megoldások - bzmatek · 2018. 3. 16. · 3. egy háromszög két oldala 𝒎 és 𝒎 hosszú. a...

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Megoldások

1. Egy háromszög egyik oldala 𝟏𝟎 𝒄𝒎 hosszú, s a rajta fekvő két szög 𝟓𝟎° és 𝟕𝟎°. Számítsd

ki a hiányzó szöget és oldalakat!

Megoldás:

Legyen 𝑎 = 10 𝑐𝑚; 𝛽 = 50° és 𝛾 = 70°.

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛼 = 180° − 50° − 70° = 60°.

Az adatok kiszámításához használjuk a szinusz – tételt.

Először számítsuk ki a 𝑏 oldal hosszát:

𝑏

10=

sin 50°

sin 60° → 𝑏 ≈ 8,85 𝑐𝑚

Végül számítsuk ki a 𝑐 oldal hosszát:

𝑐

10=

sin 70°

sin 60° → 𝑐 ≈ 10,85 𝑐𝑚

2. Egy háromszög két oldala 𝟓 𝒄𝒎 és 𝟕 𝒄𝒎 hosszú. A 𝟕 𝒄𝒎 - rel szemben levő szöge 𝟓𝟎°.

Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket, illetve a háromszög területét!

Megoldás:

Legyen 𝑎 = 5 𝑐𝑚; 𝑏 = 7 𝑐𝑚 és 𝛽 = 50°.


Először számítsuk ki az 𝛼 szög nagyságát:

sin 𝛼

sin 50°=

5

7 → 𝛼1 ≈ 33,17° → 𝛼2 = 180° − 33,17° = 146,83°

Mivel a kisebb oldallal szemben levő szöget keressük, ezért csak az 𝛼1 lehet megoldás.

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛾 = 180° − 50° − 33,17° = 96,83°.


2

Végül számítsuk ki a 𝑐 oldal hosszát:

𝑐

7=

sin 96,83°

sin 50° → 𝑐 ≈ 9,07 𝑐𝑚

Ezek alapján a háromszög területe: 𝑇∆ =𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝛾

2=

5 ∙ 7 ∙ sin 96,83°

2≈ 17,37 𝑐𝑚2.

3. Egy háromszög két oldala 𝟑 𝒄𝒎 és 𝟓 𝒄𝒎 hosszú. A 𝟑 𝒄𝒎 - rel szemben levő szöge 𝟑𝟓°.

Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket!

Megoldás:

Legyen 𝑎 = 3 𝑐𝑚; 𝑏 = 5 𝑐𝑚 és 𝛼 = 35°.


Először számítsuk ki a 𝛽 szög nagyságát:

sin 𝛽

sin 35°=

5

3 → 𝛽1 ≈ 72,93° → 𝛽2 = 180° − 72,93° = 107,07°

Mivel a nagyobb oldallal szemben levő szöget keressük, így mindkettő jó megoldás.

Tekintsük elsőként a 𝛽1 = 72,93° szöget.

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛾1 = 180° − 35° − 72,93° = 72,07°.

Ezt követően számítsuk ki a harmadik oldal hosszát is:

𝑐1

3=

sin 72,07°

sin 35° → 𝑐1 ≈ 4,98 𝑐𝑚

Tekintsük most a 𝛽2 = 107,07° szöget.

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛾2 = 180° − 35° − 107,07° = 37,93°.


𝑐2

3=

sin 37,93°

sin 35° → 𝑐2 ≈ 3,21 𝑐𝑚


3

4. Egy háromszög két oldala 𝟏𝟎 𝒄𝒎 és 𝟐𝟎 𝒄𝒎 hosszú. A 𝟏𝟎 𝒄𝒎 - rel szemben levő szöge

𝟑𝟎°. Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket!

Megoldás:



Először számítsuk ki a 𝛽 szög nagyságát:

sin 𝛽

sin 30°=

20

10 → 𝛽 ≈ 90° → Ebben az esetben egy megoldás adódik.

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛾 = 180° − 30° − 90° = 60°.


𝑐

10=

sin 60°

sin 30° → 𝑐 ≈ 17,32 𝑐𝑚

5. Egy háromszög két oldala 𝟏𝟎 𝒄𝒎 és 𝟐𝟓 𝒄𝒎 hosszú. A 𝟏𝟎 𝒄𝒎 - rel szemben levő szöge

𝟒𝟎°. Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket!

Megoldás:



Számítsuk ki először a 𝛽 szög nagyságát:

sin 𝛽

sin 40°=

25

10 → sin 𝛽 ≈ 1,6 → Nincs megoldás.

Nem létezik a feladat szövegének megfelelő háromszög.

6. Egy háromszög oldalai 𝟐 𝒄𝒎, 𝟔 𝒄𝒎 és 𝟕 𝒄𝒎 hosszúak. Számítsd ki a szögeit!

Megoldás:

Legyen 𝑎 = 2 𝑐𝑚; 𝑏 = 6 𝑐𝑚 és 𝑐 = 7 𝑐𝑚.

Az adatok kiszámításához használjuk a koszinusz – tételt.

Először számítsuk ki a háromszög 𝛽 szögét:

62 = 22 + 72 − 2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ cos 𝛽 → 𝛽 ≈ 52,61°


4

Ezt követően számítsuk ki a háromszög 𝛾 szögét:

72 = 22 + 62 − 2 ∙ 2 ∙ 6 ∙ cos 𝛾 → 𝛾 ≈ 112,02°

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛼 = 180° − 112,02° − 52,61° = 15,37°.

7. Egy háromszög két oldala 𝟏𝟎 𝒄𝒎 és 𝟏𝟐 𝒄𝒎. Az általuk bezárt szög 𝟔𝟕°. Számítsd ki a

hiányzó oldalt és szögeket!

Megoldás:

Legyen 𝑎 = 10 𝑐𝑚; 𝑏 = 12 𝑐𝑚 és 𝛾 = 67°.

Az adatok kiszámításához használjuk a koszinusz – tételt.

Először számítsuk ki a harmadik oldal hosszát:

𝑐2 = 102 + 122 − 2 ∙ 10 ∙ 12 ∙ cos 67° → 𝑐 ≈ 12,26 𝑐𝑚

Ezt követően számítsuk ki a háromszög 𝛼 szögét:

102 = 122 + 12,262 − 2 ∙ 12 ∙ 12,26 ∙ cos 𝛼 → 𝛼 ≈ 48,67°

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛽 = 180° − 67° − 48,67° = 64,33°.

8. Egy háromszögben 𝒃 = 𝟕 𝒄𝒎, 𝒄 = 𝟗 𝒄𝒎 és 𝜶 = 𝟏𝟎𝟎°. Számítsd ki a hiányzó szögeket,

a harmadik oldal meghatározása nélkül!

Megoldás:

Mivel 𝛽 + 𝛾 = 180° − 100° = 80°, így felírhatjuk a tangens tételt: 7 + 9

7 − 9=

𝑡𝑔 80°

2

𝑡𝑔 𝛽 − 𝛾

2

.

