mekanika 2

Mekanika II

http://www.gaf.ni.ac.rs/mehanika

KINEMATIKA E PIKESI• POZITA E PIKES LEVIZESE NE HAPESIR • SISTEMET KOORDINATIVE

• Sistemi kendedrejt i Dekartit• Sistemi cilindrik-polar• Sistemi i koordinatave sferike• Sistemi i koordinatave naturore

• SHPEJTESIA E PIKES• SHPEJTIMI I PIKES• RASTE SPESIALE TE LEVIZJES SE PIKES

• Mekanika

• Statika

• Kinematika

• Dinamika eshte pjes e mekanikes e cila studijon levizjen e trupave nen ndikimin e forces.

merret me studjimin e ekuilibrit dhe levizjes se trupit.

eshte pjes e mekanikes e cila merret me studjimin e ekuilibrit te trupit

eshte pjes e mekanikes e cila studijon vetit e pergjithshme gjeometrike te levizjes se trupave.

Kuptimi i ekuilibrit dhe levizjes mekanike

Te gjith trupat ne natyre levizin(rrotullohen):

Ne natyr nuk egziston qetesi dhe levizje apsolute!

Ne kete kurs do te konsiderojm se Toka eshte e pa levizeshme

Njerezit levizin ne reaport me token, Toka leviz ne raport me diellin, sistemi diellor leviz ne hapesir ...

y

dhe te gjithe trupat te cilet jan fort te lidhur ne siperfaqen e

Tokes jan te pa levizshem.

Kinematika eshte dege e mekanikes e cila merret

me studjimin e vetive gjeometrike te levizjes se trupave

qe veprojn ne ta.

duke mos marr parasysh inercionin (masen) dhe forcat

Trupi referentNdryshimi i pozites se trupit ne hapesir mund te percaktohet vetem ne raport me trupat tjere.

Trup referent eshte trupi ne raport me te cilin

percaketohet qetesia apo levizja e trupave tjer

Levizja

Me levizje ne mekanike nenkuptohet

nderrimi i pozites se nje trupi, e cila

realizohet gjate kohes, ne raport me

trupat tjer ne hapesir.

NJESIT DHE SHENJA

•GJATESIA metri

•KOHA, t sekonda,

•Casti fillestar : t00

•Casti i caktuar : tn

•Intervali kohor : ∆t = t2 - t1

KINEMATIKA E PIKES

MENYRAT E DHENJES SE LEVIZJES

•MENYRA PARAMETRIKE

•MENYRA VEKTORIALE

•MENYRA NATYRALE

MENYRA PARAMETRIKE E DHENJES SE LEVIZJESDHENJES SE LEVIZJES

KOORDINATAT NE FUNKSION TE KOHES

SISTEMI KARTEZIAN

SISTEMI CILINDRIK

SISTEMI SFERIK

SISTEMI KARTEZIAN SISTEMI CILINDRIK

x cos ,y sin ,z z.

= ρ ϕ= ρ ϕ=

SISTEMI SFERIK

x r cos cos ,y r cos sin ,z r sin .

= ψ ϕ= ψ ϕ= ψ

•SIPERFAQET PRERESEQ

TRAJEKTORJA

x=x(t), y=y(t), z=z(t)

KALIMI NGA MENYRA VEKTORIALE NE ATE NATYRALE TE DHENJES SE

LEVIZJESLEVIZJES

SHPEJTESIA E PIKES NE

APLIKIMI I RREZEVEKTORIT NE KOHË

FORMEN VEKTORIALEAPLIKIMI I RREZEVEKTORIT NE KOHË

Menyra vektoriale e levizjesMenyra vektoriale e levizjes

SHPEJTESIA MESATARE

PPer

SHPEJTESIA E QASTITSHPEJTESIA E QASTITPer ndonje tj

SHPEJTIMI I PIKESSHPEJTIMI I PIKES

NDRYSHIMI I SHPEJTESIS ES QASTIT SIPAS KOHES

SHPEJTIMI MESATAR

Per

SHPEJTIMI I QASTITPer qastin e caktuar t

SHPEJTESIA E PIKES NE KOORDINATA NATYRORE

TRAJEKTORJA

KOORDINATA NATYRORETRAJEKTORJA

FORMA SKALARE E LEVIZJES

SHPEJTESIA NEPER TRAJEKTORE

SHPEJTIMI NEPER TRAJEKTORE

Tangjencial

TRAJEKTORJA ESHTE LAKORE E LEMUAR

RRITJA E VEKTORIT TE TANGJENTESTANGJENTES

TREKENDESHAT E NGJAJSHEME NGJAJSHEM

VEKTORI I SHPEJTIMIT TE PERGJITHSHEM

RREZJA E LAKESES SE TRAJEKTORES

V kt t jVektoret jan kolinear

LIDHJA DIFERENCIALE DHE INTEGRALE

1. Eshte dhen vektori i shpejtesis

Duhet te jet e jcaktuar pozita ne

ndonje qast

POZITA E PIKES PER t2POZITA E PIKES PER t2

Per kufirin e siperm te ndryshueshem

2. Eshte dhen vektori i shpejtimitp j

FORMAT E VEQANTA TE LEVIZJES SE PIKES

LEVIZJA SIPAS DREJTIMIT

•LIGJI I PERGJITHSHEM I LEVIZJES•LEVIZJA E NJETRAJTSHMELEVIZJA E NJETRAJTSHME•LEVIZJA E NJETRAJTSHME E SHPEJTUAR•LEVIZJA HARMONIKELEVIZJA HARMONIKE

HEDHJA E PJERRTEHEDHJA E PJERRTE

LEVIZJA HARKORELEVIZJA HARKORE

LEVIZJA SIPAS DREJTIMITLIGJI I PERGJITHSHEM I LEVIZJES

LEVIZJA E NJETRAJTSHME

•SHPEJTESIA E PIKES ESHTE KONSTANTE

C 0C1=0

LEVIZJA E NJETRAJTSHME ELEVIZJA E NJETRAJTSHME E SHPEJTUAR

•SHPEJTIMI I PIKES ESHTE KONSTANTE

per

LEVIZJA HARMONIKE•Shpejtimi eshte proporcional me rrugen e kaluar

LEVIZJA HARMONIKE

I fusim konstantet e reja D dhe α

I t ti i j t ik i iInterpretimi gjeometrik i varesive diferenciale dhe integraleg

•Varesit Funksioni S(t) diferencialeFunksioni S(t)

Funksioni V(t)

Funksioni a(t)

•VARESIA INTEGRALE

Hudhja e pjerrte •Levizja ne fushen gravitacionale

•Shpejtesia fillestare V0

•Trajektorja nga:

L i k i l•Lartesia maksimale nga:

Rrotullimi i drejtimit rreth pikes se paRrotullimi i drejtimit rreth pikes se pa levizshme

•Kendi i drejtimit•Kendi i drejtimit

•Shpejtesia kendore

oMesatareoMesatareoE qastit

•Shpejtimi kendor

L i j ikLevizja e pikes ne drejtimin rrotulluesj

•Levizja rrethore

Sh jt i ik j t l i j th•Shpejtesia e pikes gjat levizjes rrethore

Vktori i shpejtesiseVktori i shpejtesise

Pjestojm me dtPjestojm me dt

•Shpejtimi i pikes gjateShpejtimi i pikes gjate levizjes rrethore

DINAMIKAMIKA

• Forca esahte konstante. Hedhja vertikale dhe renja e lire• Forca varet vetem nga koha• Forca varet nga distanca• Forca varet vetem nga shpejtesia

DINAMIKA E PIKES

DETYRAT DHE ZHVILLIMI HISTORIK I MEKANIKES

LIGJET THEMELORE TE DINAMIKES

EKUACIONET DIFERENCIALE TE LEVIZJES SE PIKES MATERIALE

• Sistemi koordinativ i dekartit• Sistemi koordinativ Polaro-Cilindrik• Sistemi koordinativ natyror

LEVIZJA DREJTEVIZORE E PIKES

LEVIZJA VIJPERKULUR E PIKES

• Hgudhja e pjerret ne hapesiren pa ajr

DETYRAT DHE ZHVILLIMI HISTORIK I MEKANIKES

Hipotezat:

Trupat e ngurt- nen ndikimin e forcave te jashtme nuk deformohen

Hapesira ne te cilen levizin trupat eshte hapesira gjeometrike karakteristikate te ciles nuk varen nga levizja e materjes ne te - hapesira apsolute.

Koha ne mekaniken klasike (rrjedh) ne te gjith sistemet refernte dhe nuk varetnga ndikimi i faktoreve te jashtem.

trupave material nen ndikimin e forces.Dinamika eshte dege e mekanikes teorike ecila studijon ligjet e levizjes se

Ne dinamik merret parasysh materializmi i trupave si dhe forca e cila vepron ne trupat qe levizin.

Dinamika ndahet ne:n• dinamiken e pikes materialeina• dinamiken e sistemit te pikave materialein• dinamiken e trupit te ngurtina

Detyra e pare e dinamikes –

D

nese eshte i njohur ligji i levizjes se pikes apo trupit duhet te caktohen forcat te cilat e shkaktojn at levizje.

Detyra e dyte e dinamikes -nese jane te njohura forcat qe e shkaktojn

levizjen e pikes apo trupit duhet te caktohet ligji i levizjes.

Galileo Galilei (1564-1642)• ka dhene kuptimin mbi shpejtesin dhe shpejtimin• i pari ka formuluar ligjin e inercionit• ligjin e renjes se lire te trupit

Ligjet themelore te dinamikes i kan vendosur:

Sir Isaac Newton (1643-1727)• plotesisht ka formuar ligjet themelore

te dinamikes

Jonhannes Kepler(1571-1630)

Daniel Bernoulli (1700-1782)

Nicolaus Copernicus(1473-1543)

Leonhard Euler(1707-1783)

Joseph Louis Lagrange(1736-1813)

Karl Friedrich Gauss(1777-1855)


Ligji i pare - ligji i inercionit

0

0

v vF mlim mt t

−= =

−

r rr ra F m=r ra

12 21F F= −r r

Trupi e ruan gjendjen e me parshme deri sa ne trup te mos veproj ndonje forc e jashtme per tia nderruar poziten.

