meeting game theory

8/3/2019 Meeting Game Theory

http://slidepdf.com/reader/full/meeting-game-theory 1/20

•

•

•

Secondary Menu

• Hírmondó• Beszél lapokő • E-kikötő • Blogok• Beszél tájő • Hangos kikötő • Infosziget• Megrendelés

You are here:

2005. június–július, Évfolyam 10, Szám 6 » Messzelátó

Találkozás a játékelmélettelSzilágyi Miklós

Kétszerepl s játékoktól a sokszerepl s társadalmi jelenségekigő ő

Válóperes tárgyaláson vagyunk. A férj beismeri, hogy megcsalta a feleségét. „Nem volt más választásom”,

mondja. „Nem lettem volna képes elviselni azt a megaláztatást, hogy a feleségem esetleg felszarvaz,miközben én h maradok hozzá.” „Honnan vette, hogy a felesége megcsalja?”, kérdezi a bíró. „Nemű tudtam, csak gondoltam. Úgy okoskodtam, hogy ha nem csal meg, akkor is jobban járok a félrelépéssel,mivel az új és kellemes élményeket jelent számomra. Ráadásul ebben az esetben én vagyok a gy ztes.” „Éső Ön, Asszonyom?”, szól a bíró. „Én pontosan ugyanezt tudom elmondani”, vallja be elpirulva a feleség.

Kétszerepl s játékokő

A fiatal Neumann János egyik nagyszer ötlete alapján 1928-ban létrehozta a játékelméletet [Neumann].ű

http://beszelo.c3.hu/hirmondo

http://beszelo.c3.hu/archiv



http://beszelo.c3.hu/e-kikoto



http://beszelo.c3.hu/blogok

http://beszelo.c3.hu/beszelo-taj/boritok



http://beszelo.c3.hu/hangos-kikoto



http://beszelo.c3.hu/infosziget/impresszum

http://beszelo.c3.hu/infosziget/megrendeles

http://beszelo.c3.hu/epublish/1/3


http://beszelo.c3.hu/cikkrovatok/9



http://beszelo.c3.hu/szerzok/szilagyi-miklos

http://beszelo.c3.hu/infosziget/kapcsolat

http://beszelo.c3.hu/rss

http://www.facebook.com/pages/BESZ%C3%89L%C5%90-Politikai-%C3%A9s-Kultur%C3%A1lis-Foly%C3%B3irat/58427074814

http://beszelo.c3.hu/

http://beszelo.c3.hu/hirmondo



http://beszelo.c3.hu/blogok



http://beszelo.c3.hu/infosziget/impresszum

http://beszelo.c3.hu/infosziget/megrendeles



http://beszelo.c3.hu/szerzok/szilagyi-miklos



Eredetileg hétköznapi kétszerepl s helyzetek tanulmányozására szolgált, ahol mindegyik résztvev nekő ő olyan döntéseket kell hoznia, hogy az eredmény a lehet legel nyösebb legyen számára, ami perszeő ő nemcsak a saját döntését l, hanem az ellenfeléét l is függ.ő ő

Nagyon hamar kiderült, hogy ez az elmélet nemcsak a kétszerepl s szórakoztató játékok elemzéséreő alkalmas, hanem igen sok gyakorlati alkalmazása is van. Erre els nek a közgazdászok jöttek rá, hiszen aő

piac is tulajdonképpen egy játék [Neumann–Morgenstern].

Neumann munkája el ször csak kétszerepl s, állandó összeg játékokra vonatkozott. (A pontozás módjátólő ő ű függ en a játék összege lehet bármilyen állandó. Ez azonban csak a skála eltolását jelenti, ezért az állandóő összeg játékokat gyakran nullaösszeg eknek is nevezik.) Ilyen például a sakk, hiszen az egyik játékosű ű nyeresége a másik vesztesége. Ezt tiszta konfliktusnak nevezzük.

Neumann feltételezte továbbá, hogy a szerepl k mindig a lehet legjobb lépést választják (racionalitás), éső ő ismerik a saját maguk és az ellenfél által hozott különböz döntések összes lehetséges kimenetelét (teljeső információ). Az ilyen játékokra optimális stratégiákat dolgozott ki, amelyekkel mindkét játékos a lehető legjobb eredményt érheti el. Neumann ún. minimax-stratégiája alapján lehet például olyan számítógépesprogramokat írni, amelyek szinte mindenkit megvernek, például az Otello (Reversi) játékban, mivel a

számítógép egyetlen lépést sem néz el, ellentétben velünk, gyarló emberekkel.

A legegyszer bb kétszerepl s játékok esetén mindkét résztvev nek mindössze két választási lehet ségeű ő ő ő van. Jelöljük ezeket C-vel és D-vel. Ennek megfelel en négy különböz eredmény képzelhet el: CC, CD,ő ő ő DC és DD (az els választás az els játékosra, a második a másodikra vonatkozik). A játék lehetségeső ő kimeneteleit a következ táblázat szemlélteti:ő

C D

C a1, a2 b1, b2

D c1, c2 d1, d2

1. táblázat

Az els játékos választhat a sorok, a második az oszlopok között. Attól függ en, hogyő ő mit választottak,mindketten különböz jutalmakat (büntetéseket) kapnak. Ha például az els játékos C-t, a második D-tő ő választ, akkor az els jutalma bő 1, a másodiké b2 lesz. Kizárjuk továbbá azt a lehet séget, hogyő valamelyikük is egyforma jutalmat kap különböz kimenetelek esetén. Mivel aő 1, b1, c1 és d1 éppúgy, mint a2, b2, c2 és d2 külön-külön 4 x 3 x 2 x 1 = 24-féleképpen helyezhet sorrendbe, ezért láthatjuk, hogy mégő ebben a nagyon egyszer esetben is 24 x 24 = 576 különböz játék képzelhet el. A helyzetet némilegű ő ő egyszer síti, hogy a sorok, illetve oszlopok, valamint a játékosok felcserélésével gyakorlatilag azonosű játékokhoz jutunk. Ha ezeket elhagyjuk, az eredmény még mindig 78 különböz játék [Rapoport–Guyer].ő A 78 különböz eset között csak három állandó összeg játékot találunk.ő ű

Tekintsünk egy példát a fenti táblázatra:

C D

C 3, 3 1, 4

D 4, 1 2, 2

http://beszelo.c3.hu/cikkek/talalkozas-a-jatekelmelettel








2. táblázat

A számok itt csupán a jutalmak nagyságának sorrendjét és nem a jutalmak nagyságát jelölik, vagyis azt jelentik, hogy ebben az esetben c1 > a1 > d1 > b1 és b2 > a2 > d2 > c2.