Ebből átrendezéssel a következő adódik: 𝛽 − 𝛾 = −11,97°.

Tekintsük a következő egyenletrendszert:

𝛽 + 𝛾 = 80

𝛽 − 𝛾 = −11,97}

Az egyenletrendszer megoldása 𝛽 = 34,02° és 𝛾 = 45,98°.


5

9. Egy toronyóra nagymutatójának hossza 𝟕 𝒎, míg kis mutatójának hossza 𝟒 𝒎. Milyen

távol lesznek a mutatók végpontjai egymástól délután 𝟓 órakor?

Megoldás:

Először számítsuk ki az óra mutatói által bezárt szöget: 360°

12∙ 5 = 150°.

Ezt követően koszinusz – tétel segítségével számítsuk ki a mutatók végpontjának távolságát:

𝑥2 = 42 + 72 − 2 ∙ 4 ∙ 7 ∙ cos 150° → 𝑥 ≈ 10,65 𝑚

10. Egy háromszög kerülete 𝟐𝟑 𝒄𝒎, két szögének nagysága 𝟒𝟒° és 𝟕𝟖°. Milyen hosszúak

a háromszög oldalai?

Megoldás:

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 180° − 44° − 78° = 58°.

Először a szinusz – tétel segítségével írjuk fel a szögek szinuszainak arányát:

sin 44° : sin 58° : sin 78° = 0,6946: 0,8480: 0,9781.

Az oldalak aránya ezekkel megegyezik, így a kerület segítségével felírhatjuk a következőt:

0,6946𝑥 + 0,848𝑥 + 0,9781𝑥 = 23 → 𝑥 ≈ 9,12

Ezek alapján a háromszög oldalai: 6,34 𝑐𝑚; 7,74 𝑐𝑚 és 8,92 𝑐𝑚.

11. Egy háromszög legkisebb oldala 𝟒 𝒄𝒎 hosszú, s az egyik szöge 𝟕𝟎°. A másik két

szögének aránya 𝟓 ∶ 𝟏𝟕. Számítsd ki a háromszög területét!

Megoldás:

Először az arányok segítségével számítsuk ki a háromszög másik két szögének nagyságát:

5𝑥 + 17𝑥 = 180 − 70 → 𝑥 = 5

Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy a háromszög további szögei: 25° és 85°.

A háromszög területét megkapjuk a megfelelő képlet segítségével: 𝑇∆ =𝑎2 ∙ sin 𝛽 ∙ sin 𝛾

2 ∙ sin 𝛼.

A behelyettesítés során ügyelnünk kell arra, hogy a legkisebb oldalt adta meg a feladat, vagyis

a legkisebb szög szinusza kerül a nevezőbe.

Ezek alapján a megoldás: 𝑇∆ =16 ∙ sin 70° ∙ sin 85°

2 ∙ sin 25°≈ 17,72 𝑐𝑚2.


6

12. Egy háromszög két oldalának összege 𝟏𝟐 𝒄𝒎, az általuk bezárt szög 𝟑𝟎°. A

háromszög területe 𝟖 𝒄𝒎𝟐. Számítsd ki a háromszög oldalait!

Megoldás:

A háromszög területképletéből kifejezhetjük az a ∙ b értékét:

8 =𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 30°

2 → 𝑎 ∙ 𝑏 = 32

A feladat szövege alapján 𝑎 + 𝑏 = 12, amiből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑎 = 12 − 𝑏.

Ezt helyettesítsük az előző egyenletbe: (12 − 𝑏) ∙ 𝑏 = 32.

Ebből átrendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑏2 − 12𝑏 + 32 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑏1 = 4 és 𝑏2 = 8.

Visszahelyettesítés után 𝑏 = 4 esetén 𝑎 = 8 és 𝑏 = 8 esetén 𝑎 = 4 adódik.

Ezek alapján egy megoldás van, s a harmadik oldalt számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével:

𝑐2 = 42 + 82 − 2 ∙ 4 ∙ 8 ∙ cos 30° → 𝑐 ≈ 4,96 𝑐𝑚

13. Egy háromszög egyik szöge 𝟔𝟑° - os és a szög szögfelezője a szemközti oldalt 𝟓𝟒 𝒄𝒎

és 𝟑𝟖 𝒄𝒎 – es részekre osztja. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?

Megoldás:

A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre.

Ebből felírhatjuk a következőt: 𝑎 = 38𝑥; 𝑏 = 54𝑥 és 𝑐 = 38 + 54 = 92 𝑐𝑚.

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝑥 nagyságát:

922 = (38𝑥)2 + (54𝑥)2 − 2 ∙ 38𝑥 ∙ 54𝑥 ∙ cos 63° → 𝑥 ≈ 1,84

Ezek alapján a háromszög másik két oldalának hossza: 𝑎 = 69,92 𝑐𝑚 és 𝑏 = 99,36 𝑐𝑚.

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝛼 szög nagyságát:

69,922 = 922 + 99,362 − 2 ∙ 92 ∙ 99,36 ∙ cos 𝛼 → 𝛼 ≈ 42,65°

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛽 = 180° − 63° − 42,65° = 74,35°.


7

14. Egy háromszög területe 𝟒𝟐 𝒄𝒎𝟐. Két oldala 𝟕, 𝟑 𝒄𝒎 és 𝟏𝟐, 𝟖 𝒄𝒎. Mekkora a

háromszög harmadik oldala és a szögei?

Megoldás:

Először a terület segítségével számítsuk ki a két oldal által bezárt szöget:

42 =7,3 ∙ 12,8 ∙ sin 𝛾

2 → 𝛾1 ≈ 64,02° → 𝛾2 = 180° − 64,02° = 115,98°

Tekintsük először azt az esetet, amikor 𝛾1 = 64,02°.

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝑐 oldal hosszát:

𝑐2 = 7,32 + 12,82 − 2 ∙ 7,3 ∙ 12,8 ∙ cos 64,02° → 𝑐1 ≈ 11,63 𝑐𝑚


7,32 = 11,632 + 12,82 − 2 ∙ 11,63 ∙ 12,8 ∙ cos 𝛼 → 𝛼1 ≈ 34,35°

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛽1 = 180° − 34,35° − 64,02° = 81,63°.

Tekintsük most azt az esetet, amikor 𝛾2 = 115,98° .


𝑐2 = 7,32 + 12,82 − 2 ∙ 7,3 ∙ 12,8 ∙ cos 115,98° → 𝑐2 ≈ 17,29 𝑐𝑚


7,32 = 12,82 + 17,292 − 2 ∙ 12,8 ∙ 17,29 ∙ cos 𝛼 → 𝛼2 ≈ 22,31°



8

15. Egy tompaszögű háromszög területe 𝟏𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐, két oldala pedig 𝟏𝟔 𝒄𝒎, illetve 𝟐𝟒 𝒄𝒎.

Mekkorák a szögei?

