mechanika tekutinmechanika kapalin a plynů je ástí obecné mechaniky, stejně jako mechanika...

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Fakulta strojní

katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení

MECHANIKA TEKUTIN

Jaroslav Janalík – Pavel Šťáva

Ostrava

JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní

2

OBSAH:

1. Úvod .................................................................................................................................................... 4

2. Základní pojmy .................................................................................................................................... 5

2.1. Tekutina ........................................................................................................................................ 5

2.2. Fyzikální vlastnosti tekutin ............................................................................................................ 7

3. Tlakové poměry v kapalině za klidu .................................................................................................. 11

3.1. Tlak a jeho působení................................................................................................................... 11

3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky ..................................................................................................... 12

3.3. Hladinové plochy ......................................................................................................................... 15

3.4. Rozloţení tlaku v kapalině .......................................................................................................... 15

3.5. Pascalův zákon ........................................................................................................................... 17

4. Tlakové síly ........................................................................................................................................ 18

4.1. Vodorovné rovinné plochy .......................................................................................................... 18

4.2. Šikmé rovinné plochy .................................................................................................................. 18

4.3. Tlaková síla na křivé plochy ........................................................................................................ 21

4.4. Síly na tělesa ponořená do kapaliny ........................................................................................... 23

5. Relativní pohyb kapaliny.................................................................................................................... 24

5.1. Pohyb přímočarý, rovnoměrně zrychlený ................................................................................... 24

5.2. Pohyb rovnoměrný, otáčivý ........................................................................................................ 25

5.3. Potenciál intenzity objemových sil .............................................................................................. 28

6. Klasifikace proudění a základní pojmy .............................................................................................. 29

6.1. Základní pojmy ............................................................................................................................ 29

6.2. Rozdělení proudění..................................................................................................................... 30

6.3. Druhy proudění skutečných tekutin ............................................................................................ 31

7. Proudění ideální tekutiny ................................................................................................................... 34

7.1. Rovnice kontinuity – spojitosti ..................................................................................................... 34

7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky ................................................................................................ 38

7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu ................................................................................ 40

7.4. Měření místní rychlosti ................................................................................................................ 44

7.5. Měření střední rychlosti a průtoku (průřezová měřidla) .............................................................. 47

7.6. Stacionární proudění ideální tekutiny potrubím .......................................................................... 48

8. Proudění vazké tekutiny .................................................................................................................... 49

8.1. Navierova-Stokesova rovnice ..................................................................................................... 49

8.2. Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu ............................................................................... 50

9. Laminární proudění ........................................................................................................................... 52

9.1. Laminární prudění v kruhovém potrubí ....................................................................................... 52

9.2. Laminární proudění mezi rovnoběţnými deskami ...................................................................... 54

9.3. Laminární proudění ve válcové mezeře-mezikruţí ..................................................................... 56

9.4. Stékání po svislé stěně ............................................................................................................... 57

10. Turbulentní proudění ....................................................................................................................... 59


3

10.1. Vznik turbulence ....................................................................................................................... 59

10.2. Charakteristiky turbulentního proudění ..................................................................................... 59

10.3. Matematický popis turbulentního proudění ............................................................................... 61

11. Hydraulický výpočet potrubí ............................................................................................................ 65

11.1. Hydraulické odpory (ztráty) ....................................................................................................... 65

11.2. Třecí ztráty v potrubí ................................................................................................................. 66

11.3. Místní odpory (ztráty) ................................................................................................................ 70

11.4. Gravitační potrubí ..................................................................................................................... 78

11.5. Jednoduché potrubí s nádrţí .................................................................................................... 79

11.6. Sloţené potrubí ......................................................................................................................... 80

11.7. Charakteristika potrubí .............................................................................................................. 80

12. Výtok kapaliny z nádob, přepady .................................................................................................... 83

12.1. Výtok malým otvorem ............................................................................................................... 83

12.2. Výtok velkým otvorem v boční stěně ........................................................................................ 84

12.3. Výtok ponořeným otvorem ........................................................................................................ 85

12.4. Výtok při současném přítoku .................................................................................................... 85

12.5. Vyprazdňování nádob ............................................................................................................... 86

12.6. Přepady ..................................................................................................................................... 87

13. Proudění v rotujícím kanále ............................................................................................................. 88

13.1. Bernoulliho rovnice pro rotující kanál........................................................................................ 88

13.2. Odstředivé čerpadlo .................................................................................................................. 89

14. Neustálené proudění ....................................................................................................................... 93

14.1. Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění ........................................................................... 93

14.2. Hydraulický ráz ......................................................................................................................... 94

15. Věta o změně hybnosti ............................................................................................................... 97

16. Obtékání těles ............................................................................................................................... 101

16.1. Mezní vrstva ............................................................................................................................ 101

16.2. Odpor těles Fx ......................................................................................................................... 105

17. Proudění v korytech ....................................................................................................................... 108

17.1. Rovnoměrný průtok................................................................................................................. 108

17.2. Nerovnoměrný průtok ............................................................................................................. 109

18. Fyzikální podobnost a teorie modelování ...................................................................................... 110

18.1. Hydrodynamická podobnost při proudění tekutin ................................................................... 110

18.2. Dimenzionální analýza (-teorém) .......................................................................................... 111

19. Rovinné potenciální proudění ........................................................................................................ 113

19.1. Úvodní poznámky ................................................................................................................... 113

19.2. Základní rovnice ...................................................................................................................... 113

19.3. Vyuţití teorie potenciálového proudění, skládání proudů. ...................................................... 115

20. Přehled pouţitých označení ..................................................................................................... 121

21. LITERATURA ........................................................................................................................... 123


4

1. Úvod

Mechanika kapalin a plynů je částí obecné mechaniky, stejně jako mechanika tuhých těles. Zabývá se rovnováhou sil za klidu a pohybu tekutin. Při vyšetřování tohoto pohybu se pouţívá mnoha poznatků a zákonitostí z mechaniky tuhých těles. Nepřihlíţí se při tom k „mikrostruktuře“ pohybu skutečné tekutiny, tj. k pohybu jejích molekul, který je předmětem kinetické teorie kapalin a plynů. Vlastní mechanika kapalin a plynů vyuţívá některých experimentálních a statistických hodnot výsledků kinetické teorie.

Obdobně jako je v obecné mechanice zaveden pojem hmotného bodu, vystupuje v úlohách hydromechaniky pojem „elementární objem“ nebo plynu rozumíme objem velmi malý proti rozměrům proudu kapaliny, ale dostatečně velký vzhledem k délce volné dráhy molekuly, ţe pro počet molekul obsaţených v tomto objemu platí statistické střední hodnoty kinetické teorie. Pro tento objem se odvozují tzv. bilanční rovnice umoţňující definovat základní zákony tj. zákon zachování hmoty resp. energie. Jestliţe objem je tak malý, ţe není splněn poslední předpoklad, je nutno při řešení jevů probíhajících v těchto „tenkých vrstvách“ vycházet z kinetické teorie kapalin a plynů.

Základním rozdílem mezi tekutinou a tuhým tělesem je pohyblivost molekul kapalin a plynů. Kapaliny a plyny tečou v proudu omezeném pevnými stěnami nebo tvoří rozhraní tekutin. Tuhé těleso naproti tomu se pohybuje jako tuhý celek hmotných bodů, nepřihlíţíme-li k nepatrným deformacím. Kapalina podléhá značně větším volným deformacím.

K určení základních rovnic rovnováhy za klidu a pohybu tekutin jsou postačující dvě vlastnosti, a to spojitost a stejnorodost (izotropie).

Hydromechanika řeší většinu svých úkolů na elementárních objemech tekutiny, pro něţ sestavuje rovnice rovnováhy. Tyto základní diferenciální rovnice integruje a pouţitím okrajových, případně počátečních, podmínek získává řešení. K určení rovnováhy pouţívá všeobecně platných vět z mechaniky.

Získaný matematický model se pak řeší buď exaktně či hlavně v posledních letech numericky. Pokud exaktní řešení bylo z hlediska sloţitosti rovnic nedostupné a téţ z potřeby verifikace numerického řešení se přistupuje k experimentu ze kterého vyplývá empirické či poloempirické řešení.

Recenzent: Prof.Ing. Jaroslav Kopáček, CSc.


5

2. Základní pojmy

2.1. Tekutina

Při řešení úloh v hydromechanice se vychází z představy tekutiny jako spojitého, stejnorodého prostředí. Stejnorodostí neboli izotropií rozumíme stejné vlastnosti všech částeček kapaliny nezávislé na jejich poloze a směru působení sil. Tento předpoklad umoţňuje výhodně řešit úlohy mechaniky kapalin na zvoleném ,velmi malém objemu kapaliny, a odvozené zákonitosti rozšířit na celý objem.

Při pohybu kapaliny vnímáme jen její střední pohyby. Ve skutečnosti její pohyb je sloţitější a porušuje tím izotropii tekutiny, která se však neustálými změnami molekulární struktury znovu obnovuje.

V hydromechanice je zaveden pojem ideální neboli dokonalé tekutiny, která nemá vnitřní tření (bez vazkosti) a je nestlačitelná. Tento pojem, ač nevystihuje skutečnost, si vytvořil člověk, neboť dovoluje odvodit jednodušeji některé zákonitosti. Dokonalá tekutina můţe být namáhána jen tlakem, zatím co vazká (skutečná) tekutina můţe být vedle toho namáhána jistou smykovou silou (za pohybu).

Tekutina je látka, která se na rozdíl od tuhých těles vţdy nevratně deformuje. Nemá vlastní tvar a za působení nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimkou jsou některé anomální – nenewtonské kapaliny).

Tekutiny se dělí na

1. nestlačitelné, které působením tlaku, normálných sil, jen nepatrně mění svůj objem – sem patří kapaliny. Malé objemy kapalin tvoří kapky. Kapaliny zaujímají tvar nádoby, vyplňují její spodní část a vytvářejí volnou hladinu

2. stlačitelné tedy i rozpínavé, které vyplňují vţdy celý objem nádoby. Podle toho zda jejich stav je blízko či daleko bodu zkapalnění jsou to buď páry nebo plyny. Společný název je vzdušiny.

Stav tekutiny nacházející se v rovnováze můţe být určen tlakem, hustotou a teplotou.

a) Měrný tlak p (v praxi zpravidla označován jen tlak) je roven poměru elementární tlakové

síly Fd působící kolmo na elementární plošku Sd (viz obr.2.1):

][Pad

dp

S

F

Obr.2.1 Určení lokální hodnoty tlaku

Menší hodnoty tlaků lze měřit pomocí sloupce kapaliny piezometrickou trubicí (obr.2.2)

Obr. 2a Měření tlaku piezometrickou trubicí, je-li v nádobě tlak větší neţ je tlak barometrický

Obr. 2b Schéma měření barometrického tlaku pb rtuťovým barometrem, pnp je tlak nasycených par

Obr. 2c Absolutní tlak par pa, přetlak a podtlak se odečítají od barometrického tlaku.

Je-li nad hladinou kapaliny v uzavřené nádobě tlak pa větší neţ barometrický tlak pb, který působí na hladinu kapaliny v otevřeném konci piezometrické trubice, pak hladina v trubici se ustálí ve výšce h. Působí-li na kapalinu jen gravitační zrychlení, vytvoří se vodorovná hladina, coţ je současně geometrické místo bodů se stejným tlakem rovným


6

barometrickému tlaku. Všechny vodorovné roviny budou také izobarické plochy, ale protoţe na částice níţe poloţené bude působit svou tíhou částice kapaliny nadcházející se nad nimi, bude tlak s hloubkou narůstat. Na vodorovné rovině procházející hladinou v nádobě, obr.2.2a, je všude tlak roven pa současně je tento tlak i v piezometrické trubici v hloubce h pod hladinou, tj. v místech, kde zmíněná vodorovná rovina protíná. Zde je moţno definovat podmínky rovnováhy. Uvolněme si nyní tento sloupec kapaliny.

Obr.2.2 Měření tlaku

Z rovnováhy sil působících na sloupec kapaliny o výšce h a o průřezu S nacházející se v trubici:

SphSgSp ab

plyne, ţe absolutní tlak

hgpp ba ( 2.1 )

resp. přetlak

hgppp ba ( 2.2 )

Absolutní tlak se odečítá od nulové hodnoty tlaku, přetlak a podtlak se odečítají od barometrického tlaku (obr.2.2c). Na obr.2.2b je naznačeno měření barometrického tlaku rtuťovým barometrem: vzduch působí na hladinu rtuti v nádobce manometru tlakem a vytlačí do vakuované trubice rtuťový sloupec do výše h. Nad hladinou rtuti v trubici je tlak roven jejímu tlaku nasycených par.

b) Hustota (měrná hmotnost) je rovna poměru hmotnosti elementární částice tekutiny dm k jejímu elementárnímu objemu dV, obklopujícímu bod, v němţ hustotu určujeme

dV

dm [kg.m-3]

( 2.3 )

Převratná hodnota hustoty je měrný objem v

dm

dVv

1 [m3.kg-1]

Hustota kapalin se mění s tlakem a teplotou jen nepatrně a budeme ji povaţovat za konstantní:

= konst.

Hustota plynů je funkcí stavových veličin tj. tlaku p a teploty T ( K). Pro její výpočet se bude pouţívat jednoduchá stavová rovnice ideálního plynu

Trp

pv

( 2.4 )

kde r (J.kg-1.K-1) je měrná plynová konstanta, jejíţ velikost závisí na druhu plynu.

c) Teplota T (C, K). V našem případě se proudění bude povaţovat vţdy za izotermní T=konst. Údaj teploty bude slouţit jen pro přesné určení parametrů tekutiny jako je hustota a viskozita.


7

2.2. Fyzikální vlastnosti tekutin

Kvantitativní vztahy v hydromechanice se vyjadřují rovnicemi, grafy, diagramy apod. Veličiny a jejich měrové jednotky jsou určeny Mezinárodní měrovou soustavou SI (Systéme International d’Unités), kterou uvádí ČSN 01 1300, ČSN 01 1301 a další. Základními veličinami jsou délka, hmotnost, čas, elektrický proud, termodynamická teplota, látkové mnoţství, svítivost a doplňkové veličiny rovinný úhel a prostorový úhel. Základními jednotkami jsou (ČSN 01 1300) metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kandela a doplňkové jednotky radián a steradián. V mechanice, a tím i hydromechanice, se vystačí při formulaci poznatků s těmito základními veličinami: délka L [m], hmotnost m [kg], čas t [s]. Ostatní veličiny jsou odvozené veličiny na základě definičních rovnic (ČSN 01 1310). Základní a odvozené veličiny zaloţené na soustavě definičních rovnic tvoří soustavu veličin.

Veličiny, které určují fyzikální vlastnosti kapalin a s nimiţ se v hydromechanice nejčastěji počítá jsou tyto:

Objemová stlačitelnost je vlastnost tekutin a těles zmenšovat svůj objem při zvyšování tlaku. Stlačitelnost se vyjadřuje součinitelem stlačitelnosti , kdy úbytek objemu vyvolaný stlačením splňuje rovnici

pV

V

1

kde V je úbytek objemu V způsobený tlakem p.

Převrácená hodnota objemové stlačitelnosti je modul objemové pruţnosti kapaliny

dV

dpVK

1

( 2.5 )

Z předcházejících rovnic vyplývá vztah pro objem kapaliny po stlačení

K

pVV 10

( 2.6 )

Při stlačování kapaliny se její hmotnost nemění, proto lze psát m = V = konst.

Diferencováním se dostane .dV + V.d = 0, z čehoţ pro měrnou objemovou změnu vyplývá

vztah

d

V

dV . Modul objemové pruţnosti kapaliny lze tedy vyjádřit takto

d

dpK

Rozměr modulu objemové pruţnosti kapalin připomíná modul pruţnosti v tahu tuhých látek, tj. tlak, který za předpokladu, ţe stlačitelnost je konstantní, nezávisí na tlaku a platí neomezeně, zmenší původní objem kapaliny na polovinu (analogie Hookeova zákona). Pro

vodu je modul objemové pruţnosti K 2,1109 Pa

Stlačitelnost lze rovněţ charakterizovat rychlostí zvuku a, to je z rychlostí, kterou se ve stlačitelném prostředí šíří malé změny tlaku. Za předpokladu izoentropické (adiabatické) stavové změny pro rychlost zvuku platí

rTp

d

dpKa

( 2.7 )

kde je izotermický exponent , pro dvouatomovovou molekulu plynu = 1,4

Teplotní roztaţnost tekutin charakterizuje změnu objemu a hustoty tekutin. Součinitel objemové roztaţnosti je

konstpt

V

V

1 , kde V je Vo-V

( 2.8 )

Z této rovnice vyplývá vztah pro objem po zahřátí

tVV 10 ( 2.9 )


8

Viskozita tekutin se projevuje za pohybu skutečných kapalin. Pohybují-li se sousední vrstvy kapaliny různými rychlostmi, vzniká na jejich rozhraní smykové tření, které brání pohybu. Pomalejší vrstva je zrychlována a naopak zase rychlejší zbrţďována. Zmenšení rychlosti je způsobeno tečnou silou, která je vyvolána vnitřním třením nebo viskozitou či vazkostí kapaliny.

