menentukan spectrum - core.ac.uk · dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon...
TRANSCRIPT
![Page 1: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/1.jpg)
LAPORAN
PENELITIAN KOMPETITIF DOSEN BERSAMA MAHASISWA
MENENTUKAN SPECTRUM
SUATU GRAF BERBANTUAN MATLAB
KETUA TIM PENELITI
ABDUSSAKIR, M.Pd
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
2009
![Page 2: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/2.jpg)
PENGESAHAN LAPORAN
PENELITIAN KOMPETITIF DOSEN BERSAMA MAHASISWA
Judul Penelitian : Menentukan Spectrum suatu Graf Berbantuan Matlab
Ketua Peneliti/NIP : Abdussakir, M.Pd/19751006 200312 1 001
Anggota/NIP/NIM :Wahyu H. Irawan, M.Pd/19710420 200003 1 003
Evawati Alisah, M.Pd/10720604 199903 2 001
Imam Fachruddin/06510004
Novia Dwi Rahmawati/06510039
Iqlillah Muzayyana D.F./06510061
Malang, 29 Desember 2009
Mengetahui
a.n. Dekan
Pembantu Dekan Bidang Akademik Ketua Peneliti,
ttd ttd
Dr. H. Agus Mulyono, S.Pd, M.Kes Abdussakir, M.Pd
NIP. 19750808 199903 1 003 NIP 19751006 200312 1 001
![Page 3: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/3.jpg)
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Allah SWT, sehingga dengan rahmat dan hidayah-Nya
laporan penelitian dengan judul “Menentukan Spectrum suatu Graf Berbantuan
Matlab” dapat diselesaikan. Sholawat dan salam semoga tetap tercurahkan kepada
nabi Muhammad SAW yang telah membimbing manusia menuju jalan yang lurus,
yaitu agama Islam.
Penelitian ini difokuskan pada pengkajian spectrum graf komplit (Kn), graf
bintang (Sn), graf bipartisi komplit (Km,n), dan graf lintasan (Pn). Mengingat masih
banyaknya jenis graf, maka penelitian mengenai spectrum masih dapat dilakukan.
Selama penyusunan laporan ini, peneliti telah dibantu oleh banyak pihak.
Pada kesempatan ini, peneliti menyampaikan terima kasih kepada.
1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku rektor UIN Maulana Malik Ibrahim
Malang.
2. Prof. Drs. H. Sutiman B. Sumitro, SU. D.Sc selaku dekan Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang beserta seluruh Pembantu Dekan
di Fakultas Sains dan Teknologi.
3. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, beserta rekan-rekan dosen
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim
Malang.
![Page 4: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/4.jpg)
ii
4. Staf Karyawan di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN
Maulana Malik Ibrahim Malang.
Peneliti mendoakan semoga bantuan yang telah diberikan dicatat sebagai amal
baik oleh Allah SWT. Semoga laporan penelitian ini dapat bermanfaat.
Malang, Desember 2009
Tim Peneliti
![Page 5: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/5.jpg)
iii
DAFTAR ISI
Halaman Sampul
Halaman Pengesahan
Kata Pengantar ..................................................................................................... i
Daftar Isi .............................................................................................................. iii
BAB I: PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................... 3
C. Batasan Masalah .............................................................................. 3
D. Tujuan Penelitian ............................................................................. 3
E. Manfaat Penelitian ........................................................................... 3
BAB II: KAJIAN PUSTAKA
A. Graf ................................................................................................. 4
B. Derajat Titik .................................................................................... 6
C. Graf Terhubung ............................................................................... 13
D. Graf dan Matriks ............................................................................. 19
E. Spectrum Graf ................................................................................. 22
BAB III: METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian .................................................................................. 26
B. Tahap Penelitian ................................................................................ 26
BAB IV: PEMBAHASAN
A. Specturm Graf Komplit (Kn) .............................................................. 27
B. Specturm Graf Star (Sn) ..................................................................... 45
C. Spectrum Graf Bipartisi Komplit (Km,n) ............................................. 68
D. Spectrum Graf Lintasan (Pn) .............................................................. 95
BAB V: PENUTUP
A. Kesimpulan ....................................................................................... 117
B. Saran ................................................................................................. 117
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 118
![Page 6: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/6.jpg)
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Teori graf mempunyai banyak aplikasi praktis dalam berbagai disiplin,
misalnya dalam biologi, ilmu komputer, ekonomi, teknik, informatika, linguistik,
matematika, kesehatan, dan ilmu-ilmu sosial. Dalam berbagai hal, graf menjadi alat
pemodelan yang sangat baik untuk menjelaskan dan menyelesaikan suatu
permasalahan.
Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan tidak
kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan
(mungkin kosong) pasangan takberurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut
sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(G),
dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G).
Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-
masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p,
q).
Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah
sisi di graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u
dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik u dan v disebut ujung dari e. Untuk
selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv. Derajat dari titik v di graf G, ditulis
degG(v), adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Dalam konteks
![Page 7: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/7.jpg)
2
pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan degG(v) disingkat menjadi
deg(v).
Misalkan G graf dengan order p (p 1) dan ukuran q serta himpunan titik
V(G) = {v1, v2, …, vp}. Matriks keterhubungan titik (atau matriks keterhubungan) dari
graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (p p) dengan unsur pada baris ke-i
dan kolom ke-j bernilai 1 jika titik vi terhubung langsung dengan titik vj serta bernilai
0 jika titik vi tidak terhubung langsung dengan titik vj. Dengan kata lain, matriks
keterhubungan dapat ditulis A(G) = [aij], 1 i, j p, dengan
)( jika, 0
)( jika, 1
GEvv
GEvva
ji
ji
ij
Matriks keterhubungan suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur 0 dan 1 dan
memuat nilai 0 pada diagonal utamanya.
Matriks keterhubungan banyak digunakan untuk membahas karakteristik graf
karena matriks keterhubungan merupakan matriks persegi. Bekerja dengan matriks
persegi memberikan banyak kemudahan dibanding dengan matriks tidak persegi.
Pembahasan matriks keterhubungan suatu graf dapat dikaitkan dengan konsep nilai
eigen dan vektor eigen pada topik aljabar linier yang menghasilkan konsep spectrum
suatu graf.
Penelitian mengenai spectrum suatu graf merupakan hal yang relatif baru dan
banyak dilakukan. Oleh sebab itu, maka peneliti merasa perlu untuk meneliti
spectrum suatu graf yang lebih ditekankan pada langkah-langkah menentukan
![Page 8: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/8.jpg)
3
spectrum dan análisis pembuktiannya dengan mengambil judul “Menentukan
Spectrum suatu Graf Berbantuan Matlab”.
B. Rumusan Masalah
Masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut, yaitu bagaimana
menentukan spectrum suatu graf berbantuan Matlab?
C. Batasan Masalah
Untuk lebih menfokuskan penelitian, maka graf yang dikaji dalam penelitian
ini dibatasi pada graf komplit (Kn), graf bintang (Sn), graf bipartisi komplit (Km,n), dan
graf lintasan (Pn).
D. Tujuan Penelitian
Sesuai rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah untuk menjelaskan
proses atau langkah-langkah menentukan spectrum suatu graf berbantuan Matlab.
E. Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut.
1. Memberikan informasi mengenai langkah-langkah menentukan spectrum
suatu graf sehingga dapat acuan oleh peneliti lain untuk menentukan spectrum
graf-graf lain yang belum dikaji dalam penelitian ini.
2. Memberikan informasi mengenai spectrum suatu graf sehingga dapat
digunakan oleh peneliti lain untuk mengkaji lebih mendalam tentang
karakteristik suatu graf atau untuk aplikasi pada masalah yang berkaitan.
![Page 9: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/9.jpg)
27
𝑣1 𝑣2
BAB IV
PEMBAHASAN
A. Spectrum Graf Komplit (Kn)
1. Spectrum dari Graf Komplit (𝑲𝟐)
Untuk graf komplit 𝐾2 dapat digambarkan grafnya seperti Gambar 4.1 berikut
𝐾2 :
Gambar 4.1 Graf Komplit 𝐾2
Pada graf komplit 𝐾2 menghasilkan matriks adjacency sebagai berikut
𝑣1 𝑣2
𝐴= 𝑣1
𝑣2
0 11 0
Setelah mendapatkan bentuk matriks adjacency maka akan dicari nilai
eigen dan vektor eigen dari matriks-matriks tersebut, yaitu dengan menggunakan
persamaan
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
𝐴 = 0 11 0
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
det 0 11 0
− 𝜆 1 00 1
= 0
det 0 11 0
− 𝜆 00 𝜆
= 0
![Page 10: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/10.jpg)
28
det −𝜆 11 −𝜆
= 𝜆2 − 1 = (𝜆 − 1)(𝜆 + 1)
Jadi didapatkan nilai eigen bagi 𝐴 adalah 𝜆 = 1 dan 𝜆 = −1
Setelah mendapatkan nilai eigen maka selanjutnya akan dicari vektor eigen,
yaitu:
−𝜆 11 −𝜆
𝑘𝑙 =
00
Disubstitusikan nilai eigen 𝜆 = 1 dan 𝜆 = −1 ke dalam persamaan di atas.
Untuk 𝜆 = 1 maka vektor eigennya adalah:
−1 1 1 −1
𝑘𝑙 =
00
Maka didapatkan
−𝑘 + 𝑙 = 0
𝑘 − 𝑙 = 0
𝑘 = 𝑙
Misal 𝑙 = 𝑠
diperoleh bahwa solusi umum bagi 𝐴 − (1)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠1 = 𝑘𝑙 =
𝑠𝑠 = 𝑠
11
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 1.
Untuk 𝜆 = −1 maka vektor eigennya adalah:
1 11 1
𝑘𝑙 =
00
Maka didapatkan
![Page 11: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/11.jpg)
29
𝑣3
𝑣2 𝑣1
𝑘 + 𝑙 = 0
𝑘 = −𝑙
Misal 𝑙 = 𝑠
diperoleh bahwa solusi umum bagi 𝐴 − (−1)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠2 = 𝑘𝑙 =
𝑠−𝑠
= 𝑠 1−1
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 1.