Megoldás:

Először a terület segítségével számítsuk ki a két oldal által bezárt szöget:

150 =16 ∙ 24 ∙ sin 𝛾

2 → 𝛾1 ≈ 51,36° → 𝛾2 = 180° − 51,36° = 128,64°

Tekintsük először azt az esetet, amikor 𝛾1 = 51,36°.


𝑐2 = 162 + 242 − 2 ∙ 16 ∙ 24 ∙ cos 51,36° → 𝑐1 ≈ 18,77 𝑐𝑚

Számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝛼 szög nagyságát:

sin 𝛼

sin 51,36°=

16

18,77 → 𝛼1 ≈ 41,74° → 𝛼2 = 180° − 41,74° = 138,26°

Az 𝛼2 nem felel meg a feltételnek (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik).


Ezek alapján ez a háromszög nem tompaszögű.

Tekintsük most azt az esetet, amikor 𝛾2 = 128,64°.


𝑐2 = 162 + 242 − 2 ∙ 16 ∙ 24 ∙ cos 128,64° → 𝑐2 ≈ 36,22 𝑐𝑚

Számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝛼 szög nagyságát:

sin 𝛼

sin 128,64°=

16

36,22 → 𝛼1 ≈ 20,18° → 𝛼2 = 180° − 20,18° = 159,82°

Az 𝛼2 nem felel meg a feltételnek (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik).


Ez a háromszög tompaszögű, így megfelel a feladat feltételének.


9

16. Milyen hosszúak az óramutatók, ha végpontjuk 𝟗 órakor 𝟏𝟓 𝒄𝒎, 𝟒 órakor 𝟏𝟖 𝒄𝒎

távolságra van egymástól?

Megoldás:

Legyen a nagymutató hossza 𝑥, a kismutatóé pedig 𝑦.

A két mutató által bezárt szög 4 órakor 120°, 9 órakor pedig 90°.

Ebből felírhatjuk a következő egyenletrendszert:

152 = 𝑥2 + 𝑦2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ cos 90°

182 = 𝑥2 + 𝑦2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ cos 120°

}

A második egyenletből kivonva az elsőt fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑥 =99

𝑦.

Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő egyenlet adódik:

𝑦4 − 225𝑦2 + 9801 = 0.

Legyen 𝑎 = 𝑦2, s ekkor a következő másodfokú egyenletet kapjuk: 𝑎2 − 225𝑎 + 9801 = 0.

A megoldóképlet segítségével az egyenlet megoldásai 𝑎1 ≈ 165,9 és 𝑎2 ≈ 59,07.

A kapott értékeket visszahelyettesítve a következők adódnak:

Ha 𝑎1 = 165,9, akkor 𝑦2 = 165,9 adódik, amiből 𝑦1 ≈ 12,88 és 𝑦2 ≈ −12,88.

Ha 𝑎2 = 59,07, akkor 𝑦2 = 59,07 adódik, amiből 𝑦3 ≈ 7,69 és 𝑦4 ≈ −7,69.

Az 𝑦2 és 𝑦4 nem felel meg a feladat szövegének.

Az újabb visszahelyettesítés után a következőket kapjuk:

Ha 𝑦1 = 12,88 𝑐𝑚, akkor 𝑥1 =99

12,88≈ 7,69 𝑐𝑚

Ha 𝑦2 = 7,69 𝑐𝑚, akkor 𝑥1 =99

7,69≈ 12,88 𝑐𝑚.

Ezek alapján a két mutató hossza 7,69 𝑐𝑚 és 12,88 𝑐𝑚.


10

17. Egy háromszögben két oldal hosszúságának különbsége 𝟕, 𝟓 𝒄𝒎 és ezen oldalakkal

szemben 𝟑𝟒, 𝟕° - os, illetve 𝟕𝟔, 𝟐° - os szög található. Mekkorák a háromszög oldalai?

Megoldás:

A feladat szövege alapján: 𝑎 − 𝑏 = 7,5.

A szinusz – tétel segítségével fejezzük ki az egyik ismeretlent:

sin 34,7°

sin 76,2°=

𝑏

𝑎 → 𝑏 =

sin 34,7°

sin 76,2°∙ 𝑎 ≈ 0,5862𝑎

Ezt helyettesítsük az előző egyenletbe: 𝑎 − 0,5862𝑎 = 7,5.

Ebből átrendezés után a következő adódik: 𝑎 ≈ 18,12 𝑐𝑚.

Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑏 = 10,62 𝑐𝑚.

A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: 𝛾 = 180° − 34,7° − 76,2° = 110,9°.

Végül szinusz – tétel segítségével számítsuk ki a harmadik oldal hosszát:

sin 110,9°

sin 34,7°=

𝑐

10,62 → 𝑐 ≈ 17,43 𝑐𝑚

18. Egy 𝟏𝟓 𝑵 - os és egy 𝟐𝟒 𝑵 – os erő hat egy pontszerű testre, az erők által bezárt szög

𝟑𝟒, 𝟕°. Mennyi az eredő erő nagysága? (2977 d kék)

Megoldás:

Tekintsük a következő ábrát:

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐹 eredő erő nagyságát:

𝐹2 = 152 + 242 − 2 ∙ 15 ∙ 24 ∙ cos 145,3° → 𝐹 ≈ 37,32 𝑁


11

19. Egy 𝟐𝟓𝟎 𝑵 nagyságú erőt bontsunk fel két olyan összetevőre, amelyek 𝟓𝟒° - os és

𝟏𝟖° - os szöget alkotnak vele. Mekkorák az összetevők? (2949 kék)

Megoldás:


Először számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝐹1 erő nagyságát:

𝐹1

250=

sin 18°

sin 108° → 𝐹1 ≈ 81,23 𝑁

Ezt követően számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝐹2 erő nagyságát:

𝐹2

250=

sin 54°

sin 108° → 𝐹2 ≈ 212,66 𝑁

20. Egy háromszög két oldala 𝟖, 𝟓 𝒄𝒎, illetve 𝟏𝟒, 𝟔 𝒄𝒎. A hosszabbik megadott oldalt

felező súlyvonal 𝟏𝟎, 𝟒 𝒄𝒎 hosszúságú. Mekkora a háromszög ismeretlen oldala?

Megoldás:


A súlyvonal felezi a szemközti oldalt, vagyis |𝐴𝐷| = |𝐷𝐵| =14,6

2= 7,3 𝑐𝑚.

Először számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝐶𝐷𝐵∢ = 𝛿 szög nagyságát:

8,52 = 7,32 + 10,42 − 2 ∙ 7,3 ∙ 10,4 ∙ cos 𝛿 → 𝛿 ≈ 54,02°


12

Ebből azt kapjuk, hogy 𝐴𝐷𝐶∢ = 180° − 54,02° = 125,98°.