Poznámka: vazkost lze vysvětlit pomocí kinetické teorie kapalin. Molekuly, kterou se pohybují postupnou rychlostí, konají vedle hlavního pohybu vlastní pohyby velmi rychlé a v různých směrech. Dráhy, které proběhnou molekuly sekundárním pohybem jsou velmi malé, ale postačují k tomu, aby pronikly myšlenou dělící rovinou mezi vrstvami kapaliny. Další síly, které se při těchto pohybech uplatňují jsou mezimolekulární. Tyto síly brzdí popsaný pohyb.

U plynů, jejichţ tepelný pohyb molekul převládá nad silami mezimolekulárními, vzrůstá zvýšením teploty rychlost tepelného pohybu molekul a tím vzroste i viskozita plynu. Tento poznatek je ve shodě se skutečností.

U kapalin je tomu obráceně. U nich jsou ještě dosti výrazné mezimolekulární síly proti tepelnému pohybu molekul. Zvýšením teploty dochází k intenzivnější výměně hybností částic v pohybujících se vrstvách kapalin a tečné napětí se zmenšuje. U kapalin klesá vazkost s rostoucí teplotou.

Smykové napětí (tečné) od vazkosti nebo zkráceně vazké napětí je určeno klasickou formulí podle Newtona

dy

dv

( 2.10 )

kde je dynamická vazkost

dy

dvje gradient rychlosti ve směru kolmém na směr pohybu

V soustavě SI je rozměr koeficientu dynamické vazkosti

sPasm

kg

m

sN

2

( 2.11 )

Obr.2.3 Smykové napětí od gradientu rychlosti

Ve výpočtech se velmi často vyskytuje výraz

, který je označován jako kinematická

viskozita.

( 2.12 )


9

Rozměr kinematické viskozity vyplývá z definice

123

smkg

m

sm

kg ( 2.13 )

Rozměr kinematické viskozity neobsahuje jednotky hmotnosti ani síly.

Rozměr dynamické vazkosti obsahuje jednotku síly, proto byla tato vazkost označena jako dynamická, neboť v dynamice se vyšetřují příčiny pohybu, tj. síly.

Dynamická a kinematická vazkost závisí na druhu tekutiny. Jejich hodnoty jsou pro většinu tekutin tabelovány. Vazkost kaţdé tekutiny závisí na teplotě a tlaku, tedy na stavových veličinách. Tyto závislosti jsou dány poloempirickými rovnicemi, tyto jsou uváděny v odborné literatuře. Vazkost kapalin se měří viskozimetry, z nichţ nejběţnější jsou kapilární, výtokové,průtokové, rotační, tělískové a jiné.

Jako výtokový viskozimetr se v Evropě nejčastěji pouţívá viskozimetr Englerův.

Měřítkem vazkosti jsou Englerovy stupně E se určí jako poměr výtoku zkoumané kapaliny o

objemu 200 cm3 při určité teplotě t k výtokové době v vody při 20 C z téhoţ viskozimetru –

neboli v

E

. Výtoková doba musí být v rozmezí (50 aţ 52)s, velikost a tvar Englerova

viskozimetru jsou dány normou. Pro přepočet Englerových stupňů slouţí empirické vzorce, např.

61031.6

31.7

EE ;

s

m2

( 2.14 )

Obr. 2.4 Síly uvnitř kapaliny a poblíţ rozhraní

Povrchové napětí. Kapalina na rozhraní se vyznačuje odlišnými vlastnostmi, příznačnými pro ostatní objem kapaliny. Rozhraní kapaliny se jeví jako potaţené velmi tenkou a napjatou vrstvou. Příčinou povrchového napětí jsou síly působící mezi molekulami kapaliny. Uvnitř kapaliny je kaţdá molekula obklopena ostatními ze všech stran, takţe se jejich přitaţlivé síly vyrovnávají. U rozhraní jsou molekuly obklopeny jen z jedné strany, jejich síly se nevyrovnávají z druhé strany, a proto na molekulu působí síla R směřující dovnitř kapaliny. Poněvadţ působení jednotlivých molekul je omezeno na velmi malou oblast, projevuje se tato nerovnováha mezimolekulárních sil jen v nepatrné vrstvě kapaliny na hladině. Při přemístění částečky kapaliny na rozhraní, se vykoná silou R práce. Molekuly na rozhraní mají vyšší potenciální energie proti molekulám uvnitř kapaliny. Povrchové napětí je poměr

povrchové energie k ploše rozhraní S

Ea . Povrchové napětí se definuje téţ jako síla,

která působí na jednotku délky rozhraní , a to kolmo k této délce, a v rovině povrchu.

Síla, kterou je např. mydlinková blána roztahována v rámečku s posuvnými tyčkami

AB a CD (kaţdá délky l), je dána výrazem lF , neboť délka namáhaného povrchu je l a

povrchové napětí je . Zvětší-li se povrch blány roztaţením o délku dx, vykoná se práce dA

= F dx = l dx. Touto prací se zvětší povrchová energie kapaliny. Na jednotku délky rozhraní připadá tedy síla


10

dxl

ldx

dxl

dA

l

F [N.m-1] ( 2.15 )

Obr. 2.5 K definici povrchového napětí

Povrchové napětí určité kapaliny závisí na druhu látek, které tvoří rozhraní. Kapalina se můţe stýkat s pevnou látkou, kapalinou nebo plynem. Vznik povrchového napětí byl vysvětlen nerovnováhou molekulárních sil za předpokladu, ţe kapalina s ničím nesousedí. Ve skutečnosti je vţdy obklopena jinou látkou, ať pevnou, kapalnou, či plynnou, a proto mezimolekulární síly od vlastní kapaliny se budou vyrovnávat s kvalitativně stejnými silami sousedního prostředí. Výsledné povrchové napětí bude dáno vektorovým součtem obou sloţek.

Kapilarita se vyskytuje u trubiček velmi malého průměru – kapilár, nebo v porézním prostředí. Kdyţ adhezní síly jsou větší neţ kohezní, vystupuje kapalina v kapiláře do výšky h. V opačném případě, kdy kohezní síly jsou větší neţ adhezní, zůstává kapalina v kapiláře o výšku h níţe neţ je hladina okolní kapaliny. Příslušné výšky h se dají spočítat z podmínky rovnováhy mezi gravitačními silami a povrchovými silami:

ghdd

2

4 z čehoţ gd

h

4

( 2.16 )

Obr. 2.6 Kapilární elevace a deprese

Poslední vztah se dá pouţít téţ k určení povrchového napětí .Povrchové napětí vody je = 0,072 Nm-1 = 0,072 kg s-2.

Tlak nasycených par je hodnota tlaku par nad hladinou kapaliny, přičemţ nastává rovnováha mezi počtem molekul opouštějících kapalinu a vracejících se zpět. U jednosloţkových kapalin závisí pouze na teplotě a roste s teplotou. Čím je tlak nasycených par kapaliny při dané teplotě vyšší, tím je kapalina těkavější. Tlak nad hladinou kapaliny musí být vyšší, neţ je tlak nasycených par, jinak by mohlo dojít k prudkému odpaření (varu). Klesne-li tlak uvnitř kapaliny pod hodnotu tlaku nasycených par, dochází ke vzniku kavitace. Tlak nasycených par pro vodu se dá odečíst z parných tabulek.


11

3. Tlakové poměry v kapalině za klidu

3.1. Tlak a jeho působení

Hydrostatika se zabývá rovnováhou sil působících na kapalinu za klidu. Rovnováha kapaliny za klidu nastane tehdy, kdyţ její částice se vůči sobě nepohybují, to znamená, ţe tvar objemu kapaliny se nemění. V tom případě je u skutečné kapaliny smykové napětí od vazkosti nulové a všechny rovnice platí i pro skutečnou kapalinu. Do hydrostatiky patří i případy relativního klidu, kdy kapalina vůči stěnám je v klidu, ale celá soustava (nádrţ + kapalina) konají pohyb. Síly, které mohou působit na kapalinu lze rozdělit obecně do dvou skupin, a to síly plošné a hmotnostní (neboli objemové).

Plošné síly (téţ povrchové) působí na povrch uvaţovaného objemu kapaliny, proto jejich velikost závisí na velikosti plochy Fp =p. S. Plošné síly jsou např. tlak kapaliny, tření od vazkosti pohybující se kapaliny, apod. Hmotnostní síly jsou úměrný hmotnosti, (která je

úměrná objemu kapaliny), Fm =a. m=a V. Jsou to např. tíha kapaliny, setrvačná síla, odstředivá síla apod.

Tlak kapaliny je tlaková síla, působící na jednotku plochy. Je-li tlak rovnoměrně rozloţen, je dán poměrem

S

Fp

Při nerovnoměrném rozloţení tlaku je dán obecně

dS

dFp .

Tlak působí vţdy kolmo na plochu a v určitém místě je ve všech směrech stejný, nezávisí tedy na sklonu plošky, na kterou působí. Toto tvrzení si nyní dokáţeme. Kdyby působila na plošku síla dF nikoliv ve směru normály, dala by se rozloţit na sloţku normálnou a tečnou. Tečná sloţka tlaku by si vynutila pohyb částeček kapaliny, které nekladou vzájemnému posunutí odpor. Protoţe tekutina je v klidu, musí tlak působit kolmo na plochu.

Obr.3.1 Působení tlakových sil na stěnu nádoby

Z toho plyne, ţe na tekutinu nacházející se ve stavu rovnováţném mohou působit jen síly normálné, resp. napětí. V technické praxi se bude jednat vţdy o tlak, neboť jen dokonale čisté a odvzdušněné kapaliny mohou odolávat tahu. Pevnost v tahu speciálně neupravených kapalin je přibliţně rovna nule a ve výpočtech předpokládáme, ţe k porušení kontinuity kapaliny dojde v místech, kde tlak klesne pod hodnotu tlaku nasycených par a dojde zde k varu – změně fáze.

Velikost tlaku v určitém místě uvnitř kapaliny, tj. hydrostatický tlak ph, nezávisí na směru a je tedy skalární veličinou.

Při odvozování tohoto tvrzení se předpokládá, ţe tlak na stěnách čtyřstěnu ( obr. 3.2) je různý (px , py , pz). Na šikmou stěnu působí tlak p a tudíţ tlaková síla dF = p dS. Tento tlak


12

působí ve směru normály plochy dS , jeţ svírá s osami x, y, z úhly , , . Poněvadţ tekutina je v klidu, musí být splněny statické podmínky rovnováhy sil:

;0;0;0 zyx FFF 0;0;0 zyx MMM

Poněvadţ tlaky na plochu čtyřstěnu jsou konstantní, působí výsledné tlakové síly v těţištích trojúhelníků. Plochy trojúhelníků dSx , dSy a dSz jsou průměty plochy dS , coţ platí i o jejích těţištích. Také výsledné tlakové síly se protínají v jednom bodě a momentové podmínky rovnováhy jsou splněny. Stačí tedy uvaţovat jen zbývající podmínky rovnováhy sil. Ve směru

osy x působí tlaková síla dFx a sloţka tlakové síly dF do směru osy x, tj. dF cos . Ostatní síly jsou kolmé na osu x , a proto jejich sloţky jsou nulové.

První podmínka statické rovnováhy sil je dána v našem případě rovnicí

0cos dFdFx ( 3.1)

Obr.3.2 K odvození zákona o šíření tlaku

Po dosazení dříve uvedených výrazů dostaneme

0cos dSpdSp xx

O plochách dS a dSx bylo uvedeno, ţe dSx je průmětem plochy dS , pro který platí

dSx = dS cos . Podmínka rovnováhy sil se upraví pomocí poslední rovnice a dostane se pro směr osy

xpp ( 3.2 )

Podobně druhé dvě podmínky rovnováhy sil jsou dány rovnicemi

cos;cos;0cos dSdSdSpdSpdFdF yyyy čili ypp

cos;cos;0cos dSdSdSpdSpdFdF zzzz čili zpp

Vyplývá tedy z podmínek statické rovnováhy sil rovnost tlaků na plochách čtyřstěnu

zyx pppp ( 3.3 )

Šikmá plocha dS byla zvolena libovolně. Výsledek lze zevšeobecnit: Tlak působí v daném místě kapaliny všemi směry stejně a nezávisí na sklonu plochy, tzn., ţe tlak je skalární veličina. Tento zákon platí obecně. Je třeba poznamenati, ţe v jiném místě kapaliny bude hodnota tlaku obecně jiná, matematicky vyjádřenop = p(x, y, z)

3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky

Obecným úkolem hydrostatiky je určení tlaku v libovolném místě tekutiny, která je v rovnováze, tj. stanovení skalárního pole p = p(x, y, z). Úkol rozloţíme do etap. Pomocí Eulerovy rovnice hydrostatiky určíme přírůstek tlaku v nekonečně blízkém bodě a integrací těchto rovnic podél křivkového integrálu stanovíme pak konečný rozdíl tlaku mezi počátečním a konečným bodem křivky.


13

Obr.3.3 K odvození Eulerovy rovnice hydrostatiky

Eulerova rovnice hydrostatiky je obecná podmínka rovnováhy sil působících na kapalinu v klidu. Na kapalinu nechť působí obecně hmotnostní síla Fo a výslednice tlakových sil Fp.

Rovnováha sil je vyjádřena rovnicí 0 pFF . Na jednotku hmotnosti kapaliny působí

z vnějšku síla aF

m

o , coţ je zrychlení, které se dá rozepsat pomocí sloţek

zyx kajaia a . Zvolí se elementární objem kapaliny ve tvaru hranolku o stranách dx, dy

a dz rovnoběţných se zvolenými osami x, y, z. Tlakové síly způsobené Fo působí na povrchu hranolku, a to ve třech kolmých směrech. Protoţe plošky jsou nekonečně malé, je moţné povaţovat tlak za konstantní. Na plošku dydz působí tlaková síla ve směru osy x, a proto je označena dFx. Podobně v ostatních směrech působí tlakové sílu dFy na plošku dxdy a tlaková síla dFz na plošku dxdz. Podmínka rovnováhy vyplývá opět z obecných podmínek statické rovnováhy sil. Protoţe všechny síly působící na hranolek procházejí jedním bodem (těţištěm hranolku), jsou splněny momentové podmínky. Ve směru osy x působí na zvolený hranolek plošné síly dFx1 a dFx2 na dvě plošky dydz, jejíchţ normály jsou rovnoběţné s osou x. Tlaková síla na levou plošku dSx1 je určena velikostí plošky dSx1 a tlakem p, čili platí vztah dFx1 = p dy dz. Na pravou plošku dydz, která je vzdálena od levé plošky o délku dx, působí tlak p + dpx, neboť obecně je tlak kapaliny funkcí polohy p = p(x, y, z), a tlaková síla je určena vztahem dFx2 = (p + dpx) dy dz. Tlak dFx2 působí opačným smyslem neţ je kladný smysl osy x, proto výslednice uvedených tlaků je dFpx = dFx1 – dFx2. Ostatní plošné síly mají směr kolmý na osu x, proto jejich sloţky jsou nulové a vypočítaná síla dFpx je výslednicí všech vodorovných sloţek tlakových sil. Kromě plošných sil (tlakových) působí na zvolený hranolek kapaliny hmotnostní síla. Její sloţka ve směru osy x bude dána vztahem dFox = dm ax, kde dm je hmotnost hranolku kapaliny a ax je sloţka zrychlení (hmotnostní síla na jednotku hmoty) ve směru osy x. Hmotnost dm se dá vyjádřit pomocí objemu hranolku dm =

dV = dx dy dz, takţe objemová síla dFox = ax dx dy dz. Pro rovnováhu sil ve směru osy x musí tedy platit

0 oxpx dFdF , 021 oxxx dFdFdF

0 dzdydxadzdydppdzdyp xx

( 3.4 )


14

a po úpravě

0 xx dpdxa ( 3.5 )

Protoţe tlak kapaliny je obecně funkcí polohy, platí p = p(x, y, z) a přírůstek tlaku je

dzz

pdy

y

pdx

x

pdp

( 3.6 )

Kaţdý člen pravé strany poslední rovnice udává změnu tlaku při diferenciální změně příslušných souřadnic. Jejich fyzikální význam je tedy přírůstek tlaku při posunutí ve směru

například osy x, takţe dxx

pdpx

. Podobně v ostatních směrech platí dy

y

pdpy

a

dzz

pdpz

. Pomocí posledních vztahů se upraví odvozená rovnice rovnováhy sil

dosazením za dpx takto:

0

dx

x

pdxax

01

x

pax

( 3.7 )

coţ je hledaná obecná podmínka rovnováhy sil ve směru osy x.

Pro sloţky ve směru os y a z lze psát zcela analogicky rovnice

01

y

pay

( 3.8 )

01

z

paz

( 3.9 )

Poslední tři rovnice vyjadřující podmínky rovnováhy kapalin za klidu jsou Eulerovy rovnice hydrostatiky.

