VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA SUBOTICA

mr. Rozgonji Endre

MEHANIKA drugi deo

KINEMATIKA

SUBOTICA, 2001. god.

SADRŽAJ

1. UVOD.................................................................................................................... 1 2. KINEMATIKA TAČKE..................................................................................... 2 2.1. Definisanje položaja tačke u prostoru................................................ 2 2.1.1.Vektorski postupak................................................................... 2 2.1.2. Analitički postupak.................................................................. 3 2.1.3. Prirodni postupak..................................................................... 5 2.2. Brzina tačke........................................................................................... 7 2.2.1. Vektor brzine tačke.................................................................. 7 2.2.2. Brzina tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu................. 8 2.2.3. Brzina tačke u prirodnom kooridnatnom sistemu.................... 9 2.2.4. Hodograf brzine.......................................................................10 2.3. Ubrzanje tačke...................................................................................... 11 2.3.1. Vektor ubrzanja........................................................................ 11 2.3.2. Ubrzanje tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu............. 12 2.3.3. Prirodni koordinatni sitem....................................................... 13 2.4. Posebni slučajevi kretanja tačke......................................................... 17 2.4.1. Jednoliko pravolinijsko kretanje tačke.................................... 17 2.4.2. Jednoliko krivolinijsko kretanje tačke..................................... 19 2.4.3. Jednako promenljivo pravolinijsko kretanje tačke.................. 19 2.4.3.1. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje tačke.......... 20 2.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje tačke........ 20 2.4.4. Jednako promenljivo krivolinijsko kretanje tačke................... 21 2.4.4.1. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje tačke........... 22 2.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje tačke......... 23 2.4.5. Kružno kretanje tačke.............................................................. 24 2.4.5.1. Jednoliko kružno kretanje tačke............................... 25 2.4.5.2. Jednako ubrzano kružno kretanje tačke.................... 26 2.4.5.3. Jednako usporeno kružno kretanje tačke.................. 27 2.4.6. Harmonijsko kretanje tačke..................................................... 28 3. KINEMATIKA KRUTOG TELA...................................................................... 36 3.1. Translatorno kretanje krutog tela...................................................... 36 3.2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose........................................... 39 3.2.1. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje............................................ 39 3.2.2. Posebni slučajevi obrtnog kretanja.......................................... 41 3.2.2.1. Ravnomerno (jednoliko) obrtanje............................. 41 3.2.2.2. Ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo) obrtanje.................................................................... 41 3.2.3. Brzine tačaka tela koje se obrće oko nepokretne ose.............. 42 3.2.4. Ubrzanja tačaka tela koje se obrće oko nepokretna ose.......... 43 3.3. Ravno kretanje krutog tela.................................................................. 47 3.3.1. Putanja tačaka tela pri ravnom kretanju................................... 48 3.3.2. Brzine tačaka tela koje vrši ravno kretanje.............................. 49 3.3.2.1. Teorema o projekcijama brzina................................ 51 3.3.3. Trenutni pol brzina................................................................... 52 3.3.4. Određivanje brzina tačaka pomoću trenutnog pola brzina...... 52 3.3.5. Posebni slučajevi određivanja trenutnog pola brzina.............. 53 3.3.5.1.Ravna figura koja se kotrlja bez klizanja po nepokretnoj površini drugog tela.............................. 53

3.3.5.2. Vektori brzina Avr i Bvr su paralelni, a prava AB koja spaja te tačke nije normalna na vektore bzina........... 54 3.3.5.3. Vektori brzina Avr i Bvr su paralelni, a prava AB koja spaja te tačke normalna je na vektore bzina.............. 54 3.3.6. Ubrzanja tačaka pri ravnom kretanju....................................... 58 4. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE TAČKE..................... 65 4.1. Jednačine kretanja................................................................................ 65 4.2. Trenutna ugaona brzina....................................................................... 69 4.3. Trenutno ugaono ubrzanje.................................................................. 70 5. OPŠTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TELA.................................. 76 5.1. Jednačine opšteg kretanja slobodnog krutog tela.............................. 76 5.2. Brzine tela koje vrši opšte kretanje..................................................... 76 5.3. Ubrzanje tela koje vrši opšte kretanje................................................ 77 6. SLOŽENO KRETANJE TAČKE...................................................................... 80 6.1. Relativno, prenosno i apsolutno kretanje tačke................................. 80 6.2. Apsolutna brzina tačke......................................................................... 80 6.3. Apsolutno ubrzanje tačke.................................................................... 84 6.3.1. Konstrukcija Koriolisovog ubrzanja........................................ 86 6.3.2. Primeri određivanja smera Koriolisovog ubrzanja.................. 87 6.3.3. Posebni slučajevi određivanja vektora prenosnog ubrzanja.... 87 6.3.4. Određivanje komponenata apsolutnog ubrzanja...................... 88 7. SLOŽENO KRETANJE KRUTOG TELA....................................................... 98 7.1. Apsolutna brzina tela............................................................................ 98 7.2. Apsolutno ubrzanje............................................................................... 99 7.3. Osnovni oblici složenog kretanja......................................................... 99 7.3.1. Translatorna kretanja............................................................... 99 7.3.2. Obrtanje oko paralelnih osa..................................................... 100 7.3.2.1. Slučaj kada su obrtanja tela usmerana u isom smeru 100 7.3.2.2. Slučaj kada su obrtanja tela usmerana u suprotnom smeru........................................................................ 101 7.4. Proračun planetarnih prenosnika....................................................... 103 8. LITERATURA..................................................................................................... 109

1. UVOD U uvodu prvog dela mehanike - statike izneti su osnovni zadaci mehanike, njen razvoj i podela na statiku, kinematiku i dinamiku. Kinematika proučava kretanja tela ne uzimajući u obzir uzroke (masu i sile) koji izazivaju kretanja. Ta kretanja tela pri zadatim geometrijskim uslovima proučavaju se u zavisnosti od vremena. Kinematika predstavlja uvod u dinamiku, jer definiše osnovne kinematske zavisnosti, koje su neophodne za proučavanje kretanja tela pod dejstvom sila. Kinematske metode međutim imaju i samostalan praktični značaj, pri proučavanju kretanja delova raznih mehanizama. Upravo zbog pojave ovih problema u mašinskoj tehnici, kinematika se izdvojila u samostalni deo mehanike u prvoj polovini 19. veka. Pod kretanjem se u mehanici podrazumeva promena položaja, koji jedno materijalno telo vrši u odnosu na drugo, u prostoru. Za definisanje položaja pokretne tačke, tela u odnosu na tu tačku ili tela prema kome se proučava kretanje, koristi se referentni koordinatni sistem, koji je čvrsto vezan za tačku ili telo u odnosu na koje se proučava kretanje. Ukoliko koordinate tačaka izabranog koordinatnog sistema za sve vreme kretanja ostaju konstantne, tada se telo u odnosu na taj koordinatni sistem nalazi u mirovanju. Međutim, ako se koordinate ma koje tačke tela menjaju tokom vremena, tada se u odnosu na referentni koordinatni sistem telo kreće. Prostor se u mehanici smatra trodimenzionalnim Euklidovim prostorom. Za jedinicu dužine (L) pri merenju rastojanja u ovom prostoru usvaja se metar [m]. Vreme (t) se u mehanici smatra univerzalnim, tj. da teče na isti način u svim koordinatnim sistemima. Za jedinicu vremena uzima se jedna sekunda [s]. Svi kinematički elementi, kao što su: put (trajektorija), brzina i ubrzanje izražavaju se pomoću ovih osnovnih jedinica. Na ovaj način definisan prostor i vreme izražavaju samo približno realne osobine prostora. Međutim, kako pokazuju razni eksperimenti, za realna kretanja koja se pojavljuju u svakodnevnom životu, a koja se vrše sa mnogo manjim brzinama od brzine prostiranja svetlosti, takvo približavanje je potpuno opravdano, jer za praktične primene daje potpuno zadovoljavajuću tačnost. Vreme u mehanici je pozitivna skalarna veličina, koja se neprekidno menja. U problemima kinematike vreme t se uzima za nezavisnu promenljivu veličinu. Sve ostale promenljive veličine u kinematici se posmatraju u funkciji vremena. Vreme se posmatra uvek od nekog početnog trenutka vremena (t=0), koje se utvrđuje u svakom konkretnom problemu. Svaki određeni trenutak vremena t definiše se brojem sekundi, računajući od početnog trenutka vremena. Svaka razlika između bilo koja dva uzastopna trenutka vremena tokom kretanja, zove se vremenski interval. U kinematici se sva razmatranja utvrđuju na osnovu praktičnih iskustava, dok se zaključci potvrđuju eksperimentima. Zbog toga, u kinematici nikakvi dopunski zakoni, ili aksiomi, za proučavanje kretanja nisu potrebni. Za definisanje kinematičkih karakteristika nekog kretanja, koje se želi proučiti, neophodno je da kretanja bude bilo kako definisano (zadato). Kinematički definisati kretanje ili zakon kretanja tela ili tačke, znači definisati položaj tog tela ili tačke u odnosu na dati referentni koordinatni sistem u bilo kojem trenutku vremena. Najvažniji zadatak kinematike je utvrđivanje matematičkih metoda za definisanje tog kretanja. Po najosnovnijoj podeli kinematika se deli na: - kinematiku tačke, - kinematiku krutog tela.

2. KINEMATIKA TAČKE

U kinematici tačke rešavaju se dva osnovna problema: 1. Ustanovlajavanje analitičkih postupaka za definisanje kretanja tačke u odnosu na utvrđeni koordinatni sistem. 2. Na osnovu zadatog zakona kretanja tačke, određivanje kinematičkih karakteristika kretanja tačke, kao što su: - trajektorija tačke, - brzina tačke, - ubrzanje tačke. Zamišljena neprekidna linija, koju opisuje pokretna tačka M u prostoru zove se putanja ili trajektorija tačke. Deo putanje između dva uzastopna položaja tačke M je pređeni put. Ukoliko je trajektorija prava linija, tačka vrši pravolinijsko kretanje, ako je pak kriva linija, tačka vrši krivolinijsko kretanje. Za definisanje kretanja tačke u prostoru primenjuju se najčešće sledeća tri postupka: 1. vektorski, 2. analitički (koordinatni), 3. prirodni postupak. 2.1. DEFINISANJE POLOŽAJA TAČKE U PROSTORU 2.1.1. VEKTORSKI POSTUPAK

Položaj tačke M u svakom trenutku vremena može se odrediti vektorom položaja rr u odnosu na početak O Dekartovog koordinatnog sistema, prema slici 2.1. Pošto je svaki vektor određen sa tri podatka, za definisanje položaja tačke M potrebno je poznavati intenzitet, pravac i smer vektora položaja rr . Pri kretanju tačke M menja se vektor rr i po pravcu i po intenzitetu sa vremenom i predstavlja vektorsku funkciju vremena t : )(trr rr

= . (2.1) Jednačina (2.1) predstavlja zakon kretanja tačke u vektorskom obliku. Pomoću ove jednačine moguća je

konstrukcija vektora rr u svakom trenutku vremena, i na taj način da se određuje položaj pokretne tačke. Geometrijsko mesto krajeva vektora rr određuje putanju tačke M. U posebnom slučaju, kada je rr = const tačka se nalazi u mirovanju. 2.1.2. ANALITIČKI POSTUPAK (KOORDINATNI)

Slika 2.1. Vektorski postupak

Koordinate tačke M su skalarni parametri (brojevi) čije vrednosti određuju položaj pokretne tačke. Skup ovih koordinata čini koordinatni sistem. Najčešće korišćen koordinatni sistem je pravougli Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije, koji se satoji od tri orijentisane ose Ox, Oy, Oz, koje prolaze kroz tačku O i ne leže u istoj ravni. Ako su te ose međusobno normalne, Dekartov koordinatni sistem je pravougli (ortoganalan). Ako smerovi osa odgovaraju palcu, kažiprstu i srednjem prstu desne ruke (sa dlanom naviše), koordinatni sistem je desne orijentacije. U ovom sistemu gledajući iz smera ose Oz, obrtanjem ose Ox u obrnutom smeru kretanja skazaljke na satu, dolazi do njenog poklapanja sa osom Oy. Jedinični vektori (ortovi) koordinatnih osa ),,( kji

rrr uzeti u istom smeru sa koordinatnim osama, čine jedinični trijedar, prema slici 2.1.

Projekcijom vektora položaja rr na ose Dekartovog koordinatnog sistema, položaj tačke M određen je sa tri broja x,y,z, koji predstavljaju algebarske projekcije vektora pokretne tačke na koordinatne ose prema: kzjyixr

rrrr⋅+⋅+⋅= . (2.2)

gde su: - kji

rrr,, jedinični vektori,

- x,y,z koordinate tačke M. Pošto se tačka kreće, sve tri koordinate se menjaju tokom vremena, pa jednačina (2.2) postaje: ktzjtyitxtr

rrrr⋅+⋅+⋅= )()()()( . (2.3)

Za poznavanje zakona kretanja tačke, tj.da bi se mogao odrediti u svakom trenutku vremena položaj tačke u prostoru, potrebno je poznavati promene koordinate tačke sa vremenom, definisane jednačinama:

).(),(),(

tzztyytxx

===

(2.4)

Jednačine (2.4) predstavljaju jednačine kretanja u analitičkom obliku, ili skalarni oblik parametarske jednačine putanje. U ovim jednačinama parametar je vreme t. Eliminacijom parametra t iz jednačina (2.4) dobija se jednačina linije putanje. U posebnom slučaju, pri kretanju tačke u ravni, kretanje će biti određeno sa samo dve jednačine kretanja, prema: ).(;)( tyytxx == (2.5) Primer 2.1. Kretanje tačke određeno je jednačinama (x,y - u metrima, t - u sekundama): .36,48 22 ttyttx −=−= Potrebno je odrediti liniju putanje tačke. Rešenje: Za određivanje putanje, potrebno je eliminisati parametar, tj. vreme t iz navedenih jednačina. Množenjem prve jednačine sa 3 , a druge sa 4, i oduzimanjem druge jednačine od prve, dobiće se:

043 =− yx , ili

xy43

= .

Na osnovu ove jednačine se vidi da je putanja prava linija, koja sa osom Ox zalkapa ugao a, pri čemu je 43=αtg (slika 2.2). Primer 2.2.

Kretanje tačke je dato sledećim jednačinama:

.t52sin10y,t

52cos10x ππ ==

Potrebno je odrediti liniju putanje. Rešenje: Iz gornjih jednačina potrebno je eliminisati vreme t. Deleći obe strane jednačina sa 10, zatim dizanjem na kvadrat i sabiranjem se dobija jednačina:

100yx 22 =+ .

Što predstavlja kružnu liniju sa poluprečnikom R=10. Primer 2.3. Kretanje tačke u ravni Oxy dato je vektorskom jednačinom oblika:

t2cosct2sinbr rrr+= .

Gde su vektori cib rr

vektori određeni koordinatama )4;3(c),3;2(b rr.

Odrediti liniju putanje. Rešenje: Gore navedeni vektori predstavljeni pomoću komponenata imaju oblike:

j4i3c;j3i2b;jyixrrrrrrrrrr⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= ,

gde su: - j,i

rrjedinični vektori koordinatnih osa.

Izjednačavajući vrednosti pored istih jediničnih vektora, kretanje je definisano sistemom jednačina:

t2cos4t2sin3y,t2cos3t2sin2x +=+= . Iz ovih jednačina potrebno je eliminisati vreme, izražavajući vrdenosti:

y2x3t2cos,x4y3t2sin −=−= . Dizanjem na kvadrat i sabiranjem jednačina, dobije se linija putanje u obliku:

01y13xy36x251)y2x3()x4y3( 2222 =−+−=−−+− .

Što predstavlja jednačinu elipse. Primer 2.4.

Slika 2.2. Ilustracija primera

2.1

Odrediti putanju sredine M klipne poluge klipnog mehanizma prema slici 2.3, ako je a2ABOA == , i ako pri okretanju krivaje

ugao ϕ u toku vremena raste proporcionalno vremenu: ϕ=ω⋅t. Rešenje: Za označene koordinatne ose prema slici 2.3. koordinate tačke M (x i y) iznosiće:

ϕϕϕ sinay,cosacosa2x ⋅=⋅+⋅= . Zamenom ugla ϕ sa njegovom vrednošću, jednačine kretanja tačke M iznosiće: tsinay,tcosa3x ⋅⋅=⋅⋅= ωω .

Za određivanje putanje tačke M jednačine kretanja se mogu napisati u obliku:

tsinay,tcos

a3x

⋅=⋅= ωω .

Dizanjem na kvadrat i sabiranjem ovih jednačina se dobije:

1ay

a9x

2

2

2

2

=+ .

Što predstavlja elipsu sa poluosama 3a i a. 2.1.3. PRIRODNI POSTUPAK Prirodni postupak definisanja kretanja tačke upotrebljava se u onim slučajevima, kada je putanja

tačke unapred poznata. Tako je za poznatu putanju l po kojoj se kreće tačka M, moguće odrediti položaj tačke tako, što se izabere početna tačka O za referentnu tačku, a putanja tačke se usvoji za krivolinijsku koordinatnu osu, prema slici 2.4. Krivolinijskom koordinatom OMs = , koja je jednaka rastojanju tačke M od referentne tačke O, određen je položaj tačke na putanji. Rastojanje s mereno na jednu stranu se usvaja za pozitivno, a na drugu stranu za negativno (kao i kod drugih "običnih" koordinatnih osa), što je potrebno kod referentne tačke obavezno i označiti. Krivolinijska koordinata s pri kretanju tačke M po putanji se menja tokom vremena, i biće neka funkcija vremena prema:

)t(ss = . (2.6) Jednačina (2.6) izražava zakon kretanja (zakon puta) tačke po putanji. Za određivanje kretanja tačke prirodnim postupkom, potrebno je poznavati: 1. putanju tačke, 2. početak koordinatnog sistema na putanji sa utvrđenim pozitivnim i negativnim smerom,

Slika 2.3. Ilustracija primera 2.3

Slika 2.4. Prirodni postupak

3.zakon kretanja tačke duž putanje oblika )t(ss = , gde rastojanje s određuje krivolinijsku koordinatu tačke. Krivolinijsku koordinatu )t(ss = treba razlikovati od pređenog puta tačke M po putanji, jer se krivolinijskom koordinatom određuje položaj tačke M na putanji u datom trenutku vremena od referentne tačke. 0M (početni položaj tačke), kada je vreme t=t0=0 (slika 2.4). Za proučavanje kretanja tačke po liniji često se primenjuje prirodni trijedar, koji će se izložiti u daljnjem.

U tački M putanje, prvo se nacrta tangenta sa jediničnim vektorom Tr

, zatim normala na tangentu sa jediničnim vektorom N

r, koja je

usmerena prema centru krivine trajektorije tačke. Ovi vektori formiraju ravan, koji se zove oskulatorna ravan (ravan koji se priljubljuje na krivu ds), prema slici 2.5. Treća koordinatna osa je normalna na oskulatorni ravan u tački M, sa jediničnim vektorom Br

. Navedeni jedinični vektori zovu se: T

r- tangenta,

Nr

- glavna normala, B

r- binormala.

Pravougli koordinatni sistem, konstruisan u pokretnoj tački M sa koordinatnim osama usmerenim duž tangente (T

r), glavne normale ( N

r) i binormale ( B

r), zove se prirodni trijedar. Koordinate koje

određuju položaj tačke na liniji u odnosu na ovaj sistem zovu se prirodne koordinate. Jedinični vektori T

r i N

r određuju oskulatornu ravan, jedinični vektori N

ri Br

određuju normalnu ravan, a vektori T

r i Br

definišu rektifikacionu (tangentnu) ravan (slika 2.5). Ovaj prirodni trijedar pri kretanju tačke kreće se zajedno sa njom, pa se i orijentacija osa trijedra stalno menja i svakom položaju tačke odgovara poseban prirodni trijedar. U ovom koordinatnom sistemu važe sledeće relacije: NTB

rrr×= - uslov normalnosti,

)s(rr rr

= - vektor položaja ma koje tačke na trajektoriji, je funkcija krivolinijske koordinate,

dsrdTrr

= - tangenta je izvod vektora položaja po krivolinijskoj koordinati s,

NR1NK

dsTd

k

rrr

⋅=⋅= - izvod tangente po koordinati s je jednak proizvodu krivine K i glavne

normale, ili proizvodu recipročne vrednosti poluprečnika krivine Rk i glavne normale.

Slika 2.5. Prirodni trijedar

2.2. BRZINA TAČKE 2.2.1. VEKTOR BRZINE TAČKE Brzina je jedna od osnovnih kinematičkih parametara kretanja tačke. Za pokretnu tačku M, koja se kreće po određenoj putanji u prostoru, položaj tačke u trenutku vremena t biće određen vektorom položaja )t(rr . U sledećem trenutku t1 = t+∆t, tačka će se nalaziti u položaju M1, određeno vektorom položaja rrr1

rrr ∆+= . Vektor rr∆ određuje pomeranje tačke za vremenski period t∆ i zove se vektor pomeranja tačke. Iz trougla OMM1 sa slike 2.6 vidi se da je vektor pomeranja tačke određen razlikom vektora položaja:

rrrMM 11

rrr ∆=−= . Odnos vektora pomeranja tačke prema odgovarajućem vremenskom intervalu određuje po intenzitetu, pravcu i smeru vektor srednje brzine i pokazuje kako se tokom vremena vrši pomeranje tačke M iz jednog položaja u drugi.

tr

tMM

v 1SR ∆

∆∆

rv == . (2.7)

Vektor srednje brzine ima isti pravac i isti smer sa

vektorom rr∆ u smeru kretanja, jer je vreme ∆t uvek pozitivna skalarna veličina (delenjem sa ∆t pravac vektora SRvr se ne menja, dok se menja samo intenzitet u poređenju sa intenzitetom vektora

rr∆ , slika 2.6). Ako se vremenski interval ∆t tako menja da teži nuli, dobije se vektor brzine vr tačke M u datom trenutku vremena:

trlimvlimv 0tSR0t ∆

∆∆∆

rrr

→→ == .

Granična vrednost odnosa t

r∆

∆r kada ∆t→0 predstavlja prvi izvod vektora rr∆ po vremenu t, koji

se označava sa:

rdtrd &rr= .

I na kraju, u konačnom obliku se dobije:

rdtrdv &rr

r== . (2.8)

Vektor brzine tačke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora položaja tačke po vremenu. Vektor brzine tačke u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na putanju i usmeren je u smeru kretanja. Osobine vektora brzine su:

Slika 2.6.Vektor brzine

1. Ako vektor brzine menja svoj pravac, kretanje je krivolinijsko. 2. Ako je konstantnog pravca, kretanje je pravolinijsko. 3. Ako je vektor brzine konstantnog intenziteta, kretanje je ravnomerno. 4. Ako se intenzitet vektora brzine menja sa vremenom, kretanje je promenljivo.

Dimenzija brzine je

sm .

2.2.2. BRZINA TAČKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU Položaj tačke M u Dekartovom koordinatnom sistemu određen je na osnovu jednačine (2.3) izrazom: k)t(zj)t(yi)t(x)t(r

rrrr⋅+⋅+⋅= .

Vektor brzine tačke je jednak prvom izvodu vektora položaja po vremenu i na osnovu (2.8) iznosi:

kvjvivkzjyixdtrdv zyx

rrrr&

r&

r&

rr

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅== .

Sa slike 2.7 se vidi da projekcije vektora brzine vr iznose:

zdtdzv,y

dtdyv,x

dtdxv zyx &&& ======

(2.9) Projekcije vektora brzine tačke na ose Dekartovog koordinatnog sistema jednake su prvim izvodima koordinata po vremenu. Za poznate projekcije brzine njen intenzitet se određuje po izrazu:

2222z

2y

2x zyxvvvvv &&&

r++=++== . (2.10)

Pravac vektora brzine definisan je uglovima α,β,γ, koje vektor vr zalkapa sa koordinatnim osama (slika 2.7). Kosinusi tih uglova su:

,zyx

zvv

cos)k,v(cos

,zyx

yv

vcos)j,v(cos

,zyx

xvv

cos)i,v(cos

222

z

222

y

222

x

&&&

&rr

&&&

&rr

&&&

&rr

++===∠

++===∠

++===∠

γ

β

α

. (2.11)

Slika 2.7. Projekcije brzine tačke

Za slučaj ravanskog kretanja z=0, izrazi (2.10 i 2.11.) imaju sledeće oblike: 22 yxv && += ,

v

vcos,

vv

cos yx == βα .

2.2.3. BRZINA TAČKE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU Zakon kretanja tačke u prirodnom koordinatnom sistemu, na osnovu (2.6) iznosi: )t(ss = . Vektor položaja tačke na trajektoriji je takođe poznat i ima oblik: )s(rr rr

= . Vektor brzine je po definiciji prvi izvod vektora položaja po vremenu i dat je u sledećem obliku:

dtds

dsrd

dtrdv ⋅==

rrr ,

dge su:

- prvi član dtrdr je jedinični vektor tangente na trajektoriju tj. T

r,

- drugi član dtds predstavlja izvod puta po vremenu tj. s& .

Vektor brzine ima oblik: Tsv

r&

r⋅= , ili

Tvv

rr⋅= . (2.12)

Intenzitet projekcije vektora brzine vr (brojčana vrednost brzine -v ) tačke, koja spada u pravac tangente na putanju, jednak je prvom izvodu krivolinijske koordinate po vremenu. Brzina ima znak + ili - u zavisnosti od smera kretanja tačke.

Ako je dtdsv = >0 (+), tačka se kreće u pozitivnom smeru (u stranu porasta krivolinijske

koordinate),

ako je dtdsv = <0 (-), tačka se kreće u negativnom smeru, prema slici 2.8.

Slika 2.8. Smer brzine

2.2.4. HODOGRAF BRZINE Brzina pokretne tačke menja se po vremenu i za proizvoljno krivolinijsko kretanje tačke M, za nekoliko položaja tačaka vektori brzine imaju određene veličine i pravce. Ako se svi vektori brzina prenesu u zajedničku tačku Ov prema slici 2.9, tada geometrijsko mesto krajeva vektora brzina određuju krivu, koja se zove hodograf vektora brzine pokretne tečke.