Könny észrevenni, hogy ez egy szimmetrikus játék (aű 1 = a2, b1 = c2, c1 = b2 és d1 = d2), mivel a két játékos

felcserélésével ugyanazt a jutalomtáblázatot kapjuk. A 78 különböz játék közül 12 szimmetrikus.ő

Ezt a játékot 1950-ben a Rand Corporation kutatói találták ki az egyéni és a kollektív racionalitás közöttikibékíthetetlen ellentmondás, vagyis az emberi társadalom tökéletlenségének szemléltetésére.Fogolydilemmának nevezték el, mert az eredeti megfogalmazásban két b nöz r l volt szó. Ha bármelyikükű ő ő vallomást tesz a másikra, miközben az hallgat, akkor az els szabadlábra kerül, míg társa életfogytig ülhet aő börtönben. Legjobban akkor járnának, ha mindketten hallgatnának, mert akkor nem lenne dönt bizonyítékő ellenük, és viszonylag kis büntetést kapnának. Igen ám, de mindketten szabadulni akarnak, ezért el fogjákárulni egymást, és ennek következtében együtt ülhetnek hosszú ideig. Vagyis mindegyikük számára a rosszdöntés t nik el nyösnek.ű ő

Szinte nincs a társadalmi életnek egyetlen olyan területe sem, ahol a fogolydilemma ne jelentkeznék.

Irodalma hatalmas. Már 1965-ben komoly monográfia jelent meg róla [Rapoport–Chammah]. Anyolcvanas években versenyt hirdettek számítógépes programok között, melyeknek ismételtfogolydilemma-játékokat kellett egymással játszaniuk a bajnoki címért, ami a legnagyobb pontszámot elérő programnak jutott [Axelrod]. Az ismételt játék abban különbözik az egylépésest l, hogy itt mód nyílik aző ellenfél el z lépéseit az ismételt játék során figyelembe venni és azokra reagálni. A verseny nyománő ő világossá vált, hogy sikert csak akkor érhetünk el, ha eltérünk a racionalitástól.A versenyek iránti nagyérdekl dést mutatja, hogy az eredményesnél eredményesebb kétszemélyes dilemma-algoritmusok még maő is egymást követik [Hoffmann].

A 2. táblázat segítségével könnyen bevezethetünk néhány fontos játékelméleti fogalmat. Mivel 4 > 3 és 2 >1, mindkét játékos számára mindig D el nyös, függetlenül a másik játékos választásától. D tehátő domináns

stratégia mindkét játékos számára, és ennek következtében DD azegyensúlyi helyzet, amit legtöbbször Nash-egyensúlynak neveznek. (Névadójáról szól az Egy csodálatos elme cím film.) Ha bármelyik játékosű

egyedül hagyja el az egyensúlyi helyzetet, rosszabb helyzetbe kerül. Ezt láttuk a bevezet szituációban is:ő mindkét „játékos” a félrelépést (D) választotta, mert – házastársa cselekedetét l függetlenül – ez voltő számára el nyösebb.ő

Azt is látjuk viszont, hogy mindkét játékos akkor járna legjobban, ha h ek maradnának egymáshoz (CC).ű Ezt Pareto-optimális helyzetnek nevezzük (Vilfredo Pareto olasz közgazdász után.) Az egyensúly (DD)ebben az esetben fogyatékos, mivel a válás távolról sem a legjobb megoldás.

Könnyen belátható, hogy ha bármelyik játékos rendelkezik domináns stratégiával, akkor a játéknak egyegyensúlyi helyzete van, ha azonban ez egyiknek sincs, akkor vagy két egyensúly van, vagy egy sincs.

Dilemmák

A sokszerepl s játékok szempontjából els sorban a szimmetrikus játékok lesznek érdekesek, ezért ezenő ő játékok tárgyalásának megkönnyítésére általánosítsuk a 2. táblázatot:

C D

C R, R S, T



D T, S P, P

3. táblázat

Amint láttuk, a fogolydilemma esetében T > R > P > S. Ha az irodalomban elterjedt angol szavaknakmegfelel jelöléseknek értelmet adunk, megértjük a dilemma mélységét. C aző együttm ködést ű

(cooperation), D a h tlenséget ű (defection) jelenti. Ha mindkét játékos hajlandó együttm ködni, Rű jutalmat

(reward) kapnak, ha mindketten megpróbálják becsapni egymást, P abüntetésük (punishment). Ha az egyik játékos h tlen, miközben a másik kooperálna, a h tlen bed l a nagy Tű ű ő kísértésnek (temptation), a pórul jártegyüttm köd viszont nagy Sű ő árat (sucker’s payoff) fizet balekságáért.

A fogolydilemma nem az egyetlen társadalmi dilemma. Az irodalomban nem alakult ki a dilemmákegységes definíciója. Véleményem szerint dilemmák azok a szituációk, amikor a kísértés a h tlenségreű

nagyobb, mint a közös jutalom, és ez nagyobb, mint a közös büntetés (T > R > P). Ilyenkor érdemesmegpróbálni a h tlenkedést, bár a közös együttm ködés el nyösebb, mint a közös h tlenség. Aű ű ő ű szimmetrikus játékok között négy dilemmát találunk – minden esetben feltételezzük, hogy a játékosok nem

ismerik társuk döntését:

Fogolydilemma (T >R > P > S). Egyensúly: DD (lásd fent).

Gyávanyúl-dilemma (T > R > S > P). Ez a vad tinédzserek játéka volt az ötvenes években, amit egyamerikai filmben is megörökítettek. Lényege egy olyan autóverseny, amikor a két játékos autóval egymásfelé száguld. Aki kitér (azaz együttm ködni próbál), azt gyáva nyúlnak csúfolják, míg a másikat (aű h tlenked t) h sként ünneplik. A tét nem kevés. Hiszen ha mindketten kitérnek (CC), akkor ugyanű ő ő mindketten életben maradnak, de egyikük sem lesz h s. Ezzel szemben ha egyikük sem tér ki (DD), akkorő mindketten belehalnak a h sködésbe. A T > R > S > P egyenl tlenségek teljesülése esetén a 3. táblázatő ő segítségével látható, hogy CD és DC az egyensúlyi helyzetek. Ennek a dilemmának tipikus példája ahidegháború. A két szuperhatalom állandóan fenyegette egymást, ám végül is egyikük mindig engedett,hogy ne következzék be nukleáris katasztrófa.

