2/17/2014

1

KALKULUS 1 TPE 4267 (3 SKS)

Dewi Maya Maharani, STP, M.Sc (DMM)

Dr. Ir. Bambang Dwi Argo, DEA (BDA)

Silabus

1. Bilangan Riil (17/2 DMM)

2. Bilangan Kompleks (24/2 DMM)

3. Definisi matriks, Aljabar matriks : penjumlahan, perkalian scalar dan vector, Jenis-jenis matriks(26/2 DMM)

4. Transformasi elementer, Invers matriks, Penyelesaian persamaan Linier dengan matriks (3/3 DMM)

5. Determinan, Sifat determinan, Eigen-value, eigen-vector(10/3 DMM)

6. Fungsi Trigonometri (17/3 DMM)

7. Fungsi Hiperbolik (24/3 DMM)

8. UTS (April)

9. Vektor dan Tensor (BDA)

10. Persamaan diferensial orde 1 (BDA)

11. Persamaan diferensial orde 2(BDA)

12. Integral (BDA)

13. UAS (Juni)

Referensi

Erwin Kreyszig Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, INC New York Chichester Brisbane Toronto Singapore

Bahan Kuliah :

https://dewimayamaharani.lecture.ub.ac.id

Password : dewimaya87

Referensi

2/17/2014

2

DMM : 50% Tugas (DMM) : 10%

Kuis (DMM) : 10%

UTS (DMM) : 80%

(BDA) : 50%

Penilaian

BILANGAN

Macam Bilangan

Bilangan Kom pleks

Bilangan Real

Bil. Rasional

Bil. Bulat

Bil. Cacah

Bil Asli

Bil Genap Bil. Ganjil

Bil. Prima Bil Komposit

Bil. nol

Bil. Bulat Negatif

Bil Pecahan

Pecahan Positif Pecahan Negatif

Bil. Irasional

Bilangan Khayal ( Imajiner)

BILANGAN REAL

2/17/2014

3

Sistem bilangan

N : bilangan

asli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N :

1,2,3,.

Z :

,-2,-1,0,1,2,..

0,,, bZbab

aq

Q :

IrasionalQR

,3,2

Contoh Bil Irasional

Operasi pada bilangan real

1. Dua bilangan real x dan y dapat dijumlahkan untuk memperoleh bilangan real baru x+y.

2. Dua bilangan real x dan y dapat dikalikan untuk memperoleh bilangan real baru xy atau ditulis xy.

Sifat-sifat Medan

a. Hukum komutatif x+y = y+x dan xy = yx

b. Hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z

c. hukum distribusi x(y+z) = xy +xz

d. elemen elemen identitas x+0 = x dan x.1 = x

e. balikan (invers) x+(-x) = 0 dan x.x-1 = 1

3. Definisi pengurangan

x y = x + (-y)

4. Definisi pembagian

x/y untuk y0 atau x.y-1

Sifatsifat bilangan real

Sifat-sifat urutan :

Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < z

Perkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan

0 1

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut

dengan garis bilangan(real)

-3

2

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang

2/17/2014

4

Selang

Himpunan selang { } a x x < ( ) a , -

{ } a x x ( ] a , -

{ } b x a x < < ( ) b a ,

{ } b x a x [ ] b a ,

{ } b x x > ( ) , b

{ } b x x [ ) , b

{ } x x ( ) ,

Jenis-jenis selang Grafik

a

a

a b

a b

b

b

BILANGAN RASIONAL

Definisi

Bilangan rasional adalah adalah bilangan yang dapat dilambangkan dengan

, dengan a dan b bilangan bulat dan b 0.

b

a

Bilangan Pecahan

Definisi:

Bilangan pecahan adalah bilangan yang lambangnya terdiri dari bilangan bulat a dan b (dengan b 0) yang merupakan penyelesaian

persamaan bx = a, ditulis atau a : b.

b

a

2/17/2014

5

Kesamaan Pecahan

Definisi:

Pecahan dan , dengan b 0 dan d 0 adalah

ekuivalen jika dan hanya jika ad = bc.

b

a

d

c

Teorema Dasar Pecahan

Untuk sembarang pecahan , dengan b 0, dan sembarang bilangan bulat c, c 0, berlaku

atau

b

a

bc

ac

b

a

b

a

cb

ca

1. Operasi pada bilangan bulat

Penjumlahan

a + b = b + a Sifat-sifat komutatif Contoh : 2 + 5 = 5 + 2 = 7

(a + b) + c = a + (b + c) Sifat asosiatif Contoh : (-4)+6=6+(-4) = 2

a+0 = a = 0 + a Sifat identitas Contoh : 2 + 0 = 2 = 0 + 2

a+(-a) =0 Elemen invers Contoh : 5+(-5) = 0

Pengurangan

a b c = a (b+c)