Jadi untuk 𝜆 = 1 terdapat satu basis ruang vektor eigen , dan untuk 𝜆 =
−1 juga terdapat satu basis ruang vektor eigen , maka spectrum graf komplit 𝐾2
adalah
Spect 𝑲𝟐 = 𝟏 −𝟏𝟏 𝟏
2. Spectrum dari Graf Komplit (𝑲𝟑)
Untuk graf komplit 𝐾3 yang dapat digambarkan grafnya seperti Gambar 4.2
berikut
𝐾3 :
Gambar 4.2 Graf Komplit 𝐾3
Pada graf komplit 𝐾3 menghasilkan matriks adjacency sebagai berikut
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝐴 =
𝑣1
𝑣2
𝑣3
0 1 11 0 11 1 0
![Page 12: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/12.jpg)
30
𝐴 = 0 1 11 0 11 1 0
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
det 0 1 11 0 11 1 0
− 𝜆 1 0 00 1 00 0 1
= 0
det 0 1 11 0 11 1 0
− 𝜆 0 00 𝜆 00 0 𝜆
= 0
det −𝜆 1 11 −𝜆 11 1 −𝜆
= −𝜆 1 11 −𝜆 11 1 −𝜆
−𝜆 11 −𝜆1 1
= −𝜆3 + 1 + 1 + 𝜆 + 𝜆 + 𝜆
= −𝜆3 + 3𝜆 + 2
= 𝜆 − 2 𝜆 + 1 (𝜆 + 1)
Jadi didapatkan nilai eigen bagi 𝐾3 adalah 𝜆 = 2 dan 𝜆 = −1
Setelah mendapatkan nilai eigen maka selanjutnya akan dicari vektor eigen,
yaitu:
−𝜆 1 11 −𝜆 11 1 −𝜆
𝑘𝑙𝑚
= 000
Disubstitusikan nilai eigen 𝜆 = 2 dan 𝜆 = −1 ke dalam persamaan di
atas. Pada graf komplit 𝐾3 menghasilkan matriks adjacency 3 × 3 sehingga
untuk menentukan vektor eigen maka matriks di atas akan direduksi menjadi
bentuk eselon tereduksi baris
Untuk = 2 , maka
![Page 13: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/13.jpg)
31
𝐴 − 𝜆𝐼 0 = −2 1 1 0 1 −2 1 0 1 1 −2 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
i. 𝑘 − 𝑚 = 0; sehingga 𝑘 = 𝑚
ii. 𝑙 − 𝑚 = 0; sehingga 𝑙 = 𝑚
Dari (ii) maka (i) didapatkan
𝑘 = 𝑙 = 𝑚
Misal 𝑚 = 𝑠
diperoleh bahwa solusi umum bagi 𝐴 − (2)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠1 = 𝑘𝑙𝑚
= 𝑠𝑠𝑠 = 𝑠
111
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 1.
Untuk 𝜆 = −1, dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) maka
didapatkan
𝐴 − 𝜆2𝐼 0 = 1 1 1 01 1 1 01 1 1 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
𝑘 + 𝑙 + 𝑚 = 0
𝑘 = −𝑙 − 𝑚
Misal 𝑙 = 𝑠 dan 𝑚 = 𝑡
![Page 14: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/14.jpg)
32
𝑣1 𝑣2
𝑣4 𝑣3
diperoleh bahwa solusi umum bagi 𝐴 − (−1)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠2 = 𝑘𝑙𝑚
= −𝑠 − 𝑡
𝑠𝑡
= 𝑠 −110
+ 𝑡 −101
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 2.
Jadi untuk 𝜆 = 2 terdapat satu basis ruang vektor eigen , dan untuk 𝜆 = −1
terdapat dua basis ruang vektor eigen , jadi spectrum graf komplit 𝐾3 adalah
Spect 𝑲𝟑 = 𝟐 −𝟏𝟏 𝟐
3. Spectrum dari Graf Komplit (𝑲𝟒)
Untuk graf komplit 𝐾4 yang dapat digambarkan grafnya seperti Gambar 4.3
berikut
𝐾4 :
Gambar 4.3: Graf Komplit 𝐾4
Pada graf komplit 𝐾4 menghasilkan matriks adjacency sebagai berikut
𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4
𝐴 =
𝑣1
𝑣2𝑣3
𝑣4
0 1 1 111
01
10
11
1 1 1 0
𝐴 =
0 1 1 111
01
10
11
1 1 1 0
![Page 15: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/15.jpg)
33
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = λ4 − 6λ2 − 8λ − 3
= 𝜆 − 3 (𝜆 + 1)(𝜆 + 1)(𝜆 + 1)
Jadi didapatkan nilai eigen bagi 𝐾4 adalah = 3 , dan 𝜆 = −1
Setelah mendapatkan nilai eigen maka akan dicari vektor eigennya, yaitu:
−𝜆 1 1 1 1 1
−𝜆 1
1−𝜆
11
1 1 1 −𝜆
𝑘𝑙𝑚𝑛
=
0000
Disubstitusikan nilai 𝜆 = 3 dan 𝜆 = −1 ke dalam persamaan di atas. Pada
graf komplit 𝐾4 menghasilkan matriks adjacency 4 × 4 sehingga untuk
menentukan vektor eigen maka matriks di atas akan direduksi menjadi bentuk
eselon tereduksi baris
Untuk 𝜆 = 3, maka
[𝐴 − 𝜆 𝐼│0] =
−3 1 1 1 0
1 1
−3 1
1−3
1 0 1 0
1 1 1 −3 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
i. 𝑘 − 𝑛 = 0; sehingga 𝑘 = 𝑛
ii. 𝑙 − 𝑛 = 0 ; sehingga 𝑙 = 𝑛
iii. 𝑚 − 𝑛 = 0; sehingga 𝑚 = 𝑛
Dari (i), (ii), dan (iii) maka diperoleh
𝑘 = 𝑙 = 𝑚 = 𝑛
Misal 𝑛 = 𝑠, maka diperoleh bahwa solusi umum bagi 𝐴 − (3)𝐼 𝑋 = 0 adalah
![Page 16: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/16.jpg)
34
𝑠1 =
𝑘𝑙𝑚𝑛
=
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 𝑠
1111
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 1
Untuk 𝜆 = −1, dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) maka
didapatkan
[𝐴 − 𝜆 𝐼│0] =
1 1 1 1 01 1 1 1 01 1 1 1 01 1 1 1 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
𝑘 + 𝑙 + 𝑚 + 𝑛 = 0
𝑘 = −𝑙 − 𝑚 − 𝑛
Misal 𝑙 = 𝑠,𝑚 = 𝑡 dan 𝑛 = 𝑢 , maka diperoleh bahwa solusi umum bagi
𝐴 − (−1)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠1 =
𝑘𝑙𝑚𝑛
=
−𝑠 − 𝑡 − 𝑢𝑠𝑡𝑢
= 𝑠
−1100
+ 𝑡
−1010
+ 𝑢
−1001
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 3
Jadi untuk 𝜆 = 3 terdapat satu basis ruang vektor eigen , dan untuk 𝜆 = −1
terdapat tiga basis ruang vektor eigen , jadi spectrum graf komplit 𝐾4 adalah
Spect 𝑲𝟒 = 𝟑 −𝟏𝟏 𝟑
4. Spectrum dari Graf Komplit (𝑲𝟓)
![Page 17: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/17.jpg)
35
𝑣1
𝑣2 𝑣3
𝑣4
𝑣5
Untuk graf komplit 𝐾5 yang dapat digambarkan grafnya seperti Gambar 4.4
berikut
𝐾5:
Gambar 4.4: Graf Komplit (𝐾5)
Pada graf komplit 𝐾5 menghasilkan matriks adjacency sebagai berikut
𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 𝑣5
𝐴 =
𝑣1
𝑣2𝑣3
𝑣4
𝑣5
0 1 1 1 1111
011
101
110
111
1 1 1 1 0
𝐴 =
0 1 1 1 1111
011
101
110
111
1 1 1 1 0
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = −𝜆5 + 10𝜆3 + 20𝜆2 + 15𝜆 + 4
= (𝜆 − 4)(𝜆 + 1)(𝜆 + 1)(𝜆 + 1)(𝜆 + 1)
Jadi didapatkan nilai eigen bagi 𝐾5 adalah = 4 , dan 𝜆 = −1
Setelah mendapatkan nilai eigen maka akan dicari vektor eigennya, yaitu:
−𝜆 1 1 1 1
111
−𝜆 1 1
1−𝜆 1
1 1−𝜆
111
1 1 1 1 −𝜆
𝑘𝑙𝑚𝑛𝑜
=
00000
![Page 18: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/18.jpg)
36
Dibstitusikan nilai 𝜆 = 4 dan 𝜆 = −1 ke dalam persamaan di atas. Pada graf
komplit 𝐾5 menghasilkan matriks adjacency 5 × 5 sehingga untuk menentukan
vektor eigen maka matriks di atas akan direduksi menjadi bentuk eselon tereduksi
baris
Untuk 𝜆 = 4, maka
[𝐴 − 𝜆1 𝐼│0] =
−4 1 1 1 1 0
111
−4 1 1
1−4 1
1 1−4
1 01 01 0
1 1 1 1 −4 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
i. 𝑘 − 𝑜 = 0 ; sehingga 𝑘 = 𝑜
ii. 𝑙 − 𝑜 = 0 ; sehingga 𝑙 = 𝑜
iii. 𝑚 − 𝑜 = 0 ;sehingga 𝑚 = 𝑜
iv. 𝑛 − 𝑜 = 0 ; sehingga 𝑛 = 𝑜
Dari (i), (ii), (iii) dan (iv) maka diperoleh
𝑘 = 𝑙 = 𝑚 = 𝑛 = 𝑜
Misal 𝑜 = 𝑠, maka diperoleh bahwa solusi umum bagi 𝐴 − (4)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠1 =
𝑘𝑙𝑚𝑛𝑜
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
= 𝑠
11111
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 1.
Untuk 𝜆 = −1, dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) maka
didapatkan
![Page 19: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/19.jpg)
37
𝑣6 𝑣5
𝐴 − 𝜆1𝐼 0 =
1 1 1 1 1 0
111
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 01 01 0
1 1 1 1 1 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan 𝑣 + 𝑤 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑣 = −𝑤 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧
Misal 𝑤 = 𝑟, 𝑥 = 𝑠 , 𝑦 = 𝑡 dan 𝑧 = 𝑢 , maka diperoleh bahwa solusi umum bagi
𝐴 − (−1)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠2 =
𝑣𝑤𝑥𝑦𝑧
=
−𝑤 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧
𝑤𝑥𝑦𝑧
=
−𝑟 − 𝑠 − 𝑡 − 𝑢
𝑟𝑠𝑡𝑢
= 𝑟
−11000
+ 𝑠
−10100
+ 𝑡
−10010
+ 𝑢
−10001
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 4.