Primer 2.5. Odrediti brzinu tačke za kretanje iz primera 2.1. Rešenje: Komponente brzine tačke se određuju kao prvi izvodi odgovarajućih koordinata tačaka po vremenu prema:

( ) ( )t16ydtdyv,t18x

dtdxv yx −===−=== && ,

a ukupna brzina prema: )t1(10yxv 22 −=+= && [m/s]. Vektor brzine vr usmeren je niz putanju, tj.liniju AB (slika 2.2). Projekcije brzine su u vremenskom intervalu 0< t < 1 pozitivne, prema tome u tom vremenskom intervalu brzina je usmerena od tačke O ka tački B. U trenutku vremena t = 0 v = 10 [m/s], a u trenutku t = 1[s] v = 0. Pri daljem kretanju tačke, kada je t>1 [s], obe projekcije brzine su negativne, što znači, da je brzina usmerena od B ka A. Na kraju, može da se primeti i to, da je u trenutku t = 0 [s] x = 0 i y = 0; u trenutku t = 1 [s] x = 4, y = 3 (tačka B); u trenutku t = 2 [s] x = 0, y = 0; za t> 2 [s] veličine x i y se povećavaju po apsolutnoj vrednosti i ostaju za sve vreme kretanja negativne. Jednačine date u uslovu primera 2.1, pokazuju tok kretanja tačke. Kretanje počinje iz tačke O početnom brzinom v0 = 10 [m/s] i vrši se duž prave AB, koja zaklapa sa osom Ox ugao α . Na delu puta OB tačka stigne za jednu sekundu u položaj B (4,3), u kom položaju je brzina tačke jednaka nuli. Od ovog trenutka tačka se kreće u suprotnu stranu. U trenutku t = 2 [s] tačka se ponovo nalazi na koordinatnom početku i nastavlja da se kreće duž prave OA. Primer 2.6. Odrediti hodograf brzine za kretanje iz primera 2.2. Rešenje: Komponente brzina su:

Slika 2.9. Hodograf brzine

x5

2t52cos4y,y5

2t52sin4x ⋅=⋅=⋅−=⋅−= ππππππ && .

Intenzitet brzine je: π4yxv 2

2 =+= && . Ukoliko se iz gornjih jednačina ( x& i y& ) eliminiše vreme t dobiće se hodograf brzine. Odmah se vidi, da je hodograf brzine kružna linija poluprečnika 4π, sa polom koji se poklapa sa središtem putanje. Primer 2.7. Odrediti brzinu sredine M klipne poluge iz primera 2.4. Rešenje: Komponente brzine tačke M su: tcosayv,tsina3xv yx ⋅⋅==⋅⋅−== ωωωω && . Intenzitet brzine je jednak: tcostsin9av 22 ⋅+⋅⋅= ωωω . Brzina je promenljiva veličina, koja se u toku vremena menja u granicama od vmin=aω do vmaks=3aω.. 2.3. UBRZANJE TAČKE 2.3.1. VEKTOR UBRZANJA Ubrzanje tačke pri proizvoljnom krivolinijskom kretanju karakteriše promenu intenziteta i pravca vektora brzine u toku vremena. Neka se u trenutku vremena t tačka nalazi u položaju M i ima brzinu vr , u trenutku t+∆t se nalazi u

položaju M1 sa brzinom vv rr ∆+ , gde vr∆ karakteriše promenu vektora brzine (slika 2.10). Deleći priraštaj brzine vr∆ sa vremenskim intervalom ∆t, njihov odnos određuje vektor srednjeg ubrzanja tačke za dati vremenski interval:

tvaSR ∆

∆rr= . (2.13)

Vektor vr∆ se najjednostavnije

određuje konstrukcijom paralelograma vektora vr i vv rr ∆+ , kako je to prikazano na slici 2.10. Povlačeći vektore vr i vv rr ∆+ iz zajedničke tačke O1, zbir vektora vr i vr∆ definisaće vektor

vv rr ∆+ tj. dijagonalu paralelograma, koja je ujedno i vektor brzine u tački M1.

Slika 2.10. Vektor ubrzanja

Vektor vr∆ je uvek usmeren u konkavnu (izdubljenu) stranu putanje. Vektor srednjeg ubrzanja takođe ima isti pravac kao i vektor vr∆ i usmeren je u konkavnu stranu trajektorije. Ubrzanje tačke u datom trenutku vremena t je vektorska veličina ar kojoj teži vektor srednjeg ubrzanja SRar kada vremenski interval ∆t teži nuli:

dtvd

tvlimalima 0tSR0t

rrrr

=== →→ ∆∆

∆∆ , ili

rdt

rdvdtvda 2

2&&r

r&r

rr

==== . (2.14)

Vektor ubrzanja ar tačke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine po vremenu ili drugom izvodu vektora položaja tačke po vremenu. Vektor ubrzanja karakteriše promenu vektora brzine tokom vremena po intenzitetu i pravcu. Bitno je odrediti kakav položaj zauzima vektor ubrzanja ar u odnosu na putanju tačke. Položaj vektora ar , ako je putanje tačke ravna kriva linija (tačka se stalno kreće u istoj ravni), tada vektor ubrzanja ar , (kao i vektor srednjeg ubrzanja SRar ) leži u ravni krive i usmeren je u konkavnu stranu te krive. Ako je putanje tačke prostorna kriva linija, tj. ne leži u jednoj ravni, tada će vektor srednjeg ubrzanja SRar biti usmeren u konkavnu stranu putanje i ležaće u ravni, koja prolazi kroz tangentu u tački M i pravu, koja je paralelna tangenti u susednoj tački M1, prema prikazu na slici 2.10. U graničnom slučaju, kada se tačke M i M1 poklapaju, ravan će zauzeti položaj koji se priljubljuje uz krivu, koja za prostorne krive linije definiše oskulatornu ravan. Prema tome, u opštem slučaju vektor ubrzanja ar leži u oskulatornoj ravni i usmeren je u konkavnu stranu putanje.

Dimenzija ubrzanja je

2sm .

2.3.2. UBRZANJE TAČKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU U vektorskim jednačinama koje sadrže izvode, prelaz od zavisnosti između vektora na zavisnost između njihovih projekcija može se izvesti korišćenjem teoreme koja glasi: projekcija izvoda na bilo koju nepomičnu osu jednaka je izvodu projekcije vektora na istu osu. Vektor položaja tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu prema (2.2) iznosi: kzjyixr

rrrr⋅+⋅+⋅= .

Vektor brzine iste tačke na osnovu (2.8) definisan je:

dtrdvr

r= .

Vektor ubrzanja dat je zavisnošću (2.14) prema:

dtvdar

r= ,

i na osnovu teoreme o projekciji izvoda vektora može se napisati:

kzjyix)kzjyix(dtda

r&&

r&&

r&&

r&

r&

r&

r⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅= ,

ili kajaiaa zyx

rrrr⋅+⋅+⋅= ,

gde su:

zdt

zddt

dva,y

dtyd

dtdv

a,xdt

xddt

dva 2

2z

z2

2y

y2

2x

x &&&&&& ========= . (2.15)

Projekcije vektora ubrzanja na ose Dekartovog koordinarnog sistema jednake su drugim

izvodima koordinata pokretne tače po vremenu. Intenzitet vektora ubrzanja na osnovu slike 2.11 određuje se prema:

2222z

2y

2x zyxaaaa &&&&&& ++=++= .(2.16)

Pravac vektora ubrzanja definiše se uglovima, koje vektor ubrzanja zaklapa sa koordinatnim osama. Kosinusi ovih uglova se određuju prema:

.zyx

zaa

cos

,zyx

ya

acos

,zyx

xaa

cos

222

za

222

ya

222

xa

&&&&&&

&&

&&&&&&

&&

&&&&&&

&&

++==

++==

++==

γ

β

α

. (2.17)

Ako je kretanje definisano u Dekartovom koordinatnom sistemu jednačinama (2.2) i (2.3), tada se brzina tačke određuje prema obrascima (2.9) i (2.10) a ubrzanje prema (2.15) i (2.16). Ukoliko se kretanje tačke vrši u ravni u navedenim jednačinama treća projekcija otpada, jer je koordinata z=0. 2.3.3. PRIRODNI KOORDINATNI SISTEM Po definiciji vektor ubrzanja može se napisati:

dtvdar

r= .

Vektor brzine tačke u prirodnom koordinatnom sistemu definisan je na osnovu (2.12) i vektor ubrzanja postaje:

TsTs)Ts(dtda &r&

r&&

r&

r⋅+⋅=⋅= .

Kao što se vidi vektor ubrzanje tačke određen je vektorskim zbirom dve komponente ubrzanja.

Slika 2.11. Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom

sistemu

Izvod vektora tangente Tr

može da se transformiše na sledeći način (množeći brojitelj i imenitelj sa ds):

sRN

dtds

dsTd

dsds

dtTd

dtTd

K

&

rrrr

⋅=⋅=⋅= ,

gde su: - N

rglavna normala,

- Rk poluprečnik krivine - s& brzina kretanja tačke. Drugi izvod krivolinijske koordinate po vremenu je:

dtdv)s(

dtds == &&& .

I na osnovu gore navedenog, vektor ubrzanja postaje:

NRsT

dtdv

RNssT

dtdva

K

2

K

r&rr

&&rr

⋅+⋅=⋅+⋅= . (2.18)

Ubrzanje tačke je određeno vektorskim zbirom dveju komponenata, od kojih je jedna usmerena duž tangente a druga duž glavne normale. Pošto jedinični vektori tangente i glavne normale definišu oskulatornu ravan sledi, da vektor ubrzanja uvek leži u oskulatornoj ravni.

Komponente ubrzanja kako je prikazano na slici 2.12. su:

Tdtdvat

rr⋅= - zove se tangencijalno

ubrzanje,

NRsa

K

2

n

r&r⋅= - zove se normalno

ubrzanje. Vektorski zbir ovih komponenti daje vektor ubrzanje tačke:

NaTaa nt

rrr⋅+⋅= . (2.19)

Projektovanjem vektora ubrzanja na ose prirodnog trijedra, tj. komponente ubrzanja su:

s)s(dtd

dtdvat &&& === . (2.20)

Projekcija vektora ubrzanja na tangentu tj. tangencijalno ubrzanje karakteriše promenu brzine po intenzitetu i jednako je prvom izvodu projekcije brzine na pravac tangente (brojčane - algebarske veličine brzine) ili drugom izvodu krivolinijske koordinate (rastojanja) po vremenu.

Slika 2.12. Prirodne komponente ubrzanja

K

2

K

2

n Rv

Rsa ==&

. (2.21)

Projekcija vektora ubrzanja na glavnu normalu tj. normalno ubrzanje karakteriše promenu pravca vektora brzine, jednako je količniku kvadrata brzine i poluprečnika krivine putanje u datoj tački krive i usmereno je u konkavnu stranu putanje ka centru krivine. Pošto se ubrzanje tačke nalazi u oskulatornoj ravni, treća komponenta projekcije ubrzanja je: 0aB = . Ovaj rezultat izražava jednu od veoma značajnih teorema u kinematici tačke.

Ukoliko se nanesu komponente vektora tar i

nar vektora ubrzanja

duž tangente Tr

i glavne normale N

r,

koje su po veličini (brojčano) jednake at i an prema slici 2.13, komponenta

nar će uvek biti usmerena prema konkavnoj strani krive (veličina an je uvek pozitivna), dok komponenta tar

može biti usmerena ili prema pozitivnom, ili prema negativnom smeru tangente Tr

u zavisnosti od znaka projekcije at . Ukoliko je: 0at > kretanje je ubrzano, 0at < kretanje je usporeno. Intenzitet ubrzanja, pošto su komponente međusobno normalne iznosi:

2

K

222n

2t R

vdtdvaaa

+

=+= . (2.22)

Položaj ubrzanja definisan je uglom αn u odnosu na glavnu normalu, koji je dat izrazom:

n

tn a

atg =α . (2.23)

Ako je kretanje tačke definisano u prirodnim koordinatama, poznavajući zakon putanje (2.6) što podrazumeva i poznavanje poluprečnika krivine u bilo kojoj tački, korišćenjem formula (2.8) i (2.18) do (2.23), mogu biti određeni vektor brzinii vektor ubrzanja u bilo kom trenutku vremena. Primer 2.8.

Slika 2.13. Smer tangencijalnog ubrzanja

Odrediti ubrzanje tačke iz primera 2.1. Rešenje: Komponente ubrzanja tačke se određuju po formuli (2.15) i iznose:

6ydt

yda,8xdt

xda 2

2

y2

2

x −===−=== &&&& ,

ubrzanje iznosi:

( ) ( )

=−+−=+= 2

222y

2x s

m1068aaa .

Ubrzanje tačke za razliku od brzine koja se menja po određenom zakonu, je konstantno i iznosi 10 [m/s2]. Primer 2.9. Odrediti ubrzanje tačke iz primera 2.4. Rešenje: Komponente ubrzanja tačke M iznose: 22

y22

x ytsinaya,xtcosa3xa ωωωωωω −=⋅−==−=⋅−== &&&& , ubrzanje tačke: ( ) 2224 ryxa ωω =+= , gde r predstavlja dužinu OM tj. vektor položaja tačke M. Veličina ubrzanja tačke se menja proporcionalno njenom rastojanju od centra elipse. Za određivanje smera vektora ubrzanja ar koristiće se izrazi (2.17):

ry

ay

aa

cos,rx

ax

aa

cos ya

xa −===−===

&&&&βα .

Ubrzanje tačke M za sve vreme kretanja usmereno je duž prave OM prema centru elipse. Primer 2.10.

Teret klatna za male oscilacije kreće se po krugu poluprećnika l prema slici 2.14. Zakon kretanja je s=Csinω⋅t za koordinatni početak u tački O, pri čemu su veličine C i ω konstante. Odrediti brzinu, tangencijalno i normalno ubrzanje tereta i one položaje u kojima ove veličine postaju nula. Rešenje: Tražene veličine se određuju pomoću odgovarajućih formula i iznose:

Slika 2.14. Ilustracija primera 2.10.

.tcosl

Cl

va

,tsinCdtdva

,tcosCdtdsv

2222

n

2t

⋅==

⋅−==

⋅==

ωω

ωω

ωω

Na osnovu zakona kretanja se vidi da teret vrši duž puta harmonijsku oscilaciju sa amplitudom C. U krajnjim tačkama A i B je sinω⋅t=± 1, pa je zato cosω⋅t=0. U ovim tačkama (tačke A i B) brzina i normalno ubrzanje postaju nula, ali u ovim položajima tangencijalno ubrzanje ima najveću vrednost koje iznosi atmaks=Cω2. Kada teret prolazi kroz koordinatni početak O, biće s=0, pa je sinω⋅t=0 a cosω⋅t=1. U ovom položaju je at=0, a v i an imaju maksimalne vrednosti:

l

Ca,Cv22

nmaksmaksωω == .

U ovom primeru se vidi da pri krivolinijskom neravnomernom kretanju u pojedinim tačkama putanje ubrzanja at i an mugu da budu jednaka nuli. Tangencijalno ubrzanje at=0 u onim tačkama u

kojima je 0dtdv

= , tj. tamo, gde v ima maksimum ili minimum. Normalno ubrzanje an=0 je u onim

tačkama gde je v=0 ili gde je RK=∞ - prevojna tačka putanje. 2.4. POSEBNI SLUČAJEVI KRETANJA TAČKE 2.4.1. JEDNOLIKO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE Pravolinijsko kretanje tačke može se smatrati specijalnim slučajem krivolinijskog kretanja, kad

važi da je Rk=∞, pa je normalno ubrzanje 0Rva

k

2

n == .

Ukoliko je kretanje jednoliko, brzina tačke je stalna (konstantna) pa važi, da je:

0a0

dtdva

constvv

t

0

=⇒

==

==. (2.24)

Potrebno je naglasiti, da je samo u slučaju jednolikog pravolinijskog kretanja ubrzanje jednako nuli.

Pravolinijsko kretanje tačke prikazano ja na slici 2.15. Ukoliko je poznata brzina tačke v, koja je jednolika:

,ivvv

,constvvs

00

0rrr

&

⋅==

===

tada se zakon kretanja tačke određuje:

,vdtds

0=

Slika 2.15. Pravolinijsko kretanje tačke

dtvds 0 ⋅= . Integriranjem obe strane jednačine se dobije: ∫ ∫ +⋅=⇒⋅= Ctvsdtvds 00 ,

integraciona konsranta C se određuje iz početnih uslova koji su: 00 sCss0tza =⇒== , pa konačno, zakon puta ima oblik: tvss 00 ⋅+= . (2.25) Veličina pređenog puta, koju tačka prelazi od početnog položaja prema slici 2.15. (s-s0=x) biće: tvx 0 ⋅= Brzina tačke je određena izrazom:

txvv0 == .

Kinematičke veličine se grafički predstavljaju kinematičkim dijagramima. Ovi dijagrami se crtaju u Dekartovom koordinatnom sistemu tako, što se na apscisu nanosi vreme (t) a na ordinatu određena kinematička veličina. Osnovni kinematički dijagrami su : a) Dijagram puta i vremena (x;t) dijagram, b) Dijagram brzine i vremana (v;t) dijagram, c) Dijagram ubrzanja i vremena (a;t) dijagram. Odgovarajući kinematički dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici 2.16. Dijagram pod a) predstavlja dijagram puta i vremena, koji je jedna prava linija pod uglom α u odnosu na apscisu. Dijagram pod b) predstavlja dijagram brzine i vremena, koji je jedna paralelna linija sa apscisom. Dok dijagram pod c) predstavlja dijagram ubrzanja i vremena, koji je sama osa apscise, jer je ubrzanje a=0.

Slika 2.16. Kinematički dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja

2.4.2 JEDNOLIKO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE Osnovna karakteristika jednolikog krivolinijskog kretanja tačke je stalna veličina brzine kretanja tj.:

K

2

nt

0

Rvaa

0dtdva

,constsv==⇒

==

== &. (2.26)

Ukupno ubrzanje kretanja je jednako normalnoj komponenti ubrzanja. Vektor ubrzanja ar je za sve vreme kretanja usmeren u pravcu glavne normale na putanju, kako je to prikazano na slici 2.17. Zakon kretanja se određuje na osnovu poznate brzine kretanja:

0vdtds

= ,

dtvds 0 ⋅= . Integrirajući obe strane jednačine se dobije: ∫ ∫ +⋅=⇒⋅= Ctvsdtvds 00 ,

integraciona konstanta se određuje na osnovu početnih uslova, tako da se u početku kretanja (t=0) tačka nalazila na udaljenju s0 : 0sC = , zakon puta ima oblik: tvss 00 ⋅+= . (2.27) Bitno je još jednom da se naglasi, da ubrzanje nije jednako nuli, već je jednako normalnom ubrzanju koje karakteriše promenu pravca vektora brzine pokretne tačke. 2.4.3. JEDNAKO PROMENLJIVO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE Karakteristika jednako promenljivog pravolinijskog kretanja je, da je ubrzanje kretanja konstantno: consta = . (2.28) Pri tome se razlikuju dva slučaja. Ukoliko je ubrzanje veće od nule (a>0) i ima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je ubrzanje negativan (a<0) kretanje je jednako usporeno.

Slika 2.17. Krivolinijsko kretanje tačke

2.4.3.1. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje tačke Kako je već ranije navedeno, ubrzanje jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja je konstantna i pozitivno:

0constxa >== && . (2.29) Vektor ubrzanja ar i vektor brzine vr imaju iste smerove, kako je to prikazano na slici 2.18. Zakon brzine se dobija integriranjem jednačine (2.29) u odgovarajućim granicama:

∫ ∫=⇒⋅=⇒= dtaxddtxxddtxdx &&&&&

&& ,

tavx 0 ⋅+=& . (2.30) Brzina pri ovom kretanju raste proporcionalno sa vremenom (ravnomerno) i ima isti smer sa ubrzanjem. Jednačina (2.30) može da se napiše u obliku:

dtatdtvdxtavdtdxx 00 ⋅+⋅=⇒⋅+==& .

Drugom integracijom jednačine (2.30) se dobije zakon puta jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja:

2tatvxx

2

00⋅

+⋅+= . (2.31)

Iz jednaćine se vidi, da put raste sa kvadratom vremena.

Kinematički dijagrami jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici 2.19. 2.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje tačke Ubrzanje pri ovom kretanju je takođe konstantno, ali ima negativan znak:

0constxa <== && . (2.32) Vektor ubrzanja ar ima suprotan smer u odnosu na vektor brzine vr , kako je to prikazano na slici 2.20.

Slika 2.18. Jednako ubrzano

pravolinijsko kretanje

Slika 2.19. Kinematički dijagrami jednako ubrzanog

pravolinijskog kretanja

Slika 2.20. Jednako usporeno

pravolinijsko kretanje

Zakon brzine se dobija integriranjem jednačine (2.32) u odgovarajućim granicama: tavxv 0 ⋅−== & . (2.33) Brzina pri ovom kretanju stalno opada po linearnom zakonu sa vremenom, tj jednako usporeno kretanje uvek mora imati početnu brzinu. Drugom integracijom jednačine (2.33) se dobije zakon puta jednako usporenog pravolinijskog kretanja oblika:

2tatvxx

2

00⋅

−⋅+= . (2.34)

Pošto brzina stalno opada tokom vremena, postoji vremenski trenutak (t1) kada brzina postaje

jednaka nuli, kao što je prikazano na kinematičkom dijagramu brzine slika 2.21: 0vttza 1 == , pa sledi:

av

t0tavv 0110 =⇒=⋅−= .

Ukoliko se kretanje nastavlja, ona ima suprotan smer. U vremenskom trenutku t1 dijagram puta ima ekstremnu vrednost. Uvrštavajući vrednost za t1 u jednačinu (2.34) dobija se ekstremna veličina puta pri kretanju (x1):

200

00

21

1001 av

a21

av

vx2ta

tvxx

⋅⋅−⋅+=

⋅−⋅+=

te vrednost za x1 iznosi:

a2

vxx

20

01 += .

Prikazujući kinematički dijagram puta (slika 2.21) vidi se da se u početku kretanja tačka nalazila na

rastojanju x0 i udaljava se sve do veličine puta x1, koju dostiže u vremenskom trenutku t1, gde ima ekstremnu vrednost. Pri daljem kretanju, tačka menja smer kretanja (brzina postaje negativna) i kretanje se nastavlja u suprotnom smeru. 2.4.4. JEDNAKO PROMENLJIVO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE Pri krivolinijskom kretanju ubrzanje karakteriše promenu intenziteta i pravca vektora brzine u toku vremena za razliku od pravolinijskog kretanja, gde postoji samo jedno ubrzanje, jer je pravac kretanja prava linija (an=0). Pri krivolinijskom kretanju tangencijalno ubrzanje karakteriše promenu intenziteta brzine tačke, a normalno ubrzanje karakteriše promenu pravca brzine tačke.

Slika 2.21. Kinematički dijagrami jednako

usporenog pravolinijskog kretanja

Za slučaj jednako promenljivog krivolinijskog kretanja, (slično kao i u slučaju jednako promenljivog pravolinijskog kretanja) za sve vreme kretanja ubrzanje je konstantno. Pri čemu se za slučaj krivolinijskog kretanja to odnosi na tangencijalno ubrzanje. Prema tome krivolinijsko kretanje tačke je jednako promenljivo, ako je za sve vreme kretanja tangencionalno ubrzanje konstantno:

constsdtdvat === && . (2.35)

I ovde se razlikuju dva slučaja. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje veće od nule (at>0) i ubrzanje ima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje negativan (at<0) kretanje je jednako usporeno. 2.4.4.1. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje tačke

Osnovna karakteristika ovog kretanja je konstantno, pozitivno tangencijalno ubrzanje:

0constsdtdvat >=== && . (2.36)

Vektor ubrzanja tar i vektor brzine vr imaju iste smerove, kako je to prikazano na slici 2.22.

Zakon brzine se dobija integriranjem jednačine (2.36) prema:

dtsdvsadtdv

t ⋅=⇒== &&&& .

Integriranjem leve i desne strane jednačine u odgovarajućim granicama (za t=0, put s=s0, a brzina v=v0) se dobija zakon brzine: tavs t0 ⋅+=& . (2.37) Još jednim integriranjem jednačine (3.37) se dobije zakon puta jednako ubrzanog krivolinijskog kretanja, sledećeg oblika:

2

tatvss

2t

00⋅

+⋅+= . (2.38)

Normalno ubrzanje određeno je izrazom:

( )

K

2t0

K

2

n Rtav

Rsa

⋅+==

&. (2.39)

slika 2.22. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje

Vektor ubrzanja ar jednak je vektorskom zbiru vektora tangencijalnog tar i vektora normalnog ubrzanja nar . Pošto su vektori tangencijalnog ubrzanja tar i vektora brzine vr istog znaka, ugao između ovih vektor biće oštar (slika 2.22). 2.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje tačke

Karakteristika kretanja je konstantno tangencijalno ubrzanje koje je manje od nule (negativno): 0constsat <== && . (2.40) Vektor tangencijalnog ubrzanja tar i vektor brzine vr imaju različite smerove, prema slici 2.23. Zakon brzine nakon integriranja jednačine (2.40) ima oblik:

tavs t0 ⋅−=& . (2.41) Zakon puta, posle ponovnog integriranja:

2

tatvss

2t

00⋅

−⋅+= . (2.42)

Normalno ubrzanje:

( )

K

2t0

n Rtav

a⋅−

= . (2.43)

Vektor ubrzanja ar jednak je vektorskom zbiru vektora tangencijalnog tar i vektora normalnog ubrzanja nar . Pošto su vektori tangencijalnog ubrzanja tar i vektora brzine vr različitog znaka, ugao između ovih vektor biće tup (slika 2.23). Izrazi (2.37), (2.38), (2.41) i (2.42) se razlikuju od odgovarajućih izraza (2.30), (2.31), (2.33) i (2.34) pravolinijskog kretanja po tome, što u njima umesto ukupnog ubrzanja a figuriše tangencijalno ubrzanje at i umesto pravolinijske koordinate x stoji krivolinijska koordinata s. Prema tome kinematički dijagrami oba kretanja imaju iste oblike. Još jednom rezimirajući razliku između jednolikog pravolinijskog i jednolikog krivolinijskog kretanja tačke, sastoji se u sledećem: - pri jednolikom pravolinijskom kretanju ukupno ubrzanje tačke je jednako nuli, - pri jednolikom krivolinijskom kretanju ukupno ubrzanje je jednako normalnom ubrzanju. Isto tako postoje razlike i pri jednako promenljivom pravolinijskom i jednako promenljivom krivolinijskom kretanju tačke, koje su: - pri jednako promenljivom pravolinijskom kretanju ubrzanje je konstantno (pizitivno ili negativno) i jednako je tangencijalnoj komponenti ubrzanja,

Slika 2.23. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje

- pri jednako promenljivom krivolinijskom kretanju ubrzanje je takođe konstantno ali je određeno vektorskim zbirom dveju komponenti ubrzanja - tangencijalnom i normalnom:

2n

2t aaa += .

