (9) (8) (9)

( 8 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 9 ) (8) (9) (8) (9)

(1) (2) (1) (2) (2) (2)

(1) (1)

(1) (2) (1) (2) (2) (2)

(1) (1)

( 2 ) ( 2 ) (2) (3)

(5) (6)

(2) (3)

(5) (6)

( 6 ) ( 6 ) ( 5 ) ( 5 ) (3) (3)

(2) ( 2 )

(2) (3)

(5) (6)

(2) (3)

(5) (6) ( 6 ) ( 6 ) ( 5 ) ( 5 ) (3) (3)

( 6 ) ( 6 ) (6) (7)

(9) (6) (7)

(9) ( 9 ) ( 9 ) ( 7 ) ( 7 )

( 6 ) ( 6 ) (6) (7)

(9) (6) (7)

(9) ( 9 ) ( 9 ) ( 7 ) ( 7 )

( 9 ) ( 9 ) ( 8 )

(9) ( 8 )

(9) ( 8 ) ( 8 )

( 9 ) ( 9 ) ( 8 ) (9)

( 8 ) (9)

( 8 ) ( 8 )

( 5 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 8 ) (4) (5)

(7) (8) (4) (5)

(7) (8) (4) (4)

( 5 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 8 ) (4) (5)

(7) (8) (4) (5)

(7) (8) (4) (4)

( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 4 ) (1) (4) (3) (1) (4) (3)

( 1 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 4 ) (1) (4) (3) (1) (4) (3)

Figure 2.16 : Topologie 2

U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4 U5 V5 U6 V6

U1

V1

U2

V2

U3

V3

U4

V4

U5

V5

U6

V6

U4

V4

U5

V5

U6

V6

U1

V1

U2

V2

U3

V3

U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4 U5 V5 U6 V6

Ligne de ciel

Diagonale

Figure 2.15 : Topologie 1



2.6 Méthode formelle -fonction d’interpolation & fonction de forme

A. Introduction

Les formulations de matrices de rigidité des éléments discrets étudiés au chapitre 2 par la

méthode directe, peuvent être déterminées par la construction d’un champ de déplacement par

le biais de "fonction d’interpolation".

L’application de la méthode qui représente l’essence même de la MEF, sera mise en décrite

dans un premier temps, pour les problèmes d’élasticité unidimensionnels, afin de confirmer

les écritures des matrices de rigidité de l’élément barre et de l’élément poutre, adoptées lors

de l’utilisation de la méthode directe.

Son champ d’application sera ensuite étendu, à des éléments finis plans pour une

approximation des domaines continus.

On procède dans un premier temps, à la discrétisation du domaine ou structure en éléments

finis de forme géométriques simples figure 2.15.

Chaque élément est décrit par un champ de déplacement représenté par des fonctions

approchées dites "d’interpolation".

B. Position du problème et définition

Une fonction d’interpolation défini la variation du déplacement sur l’élément fini et doit

constituer une approximation raisonnable de la réalité (comportement structural)

Les questions à poser sont les suivantes:

Quelle fonction choisir ?

Comment construire cette fonction ?

La réponse par la MEF à la première question est de définir une fonction de déplacement

approchée u pour représenter le champ de déplacement réel v, qui n’est pas difficile à trouver

dans la plupart des problèmes complexes.

Cette fonction est dite d’interpolation car v, est égale à u au niveau des nœuds des éléments

finis seulement ce qui représente pour la MEF une forme d’approximation dite nodale.

x=a x=a x

Domaine Elément

x=b Noeuds

Figure 2.15 : Représentation de domaines pour un problème unidimensionnel -1D

x=b x

(a)

Ω

(Domaines Ωe)

(1D)



Il existe un grand nombre de fonctions possible toutefois on préfère les polynômes pour les

raisons suivantes :

Ils sont très maniables pour la programmation.

Ils donnent la possibilité d’augmenter la précision en augmentant l’ordre du

polynôme.

On considère pour une raison de simplicité de l’illustration, une fonction approchée

unidimensionnelle u(x) qui peut être définie comme suit :

Polynôme simple : u(x)= a1+a2.x+a3.x2+……. +an.x

n-1 (2.36)

C. Approximation nodale

La fonction u(x) (2.36), construite sur la base de fonctions polynomiales peut-être écrite sous

forme de vecteurs:

u(x)=<1 x x2………….. x

n-1>

na

a

a

.

.

.

2

1

(2.37)

Les coefficients ai, sont les paramètres de l’approximation et à ce stade, ils n’ont aucune

signification physique, sauf si on coïncide u(x) avec la solution exacte v(x) au niveau des

nœuds.

On aura alors, le système d’équation suivant en tenant compte de la position (coordonnées)

des nœuds:

11

1

1

2

131211 )(.......)( VxVxaxaxaaxu n

n

22

1

2

2

232212 )(.......)( VxVxaxaxaaxu n

n (2.38)

… … … … … … …

nn

n

nnnnn VxVxaxaxaaxu )(.......)( 12

321

Ecriture matricielle :

nnn

nnn

n

n

V

V

V

a

a

a

xxx

xxx

xxx

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...1

.......

.......

.......

.......

...1

...1

2

1

2

1

12

1

2

2

22

1

1

2

11

Soit A . a = V (2.39)



Si A n’est pas singulière a = A-1

.V (2.40)

En remplaçant a dans la relation (2.35) on obtient l’écriture de la fonction sous la forme

suivante :

u(x)=<1 x x2………….. x

n-1>A

-1.V

Ou encore sous l’écriture suivante :

u(x) = < N1(x) N2(x) …………………… Nn(x) > V (2.41)

Ni(x) pour i=1,....,n sont appelées fonctions de forme

Soit u(x) = < N > V (2.42)

avec < N > = < 1 x x2 .............x

n-1 >. A

-1

Cette forme d’approximation est dite approximation nodale, avec comme variables nodales

les déplacements Vi, et comme fonctions d’interpolations nodales les fonctions de formes

Ni(x).

Remarque 1 :

Sachant que u(xi) = Vi on peut déduire une des propriétés les plus importantes de la fonction

de forme à partir de la relation (3.3) qui est la suivante :

ji

jisixN ij

1

0)( (2.43)

C’est-à-dire que la fonction de forme possède une valeur égale à 1 au nœud considéré et elle

est nulle sur les autres nœuds.

La fonction de forme possède des propriétés intrinsèques, qui sont utilisées lors de la

simplification des calculs intégrales, dans l’étape de construction de la matrice de rigidité

(voir chapitre 4).

D. Choix de la fonction de déplacement:

La réponse à la deuxième (P42) question représente une étape importante de la MEF, car elle

détermine la performance de l’élément fini dans l’analyse des structures.

Le choix est fait avec précaution pour la sélection de cette fonction qui :

doit avoir le nombre de coefficients inconnues (ai) égal au nombre total de degrés de

liberté de l’élément,

ne doit privilégier aucun sens ou direction,

doit permettre un mouvement de corps rigide (sans déformation interne).

doit être capable de représenter des états de contraintes planes et de déformations

planes,



doit satisfaire la compatibilité des déplacements (continuité) le long des limites

d’interconnections entre les éléments finis.

Remarque 2:

Le polynôme d’approximation doit comporter autant de termes (ai) de la série que de nombre

de nœuds par élément.

E. Principe de l’approximation par éléments finis:

La construction d’une fonction de déplacement pour la totalité du domaine continu, conduit à

un nombre très élevé de points xi et la solution qui en découle est dite "instable".

Pour contourner ce problème, on construit la fonction u(x) par morceaux.

On procède à la division du domaine Ω en un nombre fini de sous domaines Ωe, figure 2.15,

sur lesquels la construction de la fonction u est plus simple.

Le procédé est donc le suivant :

Discrétisation du domaine Ω en sous domaines Ωe (éléments).

Définition d’une fonction de déplacement ue par la méthode d’approximation

nodale, qui peut être différente sur chaque élément.

La fonction u pour l’ensemble du domaine Ω sera :

u(x)=∑ue(x) (2.44)

Les points où ue(x) =V (solution exacte) sont les nœuds d’interpolation.

Les coordonnées xi représentent les coordonnées nodales.

Les valeurs Vi = u(xi) représentent les valeurs nodales.

Remarque 3:

La fonction approchée ue(x) sur chaque élément, doit être continue sur Ω

e et doit satisfaire la

condition de continuité entre les différents éléments finis.

Approximation par élément fini unidimensionnel linéaire à 2 nœuds:

Pour illustration, on considère une approximation linéaire, figure 2.16, applicable aux

problèmes de barres,

Figure 2.16 : Approximation d’un champ de déplacement inconnu

par un polynôme du 1er

ordre.

V1

V2

x [e] x=x1 x=x2

solution exacte

v(x)-inconnue



En considérant que la solution exacte est approchée par un polynôme de premier ordre, on a

une représentation sur l’élément par la fonction suivante :

u(x) = a1 + a2.x (2.45)

Les coefficients a1 et a2 définissent le segment de droite et si celui-ci passe par (x1, u1) et (x2,

u2) alors :

u1= a1 + a2.x1

u2= a1 + a2.x2 (2.46)

Après résolution du système d’équations (2.46) et en substituant dans (2.45) on obtient :

xxx

uu

xx

xuxuxu ).()(

12

12

12

1221

(2.47)

Cette écriture est la plus simple, cependant en éléments finis on complique un peu la chose en

mettant en évidence les valeurs nodales (déplacements nodaux) u1 et u2, de la fonction u(x),

qui sont plus importants dans l’analyse des structures. On réarrange (2.47) sous une forme

équivalente :

)(.)(.)(12

1

2

12

2

1xx

xxu

xx

xxuxu

(2.48)

Les fonctions de formes et leurs propriétés :

Du point de vu mathématique, le choix du couple de paramètres a1, a2 ou u1, u2, dans

l’approximation linéaire, importe peu.

On remarquera qu’au lieu de multiplier a1, a2 par les termes des polynômes ‘1’ et ‘x’

respectivement pour obtenir (2.45), on doit multiplier u1 et u2 par les polynômes

12

1

12

2

xx

xxet

xx

xx

pour enfin définir deux polynômes linéaires suivants :

et

12

1

2

12

2

1

)(

)(

xx

xxxN

xx

xxxN

(2.49)

N1(x) et N2(x) sont appelées fonctions de forme et possèdent des propriétés, dont la plus

importante a été citée en remarque 1.



Propriété évidente :

)(0

1

ailleurnoeudsautresaux

inoeudauN i (2.50)

Autres propriétés moins évidentes :

N1+N2=1 21 xxx (2.51)

et x1.N1+x2.N2=x

Remarque 4:

Les identités (2.51) confirment par leurs existences, la présence des deux termes, le terme

constant " 1 " et, le terme linéaire " x ", de l’expression polynomiale (2.45).

Interprétation géométrique:

La relation entre u(x), N1(x) et N2(x) est explicité montrée dans la figure 2.17

On déduit de cette relation, une interprétation géométrique, à savoir qu’une ligne droite

u(x)=a0+a1.x, peut être considérée comme une combinaison linéaire de lignes standards

N1(x) et N2(x) avec des valeurs nodales comme facteurs poids.

Généralisation :

Une fonction de déplacement v (exacte) qui est définie sur un domaine Ω :[x1,xn] et

représenté dans la figure 2.18, est déterminée par éléments finis, par le biais d’une fonction

approchée u.

1

u1

u2

N1(x) N2(x)

u(x)=a0+a1.x

u2.N2(x) u1.N1(x)

x1 x2

x

Figure 2.17 : Relation entre u(x), N1(x) et N2(x)



On définit d’abord la géométrie des éléments et leurs topologies comme suit :

Nœuds : 1, 2, ………………, n-1, n

Coordonnées des nœuds : x1, x2, ……………., xn-1, xn

Domaine complet : nxxx 1

Topologie des éléments : :1

e <x1, x2>

:2

e <x2, x3>

:1

e

n <xn-1, xn>

Déplacements nodaux V1, V2, ………………, Vn-1, Vn

En prenant comme modèle l’élément fini barre à deux nœuds, les fonctions approchées ue(x)

doivent être linéaires en x et leurs fonctions de forme doivent satisfaire les propriétés cités

auparavant. L’ensemble est présenté dans le tableau ci-après.

Tableau2.5 : Construction de fonction de forme par morceau dans un domaine 1D

Elément Fonction approchée ue(x) Fonctions de forme Propriété évidente

1

u1(x)=N1(x).V1+N2(x).V2

12

1

2

12

2

1

)(

)(

xx

xxxN

xx

xxxN

N1(x1)=1 ; N2(x1)=0

N1(x2)=0 ; N2(x2)=1

x

ue(x)

Ve

x1 x2 x3 x4 xn-1 xn

V1

V2

V3

Vn-1

Vn

[1] [2] [n-1]

1 2 3 4 n-1 n

Figure 2.18 : Approximation par éléments finis unidimensionnels linéaires



2

…..

n-1

u2(x)=N1(x).V2+N2(x).V3

……………

un-1(x)=N1(x).Vn-1+N2(x).Vn

23

2

2

23

3

1

)(

)(

xx

xxxN

xx

xxxN

…………

1

1

2

1

1

)(

)(

nn

n

nn

n

xx

xxxN

xx

xxxN

N1(x2)=1 ; N2(x2)=0

N1(x3)=0 ; N2(x3)=1

..................

N1(xn-1)=1 ; N2(xn-1)=0

N1(xn)=0 ; N2(xn)=1

La MEF n’est pas restreinte à l’utilisation d’éléments finis linéaires, et la majorité des

logiciels commerciaux disponibles, permettent de choisir entre les éléments finis à fonctions

d’interpolation linéaires, quadratiques ou cubiques correspondant à des domaines à une, deux

ou trois dimensions.