A gyávanyúl-dilemma jóindulatú változata (T > S > R > P). Továbbra is CD és DC az egyensúlyok és DD alegrosszabb megoldás. A gyáva nyúl azonban most jobb helyzetben van, mint az el z esetben, hiszenő ő bölcs döntéséért nagyobb jutalmat kap, mintha mindketten kitértek volna.

Vezérdilemma (S > T > R > P). A régi vicc szerint két japán közül az az udvariasabb, aki kevésbé udvarias,mert megengedi, hogy a másik legyen az udvariasabb. Képzeljük el, hogy a két japán egy sz k ajtón akarű keresztülmenni. Ellentétben a gyáva nyúllal, az együttm köd most a vezér szerepét játssza, aki vállalja aű ő kevésbé udvarias szerepét, és els nek indul el. kapja az önzetlen japánnak kijáró legnagyobb jutalmat. Aő Ő vezér cselekedete azonban a h tlen számára sem el nytelen, hiszen míg a vezér jut át el ször az ajtón, azű ő ő udvariasabb szerepében tetszeleghet. Baj csak akkor van, ha mindketten ugyanazt teszik. Ha mindkettő vezér akar lenni (CC), akkor csak egymáshoz présel dve jutnak át az ajtón, ha viszont egyik sem (DD),ő akkor örökké az ajtó el tt fognak hajlongani. Az egyensúlyok ismét CD és DC esetében lépnek fel.ő

Az irodalomban érdekl dés mutatkozott több más játék iránt is, mivel – bár a fenti definíciónak nemő felelnek meg – ezek sem vezetnek egyértelm stratégiához, így hétköznapi értelemben ezek is „dilemmák”.ű Lássunk közülük hármat:

Nemek harca (T > S > P > R). Egy házaspár mindkét tagja szeretné az estét a párjával együtt tölteni, de jóltudják, hogy a férj futballmeccsre menne szívesebben, a feleség pedig színházba. Az együttm ködű ő hajlandó engedni a másik kívánságának, a h tlen viszont ragaszkodik a sajátjához. Legjobban az a fél jár,ű aki nem enged, míg a párja engedékeny. Aki enged, valamivel rosszabbul jár, mert nem a kívánsága szerinttölti az estét, de legalább együtt lehetnek. Mivel nem ismerik egymás döntését, ezért ha mindketten



engednek (CC), vagy egyikük sem (DD), akkor nem lehetnek együtt, de CC még rosszabb, mint DD, mivelCC esetén egyikük sem azt csinálja, amit szeretne. Egyensúlyok: CD és DC.

Szarvasvadászat (R > T > P > S). Ezt a játékot Jean Jacques Rousseau találta ki a társadalmi érdekszemléltetésére. Két vadásznak arra a kérdésre kell válaszolnia, hogy szarvasra (C) vagy nyúlra (D) akar-evadászni. Akkor járnak legjobban, ha mindketten a szarvast választják. Ha azonban csak egyikük dönt a

szarvas mellett, akkor hoppon marad, mert egyedül nem sokra megy, míg a társa l egy nyulat, és ráadásulő övé a siker öröme is. Ha egyikük sem akar együttm ködni, mindkett nek meg kell elégednie egy-egyű ő nyúllal. Egyensúlyok: CC és DD.

Holtpont (T > P > R > S). Ebben a játékban mindkét verseng a másiktól várja, hogy engedjen, de aztő egyikük sem teszi, mivel – a fogolydilemmához hasonlóan – mindkett nek a h tlenség a dominánső ű stratégiája, ezért az egyensúly itt is DD-nél alakul ki. Ebben az esetben azonban a kölcsönös h tlenségű egyben a Pareto-optimális helyzet is, ezért a Holtpont végképp nem tekinthet dilemmának.ő

Láthatjuk, hogy a játékoknál a lényeg a jutalmak viszonya egymáshoz, illetve azok számszer értéke.ű

Sokszerepl s játékokő

Az élet által létrehozott valóságos „játékoknak” rendszerint több mint két szerepl je van, sok esetben akárő több millió is. Ezek távolról sem állandó összeg ek, hiszen gyakran el fordul, hogy minden résztvevű ő ő veszít (pl. racionális fogolydilemma), vagy éppen nyer (becsületes szabadpiac). Teljes információ szintesohasem áll rendelkezésre (amikor beülök az autómba, még fogalmam sincs arról, hogy egy váratlanbaleset következtében mekkora forgalmi dugó lesz az autópályán). A racionalitás feltételezése egyenesennaiv, hiszen az embereket döntéseiknél nem éppen az ésszer ség vezeti.ű

A gyakorlatban alkalmazható játékelméletnek tehát sokszerepl s, nem racionális, nem állandó összeg ,ő ű

nem teljes információjú játékokat kell tárgyalnia.

Miel tt rátérünk arra, hogy mindez miként lehetséges, és mi mindent kell figyelembe venni ezenő

sokszerepl s játékok modellezéséhez, megemlítek egy fontos különbséget a kétszerepl s és a sokszerepl ső ő ő

játék között. A kétszerepl s játék befejezése után pontosan lehet tudni, hogy melyik játékos mit lépett, mígő sokszerepl s játék esetén a felel sség megállapíthatatlan. A h tlen viselkedés által okozott kár megoszlikő ő ű az összes résztvev között. Pontosabban: a jutalmak és büntetések mértékét az együttm köd k aránya,ő ű ő vagyis a játékosok döntésének statisztikus eloszlása határozza meg.

Mint említettem, a fogolydilemma számtalan társadalmi jelenségre jellemz . Példa erre aő legel tragédiájaő

[Hardin], amelyet a kés bbiekben részletesen fogunk elemezni. Angliában még ma is szokásban van, hogyő kisebb falvak közös legel t tartanak fenn a lakosok állatainak ellátására. Képzeljük el, hogy egy falubanő száz család él, és mindegyiknek egy tehene van. A legel éppen ennyi tehén számára nyújt elegendő ő táplálékot. Miután beköltöztem a faluba, észreveszem, hogy elfér még egy tehén a legel n, veszek tehátő még egy jól tejel tehenet, kihajtom a legel re, és a felesleges tejet eladom a piacon, miáltalő ő többletjövedelemhez jutok (h tlen viselkedésem jutalma). A baj akkor kezd dik, amikor a szomszédaimű ő

sem akarnak lemaradni, és hamarosan kétszáz tehén próbál megélni a legel n. Ez az adott körülményekő között lehetetlen. Valamennyi állat elpusztul, természetesen az enyémek is, így bosszulva megh tlenségemet.ű

