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Mecánica de Fluidos

Un fluido es una sustancia que puede “fluir” y que c arece de forma fija, de modoque adopta la forma del recipiente que lo contiene

Un fluido es un líquido o un gas.

Líquidos en reposo: hidrostáticaLíquidos en movimiento: hidrodinámica

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Fases de la materia• Las fuerzas de atracción entre las moléculas determinan el estado

de agregación de un material:

• Tan intensas en los sólidos que los átomos permanecen en posiciones fijas.

• Suficientes en los líquidos como para mantenerlos juntos ocupando el menor volumen posible.

• Tan débiles en los gases que se mueven libremente por el recipiente que los contiene (expansiona para rellenar el contenedor)

Líquido versus Gas

• Todos los fluidos tienden adquirir la forma su contenedor, pero

• Los líquidos y los gases se diferencian notablemente por su compresibilidad

• Un líquido es prácticamente incompresible

• Un gas es fácil de comprimir

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3

Conceptos previos

Volumen

Este término tiene que ver con un concepto matemáti co y físico a la vez.

Físico: región del espacio que ocupa un cuerpo

Matemático: expresión matemática que determina esa región. Se mide en m 3 o en cm 3

Para determinar el volumen de un cuerpo se necesita conocer su forma física.

Para cuerpos especiales existen fórmulas específicas

Cubo de arista a

V = a3

Esfera de radio R Paralelepípedo de lados a, b y c

V = abc

Cilindro con base de radio R y altura h

V = πR2h

3

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RV π=

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Volumen de un cuerpo irregularSi un cuerpo es irregular, una piedra por ejemplo, n o existe una fórmula

matemática que permita determinar su volumen, y si la hay de seguro que es muy compleja

Entonces, ¿cómo se determina su volumen?

Procedimiento

1º Un vaso con agua hasta cierto nivel

Se marca el nivel

2º Se coloca el cuerpo en el interior del vaso con agua

Se marca el nuevo nivel

3º El incremento de volumen en el agua, corresponde al volumen del cuerpo

Hay que procurar que el vaso tenga una forma geométrica simple para determinar el volumen de agua. Un cilindro por ejemplo.

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Densidad

m

Vρ =

Es una medida que representa la cantidad de materia que hay por cada unidad de volumen de un cuerpo

Se mide en kg/m 3 o en g/m 3

Una relación de conversión útil es 1g/cm 3= 1000 kg/m 3

El aire (a nivel del mar) suele tener ρ~ 1.2 kg m-3

•El agua tiene ρ~ 1 g cm-3= 1000 kg m-3

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Si la fuerza que se ejerce sobre un objeto es dF y la superficie sobre la cual actúa es dA, se tiene que la presión que ej erce esa fuerza, es:

Si la fuerza es la misma en todos los puntos de una superficie plana finita de área A, esta ecuación se reduce a

Presión

dFP

dA=

211m

NPa =

La idea más simple que se tiene sobre presión se re laciona con la acción de aplastar algo .

Y cuando se a plasta algo se ejerce una fuerza sobr e una región del objeto.

La presión se mide en N/m2 y se denomina Pascal.

A

FP =

4

7

La presión es isótropa

Si ponemos una superficie dentro de un fluido, las moléculas le empujarán (presión)

•En un punto fijo, no depende de la orientación de la superficie

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Un ejercicio

Peso del libro:

W = mg

= 0,4 [kg]x 9,8 [m/s 2]

= 3,72 [N]

Presión:

2

3,72

0,3

12,4

FP

AN

Pm

P Pa

=

=

=

Si un libro tiene una masa de 0,4 kg y su portada mide 20 cm por 15 cm y estáapoyado sobre una mesa. El peso del libro ejerce una presión sobre la mesa.

A

PW

Área de contacto:

A = ab

= 0,2 [m] x 15 [m]

= 0,3 [m 2]

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Consideremos una “parcela” o “burbuja” de fluido• Fuerzas másicas– Actúan en el centro de masa de una parcela de fluido– Su magnitud depende de la masa de la parcela, y de su

posición/ubicación– La fuerza de gravedad es un ejemplo de una fuerza másica

(fuerzas de campo)

Fuerzas másicas y superficiales

Fuerzas superficiales– Actúan en la límite de una parcela de fluido, donde se separa de su ambiente (por contacto físico)– Su magnitud es independiente de la masa de la parcela– La fuerza del gradiente de presión es un ejemplo de una fuerza superficial

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6

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Equilibrio Hidrostático

• La presión hidrostática es la presión en cada punto de un fluido estático

• Al sumergirnos en un líquido la presión aumenta con la profundidad

• p2> p1> p0• Análogamente, la presión

atmosférica disminuye al aumentar la altitud

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• Tomemos un volumen elemental de fluido, de peso dF = g dm. • Por simetría, la fuerza resultante horizontal sobre los bordes es nula. • p es la presión en el nivel y, y p+dp es la presión en el nivel y+dy. • Las fuerzas sobre cada una de las caras es pA y (p+dp)A. • Puesto que el elemento de volumen está en equilibrio,

pA-(p+dp)A-gdm=0pero gdm=grρ dV=gρA dy,

dp= - ρ g dy

• Esta diferencia de presión es necesaria mantener en su posición al volumen elemental de fluido, y para ello es necesario compensar la fuerza de la gravedad, de modo que esta diferencia de presión es la que soporta el peso del volumen elemental de fluido considerado.