Les éléments finis quadratiques ou cubiques, peuvent aussi représenter des frontières

curvilignes ; il suffit que le nombre de nœuds géométriques sur chaque frontière soit

compatible avec la forme de la courbe correspondant à la frontière du domaine.

Il est donc important d’être capable de choisir le type d’élément qui est le plus approprié au

problème étudié et de déterminer les fonctions de forme pour ce type d’élément choisi.

Les fonctions de formes du tableau modélise un élément fini barre à deux nœuds et sont un

cas particulier des fonctions d’interpolation dite de Lagrange à n points (nœuds) tel que la

fonction de déplacement :

ijlorsque

ijpourxNavecuxNxu ji

n

i

ii1

0)().()(

1

(2.52)

et

n

ijj ji

j

ixx

xxxN

1 )(

)()( (2.53)

On notera que les fonctions )(xN i sont des polynômes d’ordre (n-1).

A la question : est-ce que

n

i

i xN1

1)( ? , la réponse est oui pour toutes les fonctions de

forme de classe C0 avec :

0)(0)(1)( 11211 xNxNxN n



0)(1)(0)( 22221 xNxNxN n

1)(0)(0)( 21 nnnn xNxNxN

Le développement de l’équation (3.11a) donne la relation suivante:

)(][))((

)(][))((

21

21

nkkkkk

nk

kxxxxxxxx

xxxxxxxxN

(2.54)

On ne tient pas compte des termes qui se trouvent à l’intérieur de l’intervalle [….] de

l’équation (2.54) pour obtenir la k-ieme fonction de forme, ce qui nous permet de retrouver

tous les cas particuliers suivant :

Pour l’élément fini linéaire à deux nœuds (figure 2.9), les N(s) et les x(s) ayant un

indice supérieur à 2 ne doivent pas apparaître et on déduit :

21

21

)(

xx

xxN

et 12

12

)(

xx

xxN

ce qui confirme les équations (3.9)

avec

2

1.)(

u

uNxu

Pour l’élément fini quadratique à trois nœuds figure 2.19(i-b), les N(s) et les x(s) ayant

un indice supérieur à 3 ne doivent pas apparaître.

))((

))((

3121

32

1xxxx

xxxxN

))((

))((

3212

31

2xxxx

xxxxN

))((

))((

2313

213

xxxx

xxxxN

(2.56)

(2.55)

x

1 2

x1 x2

u1

u2

1

1

Figure 2.19 : Interpolation linéaire et fonctions de forme



E- Types d’éléments finis à une dimension :

Les éléments unidimensionnels - 1D les plus courants, figure 2.20:

2.8 Matrices caractéristiques par minimisation de l’énergie potentielle

A. Energie potentielle totale minimale:

Une fois la fonction de déplacement définie, il est possible d’obtenir, toutes les déformations

et contraintes dans l’élément fini et de formuler sa matrice de rigidité et celui du vecteur de

charges équivalentes (concentrées aux nœuds).

Dans le chapitre précédent, la matrice de rigidité élémentaire a été introduite par le biais d’un

argument physique direct (méthode directe) et peut être aussi élaborée par la puissante

méthode, plus familière aux ingénieurs de génie civil, qu’est le principe des travaux virtuels,

qui cependant ne peut être un cadre pour produire des approximations par éléments finis plus

générales.

La formulation de ces matrices dites "caractéristiques des éléments finis", représente l’étape

la plus importante de l’analyse par la MEF, et repose sur le principe fondamental de la

mécanique des structures qui est le principe de l’énergie potentielle minimum.

C’est Courant (cité au Chapitre 1) qui a développée en 1943 la première application basée sur

ce principe pour la solution du problème de torsion de Saint-Venant.

On introduit dans un premier temps, les concepts de l’énergie de déformation et de l’énergie

potentielle totale et on déduit les équations gouvernantes pour les problèmes d’élasticité.

B- Formulation de l’énergie potentielle stationnaire :

Les charges externes appliquées à un élément de structure provoque sa déformation et

résultent en un travail qui est stocké dans le matériau sous forme d’énergie élastique, appelée

énergie de déformation.

Pour sa simplicité, prenons l’exemple d’une barre de section constante A, soumise à une

charge axiale N, représentée par un ressort linéaire figure 2.21.

a-Linéaire

b-Quadratique

- c-Cubique

Figure 2.20 : Eléments finis 1D



La figure 2.21 (c ), montre aussi un élément de volume sous l’effet de contrainte normale

agissant sur ses facettes.

L’énergie potentielle totale, comporte deux parties, (a) l’énergie de déformation et (b) le

potentiel des charges appliquées. Parce que les forces internes et les forces externes sont les

deux conservatives il en est de même pour l’élément de structure.

L’énoncé du principe est comme suit: Parmi toutes les configurations possibles d’un système

conservatif, celle qui satisfait les équations d’équilibre donne une énergie potentielle

stationnaire par rapport à des petites variations de déplacements. Si la condition de l’état

stationnaire est minimum, l’équilibre est stable.

Si le ressort ne dissipe pas d’énergie alors le travail des forces interne (énergie de déformation

dans le ressort), dépend seulement de l’allongement L et non pas de son passage par le

chemin I ou le chemin II (figure 2.21(b)). De la même manière si la charge externe N possède

une valeur et une orientation constante, son travail est égal à N L indépendamment du

chemin choisi pour aller de PI(configuration initiale) à PF (configuration finale) (figure

2.21(b)).

L’effort N s’écrit comme suit :

'. ykLL

AEP

(2.57)

Et l’énergie emmagasinée id dans le matériau pour une déformation infinitésimale /y :

/

2/

0

/////

0

/ )2

1(

2

1.

yy

i ykykydykydyPd (2.58)

On peut écrire l’équation (2.53) en fonction des contraintes et des déformations normales :

Figure 2.21 : Comportement élastique d’une barre sous sollicitation horizontale (a) structure barre ; (b) élément ressort ; (c) état de contrainte sur un élément de volume

dx

dy

dz

dy'

Y

Y

x

z

y

P

L L

y'

y

P

Longueur non

Déformée

(Pas de charge)

I

II

(a)

PI PF

k (b)

(c)



dvdxdzyykd yi ..2

1).(

2

1)(

2

1 // (2.59)

Avec dxdzyk y .. / : Force élastique

et dyy ./

D’où l’écriture de l’énergie de déformation di à partir de la figure 2.22, pour l’élément de

structure sous sollicitation axiale, est la suivante :

dVE

dVdVV

i

e

i .2

..

2

. 2)(

(2.60)

avec V : volume de l’élément

et E : Module de Young

C. Energie potentielle totale :

L’énergie potentielle totale s’écrit comme suit :

eiP W (2.61)

L’application pour notre exemple figure 4.1 donne :

2/.2

1yki et /.yPWe

La charge en se déplaçant sur une distance y/ produit un travail et en conséquence perd un

potentiel de même valeur, justifiant ainsi l’existence du signe négative dans l’expression :

/.yPWe

L’énergie potentielle totale

/2/ ..2

1yPykP (2.62)

Peut être considérée comme le travail interne et externe effectué pour un changement de

configuration de l’état de référence 0/ y à l’état de déplacement 0/ y .

id

Figure 2.22 : Représentation de l’énergie de déformation

comme un volume de contrainte



Elle est représentée graphiquement pour notre exemple dans la figure 2.23.

La position d’équilibre /

eqy obtenue à partir de la valeur stationnaire de P :

0)( // dyPkyd eqP d’où kPyeq // (2.63)

2.9 Formulation de la matrice de rigidité et du vecteur charge équivalent

A. Déformation et contrainte moyenne dans un E.F unidimensionnel 1-D

On utilise les fonctions de formes étudiées au chapitre 3 pour l’écriture du déplacement d’un

élément fini aux nœuds i et j soit :

aNuNuNuNu jjiiii

e ....)( (2.64)

Avec comme Fonctions de Forme : L

yNi 1 et

L

yN j (2.65)

y est la référence de coordonnée locale de l’élément ayant pour origine le nœud i.

TT

jiL

y

L

yNNN 1 et

j

i

u

ua (2.66)

La déformation dans chaque élément peut être calculée selon la relation :

aBaNLaNdy

d

dy

du.).().( (2.67)

Avec L : opérateur dit de Laplace dans le cas général

et )(NLB =

T

LL

11 : dérivées des fonctions de formes (2.68)

Enfin la contrainte dite moyenne dans chaque élément s’écrit comme suit :

aBEE . (2.69)

Energie

y/

k

Nyeq

/ /.yNWe

Valeur stationnaire

eiP W

2/.2

1ykWe

Figure 2.23: Représentation graphique

des relations d’énergie




L’énergie de déformation pour un élément fini barre quelconque (e) peut être déduite à partir

de l’équation (2.60) :

V V

TTTe

i dVaBEBadV ..)(2

1.

2

1)( (2.70)

L’énergie potentielle s’écrit comme suit :

dVaBEBaV

TT

P .).(2

1 - Fa

TFaaKa

TT...

2

1 (2.71)

Où F : le vecteur de charges appliquées aux nœuds

et on pose :

dVBEBKV

T... ; la matrice de rigidité élémentaire (2.72)

La minimisation de l’énergie de déformation par rapport à a s’écrit :

)()()(

.0eeeP FaK

a

(2.73)

On retrouve l’écriture familière de la matrice de rigidité élémentaire d’une barre de section

uniforme A, sous sollicitation uni-axiale :

dyA

L

LELL

KLe

..1

1

..11

0

)(

=

L

dyL

AE

02 1

111. (2.74)

=

11

11

L

AE=

kk

kk (2.75)

Où L

EAk

.

C. Vecteur de charges équivalentes aux nœuds

En minimisant le travail produit par les charges externes pour un élément fini quelconque (e),

le second terme de l’équation (2.66) résulte en un vecteur chargee

F , dit de charges

ponctuelles (concentrées aux nœuds i et j) pour un problème 1D:

j

iee

P

PpaF

a

)()().( (2.76)



D’une manière générale, pour des cas de charges de types quelconques, on distingue en plus

des forces concentrées ponctuelles p , des forces de volume b (forces de gravité, poids propre)

et des forces de traction de surface t .

Le travail de ces forces externes s’écrit comme suit :

A i

i

tt

V

t

e pudAtudVbuW ..... (2.77)

D’où l’expression générale du vecteur force équivalente sur chaque élément fini en tenant

compte de (2.64) et en minimisant We (2.77) par rapport à a:

A i

i

tt

V

tpNdAtNdVbNF ...... (2.78)

On constate que la distribution des charges aux nœuds sur un élément fini quelconque pour

l’obtention d’un vecteur de charges équivalentes se fait par le biais des fonctions de forme N.

2.10 Construction des Fonctions de Forme :

A. Principe de la méthode

Une fois les termes de la fonction de déplacement choisis d’une façon précise à partir du

Triangle de Pascal, il convient de construire ensuite les fonctions de forme.

Il existe deux procédés possibles :

i) Procédé direct en utilisant les propriétés évidentes des Fonctions de Forme.

ii) Méthode des déterminants

La méthode (i), est beaucoup plus rapide pour un calcul manuel, pour des éléments finis

simples et prend en compte les propriétés déjà citées auparavant à savoir :

Pour chaque élément, la fonction de forme est égale à 1 au nœud considéré et 0

ailleurs.

Chaque fonction de forme est un polynôme du même degré que celui de la

fonction d’interpolation.

Ce procédé est mieux expliqué par un l’exemple d’élément fini unidimensionnel (1D)

quadratique figure 2.24 :

Figure 2.24 : Elément fini 1D quadratique

1

2

3

L /2 L /2

x



On cherche trois fonctions de forme Ni(x), i=1, 2, 3 et on exprime chacune d’elles comme le

produit de deux fonctions :

Ni(x)= Fi.Gi ; i=1, 2, 3 (2.79)

Fi est fonction qui nulle aux nœuds autre que le nœud considéré i.

Gi est choisie tel que Ni est un polynôme quadratique.

Les positions des nœuds : 1: 0 ; 2: L/2 ; 3: L

Nœud 1 : N1(x) = (x -L/2).(x -L).G1 ;car N1(x)=0 aux nœuds 2 et 3.

Et F1= (x -L/2).(x -L) est quadratique donc G1=C1 (constante)

N1(0)=1 au nœud 1 C1=2/L2

Soit N1(x)= (2/L2)(x -L/2).(x -L)= 1

32 2

2 x

Lx

L (2.80)

Nœud 2: N2(x) = x.(x -L).G2 ;car N2(x)=0 aux nœuds 1, 3

Et F2= x.(x -L) est quadratique donc G2=C2 (constante)

N2(L/2)=1 au nœud 2 C2=-4/L2

Soit N2(x)= (-4/L2).x.(x -L)= x

Lx

L

44 2

2

(2.81)

Nœud 3: N3(x) = x.(x –L/2).G3 ;car N3(x)=0 aux nœuds 1, 2

Et F3= x.(x –L/2) est quadratique donc G3=C3 (constante)

N3(L)=1 au nœud 3 C3=2/L2

Enfin N3(x)= (2/L2).x.(x –L/2)=

L

xx

L2

2

2 (2.82)

Les expressions des fonctions de forme (2.80), (2.81) et (2.82), sont les mêmes que celles des

équations (2.56) en substituant x1=0, x2=L/2 et x3 =L.

On peut rapidement vérifier à chaque fois la propriété évidente ∑Ni=1 ; i=1, 2, 3

N1(x) +N2(x) +N3(x)=1

B. La méthode des déterminants

Elle est beaucoup plus adaptée au calcul automatique et elle de ce fait la plus évidente pour la

programmation sur ordinateur s’agissant des éléments finis d’ordre supérieurs. Cette méthode

est plus générale et prend en compte aussi, les propriétés des fonctions de forme.