Jestliţe poslední rovnice napíšeme vektorově a sečteme, dostaneme jednu rovnici

01

gradp

a ( 3.10 )

kde a je výsledné zrychlení vnějšího silového pole

zyx aaa kjia ( 3.11 )

a gradient tlaku určený vztahem

z

p

y

p

x

pgradp

kji ( 3.12 )

Eulerova rovnice hydrostatiky je základní rovnicí k určení tlaků v poli tlakových sil. Z Eulerovy rovnice vyplývá, ţe tlak v kapalině závisí na hmotnostních silách. Obecně lze psáti pro změnu tlaku dříve uvedenou rovnici

dzz

pdy

y

pdx

x

pdp

Poněvadţ gradienty tlaku ve všech směrech se dají vyjádřit hmotnostními silami

z Eulerových rovnic xax

p

, ya

y

p

, za

z

p

, je hledaná obecná diferenciální rovnice

pro tlak dána vztahem

dzadyadxadp zyx ( 3.13 )

Toto je obecná diferenciální rovnice tlakové funkce p(x, y, z).


15

Členy v závorce jsou součiny hmotnostních sil a příslušných posunutí ve stejném směru, takţe jejich fyzikální význam je práce připadající na jednotku hmotnosti. Integrací poslední diferenciální rovnice se určí tlakové funkce

zyxpdzadyadxap zyx ,, ( 3.14 )

3.3. Hladinové plochy

Hladinové plochy jsou místa s konstantní hodnotou skalární veličiny, popřípadě s tlakem p = konst.. Přírůstek tlaku mezi dvěma body leţícími na stejné hladině musí být roven nule, coţ platí i pro soumezné body, dp = 0. Dosazením do (rov.3.13) dostaneme obecnou rovnici hladinových ploch v diferenciálním tvaru

0 dzadyadxa zyx ( 3.15 )

Hladinové plochy jsou vţdy kolmé k vektoru intenzity hmotnostních sil a . Platí zde

dp=0. Dosazením do (3.13) dp = 0 = a cos dr plyne, ţe cos = 0, a tedy =2

,S a dr

jsou od nuly rozdílné. Tím je dokázáno, ţe tlakové plochy jsou kolmé na výsledné zrychlení, tedy na výslednou hmotnostní sílu.

Ve směru vektoru a , který je shodný se směrem normály k hladinové roste tlak nejrychleji,

neboť

Obr.3.4 Řez soumeznými hladinovými plochami

bdr

dp

dn

dp .

( 3.16 )

Hladinové plochy mají v úlohách hydrostatiky velký význam, především však hladinová plocha rozhraní mezi okolním ovzduším a kapalinou.

3.4. Rozložení tlaku v kapalině

Na kapalinu v nádobě působí z hmotnostních sil jen tíţe zemská. V libovolném místě kapaliny bude tlak p(x, y, z) určen diferenciální rovnicí (3.13) odvozenou v předchozích odstavcích

dzadyadxadp zyx .

Za působení jen tíţe zemské je ay = -g , ax = az = 0. Zrychlení tíţe zemské je nutno dosadit se záporným znaménkem, poněvadţ tíţe působí opačným smyslem neţ je zvolený smysl osy y. Diferenciální rovnice se tedy zjednoduší

gdydp

a integrál je

.konstgyp ( 3.17 )

Integrační konstanta se určí z okrajové podmínky. Na rozhraní kapaliny je tlak ovzduší.

Pro tuto hladinu platí y = h0 , p = p0. Dosazením do poslední rovnice se vypočte integrační konstanta:


16

konstghp 00

z čehoţ

00 ghpkonst

a hledaná závislost tlaku je

yhgpghpgyp 0000

a dosazením h = y0 – y se dostane

ghpp 0 ( 3.18 )

kde h je svislá vzdálenost uvaţovaného místa v kapalině od hladiny tlaku ovzduší. Jestliţe uvaţovaný bod leţí pod hladinou, je h > 0 (kladné); kdyţ je bod výše neţ hladina tlaku ovzduší je h < 0 (záporné). Uvedený vztah platí pro kapaliny, na něţ působí tíţe zemská, a to nestlačitelné, neboť při integraci byla měrná hmotnost povaţována za konstantu.

Tlakové hladiny v kapalině za působení tíţe zemské jsou vodorovné roviny. Při odvození rovnic tlakových hladin se předpokládá, ţe nádoba s tekutinou není rozlehlá tak, aby bylo nutné přihlíţet k zakřivení povrchu zemského. Pro nádoby s malými plochami vzhledem k zemskému povrchu se tedy předpokládá, ţe gravitace působí svisle dolů, a to ve všech místech nádoby. Za tohoto předpokladu je rovnice tlakových hladin

Odyg , ( 3.19 )

coţ vyplývá z obecné diferenciální rovnice pro tlakové hladiny po dosazení hmotnostních sil uvaţovaného případu ay = -g , ax = az = 0. Integrací se dostane rovnice tlakových hladin gy = konst, coţ jsou rovnice vodorovných ploch: y = konst.

Tlak se dá vyjádřit absolutní nebo relativní hodnotou. Absolutní tlak je vztaţen k absolutní nule, tj. k vakuu, zatímco relativní tlak je vztaţen od smluvené hodnoty tlaku, kterým je tlak ovzduší. Platí tedy

ra ppp 0 ,

kde pa je absolutní tlak, pr je relativní tlak, p0 je tlak ovzduší.

Porovnáním s odvozeným výrazem p = p0 + gh, vyplývá, ţe je to absolutní tlak.

Relativní tlak vyvolaný účinkem sloupce kapaliny je dán výrazem p = gh. K označení absolutní a relativní hodnoty tlaku se nepouţívá indexů a a r, avšak je třeba údaj doplnit, o který tlak jde. Např. p = 8. 105 Pa abs.; p = 7,1. 104 Pa př. Poněvadţ tlak kapaliny závisí na

výšce sloupce kapaliny a její hustotě: hgp ..

Obr.3.5 Kapalina při působení síly tíţe zemské


17

lze tlak vyjádřit výškou kapalinového sloupce, tj. stanovit tlakovou výšku.g

ph

3.5. Pascalův zákon

Beztíţný stav je charakterizován hodnotou 0a . Z rovnice ( 3.13 ) dp = 0 a po

integraci p = konst. tj. tlak uvnitř kapaliny je všude stejný. U kapalin – kapiček – to neplatí přesně, neboť se uplatní povrchové napětí.

Zvýšíme–li v určitém místě tlak, třeba na rozhraní kapaliny s jinou fází zvýší se i v celém objemu kapaliny, coţ je obsahem Pascalova zákona: tlak v kapalině se šíří rovnoměrně všemi směry. Toho se vyuţívá např. u hydraulických zvedáků a lisů. Působíme-li na malý píst silou F1, vyvoláme na velkém pístu sílu F2 > F1. Tlak v celém objevu kapalin je

konstantní. obecně však zyxpp ,,

2

2

1

2

1

2

2

1

121

1

1 .

d

d

F

F

S

F

S

FFSpp

S

Fv

Obr.3.6 Princip hydraulického lisu.


18

4. Tlakové síly

4.1. Vodorovné rovinné plochy

Tlak v kaţdém bodě vodorovného dna nádoby je stejný p = g h. Je tedy rovnoměrně

rozloţen po celé ploše a výsledná tlaková síla je rovna F = p S = g h S. Tlaková síla působí kolmo na plochu.

Obr.4.1 Síla na dno vodorovné nádoby

Součin h S v poslední rovnici představuje objem kapaliny vyznačený v obrázku šrafovaně,

protoţe Sh . Lze tedy psát téţ rovnici F = g V = Fg. Výraz g V představuje tíhu objemu

V naplněného

kapalinou o měrné hmotnosti . Zatěţuje tedy tíhová síla Fg = g V plochu S. Těleso o objemu V představuje tedy zatěţovací obrazec, který je omezen těmito plochami:

1) plochou S, na níţ počítáme tlakovou sílu F

2) tlakovou hladinou tlaku ovzduší p0= konst

3) pláštěm (válce nebo hranolu) vzniklým opsáním přímky rovnoběţné s výslednicí tlaku F okolo obrysu plochy S.

Jestliţe nádoba má boční stěny jiné neţ svislé, je výsledná tlaková síla na dno dána stejným výrazem,

neboť svislá vzdálenost h plochy od hladiny je konstantní, a tudíţ tlak na dně je

p = gh konst. Podobně objem zatěţovacího obrazce uvedené definice bude ve všech případech stejný, takţe výsledná tlaková síla je rovněţ stejná. Nezávisí na tvaru bočních stěn nádoby, coţ je hydrostatické paradoxon.

4.2. Šikmé rovinné plochy

Na rozdíl od vodorovných ploch je na šikmé rovinné stěně nádoby tlak proměný. Výslednice tlakových sil se určí integrací elementární tlakové síly na plošce dS . Na zvolenou

plošku dS působí tlaková síla dF = g h dS . Výslednice je pak dána integrálem

dShgFS

( 4.1 )

Obr.4.2 Hydrostatické paradoxon a zatěţovací obrazec


19

Obr.4.3 Síla na šikmou rovinnou plochu

Pro úsečky h a x platí na celé ploše S vztah sinx

h a po dosazení do rovnice pro

tlakovou sílu je

y

S

MgdSxgF sinsin ,

neboť S

y dSxM je statický moment plochy S k ose y.

Osa y je určena průsečnicí hladiny p0 = konst a boční stěny nádoby. Statický moment plochy S k ose y je tedy určen vztahem My = S xt takţe výraz pro tlakovou sílu se upraví

F = g sin S xt ;

neboť xt sin = ht , výsledná tlaková síla na šikmou rovinnou plochu dána vztahem

SpSghF tt ( 4.2 )

Obr.4.4 Definice zatěţovacího obrazce

V poslední rovnici je ht svislá vzdálenost těţiště plochy S od tlakové hladiny tlaku ovzduší ; podobně pt je tlak v těţišti plochy. Tlak pt představuje střední hodnotu tlaku na ploše S. Směr výslednice tlakové síly F je kolmý na plochu S, to znamená, ţe je totoţný se směrem normály k ploše S. Působiště tlakové síly na šikmou plochu je vyšetřováno později. Dříve se odvodí výraz pro tlakovou sílu na rovinnou šikmou plochu pomocí objemu

zatěţovacího obrazce. Tlaková síla na element šikmé roviny je dF = g h dS, jak bylo uvedeno dříve. Aby součin h dS představoval elementární objem dV, musí být h kolmé na


20

dS. Sklopením výšky h do směru normály plochy S se dostane hranolek o základně dS a výšce h, jehoţ objem je dV. Součet všech objemových elementů nad celou plochou S určuje

objem V, neboť gVdVgdShgF Sklopené výšky h určují sklopenou hladinu

(p0), která je rovinná. K jejímu určení stačí sklopit výšku h v libovolném bodě pod hladinou do směru normály k ploše. Spojnice tohoto bodu s průsečíkem hladiny a šikmé roviny určuje sklopenou hladinu x. Plášť zatěţovacího objemu tělesa. V je vytvořen přímkami rovnoběţnými s normálou k ploše S, jenţ opíší obrys plochy S.

Pro tlakovou sílu na šikmou rovinnou plochu je tedy moţno psát F = gV .

Objem zatěţovacího obrazce V se vypočte jako objem skoseného válce nebo hranolu a je určen těmito plochami:

1) plochou S

2) hladinovou plochou (p0 = konst) sklopenou (sestrojí se sklopením výšky h libovolného bodu plochy S po hladinou do směru normály, tj. do směru výslednice tlaku, a spojením jejího konce s průsečíkem 0)

3) pláštěm vytvořeným přímkami rovnoběţnými s tlakovou sílou F nad obrysem plochy S

Objem V skoseného hranolu se určí jako součin základny S a výšky ht v těţišti plochy S, neboli V = S ht.

Působiště P tlakové síly se dá určit početně. Moment elementárních tlakových sil k ose y je dán rovnicí dMy = x dF. Výsledný moment těchto elementárních tlakových sil musí být stejný jako moment výslednice tlakové síly. Platí tedy

S S

y

S

ypy JgdSxgxdFdMFxM sinsin 2,

z čehoţ

y

y

y

yyp

M

J

gS

gJ

F

gJx

sin

sinsin

( 4.3 )

kde Jy moment setrvačnosti plochy S k ose y

My statický moment plochy S k ose y

Podle Steinerovy věty je Jy = Jyt + Sxt2, takţe

y

ytt

t

tyt

y

tytp

M

Jx

Sx

Sx

Sy

J

M

SxJx

22

Vzdálenost působiště P tlakové síly od těţiště plochy je

y

yttp

M

Jxxx

( 4.4 )

Protoţe pravá strana rovnice je vţdy kladná, je 0px . To znamená, ţe působiště P tlakové

síly na šikmou rovinnou plochu je vţdy pod těţištěm T.

Podobně se určí druhá souřadnice působiště tlakových sil z momentů k ose x:

S S

xy

S

xpx JgxydSgydFdMFyM sinsin

y

xy

y

xyxyp

S

J

gS

gJ

F

gJy

sin

sinsin

( 4.5 )

kde Jxy je deviační moment plochy S k osám x, y,

My statický moment plochy S k ose y.

Někdy je třeba určit sloţky tlakové síly na šikmou rovinnou plochu, a to ve

vodorovném a svislém směru. Tyto sloţky se mohou určit rozkladem výslednice Fx = Fsin a

podobně Fy = Fcos nebo se určí přímo, aniţ se počítá výslednice.


21

Pro elementární svislou sloţku dFy platí

yyy gdVghdSghdS cosdF ( 4.6 )

Integrací se dostane Fy = gVy, kde objem Vy zatěţovacího obrazce je podle obrázku určen:

1) plochou S

2) hladinovou plochou p0 = konst

3) pláštěm vytvořeným svislými přímkami (= rovnoběţnými se sloţkou tlakové síly Fy) nad obrysem plochy

Zatěţovací obrazec Vy je zkosené těleso. Působiště svislé sloţky tlakové síly Fy je dáno těţištěm objemu Vy zatěţovacího obrazce. Podobně pro elementární vodorovnou sloţku tlakové síly dFx platí

xx gdVghdSghdS sindFx ( 4.7 )

Aby součin hdSx představoval elementární objem dVx, musí být výška h a ploška dSx na sobě kolmé. Proto se výšky sklápějí do vodorovného směru (tj. do směru uvaţované sloţky Fx).

4.3. Tlaková síla na křivé plochy

Na křivé ploše je tlak kapaliny v libovolném místě určen výrazem p = gh. Na zvolený

plošný prvek působí tlaková síla dF = ghdS ve směru kolmém na dS. Vektorovým součtem těchto elementárních tlakových sil po celé křivé ploše se dostane výslednice tlakové síly na křivou plochu. K integraci je zapotřebí analytického vyjádření ploch a rovněţ závislost pro výšku, coţ vede zpravidla ke zdlouhavým výpočtům.

Obr. 4.5 Sloţková metoda určení sil

Při výpočtu tlakových sil na křivé plochy se pouţívají dvě metody, a to sloţková a metoda náhradních ploch.

Složková metoda – obr. 4.5 spočívá v tom, ţe se určí nejdříve sloţky ve zvolených směrech, zpravidla svislá a vodorovná. Na zvolený plošný prvek dS působí elementární

svislá sloţka tlakové síly dFy = dFcos = ghdScos = ghdSy = gdVy. Výsledná svislá sloţka tlakové síly Fy se dostane integrací

y

S

y

S

yy gVdVghdSgF ( 4.8 )

Svislá sloţka Fy je určena tíhou zatěţovacího obrazce Vy - obr. 4.5A. Jak je patrné z obrázku, objem Vy je určen stejným způsobem jako u šikmé roviny s tím rozdílem, ţe místo ní je křivá plocha.

Objem Vy je tedy omezen těmito plochami:

1) křivou plochou S

2) tlakovou hladinou tlaku ovzduší p0 = konst


22

3) pláštěm vytvořeným svislými přímkami (= rovnoběţnými se sloţkou tlakové síly Fy) nad obrysem plochy

Působiště svislé sloţky tlakové síly na křivou plochu je v těţišti objemu Vy zatěţovacího obrazce.

Podobně lze určit vodorovnou sloţku tlakové síly Fx

x

S

x

S

x

SS

xx gVdVghdSghdSgdFF cos ( 4.9 )

Součin hdSx představuje objem dVx, jestliţe výška h je kolmá na průmět plochy dSx. Proto se v kaţdém bodě křivé plochy sklopí svislá výšky h (= svislá vzdálenost od tlakové hladiny

tlaku ovzduší) do vodorovného směru, čímţ je xdSh . Aby výpočet objemu Vx byl snadnější,

posunou se elementární objemy dVx do libovolně zvolené svislé roviny. Poněvadţ posunutím se objemy neměnily co do velikosti, je takto upravený objem Vx stejně velký jako původní. Zatěţovací obrazec tvoří skosený válec nebo hranol. Jejich základnou je průmět křivé plochy do svislé roviny. Tím se dospělo k velmi důleţitému poznatku o tlakové síle na křivé plochy:

Vodorovná sloţka tlakové síly na šikmou rovinnou plochu je dána integrací, čili

x

s

xx VghdSgF ... ,

kde objem Vx zatěţovacího obrazce je dán tělesem skoseným dvěma nerovnoběţnými rovinami. Působiště vodorovné sloţky tlaku je v těţišti zatěţovacího obrazce o objemu Vx Tento postup je pracný, dá se dokázat, ţe vodorovná sloţka tlakové síly na křivou plochu se rovná tlakové síle na její průmět do roviny kolmé na uvaţovanou sloţku síly – obr. 4.5B. Velikost vodorovné tlakové síly na křivou plochu včetně jejího působiště se vypočítá postupem uvedeným v předcházející kapitole – obr. 4.5. Poněvadţ jsou sloţky na sobě kolmé, platí v prostoru

222zyx FFFF případně pro rovinnou úlohu

22yx FFF .

