menentukan persamaan elipsoida
DESCRIPTION
mata kuliah geometri analitical ruangTRANSCRIPT
PERSAMAAN ELIPSOIDA
Makalah Geometri Analitical Ruang
oleh
1. Eko Widianti (201310060311060)2. Tiara Anggraeni (201310060311064)3. Yusi Dwi Arifta (201310060311065)4. Oky Sahputra(2013310060311079)5. Fitriani Wahyuningsi (201310060311080)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
TAHUN 2013/2014
BAB I
PENDAHULUAN
I. Ellipsoida
Bidang dan elipsoida merupakan contoh permukaan di ruang. Secara umum, grafik
persamaan F(x,y,z) = C merupakan permukaan di ruang. Namun, tidak semua persamaan
mudah digambar grafiknya.
Selain itu untuk pendefinisian bentuk bumi sangatlah susah. Bentuk bumi dikenal
sebagai geoid. Geoid didekati oleh permukaan muka laut rata-rata. Untuk mempermudah
hitungan bentuk bumi, digunakan suatu model matematik yang disebut ellipsoida yaitu ellips
yang putar.
Ellipsoid secara matematis di tuliskan menjadi :
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2=1Titik pusat elipsoida adalah ( 0,0,0 )
Titik titik puncaknya ada enam yaitu (a,0,0 ), (-a,0,0 ), (0,b,0), (0,-b,0 ), (0,0,c), (0,0,-c)
(x−p)2
a2 +¿¿Titik pusat elipsoida adalah ( p,q,r )
Titik titik puncaknya ada enam yaitu (a,q,r ), (-a,q,r ), (p,b,r), (p,-b,r ), (p,q,c), (p,q,-c)
Dan beberapa persamaan yang biasa digunakan :
f= a−ba ; e=√2 f−f 2
dengan :
a = sumbu semi-mayor (setengah sumbu panjang)
b = sumbu semi-minor ( setengah sumbu pendek)
f = flattening (penggepengan)
e = eksentrisitas
Dalam pengukuran geodesi secara umum, dikembangkan hubungan
antara sistem koordinat kartesian 3 Dimensi dengan sistem koordinat Ellipsoids
Persamaan hubungan matematis dari sistem koordinat kartesian 3 dimensi dan koordinat
ellipsoid.
x=(R¿¿N+h)cos∅ cos λ¿ ; y=(R¿¿N+h)cos∅ sin λ¿ ; z=( a2
b2 RN+h)sin∅ (3.9)
Dimana :
RN=a2
(a2 cos 2∅+b2sin 2∅ )12
= a2
(1−e2sin 2∅ )12 (3.10)
Besaran a dan b tergantung dari model ellipsoid yang digunakan, misalnya. WGS84, Bessel
1881, dan lain-lain.
II. Contoh Gambar Elipsoida
Elipsoida : x2
a2 + y2
b2 + z2
c2=1
Keterangan :
Pusat (0,0,0)
Bidang-bidang simetri adalah XOY,XOZ dan YOZ
Garis potong 2 bidang simetris disebut sumbu simetri, yaitu sumbu X, sumbu Y , dan
sumbu Z
Terlihat bahwa −a1≤ x≤a1 ,−a2≤ y ≤a2 ,−a3≤ z≤a3
Elipsoida merupakan permukaan tertutup
Panjang 2a1,2a2, dan 2a3 disebut ppanjang sumbu elipsoida
Bola merupakan elipsoida yang panjang sumbu-sumbunya sama
Perpotongan sumbu simetri dengan elipsoida disebut puncak elipsoida. Jadi elipsoida
mempunya 6 puncak
Irisan dengan bidang sejajar bidang simetri merupakan elips.
III. Suatu Ellips Pada Bidang XOY, XOZ, dan YOZ
Persamaan ellips pada bidang XOY berbentuk
{ z=0x2
a2 +y2
b2 =1
Persamaan ellips pada bidang XOZ berbentuk
{ y=0x2
a2 +z2
c2 =1
Persamaan ellips pada bidang YOZ berbentuk
{ x=0y2
b2 + z2
c2 =1
IV. Suatu Ellips Pada Bidang yang Diputar Mengelilingi Sumbu Putar
1. Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada ellips. Untuk bidang XOY Maka harus dipenuhi
z0= 0
x02
a2 +y0
2
b2 =1
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0
Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
x= x0
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
dengan mengeleminasi x0, y0, dan z0 diperoleh persamaan
x2
a2 + y2+z2
b2 =1
Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putarsumbu x.