Soit une fonction de déplacement d’ordre n dans un espace 1D :

u(x)= a1+a2x+a3x2+……+anx

n-1 =

n

i

iiuN1

(2.83)

Ni- Fonctions de Forme

x=xi i=1, 2, ….., n position des nœuds dans l’élément fini



ui=u(x=xi) i=1, 2, ….., n

On défini un vecteur ligne G tel que :

G = < 1, x, x2, ….., x

n-1> (2.84)

On définie en plus n vecteurs lignes Hi tel que :

Hi = G (x=xi), i=1, 2, …, n (2.85)

Soit D le déterminant de la matrice dont les lignes sont H1, H2, ……, Hn prises dans cet ordre

respectivement.

12

1

2

2

22

1

1

2

11

..1

......

......

..1

..1

n

nnn

n

n

xxx

xxx

xxx

D (2.86)

Enfin soit DiG le déterminant obtenu à partir de D en remplaçant la ieme

ligne Hi par le vecteur

ligne G.

12

12

1

2

2

22

1

1

2

11

..1

......

..1

......

..1

..1

n

nnn

n

n

n

iG

xxx

xxx

xxx

xxx

D (2.87)

Les fonctions de forme se calculent comme suit :

niD

DxN iG

i ,,2,1)( (2.88)

ieme

ligne


Chapitre 3

Éléments finis à deux et trois dimensions

Éléments Finis en Une Dimension

Projet du viaduc ferroviaire, Oued-Tlelat /Sidi-Belabbes / Tlemcen,

de 1780 m et de hauteur de 114m



APERÇU

On considère dans ce chapitre, les éléments finis à deux et trois dimensions. Une

attention particulière est donnée à la dérivation des fonctions de formes des éléments

finis triangulaires et quadrilatères en associant la méthode du triangle de Pascal et

la méthode des déterminants. On présente l’’importance des formulations par

intégrales numériques (méthode de Gauss) dans un système de coordonnées locales

normalisées ainsi que la transformation entre le repère local et le repère global. Une

application aux problèmes d’élasticité plane de classe C0 est aussi présentée.

3.1 Idée de base

Dans ce chapitre on introduit une fonction élément fini pour l’approximation des surfaces

à deux dimensions, sur lesquelles on applique des fonctions approchées qui sont

généralement définies par des équations différentielles.

Pour les problèmes à deux dimensions ‘2D’, bien qu’il existe plusieurs possibilités pour

l’approximation (diviser) du domaine d’étude’, en pratique deux formes seulement sont

utilisées à savoir le triangle et le quadrilatère figure 3.1.

3.2 Types d’éléments finis 2D et 3D

A- Eléments bidimensionnels - 2D

Eléments triangulaires :

a-Linéaire b-Quadratique

c-Cubique

Figure 3.1 : représentation de domaines pour un problème bidimensionnel- 2D

x

y

z

Eléments Noeuds

(b)

(2D) (Domaines Ωe)

(Ω)

Domaine



Eléments quadrilatéraux:

Eléments Tridimensionnels - 3D :

Remarque 5 :

Le type d’élément dépend :

de la forme (1-D, 2-D, 3-D, triangulaire, quadrilatère, tétraèdre, etc.…)

du nombre de nœuds (3-nœuds, 4-nœuds, etc.)

du type des variables nodales (degrés de liberté)

du type de fonctions d’interpolation.

On notera aussi que le degré de liberté pour chaque nœud peut varier selon le

problème.

B- Triangle de Pascal :

Dans le cas d’un choix d’éléments finis d’ordre supérieur où l’ordre de la fonction de

déplacement est élevé il y a lieu de prendre garde de l’isotropie géométrique (invariance

géométrique). Cela veut dire que l’élément fini modèle doit être indépendant de l’orientation

de la base de coordonnées locale, ou globale.

Le choix des termes qui composent la fonction d’approximation du champ de déplacement,

est plus facilement obtenue par référence au Triangle de Pascal figure 3.3.

a-Linéaire b-Quadratique c-Cubique

A-Tétraèdre B-Hexaèdre C-Prisme droit

(solid element)

b-(Quadratique)

c-(Cubique)

b-(Quadratique)

c-(Cubique) b-(Quadratique)

c-(Cubique)

Figure 3.2 : Quelques éléments finis classiques les plus utilisés en modélisation numérique



a-Élément fini triangulaire :

432234

3223

22

1

yxyyxyxx

yxyyxx

yxyx

yx

Donc pour un élément fini linéaire, tous les termes, sur et au dessus du niveau 1, sont choisis,

alors que pour un élément fini cubique, tous les termes, sur et au dessus du niveau 3 sont

nécessaires.

On remarque que pour la construction des éléments finis, la distribution des nœuds dans le

triangle est dictée par la forme géométrique du Triangle de Pascal.

Par exemple, un élément quadratique possède tous les nœuds sur les 3 frontières figure 3.4

(a) ; un élément cubique possède un nœud intérieur figure3.4 (b) ; un élément quartique trois

nœuds intérieurs et ainsi de suite.

La raison de garder le même nombre de nœuds sur les frontières de l’élément, revient au fait

que les éléments seront généralement reliés ensembles le long de leurs côtés et une condition

de continuité sur la fonction de déplacement u(x, y) doit être observée.

L’illustration de cette approche est faite par l’exemple de l’élément fini triangulaire à trois

nœuds, dont la fonction de déplacement u(x,y)= a1+a2.x+a3.y induit une variation linéaire sur

ses frontières, se qui est compatible avec l’existence de deux nœuds par frontière (une seule

ligne droite peut être tracée entre deux points).

N’importe quel autre élément qui sera attaché à cet élément [1] figure 3.5, aura exactement la

même variation le long de la frontière commune, donc la fonction de déplacement sera

continue sur la frontière de l’élément.

Nombre total des termes

Au dessus du niveau

niveau 1 3 linéaire

niveau 2 6 quadratique

niveau 3 10 cubique

niveau 4 15 quartique

Figure 3.3 Triangle de Pascal

Figure 3.4 : Elément fini triangulaire : (a) quadratique à 6 nœuds

(b) cubique à nœud intérieur

6

1

3

4

5

2 1

3 2

8 6

5

4

7

9 10

(a) (b)



L’écriture de la fonction de déplacement en se rapprochant de la frontière commune du côté

de l’élément [1] est :

]1[

33

]1[

22

]1[

11

1 NuNuNuu (3.1)

]1[

33

]1[

22

1 NuNuu

Car N1[1]

le long de la limite commune. Puisque les fonctions de forme sont linéaires, alors

u[1]

varie linéairement le long de la limite commune ayant comme valeurs, u2 et u3, au nœud 2

et 3 respectivement.

Alors que si la frontière est approchée à travers l’élément [2] :

]2[

33

]2[

24

]2[

12

2 NuNuNuu (3.2)

]2[

33

]2[

22

1 NuNuu

car N2[2]

=0 le long de la limite commune. Aussi, la variation des fonctions de forme est

linéaire le long de la limite commune, entre les valeurs u2 et u3, au nœud 2 et 3

respectivement.

On déduit que u[1]

=u[2]

le long de la frontière commune, confirmant que la fonction de

déplacement u est continue à travers les frontières de l’élément.

Remarque 6:

Pour les problèmes 2D, un polynôme représentant la fonction de déplacement est de degré n

s’il contient un terme de la forme xly

m, où l et m sont des entiers non négative et l+m=n. le

polynôme est dit "complet" s’il contient toutes les combinaisons de l et m pour lesquelles

l+m≤ n.

Par exemple un quadratique complet, n=2 ,figure 3.4, possède la forme suivante :

u=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y

2 (3.3)

Un polynôme complet de degré n contient (n+1)(n+2)/2 termes (figure 3.7).

[1] [2]

2

4

3

1

Figure 3.5 : deux éléments finis triangulaires à 3 nœuds

ayant une frontière commune

frontière commune



En généralisant au domaine tridimensionnel (3D), les mêmes remarques sont applicables, de

telles façons qu’un quadratique complet contient 10 termes, qui comportent un terme

constant, des termes linéaires x, y, z, et zx.

Un polynôme complet de degré n en 3D contient (n+1)(n+2)(n+3)/6 termes, figure 3.6

b- Élément fini quadrilatère:

Le Triangle de Pascal est aussi d’une utilité considérable dans la construction des fonctions de

forme pour les éléments finis rectangulaires qui sont de deux principaux types :

Des exemples d’éléments finis Lagrangiens et les éléments finis "Serendipes" sont

représentés dans les figures 3.7 et 3.8 respectivement.

Figure 3.7 : Eléments finis Lagrangiens

4- noeuds 9- noeuds 16- noeuds

Figure 3.6 : Pyramide montrant le nombre de termes pour des polynômes

complets selon les 3 variables indépendantes x, y, z

1 y

z

x

z2

x2

y2

xy

yz

zx

z3

yz2

y2z

Y3

xy2

x2y

x3

z2x

zx2

xyz

Figure 3.8 : Eléments finis ‘Serendipe’

4- noeuds 8- noeuds 12- noeuds



Les termes dans l’approximation de la fonction de déplacement u(x,y) pour chacun de ces

éléments sont obtenus à partir du Triangle de Pascal comme le montre la figure 3.9 et figure

3.10.

6542332456

54322345

432234

3223

22

1

yxyyxyxyxyxx

yxyyxyxyxx

yxyyxyxx

yxyyxx

yxyx

yx

6542332456

54322345

432234

3223

22

1

yxyyxyxyxyxx

yxyyxyxyxx

yxyyxyxx

yxyyxx

yxyx

yx

Remarque 7:

En général, l’utilisation des Eléments Finis "Serendipes" est plus pratique, du fait que ces

derniers présentent des niveaux de précision similaires à ceux des éléments finis Lagrangiens

avec moins de nœuds par élément.

Les deux types d’éléments produisent une fonction de déplacement u(x,y) qui est continue le

long des frontières.

4- noeuds

9- noeuds

16- noeuds

Eléments finis

Lagrangiens

12- noeuds

4- noeuds

8 noeuds

Eléments finis

Serendipes

Figure 3.10: Triangle de Pascal - Eléments finis ‘Serendipes’

Figure 3.9 : Triangle de Pascal-Eléments finis Lagrangiens



3.3 Construction des fonctions de forme pour L’élément finis ‘T3’:

L’élément fini triangulaire à 3 nœuds figure 3.11 est désigné comme T3 et on procède de

manière similaire, que pour le cas 1D, par la méthode des déterminants pour déterminer ses

fonctions de forme.

On pose

),(

),(),(

yxv

yxuyxu et yaxaayxu 321),(

ybxbbyxv 321),( (3.4)

Le champ de déplacement s’écrit, en tenant compte des Fonctions de Forme, comme suit :

3

1

332211 ),(.),(.),(.),(i

iuyxNuyxNuyxNuyxu (3.5)

Avec

1

1

1v

uu

2

2

2v

uu

3

3

3v

uu

Les Fonctions de Forme Ni s’écrivent comme suit selon la méthode des déterminants :

).().()(2

1

1

1

11

),( 23322332

33

221 xxyyyxyxyxA

yx

yx

yx

DyxN

).().()(2

1

1

1

11

),( 31133113

33

11

2 xxyyyxyxyxA

yx

yx

yx

DyxN (3.6)

x

y

2

3

1

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)

Figure 3.11 : Elément fini 2-D, triangulaire à 3 noeuds



).().()(2

1

1

1

11

),( 1221122122

11

3 xxyyyxyxyxA

yx

yx

yx

DyxN

Avec A

yx

yx

yx

D 2

1

1

1

33

22

11

(3.7)

Où A- Aire du Triangle

3.4 Transformation géométrique:

A- Relation entre les variables généralisées et les variables nodales:

Un élément de référence simple peut être transformé par une transformation Te, en un élément

de forme plus complexe figure 3.12.

On prend la notation : et yxx

La transformation Te définie les coordonnées x

e de chaque point de l’élément réel à partir des

coordonnées du point correspondant de l’élément de référence.

Elle dépend de la forme et de la position de l’élément.

Soit Te : x

e= x

e( )

Dans un espace tridimensionnel :

z

y

x

x

On notera aussi qu’un même élément de référence, un triangle à 3 nœuds, peut se transformer

en plusieurs éléments réels de même type par des transformations différentes, figure 3.13.

(3.8)

(0,0)

(0,1)

(1,0)

Te

y

x

(xi)

(xk)

(xj)

i

j

k

Figure 3.12 : Représentation d’un exemple de transformation

d’un élément fini de référence vers l’élément parent

(1- =0)

21

1

2

1

1

ΩR

ΩE



B- Règles et propriétés de Te

Te doit générer des éléments réels et doit être choisie ayant les propriétés suivantes :

Doit être bijective en tout point de situé sur l’élément de référence ou sur sa

frontière. Donc à tout point de l’élément de référence correspond un point et un

seul de l’élément réel.

Les nœuds géométriques de l’élément de référence, définie par les nœuds

géométriques de cette frontière, correspondent à la portion de frontière définie par

les nœuds correspondant.

Te : x

e= x

e( , x1, x2, … , xn ) (3.9)

Où x1, x2, …, xn sont les coordonnées des nœuds de l’élément réel

Et n- le nombre de nœuds

On utilisera des transformations T linéaires par rapport aux coordonnées xn de l’élément réel.

T : x( )= < T ( )> xn (3.10)

De plus les fonctions de transformation sont choisies identiques pour les trois coordonnées.

x( )= < T ( )> x y( )= < T ( )> y z( )= < T ( )>z

avec :

x=< x1 , x2, …, xn>T y =< y1 , y2, …, yn>

T z=< z1 , z2, …, zn>

T

(3.11)

(0,0)

(0,1)

(1,0)

T1

y

x

4

1

2

3 5

[1]

[2] [3] T

2

T3

Figure 3.13: exemple d’un élément fini de référence,

représentant plusieurs éléments de même type



Applications :

1- exemple de l’élément fini triangulaire à trois nœuds figure 3.11

Position des nœuds : i :< xi , yi > j : < xj , yj > k : < xk , yk >

Soit < T ( )>=<T1( , ) T2( , ) T3( , )> (3.12)

On a alors les relations suivantes :

x( , )= T1( , )xi + T2( , )xj + T3( , )xk

k

j

i

x

x

x

x 1),(

k

j

i

y

y

y

y 1),(

Vérification des propriétés :

Les nœuds géométriques dans le system de coordonnées local

1: (0,0) 2: (1,0) 3: (0,1)

se transforment dans la base globale :

xi, xj, xk

L’application pour le nœud i comme exemple donne :

x( =0, =0) = < 1 0 0 > i

k

j

i

x

x

x

x

(3.14)

Il en sera ainsi pour les autres nœuds j et k.

