A : MEHANIKA I razred

MEHANIKA ZADATAK 2.Dat je stroboskopski dijagram koji prikazuje kretanje lopte, od trenutka njenog izbacivanja do ponovnog pada na tlo.

Ivica kvadratia u okviru dijagrama odgovara duini od 2m, a vremenski interval izmeu dva uzastopna poloaja lopte traje 0.3s. Tijelo je izbaeno iz koordinatnog poetka (x0=0m; y0=0m). a) Odrediti minimalnu vrijednost brzine lopte u okviru posmatranog vremenskog intervalab) Odrediti maksimalnu vrijednost brzine lopte u okviru posmatranog vremenskog intervalc) Odrediti ubrzanje lopte u taki A.

(25 bodova)RJEENJE:a) Kretanje lopte moe se opisati zakonitostima koje vrijede za kosi hitac. Poto se radi o kretanju u ravni, vektor brzine lopte se u svakom trenutku moe razloiti na dvije komponente. Najpraktinije je razloiti vektor brzine na dvije meusobno okomite komponente vx i vy. Pri tome u svakom trenutku t vrijedi:

(1)

Brzina je minimalna kada je minimalno.

Poto u x-pravcu nema djelovanja sia . S druge strane, u negativnom smjeru y-ose djeluje sila Zemljine tee komponenta brzine lopte najprije linearno opada, do trenutka kada lopta dostie maksimalnu visinu, a zatim linearno raste, do trenutka kada padne na tlo.

Desna strana jednaine (1) poprima minimalnu vrijednost u trenutku kada je intenzitet y-komponente brzine minimalan. Intenzitet vy je jednak nuli u trenutku tm kada lopta dostie maksimalnu visinu. Dakle, brzina lopte je minimalna u najvioj taki putanje njen intenzitet se pri tome svodi na intenzitet x-komponente brzine.

Poto je vx=const, vrijedi: (2).

Uvrtavanjem prirasta x-koordinate, za vremenski interval od trenutka izbacivanja lopte do njenog ponovnog pada na tlo, dobijamo:

.

(10 bodova)Napomena: Radi raunanja vrijednosti vx dozvoljeno je koristiti bilo koji vremenski interval, uz odabir odgovarajueg .

b) Brzina je maksimalna kada je izraz sa desne strane jednaine (1) maksimalan. Poto je vx konstantno, od kljunog je znaaja odrediti maksimalnu vrijednost y-komponente brzine. Iz zakona odranja mehanike energije slijedi da je brzina lopte maksimalna kada je njena gravitaciona potencijalna energija (odnosno visina) minimalna. Tako se problem odreivanja maksimalne brzine moe svesti na odreivanje intenziteta poetne brzine. Pri tome vrijedi:

(3)

Da bi iz (3) odredili vmax potrebno je najprije nai vrijednost vy0. Poto se vy, od trenutka izbacivanja lopte do njenog dostizanja maksimalne visine, mijenja prema zakonima koji vrijede za ravnomjerno usporeno kretanje, moemo pisati:

.

Uvrtavanjem dobijenih vrijednosti za vx i v0y u (3), dobijamo:

.

(10 bodova)c) Poto se radi o kretanju u ravni, vektor ubrzanja lopte se u svakom trenutku moe razloiti na dvije komponente. Najpraktinije je razloiti vektor ubrzanja na dvije meusobno okomite komponente ax i ay. Pri tome u svakom trenutku t vrijedi:

(4)

U pravcu x-ose na tijelo ne djeluju sile te je ax=0. Zbog toga je vektor ubrzanja lopte u svakom trenutku po intenzitetu jednak ay. Drugim rijeima, u svim prikazanim poloajima lopte, pa i u A, intenzitet ubrzanja lopte jednak je ubrzanju Zemljine tee:

(5bodova)A : MEHANIKA I razredZADATAK 3.Mehaniki sistem ine tri tijela (v.crte). Masa kolica C iznosi 1.5kg, dok su mase kolica A i B, 0.3kg i 0.2kg , respektivno.

a) Odredi ubrzanje kolica A i B za sluaj kada je poloaj kolica C fiksiran. Kolika je sila zatezanja niti u tom sluaju?

b) Na kolica C sa lijeve strane djeluje stalna sila , pri emu kolica A i B miruju u odnosu na kolica C, tj. ubrzanja sva tri tijela su jednaka.

Odredi vrijednost sile zatezanja niti, ubrzanje kolica A, B i C, kao i intenzitet sile .Napomene: Trenje izmeu niti i kotura, se moe zanemariti, kao i moment inercije kotura i tokova kolica. Nit je neistegljiva. (25 bodova) RJEENJE:a) Ubrzanje kolica A i B se moe odrediti tako da se primjeni Drugi Newtonov zakon na oba tijela posebno.

