1

MECHANIKAI HULLÁMOK

Deformáció terjedése rugalmas közegben

A tér egy adott helyén történt zavarkeltés eredménye a tőle r távolságra lévő pontban idő múlva jelenik meg:

c

ra zavar terjedéséhez időre van szükség: c a zavar terjedési sebessége

A hullám leírása

Az x=0 helyen periodikus zavart keltünk, az eredmény haladó hullám lesz.

xx

tsinAy t,0

X=0

T

2

Ez a rezgésállapot terjed a kötél mentén sebességgel.

c

c

Az x helyen t időpillanatban az x=0 helyen időponttal korábbi rezgési állapot lesz:

tsinAy t,x

c

xt

T

2sinAy t,x

cT

x

T

t2sinAy t,x

f 2

Pillanatkép a hullámról

Hullámhossz: azonos fázisban rezgő pontok legrövidebb távolsága x

y

x

f

ccT

Tf

1

f A hullámforrás frekvenciája

c a közegbeli terjedési sebesség

f

c

A hullámhossz nagyságát a hullám közegbeli terjedési sebességének és a hullámforrás frekvenciájának hányadosa határozza meg.

x

T

t2sinAy t,x

A hullám térben és időben periodikus jelenség

Térbeli periodicitás: hullámhossz

Időbeni periodicitás: T periódus idő

x

2t

T

2sinAy t,x

2

k hullámszám

kxtsinAy t,x A hullámfüggvény különböző alakjai

2

Hullám terjedése

Hullámfront: azonos fázisú pontok mértani helye, merőleges a terjedési sebességre

Hullámok osztályozása

•Dimenzió szerint:

1D vonal menti hullámok : pl. hullám pontsoron

2D felületi hullámok : pl: körhullám : pl. vízbe ejtett kő

3D Térbeli hullámok: gömbhullámok: pl, hang, elektromágneses hullámok

•Irány szerint: a részecskék sebességének és a hullámterjedés sebességének iránya:

Longitudinális hullámA két sebesség párhuzamosSűrűsödések és ritkulásokNem polarizálható

Transzverzális hullám A két sebesség merőleges nyíróerők működnek polarizálható

pl: a hang pl: felületi vízhullám

Polarizáció: transzverzális hullám esetén a rezgési sík polarizátorral kiszűrhető

Példa: hullám rugalmas kötél mentén

Terjedési sebességek a közeg szerint:

1.Szilárd anyagban:

a. Transzverzális hullám: nyíróerők jelenléte

húrF F

feszítettség A

Fctr

A

keresztmetszet

sűrűség

b. Longitudinális hullám:

F

Pl: Hangszerek húrjaiv

v E

clE Young modulus

Pl: földrengés

2. Folyadékban

a. Belül: csak longitudinális hullám van, nincs nyíróerő

b. Felületen: transzverzális hullámok: felületi feszültség+gravitációs erő irányítja

2

2

gcfelületi

trc

lc

A vízi molnárkák a víz felületén a felületi hullámok segítségével tájékozódnak

E

cl

3

3. gázokban:

Csak longitudinális hullámok vannak p

cgv

p

c

c

Pl: hang

Longitudinális hullám jellemzői Transzverzális hullám jellemzői

A fajhők hányadosa

A részecskék a terjedési iránnyal párhuzamosan rezegnek

Sűrűsödések és ritkulások terjednek a közegben

A részecskék a terjedési irányra merőlegesen rezegnek

INTERFERENCIA: HULLÁMTALÁLKOZÁS

Két hullámforrás azonos amplitúdóval, frekvenciával hullámokat bocsát ki, melyek a tér egy pontján (C) az ábra szerint találkoznak. Az addig megtett út: és

11x

T

t2sinAy

22x

T

t2sinAy

A két hullámfüggvény: Az eredő hullám a két szinusz függvény szuperpozíciója:

21 yyy

Fáziskülönbség a két hullám között:

1x 2x

22 12

sxx

12 xxs útkülönbség a két hullám között:

n20 )1n2( Feltétel:a fáziskülönbség nulla:

Az útkülönbség ekkor:

2n2ns

Feltétel: a fáziskülönbség:

Az útkülönbség ekkor:

2)1n2(s

Erősítés-kioltás: mintázatképződés: példa

Az eredő hullám amplitúdója és fázisa a két hullám fáziskülönbségétől függ

4

ÁLLÓHULLÁMOKfázisugrás

2

x l-x

L hosszúságú kötél egyik végén elindítunk egy hullámot. Amely zárt végről visszaverődik. Bizonyos frekvenciáknál a haladó és a visszavert hullámok interferenciájának eredményeként állóhullámok alakulnak ki.