La correspondance des frontières (limites) :

Chaque frontière Rde l’élément de référence Ω

R se transforme en une frontière

E

correspondante de ΩE.

On choisi pour l’exemple la frontière qui passe par les nœuds 2: (1,0) et 3: (0,1), et dont

l’équation est 01 .

Elle doit se transformer en la frontière qui passe par les nœuds j: xj et k: xk.

En substituant 1 dans les relations (3.8) on obtient :

(3.13)



kj

k

j

i

xx

x

x

x

x )1(10

ki

k

j

i

yy

y

y

y

y )1(10

Les relations (3.41) sont donc linéaires et ne dépendent que de xj et xk qui sont situés sur la

frontière E .

La transformation est bijective :

),(),( yxT

Bijective

ddJdydx ... Avec J - Jacobien 0

Expression d’une matrice J non singulière.

ikik

ijij

yyxx

yyxx

yx

yx

J

(3.16)

det(J)= ( xj-xi )(yk-yi)-(xk-xi)(yj-yi)

Ce déterminant est égal à 2 fois l’aire du triangle donc, ne s’annule que si les sommets sont

alignés.

Les angles du triangle doivent toujours rester inférieur à 180° pour que les det(J)0.

(3.15)

k

i

j

A det(J)= 2xA

Figure 3.14: Aire de l’élément fini T3



2- exemple d’utilisation des fonctions de forme dans la transformation figure

3.15.

On peut monter que les relations (3.13), transforment l’élément fini triangulaire aux sommets

(xi,yi), i=1,2,3, en un élément standard dans le plan .

))1(2

1())1(

2

1())(

2

1( 321 xxxx

))1(2

1())1(

2

1())(

2

1( 321 yyyy

La relation entre (x,y) et , η comme définie (3.17) est linéaire tel que des lignes droites dans

le plan , η , restes droites dans le plan xy.

Considérant par exemple, le coté

11,1

du triangle standard. On obtient, en utilisant (3.11)

22

)(

))1(2

1()1(

2

1(

1313

31

xxxx

xxx

d’une manière similaire

22

1313 yyyyy

on peut bien constater que ce sont des équations paramétriques de lignes droites passant par

les points (x1,y1) lorsque 1 et (x3,y3) lorsque 1 .

Il y va de même pour le côté du triangle standard 1

(3.17)

(3.18a)

(3.18b)

1 2

3 +1

+1 -1

-1

y

x

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

Transformation

(3.17)

Figure 3.15: Transformation d’un élément fini triangulaire

à 3 nœuds en un élément standard



.

22

)(

))1(2

1()1(

2

1(

1212

21

xxxx

xxx

22

1212 yyyyy

Ce sont aussi des équations paramétriques de lignes droites passant par les points (x1,y1)

lorsque 1 et (x2,y2) lorsque 1 .

On remarquera que pour cette transformation on a fait appelle aux fonctions de forme de

l’élément fini triangulaire à 3 nœuds, à savoir :

)(2

1),(1 N

)1(2

1),(2 N (3.20)

)1(2

1),(2 N

et on peut écrire (3.45) sous la forme suivante :

3

1

3

1

),(),(i

ii

i

ii NyyetNxx (3.21)

3- Elément fini quadrilatère à 4 nœuds.

De même que les éléments finis triangulaires à côtés droits on peut utiliser des éléments

quadrilatères pour le maillage d’un domaine.

On peut facilement montrer, de la même manière que précédemment que la transformation

d’un élément fini standard (carré) figure 3.16, aux nœuds suivants :

1 :(-1,-1) ; 2 :(1,-1) ; 3 :(1,1) ; 4 :(-1,1)

en un quadrilatère aux sommets pris à des positions (xi, yi), i=1, 2, 3, 4, s’écrit comme

suit selon (3.46):

4

1

),(i

ii Nxx et

4

1

),(i

ii Nyy (3.22)

(3.19a)

(3.19b)



Les fonctions de forme 4,3,2,1),( ipourN i sont :

)1)(1(4

1),(1 N )1)(1(

4

1),(2 N

)1)(1(4

1),(3 N )1)(1(

4

1),(4 N

3.5 Système de coordonnées de référence :

A- Système de coordonnées locales normalisé

En modélisation par la MEF, on a besoin le plus souvent d’utiliser différentes bases de

référence.

On a besoin d’un système de référence global pour représenter la position des nœuds,

orientation de chaque élément fini, et pour l’application des conditions aux limites et charges.

Plus important, la solution, tel que les déplacements nodaux sont représentés par rapport au

système d’axes de coordonnées globales comme on l’a déjà vu en chapitre 2.

D’autre part, on a besoin d’un système de coordonnées dit local à cause de la position de son

origine à l’intérieur de l’élément fini. Il présente l’avantage de faciliter la construction de la

géométrie ainsi que l’évaluation des calculs des intégrales.

Cet avantage devient plus apparent lorsque ces intégrales contiennent des produits de

fonctions de forme tel que :

)(21 ).().,(

edxdyxNyxN ; dx

dx

xdN

dx

xdN

e

.)(

.)(

)(

21

(3.24)

(3.23)

+1

+1 -1

-1 1 2

3 4

x

y

1

2

3 4

Transformation (3.11)

Figure 3.16 : Transformation d’un élément fini standard vers un quadrilatère



Pour des éléments finis linéaires les termes de ces intégrales sont de simples polynômes et les

intégrales sont faciles à évaluer, ce qui n’est pas le cas pour des éléments fini d’ordre

supérieur.

Aussi est-il plus facile de construire les fonctions de forme dans un système local dont

l’origine sera au centre de l’élément et de normaliser les coordonnées leurs permettant une

variation entre -1 et +1 en vue d’une intégration facile selon la méthode de Gauss.

On obtient alors des éléments finis plus simples tel que le triangle, le carré, le tétraèdre et le

parallélépipède.

On appellera ces éléments, "éléments de référence" figure 3.17 pris dans cette base

cartésienne et orthonormée dite "normalisée".

Elément Triangulaire 2-D

Elément Rectangulaire 2-D

Linéaire Quadratique Cubique

(1, -1)

(-1, 1) (1, 1)

(-1, -1)

(1, -1)

(-1, 1) (1, 1)

(-1, -1)

(1, -1)

(-1, 1) (1, 1)

(-1, -1)

Linéaire Quadratique Cubique

Figure 3.17: Eléments finis de Référence (Parents) de type ‘Serendipe’



B- Système de coordonnées naturel

Il représente une base locale dont les propriétés intrinsèques, qui tiennent compte des

dimensions de l’élément et une écriture de paramètres invariants, sont proches de celles des

fonctions de forme étudiées auparavant.

Elément Fini Triangulaire- 2D :

Un system de coordonnées naturel pour un élément fini triangulaire (système barycentrique)

est défini sur la figure 3.18 :

Li= Ai/A (3.25)

avec A=A1+ A2 + A3

Li- i=1, 2, 3 représente les coordonnées barycentriques qui définissent une ligne de

coordonnées selon la figure 3.19.

La relation entre les deux systèmes de coordonnées, cartésien et naturelle :

),(),,( 321 yxLLL ;

ii

ii

yLy

xLx

.

. (3.25)

1

2

3

L1=1.00

L1=0.75

L1=0.50

L1=0.25

L1=0.00

Figure 3.19 : Représentation de coordonnée naturelle L1-

Lignes parallèles au coté 2-3

Figure 3.18 : Représentation du system de coordonnées barycentriques

A1

A3

A2

L1 L2

L3

2

1

3

x

y (x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)



La relation sous forme matricielle s’écrit comme suit :

1

.

1111

...

...

3

2

1

321

321

321

332211

332211

y

x

L

L

L

yyy

xxx

LLL

yLyLyLy

xLxLxLx

(3.26)

La résolution selon les Li donne :

1

.

)()()(

)()()(

)()()(

2

1

12211221

31133113

23322332

3

2

1

y

x

yxyxxxyy

yxyxxxyy

yxyxxxyy

AL

L

L

(3.27)

A étant l’aire du triangle.

Au regard des équations (3.27) on constate que les coordonnées Li possèdent la propriété

C0 des Fonctions de Forme Ni en plus on les relations suivantes :

11 LN 22 LN 33 LN (3.28)

Remarque : Il sera facile d’intégrer des polynômes en terme de coordonnées naturelles

(barycentriques) on peut utiliser les relations suivantes :

lldlLL .

)!1(

!!.. 21

(3.29)

AdALLLA

2.)!2(

!!!... 321

(3.30)

L’équation (3.29) est utilisée pour évaluer une intégrale, qui est fonction de la longueur l, le

long de la frontière de l’élément. La distance entre deux nœuds est noté ‘l’.

La relation (3.30) est utilisée pour évaluer des intégrales de surface.

3.6 Cas de problèmes d’éléments finis bidimensionnels de classe C0 :

A- Rappel et formulation de la théorie de base

Pour le cas de problèmes 2D de classe C0, il est important de faire appel à la théorie de base

de l’élasticité, qui prend en compte les quantités physiques suivantes :

Déplacement en un point, représenté par un vecteur colonne.

Twvuu (3.31)

Matrice de contraintes dans l’élément (matrice carrée et symétrique)



ZZYZX

YZYYX

XZXYX

(3.32)

Matrice de déformations dans l’élément (matrice carrée et symétrique)

ZZYZX

YZYYX

XZXYX

(3.33)

Dans cette section particulière on fixera notre attention sur le problème d’élasticité plane.

Il existe deux méthodes de base par le biais desquelles une réduction dans la théorie

tridimensionnelle de l’élasticité linéaire peut être envisagée.

En général, les contraintes et les déformations dans une structure se composent de six

composants, figure 3.20.

x ,

y ,

z , xy , yz , xz pour les contraintes

et

x , y , z , xy , yz , xz pour les déformations

Les déformations en un point sont fonction des déplacements u, v, et w tel que :

y

u

x

v

x

uXYX

z

v

y

w

y

vYZY

(3.34)

Figure 3.20 : Volume élémentaire de contraintes pour l’équilibre interne

X

Y

Z

x

xy

xz

y

yx

yz

z

zx

zx



x

w

z

u

z

wZXZ

Pour un cas de structure linéairement élastique et dont le matériau est homogène et isotrope,

les relations contraintes déformation sont données par la loi de Hooke :

0

0

0

0

0

0

0 ..

XZ

YZ

XY

Z

Y

X

XZ

YZ

XY

Z

Y

X

XZ

YZ

XY

Z

Y

X

CC

(3.35)

Avec C la matrice caractéristique des propriétés élastique du matériau définie par :

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

.1

EC (3.36)

ε0- vecteur de déformations initiales

E – module de Young

- coefficient de poisson.

Et on note que )1(2

EG module de cisaillement

Dans les cas d’effet de température pour un matériaux isotrope, le vecteur de déformations

initiales est donné par :

0

0

0

1

1

1

.0 T (3.37)



Où α est le coefficient de dilatation thermique

et T est la variation de température

Parfois on a besoin des expressions de contraintes en fonction des déformations, ceci peut être

obtenu en inversant les équations (3.58).

On obtient alors en ajoutant les déformations dues à la température les relations suivantes :

0

0

0

1

1

1

.21

..).( 0

TEDD

XZ

YZ

XY

Z

Y

X

XZ

YZ

XY

Z

Y

X

(3.38)

Où la matrice D est donnée par :

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

.)21)(1(

ED (3.39)

Sous des conditions spécifiques, l’état des contraintes et de déformations peuvent être

simplifiées.

B- Contraintes planes et déformations planes

De ce fait une analyse de structure tridimensionnelle 3-D peut être réduite à une analyse

bidimensionnelle 2-D avec deux types de distribution de contraintes possibles, contrainte

plane et déformation plane.

Contrainte plane

Ce cas est applicable pour des structures dont la dimension est petite selon une des

directions des axes de coordonnées.



Donc l’analyse de plaque mince chargée dans le plan de la plaque peut être considérée

selon le modèle de contraintes planes.

z = yz = zx = 0 ( x = 0) (3.40)

Cas de structure plane mince avec épaisseur constante et le chargement pris dans le plan

de la structure (plan x-y) figure 3.21 .

On peut aussi inclure dans cette catégorie les exemples de problèmes de plaques de

poutres à caisson et les plaques formant la partie de l’âme d’un profilé PRS par exemple –

figure 3.22.

z

y

x

y

z

y

Figure 3.21 : Exemple de structures planes à épaisseur constante

(a)

Figure 3.22 : (a) Plaque perforée

(b) Plaque formant l’âme d’un PRS

(b)



Déformations planes

Ce cas s’applique pour des structures longues dont la géométrie et le chargement ne varie

pas d’une façon signifiante selon la direction longitudinale.

On considère que les composants de déplacement < u , v , w >T on la forme particulière

suivante :

u=f(x,y) v=g(x,y) w=o (3.41)

ceci implique que les seules composantes de déformations non nulles sont x , xy , yy

tel que les déformations apparaissent dans le plan z=constante ; d’où la terminologie

‘déformation plane’.

z = yz = zx = 0 ( z = 0 ) (3.42)

L’analyse de barrages, murs de soutènement par exemple figures 3.23 (a), (b), rentrent

dans ce cas précis, il faut toutefois prévoir des sections d’études loin des extrémités de la

structure pour avoir une bonne approximation.

