11

NumeriNumerike deskriptivne velike deskriptivne veliineineMere varijacijeMere varijacije

2

Mere varijacijeMere varijacije

isti centar, razliita varijacija

Mere varijacije daju Mere varijacije daju informaciju o informaciju o rasipanjurasipanjuili ili varijabilnostivarijabilnostipodatakapodataka

varijacija

varijansa standardna devijacija

koeficijent varijacije

raspon interkvartilniraspon

23

RasponRaspon

Najjednostavnija mera varijacijeNajjednostavnija mera varijacije Raspon Raspon razlika izmeu najve razlika izmeu najvee i najmanje vrednosti e i najmanje vrednosti

u skupuu skupu

raspon = xmax xmin

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

raspon = 14 - 1 = 13

primer:

4

Nedostatak rasponaNedostatak raspona

IgnoriIgnorie oblik raspodele podatakae oblik raspodele podataka

Osetljiv na ekstremne vrednostiOsetljiv na ekstremne vrednosti

7 8 9 10 11 12

raspon = 12 - 7 = 57 8 9 10 11 12

raspon = 12 - 7 = 5

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 120

raspon = 5 - 1 = 4

raspon = 120 - 1 = 119

35

InterkvartilniInterkvartilni rasponraspon

Rasipanje unutar srednjih 50%: QRasipanje unutar srednjih 50%: Q33 QQ11 Nema uticaja ekstremnih vrednostiNema uticaja ekstremnih vrednosti

primer:

medijana(Q2) XmaxXmin Q1 Q3

25% 25% 25% 25%

12 30 45 57 70

interkvartilni raspon= 57 30 = 27

6

Srednje apsolutno odstupanje Srednje apsolutno odstupanje -- SoSo

Nxx

S i0

=

Srednje apsolutno odstupanje (obeleava se sa Soo) odreuje se tako to se zbir apsolutnih vrednosti pojedinanih odstupanja svakog lana niza od srednje vrednosti podeli ukupnim brojem lanova niza:

47

VarijansaVarijansa ProseProseno (priblino (priblino) kvadratno odstupanje vrednosti od srednje no) kvadratno odstupanje vrednosti od srednje

vrednostivrednosti

Izraz za izraIzraz za izraunavanje:unavanje:

N N 1 1 broj stepena slobode broj stepena slobode

1-N

)x(xV

n

1i

2i

=

=

8

Broj stepena slobode Broj stepena slobode -- dfdf, , , , = N = N -- 11 -- broj nezavisnih poreenja broj nezavisnih poreenja

xx33 -- x = x = -- (x(x11 -- x ) x ) -- (x(x22 -- x )x )

xx11 i xi x22 nezavisne vrednosti, nezavisne vrednosti, = 2= 2

321

321

xxxx33

xxxx

++=

++=

59

Standardna devijacija Standardna devijacija

NajNajeee korie koriena mera varijacijeena mera varijacije Pokazuje varijaciju oko srednje vrednostiPokazuje varijaciju oko srednje vrednosti Kvadratni koren iz Kvadratni koren iz varijansevarijanse IzraIzraava se u ava se u istim jedinicamaistim jedinicama kao i osnovni podacikao i osnovni podaci

1-N

)x(xSd

N

1i

2i

=

=

( )1N

xNxSd

2N

1i

2

==

=

10

1)( 2

=

n

xxV i

SumSumaa25255514146060004545

11--118899--336699331212

1616--4455

I formula:ix ix x

2( )ix x

154

60==

87.315 === Vs

Standardna devijacijaStandardna devijacija

611

Standardna devijacija Standardna devijacija II formulaII formula

PodaciPodaci:: 4,9 6,34,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,77,7 8,9 10,3 11,7

