FizikaI godina studija na Tehnološkom fakultetu u Novom Sadu

dr Fedor Skuban

1

Departman za fiziku, PMF Novi Sad

SadržajMehanika

2

Elementi vektorskog računa 4Fizičke veličine. SI sistem jedinica 8Osnovni pojmovi kinematike 14Brzina 17Ubrzanje 19Pravolinijsko kretanje 21Slobodno padanje 25Vertikalni hitac 27Horizontalni hitac 29Kosi hitac 32Kinematika rotacionog kretanja. Kružno kretanje 35Ugaona brzina 36Ugaono ubrzanje 37Krivolinijsko kretanje. Kružno kretanje. 40Ravnomerno kružno kretanje 42Jednako-ubrzano kružno kretanje 44Dinamika. Sila, masa i količina kretanja 47Njutnovi zakoni kretanja. I Njutnov zakon 49II Njutnov zakon 51III Njutnov zakon 52Neki tipovi sila u mehanici 53

Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije 54Težina tela 57Sila normalne reakcije podloge 59Sila trenja 61Sila elastičnosti 65Sile kod kružnog kretanja 70Rad i energija 74Energija 77Kinetička energija 78Potencijalna energija 80Gravitaciona potencijalna energija 82Konzervativna i nekonzervativna polja 86Konzervativne i nekonzervativne sile 87Potencijalna energija opruge 88Zakon održanja energije 91Snaga 94Impuls sile i količina kretanja 95Zakon održanja količine kretanja 97Sudari 100Elastičan sudar 102Neelastičan sudar 103

Sadržaj

3

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela 105Moment sile 108Moment inercije 111Moment inercije i Štajnerova teorema 114Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja 115Kinetička energija i rad kod rotacionog kretanja 117Moment količine kretanja. 118Zakon održanja momenta količine kretanja. 121Statika čvrstog tela 124Uslovi ravnoteže čvrstog tela 125Vrste ravnoteže. Stabilnost. 127Oscilacije i talasi 128Oscilacije 129Oscilovanje tela obešenog o elastičnu oprugu 130Matematičko klatno 133Fizičko klatno 135Prigušene harmonijske oscilacije 136Prinudne harmonijske oscilacije 139Talasno kretanje. Prostiranje talasa u elastičnoj sredini. 141

Jednačina progresivnog talasa 146Brzina širenja talasa 148Energija talasa 150Osnovne osobine talasnog kretanja 151Stojeći talasi 156Zvuk 160Jačina zvuka 162Doplerov efekat 164Mehanika fluida. Statika fluida. 168Pritisak 169Hidrostatički pritisak 172Potisak. Arhimedov zakon. 174Površinski napon 176Osobine gasova. Atmosferski pritisak. 178Dinamika fluida 180Jednačina kontinuiteta 181Bernulijeva jednačina 183Toričelijeva teorema 185Viskoznost 186

4

Elementi vektorskog računasabiranje i oduzimanje vektora; razlaganje na komponente

22

sin

cosyx

y

xAAA

AA

AA+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

θ=

θ=

Sabiranje

Oduzimanje

5

Projekcije vektora na pravac

6

Skalarni i vektorski proizvod vektora

Skalarni proizvod dva vektora je skalar.

Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji je normalan na ravan kojuoni čine, a smer mu je određen pravilom desnog zavrtnja. Intenzitet jebrojno jednak površini paralelograma konstruisanog iznad vektora a i b.

),(cos),(cos|||| bababababarrrrrrrr

∠⋅=∠⋅=⋅

),(sin||

),(sin||||

bababa

cbababa o

rrrr

rrrrrrr

∠⋅=×

⋅∠⋅=×

7

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije koje su najčešće korišćene su sinus, kosinus itangens i povezuju dužine stranica pravouglog trougla sa odgovarajućimuglovima.

Pitagorina teorema povezuje dužine stranica pravouglog trougla.

222 ryx =+

8

Fizičke veličine. SI sistem jedinica.Potreba da se brojem izražavaju osobine ili opisuju prirodne pojavenametnula je potrebu uvođenja fizičkih veličina i jedinica fizičkih veličina.

Fizičkim veličinama se kvantitativno opisuju osobine tela, stanja iprocesa.

Skalarne veličine su potpuno određene svojom brojnom vrednošću, dok suvektorske veličine definisane joši pravcem i smerom.

1960. godine je na međunarodnom nivou dogovoreno da se koristijedinstveni sistem fizičkih jedinica u svetu, tzv. SI sistem (međunarodnisistem jedinica), koji sadrži 7 osnovnih veličina i njihovih jedinica, dok susve ostale jedinice (jedinice ostalih fizičkih veličina) izvedene od osnovnih(iako imaju druge nazive, mogu se nedvosmisleno izraziti preko nekih odpomenutih sedam osnovnih jedinica).

9

Fizičke veličine. SI sistem jedinica.Osnovne fizičke veličine:

naziv veličine najčešća oznakaveličine jedinica oznaka jedinice

masa m kilogram kgdužina l, s, r metar mvreme t sekund stemperatura T kelvin Kjačina električne struje I amper A

jačina svetlosti J kandela cdkoličina supstance n mol mol

10

1 m je dužina puta koju u vakuumu pređesvetlost za 1/299 792 458 deo sekunde.

1 kg je masa etalona u obliku cilindra visine39 mm i prečnika 39 mm od legure 90% Pt -10% Ir, koji se čuva u Međunarodnom birouza težine i mere u Sevru, Francuska.

1 s je vreme trajanja 9 192 631 770 oscilacijaelektrona između dva hiperfina nivoa u atomuCs.

Fizičke veličine. SI sistem jedinica.

1 K je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273.16 delutermodinamičke temperature trojne tačke vode.

1 A je jačina vremenski stalne električne struje koja, prolazeći kroz dva prava,paralelna provodnika beskonačne dužine i zanemarljivog poprečnog preseka,koja se nalaze u vakuumu na rastojanju od 1 m, prouzrokuje između njihelektrodinamičku (privlačnu ili odbojnu) silu od 2⋅10−7 N po metru dužine.

11

1 cd je svetlosna jačina koju u određenom pravcu emituje izvor svetlosti u vidumonohromatskog zračenja frekvencije 540⋅1012 Hz i čija je izračena snaga u tompravcu 1/683 deo W po steradijanu.

1 mol je količina materije sistema koji sadrži toliko elementarnih jedinki kolikoima atoma u 0.012 kg izotopa ugljenika 12C (Avogadrov broj).

Fizičke veličine. SI sistem jedinica.

12

Fizičke veličineIzvedene fizičke veličine - skup fizičkih veličina koje su funkcije osnovnih iliosnovnih i već izvedenih veličina, a dobijaju se na osnovu formule ili relacije.Primeri: brzina v=dx/dt [m/s]ubrzanje a=dv/dt [m/s2], sila F=m⋅a [N=kgm/s2],pritisak p=F/S [Pa=N/m2]gradijent brzine dv/dz [s−1=1/s]koeficijent dinamičke viskoznosti η=F/(S⋅(dv/dz)) [Pas=Ns/m2=kg/sm]

Mogu biti i bezdimenzione: apsolutni indeks prelamanja n=c/vPoasonov broj μ=(Δd/d)/(Δl/l)

Izuzetak su jedinice za:ugao u ravni [rad]prostorni ugao [sr]

13

Fizičke veličineJedinice fizičkih veličina se vrlo često ne koriste u svom osnovnomobliku, već višestruko umanjene ili uvećane. Milimetar, nanosekundaili mikrofarad su jedinice koje sadrže prefikse mili-, nano- i mikro- ipredstavljaju umnoške osnovne jedinice (metar, sekunda, Farad)zasnovane na različitim eksponentima broja 10.

red veličine prefiks oznaka

10−12 piko- p

10−9 nano- n

10−6 mikro- μ

10−3 mili- m

10−2 centi- c

10−1 deci- d

red veličine prefiks oznaka

101 deka- da

102 hekto- h

103 kilo- k

106 mega- M

109 giga- G

1012 tera- T

14

Mehaničko kretanje tela je promenapoložaja tog tela u odnosu na bilo kojedrugo telo.

Za određivanje položaja koriste sereferentni sistemi, najčešće Dekartovpravougli koordinatni sistem.

Referentni sistemi su vezani za“posmatrača” događaja. Mogu sekretati (ravnomerno ili ubrzano) ilimirovati.

KINEMATIKA

Referentni sistemi koji miruju ili se ravnomerno kreću su tzv. inercijalni referentnisistemi, a oni koji se ubrzano kreću nazivaju se neinercijalni referntni sistemi.

Osnovni pojmovi kinematike

15

Vektor položaja je vektor koji spaja koor-dinatni početak i datu tačku, a usmeren je kadatoj tački.

Materijalna tačka je telo zanemarljivihdimenzija, ali konačne mase. U kinematici nasnanje interesuju dimenzije pokretnih tela, aviše samo njihovo kretanje i veličine koje gakarakterišu.

Linija koju materijalna tačka opisuje tokomkretanja (skup uzastopnih položaja) pred-stavlja njenu putanju. Ili, to je skup tačakakroz koje prolazi tokom svog kretanja.

Osnovni pojmovi kinematikerr

16

Deo putanje Δs koji telo pređe za vreme Δtizmeđu dve tačke (npr. M1 i M2) je pređeni put.To je rastojanje između krajnjeg i početnogpoložaja tela mereno duž putanje.

Vektor pomeraja je vektor koji spaja početni ikrajnji položaj tačke u kretanju.

Svako kretanje se može smatrati kaokombinacija translacije i rotacije.

Translacija – svaka prava ili ravanostaje sama sebi paralelna.Rotacija - sve tačke se kreću pokoncentričnim krugovima čiji centrisu na istoj pravoj - osa rotacije.

Osnovni pojmovi kinematike

rrΔ

)()( trttrr vrr−Δ+=Δ

12 sss −=Δ

sΔ

17

Vrste kretanja. Brzina.Brzinom se, u opštem smislu, karakteriše pređeni put u jedinici vremena.Srednja putna brzina je količnik ukupnog pređenog puta Δs za neko vreme Δt ivremena kretanja Δt.

tsvs Δ

Δ=

ttrttr

trvsv Δ

−Δ+=

ΔΔ

=)()( rrr

r

sΔ

Jedinica je [m/s].

Srednja vektorska brzina je količnik vektorapomeraja i vremena u toku kojeg je pomerajnapravljen.

18

Trenutna brzina

Trenutna brzina (brzina pokretne tačke u datomtrenutku t) je srednja vektorska brzina u beskonačnomalom intervalu vremena.

Vektor trenutne brzine ima pravac tangente naputanju.

Intenzitet trenutne brzine se, na osnovu činjeniceda je dužina pomeraja jednaka pređenom putu Δs uslučaju da Δt→0, definiše kao:

tr

trv

ttrv

t ddlim

0,

0

rrr

rr

=ΔΔ

=

→ΔΔΔ

=

→Δ

ts

ts

trvv

tt ddlim||lim||

00=

ΔΔ

=ΔΔ

=≡→Δ→Δ

rr

19

UbrzanjeUbrzanje je veličina koja karakteriše promenubrzine u jedinici vremena.Srednje ubrzanje je količnik promene brzine ivremenskog intervala u toku kojeg je ta promenanačinjena.Trenutno ubrzanje je granična vrednostsrednjeg ubrzanja kada vremenski interval Δt→0.Jedinica za ubrzanje je [m/s2].

Vektor trenutnog ubrzanja ima pravac vektorapromene brzine .Intenzitet trenutnog ubrzanja se definiše kao:

ttvttva

ttvv

tva

s

s

Δ−Δ+

=

−−

=ΔΔ

=

)()(

12

12

rrr

rrrr

tv

tva

ttva

t ddlim

0,

0

rrr

rr

=ΔΔ

=

→ΔΔΔ

=

→Δ

vrΔ

2

2

dd

trar

r=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

=ΔΔ

=ΔΔ

=≡→Δ→Δ

*2

2

00

dd

dd

dd

dd

ddlim||lim||

tr

tr

ttva

tv

tv

tvaa

tt

rr

* Čita se: drugi izvod vektora pomeraja po vremenu.

20

UbrzanjeUbrzanje može biti pozitivno (vektor brzine i vektor ubrzanja imaju isti smer) ilinegativno (tzv. usporenje – vektor brzine i vektor ubrzanja imaju suprotne smerove).

Ubrzanje postoji i kada nema promene intenziteta vektora brzine. Dovoljno je davektor brzine v menja pravac u prostoru.

21

Jednodimenzionalno (pravolinijsko) kretanje –ravnomerno kretanje

Kretanje kod kojeg je putanja prava linija je pravolinijsko. Vektori brzine iubrzanja (ako je a≠0) se poklapaju sa pravcem kretanja, a intenziteti trenutnih ovihveličina su:

tsv

dd

=2

2

dd

dd

ts

tva ==

const.==tsv

Pravolinijsko kretanje može biti ravnomerno ili promenljivo (najjednostavnijislučaj: jednako-ubrzano).

Ravnomerno (uniformno) pravolinijsko kretanje je ono u kome se brzina nemenja ni po intenzitetu ni po pravcu u toku vremena. Njen intenzitet je ravankoličniku pređenog puta i vremena.