( 4.10 )

Směr výslednice tlakových sil je dán vztahem x

y

F

Ftg . Výslednice tlakové síly F prochází

průsečíkem jejích sloţek Fx, Fy.

Obr. 4.6 Metoda náhradních ploch

Metoda náhradních ploch – obr. 5.6 spočívá v tom, ţe se křivá plocha nahradí jednou nebo více rovinnými plochami, a to tak, aby s křivou plochou uzavíraly objem V. Vypočítá se tlaková síla na náhradní plochu Fn. Nahrazením křivé plochy rovinnými plochami se přidal objem kapaliny V, takţe tíhový účinek tohoto objemu kapaliny je zahrnut v tlakové síle na náhradní plochu.

Ve skutečnosti tíha kapaliny G = gV nepůsobí na křivou plochu, a proto je třeba ji odečíst od výsledné tlakové síly na náhradní plochu Fh. V opačném případě, kdy se náhradní


23

plochou ubral od zatěţujícího obrazce objem kapaliny V, jehoţ tíha působí na křivou plochu, je nutno k výslednici tlakové síly na náhradní plochu Fh přičíst tíhový účinek kapaliny G.

Výslednice tlakové síly je dána vektorovým součtem síly na náhradní plochu Fn a tíhy G:

GFF n .

Aby objem V (přidaný nebo ubraný) a tím tíha kapaliny G byla jednoznačně určena, je třeba správně volit náhradní plochu, aby s křivou plochou uzavíraly obrazec o objemu V.

Náhradní plochy je moţno volit libovolné, jednu nebo více. Volí se tak, aby výpočet sloţek náhradních tlakových sil byl co nejjednodušší.

4.4. Síly na tělesa ponořená do kapaliny

Na těleso ponořené do kapaliny – obr. 4.7 působí obecně síly ve třech na sobě kolmých směrech, tj. např. ve svislém směru a ve dvou směrech vodorovných na sebe kolmých. Poněvadţ vodorovné sloţky tlakové síly na těleso se vypočtou stejně jako vodorovné sloţky tlakové síly na křivou plochu, určí se nejdříve průměty povrchu ponořeného tělesa. Protoţe se dostane dvojnásobný průmět z obou stran tělesa, bude výslednice vodorovných tlakových sil na těleso z obou stran stejně velká, stejného směru, ale opačného smyslu, takţe se tuhostí tělesa ruší. To platí o obou vodorovných sloţkách tlakových sil. Ve svislém směru bude působit na zvolený objem dV tělesa, jeţ je váleček, svislá sloţka tlakové síly, jejíţ velikost je dána součtem tlakových sil na plošky dSy (základny

válečku dV). Na horní část válečku působí tlaková síla dF1 = gh1dSy, podobně na spodní

část dF2 = gh2dSy, takţe výslednice svislé tlakové síly je dFy = dF2 – dF1 = g(h2 – h1)dSy =

ghdSy = gdV = dGk, z čehoţ je patrno, ţe tlaková síla kapaliny ve svislém směru na prvek tělesa o objemu dV se rovná tíze kapaliny, která je tímto elementem vytlačena. Výsledná tlaková síla na celé těleso se dostane integrací, coţ je součet elementárních tlakových sil,

neboli Fv = gV = Gk.

Výsledek je známý Archimedův zákon: Na těleso ponořené do kapaliny působí vztlaková síla rovná tíze kapaliny tělesem vytlačené.

Na těleso ponořené do kapaliny působí dvě síly, a to vztlaková síla Fv v těţišti objemu vytlačené kapaliny, a vlastní tíha tělesa G, působící v těţišti tělesa.

Podle výslednice F = Fv – G, která působí na těleso ponořené v kapalině, mohou nastat obecně tři případy:

G > Fv – tíha tělesa je větší neţ vztlaková síla, takţe výslednice působí ve směru svislém dolů a těleso klesá ke dnu.

G = Fv – tíha tělesa je v rovnováze se vztlakovou silou, výslednice je nulová a těleso setrvává v libovolné poloze – vznáší se v kapalině.

G < Fv – vlastní tíha tělesa je menší neţ vztlaková síla, takţe výslednice působí svisle nahoru a těleso vznáší k hladině. Vynořením tělesa se zmenší vztlaková síla aţ nastane rovnováha

s vlastní tíhou tělesa, které plave.

Obr. 4.7 Vztlak tělesa


24

5. Relativní pohyb kapaliny

Při pohybu nádoby s kapalinou mohou nastat případy, kdy kapalina je vůči stěnám nádoby v klidu. Na kapalinu působí další hmotnostní síly, a to setrvačná od vlastního pohybu nádoby s kapalinou, které je nutno zahrnovat do podmínek hydrostatické rovnováhy. V dalším jsou probrány dva jednoduché příklady relativního klidu kapaliny.

Obr.5.1 Kapalina v relativním klidu, přímočarý, rovnoměrně zrychlený pohyb

5.1. Pohyb přímočarý, rovnoměrně zrychlený

Nádoba se s kapalinou pohybuje přímočaře rovnoměrně zrychleně ve vodorovné rovině. Na kaţdou částečku kapaliny v nádobě působí ve svislém směru tíţe zemská ay = - g a ve vodorovném směru setrvačné zrychlení ax = - a. Diferenciální rovnice hladinových ploch je v tomto případě

0 gdyadx ( 5.1 )

a její integrál

konstgyax xtgkonstxg

akonsty .

( 5.2 )

Hladinové plochy jsou roviny skloněné, svírající s vodorovnou rovinou (kladná

poloosa) úhel . Z rovnice hladinových ploch je

tgtgg

atg '180' neboli 180',

g

atg

( 5.3 )

Z posledního výrazu vyplývá rovněţ, ţe hladinové plochy jsou kolmé na výslednici hmotnostních sil působících na kapalinu. Pro stanovení tlaku v kapalině je třeba znát aspoň v jednom místě (tj. alespoň na jedné hladinové ploše) velikost tlaku. Zpravidla jím bývá rozhraní kapaliny s ovzduším (p0 = konst), jehoţ poloha je závislá na objemu kapaliny v nádobě. Není-li nádoba zcela naplněná a nevyteče-li kapalina během pohybu ani částečně, musí být její objem Vk v nádobě za pohybu stejný jako před pohybem(Vk = konst). Skloněním hladiny v jedné části (pravé) nádoby ubude kapalina, ve druhé (levé) zase přibude. Celková změna objemu kapaliny musí být nulová, proto úbytek a přírůstek objemu musí být stejně velký. V případech, kdy nádoba je válcová nebo má tvar hranolu se základnou symetrickou k ose kolmé na směr pohybu, protíná se rozhraní kapaliny s ovzduším v polovině délky nádoby. Poloha hladinové plochy tlaku ovzduší se tedy určí z podmínky Vk = konst.


25

Obr. 5.2 Hladinová plocha a její poloha

V případě, kdy zrychlení je velké, vystoupí rozhraní kapaliny s ovzduším (p0 = konst) nad okraj nádoby a část kapaliny vyteče z nádoby. To vyvolá klesání hladiny. Pokles hladiny ustane aţ hladina bude procházet hranou, přes níţ kapalina začala vytékat. Hladinová plocha tlaku ovzduší prochází tedy v tomto případě místem, přes které kapalina začala vytékat - (Vk konst).

Tlak kapaliny v libovolném místě se vypočte z diferenciální rovnice tlaková funkce, do níţ se dosadí dříve uvedené podmínky ax = -a ; ay = -g

konstgyaxpgdyadxdp ; ( 5.4 )

Pro zvolený počátek souřadnic (uprostřed dna nádoby) je integrační konstanta dána

touto okrajovou podmínkou: v místě y = h0 ; x 0, je relativní tlak p = 0; je tedy konst = gh0 a tlak v libovolném místě nádoby je určen tlakovou funkcí

x

g

ayhgp 0

( 5.5 )

Protoţe

yhhxg

axtgh 0;

je

ghhhgp ( 5.6 )

Tento výraz je formálně shodný s tlakem v kapalině, na niţ působí jen tíţe zemská. Avšak veličina h je svislá vzdálenost uvaţovaného bodu od hladiny tlaku ovzduší, coţ je skloněná rovina. Tento poznatek se dá zobecnit. Vyšetřením hladiny tlaku ovzduší (rozhraní kapaliny a ovzduší) stává se relativní klid kapaliny případem hydrostatickým, a lze proto pouţít všechny dříve odvozené poznatky o výpočtu tlaku, tlakové síle na plochy apod.

5.2. Pohyb rovnoměrný, otáčivý

Válcová nádoba naplněná zčásti kapalinou se otáčí rovnoměrně kolem svislé osy. Předpokládá se, ţe všechny částečky kapaliny se pohybují unášivou rychlostí odpovídající poloměru, na kterém se nachází. Při otáčivém pohybu působí na kaţdou částečku kromě

tíţe zemské odstředivé zrychlení(u = r.). I kdyţ jde o prostorový pohyb, lze řešit tento relativní klid kapaliny v rovině, protoţe je stejný ve všech rovinách, které procházejí osou

rotace. Odstředivé zrychlení působící na částečku kapaliny na poloměru r je ac = r.2. Jeho velikost se mění s poloměrem, a proto výslednice zrychlení bude na různých válcových plochách různá jak co do velikosti, tak i směru. Je snadné odhadnout, ţe v tomto případě hladinové plochy nebudou rovinami.


26

Protoţe zrychlení jsou

2rar , ay = -g ( 5.7 )

je diferenciální rovnice hladinových ploch r2dr – gdy = 0. Její integrál je

konstgyr

2

22;

( 5.8 )

K určení integrační konstanty je okrajová podmínka

r = 0 , y = h0 , čili konst = - gh0 a rovnice hladinových ploch pro zvolený počátek souřadnic je

02

0

22

hygr

( 5.9 )

coţ je rovnice paraboly. Hladinové plochy jsou rotační paraboloidy. Výška paraboloidu H měřená na plášti válcové nádoby, tj. na poloměru r = R se určí z poslední rovnice

g

u

g

RhyH R

R22

222

0

(5.10)

Z téţe rovnice se dostane výška paraboloidu hr na libovolném poloměru r

Obr. 5.4 K určení polohy hladinové plochy

Obr. 5.3 Rotující nádoba

otáčení kol osy nádoby


27

g

u

g

rhyh r

r22

222

0

( 5.11)

Výška rotačního paraboloidu na určitém poloměru je rovna rychlostní výšce na tomtéţ poloměru. Hladinová plocha tlaku ovzduší se určí stejně jako v předcházejícím případě. Jestliţe z nádoby nemůţe kapalina vytékat, musí být objem kapaliny před pohybem a za pohybu stejný. Před pohybem je v nádobě objem kapaliny Vk = SH0 . Za pohybu je objem Vk = S(h0+H) – Vp , kde Vp značí objem rotačního paraboloidu, který se rovná polovičnímu

objemu opsaného válce, čili Vp = 2

1SH . Z posledních rovnic vyplývá při rovnosti objemů

SHHhSSH2

100

HhH2

100

( 5.12 )

To znamená, ţe původní hladina tlaku ovzduší za klidu půlí výšku paraboloidu H, představujícího novou hladinu tlaku ovzduší.

Tlak v kapalině se určí z diferenciální rovnice tlakové funkce

dp = (r2dr – gdy)

Po integraci je tlaková funkce

konsty

g

rgp

2

22

( 5.13 )

Okrajová podmínka, která se stanoví po určení nové hladinové plochy tlaku ovzduší, pro r = 0, y = h0 je p = 0, čili integrační konstanta je konst = h0. Tlaková funkce je tedy

g

ryhgp

2

22

0

( 5.14 )

Protoţe výška paraboloidu na poloměru r je

hr = g

r

2

22 a h’ = h0 – y ,

upraví se tlak rovnice pro tlak kapaliny

ghhhgp r ( 5.15 )

kde h je opět svislá vzdálenost daného místa od hladinové plochy tlaku ovzduší za rotace. Tento výsledek je shodný jako v předcházejícím případě pohybu.

Rovnici p = gh je moţno povaţovat za obecný integrál diferenciální rovnice pro tlak funkci. Pro veličinu h platí dříve uvedená definice. K jejímu správnému určení je nutno vyšetřit hladinové plochy (odpovídající relativnímu klidu) hlavně hladinovou plochu tvořící rozhraní kapaliny s ovzduším (p0 = konst). Z toho vyplývá praktický význam hladinových ploch. Je třeba připomenout, ţe při výpočtu tlakových sil omezuje tatáţ hladinová plocha zatěţovací obrazec.

Můţe-li kapalina během pohybu zčásti vytéci z nádoby, nalezne se poloha hladinové plochy tlaku ovzduší stejně jak bylo určeno dříve: musí procházet místem, kde kapalina začala přetékat, tj. horním okrajem nádoby.


28

5.3. Potenciál intenzity objemových sil

Chceme-li stanovit tlak v bodě B, při známém tlaku v bodě A, pak integrujeme Eulerovu rovnici hydrostatiky podle křivky spojující body A a B:

B

A

zyxAB

B

A

dzadyadxappdp

Z teorie víme, ţe výsledek integrace nezávisí na dráze, je-li výraz v závorce úplným diferenciálem skalární funkce U(x,y,z)

dpdzadyadxadU zyx dz

z

Udy

y

Udx

x

UdU

( 5.16 )

Tuto funkci nazýváme potenciálem intenzity objemových sil (resp. potenciálem relativního zrychlení).

a) Je-li dána potenciální funkce U = U(x,y,z), pak lze přírůstek stanovit snadno jako přírůstek potenciálů násobený hustotou, aniţ bychom museli řešit křivkový integrál, neboť

AB

BU

AU

AB

pB

pA

UUdUppdp

( 5.17 )

Přičemţ se předpokládá, ţe objemové síly se nahradí potenciál fci U, pro niţ platí

z

Ua

y

Ua

x

Ua zyx

;; neboli a = gradU

( 5.18 )

neboť platí

dU =

dp = axdx + aydy + azdz

Rovnice

( 5.18 ) dostaneme porovnáním obou posledních rovnic.

b) Jsou-li dány sloţky vektoru intenzity hmotových sil

ax = ax(x,y,z), ay = ay(x,y,z), az = az(x,y,z)

ptáme se, zda v tomto případě existuje potenciál U(x,y,z). Je-li dU úplným diferenciálem, pak pro smíšené derivace platí rovnice

zx

U

xz

U

yz

U

zy

U

xy

U

yx

U

222222

;;

( 5.19 )

Vezmeme-li v úvahu rov.

( 5.18 ) dostáváme pro existenci potenciálu i relativní rovnováhy tyto tři podmínky:

z

a

x

a

y

a

z

a

x

a

y

a xzzyyx

;;

( 5.20 )


29

Hydrodynamika

Hydrodynamika se zabývá pohybem kapalin neboli prouděním. Hydrodynamika v uţším smyslu slova řeší teoreticky proudění kapalin matematickými metodami. Aplikovaná hydrodynamika přihlíţí více na skutečné poměry, opírá se o výsledky experimentálních prací a vyuţívá teoretické poznatky a je nazývána téţ hydraulikou.

6. Klasifikace proudění a základní pojmy

6.1. Základní pojmy

Proudění se vyšetřuje v prostoru, rovině nebo po křivce buď sledováním pohybu určité částice kapaliny jako hmotného bodu, nebo se sleduje celý proud v určitém časovém okamţiku.

Dráha neboli trajektorie je obecně čarou, kterou probíhá částice tekutiny. Za ustáleného proudění se dráhy částic nemění s časem, zatím co u neustáleného proudění mohou být v kaţdém časovém okamţiku odlišné – obr.6.1.

Obr.6.1 Dráha částice při neustáleném proudění

Obr.6.2 Proudnice

Obr. 6.3 Proudnice a sloţky rychlosti

Proudnice p obr. 6.2 jsou obálkou vektorů rychlostí a jejich tečny udávají směr vektoru rychlosti. U neustáleného prudění vytvářejí proudnice různé částice a nejsou totoţné s drahami částic. U ustáleného proudění se nemění rychlosti s časem, a proto mají proudnice stále stejný tvar a jsou totoţné s drahami částic. Matematické vyšetření proudnice je moţné řešením diferenciální rovnice,

zyx vyvdzdydx :::: ( 6.1)

která vyplývá z podobnosti trojúhelníků sloţek rychlosti a elementárních drah ve směru příslušných os obr.6.3.

Proudová trubice je tvořena svazkem proudnic, které procházejí zvolenou uzavřenou křivkou k. Plášť proudové trubice má stejné vlastnosti jako proudnice –obr. 6.4.