Végül koszinusz – tétel segítségével számítsuk ki az 𝐴𝐶 oldal hosszát:

|𝐴𝐶|2 = 7,32 + 10,42 − 2 ∙ 7,3 ∙ 10,4 ∙ cos 125,98° → |𝐴𝐶| ≈ 15,83 𝑐𝑚

21. Egy háromszög három oldala 𝟓 𝒄𝒎, 𝟕 𝒄𝒎 és 𝟏𝟎 𝒄𝒎 hosszú. Számítsd ki a háromszög

beírható és köré írható körének területét, illetve a legkisebb oldalhoz tartozó

súlyvonal hosszát!

Megoldás:


Először számítsuk ki Heron – képlet segítségével a háromszög területét: 𝑠 =𝐾

2= 11.

𝑇∆ = √𝑠 ∙ (𝑠 − 𝑎) ∙ (𝑠 − 𝑏) ∙ (𝑠 − 𝑐) = √11 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 1 ≈ 16,25 𝑐𝑚2.

Ezt követően a megfelelő területképlet segítségével számítsuk ki a beírható kör sugarát:

𝑇∆ = 𝑟 ∙ 𝑠 → 16,25 = 11𝑟 → 𝑟 ≈ 1,48 𝑐𝑚

Ezután a megfelelő területképlet segítségével számítsuk ki a köré írt kör sugarát:

𝑇∆ =𝑎𝑏𝑐

4𝑅 → 16,25 =

10 ∙ 5 ∙ 7

4𝑅 → 𝑅 ≈ 5,38 𝑐𝑚

A sugarak segítségével kiszámíthatjuk a körök területeit:

𝑇𝑅 = 𝑅2 ∙ 𝜋 = 5,382 ∙ 3,14 ≈ 90,88 𝑐𝑚2

𝑇𝑟 = 𝑟2 ∙ 𝜋 = 1,482 ∙ 3,14 ≈ 6,88 𝑐𝑚2


13

A súlyvonal hosszát többféleképpen is meghatározhatjuk.

Első megoldás:

A súlyvonal képletével: 𝑠𝑐 =√2𝑎2+2𝑏2−𝑐2

2=

√2 ∙ 100 + 2 ∙ 49 − 25

2≈ 8,26 𝑐𝑚.

Második megoldás:

A súlyvonal felezi az oldalt és legyen 𝐶𝐹𝐵 ∢ = 𝜑, illetve 𝐵𝐹𝐴 ∢ = (180° − 𝜑).

Írjuk fel a két kisebb háromszögben a koszinusz - tételeket:

102 = 2,52 + 𝑠𝑐2 − 2 ∙ 2,5 ∙ 𝑠𝑐 ∙ cos 𝜑

72 = 2,52 + 𝑠𝑐2 − 2 ∙ 2,5 ∙ 𝑠𝑐 ∙ cos (180° − 𝜑)

}

Mivel cos (180° − 𝜑) = − cos 𝜑, így ezt helyettesítsük a második egyenletbe:

102 = 2,52 + 𝑠𝑐2 − 2 ∙ 2,5 ∙ 𝑠𝑐 ∙ cos 𝜑

72 = 2,52 + 𝑠𝑐2 + 2 ∙ 2,5 ∙ 𝑠𝑐 ∙ cos 𝜑

}

Adjuk össze a két egyenletet, s rendezés után számítsuk ki a súlyvonal hosszát:

149 = 12,5 + 2 ∙ 𝑠𝑐2 → 𝑠𝑐 ≈ 8,26 𝑐𝑚

Harmadik megoldás:

Először számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝛼 szög nagyságát:

102 = 52 + 72 − 2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ cos 𝛼 → 𝛼 ≈ 111,8°

Ezt követően számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a súlyvonal hosszát:

𝑠𝑏2 = 2,52 + 72 − 2 ∙ 2,5 ∙ 7 ∙ cos 111,8° → 𝑠𝑏 ≈ 8,26 𝑐𝑚


14

22. Egy trapéz két párhuzamos oldala 𝟓, 𝟒 𝒄𝒎, illetve 𝟏𝟖, 𝟐 𝒄𝒎. Egyik szára 𝟏𝟐, 𝟓 𝒄𝒎, a

másik szára a hosszabbik alappal 𝟕𝟏° 𝟑𝟔′ - es szöget zár be. Számítsd ki a trapéz

másik szárát és a területét!

Megoldás:


A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: 71° 36′ = 71,6°.

A 𝐵𝐶 szárat eltolva a 𝐷 csúcsba azt kapjuk, hogy |𝐴𝐸| = 18,2 − 5,4 = 12,8 𝑐𝑚.

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a másik szár hosszát:

12,52 = |𝐴𝐷|2 + 12,82 − 2 ∙ |𝐴𝐷| ∙ 12,8 ∙ cos 71,6°

Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik: |𝐴𝐷|2 − 8,08 ∙ |𝐴𝐷| + 7,59 = 0.

A megoldóképlet alapján az egyenlet megoldásai |𝐴𝐷|1 = 7 és |𝐴𝐷|2 = 1,1.

A derékszögű 𝐴𝐹𝐷 ∆ - ben megfelelő szögfüggvény segítségével számítsuk ki a magasságot:

sin 71,6° =𝑚1

7 → 𝑚1 ≈ 6,64 𝑐𝑚

sin 71,6° =𝑚2

1,1 → 𝑚2 ≈ 1,04 𝑐𝑚

Végül számítsuk ki a két lehetséges trapéz területét:

𝑇1 =5,4 + 18,2

2∙ 6,64 = 78,352 𝑐𝑚2

𝑇2 =5,4 + 18,2

2∙ 1,04 = 12,272 𝑐𝑚2


15

23. Egy szimmetrikus trapéz átlójának hossza 𝟑𝟒 𝒄𝒎. Az átló 𝟐𝟖, 𝟐° - os és 𝟑𝟑, 𝟔° - os

szögekre osztja a trapéz hegyesszögét. Az utóbbi szög másik szára a trapéz hosszabbik

alapja. Számítsd ki a szimmetrikus trapéz oldalainak a hosszát!

Megoldás:


A trapéz szögeinek nagysága: 𝛽 = 33,6° + 28,2° = 61,8° és 𝛼 = 180° − 61,8° = 118,2°.

Először számítsuk ki a 𝐵𝐷𝐴∢ nagyságát: 𝐵𝐷𝐴∢ = 180° − 33,6° − 61,8° = 84,6°.

Először számítsuk ki szinusz – tétel segítségével a trapéz szárának hosszát:

sin 33,6°

sin 61,8°=

|𝐴𝐷|

34 → |𝐴𝐷| ≈ 21,35 𝑐𝑚

Ezt követően számítsuk ki szinusz – tétel segítségével a rövidebb alap hosszát:

sin 28,2°

sin 118,2°=

|𝐶𝐷|

34 → |𝐶𝐷| ≈ 18,23 𝑐𝑚

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a hosszabb alap hosszát:

|𝐴𝐵|2 = 342 + 21,352 − 2 ∙ 34 ∙ 21,35 ∙ cos 84,6° → |𝐴𝐵| ≈ 38,41 𝑐𝑚

24. Egy paralelogramma területe 𝟒𝟓𝟕, 𝟔 𝒄𝒎𝟐, egyik oldala 𝟏𝟒, 𝟐 𝒄𝒎, egyik szöge 𝟑𝟐° 𝟏𝟖′. Számítsd ki a másik oldalt és a hosszabb átlót!

