mecânica dos sólidos i tensões , deformações e relações ......inverta a relação tensão...
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εyz 0=εzνE
− σy σx+( )⋅=
εxz 0=εy1E
σy ν σx⋅−( )⋅=
εxyσxy2G
=εx1E
σx ν σy⋅−( )⋅=
σxz σzx= σyz= σzy= 0=σz 0=Estado Plano de tensão
2 - Particularize as relações constitutivas acima mencionadas para os casos de estado de tensão e estado plano de deformação.
σzE
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εz⋅ ν εy εx+( )⋅+ ⋅= σyz 2G εyz⋅=
σyE
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εy⋅ ν εz εx+( )⋅+ ⋅= σxz 2G εxz⋅=
σxy 2G εxy⋅=σxE
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εx⋅ ν εy εz+( )⋅+ ⋅=
εyzσyz2G
=εz1E
σz ν σy σx+( )⋅− ⋅=
εxzσxz2G
=εy1E
σy ν σx σz+( )⋅− ⋅=
εxyσxy2G
=εx1E
σx ν σy σz+( )⋅− ⋅=
Mecânica dos Sólidos I Lista de Exercícios III Tensões , Deformações e Relações Constitutivas. 1. Inverta a relação tensão deformação para materiais elásticos , lineares e isotrópicos para
obter a relação em termos de deformação.
εz 3.6− 10 4−⋅:=σx 145MPa:=ν 0.3:=E 210GPa:=Considerando :
MPa 106Pa:=µ 10 6−:=MN 106N:=GPa 109Pa:=
3-A placa plana mostrada na figura é carregada no plano xy . Sabendo-se que: σx=145 MN/m2 σxy= 42 MN/m2 e εz=-3.6 x 10-4 determinar o valor de σy.
z
y x
σzν E⋅
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅εy εx+( )⋅= σyz 0=
σyE
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εy⋅ ν εx⋅+ ⋅= σxz 0=
σxE
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) εx⋅ ν εy⋅+ ⋅= σxy 2G εxy⋅=
εy1 ν+( )
E1 ν−( ) σy⋅ ν σx⋅− ⋅=
εxyσxy2G
=
εx1 ν+( )
E1 ν−( ) σx⋅ ν σy⋅− ⋅=
εxz εzx= εyz= εzy= 0=εz 0=Estado Plano de deformação
σxy 2G εxy⋅=
σxE
1 ν2
−( )εx ν εy⋅+( )⋅= σy
E
1 ν2
−( )εy ν εx⋅+( )⋅=
B
σABF−
A=
XY
Face sem tensão normal a 450 de X e a -450 de X.
A
1 0 1
1
1
aFA
=c 0:=
σxy 0=
σyF−
A:=σx
FA
=
F F
F
F
4. Uma força F é aplicada uniformemente nos lados de uma placa quadrada, de tal forma que , em duas faces opostas, tem-se tração e, nas duas outras faces opostas, compressão. Em quais planos da placa não ocorrerá tensão normal ? Qual é a tensão de cisalhamento em tais faces ?
σy 107 MPa=σy σx εzE
ν⋅+
−:=νE
− σy σx+( )⋅ εz=
εzνE
− σy σx+( )⋅=Placa em estado plano de tensão :
σns 2.42kgf
mm2=σns
σx2
− sin 2 θ⋅( )⋅:=
σn 4.2−kgf
mm2=σn
σx2
σx2
cos 2 θ⋅( )⋅+:=
θ 30deg:=No plano inclinado
σx 5.59−kgf
mm2=
σx E α⋅ ∆t⋅( )−:=σxE
α∆t+ 0==>εx 0:=Cinemática :
Barra : estado uniaxial de tensão, ou seja, a única tensão não nula é a tensão σx.
∆t 95 21−:=α 3.6 10 6−⋅:=E 21000
kgf
mm2:=
5 Uma barra de metal se encaixa entre dois suportes rígidos, à temperatura ambiente (21ºC), como se vê na figura. Calcular as tensões normal e de cisalhamento na seção inclinada, quando a temperatura aumenta para 95ºC. Admitir α = 3.6 x 10-6 por ºC e E=21 x 103 kgf/mm2.