Jadi untuk 𝜆 = 3 terdapat satu basis ruang vektor eigen , dan untuk 𝜆 = −1
terdapat empat basis vektor eigen, jadi spectrum graf komplit 𝐾5 adalah
Spect 𝑲𝟓 = 𝟒 −𝟏𝟏 𝟒
5. Spectrum dari Graf Komplit (𝑲𝟔)
Untuk graf komplit 𝐾6 yang dapat digambarkan grafnya seperti Gambar 4.5
berikut
![Page 20: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/20.jpg)
38
𝑣4 𝑣1
𝑣3 𝑣2
𝐾6 :
Gambar 4.5. Garf Komplit (𝐾6)
Pada graf komplit 𝐾6 menghasilkan matriks adjacency sebagai berikut
𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣6
𝐴=
𝑣1
𝑣2𝑣3
𝑣4𝑣5
𝑣6
0 1 1 1 1 11111
0111
1011
1101
1110
1111
1 1 1 1 1 0
𝐴 =
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
1111
1111
1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 0
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝜆6 − 15𝜆4 − 40𝜆3 − 45𝜆2 − 24𝜆 − 5
= 𝜆 − 5 (𝜆 + 1)(𝜆 + 1)(𝜆 + 1)(𝜆 + 1)(𝜆 + 1)
Jadi didapatkan nilai eigen bagi 𝐾6 adalah = 5 , dan 𝜆 = −1
Setelah mendapatkan nilai eigen maka akan dicari vektor eigennya, yaitu:
![Page 21: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/21.jpg)
39
−𝜆 1 1 1 1 1111
−𝜆 1 1
1−𝜆 1
1 1−𝜆
1 11 11 1
11
11
11
11
– 𝜆 1 1 – 𝜆
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓
=
000000
Disubstitusikan nilai 𝜆 = 5 dan 𝜆 = −1 ke dalam persamaan di atas. Pada
graf komplit 𝐾6 menghasilkan matriks adjacency 6 × 6 sehingga untuk
menentukan vektor eigen maka matriks di atas akan direduksi menjadi bentuk
eselon tereduksi baris
Untuk 𝜆 = 5, maka
𝐴 − 𝜆𝐼 0 =
−5 1 1 1 1 1 0111
−5 1 1
1−5 1
1 1−5
1 1 01 1 01 1 0
11
11
11
11
– 5 1 0 1 1 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
i. 𝑘 − 𝑝 = 0 ; sehingga 𝑘 = 𝑝
ii. 𝑙 − 𝑝 = 0 ; sehingga 𝑙 = 𝑝
iii. 𝑚 − 𝑝 = 0 ; sehingga 𝑚 = 𝑝
iv. 𝑛 − 𝑝 = 0 ; sehingga 𝑛 = 𝑝
v. 𝑜 − 𝑝 = 0 ; sehingga 𝑜 = 𝑝
Dari (i), (ii), (iii), (iv) dan (v) didapatkan
𝑘 = 𝑙 = 𝑚 = 𝑛 = 𝑜 = 𝑝
Misal 𝑝 = 𝑠, maka diperoleh bahwa solusi umum bagi 𝐴 − (5)𝐼 𝑋 = 0 adalah
![Page 22: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/22.jpg)
40
𝑠1 =
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
= 𝑠
111111
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 1.
Untuk 𝜆 = −1, dengan menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE) maka
didapatkan
[𝐴 − 𝜆 𝐼│0] =
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1111
1 01 01 01 0
1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 0
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
𝑘 + 𝑙 + 𝑚 + 𝑛 + 𝑜 + 𝑝 = 0
𝑘 = −𝑙 − 𝑚 − 𝑛 − 𝑜 − 𝑝
Misal 𝑙 = 𝑟, 𝑚 = 𝑠 ,𝑛 = 𝑡,𝑜 = 𝑢, dan 𝑝 = 𝑣 , maka diperoleh bahwa solusi umum
bagi 𝐴 − (−1)𝐼 𝑋 = 0 adalah
𝑠2 =
𝑘𝑙𝑚𝑛𝑜𝑝
=
−𝑙 − 𝑚 − 𝑛 − 𝑜 − 𝑝
𝑙𝑚𝑛𝑜𝑝
=
−𝑟 − 𝑠 − 𝑡 − 𝑢 − 𝑣
𝑟𝑠𝑡𝑢𝑣
= 𝑟
−110000
+ 𝑠
−101000
+ 𝑡
−100100
+ 𝑢
−100010
+ 𝑣
−100001
![Page 23: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/23.jpg)
41
Jadi basis untuk ruang vektor eigennya sebanyak 5.
Jadi untuk 𝜆 = 5 terdapat satu basis ruang vektor eigen , dan untuk 𝜆 = −1
terdapat lima basis ruang vektor eigen , jadi spectrum graf komplit 𝐾5 adalah
Spect 𝑲𝟔 = 𝟓 −𝟏𝟏 𝟓
Teorema:
Misal 𝐾𝑛 graf komplit order n, maka spectrum graf komplit (𝐾𝑛) adalah
Spec 𝐾𝑛 = (𝑛 − 1) −1
1 (𝑛 − 1)
Bukti:
Misal 𝐾𝑛 adalah graf komplit order n, maka
Matriks adjacency dari graf komplit (𝐾𝑛)
𝑣1 𝑣2 𝑣3 ⋯ 𝑣𝑛
𝐴 =
𝑣1
𝑣2𝑣3
⋮𝑣𝑛
0 1 1 ⋯ 111⋮
0 1 ⋯1 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱
111
1 1 1 ⋯ 0
Dari matriks adjacency di atas, maka akan dicari nilai eigennya dengan menentukan
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
det
−𝜆 1 1 ⋯ 111⋮
−𝜆 1 ⋯ 1 −𝜆 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱
111
1 1 1 ⋯ −𝜆
= 0
Melalui operasi baris elementer, matriks det 𝐴 − 𝜆𝐼 direduksi menjadi matriks
segitiga atas diperoleh,
![Page 24: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/24.jpg)
42
2
2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
( 1)( )( 1) 1 1 1 10
1 20 0
1 1 1 1
1 30 0 0
2 2 2
1 40 0 0
3
02
10 0 0 0 0
1
n
n
n
det 𝐴 − 𝜆𝐼 tidak lain adalah hasil perkalian diagonal matrik segitiga atas tersebut.
Jadi
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝜆 − 𝑛 − 1 𝜆 + 1 𝑛−1
Karena, det 𝐴 = 0, maka
𝜆 − 𝑛 − 1 𝜆 + 1 𝑛−1 = 0
Sehingga didapatkan 𝜆 = (𝑛 − 1) atau 𝜆 = −1
Akan dibuktikan untuk 𝜆 = 𝑛 − 1 akan didapatkan banyaknya basis ruang
vektor eigen adalah 1.
untuk 𝜆 = 𝑛 − 1 akan didapatkan
𝐴 − 𝜆𝐼 =
(𝑛 − 1) 1 1 ⋯ 1
11⋮
(𝑛 − 1) 1 …1 (𝑛 − 1) …⋮ ⋮ ⋱
11⋮
1 1 1 ⋯ (𝑛 − 1)
Akan ditunjukkan vektor eigen untuk 𝜆 = 𝑛 − 1
𝐴 − 𝜆𝐼 𝑥 = 0
![Page 25: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/25.jpg)
43
=
(𝑛 − 1) 1 1 ⋯ 1
11⋮
(𝑛 − 1) 1 …1 (𝑛 − 1) …⋮ ⋮ ⋱
11⋮
1 1 1 ⋯ (𝑛 − 1)
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥(𝑛−1)
𝑥𝑛
=
00⋮00
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
=
1 0 0 ⋯ −100⋮
1 0 ⋯0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱
−1−1−1
0 0 0 ⋯ 0
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥(𝑛−1)
𝑥𝑛
=
00⋮00
Kemudian didapatkan
i. 𝑥1 = 𝑥𝑛
ii. 𝑥2 = 𝑥𝑛
iii. ⋮ = 𝑥𝑛
iv. 𝑥(𝑛−1) = 𝑥𝑛
Sehingga dari i, ii,iii, dan iv diperoleh
𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥(𝑛−1) = 𝑥𝑛
Misal 𝑥𝑛 = 𝑠 maka vektor eigennya adalah
𝑆1 =
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥(𝑛−1)
𝑥𝑛
=
𝑠𝑠⋮𝑠𝑠
= 𝑠
11⋮11
Jadi didapatkan banyaknya basis ruang vektor eigen untuk 𝜆 = 𝑛 − 1 adalah 1
![Page 26: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/26.jpg)
44
Akan dibuktikan untuk 𝜆 = −1 akan didapatkan banyaknya basis ruang
vektor eigen adalah (𝑛 − 1).