(b) Mur de soutènement (a) Barrage

Figure 3.23 :(a),(b) Exemples d’ouvrages sous déformations planes

Section sous

Déformation plane



C- Relation contrainte- déformation :

Etat de contrainte plane

0

1

1

1

...

2

100

01

01

.1 2

TEE

XY

Y

X

XY

Y

X

(3.43)

Soit = D + 0

Avec 0 = - D . 0

Etat de déformation plane plane:

Pour l’état de déformation plane on prends pour D l’expréssion suivante :

2

2100

01

01

.)21)(1(

ED (3.44)

D- Formulation de la matrice de rigidité

Relations déformation –déplacement

Pour de faibles déformations on a les relations suivantes à partir des équations (3.34):

v

u

xy

y

x

XY

Y

X

.0

0

(3.45)

soit uL.. (3.46)

A partir de cette relation on reconnaît que les déformations (donc les contraintes aussi) sont

d’un degré inférieur par rapport aux déplacements, si ces derniers sont représentés par une

interpolation polynomiale.



Matrice de rigidité

Les déplacements (u,v) dans un élément plan sont interpolés à partir des déplacements nodaux

(ui , vi ) en utilisant les fonctions de formes Ni comme suit :

n

n

n

n

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

v

uu

2

2

1

1

21

21.

000

000

U = N . a.

N – matrice des fonctions de forme

u – vecteur de déplacement

a - vecteur de déplacement nodal

à partir de la relation déformation-déplacement (3.46) on a le vecteur de déformation :

aNLuL ...

soit aB.

avec NLB . matrice déformation-déplacement

On obtient alors et de la même manière que pour le cas du 1-D (2.72), la nouvelle écriture de

la matrice de rigidité pour le cas général soit :

dvBDBKv

T... (3.49)

Remarque2 : similairement à la remarque1, tenant compte du fait qu’on travaille toujours par

rapport à un élément fini de référence dans sa base locale (ξ, η) dans un espace 2-D ou (ξ, η,

) dans un espace 3-D, on procède par le Jacobien J à une transformation pour un assemblage

dans une base globale.

Si l’élément fini possède une épaisseur variable ti définie aux nœuds i, l’épaisseur t en un

point arbitraire de l’élément s’écrit en utilisant les fonctions de forme, soit :

ii tNt . (3.50)

(3.47)

(3.48)



La matrice de rigidité s’écrit alors sous la forme :

ddJtBDBdAtBDBKA

TT.........

1

1

1

1

(3.51)

J est donc fonction de ξ, η, selon le problème et de ce fait B inclura ces coordonnées de base

locale et l’intégrale (3.74) ne sera mieux évaluer que numériquement par la méthode de Gauss

quadrature.

E- Equations d’équilibre et conditions aux limites

Selon la théorie d’élasticité, les contraintes dans la structure doivent satisfaire les équations

d’équilibre.

0

0

y

yxy

x

xyx

fyx

fyx

Où fx et fy sont les forces de gravité (forces internes) par unité de volume tel que le poids

propre.

Il est à la fin important d’appliquer les conditions aux limites essentielles imposée sur la

variable u (u ,v) ,par exemple :

u= u , v= v (3.53)

u et v sont des valeurs fixes

sur une partie de la frontière 1 du domaine D et sur les forces de traction (contrainte aux

limites ) sur une partie de la frontière 1 (figure 3.24):

tx = t x , ty = t y (3.54)

On notera que par la MEF tous les types de charges (uniformément repartie, poids propre,

charge concentrée), sont transformé en charges concentrées localisés aux nœuds.

(3.52)

1Γ

2Γ

Figure 3.24: Conditions aux limites



3.7 Intégration numérique – Méthode de Gauss:

La méthode se base sur l’évaluation d’une fonction à un certain nombre de points, en

multipliant ensuite le résultat par un coefficient de pondération appelle aussi facteur poids

et en sommant enfin l’ensemble des résultats.

En application à la matrice de rigidité chaque coefficient ijk de K peut être considéré

comme une fonction f susceptible d’être intégrée sur la longueur de l’élément, sa surface ou

son volume. Cependant afin de satisfaire les conditions de la méthode de Gauss on prendra

une autre fonction g, tel que )(gg dans le 1-D, ),( gg dans le 2-D, et

),,( gg pour les problèmes 3-D.

A. Intégration dans un espace unidimensionnel 1-D

Soit f(x) la fonction figure 3.25 et I son intégrale définie à évaluer pour 21 xxx :

tel que

2

1

).(x

xdxxfI (3.55)

qui doit être transformée sous la forme suivante :

1

1).( dgI (3.56)

C’est sous cette nouvelle forme que l’intégrale numérique de Gauss peut être appliquée.

La transformation )()( gxf , inclus le Jacobien d

dxJ qui pour un élément fini 1-D à

deux nœuds s’écrit comme :

2

12 xxJ

(3.57)

x

y

x1 x2

f(x)

Figure 3.25: Fonction à intégrer dans un espace 1-D



La manière la plus simple et la plus directe le calcul de I (3.79) est d’évaluer g au milieu de

l’intervalle figure 3.26 et de le multiplier par la longueur de celui-ci pour obtenir le résultat :

12 gI (3.58)

Ce résultat sera vrai si seulement la courbe est une ligne droite.

En généralisant on obtient l’écriture suivante :

nn

n

i

ii gWgWgWgWdgI ...)(.. 2211

1

1

1

(3.59)

Où les Wi représentent les coefficients de pondération.

Les ξi représentant les points d’intégration (points de Gauss).

Wi et ξi sont choisi d’une façon optimum à 2n conditions et g(ξ) une fonction polynomiale

d’ordre )12( nm .

La figure 3.26 (b) et (c) présente des exemples pour n=2 et n=3

On retient aussi les propriétés suivantes des points d’intégration de Gauss :

11 i les abscisses i sont symétriques par rapport à 0 ,

iW 0,

Pour deux points symétriques les valeurs de iW sont les mêmes,

Le tableau 3.1 donne les valeurs i et iW pour chaque valeur de n.

g

ξ -1 +1

g1

1

(a)

Figure 3.26 : Intégration de la fonction g=g(ξ) dans un espace 1-D

selon 1, 2 et 3 points de Gauss (a),(b),et (c) respectivement

ξ -1 +1

(b)

0

a a

3

1a

1 2

g1 g2

I g1+g2

ξ -1 +1

(c)

b b 1 2 3

g1

g2 g3

6.0b I5/9.g1+8/9.g2+5/9.g3



Tableau 3.1 : Valeurs i et iW -Intégration de Gauss

Nombre de points

de Gauss-n

Valeurs de

ξi

Facteur de pondération

Wi

2

3

4

5

6

±0.577350= 31

±0.774597= 6.0

0.0

±0.861136

±0.339981

±0.906180

0.0

±0.538469

±0.932469

±0.661209

±0.238619

1.0

0.555556 = 95

0.888889 = 98

0.347855

0.652145

0.236927

0.568889

0.478629

0.171324

0.360762

0.467914

Exemple : On considère un polynôme de 3ieme

degré 3

4

2

321 aaaag

Où les ai sont des constantes. L’intégrale exacte entre -1 et +1 est :

1

131

3

22. aadgI (3.60)

La règle d’intégration d’ordre 1 donne une première approximation 01 2aI .

En prenant 2 points d’intégration avec 311 et 312 on obtient :

3

3

2

321

3

4

2

32123

1

3

1

3

1(0.1

3

1

3

1

3

1(0.1

aaaaaaaaI

313

22 aa (3.61)

On peut aussi vérifier que 2 est le nombre de points nécessaire pour une intégration exacte à

par tir de la relation 2123 nnm

B. Intégration dans un espace à deux dimensions (2-D)

Les règles d’intégration de Gauss dans un espace multidimensionnel, appelé règles de produit

de Gauss, sont obtenues par application successive des règles unidimensionnelles (1-D)



Elément fini quadrilatère :

Dans un espace 2-D l’élément fini rectangulaire représente un cas particulier de l’élément

quadrilatéral, on considère la fonction ,g et on choisit à intégrer par rapport à ξ en

premier et ensuite par rapport à η soit :

dgWddgIn

i

i .),(..).,(1

1

1

1

1

11

n

j

n

i

n

j

jiji

n

i

jiij gWWgWW1 1 11

),(..),(.

Pour un point d’intégration, 1gg est déterminée au point ξ = η = 0 tel que 14gI dans

un espace 2-D.

Pour quatre points d’intégration tel que représenté dans la figure 3.27 (a), WiWj=1 à

chaque point de Gauss et l’intégrale (3.62) donne :

4321 ggggI (3.63)

Où gi représentent les valeurs numériques de g au i-eme point de Gauss.

Pour neuf points de Gauss, figure 3.27 (b) l’équation (3.62) donne :

98642973181

64)(

81

40)(

81

25gggggggggI (3.64)

Remarque : Les points d’intégration nécessaire pour une intégration exacte d’un polynôme

dans un espace à deux dimensions s’illustre bien par une représentation sur le triangle de

Pascal figure 3.28.

(3.62)

ξ

η

1

2

3

4

ξ=3

1 ξ=

3

1

η=3

1

η=3

1

ξ

η

1

2

3

4 7

6

5 8

9

ξ= - 6.0

ξ= 6.0

η= - 6.0

η= 6.0

Figure 3.26 : Position des points d’intégration d’une fonction g=g(ξ,η)

(a) 2 points de Gauss ; (b) 4 points de Gauss

(a) (b)



A considérer qu’il s’agit ici de la fonction à intégrer g et non pas d’une fonction de

déplacement.

En prenant comme degré du polynôme complet la somme l+m la somme, on constate par

exemple, que tous les termes quartique exception faite pour 4 et 4 peuvent être intégrés

exactement par 2x2 points de Gauss.

Tous les termes du polynôme dans le Triangle de Pascal figure 3.28 jusqu’aux limites de

forme V peuvent être exactement intégrés par la méthode de Gauss d’ordre 1 et 2

respectivement.

Elément Triangulaire:

Les intégrales faisant intervenir des Eléments Finis Triangulaires sont mieux exprimées en

terme de coordonnées barycentriques (3.25) ou de surfaces Li, introduites dans ce chapitre.

La formulation suivante donne une écriture équivalente type intégrale de Gauss :

n

i

iii

i

A

LLLfWdALLLfI1

)(

3

)(

2

)(

1321 ),,(.).,,( (3.65)

pour n=1 (élément triangulaire linéaire):

3

1;1 )1(

3

)1(

2

)1(

11 LLLW (3.66)

pour n=2 (élément triangulaire quadratique) :

0,2

1;

3

1 )1(

3

)1(

2

)1(

11 LLLW

Ordre ξl.η

m

1

ξ η

ξ2 ξ η η

2

ξ3 ξ

2 η ξ η

2 η

3

ξ4 ξ

3 η ξ

2 η

2 ξ η

3 η

4

ξ3 η

2 ξ

2 η

3

ξ3 η

3

Constant (l=m=0)

Linéaire (l+m=1)

Quadratique (l+m=2)

Cubique (l+m=3)

Quartique (l+m=4)

1

1

1

1... ddI ml

Points de Gauss

pour I exacte

1 point

2x2

Figure 3.28 : Précision de la méthode de Gauss en 2-D



2

1,0;

3

1 )2(

3

)2(

2

)2(

12 LLLW (3.67)

0,2

1;

3

1 )3(

2

)3(

3

)3(

13 LLLW

Les positions des points d’intégration de Gauss pour ces deux exemples sont montrées sur la

figure 3.29.

C. Intégration dans un espace à trois dimensions (3-D)

L’intégrale de Gauss prend la forme suivante :

1

1

1

1

1

1),,(..).,,(

i j k

kjikji gWWWdddg (3.68)

D. Transformation du domaine d’intégration (base globale-base locale)

Dans un espace 1-D :

On cherche à évaluer l’intégrale I suivant les bornes d’intégration a et b, figure 3.30

dxxfIb

a.)( ; ab

2.

2

ababx (3.69)

dab

dx .2

n

i

ii xfWab

dab

xfI1

1

1)(.

2

).

2

).)( (3.70)

Pour chaque valeur de )( ii x

Substituer )()( xfx i

1

1

2

3

Figure 3.29: Position des points d’intégration dans l’élément fini triangulaire

(a) Linéaire (b) quadratique

(a) n=1 (b) n=3



Dans un espace 2-D

dxdyyxfdxdyyxfA

b

a

xh

xh..),().,(

)(

)(

2

1 ( cdetab ) (3.71)

Cas particulier : A est un rectangle et l’intégrale possède des bornes d’intégration constantes, figure 3.32.

A

b

a

d

cdxdyyxfdxdyyxfI .).,().,( (3.72)

ξ

η

-1

-1

+1

+1

A

a b

c

d

x

y

Transformation

Figure 3.32: Transformation d’un domaine rectangulaire en un carré standard

ξ

η

+1 -1

)()( xfg

a b

f(x)

x

y

Transformation

(3.69)

Figure 3.30 : Transformation dans une base 1-D normalisée

b

A

x

y

a

)(2 xhy

Figure 3.31 : Domaine d’intégration 2-D

)(2 xhy



ddyxfcdab

I .)(),(2

.2

1

1

1

1

(3.73)

2.

2

2.

2

dccdy

baabx

(3.74)

L’intégrale de Gauss s’écrit comme suit :

n

i

m

j

jiji yxfWWcdab

I1 1

)(),(..22

(3.75)

Cas général : A est un quadrilatère et l’intégrale I possède des bornes d’intégration

variables, figure 3.32.

