medida de risco por teoria de valores extremos
TRANSCRIPT
![Page 1: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Medida de Risco via Teoria de Valores Extremos
Análise de Risco (8)R.Vicente
![Page 2: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Resumo
EVT: Idéia geralMedidas de riscoTeoria de Valores Extremos (EVT)Distribuição de MáximosDistribuição de ExceedancesEstimação de ParâmetrosIntervalos de ConfiançaBibliografia
![Page 3: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/3.jpg)
3
EVT: Idéia Geral
1. Teoremas limite similares ao Teorema do Limite Central para o comportamento de desvios extremos;
2. Permite inferência do comportamento de eventos raros e extremos a partir de poucas observações;
3. Suposição de que, apesar da variedade de causas possíveis, há comportamentos estatísticos gerais nos extremos;
4. Teoremas de EVT se aplicam desde que o comportamento (desconhecido) dos extremos possa ser descrito por distribuições que se enquadrem em uma família suficientemente bem comportada (e.g. com segundo momento pelo menos).
![Page 4: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Novamente: Medidas de Risco1. VaR
2. Expected Shortfall
1. Nível de Retorno
, onde H é a distribuição de máximos observados em janelas sucessivas sem intersecção de comprimento n. A medida de risco é o valor que se espera violar em 1 em k períodos de comprimento n.
( )1 1pVaR F p−= −
( ) ( )p p p p pES E X X VaR E X VaR X VaR VaR= > = − > +
1 11knR H
k− ⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
![Page 5: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Extremos: Definição1. Máximo em Blocos
2. Violações de um limiar
Limiar u
![Page 6: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos1. Máximo em Blocos
(Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)) Seja uma seqüência de variáveis aleatórias iid. Sejam os máximos de blocos com tamanho n. Se existem constantes e uma distribuição não-degenerada H tal que
nM( )tX
0,n nc d> ∈
dn n
n
M d Hc− ⎯⎯→ então ( )
( ) 1/1 0
0x
x
e
e seH x
e se
ξξ
ξ
ξ
ξ
−
−
− +
−
⎧⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎪⎩Generalized Extreme Value (GEV) distribution
![Page 7: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Teoremas Limite 1: Máximo em BlocosGeneralized Extreme Value (GEV) distribution
1ξα
=1ξα
= − 0ξ =
( )
( ) 1/1 0
0x
x
e
e seH x
e se
ξξ
ξ
ξ
ξ
−
−
− +
−
⎧⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎪⎩
Fréchet Weibull Gumbel
![Page 8: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
![Page 9: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar1. Violações de um Limiar
(Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974)) Pra uma classe grande de distribuições F a distribuição do excedente condicional para u suficientemente grande é bem aproximada por :
( )uF y
( ),
1/
/
1 1 0
1 0y
y seG y
e seσ
ξ
ξσ
ξ ξσ
ξ
−
−
⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− + ≠⎪ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪⎪ − =⎪⎪⎩Para
Limiar u
[0,( )] 0Fy x u se ξ∈ − ≥ 0, 0y seσ ξξ
⎡ ⎤⎢ ⎥∈ − <⎢ ⎥⎣ ⎦
Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
![Page 10: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
( ),
1/
( )/
1 1 ( ) 0
1 0x u
x u seG y
e seσ
ξ
ξσ
ξ ξσ
ξ
−
− −
⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− + − ≠⎪ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪⎪ − =⎪⎪⎩
Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
limite exponencial Caudas pesadas
: : :forma u posiçao escalaξ σ
![Page 11: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
Obtendo a distribuição de extremos:
n é o número total de observações e é o número de observações acima do limiar u
uN
![Page 12: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
Calculando risco dos extremos:
Considerando o seguinte resultado de EVT para :1ξ <
Assumindo
![Page 13: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
Três parâmetros para estimar:
: : :forma u posiçao escalaξ σ
1. POSIÇÃO: Ainda não há um algoritmo que permita estimação automática do parâmetro de posição. Utilizando o seguinte resultado de EVT:
Pode-se estimar:
Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta.
![Page 14: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
1. POSIÇÃO:
Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta.
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
u
S ample mean exces s function
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
u
S ample mean exces s function
![Page 15: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
2. ESCALA e FORMA: os outros dois parâmetros podem ser obtidos via maximização da log-verossimilhança, dado o limiar u (POSIÇÃO):
Para maximização dessa função pode-se utilizar algoritmos de gradiente.
![Page 16: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
0 5 10 150.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
1.005
1.01
GPD ajustada via maximização de log-verossimilhança. De posse dessa distribuição pode-se, em princípio, calcular VaR com confianças superiores a 99%.
![Page 17: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Determinação de Barras de Erro para o Risco estimado.
Como as estimações de EVT envolvem sempre poucos dados é estritamente necessário calcular barras de erro para os parâmetros, e conseqüentemente para o risco estimado. Há, pelo menos, duas formas clássicas de estimar estas barras de erro:
1. Invertendo o teste de razão de verossimilhança;
2. Realizando simulações (bootstraping).
![Page 18: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança.
Nessa alternativa leva-se em conta que a distribuição assintótica do log da razão de verossimilhanças é conhecida (Qui-quadrado com dois graus de liberdade) .
Assim calculam-se as diferenças entre log-verossimilhanças
A região de confiança dos parâmetros é escolhida de forma que a probabilidade de estar dentro do intervalo de parâmetros da barra de erro seja, por exemplo, 95%.
![Page 19: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ξ
σ
Região de 95 % de Confiança
![Page 20: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Determinação de Barras de Erro: Bootstraping
Essa alternativa é computacionalmente mais pesada mas é mais apropriada para situações em que o número disponível de observações é limitado.
No bootstrapping amostram-se com reposição subconjuntos de dados e reestimam-se os parâmetros para cada subconjunto utilizando máxima verossimilhança. O resultado é uma nuvem de pontos que pode ser utilizada para estimar barras de erro através da construção de histogramas
![Page 21: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Determinação de Barras de Erro: Bootstraping
0 0.2 0.4 0.6 0.80
2
4
6
0.4 0.6 0.8 10
2
4
6
2.2 2.4 2.60
2
4
6
3 3.5 4 4.5 5 5.50
1
2
FORMA ESCALA
VaR(0.001) ES(0.001)
![Page 22: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES
É possível obter barras de erro diretamente para o VaR ou ES utilizando:
para reparametrizar as distribuições.
![Page 23: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES
Com as mudanças apropriadas de variável obtemos:
para 0ξ ≠
![Page 24: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ESPara o ES obtemos:
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
ES 0.01
3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ES 0.01
ξ
Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança
Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o
resultado bootstrap
![Page 25: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ESPara o VaR obtemos:
Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança
Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o
resultado bootstrap
2 2.5 3 3.5-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
VaR0.01
![Page 26: Medida de risco por Teoria de Valores Extremos](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020101/559870771a28abb86a8b4815/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Bibliografia
• Gilli, M. and Këllezi E., Na application of Extreme Value Theory for Measuring Risk, Fevereiro 2003.
•Efron, B. and Tibshirani R.J., An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall, Nova York (1993)