Untuk 𝜆 = −1 akan didapatkan
𝐴 − 𝜆𝐼 =
1 1 1 ⋯ 111⋮
1 1 ⋯1 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱
111
1 1 1 ⋯ 1
Untuk 𝜆 = −1 akan didapatkan
𝐴 − 𝜆𝐼 𝑥 = 0
=
1 1 1 ⋯ 111⋮
1 1 ⋯1 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱
111
1 1 1 ⋯ 1
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥(𝑛−1)
𝑥𝑛
=
00⋮00
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka
didapatkan
=
1 1 1 ⋯ 100⋮
0 0 ⋯0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱
000
0 0 0 ⋯ 0
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥(𝑛−1)
𝑥𝑛
=
00⋮00
Kemudian didapatkan
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥(𝑛−1) + 𝑥𝑛 = 0
𝑥1 = −𝑥2 − 𝑥2 − ⋯− 𝑥(𝑛−1) − 𝑥𝑛
maka vektor eigennya adalah
![Page 27: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/27.jpg)
45
𝑆2 =
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥(𝑛−1)
𝑥𝑛
=
−𝑥2 − 𝑥2 − ⋯− 𝑥(𝑛−1) − 𝑥𝑛
𝑥2
⋮𝑥(𝑛−1)
𝑥𝑛
= 𝑥2
−1 1 0 ⋮
000
+ 𝑥3
−1 0 1 0
⋮00
+ 𝑥4
−1 0 0 1
0⋮0
+ ⋯ + 𝑥(𝑛−1)
−1 0 0
0
⋮10
+ 𝑥𝑛
−1 0 0 0
⋮01
Jadi didapatkan banyaknya basis ruang vektor eigen untuk 𝜆 = −1 adalah (𝑛 − 1)
Jadi terbukti bahwa Spec 𝑲𝒏 = (𝒏 − 𝟏) −𝟏
𝟏 (𝒏 − 𝟏)
B. Spectrum Graf Star nS
1. Spectrum 2S
2S :
Representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 2 adalah:
2
0 1 1
1 0 0
1 0 0
A S
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
2
0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1 1 0
A S I
![Page 28: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/28.jpg)
46
2
2
2 2
2
2
1 1
1 10 2
20 0
1
det A S I A S I
Nilai eigen diperoleh dengan:
2
2 2 0A S I
2 2 0
1 0 , 2 2 atau
3 2
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 2 adalah:
Untuk 1 0 , maka
1
2 1 2
3
0 1 1
1 0 0 0
1 0 0
x
A S I x x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
2 3 2 30x x x x ... 1
1 0x ... 2
Misalkan 2x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 3x pada persamaan (1) maka
diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
0 0
1
1
x
x s s
x s
, basisnya adalah 1 dengan 1 0 .
Untuk 2 2 , maka
![Page 29: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/29.jpg)
47
1
2 2 2
3
2 1 1
1 2 0 0
1 0 2
x
A S I x x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 32 0x x x ... 1
1 2 1 22 0 2x x x x ... 2
1 3 1 32 0 2x x x x ... 3
Misalkan 1x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 2x dan 3x pada persamaan (1),
(2) dan (3) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
1
1 12 2
2 2
1 12 2
2 2
sx
x s s
x
s
, basisnya adalah 1 dengan 2 2 .
Untuk 3 2 , maka
1
2 3 2
3
2 1 1
1 2 0 0
1 0 2
x
A S I x x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 32 0x x x
1 2 1 22 0 2x x x x
1 3 1 32 0 2x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 2x dan 3x pada persamaan
diatas maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 30: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/30.jpg)
48
1
2
3
1
1 12 2
2 2
1 12 2
2 2
sx
x s s
x
s
, basisnya adalah 1 dengan 3 2 .
Jadi 2
2 0 2
1 1 1Spec S
2. Spectrum 3S
3S :
Representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 3 adalah:
3
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
A S
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
3
0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
A S I
![Page 31: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/31.jpg)
49
2
2 22
3
2 2
2
2
1 1 1
1 1 10
320 0
1 1
30 0 0
2
A S I
Nilai eigen diperoleh dengan:
2 2
3 3 0A S I
2 3 3 0
1 0 , 2 3 atau
3 3
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 3 adalah:
Untuk 1 0 , maka
1
2
3 1
3
4
0 1 1 1
1 0 0 00
1 0 0 0
1 0 0 0
x
xA S I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
2 3 4 4 2 30x x x x x x ... 1
1 0x ... 2
Misalkan 2x s , 3x t dan , 0s t , dengan mencari nilai dari 4x pada persamaan (1)
maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
0 0 0
1 0
0 1
1 1
x
x ss t
x t
x s t
, basisnya adalah 2 dengan 1 0 .
![Page 32: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/32.jpg)
50
Untuk 2 3 , maka
1
2
3 2
3
4
3 1 1 1
1 3 0 00
1 0 3 0
1 0 0 3
x
xA S I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 3 43 0x x x x
1 2 1 23 0 3x x x x
1 3 1 33 0 3x x x x
1 4 1 43 0 3x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 2x dan 3x pada persamaan
diatas maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
1
1 13 3
3 3
1 13 3
3 3
1 13 3
3 3
s
x s
xs
x s
x
s
, basisnya adalah 1 dengan 2 3 .
Untuk 3 3 , maka
1
2
3 3
3
4
3 1 1 1
1 3 0 00
1 0 3 0
1 0 0 3
x
xA S I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
![Page 33: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/33.jpg)
51
1 2 3 43 0x x x x
1 2 1 23 0 3x x x x
1 3 1 33 0 3x x x x
1 4 1 43 0 3x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 2x dan 3x pada persamaan
diatas, maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
1
1 13 3
3 3
1 13 3
3 3
1 13 3
3 3
s
x s
xs
x s
x
s
, basisnya adalah 1 dengan 3 3 .
Jadi 3
3 0 3
1 2 1Spec S
3. Spectrum 4S
4S :
Representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 4 adalah:
4
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
A S
![Page 34: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/34.jpg)
52
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
4
1 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
A S I
2
2
2 2 24
2
2 2
2
2
1 1 1 1
1 1 1 10
20 0
1 1 1
30 0 0
2 2
40 0 0 0
3
A S I
3 2 4
Nilai eigen diperoleh dengan:
3 2
4 4 0A S I
3 4 4 0
1 0 , 2 4 atau
3 4
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 4 adalah:
Untuk 1 0 , maka
1
2
4 1 3
4
5
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
01 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
x
x
A S I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
2 3 4 5 5 2 3 40x x x x x x x x ... 1
![Page 35: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/35.jpg)
53
1 0x ... 2
Misalkan 2x s , 3x t , 4x u dan , , 0s t u , dengan mencari nilai dari 5x pada
persamaan (1) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
0 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1
x
x s
x s t ut
x u
x s t u
, basisnya adalah 3 dengan 1 0 .
Untuk 2 4 , maka
1
2
4 2 3
4
5
4 1 1 1 1
1 4 0 0 0
01 0 4 0 0
1 0 0 4 0
1 0 0 0 4
x
x
A S I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 3 4 54 0x x x x x
1 2 1 24 0 4x x x x
1 3 1 34 0 4x x x x
1 4 1 44 0 4x x x x
1 5 1 54 0 4x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 36: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/36.jpg)
54
1
2
3
4
5
1
1 14 4
4 4
1 14 4
4 4
1 14 4
4 4
1 14 4
4 4
s
sx
xs
x s
xs
x
s
, basisnya adalah 1 dengan 2 4 .
Untuk 3 4 , maka
1
2
4 3 3
4
5
4 1 1 1 1
1 4 0 0 0
01 0 4 0 0
1 0 0 4 0
1 0 0 0 4
x
x
A S I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 3 4 54 0x x x x x
1 2 1 24 0 4x x x x
1 3 1 34 0 4x x x x
1 4 1 44 0 4x x x x
1 5 1 54 0 4x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , maka vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
1
1 14 4
4 4
1 14 4
4 4
1 14 4
4 4
1 14 4
4 4
s
sx
xs
x s
xs
x
s
, basisnya adalah 1 dengan 3 4 .
Jadi 4
4 0 4
1 3 1Spec S
![Page 37: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/37.jpg)
55
4. Spectrum 5S
5S :
Representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 5 adalah:
5
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
A S
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
5
1 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
A S I
2
2
2 2 2 2
2
52 2 2
2
2 2
2
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 10
20 0
1 1 1 1
30 0 0
2 2 2
40 0 0 0
3 3
50 0 0 0 0
4
A S I
![Page 38: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/38.jpg)
56
4 2 5
Nilai eigen diperoleh dengan:
4 2
5 5 0A S I
4 5 5 0
1 0 , 2 5 atau 3 5
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 5 adalah:
Untuk 1 0 , maka
1
2
3
5 1
4
5
6
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 00
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
x
x
xA S I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
2 3 4 5 6 6 2 3 4 50x x x x x x x x x x ... 1
1 0x ... 2
Misalkan 2x s , 3x t , 4x u 4, x v dan , , , 0s t u v , dengan mencari nilai dari 6x
pada persamaan (1) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 1
x
x s
x ts t u v
x u
x v
x s t u v
basisnya adalah 4 dengan 1 0 .
![Page 39: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/39.jpg)
57
Untuk 2 5 , maka
1
2
3
5 2
4
5
6
5 1 1 1 1 1
1 5 0 0 0 0
1 0 5 0 0 00
1 0 0 5 0 0
1 0 0 0 5 0
1 0 0 0 0 5
x
x
xA S I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 3 4 5 65 0x x x x x x
1 2 1 25 0 5x x x x
1 3 1 35 0 5x x x x
1 4 1 45 0 5x x x x
1 5 1 55 0 5x x x x
1 6 1 65 0 5x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
1
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
s
sx
x s
xs
x s
x
sx
s
, basisnya adalah 1 dengan 2 5 .
![Page 40: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/40.jpg)
58
Untuk 3 5 , maka
1
2
3
5 3
4
5
6
5 1 1 1 1 1
1 5 0 0 0 0
1 0 5 0 0 00
1 0 0 5 0 0
1 0 0 0 5 0
1 0 0 0 0 5
x
x
xA S I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 3 4 5 65 0x x x x x x
1 2 1 25 0 5x x x x
1 3 1 35 0 5x x x x
1 4 1 45 0 5x x x x
1 5 1 55 0 5x x x x
1 6 1 65 0 5x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 2x dan 3x pada persamaan
diatas maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 41: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/41.jpg)
59
1
2
3
4
5
6
1
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
1 15 5
5 5
s
sx
x s
xs
x s
x
sx
s
, basisnya adalah 1 dengan 3 5 .
Jadi 5
5 0 5
1 4 1Spec S
5. Spectrum 6S
6S :
Representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 5 adalah:
6
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
A S
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
![Page 42: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/42.jpg)
60
6
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
A S I
2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 26
2
2 2 2
2
2 2
2
2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 10
20 0
1 1 1 1 1
30 0 0
2 2 2 2
40 0 0 0
3 3 3
50 0 0 0 0
4 4
60 0 0 0 0 0
5
A S I
5 2 6
Nilai eigen diperoleh dengan:
5 2
6 6 0A S I
5 6 6 0
1 0 , 2 6 atau 3 6
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf star dengan n = 6 adalah:
Untuk 1 0 , maka
![Page 43: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/43.jpg)
61
1
2
3
6 1 4
5
6
7
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
01 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
x
x
x
A S I x x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
2 3 4 5 6 7 7 2 3 4 5 60x x x x x x x x x x x x ... 1
1 0x ... 2
Misalkan 2x s , 3x t , 4x u 5, x v 6, x w dan , , , , 0s t u v w , dengan mencari
nilai dari 6x pada persamaan (1) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
7
0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 1 1 1
x
x s
x t
x s t u vu
x v
x w
x s t u v w
0
0
0
0
0
1
1
w
basisnya adalah 5 dengan 1 0 .