Obr.6.4 Proudová trubice


30

Protoţe směr rychlosti je dán tečnami k proudnicím, je v kaţdém bodě pláště proudové trubice normálová sloţka rychlosti nulová vn=0. Nemůţe tedy ţádná částice projít proudovou trubici. Proudová trubice rozděluje prostorové proudové pole na dvě části.

Jednu tvoří vnitřek proudové trubice. Částice tekutiny nemohou přetékat z jedné části proudového pole do druhého, a proto platí, ţe všechny částice protékající průřezem S proudové trubice, musí protékat libovolnými průřezy S1, S2, téţe proudové trubice. Jestliţe

průřez proudové trubice S0, dostane se proudové vlákno. Proudová trubice představuje pomyslné potrubí.

6.2. Rozdělení proudění

Proudění kapalin je moţno rozdělit podle několika hledisek:

A) Podle fyzikálních vlastností kapalin

1. proudění ideální (dokonalé) kapaliny:

a) potenciální proudění (nevířivé) – obr. 6.5 – částice se pohybují přímočaře nebo křivočaře

po dráhách tak, ţe vůči pozorovateli se neotáčejí kolem vlastní osy. Natočení částice na křivé dráze je kompenzováno stejně velkým natočeném částice kolem vlastní osy, ale v opačném smyslu. Mezi potenciální proudění patří rovněţ potenciální vír, u něhoţ částice krouţí kolem vírového vlákna potenciálně s výjimkou částice, která tvoří vlákno.- obr- 6.6.

b) vířivé proudění – částice se vůči pozorovateli natáčejí kolem vlastních os – obr 6.7

Obr.6.5 Potenciální proudění Obr. 6.6 Potenciální vír Obr.6.7 Vířivé proudění

2. proudění skutečných (vazkých) kapalin:

a) laminární proudění – částice se pohybují ve vrstvách (deskách), aniţ se přemísťují po průřezu – obr. 6.8

b) turbulentní proudění, kde částice mají kromě postupné rychlosti turbulentní (fluktuační) rychlost, jíţ se přemísťují po průřezu.- obr. 6.9

Obr.6.8 Laminární proudění Obr.6.9 Turbulentní proudění

B) Podle kinematických hledisek:

1. podle uspořádání proudění v prostoru:


31

a) proudění třírozměrné neboli prostorové – 3D- veličiny, např. rychlost, jsou určeny polohou v prostoru v=v(x,y,z)

b) proudění dvourozměrné neboli rovinné – 2 D - v=v(x,y)

c) proudění jednorozměrné – 1D - v=v(s) – proudění po křivce s

2. podle závislosti na čase:

a) proudění ustálené (stacionární) , které je nezávislé na čase v v (t); 0

t

b) neustálené proudění (nestacionární ), u něhoţ veličiny jsou závislé na čase – v= (x,y,z,t); v = v(s,t); v = v(t).

6.3. Druhy proudění skutečných tekutin

Jak jiţ bylo uvedeno dříve, skutečná tekutina můţe proudit buď laminárně nebo turbulentně. Existenci obou proudění názorně ukazuje Reynoldsův pokus – obr. 6.10. Do proudící tekutiny v kruhovém potrubí se přivádí tenkou trubičkou obarvená tekutina. Při malých rychlostech proudu zůstane barevné vlákno neporušeno, z čehoţ vyplývá, ţe pohyb se děje ve vrstvách a částice tekutiny se nepromíchávají.

Zvětší-li se rychlost nad její kritickou hodnotu, dochází k intenzivnímu míšení částic následkem jejich podruţných (turbulentních) pohybů ve všech směrech. Částice tekutiny

neustále přecházejí z jedné vrstvy do druhé, přičemţ dochází k výměně kinetické energie a jejich rychlosti po průřezu se značně vyrovnávají. Takové proudění je turbulentní. Protoţe při přemístění částic dochází téţ ke změně hybnosti, coţ se projevuje brzdícím účinkem, bude výsledný odpor proti pohybu větší neţ odpovídá smykovému napětí od vazkosti při laminárním proudění.

Obr. 6.11 Rychlostní profil v potrubí Obr. 6.12 Závislost pz = f (v)

Oba druhy proudění se liší jak rychlostním profilem tak i velikostí hydraulických ztrát. U laminárního proudění v potrubí je rychlostní profil rotační paraboloid. U turbulentního proudění se rychlosti částic vyrovnávají intenzivním přemísťováním spojeným s výměnou

Obr. 6.10. Reynoldsův pokus


32

kinetické energie. Rychlostní profil turbulentního proudu v potrubí se proto více podobá obdélníku, a to tím více, čím větší je turbulence, tj. čím větší je Re číslo – obr. 6.11.

U laminárního proudění je hydraulický odpor proti pohybu lineárně závislý na rychlosti, u turbulentního prudění je závislý na druhé mocnině rychlosti – obr. 6.12.

Poměry, při níţ dochází ke kvalitativním změnám rychlostního profilu a závislosti odporu, tj. při přechodu laminárního proudění v turbulentní, jsou pro určité potrubí a tekutiny dány kritickou rychlostí. Z pokusů i teorie podobnosti vyplývá, ţe přechod laminárního proudění v turbulentní je určeno Reynoldsovým kritickým číslem. Reynoldsovo číslo jak

bude odvozeno v kap. 18 je definováno vztahem

vdRe , kde v je střední rychlost

tekutiny, d je charakteristický rozměr (např. při proudění v potrubí jeho průměr) je kinematická vazkost proudící tekutiny. Pro proudění v kruhovém potrubí kritická hodnota Reynoldsova čísla je Re = 2320.

Při proudění skutečné tekutiny mezi dvěma rovinnými deskami (obr. 6.13) z nichţ jedna se pohybuje rychlostí u a druhá stojí, mají částice lpící na povrchu desek jejich rychlosti. To znamená, ţe na pohybující se desce má částice kapaliny rychlost u, zatímco na stojící je rychlost částice nulová. Pro ostatní částice kapaliny, které proudí v mezeře mezi deskami, jsou rychlosti rozloţeny lineárně. Pohybující se částice strhává sousední částice do pohybu v důsledku vazkého tření. Rychlost částice ve vzdálenosti y od stojící

desky bude h

yuv . Smykové napětí od vazkosti je podle Newtona vyjádřeno vztahem

h

u

dy

dv

( 6.2)

Obr. 6.13 Rozloţení rychlosti při laminárním

proudění mezi dvěmi deskami Obr. 6.14 Rychlostní profil a tečné napětí

Třecí síla Ft, kterou působí vazká kapalina desku o ploše St, a kterou je nutno při

pohybu desky překonat, je určena vztahem Ft=St . V obecném případě je rychlost tekutiny určena funkcí v = v(y), a smykové napětí v libovolné vzdálenosti od stěny Newtonovým výrazem. Grafické znázornění průběhu rychlosti v = v(y) je rychlostním profilem - obr. 6.13.

Účinek vazké kapaliny na obtékané plochy je závislý na smykovém napětí od

vazkosti tekutiny

0

y

sdy

dv . Derivace

0

ydy

dvje směrnicí tečny k rychlostnímu profilu

na obtékaném povrchu. Při tomto proudění se předpokládá, ţe nekonečně tenké vrstvy kapaliny klouzají jedna po druhé, takţe se pohybují ve vrstvách – laminárně (lamina-vrstva).

Závislost smykového napětí od vazkosti v závislosti na gradientu rychlosti v kolmém

směru na pohyb je vyjádřena v grafu

dy

dvf -obr.6.15. Sklon udává dynamickou vazkost

kapaliny. Všechny kapaliny, které vyhovují Newtonovu zákonu viskozity, se nazývají newtonské. V technické praxi se dosti často vyskytují látky, jejichţ závislost smykového napětí na gradientu rychlosti se nedá vyjádřit Newtonovým vztahem. Říká se jim


33

nenewtonské kapaliny či anomální a jejich reologické vlastnosti jsou vyjádřeny křivkami v diagramu a popsány matematickými modely.

Obr.6.15. Reologické vlastnosti kapalin

Pro ideálně plastickou látku je znám Binghamův vztah

dy

dvBp

( 6.3)

Pro průběhy nelineární se pouţívají mocninové vztahy n

pdy

dvK

;

n

dy

dvK

( 6.4)

kde K - součinitel konzistence

n - index toku


34

7. Proudění ideální tekutiny

7.1. Rovnice kontinuity – spojitosti

Obr. 7.1 Průtočný průřez a rychlost

Rovnice kontinuity, často nazývaná také rovnice spojitosti, vyjadřuje obecný fyzikální zákon o zachování hmotnosti. Pro kontrolní objem, kterým proudí kapalina, musí být hmotnost tekutiny konstantní, a tedy její celková změna nulová. U kontrolního objemu mohou vzniknout dvě změny hmotnosti, a to lokální v kontrolním objemu samém (tekutina se stlačuje nebo rozpíná) a konvektivní změna hmotnosti, způsobená rozdílem v přiteklé a vyteklé hmotnosti z kontrolního objemu. Obě změny musí dávat nulovou změnu hmotnosti, coţ je moţné jen tehdy, kdyţ jsou obě dílčí změny stejně velké, ale opačného znaménka, tj. jedna znamená zvětšení a druhá zmenšení hmotnosti. Rovnici kontinuity je moţné definovat také tak, ţe rozdíl vstupující hmotnosti do kontrolního objemu a vystupující hmotnosti z kontrolního objemu je roven hmotnosti, která se v tomto kontrolním objemu akumuluje. V technické praxi se nejčastěji vyskytují případy jednorozměrného proudění, méně časté je pak proudění rovinné či prostorové.

Rovnice kontinuity pro jednorozměrné proudění

Uvaţuje se jednorozměrné neustálené proudění stlačitelné tekutiny proudovou trubicí s proměnným průřezem - obr.7.1. Z ní se vytkne elementární část ohraničená vstupním průřezem S a elementární délkou ds. Elementární kontrolní objem tvoří váleček, jehoţ základnami protéká tekutina. Plášť kontrolního objemu je tvořen proudnicemi, a proto tok touto částí kontrolní plochy je nulový, neboť platí vn = 0 na celém plášti. Rozloţení rychlosti po průřezu proudové trubice uvaţujeme rovnoměrné. Při nerovnoměrném rozloţení rychlosti po průřezu uvaţujeme její střední rychlost.

Na dráze ds se původní rychlost v změnila na velikost )( dss

vv

, podobně se

změnila i hustota )( dss

a průřez proudové trubice )( ds

s

SS

.

Hmotnost kapaliny, která přiteče do kontrolního objemu za čas dt, je určena vztahem

dms1 = Svdt

Hmotnost kapaliny, která vyteče z kontrolního objemu za čas dt druhou základnou válečku, tj. ve vzdálenosti ds, je

dsSvdts

Svdtdtdss

vvds

s

SSds

sdms )())()((2

Rozdíl přiteklé a odteklé hmotnosti z elementárního objemu je konvektivní změna hmotnosti v čase dt, která je určena vztahem

dsSvdts

dmdmdm sss )()( 12


35

Na počátku sledovaných změn hmotnosti je v kontrolním válečku hmotnost tekutiny

Sdsdmt 1 .

Tato hmotnost tekutiny v kontrolním objemu za čas dt se změní. Protoţe se jedná o lokální změnu, pro její velikost platí vztah

dtSvt

dmt

Pro splnění zákona o zachování hmotnosti (m = konst) musí být celková změna hmotnosti dm nulová, proto platí

0

dtSds

tdsSvdt

sdmdmdm ts

V obecném případě jednorozměrného proudění tekutiny se předpokládá stlačitelná tekutina

= (s, t), proměnný průřez proudové trubice S = S(s, t) (např. pruţná trubice, proudění v kanálech apod.) a neustálené proudění v = v(s, t).

Protoţe časová změna dt a posunutí ds nejsou na sobě závislé (s, t jsou nezávisle proměnné), upraví se poslední rovnice takto

0

S

tSv

s .

( 7.1 )

Toto je obecná rovnice kontinuity pro jednorozměrné proudění. Pro tuhé potrubí platí S = S(s) a rovnice (7.1) se dále upraví

0

tSSv

s

( 7.2 )

Další zjednodušení rovnice je pro ustálené proudění, kdy platí 0

t. V tomto

případě je hustota, průřez a rychlost jen funkcí souřadnice s: = (s); S = S(s); v = v(s) a rovnice kontinuity se zjednoduší

0

Sv

ds

dSv

s

Po integraci platí pro jednu a tutéţ proudovou trubici

konstSvQm . ( 7.3 )

Veličina Qm je hmotnostní průtok, tedy hmotnost tekutiny proteklé za jednotku času – kgs-1.

Protoţe rovnice ( 7.3 ) musí platit pro všechny body proudové trubice, pro rovnici kontinuity proto platí

1S1v1 = 2S2v2 = Sv = konst ( 7.4 )

Pro nestlačitelné kapaliny je hustota konstantní ( = konst), takţe rovnice se zjednoduší na známý tvar

Qv = Sv = konst.

Veličina Qv je objemový průtok a udává objem kapaliny proteklý za jednotku času – m3/s.

Při nerovnoměrném rozloţení rychlosti po průřezu se dosazují do rovnice kontinuity střední rychlosti podle průtoku, určené vztahem

S

s vdSS

v1


36

Rovnice kontinuity pro prostorové proudění

Obr.7.2 Elementární kontrolní objem

Při odvození rovnice kontinuity pro prostorové proudění se vytkne v proudovém poli tekutiny kontrolní oblast ve tvaru hranolku o stranách dx, dy, dz, jehoţ objem je dV = dx dy dz obr.7.2. Tímto hranolem protéká tekutina rychlostí, jeţ má sloţky ve směru tří souřadných os x, y, z, které jsou kolmé na elementární plošky zvoleného hranolu. Kontrolní objem se zvolil velmi malý - diferenciálních rozměrů, aby se rychlosti průtoku elementárními ploškami mohly uvaţovat konstantní.

Změny hmotnosti při průchodu elementárním kontrolním objemem se vyšetří postupně ve směrech os x, y, z. Plochy hranolku jimiţ protéká kapalina ve směru osy x, jsou

stejné, a to dSx = dy dz. Tekutina o hustotě vtéká do hranolku z levé strany rychlostí vx a

vytéká z něho na pravé straně o hustotě

dx

x

p rychlostí )( dx

x

vv x

x

. Přiteče tedy

do hranolku za čas dt ve směru osy x hmotnost tekutiny

dtdSvdm xxsx 1

a vyteče

dxdtdSvx

dtdSvdtdSdxx

vvdx

x

pdm xxxxx

xxx

2

Rozdíl přiteklé a vyteklé hmotnosti kapaliny z hranolu ve směru osy x je

dVdtx

vdxdtdSv

xdmdmdm x

xxsxsxsx

)(12 ,

coţ platí za předpokladu, ţe průřez dSx nezávisí na souřadnici x.

Obdobné výrazy se dostanou pro průtok tekutiny ve směru os y, z:

dVdtz

vdmdVdt

y

vdm z

szy

sy

; ,

takţe rozdíl přiteklé a vyteklé hmotnosti tekutiny plochami kontrolního hranolku je dán součtem


37

dVdtz

vdVdt

y

vdVdt

x

vdmdmdmdm zyx

szsysxs

Je-li hmotnost tekutiny v elementárním objemu (hranolu) dmt1 = dV , potom za čas dt se tato hmotnost změní a tato změna je

dVdtt

dtt

dmdmt

Jak jiţ bylo řečeno, musí být celková změna hmotnosti v kontrolním objemu rovna nule

0

dVdt

tdVdt

z

vdVdt

y

vdVdt

x

vdmdmdm zyx

ts

Po krácení výrazem dVdt se dostane rovnice

0

tz

v

y

v

x

v zyx

( 7.5 )

To je obecná rovnice kontinuity pro neustálené prostorové proudění stlačitelné tekutiny. Protoţe platí

i

izyx

x

v

z

v

y

v

x

vdiv

)( v ,

dá se přepsat rovnice kontinuity na tvar

0)(

v

div

t

( 7.6 )

Stejná rovnice v tenzorovém zápisu má tvar

0

i

i

x

v

t

( 7.7 )

Takto vyjádřená rovnice kontinuity platí v pevném kontrolním objemu, který se vzhledem ke zvolenému pravoúhlému souřadnému systému x, y, z nepohybuje.

Rovnice kontinuity se upravuje i do jiného tvaru. Za tím účelem rozepíšeme derivace ve výrazu pro divergenci a dostaneme

z

vv

zy

vv

yx

vv

xdiv z

zy

yx

x

)( v

Dále napíšeme substanciální derivaci hustoty podle času

zyx vz

vy

vxtDt

D

pomocí níţ se rovnice kontinuity upravit takto:

0

vdiv

Dt

D

z

v

y

v

x

v

Dt

D zyx

( 7.8 )

Toto je druhý tvar rovnice pro neustálené prostorové proudění stlačitelné tekutiny, tedy případ, kdy se kontrolní objem vzhledem ke zvolenému souřadnému systému x, y, z pohybuje.