⇒= 0ar

22

Pravolinijsko kretanje – ravnomerno kretanje

Zakon položaja je funkcija promene položaja tela (materijalne tačke) savremenom, x=f(t).

U slučaju pravolinijskog ravnomernog kretanja zakon položaja glasi *:

vtxx += 0

ili prosto (ako uzmemo da je početni položaj (kordinata) tela x0=0):

vtx =

* Kod pravolinijskog kretanja koordinatnu osu (recimo x-osu) nakojoj se prati položaj tela usmeravamo duž pravca kretanja.

23

Pravolinijsko kretanje – jednako-ubrzano kretanjeKretanje po pravoj liniji pri kojem je ubrzanje konstantno ( ) je jedna-ko-ubrzano pravolinijsko kretanje. Ubrzanje može biti pozitivno ili negativno(usporenje; intenzitet brzine se smanjuje u toku vremena).

Zakon brzine je funkcija koja pokazuje zavisnost brzine od vremena, v=f(t).

Za slučaj da je početna brzina (brzina u trenutku t=0 s) v0≠0, zakon brzine glasi:

atvv += 0

⇒=++= 0za2 0

2

00 xattvxx2

2

0attvx +=

Zakon položaja u slučaju pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja glasi:

const.=ar

24

Pravolinijsko kretanje – jednako-ubrzano kretanjeaxvv 22

02 +=

20 vvvs+

=

Veza između krajnje i početne brzine i pređenog puta x je:

Srednja brzina kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja je:

2

2

00attvxx ++=

atvv += 0const.=ar

25

Primeri pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanjaSlobodno padanje

Intenzitet brzine, položaj tela na vertikalnoj y-osi i pređeni put (računajući od mesta gde se telopušta da slobodno pada):

22

22 gtsgthygtv =−==

Slobodno padanje je pravolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubrzanokretanje tela u polju sile Zemljine teže bez početne brzine (v0=0).

Intenzitet ubrzanja tela približno iznosi a ≡ g = 9.81 m/s2 i pod izvesnim uslovimase može smatrati konstantnom veličinom (u blizini površine Zemlje, uz zanemari-vanje sile otpora vazduha, ...). Smer ubrzanja je ka površini Zemlje (tačnije kacentru Zemlje).

26

Slobodno padanje

ghv 2=Brzina pri udaru o zemlju pri slobodnom padu sa visine h:

Kada nema drugih uticaja, već deluje samo silaZemljine teže na ubrzanje tela, tada sva telapadaju jednako – ako su istovremeno puštena dapadaju, istovremeno i stižu do površine.

27

Vertikalni hitacVertikalni hitac je jednodimenzionalno (pravolinijsko) i jednako-ubrzano kreta-nje tela u polju sile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – teloje bačeno u vertikalnom pravcu (naviše ili naniže nekom početnom brzinom).

Intenzitet ubrzanja tela je takođe g = 9.81 m/s2, a smer ubrzanja je ka površiniZemlje (tačnije ka centru Zemlje).

Smer brzine, međutim, može biti i suprotan odsmera ubrzanja – kada se telo baca naviše(vertikalni hitac naviše), brzina je u početkuusmerena u pozitivnom smeru y-ose duž koje seposmatra položaj bačenog tela – telo usporavadok ne dostigne maksimalnu visinu, a zatimslobodno pada.

Kod vertikalnog hica naniže, brzina tela iubrzanje uvek imaju isti smer.

28

Vertikalni hitac

2

2

0

0

gttvhy

gtvv

−−=

+=

2

2

0

0

gttvhy

gtvv

−+=

−=

U momentu pada na zemlju je y=0; u najvišoj tački putanje je intenzitet brzine v=0.

gvhH2

20+=

Maksimalna visina koju dostiže telo uvertikalnom hicu naviše:

Zakon brzine, zakon položaja i pređeni put

Hitac naniže

Hitac naviše

2

2

0gttvs +=

2

2

0gttvs −=

29

Dvodimenzionalno (krivolinijsko) kretanje u polju sile Zemljine teže – Horizontalni hitac

U slučaju dvodimenzionalnog kre-tanja (po krivolinijskoj putanji),brzina tela se u svakom momentumože razložiti na dve komponente– duž x- i duž y-ose koordinatnogsistema vezanog za posmatrača(obično je to Zemljina površina).

Horizontalni hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i složeno kretanje tela upolju sile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – telo je bačeno uhorizontalnom pravcu sa neke visine.

30

Horizontalni hitac

Kretanje duž x-ose je ravnomerno – brzina je konstantna.

Kretanje duž y-ose je jednako-ubrzano – brzinaraste (slobodno padanje; ubrzanje je g).

2

20

gthy

tvx

−=

=gtv

vv

y

x

−== 0

* h – je visina sa koje je bačeno telo po putanji horizontalnog hica.

31

22yx vvv +=U momentu pada na zemlju je y=0 ⇒

domet xD, brzina vD, ugao putanje αD.

20

2

2vgxhy −=

ghvxD

20=

Putanja je parabola.Zakon (jednačina) putanje, (zavisnost y-koordinate položajatela koje se kreće po putanji horizontalnog hica od x-koordinate):

Horizontalni hitac

32

Kosi hitacKosi hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i složeno kretanje tela u poljusile Zemljine teže sa nekom početnom brzinom (v0≠0) – telo je bačeno podnekim uglom u odnosu na horizontalni pravac. Kretanje se može opisati kaosuperpozicija dva kretanja duž x- i y-koordinatne ose.

Duž x-ose kretanje je ravnomerno – brzina je konstantna.Duž y-ose kretanje je jednako-promenljivo – ako je ugao izbacivanja pozitivan(vertikalni hitac naviše), brzina duž y-ose prvo opada, a nakon dostizanja maksimalnevisine, brzina menja smer i raste po intenzitetu; u slučaju negativnog ugla, brzina duž y-ose stalno raste, kao kod slobodnog padanja.

33

Kosi hitac

Zakon (jednačina) putanje y=f(x) ima oblik:

Putanja je parabola.

Vremenska promena komponentibrzina i koordinata tela:

⇒−=

⇒=

gtvv

vv

yy

xx

0

0

⇒−+=

⇒=

2

2

00

0

gttvyy

tvx

y

x

222

00 cos2

tg xv

gxyyα

−α+=

* y0 – je visina sa koje je bačeno telo po putanji kosog hica.

gtvv

vv

y

x

−α=

α=

sin

cos

0

0

2sin

cos

2

00

0

gttvyy

tvx

−α+=

α=

34

Kosi hitac

α= 2sin20

gvxD

U momentu pada na zemlju je y=0 ⇒ domet xD,brzina vD, ugao putanje αD:

U najvišoj tački putanje je vy=0 (v=vx) ⇒maksimalna visina ymax. Pod uslovom da je y0=0:

α= 220

max sin2gvy

Domet zavisi od početne brzine tela (v0) iod ugla α pod kojim je ispaljen projektil poputanji kosog hica.

* Pretpostavlja se da je otpor vazduha zanemarljiv.

35

Kinematika rotacionog kretanja. Kružno kretanje.

00

rad][

ttt

rs

rs

−=Δθ−θ=θΔ

Δ=θΔ→=θ

Položaj materijalne tačke pri kretanju po kružnici dat je radijus-vektorom, kojipolazi od centra kružne putanje, a završava na mestu materijalne tačke.

Ugaoni pomeraj Δθ je ugao između početnog (θ0) i krajnjeg (θ) položajaradijus-vektora. Uglovi se izražavaju u radijanima (rad).

Ugaoni pomeraj Δθ je vektor čiji pravac se poklapa sa pravcem ose rotacije, asmer je određen pravilom desnog zavrtnja.

* Ugao od 1 rad je onaj za koji je odgovarajuća dužina luka na kružnici jednaka njenom poluprečniku (s=r), θ=s/r=1 rad.

θ

θ0

36

Ugaona brzina ω

Srednja ugaona brzina ωs je količnik ugaonog pomeraja ivremena u toku kojeg je taj ugao opisan. Jedinica je [rad/s].

Trenutna ugaona brzina ω je jednaka srednjoj ugaonojbrzini kada vremenski interval Δt→0. Ugaona brzina jepozitivna, ako se θ povećava, a negativna, ako se θ smanjuje.

Ugaona brzina je vektor čiji se pravac poklapa sa pravcemose rotacije – normalan je na ravan rotacije. Smer vektora jeodređen pravilom desnog zavrtnja.

tt

t

t

s

ddlim

0

θ=

ΔθΔ

=ω

ΔθΔ

=ω

→Δ

Ugaono ubrzanje je posledica ubrzanog kretanja materi-jalne tačke po kružnici (povećanje ili smanjenje intenzitetaperiferne brzine v), odnosno promene intenziteta ugaonebrzine ω.

Srednje ugaono ubrzanje αs je količnik promeneugaone brzine i vremenskog intervala u toku kojeg jedošlo do te promene.

Jedinica je [rad/s2] ili samo [s−2] .

Trenutno ugaono ubrzanje α je srednje ugaonoubrzanje za graničan slučaj kada Δt→0.

Ugaono ubrzanje je vektor čiji se pravac poklapa sapravcem ose rotacije, dakle normalan je na ravankružnice i kolinearan sa vektorom ugaone brzine .

37

Ugaono ubrzanje α

tt

t

t

s

ddlim

0

ω=

ΔωΔ

=α

ΔωΔ

=α

→Δ

2

2

dd

tθ

=α

αr

ωr

38

Veza između linearnih i ugaonih veličina

Veza između intenziteta periferne brzine v kretanja materijalne tačke (tela) pokružnici i intenziteta ugaone brzine ω radijus vektora te materijalne tačke:

⇒=ΔΔ

=Δ

Δ=

ΔθΔ

=ωrv

trs

trs

t/

rv rvr×ω=

Vektor periferne brzine leži u ravni kružnice, kao i radijus-vektor , a vektorugaone brzine je normalan na ravan kružnice.ω

rvr rr

rv ω=

39

Veza između linearnih i ugaonih veličina

Slično tome, veza između intenziteta ubrzanja a materijalne tačke koja se krećepo kružnici (dakle, periferna brzina v se menja po intenzitetu) i intenziteta ugaonogubrzanja α dobija se na sledeći način:

⇒α=ΔωΔ

=ΔωΔ

=ΔΔ

=τ rt

rt

rtva α=τ ra

Pošto je ubrzanje ovde posledica promene intenziteta periferne brzine, vektor oveveličine ( ) ima pravac tangente na kružnu putanju (kao i periferna brzina) – iz tograzloga nosi naziv tangencijalno ubrzanje.

Oznaka aτ ističe da ovo ubrzanje treba razlikovati od tzv. normalnog(centripetalnog ubrzanja) koje je posledica promene pravca periferne brzine.

τar

odd v

tva rr

=τ

* je jedinični vektor periferne brzine. ovr

40

Krivolinijsko kretanje. Kružno kretanje.

Svako krivolinijsko kretanje se može predstavitikao kretanje po kružnici, pri čemu se poluprečnikkružnice menja u toku kretanja.

Položaj materijalne tačke pri kretanju po kružnicije dat radijus-vektorom.

Svako krivolinijsko kretanje je i ubrzano kretanje,jer se brzina menja barem po pravcu.

41

Normalno i tangencijalno ubrzanje kod kružnog kretanja

U opštem slučaju, vektor ubrzanja ima dve komponente:

− normalno (centripetalno) ubrzanje, koje je normalno na tangentu u posmatranoj tački, i

− tangencijalno ubrzanje, koje ima pravac tangente na putanju.

Kod ravnomernog krivolinijskog kretanja (intenzitet brzine se ne menja, većsamo pravac) vektor ubrzanja ima pravac normalan na tangentu putanje, tj.usmeren je ka centru krivine putanje i radi se o normalnom (centripetalnom)ubrzanju.

42

Ravnomerno (uniformno) kružno kretanjePeriferna brzina v ima stalan intenzitet, v=const.

Ugaona brzina ω takođe ima konstantni intenzitet, ω=const .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =νπν=

π=ω

π=θ

TT122

rad2krugpuntt

sv θ=ω=

Ravnomerno kružno kretanje je periodično, aperiod rotacije T je vreme potrebno da radijus-vektor opiše pun krug od 2π rad.

Frekvencija ili učestanost obrtanja ν (ili f)obrnuto je srazmerna periodu obrtanja T.

43

Ravnomerno kružno kretanjeZbog neprekidne promene pravca brzine v, postoji normalno ubrzanjeintenziteta an, usmereno uvek ka centru rotacije, suprotno od radijus vektora.

⇒ω=ΔΔ

=ΔΔ

=

ΔΔ

=ΔΔ

⇒Δ=Δ⇒Δ

=Δ

rvtrv

tva

tr

rv

tvr

rvv

rr

vv

n 0

2

rrvanrr

−=22

ω== rrvan

Intenzitet normalnog ubrzanja:

Vektor normalnog ubrzanja:

Na osnovu sličnosti trouglova i definicije normalnog ubrzanja an i perifernebrzine v, sledi:

44

Jednako-ubrzano kružno kretanjeAko se menja i intenzitet brzine, a ne samo pravac, promena brzine ima dvekomponente, a takođe i ubrzanje koje je opisuje:

τΔ+Δ=Δ vvv nrrr

Promena brzine u pravcu normale (brzina promene pravca) definiše normalnoubrzanje, a u pravcu tangente (brzina promene intenziteta) - tangencijalnoubrzanje.

