Mesure de déplacements par Interférométrie Speckle: application à la détermination du

facteur d’intensité de contrainte

Laboratoire de Mécanique Appliquée et d’analyse de FiabilitéLMAF

Laurent HUMBERT

Techniques de Mesure: TPd

Plan

• Introduction

• Interférométrie Speckle (ESPI)

- Principe / arrangements optiques

- Sensibilité du système

• Détermination de KI

- Procédure

- Prise en compte des déplacements rigides

• Éléments de mécanique de la rupture

- Modes de fissuration

- Champs mécaniques en pointe de fissure

• Logiciels utilisés

Introduction

Critères de sécurité

Structure mécanique

Chargement

Méthodes expérimentales

Rupture

F

Entaille

Plaque fissurée en traction:

Position du problème

Concentration des contraintes

Facteur d’Intensité de Contraintes (FIC): KI

Rupture si KI > valeur critique

Détermination du FIC ?

- Analytique (analyse complexe,…)

- Numérique (Éléments finis,…)

- Expérimentale (méthodes optiques,…)

Mécanique de la rupture

Modes élémentaires de fissuration:

Mode d’ouverture (mode I) → chargement symétrique

Cisaillement dans le plan (mode II) → chargement antisymétrique

Cisaillement hors plan (mode III) → chargement antisymétrique

Pb 2D

Approche proposée par Williams (1957):

Détermination des champs asymptotiques

libre

libre

- Fissure semi-infinie

- Coordonnées polaires (r, à l’extrémité de la fissure

- Milieu élastique linéaire bidimensionnel

Entaille: < Fissure: = ±

2 2 2

rr r2 2 2 2

1 1 1 1, ,

r r r rr r r

• Contraintes 2D exprimées avec une fonction d’Airy r

• Résolution de l’équation de compatibilité:

Démarche

22 2

2 2 2

1 1r, 0

r rr r

Équation biharmonique

Solution sous forme découplée:

r, r ( ) : valeur propre

Mode III non présent

M od e I M od e II

Aco( s Ccos) Bsin Dsin2 () 2( )

• En résolvant les conditions aux limites:

r

0 r, 0

d r,0 0

d

n nn n

et C A2 4 n

Solution non triviale si sin 2 0

avec n entier ≥ -3 (physique)

•En pointe de fissure n=-3 → terme prépondérant (solution asymptotique)

3et C 3A

2

…

Solutions asymptotiques (mode I)

• Champ de contrainte au voisinage de la fissure :

rr

r

3A 35 cos cos

2 24 r

3A 33cos cos

2 24 r

3A 3sin sin

2 24 r

• Facteur d’Intensité de Contrainte (FIC): KI

IK 3A 2

-Dépend des conditions aux limites, de la géométrie de la fissure

2a

- Exemple: IK a

Singularité en r-1/2

• Champ de déplacement associé au voisinage de la fissure :

Ix

Iy

K 1 r 3u 2 1 cos cos

2E 2 2 2

K 1 r 3u 2 1 sin sin

2E 2 2 2

3

13 4

avec Contrainte plane

Déformation plane

E: module de Young coefficient de Poisson

Solution bornée contenant les paramètres élastiques et reliée au chargement lointain avec KI

Calculé dans le repère cartésien à partir du champ de contraintes par intégration du champ de déformation qui est obtenu avec la loi de Hooke

Généralisation (mode I, contrainte plane)

• Déplacements proposés par Barker, Sanford et Chona (1985)

1j

2

x 2 jj 0

j 1

2 j 1j 0

1j

2

y 2 jj 0

2 j

r 1 1 1Eu C 1 cos j 1 j sin sin j

1 2 2 2j2

rC 2 cos j 1 1 j 1 sin sin j

j 1

r 1 1 1Eu C 2 sin j 1 j sin cos j

1 2 2 2j2

C

j 1

1j 0

r1 sin j 1 1 j 1 sin cos j

j 1

Par identification pour j=0 : 0 IC K 2 Cj : coefficients inconnus

12

0

1

32

2

23

52

4

1S 2r 2sin sin cos

2 2 2

S 2r sin

2 3 3S r 2sin 1 sin cos

3 2 2 2

S r sin 2

2 5 5 3S r 2sin 1 sin cos

5 2 2 2

• Forme explicite pour uy :

y 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆE u C S r, C S r, C S r, C S r, C S r, ...