Pro ustálené proudění se uvedené rovnice zjednoduší. Při ustáleném proudění se

nemění veličiny v čase, proto musí být 0

t

a rovnice kontinuity ( 7.6 ) má tvar

.0)( vdiv ( 7.9 )

Tato rovnice platí pro proudění stlačitelné i nestlačitelné tekutiny v prostoru.


38

Další zjednodušení se dostane u nestlačitelných kapalin ( = konst). Rovnice kontinuity je pak vyjádřena vztahem

0

z

v

y

v

x

vdiv zyxv

( 7.10 )

Stejná rovnice zapsaná v tenzorovém zápisu má tvar

0

i

i

x

v

( 7.11 )

7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky

Eulerova rovnice hydrodynamiky vyjadřuje rovnováhu sil hmotnostních (objemových), které působí na tekutinu z vnějšku, tlakových (působících v tekutině) a setrvačných od

vlastního pohybu částic dokonalé tekutiny. V proudící skutečné tekutině vznikají vedle normálových napětí, tj. tlaků, i tečná napětí, a to všude tam, kde se tekutina nepohybuje jako tuhé těleso a dochází tedy k deformaci částic tekutiny, tj. částice se vůči sobě posouvají. Zanedbáme-li tato tečná napětí vzhledem k tlakům, hovoříme pak o proudění dokonalé (ideální) tekutiny (tj. model tekutiny s nulovou viskozitou).

V proudu dokonalé tekutiny zvolíme elementární objem dV ve tvaru hranolku – obr.7.3 o stranách dx, dy, dz. Na tento objem tekutiny působí stejně jako v hydrostatice tlaková díla dFp a vnější tlaková síla dFm. Podle Newtonova zákona výslednice těchto sil se rovná setrvačné síle

Spm FFF ( 7.12 )

V kapitole 3 pro sílu tlakovou a hmotnostní pro 1 kg hmotnosti byly odvozeny tyto výrazy:

0

1

aF

F

m

p pgrad

Setrvačná síla pohybující se částice tekutiny je

Obr. 7.3 Elementární hranolek


39

Dt

Dms

vF

Při proudění 1 kg tekutiny se tato rovnice zjednoduší

Dt

Ds

vF

Dosadíme-li výrazy pro síly do rovnice ( 7.12 ), bude rovnováha sil

pgradDt

D

1 0a

v

( 7.13 )

Substanciální derivaci Dv/Dt je moţné upravit takto:

Rychlost v je obecně funkcí polohy částice a času, tedy t)z, y, (x, vv . Její diferenciál je

dtt

vdz

z

vdy

y

vdx

x

vdv

a zrychlení částice tekutiny se vyjádří rovnicí

t

vv

z

vv

y

vv

x

v

dt

dt

t

v

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

Dt

Dvzyx

První tři členy představují konvektivní zrychlení a je moţno je vyjádřit pomocí gradientu jako skalární součin rychlosti v a jejího gradientu, neboť

zyxzyx vz

vv

y

vv

x

v

z

v

y

v

x

vvvvgrad

kjikjivv .

Člen t

v

představuje lokální (místní) zrychlení.

Eulerova rovnice hydrodynamiky má pak tvar

pgradgradtDt

D

10

avv

vv

( 7.14 )

Stejná rovnice uvedená v tenzorovém zápisu má tvar

ii

j

ij

i

x

pa

x

vv

t

v

1

( 7.15 )

Tuto pohybovou rovnici dokonalých tekutin odvodil poprvé Leonard Euler v r. 1755.

Rozepsáním poslední rovnice pro sloţky ve směru os x, y a z se dostanou tyto rovnice

z

pav

z

vv

y

vv

x

v

t

v

y

pav

z

vv

y

vv

x

v

t

v

x

pav

z

vv

y

vv

x

v

t

v

zzz

yz

xzz

yzy

yy

xyy

xzx

yx

xxx

1

1

1

V rozepsaných Eulerových rovnicích hydrodynamiky je celkem pět neznámých, a to

sloţky rychlosti vx, vy, vz, hustota a tlak p. K určení pěti neznámých je třeba pěti rovnic, z nichţ tři jsou Eulerovy rovnice (pro tři směry os) a dalšími rovnicemi jsou rovnice kontinuity

a stavová rovnice = f(p) u stlačitelné tekutiny, popřípadě u nestlačitelné tekutiny je = konst. Všech pět uvedených veličin závisí na poloze proudící částečky tekutiny a na čase. Pro určení soustavy rovnic je třeba zadat okrajové a počáteční podmínky.

Eulerova rovnice hydrodynamiky je nelineární parciální diferenciální rovnice, její integrace je obtíţná i časově náročná, v současné době se řeší numericky. Eulerova rovnice hydrodynamiky slouţí k odvození Bernoulliho rovnice.


40

7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu

Při proudění dokonalé tekutiny působí na její částečky síly, které při posunutí po elementární dráze ds konají elementární práci (obr.7.4). Sečtením těchto elementárních prací na konečné

délce po proudnici, tj. integrací, získá se vztah prací neboli energií proudící tekutiny. Aby bylo moţno provést integraci, předpokládá se, ţe vnější hmotnostní síla na jednotku

hmotnosti (neboli vnější zrychlení), které působí na proudící tekutinu, je potenciální Pak se dá vyjádřit potenciálem U a platí

gradU0a

Obr. 7.4 Elementární práce při proudění dokonalé tekutiny

z

U

y

U

x

UUgrad

kjia0

( 7.16 )

Protoţe a0 = (iax + jay + kaz), potom z předcházející rovnice jsou sloţky zrychlení určeny vztahy

z

Ua

y

Ua

x

Ua zyx

,,

kde potenciál vnějších sil (na jednotku hmotnosti) neboli zrychlení je funkcí polohy.

Dosadí-li se tento výraz do Eulerovy rovnice hydrodynamiky a určí se elementární práce skalárním součinem sil a posunutí ds, dostane se

sssvvsv

dpgraddUgraddgraddt

1

( 7.17 )

Pro další úpravu této rovnice odvoďme velikost skalárního součinu gradientu a diferenciálu dráhy ds =idx +jdy +kdz.

dUdzz

Udy

y

Udx

x

U

dzdydxz

U

y

U

x

UdUgrad

kjikjis .

( 7.18 )

Podobně pro ostatní veličiny platí

dvvdgraddp

dgradp svvs ;1

Integrál upravené rovnice


41

( 7.17 )

2

1

2

1

2

1

2

1

dpdUdvd

tvs

v

( 7.19 )

pro libovolný průřez proudové trubice je

konstdt

UPv

s

v2

1

2

2

( 7.20 )

Tato rovnice platí pro neustálené proudění, a to pro určitý časový okamţik. Konstanta má obecně v kaţdém čase jinou hodnotu.

Pro ustálené proudění se poslední rovnice zjednoduší, protoţe 0

t

v. Integrál

Eulerovy rovnice hydrodynamiky po dráze má v tomto případě tvar

konstUPv

2

2

( 7.21 )

coţ je základní Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu.

Veličina P je tlaková funkce, jiţ určíme integrací výrazu

dp, kdyţ známe stavovou

změnu a její rovnici = f(p). Pro nestlačitelnou kapalinu je =konst a tlaková funkce

konstp

P

. Působí-li na tekutinu jen tíhové zrychlení, je vnější zrychlení ay = -g.

Znaménko záporné je uvedeno proto, ţe kladný smysl zvolené osy je opačný neţ smysl působení tíhového zrychlení. Příslušný potenciál silového pole (pro tíhové zrychlení) je tedy

gy

Uay

. Potenciál tíhové síly je funkcí jen jedné proměnné U = U(y), pak platí

dy

dU

y

U

, neboli dU = -g dy. Integrací se určí potenciální funkce U = - gy + konst = - gh +

konst.

Pro nestlačitelnou kapalinu za působení tíhového zrychlení a pro ustálené proudění je Bernoulliho rovnice vyjádřena vztahem

konstghpv

2

2

( 7.22 )

Tato rovnice představuje zákon zachování energie. První člen 2

2v je kinetická energie ,

druhý člen

p odpovídá tlakové energii, třetí člen gh je roven polohové energii hmotnostní

jednotky kapaliny.

Součet kinetické, tlakové, a polohové energie přestavuje celkovou mechanickou energii

kapaliny. Energie vztaţené na jednotku hmotnosti se nazývají měrné energie m

Ee .

Jestliţe se rovnice dělí tíhovým zrychlením g, dostane se

konsthg

p

g

v

2

2

( 7.23 )

Tuto rovnici uvedl poprvé v roce 1738 Daniel Bernoulli. Kaţdý člen rovnice


42

( 7.23 ) představuje energii vztaţenou na tíhovou jednotku kapaliny a formálně má rozměr výšky. První člen je znám jako rychlostní výška, druhý člen je tlaková výška a třetí určuje polohovou (potenciální) výšku.

Vynásobí-li se rovnice

( 7.23 ) součinem g, dostane se

konstghpv

2

2

( 7.24 )

Kaţdý člen rovnice přestavuje tlak (kinetický, statický, polohový).

Součet všech energií, tj. kinetické, tlakové a polohové je celková mechanická energie kapaliny, která podle Bernoulliho rovnice je v kaţdém průřezu jedné a téţe trubice konstantní. Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon o zachování energie při proudění dokonalé tekutiny za působení tíhového zrychlení.-obr 7.5

Jednotlivé členy rovnice je moţno znázornit jako úsečky. Součet výšek od libovolně zvolené vodorovné roviny určuje v diagramu čáru mechanické energie a je roven konstantě v Bernoulliho rovnici

( 7.17 ).

Obr. 7.5 Grafické znázornění Bernoulliho rovnice

konstYgHghpv

ghpv

ghpv

2

...22

2

22

22

11

21

( 7.25 )

Bernoulliho rovnice platí pro proudovou trubici, v jejíchţ průřezech je rychlost rovnoměrně rozloţena. Při nerovnoměrném rozloţení rychlosti je nutno volit proudovou trubici velmi malých průřezů, aby rozdíl rychlostí po průřezu proudové trubice byl zanedbatelný. Jinak je nutno přihlíţet k nerovnoměrnému průběhu rychlosti, coţ vyjadřuje střední rychlost podle kinetické energie.

Do Bernoulliho rovnic je moţno dosadit absolutní tlaky nebo relativní tlaky, avšak na obě strany rovnice shodně. Budiţ znovu zdůrazněno, ţe rovnice

( 7.23 ) aţ ( 7.25 ) platí pro dokonalou kapalinu, tedy bez vnitřního tření a nestlačitelnou. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu psaná pro dva průřezy jedné a

téţe proudové trubice obsahuje šest veličin: p1, v1, h1, p2, v2, h2. Hustota kapaliny se povaţuje za známou. Aby se pomocí Bernoulliho rovnice určily parametry proudění, musí být počet neznámých a počet rovnic stejný. Při řešení nejjednoduššího případu lze tedy z Bernoulliho rovnice vypočíst jednu neznámou. Ostatní veličiny musí být známé. To je důleţité pro praktické pouţití Bernoulliho rovnice, neboť v proudové trubici se musí nalézt jeden průřez, v němţ jsou všechny veličiny (p1, v1, h1) známé. Druhý průřez je nutno volit v


43

téţe proudové trubici tam, kde je hledaná veličina (např. rychlost v2) a ostatní veličiny (p2, h2) jsou známé. Při této volbě průřezů proudové trubice lze vypočíst neznámou veličinu. Bude-li více neznámých veličin, je nutno pouţít rovnici kontinuity, popřípadě další Bernoulliho rovnici pro jiný úsek proudové trubice.

Polohová (potenciální) energie proudu kapaliny se určuje k libovolně zvolené vodorovné rovině. Zpravidla se volí ekvipotenciální plocha nulového potenciálu (U = 0) tak, aby procházela níţe poloţeným průřezem. Jeho výška je pak nulová. Pro body nad rovinou U = 0 je polohová výška kladná (pro body pod rovinou U = 0 je záporná).

Pro praktické pouţití Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu je moţno shrnout postup do těchto pravidel:

1. V proudové trubici se zvolí dva průřezy. V jednom průřezu je nutno znát všechny veličiny (p1, v1, h1). Druhý průřez se volí v proudové trubici v místě, kde je hledaná veličina, přičemţ ostatní dvě veličiny jsou známé.

2. Rozhodne se o způsobu dosazování tlaků, a to jejich absolutní nebo relativní hodnoty, avšak do jedné a téţe rovnice se dosazují oba tlaky shodně.

3. Zvolí se libovolná vodorovná rovina, která se povaţuje za ekvipotenciální plochu nulového potenciálu. Zpravidla se volí tak, aby procházela jedním z vybraných průřezů, a to nejčastěji níţe poloţeným. Polohové výšky se určí ke zvolené vodorovné rovině.

Nyní se napíše Bernoulliho rovnice a vypočte neznámá veličina.

Pro plyny, které mají v porovnání s kapalinami malou hustotu, převládá tlaková a kinetická energie, polohová energie se dá vůči nim zanedbat. U plynů je nutno určit tlakovou energii s přihlédnutím ke stlačitelnosti tekutiny. Pro rychlé děje je nejbliţší adiabatická změna, při níţ nedochází k výměně tepla tekutiny s okolím.

Stavová rovnice adiabatické změny

p= konst = C;

Cp ( 7.26)

se diferencuje

dCdp 1.

a dosadí do tlakové funkce 2

1

2

1

12

1

12

111

pCdC

dpP

Bernoulliho rovnice pro adiabatické proudění dokonalého plynu pak je

.1212 2

222

1

121 konst

pvpv

( 7.27)

Pomocí stavové rovnice rTp

se Bernoulliho rovnice na tvar

.1212

2

22

1

21 konstrT

vrT

v

( 7.28)

Zavede-li se dále rychlost zvuku

rTa 2

potom Bernoulliho rovnice nabývá další tvar

.1212

22

22

221 konst

avav

( 7.29)


44

7.4. Měření místní rychlosti

Obr. 7.6 Princip měření místní rychlosti Pitotovou trubici

Uvaţujeme proudění kapaliny ve vodorovném potrubí podle obr.7.6. Je-li v potrubí

statický tlak sp , pak kapalina vystoupí v piezometrické trubici připojené k otvoru, navrtanému

kolmo ke stěně a bez otřepů, do výšky g

ps

. Hladina v Pitotově trubici (trubice zahnutá proti

směru proudění potrubí) bude výše a její poloha bude závislá jak na přetlaku v potrubí sp ,

tak i na rychlosti proudící kapaliny v . V ústí Pitotovy trubice je místní rychlost 01 v , a tedy

tlak 1p bude roven tlaku celkovému cp . Rozdíl těchto tlaků dsc ppp .Je roven tlaku

dynamickému pd, popř. u kapalin qpd tlaku kinetickému 2

2

1vq ,

Z Bernoulliho rovnice psaní pro místa 0 a 1

Obr. 7.7 Prandtlova trubice Obr. 7.8 Měření tlakové diference


45

0;22

11

211

2

vppvpvp cs

Pro rychlost kapaliny v místě 0 odvodíme rovnici

hgppp

v dsc

222

( 7.30)

Pitotova trubice měří celkový tlak a je nutno statický tlak měřit piezometrickou trubicí. Prandtl navrhl trubici, jeţ měří celkový i statický tlak (obr.7.7). Prandtlova trubice je tvořena válcovým tělesem s půlkulovým ukončením. V ose trubice je otvor pro odběr celkového tlaku

cp , který je vyveden vnitřní trubicí. Statický tlak sp se snímá v dráţce nebo otvoru na plášti

vnější trubice a je vyveden druhou trubicí. Aby tlak sp byl roven tlaku nerozrušeného

proudu, je odběr statického tlaku umístěn ve vzdálenosti rovnající se třem průměrům trubice od jejího ústí. Pro Prandtlovu trubici pro rychlost platí stejná rovnice jako pro Pitotovu trubici. – (7.31).

Při měření rychlosti v potrubí s větším přetlakem se pouţije diferenční tlakoměr, např.

U-trubice, která je naplněna měřicí kapalinou o hustotě m . Dynamický tlak

scd ppp se určí z měření na U-trubici, tj. tlakovou výškou h (obr. 7.8). Pro rovinu 1-1

platí, ţe tlaky v levém i pravém ramenu U-trubice jsou stejné PL pp 11 , takţe platí

hhgphgghp ocmos

z čehoţ pro rozdíl tlaků platí

msc hgpp

Rychlost tekutiny je pak určena vztahem

msc hg

ppv 22

( 7.30)

Jestliţe ,1

m (např. při proudění plynů) pak se rychlost tekutiny vypočte ze

zjednodušeného vztahu

mhgv 2 ( 7.31)

Odklon Pitotovy trubice od směru proudění do + 6o nemá na výsledek měření v podstatě vliv. Prandtlova trubice umoţňuje odklon od správného směru do + 15o. Při správném natočení osy trubice do směru vektoru měřené rychlosti je z rovnice vypočtená rychlost s přesností větší neţ 1%.