2.4.5. KRUŽNO KRETANJE TAČKE U slučaju da se tačka kreće takvim kretanjem, pri kojem postoje obe komponente ubrzanja (at i an) tj. kretanje je krivolinijsko, pri čemu poluprečnik krivine RK ima konstantnu vrednost, tada se tačka M kreće po kružnoj putanji, prema slici 2.24. Dakle osnovni pokazatelji kružnog kretaja su:

constR,0Rva,0

dtdva k

K

2

nt =≠=≠= .

Put tačke (slika 2.24) može da se izrazi u funkciji ugla pomeranja ϕ i poluprečnika putanje RK (poluprečnika onog kruga po kojem se tačka kreće) prema: ϕ⋅= Rs . (2.44) Ukoliko je poznat zakon promene ugla ϕ po vremenu tj. zakon kretanja ϕ =ϕ(t), brzina kretanja je definisana izrazom: ϕ&& ⋅== Rsv . (2.45) Brzina definisan izrazom (2.45) se zove obimna brzina kružnog kretanja, čiji vektor vr pada u pravac tangente na putanju. Izvod ugla po vremenu (ϕ& ) se zove ugaona brzina kružnog kretanja i obeležava se sa ω (ω =ϕ& ).

Komponente ubrzanja se definišu po poznatim izratima (2.20) i (2.21), pa tangencijalno ubrzanje kružnog kretanja ima oblik: ϕ&&&& ⋅== Rsat . (2.46) Gde se drugi izvod ugla po vremenu (ϕ&& )zove ugaono ubrzanje kružnog kretanja i obeležava se sa ε (ε=ϕ&& ). Normalno ubrzanje kružnog kretanja definisano je izrazom:

K

2

n Rsa&

= ,

uzimajući u obzir izraz (2.45) normalno ubrzanje postaje:

R

Ra22

nϕ&⋅

= ,

Slika 2.24. Kružno kretanje

ili u konačnom obliku: 2

n Ra ϕ&⋅= . (2.47) Ukupna vrednost ubrzanja se određuje kao vektorski zbir komponenti, prema: nt aaa += , i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

42Ra ϕϕ &&& +⋅= . (2.48) Pravac ubrzanja je definisan uglom αn u odnosu na pravac normalne komponente ubrzanja (slika 2.24), koji iznosi:

n

tn a

atg =α ,

i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

2n RRtgϕϕα&

&&

⋅⋅

= ,

ili u konačnom obliku:

2ntgϕϕα&

&&= . (2.49)

U zavisnosti od karaktera ugaone brzine (ω) i tangencijalnog ubrzanja, odnosno ugaonog ubrzanja (ε) kružno kretanje može imati oblik jednolikog (ravnomernog) kružnog kretanja ili neravnomernog (jednako ubrzanog ili jednako usporenog) kružnog kretanja. 2.4.5.1. Jednoliko kružno kretanje tačke

Kružno kretanje se naziva jednolikim ako je brzina kretanja (obimna brzina) konstantna ( constsv == & ). Pošto je poluprečnik R konstantan, na osnovu (2.45) može se zaključiti da je i

ugaona brzina (ω) konstantna veličina (slika 2.25). Ugaona brzina jednolikog kružnog kretanja zove se još i kružna frekvencija. Tangencijalno ubrzanje zbog konstantnosti brzine kretanja i na osnovu (2.46) je jednako nuli. Dakle osnovne karakteristike jednolikog kružnog kretanja su:

0a,const

t ==ω

. (2.50)

Ugaona brzina kretanja po definiciji ima oblik:

dtdϕϕω == & ,

ili dtd ⋅=ωϕ . Iz ove jednačine, smatrajući da je u trenutku t = 0, ugao ϕ = ϕ0, integriranjem leve i desne strane, uzimajući u obzir početne uslove kretanja, dobije se zakon puta oblika:

( )tRs

ilit

0

0

⋅+=

⋅+=

ωϕ

ωϕϕ. (2.51)

U slučaju da tačka obiđe ceo krug (ϕ = 2π), može se napisati: T2 ⋅=ωπ ,

gde je ωπ2T = vreme obilaska punog kruga.

Normalno ubrzanje na osnovu (2.47) i (2.50) ima oblik: constRa 2

n =⋅= ω . (2.52) 2.4.5.2. Jednako ubrzano kružno kretanje tačke Kružno kretanje je jednako ubrzano, ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i pozitivno: 0constRsat >=⋅== ϕ&&&& . (2.53) Na osnovu gornje zavisnosti sledi da je ugaono ubrzanje konstantno i pozitivno: 0const >== εϕ&& . (2.54)

Slika 2.25. Jednoliko kružno kretanje

Ugaono ubrzanje može se napisati u obliku:

dtd

dtd ωϕϕε ===&

&& ,

ili dtd ⋅= εω , Iz ove jednačine, smatrajući da je u trenutku t = 0, ugaona brzina ω = ω0, integriranjem leve i desne strane, uzimajući u obzir početne uslove kretanja, dobije se zakon brzine oblika: t0 ⋅+== εωϕω & . (2.55) Iz jednačine (2.55) smatrajući da je u trenutku t = 0, ugaona brzina ω =ω0, a položaj tačke po kružnoj putanji određen uglom ϕ = ϕ0, još jednim itegriranjem leve i desne strane, uzimajući u obzir početne uslove, zakon puta ima oblik:

2tt

2

00⋅

+⋅+=εωϕϕ . (2.56)

Obimna brzina i komponente ubrzanja jednako ubrzanog kružnog kretanja imaju oblike:

( )

( ) .tRRa

,RRa

,tRRv

20

2n

t

0

⋅+=⋅=

⋅=⋅=

⋅+=⋅=

εωϕ

εϕ

εωϕ

&

&&

&

2.4.5.3. Jednako usporeno kružno kretanje tačke Kružno kretanje je jednako usporeno, ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i negativno: 0constRsat <=⋅== ϕ&&& . (2.57) Ujedno i ugaono ubrzanje je konstantno i negativno: 0const <== εϕ&& . (2.58) Ako se ugaono ubrzanje napiše u obliku: dtd ⋅= εω . Integrirajući levu i desnu stranu jednačine, smatrajući da je u trenutku t=0, ugaona brzina ω=ω0 i da je ugaono ubrzanje negativno, dobije se zakon brzine (ugaone brzine) oblika: t0 ⋅−== εωϕω & . (2.59) Još jednim integriranjem obe strane jednačine (2.59), uzimajući da je u trenutku vremena t=0, položaj tačke određen uglom ϕ=ϕ0, dobije se zakon puta oblika:

2tt

2

00⋅

−⋅+=εωϕϕ . (2.60)

Obimna brzina, tangencijalno i normalno ubzanje jednako usporenog kružnog kretanja imaju oblike:

( )

( ) .tRRa

,RRa

,tRRv

20

2n

t

0

⋅−=⋅=

⋅=⋅=

⋅−=⋅=

εωϕ

εϕ

εωϕ

&

&&

&

Može se zaključiti, da ukoliko ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje ε imaju iste znake (2.55), obrtanje će biti jednako (ravnomerno) ubrzano, a ako su suprotnog znaka (2.59) obrtanje će biti jednako (ravnomerno) usporeno. Takođe postoji analogija između zakona pravolinijskog i kružnog kretanja tačke. Upoređujući formule kojima su definisane kinematičke karaktaristike pravolinijskog kretanja (2.25), (2.30), (2.31),(2.33) i (2.43) u kojima su figurisali x,v i a, zamenom sa φ,ω i ε se dobijaju formule za definisanje kinematičkih karaktaristika kružnog kretanja (2.51), (2.55),(2.56), (2.59) i (2.60). 2.4.6. HARMONIJSKO KRETANJE TAČKE Ukoliko se tačka kreće po pravolinijskoj putanji po zakonu kretanja koja ima oblik: ( )0tsinRx ϕω +⋅= , (2.61) gde su: - R, ω i ϕ0 konstante, takvo kretanje tačke zove se harmonijsko kretanje.

Rastojanje x od koordinatnog početka O se menja po gore navedenom zakonu (2.61), pri čemu tačka M vrši oscilatorno kretanje između položaja +R i -R , prikazano na slici 2.26. Oscilovanje po zakonu (2.61) u tehnici ima veoma važnu ulogu, koja se zove i prosto harmonijsko oscilovanje.Veličina R, koja predstavlja najveće udaljenje tačke od

koordinatnog početka (centra oscilovanja), zove se amplituda oscilovanja. Tačka koja počinje kretanje u trenutku t = 0 iz položaja M0 (gde je ϕ =ϕ0) ponovo će doći u isti položaj za vreme t1, za koji je sin(ω⋅t1+ϕ0)=0 tj. ω⋅t1 = 2π. Vremenski interval T=t1=2π/ω, u kome tačka izvrši jednu punu oscilaciju, zove se period oscilacije. Recipročna vrednost perioda oscilacije f=1/T=ω/2π se zove frekvencija oscilacije.Merna jedinica frekvencije oscilacije je Herc [Hz], koja označava broj oscilovanja u jednoj sekundi. Harmonijsko kretanje se može veoma efikasno ilustrovati kao projekcija jednolikog kružnog kretanja tačke, prikazano na slici 2.27. Zakon puta jednolikog kružnog kretanja prema (2.51) iznosi:

Slika 2.26.Harmonijsko kretanje

t0 ⋅+= ωϕϕ . Projektujući položaj tačke na x oxu ona iznosi: ( )0tsinRx ϕω +⋅⋅= , što predstavlja jednačinu harmonijskog kretanja (2.61). Za slučaj da tačka polazi iz koordinatnog početka O, kada važi da je za t=0, ϕ0=0, projekcija tačke na x osu definisano je jednačinom: tsinRx ⋅⋅= ω . Projektujući položaj tačke na y osu, ona iznosi: tcosRy ⋅⋅= ω . Obe ove jednačine predstavljaju harmonijska kretanja, sa faznom razlikom od π/2. Eliminisanjem parametra (t) iz gornjih jednačina, dobiće se linija putanje tj.krug poluprečnika R: 222 Ryx =+ , pa se dve harmonijske oscilacije, sa faznom razlikom od π/2, mogu smatrati komponentnim kretanjem tačke M po kružnoj liniji. Brzina tačke, koja vrši harmonijsko kretanje iznosiće: ( )0tcosRxv ϕωω +⋅⋅== & . (2.62) Ubrzanje tačke pri harmonijskom kretanju iznosiće: ( )0

2 tsinRxa ϕωω +⋅⋅−== && . (2.63) Prema tome, pri ovakvom kretanju i brzina i ubrzanje tačke tokom vremena, menjaju se po harmonijskom zakonu. Kinematički dijagrami kretanja predstavljaju sinusoidu i kosinusoidu, prikazane na slici 2.28.

Slika 2.27. Ilustracija harmonijskog kretanja

Dijagram puta i vremena određen izrazom: )tsin(Rx 0ϕω +⋅⋅= , za t =0, 00 sinRx ϕ⋅= . Dijagram brzine i vremena ima oblik: )tcos(Rv 0ϕωω +⋅⋅= , maksimalna brzina je: Rvmaks ⋅= ω Dijagram ubrzanja i vremena dat je izrazom: )tsin(Ra 0

2 ϕωω +⋅⋅−= , sa maksimalnom vrednošću: 2

maks Ra ω⋅=

Treba ovde istaći, da dijagram kretanja (dijagram puta i vremena) treba razlikovati od putanje, koja je prava linija. Pri rešavanju zadataka u okviru kinematike tačke, oni se najčešće odnose na određivanje brzine i ubrzanja tačke, kao i u određivanju dužine puta koji tačka prelazi u izvesnom vremenskom intervalu. U prvom koraku neophodno je odrediti zakon kretanja tačke. Zakon kretanja može biti dat neposredno uslovima zadatka, i to definasan jednačinom kretanja ili karakteristikama, koje određuju dato kretanje ("tačka se kreće jednoliko", "tačka se kreće jednako usporeno"). U ovom slučaju se koriste izvedene formule za rešavanje. U drugom slučaju zakon kretanja tačke nije dat, ali zavisi od kretanja neke druge tačke. U ovom slučaju rešavanje zadatka treba početi određivanjem jednačine kretanja posmatrane tačke. Primer 2.11. Voz, koji se kretao brzinom v0=54 [km/h], zaustavio se za t1=2[min] posle početka kočenja. Smatrajući da se voz za vreme kočenja kretao jednako usporeno, odrediti put za vreme kočenja. Rešenje: Iz uslova zadatka kretanje voza može da se posmatra kao jednako usporeno pravolinijsko kretaje tačke, čiji zakon je kretanja (puta) određen jednačinom (2.34):

2tatvx

2

0⋅

−⋅= ,

gde se x meri od onog mesta, odakle je voz počeo kočenje (prema tome x0=0). Brzina kretanja na osnovu (2.33) biće jednaka: tavv 0 ⋅−= ,

Slika 2. 28. Kinematički dijagrami harmonijskog

kretanja

Pošto se voz u trenutku vremena t=t1 zaustavio, to je u ton trenutku brzina v1=0. Smenjivanjem ove vrednosti u gornju jednačinu, ona postaje: 10 tav0 ⋅−= , ili

1

0

tv

a = .

Sada je ovu vrednost ubrzanja potrebno zameniti u jednačinu zakona kretanja i ako se stavi da je t=t1, dobije se traženi put:

[ ]m9002

tvx 10

1 =⋅

= .

Potrebno je skrenuti pažnju, da je pri proračunima neophodno sve merne jedinice izraziti u istim jedinicama. Obično rastojanje se izražava u metrima a vreme u sekundama. U ovom primeru je:

[ ] [ ]s120t,s/m156,3

543600

100054v 10 ===⋅

= .

Primer 2.12. Čovek visine h udaljava se brzinom v1 od lampe, koja se nalazi na visini H, prikazano na slici 2.29. Odrediti kojom brzinom se kreće čovečja senka? Rešenje: Da bi se mogao rešiti ovaj zadatak, potrebno je najpre da se nađe zakon po kome se kreće čovečja senka. Ako se uzima za koordinatni početak tačka O, koja se nalazi na istoj vertikali sa lampom, sa osom x u desno (slika 2.29). Ako se čovek nalazi na proizvoljnom rastojanju x1 na toj osi od tačke O, u tom slučaju kraj njegove senke biće udaljen za x2 od tačke O.

Iz sličnosti trouglova OAM i DAB može se napisati:

12 xhH

Hx ⋅−

= .

Ova jednačina izražava zakon kretanja kraja senke M, ako je poznat zakon kretanja čoveka, tj x1=x1(t).

Ako se odredi izvod obe strane jednačine po vremenu, pri čemu se uzima u obzir da je 11 v

dtdx

= , a

22 v

dtdx

= , gde je v2 tražena brzina, dobiće se:

12 vhH

Hv ⋅−

= .

Slika 2.29. Ilustracija primera 2.12.

Ako se čovek kreće konstantnom brzinom (v1=const), onda će i brzina v2 biti konstantna, ali u

odnosu hH

H−

veća od brzine čoveka.

Neophodno je skrenuti pažnju, da jednačine kretanja treba postaviti za telo (ili mehanizam) koje se nalazi u proizvoljnom položaju. Jedino u tom slučaju se mogu odrediti jednačine kretanja koje određuju položaj pokretne tačke u proizvoljnom trenutku vremena. Primer 2.13. Klizači A i B mehanizma prikazanog na slici 2.30, koji su spojeni polugom AB dužine l=30 [cm], kreću se pri obrtanju krivaje OD, po međusobno upravnim osama. Krivaja OD dužine l/2 vezana je zglobom za sredinu poluge AB. Odrediti zakone kretanja klizača A i B ako se krivaja obrće tako da se ugao ϕ povećava proporcionalno vremenu (takvo obrtanje naziva se jednoliko), čineći dva obrtaja u minutu. Koliko iznose brzine i ubrzanja klizača u trenutku kada je ugao ϕ=30° ? Rešenje: Zakon kretanja tačaka A i B mogu se naći, ukoliko se zna kretanje krivaje OD. Prema uslovima zadatka ϕ=ω⋅t, gde je ω konstantni koeficijent. Poznato je da je u trenutku t=60 [s] ugao ϕ=4π (dva obrtaja); prema tome 4π=60ω odatle je ω=π/15 [s-1]. Za koordinatne ose x i y po slici, određuju se sada zakoni kretanja klizača. Pošto je ADOD = , sledi da ϕ=∠OAB . Tada je ϕϕ sinly,coslx BA == , odnosno: tsinly,tcoslx BA ⋅=⋅= ωω . Ove jednačine određuju zakone kretanja svakog klizača. Kao što se vidi klizači vrše harmonijske oscilacije. Diferencirajući izraze za xA i yB po vremenu, određuju se brzine i ubrzanja klizača, koje iznose:

.tsinlya,tcoslyv,tcoslxa,tsinlxv

2BBBB

2AAAA

⋅−==⋅==

⋅−==⋅−==

ωωωω

ωωωω&&&

&&&

Kada je ugao ϕ =30°, veličina ω⋅t=π/6. U tom trenutku vremena biće:

[ ] [ ]

[ ] [ ].s/cm66,0l2/1ya,s/cm44,53l2/1yv

,s/cm14,13l2/1xa,s/cm14,3l2/1xv22

BBBB

22AAAA

−=−====

−=−==−=−==

ωω

ωω

&&&

&&&

Znaci pokazuju smerove vektora brzine i ubrzanja. Klizač A se iz posmatranog položaja kreće ubrzano, a klizač B usporeno. Primer 2.14. Kretanje tačke M određeno je jednačinama tuz,tcosRy,tsinRx ⋅=⋅=⋅= ωω ,gde su R, ω i u konstantne veličine. Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje tačke. Rešenje:

Slika 2.30. Ilustracija primera 2.13.

Dižući prve dve jednačine na kvadrat i posle sabiranja, s obzirom da je 1tcostsin 22 =⋅+⋅ ωω , se dobija: 222 Ryx =+ . Putanje tačke se nalazi na kružnom cilindru poluprečnika R, čija se osa poklapa sa osom z, prema

slici 2.31. Izražavajući vreme t iz treće jednačine, i zamenom u prvu se dobije:

⋅= z

usinRx ω .

Putanja tačke će biti linija koja se nalazi u preseku cilindra sa poluprečnikom R i sinusoidalne površine, čija je izvodnica paralelna sa osom y. U stvari ova linija je jedna zavojnica. Iz jednačina kretanja se vidi da jedan zavojak zavojnice tačka pređe za vreme t1, koji se određuje iz jednačine πω 2t1 =⋅ . Za to vreme tačka će

se pomeriti duž ose z za veličinu ωπ u2tuh 1⋅

=⋅= , koja

se zove hod (korak) zavojnice. Brzine se određuju diferenciranjem jednačine kretanja po vremenu, koje iznose:

uz,tsinRy,tcosRx =⋅−=⋅= &&& ωωωω , odakle je: ( ) 22222222222 uRutsintcosRzyxv +=+⋅+⋅=++= ωωωω&&& . Sve veličine pod kvadratnim korenom su konstantne što zanči, da se tačka kreće brzinom konstantnog intenziteta, koja je usmerena po tangenti putanje. Komponente ubrzanja se dobijaju diferenciranjem izraza brzine po vremenu, koje iznose: 0z,tcosRy,tsinRx 22 =⋅−=⋅−= &&&&&& ωωωω , odakle je: 222 Ryxa ω=+= &&&& . Kretanje se vrši sa ubrzanjem konstantnog intenziteta. Pravac vektora ubrzanja se određuje pomoću uglova pravaca prema (2.17), koji iznose:

0az

aa

cos,Rytcos

ay

aa

cos,Rxtsin

ax

aa

cos za

ya

xa ===−=⋅−===−=⋅−===

&&&&&&γωβωα .

Sa slike se vidi da je:

βα cosRy,cos

Rx

== ,

gde su uglovi α i β uglovi koje zaklapa poluprečnik R sa osama x i y . Kako se uglovi αa i βa razlikuju od kosinusa uglova α i β samo po znaku, može se zaključiti, da je ubrzanje tačke usmereno, za sve vreme kretanja po poluprečniku cilindra, prema njegovoj osi.

Slika 2.31. Ilustracija primera 2.14.

U ovom primeru se vidi da ubrzanje tačke nije jednako nuli, mada se ona kreće brzinom konstantnog intenziteta. Pošto se kretanje tačke odvija po površini cilindra po zavojnici, njen pravac se stalno menja, što znači da postoji normalno ubrzanje tačke. Primer 2.15. Voz počinje da se kreće jednako ubrzanim kretanjem po krivini poluprečnika R = 800 [m], dostigne brzinu od v1 = 36 [km/h]. Odrediti brzinu i ubrzanje voza na sredini tog puta. Rešenje: Pošto se voz kreće jednako ubrzano i kako je v0 = 0, to se zakon njegovog kretanja određuje prema izrazu (2.38), pri čemu je s0 = 0:

2ta

s2

t ⋅= ,

a brzina prema (2.37) iznosi:

tav t ⋅= .

Ukoliko se eliminiše vreme t iz ovih jednačina, dobija se: sa2v t

2 = . Prema uslovima zadatka, kada je s = s1, tada je v = v1.Odatle se dobije:

1

21

t s2v

a = .

Na sredini puta, pri s2 = 1/2s1, brzina v2 biće jednaka:

11t2t2 v2

1sasa2v === .

Normalno ubrzanje na tom mestu putanje je jednako:

R2

vRv

a21

22

2n == .

Ukupno ubrzanje voza na sredini puta iznosi:

221

21

2n

2t R

1s1v

21aaa +=+= .

Smenjivanjem brojčane vrednosti se dobije:

[ ] [ ]222 s/m1,0

485a,s/m1,7v ≈=≈ .

Primer 2.16. Tačka izbačena horizontalnom brzinom kreće se po zakonu, koji je određen jednačinama:

20 tg

21y,tvx ⋅=⋅= ,

dge su v0 i g neke konstante. Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje tačke, kao i tangencijalno i normalno ubrzanje i poluprečnik krivine putanje u proizvoljnom položaju, s tim da se sve ove veličine izraze preko brzine tačke u tom položaju. Rešenje: Iz prve jednačine, određeno vreme kada se smeni u drugu jednačinu dobije se:

220

xv2gy = .

Putanja tačke je parabola, prema slici 2.32. Diferenciranjem jednačina kretanja po vremenu, se dobija:

tgydtdyv,vx

dtdxv y0x ⋅====== && ,

odakle je 222

02y

2x tgvvvv ⋅+=+= . (a)

U početku kretanja (t = 0) brzina tačke je v = v0 , a zatim se u toku vremena brzina tačke neprekidno povećava. Komponente ubrzanja tačke iznosi:

gydt

yda,0xdt

xda 2

2

y2

2

x ====== &&&& ,

Pa i ukupno ubrzanje tačke iznosi: ga = . Tačka se kreće konstantnim ubrzanjem koje je usmereno duž ose y. Bez obzira na to, da je ubrzanje konstantno a = const, ipak tačka se ne kreće jednako promenljivim krivolinijskim kretanjem, jer za jednako promenljivo krivolinijsko kretanje treba da bude ispunjem uslov (2.35) tj. da je at = const, a ne a = const. Pri ovom kretanju, at nije konstantno. Znajući zavisnost v od t, prema (a), tangencijalno ubrzanje iznosi:

v

tg

tgv

tgdtdva

2

2220

2

t =+

== ,

Iz jednačine (a) sledi da je 222

02 tgvv += , pa prema tome vreme t iznosi:

20

2 vvg1t −= .

Smenjujući vrednost za t u jednačinu za at ono se dobija u funkciji v prema:

Slika 2.32. Ilustracija primera

2.16.

2

20

t vv

1ga −= .

Iz ove jednačine se može zaključiti, da je u početnom trenutku kada je v = v0 ,at = 0. Zatim, sa povećanjm v, vrednost at raste i pri v→∞, at→g ,što znači, da će u graničnom slučaju tangencijalno ubrzanje težiti totalnom ubrzanju g. Normalno ubrzanje an se dobija iz zavisnosti: 2

n2t

2 aaa += . Odavde je:

2

202

2

20222

t22

n vv

gvv

1ggaaa =

−−=−= ,

odnosno

v

gva 0

n⋅

= .

U početnom trenutku vremena (v = v0) an = g, a zatim se sa povećanjem v vrednost an smanjuje i u graničnom slučaju teži nuli. Poluprečnik krivine se određuje iz izraza:

K

2

n Rva = .

Odavde je:

gv

vavR

0

2

n

2

k ⋅== .

U početku kretanja poluprečnik krivine ima najmanju vrednost:

gv

R20

minK = ,

zatim sa povećanjem v poluprečnik krivine raste, pa se krivina putanje K stalno smanjuje. Kada v→∞ i RK→∞, a krivina K teži nuli.