τ+= aaa nrrr

45

Jednako-ubrzano kružno kretanjeNajprostiji oblik neravnomernog kružnog kretanja je jednako-ubrzano (ilijednako-usporeno) kretanje u toku kojeg se, pored pravca, i intenzitet perifernebrzine (pa tako i ugaone brzine) menjaju pravilno u toku vremena. Drugimrečima, tangencijalno ubrzanje aτ ima konstantni intenzitet.

Tangencijalno ubrzanje aτ je vektor kolinearan tangenti na kružnicu.

( )222

α+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= r

rva

α=τ ra

22ττ aaaaaa nn +=+=

rrr

tr

tr

tva

dd

d)(d

dd ω

=ω

==τ

Kretanje po krivoj liniji je, praktično,stalno kretanje po kružnim putanjama,čiji se poluprečnici stalno menjaju, atakođe i brzina i ubrzanja tela koje sekreće.

odd v

tva rr

=τ * je jedinični vektor periferne brzine.

ovr

46

Jednako-ubrzano kružno kretanje

Pri jednako-ubrzanom kružnom kretanju mogu se definisati izrazi analognionim kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja.

tα±ω=ω 0

2

2

00tt α

±ω+θ=θ

θα±ω=ω 220

2

tavv ±= 0

2

2

00tatvxx ±+=

xavv 220

2 ±=

Dinamika.

Dinamika je deo mehanike koji se bavi uzrocima promene kretanja tela.

Inertnost je prirodna tendencija tela da ostane u stanju mirovanja ilik t j j li iji i j d j d ih bi

Sila, masa i količina kretanja.

ravnomernog kretanja po pravoj liniji i jedna je od osnovnih osobinatela. Masa tela je kvantitativna mera inertnosti.

Inercija se odnosi na mirovanje ili kretanje tela bez obzira na njihovumasu, a inertnost je opiranje promeni stanja kretanja.

Brzina je osnovna kinematička veličina koja karakteriše telo u kretanju.

Pri promeni brzine dolazi do izražaja inercija tela pa se masa kao njena

47

Pri promeni brzine dolazi do izražaja inercija tela, pa se masa, kao njenamera, i brzina javljaju zajedno u novoj, kompleksnijoj veličini koja boljeopisuje kretanje. To je količina kretanja k – skalarni proizvod mase ibrzine tela (jedinica za količinu kretanja je [kgm/s]):

vmk rr⋅=

Sila, masa i količina kretanja.Do promene stanja kretanja (brzine) može doći samo pri interakcijitela sa drugim telima.

Sila (jedinica je Njutn, [N]) je kvantitativna mera interakcije(međusobnog delovanja) tela tj izražava intenzitet interakcije(međusobnog delovanja) tela, tj. izražava intenzitet interakcije.

Sile mogu biti kontaktne, kada priinterakciji postoji dodir izmeđutela, i bezkontaktne, kada se inter-akcija ostvaruje na daljinu, tj. pu-tem fizičkog polja (gravitaciona,električna, magnetna, jaka ili sla-

48

, g , jba nuklearna sila).

Njutnovi zakoni kretanja – I Njutnov zakon

Slika prikazuje različit uticajsile trenja na kretanje istogtela po različitim podlogama

I Njutnov zakon - zakon inercije

p p g– postoji, dakle, interakcijaizmeđu kotrljajućeg tela ipodloge – podloga utiče napromenu stanja kretanja.

49

j jSvako telo zadržava stanje mirovanja ili ravnomernog pravo-linijskog kretanja sve dok drugo telo svojim delovanjem to stanjene promeni, tj. dok ne interaguje sa drugim telom.

* Isak Njutn, engleski fizičar i matematičar (1642-1727).

Matematički izraz I Njutnovog zakona

00

:je Ukoliko

=⇒= aF rr

U odsustvu spoljašnjih sila, a kada sevrši posmatranje u inercijalnom referen-tnom sistemu, telo koje miruje ostaje ustanju mirovanja, a telo koje se kreće

const.const. =⇒= vmv rr

Ovaj zakon važi samo u tzv. inercijalnim referentnim sistemima, koji ili miruju ili se ravnomerno kreću po pravoj liniji.

nastavlja kretanje sa konstantnom brzi-nom i to po pravoj liniji (nepromenjenakoličina kretanja).

50

* Inercijalni referentni sistem je koordinatni sistem u kojem se ili u odnosu na koji se posmatra kretanje nekog tela.** Postoje neinercijalni referentni sistemi koji se kreću ubrzano i tela čije sekretanje posmatra u takvim sistemima trpe delovanje dodatnih (fiktivnih) tzv.inercijalnih sila, koji su posledica neravnomernog kretanja referentnog sistema.

II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike

Ako na telo mase m deluje spoljašnja sila F, ubrzanje a koje pritome telo dobija direktno je srazmerno (rezultantnoj) sili koja nanjega deluje, a obrnuto srazmerno masi.

r

amFmFa rrr

r=⇒=

Brzina promene količine kretanja tela proporcionalna je sili koja nanjega deluje i vrši se u pravcu sile.

v rr

rr d)(d

amF rr=∑

Sila nije uzrok kretanja tela, već je uzrok

51

amtvmvm

tF rr

===dd)(

dd

Masa u ovim izrazima je inercijalna masa i predstavlja meru odupiranjatela promeni stanja kretanja – ona je kvantitativna mera inertnosti tela.

j j , jpromeni stanja kretanja, koja se meri ubr-zanjem – ona menja količinu kretanja tela.

III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcije

FFrr

Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telodeluje na prvo silom istog intenziteta i pravca, a suprotnogsmera

2112 FF −=

2211 amam rr−=

52

smera.

Svako delovanje (akcija) stvara uvek suprotno po smeru i jednakopo intenzitetu protivdelovanje (reakciju), tj. delovanja dva telajedno na drugo su jednaka i suprotnog smera.

Neki tipovi sila u mehanici

Gravitaciona silaSil ti kSila potiskaSila normalne reakcije podlogeSila zatezanjaElastična sila oprugeSila trenja

53

Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije. Keplerovi zakoni.

I Keplerov zakon:planete se kreću oko Sunca po eliptičnimputanjama u čijoj zajedničkoj žiži jeSunce.II Keplerov zakon:radijus-vektor bilo koje planete za istovreme prebriše istu površinu – sektorskabrzina planete je konstantna.

const.=ΔS

54

const.3

2

=aT

ΔtIII Keplerov zakon:odnos kvadrata perioda obilaska planeta oko Sunca itrećeg stepena srednjeg rastojanja (ili duže poluose) odSunca je konstantna veličina.* Johanes Kepler (1571-1630), * Isak Njutn (1642-1727)

Njutnov zakon gravitacije (1686.)Na osnovu rezultata astronomskih posmatranja J. Keplera, Njutn jepretpostavio postojanje privlačne sile između Sunca i planeta kojazakrivljuje njihovu putanju i koja je usmerena prema izvoru delovanjasile (Suncu).

Njutn je takođe pretpostavio (radi jednostavnosti) da se planete kreću popribližno kružnim putanjama, poluprečnika R.

Ubrzanje koje ima planeta usled sile koja zakrivljuje njenu putanju jenormalno (centripetalno) ubrzanje an.

22

32

k4k2 vR

RTRT =π

⇒⋅=π

=

55

Sila koja održava planete na njihovoj putanjizavisi od mase Sunca MS i od mase planete m.

222

22

kk

4

k

RmM

Rm

Rm

RvmmaF

Rv

Sn γ=⋅′=⋅

π===

⋅

Njutnov zakon gravitacije (1686.)

Zakon univerzalne gravitacije:Bilo koje dve materijalne tačke međusobno se privlače

Svoje zaključke o sili privlačenja između Sunca i planeta Njutn je uopštiona sva materijalna tela, tj. ona koja imaju osobinu mase.

Bilo koje dve materijalne tačke međusobno se privlačegravitacionom silom: pravac te sile prolazi kroz materijalne tačke,intenzitet je srazmeran masama materijalnih tačaka, a obrnutosrazmeran kvadratu rastojanja između njih.

56

221

rmmF γ= o2

21 rrmmF rr

γ−=

2

211

kgNm10672.6 −⋅=γ

γ - gravitaciona konstanta- jedinični vektor usmeren od m1 ka m2or

r

Težina telaTežina Q nekog objekta na ili iznad površine Zemlje (ili iznad nekog drugogsvemirskog tela) je sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu na koju jepostavljeno, odnosno sila kojom telo zateže konopac o koji je okačeno davisi. Težina tela je mera gravitacione sile kojom Zemlja (ili dato svemirskot l ) deluje na objekattelo) deluje na objekat.

2rMmQ Zγ=

r=RZ - na površini ZemljeR +h i i i h i d gmQ rr

=

Izraz za težinu na osnovu II Njutnovogzakona dinamike (gde su sila i ubrzanjesrazmerni) ima oblik:

57

r=RZ+h - na visini h iznad površine Zemlje

gmQ =

Težina tela

M ⎫

U slučaju da se zanemari rotacija Zemlje i njena nehomogenost iodstupanje od pravilnog sfernog oblika, težina Q objekta mase m napovršini Zemlje (ili blizu površine, r≈RZ) jednaka je gravitacionoj sili:

2

2

Z

ZZ

Z

RMg

mgQ

RMmQ

γ=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

γ=

Iz II Njutnovog zakona

Ubrzanje g sile Zemljine teže na njenoj površini.Ono opada sa povećanjem rastojanja od centra Zemlje.

58

p p j j j j

VAŽNO:Sila Zemljine teže (gravitaciono privlačenje od strane Zemlje) deluje natelo, a težina tela deluje na podlogu (ili na neko drugo telo).

Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FN

U mnogim situacijama telo je u kontaktu sa nekompodlogom (površinom), a sila reakcije površine nasilu težine kojom telo pritiska podlogu je upravonormalna sila Fnormalna sila FN.

Tačnije, komponenta sile reakcije podloge koja jenormalna na površinu predstavlja normalnu silu FN.

59

Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FNTelo na strmoj ravni (slučaj kretanja bez prisutne sile trenja između telai strme ravni).Za proučavanje kretanja tela po strmoj ravni pravi se dijagram sila u kome se sile i njihovekomponente predstavljaju u x-y koordinatnom sistemu.

60

Sila trenjaTrenje je posledica delovanja međumolekularnih sila između dodirnihpovršina tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljašnje trenje), iliizmeđu sastavnih delova unutar nekog sistema (unutrašnje trenje).Sila trenja deluje na dodirnoj površini između tela i usmerena je

t k t j t l d šinasuprot smeru kretanja tela u odnosu na površinu.U opštem slučaju, postoji statička sila trenja (trenje mirovanja), ikinetička sila trenja (ona se još deli na trenje klizanja i trenje kotrljanja).

61

Sila trenja kotrljanja je znatno slabijaod sile trenja klizanja.

Statička sila trenja (trenje mirovanja)Sila trenja mirovanja jednaka je po intenzitetu i pravcu, a suprotna posmeru (u odnosu na moguće kretanje) rezultantnoj spoljašnjoj sili kojadeluje na telo u pravcu paralelnom podlozi.Statička sila trenja Fs može imati vrednosti od 0 do neke maksimalne

d ti maxFvrednosti .Nsss FFF μ=≤ max

maxsF

Maksimalna vrednost statičke sile trenjaje srazmerna sili normalne reakcije podlogeFN na kojoj se telo nalazi.

μs – koeficijent statičkog trenja (zavisi odi d d di ih ši )

maxsF

62

prirode dodirnih površina)

FN – normalna sila, kojom podloga deluje napovršinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapaprav ugao sa površinom

Kinetička sila trenja (trenje klizanja)Kinetička sila trenja deluje u pravcu tangente na dodirnu površinuizmeđu tela i podloge po kojoj se kreće i uvek je usmerena nasuprotrelativnoj brzini tela. Pod određenim uslovima, približno važi sledeće:

− nezavisna je od veličine dodirne površine između tela i podloge;

− nezavisna je od brzine kretanja (klizanja), ukoliko je brzina mala;

− proporcionalna je veličini normalne sile FN.

Po intenzitetu je nešto manja od maksimalne sile statičkog trenja.

Nkk FF μ= μk – koeficijent kinetičkog trenja (zavisi odprirode dodirnih površina).

63

FN – normalna sila *, kojom podloga delujena površinu tela sa kojim je u kontaktu izaklapa prav ugao sa površinom.

* Na grafiku je normalna sila FN obeležena sa N.

Kinetička sila trenja (trenje klizanja)

U oblasti statičkog trenja saporastom vučne sile F povećavase i statička sila trenja sve doneke maksimalne vrednosti fneke maksimalne vrednosti fs,max,nakon čega telo počinje svojekretanje, a na njega deluje sadakinetička sila trenja (nešto manjapo vrednosti od fs,max) – oblastkinetičkog trenja.