P

A haladó hullám függvénye: )kxtsin(Ay 11

)(2 xllx A visszaverődő hullám függvénye: )2

kxtsin(Ay 22

xx 1

Az eredő hullám: 21 yyy

L

Kitüntetett frekvenciáknál állóhullám alakul ki:

•a kötél pontjai azonos frekvenciájú, de különböző amplitúdójú rezgőmozgást végeznek.

•A csomópontok két oldalán a mozgás iránya ellentétes.

Zárt vég esetén

Feltétel: a húr hossza a fél hullámhossz egész számú többszöröse legyen.

Mivel a hullám terjedési sebessége a kötél anyagi minőségétől függő állandó, ezért a kívánt hullámhossz a frekvencia hangolásával érhető el.

L

n=1

n=2

n=3

L2

L

L3

2

L

ccf

21

L

ccf

2

22

L

ccf

2

33

Transzverzális hullám terjedési sebessége:

A

Fctr

A sajátfrekvenciák értéke:

A

F

Ln

L

cnfn

2

1

2

n: a félhullámhosszak száma

A L hosszúságú húr sajátrezgései

A frekvencia a húr hosszával csökken, a hang mélyül : hegedű, brácsa, gordonka

Hangmagasság: frekvencia függvénye

alaphang

felharmonikusok

Hangszín: hány felharmonikus szólal meg az alaphang mellett

a keresztmetszet nagyságával fordítottan arányos: hegedűhúrok

a húr feszítettségével nő:hegedűhúrok hangolása

L

cnfn2

5

HULLÁMJELENSÉGEK

Ha egy ismeretlen fizikai jelenség a hullámjelenségekhez hasonló sajátságokat mutat, megállapítható, hogy hullám.

(Pl. mechanikai hullámok, elektromágneses hullámok, anyaghullámok)

Hullámfront: azonos fázisban lévő pontok mértani helye

A terjedési sebesség merőleges a hullámfrontra

Hullámjelenségek: elhajlás, interferencia, polarizáció,

Hullámok leírása: Huygens elv: visszaverődés, törés leírására

Huygens - Fresnel elv: elhajlás, mintázat kialakulása

Huygens elv: (1678)

1. A hullámfront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja2. Az új hullámfelület ezen elemi hullámok burkolófelülete

Visszaverődés felületről

A hullám frekvenciája nem változik, ezt csak a hullámforrás határozza meg.

A visszaverődés után a közeg ugyanaz marad: a terjedési sebesség sem változik.

A hullámhossz is állandó marad.

Amikor a ferdén bejövő hullámfront egyik része az A pontnál eléri a közeghatárt, ott új elemi hullám keletkezik. Az E ponthoz időkéséssel érkezik a bejövő hullám, ott az új elemi hullám időkéséssel indul.

Azonos idő alatt a bejövő és a visszaverődő hullám azonos utakat tesz meg, mivel a közeg ugyanaz:

Így az egyenesen lévő két szög is megegyezik:

6

Törés közeghatáron

Ha új közegbe jut át a hullám, terjedési sebessége megváltozik. Mivel a frekvencia ugyanaz marad, a hullámhossz is megváltozik.

sin

s

sin

sAB 21

tcs 11 tcs 22

sin

c

sin

c 2121

2

1

sin

sinn

c

c

Snellius-Decartes törvény

: a 2-es közeg 1 közegre vonatkoztatott törésmutatója21n

A hullámhossz is megváltozik:

f

c11

f

c22

2s

1s

A B

Gyakran a közeghatáron egyidejűleg törés és visszaverődés is történik.