Jika sumbu putarnya sumbu y maka persamaan ellipsoida diperoleh sebagai berikut.
Persamaan ellips yang diputar adalah
{ z=0x2
a2 +y2
b2 =1
Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi
z0= 0
x02
a2 +y0
2
b2 =1
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0.
Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
y= y0
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan
x2+z2
a2 + y2
b2 =1
Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putarsumbu y.
2. Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada ellips. Untuk bidang XOZ Maka harus dipenuhi
y0= 0
x02
a2 +z0
2
c2 =1
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0
Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
x= x0
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
dengan mengeleminasi x0, y0, dan z0 diperoleh persamaan
x2
a2 + y2+z2
c2 =1
Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putarsumbu x.
Jika sumbu putarnya sumbu z maka persamaan ellipsoida diperoleh sebagai berikut.
Persamaan ellips yang diputar adalah
{ y=0x2
a2 +z2
c2 =1
Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi
y0= 0
x02
a2 +z0
2
c2 =1
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu z adalah z = z0.
Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
z= z0
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
dengan mengeleminasi x0, y0, dan z0 diperoleh persamaan
x2+ y2
a2 + z2
c2 =1
Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar
sumbu z.
3. Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada ellips. Untuk bidang YOZ Maka harus dipenuhi
x0= 0
y02
b2 +z0
2
c2 =1
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0
Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
y = y0
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
dengan mengeleminasi x0, y0, dan z0 diperoleh persamaan
y2
b2 + x2+z2
c2 =1
Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putarsumbu y.
Jika sumbu putarnya sumbu z maka persamaan ellipsoida diperoleh sebagai berikut.
Persamaan ellips yang diputar adalah
{ x=0y2
b2 + z2
c2 =1
Misalkan T(x0, y0, z0) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi
x0= 0
y02
b2 +z0
2
c2 =1
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu z adalah z = z0.
Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah
z = z0
x2 + y2 + z2 = x02 + y0
2 + z02
dengan mengeleminasi x0, y0, dan z0 diperoleh persamaan
x2+ y2
b2 + z2
c2 =1
Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putarsumbu z.
V. Contoh Soal
Contoh 1 :
Suatu ellips dengan persamaan { y=0x2+4 z2−16=0
diputar mengelilingi sumbu x. Tentukan persamaan ellipsoida putaran yang terbentuk.
Penyelesaian
Misalkan T (x0, y0, zo) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi
y0 = 0 ................................................ (9)
x2+4 z2−16=0 ................................................. (10)
Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0.
Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah
x = x0
x2 + y2
+ z2 = x0
2 + y0
2 + z0
2
Jadi persamaan lingkaran yang melalui T adalah
x = x0 .................................... (11)
x2 + y2
+ z2 = x0
2 + y0
2 + z0
2 ..................................... (12)Dari persamaan (10) dan (11) kita memperoleh
z02=16−x
4
Substitusikan x0, y0, dan z0 ke dalam persamaan (12) sehingga kita memperoleh persamaan
luasan yang terjadi x2 + y2
+ z2 = x0
2 +
16−x4 atau
x2
16+ 16−x2
4=1
DAFTAR PUSTAKA
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195805151984031-ENDANG_DEDY/Bahan_Ajar_Kalkulus_2_%2815_Files%29/Permukaan_Ruang_dan_Fungsi_Skalar_pertemuan_15.pdf (diakses 16 mei 2015 ; 15:50)
http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/MA1201-M9-1-19-03-14.pdf (diakses 16 mei 2015 ; 16:00)
http://library.unej.ac.id/client/en_US/default/search/asset/187;jsessionid=67580A1D3516703E63E59E13AFEE8FF8?qu=GEOMETRI&ic=true&ps=300 (diakses 16 mei 2015 ; 16:20)