Az emberek azonban szerencsére nem mind ilyenek, különböz módon reagálnak felel tlenő ő viselkedésemre. Az együttm köd k aránya a résztvev k személyiségét l és vérmérsékletét l függ. Ennekű ő ő ő ő következtében olyan egyensúlyi helyzet jön létre, amely mer ben különbözik a totális katasztrófától.ő Vannak olyan emberek, akik annyira jóindulatúak, hogy még akkor sem vesznek még egy tehenet, ha márlegtöbb szomszédjuk ezt tette. Mások csak a szomszédjaik viselkedését figyelik, és figyelmen kívül



hagyják a falu többi lakosát. Sokan csak cselekedeteik közvetlen következményével számolnak, megintmások pontosan megfigyelik korábbi viselkedésük hatását is, és így tovább. A résztvev k személyiségeő tehát meghatározó jelent ség .ő ű

Kicsoda-micsoda

A játékelmélet kezelni tudja a sokszerepl s játékokat, amelyek igen bonyolultak, és számuk végtelen. Aő játékok elemzéséhez mindenképpen tisztáznunk kell a következ kérdéseket [Szilagyi 3]:ő

1) Kik a játékosok? Lehetnek személyek, csoportok, szervezetek, népek, államok, idegsejtek, rovarok,számítógépek stb. A szakirodalomban ezeket ágensek nek nevezzük. Az ágensek olyan egységek, amelyekképesek a környezet hatásaira önálló döntésekkel válaszolni. Lehetnek nagyon egyszer ek vagy igenű bonyolultak, de közös tulajdonságuk, hogy egymással kölcsönhatásban állnak. Például az agy nemegyszer en több milliárd idegsejt összessége, hanem az idegsejtek állandóan változó kölcsönhatásai révénű m köd szerv.ű ő

2) Milyen döntési lehet ségek között választhatnak?ő Minden döntési szituáció bizonyos lehet ségekreő korlátozódik. Egyszer esetekben két lehet ség közül kell választani (kihajtok-e még egy tehenet aű ő

legel re), de az élet ennél sokkal bonyolultabb helyzeteket is produkál (például mekkora öszszeggel járulokő hozzá egy önkéntes közös alaphoz).

3) Milyen információ áll rendelkezésükre? A résztvev k ismerik-e partnereik döntéseit?ő Teljes információcsak akkor áll rendelkezésre, ha a játékosok ismerik a saját maguk és minden partnerük által hozottkülönböz döntések összes lehetséges kimenetelét. Ez a legtöbb esetben lehetetlen. Miel tt útra kelünk,ő ő csak részben támaszkodhatunk az utak helyzetére vonatkozó közlekedési hírekre.

4) Tárgyalhatnak-e egymással játék közben? Létrehozhatnak-e koalíciókat? Ez a politikai és közgazdasági játékelmélet alapkérdése. Természetesen erre csak akkor van lehet ség, ha a játékosok ismerik aő partnereiket (az el z példában nem ismerik). Még ha ismerik is egymást, nem biztos, hogy képesekő ő kommunikálni. A koalíciók azonban alapvet en megváltoztathatják a játék képét. Gondoljunk csak aő politikai pártok közötti alkudozásokra!

5) A játékosok lépései egyszerre történnek vagy id ben el vannak osztva?ő Ez is nagy különbség. Az első esetben minden játékos ugyanazt a környezetet tapasztalja, amikor döntését meghozza. A legtöbb valóságosesetben azonban a különböz ágensek különböz és egymással összefüggésben nem lev id pontokbanő ő ő ő hozzák meg döntéseiket. Ennek következtében mindegyikük egy kissé különböz világot érzékel magaő körül, mint a többiek. Az ilyen helyzeteket nehezen tudja kezelni a játékelmélet.

6) Mi a játék célja? A racionális játékosok a lehet legnagyobb jutalmat próbálják megszerezni maguknak.ő A számítógépes programok közötti verseny esetén – amelyr l korábban beszéltünk – a cél a legnagyobbő pontszám elérése volt. Egyes játékosok akkor boldogok, ha többre jutnak, mint a szomszédaik, másokviszont nem kívánnak kit nni társaik közül.ű

A valóságban a különböz játékosok céljai nem mindig azonosak. Az is el fordulhat, hogy nincső ő különösebb céljuk, hanem csupán reagálnak a külvilágtól kapott impulzusokra (például az idegsejtek).Gyakorlati szempontból nem az egyének boldogulása érdekes, hanem az, hogy mi a játék társadalmieredménye bizonyos adott feltételek teljesülése esetén.

7) Hány lépésb l áll a játék?ő Az egylépéses játékok tanulmányozása nem különösen érdekes. A valódi játékok általában ismétl dnek (minden nap újra el kell döntenem, hogy autóval indulok-e el hazulról).ő



8) Többlépéses játék esetén hogyan határozzák meg a következ lépést?ő Az újabb döntések a játékosokszemélyiségét l, saját és szomszédaik el z döntéseit l, valamint a környezett l kapottő ő ő ő ő jutalmaktól/büntetésekt l függnek. A játék elemzéséhez pontosan tudnunk kell, hogy ezek a tényez kő ő milyen módon hatnak a következ döntésre.ő

9) Mikor tekintjük a játékot befejezettnek? Az ismétl d játékot akkor tekintjük befejezettnek, ha valamelyő ő

fontos paramétere (például az együttm köd k aránya) egy bizonyos helyzethez tart vagy akörül ingadozik.ű ő Ezt a helyzetet nevezzük a játék eredményének.

10) Milyenek a játékosok alapvet tulajdonságai?ő Ennek a kérdésnek meghatározó szerepe van a játékoktanulmányozásában. Az ágensek általában nagyon bonyolultak. Gondoljunk csak az idegsejtre, amelynekközelít matematikai leírását Nobel-díjjal jutalmazták [McCulloch–Pitts]. Egy ideghálózat leírásáhoző azonban elég, ha annyit tudunk, hogy mikor van egy idegsejt aktív állapotban.

Ugyanez a helyzet az emberekkel is. Minden ember egy külön világ, de a társadalom szempontjábólelegend a legfontosabb tulajdonságaikat ismerni. Az emberi személyiség leírására sokféle módszertő használnak a pszichológusok. Ezek közül legfrappánsabbnak azt az ötletet tartom, miszerint valamennyien14 alapvet elmekórtani rendellenesség kombinációi vagyunk [Oldham–Morris]. Baj csak akkor van, haő

valakiben e rendellenességek egyike vagy másika elnyomja a többit. Eszerint minden embert 14 számmallehet jellemezni, ami elég kényelmes megoldásnak t nik, bár ezt a módszert ma még senki sem alkalmazzaű a játékelméletben.