L’intégration est effectuée selon le changement de variable selon la transformation :

),(),(),(

),(

TIONTRANSFORMAyx

yy

xx

Soit non singulière : 0)det( J

A

Jyxfdxdyyxf1

1

1

1)det(.),(),,().,( (3.76)

n

i

ji

m

j

jijiji JyxfWW1 1

,(det.),(),,(. (3.77)

x

y

A

Figure 3.32 : Domaine aux bornes d’intégration variables



tel que

yx

yx

J (3.78)

Avec le Jacobien : det( J )0

a/ Dans un espace 3-D :

x y z

dxdydzzyxfI ).,,( (3.79)

dddJzyxf .)det(),,(1

1

1

1

1

1

(3.80)

),,(det.,,(),,,(),,,(.1 1 1

kjikjikjikji

n

i

m

j

r

k

kji JzyxfWWWI

(3.81)

avec

zyx

zyx

zyx

J (3.82)

3.8 Intégration de la matrice de rigidité :

On considère l’intégration numérique qui permet de générer les éléments de la matrice de

rigidité élémentaire )(e

K d’un élément fini quadrilatéral plan.

Le processus étant le même pour un élément fini possédant plus de quatre nœuds, seulement

les dimensions des matrices de déformation B et de rigidité élémentaire )(e

K sont plus larges.

Aussi quel que soit l’ordre de la matrice, chaque cœfficient jik est traité comme la fonction g

dans l’équation (3.85). Pour n’importe quel élément fini plan la matrice Jacobéenne J est d’un

ordre 2x2.



L’algorithme pour les séquences d’intégration numérique, peut être établi comme suit :

Initialiser la matrice)(e

K , choisir un nom de variable indicée, KE par exemple.

Faire une boucle (DO-Loop) sur les points d’intégration, sens de (pour i=1 à ni )

Introduire (Bloc Data) les points de Gauss i et leurs cœfficient de pondération

Wi Faire une boucle sur les points d’intégration, sens de (pour j=1 à nj )

Introduire (bloc data) les points de Gauss j et leurs cœfficient de

pondération Wj Faire appel (Call) au sous-programme (fonction) qui calcul la matrice B,

l’épaisseur t, et le Jacobien )det( J , au niveau de chaque points ),( ji

Calculer le produit de matrices ji

TWWJtBDB ).det(.... et l’ajouter à la matrice

Ke Fin de boucle sur l’indice j

Fin de boucle sur l’indice i

Etapes pour l’écriture d’un sous-programme de fonctions de forme pour établir: B , t, det ( J )

aux points de Gauss

Pour chaque valeur de point de gauss de l’algorithme précédent :

Calculer les fonctions de forme et leurs dérivées par rapport à ξ et η

Calculer l’épaisseur iitNt à partir des valeurs nodales des épaisseurs

Calculer la matrice Jacobienne J, son déterminant et son inverse.

Calculer la matrice de déformation B (pour l’élément fini plan selon les formulations données

dans ce chapitre)


Chapitre 4

Application à des problèmes

éléments finis ‘ 2D’ & ‘3D’

Projet de la Grande Mosquée d’Alger (en cours de réalisation):

Minaret de hauteur de 270 m composé de 37 étages &

Coupole en hémisphère de diamètre de 50 mètres, culminant à une hauteur de 70 mètres

Chapitre4- Application des éléments finis de base, aux problèmes de classe C1 et C

0


4.1 Applications au problème ‘1D’ de Barre

1- On reprend l’exemple de la barre figure 4.1 sous l’effet de charge axiale

P à son extrémité, en plus elle est soumise à une température uniforme T :.

On cherche le déplacement yD produit par P et T en utilisant l’énergie potentielle totale

minimum du système.

avec 0. yyy E ou ).( 0 yy E (4.1)

où LyDy et TEy 0

L’équation de l’énergie potentielle s’écrit :

PyTAEyL

yAEPydyATE

L

y

L

yE DD

DD

LDD

P ....2

.....)(

2

12

0

2

(4.2)

On obtient le déplacement à l’extrémité Dy à partir de l’équation 0 DP dyd :

LTAE

PLyD .. (4.3)

La contrainte y évaluer à partir de (4.1) donne :

A

PTET

AE

PEy

.

. (4.4)

Qui est le résultat escompté.

2- On reprend l’exemple de la barre mais cette fois, ci on applique la force

axiale P à la position L/3, figure 4.2 et on cherche le vecteur de charges équivalent ?

L/3 2L/3

P y

L

T(°C)

Figure 4.2 : Barre soumise à charge axiale située au 1/3 de la travée

1 2

y

T(°C)

P

L

Figure 4.1 :Barre uniforme sous une charge

axiale, et plus un effet de température.


0


Le vecteur charges équivalentes )(.)3( 0 TdeeffetfPLyNFT

(4.5)

avec dyATEBf

LT

.)..(0

0 (4.6)

et T

N et T

B sont pris à partir de (2.63) et (2.65) respectivement.

L’effet de la températureT peut être considéré comme une variation, telle que :

D’où

1

1..

3

32TAE

P

PF (4.7)

3- Méthode des déterminants de l’élément fini 1-D quadratique figure 2.27

Soit la fonction de déplacement pour un élément fini unidimensionnel quadratique:

u(x)= a1+a2x+a3x2 (4.8)

G = < 1, x, x2> (4.9)

Hi = G (x=xi i=1, 2, 3) ;

H1=<1, 0, 0> ; H2=<1, L/2, L2/4>

H3=<1, L, L2>

4

142

1

0013

2

2 L

LL

LLD ; 223

2

2

2

124

3

41

421

1

xL

xLL

LL

LL

xx

D G

22

2

2

2

1

1

001

LxxL

LL

xxD G 2

2

2

2

324

142

1

001

xL

xL

xx

LLD G

Les fonctions de forme s’expriment comme :

2

2

1

1

231)( x

Lx

LD

DxN G ; 2

2

2

2

44)( x

Lx

LD

DxN G

(4.11)

2

2

3

3

21)( x

Lx

LD

DxN G

(4.10)


0


On peut aussi constater que les résultats sont similaires à ceux obtenus, par le premier

procédé.

4. On reprend l’exemple l’élément fini barre quadratique à 3 nœuds.

On cherche à déterminer la nouvelle forme d’écriture des fonctions de forme par rapport aux

coordonnées naturelles par la relation de transformation pour un cas plus général figure 4.3.

Utilisons la méthode des déterminants :

21 G

111)1(1 GH ; 001)0(2 GH

111)1(3 GH

2

111

001

111

D ;

2

2

1

111

001

1

GD ; )1(2

111

1

11122

2

GD ;

2

2

3

1

001

111

GD

1 2 3

1 1

Figure 4.3: Elément fini barre quadratique à 3 nœuds

(a) Elément fini modèle 1-D

(b) Elément fini normalisé

1 2 3

x1

x2

x3

L

x

(a) (b)


0


)(2

1)( 21

1 D

DN G

22

2 1)( D

DN G (4.12)

)(2

1)( 23

3 D

DN G

La détermination de la position (coordonnée) et du déplacement en n’importe quel point de

l’élément dans la base globale, se déduit de:

3

2

1

x

x

x

Nx et

3

2

1

u

u

u

Nu (4.13)

Nous avons trois coordonnées nodales 3,2,1, ixi et trois degrés de liberté représentant des

déplacements axiaux. Les mêmes fonctions de forme dans les deux expressions (4.13) sont

utilisées ce qui a permis de donner à cet élément l’appellation d’élément isoparamétrique.

Le passage de la base locale vers la base globale se fait par le biais de l’expression d

dx qui

représente le Jacobien J ; un facteur multiplicateur qui décrit la correspondance de la longueur

réelle par rapport à celle de référence dans la base locale :

3

2

1

3

2

1

)21(2

12)21(

2

1)(

x

x

x

x

x

x

Nd

d

dxJ

(4.14)

J est utilisé pour la détermination de la déformation axiale.

1

1

1

Figure 4.4: représentation graphique

des fonctions de forme


0


5 - Une barre de section droite uniforme A modélisée par

Le même élément fini quadratique de l’exemple 3 ci-dessus (figure 2.27), qui présente un

nœud interne supplémentaire, et on cherche une expression pour sa matrice de rigidité

élémentaire Ke ?

Les fonctions de forme N dans la base locale étant connues, la déformation axiale dans

l’élément est :

aB

u

u

u

Ndx

d

dx

dux ..

3

2

1

avec

d

d

dx

d

dx

d. (4.15)

Soit J le Jacobien donné par :

3

2

1

3

2

1

.)21(2

12)21(

2

1.

x

x

x

x

x

x

Nd

d

d

dxJ

(4.16)

D’où on peut écrire aBJd

dux .

1.

Avec )21(2

12)21(

2

1.

1)(.

1

JN

d

d

JB (4.17)

La matrice de rigidité élémentaire s’écrit comme suit :

l TTedJBAEBAdxBEBK

0

1

1

)(....... (4.18)

Remarque1 : le Jacobien (2.84) devient une constante J= L /2 si et seulement si le nœud 2 se

trouve au milieu de l’élément sachant que x2-x1=L/2 et x3-x2=L/2.

Dans le cas général J est fonction de et de ce fait B inclura cette variable au numérateur

ainsi qu’au dénominateur au niveau de chaque terme, et l’intégrale (4.35) ne peut être évalué

sous sa forme compacte.

On fait appelle alors à la forme d’intégration la plus pratique pour la MEF à savoir

l’intégration numérique par la méthode de Gauss, présentée au niveau du chapitre 3.


0


4.2 Applications au problème de classe C1 élément fini type Hermitien.

1- Fonctions de forme pour un le cas de la flexion d’une poutre

Les éléments finis que nous avons considérés, se caractérisent tous par le fait qu’à chaque

nœud correspond un seul degré de liberté et ne nécessite qu’une seule condition au limite

essentielle, d’où l’appellation de classe C0.

Cependant pour les problèmes à une dimension d’ordre quatre , tel que la flexion d’une poutre

de longueur L, de moment d’inertie I et de module de Young E, figure 4.5, dont l’équation

gouvernante découle de la théorie d’Euler –Bernoulli, on peut avoir jusqu’à deux conditions

au limite essentielles imposées à chaque nœud i et j, d’où l’appellation de classe C1.

Des éléments finis à un degré de liberté sont inutiles pour résoudre ce type de problème.

On considère alors comme fonction de déplacement, un polynôme cubique à quatre

paramètres, comme un ordre le plus réduit possible.

3

4

2

321)( xaxaxaaxu (4.19)

Les fonctions de forme qui seront utilisées dans l’écriture de la fonction de déplacement sont

appelées, fonctions de forme Hermite et l’élément fini correspondant est dit Hermitien.

La méthode des déterminants peut être appliquée pour la détermination de ces fonctions de

forme si on définit les vecteurs suivants :

321 xxxG

)( ii xxGH 2,13210 2 ixxdx

dH i

x L

Qx

P1

P2

E,I A.N

i

d2/dx

2[EI(x)d

2/dx

2]=Q(x) 0 ≤x≤l

Figure 4.5 : Cas de poutre en flexion- équation différentielle d’ordre quatre

Modélisation par Elément fini 1D, Hermitien, à deux nœuds i et j

Hermite

j


0


On définit aussi :

dx

dHH

dx

dHHD 2

21

1det (4.20)

avec DiG comme défini au chapitre 2, par l’équation (2.87) , et les fonctions de forme

sont exprimées par :

4,3,2,1 iD

DN iG

i

4

2

32

3210

1

0010

0001

L

LL

LLLD

3224

2

32

32

1 23

3210

1

0010

1

LxxLL

LL

LLL

xxx

D G ;

32234

2

32

32

2 2

3210

1

0

0001

xLxLxL

LL

LLL

xxxD G

322

2

323 23

3210

1

0010

0001

LxxL

LL

xxxD G

2332

32

324

0

1

0010

0001

xLxL

xxx

LLLD G


0


Les fonctions de forme sont :

3

3

2

2

1

1

231)(

L

x

L

x

D

DxN G

2

32

2

2

2)(

L

x

L

xx

D

DxN G

3

3

2

2

3

3

23)(

L

x

L

x

D

DxN G

2

32

4

4 )(L

x

L

x

D

DxN G

On peut aussi vérifier que :

N1+N3 =1

N2+N3.L +N4 = x

Ceci veut dire que u(x) est susceptible capable de représenter un mouvement de corps rigide

qui est une caractéristique du principe de l’état complet que doit respecter toute fonction

d’interpolation.

1

1

1

1

L x=0 x=L Fonctions de forme

Au nœud x=0 Au nœud x=L

Ni dNi/dx Ni dNi/dx

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

N1(x)

N2(x)

N3(x)

N4(x)

Figure 4.6: Représentation graphique de fonctions de forme à approximation

cubique et vérification des propriétés évidentes en x=0 et en x=L.

(4.22)

(4.21)


0


2- Matrice de rigidité élémentaire :

En procédant de manière similaire, on va confirmer les résultats obtenus par la méthode

directe pour le cas d’une poutre uniforme (sans déformation de cisaillement transversale)

figure 2.12.

Dans la formulation d’un élément poutre on fait intervenir le moment M et la courbure k au

lieu de la contrainte et de la déformation.

kEIM Z 2

2

dx

vdk (4.23a)

aNv . aBk . (4.23b)

Les fonctions de forme N sont données par les relations (4.21).

Avec T

ZZ vva 2211 degrés de liberté nodaux

On déduit :

2322322

2 6212664126)(

L

x

LL

x

LL

x

LL

x

LN

dx

dB (4.24)

avec E et IZ constants, la matrice de rigidité élémentaire est obtenue par :

L

ZZ

Te

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIdxBEIBK

0

22

22

3

)(

4626

612612

2646

612612

... (4.25)

3- Répartition de charge équivalente aux nœuds :

On cherche à déterminer les charges équivalentes aux nœuds, produites par une charge

uniformément répartie Q, figure 4.6.