64

Sila elastičnosti. Elastičnost čvrstih telaSvako telo pod uticajem spoljašnjih dejstava, osim položaja, menja i svojoblik. Sila elastičnosti tela deluje unutar njih i teži da vrati deformisanimtelima prvobitni oblik.Elastične sile u telima su posledica međuatomskih sila – pod uticajemspoljašnjih sila menjaj se međ sobna rastojanja i položaji atoma aspoljašnjih sila menjaju se međusobna rastojanja i položaji atoma, ameđuatomske sile se tome suprotstavljaju.Teorijski, postoje savršeno elastična i savršeno plastična tela.Elastična deformacija se ispoljava u dva osnovna oblika: kao deformacijaistezanja i deformacija smicanja.

Elastična deformacija istezanja

65

Istezanje (ili sabijanje) nastaje prinormalnom delovanju sile na površinu.Napon je količnik sile i površine na koju ta sila deluje:

SF

=σ

Elastična deformacija istezanjaHukov zakon elastične deformacije istezanja povezuje napon sile i relativnu deformaciju izduženja:E - Jangov modul elastičnosti

l

lΔ= E

SF

U izvesnim granicama važi: lΔ= kFgGranica do koje važi Hukov zakon je granica proporcionalnosti, a granicado koje telo još uvek ne ostaje trajno deformisano je granica elastičnosti.

66

Zapreminska elastična deformacijaU fizici materijala se može zapaziti da sedeformacija na predmetu dešava ne samo kodjedne njegove dimenzije, već ceo predmet trpidimenzionalne promene.Iz tog razloga se elastične osobine materijala odIz tog razloga se elastične osobine materijala odkojeg je načinjen neki predmet izražavaju prekokoeficijenta stišljivosti K ili preko zapremin-skog koeficijenta (modula) elastičnosti B.

Zapreminski koeficijent elastičnost B je koeficijent proporcionalnosti kojipovezuje promenu (povećanje) pritiska Δp koji se vrši sa svih strana napredmet i relativnu promenu (smanjenje) zapremine izazvanu datom

67

VVBp

SF Δ

−=Δ=Δ

BK 1=

Recipročna vrednost zapreminskogmodula elastičnosti je stišljivost K.

p p ( j j ) ppromenom pritiska.

Znak “−” je zbog smanjenja zapremine.

Elastična deformacija smicanjaSmicanje je oblik deformacije koji nastaje pri tangencijalnomdelovanju sile na površinu tela.

68

Elastična deformacija smicanjaTangencijalna sila izaziva pomeranje (smicanje) slojeva (atomskih ravni)u čvrstom telu jednih u odnosu na druge za neki mali iznos, a ukupanefekat delovanja sile je odstupanje gornje ivice predmeta za Δx u odnosuna prvobitni položaj.

Δ

Relativna deformacija se izra-žava preko ugla α (tgα≈α),koji predstavlja odnos apso-lutnog pomeranja gornje ivicepredmeta i dimenzija defor-misanog predmeta:

69

Hukov zakon elastične deformacije smicanja:

G - modul smicanja l

xGSF Δ=

l

xΔ=α

Sile kod kružnog kretanja - centripetalna silaPrilikom kretanja po kružnici, tela se kreću ubrzano - njihova brzina sesvakako menja po pravcu, a može i po intenzitetu.

Pri ravnomernom kretanju po kružnici,tela karakteriše samo normalno ubrzanjetela karakteriše samo normalno ubrzanjean - posledica promene pravca brzine.Prema II Njutnovom zakonu, ako se telaubrzavaju, znači da na njih deluje nekasila F koja je uzročnik promene stanjakretanja (koje se opisuje vektorom koli-čine kretanja ), tj. koja je uzrok pome-

t b jkr

70

22

ω== rrvan

nutog ubrzanja.

Sila koja uzrokuje normalno (centripetalno) ubrzanje i zakrivljuje putanjutela naziva se centripetalna sila Fc (gravitaciona kod planeta, silazatezanja kanapa, …).

Centripetalna sila je uvek usmerena ka centru kružne putanje tela

Sile kod kružnog kretanja - centripetalna sila

Centripetalna sila je uvek usmerena ka centru kružne putanje tela.

rmvFc

2

=

2mvr

71

orrmvFc

rr−=

Sile kod kružnog kretanja - centrifugalna silaPrema III Njutnovom zakonu (akcije i reakcije), tela koja se kreću pozakrivljenoj putanji osećaju, pored delovanja centripetalne, i dejstvo silereakcije na nju, koja je istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera - to jecentrifugalna sila Fcf.

rmvFcf

2

=

o

2

rrmvFcf

rr=

72

Centrifugalna sila je ravnotežna sila centripetalnoj i omogućava da teloostane na zakrivljenoj putanji tokom svog kretanja.

Sile kod kružnog kretanja – tangencijalna silaPri neravnomernom kretanju po kružnici, osim centripetalne sile Fcpkoja zakrivljuje putanju tela i uzrokuje centripetalno ubrzanje an (tj. pro-menu pravca brzine), mora postojati i tangencijalna sila Fτ koja uzrokujepromenu intenziteta periferne brzine (tj. tangencijalno ubrzanje aτ).

τ+= FFF cp

rrr

τ+= aaa nrrr

73

Vektorski zbir centripetalne i tangencijalne sile dajeukupnu silu F koja deluje na telo koje seneravnomerno kreće po kružnoj putanji.

Rad i energija

Ako na telo duž puta njegovog pomeranja deluje silakonstantnog intenziteta, pravca i smera, ukupan radte sile prilikom pomeranja tela je proizvod pređenogputa tela i komponente sile paralelne sa putem (tzv.aktivna komponenta sile).

const.=

Δ⋅=

F

xFAr

Ako se pravac sile ne poklapa sa pravcem po-meranja tela već zaklapa ugao θ sa njim samo

74

meranja tela, već zaklapa ugao θ sa njim, samokomponenta sile F koja ima pravac pomeranjatela (Fx) može vršiti rad.

)komponenta aktivna(cos

rad) vršine koja komponenta(sin

θ=

θ=

FF

FF

x

y

Rad i energija

θΔ=Δ⋅= cosxFxFA rr)( xF rr

Δ∠=θ

Rad je skalarna veličina, skalarni proizvod vektora sile i vektorapređenog puta koji telo pri tome prelazi. Jedinica za rad je džul ([J]=[Nm]).

Fr

xrΔ

θΔ=Δ= cosxFxFA ),( xF Δ∠=θ

Ako na telo deluje sila pod oštrim (tupim) uglom u odnosu na pravac dužkog se kreće telo, rad sile je pozitivan (negativan).Ako sila deluje pod pravim uglom u odnosu na pravac kretanja, ili akotelo miruje, rad sile je jednak nuli.

75

Rad i energijaAko sila nije konstantna po intenzitetu, već se menja duž puta pomera-nja, rad se izražava u diferencijalnom obliku, a njegova ukupna vrednostse nalazi preko integralnog računa (sabiranjem doprinosa ukupnom radu nabeskonačno malim delovima puta) – to je površina ispod krive zavisnosti F=f(x).

Ako se osim intenziteta menja i smer sile

xFA d)cos(d θ=

∫∫ θ==2

1

dcosdx

x

xFAA

elementarni rad duž puta dx

76

Ako se osim intenziteta menja i smer siletokom pomeranja tela duž puta Δx, neophodnoje poznavati i smer sile kao funkciju pomerajaF=f(α(x)), što komplikuje integraciju, tj. nala-ženje izvršenog rada.

EnergijaFizička veličina koja karakteriše sposobnost tela, ili sistema telada izvrše rad naziva se energijom.Iz toga proizilazi činjenica:rad je proces kojim se vrši prenošenje energije među telima.j p j p j g j

Razlika između krajnjeg i početnog stanja tela u pogledu sadržajaenergije (ΔE) jednaka je radu A izvršenom prilikom promene tog stanja.

E ij j liči k j k kt iš t j t l d k j d liči

AEEE if ≡−=Δ

77

Energija je veličina koja karakteriše stanje tela, dok je rad veličinakoja karakteriše promenu tog stanja. Jedinica za energiju je džul ([J]).

Kaže se da telo poseduje energiju, a rad je proces prenosa ili pretvaranjajednog oblika energije u drugi.

Kinetička energijaPrimer: pomeranje tela po horizontalnoj ravni bez trenja pod uticajem nekerezultantne sile F koja izaziva promenu stanja kretanja (količine kretanjaΔk=mΔv), tj. promenu intenziteta brzine od neke vrednosti v1 do vrednosti v2.

ddddd2 vxvvFFAx

∫

Kinetička energija translatornog kretanja:

2222dd

dd

dd

dd

dd

ddd

21

22

21

22

2

1

2

1

1

mvmvvvmvvmxxvmvA

xvmv

tx

xvm

tvmmaFxFA

v

v

x

x

x

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−===

=====

∫∫

∫

2mvEk =

78

g j g j2

Ek

Kinetička energija tela pri njegovom translatornom kretanju srazmerna jemasi m tela i kvadratu njegove brzine v.

Kinetička energijaTeorema o radu i energiji:

Kada spoljašnja sila F vrši rad A nad nekim telom, pri čemu se menjasamo intenzitet brzine kretanja tela, njegova kinetička energija Ek semenja, a ta promena je upravo jednaka radu.

22

21

22

12mvmvEEA kk −=−=

Teorema o radu i energiji ukazuje na to da će se intenzitet brzine tela

kEA Δ=

Rad A sile F na pomeranju nekog tela je razlika između početne i krajnjekinetičke energije Ek tela.

79

Teorema o radu i energiji ukazuje na to da će se intenzitet brzine telapovećati ako je izvršen rad nad telom od strane spoljašnjih sila pozitivan,jer je u tom slučaju krajnja kinetička energija tela veća od početne.Nasuprot tome, intenzitet brzine tela se smanjuje, ako je izvršeni rad nadtelom negativan.

Potencijalna energijaPotencijalna energija je drugi oblik energije koji može posedovatitelo, ali samo ako je ono sastavni deo nekog sistema tela.

Pod sistemom tela se podrazumeva skup od dva ili više tela kojamogu međusobno interagovati, delovati jedno na drugo nekomg g , j gsilom.

Ako dva tela u sistemu međusobno interaguju putem sile, tada radkoji izvrši sila pri delovanju jednog tela na drugo uzrokujepretvaranje kinetičke (ili nekih drugih oblika) energije kojuposeduju tela u druge oblike energije.

k j i

80

Ako se menja međusobni raspored tela u posmatranom sistemu –menja se i njihova potencijalna energija.

Potencijalna energija je, dakle, pojam vezan za sistem tela zato štozavisi od fizičkog položaja jednog tela u odnosu na drugo.

Potencijalna energijaU opštem slučaju:Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da izvrši radzahvaljujući položaju u kome se nalazi.To je rad koji telo akumulira dospevajući u neku tačku polja silaTo je rad koji telo akumulira dospevajući u neku tačku polja sila.

Postoje i sistemi u kojima je jedno telo znatno masivnije od drugih, takoda se može smatrati da miruje (tj. njegova kinetička energija se zanemaruje), a dase ukupna kinetička sistema odnosi na preostala tela u sistemu.

Npr. ako u sistemu “planeta Zemlja − lopta” lopta pada na površinu, tada se smatra dajedino lopta poseduje kinetičku energiju.

81

jedino lopta poseduje kinetičku energiju.

Gravitaciona potencijalna energijaPRIMER: U sistemu “Zemlja−lopta” izvrši se rad nad loptom pri njenompomeranju sa visine ya u odnosu na površinu Zemlje na veću visinu yb.

Pošto je lopta mirovala i pre i nakon izvršenog rada nad njom, ne dolazido promene njene kinetičke energije, već se radi o promeni nekog drugog

Dakle, u položaju na visini yb lopta posedujemogućnost (potencijal) da promeni svoje stanjek t j tj d i j ki tičk ij

oblika energije usled promene položaja.

Kada se lopta pusti na visini yb, ona slobodno pada ka površini Zemlje (kapoložaju ya) pod uticajem gravitacione sile privlačenja od strane Zemlje.

82

kretanja, tj. da promeni svoju kinetičku energiju.

by

ay

Gravitaciona potencijalna energijaPrilikom slobodnog padanja sa visine yb, jedina sila koja deluje na loptu je gravita-ciona sila (jednaka sili težine), i to u pravcu kretanja ka mestu na visini ya.

Pri tome se, usled promene položaja u gravitacionom polju Zemlje, promenila(smanjila) i potencijalna energija lopte, dok se kinetička energija povećala (brzina

−°== yymgAgmF ab ))(0cos(rr

lopte raste).

Rad A koji je izvršila gravitaciona sila Zemlje (njen intenzitet iznosi F=mg) naprivlačenju (premeštanju) lopte za rastojanje h=yb−ya jednak je smanjenju potenci-jalne energije za iznos ΔEp=mgh.

( )A Δ

83

⇒=−= mghAyyh ab ( ) ppbpa EEEA Δ−=−−=

Isti rad se izvrši i kada se telo težine Q=mg podigne samesta na visini ya na visinu yb, čime se poveća njegovagravitaciona potencijalna energija za iznos ΔEp=mgh.

by

ay

Gravitaciona potencijalna energijaGravitaciona potencijalna energija – energija koju poseduje telomase m kada se nalazi u gravitacionom polju drugog tela.