A játékok leírásánál további egyszer sítéssel élünk. Azt feltételezzük, hogy az ember az önzés, aű konformizmus, a feltételes reflexek és némi kis racionalitás keveréke. Aszerint, hogy melyik tulajdonság jellemz ránk els sorban, különböz képpen reagálunk a külvilágtól kapott ingerekre. Vagyis aző ő ő irodalomban általában feltételezett egyformaság semmiképpen sem fogadható el.

11) Változik-e a személyiségük a játék során? El fordul, hogy élettapasztalata alapján valaki annyiraő megváltozik, hogy más személyiségkategóriába kerül. Ez lehetséges egy sokszor ismétl d játék során is,ő ő ha képesek vagyunk addigi kudarcainkból levonni a szükséges következtetéseket.

12) Megtagadhatja-e valamelyik játékos a játékban való részvételt? Sakkozni nem lehet úgy, hogy az egyik játékos átengedi a másiknak az t megillet lépést. Kutuzov azonban úgy verte meg Napóleont, hogyő ő lehet leg kitért a csaták el l. A részvétel megtagadása tehát nagyon is valóságos lehet ség.ő ő ő

13) Milyenek a jutalom/büntetés-függvények? Ha minden más paramétert rögzítünk, akkor a jutalom/büntetés függvények határozzák meg a játék kimenetelét, ahol az együttm köd k arányát tekintjükű ő független változónak. A függvények egymáshoz képest elfoglalt helyzete legtöbbször nem elegend a játékő leírásához, a jutalmak és büntetések számszer értékeit is ismernünk kell. A gyakorlati alkalmazásokű szempontjából a legnehezebb feladat a jutalom/büntetés-függvények pontos meghatározása valóságosadatok alapján.

14) Szimmetrikus-e a játék? A játék akkor szimmetrikus, ha minden játékos jutalom/büntetés-függvényei

azonosak.

15) Hogyan viszonyul a játékosok összegzett jutalma a kívánatos döntést hozók arányához?Az egésztársadalom teljes jutalma nem mindig akkor a legnagyobb, amikor a legtöbben hoznak kívánatos döntést.Ennek következtében nem mindig el nyös a résztvev ket „jó viselkedésre” kényszeríteni. Gondoljunk arra,ő ő hogy az állam milyen komoly bevételekt l esne el, ha senki sem sértené meg a közlekedési szabályokat.ő

16) Hol helyezkednek el a játékosok? A játékosok térbeli elhelyezkedése sokféleképpen történhet. Az isel fordulhat, hogy több játékos foglalja el ugyanazt a területet.ő



17) Képesek-e mozogni? A fent említett esetben, vagy ha kevesebb játékos van, mint amennyi helyrendelkezésükre áll, a játékosok mozoghatnak is. Bonyolult társadalmi helyzetek leírásához ezt figyelembekell vennünk [Epstein–Axtell]. Ebben az esetben a résztvev k szomszédsága állandóan változik.ő

18) Milyen messzire terjed a kölcsönhatás közöttük? A társadalom tagjai többnyire csak sz kű környezetükkel vannak közvetlen kapcsolatban. A teljes társadalommal azért alakul ki kapcsolatuk, mert

környezetük környezete más elemeket is tartalmaz. Az ágenseket tehát sejtautomatáknak tekinthetjük,amelyek viselkedését saját és szomszédjaik állapota határozza meg egyszer szabályok alapján. Már aű legegyszer bb ilyen szabályok is rendkívül bonyolult struktúrákat képesek létrehozni [Gardner]. Aű sejtautomaták tanulmányozása annyira érdekes, hogy megérdemelne egy különálló dolgozatot. Egyesekszerint a tudomány szinte minden problémáját rajtuk keresztül lehet megközelíteni [Wolfram].

19) Hogyan határozzuk meg a kölcsönhatás mélységét? Pontosan meg kell határoznunk, hogy mit értünkkörnyezeten. Legegyszer bb a közvetlen szomszédokra korlátozódó környezet. A távolabb elhelyezkedű ő ágensek kisebb-nagyobb mértékben szintén befolyásolhatják a szóban forgó ágens viselkedését. Az isel fordulhat, hogy mindenki mindenkivel közvetlen kapcsolatban áll. Ebben az esetben a résztvev kő ő összessége a környezet. A kölcsönhatás mélysége az a legnagyobb távolság, amilyen távol elhelyezkedő ágens még az el z ágens környezetéhez tartozónak tekinthet .ő ő ő

Természetesen ennyi paraméter esetén nagyon nehéz még a játékok rendszerbe foglalása is, vizsgálatukrólnem is beszélve. Ha valamennyi többi paramétert rögzítjük is, még mindig végtelen sok játék marad, mivela lehetséges jutalom/büntetés-függvények száma végtelen. Mindezek a játékok az életben el fordulóő végtelen számú szituáció egyikét reprezentálhatják.

Szerencsére Neumann János olyan eszközt is adott nekünk, amely lehet vé teszi az igen bonyolult játékokő tanulmányozását is. Ráadásul a ma rendelkezésre álló számítógépek segítségével sokszerepl s játékokő komoly elemzését is elvégezhetjük, s t ezeket alkalmazhatjuk is társadalmi jelenségek vizsgálatára.ő

A modell

A sokszerepl s játékok szimulációjához el ször is meg kell határoznunk, hogy mit akarunk modellezni,ő ő vagyis választ kell adnunk a fenti kérdésekre.

Az itt szerepl egyszer modell nem korlátozódik személyekre, hanem bármilyen ágensek esetén érvényes,ő ű akik két lehet ség közül választhatnak. Jelöljük ezeket a fentiekhez hasonlóan C-vel és D-vel. Az egyetlenő információ, amely rendelkezésükre áll, a környezett l kapott jutalom vagy büntetés. Játszótársaikrólő semmit sem tudnak, ennek következtében alkudozni sem képesek velük, és nem alkothatnak koalíciókat. A játékosok lépései egyszerre történnek.

A játékosokat stochasztikus sejtautomatáknak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy a játék kezdetén a sejtautomatabizonyos p valószín séggel választja az együttm ködést. Ez a valószín ség nem a sok szereplű ű ű ő következménye, hanem minden egyes automata alapvet tulajdonsága. A valószín ség a szomszédokő ű viselkedését l függ en, valamint a játék során kapott jutalmak/büntetések hatására állandóan változik. Aő ő

szomszédok cselekedetei tehát nem egyértelm en határozzák meg az automata döntését, csak annakű valószín ségére vannak hatással. Jutalom esetén az el z választás megismétlésének valószín ségeű ő ő ű növekszik, büntetés esetén csökken.