Ligji i dyte - ekuacioni themelor i dinamikes

Ligji i trete - ligji i aksionit dhe reaksionit

Ligji i pare - ligji i inercionitTrupi e ruan gjendjen e me parshme deri sa ne trup te mos veproj ndonje forc e jashtme per tia nderruar poziten.


F m=r ra


Pik materiale

Inercionin


forca e jashtme

quhet trupi material dimensionet e te cilit nuk merren parasysh

(gjate studjimit te levizjes se tije).

eshte karakteristika e materialit qe shpejt ose ngadal te nderroj shpejtesin e

levizjes se tij nga veprimi i forces.

Madhesia e cila varet nga sasia e materijes se nje trupi dhe e cila percakton inercionin e tije quhet

mase.

Masa dhe peshaa jane dy kuptime te ndryshme.

Masa eshte madhesi skalare pozitive e cila eshte karakteristik e trupit


Pesha eshte forca me te cilen toka e terhjek trupin, ndersa masa eshte karakteristika konstante e trupit e cila egziston edhe ne gjendjen pa pesh te trupit (kur pesha eshte e barabart me zerro).

Ne baze te ketije ligji mund te caktohet masa e trupit nese eshte i njohur nxitimi(shpejtimi) i tije gjate leviyjes translatore, dhe gjithashtu edhe forca e cila vepron ne trup.

Eksperimentalisht eshte vertetuar qe trupat nen ndikimin e force peshojn para renjes ne tok,kduke mos marr parasyshe pengesat, kan te njejtin nxitim g,

Per renjen e lire, ne baze te ligjit te dyte te njutnit do te jete:mg G

Gmg

=

⇒ =


dhe se ai nderron vetem ne varesi te gjeresise gjeografike dhe lartesise mbidetare, por gjate kesaj nderron edhe pesha G, keshtu qe eshte nje maredhenje konstante per trupat qe levizin.

renja e lire

Nxitimi i pikes materiale eshte:a) drejteperdrejte proporcional rezultantes te forcave te cilat veprojn ne pike.b) ne drejtim te njejte si rezultanta e forcave qe veprojn ne pike,

c) proporcionalisht ne te kunderten e mases se pikes.

F m=r ra


v

12 21F F= −r r

Ligji i trete - ligji i aksionit dhe reaksionit

Dy pika(trupa) materiale veprojn njeri ne tjterin me forca te intenzitetit dhe drejtimit te njejte por me kahje te kunderta.

Forca eshte madhesi vektoriale , e percaktuar me intenzitetin, drejtimin dhe kahjen.

Per dallim nga statika ku forcat jan me intenzitet konstant ne mekanik ne pergjithesi

SI (Systeme Internationale d'Unites)

masa m – (kg) kilogram,gjatesia L – (m) metri,koha t – (s) sekondeforca F – (N) Njutn

21N 1kg m /s=

Ligji i pare verteton kushtet per egzistimin e forces, ligji i dyte tregon se si matet intenziteti

i forces, ndersa ligji i trete verteton qe per egzistimin e forces nevojiten sepaku dy trupa.

Forca eshte madhesi e ndryshueshme vektoriale dhe ajo mund te varet nga koha, pozita e trupit dhe shpejtesise se levizjes se trupit apo pikes.

EKUACIONET DIFERENCIALE TE PIKES MATERIALE TE LIRE

Pika eshte e lire

( )2n

i 2i 1

d r m F , m F r,v, t .dt=

= =∑rr r rr ra

ekuacioni diferencial i levizjeste pikes materiale te lire ne formen vektoriale

ne qofte se nga veprimi i forcave mund te leviz ne menyr

te zgjedhur ne hapesir ne pajtim me ligjin e dyte te njutnit.

Sistemi koordinativ i Dekartit

( )( )( )

m x X x, y,z,x, y,z, t ,

m y Y x,y,z,x,y,z, t ,

mz Z x, y,z,x, y,z, t .

=

=

=

&& & & &

&& & & &

&& & & &

( )2n

i 2i 1

d r m F , m F r,v, t .dt=

= =∑rr r rr ra

Ne qofte se levizja realizohet ne rrafsh ekuacionet diferenciale jane: ( )( )

m x X x,y,x, y, t ,

m y Y x, y,x, y, t .

=

=

&& & &

&& & &

Ne levizjen drejtevizore ekuacionet diferenciale te levizjes jane:r

( )m x X x,x, t .=&& &

ekuacinet diferenciale te levizjes se pikesne sistemin koordinativ te Dekartit


Sistemi polar i koordinatave

r

p

r r ,r 2r

= − ϕ= ϕ + ϕ

&& &

&& & &

aa

r r

p p

m Fm F

==

aa

Komponentet e nxitimit jane:

( )

( )

n2

iri 1

n

ipi 1

m r r F

m r 2r F

=

=

− ϕ =

ϕ + ϕ =

∑

∑

&& &

&& & &

ekuacionet difernciale te levizjes se pikes ne sistemin polar te koordinatave


Sistemi natyror i koordinatave

T T

N N

B B

m Fm Fm F

==

=

aaa

Ne varesi te rrezes se lakeses s:

2T

T 2

2 2T

Nk k

B

dv d s sdt dtv sR R0

= = =

= =

=

&&

&

a

a

a

s s(t),v s

== &

2

T2

2T

Nk

B

d sm F ,dtvm F ,R

F 0

=

=

=


ekuacionet difernciale te levizjes se pikes ne sistemin natyrore te koordinatave

Aplikimi i ekuacioneve diferenciale te levizjes se pikes materialene zgjidhjen e detyres se pare dhe te dyte te dinamikes se pikes

( ) ( ) ( )1 2 3x f t , y f t , z f t= = =

( ) ( ) ( )1 2 3x f t , y f t , z f t ,= = =&& && &&&& && &&

( ) ( ) ( )1 2 3X mf t , Y mf t , Z mf t .= = =&& && &&

2 2 2F X Y Z= + +

Drejtimi i forces:X Y Zcos , cos , cos .F F F

α = β = γ =

Detyra e pare e dinamikesr – eshte i njohur ligji i levizjes se pikes materiale,duhet te caktohet forca e cila vepron ne pike.r

Levizja e pikes eshte dhene me sistemin e koordinatave te Dekartit:

Qe te caktojm forcen duhet te caktohet derivati i dyte i ekuacineve te levizjes dhe ta shumezojm me masen:

Intenziteti i Forces:

Detyra e dyte e dinamikes –

( )F F t, r, v=r r r r

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

d xm X t,x, y,z,x, y,z ,dtd ym Y t,x, y,z,x, y,z ,dtd zm Z t,x,y,z,x, y,z .dt

=

=

=

& & &

& & &

& & &

Pas integrimit te sistemit te ekuacioneve diferenciale fitohen zgkidhjet ne formen e pergjithshme

( )( )( )

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

x x t,C ,C ,C ,C ,C ,C

y y t,C ,C ,C ,C ,C ,C

z z t,C ,C ,C ,C ,C ,C

=

=

=

ku C1,C2,C3,C4,C5,C6 jan konstantet e integrimit, te cilat caktohen nga kushtet fillestare te levizjes

jane te njohura forcat qe veprojn ne trup, duhet caktohen

ekuacionet e levizjes se trupit apo pikes.

Levizja drejtevizore nen ndikimin e forcave me intenzitet konstant

LEVIZJA DREJTEVIZORE E PIKES

m x X F F const constY 0, Z 0

= = = ⇒ == =

&& a

F dx Fx , x , dx xdt dt dt.m dt m

= = ⇒ = = =&

&& && & && a

1dx dt, x t C .= = +∫ ∫& &a a

konstanta C1 caktohet nga kushti fillestar per shpejtesine: 0t 0, x v .= =&

0 1 1 0 0v 0 C C v x t v= ⋅ + ⇒ = ⇒ = +&a a

0Fx t vm

= +&Ligji i ndryshimit te shpejtesise se pikes

Percaktimi i ligjit te levizjes se pikes materialee:

( ) ( )0

0 0

0 2

dx t v ,dtdx t v dt, dx t v dt,

x t dt v dt C

= +

= + = +

= + +∫ ∫

∫ ∫

a

a a

a2

0 2tx v t C .2

= + +a

Kushti fillestar: t=0 x = x0 0 0 2 2 0x 0 v 0 C C x ,= ⋅ + ⋅ + ⇒ =a

2 2

0 0 0 0t F tx v t x , ili x v t x .2 m 2

= + + = + +aLigji i levizjes:

Ky ekuacion paraqet ligjin e levizjes se njetrajteshme te shpejtuar

Nga veprimi i forces konstante shkaktohet levizja njetrajtesisht e ndryshuare.

Renja e lire ne hapesiren pa ajr

Pika e mases m bjen nga pozita M0 pa shpejtesi fillestare,

Kushtet fillestare

0t 0, y 0, y v 0= = = =&

Ekuacionet diferenciale te levizjes:

m G my mg, y g= = =r&& &&a

Ligji i ndryshimit te shpejtesise: 1y gt C ,= +&2

1 2gty C t C2

= + +

0 1t 0, y v 0 C 0= = = ⇒ =&

y g t=&

Ligji i levizjes:

2t 0, y 0, C 0= = ⇒ =2gty

2=

ne fushen e gravitetit te tokes, ngalartesia h e cila eshte e vogel krahasuar me rrezen e tokes, prandaj mund te konsiderohet seforca eshte konstante.Nese nuk merret parasysh rezistenca e ajrit, ateher forca e peshes G eshte forca e vetme qe vepron ne pik.