3. KINEMATIKA KRUTOG TELA

U prirodi su sva tela čvrsta, koja su pri kretanju podvrgnuta deformacijama, što znači da se rastojanja dveju tačaka tela menja pod uticajem sila i spregova, i telo menja svoj oblik. Predmet proučavanja kinematike su kretanja krutih tela. Pod krutim telom se podrazumeva ono telo, kod koga se tokom kretanja međusobno rastojanje tačaka tela ne menja. Takva tela u prirodi ne postoje, ona su samo zamišljena. Pri ispitivanju kretaja krutih tela u kinematici, zanemaruje se i njihova materijalnost tj. ispituju se kretanja samo geometrijskih oblika. Pod krutim telom se podrazumeva skup geometrijskih tačaka raspoređenih u prostoru, koje obrazuju sistem tačaka. Položaj krutog tela u prostoru u opštem slučaju se određuje generalisanim koordinatama. Generalisane koordinate su nezavisni parametri pomoću kojih se jednoznačno može odrediti položaj tela u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Broj generalisanih koordinata je identičan sa brojem stepeni slobode kretanja. O pojmu generalisanih koordinata i broju stepeni slobode kretanja, bilo je već reči u prvom delu mehanike, u analitičkoj statici. Kretanje krutog tela u opštem obliku, tj osnovna kretanja slobodnog krutog tela su translatorno i obrtno kretanje. Iz ovih osnovnih kretanja sastoje se sva ostala kretanja, koja se odnose na delimično vezana (neslobodna) kruta tela, koje su: 1. Translatorno kretanje krutog tela (čista translacija), 2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose (čista rotacija), 3. Ravno kretanje krutog tela (translacija + rotacija u ravni), 4. Obrtanje krutog tela oko nepokretne tačke, 5. Opšte kretanje slobodnog krutog tela, 6. Složeno kretanje krutog tela. U daljem delu proučiće se sva navedena kretanja. 3.1. TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA Kretanje krutog tela naziva se translatornim, pri kojem u toku kretanja, linija koja spaja dve tačke krutog tela uvek ostaje sama sebi paralelna. Pri translatornom kretanju sve tačke krutog tela opisuju istovetne putanje. Translatorno kretanje ne treba mešati sa pravolinijskim kretanjem. Pri translatornom kretanju

putanje tačaka tela mogu da budu proizvoljne krive linije. Prema tome translacija može da bude pravolinijska i krivolinijska, kako je prikazano na slici 3.1. Na ovoj slici proizvoljna prava AB tela premešta se u položaj A1B1 tako da ostaje sama sebi uvek paralelna. Ova translacija može da bude izvedena po pravoj liniji (puna linija) ili pak po proizvoljnoj krivoj liniji (tačkasta linija). Položaj tačaka A i B u trenutku vremena t određen je vektorima položaja Arr i Brr . Vektror ρ

r koji određuje položaj tačke A u odnosu na tačku B je konstantan, jer je telo kruto.

Isto tako ni pravac vektora ρr se ne menja, jer se telo kreće translatorno. Pa se može zapisati:

Slika 3.1. Translatorno kretanje

constAB == ρ

r , ρ

rrr+= AB rr . (3.1)

Pri kretanju tela vektori položaja Arr i Brr se menjaju tokom vremena. Brzine tačaka A i B se određuju diferenciranjem obe strane jednačine (3.1) po vremenu, što daje:

( )dtd

dtrd

rdtd

dtrd

v AA

BB

ρρrr

rrr

r+=+== ,

gde su:

- dtrd Ar

brzina tačke A,

- 0dtd

=ρr

jer je vektor ρr konstantna veličina.

Konačno, sledi da je: BA vv rr

= . (3.2) Što znači, da su brzine tačaka A i B u bilo kom trenutku vremena jednake po intenzitetu, pravcu i smeru. Diferenciranjem obe strane jednačine (3.2) po vremenu se dobija:

dtvd

dtvd BA

rr

= ,

ili BA aa rr

= . (3.3.) Prema tome i ubrzanja tačaka A i B u bilo kom trenutku vremena su jednaka po intenzitetu, pravcu i smeru. Iz dobijenih rezultata može se zaključiti, da se pri translatornom kretanju krutog tela sve tačke tela kreću na isti način, imaju istovetne putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja. Translatorno kretanje krutog tela je potpuno određeno kretanjem samo jedne njegove tačke, na pr. težišta. Translatorno kretanje ima tri stepena slobode kretanja n = 3 i jednačine kretanja u analitičkom obliku su jednake:

).t(zz),t(yy),t(xx

CC

CC

CC

===

Neki primeri translatornih kretanja su: 1. Klipovi u motoru sa unutrašnjim sagorevanjem, ili karoserija automobila na pravom i ravnom putu. Oba ova kretanja su pravolinijska, jer putanje svih tačaka su prave linije. 2. Štap AB prikazan na slici 3.2. pri obrtanju poluge O1A i O2B se kreće translatornim kretanjem pod uslovom da su poluge jednake dužine ( RAOAO 21 == ). Za poznat zakon promene ugla ϕ po vremenu, tj. zakon kretanja oblika:

tk ⋅=ϕ , gde je: - k konstanta. Projekcije tačke A za označen koordinatni sistem iznose:

.tksinRsinRy,tkcosRcosRx

A

A

⋅==⋅==

ϕϕ

Izražavajući trigonometrijske funkcije iz gornjih jednačina se dobija:

.

Ry

tksin

,Rx

tkcos

A

A

=⋅

=⋅

Dizanjem jednačina na kvadrat i sabiranjem se eliminiše parametar t pa se dobija putanja oblika:

1Ry

Rx

tksintkcos 2

2A

2

2A22 =+=⋅+⋅ ,

ili 222 Ryx =+ . Što predstavlja kružnu putanju. Zakon puta biće jednak: tkRRs A ⋅⋅=⋅= ϕ . Brzina kretanja:

constkRdt

dsv A

A =⋅== ,

pri čemu su vektori brzina svih tačaka iste: CBA vvv rrr

== . Komponente ubrzanja (pošto se radi o krivolinijskom kretanju) iznose:

0dt

dva A

At == ,

22

An kRRva ⋅== .

Na osnovu gornjih jednačina može se zaključiti, da se tačke štapa AB kreću po kružnim linijama sa jednolikim kružnim kretanjem. Vektori brzina imaju pravac tangente na putanju, a vektori ubrzanja (postoji samo normalno ubrzanje) imaju pravac glavne normale na putanju. U ovom primeru prikazano je krivolinijsko translatorno kretanje.

Slika 3.2. Translatorno kretanje štapa AB

Bitno je još jednom napomenuti, da je pri translatornom kretanju brzina vr svih tačaka ista i zove se brzina translatornog kretanja, ubrzanje ar je takođe zajedničko za sve tačke tela i zove se ubrzanje translatornog kretanja. Vektori vr i ar mogu biti ucrtani u bilo koju tačku tela pri translatornom kretanju. Brzina i ubrzanje tela ima smisla samo pri translatornom kretajnu. U svim ostalim slučajevima kretanja tela, pojedine tačke tela kreću se različitim brzinama i različitim ubrzanjima. 3.2. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE OSE

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose je takvo kretanje, pri kome bilo koje dve tačke tela ostaju za vreme kretanja nepokretne. Ako su te dve tačke tela A i B nepokretne, onda se kroz njih može postaviti prava, koja se zove nepokretna osa. Sve tačke krutog tela koje se nalaze na ovoj osi ostaju nepokretne, dok ostale tačke tela pri ovom obrtanju opisuju kružne putanje u ravnima normalnim na nepokretnu osu obrtanja prema slici 3.3. Na ovoj slici nepokretna osa sa jednim krajem se nalazi u sferni zglob, drugim krajem u vođici. Postoje i takvi slučajevi obrtaja tela oko ose, pri kojima nijedna tačka tela ne pripada obrtnoj osi, na pr. guma automobilskog točka. Položaj tela pri obrtanju, pošto tačke tela opisuju kružne putanje određen je uglom ϕ, koji se meri u odnosu na referentnu, nepomičnu ravan O. To znači, da ovo kretanje ima samo jedan stepen slobode kretanja, za čega je potrebno imati samo jedan podatak. Da bi položaj tela u svakom vremenskom trenutku bio određen, potrebno je poznavati zavisnost ugla ϕ od vremena t oblika:

)t(ϕϕ = . (3.4) Jednačina (3.4) definiše zakon obrtnog kretanja krutog tela. 3.2.1. UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE Kinematičke karakteristike krutog tela pri njegovom obrtanju oko nepokretne ose su: - ugaona brzina - ω, - ugaono ubrzanje -ε. Obe ove kinematičke karakteristike proizilaze zbog promene ugla obrtanja ϕ po vremenu. Ako se telo obrne iz položaja M1 u M2 za ugao ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 u vremenu ∆t = t2 - t1, tada se odnos priraštaja ugla obrtanja ∆ϕ i intervala vremena ∆t zove srednja ugaona brzina tela, koja iznosi:

12

1122sr tt

)t()t(t −

−==

ϕϕ∆ϕ∆ω .

Slika 3.3. Obrtanje krutog tela oko

nepokretne ose

Ugaona brzina tela u datom trenutku vremena t je veličina kojoj teži srednja ugaona brzina ωsr, kada interval vremena teži nuli, dakle:

tlim 0t ∆

ϕ∆ω ∆ →= ,

ili

ϕϕω &==dtd

. (3.5)

Na taj način, ugaona brzina ω krutog tela, koje se obrće oko nepokretne ose jednaka je po intenzitetu prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu. Dimenzija ugaone brzine je:

[ ]1ss1

sekundaradijan

vremeugao −====ω .

Pri neravnomernom obrtanju ugaona brzina ω se menja tokom vremena. Veličina koja karakteriše promenu ugaone brzine tokom vremena je ugaono ubrzanje. Ako u trenutku vremena t1 ugaona brzina iznosi ω1 a u trenutku t2 = t1+∆t iznosi ω2, tada se količnik priraštaja ugaone brzine ∆ω = ω2 - ω1 i intervala vremena ∆t zove srednje ugaono ubrzanje, koje iznosi:

12

1122sr tt

)t()t(t −

−==

ωω∆ω∆ε .

Ugaono ubrzanje tela u datom trenutku vremena t, je veličina kojoj teži srednje ugaono ubrzanje εsr, kada interval vremena teži nuli, dakle:

t

limlim 0tsr0t ∆ω∆εε ∆∆ →→ == ,

ili

ϕϕωωε &&& ==== 2

2

dtd

dtd

. (3.6)

Ugaono ubrzanje krutog tela, koje se obrće oko nepokretne ose u datom trenutku vremena, po intenzitetu je jednako prvom izvodu ugaone brzine po vremenu ili drugom izvodu ugla obrtanja po vremenu. Dimenzija ugaonog ubrzanja je jednaka [s-2]. Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su vektori u pravcu ose obrtanja (slika 3.4) : k,k

rrrr⋅=⋅= εεωω .

Intenzitet ovih vektora (brojčana vrednost) se određuje na osnovu zavisnosti (3.5) i (3.6). Smer vektora ugaone brzine ωr je u onu stranu ose, iz koje se vidi obrtanje tela u smeru suprotnom od kretanja skazaljke na satu. za ω >0 obrtanje je pozitivno, za ω <0 obrtanje je negativno. Smer vektora ugaonog ubrzanja εr poklopiće se sa smerom

Slika 3.4. Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja

vektora ugaone brzine ωr , ako je kretanje ubrzano, tj. ε >0 (veličine ω i ε su istog znaka), odnosno različitog su smera ako je kretanje usporeno tj. ε <0 (veličine ω i ε su suprotnog znaka). 3.2.2. POSEBNI SLUČAJEVI OBRTNOG KRETANJA 3.2.2.1. Ravnomerno (jednoliko) obrtanje Obrtanje krutog tela je ravnomerno (jednoliko), ako je ugaona brzina obrtanja za sve vreme kretanja konstantna (ω = const). Iz konstantnosti ugaone brzine sledi, da je ugaono ubrzanje jednak nuli (ε = 0). Dakle:

.0

,const==

εω

(3.7)

Zakon puta ravnomernog obrtanja se određuje integriranjem jednačine (3.5). Iz jednačine sledi: dtd ⋅=ωϕ . Integriranjem leve i desne strane jednačine: ∫ ∫ +⋅=⇒= Ctdtd ωϕωϕ ,

smatrajući za početne uslove kretanja t =0, ugao ϕ =0 integraciona konstanta C =0, pa se dobija: t⋅=ωϕ . (3.8) Iz jednačine (3.8) proizilazi, da je pri ravnomernom obrtanju oko ose ugaona brzina tela iznosi:

tϕω = . (3.9)

U tehnici ravnomerno obrtno kretajne ima veoma rasprostranjenu primenu, brzina ravnomernog obrtanja obično se određuje brojem obrtaja u minuti. Broj obrtaja u minuti obično se označava sa n [obrtaja/min], pri čemu treba naglasiti, da dimenzija n-a nije ugao, nego ugaona brzina. Bitno je sada odrediti zavisnost između n [obrtaja/min] i ω [1/s]. Pri jednom obrtaju telo se okrene za ugao 2π (ceo krug), pa za n obrtaja okrenuće se za ugao 2πn. Ako se tih n obrtaja telo izvrši za vreme t=1 [min]=60 [s], tada na osnovu jednačine (3.9) proizilazi, da je:

[ ]1sn1,030

n −≈⋅

=πω . (3.10)

3.2.2.2. Ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo) obrtanje Obrtanje krutog tela je ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo) ako ugaono ubrzanje za sve vreme kretanja ostaje konstantna veličina:

constdtd

==ωε . (3.11)

Zakon brzine se određuju iz jednačine (3.11) integrirajući obe strana jednačine:

1

Ctdtddtd ∫ ∫ +⋅=⇒=⇒⋅= εωεωεω ,

integraciona konstanta se određuje iz početnih uslova, pri čemu se smatra da je u trenutku t =0, ugaona brzina ω = ω0, vrednost integracione konstante iznosiće C1 =ω0 , pa zakon ugaone brzine ravnomerno promenljivog obrtanja ima oblik: t0 ⋅+= εωω . (3.12) Još jednim integriranjem jednačine (3.12) se dobije zakon puta ravnomerno promenljivog obrtnog kretanja:

22

000 Ct21tdttdtddttdtdtd

dtd

+⋅+⋅=⇒⋅+=⇒⋅+⋅=⇒⋅=⇒= ∫ ∫ ∫ εωϕεωϕεωϕωϕϕω ,

integraciona konstanta C2 se određuje iz početnih uslova, koji su t =0, ω = ω0 i ϕ =ϕ0 iz kojih sledi vrednost za C2 =0, i konačan oblik zakona puta ravnomerno promenljivog obrtanja:

200 t

21t ⋅+⋅+= εωϕϕ . (3.13)

Obrtanja za slučaj da je : ε =const >0 je jednako ubrzano ( ω i ε imaju iste znake), ε =const <0 je jednako usporeno ( ω i ε imaju suprotne znake). Ukoliko ugaono ubrzanje nije konstantna veličina, obrtanje tela je proizvoljno promenljivo. 3.2.3. BRZINE TAČAKA TELA KOJE SE OBRĆE OKO NEPOKRETNE OSE U prethodnom poglavlju određene su kinematičke karaktaristike obrtanja tela kao celine. Međutim u nekim slučajevima potrebno je odrediti kinematičke karakteristike pojedinih tačaka tela koje se obrće. Za proizvoljnu tačku M, tela koja se nalazi na rastojanju R od ose obrtanja (slika 3.4), a koja vrši kružno kretanje, zakon kretanja tačke na osnovu (2.44) iznosi: )t(Rs ϕ⋅= . Ravan kruga po kojoj se tačka kreće normalna je na osu obrtanja sa centrom u tački C, koja se nalazi na samoj osi. Brzina tačke je jednaka:

dtdR)R(

dtd

dtdsv ϕϕ ⋅=⋅== ,

ili ωϕ ⋅=⋅= RRv & . (3.14) Prema tome, intenzitet brzine tačke M, krutog tela koje se obrće oko nepokrtene ose, jednak je proizvodu iz normalnog rastojanja tačke od ose (poluprečnika kružne putanje) i ugaone brzine. Brzina v se zove obimna ili linerna brzina tačke.

Bitno je napomenuti, da je ugaona brzina ω jednaka za sve tačke tela koje se obrće, a obimne brzine vi pojedinih tačaka tela su proporcionalne rastojanjim tih tačaka od obrtne ose. Obimne brzine tačaka su usmerene duž tangente na kružne putanje, i leže u ravni koja je normalna na obrtnu osu, kao što je prikazano na slici 3.5. Za rastojanje r tačke M od koordinatnog početka sistema (slika 3.4), obimna brzina tačke iznosi:

ω⋅= Rv , ili αω sinrv ⋅⋅= , gde je: - α ugao između obrtne ose i rastojanja r. Ako se rr smatra vektorom položaja tačke M, naznači se vektor ugaone brzine, koja se nalazi u osi obrtaja (slika 3.6), tada vektor obimne brzine (s obzirom na definiciju vektorskog proizvoda) ima oblik: rv rrr

×=ω . (3.15) Dakle, vektor obimne brzine tačke tela pri obrtnom kretanju, jednak je vektorskom proizvodu vektora ugaone brzine i vektora položaja tačke. 3.2.4. UBRZANJA TAČAKA TELA KOJE SE OBRĆE OKO NEPOKRETNE OSE Kao što je već rečeno tačke tela se kreću po kružnim putanjima, tj. po krivim linijama i ubrzanje tačaka sastojaće se iz dve komponente ubrzanja (tangencijalnog i normalnog). Intenzitet tangencijalnog ubrzanja prema (2.20) iznosi:

dtdR)R(

dtd

dtdvat

ωω ⋅=⋅== ,

ili konačno ε⋅= Rat . (3.16) Intenzitet normalnog ubrzanja na osnovu (2.21) ima oblik:

R

RRva

22

K

2

nω⋅

== ,

ili konačno 2

n Ra ω⋅= . (3.17) Tangencijalno ubrzanje at usmereno je u pravcu tangente na putanju (u smeru kretanja, ako se telo obrće ubrzano, ili u suprotnom smeru, ako je obrtanje usporeno). Normalno ubrzanje an uvek je usmereno u pravcu poluprečnika R prema obrtnoj osi, kako je prikazano na slici 3.7. Ukupno ubrzanje tačke M na osnovu (2.22) ima oblik:

Slika 3.5. Obimne brzine tačaka pri obrtanju tela oko nepokretne ose

Slika 3.6. Vektor obimne brzine

42222n

2t RRaaa ωε ⋅+⋅=+= ,

odnosno

42Ra ωε +⋅= . (3.18) Pravac vektora ubrzanja u odnosu na poluprečnik, koji određuje položaj tačke tela na kružnoj putanji određen je uglom αn, koji na osnovu (2.23) iznosi:

2n

tn R

Raa

tgωε

α⋅

⋅== ,

ili

2ntgωε

α = . (3.19)

Pošto u jednom datom trenutku vremena sve tačke tela imaju istu ugaonu brzinu ω i ugaono ubrzanje ε , iz formula (3.18) i (3.19) proizilazi, da će ukupno ubrzanje tačaka tela koje se obrće oko nepokretne ose, biti proporcionalno njihovim rastojanjima od obrtne ose i zaklapati jedan isti ugao αn sa poluprečnikom kružne putanje tačke (slika 3.7). Vektor ubrzanja proizvoljne tačke M tela, može da se dobije i diferenciranjem vektorske jednačine (3.15) po vremenu, koja ima oblik:

dtrdr

dtd)r(

dtd

dtvda

rrr

rrr

rr

×+×=×== ωωω ,

gde su:

- dtdωr vektor ugaonog ubrzanja (εr ),

- dtrdr vektor ugaone brzine ( rv rrr

×=ω ).

Pa se može napisati: )r(ra rrrrrr

××+×= ωωε . (3.20) U izrazu (3.20) prvi član ( rrr

×ε ) predstavlja vektor tangencijalnog ubrzanja ( tar ), a drugi član [ )r( rrr

×× ωω ] predstavlja vektor normalnog ubrzanja ( nar ) tačke M. Vektor normalnog ubrzanja uvek je usmerena

prema centru kružne putanje (osi obrtanja). Smer tangencijalnog ubrzanja zavisi od vrste kretanja, i to za slučaj jednako ubrzanog obrtanja smer vektora tangencijalnog ubrzanja je identičan sa smerom vektora obimne brzine (slika 3.8.a), a za jednako usporeno obrtanje ima suprotan smer od vektora obimne brzine (slika 3.8.b). Primer 3.1. Vratilo koje se obrće sa n =90 [obrtaja/min] posle isključenja motora počinje da se obrće ravnomerno usporeno i zaustavi se posle t1 = 40 [s]. Odrediti koliko je obrtaja izvršilo vratilo za to vreme. Rešenje: Pošto se vratilo obrće ravnomerno usporenim obrtanjem, na osnovu (3.13) i (3.12) može se napisati:

Slika 3.7. Vektor ubrzanja pokretne tačke

Slika 3.8. Smerovi vektora ubrzanja za jednako

ubrzano i jednako usporeno kretanje

20 t

21t ⋅−⋅= εωϕ , (a)

t0 ⋅−= εωω . (b) Početna ugaona brzina vratila pri usporenom obrtanju biće ona, koju je vratilo imalo u momentu isključenja motora. Prema tome:

30

n0

⋅=πω .

U trenutku zaustavljanja t = t1 ugaona brzina (obrtanje) vratila je ω1 =0. Ako se ova vrednost unese u jednačinu (b) dobiće se:

,t30

n0 1⋅−⋅

= επ

i

1t30

n⋅⋅

=πε .

Ako se označi broj obrtaja koji vratilo izvrši za vreme t1 sa N (pri čemu ne sme se mešati sa n, jer n je ugaona brzina!) onda će ugao obrtanja, koji će vratilo učiniti za ovo vreme biti ϕ1 = 2πN. Smenjujući vrednosti za ω i ϕ1 u jednačinu (a), dobija se:

111 t60

nt60

nt30

nN2 ⋅⋅

=⋅⋅

−⋅⋅

=ππππ ,

odakle je

[ ]obrtaja30120

tnN 1 =

⋅= .

Primer 3.2. Zamajac poluprečnika R = 1,2 [m] obrće se ravnomerno sa n = 90 [obrtaja/min]. Odrediti brzinu i ubrzanje tačke, koja se nalazi na obimu zamajca. Rešenje: Brzina tačke na osnovu (3.14) je v =R⋅ω, gde je ω ugaona brzina, koju obavezno treba izraziti u radijanima u sekundi. U ovom slučaju je:

[ ]1s330

n −=⋅

= ππω .

Tada je

[ ]s/m3,11R30

nv ≈⋅

=π .

Pošto je ω = const, to je ε =0, pa će ubrzanje tačke imati samo normalnu komponentu:

[ ]222

2n s/m6,106R

900nRaa ≈⋅⋅

=⋅==πω .

Ubrzanje tačke usmereno je prema obrtnoj osi. Primer 3.3. U početku kretanja zamajac se obrće po zakonu:

3t

329

=ϕ .

Odrediti brzinu i ubrzanje tačke koja se nalazi na rastojanju R = 0,8 [m] od obrtne ose, u onom trenutku, kada tangencijalno ubrzanje te tačke bude jednako sa normalnim ubrzanjem. Rešenje: Ugaona brzina i ugaono ubrzanje zamajca na osnovu (3.5) i (3.6) biće jednako:

t1627

dtd

dtd,t

3227

dtd

2

22 =====

ϕωεϕω .

Tangencijalno i normalno ubrzanje prema (3.16) i (3.17) imaju oblike: 2

nt Ra,Ra ωε ⋅=⋅= . Ako se vremenski trenutak kada at = an, označi sa t1, u tom trenutku biće ε1 = ω1

2 ili:

41

2

1 t3227t

1627

⋅

= ,

odakle je

2764t 3

1 = , odnosno [ ]s34t1 = .

Smenjujući ovu vrednost za t1 u izraze za ω i ε, dobija se da je u trenutku vremena t1:

[ ] [ ]21

11 s

49,s

23 −− == εω .

Odavde su tražene veličine jednake:

[ ] [ ]221

21111 s/m54,228,1Ra,s/m2,1Rv ≈=+⋅==⋅= ωεω .

Vektor 1ar usmeren je pod uglom od 45° prema poluprečniku R.

Primer 3.4. Teret B prema slici 3.9, dovodi u obrtanje vratilo poluprečnika r i zupčanik 1 poluprečnika r1, koji je čvrsto vezan za vratilo. Kretanje tereta počinje iz stanja mirovanja i vrši se sa konstantnim ubrzanjem a. Odrediti po kom će se zakonu obrtati u tom slučaju zupčanik 2, poluprečnika r2, koji je spregnut sa zupčanikom1. Rešenje: Pošto teret počinje da se kreće bez početne brzine, to će njegova brzina vB u proizvoljnom trenutku vremena t biti jednaka at (vB =at).Tu istu brzinu će imati i tačka na obimu vratila. Sa druge strane, brzina te tačke.

Slika 3.9. Ilustracija primera 3.4.

jednaka je r⋅ω1, gde je ω1 zajednička ugaona brzina obrtanja vratila i zupčanika 1. Prema tome :

rtatarv 11B⋅

=⇒⋅=⋅= ωω .

Potrebno je sada odrediti ω2. Kako se u tački C dodiruju zupčanici, brzina na obimu oba zupčanika u toj tački mora biti ista, pa je vC =r1⋅ω1 =r2⋅ω2, odakle je :

trrar

rr

2

11

2

12 ⋅

⋅⋅

=⋅= ωω .

Prema tome, ugaona brzina obrtanja zupčanika 2 se povećava proporcionalno sa vremenom.Pošto

je dt

d 22

ϕω = , gde je ϕ2 obrtni ugao zupčanika 2, dobiće se:

tdtrrar

d2

12 ⋅

⋅⋅

=ϕ .

I iz ove jednačine posle integriranja obe strane, smatrajući da je u trenutku t = 0 obrtni ugao ϕ2 =0 , određuje se zakon jednako ubrzanog obrtanja zupčanika 2 u obliku:

2

2

12 t

rr2ar⋅

⋅=ϕ .

3.3. RAVNO KRETANJE KRUTOG TELA Ravno kretajne krutog tela je takvo kretanje, pri kome se sve tačke tela kreću paralelno prema nekoj nepokretnoj ravni Π, prikazno na slici 3.10. Ravnim kretanjem se kreće na pr. poluga klipnog mehanizma, kotur koji se kotrlja na pravolinijskom putu i sl. Za proučavanje ravnog kretanja tela kao celine, dovoljno je da se prouči kretanje preseka S tela sa ravni xy, koji u kinematičkom smislu u potpunosti zamenjuje čitavo kruto

telo. Položaj preseka S u ravni xy u potpunosti je određen položajem tačaka A (xA ,yA) i B(xB ,yB), tj. sa četiri podataka (slika 3.11). Zbog krutosti tela (pa i preseka S) rastojanje tačaka lAB = je nepromenjeno i može se napisati jednačina veze oblika:

( ) ( )2AB

2AB

2 yyxxl −+−= , iz čega sledi da su samo tri koordinate nezavisne, pa je ravno kretanje određeno sa tri nezavisna parametra, tj. ima tri stepeni slobode kretanja. To su dve translacije duž osa x i y i jedna rotacija oko upravne ose ( osa z) na presek S. Položaj preseka S može da se odredi položajem

Slika 3.10. Ravno kretanje tela

Slika 3.11. Položaj preseka S u ravni

proizvoljne tačke A sa koordinatama xA i yA i uglom ϕ koji obrazuje proizvoljno povučena a duž AB u preseku S, sa osom x. Tačka A koji je proizvoljno izabran u preseku S zove se pol. Pri kretanju tela tokom vremena se menjaju xA , yA i ϕ. Kretanje tela je poznato, ukoliko su poznate promene ovih generalisanih koordinata po vremenu:

( )( )

( ).tf,tfy,tfx

3

2A

1A

===

ϕ (3.21)

Jednačine (3.21) definišu zakon ravnog kretanja tela.