Pošto je gravitaciona sila najslabija od osnovnih interakcija u prirodi, iit i t ij l ij k t l i č j kgravitaciona potencijalna energija nekog tela ima značaj samo ako se ono

nalazi u jakom gravitacionom polju – polju nekog masivnog nebeskogtela, kao što je Zemlja.

U opštem slučaju:Gravitaciona potencijalna energija koju poseduje neko telo u

84

gravitacionom polju Zemlje je rad (Ep=A) koji na telu mase m izvršiZemljino gravitaciono polje privlačeći ga iz beskonačnosti u nekutačku na rastojanju r od centra Zemlje.

Gravitaciona potencijalna energijaUobičajeno je, međutim, da se vrednost gravi-tacione potencijalne energije koju tela pose-duju u Zemljinom gravitacionom polju računa uodnosu na neki referentni (nulti) nivo – polo-žaj u kome se (prema sopstvenom izboru) sma-tra da je potencijalna energija tela jednaka nuli.

mghEp =

85

Vrednost gravitacione potencijalne energije u nekom položaju tela upolju gravitacije, dakle, zavisi od izbora referentnog (nultog) nivoa.

Sa druge strane, rad gravitacione sile (sile Zemljine teže) ne zavisi odizbora referentnog (nultog) nivoa potencijalne energije.

Konzervativna i nekonzervativna polja

Izvršen rad na pomeranju tela u gravitacio-nom polju ne zavisi od oblika putanje, većsamo od početne i krajnje tačke položaja telau tom polju tj od njihove visinske razlike yu tom polju, tj. od njihove visinske razlike(vertikalnog rastojanja).

)( ab yymgA −=

Sva polja sila u kojima izvršen rad sile zavisi samo od početnog ikrajnjeg položaja tela (a ne i od oblika putanje) su konzervativna

by

ay

86

(potencijalna) polja.Sila je konzervativna (potencijalna), ako njen rad na pomeranjutela zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja tela u polju sila, ane i od oblika putanje duž koje se vrši pomeranje

Konzervativne i nekonzervativne sile

Rad konzervativnih sila na pomeranju tela po zatvorenoj putanjijednak je nuli, jer se početni i krajnji položaj tela poklapaju.

U realnim situacijama, na telasimultano deluju i konzervativ-ne sile (kao sila gravitacije) inekonzervativne sile (kinetičkasila trenja, otpor vazduha, …),čiji se rad delimično pretvara udruge oblike

87

druge oblike.

Nekonzervativne sile uzrokujupromenu mehaničke energijesistema.

Potencijalna energija deformisane oprugePotencijalna energija elastične deformacijeDeformisana opruga sposobna je da izvrši rad na račun elastičnih sila Fekoje teže da je vrate u prvobitno stanje, a koje su posledica spoljašnjih silaFi koje su dovele do deformacije.

Prema Hukovom zakonu, veličina izduženja(sabijanja) opruge x je srazmerna spoljašnjoj siliFi koja je izazvala deformaciju.

xkFirr

=

Suprotno spoljašnjoj sili Fi usmerena je elastična(restituciona) sila F koja se javlja u deformisa-

88k – je koeficijent elastičnosti opruge, zavisi od materijala i oblika.

xkFxF ierrr

−=−=)(

(restituciona) sila Fe koja se javlja u deformisanoj opruzi i ona je uvek suprotnog smera odsmera porasta deformacije x.

Potencijalna energija deformisane opruge

20200 ⎞⎛

U deformisanom stanju opruga poseduje izvesnu potencijalnu energiju –sposobna je da pod uticajem elastičnih sila izvrši neki rad prilikomvraćanja u nedeformisani oblik.

Pri vršenju rada, elastična sila smanjuje potencijalnu energiju deformisane

( )2

20

2dd

2

12

2200

akEEEA

akxkxxkxFA

ppp

aaae

=Δ−=−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=−== ∫∫

89

opruge za iznos ΔEp=ka2/2 i menja se stanje kretanja opruge (povećavakinetička energija) – vrši se pretvaranje energije iz jednog u drugi oblik.

Rad je, u ovom slučaju, pozitivan, jer sila deluje u smeru pomeranja tela.

Potencijalna energija deformisane opruge

Nakon prolaska kroz ravnotežni položaj (x=0),sistem “opruga-telo” nastavlja kretanje, a elasti-čna sila ga usporava.

Smanjenje kinetičke energija odgovara povećaSmanjenje kinetičke energija odgovara poveća-nju elastične potencijalne energije opruge.

Rad je, u ovom slučaju, negativan, jer elastičnasila ima suprotan smer od smera kretanja tela.

U opštem slučaju, potencijalna energijadeformisane opruge je:

90

2

2xkEp =

Zakon održanja energijeZakon održanja mehaničke energijeUkupna mehanička energija E (kinetička i potencijalna) zatvorenog(izolovanog) sistema tela, između kojih deluju samo konzervativneil t j j (k t t )sile, ostaje nepromenjena (konstantna).

U zatvorenom sistemu u kojem ne delujunekonzervativne sile (npr. sila trenja, otporvazduha, itd.), zbir kinetičke i potencijalneenergije, tj. ukupna mehanička energija jekonstantna, tj. ne menja se u toku vremena.

91

const.=+= pk EEE

konstantna, tj. ne menja se u toku vremena.

Zakon održanja energije

Primer: slobodno padanje tela sa visine h.

hhmhmvE

mghEE

x

p

++

==

)(2)(2

mghghmmvEE

mghxhmggxxhmgE

k

x

====

=−+=−+=

222

)(22

)(2

2

2211 pkpk EEEE +=+ const.=+ pk EE

92

0)( =+Δ pk EE

Promena mehaničke energije u ovom slučaju jednaka je nuli:

Zakon održanja energije – zatvoren i otvoren sistem

Energija može prelaziti iz jednog u drugi oblik i prenositi se sajednog na drugo telo, ali ukupna energija u zatvorenom sistemutela u kome ne deluju nekonzervativne sile ostaje konstantna.

U opštem slučaju, za otvoren sistem tela u kome, osim međusobnihsila interakcije, deluju i spoljašnje nekonzervativne sile, radspoljašnjih nekonzervativnih sila Ank bio bi jednak promeni ukupnemehaničke energije .

const.=+= pk EEE

93

0)( ≠+Δ=Δ= pknk EEEA

Energija se ne može stvoriti niti nestati, već samo promeniti oblik izjednog u drugi.

SnagaSrednja snaga (brzina vršenja rada) je količnik rada A i vremenskogintervala Δt za koji je rad izvršen prilikom pomeranja tela duž puta Δx poduticajem sile F. Jedinica za snagu je vat ([W]=[J/s]).

AP FxFP Δ

Trenutna snaga je srednja snaga ubeskonačno malom intervalu vremena:

tPs Δ=

tAP

t ΔΔ

=→Δ

lim0

Ako sila nije konstanta, analizira se u kratkom intervalu vremena dt, zakoji sila deluje na putu dx

ss vFt

P =Δ

=

tAP

dd

=

94

koji sila deluje na putu dx.Snaga je skalarna veličina, skalarni proizvod vektora sile i vektora brzinepomeranja i u opštem slučaju važi:

txFP

ddrr

⋅= vFP rr⋅=

Impuls sile i količina kretanjaNa osnovu II Njutnovog zakona, proizvod trenutne sile Fi vremenskog intervala dt u toku kojeg sila deluje na telojednak je promeni količine kretanja dk u tom intervaluvremena.

r

t2

Ukupna promena količine kre-tanja Δk izazvana delovanjempromenljive sile F u toku ko-načnog intervala vremena Δt:

ktFtk

tvmamF

rrrrr

dddd

dd

=⇒===

95

tFtFkt

t

Δ==Δ ∫rrr 2

1

d

tFtFkFt

t

Δ⋅==Δ= ∫rrrv 2

1

dconst.

Za slučaj konstantne sile:

Impuls sile i količina kretanjaImpuls sile je integral proizvoda sile i vremena dt u kojem ta sila de-luje i jednak je ukupnoj promeni količine kretanja tela u toku intervalavremena Δt=t2−t1.

pr

kr

ΔFr

Teorema o impulsu i količini kretanja:Kada na telo deluje rezultantna sila u toku konačnog vremenskog inter-

ktFpt

t

rrrΔ== ∫

2

1

d

Fr

96

j g gvala Δt, impuls ove rezultantne sile je jednak ukupnoj promeni količinekretanja koju ta sila uzrokuje u toku vremena Δt.

kprr

Δ=

pr

kr

Δ

Zakon održanja količine kretanja - zatvoren sistem

21 −= ffrr

Zatvoren sistem - nema delovanja spoljašnjih sila, već samo među-sobnih sila interakcije f.

const.

0)(dd

2211

212211

=+

=+=+

vmvm

ffvmvmt

rr

rrrr

∑ ==n

iivmk const.rr

0=Δkr

97

Ukupna količina kretanja zatvorenogsistema ne menja se tokom vremena, tj.ostaje konstantna.

∑=i

ii1

0=Δk

Zakon održanja količine kretanja - otvoren sistem

ff −=rr

21

Otvoren sistem - osim delovanja međusobnih sila interakcije f, na teladeluju i spoljašnje sile F.

( ) ( )

tFtFktkFFkt

FFFFffvmvmt

R

n

ii

n

iiR

n

ii

n

ii Δ==Δ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ⇒===

+=+++=+

∫∑∑∑∑====

rrrrrrr

rrrrrrrr

d)(const.dd

)(dd

1111

2121212211

Impuls rezultujuće sile p ptFk Rrvr

=Δ=Δ

98

Promena ukupne količine kretanja Δk otvorenog sistema jednakaje impulsu spoljašnje rezultantne sile FRΔt =p

Impuls rezultujuće sile p. ptFk R ΔΔ

Primeri zakona održanja količine kretanja

21

212211 0

0

vmmvvmvm

vmrrrr

r

−=⇒=+

=

1m

99

21

211

22111 )(

vmmmv

vmmvm+

=⇒

+=

SudariSudar je kratkotrajna uzajamna interakcija između tela bez uticajaspoljašnjih sila, u kojoj se više ili manje ispoljavaju elastične osobine tela.

Nakon sudara, brzine tela se menjaju, u opštem slučaju, i po intenzitetu ipo pravcu, a deo energije se može pretvoriti u toplotu.

100

Sudari dvaju tela mogu biti jednodimenzionalni (kada se tela i pre inakon sudara kreću po istoj pravoj liniji) i dvodimenzionalni.

Poseban slučaj predstavlja centralni sudar kod kojeg se tela pre sudarakreću po pravcu koji prolazi kroz centre (težišta) tela .

SudariElastičan sudar sudar je slučaj sudara u kome se ukupnakinetička energija tela pre i posle sudara ne menja.

Neelastičan sudar je onaj u kome deo kinetičke energijetela u toku sudara prelazi u druge oblike energije

101

- u savršeno neelastičnom sudaru tela nakon sudara ostaju zajedno;- u ostalim slučajevima, kada se deo kinetičke energije transformiše u druge oblike

(deformacija tela koja učestvuju u sudaru sudaru, toplota, …), a tela ne ostajuspojena, reč je samo o neelastičnom sudaru u širem smislu reči.

tela u toku sudara prelazi u druge oblike energije(potencijalnu, toplotnu, …).

Elastičan sudar

Zakon održanja količine kretanjaZakon održanja kinetičke energije

102

222

211

222

211

22112211

21

21

21

21 vmvmvmvm

vmvmvmvm

′+′=+

′+′=+

Neelastičan sudarDeformacije koje nastaju na telima u sudaru su trajne.

Zakon održanja kinetičke energije u neelastičnom sudaru ne važi, jer sedeo te energije pretvara u neki drugi vid.

103

vmmvmvm )( 212211 +=+

Neelastičan sudarPrimer savršeno neelastičnog sudara: Balističko klatno

104

BA vmmvm )( 2111 +=Zakon održanja količine kretanja

Deo kinetičke energije projektila je potrošen na deformaciju masivnog (drvenog) bloka.

Delovanje sila i momenata sila na kruto teloČvrsto (kruto) telo je sistem čvrsto povezanih materijalnih tačaka (masaΔm1, Δm2, …, Δmi, …, Δmn) koje imaju svaka svoju težinu (ΔQ1, ΔQ2, …, ΔQi, …,ΔQn), čiji zbir predstavlja ukupnu težinu tela Q.

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela.

Napadna tačka rezultante svih ovih sila težine kojedeluju na pojedinačne materijalne tačke je težište tela.

Bez obzira na položaj tela, ona ostaje na istom mestu,kao da je sva masa skoncentrisana u jednoj tački, tzv.centru mase tela C.

105

Težište (tačka “cg”)

Delovanje sila i momenata sila na kruto telo.Centar mase je tačka koja reprezentuje prosečanpoložaj ukupne mase tela.

Centar mase je tačka karakteristična za čvrsto teloizloženo delovanju spoljašnje sile koja se kreće naizloženo delovanju spoljašnje sile, koja se kreće naisti način kao što se bi se kretala i materijalna tačka(mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te isterezultantne spoljašnje sile.

U homogenom gravitacionom polju se težište icentar mase poklapaju.