Koha e renjes (T) se pikes nga lartesia (h):

Le te jete t=T, y=h, ateher kemi:

2gT 2hh T2 g

= ⇒ =

Shpejtesia me te cilen pika bie pa shpejtesi fillestare ne toke:

2ht T y gT g 2ghg

= = = =&

Nese pika ne poziten M 0 ka pas shpejtesi fillestare v0vertikalisht teposhte, atehere eshte:

y 2gh=&

0y g t v= +&2

0gty v t2

= +

Hedhja vertikale ne hapesiren pa ajr

0t=0 y v , y 0,= =&Kushtet fillestare jane:

Ekuacioni diferencial ka formen:

Nuk merret parasysh ndikimi i ajrit.

m G, m y mg, y g= = − = −rr

&& &&a

1

0 0 1 1 0

0

y g t Ct 0, y v v g 0 C C vy g t v ,

= − += = ⇒ = − ⋅ + ⇒ =

= − +

&

&

& 2

0 2

0 2 2 0

2

0

gty v t C2

gt 0, y 0 0 0 v 0 C C v2

gty v t2

= − + +

= = ⇒ = − ⋅ + ⋅ + ⇒ =

= − +

Ne qofte se pikes ne poziten fillestare i jepet shpejtesi vertikale telarte ateher ajo levizje qquhet hedhje vertikale.

Levizja eshte njetrajtesishte e ngadalesuar dhe nuk varet nga masa e pikes.

v0

Ne piken materiale gjate kohes vepron vetem forca e rendimit te tokes.

Hedhja e pjerrte ne hapesiren pa ajr(vakum)

Hedhja e pjerrte quhet levizja e cila ndodh kur pika materiale hedhet nen nje kend

ne raport me horizontalen me shpejtesi fillestare

LEVIZJA VIJE-LAKUAR E PIKES

Ekuacioni diferencial i levizjesne formen vektoriale:

m G=rra

mx 0,my mg.

== −

&&

&&

Me integrimin e shprehjes fitohet:e:

1

2

x C ,y gt C

=

= − +

&

&

Kushtet fillestare:

0 0t 0, x v cos , y v sin ,x 0, y 0

= = α = α

= =

& &

Konstantet e integrimit:

0 1

0 2 2 0

v cos C ,v sin g 0 C C v sin

α =α = − ⋅ + ⇒ = α

Projeksionet e shpejtesise: 0

0

x v cosy gt v sin

= α= − + α

&

&

Ekuacioni diferencial i levizjesne formen skalare:

Me integrimin e shprehjeve 0

0

x v cosy gt v sin

= α= − + α

&

&

fitohen ligjet e levizjes:

0 32

0 4

x v t cos C ,

gty v t sin C2

= α +

= − + α +

Kushtet fillestare:

t 0 x 0, y 0= = =

0 3 3

0 4 4

0 v cos 0 C C 00 0 v sin 0 C C 0

= α ⋅ + ⇒ =

= + α ⋅ + ⇒ =Ligjet e levizjes se pikes:

02

0

x v tcos ,

gty v tsin .2

= α

= − + α

Me eliminimin e kohes t

fitohet ekuacioni i lakores:0

xtv cos

=α

2

20

g xy x tg2v cos

= α −α

Pika levize neper lakore parabolike.

t1

M1

M1

y 0=&

01 0 1

v sin0 gt v sin tg

α= − + α ⇒ =

Lartesia ma e madhe deri teke e cila arrin pika:

Me zavendesimin e kohes ne ekuacionet e levizjes t1

2

0 0gtx v t cos , y v t sin

2= α = − + α

fitohen koordinatat e pikes M1:

2 20 0

1 0 1 0

2 2 2 220 0 01

1 0 1 0 2

v sin v sinx v t cos v cos ,g 2g

v sin v sin v singt gy H v t sin v sin .2 g 2 2gg

α α= α = α =

α α α= = α − = α − =

Caktimi i kohes nga fillimi i levizjes deri te pozita me e larte

ne lakore.

Ne poziten shpejtesia eshte

horizontale

Koha e fluturimit T mes pikave O dhe B.

Nga kushti yB=0:

20

02v singT0 v Tsin T 0, T=

2 gα

= − + α ⇒ =

Domeni D

Me zavendesimin e kohes T ne ekuacionin:

20 0

0 02v sin v sin 2D v Tcos v cos .

g gα α

= α = α =

0x v t cos= α

20v sin 2D

gα

=

Kendet pran te cileve jane Hmax dhe Dmax:

( )2

20max

2 20 0

max

vH , per 90 sin 90 1 ,2g

v sin 2 vD , D , sin 2 1 per2 90 45 .g g

= α = ° ° =

α= = α = α = ° ⇒ α = °

Hedhja horizontale

Ekuacionet diferenciale te levizjes:Nuk merret parasysh ndikimi i ajrit.

mx 0, my mg,x 0, y g.

= = −= = −&& &&

&& &&

Pas integrimit fitojm:

1 22

1 3 2 4

x C , y gt C ,

gtx C t C , y C t C .2

= = − +

= + = − + +

& &

Kushtet fillestare:

01 0 2 3 4

t 0, x v , y 0,C v , C 0, C 0, C H.

x 0, y H= = =

= = = == =

& &Projeksionet e shpejtesise:

0x v ,y gt.

== −

&

&

Ne qofte se trupi gjendet mbi horizont i hedhur me shpejtesi horizontale dhe pastaj

levizja qe zhvillohet quhet hedhje horizontale.

Ligjet e levizjes:

02

x v t,

gty H.2

=

= − +

Ekuacionet e lakores se levizjes:

2

20 0

x g xt , y H.v 2 v

= = − +

Koha e fluturimit T nga kushti y=0 ne ekuacionin:

2gty H2

= − +

2gT 2H0 H T .2 g

= − + ⇒ =

Domeni D:

Me zavendesimin e kohes T ne ekuacionin 0x v t=

0 02HD v T vg

= =

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES

• Sasia e levizjes• Impulsi i forces• ligji mbi ndryshimin e sasisae se levizjes ne formen diferenciale••

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES SE PIKES

• Momenti i sasise se levizjes• Ligji mbi ruajtjen e momentit te sasise se levizjes

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE

• Puna e forces. Forcat konzervative• Analitički izraz za rad• Energjia kinetike e pikes materiale. Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike• Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike

LIGJET E PERGJITHSHME TE DINAMIKES SE PIKES MATERIALE

ligji mbi ndryshimin e sasisae se levizjes ne formen integraleligji mbi ruajtjen e sasisae se levizjes se pikes materiale

LIGJET E PERGJITHSHME TE DINAMIKES SE PIKES MATERIALE

Ne ligje e pergjitheshme te dinamikes hyjne: • ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes,••

lehtesojm zgjidhjen e problemit.

ligji mbi ndryshimin momentit te sasise se levizjes,ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike te pikes materiale.

Ligjet themelore te dinamikes se pikes veshtrohen si teoremat themelore te nxjerra nga ligjet themelore te Hukut

Gjate hulumtimit te levizjes se pikes, duke shfrytezuar ligjet themelore te dinamikes,

i shmangemi procesit te integrimit te ekuacioneve te levizjes e me kete mjafte e

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES

Sasia e levizjes

K mv=r r

Ky eshte vektor kolinear me vektorin e shpejtesise,ne drejtimin e njejte.

x x

y y

z z

K mv mx,K mv my,

K mv mz.

= == =

= =

&

&

&

Dimensinet e sasise se levizjes jan:[K] = [MLT −1]= [FT ][M] – dimensini i forces,[L] –[T] –

Njesia per sasin e levizjes eshteNjutnsekund (Ns).

x y z

v x i y j zk

K K i K j K k

= + +

= + +

r r rr& & &

r r rr

Sasia e levizjes se pikes materiale eshte madhesi vektoriale e cila prezenton prodhimin e mases dhe te shpejtesise se pikess.

Projeksionet e vektorit te ssasise se levizjes jane:

dimensini i gjatesise,dimensini i kohes,

Impulsi forces

Impulsi elementar i forces eshte madhesia vektoriale e barabarte me prodhimin

dI Fdt=r r

x

y

z

dI Xdt,dI Ydt,

dI Zdt.

==

=

F X i Y j Zk= + +r r rr

e vektorit te forces dhe intervalit elementar kohor.

Impulsi elementar eshte vektor kolinear me vektorin e forces.

Projeksionet e vektorit te impulsit elementar te forces jane:

Impulsi i forces ne intervale te caktuara kohore prejmpu t0 deri t:

0 0

t t

t tI dI Fdt= =∫ ∫r r r

Projeksioni ne boshtet koordinative:

0

0

0

t

xt

t

yt

t

zt

I Xdt,

I Ydt,

I Zdt.

=

=

=

∫

∫

∫

Impulsi i forces nuk eshte i lidhur me levizjen, pere qvendosjen e pikes sulmuese, por per intervalin kohor.

Dimensioni i impulsit te forces:

[ I ] = [ FT ]

0 0

t t

0t t

I Fdt F dt Ft t 0.= = = =∫ ∫r r r r

Nese F=const:

Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen difernciale

Nese ne piken me mase m vepron forca ateher sipas ligjit te dyte te njutnit kemi:Fr

dvm Fdt

=r r

Nese m=const, mund te shkruajm:

( )d mvF

dt=

r r dK Fdt

=r

rgjegjesishte:

Nese ne pike vepron sistemi i forcave, ateher kemi:

idK Fdt

= ∑r

r

Heresi i sasise se levizjes se pikes materiale me kohen eshte i barabarteHme shumen vektoriale(rezultanten) e forcave te cilat veprojn ne piken materiale.

Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen diferenciale

Ligji jep lidhjen ne mes te sasise se levizjes ne fund dhe ne fillim te intervalit te caktuar dhe forcave ne ate interval te veprimit.

idK F dK F dt dIdt

= ⇒ = =∑ ∑ ∑r

r r r r

Me integrim fitohet:t t

i 0 i0 0dK F dt K K I= ⇒ − =∑ ∑∫ ∫

r r r r r t

i i0

I Fdt= ∫r r

Ligji mbi ndryshimin e sasise se levizjes ne formen integrale

Ligji mbi ndryshimin e sasise

se levizjes ne formen integrale

Ndryshimi i sasise se levizjes se pikes materiale ne ndonje interval kohorHeshte e barabarte me shumen vektoriale te impulseve te te githa forcave, te cilatveprojne ne pike, te llogaritura ne intervalin e njejte kohore.