Megoldás:



16

A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: 32° 18′ ≈ 32,3°.

A paralelogramma 𝑇𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝛾 területképletéből számítsuk ki a másik oldal hosszát:

457,6 = 𝑎 ∙ 14,2 ∙ sin 32,3° → 𝑎 ≈ 60,3 𝑐𝑚

Ezt követően számítsuk ki a paralelogramma (tompa) 𝛽 = 𝐴𝐵𝐶 ∢ szögét:

𝛽 = 180° − 32,3° = 147,7°.

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐶 átló hosszát:

|𝐴𝐶|2 = 14,22 + 60,32 − 2 ∙ 14,2 ∙ 60,3 ∙ cos 147,7° → |𝐴𝐶| ≈ 72,7 𝑐𝑚

25. Egy paralelogramma egyik szöge 𝟏𝟏𝟐°. Az adott szöggel szemközti átló hossza 𝟏𝟖 𝒄𝒎.

Ez az átló a paralelogramma hegyesszögét 𝟐: 𝟑 arányban osztja. Számítsd ki a

paralelogramma oldalainak a hosszát!

Megoldás:

Első lépésként készítsünk ábrát, melyben feltüntetjük a megadott adatokat.

A feladat szövege alapján 2𝑥 + 3𝑥 = 180 − 112, amiből 𝑥 = 13,6.

Ebből adódnak a következő szögek: 𝐶𝐴𝐵∢ = 27,2° és 𝐷𝐴𝐶∢ = 40,8°.

Ezután számítsuk ki szinusz – tétel segítségével a 𝐵𝐶 oldal hosszát:

sin 27,2°

sin 112°=

|𝐵𝐶|

18 → |𝐵𝐶| ≈ 8,87 𝑐𝑚

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐵 oldal hosszát:

|𝐴𝐵|2 = 8,872 + 182 − 2 ∙ 8,87 ∙ 18 ∙ cos 40,8° → |𝐴𝐵| ≈ 12,69 𝑐𝑚


17

26. Egy egyenes országútból 𝟑𝟐° - os szög alatt egy egyenes gyalogút ágazik el. E gyalogút

mentén két gazdasági épület egymástól ismeretlen távolságra fekszik. Az elágazászól

𝟒𝟎𝟎 méterrel tovább haladva az országúton, az épületek felé mutató irányok 𝟏𝟎𝟓°,

illetve 𝟕𝟓° - os szöget zárnak be a haladás irányával. Milyen messze van egymástól a

két épület?

Megoldás:


Az ábra alapján számítsuk ki a következő szögeket:

𝐵𝐷𝐴∢ = 180° − 105° = 75°

𝐴𝐵𝐷∢ = 180° − 32° − 75° = 73°

𝐶𝐷𝐵∢ = 105° − 75° = 30°

𝐷𝐵𝐶∢ = 180° − 73° = 107°

𝐵𝐶𝐷∢ = 180° − 30° − 107° = 43°

Számítsuk ki szinusz – tétel segítségével a 𝐵𝐷 szakasz hosszát:

sin 32°

sin 73°=

|𝐵𝐷|

400 → |𝐵𝐷| ≈ 221,65 𝑚

Végül számítsuk ki szinusz – tétel segítségével a 𝐵𝐶 szakasz hosszát:

sin 30°

sin 43°=

|𝐵𝐶|

221,65 → |𝐵𝐶| ≈ 162,5 𝑚


18

27. Egy szigeten levő 𝑨 tereptárgy távolságát szeretnénk meghatározni a folyó túlsó

partján levő 𝑩 tereptárgytól. Ezért a folyó innenső partján az 𝑨𝑩 egyenesen

felveszünk egy 𝑪 pontot, majd 𝑪 – ből kiindulva oldalra felmérünk egy 𝟑𝟓𝟎 méteres

𝑪𝑫 szakaszt. Megmérve, kapjuk a következő szögeket: 𝑨𝑪𝑫∢ = 𝟕𝟓° 𝟒𝟖′; 𝑪𝑫𝑨∢ = 𝟒𝟏° 𝟏𝟐′; 𝑨𝑫𝑩∢ = 𝟐𝟖° 𝟓𝟑′. Mekkora az 𝑨𝑩 távolság?

Megoldás:


A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká:

28° 53′ ≈ 28,88° 41° 12′ = 41,2° 75° 48′ = 75,8°.


𝐶𝐷𝐵∢ = 41,2° + 28,88° = 70,08°

𝐷𝐵𝐶∢ = 180° − 75,8° − 70,08° = 34,12°

𝐷𝐴𝐶∢ = 180° − 41,2° − 75,8° = 63°

Számítsuk ki szinusz – tétel segítségével a 𝐵𝐶 szakasz hosszát:

sin 70,08°

sin 34,12°=

|𝐵𝐶|

350 → |𝐵𝐶| ≈ 586,63 𝑚

Számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐶 szakasz hosszát:

sin 41,2°

sin 63°=

|𝐴𝐶|

350 → |𝐴𝐶| ≈ 258,74 𝑚

Végül számítsuk ki az 𝐴𝐵 távolságot: |𝐴𝐵| = 586,63 − 258,74 = 327,89 𝑚.


19

28. Egy útkereszteződéstől észak felé az 𝑨 község van 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝒎 – re, míg nyugat felé a 𝑩

község van 𝟑𝟐𝟎𝟎 𝒎 – re. Milyen távol van az 𝑨 – tól és a 𝑩 – től az a 𝑪 község, amelybe

𝑨 – ból egy olyan egyenes út vezet, amely az északi irányú úttól balra tér el

𝟖𝟐° 𝟏𝟔′ - es irányba, míg 𝑩 – ből 𝑪 – be olyan egyenes út vezet, amely a nyugati irányú

úttól jobbra tér el 𝟕𝟓° 𝟒𝟐′ - es szöggel?

Megoldás:


A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: 75° 42′ = 75,7° és 82° 16′ ≈ 82,27°.