106

U primeru, napadna tačka rezultantne sile na slikama (a) i (b)se ne poklapa sa centrom mase – tela (spojena šipkom zane-marljive mase) pod uticajem sile započinju rotaciono kretanje.Kada je napadna tačka sile u centru mase, kao na slici (c) –sistem tela ne rotira, već se kreće translatorno.

Svako kretanje krutog (čvrstog) tela može sepredstaviti kao kombinacija translatornog irotacionog kretanja.

Delovanje sila i momenata sila na kruto telo

otac o og eta ja.

Kod translatornog kretanja prave koje spajaju tačkeu telu u toku kretanja ostaju same sebi paralelne.

Kod rotacionog kretanja tačke u telu se kreću pokoncentričnim kružnicama različitih poluprečnika.

Na složeno kretanje krutog tela deluju sile iti il

107

momenti sila.

Moment sile

U primeru na slici na vrata koja mogu rotirati oko vertikalne ose deluje sesilom F istog intenziteta i u istoj napadnoj tački.Razlika je u pravcima delovanja sile u odnosu na vektor položaja (radijusvektor) napadne tačke sile.

108

) pNajlakše je zarotirati vrata kada radijus vektor napadne tačke sile i vektorsile zaklapaju prav ugao, a rotacije vrata nema kada se pravci ova dvavektora poklapaju.

Moment sile

Moment M sile F je vektorski proizvodradijus vektora r napadne tačke sile ivektora sile F. Jedinica za moment sile je [Nm].

109

FrMrrr

×=),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

dFrFM t ==

Samo tangencijalna komponenta sile (Ft) uzrokuje rotaciono kretanjekrutog tela.

Moment sile

Tangencijalna komponenta sile Ft koja stvaramoment sile M odgovoran za rotaciju krutog tela,ujedno daje tangencijalno ubrzanje at telu, čime seugaona brzina ω stalno povećava. Drugim rečima,kruto telo ima neko ugaono ubrzanje α.

Za ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni sumomenti sila.

Na veličinu ugaonog ubrzanja α, međutim, utiču nesamo momenti sila, već i masa tela, tačnije raspo-red masa u krutom telu u odnosu na osu rotacije.

110

ed s u u o e u u od osu osu o c je.

Tako je u dinamici rotacionog kretanja definisantzv. moment inercije I, veličina koja opisuje uticajrasporeda masa u krutom telu na rotaciju, tj. naugaono ubrzanje.

Moment inercije

2iii rmI Δ=

Za svaku materijalnu tačku u telu mase Δmi koja se nalazi na rastojanjuri od ose rotacije, moment inercije Ii je definisan preko:

Sumiranjem momenata inercije Ii za svematerijalne tačke koje čine kruto telo, dobija semoment inercije I tela u odnosu na datu osurotacije. Jedinica za moment inercije je [kgm2].

∑∑ Δ== rmII 2 ili

111

∑∑

∑∑

Δρ=Δρ=

Δ

iii

iii

iii

ii

VrrVI

rmII

22

ili

Moment inercije

Moment inercije I je veličina analogna masi u dinamici translatornogkretanja.Moment inercije je skalarna veličina, mera inertnosti tela prirotacionom kretanju.jMasa je nezavisna osobina tela, a moment inercije zavisi od izbora oserotacije u odnosu na koju se posmatra raspored mase u telu.

∑Δ=i

iirmI 22rmI =

Moment inercije za materijalnu tačku Moment inercije za kruto telo

112

∫=M

i

mrI0

2d ∫ρ=V

VrI0

2dili

Moment inercije za razna geometrijski pravilna tela

113

Ako telo u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz njen centarmasa ima moment inercije I0, tada će u odnosu na bilo koju druguparalelnu osu, na rastojanju d od pomenute ose, imati momenti ij d fi i l ij

Moment inercije i Štajnerova teorema(teorema paralelnih osa)

inercije I definisan relacijom:2

0 mdII +=Primer

Moment inercije I0 je u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase.

114

222

23

2mRmRmRI =+=

Moment inercije I je u odnosu na osu koja je paralelna osi rotacije kroz centar mase i na rastojanju d od nje.

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanjaZa ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni su momenti sila.

Prema II Njutnovom zakonu, tangencijalna komponenta sile Ft kojauzrokuje tangencijalno at i ugaono ubrzanje α i čija je napadna tačka narastojanju r od ose rotacije (krak sile) stvara moment sile M koji se možerastojanju r od ose rotacije (krak sile), stvara moment sile M koji se možeizraziti u obliku koji sadrži informaciju o rasporedu masa u odnosu naosu rotacije, tj. veličinu momenta inercije I krutog tela:

α== 2mrFrM t

α==α= rmamFra ttt

Primer rotacije materijalne tačke:

115

αmrFrM t

),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

α= IMII Njutnov zakon za rotaciju materijalne tačke oko nepokretne ose

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanjaU krutom telu se delovanje unutrašnjih sila fij=−fji međusobno poništava.Samo tangencijalne komponente spoljašnjih sila Fti koje deluju na pojedine delićemase Δmi krutog tela uzrokuju rotaciono kretanje.Momenti Mi takvih spoljašnjih sila se sabiraju, čime se dobija rezultantni moment

lj jih il k ji k j b jM spoljašnjih sila, koji uzrokuje ugaono ubrzanje α.

116),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

αΔ=Δ=α= iitiitiiti rmamFraα= IM

Primer rotacije krutog tela:

II Njutnov zakon za rotaciju krutog tela oko nepokretne ose

α=αΔ=== ∑∑∑ IrmFrMMi

iii

tiii

i2

Kinetička energija i rad kod rotacionog kretanjaPri rotaciji krutog tela(bez translatornog kretanja):

22

222 ωΔ=

Δ=ω= iiii

kiiirmvmErv

2

2ω=

IE Rk

Pri složenom kretanju krutog tela ukupna kinetička energija je sumakinetičkih energija translatornog kretanja centra mase i rotacionog

Vrši se sumiranje kinetičkih energija zasvaki delić krutog tela:

117

kretanja tela:

22

22 ω+=

ImvE ck

Ako se pri rotaciji telo obrne za ugao θ (u [rad]) poduticajem momenta sile M, izvršeni rad je dat preko: θ= MA

Moment količine kretanja LMoment količine kretanja L materijalne tačke oko nepokretne oserotacije je vektorski proizvod njenog vektora položaja r i vektora njenekoličine kretanja k:

k rrrrrvmrkrL rrr

×=×=

ω=

°=∠

rv

vr 90),( rr

θ=θ= sinsin vrmkrL

118

ω= IL

ω= 2rmL

Moment količine kretanja L krutog tela oko nepokretne ose rotacijedobija se sumiranjem momenata količine kretanja za sve materijalne tačkekoje čine telo:

Moment količine kretanja L

ω=ωΔ=Δ=Δ×== ∑∑∑∑ IrmvrmvmrLLi

iii

iiii

iiii

i2

ω= IL

119

vmrvmrL rrr

rr

×+×=)(ddd

Vremenska promena momenta količine kretanja L materijalne tačke oko nepokretne ose rotacije:

ML rr

=dd

Moment količine kretanja L

M - ukupni moment spoljašnjih sila

v - periferna brzina materijalne tačke usled delovanja momenta sile M

MFrvmvtL

ttt

rrrrrr

+=×+×= 0dd

ddd td

°=∠ 0))(,( vmv rr0

Ovo je drugi oblik II Njutnovog zakona za rotaciono kretanje – analogija sa silom koja je jednaka

120MI

tI

tI

tL rr

=α=ω

=ω

=dd

d)(d

dd

Vremenska promena momenta količine kretanja L krutog tela okonepokretne ose rotacije:

j g j g j g j j j jbrzini promene količine kretanja kod translatornog kretanja tela:

Famtvm

tk rr

rr

===d

)(ddd

Zakon održanja momenta količine kretanja

Ako je rezultanta momenata spoljašnjih sila, koje deluju na kruto telo iuzrokuju njegovo rotaciono kretanje, jednaka nuli (M=0), tj. ako je sistemizolovan, ugaono ubrzanje je jednako nuli (α=0 ⇒ ω=const.), a momentkoličine kretanja L ima konstantnu vrednost (konstantni intenzitet i pravac):

Zakon održanja momenta količine kretanja u izolovanom sistemu:

α==rr

r

IMtL

dd

količine kretanja L ima konstantnu vrednost (konstantni intenzitet i pravac):

const.0dd0za ==⇒= L

tLM

rr

r

Analogija sa I Njutnovim zakonom dinamike, prema kome tela zadržavaju svoje stanje kretanja(mirovanja ili pravolinijskog ravnomernog kretanja) ukoliko je rezultatntna sila koja na njega delujejednaka nuli:

)(ddk rr

121

Ako kruto telo rotira oko nepokretne ose rotacije, moment količine kreta-nja L se može predstaviti i kao:

Zakon održanja momenta količine kretanja je:

ω=rr

IL

const.=ωrI

const.0d

)(dddconst.00je ukoliko ===⇒=⇒=⇒= vm

tvm

tkvaF rrrr

Primeri zakona održanja momenta količine kretanjaRotacija čigre Rotacija balističkih projektila

122Prandtlova stolica

Analogne veličine i jednačine koje važe kod translatornog i rotacionog kretanjatranslatorno kretanje rotaciono kretanje

pomeraj, x ugaoni pomeraj, θ

brzina, v ugaona brzina, ωtxv

ddrr

=td

dθ=ω

vdr dωrubrzanje, a ugaono ubrzanje, α

masa, m moment inercije, I

količina kretanja, k

moment količine kretanja, L

sila, F moment sile, M

tva

ddr

=td

dω=α

r

tk

tvmFamF

dd

d)(d

rrrrr===

tL

tIMIM

dd

d)(d

rrrrr=

α=α=

vmk rr= ω=

rrIL

123

kinetička energija, Ek

rotaciona kinetička energija,

snaga, P snaga, P

RkE2

2mvEk = 2

2ω=

IE Rk

vFP rr⋅= ω⋅=

rrMP

Statika čvrstog telaPrimer delovanja sila na kruto telo:a) delovanje jedne sile izaziva samo pomeranje tela na jednu stranu;b) delovanje dve sile istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera daju rezultantnu

silu koja je jednaka nuli – telo je i u translatornoj i u rotacionoj ravnoteži;) d l j d il i i i i iji i kl jc) delovanje dve sile istog intenziteta i suprotnog smera, čiji se pravci ne poklapaju

daju rezultantni moment, pod čijim uticajem telo počinje rotaciju – telo nije urotacionoj ravnoteži.

124

Uslovi ravnoteže čvrstog tela Za ravnotežu je neophodno da se poništavaju ne samo spoljašnje sile, već imomenti spoljašnjih sila.

Uslovi ravnoteže čvrstog (krutog) tela:

Rezultantna spoljašnja sila koja deluje na telo treba da je jednaka nuli.

Rezultantni moment spoljašnjih sila oko bilo koje ose rotacije treba da je jednak nuli.

const.const.

00

=ω=

=α=rr

rr

v

a

00 == ∑∑i

ii

i MFrr

125

Uslovi ravnoteže za sve pravce koordinatnog sistema:

000

000iii

===

===

∑∑∑

∑∑∑

izi

iyi

ixi

ziyixi

MMM

FFF

rrr

rrr

const.const. ωv

Uslovi ravnoteže čvrstog tela Primeri:

126

Vrste ravnoteže. Stabilnost.

Postoji: a) stabilna, b) labilna, c) indiferentna

žravnoteža.

Prema veličini potencijalne energije koju telo poseduje u gravitacionom polju Zemlje:

Primer lenjir okačen o konac:a) težište C je ispod tačke vešanja;b) težište C je iznad tačke vešanja;c) težište C i tačka vešanja se poklapaju.

127

Prema veličini potencijalne energije koju telo poseduje u gravitacionom polju Zemlje:

Oscilacije i talasiSvako kretanje koje se po određenom pravilu ponavlja u tokuvremena je periodično ili oscilatorno kretanje.

Ukoliko su sila koja teži da vrati oscilatorni sistem u ravnotežno stanje,pa prema tome i ubrzanje koje sistem ima, direktno srazmerni rastojanjup p j j , j jod njega i usmereni ka njemu, tada se radi o jednostavnom harmonijskomkretanju.

Primer: telo vezano za učvršćenu oprugu– može da se kreće u vertikalnoj ili u horizontalnoj ravni (po

128

glatkoj površini, bez trenja)

OscilacijeOsnovne osobine harmonijskog oscilovanja:Period oscilovanja T je vreme za koje telo izvrši jednu oscilaciju.Frekvencija oscilovanja ν (ili f) je broj oscilacija u jedinici vremena.Elongacija x je proizvoljno rastojanje od ravnotežnog položaja.A li d A j k i l l ijAmplituda A je maksimalna elongacija.Kod harmonijskih oscilacija promenljiva veličina (elongacija) se menja posinusnom ili kosinusnom zakonu u funkciji vremena.

129

OscilacijeOsnovne osobine harmonijskog oscilovanja:Kružna frekvencija ω je povezana sa frekvencijom f (ν) i periodom T.