A játék célja egyszer társadalmi jelenségek vizsgálata adott feltételek teljesülése esetén. Ismétl d játékotű ő ő vizsgálunk, amelyet akkor tekintünk befejezettnek, amikor az együttm köd k aránya egy bizonyos értékenű ő stabilizálódik vagy akörül ingadozik. A játékosok lépései az el z lépésekért kapott jutalomtól/büntetést l,ő ő ő személyiségükt l, valamint az együttm köd k mindenkori arányától függnek.ő ű ő



A játékosok személyiségeinek a következ , könnyen modellezhet tulajdonságokat, valamint ezek tetszéső ő szerinti kombinációit feleltetjük meg [Szilagyi 2]:

Pavlovi: a p valószín ség a környezett l kapott jutalom vagy büntetés arányában növekszik vagy csökken.ű ő A Pavlov által vizsgált feltételes reflexeknek megfelel en azokat a cselekedeteket szokjuk meg, amelyekő számunkra kedvez körülményekhez vezetnek.ő

Könyvel :ő az el z döntések nyomán kapott jutalmakat/büntetéseket nyilvántartja, és az új döntésreő ő vonatkozó valószín ség ezek átlagától függ.ű

Konformista: szomszédjai többségének döntéseit követi.

Mohó: annak a szomszédnak a döntését utánozza, aki a legnagyobb jutalmat kapta.

Eltökélt: nem tör dik a jutalmakkal/büntetésekkel. A p valószín ség állandó. Ennek speciális esetei:ő ű

Rosszindulatú: mindig h tlen (p = 0).ű

Kiszámíthatatlan: teljesen véletlenszer en cselekszik (p = 0,5).ű

Jóindulatú: mindig együttm ködik (p = 1).ű

A szimuláció során az ágensek tulajdonságai nem változnak, de egymástól különbözhetnek, és a szerepl kő a játékban való részvételt nem tagadhatják meg.

A jutalom/büntetés-görbéket tetszés szerinti függvények határozhatják meg, ezáltal nagyon sok különböző társadalmi jelenség vizsgálata válik lehet vé. Feltételezzük, hogy a vizsgált játékok szimmetrikusak, vagyiső minden játékos jutalom/büntetés-függvényei azonosak.

A játékosok egy síkban helyezkednek el. Számukat – ami akár több millió is lehet – csak a számítógép

virtuális memóriája és a képerny felbontóképessége korlátozza. A játékosok az itt tárgyalt esetekben nemő mozoghatnak. A sejtautomaták közötti kölcsönhatások mélységét tetszés szerint állíthatjuk be.

Eredmények

Az el bbiekben leírt modell alapján számítógépes programokat írhatunk, amelyek az adott körülményeknekő megfelel társadalmi jelenségeket szemléltetik. A szimuláció során az együttm köd k aránya folytonosanő ű ő változik, mivel az ágensek választására vonatkozó valószín ségei szüntelenül változnak a jutalom/büntetés-ű

függvények értékei arányában. E változások a többi ágens döntéseit l, valamint az ágensek személyiségét lő ő is függnek. A számítógép képerny jén minden újabb lépés után megjelennek az éppen C-t és D-t választóő ágensek, állapotuknak megfelel színezéssel. Az itt következ ábrákon a fekete ágensek éppen C-t, aő ő fehérek D-t választottak. A játékot az id függvényében grafikusan is követhetjük. Minden ágens állapotáraő

vonatkozóan külön-külön is felvilágosítást kaphatunk [Szilagyi–Szilagyi 1].

Nézzünk néhány konkrét példát olyan társadalmi jelenségekre, amelyeket a tárgyalt modell segítségévelelemezhetünk; ezek közül az els vel részletesebben foglalkozunk, a többinél felvillantunk néhányő érdekességet [Szilagyi 1].

A legel tragédiájaő

Az együttm köd k, illetve a h tlenek C(x), illetve D(x) jutalom/büntetés-függvényeit egy speciális esetbenű ő ű



az 1. ábrán láthatjuk. Ha az együttm köd k arányát x-szel jelöljük, akkor az ábrán látható függvényeket aű ő D(x) = 2x – 0,5, illetve a C(x) = 2x – 1 egyszer lineáris összefüggések írják le. Ha majdnem mindenkiű együttm ködik, mindenki jutalmat kap, különösen azok a kevesek, akik a h tlenséget választják. Ezekű ű jutalma mindig nagyobb, mint az együttm köd ké, de ha már túl sokan vannak, akkor mindenki büntetéstű ő kap (kipusztulnak a tehenek). Ez tehát a fogolydilemma sokszerepl s általánosítása. Err l könnyenő ő meggy z dhetünk, ha a P, R, S és T értékeket elhelyezzük a megfelel függvények kezdetén és végén.ő ő ő

Láthatjuk, hogy T > R > P > S valóban.

Feltételezzük, hogy a résztvev k valamennyien a pavlovi kategóriába tartoznak, és mindenki mindenkivelő kölcsönhatásban van. A szimuláció egy bizonyos kezdeti állapotból indul, ami az együttm köd k kezdetiű ő arányának felel meg (2. ábra). Ez az arány kb. 100 lépésig állandóan változik (3. ábra). Az együttm köd kű ő átlagos jutalma xC(x), a h tleneké pedig (1 – x) D(x). Egyensúlyi helyzet akkor alakul ki, ha e két értékű azonos [Szilagyi–Szilagyi 2]. Ennek az egyensúlyi egyenletnek legtöbbször két valós megoldása van: x1 ésx2. Ha C(x) és D(x) negatívok, akkor a kisszámú együttm köd nagy büntetést kap, a nagyszámú h tlenű ő ű pedig kicsit. Ennek következtében a játék eredménye az lesz, hogy viszonylag alacsony kezdetiegyüttm ködési arány mellett x értéke a kezdeti állapottól függetlenül az els egyensúlyi érték (x1) körülű ő fog ingadozni az id függvényében. Ha C(x) és D(x) pozitívak, akkor a sok együttm köd kis jutalmat kap,ő ű ő a kevés h tlen viszont nagyot. E második egyensúlyi helyzet (x2) felett az eredmény egy-egyű meghatározott x érték, a viszonylag magas kezdeti állapottól függ en (4. ábra).ő