Számítsuk ki a derékszögű 𝐵𝑂𝐴 ∆ - ben az 𝐴𝐵 távolságot, az 𝑂𝐴𝐵∢ = 𝛼 és 𝐴𝐵𝑂∢ = 𝛽 szöget:

24002 + 32002 = |𝐴𝐵|2 → |𝐴𝐵| ≈ 4000 𝑚

cos 𝛼 =1400

4000 → 𝛼 ≈ 53,13°

cos 𝛽 =3200

4000 → 𝛽 ≈ 36,87°


𝐵𝐴𝐶∢ = 180° − 82,27° − 53,13° = 44,6°

𝐶𝐵𝐴∢ = 180° − 75,7° − 36,87° = 67,43°

𝐴𝐶𝐵∢ = 180° − 44,6° − 67,43° = 67,97°

Végül számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐶 és 𝐵𝐶 távolságokat:

sin 67,43°

sin 67,97°=

|𝐴𝐶|

4000 → |𝐴𝐶| ≈ 3984,57 𝑚

sin 44,6°

sin 67,97°=

|𝐵𝐶|

4000 → |𝐵𝐶| ≈ 3029,83 𝑚


20

29. Egy egyenes főúton haladva, 𝟑𝟒° 𝟏𝟖′ - es szög alatt balra, egyenes mellékút ágazik el,

majd 𝟖 𝒌𝒎 - rel tovább az egyenes főúton, jobbra egy egyenes mellékút ágazik le

𝟒𝟏° 𝟐𝟒′ - es szöget bezárva a főúton való haladási irányunkkal. Az első mellékúton

𝟏𝟐 𝒌𝒎 - rel az elágazás után van a 𝑩 község, míg a második mellékúton a leágazástól

𝟏𝟎 𝒌𝒎 - re van a 𝑪 község. Milyen messze van egymástól légvonalban a két község?

Megoldás:


A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: 34° 18′ ≈ 34,3° és 41° 24′ = 41,4°.

Először számítsuk ki az 𝐴𝐷𝐶∢ nagyságát: 𝐴𝐷𝐶 ∢ = 180° − 41,4° = 138,6°.

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐶 szakasz hosszát:

|𝐴𝐶|2 = 82 + 102 − 2 ∙ 8 ∙ 10 ∙ cos 138,6° → |𝐴𝐶| ≈ 16,85 𝑘𝑚

Ezt követően számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝛼 = 𝐷𝐴𝐶 ∢ szöget:

sin 𝛼

sin 138,6°=

10

16,85 → 𝛼 ≈ 23,1°

Ebből számítsuk ki a 𝐵𝐴𝐶∢ nagyságát: 𝐵𝐴𝐶∢ = 34,3° + 23,1° = 57,4°.

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝐵𝐶 távolságot:

|𝐵𝐶|2 = 122 + 16,852 − 2 ∙ 12 ∙ 16,85 ∙ cos 57,4° → |𝐵𝐶| ≈ 14,5 𝑘𝑚


21

30. Kalózok elásott kincsét keresve, az 𝑨 helyről észak felé haladunk 𝟔𝟓 𝒎 - t, majd

keletnek fordulunk és 𝟖𝟐 𝒎 - t teszünk meg. Ezután jobbra eltérünk a keleti iránytól

𝟑𝟓° 𝟐𝟒′ - es szöggel és egyenesen haladunk 𝟒𝟑 𝒎 - t, míg eljutunk a 𝑫 pontban elásott

kincshez. Mekkora az 𝑨𝑫 távolság?

Megoldás:


Mivel az északi iránytól kelet felé fordultunk, ezért 𝐴𝐵𝐶 ∢ = 90°.

A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: 35° 24′ = 35,4°.

Először számítsuk ki Pitagorasz – tétel segítségével az 𝐴𝐶 szakasz hosszát:

|𝐴𝐶|2 = 652 + 822 → |𝐴𝐶| ≈ 104,64 𝑚

Ezt követően számítsuk ki megfelelő szögfüggvény segítségével a 𝛾 = 𝐴𝐶𝐵 ∢ szöget:

𝑡𝑔 𝛾 =65

82 → 𝛾 ≈ 38,4°

Ebből számítsuk ki a 𝐷𝐶𝐴∢ nagyságát: 𝐷𝐶𝐴 ∢ = 180° − 35,4° − 38,4° = 106,2°.

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐷 távolságot:

|𝐴𝐷|2 = 432 + 104,642 − 2 ∙ 43 ∙ 104,64 ∙ cos 106,2° → |𝐴𝐷| ≈ 123,73 𝑚


22

31. Egy hegy emelkedik egy síkság fölé. A hegy csúcsa a 𝑷 pont, ennek merőleges vetülete

a síkra a 𝑷′ pont. A síkon felveszünk egy 𝑨𝑩 = 𝟖𝟎𝟎 𝒎 hosszú alapvonalat. Majd

megmérve kapjuk a következő szögeket: 𝑷𝑨𝑩∢ = 𝟕𝟐° 𝟑𝟓′; 𝑷𝑩𝑨∢ = 𝟔𝟒° 𝟐𝟔′; 𝑷𝑨𝑷′∢ = 𝟐𝟑° 𝟒𝟖′. Milyen magasra emelkedik a hegy a síkság fölé?

Megoldás:



23° 48′ = 23,8° 64° 26′ ≈ 64,43° 72° 35′ ≈ 72,58°.

Először számítsuk ki a 𝐵𝑃𝐴∢ nagyságát: 𝐵𝑃𝐴∢ = 180° − 64,43° − 72,58° = 42,99°.

Ezt követően számítsuk ki szinusz – tétel segítségével az 𝐴𝑃 szakasz hosszát:

sin 64,43°

sin 42,99°=

|𝐴𝑃|

800 → |𝐴𝑃| ≈ 1058,33 𝑚

Végül a derékszögű 𝐵𝑂𝐴 ∆ - ben számítsuk ki szögfüggvény segítségével a 𝑃𝑃′ távolságot:

sin 23,8° =|𝑃𝑃′|

1058,33 → |𝑃𝑃′| ≈ 427,08 𝑚


23

32. Egy 𝟔𝟓𝟎 𝒎 magas hegy csúcsáról két hajót figyelünk meg a tengeren. A hajók

távolságát 𝟕𝟒° 𝟐𝟒′ - es szög alatt látjuk. Az egyik hajót 𝟖° 𝟓𝟐′ - es, míg a másik hajót

𝟕° 𝟏𝟔′ - es lehajlási szög alatt látjuk. Mekkora a két hajó távolsága egymástól?

Megoldás:



7° 16′ ≈ 7,26° 8° 52′ ≈ 8,86° 74° 24′ = 74,4°.

Mivel a lehajlási (depresszió) szöget egy paralelogramma átlójával szemléltetjük, ezért ezeket

a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. Továbbá a 𝐶 pont a 𝐵 és

𝐷 pontok síkjában van, ezért 𝐵𝐶𝐴∢ = 90° és 𝐴𝐶𝐷∢ = 90°.

Ezek alapján számítsuk ki megfelelő szögfüggvényekkel az 𝐴𝐶 és 𝐴𝐷 szakaszok hosszát:

sin 8,86° =650

|𝐴𝐷| → |𝐴𝐷| ≈ 4220,2 𝑚

sin 7,26° =650

|𝐴𝐵| → |𝐴𝐵| ≈ 5143,5 𝑚

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝐵𝐷 távolságot:

|𝐵𝐷|2 = 4220,22 + 5143,52 − 2 ∙ 4220,2 ∙ 5143,5 ∙ cos 74,4° → |𝐵𝐷| ≈ 5708,8 𝑚


24

33. Egy 𝟐𝟎𝟎 𝒎 magas torony tetejéről a torony talppontján kívüli 𝑨, illetve 𝑩 pont

𝟑𝟖° 𝟏𝟕′, illetve 𝟒𝟔° 𝟐𝟒′ - es lehajlási szög alatt látszik. Az 𝑨, illetve a 𝑩 ponthoz tartozó

lehajlási szög mérése közben a távcsövet vízszintes síkban 𝟕𝟖° 𝟑𝟔′ - es szöggel kellett

elforgatni. Milyen hosszú az 𝑨𝑩 távolság?