• El signo - indica que la presión disminuye con la altura desde la base.

Equilibrio Hidrostático(Líquido Incompresible; ρ= cte)

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• Si integramos la ecuación con ρ=cte

2 2

1 1

dy 'p y

dp gp y

ρ= −∫ ∫

Si la superficie del líquido está en y2 y la presión en ésta es p0, se tiene que a una profundidad h = y2 - y1, la presión p viene dada por

p= p0 + ρ gh

p2-p1 = - ρ g (y2 -y1)

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Principio de Pascalp= p0 +ρgh

• Si la presión sobre la superficie del líquido p0 se aumenta en ∆p, la ecuación anterior muestra que la presión en un punto arbitrario a una distancia h de la superficie también aumenta en ∆p. A este resultado se le llama principio de Pascal:

“La presión aplicada a un fluido estático incompresible y cerrado se transmite íntegramente a todas las partes del fluido”

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Prensa Hidráulica

• Un pistón de sección pequeña, a, se utiliza para ejercer directamente una pequeña fuerza f sobre el líquido. La presión p=f/ase transmite a lo largo de un tubo hasta un cilindro mayor, provisto de un pistón más ancho de área A, puesto que la presión es la misma en los dos cilindros

p = f/a = F/A F= Af/a

Presión p debida a F1 transmitida a través del fluido (Ley de Pascal)

Fuerza pequeña aplicada sobre este lado)

La presión p actúa en este lado sobre un área mayor, produciendo una fuerza mayor

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Ejemplos de prensas hidráulicasSon prensas hidráulicas, o máquinas hidráulicas en g eneral, algunos sistemas para elevar vehículos (gata hidráu lica), frenos de vehículos, asientos de dentistas y otros.

Prensa hecha con jeringas

Retroexcavadora

Gato hidráulica

Silla de dentista

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Un ejercicio

F1

P1

F2

P2

A1

A2

Supongamos que se desea levantar un automóvil, de masa m = 1.200 kg, con una gata hidráulica, tal como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza F1 se deberá aplicar en el émbolo más pequeño, de área 10 cm2, para levantarlo?

Suponga que el área del émbolo más grande es 200 cm2.

2

2

1

1

A

F

A

F=

Se tiene:

Y como F2 tiene que al menos ser igual al peso del automóvil, se tendrá:

F2 = mg

21

1

A

mg

A

F=

Por lo tanto, se tiene la igualdad:

Y, despejando:

2

11 A

mgAF =

Y, reemplazando:

[ ] [ ][ ] [ ]N588cm200

s

m8,9kg200.1cm10

F2

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1 =

••=

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Presión atmosféricaEs la presión que el aire ejerce sobre la superficie terrestre.

Cuando se mide la presión atmosférica, se está midiendo la presión que ejerce el peso de una columna de aire sobre 1 m 2 de área en la superficie terrestre.

La presión atmosférica media en la superficie de la Tierra es:

P = 101 325 Pa= 1013.25 HPa

La presión atmosférica en un punto es numéricamente igual al peso de una columna de aire de sección recta unitaria qu e se extiende desde ese punto hasta el límite superior de la atmó sfera (el 99% de la masa de atmósfera está por debajo de los 30 km. d e altura).

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Experimento de Torricelli

En 1643, Evangelista Torricelli, hizo el siguiente experimento: Llenó un tubo de vidrio, de 1 [m] de longitud, con mercurio (“plata viva”). Tapó el extre mo abierto y luego lo dio vuelta en una vasija.

El mercurio empezó a descender pero se estabilizó en el momento que la columna medía 76 cm.

El peso de la columna de mercurio ejerce presión en el nivel en que quedó el mercurio vaciado, y esa presión, para lograr la estabilización, se equilibra con la presión a que está sometido el mercurio por fuera del tubo.

Esa presión, la de fuera del tubo, es la presión atmosférica, cuyo símbolo es P 0.

Entonces, se tendrá que esa presión es:

P0

BARÓMETRO

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Medición de la presiónAntes, una aclaración conceptual:

Se llama presión absoluta a la expresión:

P = Patm + ρgh

Y se llama presión manométrica a la expresión:

P – Patm = ρgh

La presión atmosférica se mide con el barómetro .

Es un manómetro de tubo cerrado que se expone a la

atmósfera.

El manómetro mide la presión absoluta y también la manométrica.

Si es de tubo abierto mide la presión absoluta.

Si es de tubo cerrado mide la presión manométrica.

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Manómetros• El tipo más sencillo de manómetro es un tubo

abierto (Figura). Se trata de un tubo en forma de U que contiene un líquido; uno de los extremos se encuentra a la presión p que se desea medir mientras que el otro extremo estácomunicado con la atmósfera.