Razmatrajući dva uzastopna položaja I i II, koje zauzima presek S pri ravnom kretanju tela, prema slici 3.12. To pomeranje može se izvesti najpre jednim translatornim kretanjem, pri kojem prava 11BA zauzima položaj

'12 BA , zatim okretanjem preseka S oko

pola A2 za ugao ϕ do položaja B2. Odavde može se zaključiti, da se ravno kretanje krutog tela sastoji iz dva komponentna kretanja, to su: translatorno kretanje, pri kome se sve tačke tela kreću isto tako kao i pol A i obrtno kretanje oko pola A. Pri proučavanju ravnog kretanja može se za pol izabrati bilo koja tačka. Ako se

pri pomeranju iz položaja I i II (slika 3.12.) izabere tačka B za pol, tada će se telo pomeriti translatornim kretanjem prvo do tačke B2 ( pri tom pomeranju prava 11 AB zauzeće položaj '

12 AB ), zatim okretanjem tela oko tačke B2 za ugao ϕ zauzeće konačni položaj II. Vidi se da se translatorno pomeranje B1B2 razlikuje od translatornog pomeranja A1A2, dok obrtni deo ostaje isti, jer je

'12

'12 BAAB (ugao ϕ je isti). Prema tome, obrtni deo kretanja ostaje isti i ne menja se kada se za

polove biraju druge tačke. Prve dve jednačine (3.21) karaktarišu translatorni deo kretanja a treća obrtanje krutog tela oko pola. Osnovne kinematičke karakteristike ravnog kretanja su brzina i ubrzanje translatornog dela kretanja, koje su jednake brzini i ubrzanju pola ( Avr i Aar ) i ugaona brzina i ugaono ubrzanje (ω i ε ) obrtnog dela kretanja oko pola. Ove veličine u bilo kom trenutku vremena t mogu se odrediti iz jednačina (3.21). Promenom pola menjaju se karakteristike translatornog dela kretaja, dok karaktaristike obrtnog dela kretanja ostaju nepromenjene. 3.3.1. PUTANJA TAČAKA TELA PRI RAVNOM KRETANJU Za određivanje putanje pojedinih tačaka tela, dovoljno da se odredi putanja tačke koja leži u preseku S. Ukoliko je položaj tačke M tela koji se nalazi u preseku S određen ratojanjem AM =l i uglom α prema slici 3.13, a kretanje tela određeno jednačinama (3.21), onda će koordinate tačke M biti određene sa:

( )( ),sinlyy

,coslxx

AM

AM

αϕαϕ

++=++=

(3.22)

Slika 3.12. Komponentna kretaja pri ravnom kretanju tela

gde su: - xA = xA(t); yA =yA(t); ϕ =ϕ(t) poznate funkcije vremena. Jednačine (3.22) definišu zakon kretanja tačke M u ravni xy. Jednačina putanje tačke M se dobija ukoliko se iz jednačina (3.22) eliminiše vreme t. Primer 3.5. Klizači A i B, pričvršćeni za polugu elipsografa, kreću se po međusobno upravnim osama, prikazano na slici 3.14. Rastojanje

lAB = . Odrediti putanju tačke M poluge. Rešenje: Ako se za pol uzima tačka A, od koje je

položaj tačke M određen rastojanjem bAM = , a položaj poluge određen uglom ϕ, tada će koordinate x i y tačke M biti:

ϕcos)lb(x −= , ϕsinby = .

Kada se iz ovih jednačina eliminiše ugao ϕ, dobiće se putanje tačke tj. elipsa:

1by

)lb(x

2

2

2

2

=+−

,

sa poluosama elipsa a=(b-l) i b sa centrom u tački O. Ukoliko se menja rastojanje l i b pomoću odgovarajućih vijaka, u tački M postavljenom olovkom može da se nacrta elipsa sa bilo kojim osama, naravno koje nisu duže od poluge. Zato se ovaj mehanizam zove - elipsograf. 3.3.2. BRZINE TAČAKA TELA KOJE VRŠI RAVNO KRETANJE Kako je već rečeno, ravno kretanje krutog tela sastoji se iz translatornog dela kretanja, pri čemu se sve tačke tela kreću brzinom pola Avr , i iz obrtnog dela kretanja oko tog pola. Brzina bilo koje tačke tela B pri ravnom kretaju, dobija se kao geometrijski zbir brzina ovih dveju komponentnih

kretanja. Uzimajući presek S, u kojem je položaj tačke B u odnosu na koordinatni sistem xy (slika 3.14.)određen vektorom položaja:

ABAB rrr rrr+= .

Vektor brzine tačke B po definiciji je:

dtrd

dtrd

dtrd

v ABABB

rrrr

+== .

U gornjoj jednačini prvi član AA v

dtrd rr

= predstavlja brzinu tačke A

(pola A).

Slika 3.13. položaj tačke M

Slika 3.14. Ilustracija primera 3.5.

Slika 3.15. Brzina tačke B

Drugi član jednačine AB

AB vdtrd rr

= jednak je brzini tačke B pri obrtanju tela oko pola A, i zove se

obrtna brzina tačke B u odnosu na pol A. Iz čega proizilazi: A

BAB vvv rrr+= . (3.23)

Obrtna brzina A

Bvr u skladu sa definicijom obimne brzine pri obrtnom kretanju oko ose, koja prolazi kroz pol A i normalna je na presek S a u skladu sa izrazom (3.15) ima oblik: ABv A

B ×=ωrr

, (3.24) gde je: - ω ugaona brzina obrtanja tela. Na osnovu izraza sledi, da je brzina bilo koje tačke tela (ravne figure) pri ravnom kretanju, jednaka je vektorskom zbiru brzine pola A i obrtne brzine tačke, koju ona ima usled obrtanja oko pola A. Intenzitet i pravac brzine Bvr određuje se konstrukcijom paralelograma, određenog komponentama brzine, prikazano na slici 3.16. Intenzitet obrtne brzine je određen

ωω ⋅=⋅= ABABv AB

r , pri čemu je obrtna brzina normalna na pravac AB, i usmerena je u stranu obrtanja ( ABv A

B⊥ ). Primer 3.6. Odrediti brzinu tačke M na obimu točka, koji se kotrlja bez klizanja po podlozi, ako je brzina središta točka C iznosi vC, a ugao CKM=α, prikazano na slici 3.17. Rešenje:

Ako se tačka C, sa poznatom brzinom izabere za pol, može da se napiše:

CMCM vvv rrr

+= ,

gde je CMv CM ⊥r , a po intenzitetu iznosi:

ωω ⋅=⋅= RMCvCM (R je poluprečnik točka).

Veličina ugaone brzine ω odrediće se iz uslova da tačka K ne klizi po podlozi, pa je u datom trenutku vK = 0. Sa druge strane, kako važi za tačku M, tako može da se napiše i za tačku K da je:

CKCK vvv rrr

+= ,

gde je ωω ⋅=⋅= RKCvCK .

Pošto su za tačku K vektori brzina CKvr i Cvr usmereni duž iste prave, pa će pri vK =0 biti C

CK vv = ,

odakle je RvC=ω . Na kraju sledi da je C

CM vRv =⋅= ω .

Slika 3.16. Vektor brzine tačke B

Slika 3.17. Ilustracija primera 3.6.

Paralelogram vektora brzina CMvr i Cvr biće romb. Ugao između pravca vektora brzine Cvr i C

Mvr je ugao β , jer su kraci koji obrazuju jedan i drugi ugao međusobno normalni. Međutim, važi i to da je β = 2α, kao centralni i periferijalni ugao opisan nad istim lukom. Sada, na osnovu osobine romba, uglovi između vrzina Cvr i Mvr , i između brzina C

Mvr i Mvr su takođe jednaki uglu α. I najzad, pošto su dijagonale romba međusobno normalne, dobije se: KMvicosv2v MCM ⊥=

rα . Sam tok proračuna, kako se vidi, dosta je glomazan. U daljnjem, izložiće se metoda koja omogućava da se slični zadaci reše daleko jednostavnije. 3.3.2.1. Teorema o projekcijama brzina Određivanje brzina na osnovu formule (3.23), kao što je ilustrovano na primeru 3.6. dosta je složeno. Međutim na osnovu ove osnovne zavisnosti, može se dobiti niz drugih metoda, koje su prostije za određivanje brzine tačaka tela. Jedna od tih metoda temelji se na sledećoj teoremi: projekcije brzina dveju tačaka na pravac koji spaja te dve tačke su međusobno jednake. Ukoliko se posmatraju dve proizvoljne tačke tela A i B, i ako se tačka A uzme za pol, prema slici

3.18, na osnovu formule (3.23) može se napisati, da je ABAB vvv rrr

+= . Projektujući obe strane jednačine na pravu AB, pri čemu se, imajući u vidu da je vektor A

Bvr normalan na pravu AB, dobija: βα cosvcosv BA = . (3.24) Time je gornja teorema dokazana. Pomoću ove zavisnosti lako se određuje brzina tačke tela, ako je poznat pravac kretanja te tačke i brzina bilo koje druge

tačke tog tela.

Primer 3.7. Odrediti zavisnost brzina tačaka A i B poluge elipsografa, prikazanog na slici 3.19, pri datom uglu ϕ Rešenje: Pravci brzina tačaka A i B su poznati, jer klizači imaju određene ograničene smerove kretanja. Projektujući sada vektore Avr i Bvr na liniju koja spaja tačke A i B, prema dokazanoj teoremi (3.24) dobije se:

)90cos(vcosv BA ϕϕ −°= ,

odakle je

ϕtgvv BA = .

Slika 3.18. Projekcije brzine dve tačke

Slika 3.19. Ilustracija primera 3.7.

3.3.3. TRENUTNI POL BRZINA Pri ravnom kretanju tela, u svakom trenutku vremena postoji u ravni preseka S jedna tačka, čija je

brzina jednaka nuli i ta tačka se zove trenutni pol brzina. Dakle, trenutnim polom brzina naziva se tačka u preseku S tela čija je brzina u datom trenutku vremena jednaka nuli. Ako tačke A i B imaju brzine Avr i Bvr , pri čemu ovi vektori nisu paralelni (slika 3.20), tačka P koja je određena presekom normalnih pravaca na vektore brzina u datom trenutku vremana nema brzinu ( 0vP =

r ) i to je trenutni pol brzina. Pošto su projekcije brzina na pravac koji spaja dve tačke jednake (prema teoremi o projekcijama brzina tačaka tela), da tačka P ima brzinu, morala bi jednovremeno da bude normalna na dve prave PA i PB , koje se seku u tački P, a to je nemoguće. Pri kretanju se položaj trenutnog pola brzina stalno menja, pa svakom trenutku vremena odgovara poseban

položaj pola brzina. 3.3.4. ODREĐIVANJE BRZINA TAČAKA POMOĆU TRENUTNOG POLA BRZINA Druga i veoma prosta metoda za određivanje brzina tačaka tela pri ravnom kretanju je pomoću trenutnog pola brzina. Ako je za određeni vremenski trenutak t tačka P trenutni pol brzina, prema slici 3.20, brzina tačke A po (3.23) iznosi:

PA

PAPA vvvv rrrr=+= ,

jer je 0vP =r .

Isti rezultat se dobije i za bilo koju drugu tačku tela. Prema tome, brzina bilo koje tačke ravne figure u datom trenutku vremena jednaka je obrtnoj brzini oko ose kroz trenutni pol P (obimnoj brzini pri obrtaju oko trenutnog pola brzina). Intenziteti brzina tačaka saglasno jednačini (3.24) iznosi:

.)PBv(PBv

,)PAv(PAv

BB

AA

⊥⋅=

⊥⋅=r

r

ω

ω (3.25)

Iz jednačine (3.25) sledi, da je:

ω==PBv

PAv BA . (3.26)

Intenziteti brzina pojedinih tačaka tela su proporcionalni njihovim rastojanjima od trenutnog pola brzina. Rastojanja tačaka od trenutnog pola brzina su trenutni poluprečnici obrtaja. Prema tome, intenzitet brzine bilo koje tačke preseka S, jednak je proizvodu trenutnog poluprečnika obrtanja i ugaone brzine ravnog kretanja krutog tela. Na osnovu gornjih rezultata, može se zaključiti sledeće:

Slika 3.20.Trenutni pol brzina

1. Za određivanje trenutnog pola brzina, potrebno je poznavati pravac brzine bilo koje dve tačke. Ukoliko su poznati pravci brzina BA viv rr tačaka A i B, trenutni pol brzina se nalazi u tački u kojoj se seku normale povučene u tačkama A i B na pravce brzina u tim tačkama. 2. Za određivanje brzine proizvoljne tačke tela M potrebno je da se zna intenzitet i pravac brzine neke tačke tela (na pr. A) i pravac brzine neke druge tačke tela (na pr. B). Tada se prvo određuje trenutni pol brzina P povlačeći normale na brzine BA viv rr u tačkama A i B, a po smeru brzine

Avr zna se smer obrtanja tela. U drugom koraku, iz trenutnog pola se povlači prava PM do tačke M, čija se brzina želi odrediti. Pošto je poznat intenzitet brzine vA na osnovu formule (3.26) određuje se intenzitet brzine vM u tački M. Vektor brzine u ovoj tački Mvr usmeren je u smeru obrtanja tela i upravan je na pravu PM . 3. Ugaona brzina tela, na osnovu (3.26) jednaka je u svakom trenutku vremena odnosu brzina bilo koje tačke preseka S tela i rastojanja te tačke od trenutnog pola brzina P.

Primer 3.8. Za polugu elipsografa AM, pravci brzina tačaka A i B su poznati (slika 3.21). Odrediti pravac i smer brzine u tački M. Rešenje: Prvo se odredi trenutni pol brzina. Ako se na pravce vektora brzina BA viv rr povuku normale iz tačaka A i B, u preseku ovih pravih će se nalaziti trenutni pol brzina P poluge. Iz proporcije na osnovu (3.26) se dobija:

PBv

PAv BA = ,

ili

ϕtgvPBPAvv BBA ⋅=⋅= .

Rezultat se slaže sa rezultatom iz primera 3.7. Intenzitet brzine u tački M se dobije na isti način, prema:

PBPMvv BM ⋅= .

Dužina PM može da se izračuna ako je poznato AM,AB i ugao ϕ . Pravac i smer vektora Mvr prikazani su na slici 3.21. Vektor Mvr normalan je na pravu PM ( PMvM ⊥ ), a usmeren je u pravcu

ugaone brzine obrtanja. Ugaona brzina obrtanja poluge je:PBvB=ω .

Slika 3.21. Ilustracija primera 3.8.

3.3.5. POSEBNI SLUČAJEVI ODREĐIVANJA TRENUTNOG POLA BRZINA 3.3.5.1.Ravna figura koja se kotrlja bez klizanja po nepokretnoj površini drugog tela Ako se ravno kretanje ostvaruje pri kotrljanju cilindričnog tela po nepokretnoj površini drugog tela prema slici 3.22, u ovom slučaju je tačka dodira trenutni pol brzina P, jer tačke dodira dva tela pri odsustvu klizanja imaju iste brzine. Pošto je u ovom slučaju jedno telo nepokretno sledi da je vP=0. Primer za ovakvo kretanje je kotrljanje točka po šini. Vektori brzina ostalih tačaka (tačke A, B, C, O) određuju se veoma lako poznavajući pol brzina. Spajanjem tačaka sa polom brzina, vektori brzine imaju smer normale na ove prave, usmerene u smeru kotrljanja točka (ugaone brzine ω). 3.3.5.2. Vektori brzina Avr i Bvr su paralelni, a prava AB koja spaja te tačke nije normalna na

vektore brzina

Takav slučaj trenutnog položaja vektora brzina dat je na slici 3.23. Povlačeći normale na pravce brzina odmah se vidi da se trenutni pol brzina nalazi u beskonačnosti. Na osnovu teorema o projekcijama brzina proizilazi da je:

βα cosvcosv BA = , ili

BA vv = .

Rezultat je očigledan, jer su uglovi α i β međusobno jednaki. To znači, da se u posmatranom trenutku vremena, brzine svih tačaka tela međusobno jednake po intenzitetu, pravcu i smeru, tj. telo u tom trenutku vremena ima trasnslatorno kretanje. Ugaona brzina tela, u tom trenutku vremena jednaka je nuli.

3.5.5.3. Vektori brzina Avr i Bvr su paralelni, a prava AB koja spaja te tačke normalna je na vektore brzina

Slika 3.22. Trenutni pol pri

kotrljanju točka

Slika 3.23. Paralelne brzine

Položaj trenutnog pola se određuje povlačenjem linija od vrhova vektora brzina, i gde linija seče liniju AB ili liniju u produžetku (prema slici 3.24.), nalazi se trenutni pol brzina P. Ova konstrukcija je prikaz proporcije (3.26). Za nalaženje trenutnog pola brzina P u ovom slučaju, pored pravaca brzina, potrebno je poznavati i intenzitete brzina vA i vB. Na slici 3.24.a) prikazana je konstrukcija za slučaj kada brzine imaju iste smerove, pri čemu trenutni pol ne mora uvek da se nalazi unutar konture preseka S, pa je u tom slučaju potrebno zamisliti, da je sa presekom spojena neograničena ravan. Na slici 3.24.b) smerovi brzina su različiti, pa se trenutni pol brzina P u ovom slučaju nalazi unutar rastojanja AB . Vidi se, da je raspored brzina od ose koja se nalazi u trenutnom polu brzina P i normalna je na ravan preseka S, isti kao u slučaju obrtnog kretanja tela oko ose. Ova osa se zove trenutna obrtna osa. Za razliku od fiksne obrtne ose (pri obrtnom kretanju) trenutna obrtna osa (pri ravnom kretanju) za vreme kretanja stalno menja svoj položaj tj. ravno kretanje se satoji iz niza uzastopnih elementarnih okretaja oko trenutnih obtnih osa. Pri rešavanju zadataka, pri određivanju brzine tačaka tela i ugaone brzine tela, potrebno je poznavati intenzitet i pravac brzine jedne tačke tela i pravac brzine druge tačke tela. Na osnovu poznatih podataka, sa ovim veličinama treba započeti rešavanje zadataka. Ukoliko se proučava kretanje mehanizma, koji se sastoji iz više krutih tela, tada je potrebno prikazati sklop u onom položaju, u kome treba odrediti tražene veličine. Bitno je obratit pažnju na to, da svako kruto telo (deo mehanizma) ako vrši ravno kretanje, ima u datom trenutku vremena svoj trenutni pol brzina i ugaonu brzinu. Primer 3.9. Odrediti brzinu tačke M na obimu točka, koji se kotrlja, iz primera 3.6, pomoću trenutnog pola brzina. Rešenje:

Slika 3.24. Paralelne brzine

Tačka dodira P točka (slika 3.25) je trenutni pol brzina, jer je vP=0. Poznato je dalje da je PMvM ⊥

r . Pošto je ugao PMD ugao na polukrugu, on je prav ugao, pa će vektori brzina bilo koje tačke na obimu točka prolaziti kroz tačku D. Radi ilustracije, ucrtana je brzina Evr u tački E na obimu točka. Ako se postavlja proporcija oblika:

PCv

PMv CM = ,

gde su: - RPC = , - αcosR2PM = ,

proizilazi da je:

αcosv2v CM ⋅= .

Rezultat je isti kao i u zadatku 3.6. Ukoliko je tačka M dalja od tačke P, njena brzina biće veća. Najveću brzinu imaće tačka D (pri cosα =1, odnosno pri α =0°). Brzina u tački D iznosiće vD =2vC . Ugaona brzina točka prema izrazu (3.26) je jednaka:

Rv

PCv CC ==ω .

Primer 3.10. Krivaja OA klipnog mehanizma prema slici 3.26, dužine r, obrće se konstantnom ugaonom brzinom ωOA. Dužina klipne poluge je lAB = . Pri datom uglu ϕ odrediti:

1. brzinu klipne poluge (tačke B), 2. položaj tačke M klipne poluge AB, koja ima najmanju brzinu, 3. ugaonu brzinu ωAB klipne poluge. Posebno analizirati položaje mehanizma kada je ϕ =0 i ϕ =90°. Rešenje: Iz datih podataka proizilazi da tačka A ima brzinu vA =r⋅ωOA koja je normalna na polugu OA, a brzina tačke B je usmerena duž prave BO. Na osnovu ovih podataka, koji su dovoljni, potrebno je odrediti kinematičke karakteristike poluge AB. 1. Na osnovu teoreme o projekcijama brzina, može se napisati:

βα cosvcosv BA = .

Ugao OAD , kao spoljašnji ugao trougla OAB, jednak je ϕ+β. Pa sledi da je α =90°-(ϕ+β). Brzina tačke B ima oblik:

Slika 3.25. Ilustracija primera 3.9.

Slika 3.26. Ilustracija primera 3.10.

( )βϕϕωββφω tgcossinr

cos)sin(rv OAOAB +⋅=

+⋅= .

Eliminišući ugao β iz trougla AOB sledi:

lsin

rsin ϕβ

= .

Takođe važi da je:

β

ββ2sin1

sintg−

= .

I brzina tačke B na kraju ima oblik:

ϕϕ

ϕω sinsinrl

cosr1rv222OAB

−

⋅+⋅= .

2. Povlačeći normale na brzine u tačkama A i B, u njihovom preseku se nalazi trenutni pol brzina P za klipnu polugu AB (prava AP je produžetak krivaje OA). Najmanju brzinu će imati tačka M koja je najbliža trenutnom polu P, tj. tačka koja se nalazi na pravoj PM normalnoj na AB. Brzina te tačke iznosi:

( )βϕωα +⋅== sinrcosvv OAAM .

3. Ugaona brzina poluge AB prema formuli (3.26) je jednaka:

,PAv A

AB =ω odnosno PBvB

AB =ω .

Dužine PB i PA mogu da se izračunaju na osnovu podataka datih u zadatku. 4. Kada je ugao ϕ =0 (slika 3.27 a) normala AB na brzinu Avr i normala Bb na pravac brzine Bvr seku se u tački B. Prema tome, tačka B je u datom trenutku položaj trenutnog pola brzina, pa je vB =0. U ovom položaju je:

OAA

Ab lr

ABv

ωω == .

Raspored brzina tačaka klipne poluge AB prikazan je na crtežu. 5. Pri uglu ϕ =90° (slika 3.27 b) brzine Avr i Bvr su paralelne među sobom tako da se njihove normale seku u beskonačnosti. Te sledi, da u tom trenutku vremena sve tačke poluge AB imaju iste brzine, koje su jednake Avr , pa ωAB =0. Primer 3.11.

Slika 3.27. Ilustracija primera 3.10.

Krivaja OA, koja se obrće oko ose O ugaonom brzinom ωOA, nosi na svom kraju osovinu pokretnog zupčanika 1, koji se kotrlja bez klizanja po nepomičnom zupčaniku 2. Poluprečnici zupčanika su međusobno jednaki i iznose r. Za zupčanik 1 zglobom je vezana poluga BD, dužine l, koja je spojena za balansijer DC, prikazano na slici 3.28. Odrediti ugaonu brzinu ωBD poluge u trenutku kada je ona upravna na krivaji OA,ako je u tom trenutku ugao BDC=45°. Rešenje: Za određivanje ωBD potrebno je da se zna brzina bilo koje tačke poluge BD i položaj njenog trenutnog pola brzina. Prvo se određuje brzina tačke B, koja istovremeno pripada i zupčaniku 1. Za zupčanik je poznata brzina vA=2rωOA (pri čemu je OAv A⊥

r ) i trenutni pol brzina P1 (koji se nalazi u tački dodira zupčanika 1 i 2). Pošto je BPv 1B⊥

r i na osnovu teoreme o projekcijama brzina sledi:

AB v45cosv =° ,

odakle je 2r22vv OAAB ω== .

Sada je za polugu BD poznata brzina Bvr i pravac brzine Dvr ( DCvD⊥

r ). Ako se povuče normala na brzine Bvr i Dvr , u njihovom preseku će se nalaziti trenutni pol brzina PBD poluge BD .Sa slike se vidi da je odsečak:

2l21BPBD = .

Tada je

OABD

BBD l

r4BP

vωω == .

Bitno je tu napomenuti, da je povlačenje normala na vektore brzina Avr i Dvr radi određivanja trenutnog pola brzina pogrešno, jer tačke A i D pripadaju različitim telima i presek pomenutih normala ne određuje nikakav trenutni pol brzina. Primer 3.12. Na osovinu O nasađena su nezavisno jedan od drugog zupčanik 1 i krivaja OA, koja se obrće ugaonom brzinom ωOA. Krivaja nosi osovinu A zupčanika 2, čvrsto vezanu za polugu AB, koja prolazi kroz obrtni zglob C, prema slici 3.29. Poluprečnici zupčanika 1 i 2 su jednaki. Odrediti ugaonu brzinu ω1 zupčanika 1 u trenutku kada je OCOA⊥ , ako je u tom položaju ugao ACO=30°. Rešenje:

Slika 3.28. Ilustracija primera 3.11.

Da bi se odredila ugaona brzina ω1 zupčanika 1 potrebno je da se odredi brzina njegove tačke E. Ta brzina će se naći iz uslova, da istu brzinu ima i tačka E na zupčaniku 2. Za zupčanik je poznat pravac i intenzitet brzine u tački A:

OAAA r2v,OAv ω=⊥r ,

pri čemu je r poluprečik zupčanika. Pored toga, poznat je i pravac brzine Evr , međutim to je u datom slučaju nedovoljno, jer je AE vv rv . Po teoremi o projekcijama, intenzitet brzine vE ne može da se odredi, jer su brzine Evr i Avr upravne na AE. Za dalje rešavanje problema, iskoristiće se činjenica da zupčanik 2 i poluga AB obrazuju jedno telo, jer su čvrsto spojeni. Za to telo poznat je pravac brzine tačke C. Naime vektor Cvr usmeren je duž CA, jer u tački C poluga prolazi kroz zglob. Ako se ucrtaju normale na brzine Avr i Cvr , odrediće se položaj trenutnog pola brzina tela BAE, tačka P. Prema uslovima koji su dati u zadatku, ugao ACO=30°, može se napisati da je i ugao CPA=30°. Tada se može napisati da je:

r7PE,r8AC2PA,r4AO2AC ==⋅==⋅= . Tada iz proporcije:

PAv

PEv Ae = ,

sledi, da je

OAAE r87v

87v ω⋅== .