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E MOMENTIT TE SASISE SE LEVIZJES

Momenti i sasise se levizjes

Ky eshte moment i vektorit te sasise se levizjes, analog me definicionin e momentit te forces,egziston momenti i sasise se levizjes per piken dhe momenti i sasise se levizjes per aksin.

Momenti i sasise se levizjes per piken A eshte:om

A

i j kL r K r mv x y z

mx my mz= × = × =

r r r

r rr r r

& & &

( )( )( )

Ax x

Ay y

Az z

L m yz zy L

L m zx xz L

L m xy yx L

= − =

= − =

= − =

& &

& &

& &

Momenti i sasise se levizjes per piken me mase m per piken A, eshte vektor normal ne rrafshin ne te cilin shtrihet shpejtesia dhe vektori i pozites se pikes, ndersa komponentet llogariten me zhvillimin e determinantes sipas rendit te pare.

Per rastin e levizjes se pikes ne rrafshin xOy:

LA = mvh = Lz , Lx = Ly = 0

Ligji i ndryshimit te momentit te sasise se levizjes:Duke u nisur nga ligji i dyte i njutnit:

dvm Fdt

=r r

( )iFi A

dvr m r F Mdt

× = × =∑ ∑rr r rr r

Shumezojm ekuacionin vektorialisht me vektorin e pozites rr

Realizimi sipas ALr

( )AdL d drr mv mvdt dt dt

= × = ×r r

r r r ( )0

A

d dvr mv r m ,dt dt

dL dvr mdt dt

=

+ × = ×

= ×

rr rr

r rr

( )iFAA

dL Mdt

= ∑rr

r

idvm Fdt

= ∑r r

( )iFAA

dL Mdt

= ∑rr

r

Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se levizjes per piken:

( ) ( ) ( )A

A Ax Ay Az

i j kL x y z yZ zY i zX xZ j xY yX k

mx my mz

L L i L j L k

= = − + − + −

= + +

r r r

r r rr&

&& && &&

r r rr& & & &

( ) ( )i iF FAx xxAx

dL dLM Mdt dt

= = =∑ ∑r r

( ) ( )i iF FAy yyAy

dL dLM M

dt dt= = =∑ ∑

r r

( ) ( )i iF FAz zzAz

dL dLM Mdt dt

= = =∑ ∑r r

realizimi i momentit te sasise se levizjes per ndonje pike A eshte i barabarte me shumen e momenteve te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike, te llogaritura per piken e njejte A.

Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise se levizjes per aksin.


Puna e forces

Nese pika sulmuese e Forces leviz pergjate rruges s, Fr

dA F ds= ⋅r r

Puna elementare e forces eshte i barabarte me prodhiminintenzitetit te forces , qvendosjes elementareF

r

drs

TdA F ds Fcos ds.= = α

Puna ne qvendosjen elementare eshte:• pozitive pere < 90º• negative pereeg i α > 90º• baras zerro pere α = 90º

puna e forces ne qendosjen elementare ds eshte:

dhe kosinusit te kendit mes drejtimit te forces dhe drejtimit te qvendosjes.

α

Puna ne qvendosjen definitive te pikes sulmuese te forces mes pozitave M1 dhe M2

(shkurt te shenuara 1 dhe 2 ) eshte:

( )2 2

1,2 T1 1

A F ds F ds= ⋅ =∫ ∫r r

Nese gjate levizjes FT=const, atehere kemi:

( )2

1

s2

1,2 T T T 2 1 T1 s

A F ds F ds F s s F s= = = − =∫ ∫

A Fs=

Nese pika sulmuese e forces ben kevizje drejtevizore, forca eshte konstante dhe ka drejtimin e rruges, ateher puna eshte e barabarte:

Shprehja analitike per punen

ds dx i dy j dz k

F X i Y j Zk

= + +

= + +

r r rr

r r rr

dA F ds Xdx Ydy Zdz= ⋅ = + +r r

Ne baze te definicionit per punen , rrjedhe:

[ ]2 2 2 2

1,21 1 1 1

A Xdx Ydy Zdz Xdx Ydy Zdz. Nm= + + = + +∫ ∫ ∫ ∫

Nese projeksionet e forces dhe qvendosjes elementare jane:

Puna ne qvendosjen perfundimtare mes pozitave te pikeveprimit te forces 1 dhe 2

prezentohet me mbledhjen e integraleve:

Teorema: Puna e rezultantes te sistemit te forcave te cilat veprojne ne piken materialeeshte i barabarte me shumen algjebrike te punes se komponenteve

( )R RFdA F ds= ⋅r r

R 1 2 3 nF F F F ...... F= + + + +r r r r r

Pasi qe:

( )R 1 2 3 n 1 2 3 ndA(F ) F F F ...... F ds F ds F ds F ds ........ F ds,= + + + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅r r r r r r r r rr r r r r

R idA(F ) dA= ∑r

Ne formen integrale ky ekuacion ka formen:

( ) ( )RF i1,2 1,2A A= ∑r

R 1 2 3 ndA(F ) dA dA dA ....... dA= + + + +r

Le te jete U funksion skalar i koordinatave te pikveprimit te forces F:

Forcat konzervative

U(x, y, z)

F X i Y j Zk= + +r r rr

Forca F mund te zhvillohet ne formen e gradientit te funksionit skalar U:

F =r

gradUNe sistemin koordinativ te Dekartit ekuacioni ka formen:

F ∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂

rr r rU U Ui j k gradUx y z

Projeksionet ne drejtim te akseve koordinative:

X , Y , Z .∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂U U Ux y z

Per forcen e cila mund te zhvillohet me ekuacionet e dhena themi se janeforca konzervative.Funksioni skalar U quhet funksioni i forces.

Shpesh ne vend te funksionit te forces U shfrytezohet energjia potenciale Ep(x,y,z):

Ep = –U

Puna e forces konzervativeTeorema:

Puna elementare e foforces konzervative

dA Xdx Ydy Zdz= + +

pdA d d d d dE∂ ∂ ∂= + + = = −

∂ ∂ ∂U U Ux y z Ux y z

X , Y , Z .∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂U U Ux y z

Ep = –U

Puna e forces prej 1 deri 2

1 2

2

1,2 2 1 p p1

A d E E= = − = −∫ U U U

Puna e forces konzervative nuk varet nga forma e rrugetimit te pikeveprimit te forces.

Puna varet vetem nga funksioni i forces(gjegjesisht energjia potenciale) u

1 2

2

1,2 2 1 p p1

A d E E= = − = −∫ U U U

ne poziten perfundimtare dhe fillestare dhe nuk varet nga forma e rrugetimit permes te cilit pikveprimi i forces ka kaluar nga njera pozit ne tjetren. Me kete vertetohet teorema.

Energjia kinetike e pikes materiale

Energjia kinetike e pikes materiale apo forca e gjalle

2k

1E mv2

=

Njesia: gjul [ J=Nm ].

Ne sistemin e koordinatave te dekartit:

( )2 2 2k

1E m x y z .2

= + +& & &

2 2 2 2 2v v v ose v x y z= ⋅ = + +r r& & &

k1E m v v2

= ⋅r r

prezentojne gjysmen e prodhimit te mases dhe katrorit te shpejtesise.

kE

Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike apo ligji i forces se gjalle

Verejme levizjen e pikes me mase m ne te cilin vepron sistemi i forcave:

im F= ∑rra

Me shumezimin e ekuacionit skalarishte me shpejtesine fitojme:

( )d mv dsv m F v v Fdt dt

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅r rr rr r r ra

( )v d mv F ds⋅ = ⋅r rr r

2v v v⋅ =r rPasi qe m=consts

2mvd F ds2

= ⋅

r r

2k

1E mv2

=dA

kdE dA=ligji i forces se gjallene formen diferenciale

k idE dA= ∑

Ndryshimi i energjise kinetike varet nga puna e forces e cila vepron ne pike.

Rritja e energjise kinetike ne qvendosjen elementare te pikes materiale eshte i barabarte me shumen algjebrike te punes te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike ne ate qvendosje.

Me integrimin e ekuacionit te fundit ne mes dy pozitave te ndryshme 1 dhe 2 fitojme:

k idE dA= ∑

2 2 2 2 2n2

i 1 2 ni 11 1 1 1 1

1d mv dA F ds F ds ...... F ds2 =

= = + + +

∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 21 2 n

2 1

1 1d mv d mv A A .... A2 2

− = + + +

2 1

n

k k i,1,2i 1

E E A=

− = ∑ qe paraqet ligjin mbi ndryshimin e energjise kinetike

Ndryshimi i energjise kinetike te pikes materiale ne mes dy pozitave eshtei barabarte me shumen e puneve te te gjitha forcave te cilat veprojn ne pike,ne ate qvendosje.

Levizja e detyruar e pikes materiale

Lidhjet mekanike

Trupat qe kufizojn levizjen e lire te pikes materiale ne hapesire quhen lidhje mekanikeshiquar gjeometrikishte, munde te jene ne forme vijore apo siperfaqesore.

Levizja ne vijen e dhene ⇒ Pika ka nje shkalle lirie.⇒Levizja ne

siperfaqen e dhene

Pika ka dy shkalle lirie.

Teke lidhja e vrazhde(me ferkim) paraqitet forca e ferkimit e cila eshte:

T N Fµ= µ =r r r

Levizja e pikes neper lakore te vrazhde

Fμ - forca e ferkimitμ - koeficienti i ferkimitN - forca normale

Ne varesi te kahjes se reaksionit lidhjet ndahen ne:

• lidhjet ideale(lidhjet pa ferkim),• lidhjet me ferkim.