A két közegben azonos idő alatt megtett utak hossza:

Az ábráról leolvadható:

Huygens-Fresnel elv (1819)

1. hullámfront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja

2. Az új hullámfelületet ezen hullámok interferenciája adja meg.

1.Visszaverődés: fázisugrás lehet2. Törés: közeghatáron: a terjedési sebesség változik3. Interferencia: hullámok találkozása, koherencia, mintázat4. Elhajlás: hullám az árnyéktérben 5. Polarizáció: csak transzverzális hullám esetén

Elhajlás: hullám az árnyéktérben

Csak az interferencia ismeretében érthető meg- Fresnel

A hullámjelenségek értelmezése a Huygens-Fresnel elv segítségével

7

•Hullámtalálkozás két dimenzióban:

Interferencia

Az interferencia akkor észlelhető, ha a találkozó hullámok koherensek: fáziskülönbségük időben állandó.

Koherens hullámok találkozásakor mintázat alakul ki

a felületen.

Maximális erősítés:

1r2r

1r

2r

2n2rr 12

Két adott ponttól mért távolságok különbsége állandó: mértani hely: hiperbola

Kioltás: 2)1n(2rr 12

Két hiperbola sereg: egyik a maximális erősítések, másik pedig a kioltások helye.

n=1,2 3 ……

r1r2

Elhajlás résen: mintázat képződés

Huygens-Fresnel elv (1819)

A rés minden pontján elemi hullámok indulnak ki,

melyek találkoznak egymással- interferencia

Maximumok:

A nyalábot zónákra osztjuk, a szomszédos zónák között az útkülönbség fél hullámhossz.

d

s

d

ssin

2

1k2sind

Az erősítés irányában páratlan számú zóna van.

A hullám az árnyéktérbe is bejut.

Minél kisebb a rés mérete, annál nagyobb az szög: annál nagyobb mértékű az elhajlás.

irány Fresnel féle -es zónák2

Elhajlási kép változása a résmérettel

8

Elhajlás rácson

nsind

Az erősítés feltétele: az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse:

sin ds

Bragg egyenlet

A hullámhossz és a szög ismeretében a d rácsállandó meghatározható.

1. Rács: több rés van egymás mellett, és a rések mérete elhanyagolható a távolságukhoz képest.

Feltételezzük, hogy az egyedi résen való elhajlás elhanyagolható, csak a szomszédos résekből kiinduló hullámok interferenciáját észleljük.

Minél kisebb a rácsállandó, annál nagyobb az elhajlás mértéke.

d-rácsállandó

Az elhajlás akkor jelentős, ha a hullámhossz és a rácsállandó mérete összemérhető nagyságrendű.

ns

A szomszédos rések elemi hullámai közötti útkülönbség α irányba:

Az erősítés iránya:

A rések távolsága

Az ernyőn látható intenzitás eloszlása

Elektromágneses hullámok

Az elektromágneses hullámok is mutatnak hullámtulajdonságokat. Pl. fény

• Fény elhajlása rácson: lézer segítségével

Például: A távoli Nap fényét félig lecsukott szemmel, szempillánkon keresztül nézve körkörös fényeket látunk. Ilyen távolságból a Nap fénye párhuzamos nyaláb.

• Vékonyréteg interferencia : állandó útkülönbséget vékony réteg interferenciával is el lehet érni:

ahol d az olajréteg vastagsága , n és pedig a törésmutató

L

xsin

L

xn

9

Az interferencia erősítésének feltétele az , hogy az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse legyen.

Az egyenletből látszik, hogy a feltétel a rétegvastagságtól és a beesés szögétől is függ.

Ugyanolyan vastag a réteg más szögből más színűnek látszik, mivel más hullámhosszra teljesül az erősítés feltétele. Pl. olajfolt a víz felszínén, gyöngykagylók színe, lepkeszárny

gyöngykagyló Morpho lepke Eozin máz

Színek a természetben: vékonyréteg interferencia látható fénnyel.

Egyenlő vastagság görbék: irizáló színek

Az irizáló színek s természetben mindig interferencia következményei

Egyenlő beesés görbék

Különböző vastagságú rétegeket nézünk azonos irányból: más rétegvastagság-más szín

Példák: Szappanhártya, olajréteg víz felszínén, newton gyűrűk

Olajfolt a tengeren Szappanhártya színei

Természetesen ezeknél a jelenségeknél is igaz az, hogy a rétegvastagságnak összemérhetőnek kell lennie a fény hullámhosszával.