Na kolica A djeluju sila Zemljine tee i sila zatezanja niti:

(1)

S druge strane, na kolica B djeluje samo sila zatezanja niti:

(2)

Kako je konac kojim su spojena ova dva tijela neistegljiv, to e put koji e tijela prei u jednakim vremenskim intervalima biti isti, pa su ubrzanja kolica A i B jednaka.Pored toga, sile i su ustvari sile akcije i reakcije pa je prema III Newtonovom zakonu njihov intenzitet jednak. Ako projektujemo sve vektore u prethodne dvije jednaine na ose koordinatnog sistema i uvaimo prethodno spomenute injenice, dobijamo sistem od dvije algebarske jednaine u kojima je nepoznato ubrzanje tijela i sila zatezanja:

(3)

(4)Kombiniranjem (3) i (4), lako nalazimo vrijednost ubrzanja sistema i silu zatezanja niti:

(5)

(6) (10 bodova)b) Intenzitet sile je toliki da kolica A i B zadravaju stanje mirovanja u odnosu na kolica C. Drugim rijeima, ubrzanje sva tri tijela je jednako i usmjereno je u pozitivnom smjeru x-ose. Obiljeimo ovo ubrzanje sa .

Oznaimo sa , i sile koje djeluju na pojedina tijela (v.slika).

Napiimo dalje jednaine kretanja, najprije za svako od tijela pojedinano, a potom i za sistem u cjelini.

Kolica B se u koordinatnom sistemu Oxy kreu ubrzanjem (ubrzanje du x-ose), pri emu na njih u horizontalnom pravcu jedino djeluje sila zatezanja niti :

(7)

Kolica A miruju u odnosu na kolica C, iz ega slijedi da je njihovo ubrzanje du y-ose jednako nuli, a pri tome na kolica A djeluje sila Zemljine tee (u negativnom smjeru y-ose) i sila zatezanja niti (u pozitivnom smjeru y-ose):

(8).

Budui da su sile ipo intenzitetu jednake, kombiniranjem (7) i (8) dobijamo:

(9) Sada lako moemo nai intenzitet sile koja je uzrokovala ubrzanje sistema , kao i intenzitet sile zatezanja :

(15 bodova)A : MEHANIKA I razredZADATAK 4. Tijelo mase m1 = 0,3 kg sklizne bez trenja niz polusferu radijusa r (koji nam je nepoznat). Na dnu polusfere ono se neelastino sudara s tijelom mase m2 = 0,4 kg koje je prethodno mirovalo. Nakon sudara tijela nastave kretanje zajedno i pri tome se popnu na neku visinu.

Izraunajte (h r)/r kako bi se mogao odrediti ugao koji pokazuje najveu visinu h koju tijela dostignu nakon sudara.

(25bodova)RJEENJE:Neka je v1 brzina koju tijelo m1 ima neposredno prije sudara. Na osnovu zakona odranja energije imamo

,

(1)

odakle slijedi

.

(2)Ako sa v oznaimo zajedniku brzinu dva tijela nakon sudara, zakon odranja impulsa nam daje

,

(3)

odnosno

.

(4)Zakon odranja energije emo ponovo primijeniti da bismo dobili visinu h na koju e se tijela popeti nakon sudara:

,

(5)

odakle nalazimo

.

(6)Uzimajui u obzir relaciju (4) moemo pisati

.

(7)

(15 bodova)

.

(8)

Sa slike se vidi da je :

.

(10 bodova)_2147483647.unknown

_2147483646.unknown

_2147483645.unknown

_2147483644.unknown

_2147483643.unknown

_2147483642.unknown

_2147483641.unknown

_2147483640.unknown

_2147483639.unknown

_2147483638.unknown

_2147483637.unknown

_2147483636.unknown

_2147483635.unknown

_2147483634.unknown

_2147483633.unknown

_2147483632.unknown

_2147483631.unknown

_2147483630.unknown

_2147483629.unknown

_2147483628.unknown

_2147483627.unknown

_2147483626.unknown

_2147483625.unknown

_2147483624.unknown

_2147483623.unknown

_2147483622.unknown

_2147483621.unknown

_2147483620.unknown

_2147483619.unknown

_2147483618.unknown

_2147483617.unknown

_2147483616.unknown

_2147483615.unknown

_2147483614.unknown

_2147483613.unknown

_2147483612.unknown

_2147483611.unknown

_2147483610.unknown

_2147483609.unknown

_2147483608.unknown

_2147483607.unknown

_2147483606.unknown

_2147483605.unknown

_2147483604.unknown

_2147483603.unknown

_2147483602.unknown

_2147483601.unknown

_2147483600.unknown

_2147483599.unknown