������������
������������
60º
σx σadm 3⋅=σx3 σadm⋅
2 sin 2π3
⋅
=
Neste caso :
Portanto o máximo admissivel ocorre em θ = 600
0.5 10
2
4
6
normal maximacisalhante maxiimamaximo admissivel
smax θ( ) if σ θ( )( ) τ θ( )≤ σ θ( ), τ θ( ), :=
θ 10deg 15deg, 60deg..:=τ θ( ) 32 sin 2θ( ):=σ θ( ) 2
1 cos 2θ( )+( ):=
σx3 σadm⋅
2 sin 2θ( )≤σx2 σadm⋅
1 cos 2θ( )+( )≤
σx−
2sin 2 θ⋅( )⋅
34
σadm⋅≤σx2
1 cos 2θ( )+( ) σadm≤
Para P ser máximo, σx deve ser máximo. Logo:
τadm34
σadm⋅=σxy 0=σy 0=σxPA
=
6 Uma barra tracionada é composta de dois pedaços de material que são colados ao longo da linha mn. Por razões práticas, o ângulo θ é limitado `a faixa de 0º a 60º. A tensão de cisalhamento permissível , τ adm, na junta colada é ¾ da tensão de tração permissível (σadm). Qual deve ser o valor do ângulo θ , afim de que a barra suporte o máximo de carga P , admitindo que a resistência da junta colada controle o projeto.
θ
m
n
P P
ε23 120.38 µ=ε23ε2 ε3−
2:=
ε13 170.38 µ=ε13ε1 ε3−
2:=
ε12 50 µ=ε12ε1 ε2−
2:=
Tangenciais máximas
ε3 150.77− µ=ε3 εz:=
ε2 90 µ=ε2 c a−:=
ε1 190 µ=ε1 c a+:=
Deformações principais
aεx εy−
2
2
εxy2
+:=c
εx εy+
2:=
(a) Deformações principais e tangenciais máximas
εzν
1 ν−( )
− εy εx+( )⋅:=εxy 30µ:=εy 180µ:=εx 100µ:=
GE
2 1 ν+( )⋅:=ν 0.35:=E 45GPa:=
(Estado Plano de Tensão)σz σxz= σzx= σyz= σzy= 0=Superficie livre :
7 As deformações medidas em um ponto sobre uma superfície livre de um elemento de máquina fornecem os seguintes dados de deformações:
εx= 100 µ εy= 180 µ e γxy= 60 µ . 0 material é liga de magnésio com um módulo de elasticidade de 45GPa e coeficiente de Poisson de 0.35. (a) Determine as deformações principais e tangenciais máximas (b)Usando os resultados da parte (a), determine as tensões principais e tangenciais máximas no ponto.
E δ( )
0
0
0
0
0
0
0
0
δL
:=T p( )
p−
0
0
0
p−
0
0
0
σz
:=σzP−
A:=
CinemáticaEstado de tensão na borracha
A 1.96 103× mm2
=Aπ d2
⋅4
:=
ν 0.45:=d 5cm:=P 500kgf:=
8 Um cilindro, A, de borracha de diâmetro d é comprimido em um cilindro, B, de aço por uma força P. Determinar a pressão p entre a borracha e o cilindro, quando P= 500 kgf, d= 5cm e o coeficiente de Poisson para a borracha é 0.45.
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
P
A
d
B
σ23 4.01 MPa=σ23 2G ε23⋅:=
σ13 5.68 MPa=σ13 2G ε13⋅:=
σ12 1.67 MPa=σ12 2G ε12⋅:=
Tangenciais máximasσ3 0:=
σ2 8.03 MPa=σ2E
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) ε2⋅ ν ε3 ε1+( )⋅+ ⋅:=
σ1 11.36 MPa=σ1E
ν 1+( ) 1 2 ν⋅−( )⋅1 ν−( ) ε1⋅ ν ε2 ε3+( )⋅+ ⋅:=
Considerando o material isotrópico:
Tensões principais
(b)Tensões principais e tangenciais máximas
εn 341.87 µ=εn ε en⋅ en⋅:=en
0.6
0.8
0
:=
ε
120
173.33
0
173.33
206.67
86.67−
0
86.67−
313.33−
µ=ε
εx
εxy
εxz
εxy
εy
εyz
εxz
εyz
εz
:=
εyzσyz2G
:=εz
1E
σz ν σy σx+( )⋅− ⋅:=
εxzσxz2G
:=εy1E
σy ν σx σz+( )⋅− ⋅:=
εxyσxy2G
:=εxεx1E
σx ν σy σz+( )⋅− ⋅:=
σxz 0MPa:=
σz 49− MPa:=σyz 14− MPa:=σy 35MPa:=σxy 28MPa:=σx 21MPa:=
GE
2 1 ν+( )⋅:=ν 0.3:=E 210GPa:=
9 O tensor de tensões em um ponto é da do como se segue:
T = −− −
21 28 028 35 140 14 49
Se E =210 GPa e ν =0.3, qual é a deformação normal na direção
en=0.6 i + 0.8 j
p 20.83kgf
cm2=p
ν− σz⋅
1 ν−( ):=logo :
01E
p− ν p− σz+( )−( )⋅=Portanto, pela relação constitutiva:
11 D d i d d ã d i õ i i i di ã
ε
80−
0
0
0
400
0
0
0
80−
µ=ε
εx
εxy
εxz
εxy
εy
εyz
εxz
εyz
εz
:=
εxz 0:=εxyσxy2G
:=εyz 0:=
εzνE
− σy σx+( )⋅:=εy1E
σy ν σx⋅−( )⋅:=εx1E
σx ν σy⋅−( )⋅:=
σxy 0MPa:=
σy 14MPa:=σx 0MPa:=Superfície livre:
(Estado Plano de Tensão)σz σxz= σzx= σyz= σzy= 0=
ν 0.2:=E 35GPa:=
10. Uma placa de baquelite, com um orifício elíptico, é ensaiada para determinaro fator de concentração de tensões K. Estando a placa em um estado planode tensões , determinou-se por meio de fotoelasticidade que a tensão σy noponto A, na borda da placa, como sendo de 14 MPa. Qual é o tensor dedeformações em A ? Assumir E=3,5 x 104 MPa e ν =0.2.