Untuk 2 6 , maka
1
2
3
6 2 4
5
6
7
6 1 1 1 1 1 1
1 6 0 0 0 0 0
1 0 6 0 0 0 0
01 0 0 6 0 0 0
1 0 0 0 6 0 0
1 0 0 0 0 6 0
1 0 0 0 0 0 6
x
x
x
A S I x x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 3 4 5 6 76 0x x x x x x x
1 2 1 26 0 6x x x x
![Page 44: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/44.jpg)
62
1 3 1 36 0 6x x x x
1 4 1 46 0 6x x x x
1 5 1 56 0 6x x x x
1 6 1 66 0 6x x x x
1 7 1 76 0 6x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
7
1
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
s
s
x
sx
xs
x s
xs
x
x s
s
, basisnya adalah 1 dengan 2 6 .
Untuk 3 6 , maka
1
2
3
6 3 4
5
6
7
6 1 1 1 1 1 1
1 6 0 0 0 0 0
1 0 6 0 0 0 0
01 0 0 6 0 0 0
1 0 0 0 6 0 0
1 0 0 0 0 6 0
1 0 0 0 0 0 6
x
x
x
A S I x x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 3 4 5 6 76 0x x x x x x x
![Page 45: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/45.jpg)
63
1 2 1 26 0 6x x x x
1 3 1 36 0 6x x x x
1 4 1 46 0 6x x x x
1 5 1 56 0 6x x x x
1 6 1 66 0 6x x x x
1 7 1 76 0 6x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
7
1
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
1 16 6
6 6
s
s
x
sx
xs
x s
xs
x
x s
s
, basisnya adalah 1 dengan 3 6 .
Jadi 6
6 0 6
1 5 1Spec S
Teorema
Misal nS
adalah graf star dengan 1n N , maka spectrum nS adalah
10
1 1 1
n
n
n nSpec S
n
Bukti
![Page 46: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/46.jpg)
64
Misalkan nA S adalah matrik adjacent dari graf star nS , maka
0 1 1
1 0 0
1 0 0
nA S
Pertama akan ditentukan persamaan karakteristik dari nA S , yaitu
0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0det
0
1 0 0 0 0 1 1 0
nA S I
Melalui operasi baris matrik 𝐴 𝑆𝑛 − 𝜆𝐼 direduksi menjadi matrik segitiga atas
diperoleh:
2
2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
( 1)( )( 1) 1 1 1 10
1 20 0
1 1 1 1
1 30 0 0
2 2 2
1 40 0 0
3
02
10 0 0 0 0
1
n
n
n
det nA S I tidak lain adalah hasil perkalian diagonal matrik segitiga atas
tersebut. Jadi persaman polinomial karakteristiknya adalah :
2
2det 1
n n
nA S I n
![Page 47: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/47.jpg)
65
2
21
n nn
2
21
n nn
1 1 21
n nn
Nilai eigenya adalah:
1 1 2det 1 0
n n
nA S I n
1 1
1 0n n
atau 2 0n
Kemudian diperoleh nilai eigen 1
1 0n atau 2,3 n .
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuain dengan
1 .
Untuk 1
1 0n , kita subsitusikan 1 ke dalam matrik 1nA S I diperoleh:
1
2
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 0 0n
x
x
x
Didapatkan sistem persamaan linier:
2 0nx x ... 1
1 0x ... 2
Misalkan 2 2 1 1,..., n nx s x s dan 2 1,..., 0ns s , dengan mencari nilai dari nx pada
persamaan (1) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 48: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/48.jpg)
66
1
2 2
3 3
4 4 2 3 4 1
5 5
2 3 4 5
0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
...0 0 1 0
0 0 0
... 1 1 1
n
n n
x
x s
x s
x s s s s s
x s
x s s s s s
0
0
0
0
1 0
1 1
ns
Jadi basis pada matrik diatas adalah 1 1m n .
Untuk 2 n , vektor eigennya diperoleh dengan mensubsitusikan 2 ke dalam
matrik 2nA S I , sehingga diperoleh:
1
2
3
1 1 1 0
1 0 0 0
01 0
0
01 0 0 n
n x
xn
xn
xn
Didapatkan sistem persamaan linier:
1 2 3
1 2
1 3
1
... 0n
n
nx x x x
x nx
x nx
x nx
Misalkan 1x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 49: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/49.jpg)
67
1
2
3
1
n
s
n nx sn n
xn n
x ssn n
xn n
sn n
Jadi basis pada matrik diatas adalah 2 1m n .
Untuk 3 n , vektor eigennya:
1
2
3
1 1 1 0
1 0 0 0
01 0
0
01 0 0 n
n x
xn
xn
xn
Didapatkan sistem persamaan linier:
1 2 3
1 2
1 3
1
... 0n
n
nx x x x
x nx
x nx
x nx
Misalkan 1x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 50: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/50.jpg)
68
1
2
3
1
n
s
n nx sn n
xn n
x ssn n
xn n
sn n
Jadi basis pada matrik diatas adalah 3 1m n .
Jadi, terbukti bahwa 10
1 1 1
n
n
n nSpec S
n
C. Spectrum Graf Komplit Bipartisi ,m nK
1. Spectrum 2,2K
2,2K :
Representasi matrik adjacent 2,2K adalah:
2,2
0 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 0
A K
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
![Page 51: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/51.jpg)
69
2,2
0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0
1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
A K I
2
2 2
2,2 2,2
2
2
0 1 1
0 1 1
2 240 0
40 0 0
2
det K I K I
Nilai eigen diperoleh dengan:
2 2
2,2 4 0K I
2 4 4 0
1 0 , 2 4 atau
3 4
Basis dari representasi matrik adjacent dari 2,2K adalah:
Untuk 1 0 , maka
1
2
2,2 1
3
4
0 0 1 1
0 0 1 10
1 1 0 0
1 1 0 0
x
xK I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
3 4 3 40x x x x
... 1
1 2 1 20x x x x ... 2
Misalkan 2x s , 4x t dan , 0s t , dengan mencari nilai dari 1x dan 3x pada
persamaan (1) dan (2), maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 52: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/52.jpg)
70
1
2
3
4
1 0
1 0
0 1
0 1
x s
x ss t
x t
x t
basisnya adalah 2 dengan 1 0 .
Untuk 2 4 , maka
1
2
2,2 2
3
4
4 0 1 1
0 4 1 10
1 1 4 0
1 1 0 4
x
xK I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 3 4 3 4 14 0 4x x x x x x
2 3 4 3 4 24 0 4x x x x x x
1 2 3 1 2 34 0 4x x x x x x
1 2 4 1 2 44 0 4x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 23 4
4
x xx x
dan
3 41 2
4
x xx x
Misalkan 1 2x x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 3x dan 4x pada persamaan
diatas, maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 53: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/53.jpg)
71
1
2
3
4
1
1
2 2,
4 4
2 2
4 4
s
x s
xss
x
xs
basisnya adalah 1 dengan 2 4 .
Untuk 3 4 , maka
1
2
2,2 3
3
4
4 0 1 1
0 4 1 10
1 1 4 0
1 1 0 4
x
xK I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 3 4 3 4 14 0 4x x x x x x
2 3 4 3 4 24 0 4x x x x x x
1 2 3 1 2 34 0 4x x x x x x
1 2 4 1 2 44 0 4x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 23 4
4
x xx x
dan
3 41 2
4
x xx x
Misalkan 1 2x x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 3x dan 4x , maka diperoleh
vektor eigennya adalah:
![Page 54: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/54.jpg)
72
1
2
3
4
1
1
2 2
4 4
2 2
4 4
s
x s
xss
x
xs
basisnya adalah 1 dengan 3 4 .
Jadi 2,2
4 0 4
1 2 1Spec K
2. Spectrum 2,3K
2,3K :
Representasi matrik adjacent 2,3K adalah:
2,3
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
A K
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
![Page 55: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/55.jpg)
73
2,3
0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
A K I
2
3 2
2,3 2
2 2
2
2
0 1 1 1
0 1 1 1
2 2 20 0
64 2
0 0 02 2
60 0 0 0
4
K I
Nilai eigen diperoleh dengan:
3 2
2,3 6 0K I
3 6 6 0
1 0 , 2 6 atau
3 6
Basis dari representasi matrik adjacent dari 2,3K adalah:
Untuk 1 0 , maka
1
2
2,3 1 3
4
5
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
01 1 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
x
x
K I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
3 4 5 3 4 50x x x x x x
... 1
![Page 56: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/56.jpg)
74
1 2 1 20x x x x ... 2
Misalkan 2x s , 4 ,x t 5x u dan , , 0s t u , dengan mencari nilai dari 1x dan 3x
pada persamaan (1) dan (2), maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
1 0 0
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
x s
x s
x s t ut u
x t
x u
basisnya adalah 3 dengan 1 0 .
Untuk 2 6 , maka
1
2
2,3 2 3
4
5
6 0 1 1 1
0 6 1 1 1
01 1 6 0 0
1 1 0 6 0
1 1 0 0 6
x
x
K I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 3 4 5 3 4 5 16 0 6x x x x x x x x
2 3 4 5 3 4 5 26 0 6x x x x x x x x
1 2 3 1 2 36 0 6x x x x x x
1 2 4 1 2 46 0 6x x x x x x
1 2 5 1 2 56 0 6x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 23 4 5
6
x xx x x
dan
3 4 51 2
6
x x xx x
![Page 57: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/57.jpg)
75
Misalkan 1 2x x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 3,x 4x
dan 5x , maka
diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
1
1
2 2
6 6
2 2
6 6
2 2
6 6
s
sx
x s
x s
sx
x
s
basisnya adalah 1 dengan 2 6 .