Odavde je :

OAE

1 47

OEv

ωω == .

3.3.6. UBRZANJA TAČAKA PRI RAVNOM KRETANJU Slično kao i brzina pri ravnom kretanju, i ubrzanje bilo koje tačke se sastoji iz ubrzanja koje tačka ima pri translatornom i obrtnom kretanju tela. Z određivanje ubrzanja tačke tela izvršiće se diferenciranje izraza za brzinu pri ravnom kretanju (3.23), koji iznosi:

ABvvvv AABAB ×+=+= ωrrrrr .

Diferenciranjem gornjeg izraza po vremenu dobija se:

Slika 3.29. Ilustracija primera 3.12.

dtABdAB

dtd

dtvd

dtvd AB ×+×+= ωω r

rrr

,

gde su:

- BB a

dtvd rr

= vektor ubrzanja tačke B,

- AA a

dtvd rr

= vektor ubrzanja tačke A,

- εω rr

=dtd vektor ugaonog ubrzanja preseka S,

- ABvAB

dtABd rr

=×=ω prema (3.24) i može da se napiše:

( )ABABaa AB ××+×+= ωωεrrrrr ,

zadnji član jednačine ima oblik:

( ) 2ABAB ωωω ⋅−=××rr , jer je AB⊥ω

r , što daje:

2AB ABABaa ωε ⋅−×+=

rrr .

U ovoj jednačini zadnja dva člana određuju ubrzanje tačke B pri obrtanju zajedno sa telom oko pola A, prema tome A

B2 aABAB rr=⋅−× ωε , koji se zove obrtno ubrzanje tačke B oko pola A. U

krajnjoj formi jednačina ubrzanja tačke pri ravnom kretanju ima oblik: A

BAB aaa rrr+= . (3.27)

Prema tome, ubrzanje bilo koje tačke tela B pri ravnom kretanju, jednako je geometrijskom zbiru ubrzanja neke druge tačke tela A, koji je uzeta za pol i ubrzanja tačke B pri njegovom obrtanju oko tog pola. Obrtno ubrzanje tačke B ima dve komponente, normalnu i tangencijalnu prema:

2AB ABABa ωε ⋅−×=

rr , gde su: - ABa A

Bt ×= εrr tangencijalna komponenta,

- 2ABn ABa ω⋅−=r normalna komponenta obrtnog ubrzanja.

Pa ubrzanje tačke B ima oblik: A

BnABtAB aaaa rrrr++= . (3.28)

Intenzitet i pravac ubrzanja Bar se određuje konstrukcijom odgovarajućeg paralelograma iz komponenata ubrzanja prema slici 3.30. Vektor A

Btar je normalan na AB i usmeren prema smeru obrtanja, ukoliko je obrtanje ubrzano, odnosno ima suprotan smer obrtanja, ako je obrtanje usporeno. Vektor A

Bnar usmeren je uvek od tačke B prema tački A (polu).

Intenziteti tangencijalnog i normalnog obrtnog ubrzanja se izračunaju prema sledećim jednačinama:

.ABa

,ABa2A

Bn

ABt

ω

ε

⋅=

⋅= (3.29)

Intenzitet obrtnog ubrzanja ima oblik:

42aB ABa ωε += . (3.30)

Ugao koju zaklapa vektor obrtnog ubrzanja sa vektorom normalne konponente obrtnog ubrzanja se izračunava po obrascu:

2tgωε

γ = . (3.31)

Ako pol A vrši bilo kakvo krivolinijsko kretanje umesto pravolinijskog, onda će se i njegovo ubrzanje sastojati iz dve komponente, tangencijalne i normalne, pa ubrzanje taćke B tada ima oblik: A

BnABtAtAnB aaaaa rrrrr+++= . (3.32)

Ubrzanje bilo koje tačke B preseka S jednako je vektorskom zbiru ubrzanja tačke A koje je uzeta za pol i obrtnog ubrzanja tačke B oko pola A. Primer 3.13. Središte točka O koji se kotrlja po pravolinijskom putu (šini), ima u datom trenutku vremena brzinu vO = 1[m/s] i ubrzanje aO =2 [m/s2]. Poluprečnik točka jednak je R = 0,2 [m]. Odrediti ubrzanje

tačke B kraja prečnika AB, koji je upravan na OP, i ubrzanje tačke P, koja se poklapa sa trenutnim polom brzina, prema slici 3.31. Rešenje: Pošto su Ovr i Oar poznate veličine, usvojiće se tačka O za pol. U prvom koraku određuje se ugaona brzina ω . Tačka dodira P je trenutni pol brzina, prema tome ugaona brzina točka je:

Rv

POv oO ==ω . (a)

Pravac i smer za ω određuje se na osnovu pravca i smera brzine Ovr , kako je dato na slici 3.31.

U drugom koraku se određuje ugaono ubrzanje ε. Pošto u jednačini (a) veličina RPO = ostaje konstantna pri bilo kom položaju točka, to diferencirajući ovu jednačinu po vremenu dobija se:

,dt

dvR1

dtd O⋅== εω odnosno

RaO=ε . (b)

Slika 3.30. Komponente ubrzanja tačke pri ravnom

kretanju tela

Slika 3.31. Ilustracija primera 3.13.

Znaci za ε i ω se poklapaju, pa je obrtanje točka ubrzano. Napomena: Ne treba misliti, da je veličina vO konstantna, ako je po uslovima zadatka vO = 1[m/s], jer veličina vO u zadatku data je za određeni trenutak vremena. U toku vremena veličina vO se menja, jer je aO≠0.

U datom slučaju je OOO av

dtdv

== & , jer se tačka O kreće pravolinijskim kretanjem. U opštem

slučaju je OtO a

dtdv

= .

U trećem koraku određuju se vektori obrtnog ubrzanja ( OBtar i O

Bnar ). Pošto se pol nalazi u tački O na osnovu (3.28) biće: O

BnOBtOB aaaa rrrr++= (c)

Po uslovima zadatka je RPO = i [ ]2O

OBt s/m2aBOa ==⋅= ε , [ ]2

2O2O

Bn s/m5Rv

BOa ==⋅= ω .

(d) Na slici 3.31 prikazane su odvojeno u tački B komponente vektora ubrzanja Bar . Vektor

Oar premešten iz tačke O, vektor OBtar povučen u smeru obrtanja, jer je kretanje ubrzano i vektor o

Bnar ima smer uvek od tačke B prema polu O . Na kraju se izračunava veličina ubrzanja u tački B Bar . Na osnovu rasporeda vektora ubrzanja u tački B i za označen koordinatni sistem, projekcije ubrzanja iznosi:

[ ]2O

OBnBx s/m3aaa =−= , [ ]2O

BtBy s/m2aa == , odakle je

[ ]22By

2Bxb s/m6,313aaa ≈=+= .

Na isti način se može dobiti i ubrzanje tačke P koje je jednako [ ]2O

PnP s/m5aa == i usmereno je duž PO. Na taj način, ubrzanje tačke P, čija je brzina u datom trenutku jednaka muli, nije jednako nuli. Primer 3.14. Po nepomičnom zupčaniku 1, poluprečnika r1 = 0,3 [m], kotrlja se zupčanik 2, poluprečnika r2= 0,2 [m], koji je nasađen na krivaju OA. Krivaja, koja se obrće oko ose O ima u datom trenutku ugaonu

brzinu ω =1 [s-1] i ugaono ubrzanje ε = -4 [s-2], prikazano na slici 3.32. Odrediti u tom trenutku vremena ubrzanje tačke D koja se nalazi na obimu pokretnog zupčanika (poluprečnik AD upravan je na krivaju). Rešenje: Za rešavanje zadatka potrebno je da se razmotri kretanje zupčanika 2. Na osnovu datih podataka lako je naći brzinu Avr i ubrzanje Aar tačke A ovog zupčanika, koja se uzima za pol. - Određivanje brzine Avr i Aar . Znajući ω i ε krivaje, brzina i ubrzanje je određeno:

Slika 3.32. Ilustracija primera 3.14.

[ ]s/m5,0OAv A =⋅= ω , [ ]2

At s/m2OAa −=⋅= ε ,

[ ]22An s/m5,0OAa =⋅= ω .

Pošto su znaci vA i aAt različiti, kretanje tačke A iz datog položaja je usporeno. Vektori Atar i Anar imaju pravce, koji su prikazani na slici 3.32. - Određivanje ω2. Tačka dodira P je trenutni pol brzina za zupčanik 2, prema tome ugaona brzina zupčanika 2 iznosi:

[ ]12

2

AA2 s5,2,

rv

PAv −=== ωω .

Smer za ω2 (smer obrtanja zupčanika) određuje se na osnovu smera brzine vA, prikazano je na slici. - Određivanje ε2. Kao i u prethodnom primeru, veličina 2rPA = za sve vreme kretanja je konstantna, pa ugaono ubrzanje iznosi:

[ ]22

2

AtA

2

22 s10,

ra

dtdv

r1

dtd −−==⋅== εω

ε .

Pošto su znaci za ω2 i ε2 različiti, obrtanje zupčanika 2 je usporeno. - Određivanje A

Dtar i ADnar . Ubrzanje tačke D se određuje prema formuli (3.32):

ADn

ADtAnAtD aaaaa rrrrr+++= .

U ovom slučaju je 2rDA = , pa

[ ] [ ]222

ADn

22

ADt s/m25,1DAa,s/m2DAa =⋅=−=⋅= ωε .

Na slici su posebno prikazani vektori iz kojih se sastoji ubrzanje Dar , tj. Atar , Anar (preneto iz tačke D), A

Dtar (uzima se u suprotnom smeru od obrtanja, jer je obrtanje usporeno), ADnar (uzima se od

tačke D ka polu A). - Izračunavanje Dar . Povlačeći ose x i y projekcije ubrzanja su:

[ ] [ ]2An

ADtDy

2ADnAtDx s/m5,1aaa,s/m25,3aaa =−==+= ,

odakle je

[ ]22Dy

2DxD s/m58,3aaa ≈+= .

Primer 3.15. Za krivaju OA, koja se ravnomerno obrće oko ose O ugaonom brzinom ωOA=4 [s-1], pričvršćena je poluga AB, koja je vezana za balansijer BC. Date su dimenzije: [ ]m5,0rOA == , r2AB = ,

2rBC = . U položaju prikazanom na slici 3.33, ugao OAB=90°, ugao ABC=45°. Odrediti za ovaj položaj ubrzanje tačke B poluge, a takođe i ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje balansijera BC.

Rešenje: Zadatak se može rešiti grafički ili analitički. I. Grafičko rešenje. Posmatrajući kretanje poluge AB, za pol se uzima tačka A. Pošto je ωOA=const, za tačku A može se napisati: [ ] [ ]22

OAAnAOAA s/m8raa,s/m2rv =⋅===⋅= ωω . (a)

Na slici 3.33 su prikazani vektori

Avr i Aar . - Određivanje ωAB. Putanja tačke B poluge je poznata (krug poluprečnika BC ). Pošto je poznat pravac brzine

( )BCvv BB ⊥rr , može

da se odredi položaj trenutnog pola brzina P poluge AB. Sa slike se vidi da je

r2ABAP == . Tada je:

APv A

AB =ω , odnosno [ ]1AOAB s2

21 −== ωω . (b)

Smer okretanja prikazan je na crtežu. U ovom primeru rastojanje PA , pri kretanju mehanizma se menja i za određivanje εAB ne može se upotrebiti isti način kao u prethodnom primeru, pa će se odredi prvo veličine A

Bna i Bna . - Određivanje A

Bnar . Pošto je poznat ωAB po formuli (3.29) sledi: [ ]22

ABABn s/m4ABa =⋅= ω . (c)

- Određivanje Bnar . Pošto je poznata putanja tačke B, može da se odredi normalno ubrzanje aBn te tačke. Na osnovu teoreme o projekcijama brzina, projekcije brzina na polugu BA daju:

AB v45cosv =° , odakle

2vv AB = , i tada

[ ]22A

2B

Bn s/m282r

v2BCv

a === . (d)

- Određivanje Bar . Ubrzanje tačke B sastoji se iz dve komponente, i jednako je BnBtB aaa rrr

+= . Sa druge strane, veličina Bar određena je formulom (3.28). Odavde sledi da je: BtBn

ABt

ABnA aaaaa rrrrr

+=++ . (e)

Slika 3.33. Ilustracija primera 3.15.

Na slici 3.33 ova jednačina je prikazana grafički. Iz proizvoljnog centra O1, u određenoj razmeri, povuče se vektor 11A aOa =

r , zatim se od tačke a1 povuče vektor kaa 1ABn =r ( ABa A

Bnr ) kroz tačku k

povlači se prava kb1 upravno na a1k. Ova prava određuje pravac ABtar i negde na njoj leži kraj

traženog vektora Bar .

U daljnjem, iz tačke O1 se povuče vektor nOa 1Bn =r , (pri čemu BCaBn

r ), a zatim upravno na njega

pravu nb1, koja određuje pravac Btar . Kraj vektora Bar treba takođe da leži na toj pravoj, što zanči

da tačka b1, u kojoj se seku prave kb1 i nb1, određuje kraj vektora Bar . Prema tome 11B bOa =r .

Ako se sada izmeri dužina 11bO i ako se pomnoži sa usvojenom razmerom crteža, veličina ubrzanja u tački B iznosi aB≈13 [m/s2]. Sa slike slede i ostale konponente A

Bt1 akb r= i Bt1 anb r

= .

- Određivanje εAB. Ako se odredi dužina 1kb , na osnovu formule (3.29) sledi:

BAkb

BA

a1

ABt

AB ==ε .

Uzimajući u obzir razmeru crteža, vrednost za [ ]2

AB s20 −=ε . Sa crteža se vidi da će vektor

ABAB vvv rrr

−= biti usmeren suprotno od smera vektora ABtar , prema tome, obrtanje štapa AB je

usporeno, a [ ]2AB s20 −−=ε .

II Analitičko određivanje Bar . Posle izvršenih svih proračuna u prethodnim tačkama (a do d), potrebno je konstruisati vektorski poligon koji izražava jednačinu (e). Povlačeći koordinatnu osu x upravnu na nepoznati vektor A

Btar i projektujući obe strane jednačine (e) na tu osu, dobija se:

°−°= 45cosa45cosaa BtBnABn .

Iz ove jednačine sledi: 2424282aaa A

BnBnBt =−=⋅−= . I konačni rezultat je :

( ) ( ) [ ]22BN

2BtB s/m65,12104aaa ≈=+= .

Ako je potrebno da se brojčano odredi εAB tada, projektujući obe strane jednačine (e) na osu O1n, upravnu na Btar , se dobija:

BnABt

ABna a45cosa45cosa45cosa =°+°+°− .

Odavde sledi: [ ]2

BnABnA

ABt s/m202aaaa =+−= ,

i

[ ]2ABt

Ab s20AB

a−==ε .

Posle određivanja veličina vB i aBt , mogu da se nađu ugaona brzina i ugaono ubrzanje balansijera BC iz formula:

BC

a,

BCcv Bt

BCB

BC == εω .

Kada se izračunaju, vrednosti ovih veličina iznose: ]s[8],s[4 2BC

1Bc

−− −== εω (znak - znači da je smer ubrzanja Btar suprotan od smera brzine Bvr ).

4. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE

TAČKE

4.1. JEDNAČINE KRETANJA Kretanje krutog tela, pri kome bilo koja tačka tela pri kretanju ostaje nepokretna, naziva se obrtanje krutog lela oko nepokretne tačke ili sferno kretanje, jer se sve tačke tela kreću po sferama čiji je centar u nepomičnoj tački. Nepokretna tačka može da pripada telu, ili da se nalazi van njega, ali tada mora biti na neki način čvrsto vezano za telo. Ako se nepokretna tačka O usvoji za početak nepokretnog Dekartovog koordinatnog sistema (x0 , y0 , z0 ) i osim nepokretnog uvede i pokretni koordinatni sistem ( x1 , y1 , z1 ) sa početkom u tački O, ali čvrsto vezan za telo, prema slici 4.1, tada se položaj tela pri obrtanju oko nepokretne tačke jednoznačno biti određen položajem pokretnog koordinatnog sistema ( x1 , y1 , z1 ) u odnosu na nepokretni (x0 , y0 , z0 ).

Jedan od postupaka određivanja međusobnog položaja ovih koordinatnih sistema je Ojlerov postupak. Ojler je pokazao da se položaj tela pri obrtanju oko nepokretne tačke jednoznačno može odrediti sa tri ugla, koji se po njemu nazivaju Ojlerovi uglovi. Definisanje međusobnog položaja koordinatnih sistema pomoću t.z. modifikovanih Ojlerovih uglova prikazaće se u daljnjem. Smatra se da se u početku oba koordinatna sistema poklapaju. Zatim se prvo obrne koordinatni sistem x1 , y1 , z1 oko vertikalne ose z0 za ugao ψ (ugao skretanja). Druga rotacija se izvrši oko ose y0 za ugao ϑ (ugao propinjanja), a treća rotacija oko ose x0 za ugao ϕ (ugao valjanja), prikazano na slici 4.1. Uglovi ψ , ϑ i ϕ nazivaju se modifikovanim Ojlerovim uglovima.

Pomoću ovih uglova, položaj tela pri obrtanju oko nepokretne tačke, određen je sa tri geleralisane koordinate i prema tome kruto telo koji se obrće oko nepokretne tačke ima tri stepena slobode kretanja n = 3 (može da vrši tri nezavisna obrtanja). Modifikovani Ojlerovi uglovi ψ , ϑ i ϕ menjaju se tokom vremena, prema tome oni su neke funkcije vremena t i njihove parametarske jednačine su:

).t(f),t(f),t(f

3

2

1

===

ϕϑψ

(4.1)

Jednačine 4.1 nazivaju se zakoni sfernog kretanja.

Slika 4.1. Modifikovani Ojlerovi uglovi

Uglovi rotacije oko koordinatnih osa nazivaju se još: - ψ je ugao precesije (ugao skretanja, engl. ROLL) - ϑ je ugao nutacije (ugao propinjanja, engl. PITCH) - ϕ je ugao sopstvene rotacije (ugao valjanja, engl. YAW) Međusobna veza pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema određuje se posmatranjem svakog obrtanja ponaosob, prema sledećim prikazima: 1. Obrtanje za ugao ψ (ugao skretanja - ROLL)

Prvo obrtanje oko ose z0 prikazano je na slici 4.2. Pod a) u prostoru, a pod b) gledano u ravni x0 y0. Veza između jediničnih vektora pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema na osnovu slike 4.2.b) može da se napise u obliku:

.kk

,cosjsinij

,sinjcosii

0

00

00

rr

rrr

rrr

=′

⋅+⋅−=′

⋅+⋅=′

ψψ

ψψ

Ista jednačina napisana u matričnom obliku glasi:

0

00

00

0

0

0

k

cosjsini

sinjcosi

k

j

i

1000cossin0sincos

k

j

i

r

rr

rr

r

r

r

r

r

r

ψψ

ψψ

ψψψψ

+−

+

=⋅−

=

′

′

′

.

Vezu između ovih koordinatnih sistema, pri obrtanju pod uglom ψ predstavlja matrica transformacije oblika:

1000cossin0sincos

)(R ψψψψ

ψ−

= . (4.2)

Slika 4.2. Obrtanje za ugao ψ

2. Obrtanje za ugao ϑ (ugao propinjajna - PITCH)

Drugo obrtanje prethodno obrnutog koordinarnog sistema se vrši oko ose y' prikazano na slici 4.3 a) u prostoru, b) u ranvi x' z' gledano iz pravca y' ose. Veza između jediničnih vektora pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema na osnovu slike 4.3.b) može da se napise u obliku:

.cosksinik

,jj

,sinkcosii

ϑϑ

ϑϑ

⋅′+⋅′=′′

′=′′

⋅′−⋅′=′′

rrr

rr

rrr

Vezu između ovih koordinatnih sistema, pri obrtanju pod uglom ϑ predstavlja matrica transformacije oblika:

ϑϑ

ϑϑϑ

cos0sin010

sin0cos)(R

−= . (4.3)

3. Obrtanje za ugao ϕ (ugao valjanja- YAW) Treće obrtanje oko ose x'' prikazano je na slici 4.4. a) u prostoru, b) u ravni y'' z'' gledano iz pravca ose x''. Veza između jediničnih vektora pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema na osnovu slike 4.4.b) može da se napiše u obliku:

.cosksinjk

,sinkcosjj

,ii

ϕϕ

ϕϕ

⋅′′+⋅′′−=′′′

⋅′′+⋅′′=′′′

′′=′′′

rrr

rrr

rr

Slika 4.3. Obrtanje za ugao ϑ

Vezu između ovih koordinatnih sistema, pri obrtanju pod uglom ϕ predstavlja matrica

transformacije oblika:

ϕϕϕϕϕ

cossin0sincos0

001)(R −= . (4.4)

Potpuna transformacija, koja uzima u obzir sve tri rotacije istovremeno, dobija se kao proizvod tri matrice (4.2, 4.3 i 4.4) koja se zove matrica rotacije oblika:

.coscoscossinsin

sincoscossinsincoscossinsinsincossinsinsincossincoscossinsinsincoscoscos

)(R)(R)(RR10

ϕϑϑϕϑϕψϕϑψϕψϕϑψϑψϕψϕϑψϕψϕϑψϑψ

ϕϑψ−

−++−

==

Gornja matrica rotacije najčešće je prikazana u obliku:

z3z2z1

y3y2y1

x3x2x1

eeeeeeeee

R = . (4.5)

Članovi matrice e predstavljaju trigonometrijske zavisnosti pojedinih uglova rotacije. Veza vektora položaja rr u nepokretnom (x0 ,y0 ,z0) koordinatnom sistemu i vektora pr u pokretnom koordinatnom sistemu (x1 ,y1 ,z1) može da se napiše u obliku: pRr rr

⋅= (4.6) gde je: - R matrica rotacije.

Slika 4.4.Obrtanje za ugao ϕ

4.2. TRENUTNA UGAONA BRZINA Vektor trenutne ugaone brzine ωr tela koje se obrće oko nepokretne tačke određen je vektorskim zbirom komponentnih ugaonih brzina, prema:

0kjir

&r

&&&r&r&rr⋅+′⋅+′′⋅=++= ψϑϕϕϑψω . (4.7)

gde su: - ψ&r ugaona brzina precesije,

- ϑ&r

ugaona brzina nutacije, - ϕ&r ugaona brzina sopstvene rotacije. Projekcije vektora ugaone brzine (ωr ) na ose nepokretnog koordinatnog sistema (x0 ,y0 ,z0) se određuju pomoću jednačina transformacije u sledećem obliku:

( )( )( ) .kkjik

,jkjij

,ikjii

000z

000y

000x

rr&

r&

r&

rr

rr&

r&

r&

rr

rr&

r&

r&

rr

⋅⋅+′⋅+′′⋅=⋅=

⋅⋅+′⋅+′′⋅=⋅=

⋅⋅+′⋅+′′⋅=⋅=

ψϑϕωω

ψϑϕωω

ψϑϕωω

Uvrštavajući odgovarajuće jednačine transformacije, izrazi postaju:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) .kkcosjsinisinkcossinjcosi

,jkcosjsinisinkcossinjcosi

,ikcosjsinisinkcossinjcosi

0000000z

0000000y

0000000x

rr&

rr&

rrr&

rr&

rr&

rrr&

rr&

rr&

rrr&

⋅⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=

ψψψϑϑϑψψϕω

ψψψϑϑϑψψϕω

ψψψϑϑϑψψϕω

Posle množenja, izrazi u krajnjoj formi su:

.sin

,coscossin

,sincoscos

z

y

x

ψϑϕω

ψϑϑψϕω

ψϑϑψϕω

&&

&&

&&

+⋅−=

⋅+⋅⋅=

⋅−⋅⋅=

(4.8)

Projekcije ugaone brzine (ωr ) na koordinatne ose, određene po jednačinama (4.8) nazivaju se Ojlerovim kinematičkim jednačinama. Veličina (intenzitet) trenutne ugaone brzine je:

2z

2y

2x ωωωω ++= . (4.9)

Pravac vektora ugaone brzine zaklapa uglove sa koordinatnim osama po izrazima:

( ) ( ) ( )ωω

ωωω

ωωω

ω z0

y0

x0 k,cos,j,cos,i,cos =∠=∠=∠

rrrrrr. (4.10)

Za male uglove rotacije ψ,ϑ,ϕ vrednosti trigonometrijskih funkcija

0,,sin,1,,cos ≈≈ ϕϑψϕϑψ , pa projekcije trenutne ugaone brzine postaju: ψωϑωϕω &&& ≈≈≈ zyx ,, . (4.11) 4.3. TRENUNO UGAONO UBRZANJE

Projekcije vektora ugaonog ubrzcanja εr na ose nepokretnog koordinatnog sistema, jednake su izvodima po vremenu odgovarajućih projekcija vektora ugaone brzine ωr :

.dt

d,

dtd

,dt

dz

zzy

yyx

xx ω

ωεω

ωεω

ωε &&& ====== (4.12)

Intenzitet vektora trenutnog ugaonog ubrzanja je:

2z

2y

2x εεεε ++= . (4.13)

Pravac vektora εr u odnosu na ose nepokretnog koordinatnig sistema određen je uglovima:

( ) ( ) ( ) .k,cos,j,cos,i,cos z0

y0

x0 ε

εε

εε

εεε

ε =∠=∠=∠rrrrrr

(4.14)

Obrtanje krutog tela oko nepokretne tačke našlo je primenu u proučavanju kinematičkih karakteristika kretanja aviona i brodova (slika 4.5.). Posebno treba ovde istaći važnost obrtanja tela oko nepokretne tačke pri definisanju kinematičkih karakteristika kretanja robota.