Az egyensúlyi egyenlet megoldásai az 1. ábra függvényeire x1 = 0,180, x2 = 0,695. Ennek megfelel en a 4.ő ábra görbéi a kezdeti együttm ködési arány nagyon széles intervallumában (0-tól 0,69-ig) az 50-100.ű lépést l kezdve mind az x1 érték körül ingadoznak. Ebb l láthatjuk, hogy a pavlovi ágensek nem esnekő ő teljesen bele a fogolydilemma csapdájába – szemben a racionális, azaz mindig h tlenked kollegáikkal,ű ő akik a pillanatnyilag kedvez nek t n , de végs soron rossz megoldást választják. Ugyanakkor jelent ső ű ő ő ő együttm ködési arány csak akkor tartható fenn, ha ez már a kiindulási állapotban is így van.ű

Más a helyzet, ha az ágensek egyréteg sejtautomaták, vagyis csak közvetlen szomszédjaikkal vannakű kölcsönhatásban. Ebben az esetben az együttm köd k arányát a lépések számának (id )függvényében az 5.ű ő ő ábrán láthatjuk.

Ha viszont azt feltételezzük, hogy a résztvev k mind konformisták, akkor a szimuláció azt mutatja, hogyő mind az együttm köd k, mind a h tlenek egymásba ágyazódó csoportosulásokat alkotnak (6. ábra).ű ő ű

Autó vagy tömegközlekedés

Korunk egyik tragédiája a környezet tönkretétele a kipufogógázok által. Mivel a saját autó kényelmesebb,mint a tömegközlekedés, nehéz az embereket meggy zni arról, hogy legalább a nagyvárosokban ne autóvalő menjenek munkába. Ha azonban mindenki az autót választja, akkor olyan forgalmi dugók keletkeznek,hogy senki sem tud el rejutni, kivéve az autóbuszokat, amelyeknek külön sáv áll a rendelkezésére. Ebbenő az esetben tehát a tömegközlekedés el nyösebb. Ezt a helyzetet szemlélteti a 7. ábra [Szilagyi 4].ő

A két függvény most keresztezi egymást. Sok együttm köd (kevés autó) esetén az autó a jobb, ha viszontű ő

kevés az együttm köd (sok az autó), akkor a tömegközlekedés. Ha elhelyezzük a P, R, S, T értékéket azű ő ábrán, akkor láthatjuk, hogy ez az eset a sokszerepl s gyávanyúl-dilemmának felel meg (T > S > R > P).ő Racionális játékosok esetén az egyensúlyi helyzet a két görbe keresztez dési pontjában alakulna ki, hiszenő ett l a ponttól balra érdemesebb együttm ködni, vagyis a görbén jobb felé elmozdulni, míg aő ű keresztez dést l jobbra a h tlenség el nyös, tehát érdemes bal felé tartani. A szimulációk azt mutatják,ő ő ű ő hogy a valódi egyensúlyi helyzet er sen függ a résztvev k személyiségét l.ő ő ő

Az eredményt természetesen nagymértékben a jutalmak/büntetések mértéke határozza meg. Ezek soktényez t l függnek (útviszonyok, az autók, a benzin és az autóbuszjegyek ára stb.). A szimuláció azonbanő ő



meg e tényez k konkrét ismerete nélkül is érdekes eredményeket mutat. Így például megállapítható, hogy aő tömegközlekedés gy zelméhez az szükséges, hogy a D(x) függvény el jele megváltozzék aző ő együttm köd k arányának növekedésével, vagyis az autósok csak akkor kapjanak jutalmat, ha kevesenű ő vannak, és büntetésben részesüljenek, ha k vannak többségben.ő

Lakóhelyi elkülönülés

Az amerikai társadalom egyik jelent s problémája a fajok elkülönülése. Ismeretesek a nagyvárosokbanő kialakult fekete gettók, de Los Angelesben olyan városrészek is vannak, ahol mindenki kizárólag spanyolulbeszél.

Az elkülönülés oka a résztvev k konformizmusa. Jelent s részük elvárja, hogy a környezetükben él kő ő ő között az fajtájukhoz tartozók legalább egy bizonyos arányban képviselve legyenek. Amennyiben ez nemő teljesül, a legközelebbi olyan üresedést foglalják el, ahol kívánságuk szerinti az arány. Ennek az lesz azeredménye, hogy a 6. ábrán látható képhez hasonló elkülönülés jön létre. A szimuláció azt mutatja, hogy akívánt arány kismérték megváltoztatása is a kialakuló elrendez dés er s megváltozását okozza.ű ő ő

További lehet ségekő

A sokszerepl s játékelmélet a legkülönböz bb problémák elemzésére használható. Egyes kutatók szerintő ő [Nowak–May] arra is alkalmas, hogy az együttm ködés evolúcióját tanulmányozzuk. Nagyon érdekesű alakulatokat figyelhetünk meg, ha az ágenseket mohó sejtautomatáknak tekintjük. A szimuláció soránkaleidoszkópszer képek váltakoznak végtelen variációkban. Ezek különösen akkor leny göz ek, ha azű ű ő ágensek különböz állapotait különböz színekkel szemléltetjük attól függ en, hogy az ágens állapotaő ő ő hogyan és mikor változik meg.

A 8. ábra egy ilyen kaleidoszkóp képét mutatja fekete-fehérben az 1000. lépés után egyszerű jutalom/büntetés-függvények esetén [C(x) = x, D(x) = 1,65x], ha a kezdeti állapotban egyetlen h tlenű helyezkedik el az együttm köd k tengerében. A h tlen játékos magasabb jutalmat kap, mint társai, ezértű ő ű fokozatosan megfert zi környezetét. A kialakuló szituáció azonban annyira bonyolult, hogy az ágensekő

állapotai el re megjósolhatatlan módon váltakoznak az együttm ködés és a h tlenség között.ő ű ű

Amint láttuk, a lehetséges esetek száma végtelen, mint ahogy az élet is végtelen számú szituációt foglalmagában. Ebben a rövid összefoglalóban csak a sokszerepl s játékelmélet alapjainak bemutatására voltő lehet ség. Vizsgálhatjuk a társadalom méretének hatását az együttm ködés kialakulására, a t zsde és egyébő ű ő piacok mozgásait, a résztvev k közötti alkudozásokat, csoportpszichológiai jelenségeket, a terrorizmuső elleni harc különböz vonatkozásait, társadalmi normák kialakulását, s t az emberi viselkedéső ő befolyásolásának különböz módozatait vagy éppen mesterséges társadalmakat [Epstein–Axtell] is.ő Természetesen olyan szituációk elemzése is lehetséges, amikor a résztvev k kett nél több lehet ség közülő ő ő választhatnak.