Wm F F Fµ= + +r r rra

Ekuacionet diferenciale te levizjes se pikes neper lakore te vrazhde

Per piken materiale ekuacioni i njutnit do te jete:

T

2

N N

B B

dvm F Fdtvm F N ,R

0 F N

µ= −

= +

= +

Ekuacionet diferenciale te levizjes se pikes neper lakore te vrazhde

Ekuacioni diferencial i levizjes se pikes nga veprimi i forcave aktive:

Principi i Dalamberit per piken materiale

Wm F F= +r rra

apo

WF F m 0+ − =r r ra

inF m= −r ra

inWF F F 0+ + =

r r r

Ne qofte se ne qfaredo qasti gjate levizjes se pikes, forcave te cilat

veprojne ne pike u shtohet forca e inercise, fitohet sistemi i forcave ne ekuiliber.

Forca inerciale(forca e dalamberit) kolineare me shpejtimin(nxitimin) e pikes.

Ne vend te ekuacioneve diferenciale te levizjes fitohet ekuacioni statik i cila paraqet principin e Dalamberit

Komponentet dhe projeksionet e forces se inercise

Komponenta tangjenciale dhe normale

T N

T NinT TinN NinBin in in

T N

/ ( - m )m m m ,

F m ,

F m ,

F 0,

F F F .

+

− = − −

= −

= −

=

= +

r r r

r r

r r

r

r r r

a a

a a a

a

a

2 2

T N2dv d s v, ,dt Rdt

= = =a a

2inT 2

2inN

inB

dv d sF m T m T,dt dtvF m N,R

F 0.

= − = −

= −

=

r r r

r r

r

a =

inxiny

inz

F mx,

F my,

F mz.

=

=

=

&&

&&

&&

Komponentet e forces se inercise ne sistemin koodinativ te dekartit

Shembull: Levizja e pikes ne rreth

LEKUNDJET E PIKES MATERIALE

• Lekundjet e lira harmonike• Lekundjet e amortizuara• Lekundjet e detyruara

shtangesia k

kF kx i= −rr

Ekuacioni diferencial i lekundjeve te lira eshte:

2

mx kx / m

k k kx x 0, , , frekuenca rrethorem m m

= −

+ = ω = ω =

&&

&&

kk

LEKUNDJET (VETIAKE) E LIRA HARMONIKE

2x x 0+ ω =&& Ekuacioni diferencial i lekundjeve te lira

Zgjidhja e pergjithshme e ketij ekuacioni eshte:

1 2

1 2

0, 0 0

00 1 0 2 2

dx C cos t C sin t /dt

x C sin t C cos tt 0, x x x v x kushtet fillestare

xx C , x C C

= ω + ω

= − ω ω + ω ω= = = =

= = ω ⇒ =ω

&

& &

&&

00

xx x cos t sin t= ω + ωω&

Ligji i lekundjeve per keto kushte fillestare

00

xx x cos t sin t= ω + ωω&

Me futjen e konstanteve te reja R , α:0 1

2 2 21 20

2

x C R sinαC C Rx C R cosα

= =+ =

= =ω&

22 0 010 2

2 0

x xCR x tgαC x

ω= + = =

ω &

Ligji i lekundjeve mund te transformohet ne formen:

( )x R sinαcos t R cosαsin t R sin t α= ω + ω = ω +

( )x R sin t α= ω +

lekundja eshte periodike

Intervali kohor (T), gjate se cilit pika kryen nje lekundje(oscilim) te plote quhet:perioda e lekundjeve

( ) ( )( ) ( )

sin t T α sin t α

cos t T α cos t α

ω + + = ω + ω + + = ω +

2 2 mT 2 T 2kk

m

π πω = π ⇒ = = = π

ω

Per kohen T pika pershkruan nje lekundje te plote

( )x R sin t α= ω +

Konstanta α quhet faza fillestare

frekuenca e lekundjeve f - numri i lekundjeve te plota ne njesi te kohes

1T 2

ω= =

πf 2 2 mT 2

kkm

π π= = = π

ω

km

ω = Frekuenca rrethore

R - amplituda

LEKUNDJET E SHUARA

te shuara apo amortizuara.

Ne qofte se ne pike gjate lekundjes perveq forces elastike(forca e shtangesise)

vepron edhe forca e rezistences, ateher lekundjet jane te shuara apo te amortizuara

Forca e shuarjes

WF c x i= −rr

&

b - koeficienti i shuarjes

kF kx i= −rr

ekuacioni diferencial ne formen vektoriale

k Wm F F G N= + + +rr r rra

k Wm x F F= − −&&

Forca elastike

ekuacioni diferencial ne formen skalare

k WF kx F cx= = &

mx cx kx 0/ : m+ + =&& &

c cx x 0m m

+ + =&2c k2 i

m m= δ = ω

2x 2 x x 0+ δ + ω =&& &

2 22 0λ + δλ + ω =

Qe te fitojm zgjidhjen e pergjithshme te ekuacionit diferencial,

duhet te shkruajm formen karakteristike te tije:r2 2

1 2λ = −δ ± δ − ω

1 2t t1 2x C e C eλ λ= +

Rrenjet e ekuacionit jane:

Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit diferencial:

ku C1 , C2 jane konstantet e integrimit.

k Wm x F F= − −&&

Ekuacioni diferencial i lekundjeve te shuara

x&&

2 22 0λ + δλ + ω =2 2

1 2λ = −δ ± δ − ω

1 2t t1 2x C e C eλ λ= +

• δ<ω − shuarje e dobet• δ>ω − shuarje e madhe(rasti i rezistences se madhe)• δ=ω − rast kufitar i lekundjeve aperiodike.

δ<ωRrenjet e ekuacionit karakteristik jane rrenje komplekse2 2

1 2λ = −δ ± δ − ω

Me zavendesimin: 2 2 2p =ω −δ

1 2 pi i 1λ = −δ ± = −

1 2t t1 2x C e C eλ λ= + ( )t

1 2x e C cospt C sin pt−δ= +

C1 , C2 jane konstantet e integritetit te cilat fitohen nga kushtet fillestare

1 2C =R sinα, C =R cosα

( )tx e R sinαcospt R cosαsin pt−δ= +

( )tx Re sin pt α−δ= +

Zgjidhje me e pershtateshme fitohet me futjen e konstanteve te reja:

0 0t 0, x x , x v= = =&


( ) ( )t tx R e sin pt α R e pcos pt α−δ −δ= − δ + + +&

Caktimi i konstanteve te integrimit

Kushtet fillestare

220 2 0 0

020

x R sinα / v xR xpv R sinα Rpcosα /

= + δ + ⇒ = + = − δ +

0 0

0 0 0 0

x p x ptgα , α arc tgv x v x

= =+ δ + δ

Lekundja e pikes eshte e karakterit oscilues, sepse sinusi eshte funksion periodik,

Keto lekundje quhen lekundje te shuara.


tt , e 0 i x 0−δ→ ∞ → →

p2Tpπ

=

Perioda e oscilimit te lekundjeve te shuara eshte:

Per

LEKUNDJET APERIODIKE δ>ω

Nese, δ>ω 2 21 2λ = −δ ± δ − ω

2 2 2q = δ − ωFusim zavendesimin: 1 2 qλ = −δ ±

( ) ( ) ( )1 2 q t q tt t t qt qt1 2 1 2 1 2x C e C e C e C e e C e C e−δ+ −δ−χ λ −δ −= + = + = +

Zgjidja e ekuacionit diferencial:

qt qte chqt shqt, e shqt shqt−= + = −

( ) ( )( )

t1 2

t

x e C ch qt sh qt C ch qt sh qt

x e Ach qt Bsh qt

−δ

−δ

= + + −

= +

Ku A, B jane konstante te reja te integrimit te cilat caktohen nga kushtet fillestare te lekundjeve

Lekundjet nuk jan oscilatore- ato quhen aperiodike.

( ) ( ) ( )1 2 q t q tt t t qt qt1 2 1 2 1 2x C e C e C e C e e C e C e−δ+ −δ−χ λ −δ −= + = + = +

( )tx e Ach qt Bsh qt−δ= +

RASTI KUFITAR δ=ω

Ne kete rast rrenjet e ekuacionit karakteristik jane:

1 2λ = λ = −δ

2 21 2λ = −δ ± δ − ω

prandaj zgjidhja e ekuacionit diferencial eshte:

( )t1 2x e C C t−δ= +

Diagrami ka formen sikur tek lekundjet aperiodike.

lekundjet jane aperiodike

tt , t e 0−δ→ ∞ →

LEKUNDJET E DETYRUARA

Ne qoftse se ne piken materiale perpos forces elastike vepron edhendonje force e jashtme ne funksion te kohes ateher keto lekundje

quhen lekundje te detyruara.

( ) ( )Ω 0 Ω 0F F sin Ωt ose F F cos Ωt= =

F0 amplituda e forcesΩ frekuenca e forces se detyruar.re

Me se shpeshti merret qe forca detyruese merret ne forme te f

funksionit harmonik ne varesi te kohes:

LEKUNDJET E DETYRUARA PA FORCE REZISTUESE

KF kx i= −rr

Forca elastike

( )Ω 0F F sin Ωt i=rr

Forca detyruese

0mx kx F sinΩt. / : m= − +&&

km F F G NΩ= + + +rr r rra

2 0Fk , hm m

= ω =

ku:−ω - Frekuenca rrethore e lekundjeve te lira,−h - ka dimensionin e shpejtimit dhe varet

−nga forca maksimale detyruese F0.

konstante

k

k

2x x hsinΩt+ ω =&&Ekuacioni diferencial johomogjen i rendit te dyte

me koeficient konstant.

Zgjidhja e ketije ekuacioni eshte:

h px x x= + ku jane:- xh zgjidhja e ekuacionit homogjen,- xp Integrali partikulare.