2,5236,3681N

)xN(xSd22

==

=

xi x24,9 24,016,3 39,697,7 59,298,9 79,21

10,3 106,0911,7 136,89

Sum 445,18

8.38.3

12

SdSd -- grupisani podacigrupisani podaci

mol/L4,093Sd

12Ki

f)x(f xf

= Sd222

s

=

Ki = 2 mol/L f f xs2

4,0 - 5,9 3 75 6,0 - 7,9 4 196 8,0 - 9,9 9 729

10,0 - 11,9 13 1573 12,0 - 13,9 22 3718 14,0 - 15,9 26 5850 16,0 - 17,9 18 5202 18,0 - 19,9 12 4332 20,0 - 21,9 8 3528 22,0 - 23,9 5 2645

ukupno 120 27848

14,6714,67

--11

713

Standardna devijacija iz razlike parovaStandardna devijacija iz razlike parovapar x1 x2 d d2 1. 4,5 4,7 0,2 0,04 2. 6,7 6,9 0,2 0,04 3. 5,6 5,3 0,3 0,09 4. 7,8 7,8 0 0 5. 5,3 5,2 0,1 0,01 6. 4,5 4,8 0,3 0,09 7. 8,4 8,5 0,1 0,01 8. 6,3 6,1 0,2 0,04 9. 5,7 5,8 0,1 0,01

10. 9,2 9,6 0,4 0,16 11 4,3 4,2 0,1 0,01 12. 5,9 6,2 0,3 0,09

ukupno - - 0,59

N2d

Sd2

=

mmol/L 0,157 = 0,024583 = 24

0,59 = Sd

U 1U 12 u2 uzoraka seruma odreena zoraka seruma odreena glukoza u duplikatuglukoza u duplikatu

14

ZnaZnaenje standardne devijacijeenje standardne devijacije

mala standardna devijacija

velika standardna devijacija

815

Poreenje standardnih devijacijaPoreenje standardnih devijacija

sr. vrednost = 15.5SD = 3,338

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

grupa B

grupa A

sr. vrednost = 15.5Sd = 0,926

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

sr. vrednost = 15.5Sd = 4,567

grupa C

16

Koeficijent varijacije Koeficijent varijacije -- KvKv

MeraMera relativnerelativne varijacije (u odnosu na srednju varijacije (u odnosu na srednju vrednost)vrednost)

UvekUvek se se izraizraavaava u %u % OmoguOmoguavaava poredjenjeporedjenje viviee grupagrupa podataka, podataka, ak i ak i

kada su izrakada su izraeni u razlieni u razliitim jedinicamaitim jedinicama

100 x

Sd = Kv

917

Poreenje koeficijenata varijacijePoreenje koeficijenata varijacije

GrupaGrupa A:A: srednja vrednostsrednja vrednost = 50= 50 sstandardtandardnana devidevillaacijacija = 5= 5

GrupaGrupa B:B: srednja vrednostsrednja vrednost = = 101000 sstandardtandardnana devidevillaacijacija = 5= 5

5%100%100

5100%x

SdvK B ===

%01100%505100%

x

SdvK A ===

18

Asimetrija raspodeleAsimetrija raspodele

Pokazuju kako su podaci distribuiraniPokazuju kako su podaci distribuirani zakrivljenostzakrivljenost i i zazailjenostiljenost

desnostranadesnostranalevostranalevostrana simetrisimetrinanaMeMe MoMo MoMo MeMe= Me = Mo= Me = Mox xx

10

19

NumeriNumerike mere za populaciju i uzorakke mere za populaciju i uzorak

StatistiStatistiki parametri koji se izraki parametri koji se izraunavaju iz unavaju iz populacijepopulacijeopisuju osobine populacijeopisuju osobine populacije

StatistiStatistiki parametri koji se izraki parametri koji se izraunavaju iz unavaju iz uzorkauzorkaopisuju osobine uzorkaopisuju osobine uzorka

Srednja vrednost populacije Srednja vrednost populacije Srednja vrednost uzorka Srednja vrednost uzorka

Standardna devijacija populacije Standardna devijacija populacije Standardna devijacija uzorkaStandardna devijacija uzorka SdSd

x