On utilise à cet effet la deuxième intégrale de l’équation (2.75), avec Qt et

dxdA et L T

dxQNF0

.. (4.26)

x

Figure 4.7 : Elément poutre uniforme avec une

charge Q uniformément répartie

1 2

Q

L Z1 Z2

V1 V2


0


12

2

12

2

.

23

2

231

2

2

0

2

2

3

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2

QL

QL

QL

QL

dx

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

xx

L

x

L

x

QFL

(4.27)

Le signe négatif indique que la charge est dans le sens contraire aux conventions positives des

degrés de liberté, figure 4.7.

4.3 Applications au problème ‘2D’ de Classe C0 E.F. triangle linéaire à 3 nœuds ( T3)

C’est l’élément le plus simple figure 4.9, pour les problèmes plans (2-D), reconnu aussi sous

le nom d’élément triangle linéaire (T3). Il est aussi appelé, élément fini à déformation

constante.

1 2

Q

L

QL/2 QL/2

QL2/12 QL2/12

Figure 4.8 : Charges équivalentes nodales pour une charge Q

uniformément répartie appliquée entres les nœuds

Figure 4.9: Elément triangulaire à 3 Nœuds

6 degrés de liberté

u

1

v

1

u

2

v

2 u3

v

3

X

Y

1

2

3


0


La matrice de rigidité et de masse est obtenue en appliquant l’équation déduite précédemment

à partir de l’énergie potentielle minimum.

1 -Fonctions de déplacement et fonctions de forme

Les déplacements u et v sont considérés des fonctions linéaires dans l’élément :

yaxaav

yaxaau

654

321 (4.28)

ai ( i =1,2,….,6) sont des constantes et les déformations correspondantes sont :

2ax 6ay 53 aaxy (4.29)

Donc constantes à travers l’élément ; d’où le nom de triangle à déformation constante.

Les déplacements doivent satisfaire aux six (6) équations suivantes :

363543

262542

161541

333213

232212

131211

yaxaav

yaxaav

yaxaav

yaxaau

yaxaau

yaxaau

(4.30)

En résolvant ce système d’équations, on peut trouver les coefficients a1, a2 , …,a6 en

fonction des déplacements nodaux et des coordonnées.

En remplaçant ces coefficients dans (4.30) et en réorganisant les termes, on obtient :

3

3

2

2

1

1

321

321

000

000

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

v

u

(4.31)

où les fonctions de forme linéaires en x et y sont :

yxxxyyyxyxA

N )()()(2

1233223321

yxxxyyyxyxA

N )()()(2

1311331132 (4.32)


0


yxxxyyyxyxA

N )()()(2

1122112213

et

33

22

11

1

1

1

det2

1

yx

yx

yx

A (4.33)

A- représentant l’aire du triangle

2. Matrice de déformations B :

En utilisant la relation (4.30), les résultats (4.35) et (4.36) on obtient :

3

3

2

2

1

1

122131132332

211332

123123

.000

000

2

1.

v

u

v

u

v

u

yxyxyx

xxx

yyy

AaB

XY

Y

X

(4.34)

où .000

000

122131132332

211332

123123

yxyxyx

xxx

yyy

B (4.35)

et

jiji

jiji

yyy

xxx (i, j =1, 2, 3) (4.36)

On peut remarquer que les déformations sont constantes dans l’élément d’où l’appellation

élément Triangle à Déformations Constantes (TDC).

Pour la dérivation de la matrice de déformation, on considère un matériau isotopique.

Les cas de contraintes planes et de déformation plane peuvent être combinés pour donner la

matrice d’élasticité, qui exprime la relation contraintes déformations.

12

121

211

00

0

0

C

CCC

CCC

D (4.37)

avec

)1( 21

EC et 2C contrainte plane

et


0


)21)(1(

)1(1

EC et

)1(2

C déformation plane

et pour les deux cas,

2/)1( 2112 CCC

E- désigne le module d’élasticité de Young

3- Matrice de rigidité élémentaire Ke

La matrice de rigidité est formulée comme suit :

dvBDBv

Te

K .. = )(. BDBAeT

P (4.38)

où Pe – épaisseur de l’élément

à noter que K est de dimension (6x6) et que sont calcul relève d’un produit de matrices

seulement.

K – peut être alors écrite à partir de simples produits de matrices comme suit :

ABD

1.

12

121

211

00

0

0

C

CCC

CCC

122131132332

211323

123123

000

000

yxyxyx

xxx

yyy

(4.39)

Soit la matrice de rigidité sous la forme explicite suivante (4.40):

K=A

eP

.4

1212211212123112131212122312321212

2

2112112212113121312121321212321

2

2112213112211312212312213212

2

1211312211231132122112231

2

311213311231231323112

2

13113312113321132321

2

1312132312133212

2

13132312131231

2

2312322312

2

321322321

2

3212

231

...........

..............

.........

...........

.......

.........

.....

......

...

....

.

.

yCxyCyyCxyCyyCxyC

CxyCCxxCxyCCxxCxyCC

xCxyCxxCxyCxxC

yCxyCCyyCxyCCyyC

yCxyCyyCxyC

xCxyCCxxCxyCC

xCxyCxxC

xCxyCCyyC

yCxyC

xCxyCC

xC

yC

Remarque 1: l’écriture de K pour le T3 est simple ne faisant pas appel à l’intégrale

numérique, et son implémentation est donc facile.

SYMMETRIQUE

(4.40)


0


4- Formulation dans une base locale (, )

Les expressions des fonctions de forme dans les relations (4.32) et dans leurs dérivées

sont très lourdes et donnent moins d’informations sur le comportement de l’élément.

En introduisant les coordonnées naturelles ( , ) sur le triangle figure 4.10 , les

fonctions de forme se présents comme:

),(1N ),(2N 1),(3N (4.41)

tel que N1 + N2 + N3 = 1

et

noeudsautresinoeudau

Ni

01

A noter que les fonctions de forme varient linéairement à l’intérieur de l’élément.

La figure 4.11 schématise le graphe de la fonction de forme N1 , N2 et N3 présentant des

formes similaires.

0

1

Figure 4.11 : Fonction de forme N1 pour EDC (T3)

Figure 4.10: Représentation de l’élément T3 en coordonnées naturelles

ξ=0 η=0

ξ=1

ξ= a

η=1

η= b

(a,b)

1

2

3


0


Nous avons deux systèmes de coordonnées pour cet élément, le système de coordonnées

global (x, y) et le système de coordonnées local (ξ, η), liés via les relations suivantes :

332211

332211

yNyNyNy

xNxNxNx

soit

32313

32313

yyyy

xxxx

(4.42)

avec xij = xi – xj

et yij = yi – xj comme défini auparavant

Les déplacements u , v dans l’élément peuvent être considérés comme fonction de (x,y) ou (ξ,

η) comme:

yuxu

J

yuxu

yx

yx

u

u

(4.43)

J - matrice Jacobienne

2323

1313

yx

yxJ

1323

13231

2

1

xx

yy

AJ (4.44)

avec dét ( J ) = 2 x13 y23 – x23 y13 = 2A

et A- Aire du triangle


0


à partir de (4.41),(4.42, (4.43), (4.44) on en déduit :

u

u

xx

yy

A

y

u

x

u

.2

1

1323

1323 (4.45)

32

31

1323

1323..

2

1

uu

uu

xx

yy

A (4.46)

De la même manière on a :

32

31

1323

1323.

2

1

vv

vv

xx

yy

A

y

v

x

v

(4.47)

Par l’utilisation de (4.41) et (4.42) et les relations suivantes :

aBauLuL ....

On obtient

212131132332

211332

123123

000

000

.2

1

yxyxyx

xxx

yyy

AB (4.48)

Ce qui représente la même expression que celle déduite en (4.35)

5- Relation de transformation - matrice de transformation locale –globale T

Dans la formulation qui vient d’être établie, la matrice de rigidité est traitée dans une base de

coordonnée générale. Cependant pour compléter l’analyse, il est nécessaire de faire appel à la

méthode de transformation de base introduite au chapitre 2. Si les axes dans la base locale ne

sont pas parallèles aux axes globaux de la structure toute entière figure 4.12.


0


Pour une correspondance des différentes matrices et vecteurs (déplacements, force, et ,

rigidité) d’une base locale à une autre globale, on utilise les relations suivantes :

ii uTu ./ ; fTf .

/ ; TKTK

Te..

/)( (4.49)

avec

CS

SC

CS

SC

CS

SC

T

0000

0000

0000

0000

0000

0000

Après résolution et obtention des différents déplacements aux nœuds, on peut déduire les

déformations et les contraintes dans l’élément fini comme:

aB. et aBD .. (4.51)

6- Traitement du problème de compatibilité inter-éléments

On se propose de vérifier par un exemple, la continuité de la fonction de déplacement le long

de la frontière commune 2-3 sur un maillage à éléments finis triangulaires à 3 nœuds, figure

4.13.

C=cos et S=sin

(4.50)

1

2

3

x

y

x'

y'

f '1x

f '1y

f '2x

f '2y

f '3x

f '3y

Figure 4.12: Orientation de l’élément fini triangulaire à 3 noeuds

u

v


0


On détermine dans un premier temps, les fonctions de forme appropriées pour chaque élément

fini, et on écrit ensuite le développement de la fonction de déplacement en tenant compte de

celles-ci.

Coordonnées des nœuds : 1 : (0,0) 2 : (1,0) 3 : (0,1) 4 : (1,1)

Connectivité :

Elément Nœuds(1,2,3)

[1] 1, 2,3

[2] 2, 4,3

Fonction de déplacement : u(x,y)= a1+a2 x+a3 y

Méthode des déterminants : G=< 1, x, y> ;

1

001

011

001

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

D

Elément [1] :

yx

yx

yxN 1

101

011

1

),(1 ; xyxyxN

101

1

001

),(2 ;

y

yx

yxN

1

011

001

),(3

La fonction de déplacement dans l’élément fini [1] s’écrit comme suit :

yuxuyxuyxu 321

]1[ )1(),( (4.52)

Figure 4.13 Discrétisation d’un domaine rectangulaire, par 2 éléments

finis triangles à 3 nœuds ayant une frontière commune

1 2

3 (+1,+1) (0,-1)

(+1,0) (0,0)

4

[1]

[2]

x

y


0


Elément [2] :

y

yx

yxN 1

101

111

1

),(1 ; yxyxyxN 1

101

1

011

),(2 ;

x

yx

yxN 1

1

111

011

),(3

La fonction de déplacement dans l’élément fini [1] s’écrit comme:

)1()1()1(),( 341

]2[ xuyxuyuyxu

L’équation de la frontière 2-3, commune aux deux éléments finis est 01 yx et les

déplacements le long de celle-ci s’écrivent comme suit :

)1(),( 32

]1[ xuxuyxu

),()1())1(1(),( ]1[

31

]2[ yxuxuxuyxu (4.53)

Ceci prouve que u(x,y) est continue le long de cette frontière.

7- Détermination de la matrice de rigidité élémentaire et des contraintes dans la

structure formée d’un élément fini T3, figure 4.14

On prend pour ce cas des conditions de contraintes planes. E=2.1x106daN/cm

2, =0.25,

eP=1cm (épaisseur). Les déplacements aux nœuds ont été déterminés soit :

cmu 0.01 ; cmv 006.01 cmu 0030.02 ; cmv 0.02

cmu 00.03 ; cmv 006.03

x

y

1

2

3 (0,1)

(0,-1)

(2,0)

Figure 4.14 : Structure formée d’un élément fini triangulaire à 3 noeuds


0


On calcule en premier les xij et yij (4.39) :

1103223 yyy 2202332 xxx

2)1(11331 yyy 0003113 xxx

1012112 yyy 2021221 xxx

D’où la matrice B : (4.34), (4.47)

122012

200020

010201

.)2(2

1B ;

avec A à partir de (4.33) : 2

101

021

101

2

1

A

La matrice d’élasticité D pour un cas de contraintes planes (4.37) s’écrit:

375.000

0125.0

025.01

.)25.0(1

101.22

6xD

Les expressions de B et de D sont substituées dans (4.38) de la matrice de rigidité Ke :

122012

200020

010201

)2(2

1.

375.000

0125.0

025.01

.

120

201

202

102

120

201

.)9375.0(4

101.2)2( 6xK

e

En effectuant le produit de ces matrices on obtient :

26

375.425.175.01625.325.0

25.15.25.1225.05.0

75.05.15.1075.05.1

120412

625.325.075.01375.425.1

25.05.05.1225.15.2

1028.0cm

daNxK


0


Les contraintes planes sont fonctions des déplacements et sont calculées selon

(4.51) :

006.0

0.0

0.0

003.0

006.0

0.0

.

122012

200020

010201

)2(2

1.

375.000

0125.0

025.01

.9375.0

101.2 6x

xy

y

x

Les contraintes sont ainsi égales à:

2

2520

840

3360

cmdaN

xy

y

x

On peut aussi calculer, les contraintes principales 1, 2 et l’orientation P :

max

2

2

122

xy

yxyx

min

2

2

222

xy

yxyx

yx

xy

P

2tan.

2

1 1

Soit :

22

2

1 44.4917)2520(2

8403360

2

8403360

cmdaN

22

2

2 44.717)2520(2

8403360

2

8403360

cmdaN

7.31

8403360

)2520(2tan.

2

1 1

P

(4.54)


0


8- Répartition des forces de volume (poids propre)

Soit l’élément fini T3, figure 4.15 dont on cherche à répartir la charge sur les 3 noeuds.

On fait appel à l’écriture générale du vecteur force :

V A

TTdAtNdVbNf ... (4.55)

Le poids propre W s’écrit:

W= -g () -masse volumique du matériau

gb

bb

y

x

.

0

(4.56)

dA

Ng

Ng

Ng

eg

N

N

N

N

N

N

edVbNfA

p

A

P

V

T

b.

)(

0

)(

0

)(

0

..

0.

0

0

0

0

0

0

...