Contoh :

54 27 10 = 54 (27+10) = 17

a (b c) = a b + c

Contoh :

37 (21 8) = 37 21 +8 = 24

p x (a b) = (pxa) (pxb)

Contoh :

2x (7 3) = ( 2x 7) (2 x 3) = 8

(a + b) c = a + (b c)

Contoh : (3+4) 2 = 3 + (4 2)

2/17/2014

6

Perkalian

a x b = b x a Sifat komutatif Contoh : 2 x 3 = 3 x 2

(axb)xc = a x (bxc) Sifat asosiatif Contoh : (2x3)x4 = 2x(3x4)

ax1 = a = 1xa Sifat identitas Contoh : 5 x 1 = 5 = 1 x 5

a x (1/a) = 1 Elemen invers Contoh : 6x(1/6) = 1

Pembagian

a x (b/c) = (a x b) / c

Contoh : 3 x (8/2) = (3 x 8) / 2 = 12

(a x b) / (c x d) = (a/c) x (b/d)

Contoh : (4x9)/(2x3)=(4/2) x (9/3) = 6

a / (b/c) = a x (c/b)

Contoh : 12 / (9/3) = 12 x (3/9) = 4

operasi pada bilangan pecahan dan sifat-sifatnya

Penjumlahan bilangan pecahan a + b = b + a Sifat komutatif

Contoh : 2/3+3/4 = 3/4+2/3

(a + b) + c = a + (b + c) Sifat asosiatif

Contoh : (2/3+3/4)+5/6=2/3+(3/4+5/6)

2. Menerapkan operasi pada bilangan pecahan

a+0 = a = 0 + a Sifat identitas Contoh : 5/7 + 0/0=0/0+5/7=5/7

Pengurangan bilangan pecahan

Contoh :

a - c = a.d - b.c

b d bd

c

ba

c

b

c

a --

9

2

9

24

9

2

9

4

--

15

7

15

310

15

3

15

10

5.3

3.15.2

5

1

3

2

--

--

2/17/2014

7

Perkalian bilangan pecahan

a x b = b x a sifat komutatif

Contoh :

p x (q x r) = (pxq) x r sifat asosiatif

Contoh :

p x (q +r) = (pxq) + (pxr) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Contoh :

p x (q -r) = (pxq) - (pxr) sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Contoh :

2

1

12

6

3

2

4

3

4

3

3

2 xx

4

2

3

1

6

1

4

2

3

1

6

1xxxx

4

2

6

1

3

1

6

1

4

2

3

1

6

1xxx

-

-

4

2

6

1

3

1

6

1

4

2

3

1

6

1xxx

a x1 = 1xa = a bilangan rasional 1 berbentuk merupakan elemen

identitas perkalian Contoh : invers perkalian Contoh :

3

2

3

2

1

1

1

1

3

2 xx

13

2

3

2

1

3

2

1

3

2 xx

Pembagian bilangan pecahan

a : b = aq p q bp

p,q 0 1 x 1 = 1

a b ab a,b 0

Contoh : a. b.

43

12

13

62

6

1:

3

2-

-

-

-

x

x

( )8

1

42

11

4

1

2

1

--

--

x

xx

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Suatu kalimat yang berbentuk ketaksamaan dalam x

disebut pertidaksamaan. Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk

aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) 0, E(x) 0

( )( )

( )( )xExD

xB

xA

2/17/2014

8

Pertidaksamaan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP :

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara : 0)(

)( 8x +5

b. -3 < 1 - 6x 4

c. 2+3x < 5x+1 < 16

d. 2x2 + 5x -3 > 0

e.

42

x

Tugas

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. 2x-4 6-7x 3x+6

b. x2 + 2x -12 < 0

c.

d.

03

4

-

x

x

423

1

-x

Nilai Mutlak

Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.

Definisi nilai mutlak :

2/17/2014

11

Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak:

y

x

y

x

yxyx

2xx

axaaax - 0,

axaax 0, atau ax -

yx 22 yx

6. Ketaksamaan segitiga

1

2

3

4

5

yxyx --

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

x+2 < 1

-1 < x + 2 < 1

-3 < x < -1

( )1,3 --Hp = -3 -1

1.

Latihan 2

1. 2x - 1 > 2

2.

3.

4. 4x+2 10

114

x

Latihan 3

5432 xx

22212

xx

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3232 -- xx

1

2

3

xx

x-

-

1

24

2

4

3

122

-

x

x

x

x

5

23 xx6