A játékelmélet lehet vé teszi, hogy olyan társadalmi kísérleteket végezzünk, amelyeket él emberekkelő ő

lehetetlen lenne végrehajtani. Mindezek elvégezhet k a paraméterek változtatásával. Így vizsgálhatjuk megő

például, hogyan hatnak a különböz adókulcsok a gazdasági életre, a benzin ára a tömegközlekedéső hatékonyságára, a büntetések mértéke a kihágások gyakoriságára, és így tovább.

A játékelmélet matematika, tehát eredeti célja nem konkrét döntési problémák megoldása volt. Mivelazonban a politika, az üzlet, a háború, s t maga az élet is játék, ezért a biológia, közgazdaságtan,ő szociológia, társadalomkutatás, kül- és belpolitika, pszichológia, haditudomány, jog, sport területénmegannyi olyan probléma van, amelyet a játékelmélet segítségével sikeresen lehet tanulmányozni, s tő néhányat megoldani is. Jó lenne, ha a törvényhozók és rendeletalkotók ismernék, hiszen akkor sok hibásdöntés elkerülhet lenne.ő



Ábrák

1. ábra. A legel tragédiájának jutalom/büntetés függvényei. Az együttm köd k aránya x, aő ű ő függ leges irány az együttm köd k (C), illetve a h tlenek (D) jutalmát/büntetését jelöli. Ebben aző ű ő ű esetben D(x) = 2x – 0,5 és C(x) = 2x – 1.

http://beszelo.c3.hu/kepek/122




2. ábra. Az ágensek véletlenszer kezdeti elhelyezkedése abban az esetben, ha a szimuláció körülbelülű azonos számú együttm köd vel (fekete pontok) és h tlennel (fehér pontok) indul.ű ő ű




3. ábra. A pavlovi ágensek elhelyezkedése a 100. lépés után az 1. ábrán látható jutalom/büntetésfüggvények esetén.





4. ábra. A legel tragédiájának id beli lefolyása pavlovi ágensek és az 1. ábrán megadottő ő jutalom/büntetés függvények esetén. Mindenki mindenkivel kölcsönhatásban van. Az ábrán azegyüttmuköd k arányát látjuk a lépések számának (id ) függvényében. Az együttm köd k kezdetiő ő ű ő aránya a legfels görbét l a legalsóig rendre 0,90, 0,80, 0,75, 0,73, 0,71, 0,69, 0,65 és 0,00.ő ő




5. ábra. A legel tragédiájának idobeli lefolyása pavlovi ágensek és az 1. ábrán megadottő jutalom/büntetés függvények esetén, ha az ágensek egyréteg sejtautomaták. Az ábrán azű együttmuköd k arányát látjuk a lépések számának (id ) függvényében. Az együttm köd k kezdetiő ő ű ő aránya a legfels görbét l a legalsóig rendre 0,90, 0,80, 0,75, 0,73, 0,71, 0,69, 0,65 és 0,00.ő ő




6. ábra. Konformista ágensek elhelyezkedése a 100. lépés után.





7. ábra. Az autó kontra tömegközlekedés jutalom/büntetés függvényei. A vízszintes tengelyen azegyüttm köd k arányát, függ leges irányban az együttm köd k (C), illetve a h tlenek (D)ű ő ő ű ő ű

jutalmát/büntetését jelöltük. Ebben az esetben D(x) = 14x – 13 és C(x) = 3x – 3.





8. ábra. A kaleidoszkóp képe az 1000. lépés után nagyon egyszer jutalom/büntetés függvényekű

esetén (C = x, D = 1,65 x), ha a kezdeti állapotban egyetlen h tlen helyezkedik el az együttm köd kű ű ő tengerében. Az ágensek mohó sejtautomaták.

Felhasznált irodalom

Axelrod, R.: The Evolution of Cooperation. New York, Basic Books, 1984.





Epstein, Joshua M. – Axtell, Robert: Growing Artificial Societies. Washington–Cambridge–London,Brookings Institution Press – MIT Press, 1996.

Gardner, Martin: Wheels, Life, and other Mathematical Amusements. New York, Freeman, 1983.

Hardin, G.: The tragedy of the Commons. Science 162, 1968. 1243–8.

Hoffmann, R.: Twenty years on: The Evolution of Cooperation revisited. Journal of Artificial Societies andSocial Simulation 3, 2000. 2.

McCulloch, Warren S. – Pitts, Walter: A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.Bulletin of Mathematical Biophysics 5, 1943. 115–33.

Neumann, John: Zur Theorie des Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen 100, 1928. 295–320.

Neumann, John – Morgenstern, Oskar: Theory of Games and Economic Behavior. Princeton, PrincetonUniversity Press, 1944.

Nowak, M. A. – May, R. M.: Evolutionary games and spatial chaos. Nature 359, 1992. 826–9.

Oldham, John M. – Morris, Lois B.: The New Personality Self-Portrait. New York, Bantam Books, 1995.

Rapoport, A. – Chammah, A. M.: Prisoner’s Dilemma. Ann Arbor, University of Michigan Press, 1965.

Rapoport, Anatol – Guyer, Melvin: A taxonomy of 2*2 games. General Systems 11, 1966. 203–14.

Szilagyi Miklos: Solutions to realistic Prisoners’ Dilemma games. Proceedings of the 2001 IEEEInternational Conference on Systems, Man, and Cybernetics, TA12/2, 2001. 841–6.

Szilagyi Miklos: Simulation of multi-agent Prisoners’ Dilemmas. Systems Analysis, Modelling,Simulation, Vol. 43, No. 6, 2003. 829–46.

Szilagyi Miklos: An investigation of N-person Prisoners’ Dilemmas. Complex Systems, Vol. 14, 2003.155–74.

Szilagyi Miklos: Computer simulation of the N-person Chicken Dilemma for Pavlovian agents.Proceedings of the 11th International Symposium on Dynamic Games and Applications, 2004. 980–5.

Szilagyi Miklos – Szilagyi Zoltan: A tool for simulated social experiments. Simulation, Vol. 74, 2000. 4–10.

Szilagyi Miklos – Szilagyi Zoltan: Nontrivial solutions to the

N-person Prisoners’ Dilemma. Systems Research and Behavioral Science, Vol. 19, 2002. 281–90.

Wolfram, Stephen: A New Kind of Science. Champaign, Wolfram Media, 2002.

meeting game theory

Documents