Tf

Tf π

=π=ω=221

Pri kretanju materijalne tačke po kružnici ravnomernom perifernom brzinom v iPri kretanju materijalne tačke po kružnici ravnomernom perifernom brzinom v injen radijus vektor (vektor položaja) se obrće ravnomernom ugaonom brzinom ω.y-koordinata položaja materijalne tačke koja se ravnomerno kreće po kružnicimenja se po sinusnom (kosinusnom) zakonu, odnosno projekcija radijus-vektorana y-koordinatnu osu menja svoj intenzitet po sinusnom (kosinusnom) zakonu ufunkciji vremena. T je vreme potrebno materijalnoj tački da obiđe pun krug.

130

Primeri harmonijskih oscilacijaOscilovanje tela obešenog o elastičnu opruguSila koja vraća telo i oprugu ka ravnotežnom položaju je elastična sila deformisaneopruge i (prema Hukovom zakonu za elastične deformacije istezanja) srazmerna jeveličini deformacije). Znak "−" znači suprotan smer sile F od vektora položaja x telavezanog za oprugu.

xkF rr−=

g p gk − koeficijent elastičnosti

opruge

Smena: 20ω=m

k

Iz II Njutnovog zakona sledi jednačina kretanja:

0dd

2

2

=+ kxtxm2

2

dd

txmmaF ==

131

Rešenje ove diferencijalne jednačine ima oblik:

)sin( 0 α+ω= tAx

Oscilovanje tela obešenog o elastičnu oprugu

ω0 − kružna frekvencija oscilatornog kretanjaα − početna faza, opisuje početni položaj sistema(ω0t+α) – faza oscilovanja

)sin( 0 α+ω= tAx

Elongacija x je sinusna (ili kosinusna) funkcija vremena:

kmT π=

ωπ

= 22

0

Period oscilovanja T zavisi od osobina opruge (koefici-jent elastičnosti k) i od mase m tela okačenog na nju:

132

Energija tela koje osciluje na elastičnoj opruzi

21

21 22 += kxmvES obzirom da važi:

Energija tela koje osciluje na elastičnoj opruzi je zbir kinetičke energijetela i potencijalne energije elastične deformacije opruge.

)i ( 2ktA

const.21

21

22

220

2 ==ω= kAmAE

Zbir kinetičke i elastične potencijalne energije pri harmonijskomoscilovanju, ukoliko nema gubitaka, je konstantan.

)cos(dd

)sin(

00

200

α+ωω==

ω=α+ω=

tAtxv

mtAx

133

Matematičko klatnoMatematičko klatno je materijalna tačka koja se u polju Zemljine težekreće na stalnom rastojanju od date tačke (tačke oslonca).

ll

xmgFxQF

tt −=⇒==ϕsin

2

2

ddtsmmaFt ==

llQ"−" znači suprotan smer sile Ft od vektora položaja x.

Jednačina kretanja:

0dd

2

2

=+l

mgxtsm

2dt

134

x – horizontalno rastojanje od ravnotežnog položajas – lučno rastojanje od ravnoteže (pređeni put)

Matematičko klatno

Za male uglove ϕ, x ≈ s. Smena: 0dd 2

02

2

=ω+ xtx2

0ω=l

g

Rešenje jednačine je da je elongacija x sinusna

0dd

2

2

=+l

mgxtsm

Rešenje jednačine je da je elongacija x sinusna(ili kosinusna) funkcija vremena t oblika:

)sin( 00 α+ω= txx

Period oscilovanja T, za slučaj malih amplitudaoscilovanja, zavisi od dužine klatna l i ubrzanja

135

gT l

π=ωπ

= 22

0

oscilovanja, zavisi od dužine klatna l i ubrzanjasile Zemljine teže g:

Fizičko klatno

2

sind mgdQdMIM θ=×=θ

=αα=rr

Fizičko klatno je kruto telo koje se u polju sile Zemljine teže možeslobodno kretati oko nepokretne horizontalne ose, a koja ne prolazi kroznjegov centar mase (težište).

Za malo θ, sinθ≈θ. Takođe se uvodi smena:d je rastojanje centra mase (CM) od ose rotacije

0sindd

2

2

=θ+θ

Imgd

t

20ω=I

mgd

2

2

2

ddsin

sind

tImgd

mgdQdMt

IM

θ=θ−

θ−=×−==αα=

136

d – je rastojanje centra mase (CM) od ose rotacije.

Jednačina kretanja: 0dd 2

02

2

=θω+θ

t

Rešenje jednačine je oblika: )sin( 00 ϕ+ωθ=θ t mgdIT π= 2

Period oscilovanja:

Prigušene harmonijske oscilacije

Na svaki realni oscilatorni sistem deluje sila trenja.Prigušeno oscilovanje je oscilovanje u kojemveličina amplitude opada sa vremenom.

vbF rr−=

Jednačina kretanja za slučaj oscilovanja tela mase m okačenog na opruguk fi ij t l tič ti k k d j d l j t di k kt i

Sila otpora je srazmerna brzini kretanja tela:

b - koeficijent srazmernosti - konstanta prigušenja

137

koeficijenta elastičnosti k kada na njega deluje otpor sredine okarakterisankonstantom b:

0dd

dd

2

2

=++ kxtxb

txm

Rešenje jednačine je elongacija x koja se u toku vremena menja posinusnom (ili kosinusnom) zakonu.

Prigušene harmonijske oscilacije

)sin()()( 00 α+ω′= ttxtx

ω'0 - sopstvena kružna frekvencija amortizovane oscilacije

Amplituda x0(t) u toku vremena opada do nulte vrednosti premaeksponencijalnoj funkciji.

tmb

xtx 200 e)(

−=

138

Prigušene harmonijske oscilacije

U zavisnosti od veličine prigušenjab (tj. otpora sredine), oscilovanjemože imati sledeće oblike:

1. Neprigušeno oscilovanje

2. Malo prigušenje (kvaziperiodično oscilovanje)

3. Srednje prigušenje (kvaziperiodično oscilovanje)

4. Kritično prigušenje

5. Aperiodično prigušenje

139

Prinudne harmonijske oscilacije. Rezonancija.Prinudno oscilovanje je oscilovanje u kojem osim elastične sile postoji još jedna spoljašnja sila koja pojačava oscilovanje.

Ako je prinudna sila harmonijska (menja se po sinusnom zakonu sa frekvencijomω) i ω≠ω0 (ω0 je sopstvena frekvencija oscilovanja sistema bez prisustva prinudne sile)ω) i ω≠ω0 (ω0 je sopstvena frekvencija oscilovanja sistema bez prisustva prinudne sile)u realnom slučaju, kada postoji i neka sila trenja koja deluje na oscilatornisistem, rešenje jednačine oscilovanja:

tFkxtxb

txm ω=++ sin

dd

dd

02

2

140

Telo mase m osciluje istom frekvencijom ω kojom se menja i periodičnasila, ali sa modifikovanom amplitudom x0, čija veličina se ne menja utoku vremena.

txtx ω= sin)( 0ima oblik:

Prinudne harmonijske oscilacije. Rezonancija.

Ako frekvencija prinudne sile F teži sopstvenoj kružnoj frekvencijioscilatora (ω→ω0), amplituda x0 prinudnog oscilovanja teži visokimvrednostima (u slučaju kada nema trenja, u beskonačnost). Nastupa stanjerezonancije.j

141

Talasno kretanje - Prostiranje talasa u elastičnoj srediniMehanički talas (talasno kretanje) je širenje oscilatornog poremećaja uelastičnoj materijalnoj sredini.Pri prostiranju talasa, ne premeštaju se delići sredine. Oni osciluju okoravnotežnih položaja, a prenosi se energija talasa.Za postojanje mehaničkog talasa neophodno je postojanje:Za postojanje mehaničkog talasa neophodno je postojanje:• izvora talasnog poremećaja,• materijalne sredine kroz koju se poremećaj prenosi, i• nekog fizičkog mehanizma preko kojeg elementi materijalne sredine

utiču jedan na drugi.

142

Prostiranje talasa u elastičnoj sredini

Kod transverzalnih talasa delići elastične sredine osciluju normalnona pravac prostiranja talasa. Javljaju se samo u sredinama gdepostoje elastične sile smicanja - čvrsta tela.

143

Prostiranje talasa u elastičnoj srediniKod longitudinalnih talasa delići sredine osciluju duž pravca prostiranja talasa (zgušnjavanje i razređivanje).

144

Prostiranje talasa u elastičnoj srediniSinusoidalni talas postoji kada svaka tačka elastične sredine u kojoj seprostire talas vrši harmonijske oscilacije oko ravnotežnog položaja saelongacijom:

)sin(0 iii tyy φ+ω=

Rastojanje između dva najbliža delića koji osciluju u istoj fazi (ili im sefaze razlikuju za 2π) je talasna dužina λ.

Talasni poremećaj prelazi put od jednetalasne dužine dok delići sredine izvršejednu oscilaciju (za vreme T), pa jebrzina prostiranja talasa (fazna brzina):

145

λν=λ

=T

c

brzina prostiranja talasa (fazna brzina):

Prostiranje talasa u elastičnoj srediniPovršina koja spaja tačke do kojih je stigao talasni poremećaj je talasnifront.

U homogenoj i izotropnoj sredini talasni front ima oblik sfere.

Ak j t l i f t č j t l N lik j d lj ti dAko je talasni front ravan, reč je o ravnom talasu. Na velikoj udaljenosti odizvora talasa i sferni talas ima ravan talasni front.

Hajgensov princip: Svaka tačka elastične sredine do koje je stigao talasnifront može se smatrati novim izvorom talasa.

146

Jednačina progresivnog talasaProgresivni talas je talas koji se u celoj elastičnoj sredini prostire bezpromene pravca ili smera.Prostiranjem talasa u nekoj elastičnoj sredini u stanje oscilovanja sedovode sve tačke te sredine i njihova elongacija se opisuje sinusnom (ilik i ) f k ij h ij k k jkosinusnom) funkcijom za harmonijsko kretanje.Zbog kašnjenja u oscilovanju udaljenijih delića sredine u odnosu na izvortalasa, definiše se jednačina koja opisuje vremensku i prostornu zavisnostelongacije delića elastične sredine - jednačina progresivnog talasa:

)sin(0 φ−ω= tyy

147Početna faza talasa: x

λπ

=φ2

Ovo je tzv. talasna funkcija, koja opisuje elongaciju proizvoljnog delićamaterijalne sredine, na rastojanju x od izvora talasa u proizvoljnomtrenutku t.

Jednačina progresivnog talasa

Razlika u fazi za dve tačke elastične sredine: Delići osciluju u fazi:

)(21212 xx −

λπ

=φ−φ=φΔ

ili2kφΔ λΔ k rastojanje između tačaka elastične

148

ili)1k2( π−=φΔ

Delići osciluju u suprotnim fazama:

ili2k π=φΔ λ=−=Δ k12 xxx

2)1k2(12λ

−=−=Δ xxx

rastojanje između tačaka elastične sredine koje su u fazi:

rastojanje između tačaka elastične sredine koje su u suprotnim fazama

Brzina širenja talasaBrzina prostiranja mehaničkih talasa zavisi od elastičnih osobinamaterijalne sredine kroz koju se prostire.Za trasverzalni talas koji se prostire kroz zategnutu žicu (F - sila zatezanjažice; μ=m/L linijska masa žice) brzina talasa je:žice; μ=m/L - linijska masa žice), brzina talasa je:

μ=

Fc

149ρ=

Gc

U opštem slučaju, za trasverzalni talas koji se prostire kroz čvrsti materijal(G - modul smicanja materijala; ρ - gustina materijala), brzina talasa je:

Brzina širenja talasaZa longitudinalni talas koji se prostire kroz čvrsto telo (E - Jangov modul

elastičnosti; ρ - gustina tela), brzina talasa je:

ρ=

Ec

Za longitudinalni talas koji se prostire kroz tečnost (K − koeficijent stišljivostitečnosti; B − zapreminski koeficijent elastičnosti; ρ − gustina tečnosti), brzina talasa je:

ρ=

BcBK=

1ρ

=K

c 1

150V

p

cc

=κ

Za longitudinalni talas koji se prostire kroz gas (κ - adijabatska konstanta; p -

pritisak gasa; ρ - gustina gasa), brzina talasa je:

ρκ

=pc

Energija talasaElongacija i brzina kretanja čestica (mase m) sredine:

tytyvtyy ωω==ω= cos

ddsin 00

20

2

21 ymE ω=

Gustina energije u talasa (n je koncentracija čestica elastične sredine, tj. broj ujedinici zapremine):

2

2max

maxvmEE k ==

151

20

2

21 ynEu ρω==

Ravan talas na granici dve sredine u kojima su brzine prostiranja talasarazličite delimično se odbija, a delimično prelama.

Osnovne osobine talasnog kretanja. Odbijanje talasa

Odbijanje (refleksija) talasa se objašnjava pomoću Hajgensovog principa:Svaka tačka na granici dve elastične sredine do koje je stigao talasni frontmože se smatrati novim izvorom talasa.

152

Novi talasni front (odbijenog talasa) čini zajednička tangenta na sfernetalasne frontove koji potiču od tačaka na granici dve sredine.

Upadni ugao jednak je uglu odbijanja.

Pravci upadnog i odbojnog talasa leže u istoj ravni.

Prelamanje talasaPrelamanje (refrakcija) talasa se dešava na granici dve sredine u kojima setalas prostire različitim brzinama.Prema Hajgensovom principu, talasni front prelomljenog talasa menjapravac kretanja.