10

Röntgen sugarak elhajlása rácson:

A röntgen sugarak hullámhossz tartománya:

Röntgen diffrakciós szerkezet vizsgálat

Kísérleti elrendezés

Kristályrácsok: rácsparaméter, rácsszerkezet, kristályhibák mérete, eloszlása, nagyobb molekulák esetén: a kötésszögek, kötéstávolságok,

DNS kettős spirál

Watson és Krick, 1958

Intenzitás eloszlás a szög függvényében

Az intenzitás szögeloszlás ismeretében meghatározható:

A vizsgált objektumok karakterisztikus mérete a röntgen sugár hullámhosszával összemérhető kell legyen!

Kvantummechanika: az anyag részecske-hullám kettős természete

Fotoeffektus: A fény, mint részecske. Einstein, Nobel díj

A kilépő elektronok energiája nem a megvilágítás erősségétől,hanem a megvilágításszínétől, vagyis a fémre eső fény frekvenciájától függ.

Ha ugyanolyan frekvenciájú, de erősebb (nagyobb intenzitású) fényt használunk,akkor a fémből kilépő elektronok energiája változatlan marad, csak az elektronok száma nő meg.

A fémek felületéről elektronok léphetnek ki ,ha a fémet megvilágító fényben az energiaadagok, vagyis a fotonok energiája nagyobb vagy egyenlő a kilépési munkánál.

Egy foton energiája:,

2

2

1vmWfh ki

fhE

http://www.google.hu/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=UyweQWDNVK94DM&tbnid=KUJFfRM7DtFw1M:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fwww.behav.org%2Fgene%2Fdna%2Fdns_01_szerk.htm&ei=zJdoU_XPG4bYPZO8gdgB&bvm=bv.66111022,d.d2k&psig=AFQjCNHPJAATlN3KQbFtOyGeFdF8g62uBg&ust=1399449902903335http://www.google.hu/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=UyweQWDNVK94DM&tbnid=KUJFfRM7DtFw1M:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fwww.behav.org%2Fgene%2Fdna%2Fdns_01_szerk.htm&ei=zJdoU_XPG4bYPZO8gdgB&bvm=bv.66111022,d.d2k&psig=AFQjCNHPJAATlN3KQbFtOyGeFdF8g62uBg&ust=1399449902903335

11

De Broglie :A v sebességű elektron hullámhosszának meghatározása:

Anyaghullámok:elektronok elhajlása rácson Jönsson,1961

kg101,9m 31e

Js1062,6h 34

Ce 19106.1

• energia kifejezése a hullámtulajdonságokkal: fhE

• energia kifejezése a részecske tulajdonságokkal: cpmcE 2

cmp impulzus:

• a kettő egyenlővé tételével: cpfh

f

cHullámhossz:

f

c

p

h

Az m tömegű, v sebességgel mozgó elektron de Broglie hullámhossza:

ee vm

h

m tömegű, v sebességű elektron elhajlása rácson:

A hullámhossz az elektron sebességével fordítottan arányos.

Elektronmikroszkópia

Jsh 341062,6

kg101,9m 31e

Az elektronmikroszkópban az elektront sztatikus elektromos tér segítségével megfelelő sebességre kell felgyorsítani:

eU =1

2m𝑣2W=∆𝐸𝑚𝑜𝑧𝑔

100 kV gyorsító feszültség esetén az elektron hullámhossza: ~1nm

𝑣 =2𝑒𝑈

𝑚

𝜆 =ℎ

𝑚𝑒 ∙ 𝑣𝑒=

ℎ

2𝑒 ∙ 𝑈 ∙ 𝑚

A sebesség ismeretében a de Broglie hullámhossz kiszámítása:

Ce 19106.1

• Diffrakciós üzemmódban: : A direkt és az elhajlott nyalábokat is ráengedik az ernyőre:diffrakciós kép:

Elektron diffrakciós képekegykristályon különböző irányból

Rácsparaméter fémek esetén:

nm1,0d

12

• Transzmissziós üzemmódban:az elektronmikroszkóp képernyőjére csak a direkt nyalábot engedik rá, a szórt nyalábot nem: ilyenkor a minta „képét” lehet látni

A fénymikroszkóphoz hasonlóan működik, csak sokkal nagyobb a felbontása.

A fénymikroszkóp és az elektronmikroszkóp leképezésének összehasonlítása