3

2

1

3

3

2

2

1

1

(4.57)

L’intégration se fera simple si on utilise les notions de coordonnées barycentriques, introduite

au chapitre 3.

Les termes dans l’intégrale

3,2,1)( idANgfA

iiy (4.58)

sont déterminés selon la relation (3.53) comme:

pour =1 et =0, =0

Figure 4.15: Répartition du poids propre sur l’élément fini -T3

1 2

3

b1x

b1y

b2x

b 2y

b3x

b3y

x

y

W


0


et par une application numérique de la relation (3.30) on obtient :

3)(2.

!)2001(

!0!0!1)(

AgAgf iy

i=1, 2, 3

La distribution de la force au nœud i due au poids propre W, s’écrit comme:

g

Aef P

bi

0

3

. (4.59)

Et le vecteur global de répartition de charge sera alors :

g

g

g

Ae

f

f

f

f

f

f

f P

y

xb

yb

xb

yb

xb

b

0

0

0

3

.

3

3

2

2

1

1

(4.60)

9- Répartition d’une charge uniformément répartie

On considère l’exemple d’un domaine discrétisé par des éléments type T3 (TDC) figure 4.16

et on s’intéresse à la répartition d’une charge uniformément répartie q(daN/m2) agissant entre

les nœuds 2 et 3 le long de la frontière de l’élément [1].

On prend le second terme du vecteur force généralisé (4.55) soit :

A

T

tdAtNf ..

Le vecteur charge s’écrit sous la forme suivante :

[1] x

y

1 2

3

q

Figure 4.16 : Elément T3 sous effet d’une charge répartie q

a

b


0


0

q

t

tt

y

x (4.61)

La matrice des fonctions de forme NT est évaluée pour x=a :

3

3

2

2

1

1

0

0

0

0

0

0

N

N

N

N

N

N

NT

(4.62)

Le vecteur général des charges équivalentes s’écrit sous la forme intégrale suivante, à

évaluer au point x=a.:

Pe b

tdzdy

q

N

N

N

N

N

N

f0 0

3

3

2

2

1

1

.0

.

0

0

0

0

0

0

(4.63)

Pour une épaisseur constante eP, sachant que q est appliquée le long de la frontière 2-3 de

l’élément [1], le vecteur charge t

f s’écrit :

dy

qN

qNe

f

f

f

f

f

f

fb

P

yt

xt

yt

xt

yt

xt

t.

0

.

0

.

0

0

0

3

2

3

3

2

2

1

1

(4.64)

Encore une fois on utilise les propriétés des coordonnées naturelles et on applique la

relation (3.52) pour l’évaluation des intégrales:

3,2.)..(0 b

iPxti idyNqef

avec =1 et =0

On obtient 2

...

!)101(

!1)..( P

Pxti

ebqbqef

i=2, 3


0


Les forces réparties aux nœuds sont montrées sur la figure 4.17.

4.4 Applications au problème ‘2D’ élément fini rectangle linéaire à 4 nœuds – Q4:

Dans un programme d’élément finis on doit établir les matrices de déformation et de rigidité

pour chaque élément.

Cette tâche est bien simple, pour l’élément fini triangulaire, comme on vient de le voir dans ce

même chapitre. Étant donné que la matrice de déformation B est constante, les procédures

d’intégration deviennent simples et directes.

D’où on introduit le second élément fini à contrainte plane figure 4.18, pour montrer comment

sont faites ces intégrations.

1- Matrice de déformation

On définit les coordonnées locales (x,y).Puisqu’il y a 4 nœuds et 2 degrés de liberté par nœud,

la fonction de déplacement appropriée/ Fonction de Forme sera :

xyayaxaav

xyayaxaau

8765

4321 (4.65)

d’où l’appellation d’élément fini bilinéaire

b

a

x

y

2 1

3

ft2 x

ft3 x

[1]

Figure 4.17 : Charge équivalentes aux nœuds 2 et 3

1

4 3

2

a a

b

b

x

y

d.d.l internes

v

uu

d.d.l nodaux

i

i

iv

ur

Figure 4.18 : Elément fini rectangulaire à 4 nœuds


0


Soit aNu .

où

xyyx

xyyxN

10000

00001 (4.66)

87654321 ,,,,,,, aaaaaaaaaT

Soit les déplacements aux nœuds r tel que :

44332211 ,,,,,,, vuvuvuvurT (4.67)

A noter que la numérotation à l’intérieur de l’élément, est toujours selon le sens adopté, figure

4.18.

On établit, r i pour i=1, 2, 3, 4 en utilisant (4.66), puis assembler pour donner rT en fonction

de a.

8

7

6

5

4

3

2

1

4

4

3

3

2

2

1

1

.

10000

00001

10000

00001

10000

00001

10000

00001

a

a

a

a

a

a

a

a

abba

abba

abba

abba

abba

abba

abba

abba

v

u

v

u

v

u

v

u

(4.68)

soit aAr . (4.69)

d’où rAa .1

(4.70)

et rNrANaNu e....1

(4.71)


0


La matrice inverse A-1

est donnée explicitement:

abababab

bbbb

aaaa

abababab

bbbb

aaaa

A

410410410410

410410410410

410410410410

410410410410

041041041041

041041041041

041041041041

041041041041

1 (4.72)

La matrice de déformation s’écrit comme suit :

rABrANLuL11

.)()(

(4.73)

avec

x

v

y

upour

y

vpour

x

upour

yx

x

y

B

010100

1000000

0000010

(4.74)

On remarque alors que les déformations sont linéaires en x et en y .

2 Conformité de l’élément fini Q4

Puisque N est linéaire en x et y, on ne peut avoir que des mouvements linéaires au niveau des

frontières. Ceci implique qu’à partir de la compatibilité nodale, la continuité des déplacements

inter élément (C0 continuité), est satisfaite.

La compatibilité interne des déformations est satisfaite.

Le mouvement de corps rigide pour la translation on prend tous les ai=0 à l’exception

de a1=a50

à partir de aNu . ,on déduit

5

1

a

au qui représente une translation de corps rigide

Considérons la relation de déformation aB.


0


Soit 0

0

0

0

0

0

0

.

010100

1000000

0000010

5

1

a

a

yx

x

y

Pour la rotation on prend tous les ai= 0 à l’exception de a3= -a6 0.

A partir de aNu .

On a

xa

yau

3

3 ce qui représente une rotation de corps rigide

000000 33 aaaT

On vérifie bien que 0. aB comme prévu.

Déformation constante.

Prendre tous les ai=0 à l’exception de a20

A partir de (5.36)

0

2

v

xau (4.75)

Ce qui représente un allongement dans le sens de x. Selon que l’on considère une

différentiation directe de (4.74) ou la relation aB.

on a T

a 0,0,2 (4.76)

ce qui représente une déformation constante dans le sens de x de la même manière y doit

être constant.

Contrainte de cisaillement – rigidité de cisaillement,

Il existe une particularité importante à préciser concernant les éléments finis rectangles

linéaires (Q4) à savoir qu’ils sont excessivement rigides lorsqu’ils sont appelés à

représenter le mode de flexion d’une poutre qui est très important en génie civil pour

le calcul des structures.

On considère un élément en flexion pure selon la figure 4.19.

Les déplacements aux nœuds donnent un mouvement linéaire selon y pour x= a,

permettant une déformation linéaire à travers l’élément, d’où une flexion pure.


0


Cependant, parce que les déplacements aux frontières de l’élément ne peuvent être que

linéaires, il ne doit y avoir que des frontières en lignes droites entre les nœuds 1 et 2 et entre

les nœuds 3 et 4 comme montré sur la figure ci-dessus.

Dans un comportement réel en flexion pure, la poutre se déforme et fléchie, en ayant une

contrainte de cisaillement nulle.

Pour avoir l’état (b) à partir de (c), on doit ajouter un cisaillement qui n’affecte pas le

cisaillement, et inversement de (b) à (a).

On doit donc corriger notre élément pour permettre l’état (c).

Vérifions les valeurs trouvées à partir des matrices, des fonctions de forme et de

déformation, de l’élément.

Pour les déplacements appliqués on a :

0,1,0,1,0,1,0,1 T

r (4.77)

En utilisant l’inverse explicite 1

A (4.72) on déduit T

a à partir de :

Figure 4.19 : (a) Sens des déplacements en vue d’une flexion

(b) Quantification de la flexion sur l’élément rectangulaire

(c) Comportement réel en flexion

x

y

1 2

3 4

y

x

(a) (b)

(c)


0


rAa .1

(4.78)

Soit 0,0,0,0,1,0,0,0.ba

aT

(4.79)

On obtient alors, à partir de la relation aNu . , une écriture du vecteur déplacement

u comme :

0

.

v

yxba

u expression prévue ! (4.80)

Et à partir de la relation aB. on déduit :

xyba

T,0,.

(4.81)

D’où ba

yx

. Ce qui représente une variation linéaire selon y

Fibre supérieure a

x

Fibre inférieure a

x

(4.82)

Aussi avec 0y (4.83)

Seulement !ba

xxy

.

. (constante par rapport à y) (4.84)

Ce qui donne plus de rigidité en flexion pure, et donc absorbe plus d’énergie, alors que la

déformation de cisaillement doit être nulle.

On conclut que cet élément est trop rigide en cisaillement. Les contraintes de cisaillement

absorbent l’énergie de déformation qui ne peut pas être absorbée dans la cas d’une flexion

pure réelle (d’où l’appellation de "cisaillement parasite"), ce qui rend l’élément trop rigide

d’où l’existence de deux problèmes :

Elément rigide à cause du cisaillement

Pas de déplacement vertical.

On peut remédier facilement au premier problème en annulant tous simplement les termes

linéaires de yx dans la 3eme

ligne de la matrice B .

Soit :


0


00100100

1000000

0000010

x

y

B (4.85)

Cette procédure n’affectera pas les conditions de conformité de l’élément et peut cependant

affecter les matériaux anisotropes car le cisaillement est maintenant devenu constant dans

l’élément.

La deuxième difficulté peut être traitée par l’utilisation de modes de déplacements dits

incompatibles.

Remarque :

Au mieux, il est recommandé de choisir l’élément "Serendipe" Q8, et qui peut représenter un

état de flexion pure à condition que l’élément soit rectangle (non quadrilatère) ou l’élément

Q9 (Lagrangien) qui peut-être un quadrilatère pour autant que ses cotés soient rectilignes.

3 Matrice de rigidité

La formulation des expressions de la matrice de rigidité de l’élément est déduite comme

auparavant à partir de l’énergie potentielle et s’écrit comme:

frKe

.)(

(4.86)

a

a

b

be

T

eP

edxdyBDBeK .....

)( (4.87)

avec 1

.

ABBe (4.88)

A ce stade on fait appel à la quadrature de Gauss pour intégrer l’expression :

e

T

e BDBC .. (4.89)

avec les éléments de la matrice qui s’expriment comme :

),,,,,1( 22 xyyxyxfc ji (4.90)

On remarque alors, que l’ordre maximum du polynôme dans C est p=2, d’où la nécessité de

2x2 points d’intégration selon le triangle de Pascal, figure 3.27.

Bien sûr l’intégration de la matrice, comme on l’a déjà précisé auparavant, est la même que

l’intégration de ses termes.

A

Pe dACeK ..)( ou bien

dACekA

jiipji . (4.91)


0


L’intégration selon la règle des sommes s’écrit :

)det().,(..

.).det().,(...

2

1

2

1

1

1

1

1

nmnm

m n

jinmP

a

ajiP

b

bjiPji

JCWWe

ddJCedxdyCek

(4.92)

En se référant au système de coordonnées locales de la figure 4.18, on obtient les relations de

transformation suivantes :

.

.

by

ax (4.93)

d’où

b

aJ

0

0 ; baJ .)det( ),( (4.94)

On doit toujours calculer les valeurs de x et de y aux points d’intégration qui doivent être

ensuite substituées dans la fonctionjiC . Donc

jiC ne sera pas réécrit en terme de et d’où

l’expression suivante :

),(.)...(2

1

2

1

nm

m n

jinmPji yxCWWebak

(4.95)

C sera est calculée à partir de (4.89) pour une intégration numérique prise avec un certain

nombre de points de Gauss ),( nm d’où l’expression de la matrice de rigidité

2

1

2

1

)(),(.).,(..)..(

m n

nmenm

T

enmP

eyxBDyxBWWebaK (4.97)

L’algorithme suivant donne un aperçu sur la procédure automatique de calcul :

Initialiser 0K

Faire une boucle (DO –Loop) pour m=1, 2

xm := a. ξm Faire une boucle (DO –Loop) pour n=1, 2

yn := b. ηn

Former Be(xm, yn)

Etablir D

Multiplier

e

T

e BDBS ..

Pondérer

)..(. nmP WWebaSS

Ajouter

SKK

Fin de boucle sur n Fin de boucle sur m

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Dhatt G. & Touzot G. Une présentation de la méthode des éléments finis. Deuxième

Edition, Maloine S. A., Paris 1984

Rao S.S. The Finite Element in Engineering. Second Edition Oxford: Pergamon Press

Edition, 1989.

Lewist P.E. & Ward J. P. The Finite Element Method: Principles and Applications.

Addison-Wesley Publishers Ltd., 1991.

Rockey K. C., Evans H. R., Griffiths D. W., Nethercot D.W. The Finite Element

Method: A Basic Introduction, William Collin Sons & Publishers, UK 1983.

Hinton E. & Owen D.R.J. Finite Element Programming. Academic Press, Londre 1977

Khennane A. Méthode des Eléments Finis : Enoncé des principes de base. Office des

publications universitaires, OPU, Alger 1997

Ern A. Aide-mémoire Eléments Finis. Dunod, Paris 2005

Herbert Baaser. Development and Application of the Finite Element Method based

on MATLAB. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

methodes des elements finis master 1 lmd génie civil · 2020. 11. 4. · faculte de genie civil et...

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