Novi talasni front (prelomljenog talasa) čini zajednička tangenta na sfernetalasne frontove koji potiču od tačaka na granici dve sredine.

Ako se prelamaju talasi koji sadrže komponente različite frekvencije,dolazi do disperzije - svaka komponenta se prelama pod različitim uglom.

153

2

1

sinsin

cc

=βα

Difrakcija talasa

Difrakcija talasa je pojava širenja talasa iza prepreka sa pukotinom,odnosno savijanja talasa na preprekama. Talasi skreću sa prvobitnogpravca u istoj elastičnoj sredini.

Dimenzije pukotine treba da su istog reda veličine kao i talasna dužinaDimenzije pukotine treba da su istog reda veličine kao i talasna dužina.

Prema Hajgensovom principu, svaka tačka pukotine je novi izvor talasa.

154

Interferencija talasaInterferencija talasa je pojava slaganja (superpozicije) talasa koji se prostiruu istoj sredini.

Interferencija se javlja samo ako postoji stalna fazna razlika između talasakoji interferiraju (koherentni talasi).j j ( )

Interferencija je konstruktivna, ako se amplitude sabiraju (talasi u fazi), adestruktivna ako se poništavaju (talasi u suprotnim fazama).

155

Posmatramo interferenciju talasa u datoj tački difraktovanih sa dve pukotine -imaju iste amplitude, frekvencije i talasne dužine, a različite faze u toj tački.

Interferencija talasa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

−ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

−ω= 2021012sin2sin xtyyxtyy ii x

λπ

=φ2

xxx Δλπ

=−λπ

=φ−φ=φΔ2)(2

1212

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ−

λ=Δ

int.dest.)1(2k

int.konst.kx

156

U datoj tački rezultantno oscilovanje čestice elastične sredine ima amplitudu kojazavisi ne samo od amplitude talasa koji interferiraju, već i od fazne razlike Δφ,odnosno od razlike u pređenim putevima Δx talasa od pojedinih izvora.

⎪⎩int.dest.

2)1(2k

157

Mehanika fluida. Statika fluida.

Fluidi: tečnosti ("stalna" zapremina i promenljiv oblik) i gasovi (promen-ljivi i zapremina i oblik).Statika (proučava ravnotežu) i dinamika (proučava kretanje) fluida.

Slabije međumolekulske sile u poređenju sa čvrstim telima uzrokujupromenljivost oblika (i zapremine).

Delovanje sile na tečnosti uzrokuje promenu oblika, a samo u maloj merii zapremine (stišljivost). U većini idealnih slučajeva smatra se da je izapremina stalna, nepromenljiva (tj. njena promena je zanemarljiva).

Delovanje sile na gasove uzrokuje promenu i oblika i zapremine.

158

Pritisak

SFp =

Pomeranje fluida izazivaju sile koje deluju na izvesnu njihovu površinu(zbog toga što nemaju stalan oblik). Zato je uvedena fizička veličinapritisak (skalarna veličina) koja predstavlja odnos normalne sile F kojadeluje na površinu nekog tela S. Jedinica za pritisak je Paskal ([Pa]=[N/m2]).

159

PritisakPritisak u tečnosti (fluidu) može da potiče ili od težine same tečnosti ili od delovanja spoljašnje sile.

Paskalov zakon: Pritisak koji se spolja vrši na neku tečnost (ili, u opštemslučaju, na fluid) prenosi se kroz nju nesmanjenim intenzitetom na sve stranepodjednako.

Moguće je menjati intenzitet, pravac i smer delovanja sile pomoću tečnostiu zatvorenom sudu.

112212

222222

111111

xSxSAA

xSpxFA

xSpxFA

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

21 pp =

160

PritisakHidraulična presa - ilustracija primene Paskalovog zakona

1

212 S

SFF =

161

Hidrostatički pritisakU tečnostima postoji pritisak koji je posledica delovanja gravitacione silena sve čestice (molekule) tečnosti. Svaki delić tečnosti svojom težinom vršipritisak na deliće ispod njega.Ovaj pritisak raste sa dubinom.

ghpp

ShgSpSp

QSpSpFi

i

ρ+=

=ρ−−

=−−=∑

12

12

12

0

00

ghp ρ=Hidrostatički pritisak stuba tečnosti gustine ρ i visine h:

ghSShg

SVg

Smg

SQp ρ=

ρ=

ρ===

ili:

162

Hidrostatički pritisakPritisak u fluidu zavisi samo od dubine h, a ne i od ukupne količineili težine fluida (tečnosti) u sudu.

Ako se iznad slobodne površine tečnosti nalazi atmosfera, tada je ukupanpritisak na dubini h jednak zbiru atmosferskog p0 i hidrostatičkog ρgh:

ghppuk ρ+= 0

163

Potisak. Arhimedov zakon.

Sila potiska je jednaka težiniistisnute tečnosti (fluida).Tela jednake zapremine trpedelovanje jednakih sila potiska.

Na sva tela potopljena u tečnost deluje sila suprotnog smera od gravitacio-ne, koja teži da istisne telo iz tečnosti - sila potiska.

Sila potiska je posledica činjenice da hidrostatički pritisak raste sa dubinom,tj. njen uzrok je razlika u hidrostatičkim pritiscima koji na uronjeno telodeluju na njegovoj gornjoj i donjoj strani.

ghSF

SgxpxhgpF

SpSpFFF

p

p

p

ρ=

ρ−−+ρ+=

−=−=

)]()([ 00

1212

gmgVF fp =ρ=

x - dubina na mestu gornje površine

164

Potisak. Arhimedov zakon.

Efektivna težina tela (gustine ρt)potopljenog u tečnost (fluid, gustine ρf):

pliva telo

lebdi telo

tonetelo

pft

pft

pft

FQ

FQ

FQ

<⇒ρ<ρ

=⇒ρ=ρ

>⇒ρ>ρ

Svako telo uronjeno u tečnost prividno gubi od svoje težine tolikokoliko teži istisnuta tečnost - Arhimedov zakon.

VgFQQ ftpef )( ρ−ρ=−=

165

Površinski napon je pojava narušavanja ravnoteže privlačnihmeđumolekulskih sila u površinskom (tj. graničnom) sloju u tečnostima.Usled postojanja površinskog napona, tečnosti teže da smanje svojuslobodnu površinu.Koeficijent površinskog napona je rad na dovođenju molekula tečnostina površinu koji je potrebno izvršiti za jedinično povećanje slobodnepovršine tečnosti.

Površinski napon

SA

ΔΔ

=γ

166

Površinski naponU zavisnosti od materijala sa kojim se graniči tečnost, razlikuju se slučajevikada tečnost kvasi (jače athezione sile), odnosno ne kvasi (jače kohezionesile) sud u kome se nalazi.

Kapilarnost je pojava da se tečnost u uskimkapilarnim cevima ne ponaša po principuspojenih sudova, već zauzima viši ili niži nivo uodnosu na nivo u spoljašnjem sudu.

167

Pritisak koji vrše gasovi atmosfere na sva tela na Zemlji naziva se atmosferski pritisak.

Toričelijev ogled →

Osobine gasova. Atmosferski pritisak

hgyygp ρ=−ρ= )( 120

U gasovima su međumolekulske sile slabe, a potencijalna energija kojateži da ih drži na okupu je manja od njihove kinetičke energije.

Nemaju stalan oblik ni zapreminu.

Pritisak u zatvorenim gasovima se prenosi podjednako u svim pravcima -važi Paskalov zakon.

I u gasovima deluje sila potiska, ali je ona, zbog njihove male gustine,relativno mala.

168

Atmosferski pritisak

Sa povećanjem nadmorske visine, atmosferski pritisak opada.

p0, ρ0 - pritisak i gustina vazduha na površini Zemlje.

Uz pretpostavku da se temperatura atmosfere ne menja sa visinom, može se izvesti tzv. barometarska formula:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ−=

0

00 exp

pghpp

169

Dinamika fluidaPod uticajem sile fluidi (tečnosti i gasovi) se kreću, a pravac i smerkretanja zavisi od smera i pravca delovanja sile i oblika prostora.Pojedini delovi fluida se mogu kretati različitim brzinama jedni u odnosuna druge.Strujna linija je zamišljena linija duž koje se kreću čestice fluida - krivalinija kod koje je tangenta u svakoj tački kolinearna sa vektorom brzine.Brzina čestica se duž strujne linije menja po intenzitetu i pravcu.Strujna cev je deo fluida ograničen strujnim linijama, a broj čestica unutarstrujne cevi je stalan.

170

Dinamika fluidaStacionarno kretanje je kretanje kod kojeg se raspored strujnih linija nemenja u toku vremena (brzina mala i nema prepreka na putu fluida) –brzina u svakoj tački ostaje konstantna u toku vremena.Turbulentno kretanje je složeno kretanje, u kome se formiraju vrtlozi (brzoproticanje i brze promene brzine delića fluida pri nailasku na prepreke).Idealni fluid je:- nestišljivi fluid (stalna gustina)- koji se kreće bez trenja (neviskozni fluid)- koji se kreće stacionarno (laminarno, slojevito)- koji se kreće bez vrtloga.U realnim fluidima uvek postoji trenje (posledica međumolekularnih sila).

171

Jednačina kontinuiteta.

tvSVtvSVΔ=Δ=

222

111

⇒= 21 VV 2211 vSvS =

← Jednačina kontinuitetaconst.=vS

Zbog osobine nestišljivosti, zapremine proteklog fluida na dva različitapreseka strujne cevi su jednake.

172

Jednačina kontinuiteta.U opštem, tj. realnom slučaju, kada je fluid stišljiv (ima različitu zapremi-nu, pa tako i gustinu u različitim delovima strujne cevi), uzima se da jemaseni protok fluida na dva različita preseka strujne cevi jednak (kolikamasa fluida prođe kroz jedan poprečni presek strujne cevi, tolika masa mora proći u jedinicivremena i kroz bilo koji drugi poprečni presek).

2222

1111 vS

tmvS

tm

ρ=ΔΔ

ρ=ΔΔ

⇒ΔΔ

=ΔΔ

tm

tm 21

222111 vSvS ρ=ρ

← Jednačina kontinuitetaconst.=ρ vS

Protok fluidaProtok fluida je protekla količina (zapremina) fluida kroz strujnu cev ujedinici vremena:

vStVQ == vS

tV

tmQm ρ=

ρ==

173

Strujanje tečnosti (fluida) je posledica delovanja spoljašnjih sila.Rad spoljašnjih sila menja kinetičku i potencijalnu energiju tečnosti.Neka je Δm masa potisnutog (nestišljivog) fluida za vreme Δt u bilo kom presekustrujne cevi:

12

21

22

22

mghmghE

vmvmE

p

k

Δ−Δ=Δ

Δ−

Δ=Δ

Bernulijeva jednačina

tvStvSm

mVV

Δρ=Δρ=Δ

ρΔ

==

2211

21

*Danijel Bernuli (1700-1782), švajcarski fizičar i matematičar.

174

VppVpVpSpSpFFA

mghvmmghvmE

)(

22

2122112221112211

1

21

2

22

−=−=−=−=Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ+

Δ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ+

Δ=Δ

llll

Bernulijeva jednačinaNa osnovu zakona održanja energije, promena ukupne energije fluida ΔEje jednaka radu spoljašnjih sila ΔA:

Znak "−" je zbog suprotnog smera sile F2 uodnosu na smer kretanja fluida.

Bernulijeva jednačina ↑2

22

21

21

1 22ghvpghvp ρ+

ρ+=ρ+

ρ+

const.2

2

=ρ+ρ

+ ghvp

Kod stacionarnog strujanja nestišljivog fluida zbir statičkog p,visinskog ρgh i dinamičkog ρv2/2 pritiska duž strujne cevi je stalan.Ili: suma pritiska p, kinetičke energije po jedinici zapremine ρv2/2 i potencijalneenergije po jedinici zapremine ρgh nestišljivog fluida ima konstantnu vrednost dužstrujne cevi.

VVV ≡= 21

175

Isticanje tečnosti kroz male otvore. Toričelijeva teorema.

gHv 2=

Toričelijeva teorema: brzina isticanja tečnosti iz širokog i otvorenog premaatmosferi suda kroz mali otvor, koji se nalazi na vertikalnom rastojanju Hod nivoa slobodne površine, jednaka je brzini slobodnog pada tela sa istevisine.

vv

vvv

hHh

ppp

≡

≈>>

==

≡=

2

112

21

021

0

0

22

22

0

21

0vpgHvp ρ

+=ρ+ρ

+

176

ViskoznostViskoznost je pojava unutrašnjeg trenja koje se javlja između slojevatečnosti pri laminarnom (slojevitom) kretanju.

η - koeficijent dinamičke viskoznosti (u [Pas])

zvSF

dd

η=

ν - koeficijent kinematičke viskoznosti (u [m2/s]).

Sa porastom temperature viskoznost tečnosti opada, a gasova raste.

ρη

=ν

Prema Njutnovom zakonu za viskoznost, silaviskoznog trenja F je srazmerna dodirnojpovršini između slojeva S, a obrnutosrazmerna gradijentu brzine dv/dz (promenabrzine duž pravca normalnog na brzinukretanja):