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D i v i s i ó n d e I n g e n i e r í a s

C a m p u s I r a p u a t o - S a l a m a n c a

I I L I 0 6 0 8 3

M e c á n i c a d e F l u i d o s

C a p í t u l o 5

Ecuaciones básicas en forma integral para un volumen de control

Profesor:

José Manuel Riesco Ávila

[email protected]

j.m. riesco a. IILI06083 Mecánica de Fluidos Pág. 2/20

5. Forma integral de las ecuaciones de conservación

5.1 Introducción.

5.2 Relación entre sistema y volumen de control.

5.3 Ecuación de continuidad.

5.4 Ecuación de cantidad de movimiento.

5.5 La primera ley de la termodinámica.

Objetivo

Contenido

Desarrollar las ecuaciones de conservación en formaintegral para un volumen de control y dar ejemplos deaplicación de dichas ecuaciones.



5.1 Introducción

Toda materia (sólidos y fluidos) está gobernada por las mismasleyes físicas (conservación de la masa, las leyes de movimientode Newton y la conservación de la energía). Estas leyes seestablecen de tal forma que se aplican a la misma cantidad demateria o sistema. En el análisis de sólidos no hay ningunadificultad en aplicar estas leyes ya que las partículas queconstituyen el sistema son fácilmente identificables. Sinembargo, en el análisis del flujo de fluidos es casi imposibleseguir las partículas que constituyen el sistema, por lo que esnecesario desarrollar un método alternativo para aplicar lasleyes de la física a un volumen fijo en el espacio, conocido comovolumen de control.



5.2 Relación entre sistema y volumen de control

Existe una relación entre la formulación para un sistema y la formulaciónpara un volumen de control conocida como el Teorema del Transporte deReynolds:

N Propiedad extensiva del sistema.

Propiedad intensiva correspondiente: = N/m

ቇ𝑑𝑁

𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝜂𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶

𝜂𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴



5.3 Ecuación de continuidadLey de Conservación de la Masa:

N = M y = 1 ቇ𝑑𝑁


=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝜂𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶


ቇ𝑑𝑀


= 0 𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑑𝑚 = න𝑠𝑖𝑠𝑡

𝜌𝑑𝑉

ቇ𝑑𝑀


=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶

𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶

𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0



5.3 Ecuación de continuidadFlujo incompresible:

𝜕

𝜕𝑡𝜌න

𝑉𝐶

𝑑𝑉 + 𝜌න𝑆𝐶

𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑉 + 𝜌න

𝑆𝐶

𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0

න𝑆𝐶

𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0

Flujo volumétrico o gasto:

𝑄 = න𝑆𝐶

𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0

Flujo permanente:

න𝑆𝐶

𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0

Flujo másico:

ሶ𝑚 = න𝑆𝐶

𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0



5.4 Ecuación de cantidad de movimientoLey de Conservación de la Cantidad de Movimiento:

Fuerzas de cuerpo: Ԧ𝐹𝑐 = 𝑉𝐶 𝐵𝑑𝑚 = 𝑉𝐶 𝐵𝜌𝑑𝑉

Fuerzas de superficie: Ԧ𝐹𝑠 = 𝑆𝐶 𝑇𝑑𝐴

Ԧ𝐹 = ቇ𝑑𝑃

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න

𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡)

𝑉𝑑𝑚 = න𝑉(𝑠𝑖𝑠𝑡)

𝑉𝜌𝑑𝑉

Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑠 + Ԧ𝐹𝑐



5.4 Ecuación de cantidad de movimiento5.4.1 Volumen de control inercial

ቇ𝑑𝑁


=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶


𝜂𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴𝑁 = 𝑃 y 𝜂 = 𝑉

ቇ𝑑𝑃


=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑉𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶

𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

ቇ𝑑𝑃


= ൯Ԧ𝐹𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑠𝑡

൯Ԧ𝐹𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑠𝑡

= ൯Ԧ𝐹𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑉𝐶

Ԧ𝐹𝑠 + Ԧ𝐹𝑐 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑉𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶

𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴




𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝑐𝑥 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑢𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶

𝑢𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

𝐹𝑠𝑦 + 𝐹𝑐𝑦 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑣𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶

𝑣𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

𝐹𝑠𝑧 + 𝐹𝑐𝑧 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑤𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶

𝑤𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴




Volumen de control con velocidad constante

Ԧ𝐹𝐶 + Ԧ𝐹𝑆 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑉𝑥𝑦𝑧𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶

𝑉𝑥𝑦𝑧𝜌𝑉𝑥𝑦𝑧 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴



5.4 Ecuación de cantidad de movimiento5.4.2 Volumen de control no inercial

1) Al relacionar las derivadas del sistema con la formulación del volumende control (Teorema del Transporte de Reynolds), éste se encontrabafijo respecto a xyz y el campo de flujo V(x,y,z,t) se especificó respecto alas coordenadas x, y y z. No se impuso restricción sobre el movimientodel marco de referencia xyz; en consecuencia, la ecuación:

es válida en todo instante para cualquier movimiento arbitrario de lascoordenadas x, y y z, siempre que todas las derivadas respecto al tiempo ylas velocidades en la ecuación se midan relativas al volumen de control.

ቇ𝑑𝑁


=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝜂𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶




2) La ecuación del sistema:

Ԧ𝐹 = ቇ𝑑𝑃

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න


𝑉𝑑𝑚 = න𝑉(𝑠𝑖𝑠𝑡)

𝑉𝜌𝑑𝑉

es válida sólo para velocidades medidas respecto a un marco dereferencia inercial. Por consiguiente, si denotamos el marco de referenciainercial mediante XYZ, la segunda ley de Newton establece que

Ԧ𝐹 = ቇ𝑑𝑃𝑋𝑌𝑍𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

Como las derivadas respecto al tiempo de 𝑃𝑋𝑌𝑍 y 𝑃𝑥𝑦𝑧 no son iguales para

un sistema que se acelera en relación a un marco de referencia inercial, laecuación de cantidad de movimiento usada anteriormente no es válidapara un volumen de control con aceleración.





Volumen de control con aceleración lineal


=𝑑

𝑑𝑡න𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑉𝑋𝑌𝑍𝑑𝑚 = න𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑑

𝑑𝑡𝑉𝑋𝑌𝑍𝑑𝑚 = න


Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍𝑑𝑚

Ya que el movimiento de xyz es una traslación pura relativa al marco inercialXYZ, entonces:

Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍 = Ԧ𝑎𝑥𝑦𝑧 + Ԧ𝑎𝑚𝑟

Donde:

Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍 Aceleración rectilínea del sistema relativa al marco de referencia XYZ.

Ԧ𝑎𝑥𝑦𝑧 Aceleración rectilínea del sistema relativa al marco de referencia xyz.

Ԧ𝑎𝑚𝑟 Aceleración del marco de referencia xyz relativa al marco inercial XYZ.






= න𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡)

Ԧ𝑎𝑋𝑌𝑍𝑑𝑚 = න𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡)

Ԧ𝑎𝑥𝑦𝑧 + Ԧ𝑎𝑚𝑟 𝑑𝑚

Ԧ𝐹 − න𝑉𝐶

Ԧ𝑎𝑚𝑟𝜌𝑑𝑉 = ቇ𝑑𝑃𝑥𝑦𝑧

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎=

𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶



Ԧ𝐹𝐶 + Ԧ𝐹𝑆 −න𝑉𝐶

Ԧ𝑎𝑚𝑟𝜌𝑑𝑉 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶







𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝑐𝑥 −න𝑉𝐶

𝑎𝑚𝑟−𝑥𝜌𝑑𝑉 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑢𝑥𝑦𝑧𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶

𝑢𝑥𝑦𝑧𝜌𝑉𝑥𝑦𝑧 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

𝐹𝑠𝑦 + 𝐹𝑐𝑦 −න𝑉𝐶

𝑎𝑚𝑟−𝑦𝜌𝑑𝑉 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑣𝑥𝑦𝑧𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶

𝑣𝑥𝑦𝑧𝜌𝑉𝑥𝑦𝑧 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

𝐹𝑠𝑧 + 𝐹𝑐𝑧 −න𝑉𝐶

𝑎𝑚𝑟−𝑧𝜌𝑑𝑉 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑤𝑥𝑦𝑧𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶

𝑤𝑥𝑦𝑧𝜌𝑉𝑥𝑦𝑧 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴



5.5 La Primera Ley de la Termodinámica

La primera ley de la termodinámica es un enunciado de la ley de laconservación de la energía:

ሶ𝑄 − ሶ𝑊 = ቇ𝑑𝐸


→ 𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑒 𝑑𝑚 = න𝑉𝐶

𝑒𝜌𝑑𝑉 → 𝑒 = 𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧

N = E y = e ቇ𝑑𝑁


=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶



ቇ𝑑𝐸


=𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑒𝜌𝑑𝑉 +න𝑆𝐶

𝑒𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

= ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑉𝐶

ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶


𝑒𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴



Trabajo realizado por un volumen de control

1. Trabajo de ejeEl trabajo de eje (o flecha), We, es el trabajo que transfiere el volumen de controlpor donde no hay flujo de fluido, por elementos ajenos al fluido (ejes o flechas).La rapidez de transferencia de trabajo (o potencia) será Ẇe.

2. Trabajo realizado por los esfuerzos normales

𝛿𝑊 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑠 → ሶ𝑊 = lim∆𝑡→0

𝛿𝑊

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

Ԧ𝐹∙𝑑 Ԧ𝑠

∆𝑡→ ሶ𝑊 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑉

Para un elemento de área dĀ: 𝑑 Ԧ𝐹 ∙ 𝑉 = 𝜎𝑛𝑛𝑑 Ԧ𝐴 ∙ 𝑉


ሶ𝑊 = ሶ𝑊𝑒 + ሶ𝑊𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + ሶ𝑊𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 + ሶ𝑊𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠

ሶ𝑊𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = −න𝑆𝐶

𝜎𝑛𝑛𝑑 Ԧ𝐴 ∙ 𝑉 = −න𝑆𝐶

𝜎𝑛𝑛𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴



3. Trabajo realizado por los esfuerzos cortantes


𝑑 Ԧ𝐹 = Ԧ𝜏𝑑𝐴 ሶ𝑊𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = −න𝑆𝐶

Ԧ𝜏 𝑑𝐴 ∙ 𝑉 = −න𝑆𝐶

Ԧ𝜏 ∙ 𝑉𝑑𝐴

ሶ𝑊𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = −න𝑆𝐶

Ԧ𝜏 ∙ 𝑉𝑑𝐴 = − න

𝐴(𝑒𝑗𝑒𝑠)

Ԧ𝜏 ∙ 𝑉𝑑𝐴 − න

𝐴(𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠)

Ԧ𝜏 ∙ 𝑉𝑑𝐴 − න

𝐴(𝑝𝑢𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠)

Ԧ𝜏 ∙ 𝑉𝑑𝐴

Ẇe

= 0 𝑉 = 0

Si se selecciona una superficie de control que corta cada puertoperpendicularmente al flujo,

Ԧ𝜏 ∙ 𝑉 = 0 y ሶ𝑊𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

4. Otros trabajosAl volumen de control también se le puede agregar otras formas de energíacomo eléctrica y electromagnética. En la mayoría de los problemas, talescontribuciones de energía están ausentes, pero se tomarán en cuenta en laformulación general.



Trabajo realizado por un volumen de control

Sustituyendo en la ecuación de la energía


ሶ𝑊 = ሶ𝑊𝑒 −න𝑆𝐶

𝜎𝑛𝑛𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 + ሶ𝑊𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 + ሶ𝑊𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠

ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑒 −න𝑆𝐶

𝜎𝑛𝑛𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 + ሶ𝑊𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 + ሶ𝑊𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶


𝑒𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑒 + ሶ𝑊𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 + ሶ𝑊𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 =𝜕

𝜕𝑡න𝑉𝐶


𝑒𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 − න𝑆𝐶

𝜎𝑛𝑛𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴


𝜕𝑡න𝑉𝐶

𝑒𝜌𝑑𝑉 + න𝑆𝐶

𝑒 − 𝜎𝑛𝑛𝑣 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

𝑣 = ൗ1 𝜌



Los efectos viscosos pueden hacer que los esfuerzos normales, σnn, sean diferentesal negativo de la presión termodinámica, ̶ P; sin embargo, para la mayoría de losflujos de interés en ingeniería σnn = ̶ P. Entonces,



𝜕𝑡න𝑉𝐶


𝑒 + 𝑃𝑣 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

𝑒 = 𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧


𝜕𝑡න𝑉𝐶


𝑢 + 𝑃𝑣 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴


𝜕𝑡න𝑉𝐶


ℎ +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴

mecánica de fluidos capítulo 5 mf_0… · j.m. riesco a. iili06083 mecánica de fluidos pág....

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