avec

Interférométrie Speckle

• Principe de l’ESPI (Electronic Speckle Pattern Interferometry)

Caméra CCD

Surface objet (optiquement rugueuse)

Miroir

Soustraction des images d’intensité de l’état initial et de l’état déformé

Franges d’interférence

Arrangement optique

N

Isovaleurs du déplacement horizontal

Rayons lumineux

Isovaleurs du déplacement vertical

Site expérimental

Cellule de charge

Plaque entaillée en Plexiglas (150×25×2mm)

Piezo avec miroir

Moteur pas à pas

Objectifs

Sensibilité du système

Interfrange: f2sin

Comptage des franges: N entier, à partir d’une référence (N=0)

N=0

N=1N=2

N=-1

N=-2

Déplacement surfacique relatifx

y

u u Nf

v u Nf

Sensibilité ~ 0,6µm

Détermination de KI

i i i 0 i,0 1 i,1 2 i,2 3 i,3 4 i,4N v(r , ) / f C S C S C S C S C S

avec

Pour le déplacement vertical :

Tous les points sur une frange: N identique

P(ri i: point courant de l’interférogramme

ri

Ni

i

1i i2

i,0 i i

i,1 i i

3i i2

i,2 i i

2i,3 ii

5i i2

i,4 i i

2 1S r 2sin sin cos

Ef 2 2 2

2S r sin

Ef

32 3S r 2sin 1 sin cos

3Ef 2 2 2

1S r sin 2

Ef

5 32 5S r 2sin 1 sin cos

5Ef 2 2 2

- 5 termes de la série suffisants (5 inconnues)

- Procédure analogue avec le déplacement horizontal

Formation / résolution du système

N points P(ri , iconsidérés (typiquement N=40)

11,0 2,0 i,0 40,0

21,1

1,2 2,2 i,2 40,20 1 2 3 4i

1,3

1,4 2,4 i,4 40,440

1T T

0 1 2 3 4

I 0

NS S S S

NS

S S S SC C C C CN

S

S S S SN

N C S C S S S N

C , C , C , C C

K C 2

… …

………

…

Méthode des moindre carrés

• Points choisis au minimum d’intensité (franges sombres)

Minimisation de l’erreur de calcul

Ni entiers

• Points voisins de la pointe de fissure sensibles à la valeur de KI

sujets aux erreurs de comptage des franges

• Points éloignés de la pointe de fissure peu influencés par KI moins d’erreurs de comptage

Prendre des points sur tout le domaine

Prise en compte des déplacements / rotations de corps solides

Translation de corps rigide → champ constant

→ décalage en phase avec les franges

Rotation de corps rigide → champ à gradient constant

→ réseau de franges parallèles

urigide= R + P r cos + Q r sin

Effet sur u:

Modification du système

Modification de la relation de comptage des franges:

8 inconnues

Calcul de KI

Logiciels / programmes utilisés

• Logiciel PISA pour les franges d’interférence (système Unix)

Image de Speckle

Pilote la caméra CCD et le piezo

• Programme de pilotage du moteur pas à pas (DOS)

Déplacement du mords et mise en tension de l’éprouvette fissurée

• Programme Labview de lecture de la force

• Programme de traitement des images de franges, acquisition des points, calcul de KI (Matlab)

Sous Windows:

Démarche expérimentale

1) Mise en tension de l’éprouvette

2) Arrangement optique vertical, calcul de la sensibilité f

3) Acquisition des images de phases avec le logiciel PISA pour les états de référence et déformé (au choix)

4) Soustraction pour obtenir une image de frange exploitable: effet du déplacement solide rigide? contraste?

5) Filtrage de l’image

6) Détermination des points de mesure et calcul de KI avec le programme matlab proposé

7) Discussion…