Při měření rychlosti u dvourozměrného proudění se pouţívá válcová sonda – obr. 7.9, která má tři otvory umístěné symetricky v jedné rovině. Rovina otvorů musí být totoţná s rovinou prouděné. Otáčením sondy se nalezne poloha, při níţ je v otvorech 2 a 3 stejný

tlak 32 pp . Na stupnici úhlů se odečte otočení sondy z výchozí polohy a určí směr

rychlosti vzhledem ke zvolené souřadné soustavě. Z tlaku 1p , který je roven celkovému tlaku

cp , se určí rychlost tekutiny. Sonda musí být cejchována, neboť otvory 2 a 3 neměří přesně

statický tlak. Jsou zpravidla odkloněny o 45o od osy hlavního otvoru 1.

Kulová sonda obr. 7.10 slouţí k měření rychlosti proudu. Má pět otvoru symetricky umístěných v kulovitém tělese. Vţdy dva páry otvorů jsou umístěny souměrně vzhledem ke střednímu otvoru, a to ve dvou kolmých rovinách. Natáčením sondy kolem její osy (1-4-5) se nalezne poloha, při níţ je ve dvou symetricky umístěných otvorech 2 a 3 stejný tlak.


46

Obr.7.9 Schéma válcové sondy Obr. 7.10 Schéma kulové sondy

Z hodnoty tlaku ve středním otvoru a rozdílu tlaků v otvorech 4 a 5 se z cejchovní křivky odečte velikost rychlosti a její úhel s rovinou 2-1-3. Pro měření místní rychlosti slouţí řada dalších sond. Pro měření okamţitých hodnot rychlosti je třeba pouţít metod s malou setrvačnosti, nejrozšířenější je metoda ţhavého drátku, nebo optický anemometr také nazývaný Laser Doplerovský anemometr (LDA).

Při jednorozměrném proudění např. v uzavřených kanálech nebo potrubích, při obtékání těles skutečná tekutina na stěně lpí a následkem viskozity je rychlost na stěně nulová. V ostatním průřezu je rychlost nerovnoměrně rozloţena po průtočném průřezu. Pitotovou, popř. Prandtlovou trubicí se určuje rychlost v místě, v němţ je čelo trubice. Posouváním trubice se změří rychlosti, které jsou závislé na souřadnici. Grafické znázornění průběhu rychlostí po průtočném průřezu se nazývá rychlostní profil.

Obr. 7.11 Určení střední rychlosti z rychlostního profilu

Obr. 7.12 Princip Venturiho trubice

Má-li se z naměřeného rychlostního profilu vypočítat střední rychlost, zvolí se v průtočném průřezu vhodný počet bodů – obr. 7.11, ve kterých se změří rychlost. Střední rychlost se pak stanoví integrací přes celý průtočný průřez

S

s vdSS

v1

( 7.32)

Volba počtu bodů nebo rovin je závislá na konkrétních podmínkách a není moţno proto dát univerzální návod. Je-li rychlostní profil nesymetrický, případně vzniká zpětné proudění, volí se počet bodů obvykle větší.


47

7.5. Měření střední rychlosti a průtoku (průřezová měřidla)

Velmi často se měření průtoku nebo střední rychlosti převádí na měření tlakového rozdílu mezi dvěma průřezy, z nichţ jeden je zúţen. Klasickým představitelem těchto měřidel je Venturiho trubice -obr. 7.12 skládající se ze vstupního konfuzoru, krátké válcové části se zúţeným průřezem a z delšího difuzoru. Zúţení průtočného průřezu způsobuje zvětšení rychlosti a tím se vyvolá pokles statického tlaku. Tlakový rozdíl je závislý na průtokové rychlosti (nebo průtoku) a dá se jednoduše měřit.

Napišme Bernoulliho rovnici mezi průřezy 1 a 2 Venturiho trubice s vodorovnou osou při průtoku dokonalé kapaliny.

22

222

211 vpvp

Dále napíšeme rovnici spojitosti

222

2112211 ; dvdvSvSv

Pro diferenciální manometr platí, ţe rozdíl dvou tlaků p=p1-p2 je určen vztahem

mhgppp 21

Řešením těchto tří rovnic pro střední rychlost 1v dostaneme výraz

hK

d

d

hgv v

m

1

24

2

1

1 ( 7.33 )

Pro průtok platí rovnice

Obr. 7.13 Schéma clony Obr. 7.14 Schéma dýzy

Při průtoku skutečné tekutiny bude následkem hydraulických odporů skutečná

rychlost menší. Tento vliv se zahrne v součinitelích Qv KK , . Praktické provedení Venturiho

trubice se provádí podle ČSN ISO 5167-1, kde jsou uvedeny hodnoty součinitelů Qv KK ,

v závislosti na zúţení 21 /SSm a velikosti Reynoldsova čísla Re.

Vedle Venturiho trubice se častěji pro měření střední rychlosti nebo průtoku pouţívá clona – obr.7.13 nebo dýza – obr- 7.14, jejichţ podrobný výpočet uvádí ČSN ISO 5167-1.


48

7.6. Stacionární proudění ideální tekutiny potrubím

Obr.7.15 Výtok tekutiny u uzavřené nádrţe

Při výtoku kapaliny z uzavřené nádrţe potrubím konstantního průřezu je třeba vypočítat výtokovou rychlost. Tato se určí z Bernoulliho rovnice. Kinetická energie na hladině v tlakové nádobě je nulová, coţ můţe býti splněno za dvou předpokladů. Buď do nádoby přitéká stejné mnoţství jako odtéká, nebo je nádoba tak rozlehlá, ţe vyteklé mnoţství kapaliny způsobí prakticky zanedbatelný pokles hladiny. Potenciální energie se vztahuje vůči vodorovné rovině, procházející těţištěm výtokového otvoru. To má výhodu, ţe pro tento průřez je potenciální výška nulová. (jinak je moţno volit libovolnou vodorovnou rovinu za hladinu nulového potenciálu).

Na hladině v nádrţi je tlak p1 rychlost v1=0. Ve výtokovém průřezu je rychlost 2v , tlak

ovzduší 2p a polohová výška 02 h . Pro průřez 1 a 2 napíšeme Bernoulliho rovnici

2

222

11 vp

ghp

Z poslední rovnice je moţno vypočíst výtokovou rychlost

g

pphgvv

21

2 2

( 7.34)

Za tlak p1 a p2 se dosadí přetlak nebo absolutní tlak.

Kdyţ tlakový rozdíl 21 pp bude roven nule, je výtoková rychlost dána výrazem

ghv 2 ( 7.35)

coţ je Torricelliho vzorec, který je zvláštním případem Bernoulliho rovnice a byl odvozen dříve neţ obecnější rovnice Bernoulliho.

Z rovnice kontinuity se učí objemový nebo hmotnostní průtok kapaliny potrubím

vmv QvSQvSQ ; ( 7.36)

Poznámka: v uvedeném případě je uvaţována dokonalá kapalina (bez vnitřního tření – vazkost). U skutečné kapaliny se v důsledku vazkosti spotřebuje část energie kapaliny na třecí práci. Skutečná výtoková rychlost bude proto menší. Blíţe je o tom pojednáno v další stati o výtoku skutečných kapalin z nádob.


49

8. Proudění vazké tekutiny

8.1. Navierova-Stokesova rovnice

Rovnováha sil při proudění skutečné tekutiny je vyjádřena Navierovými-Stokesovými rovnicemi. Kromě sil vnějších, tlakových a setrvačných spojených s vlastním pohybem částic tekutiny, přistupují u skutečné tekutiny třecí síly, které jsou způsobeny viskozitou tekutiny.

Pro matematické vyjádření třecích sil se pouţije Newtonův vztah dy

dv .

Rovnováha sil při proudění skutečné tekutiny lze zapsat ve tvaru

tps FFFF 0

Při vzájemném pohybu částic vznikají ve skutečné tekutině tečná napětí, která způsobují úhlovou deformaci částic. Na elementární objem skutečné tekutiny v podobně hranolku o stranách dx, dy, dz působí na jeho plochách smyková i normálová napětí – obr. 8.1

Obr. 8.1 Napětí na elementárním objemu tekutiny

Stanoví-li se rovnováha všech sil působících na elementární objem, dostane se Navierova-Stokesova rovnice, která ve vektorovém zápise pro nestlačitelnou tekutinu v pravoúhlém souřadném systému má tvar

vavvv

0

gradpgrad

t

1.

( 8.1)

Tato rovnice se od Eulerovy rovnice hydrodynamiky liší posledním členem na pravé straně. Tento člen představuje sílu potřebnou k překonání viskozního tření tekutiny.

Při řešení proudového pole se zpravidla určuje rozloţení rychlostí a tlaků. Vedle pohybové rovnice (8.1) se uplatní i rovnice spojitosti.

V systému diferenciálních Navierových-Stokesových rovnic a rovnice spojitosti jsou čtyři neznámé veličiny, tj. sloţky rychlosti vx,vy,,vz a tlak p. Pro řešení těchto rovnic musí být

známé vnější zrychlení ao, hustota tekutiny a okrajové podmínky.

Navierovy-Stokesovy rovnice patří mezi parciální diferenciální rovnice nelineární a nejsou obecně řešitelné. Analytické řešení je dostupné pro jednodušší případy laminárního proudění. V současné době i sloţité případy laminárního proudění jsou řešitelné numerickými metodami např. metodou konečných objemů (metoda sítí).


50

8.2. Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu

Obr. 8.2 Bernoulliho rovnice pro skutečnou tekutinu

Rovnováha sil při proudění skutečných kapalin je vyjádřena Navierovou-Stokesovou rovnicí

vavvv

0

pgradgrad

t

1

( 8.2)

Vynásobíme-li tuto rovnici skalárně vektorem dráhy dzdydxd kjis a za předpokladu

ţe gradUao , rovnice energie má tvar

svssasvvsv

0 ddpgradddgraddt

..1

..

Její integrací obdrţíme pro ustálené proudění, kdy 0

t

v Bernoulliho rovnici pro skutečnou

tekutinu

..2

2

1

2

konstdsUpv

v

Výraz

zed sv..2

1

( 8.3)

představuje práci třecích sil na jednotku hmotnosti proudící tekutiny, coţ je rozptýlená (disipovaná měrná energie, nebo téţ měrná ztrátová energie spotřebovaná na překonání hydraulických odporů na úseku 1 – 2 proudové trubice. Tato měrná ztrátová energie zmenšuje mechanickou energii (tlakovou+kinetickou+polohovou) kapaliny a mění se v teplo.

Bernoulliho rovnice pro proudění skutečné kapaliny, na kterou působí pouze tíhové zrychlení - U=-g.h má tedy tvar

zeghvp

ghvp

2

222

1

211

22

Měrná ztrátová energie ze se můţe vyjádřit jako násobek kinetické energie 2

2vez nebo

tlakové energii z

z

pe , popřípadě ztrátovou výškou zz ghe . Srovnáním uvedených

vztahů se dostane


51

2

2vghp zz

( 8.4)

Poslední rovnice vyjadřuje hydraulický odpor tlakovým rozdílem pz, kterému se

tradičně říká tlaková ztráta. Podobně veličina zh , je označena jako ztrátová výška i kdyţ

nejde o ztrátu, ale neţádanou přeměnu mechanické energie v tepelnou. Obě veličiny zh a

zp jsou mírou rozptýlené (ztrátové) energie. Součinitel je ztrátový součinitel a závisí na

druhu hydraulického odporu či ztráty.

Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu psaná pro průřezy 1,2 proudové trubice

(obr. 9.1) pomocí měrné ztrátové energie zz ghe je

zghghvp

ghvp

2

222

1

211

22

( 8.5)

Kapalina proudí od průřezu 1 k průřezu 2. Ztrátová výška zh zahrnuje všechny

hydraulické ztráty na úseku mezi průřezy 1-2.

Podobně jako při proudění dokonalé tekutiny (obr. 6.5) je moţné znázornit graficky také Bernoulliho rovnici pro skutečnou tekutinu. Odečtením ztrátové energie pro jednotlivé

průřezy od konstanty Bernoulliho rovnice 0gHYo se určí mechanická energie kapaliny,

tj.součet tlakové, kinetické a polohové energie v uvaţovaných průřezech, která je znázorněna v diagramu (obr.8.2) příslušnou čarou. Rozdíl mezi čarou celkové energie a čarou mechanické energie představuje rozptýlenou (ztrátovou) energii. V tepelně izolované proudové trubici se veškerá rozptýlená energie jako tepelná předává tekutině, čímţ vzrůstá její vnitřní energie a stoupá teplota tekutiny.

Člen se ztrátovou výškou v rovnici

( 8.5) narušuje symetrii rovnice. Pro správné napsání Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu je třeba se řídit rovněţ třemi pravidly (odst. 6.3), k nimţ přibývá další:

4. měrná ztrátová energie zz ghe zahrnuje součet všech hydraulických ztrát na úseku

mezi průřezy 1-2, pro něţ se píše Bernoulliho rovnice, a přičte se na té straně rovnice, která platí pro průřez proudové trubice ve směru proudění vzdálenější.


52

9. Laminární proudění

Laminární proudění je podstatně jednodušší neţ turbulentní, v technické praxi se vyskytuje tam, kde jsou malé průtočné kanály, větší viskozita kapaliny a menší průtokové rychlosti. Laminární proudění lze řešit integrací Navierových-Stokesových rovnic, sloţitější případy proudění se řeší numerickými metodami. Jednodušší případy proudění se dají řešit exaktně a jsou probrány v dalších kapitolách. Při řešení laminárního proudění se uplatňuje

Newtonův vztah dy

dv , který odpovídá skutečnosti, a proto se dosahuje dobrá shoda

s experimentálními výsledky.

9.1. Laminární prudění v kruhovém potrubí

Ve vodorovném kruhovém potrubí zvolíme elementární objem ve tvaru souosého válečku, viz obr. 9.1. Na takto zvolený objem kapaliny působí síly plošné a to třecí a tlakové. Objemové síly se neuplatní, protoţe potrubí je vodorovné a proudění je ustálené. Na čelní plochu zvoleného válečku působí tlak p , který na dráze dx se změní na (p+dp). Těmto tlakům odpovídá tlaková síla

21 .. rpFp a 2

2 .rdppFp .

Na plášti válečku působí třecí síla dxrFt ..2. . Všechny uvedené síly musí být za

ustáleného proudění v rovnováze, neboť setrvačná síla je nulová. Pro rovnováhu sil platí

021 tpp FFF

Dosazením výrazů za jednotlivé síly dostaneme

0.2.. 22 rdxrdpprp

z čehoţ

rL

pr

dx

dp z

2

1

2

1

( 9.1 )

Předpokládá se ,ţe platí L

p

dx

dp z

Z poslední rovnice je zřejmé, ţe smykové napětí je u laminárního proudění rozloţeno lineárně viz obr. 9.1.

Dosazením Newtonova vztahu pro smykové napětí dr

dv do předcházející rovnice

odvodíme diferenciální rovnici rychlostního profilu

2

.drr

L

pdv z

a po integrací obdrţíme rovnici pro rychlost

Obr.9.1 Laminární proudění v potrubí


53

KrL

pv z 2

4

1

Integrační konstanta se určí z okrajových podmínek na stěně trubice, kde rychlost částic

kapaliny je nulová. Pro 2

dr je v=0, z čehoţ integrační konstanta

2

16

1d

L

pK z

Po dosazení do obecného řešení je rychlostní profil laminárního proudění v kruhové trubici vyjádřen vztahem

2

2

24

1r

d

L

pv z

( 9.2 )

Maximální rychlost je v ose potrubí (r = 0), a to

2max

16

1d

L

pv z

( 9.3 )

Grafické znázornění rovnice rychlostního profilu v rovině řezu procházejícího osou trubice je kvadratická parabola. V prostotu představuje rychlostní profil rotační paraboloid. – obr. 9.1

Průtok trubicí se určí integrací elementárního průtoku kapaliny rvdrdQv 2 , který

protéká elementárním mezikruţím na poloměru r o šířce dr tlakovým rozdílem pz na délce trubice L

2

0

42

2

22

0128

.22

..2.

d

z

S

d

vL

dpdrrr

d

L

pdrvrdSvQ

( 9.4 )

Tuto rovnici odvodil v roce 1840-1841 Poiseuille, francouzský lékař, který studoval proudění krve v ţílách. Uvedený výraz platí přesně pro laminární proudění. Experimentálně ověřil tento zákon prouděním vody ve skleněných kaplilárách. Nezávisle na něm odvodil uvedený výraz téţ Němec Hagen v roce 1839. Proto se označuje tato rovnice dosti často jako Hagen-Poiseuilleova.

Střední rychlost podle průtoku se vypočítá ze vztahu

,128

.4

.42

L

dpv

dQ z

sV

z čehoţ

L

dpv z

s32

2

( 9.5 )

Porovnáním střední rychlosti (9.5) a maximální (9.3) vyplývá vztah

2

1

max

v

v s

Je třeba připomenout, ţe laminární proudění v potrubí nastane při

2320ReRe k , coţ je současně

podmínkou platnosti Hagen-Poiseuillova zákona.