Najjednostavniji primer obrtanja tela oko nepokretne tačke je obrtanje koničnog zupčastog para, ako je jedan od zupčanika fiksiran. Primer 4.1. Odrediti brzine tačaka B i C konusnog zupčanika (slika 4.6), ako je brzina obrtanja središta A zupčanika po njegovoj putanji poznata. Konusni zupčanik se pri kretanju kotrlja bez klizanja po nepomičnoj konusnoj površini K.

Slika 4.5. Kretanje aviona i broda

Rešenje: Konusni zupčanik se obrće oko nepokretne tačke O. Tačke zupčanika, koje leže na pravoj OB, moraju imati iste brzine, kao i tačke površine K, jer se zupčanik kotrlja po njoj bez klizanja. Prema tome, brzine tačaka jednake su nuli i prava OB je trenutna obrtna osa konusnog zupčanika. Tada je vA=h1⋅ω , gde je ω - ugaona brzina zupčanika pri njegovom obrtanju oko ose OB, h1 - rastojanje tačke A od te ose. Odavde je ω = vA/h1. Brzina vC tačke C biće jednaka h2⋅ω, gde je h2 - rastojanje tačke C od ose OB. Kako je u datom slučaju h2 = 2h1, to je vC = 2vA . Za tačku B, koja leži na trenutnoj obrtnoj osi, vB =0.

Primer 4.2. Kružni konus (1) poluprečnika osnove R = 20 [cm] i visine h = 20⋅ 3 [cm] kotrlja se po kružnom konusu (2) i pri tome za 1 minut načini 15 obrtaja (slika 4.7). Odrediti: a) ugaonu brzinu precesije, sopstvene rotacije i trenutnu ugaonu brzinu pokretnog konusa (1), b) veličinu brzine tačke A tog konusa. Rešenje: a) Konus (1) se kreće sfernim kretanjem, jer mu je tačka O nepokretna. Ugaona brzina precesije izračunava se po obrascu:

[ ]1p s57,1

30n −=⋅

=πω .

Vektor ove ugaone brzine leži na Oz osi, a smer joj je uperen naniže zbog pretpostavljenog smera kretanja konusa (1). Vektor ugaone brzine sopstvene rotacije sω

r leži u pravcu i smeru Oy ose. Trenutna osa obrtanja, a sa njom i vektor trenutne ugaone brzine ωr , leže na izvodnicama u kojima se konusi dodiruju. Veličina trenutne ugaone brzine izračunava se na osnovu paralelograma ugaonih brzina (slika 4.7) odakle je :

]s[14,3sin

1p −=== πα

ωω ,

a takođe i:

]s[72,22

3ctg 1ps

−==⋅=παωω ,

jer je:

°=

=⇒== 30

31arctg

31

hRtg αα .

Kraj trenutne ugaone brzine opisuje krug, jer je ω = const. Ugaono ubrzanje ωε &rr

= je geometrijski jednako brzini ur kraja vektora trenutne ugaone brzine ωr . Ono ima pravac tangente na hodograf trenutne ugaone brzine i određuje de po obrascu:

ωωω rrr&r ×== pu . Intenzitet ugaonog ubrzanja se prema tome izračunava kao intenzitet gornjeg vektorskog proizvoda, tj:

( )ωωωωωεrr

& ,sin pp ∠⋅⋅== .

Slika 4.6. Ilustracija primera

4.1.

Slika 4.7. ilustracija primera 4.2.

Napomena: ugaono ubrzanje tela, koje se kreće sfernim kretanjem, ima u opštem slučaju, kada je

const≠ω , još jednu komponentu čiji je intenzitet jednak izvodu intenziteta trenutne ugaone brzine, a koja leži na trenutnoj osi obrtanja. U opštem slučaju je vektor ugaonog ubrzanja jednak:

ωωωωωrrr&r ×+= p0dt

d ,

gde je: - 0ω

r jedinični vektor trenutne ose obrtanja Ω. U ovom zadatku je ( ) αωω −°=∠ 90,p

rr , pa je intenzitet ugaonog ubrzanja tela:

]s[26,44

323

2)90sin( 2

2

p−=

⋅=⋅⋅=−°⋅⋅==πππαωωωε & .

b) Brzina tačke A ima, zbog smera obrtanja konusa (1), pravac i smer Ox ose (slika 4.7 a) a intenzitet joj se računa po obrascu:

]s/cm[6,108320cosR2hv A ==⋅⋅=⋅= πωαωΩ ,

gde je najkraće rastojanje tačke A od trenutne ose obrtanja:

]cm[320cosR2h =⋅= αΩ .

Primer 4.3.

Krivaja K datog mehanizma (slika 4.8) obrće se ugaonim ubrzanjem ]s[2

2K

−=πω , a početna

brzina joj je bila ]s[ 20K

−= πω . Svojim obrtanjem krivaja dovodi u kretanje konusni zupčanik (1) poluprečnika r, koji je spregnut sa nepokretnim konusnim zupčanikom (2) poluprečnika R =2r. Odrediti u trenutku t=1 [s] ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje zupčanika (1) i veličinu brzine tačke A toga zupčanika. Rešenje: Tačka O je nepokretna pa je kretanje zupčanika (1) sferno. Ugaona brzina krivaje je ugaona brzina precesije i menja se po zakonu:

]s[2t1t 2

K0Kp−

+=⋅+= πωωω .

Ugaonu brzinu sopstvene rotacije ωs i trenutnu ugaonu brzinu ω moguće je odrediti na osnovu

paralelograma sa slike 4.8. Veličine tih ugaonih brzina su:

,2t12ctgps

+⋅=⋅= παωω

i

Slika 4.8. Ilustracija primera 4.3.

,2t15

55sinpp

+⋅=== π

ωα

ωω

gde je :

552cosi,

25sin,

21tg ⋅

=== ααα .

Za dati trenutak vremena t = 1 [s] vrednosti ovih ugaonih brzina su:

]s[2

53],s[3 11s

−− == πωπω .

Ugaono ubrzanje zupčanika (1) ima dve komponente, tj.:

21 ωωω &r&r&r += .

Prva komponenta leži na trenutnoj osi obrtanja i ima intenzitet koji je jednak izvodu intenziteta trenutne ugaone brzine i iznosi:

]s[25

dtd 2

1−== πωω& .

Druga komponenta je određena:

ωψωωω r&rrr&r ×=×= p2 , i ima veličinu:

( )2

2pp2 2

t12,sin

+⋅=∠⋅⋅= πωωωωω rr

& ,

što za t = 1 [s] iznosi:

]s[29 22

2−= πω& .

Vektor 2ω&r je upravan na ravan vektora pω

r i ωr , dok je vektor 1ω&r kolinearan sa ωr . To znači da je

uvek 21 ωω &r&r ⊥ . Zbod ove činjenice, se veličina ugaonog ubrzanja računa po Pitagorinoj teoremi. U ovom slučaju to iznosi:

( ) ]s[8152

2222

21

−+⋅=+= ππωωω &&& .

Brzina tačke A zupčanika (1) je:

]s/cm[r6hva πωΩ =⋅= , gde najkraće rastojanje tačke A od trenutne ose iznosi:

r5

54cossin25r2sinrRh 22 =⋅⋅=⋅+= αααΩ ,

a ugaona brzina, kao što je već izračunato iznosi: ]s[2

53 1−⋅=ω .

Primer 4.4. Osovina OC diska se obrće oko nepokretne tačke O tako, da sa vertikalnom osom gradi stalni ugao α = 60° . Na taj način dolazi do kotrljanja diska poluprečnika R = 20 3 [cm] po horizontalnoj podlozi bez klizanja, što je prikazano na slici 4.9. Obrtanja osovine diska je ravnomerno sa konstantnim ugaonim brzinama: 32sp ==ωω . Odrediti ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje diska, brzine i ubrzanja tačaka A i B diska ako je H = 60 [cm]. Rešenje: Iz paralelograma ugaonih brzina (slika 4.10 a) sledi, na osnovu kosinusne teoreme, da je ugaona brzina diska:

]s[6cos2 1sp

2s

2p

−=⋅++= αωωωωω .

Iz sinusne teoreme sledi:

( ) αω

αω

βω

sin180sinsins =

−°= ,

pa izlazi da je:

°=⇒=⋅=⋅= 3021

23

632sinsin s βα

ωω

β .

Pošto je: 320tgHAO =⋅=′ β ,

znači da je : RAO =′ ,

tj.tačka A diska leži na trenutnoj osi Ω , i brzina te tačke vA = 0, a brzina tačke B ima vrednost:

Slika 4.9. Ilustracija primera 4.4.

Slika 4.10. Ilustracija primera 4.4.

( ) ]s/cm[360cosR2hvB =⋅−=⋅= ωβαωΩ .

Ugaono ubrzanje diska ima samo komponentu:

ωωωrr&r ×= p2 ,

jer je ω = const (zbog ωp = ωs = const). Vektor ugaonog ubrzanja 2ωω &r&r = upravan je na ravan crteža i leži u pravcu Ox ose, sa veličinom:

]s[36sin 2p

−=⋅⋅= βωωω .

Pošto tačka A leži na trenutnoj osi, njeno normalno ubrzanje je jednako nuli, pa je ubrzanje te tačke:

]s/cm[720

23

3360cosHOAhaa 2

AtA ==⋅

=⋅=⋅==βωωωε

&&& .

Tačka B ima obe komponente ubrzanja, koje su:

]s/cm[21603660ha 22Bn =⋅=⋅= ωΩ ,

i ]s/cm[720OAOBha 2

Bt =⋅=⋅=⋅= ωωωε &&& .

Veličina ukupnog ubrzanja se određuje pomoću kosinusne teoreme, (prema slici 4.10 b):

]s/m[05,19]s/cm[19053628800cosaa2aaa 22BnBt

2Bn

2BtB ===−+= α .

5. OPŠTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TELA

5.1. JEDNAČINE OPŠTEG KRETANJA SLOBODNOG KRUTOG TELA Opšte kretanje slobodnog krutog tela je takvo kretanje, pri kome se telo može bilo kako pomerati u prostoru.

Na slici 5.1. prikazano je slobodno kruto telo, koji vrši opšte kretanje u odnosu na nepokretni koordinatni sistem (x0 ,y0 ,z0 ). Proizvoljna tačka tela A se usvaja za pol, u kojoj se postavlja početak pokretnog koordinatnog sistema (x1, y1, z1), koji se proizvoljno pomera zajedno sa telom. Određivanje položaja tela svodi se tada na određivanje položaja pokretnog koordinatnog sistema (x1, y1 ,z1) u odnosu na nepokretni (x0 ,y0 ,z0 ). Položaj pokretnog koordinatnog sistema (x1, y1 ,z1) u odnosu na pol (A) određen je pomoću Ojlerovih uglova ϕ; ϑ; ψ, a s obzirom da se i sam pol A kreće, položaj pola u odnosu na nepokretni koordinatni

sistem (x0 ,y0 ,z0 ) određen je koordinatama xA , yA , zA. To znači, da je položaj tela koje vrši opšte kretanje određen sa šest generalisanih koordinata, pa telo ima šest stepeni slobode kretanja- tri translacije duž osa x0 ,y0 ,z0 i tri nezavisne rotacije oko osa x1, y1 ,z1 koja prolaze kroz pol A. Generalisane koordinate se menjaju tokom vremena i one su funkcije vremena:

).t(f),t(fz),t(f),t(fy),t(f),t(fx

63A

52A

41A

======

ψϑϕ

(5.1)

Jednačine (5.1) se zovu zakoni opšteg kretanja slobodnog krutog tela. 5.2. BRZINE TELA KOJE VRŠI OPŠTE KRETANJE Položaj tačke B određen je u nepokretnom koordinatnom sistemu (x0 ,y0 ,z0 ) sa:

ABrr AB +=rr ,

gde su: - Arr vektor položaja pokretnog pola - A,

- AB vektor položaja B u odnosu na pol A. Brzina tačke B određeno je prvim izvodom po vremenu vektora položaja Brr , prema:

( )dtABd

dtrd

dtrd

v ABB +==

rrr , (5.2)

Slika 5.1. Opšte kretanje slobodnog krutog tela

gde su:

- AA v

dtrd rr

= translatorna brzina pola,

- ( )dtABd brzina tačke pri obrtanju oko pola A.

Drugi član jednačine (5.2) može da se napiše u obliku:

( ) ABvAB

dtABd rr

=×=ω ,

gde su: - ωr trenutna ugaona brzina, - A

Bvr obrtna brzina tačke B. I konačno, brzina tačke B ima oblik:

ABvv

,ilivvv

AB

ABAB

×+=

+=

ωrrr

rrr

. (5.3)

Brzina proizvoljne tačke B slobodnog krutog tela, koje vrši ravno kretanje, jednaka je vektorskom zbiru translatorne brzine pola A Avr i obrtne brzine A

Bvr tačke B, koje ona ima, kada se telo obrće oko pola A. 5.3. UBRZANJE TELA KOJE VRŠI OPŠTE KRETANJE Vektor ubrzanja određen je prvim izvodom po vremenu vektora brzine i ima oblik:

( )dtABdAB

dtd

dtvd

dtvd

a ABB ×+×+== ωω r

rrrr ,

gde su: - Aar translatorno ubrzanje pola A, - εr vektor trenutnog ugaonog ubrzanja. Zadnji član gornje jednačine prema (5.3) ima oblik: ( )AB×× ωω

rr , pa ubrzaje tačke B iznosi:

( )ABABaa AB ××+×+= ωωεrrrr ,

gde je: - ( )ABAB ××+× ωωε

rrr deo ubrzanja tačke B usled obrtanja tela oko pola A. I konačno ubrzanje tačke B ima oblik: A

BAB aaa rrr+= . (5.4)

Ubrzanje proizvoljne tačke B tela koje vrši opšte kretanje jednako je vektorskom zbiru translatornog ubrzanja pola aar i obrtnog ubrzanja A

Bar tačke B usled obrtanja tela oko pola A. Primer 5.1. Kretanje slobodnog krutog tela dato je jednačinama:

( )344

,tcos4

,tsin4

,t4z,2ty,t2x zyxA2

A2

A +=−===+==πωππωππω .

gde su: - x,y,z, dato u [cm], - t dato u [s]. Odrediti veličinu ugaone brzine, ugaonog ubrzanja tela i veličine brzine i apsolutnog ubrzanja tačke M tela, koja ima koordinate xM =4 [cm], yM = 2 [cm], zM = 4 [cm], posle t = 2 [s] kretanja. Rešenje: Projekcije vektora brzine i ubrzanja pola A na ose nepokretnog koordinatnog sistema su:

,0z,2y,4x,4z,t2y,t4x

AAA

AAA

======

&&&&&&

&&&

tako da su intenziteti tih vektora:

( )[ ],s/cm46,4zyxa

,t542zyxv22

A2A

2AA

2/122A

2A

2AA

=++=

+=++=

&&&&&&

&&&

za dati vrenemski trenutak t = 2[s] vrednost brzine je:

[ ]s/cm8,9v A = . Veličina ugaone brzine iznosi:

( ) [ ]12/122

z2y

2x s341

4−

++=++=

πωωωω .

Diferenciranjem projekcija ugaone brzine dobiju se projekcije ugaonog ubrzanja:

[ ]

.0dt

d

,0tsin4dt

d

,s46,24

tcos4dt

d

zzz

2y

yy

222

xxx

===

====

===== −

ωεω

ππωεω

πππωεω

&

&

&

Brzina tačke M (4,2,8) određuje se prema izrazu:

( )AMAM rrvv rrrrr−×+= ω ,

čije su projekcije na ose nepokretnog koordinatnog sistema:

( )( )( ).yyzz

,xxyy,zzxx

AMxAM

AMzAM

AMyAM

−+=−+=

−+=

ωω

ω

&&

&&

&&

S obzirom na izračunate projekcije brzine tačke A i ugaone brzine tela, kao i na koordinate pola A u datom trenutku vremena: xA = 8 [cm], yA = 6 [cm], zA = 8 [cm], projekcije brzine tačke M imaju vrednosti:

[ ][ ]

[ ],s/cm86,0)84(4

04z

,s/cm140)84(5,44y

,s/cm26)62(5,4)88(4

8x

M

M

M

=−++=

−=−−+=

=−−−−=

π

π

&

&

&

intenzitet te brzine iznosi:

[ ]s/cm54,2974,872zyxv 2M

2M

2MM ==++= &&& .

Vektor ubrzanja tačke M određuje se na osnovu izraza:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) .rrrrrraAMAMaa 2AMAMAMAAM ωωωωωωε ⋅−−−⋅+−×+=××+×+=rrrrrrrr&rrrrrrr

Skalarni proizvod skalarnog proizvoda trenutne ugaone brzine ωr i vektora položaja AM tačke M u odnosu na pol A iznosi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ππωωωω =−+−−=−⋅+−⋅+−⋅=−⋅ 885,4622

0xxyyzzrr AMzAMyAMxAMrrr .

Projekcije vektora ubrzanja tačke M su:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ),zzrrxxyyzz

,yyrrzzxxyy

,xxrryyzzxx

AM2

AMzAMyAMxAM

AM2

AMyAMxAMzAM

AM2

AMxAMzAMyAM

−−−⋅+−−−+=

−−−⋅+−−−+=

−−−⋅+−−−+=

ωωωωω

ωωωωω

ωωωωω

rrr&&&&&&

rrr&&&&&&

rrr&&&&&&

ove projekcije za date podatke imaju vrednosti:

[ ][ ]

[ ],s/cm3,45,4z

,s/cm3,8244

2y

,s/cm8,8644x

22M

222

M

22M

=+−=

=+−=

=+=

ππ

ωπ

ω

&&

&&

&&

pa veličina apsolutnog ubrzanja tačke M iznosi:

[ ]22M

2M

2MM s/cm7,11914326zyxa ==++= &&&&&& .

6. SLOŽENO KRETANJE TAČKE

U dosadadašnjim poglavljima, pri proučavanju kretanja tačke ona se proučavala u odnosu na apsolutno nepokretni koordinatni sistem. Pri rešavanju određenih problema, korisno je proučiti kretanje tačke i u odnosu na pokretni koordinatni sistem, koji se kreće u odnosu na apsolutno nepokretni koordinatni sistem. U ovom slučaju to znači, da se kretanje tačke proučava jednovremeno u odnosu na dva koordinatna sistema, od kojih je jedan apsolutno nepokretan a drugi se kreće po određenom zakonu u odnosu na prvi. 6.1. RELATIVNO, PRENOSNO I APSOLUTNO KRETANJE TAČKE Posmatrajući kretanje tačke M (slika 6.1) u odnosu na koordinatni sistem (x,y,z,) koji se kreće u odnosu na nepokretni koordinatni sistem x1,y1,z1 mogu da se razlikuju sledeća kretanja:

1. Kretanje tačke u odnosu na pokretni koordinatni sistem (x,y,z,) se zove relativno kretanje. (Relativno kretanje vidi samo posmatrač koji je vezan za pokretni koordinatni sistem). 2. Kretanje tačke u odnosu na nepokretni koordinatni sistem (x1,y1,z1) je apsolutno kretanje ili složeno kretanje. 3. Kretanje pokretnog koordinatnog sistema (x,y,z,) u odnosu na nepokretni (x1,y1,z1) se zove prenosno kretajne. Na pr. slučaj putnika koji se kreće u pokretnom vozu. Kretanje putnika u vagonu je relativno kretanje. Kretanje putnika u odnosu na zemlju (koja se smatra apsolutno nepokretnim koordinatnim sistemom) je apsolutno kretanje, a kretanje voza u odnosu na zemlju je prenosno

kretanje. Zadatak u slučaju složenog kretanja tačke svodi se na to, da se odrede kinematičke karakteristike apsolutnog kretanja, kada su poznate kinematičke karakteristike prenosnog i relativnog kretanja tačke. 6.2. APSOLUTNA BRZINA TAČKE Položaj pokretnog koordinatnog sistema (x,y,z,) u odnosu na nepokretni (x1,y1,z1) određen je vektorom položaja 0r

r , a položaj tačke M u odnosu na pokretni koordinatni sistem (x,y,z,) određen je vektorom položaja ρr , prema slici 6.1. Vektor ρr određen je:

k)t(zj)t(yi)t(xrrrr

⋅+⋅+⋅=ρ , gde su: - x(t), y(t), z(t) relativne koordinate tačke M, koje se tokom vremena menjaju i poznate su funkcije od vremena.

Slika 6.1. Složeno kretanje tačke

Položaj tačke u odnosu na nepokretni koordinatni sistem (x1,y1,z1) određen je vektorom položaja rr , koji ima oblik:

k)t(zj)t(yi)t(xrrr 00

rrrrrrr⋅+⋅+⋅+=+= ρ .

Pri tome su promenljive ne samo veličine ),t(z),t(y),t(x,r0

r nego i jedinični vektori k,j,irrr

- koji menjaju svoj pravac prilikom obrtanja pokretnog koordinatnog sistema oko pola O. Apsolutna brzina tačke M je jednaka prvom izvodu po vremenu vektora položaja rr prema:

dtd

dtrd

dtrd 0 ρ

rrr

+= ,

izvod vektora ρr je određen kao:

4444 34444 21

rrr

444 3444 21

r&

r&

r&

r

rrr

ρω

ρ

×

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=dtkdz

dtjdy

dtidxkzjyix

dtd

rv

, (6.1)

gde su: - rvr vektor relativne brzine, - ωr trenutna ugaona brzina prenosnog kretanja pokretnog koordinatnog sistema, - ρω

rr× označava obrtanje pokretnog koordinatnog sistema oko pola O,

pa izraz za apsolutnu brzinu vr ima oblik:

r

v

0 vvvp

r43421rrrr

r

+×+= ρω ,

ili: rp vvv rrr

+= . (6.2) gde su: - 0vr vektor brzine pola O, - rvr vektor relativne brzine, - pvr vektor prenosne brzine. Apsolutna brzina tačke jednaka je vektorskom zbiru prenosne brzine pvr i relativne brzine rvr . Prenosna brzina pvr određena je vektorskim zbirom brzine pola O (brzine 0vr ) i brzine ρω

rr× ,

koja karakteriše obrtanje pokretnog koordinatnog sistema oko pola O . Ovako određena prenosna brzina predstavlja najopštiji slučaj složenog kretanja tačke. U zavisnosti od karaktera kretanja pokretnog koordinatnog sistema, prenosna brzina se određuje na sledeći način: - U slučaju da pokretni koordinatni sistem vrši ravno kretanje: o

Mop vvv rrr+= , (6.3)

gde su: - ovr translatorna brzina pola O, - o

Mvr obrtno kretanje u ravni. - Za slučaj, da je prenosno kretanje obrtanje, prenosna brzina ima oblik:

ρω

rrr×=pv , (6.4)

gde je: - ωr vektor ugaone brzine obrtanja. - Ako je prenosno kretanje translatorno kretanje, prenosna brzina se određuje: op vv rr

= , (6.5) Bitno je ovde još jednom naglasiti, da bez obzira na vrstu prenosnog kretanja, apsolutna brzina tačke M se određuje po obrascu (6.1) s tim, da se prenosna brzina određuje u zavisnosti od vrste prenosnog kretanja krutog tela obrasci od (6.3) do (6.5). Primer 6.1. Tačka M kreće se duž prave OA brzinom v (prema slici 6.2), a sama prava se obrće u ravni Ox1y1 oko taćke O ugaonom brzinom ω. Odrediti brzinu tačke M prema koordinatnom sistemu Ox1y1 u zavisnosti od rastojanja OMr = .

Rešenje: Kretanje tačke M je složeno kretanje, koje se sastoji iz relativnog kretanja duž prave OA i kretanja zajedno sa tom pravom. U ovom slučaju će brzina

rvv rr= , usmerana duž OA, biti relativna brzina tačke.

Obrtno kretanje prave OA oko tačke O za tačku M je prenosno kretanje, a brzina one tačke prave OA sa kojom se u datom trenutku vremana poklapa tačka M, biće njena prenosna brzina pvr . Pošto se ta tačka

prave kreće po krugu poluprečnika OMr = , to je ova brzina po intenzitetu jednaka vp=r⋅ω ,upravna je na pravac OM i ima smer obrtanja. Konstruišući paralelogram brzina nad vektorima rvr i pvr , može da

se odredi apsolutna brzina avr kreatnja tačke M prema koordinatnom sistemu Ox1y1. Kako su brzine rvr i pvr međusobno normalne, to je apsolutna brzina po intenzitetu jednaka:

222a rvv ω⋅+= .

Primer 6.2. Reka širine h teče konstantnom brzinom v. Veslač može da saopšti čamcu prema nepomičnoj vodi brzinu koja je jednaka v1. Odrediti pod kojim uglom treba prelaziti reku da bi se na suprotnu obalu stiglo najkraćem vremenu. Gde će u tom slučaju pristati čamac? Rešenje: Neka čamac počne da se kreće iz tačke O prema slici 6.3. Za koordinatne ose iz te tačke Ox1y1 položaj čamca u proizvoljnom trenutku vremena biće u tački M. Pretpostavljajući da veslač saopštava

Ilustracija primera 6.1.

Slika 6.3. Ilustracija primera 6.3.

čamcu kretanje pod konstantnim uglom α prema osi Oy1. Tada je apsolutna brzina čamca avr jednaka vektorskom zbiru iz relativne brzine rvr , koja je jednaka brzini koju čamcu saopštava veslač ( 1r vv rr

= ), i prenosne brzine pvr , koja je jednaka brzini toka reke ( vv prr

= ) prema:

vvvvv 1prarrrrr

+=+= .

Projekcije apsolutne brzine na koordinatne ose (po teoremi o projekcijama zbira vektora) jednake su:

αα cosv)v(,vsinv)v( 1ya1xa 11⋅=+⋅= .

Pošto su obe projekcije konstantne, to će pomeranje čamca duž koordinatnih osa biti jednako:

t)cosv(y,t)vsinv(x 1111 ⋅⋅=⋅+⋅= αα . Kada čamac bude stigao na suprotnu obalu biće y1 =h. Iz koje se može izraziti potrebno vreme za prelazak čamca sa jedne na drugu obalu:

αcosvht

11 ⋅= .

Očigledno, da će vreme t1 biti najmaje, kada je cosα=1, tj. ako je α=0. Veslač će u najkraćem vremenu preći reku ako bude usmerio čamac upravno na obalu. Tom prilikom je:

1min v

ht = .

Ako se u izraz za x1 uvrsti da je α=0, i t=tmin dobiće se :

hvvx1

1 ⋅= .