Untuk 3 6 , maka
1
2
2,3 3 3
4
5
6 0 1 1 1
0 6 1 1 1
01 1 6 0 0
1 1 0 6 0
1 1 0 0 6
x
x
K I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 3 4 5 3 4 5 16 0 6x x x x x x x x
2 3 4 5 3 4 5 26 0 6x x x x x x x x
1 2 3 1 2 36 0 6x x x x x x
1 2 4 1 2 46 0 6x x x x x x
1 2 5 1 2 56 0 6x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
![Page 58: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/58.jpg)
76
1 23 4 5
6
x xx x x
dan
3 4 51 2
6
x x xx x
Misalkan 1 2x x s
dan 0s , dengan mencari nilai dari 3,x 4x dan 5x , maka
diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
1
1
2 2
6 6
2 2
6 6
2 2
6 6
s
sx
x s
x s
sx
x
s
basisnya adalah 1 dengan 3 6 .
Jadi 2,3
6 0 6
1 3 1Spec K
3. Spectrum 2,4K
2,4K :
Representasi matrik adjacent 2,4K adalah:
2,4
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
A K
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
![Page 59: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/59.jpg)
77
2,4
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
A K I
2
2
4 2
2,4 2 2 2
2
2 2
2
2
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
2 2 2 20 0
4 2 280 0 0
2 2 2
6 20 0 0 0
4 4
80 0 0 0 0
6
K I
Nilai eigen diperoleh dengan:
4 2
2,4 8 0K I
4 8 8 0
1 0 , 2 8 atau
3 8
Basis dari representasi matrik adjacent dari 2,4K adalah:
Untuk 1 0 , maka
1
2
3
2,4 1
4
5
6
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 00
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
x
x
xK I x
x
x
x
![Page 60: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/60.jpg)
78
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
3 4 5 6 3 4 5 60x x x x x x x x
... 1
1 2 1 20x x x x ... 2
Misalkan 2x s , 4 ,x t 5 ,x u 6x v dan , , , 0s t u v , dengan mencari nilai dari 1x
dan 3x pada persamaan (1) dan (2), maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x s
x s
x t u vs t u v
x t
x u
x v
basisnya adalah 4 dengan 1 0 .
Untuk 2 8 , maka
1
2
3
2,4 2
4
5
6
8 0 1 1 1 1
0 8 1 1 1 1
1 1 8 0 0 00
1 1 0 8 0 0
1 1 0 0 8 0
1 1 0 0 0 8
x
x
xK I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 3 4 5 6 3 4 5 6 18 0 8x x x x x x x x x x
2 3 4 5 6 3 4 5 6 28 0 8x x x x x x x x x x
1 2 3 1 2 38 0 8x x x x x x
1 2 4 1 2 48 0 8x x x x x x
![Page 61: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/61.jpg)
79
1 2 5 1 2 58 0 8x x x x x x
1 2 6 1 2 68 0 8x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 23 4 5 6
8
x xx x x x
dan
3 4 5 61 2
8
x x x xx x
Misalkan 1 2x x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
1
1
2 2
8 8
2 2
8 8
2 2
8 8
2 2
8 8
s
s
xs
x
xss
x
xs
x
s
basisnya adalah 1 dengan 2 8 .
Untuk 3 8 , maka
1
2
3
2,4 2
4
5
6
8 0 1 1 1 1
0 8 1 1 1 1
1 1 8 0 0 00
1 1 0 8 0 0
1 1 0 0 8 0
1 1 0 0 0 8
x
x
xK I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 3 4 5 6 3 4 5 6 18 0 8x x x x x x x x x x
2 3 4 5 6 3 4 5 6 28 0 8x x x x x x x x x x
1 2 3 1 2 38 0 8x x x x x x
![Page 62: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/62.jpg)
80
1 2 4 1 2 48 0 8x x x x x x
1 2 5 1 2 58 0 8x x x x x x
1 2 6 1 2 68 0 8x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 23 4 5 6
8
x xx x x x
dan
3 4 5 61 2
8
x x x xx x
Misalkan 1 2x x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
1
1
2 2
8 8
2 2
8 8
2 2
8 8
2 2
8 8
s
s
xs
x
xss
x
xs
x
s
basisnya adalah 1 dengan 3 8 .
Jadi 2,4
8 0 8
1 4 1Spec K
4. Spectrum 3,3K
3,3K :
Representasi matrik adjacent 3,3K adalah:
![Page 63: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/63.jpg)
81
3,3
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
A K
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
3,3
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
A K I
2
4 2
3,3
2
2 2
2
2
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
3 3 30 0 0
9
6 30 0 0 0
3 3
90 0 0 0 0
6
K I
Nilai eigen diperoleh dengan:
4 2
3,3 9 0K I
4 9 9 0
1 0 , 2 9 atau
3 9
Basis dari representasi matrik adjacent dari 3,3K adalah:
Untuk 1 0 , maka
![Page 64: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/64.jpg)
82
1
2
3
3,3 1
4
5
6
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 10
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
x
x
xK I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
4 5 6 4 5 60x x x x x x
... 1
1 2 3 1 2 30x x x x x x ... 2
Misalkan 2x s , 3 ,x t 5 ,x u 6x v dan , , , 0s t u v , dengan mencari nilai dari 1x
dan 4x pada persamaan (1) dan (2), maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
x s t
x s
x ts t u v
x u v
x u
x v
basisnya adalah 4 dengan 1 0 .
Untuk 2 9 , maka
1
2
3
3,3 2
4
5
6
9 0 0 1 1 1
0 9 0 1 1 1
0 0 9 1 1 10
1 1 1 9 0 0
1 1 1 0 9 0
1 1 1 0 0 9
x
x
xK I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
![Page 65: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/65.jpg)
83
1 4 5 6 4 5 6 19 0 9x x x x x x x x
2 4 5 6 4 5 6 29 0 9x x x x x x x x
3 4 5 6 4 5 6 39 0 9x x x x x x x x
1 2 3 4 1 2 3 49 0 9x x x x x x x x
1 2 3 5 1 2 3 59 0 9x x x x x x x x
1 2 3 6 1 2 3 69 0 9x x x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 2 34 5 6
9
x x xx x x
dan
4 5 61 2 3
9
x x xx x x
Misalkan 1 2 3x x x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
1
1
1
3 3
9 9
3 3
9 9
3 3
9 9
s
sx
sx
x ss
x
sx
x
s
basisnya adalah 1 dengan 2 9 .
Untuk 3 9 , maka
![Page 66: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/66.jpg)
84
1
2
3
3,3 3
4
5
6
9 0 0 1 1 1
0 9 0 1 1 1
0 0 9 1 1 10
1 1 1 9 0 0
1 1 1 0 9 0
1 1 1 0 0 9
x
x
xK I x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 4 5 6 4 5 6 19 0 9x x x x x x x x
2 4 5 6 4 5 6 29 0 9x x x x x x x x
3 4 5 6 4 5 6 39 0 9x x x x x x x x
1 2 3 4 1 2 3 49 0 9x x x x x x x x
1 2 3 5 1 2 3 59 0 9x x x x x x x x
1 2 3 6 1 2 3 69 0 9x x x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 2 34 5 6
9
x x xx x x
dan
4 5 61 2 3
9
x x xx x x
Misalkan 1 2 3x x x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
1
1
1
3 3
9 9
3 3
9 9
3 3
9 9
s
sx
sx
x ss
x
sx
x
s
![Page 67: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/67.jpg)
85
basisnya adalah 1 dengan 3 9 .
Jadi 3,3
9 0 9
1 4 1Spec K
5. Spectrum 3,4K
3,4K :
Representasi matrik adjacent 3,3K adalah:
3,4
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
A K
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
3,4
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
A K I
![Page 68: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/68.jpg)
86
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
2
2
3,4
2 2 2
2
2 2
2
2
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
3 3 3 30 0 0
6 3 30 0 0 0
3 3 3
9 30 0 0 0 0
6 6
120 0 0 0 0 0
9
K I
5 2 12
Nilai eigen diperoleh dengan:
5 2
3,4 12 0K I
5 12 12 0
1 0 , 2 12 atau
3 12
Basis dari representasi matrik adjacent dari 3,4K adalah:
Untuk 1 0 , maka
![Page 69: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/69.jpg)
87
1
2
3
3,4 1 4
5
6
7
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
01 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
x
x
x
K I x x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
4 5 6 7 4 5 6 70x x x x x x x x
... 1
1 2 3 1 2 30x x x x x x ... 2
Misalkan 2x s , 3 ,x t 5 ,x u 6 ,x v 7x w dan , , , , 0s t u v w , dengan mencari
nilai dari 1x dan 4x pada persamaan (1) dan (2), maka diperoleh vektor eigennya
adalah:
1
2
3
4
5
6
7
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
x s t
x s
x t
x s t u vu v w
x u
x v
x w
0
0
0
1
0
0
1
w
basisnya adalah 5 dengan 1 0 .
Untuk 2 12 , maka
![Page 70: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/70.jpg)
88
1
2
3
3,4 2 4
5
6
7
12 0 0 1 1 1 1
0 12 0 1 1 1 1
0 0 12 1 1 1 1
01 1 1 12 0 0 0
1 1 1 0 12 0 0
1 1 1 0 0 12 0
1 1 1 0 0 0 12
x
x
x
K I x x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 4 5 6 7 4 5 6 7 112 0 12x x x x x x x x x x
2 4 5 6 7 4 5 6 7 212 0 12x x x x x x x x x x
3 4 5 6 7 4 5 6 7 312 0 12x x x x x x x x x x
1 2 3 4 1 2 3 412 0 12x x x x x x x x
1 2 3 5 1 2 3 512 0 12x x x x x x x x
1 2 3 6 1 2 3 612 0 12x x x x x x x x
1 2 3 7 1 2 3 712 0 12x x x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 2 34 5 6 7
12
x x xx x x x
dan
4 5 6 71 2 3
12
x x x xx x x
Misalkan 1 2 3x x x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 71: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/71.jpg)
89
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
3 3
12 12
,3 3
12 12
3 3
12 12
3 3
12 12
s
s
x s
xs
x
x ss
x
xs
x
s
basisnya adalah 1 dengan 2 12 .