• La presión en el fondo de la columna de la izquierda es

• p + ρgy1

• mientras que en el fondo de la columna de la derecha (que es el mismo punto) será:

• pa + ρgy2

• siendo ρ la densidad del líquido manométrico.

• Puesto que estas presiones han de ser iguales

• p + ρgy1 = pa + ρgy2

p-pa = ρg (y2− y1) = ρgh

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UNIDADES• Los manómetros y los barómetros son aparatos muy

utilizados, y debido a ello es costumbre expresar la presión atmosférica y otras presiones en centímetros o milímetros de mercurio.

• La presión ejercida por una columna de un milímetro de Hg se denomina torr (en honor de Torricelli).

• Se define una atmósfera como la presión ejercida por 760 mm de Hg. Como la densidad del Hg es 13.6 103 kg/ m3,

• 1 atm = ρ g h = 13600 Kg/m3 9.8 m/s2 0.76 m = 101300 Pa

• Un bar es igual a 105 Pa; normalmente se emplea su submúltiplo el milibar, que es igual a 10-3 bares.

1 b = 105 Pa

• 1mb = 100 Pa = 1 hPa

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Principio de ArquímedesUn cuerpo sumergido, total o parcialmente, en un fl uido, es empujado hacia arriba por una fuerza igual en magni tud al

peso del volumen del fluido que desaloja.

EEsto representa al volumen del fluido que fue desalojado por el

cuerpo.

Y su peso es:

mg = ρVg

Donde ρ es la densidad del fluido y Vel volumen desplazado.

E = ρVg

Por lo tanto:

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Principio de ArquímedesUn cuerpo que está parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza de módulo igual al peso del fluido desalojado y dirigida verticalmente según una línea que pasa a través del centro de gravedad del fluido desalojado, esto es

E=V ρ g

con ρ la densidad del fluido y V el volumen de fluido desalojado.

Fluido reemplazado por un cuerpo de la misma forma

Elemento de fluido en equilibrio

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Fuerza de empuje

La fuerza E = ρVg se conoce como “Fuerza de Empuje” o “Fuerza de flotación”.

Si un cuerpo de masa m se introduce un fluido quedará sujeto a dos fuerzas verticales: el peso del cuerpo y la fuerza de empuje.

E

mgY pueden ocurrir tres situaciones:

1.- Que el peso del cuerpo sea de mayor medida que la fuerza de empuje.

2.- Que el peso del cuerpo sea de igual medida que la fuerza de empuje.

3.- Que el peso del cuerpo sea de menor medida que la fuerza de empuje.

Conclusiones:

1.- Si mg > E, entonces el cuerpo se hunde.

2.- Si mg ≤ E, entonces el cuerpo flota total o parcialmente en el fluido.

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Peso aparenteComo se mencionó recientemente, cuando un cuerpo est á dentro de un fluido

está afectado por dos fuerzas: el peso gravitacional y la fuerza de empuje.

Como ambas fuerzas actúan sobre el cuerpo, entonces se pueden sumar o restar.

Se llama peso aparente a la relación:

Wa = mg - E

Situaciones concretas:

Cuando estamos sumergidos en el agua nos sentimos más livianos, y las cosas que tomamos bajo el agua también las sentimos más livianas.

Lo anterior ocurre porque el peso que sentimos, no es el peso gravitacional, es el peso aparente.

Un globo aerostático se eleva porque la fuerza de empuje que le afecta es mayor que su peso gravitacional.

En estricto rigor:

El peso que medimos en una balanza ¿qué es: peso gravitacional o peso aparente?

E

mg

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Flotación de barcos¿Por qué un barco flota a pesar que es de metal y el metal tiene mayor densidad

que el agua?

Un cuerpo de menor densidad que el agua siempre flo tará. En este caso se verificará que la fuerza de empuje es mayor o igu al que el peso

gravitacional del cuerpo

La densidad promedio del barco. Eso es lo que interesa. Y esa es menor que la del agua.

Su densidad promedio se determina por:

Vm=ρ

Y el volumen del barco no incluye solo el metal. También incluye el aire en su interior.

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Y … ¿el submarino?Un submarino se hunde o flota a discreción: ¿cómo l o hace?

Un submarino se hunde si su peso gravitacional es mayor que el empuje que le afecta.Para lograr lo anterior se inundan, con agua, compartimientos que antes estaban vacíos. Con ello su densidad promedio aumenta y, en consecuencia, también aumenta su peso gravitacional.

Por lo tanto ocurrirá que

mg >E

Y el submarino se hundirá.

Para elevarse o flotar, su peso gravitacional debe ser menor que el empuje.Esto se logra sacando el agua con que se había inundado algunos compartimientos. Así su densidad promedio disminuye y también su peso gravitacional.

Y cuando ocurra que

E > mg

El submarino se elevará.

Ya que estamos en el agua. Los peces se sumergen o s e elevan en el agua inflando o desinflando su vejiga natatoria.