Megoldás:



38° 17′ ≈ 38,28° 46° 24′ = 46,4° 78° 36′ = 78,6°.


a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. A távcső elforgatását szintén

jelölhetjük az ábra alsó részén is. Továbbá a 𝐶 pont az 𝐴 és 𝐵 pontok síkjában van, ezért

𝐷𝐶𝐴∢ = 90° és 𝐴𝐶𝐷∢ = 90°.

Ezek alapján számítsuk ki megfelelő szögfüggvényekkel az 𝐴𝐶 és 𝐵𝐶 szakaszok hosszát:

𝑡𝑔 38,28° =200

|𝐴𝐶| → |𝐴𝐶| ≈ 253,42 𝑚

𝑡𝑔 46,4° =200

|𝐵𝐶| → |𝐵𝐶| ≈ 190,45 𝑚

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐵 távolságot:

|𝐴𝐵|2 = 190,422 + 253,452 − 2 ∙ 190,42 ∙ 253,45 ∙ cos 78,6° → |𝐴𝐵| ≈ 285,3 𝑚


25

34. Vízszintes terep 𝑻 pontja felett lebeg egy 𝑳 léggömb, s ezt az 𝑨 – ban álló megfigyelő

𝟑𝟕° - os, a 𝑩 – beli megfigyelő 𝟒𝟓° - os emelkedési szögben látja. Milyen magasan

lebeg a léggömb, ha a megfigyelők 𝟓𝟎𝟎 𝒎 – re vannak egymástól és az 𝑨𝑻𝑩 ∢ = 𝟖𝟎°?

Megoldás:



a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. Továbbá a 𝑇 pont az 𝐴 és

𝐵 pontok síkjában van, ezért 𝐴𝑇𝐿∢ = 90° és 𝐵𝑇𝐿∢ = 90°.

A derékszögű 𝐴𝑇𝐿 ∆ - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki 𝐴𝑇 – t 𝑇𝐿 – lel:

𝑡𝑔 37° =|𝑇𝐿|

|𝐴𝑇| → |𝐴𝑇| ≈ 1,327 ∙ |𝑇𝐿|

A derékszögű 𝐵𝑇𝐿 ∆ - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki 𝐵𝑇 – t 𝑇𝐿 – lel:

𝑡𝑔 45° =|𝑇𝐿|

|𝐵𝑇| → |𝐵𝑇| = |𝑇𝐿|

Végül számítsuk ki koszinusz - tétel segítségével a 𝑇𝐿 magasságot:

5002 = (1,327 ∙ |𝑇𝐿|)2 + |𝑇𝐿|2 − 2 ∙ 1,327 ∙ |𝑇𝐿| ∙ |𝑇𝐿| ∙ cos 80° → |𝑇𝐿| ≈ 329,7 𝑚


26

35. Egy tőlünk keletre fekvő hegy csúcsát 𝟐𝟐° emelkedési szögben látjuk. Ha a vízszintes

talajon 𝟏, 𝟓 𝒌𝒎 – t délre megyünk, akkor a hegy csúcsáról 𝟏𝟖, 𝟓° depressziószögben

(lehajlási szögben) látszunk. Milyen magas a hegy, milyen távol vagyunk mindkét

helyen a hegy csúcsától és mekkora a hegy csúcsáról az útszakasz látószöge?

Megoldás:



a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. Továbbá a 𝐶 pont az 𝐴 és

𝐵 pontok síkjában van, ezért 𝐴𝐶𝐷∢ = 90° és 𝐵𝐶𝐷∢ = 90°.

A derékszögű 𝐴𝐶𝐷 ∆ - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki 𝐴𝐶 – t 𝐶𝐷 – vel:

𝑡𝑔 22° =|𝐶𝐷|

|𝐴𝐶| → |𝐴𝐶| ≈ 2,475 ∙ |𝐶𝐷|

A derékszögű 𝐵𝐶𝐷 ∆ - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki 𝐵𝐶 – t 𝐶𝐷 – vel:

𝑡𝑔 18,5° =|𝐶𝐷|

|𝐵𝐶| → |𝐵𝐶| ≈ 2,9887 ∙ |𝐶𝐷|

A derékszögű 𝐵𝐶𝐷 ∆ - ben Pitagorasz - tétel segítségével számítsuk ki a 𝐶𝐷 szakasz hosszát:

1,52 + (2,475 ∙ |𝐶𝐷|)2 = (2,9887 ∙ |𝐶𝐷|)2 → |𝐶𝐷| ≈ 0,895 𝑘𝑚 = 895 𝑚


27

Ezt visszahelyettesítve számítsuk ki az 𝐴𝐶 és 𝐵𝐶 szakaszok hosszát:

|𝐴𝐶| = 2,475 ∙ 895 = 2215,13 𝑚

|𝐵𝐶| = 2,9887 ∙ 895 = 2674,89 𝑚

A derékszögű 𝐴𝐶𝐷 ∆ - ben megfelelő szögfügvény segítségével számítsuk ki az 𝐴𝐷 hosszát:

𝑐𝑜𝑠 22° =2215,13

|𝐴𝐷| → |𝐴𝐷| ≈ 2389,09 𝑚

A derékszögű 𝐵𝐶𝐷 ∆ - ben megfelelő szögfügvény segítségével számítsuk ki 𝐵𝐷 hosszát:

𝑐𝑜𝑠 18,5° =2674,89

|𝐵𝐷| → |𝐵𝐷| ≈ 2820,65 𝑚

Végül számítsuk ki koszinusz - tétel segítségével a 𝜑 = 𝐴𝐷𝐵 ∢ látószöget:

15002 = 2389,092 + 2820,652 − 2 ∙ 2389,09 ∙ 2820,65 ∙ cos 𝜑 → 𝜑 ≈ 32,13°

36. Egy konvex négyszög alakú telek oldalainak hosszúságai rendre: 𝟓𝟎 𝒎, 𝟕𝟎 𝒎, 𝟔𝟎 𝒎,

𝟗𝟎 𝒎. Az 𝟓𝟎 és 𝟕𝟎 𝒎 - es oldalak találkozási pontjából a telek szemközti csúcsába

𝟗𝟓 𝒎 hosszú, egyenes út vezet. Mekkora a telek másik két sarokpontjának távolsága?

Megoldás:


Először számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝛾1 = 𝐴𝐶𝐵 ∢ szöget:

902 = 502 + 952 − 2 ∙ 50 ∙ 95 ∙ cos 𝛾1 → 𝛾1 ≈ 68,86°.