Untuk 3 12 , maka
1
2
3
3,4 3 4
5
6
7
12 0 0 1 1 1 1
0 12 0 1 1 1 1
0 0 12 1 1 1 1
01 1 1 12 0 0 0
1 1 1 0 12 0 0
1 1 1 0 0 12 0
1 1 1 0 0 0 12
x
x
x
K I x x
x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 4 5 6 7 4 5 6 7 112 0 12x x x x x x x x x x
2 4 5 6 7 4 5 6 7 212 0 12x x x x x x x x x x
3 4 5 6 7 4 5 6 7 312 0 12x x x x x x x x x x
1 2 3 4 1 2 3 412 0 12x x x x x x x x
1 2 3 5 1 2 3 512 0 12x x x x x x x x
1 2 3 6 1 2 3 612 0 12x x x x x x x x
![Page 72: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/72.jpg)
90
1 2 3 7 1 2 3 712 0 12x x x x x x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 2 34 5 6 7
12
x x xx x x x
dan
4 5 6 71 2 3
12
x x x xx x x
Misalkan 1 2 3x x x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
3 3
12 12
3 3
12 12
3 3
12 12
3 3
12 12
s
s
x s
xs
x
x ss
x
xs
x
s
basisnya adalah 1 dengan 3 12 .
Jadi 3,4
12 0 12
1 5 1Spec K
Teorema
Misal ,m nK
adalah graf komplit bipartisi dengan m, 1n N , maka spectrum ,m nK
adalah
2
,
0
1 2 1
m n
m n
mn mnSpec K
m n
Bukti
Misalkan ,m nA K adalah matrik adjacent dari ,m nK , maka
![Page 73: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/73.jpg)
91
,
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
m nA K
Pertama akan ditentukan persamaan karakteristik dari ,m nA K , yaitu
,
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
det 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
m nA K I
Melalui operasi baris matrik ,m nA K I direduksi menjadi matrik segitiga atas
diperoleh:
![Page 74: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/74.jpg)
92
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0
0 0 0 1 1 1 1 1
10 0 0 0
1 20 0 0 0 0
1 30 0 0 0 0 0
2
02
10 0 0 0 0 0 0 0
1
m m m m
m m m
m m m
m
m
m
m n
mn
m n
,det m nA K I tidak lain adalah hasil perkalian diagonal matrik segitiga atas
tersebut. Jadi persaman polinomial karakteristiknya adalah :
2
, 2
1det 1
m m
n n
m nA K I mn
2
2
1 1m m n n
mn
2
2
1m n m n
mn
2 21
m n m nmn
Nilai eigenya adalah:
2 2
,det 1 0m n m n
m nA K I mn
2
1 0m n m n
atau 2 0mn
Kemudian diperoleh nilai eigen 2
1 0m n atau 2,3 mn .
![Page 75: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/75.jpg)
93
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuain dengan
1 .
Untuk 2
1 0m n , kita subsitusikan 1 ke dalam matrik , 1m nA K I diperoleh:
1
2
1
1
1
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
0
0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
0
1 1 1 0 0 0 0 0
m
m
n
n
x
x
x
x
y
y
y
Didapatkan sistem persamaan linier:
1 2 1 0n ny y y y
1 2 1 0m mx x x x
Persamaan diatas dapat juga ditulis:
1 2 1n ny y y y dan 1 2 1n nx x x x
maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1 2
2 2
1 1
2 3
1 2 1
2
1
... 1 1
1 0
0 1
0
0
0 0
0 0
0 0
m
m m
m m
n n
m
m m
x x x
x x
x x
x x x x
y y y y
y
y
y y
2
1 0 0
0 0 0
0 0 0
... ...1 0 0
0 1 1
1 0
0
0 0 1
m nx y y
Jadi basis pada matrik diatas adalah 1 1 1 2m m n m n .
![Page 76: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/76.jpg)
94
Untuk 2 mn , vektor eigennya diperoleh dengan mensubsitusikan 2 ke dalam
matrik , 2m nA K I , sehingga diperoleh:
1
2
1
1
1
0 0 1 1 1 10
0 0 1 1 1 1 0
0
0 0 1 1 1 1
01 1 1 0 0 0
01 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 00
01 1 1 0 0 0
m
m
n
n
mnx
mn x
mn x
xmn
ymn
mny
ymn
Didapatkan sistem persamaan linier yang pertama:
1 1
2 1
1
... 0
... 0
... 0
n
n
m n
mnx y y
mnx y y
mnx y y
Dapat ditulis dengan
1 2 11 2 1
... n nm m
y y y yx x x x
mn
Persamaan linier yang kedua:
1 2 1 1
1 2 1 2
1 2 1
... 0
... 0
... 0
m m
m m
m m n
x x x x mn y
x x x x mn y
x x x x mn y
Dapat ditulis dengan
![Page 77: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/77.jpg)
95
1 2 11 2 1
... m mn n
x x x xy y y y
mn
maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1 2 1
1 2 1
1
2
1 2 1
1
1 2 1
1
1 2 1
1
1 2 1
1 2 1
...
...
...
...
...
...
...
n n
n n
n n
m
n n
m
m m
n
nm m
m m
y y y y
mn
y y y y
mnx
xy y y y
mnx
y y y yx
mny
x x x x
mny
yx x x x
mn
x x x x
mn
1
1
1
1
s
s
s
s
ms ms
mn mn
ms m
mn mn
ms m
mn mn
Dimana 1 2 1... n ny y y ys
mn
, jadi basis pada matrik diatas adalah 2 1m .
Untuk 3 mn , juga menggunakan cara yang sama, sehingga diperoleh
3 1m
Jadi, terbukti bahwa 2
,
0
1 2 1
m n
m n
mn mnSpec K
m n
D. Spectrum pada Graf Lintasan nP
1. Spectrum 1P
1P :
Representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 1 adalah:
1 0A P
![Page 78: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/78.jpg)
96
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
1 0nA P I
1 1det A P I A P I
Nilai eigen diperoleh dengan:
1 0A P I
0
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 1 adalah:
Untuk 0 , maka
1 0 0A P I x x
Misalkan x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1x s s , basisnya adalah 1 dengan 0 .
Jadi 1
0
1Spec P
2. Spectrum 2P
2P :
Representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 2 adalah:
2
0 1
1 0A P
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
22
10 1 1 0 1
11 0 0 1 1 0
nA P I
222 2
1
110
det A P I A P I
![Page 79: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/79.jpg)
97
Nilai eigen diperoleh dengan:
2
2 1 0A P I
1 1 0
1 1 atau 2 1
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 2 adalah:
Untuk 1 1 , maka
1
2 1
2
1 10
1 1
xA P I x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 0x x ... 1
1 2 1 20x x x x ... 2
Misalkan 1x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 1x dan 2x pada persamaan (1)
dan (2) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
1
1
x ss
x s
, basisnya adalah 1 dengan 1 1 .
Untuk 2 1 , maka
1
2 2
2
1 10
1 1
xA P I x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 1 20x x x x
Misalkan 1x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 1x dan 2x pada persamaan (1)
dan (2) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
1
1
x ss
x s
, basisnya adalah 1 dengan 2 1 .
Jadi 2
1 1
1 1Spec P
![Page 80: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/80.jpg)
98
3. Spectrum 3P
3P :
Representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 3 adalah:
3
0 1 0
1 0 1
0 1 0
A P
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
2
3
2
2
1 00 1 0 1 0 0 1 0
11 0 1 0 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 1 0 12
0 01
nA P I
2
2
3 3
2
2
1 0
10 1 2
20 0
1
det A P I A P I
Nilai eigen diperoleh dengan:
2
3 2 0A P I Atau dapat ditulis dengan 2
3 2 0A P I
2 2 0
1 0, 2 2 atau 3 2
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 3 adalah:
Untuk 1 0, maka
![Page 81: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/81.jpg)
99
1
3 1 2
3
0 1 0
1 0 1 0
0 1 0
x
A P I x x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 0x ... 1
1 3 1 30x x x x ... 2
2 0x ... 3
Misalkan 3x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
0 0
0 0
1
x
x s
x s
, basisnya adalah 1 dengan 1 0 .
Untuk 2 2 , maka
1
3 2 2
3
2 1 0
1 2 1 0
0 1 2
x
A P I x x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 1 22 0 2x x x x ... 1
1 2 32 0x x x ... 2
3 2 3 22 0 2x x x x ... 3
Misalkan 2x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 1x dan 3x pada persamaan (1)
dan (2) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
1 12 2
2 2
1
1 12 2
2 2
sx
x s s
xs
, basisnya adalah 1 dengan 2 2 .
![Page 82: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/82.jpg)
100
Untuk 3 2 , maka
1
3 3 2
3
2 1 0
1 2 1 0
0 1 2
x
A P I x x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 1 22 0 2x x x x ... 1
1 2 32 0x x x ... 2
3 2 3 22 0 2x x x x ... 3
Misalkan 2x s dan 0s , dengan mencari nilai dari 1x dan 3x pada persamaan (1)
dan (2) maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
1 12 2
2 2
1
1 12 2
2 2
sx
x s s
xs
, basisnya adalah 1 dengan 3 2 .
Jadi 3
2 0 2
1 1 1Spec P
4. Spectrum 4P
4P :
Representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 4 adalah:
![Page 83: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/83.jpg)
101
4
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
A P
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
2
2
4
2
4 2
2
1 0 0
10 1 01 0 0
1 1 02
0 0 10 1 11
0 0 13 1
0 0 02
nA P I
2
2 4 2
4
2
4 2
2
1 0 0
10 1 0
2 3 10 0 1
1
3 10 0 0
2
A P I
Nilai eigen diperoleh dengan:
4 2
4 3 1 0A P I
2 21 1 0
1,2
1 5
2
atau 3,4
1 5
2
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 4 adalah:
Untuk
1
1 5
2
, maka:
![Page 84: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/84.jpg)
102
1
2
4 1
3
4
1 51 0 0
2
1 51 1 0
20
1 50 1 1
2
1 50 0 1
2
x
xA P I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2
1 50
2x x
1 2 3
1 50
2x x x
2 3 4
1 50
2x x x
3 4
1 50
2x x
Misalkan 3x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
2 2
1
2
3
4
4 41 1
1 5 1 5
1 5 1 52 2
2 21 5 1 5
1
2 2
1 5 1 5
s
x
xs s
x
xs
s
basisnya adalah 1 dengan
1
1 5
2
.
![Page 85: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/85.jpg)
103
Untuk
2
1 5
2
, maka:
1
2
4 2
3
4
1 51 0 0
2
1 51 1 0
20
1 50 1 1
2
1 50 0 1
2
x
xA P I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2
1 50
2x x
1 2 3
1 50
2x x x
2 3 4
1 50
2x x x
3 4
1 50
2x x
Misalkan 3x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
2 2
1
2
3
4
4 41 1
1 5 1 5
1 5 1 52 2
2 21 5 1 5
1
2 2
1 5 1 5
s
x
xs s
x
xs
s
![Page 86: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/86.jpg)
104
basisnya adalah 1 dengan
1
1 5
2
.