y
x A
emax
0.78
0.39
0.49
=emaxe1 e3+
e1 e3+:=Direção :
τmax 6.25 MPa=τmax maxσ0 σ1−
2
σ0 σ2−
2,
σ1 σ2−
2,
:=
Cisalhamento máximo
e3
0.14
0.81
0.57
=e3 eigenvec T σ2,( ):=
e2
0.24−
0.53−
0.81
=e2 eigenvec T σ1,( ):=e2 eigenvec T σ1,( ):=
e1
0.96
0.25−
0.12
=e1 eigenvec T σ0,( ):=
σ
6.15−
0.9−
6.35
MPa=σ eigenvals T( ):=
Direções Principais: cálculo de auto- valorers
T
5.6−
2.1
0
2.1
3.5
3.5
0
3.5
1.4
MPa=T
σx
σxy
σxz
σxy
σy
σyz
σxz
σyz
σz
:=
σyz 3.5MPa:=σxz 0MPa:=σxy 2.1MPa:=
σz 1.4MPa:=σy 3.5MPa:=σx 5.6− MPa:=
11. Dado o seguinte estado de tensão, determinar as tensões principais e a direção da tensão de cisalhamento máximo:
σx = -5.6 MPa σxy= 2.1 MPa σy = 3.5 MPa σxz= 0 σz = 1.4 MPa σyz= 3.5 MPa
(Estado plano de tensão )T
σx
0
σxz
0
0
0
σxz
0
σz
=logo:
σyy σxy= σyz= 0=Estado de Tensão em A, localizado na superfície livre do tubo =>
SOLUÇÃO:
εz 1370µ:=εx 3460µ:=
ν 0.25:=E 140GPa:=
P 0.45kN:=l 600mm:=
Rm 24.2 mm=RmD d−
2:=d 1.6mm:=D 50mm:=
kN 103N:=DADOS:
12. Um tubo de paredes finas, com curva em ângulo reto, é
representado na figura abaixo. O diâmetro externo D do tubo é de 50 mm e a espessura é de 1.6 mm . Uma carga de 0.45 kN é aplicada na extremidade livre do sistema. Um extensômetro acha-se orientado na direção x em A, na parte superior do tubo, e fornece uma deformação de 0.00346 . Um segundo extensômetro em A, orientado na direção z, fornece uma deformação de 0.00137. Quais são as componentes do tensor de tensões no ponto A em relação ao sistema xyz. O coeficiente de Poisson é 0.25 e o módulo de Elasticidade de Young é 14 x 104 MPA. Determinar também εy.
x
y
z
A D
600 mm
P
A
σzz
σxz σzx σxx
Detalhe do estado de tensão próximo de A
εy 1610− µ=εyν−
Eσz σx+( )⋅:= Deformação
σz 333.76 MPa=σzE
1 ν2
−( )εz ν εx⋅+( ):=
σx 567.84 MPa=σxE
1 ν2
−( )εx ν εz⋅+( ):=De onde se obtem que:
εz1E
σz ν 0 σx+( )⋅− ⋅=
εy1E
0 ν σz σx+( )⋅− ⋅=
εx1E
σx ν σz 0+( )⋅− ⋅=
Relação constitutiva para Estado plano de tensão:
σxz 45.86− MPa=σxzMt
2 π⋅ Rm2
⋅ d⋅:=logo:
Mt 0.27− kN m⋅=Mt P− l⋅:=
Componentes do tensor de tensão