2x x 0+ ω =&&

( )h 1 2

h

x C cos t C sin tx R sin t α

= ω + ω = ω +

Si ne rastin e lekundjeve te lira harmonike , ku C1 , C2, gjegjesishte R , α, konstantet e integrimit.

zgjidhja e ekuacionit homogjen,

px AsinΩt=

Integrali partikular paraqitet ne formen:

ku A konstante e pa njohure.

p

2p

x AΩcosΩt

x AΩ sinΩt

=

= −

&

&&

2x x hsinΩt+ ω =&&

( )2 2

2 22 2

AΩ sinΩt AsinΩt hsinΩt,hA Ω sinΩt hsinΩt AΩ

− + ω =

ω − = ⇒ =ω −

Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit diferencial te lekundjeve te detyruara pa shuarje eshte:

( ) 2 2hx R sin t α sinΩtΩ

= ω + +ω −

amplituda A nuk varetnga kushtet fillestare

( ) 2 2hx R sin t α sinΩtΩ

= ω + +ω −

Lekundjet jane periodike dhe paraqesin

shumen e dy funksioneve harmonike

lekundjet e lira apo vetiake me amplitude Rdhe frkuence rrethore ω

Ωe cila eshte e barabarte me frekuencen e forces detyruese.

Lekundjet e detyruara me amplitude A, Te cilat

nuk varen nga kushtet fillestare dhe frekuenca

AMPLITUDA E LEKUNDJEVE TE DETYRUARA

Varesia e amplitudes se lekundjeve te detyruara A ne raport

me frekuencen e lekundjeve vetiake dhe te detyruara:

2

2 2 2

2

2 2 2

00

2 2

hA /Ω

hh 1A

Ω Ω1 1

FF1 1mA k kΩ Ω1 1m

ω= ⋅

ω − ω

ω= =ω − − ω ω

= = − − ω ω

( )Ω 1, Ω→ → ωω

amplituda e lekundjeve te detyruara tenton ne pakufi (A →∝).

02

F 1Ak Ω1

= − ω

Lajmerimi i paraqitjes se amplitudave shum te medhaja te lekundjeve te detyruarasi pasoj e vlerave te peraferta te Ω , ω quhet rezonance.

A→∝ Pavaresishte nga madhesia e forces detyruese F0, qe do te thote ne zonen e rezonances,Ω≈ω, mund te fitohen amplituda te medhaja te lekundjeve te detyruara nga veprimi i forces se vogel.

LEKUNDJET E DETYRUARA ME SHUARJE

k W Ωm F F F= + +r r rra

Ekuacioni diferencial i ketyre lekundjeve eshte:

k W 0F kx, F bx, F F sinΩt.Ω= = =&

( )0mx kx cx F sin Ωt / : m= − − +&& &

2x 2 x x hsinΩt+ δ + ω =&& &

2 0Fk c, 2 , hm m m

= ω = δ =

k

k

2x 2 x x hsinΩt+ δ + ω =&& &

Zgjidja e ketije ekuacioni eshte:

h px x x= + ku: - xh zgjidhja e ekuacionit homogjen,- xp integrali partikular.

Zgjidhja homogjene e ekuacionit eshte e njejte sikur tek lekundjet e shuara:

( )thx Re sin pt α−δ= + δ<ω

Zgjidhja partikulare paraqitet ne formen:

( )p px BsinΩt DcosΩt, ili x Csin Ωt β= + = −

ku B , D, dhe. C , β konstante qe caktohen me zavendesimin p p px , x , x& &&

( )2 2 22 2 2 2

2 Ωβ , CΩ Ω 4 Ω

= =− − +

htg δω ω δ

( ) ( )tx Re sin pt α Csin Ωt β−δ= + + −

Zgjidja e ekuacionit diferencial eshte:

Ω.

xh dhe atyre detyruese

xp. lekundja rezultuese eshte shuma e lekundjeve me shuarje

Lekundjet me shuarje te cilat humbin me kohen, ndersa mbeten lekundjet e detyruara me amplitud C dhe

frekuence

DINAMIKA E SISTEMIT MATERIALINAM

SISTEMI MATERIAL ESHTE BASHKESIA E PIKAVE MATERIALE LEVIZJA DHE POZITA E TE CILAVE JANE TE LIDHURA NE MES VETI

Sistemi material i lire-sistemi i pikave materiale te cilat nuk jane te lidhura mes veti.

Sistemi material i lidhure

Sistemi diskret

Trupi i ngurte -Nga veprimi forcave nuk e nderron formen dhe dimensionin.

Trupi material – masat ne ndonje pjese te hapesires jane te renditura ne menyre te pa nderprere.

-sistemi i pikave materiale levizja e te cilave eshte i kufizuare me lidhje.

-sistemi i pikave materiale te cilat jane me numer te caktuar dhe distanca te caktuara ne mes veti.

Forcat qe veprojne ne pike apo ne trup ndahen ne forca te jashtme dhe te brendeshme.

Forcat e brendeshme-

jFr

mFr

Forcat e jashtme -te cilat veprojne ne trup apo pike nga jashte.

jane forca me te cilat pikat apo trupat e sistemit te caktuar veprojne njeri ne tjtrin.

Vektori kryesore i forcave te brendeshme eshte i barabarte me zerro

nm mR i

i 1F F 0

== =∑

r r

nu u u uik ki ik ki i

i 1F F , F F 0 F 0

== − + = =∑

r r r r r

Duke u bazuare ne ligjin e trete te Newton-it kemi:

Karakteristikat e forcave te brendeshme te cilat veprojne ne sistem

m nR i

n nF F m

i i0 0i 1 i 1

M M r F 0= =

= = × =∑ ∑r rr r rr

( )m mik kiF F m m m m

i ik k ki i ik k ik i k ik0 0M M r F r F r F r F r r F+ = × + × = × − × = − ×r rr r r r r r rr r r r r r

forca qe vepron ne piken Mi nga ana e pikes Mk

Mk Mi

mikF

r

mkiF

r

m mik ki

i i k r i k i k k i

F F mk i ik0 0

r M M r r r M M M M

M M M M F 0,

+ = → − = − =

+ = × =r r

uuuuuur uuuuuur uuuuuurr r r r

uuuuuurr r r

Momenti kryesore i forcave te brendeshme ne raporte me

piken O te caktuar per pol te pa levizshem eshte i barabarte me zerro.

forca qe vepron ne piken

nga ana e pikes

MASA E SISTEMIT MATERIALA

n

ii 1

M m m=

= = ∑

Masa e sistemit material eshte e barabarte me shumen algjebrikete masave te te gjitha pikave apo trupave te cilet e formojne sistemin.

QENDRA E RENDESES SE MASES SE SISTEMIT MATERIAL

n

i ii ii 1

C

m rm rr

m m== =∑ ∑

rr

r

EKUACIONET DFERENCIALE TE LEVIZJES SE SISTEMIT MATERIAL

j mi i i im F F= +

r rra

Ekuacioni diferencial i levizjes se pikes i:

miF

r jiF

r

j mi i i i

j mi i i i

j mi i i i

m x X X

m y Y Y

m z Z Z

= +

= +

= +

&&

&&

&&

ku i=1,2,3,.....n.

Ekuacionet diferenciale te levizjes te sistemit material

-Rezultantat e forcave te jashtme dhe te brendeshme ne piken i.

LIGJET E PERGJITHSHME TE SISTEMIT MATERIAL

Ligji mbi levizjen e qendres se mases se sistemit material

j mi i im F F= +

r rra

n n ns u

i i i ii 1 i 1 i 1

m F F .= = =

= +∑ ∑ ∑r rra

2i i

C 2m r dr /m dt

= ∑ rr

n n

C i i i ii 1 i 1

m r m r m .= =

= =∑ ∑r r r&& && a

j mi C i im r F F= +∑ ∑

r rr&&0= j

C ij

C R

m F

m F

=

=

∑rr

rra

a Ligji mbi levizjen e qendres

se mases se sistemit material

Qendra e mases (qendra e inercionit) e sistemit aterial levize si pika materiale

me mase te barabarte me shumen e masave te te gjitha pikave te sistemitne te cilen vepron vektori kryesor i te gjitha forcave te jashtme te sistemit.

sC Rm F=

rra

nj j

C R ii 1n

j jC R i

i 1n

j ji C R i

i 1

m x X X

m y Y Y

m z Z Z

=

=

=

= =

= =

= =

∑

∑

∑

&&

&&

&&

Ekuacionet diferenciale te levizjes se qendres se mases

Forcat e brendeshme nuk ndikojne ne levizjen e qendres se mases se sistemit material.

Ne qofte se vektori i i te gjitha forcave te jashtme te cilat veprojn ne sistemin material

gjate gjthe kohes se levizjes eshte i barabarte me zerro, ateher qendra e sistemit

ben levizje drejtevizore.