Prema tome, čamac će dospeti u tačku B koja je udaljena od ose Oy1 za rastojanje x1 nizvodno. Ovo pomeranje biće utoliko manje, ukoliko je manja brzina v i širina reke h i ukoliko je veća brzina v1. Primer 6.3. Pero OM pribora za registrovanje obrazuje u datom trenutku vremena ugao α sa horizontalom i ima brzinu v usmerenu normalno na pravac OM, prema slici 6.4. Doboš sa hartijom obrće se oko vertikalne ose ugaonom brzinom ω. Odrediti brzinu 1vr pomeranja pera po hartiji, ako je poluprečnik doboša jednak r. Rešenje: Apsolutna brzina pera je poznata vva

rr= . Brzina vr jednaka je

geometrijskom zbiru brzine kretanja pera u odnosu na hartiju (to je tražena brzina 1vr ) i prenosne brzine pvr , koja je po

Slika 6.4. Ilustracija primera

6.3.

intenzitetu jednaka brzini one tačke hartije koju u datom trenutku vremena dodiruje pero. Po intenzitetu ova brzina je jednaka vp=r⋅ω. Na osnovu teoreme o slaganju brzina biće:

p1 vvv rrr+= ,

odakle je : p1 vvv rrr

−= . Ako se nad vektorima vr i ( pvr− )konstruiše paralelogram brzina iz kojeg je moguće odrediti traženu brzinu 1vr . Pošto je ugao između vr i ( pvr− ) jednak 90°-α, to je po intenzitetu:

αωω sinvr2rvv 2221 +⋅+= .

Primer 6.4. Kraj B horizontalnog štapa AB vezan je zglobom sa klizačem koji klizi duž proreza kulise OC i prisiljava je da se obrće oko ose O prema slici 6.5. Rastojanje ose O od štapa AB jednako je h. Odrediti ugaonu brzinu kulise u zavisnosti od brzine štapa v i ugla ϕ.

Rešenje: Apsolutna brzina klizača, koja je jednaka brzini štapa vr , je poznata. Ova brzina klizača je jednaka vektorskom zbiru relativne brzine rvr klizača duž proreza kulise i prenosne brzine pvr , koja je jednaka brzini one tačke kulise, koja se u datom trenutku vremena poklapa sa klizačem. Smerovi ovih brzina su poznati, jer je brzina rvr usmerena duž prave OB, dok je brzina pvr upravna na OB. Razlažući datu brzinu vr u pravce rvr i pvr ,ove brzine se mogu odrediti. Iz paralelograma brzina se vidi da je po intenzitetu brzina ϕcosvv p ⋅= . Sa druge strane, prenosna brzina je jednaka

ωϕ

ω ⋅=⋅=cos

hOBv p , gde je ω ugaona brzina

kulise. Izjednačavanjem ovih izraza za prenosnu brzinu, dobiće se ugaona brzina kulise u obliku:

ϕω 2coshv⋅= .

6.3. APSOLUTNO UBRZANJE TAČKE Apsolutno ubrzanje tačke M pri složenom kretanju određen je prvim izvodom po vremenu apsolutne brzine, koje ima oblik:

dtvdar

r= .

Slika 6.5. Ilustracija primera 6.4.

7. SLOŽENO KRETANJE KRUTOG TELA Složeno kretanje krutog tela se sastoji iz relativnog kretanja tela u odnosu na pokretni koordinatni sistem (x,y,z) i prenosnog kretanja tela zajedno sa pokretnim koordinatnim sistemom u odnosu na nepokretni koordinatni sistem (x1,y1,z1), prikazano na slici 7.1. Na slici tača O (centar pokretnog koordinatnog sistema) predstavlja pol prenosnog kretanja, a tačka

A (proizvoljna tačka krutog tela), predstavlja pol relativnog kretanja. Zadaci kinematike svode se na iznalaženje zavisnosti između karakteristika relativnog, prenosnog i apsolutnog kretanja. U opštem slučaju prenosno kretanje sastoji se iz: Translatornog kretajna pola O i obrtanja oko pola O sa ugaonom brzinom prenosnog kretanja ωp. Relativno kretanje sastoji se iz: Translatornog kretanja tačke A i obrtanja oko tačke A sa ugaonom brzinom relativnog kretanja ωr. 7.1. APSOLUTNA BRZINA

TELA Apsolutna brzina tela na osnovu (6.2) imaće sledeći oblik: rp vvv rrr

+= , (7.1) gde su: - vr vektor apsolutne brzine, - pvr vektor prenosne brzine, - rvr vektor relativne brzine. Dalje, na osnovu (6.1) pojedine komponentne brzine imaju oblike: a) Vektor prenosne brzine

,pop rvv rrrr×+= ω ,

gdesu: - ovr vektor translatorne brzine pola O, - pω

r trenutna ugaona brzina prenosnog kretanja. b) Vektor relativne brzine

ρωrrrr

×+= rArr vv , gde su: - Arvr translatorna brzina tačke A, - rω

r trenutna ugaona brzina relativnog kretajna. Konačan oblik apsolutne brzine krutog tela pri složenom kretanju je: ρωω rrrrrrr

×++×+= rAr,

po vrvv . (7.2)

Slika 7.1. Složeno kretanje krutog tela

7.2. APSOLUTNO UBRZANJE Apsolutno ubrzanje tela na osnovu (6.7) ima oblik: crp aaaa rrrr

++= , (7.3) gde su: - ar vektor apsolutnog ubrzanja, - par vektor prenosnog ubrzanja, - rar vektor relativnog ubrzanja, - car vektor Korilisovog ubrzanja. Komponente apsolutnog ubrzanja imaju oblike: a) Vektor prenosnog ubrzanja

( ),pp,

pop rraa rrrrrrr××+×+= ωωε ,

gde su: - oar vektor ubrzanja pola O, - pε

r vektor trenutnog ugaonog prenosnog ubrzanja (ugaono ubrzanje prenosnog koordinatnog sistema), - pω

r vektor trenutne ugaone brzine prenosnog kretanja. b) Vektor relativnog ubrzanja

( )ρωωρεrrrrrrr

××+×+= rrrArr aa , gde su: - Arar vektor relativnog ubrzanja tačke A, - rε

r vektor ralativnog trenutnog ugaonog ubrzanja, - rω

r vektor trenutne ugaone brzine relativnog kretanja.

c) Vektor Koriolisovog ubrzanja

( )rpc v2a rrr×⋅= ω ,

gde su: - pω

r vektor trenutne ugaone brzine prenosnog kretanja, - rvr vektor relativne brzine. 7.3. OSNOVNI OBLICI SLOŽENOG KRETANJA U daljnjem će se razmatrati složeno kretanje krutog tela za sledeće slučajeve: - kada su ralativno i prenosno kretanje translatorna, - kada su ova kretanja obrtanja oko paralelnih osa. 7.3.1. TRANSLATORNA KRETANJA Ukoliko kruto telo koje se kreće translatornom brzinom rvr u odnosu na pokretni koordinatni sistem (x,y,z,), koji se kreće translatonom brzinom pvr u odnosu na nepokretni koordinatni sistem (x1,y1,z1), telo vrši složeno kretanje. Brzina apsolutnog kretanja definisana prema (7.1) isnosi:

pr vvv rrr

+= . (7.4) Brzina apsolutnog kretanja jednaka je vektorskom zbiru relativnog i prenosnog kretanja. Ako su relativno i prenosno kretanje krutog tela translatorna kretanja, onda je apsolutno (složeno) kretanje tela takođe translatorno. Slučaj ovakvog kretanja prikazan je na slici 7.2.

7.3.2. OBRTANJE OKO PARALELNIH OSA Posmatrajući slučaj, kada je relativno kretanje obrtno kretanje, koje se vrši sa ugaonom brzinom

1ω oko ose z, koja je pričvršćena za krivaju (prema slici 7.3), koja se obrće oko ose z1 sa ugaonom brzinom prenosnog kretanja ω2 . Ako su ose međusobom paralelne, tada će kretanje tela biti ravno u odnosu na ravan upravnu na ose obrtanja. Mogu se razlikovati dva slučaja i to, kada su oba kretanja u istom smeru , i kada su obrtanja usmerena u suprotnim smerovima. 7.3.2.1. Slučaj kada su obrtanja tela usmerena u istom smeru

Posmatrajući telo koje se obrće oko ose z ugaonom brzinom 1ω

r i zajedno sa osom z obrće se oko druge nepokretne ose z1 sa ugaonom brzinom 2ω

r , prikazano na slici 7.3. Ose su paralelne, a obrtanja se vrše u istu stranu, tj. zupčanik I pomoću krivaje kotrlja se po nepokretnom zupčaniku II. Obrtanje oko ose z je relativno kretanje, a obrtanje oko ose z1 je prenosno kretanje. Na rastojanju OA postoji tačka C čija je apsolutna brzina u datom trenutku vremena jednaka nuli (jer je zupčanik II nepokretan). Apsolutna brzina tačke C je određena prema:

CpCrC vvv rrr+= ,

pri čemu su:

1Cr ACv ω⋅= ,

Slika 7.2. Slaganje translatornih kretanja

Slika 7.3. Slaganje istosmernih obrtanja

2Cp OCv ω⋅= .

Vektori brzina su istog pravca, a suprotnog smera (prema slici 7.3). S obzirom da je 0vC =r sledi:

21 OCAC ωω ⋅=⋅ , ili

ACOC

21 ωω= . (7.5)

Pošto je apsolutna brzina tačke jednaka nuli, tačka C predstavlja trenutni pol brzina. Intenzitet trenutne ugaone brzine ω određuje se na osnovu apsolutne brzine tačke A, kao brzine usled obrtanja tela oko osa z i z1, odnosno brzine usled apsolutnog obrtanja tela oko trenutnog pola brzine C. -Apsolutna brzina tačke A usled obrtanja tela oko osa z i z1 iznosi:

221A OAOA0v ωωω ⋅=⋅+⋅= . Tačka A ima samo prenosnu brzinu (jer se nalazi na osi obrtanja z). - Brzina tačke A usled apsolutnog obrtanja oko trenutnog pola brzina C iznosi:

ω⋅= ACv A , gde je: - ω intenzitet trenutne ugaone brzine. Iz gornjih relacija i sa slike 7.3. sledi:

222 ACOC1

ACOCAC

ACAO ωωωω ⋅

+=⋅

+=⋅= ,

odnosno 21 ωωω += . (7.6) Kada telo učestvuje jednovremeno u dva obrtanja oko paralelnih osa u istu stranu, onda će apsolutno kretanje tela biti trenutno obrtanje apsolutnom ugaonom brzinom ω = ω1+ω2 , koja je usmerena u istu stranu oko trenutnog pola brzina C. U toku vremena, trenutna obrtna osa opisuje cilindričnu površinu, tj. ona menja svoj položaj u prostoru. Uzimajući u obzir relaciju (7.5) mogu se napisati i sledeće zavisnosti:

AOOCACACOC

2121 ωωωωω=

+

+== . (7.8)

7.3.2.2. Slučaj kada su obrtanja tela usmerena u suprotnom smeru Model ovakvog obrtanja je obrtanje zupčanika I ugaonom brzinom ω1 oko ose z koji je vezan polugom OA sa centrom zupčanika II (osa z1), pri čemu se zupčanik I kotrlja po zupčaniku II sa unutrašnim ozubljenjem, koji je fiksiran (slika 7.4).

Pod pretpostavkom da je 1ω > 2ω može da se odredi tačka C, čija je brzina u datom trenutku jednaka nuli. Ova tačka nalazi se sa strane ugaone brzine sa većim intenzitetom tj. 1ω

r , prema slici 7.4. Slično kao i u prethodnom slučaju za brzine tačke C mogu se napisati izrazi:

1Cr ACv ω⋅= ,

2Cp OCv ω⋅= , ili

21 OCAC ωω ⋅=⋅ , iz čega sledi:

ACOC

21 ωω= . (7.9)

Intenzitet brzine tačke A može da se napiše u sledećim oblicima: 212A OA0OAv ωωω ⋅=⋅+⋅= ,

ω⋅= ACv A . Na osnovu gornjih zavisnosti, i slike 7.4. može da se napiše sledeće:

2122

1222 11

ACOC

ACACOC

ACOA ωωω

ωω

ωωωω −=⋅

−=⋅

−=⋅

−=⋅= ,

ili 21 ωωω −= . (7.10) Ako telo učestvuje jednovremeno u dva obrtanja oko paralelnih osa sa ugaonim brzinama različitih intenziteta i različitih smerova, onda je apsolutno kretanje trenutno obrtanje ugaonom brzinom ω = ω1 - ω2, i vrši se u stranu ugaone brzine većeg intenziteta oko trenutnog pola brzine C. Uzimajući u obzir relaciju (7.9) mogu se napisati i sledeće zavisnosti:

AOACOC

21 ωωω== . (7.11)

Gornji rezultati dobijeni u ovom poglavlju, mogu se upotrebiti za kinematički proračun cilindričnih zupčastih prenosnika. Obični zupčasti prenosnici su prenosnici kod kojih su ose svih međusobno ozubljenih zupčanika nepomične. Bilo kod spoljašnjeg (slika 7.3), bilo kod unutrašnjeg (slika 7.4) ozubljenja dvaju zupčanika, biće (na osnovu formula 7.5 i 7.9) 2211 rr ⋅=⋅ ωω , gde su

OCr,ACr 21 == odgovarajući poluprečnici zupčanika. Pošto je broj zubaca z spregnutih

Slika 7.4. Slaganje suprotnosmernih obrtanja

zupčanika proporcionalan njihovim poluprečnicima i da se obrtanje zupčanika, pri unutrašnjem ozubljenju, vrši u istom smeru, a pri spoljašnjem ozubljenju u suprotnom smeru, dobije se:

1

2

1

2

.unutr2

1

1

2

1

2

.spolj2

1

zz

rr

,zz

rr

==

−=−=

ωω

ωω

. (7.12)

Pored "običnih" prenosnika postoje i t.z. planetarni prenosnici, čiji će kinematički proračun biti obrađen u sledećem poglavlju. 7.4. PRORAČUN PLANETARNIH PRENOSNIKA Planetarni zupčasti prenosnici su takvi prenosnici, u kojima se jedan ili više zupčanika u obliku planetarnog zupčanika jednovremeno obrće oko svoje ose i oko ose drugog zupčanika. U stvari planetarni zupčanici pričvršćeni su za jednu krivaju (AB), koja se obrće oko centra nepokretnog zupčanika (z1), prema slici 7.5. U slučaju, da zupčanik z1 može da se obrće oko svoje ose nezavisno od krivaje AB, takav prenosnik se zove diferencijalni zupčasti prenosnik. Vratila ovih prenosnika su paralelna. Za proračun kinematičkih karakteristika ovih prenosnika pogodno je primeniti metod zaustavljanja, ili metod Wilis-a (1841). Ova metoda sastoji se u tome, što se zamisli da je kretanje pogonske krivaje zaustavljeno i njena ugaona brzina sa suprotnim smerom preneta na sve članove sistema. Zadatak se zatim dalje rešava kao pri obrtanju sistema tela oko nepokretnih osa (odnosno kao problem "običnih" prenosnika). Primena metode ilustrovaće se na nekoliko primera. Primer 7.1. U planetarnom mehanizmu prema slici 7.5 zupčanik 1, poluprečnika r1, je nepokretan, dok se krivaja AB obrće konstantnom ugaonom brzinom ωAB. Potrebno je odrediti ugaonu brzinu zupčanika 3, poluprečnika r3.

Rešenje: Apsolutne ugaone brzine obrtanja zupčanika u odnosu na ose nepokretnog koordinatnog sistema (x1,y1) označavaju se sa ω1 (ω1 =0), ω2 i ω3. Ako se celoj ravni Ax1y1 saopšti obrtanje ugaonom brzinom -ωAB dobiće se obrtanja koja se vrše ugaonim brzinama:

,,0 AB22AB1 ωωωωω −=−= ))

0, ABAB33 =−= ωωωω ))

Na ovaj način se dobija "običan" prenosnik, i na osnovu (7.12) mogu da se napišu sledeći

odnosi ugaonih brzina:

2

3

3

2

1

2

2

1

rr

,rr

−=−=ωω

ωω

)

)

)

),

odakle je

1

3

1

3

3

1

zz

rr==

ωω)

).

Slika 7.5. Ilustracija primera 7.1.

Vidi se, da je odnos ugaonih brzina krajnjih zupčanika kod "običnih" prenosnika obrnuto proporcionalan njihovim poluprečnicima (broju zubaca) i ne zavisi od poluprečnika umetnutih zupčanika. Zamenom odgovarajučih ugaonih brzina se dobija:

1

3

AB3

AB

rr

=−

−ωω

ω.

Odavde je apsolutna ugaona brzina zupčanika 3:

AB3

13 r

r1 ωω ⋅

−= .

Ako je r3 > r1 tada se smer obrtanja zupčanika 3 poklapa sa smerom obrtanja krivaje, a ako je r3 < r1 tada se ne poklapa.U slučaju r3 = r1 tada se dobije da je ω3 = 0 i zupčanik 3 u tom slučaju kreće se translatorno. Primer 7.2. Krivaja OA obrće se konstantnom ugaonom brzinom ω 0 oko ose nepokretnog zupčanika sa brojem zuba z 0 =60. Za krivaju su zglobno vezani zupčanici sa brojevima zubaca z 1=40, z 2=50, z 3=25 (prema slici 7.6). Odrediti ugaonu brzinu ω 3 zupčanika 3.

Rešenje: Krivaja OA vrši obrtanje oko nepokretne ose, zupčanici z1,z2,z3 ravno kretanje, a zupčanik z0 je nepokretan. Kretanje poluge se zaustavlja i prenosi se njeno kretanje sa suprotnim znakom na sve članove sistema (kako na pokretne, tako i na nepokretne). Zupčanici imaju ugaone brzine:

0330121200 ,,0 ωωωωωωωω −=−=−= ))) .

Primenjujući metod rešavanja zadataka tela koja se obrće oko nepokretnih osa dobija se:

0

1

12

0

rr

−=ωω)

),

2

3

3

12

rr

−=ωω)

).

Iz ovih jednačina proizilazi:

031

023 rr

rrωω )) ⋅

⋅⋅

= , ili ( )031

0203 rr

rrωωω −⋅

⋅⋅

=− .

Odavde, imajući u vidu da su brojevi zubaca zupčanika proporcionalni sa poluprečnicima, proizilazi:

00031

020

31

023 2

254060501

zzzz

1rrrr

1 ωωωωω ⋅−=⋅

⋅⋅

−=⋅

⋅⋅

−=⋅

⋅⋅

−= .

Slika 7.6. Ilustracija primera 7.2.

Primer 7.3. Ram I-I obrće se ugaonom brzinom ω1 oko horizontalne nepokretne ose AB. Točkovi II i III koji su međusobno spojeni slobodno su postavljeni na vratilo rama. Točak II zahvata nepokretan točak IV, a točak III zahvata točak V, koji se slobodno obrće oko ose AB. Poluprečnici točkova su: r2, r3, r4, r5 prema slici 7.7. Odrediti ugaonu brzinu ω3 točka V.

Rešenje: Ako se u mislima zaustavi ram I i njegova ugaona brzina se prenese na ostale članove, dobija se:

13312211 ,,0 ωωωωωωωω −=−=−= ))) .

Na osnovu prenosnih odnosa proizilazi:

5

3

2

3

4

2

2

1

rr

,rr

−=−=ωω

ωω

)

)

)

),

ili

125

432

5

33 rr

rrrr

ωωω ))) ⋅⋅⋅

=⋅−= ,

Zamenom apsolutnih ugaonih brzina se dobije:

125

4331

25

4313 rr

rr1

rrrr

ωωωωω ⋅

⋅⋅

−=⇒⋅⋅⋅

−=− .

Primer 7.4. Na slici 7.8 prikazan je planetarni prenosnik, koji se sastoji od nepokretnog zupčanika 1 poluprečnika r1=40 [cm], dva pokretna zupčanika r2=20 [cm], i r3=30 [cm] na zajedničkom vratilu i zupčanika sa unutrašnjim ozubljenjem poluprečnika r4=90 [cm] na vratilu II. Vratilo I sa krivajom koja nosi vratila pokretnih zupčanika ima nI =1800 [o/min]. Odrediti broj obrtaja vratila II. Rešenje: Na osnovu metode zaustavljanja sledi:

IIIIII22I1 ,,0 ωωωωωωωω −=−=−= )))

.

Na osnovu sprege pojedinih zupčastih parova sa slike sledi:

12

12

1

2

2

1

rr

rr

ωωωω )))

)⋅−=⇒−= ,

24

3II

4

3

2

II

rr

rr

ωωωω )))

)⋅=⇒= ,

zamenom 2ω) iz prethodne jednačine se dobija:

Slika 7.7. Ilustracija primera 7.3.

Slika 7.8. Ilustracija primera 7.4.

124

13II rr

rrωω )) ⋅

⋅⋅

−= .

Zamenom apsolutnih ugaonih brzina dobija se:

I24

13III rr

rrωωω ⋅

⋅⋅

=− ,

ili

I42

31II 1

rrrr

ωω ⋅

+

⋅⋅

= .

Veza ugaone brzine vratila I i broja obrtaja:

πππω 6030

180030

nI =

⋅=

⋅= .

Ugaona brzina vratila II iznosi:

[ ]1II s100601

90203040 −=⋅

+

⋅⋅

= ππω .

Broja obrtaja vratila II iznosi:

[ ]min/030001003030nII =⋅

=⋅

=π

ππω .

Primer 7.5. Reduktor prikazan na slici 7.9 sastoji se iz sledećih elemenata: - nepomičnog zupčanika 1, - dva spregnuta zupčanika 2 i 3, nasađena na krivaju, koja je spojena sa vodećim vratilom AC , - zupčanika 4, koji se nalazi na vođenom vratilu B. Broj zubaca pojedinih zupčanika iznosi: z1=120, z2=40, z3=30, z4=50. Vodeće vratilo se obrće sa brojem obrtaja nA=1500 [o/min]. Odrediti broj obrtaja vođenog vratila B. Rešenje: Apsolutne ugaone brzine pojedinih elemanata reduktora se označavaju: vratilo A sa krivajom sa ωA; zupčanik 4 zajedno sa vratilom B sa ωB; zupčanik 2 i 3 sa ω23. Zupčanik 1 je fiksiran, pa njegova ugaona brzina ω1=0. Saopštavajući elementima ugaonu brzinu -ωA, dobijaju se ugaone brzine zupčanika:

AB4A2323A1A ,,0,0 ωωωωωωωωω −=−=−== )))) .

Primenjujući za zupčanike 1 i 2 i za zupčanike 3 i 4 zavisnost (7.12.) dobija se:

Slika 7.9. Ilustracija primera 7.5.

3

4

4

23

1

2

23

1

zz

,zz

−==ωω

ωω

)

)

)

).

Iz gornjih jednačina proizilazi:

31

42

4

1

zzzz⋅⋅

−=ωω)

),

ili za apsolutne ugaone brzine

31

42

AB

A

zzzz⋅⋅

−=−

−ωω

ω.

Iz ove jednačine, imajući u vidu da je broj obrtaja n proporcionalan sa ugaonon brzinom ω se dobije:

[ ]min/0420015005040301201n

zzzz

1n A42

31B =⋅

⋅⋅

+=⋅

⋅⋅

+= .

Primer 7.6. Rešiti zadatak 7.5. pod uslovom da se zupčanik 1 obrće u istom smeru sa vodećem vratilom AC sa brojem obrtaja n1=1100 [o/min] (reduktor sa diferencijalnim prenosnikom). Rešenje: Zadatak se reševa na isti način kao i prethodni (7.5.), s tom razlikom što je sada 01 ≠ω i prema uslovima zadatka znaci za ω1 i ω2 poklapaju i dobija se da je: A11 ωωω −=) . Na osnovu proporcije iz prethodnog zadatka:

31

42

4

1

zzzz⋅⋅

−=ωω)

),

se dobija:

31

42

AB

A1

zzzz⋅⋅

−=−−ωωωω

.

Odnos brojeva obrtaja iznosi:

( ) min]/o[2220nnzzzz

nn 1A42

31AB =−⋅

⋅⋅

+= .

Ukoliko bi zupčanik 1 imao suprotan smer obrtaja od smera obrtaja vratila AC, tada u dobijenom rezultatu treba promeniti znak kod n1. Primer 7.7. Kod prenosnika prema slici 7.10, vodeće vratilo O obrće se ugaonom brzinom ω0 i dovodi do kretanje vratilo na kome su postavljeni zupčanici II i III. Zupčanik II se kotrlja unutar nepokretnog zupčanika V. Odrediti ugaone brzine zupčanika I i IV, ako su poluprečnici zupčanika r1, r2, r3,,r4. Rešenje: Ugaone brzine pojedinih zupčanika pre i posle zaustavljanja vodećeg vratila prikazane su u sledećoj tabeli:

ZUPČANICI

KRIVAJA I II III IV V

PRE ZAUSTAVLJA

NJA

ω0

ω1

ω2

ω2

ω4

0

POSLE ZAUSTAVLJA

NJA

0

ω1-ω0

ω2-ω0

ω2-ω0

ω4-ω0

-ω0

Na osnovu međusobnih veza zupčanika (slika 7.10) i tabele dobijaju se sledeći odnosi:

( )021

201

1

2

02

01

rr

rr

ωωωωωωωω

−⋅−=−⇒−=−−

,

( )024

304

3

4

04

02

rr

rr

ωωωωωωωω

−⋅−=−⇒−=−−

,

( )01

202

2

5

0

02

rr

rr

ωωωωωω

−⋅=−⇒=−−

.

Odakle sledi:

01

51 1

r

r

,

0

42

53

41

rr

rr

.

Slika 7.10. Ilustracija primera 7.7.

8. LITERATURA

1. D. Rašković: Mehanika II kinematika (Naučna knjiga, Beograd 1950.) 2. Davorin Bazjanac: Tehnička mehanika, Kinematika (Tehnička knjiga, Zagreb 1959.) 3. S.M.Targ: Teorijska mehanika, Kratak kurs (Građevinska knjiga, Beograd 1985.) 4. Vladimir Šikoparija: Kinematika (Naučna knjiga, Beograd 1983.) 5. Vladimir Šikoparija: Kinematika, zbirka rešenih zadataka iz mehanike II (Naučna knjiga, Beograd 1990.) 6. Pattantyús: Gépész és villamosmérnökök kézikönyve (Műszaki könyvkiadó, Budapest 1961.)