Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão

Aula 8Aula 8

IntroduçãoIntrodução As medidas de tendência central As medidas de tendência central não são não são

suficientessuficientes para caracterizar totalmente para caracterizar totalmente uma sequência numérica.uma sequência numérica.

Exemplo:Exemplo:– X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.– Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.– Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.

Nos 3 casos, média igual a 13, porém são Nos 3 casos, média igual a 13, porém são séries completamente distintasséries completamente distintas..

Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão

As principais medidas de dispersão As principais medidas de dispersão absolutas são:absolutas são:– Amplitude Total,Amplitude Total,– Desvio médio simples, Desvio médio simples, – Variância, Variância, – Desvio Padrão.Desvio Padrão.

Focaremos na Focaremos na variância e desvio variância e desvio padrãopadrão..

Desvio médio simplesDesvio médio simples

O conceito estatístico de desvio O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático corresponde ao conceito matemático de de distânciadistância..

O desvio médio simples (DMS) é O desvio médio simples (DMS) é definido como sendo uma definido como sendo uma média média aritmética dos desvios de cada aritmética dos desvios de cada elemento da série para a média da elemento da série para a média da sériesérie..

Desvio médio simplesDesvio médio simples

1º Caso - 1º Caso - Dados BrutosDados Brutos::

Exemplo: Calcule o DMS para a sequência Exemplo: Calcule o DMS para a sequência – X: 2, 8, 5, 6X: 2, 8, 5, 6– Média = 5,25Média = 5,25– DMS = 1,75DMS = 1,75

n

XXDMS

i

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão

No caso do DMS necessita-se do módulo para que No caso do DMS necessita-se do módulo para que a diferença entre o valor de x e a média possam a diferença entre o valor de x e a média possam ser consideradas distância.ser consideradas distância.

Outra forma de se conseguir tornar essa diferença Outra forma de se conseguir tornar essa diferença sempre positiva ou nulas é considerar o quadrado sempre positiva ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças.destas diferenças.

Se substituimos por temos a Se substituimos por temos a variância.variância.

Desvio Padrão é a raiz da variânciaDesvio Padrão é a raiz da variância

XX i 2XX i

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão

1º Caso – 1º Caso – Dados BrutosDados Brutos::– Se a sequência representa uma população, a Se a sequência representa uma população, a

variância é igual:variância é igual:

– Se a sequência representa uma amostra, a Se a sequência representa uma amostra, a vriância é igual:vriância é igual:

1

2

2

n

xxxs i

n

xxx i

2

2

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão

Exemplo:Exemplo:– Calcule a variância e o desvio padrão Calcule a variância e o desvio padrão

para a sequência – X: 4, 5, 8, 5.para a sequência – X: 4, 5, 8, 5.– Média = 5,5Média = 5,5– Variância = 2,25Variância = 2,25– Desvio Padrão = 1,5 unidades.Desvio Padrão = 1,5 unidades.

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão

2º Caso – Variável Discreta:2º Caso – Variável Discreta: Como existe repetição na série, Como existe repetição na série,

precisamos ponderar a série:precisamos ponderar a série:– No caso de População, a variância é:No caso de População, a variância é:

– No caso de amostra, a variância é:No caso de amostra, a variância é:

i

ii

f

fXXx

2

2

1

2

2

i

ii

f

fXXxs

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão Exemplo:Exemplo:

– Calcule a variância para a série abaixo:Calcule a variância para a série abaixo:

– Média = 3,65Média = 3,65– Variância = 0,9275Variância = 0,9275– Desvio Padrão = 0,988Desvio Padrão = 0,988

XX

ii

ffii

22 33

33 55

44 88

55 44

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão

3º caso: Variável Contínua3º caso: Variável Contínua– Neste caso, como desconhecemos o valor de Neste caso, como desconhecemos o valor de

“x” existentes dentro do intervalo, utilizaremos “x” existentes dentro do intervalo, utilizaremos o ponto médio de cada intervalo.o ponto médio de cada intervalo.

i

ii

f

fXXx

2

2

1

2

2

i

ii

f

fXXxs

Variânciano caso de População

Variânciano caso de Amostra

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão Exemplo:Exemplo:

– Dado a seguinte variável contínuaDado a seguinte variável contínua

– Calcule a variância e o desvio padrão, no caso Calcule a variância e o desvio padrão, no caso de desta variável representar uma população e de desta variável representar uma população e no caso de representar uma amostrano caso de representar uma amostra

– Variância= 10,24 e desvio padrão=3,2Variância= 10,24 e desvio padrão=3,2– Variância= 11,38 e desvio padrão=3,373Variância= 11,38 e desvio padrão=3,373

1112 1612 1644

558 128 1233

334 84 822

110 40 411

ffiiIntervalo de classeIntervalo de classeClasseClasse

Interpretação do desvio Interpretação do desvio padrãopadrão

No cálculo da variância, quando elevamos o No cálculo da variância, quando elevamos o quadrado da diferença entre a média e o valor de quadrado da diferença entre a média e o valor de x, a unidade de medida também fica elevada ao x, a unidade de medida também fica elevada ao quadrado:quadrado:– Se a medida é em Se a medida é em metrosmetros : variância é em : variância é em

metros ao quadradometros ao quadrado– Se a medida é em Se a medida é em litroslitros: a variância é em : a variância é em litros litros

ao quadroao quadro

Assim, o valor da variância não pode ser Assim, o valor da variância não pode ser comparado com os dados da série: comparado com os dados da série: Variância não Variância não tem interpretação.tem interpretação.

Interpretação do desvio Interpretação do desvio padrãopadrão

O desvio padrão supre essa questão de interpretação: O desvio padrão supre essa questão de interpretação: tem tem sempre a mesma unidade de medida da sériesempre a mesma unidade de medida da série..

Quando uma curva de frequência representativa da série é Quando uma curva de frequência representativa da série é perfeitamente simétrica (perfeitamente simétrica (distribuição normaldistribuição normal), podemos tirar ), podemos tirar algumas conclusões:algumas conclusões:

X

Este espaço contem aproximadamente 68%

dos valores da série

Aproximadamente 95%

Aproximadamente 99%

Interpretação do desvio Interpretação do desvio padrãopadrão

Exemplo: se uma série tem média = Exemplo: se uma série tem média = 100 e desvio padrão = 5100 e desvio padrão = 5

X

10095 105

68%

90 110

95%

85 110

99%