( 0)j ji RF F= =∑r r j

C R Cm F 0 0= = ⇒ =∑rr ra a

por shuma e projeksioneve te tyre ne aks eshte e barabarte me zerro (psh X), atehereprojeksioni i shpejtesise se qendres se mases ne aks eshte konstante:

jC R C C Cxm x X 0 x 0, x v const= = ⇒ = = =&& && &

j jR i(F F 0)= ≠∑

r r

LIGJI MBI RUAJTJEN E SASISE SE LEVIZJES SE QENDRES SE MASES

TE SISTEMIT MATERIAL

Ne qofte se ne sistem veprojn forcat e jashtme vektori kryesor i i te cilave eshte i

ndryshem nga zerro

n n

i i ii 1 i 1

K K m v= =

= =∑ ∑r r r

ii

drvdt

=r

r n ni

i i ii 1 i 1

dr dK m m rdt dt= =

= =∑ ∑rr r

n

C i ii 1

m r m r=

= ∑r r

( )n

Ci i C

i 1

drd dK m r mr mdt dt dt=

= = =∑rr r r

CK mv=r r

ku:m – masa e tere sistemit

–vektori i qendres se masesCrr

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES SE QENDRES SE MASES


SASIA E LEVIZJES SE SISTEMIT MATERIAL

CK mv=r r

n

x i ix Cx Ci 1n

y i iy Cy Ci 1

n

z i iz Cz Ci 1

K m v m v mx ,

K m v m v m y ,

K m v m v mz

=

=

=

= = =

= = =

= = =

∑

∑

∑

&

&

&

Projeksionet e vektorit te sasise se levizjesne sistemin koordinativ te dekartit

( )

C

C nC C j jR i

i 1jC R

dK mv /dt

dvdK d mv m m dK F Fdt dt dtdt

m F =

=

= = = ⇒ = =

=

∑

r r

r rrr r

r r

rr

a

a

jxR

y jR

y jR

dK Xdt

dKY

dtdK

Zdt

= =

=

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL

NE FORMEN DIFERENCIALE

0

tnj jR i

i 1 t

dK F F / dt /dt =

= = ⋅∑ ∫r

r r

0 0

t tsR

t tdK F dt=∫ ∫

r r

0 0

t tn nj j j j

0 R i ii 1 i 1t t

K K F dt F dt I I= =

− = = = =∑ ∑∫ ∫r r r r r r

LIGJI MBI NDRYSHIMIN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL

NE FORMEN INTEGRALE

Ne qofte se ne sistem vepron sistem i atille i forcave te jashtme ashtu qe vektori kryesor

jR c

dK F 0 K const v const.dt

= = ⇒ = ⇒ =r

r r r

0 0

t tn nj j j j

0 R i ii 1 i 1t t

K K F dt F dt I I= =

− = = = =∑ ∑∫ ∫r r r r r r

Nese atehere edhe impulsi i forces te vektorit kryesor eshte zerro, prandaj kemi:mpujRF 0=

rjI 0=

r

0K K const= =r r

LIGJI MBI RUAJTJEN E SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL

i tyre gjate gjithe kohes se levizjes eshte i barabarte me zerro, ateher vektori i sasise se

levizjes eshte konstant.

n n n

0 i0 i i i i ii 1 i 1 i 1

L L r K r m v= = =

= = × = ×∑ ∑ ∑r r rr r r



MOMENTI I SASISE SE LEVIZJES TE SISTEMIT MATERIAL

( ) ( )j mi iF Fi0

0 0dL M Mdt

= +r rr

r r

jiF

0Mrr

uiF

0Mrr

–momenti i forcave te jashtme te cilat veprojn ne piken Mi ne raport me piken O

–

( ) ( )j mi i

n n nF Fi00 0

i 1 i 1 i 1

dL M M ,dt= = =

= +∑ ∑ ∑r rr

r r0= n

i0 0i0 0

i 1

dL dLd dL L ,dt dt dt dt=

= = =∑ ∑r r

r r

( )ji

n F00

i 1

dL Mdt =

= ∑rr

r Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise selevizjes ne raport me polin e pa levizshem



momenti i forcave te brendeshme te cilat veprojn ne piken Mi ne raport me piken O

j ji i

j ji i

j ji i

nF F0x

x0xi 1n0y F F

y0yi 1n

F F0zz0z

i 1

dL M M ,dt

dLM M ,

dtdL M M .

dt

=

=

=

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

r r

r r

r r

Ligji mbi ndryshimin e momentit te sasise selevizjes ne raport me polin e pa levizshem


n n2

k ki i ii 1 i 1

1E E m v2= =

= =∑ ∑

mi dhe vi – masa dhe shpejtesia e pikes i Eki – energjia kinetike e pikes i

Ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike pere qfaredo pike te sistemit material, psh per piken 1

j j m mk1 1 2 1 2dE dA dA ... dA dA ......,= + + + + +

1442443 1442443

puna elementare e forcave te jashtme te cilat veprojn ne piken 1


ENERGJIA KINETIKE E SISTEMIT MATERIAL

puna elementare e forcave te brendeshme te cilat veprojn ne piken 1

S S u uk1 k2 kn 1 2 1 2dE dE ....... dE dA dA ... dA dA .....+ + + = + + + + +

j mkdE dA dA= + −Ek – ukupna kinetička energija materijalnog sistema,

j jidA dA= ∑ –

m midA dA= ∑ –

ligji mbi ndryshimin e energjise kinetike te sistemit ne formen diferenciale

TE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN DIFERENCIALELIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE

puna elementare e forcave te jashtme

puna elementare e forcave te jashtme

j mk1 k0 0,1 0,1E E A A− = +

j mkdE dA dA /= + ∫

TE SISTEMIT MATERIAL NE FORMEN INTEGRALELIGJI MBI NDRYSHIMIN E ENERGJISE KINETIKE

jkdE dA=

jk1 k0 0,1E E A− =

Nese trupi eshte i lidhur, lirohet nga lidhja dhe ndikimi i lidhjeve zavendesohet me reaksionet e tyre.

TE SISTEMIT MATERIAL TE PA NDRYSHUESHEM


idhjeve

Trupi i atill konsiderohet i lire, e ne te veprojne sistemi i forcave te jashtme-forcave aktive te reaksioneve te lidhjeve.

MOMENTET MATERIALE TE INERCIS

Qendra e inercisë së masës

Momentet e inercisoa) Definicioni i momentit te inercisëeb) Lidhjet ne mes te momenteve të inercis

c) Momentet e inercisë në raport me akset paralele

Renditja e masave te sistemit karakterizohet me poziten e pikave te sistemite cila quhet qendra e masës e qe caktohet me shprehjen:

C i i1r m rm

= ∑r r

C i i

C i i

C i i

1x m xm1y m ym1z m zm

=

=

=

∑

∑

∑

Qendra e inercisë së masës

C i i1 gr m r /m g

= ∑r rg=9.81m/s2

G = mgGi = mig

C i i1r m r g

mg= ∑r r

C i i1r G rG

= ∑r r

qendra e mases se sistemit dhe qendra e sistemit

gjeometrikisht perputhen

C i i

C i i

C i i

1x m GG1y m GG1z m G .G

=

=

=

∑

∑

∑

Dendësia

Dendësia – është masa në njesi të vëllimit

srmV

∆ρ =

∆

Paramendojmë që në një pikë të hapësirës të vëllimit ∆V gjëndet masa ∆m

dëndësia mesatare rrethë pikës M

srV 0 V 0

m dmV dVlim lim

∆ → ∆ →

∆ρ = ρ = =

∆

ρ= const - trupi është homogjen,

ρ≠ const - trupi nuk është homogjen,

Trupi homogjen

n n

i ii 1 i 1

m m V V= =

= =∑ ∑

11

1

22

2

nn

n

m ,Vm ,V

m .V

ρ =

ρ =

ρ =

M

Nese trupi është homogjen

ρ1 = ρ2 =... =ρn =const

( )i 1 1 2 2 n n 1 2 nm m V V .... V V V ... V ,= = ρ + ρ + + ρ = ρ + + +∑n

ii 1

mm V V,V=

= ρ = ρ ⇒ ρ =∑

Momenti i inercisë

Madhësia e cila e karakterizon gjeometrinë dhe shperndarjen e masës, quhet:

momenti i inercisë

a) Definicioni i momentit te inercisëe

Momentet e inercisë të sistemit material në raport me rrafshin (momentet planare të inercisë)

n2

yOz i ii 1n

2zOx i i

i 1n

2xOy i i

i 1

I m x ,

I m y ,

I m z .

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

momentet planare të inercisë

Tekë renditja kontinuale e masave:

2yOz

V

2zOx

V

2xOy

V

I x dV

I y dV

I z dV

= ρ

= ρ

= ρ

∫

∫

∫

dm ,dV

ρ = dm dV,= ρV

m dV= ρ∫

Masa elementare dme zënë vellimin

dV , koordinatat e të cilit janë:

x, y, z, ndërsa distanca nga fillimi koordinativ është r.

( )

( )

( )

n2 2

x i i ii 1n

2 2y i i i

i 1n

2 2z i i i

i 1

I m y z ,

I m x z ,

I m x y .

=

=

=

= +

= +

= +

∑

∑

∑

( )

( )

( )

2 2x

V

2 2y

V

2 2z

V

I y z dV,

I x z dV,

I x y dV.

= ρ +

= ρ + = ρ +

∫

∫

∫

momentet aksiale të inercisë

Momentet e inercisë të sistemit material në raport me aksin

(momentet aksiale të inercisë)

në rastin e shpërndarjes konti nuale të masës kemi:

( )2 2 2O i i i iI m x y z= + +∑

( )2 2 2O

VI x y z dV= ρ + +∫

Momentet e inercisë të sistemit material në raport me pikën

(momentet polare të inercisë)

momentet polare të inercisë

në rastin e shpërndarjes konti nuale të masës kemi:

b) Lidhjet në mes të momenteve të inercisë

( )2 2 2 2 2 2O i i i i i i i i i iI m x y z m x m y m z= + + = + +∑ ∑ ∑ ∑

O yOz zOx xOyI I I I= + +

Momenti polar i inercisë është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë

në raport me tri rrafshet normale mes veti

( )n

2 2x i i i

i 1I m y z

== +∑

n n2 2

x i i i ii 1 i 1

I m y m z= =

= +∑ ∑

x zOx xOy

y yOz xOy

z zOx yOz

I I I ,

I I I ,

I I I .

= +

= +

= +

Momenti aksial i inercisë në raport me aksin është i barabartë me shumën

e momenteve polare të inercisë ne raport me rrafhin te cilat kur priten japin momentin e aksit

Me mbledhjen e momenteve aksiale të inercisë për të tre akset ortogonal

fitohet lidhja në mes momenteve aksiale dhe atyre polare të inercisë.