Untuk
3
1 5
2
, maka:
1
2
4 3
3
4
1 51 0 0
2
1 51 1 0
20
1 50 1 1
2
1 50 0 1
2
x
xA P I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2
1 50
2x x
1 2 3
1 50
2x x x
2 3 4
1 50
2x x x
3 4
1 50
2x x
Misalkan 3x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 87: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/87.jpg)
105
2 2
1
2
3
4
4 41 1
1 5 1 5
1 5 1 52 2
2 21 5 1 5
1
2 2
1 5 1 5
s
x
xs s
x
xs
s
basisnya adalah 1 dengan
3
1 5
2
.
Untuk
4
1 5
2
, maka:
1
2
4 4
3
4
1 51 0 0
2
1 51 1 0
20
1 50 1 1
2
1 50 0 1
2
x
xA P I x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2
1 50
2x x
1 2 3
1 50
2x x x
2 3 4
1 50
2x x x
![Page 88: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/88.jpg)
106
3 4
1 50
2x x
Misalkan 3x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
2 2
1
2
3
4
4 41 1
1 5 1 5
1 5 1 52 2
2 21 5 1 5
1
2 2
1 5 1 5
s
x
xs s
x
xs
s
basisnya adalah 1 dengan
4
1 5
2
.
Jadi
4
1 5 1 5 1 5 1 5
2 2 2 2
1 1 1 1
Spec P
5. Spectrum 5P
5P :
Representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 4 adalah:
5
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
A P
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
![Page 89: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/89.jpg)
107
5
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
nA P I
2
2
2
4 2
2
4 2
4 2
1 0 0 0
10 1 0 0
20 0 1 0
1
3 10 0 0 1
2
4 30 0 0 0
3 1
2
2
2
5
4 2
2
4 2
4 2
1 0 0 0
10 1 0 0
20 0 1 0
1
3 10 0 0 1
2
4 30 0 0 0
3 1
A P I
4 24 3
Nilai eigen diperoleh dengan:
4 2
5 4 3 0A P I atau dapat ditulis dengan
5 3
5 4 3 0A P I
21 1 3 0
1 0, 2 1, 3 1, 4 3 atau 5 3
Basis dari representasi matrik adjacent dari graf lintasan dengan n = 5 adalah:
![Page 90: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/90.jpg)
108
Untuk 1 0, maka:
1
2
5 1 3
4
5
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
00 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
x
x
A P I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
2 0x
1 3 0x x
2 4 0x x
3 5 0x x
4 0x
Misalkan 5x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
1
0 0
1
0 0
1
x s
x
x ss
x
x s
basisnya adalah 1 dengan 1 0 .
Untuk 2 1, maka:
1
2
5 2 3
4
5
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
00 1 1 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
x
x
A P I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 0x x
![Page 91: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/91.jpg)
109
1 2 3 0x x x
2 3 4 0x x x
3 4 5 0x x x
4 5 0x x
Misalkan 5x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
1
1
0 0
1
1
x s
x s
x s
x s
x s
basisnya adalah 1 dengan 2 1 .
Untuk 3 1, maka:
1
2
5 3 3
4
5
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
00 1 1 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
x
x
A P I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 2 0x x
1 2 3 0x x x
2 3 4 0x x x
3 4 5 0x x x
4 5 0x x
Misalkan 5x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
![Page 92: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/92.jpg)
110
1
2
3
4
5
1
1
0 0
1
1
x s
x s
x s
x s
x s
basisnya adalah 1 dengan 3 1 .
Untuk 4 3, maka:
1
2
5 4 3
4
5
3 1 0 0 0
1 3 1 0 0
00 1 3 1 0
0 0 1 3 1
0 0 0 1 3
x
x
A P I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 23 0x x
1 2 33 0x x x
2 3 43 0x x x
3 4 53 0x x x
4 53 0x x
Misalkan 5x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
1
2 3 3 2 3 3
2 2
3 3
1
sx
sx
x ss
x sx s
basisnya adalah 1 dengan 4 3 .
![Page 93: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/93.jpg)
111
Untuk 5 3, maka:
1
2
5 5 3
4
5
3 1 0 0 0
1 3 1 0 0
00 1 3 1 0
0 0 1 3 1
0 0 0 1 3
x
x
A P I x x
x
x
kemudian diperoleh sistem persamaan linier:
1 23 0x x
1 2 33 0x x x
2 3 43 0x x x
3 4 53 0x x x
4 53 0x x
Misalkan 5x s dan 0s , maka diperoleh vektor eigennya adalah:
1
2
3
4
5
3 3
2 3 3 2 3 3
2 2
3 3
1
sx
sx
x ss
x sx s
basisnya adalah 1 dengan 5 3 .
Jadi 5
3 1 0 1 3
1 1 1 1 1Spec P
Teorema
Misalkan nf adalah persamaan polynomial karakteristik graf nP . Maka :
1f
![Page 94: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/94.jpg)
112
2
2 1f
1 2 ,n n nf M M
3n
Dimana 1nM dan
2nM merupakan kofaktor kolom satu dan dua dari matrik
n nA C I .
Bukti
Misalkan nA P adalah matrik adjacent dari nP , maka
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0,
0 1 0
0 1 0 1
0 0 0 1 0
nA P
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1
0 1 0
0 1 1
0 0 0 1
n nA P I
Persamaan polynomial karakteristik diperoleh dengan:
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1
0 1 0
0 1 1
0 0 0 1
n nA P I
Dari hasil ekspansi kofaktor kolom pada matrik diatas, kita dapatkan:
1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 11 0
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
n nA P I
![Page 95: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/95.jpg)
113
2
1 0 0 1 1 0 0
1 0
1 1 00 1 0 0 1 1 0
1 1 1
0 0 1 0 0 1
n nA P I
1 2 ,n n n nA P I M M
dengan 1
1 0 0
1
,0 1 0
1 1
0 0 1
nM
2
1 1 0 0
0
0 1 1 0
1
0 0 1
nM
Definisi
Polynomial Chebyshev jenis kedua adalah deret polynomial nU x sedemikian
hingga
sin 1
cossin
n
nU
untuk n = 0, 1, 2, … dimana cos ,x
: 0, dan : 1,1x .
Teorema
Misal nP
adalah graf lintasan dengan n N , maka spectrum nP adalah
2cos 2cos 2cos
1 1 1
1 1 1
n
k n
Spec P n n n
untuk k = 1,2,3, …, n.
Bukti
Petunjuk: dari sifat-sifat trigonometri, dengan mudah kita tunjukkan:
![Page 96: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/96.jpg)
114
2
3
sin 0 1
sin 1 sin
sin 2 2sin cos
sin 3 sin 4cos 1
sin 4 sin 8cos 4cos
Ekspansi dari polinom-polinom Chebyshev jenis kedua, didapatkan:
0
sin 0 10 cos 1
sinn U
0 1U x
1
sin 1 1 2sin cos1 cos 2cos
sin sinn U
1 2U x x
2
2
2
sin 4cos 1sin 2 12 cos 4cos 1
sin sinn U
2
2 4 1U x x
3
3
3
sin 8cos 4cossin 3 13 cos 8cos 4cos
sin sinn U
3
3 8 4U x x x dan seterusnya.
Dari keterangan diatas, sin 1
cos 0sin
n
nU
jika memenuhi syarat
cosx dengan 1
k
n
.
Pilih 2 2cos 2cos2 1
kx x
n
, sehingga kita dapatkan:
![Page 97: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/97.jpg)
115
1 1 22 2
U x U
2
2
2 2 4 1 12 2
U x U
3
3
3 3 8 4 22 2 2
U x U
Dan seterusnya, sehingga persamaan polynomial karakteristik pada graf nP adalah
polynomial chebyshev dengan 2
x
atau dapat ditulis:
cos
2 2n n nU x U U
Dengan nilai eigennya:
2cos1
k
n
dimana k = 1,2,3, …, n.
Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuain dengan
.
1
2
3
4
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
0 1 0
0 1 0 0
0 1 1
0 0 0 1 0n
x
x
x
x
x
Didapatkan sistem persamaan linier:
1 2 2 10x x x x
2
1 2 3 3 1 2 10 1x x x x x x x
3
2 3 4 4 2 1 2 10 2x x x x x x x x
![Page 98: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/98.jpg)
116
4 2
3 4 5 5 3 4 10 3 1x x x x x x x
…
2 1 2 10n n n n n nx x x x x x
Karena setiap elemen dari vektor taknol x dapat dinyatakan dalam 1x , maka basis
dari matrik tersebut adalah satu.
Jadi terbukti bahwa spectrum
pada graf lintasan nP
dengan n N adalah:
2cos 2cos 2cos
1 1 1
1 1 1
n
k n
Spec P n n n
dimana k = 1,2,3, …, n.
![Page 99: MENENTUKAN SPECTRUM - core.ac.uk · Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan + + = 0 = − − Misal = dan = 32 1 2 4 3 diperoleh bahwa](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052518/5c94956a09d3f2c75a8cedd2/html5/thumbnails/99.jpg)
117
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan, maka beberapa kesimpulan yang dapat
diambil adalah sebagai berikut.
1. Misal 𝐾𝑛 graf komplit order n, maka spectrum graf komplit (𝐾𝑛) adalah
Spec 𝐾𝑛 = (𝑛 − 1) −1
1 (𝑛 − 1)
2. Misal nS
adalah graf star dengan 1n N , maka spectrum nS
adalah
10
1 1 1
n
n
n nSpec S
n
3. Misal Km,n
adalah graf komplit bipartisi dengan m dan n bilangan asli
lebih dari 1, maka spectrum Km,n adalah
2
,
0
1 2 1
m n
m n
mn mnSpec K
m n
4. Misal nP
adalah graf lintasan dengan n N , maka spectrum nP adalah
2cos 2cos 2cos
1 1 1
1 1 1
n
k n
Spec P n n n
untuk k = 1,2,3, …, n.
B. Saran
Berdasarkan penelitian, disarankan kepada peneliti yang lain untuk
mengkaji spectrum pada graf-graf yang lain.