28

Ezt követően számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝛾2 = 𝐴𝐶𝐷 ∢ szöget:

602 = 702 + 952 − 2 ∙ 70 ∙ 95 ∙ cos 𝛾2 → 𝛾2 ≈ 39,07°

Ebből számítsuk ki a 𝐵𝐶𝐷∢ nagyságát: 𝐵𝐶𝐷 ∢ = 39,07° + 68,86° = 107,93°.

Végül számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝐵𝐷 távolságot:

|𝐵𝐷|2 = 502 + 702 − 2 ∙ 50 ∙ 70 ∙ cos 107,93° → |𝐵𝐷| ≈ 97,74 𝑚

37. Egy konvex négyszög három egymás utáni oldala 𝟏𝟓 𝒄𝒎, 𝟏𝟑 𝒄𝒎 és 𝟖 𝒄𝒎. Az első két

oldal közötti szög 𝟖𝟓° 𝟒𝟓′, a második és a harmadik oldala közötti szög 𝟕𝟒° 𝟐𝟎′. Mekkorák a négyszög ismeretlen szögei és oldala?

Megoldás:


A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: 74° 20′ ≈ 74,33° és 85° 45′ = 85,75°.

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐶 szakasz hosszát:

|𝐴𝐶|2 = 132 + 152 − 2 ∙ 13 ∙ 15 ∙ cos 85,75° → |𝐴𝐶| ≈ 19,11 𝑐𝑚

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝛾 = 𝐵𝐶𝐴∢ szöget:

152 = 132 + 19,112 − 2 ∙ 13 ∙ 19,11 ∙ cos 𝛾 → 𝛾 ≈ 51,52°

Ebből számítsuk ki az 𝐴𝐶𝐷∢ nagyságát: 𝐴𝐶𝐷∢ = 74,33° − 51,52° = 22,81°.


29

Ezt követően számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐷 távolságot:

|𝐴𝐷|2 = 82 + 19,112 − 2 ∙ 8 ∙ 19,11 ∙ cos 22,81° → |𝐴𝐷| ≈ 12,14 𝑐𝑚

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝛿 = 𝐶𝐷𝐴∢ szöget:

19,112 = 82 + 12,142 − 2 ∙ 8 ∙ 12,14 ∙ cos 𝛿 → 𝛿 ≈ 142,36°

Végül számítsuk ki az 𝛼 szög nagyságát: 𝛼 = 360° − 74,33° − 85,75° − 142,36° = 57,56°.

38. Egy körben a kör egy pontjából kiinduló 𝟏𝟐 𝒄𝒎, illetve 𝟏𝟓 𝒄𝒎 hosszú húrok

𝟒𝟐° 𝟏𝟖′ - es szöget zárnak be. Mekkora a kör sugara?

Megoldás:


A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: 42° 18′ ≈ 42,3°.

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével az 𝐴𝐵 távolságot:

|𝐴𝐵|2 = 122 + 152 − 2 ∙ 12 ∙ 15 ∙ cos 42,3° → |𝐴𝐵| ≈ 10,13 𝑐𝑚

Számítsuk ki a szinusz – tétel geometriai alakjának segítségével a kör sugarát:

2𝑅 =10,13

sin 42,3° → 𝑅 ≈ 7,53 𝑐𝑚


30

39. Egy 𝟏𝟎 𝒄𝒎 sugarú körben a kör egy pontjából kiinduló két húr hossza 𝟏𝟐 𝒄𝒎 és

𝟏𝟒 𝒄𝒎. Határozd meg a húrok végpontjainak távolságát!

Megoldás:


A szinusz – tétel geometriai alakjából számítsuk ki a 𝛽 = 𝐴𝐵𝐶∢ és a 𝛾 = 𝐵𝐶𝐴∢ szögeket:

2 ∙ 10 =14

sin 𝛽 → 𝛽1 ≈ 44,43° → 𝛽2 = 180° − 44,43° = 135,57°

2 ∙ 10 =12

sin 𝛾 → 𝛾1 ≈ 36,87° → 𝛾2 = 180° − 36,87° = 143,13°

A 𝛾2 nem lehet megoldás, mert kisebb oldallal szemben kisebb szögnek kell lennie.

Tekintsük először azt az esetet, amikor 𝛽1 ≈ 44,43° és 𝛾1 ≈ 36,87°.

Ekkor a harmadik szög: 𝛼1 = 180° − 44,43° − 36,87° = 98,7°.

Számítsuk ki a szinusz – tétel geometria alakjának segítségével a 𝐵𝐶 szakasz hosszát:

2 ∙ 10 =|𝐵𝐶|

sin 98,7° → |𝐵𝐶| ≈ 19,77 𝑐𝑚

Tekintsük most azt az esetet, amikor 𝛽2 ≈ 135,57° és 𝛾1 ≈ 36,87°.

Ekkor a harmadik szög: 𝛼2 = 180° − 135,57° − 36,87° = 7,56°.

Számítsuk ki a szinusz – tétel geometria alakjának segítségével a 𝐵𝐶 szakasz hosszát:

2 ∙ 10 =|𝐵𝐶|

sin 7,56° → |𝐵𝐶| ≈ 2,63 𝑐𝑚


31

40. Három egymást páronként kívülről érintő kör sugara 𝟐 𝒄𝒎, 𝟑 𝒄𝒎 és 𝟓 𝒄𝒎. Határozd

meg a három kör közötti síkidom területét!

Megoldás:


Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝛽 = 𝐴𝐵𝐶 ∢ szöget:

52 = 72 + 82 − 2 ∙ 7 ∙ 8 ∙ cos 𝛽 → 𝛽 ≈ 38,21°

Számítsuk ki koszinusz – tétel segítségével a 𝛾 = 𝐵𝐶𝐴 ∢ szöget:

72 = 52 + 82 − 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ cos 𝛾 → 𝛾 ≈ 60°

Ebből számítsuk ki az 𝛼 = 𝐶𝐴𝐵∢ nagyságát: 𝛼 = 180° − 38,21° − 60° = 81,79°.

Ezt követően számítsuk ki az 𝐴𝐵𝐶 ∆ területét: 𝑇𝐴𝐵𝐶 ∆ =5 ∙ 8 ∙ sin 60°

2≈ 17,32 𝑐𝑚2.

Végül számítsuk ki a három körszelet területét:

𝑇1 = 22 ∙ 𝜋 ∙81,79°

360°≈ 2,85 𝑐𝑚2

𝑇2 = 32 ∙ 𝜋 ∙60°

360°≈ 4,71 𝑐𝑚2

𝑇3 = 52 ∙ 𝜋 ∙38,21°

360°≈ 8,34 𝑐𝑚2

Ezek alapján a közbezárt síkidom területe: 𝑇 = 17,32 − 2,85 − 4,71 − 8,34 = 1,42 𝑐𝑚2.

megoldások - bzmatek · 2018. 3. 16. · 3. egy háromszög két oldala 𝒎 és 𝒎 hosszú. a...

Documents