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2x y z i i i i i i i i iI I I m y z m x z m x y+ + = + + + + +∑ ∑ ∑

( )2 2 2x y z i i i i OI I I 2 m x y z 2I+ + = + + =∑

x y z OI I I 2I+ + =

c)

Teorema e Hajgers-Steinerit

2z ' CzI I md= +

Momentet e inercisë në raport me akset paralele

2' .z i iI m h= ∑ ( ) ( )2 22 ,i i ih x a y b= − + −

( ) ( )

( ) ( )

2 2'

2 2 2 2 2 2 ,

z i i i

i i i i i i i i

I m x a y b

m x y m a b a m x b m y

= − + −

= + + + − −

∑

∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2 2 2' ,i i ix y h a b d+ = + =

2 2 2 2 ,z i i i i i i iI m h m d a m x b m y′ ′= + − −∑ ∑ ∑ ∑

2C ,z i iI m h ′= ∑

2 2 2 ,i im d d m d m= =∑ ∑

C C1 1, .i i i ix m x y m ym m

= =∑ ∑

C C0, 0, 0, 0,i i i ix y m x m y= = = =∑ ∑2

' C .z zI I md= +

Kako je:

gde je:

Momentet centrifugale të inercisë. Akset kryesore të inercisë

xy i i i

yz i i i

zx i i i

I m x y

I m y z

I m z x

=

=

=

∑∑∑

xyV

yzV

zxV

I xydV,

I yzdV,

I zxdV.

= ρ

= ρ

= ρ

∫

∫

∫

Momentet centrifugale të inercisë

Momentet centrifugale të inercisë mund të jenë pozitive, negative dhe zerro.

MOMENTET E INERCISE SE PLLAKAVE TE HOLLA

dendesia e masesγ

dFtdV ⋅=

∫

∫∫∫

⋅⋅=

⋅⋅=⋅==

F

VVV

dFtm

dFtdVdmm

γ

γγ

yyxxzz

F

2

yy

F

2

xx III,dFxtI,dFytI +=== ∫∫ γγ

try

x

dm

C

x

y

z

C

z

b

a

dm

z

y

x

Momentet e inercise per pllaken drejtekendeshe

dyazdm ρ=

zbam ρ=

∫=2

b

0

2

xx adyyz2I ρ

ρ ....dendesia e mases

12

bm

24

abz2

23

== ρ

∫=2

a

0

2

yy bdyxz2I ρ12

am

24

baz2

23

== ρ

drdrzdm ϕρ=

dm)sinr(2I0

R

0

2

xx ∫ ∫=

π

ϕ

2

RmI

2

zz = A

22

zzzz ImR2

3mRII ==+=

z

dm

C

x

z

A

z

y

x

R

4

Rm...

2

=

Momentet e inercise per pllaken rrethore

PRINCIPI I DALLAMBERIT PER SISTEMIN MATERIAL TE LIDHUR

Gjate levizjes te sistemit material te lidhur si edhe tek levizja e pikes materiale te lidhureshte e mundur qe ekuacionet diferenciale te levizjes te formulohen permes principit te Dalamberit.

Ne ate rast duhet te lirohemi nga lidhjet dhe ne vend te tyre te merren reaksionet e lidhjeve,sistemit material duhet ti shtohet forca e inercise qe i pergjigjet.

rezultanta e te gjitha forcave aktive

forca perkatese e inercise

Principi i Dalamberit per piken:

ini i iF R F 0+ + =

r r ra

n n nin

i i ii 1 i 1 i 1

F R F 0= = =

+ + =∑ ∑ ∑r r ra

rezultanta e te gjitha reaksioneve te lidhjeve

Principi i Dalamberit per sistemin material:

RFr a

RRr

inRF

r

– Vektori kryesor i forcave aktive qe veprojn ne sistem ( );

–

(

);

–

(

).

n n nin

i i ii 1 i 1 i 1

F R F 0= = =

+ + =∑ ∑ ∑r r ra

Vektori kryesor i forcave te inercise

Vektori kryesor i reaksioneve te lidhjeve

n n nin

i i i ii 1 i 1 i 1

F R F 0 / r= = =

+ + = ×∑ ∑ ∑r r r ra

n n nin

i i i i i ii 1 i 1 i 1

r F r R r F 0= = =

× + × + × =∑ ∑ ∑r r rr r ra

( ) ( ) ( )inO R O R O RM F M R M F 0+ + =

r r r r r ra

Momenti kryesor i forcave aktive ne raport me polin O

Momenti kryesor i reaksioneve te lidhjeve ne raport me polin O

Momenti kryesor i forcave te inercise ne raport me polin O

inR R RF R F 0+ + =

r r ra

( ) ( ) ( )inO R O R O RM F M R M F 0+ + =

r r r r r ra

Ketu futen vetem forcat e jashtme dhe reaksionet e lidhjeve pasi qe vektori kryesor i forcvave te

brendeshme eshte i barabarte me zerro.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ini ix i

ini iy i

ini iz i

inOx i Ox i Ox i

inOy i Oy i Oy i

inOz i Oz i Oz i

X R X 0,

Y R Y 0,

Z R Z 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0.

+ + =

+ + =

+ + = + + =

+ + =

+ + =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

r r r

r r r

r r r

a

a

a

a

a

a

Principi i Dalamberit ne formen skalare

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ini ix i

ini iy i

ini iz i

inx i x i x i

iny i y i y i

inz i z i z i

X R X 0,

Y R Y 0,

Z R Z 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0.

+ + =

+ + =

+ + = + + =

+ + =

+ + =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

r r r

r r r

r r r

a

a

a

a

a

a

Principi i Dalamberit ne formen skalare ne rastin kur merret parasysh momenti ndaj aksit

Qe te mund te perdoret principi i Dalamberit eshte e nevojshme qe te llogariten

vektori kryesor dhe momenti kryesor i forcave te inercise per forma te ndryshme

te levizjes se trupit te ngurt.

PERCAKTIMI I VEKTORIT KRYESOR DHE MOMENTIT KRYESOR

TE FORCAVE TE INERCISE SE TRUPIT TE NGURT

Ne dinamik per qender zakonisht merret qendra e rendeses se trupit.

VEKTORI KRYESOR I FORCAVE TE INERCISE

n nin inR i i i

i 1 i 1F F m

= == = −∑ ∑

r r ra

n

C i ii 1

2n n

i i C i i C2i 1 i 1

1r m rm

dm r mr / m mdt

=

= =

=

= ⇒ =

∑

∑ ∑

r r

r r r ra a

inR CF m= −

r ra

ku:−m – masa e trupit te ngurt

– nxitimi i qendres se trupitCar

( ) ( )n n n

in in in inC R C i i i i i i C

i 1 i 1 i 1M F M F r F r m M

= = == = × = − × =∑ ∑ ∑

r r r r r rr r ra

– Pozita e te gjitha pikave te trupit te ngurt ne raport me qendren e rendesesirr

MOMENTI KRYESOR I FORCAVE TE INERCISE

Levizja translatore e trupit te ngurt

Vektori kryesor i forcave te inercise inR CF m= −

r ra

Momenti kryesor i forcave te inercise

Vektori i pozites se qendres se trupit ne raport me qendren C eshte i barabart me zerro

Cr 0=r

n ninC i i i i i i C C

i 1 i 1M r m m r mr 0

= == − × = − × = − × =∑ ∑

r r r rr r ra a a

Levizja rrotulluese e trupit te ngurt rreth aksit te pa levizshem

Vektori kryesor i foercave te inercise eshte:

inR CF m 0= − =

r ra

inC CzM I= − ε

r r

Ndersa momenti kryesor i foercave te inercise eshte:

PRINCIPI I PUNEVE VIRTUALE TE SISTEMIT MATERIAL

Çvendosje virtuale quhet madhesia e idealizuar pambarimisht e vogel

te cilat mund ti kryejn ne çastin e dhene, duke mos i shkaterruar lidhjet.

( )cos ,= ⋅ =r rr r

i i i i i i iA F r F s F rδ δ δ δ

.i ir sδ δ=r

( )1 1

cos , 0,= =

⋅ = =∑ ∑r rr rn n

i i i i i ii i

R r R s F rδ δ δ

PRINCIPI I PUNEVE VIRTUALE TE SISTEMIT MATERIAL

Principi i Lagnranzhit per punet virtuale

Per ekuilibrin e forcave ne qdo pike te sistemit material

shuma e puneve te forcave aktive, te cilat veprojne ne sistem

10.

== ⋅ =∑

r rna

i ii

A F rδ δ

qofshin ato forca te jashtme apo te brendeshme, eshte e

barabarte me zerro.

I

II

III

0, 1

0, 2

0, 3

1, 22, 3

1, 3

20, 1

0, 3

1, 2

2, 3

I

II

III

8

8

0, 2

0, 2

Poli O2 eshte ne pakufi

0, 1

0, 3

1, 2

I

8

8

1, 3

1, 3

2, 3II

III

b

c

0, 1

1, 2

1, 3

0, 2

2, 3

0, 31

2

3

rel

c · relI

II III

ω

ω

ω

ω

ω

rel1bc

cωω

+=

12c

bωω =

rel2bc

bωω

+=

b c d e f

1ω

3ω

2ω

A

B

CH=10(kN)

t

t

4,0 4,0 2,0 2,0

3,0

3,0

Shembull: Te caktohet Momenti ne prerjen t - t

:

3

2

1

III

II

I

III

I

II

2,0

1,5

1,5

3,0

x

y

2

2,3

1

3

1,2H=10(kN)

III

II

I

x

y

2

2,3

1

3

1,2H=10(kN)

M

0MM6H0A 321 =++⋅= δϕδϕδϕδ

kNm0.610

H6M

0M7M36H 111

−=−

=

=++⋅ δϕδϕδϕ

13

31

32

2121

7

5,15,10

5,15,3

3,26

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

=

=

=

==

y

x4

3

4

y

x

6

4

−=

=

3

4x,2y ==

P = 10 N

t

t

M = 12 N

2 m 1 m 1 m 1 m

2 m

Shembull: Te caktohet Forca aksiale ne prerjen t - t

MEHANIKA 2 PREDAVANJE 7, 2008./09.

8

3I =ϕ

23

6−=

−== IIIII ϕϕ

02460N10

0MP6N10dW

tt

IIItt

=−−⋅−

=⋅+⋅−⋅−=

−

− ϕ

6.3N tt −=−

N N

P

mekanika 2

Education