Zákon Poiseuilleův platí jen pro ustálení laminární proudění, kdy rychlostní profil v jednotlivých průřezech je stejný, coţ nastává po určité dráze od

počátku trubice-obr.9.2.Tekutina po vstupu do trubice má rychlostní profil odpovídající dokonalé tekutině. V prvém okamţiku mají částečky kapaliny u stěny rychlost stejnou jako v ostatním proudu kapaliny. Teprve stykem kapaliny se stěnou jsou částečky zbrzděny, čímţ

Obr.9.2 Rozběhová dráha laminárního profilu


54

vznikají rozdíly v rychlostech částic a vznikají tečná napětí od vazkosti mezi jednotlivými vrstvami proudu. Tak jsou postupně zbrzďovány další částice, v jádru proudu jsou částice naopak urychlovány. Dráha na níţ se vyvíjí rychlostní profil, se nazývá rozběhovou drahou

laminárního proudu. Pro rozběhovou dráhu uvádí Boussinesq výraz Re065,0d

xr , Schiller

025,0d

xr Re.

Je zřejmé, ţe k ustálení rychlostního profilu dojde dosti daleko od vstupního průřezu, takţe v krátkých trubkách se laminární rychlostní profil nevyvine, a proto u nich zákon Hagen-Poiseuilleův neplatí.

9.2. Laminární proudění mezi rovnoběžnými deskami

Obr.9.3 Laminární proudění mezi deskami

Mezi rovnoběţnými stěnami je tlakovým spádem 21 ppp vyvoláno laminární proudění

ve vodorovném směru (obr. 9.3). Předpokládá se izotermické proudění (t= konst), a tedy i

izoviskózní ( = konst.). Vertikální vzdálenost desek je h. Rovnováha sil je vyjádřena obdobně jako v předcházejícím případě tlakovými a třecími silami. Na hranolek o jednotkové šířce b=1 a rozměrech dx, dy působí elementární tlaková síla.

bdydppdypbdFp .

a elementární třecí síly

bdxdbdxdFt .

Rovnováha sil je vyjádřena rovnicí 0 tp dFdF , takţe po dosazení za síly se dostane

0 dxdbdydpb

a po úpravě je

idx

dp

dy

d

Z Newtonova vztahu dy

dv se určí derivováním .konst

idy

vd

dy

d

2

2

Porovnáním posledních dvou výrazů obdrţíme diferenciální rovnici pro rychlostní profil

dx

dp

dy

vd

2

2

( 9.6 )

Tlakový úbytek bude přímo úměrný délce L, proto platí


55

iL

p

L

pp

L

pp

dx

dp z

2112

Po dvojí integraci rovnice( 9.6) se dostane

212

2KyKy

L

pv z

( 9.7 )

Integrační konstanty se určí z okrajových podmínek. Na stěnách desek částice kapaliny lpí, a proto mají nulovou rychlost. Pro y=0 a y=h je v=0, z toho K2 = 0

Po dosazení za K2 =0 do rovnice (9.7) dostaneme

02

1 hKL

hp zz

odkud pro K1 platí

L

hpK z

21

Po dosazení do obecného řešení se pro rychlost dostane

yyhL

pv z

2

( 9.8 )

Rychlostní profil je kvadratická parabola. Maximální rychlost se určí z podmínky pro

maximum, tj. .0dy

dv Maximální rychlost je uprostřed vzdálenosti desek h, čili

2

hy

L

phv z

8

2

max

( 9.9 )

Průtok se určí integrací elementárního průtoku dybvdQv , který protéká

elementární ploškou b.dy

3

0

2

0122

hL

pbdyyhy

L

pbdyvbQ z

hz

h

v

Střední rychlost podle průtoku je

L

ph

bh

Q

S

Qv zvv

s12

2

( 9.10)

Poměr střední a maximální rychlostí je

3

2

max

v

v s

Proudění v mezeře můţe být ovlivněno kromě tlakového spádu téţ pohybem jedné ze

stěn rychlostí u (obr. 9.4). Pro tento případ se odvodí rychlostní profil z rovnice (9.7) pro

okrajové podmínky uvhyvy ,,0,0 . Pak integrační konstanty jsou

22

2182

, hL

puK

h

uK

a po dosazení do rovnice (9.7) je rychlostní profil určen vztahem

2

1

4

1

2

22

h

yu

h

yh

L

pv z

( 9.11 )

Rychlostní profily jsou znázorněny pro oba smysly unášivé rychlosti u na obr. 9.4.


56

Jestliţe je proudění vyvoláno jen

unášením, pak 0L

pz a rychlostní

profil je lineární

2

1

h

yuv

(

9.12 )

Rychlostní profil sloţeného proudění (vyvolaného tlakovým spádem a unášením stěny) určený

rovnicí (9.11) je sečtením rychlostních profilů pro dílčí proudění.- rov (9.8) a (9.12)

Průtok při sloţeném proudění, jehoţ rychlostní profil je určen rovnicí (9.9), se určí integrací

bhuhL

pbuhh

L

pdyvbQ zz

h

h

v

2

1

122

1

12

23

2/

2/

( 9.13 )

Střední rychlost sloţeného proudění v mezeře je

uhL

p

bh

Qv zv

s2

1

12

2

( 9.14 )

9.3. Laminární proudění ve válcové mezeře-mezikruží

V hydraulických strojích a zařízeních se často setkáváme s případy, kdy kapalina proudí válcovou mezerou (průtočný průřez je mezikruţí)-obr.9.5. Tak je tomu u čerpadel, turbin, šoupátek, ventilů, kluzných loţisek apod. Proudění ve válcové rovině lze řešit pro

malé hodnoty 1/ ds jako rozvinutou válcovou mezeru do roviny, čímţ se případ přivede na

proudění mezi dvěma rovnoběţnými.- viz kap. 9.2. Válcové mezery slouţí k těsnění nejrůznějších částí hydraulických strojů a zařízení, z nichţ jedna koná vůči druhé relativní pohyb. Nejjednodušší případ nastane, kdyţ obě části jsou v relativním klidu. Vzájemná poloha obou částí můţe být buď souosá nebo výstřední. Průtok válcovou mezerou lze určit jako průtok mezi dvěma deskami. Šířka mezery v tomto případě se rovná obvodu kruţnice,

tedy db a vzdálenost desek h odpovídá tloušťka válcové mezery, čili sh . Po dosazení

se dostane průtok:

3.12

hdL

pQ z

v

( 9.15 )

a střední rychlost

L

ph

S

Qv zv

s12

2

,

( 9.16 )

kde průtočná plocha válcové mezery

je dsS .

Proteklé mnoţství válcovou mezerou závisí na třetí mocnině její tloušťky, proto je snahou konstruktérů

docílit co nejmenší vůle, aby objemové ztráty byly minimální.

Podobný vliv má výstřednost. Na průtok má téţ vliv výstřednost mezery, která nastane,

jestliţe osy obou válcových ploch o průměrech d a 1d nebudou totoţné. Maximální

výstřednost je 2

1max

dde

. Průtok mezerou s maximální výstředností je 2,5x větší neţ u

souosé válcové mezery.

Obr.9.4 Rychlostní profily sloţeného proudění

Obr.9.5 Válcová mezera


57

9.4. Stékání po svislé stěně

Viskózní kapalina, která ulpívá na svislé stěně, stéká po ní vlivem tíhového zrychlení

(obr. 9.6). Předpokládá se izotermické proudění (t = konst), které je také izoviskózní ( =

konst). Na elementární částicí kapaliny o šířce b a rozměrech dx, dy působí tíhové a třecí

síly ve směru osy y. Předpokládá se ustálené rovnoměrné proudění. Výslednice sil ve

směrech os x , z jsou nulové. Na rozhraní stékající vrstvy kapaliny o tloušťce h s ovzduším

je tlak ovzduší op . Tlak ve stékající vrstvě je konstantní. Rovnováha sil na zvolený

elementární hranolek je vyjádřena rovnicí

0 dybddybdydxgb

a po úpravě se dostane diferenciální rovnice

gdx

d

jejíţ řešení je

oKgx

Obr. 9.6 Stékání po svislé stěně

Tečné napětí na rozhraní kapaliny s ovzduším je téměř nulové, tedy pro hx je 0 , čili

ghKo . Průběh smykového napětí ve stékající vrstvě je dán rovnicí

xhg ( 9.17 )

Tečné napětí se vyjádří Newtonovým vztahem dx

dv a integrací se určí rychlostní profil

12

Kxx

hv

gv

Na stěně je rychlost nulová, pak pro 0x je 0v a integrační konstanta 01 K .

Rychlostní profil stékající vrstvy kapaliny po stěně je určen rovnicí

xx

hv

gv

2

( 9.18 )


58

Průběh rychlosti ve vrstvě je parabolický (9.6). Maximální rychlost je na rozhraní vrstvy

s ovzduším a vypočte se z podmínky pro hx je maxvv , čili

2

2

max

ghv

( 9.19 )

Průtok vrstvou kapaliny o šířce b se určí integrací elementárního průtoku ploškou bdxdS

rychlostí v dle rovnice (9.16)

hh

vv

gbhxdx

xh

v

gbvdxbQ

0

3

032

( 9.20 )

Pro daný průtok Qv se určí tloušťka vrstvy

33

gb

vQh v

( 9.21 )

Střední rychlost ve vrstvě je

v

gh

bh

Qv v

s3

2

( 9.22 )

Porovnáním střední rychlosti s maximální rychlostí vyplývá vztah

max3

2vvs

( 9.23 )


59

10. Turbulentní proudění

10.1. Vznik turbulence

Jiţ v polovině minulého století Reynolds zjistil a formuloval, ţe se tekutina můţe pohybovat dvěma kvalitativně zcela odlišnými typy proudění, které pak byly nazvány laminární a turbulentní. Rozhraní mezi oběma druhy proudění nám udává Reynoldsovo kritické číslo. Jeho hodnota je závislá na řadě parametrů např. na geometrii proudu, tlakovém spádu, atd. Pro potrubí kruhového průřezu je spodní mez asi 2 000. Pro ustálené laminární proudění je charakteristické, ţe se částice tekutiny pohybují po paralelních drahách, jednotlivé vrstvy se navzájem nemísí (neuvaţujeme molekulární difůzi). Laminární proud vytékající z vodovodu má hladký povrch jako skleněná tyč. Pro turbulentní proudění jsou typické pulsace všech veličin např. rychlostí. Trajektorie částic tekutiny jsou nepravidelné, dochází k intenzivnímu promíchávání celého objemu proudící tekutiny. Povrch turbulentního proudu vody vytékajícího z vodovodu je proto nepravidelný, "drsný" a proud je neprůhledný. Okamţité hodnoty všech veličin neustále kolísají kolem střední hodnoty. Pro technické výpočty v praxi jsou většinou důleţité střední hodnoty zjištěné za dostatečně dlouhý časový interval jako např. rychlostní profil - tj. závislost střední rychlosti na vzdálenosti od stěny potrubí - pro výpočet průtoku. Odchylky okamţitých hodnot od středních můţeme rozdělit na periodické a nahodilé, které nazýváme fluktuace. Např. fluktuace rychlosti při vyvinutém turbulentním proudění v potrubí dosahuje asi 10 % střední rychlosti.

Přechod laminárniho proudění do turbulentního je ještě stále studovaný, neuzavřený problém. Za příčinu vzniku turbulentního proudění se povaţuje nestabilita laminárního proudění při vyšších Reynoldsových číslech. Je-li Reynoldsovo číslo proudu Re větší neţ Re, kritické neznamená to však ještě, ţe by laminární proudění nemohlo existovat, ale je nestabilní a i malé poruchy proudění, vznikající např. ve vstupním průřezu téměř neustále, mohou být příčinou zhroucení laminárního proudu (analogický jev je štíhlá tyč namáhaná na vzpěr), neboť tyto odchylky od střední hodnoty exponenciálně narůstají. Je-li Reynoldsovo číslo menší neţ Re kritické, jsou tyto poruchy viskozitou tekutiny utlumeny.

Při postupném zvyšování Reynoldsova čísla, např. zvyšováním rychlosti proudění v potrubí, nedochází zpravidla ke změně proudění náhle – skokem, nýbrţ v určitém, i kdyţ relativně malém intervalu Reynoldsových čísel - v potrubí kruhového průřezu asi od 2 000 do 4 000. Při určitých hodnotách Reynoldsova čísla se v potrubí objevují zprvu krátké úseky turbulentního proudu vystřídané delšími úseky laminárního proudění (turbulentní zátky).Tento typ proudění se nazývá intermitentní proudění. S rostoucím Re jsou úseky turbulentního proudu stále delší a laminárního kratší aţ postupně laminární úseky zcela zmizí. Při průtoku potrubím se čelo turbulentní zátky pohybuje rychleji neţ její týl a zátka se s rostoucí vzdáleností od vstupního průřezu stále více prodluţuje, aţ se v dostatečné vzdálenosti od vstupu do potrubí objevuje jen turbulentní proudění, i kdyţ se Reynoldsovo číslo proudění nemění.

Při turbulentním proudění je pak propustnost potrubí menší neţ by mohla teoreticky být při laminárním reţimu. Avšak turbulentní proudění je stabilnější.

S laminárním a turbulentním prouděním se setkáme nejen při průtoku tekutin potrubím, tj. při vnitřních úlohách mechaniky tekutin, nýbrţ i při obtékání těles, tj. při vnějších úlohách mechaniky tekutin.

10.2. Charakteristiky turbulentního proudění

Slovo turbulence znamená zmatek, nepokoj, neukázněnost, nepravidelnost, nahodilost, divokost, bouřlivost. Zatím není jednotná definice turbulentního proudění, v jednotlivých definicích se zdůrazňují zpravidla jen některé znaky. Turbulentní proudění je trojrozměrný, časově proměnný pohyb tekutiny, pň němţ kaţdá veličina např. rychlost, tlak, hustota, teplota ap. (pokud není z některých důvodů konstantní) se mění více méně nahodile. Náhodné (chaotické, stochastické) rysy turbulentního proudění jsou dominantní. Nelze však asi definovat turbulentní proudění za "zcela nahodilé", jednak i turbulentní proudění je popisováno základními rovnicemi pro prostorové proudění, viz kap. 19, jednak


60

turbulentní proudění obsahuje uspořádané skupiny vírů zvané "koherentní struktury". K těmto poznatkům se dospělo během posledních několika desítek let, díky stále se zdokonalujícím experimentálním metodám. Vyvstává nyní otázka, zda je nahodilost fluktuací postačující k tomu, aby turbulentní proudění bylo popisováno statistickými metodami, nebo zda Ize najít, jiné vhodnější metody. V praxi se mohou vyskytnout proudění, u kterých budeme na rozpacích, zda je zařadit do kategorie turbulentního nebo neturbulentního proudění. Periodická proudění (např. vlny na vodní hladině) se nepovaţují za turbulentní proudění.

Pro turbulentní proudění jsou, stručně shrnuto, charakteristické:

1) Fluktuace rychlosti, tlaku a případně dalších veličin.

2) Víry o různých velikostech, od největších s rozměry srovnatelnými s velikostí proudu tekutiny jako např. poloměrem potrubí, jeţ se deformují, promíchávají a rozpadají aţ po nejmenší o průměru setin mm, jeţ jsou silně tlumeny viskozitou tekutiny a jejichţ kinetická energie se přeměňuje ve vnitřní tepelnou energií.

3) Nahodilost (stochastičnost, chaotičnost) změn je dominantní, i kdyţ i ve vyvinutém turbulentním proudění bylo prokázáno, ţe existují uspořádané skupiny vírových struktur, vyznačující se náhodnými fluktuacemi fázového posunu.

4) Samobuzení. Jednou vzniklé turbulentní proudění se dále udrţuje samo tím, ţe vytváří nové víry, které nahrazují víry, jeţ jsou vlivem viskozity disipovány.

5) Promíchávání (difuzivita) je mnohem intensivnější neţ při laminárním proudění (směšování způsobené pohybem molekul), nebot' turbulentní směšování je způsobeno velkými víry, pohybujícími se ve všech třech směrech na mnohem větší vzdálenosti, neţ je střední volná dráha molekul.

Pro měření časově proměnných veličin bylo třeba vyvinout speciální přístroje s malou setrvačností, neboť spektrum fluktuací se pohybuje od 1 Hz do 100 kHz. Např. pro měření okamţitých rychlostí, resp. sloţek, nelze pouţít Prandtlovu trubici (měří střední hodnotu), nýbrţ termoanemometr se ţhaveným drátkem, nebo laserový anemometr. Tyto přístroje převádějí rychlost na elektricky měřitelné veličiny. Na oscilografu pak získáme např. záznam okamţitých hodnot sloţek rychlostí ve směru x a y v určitém místě jako funkci času. Průběh vx a vy povaţujeme za náhodný – obr. 10.1 a můţeme ho charakterizovat těmito veličinami:

Obr.10.1 Časový průběh rychlosti

Střední hodnotou vx resp. vy za čas T např.

T

xx dtvT

v0

1

(10.1)

Okamţitou hodnotu vx lze pak vyjádřit jako součet hodnoty střední xv a fluktuační xv (nyní

povaţujeme periodickou sloţku rovnu nule)

xxx vvv . ( 10.2 )


61

Z rovnice (10.1) plyne, ţe střední hodnota střední hodnoty je rovna střední hodnotě xx vv

a pak střední hodnota fluktuací je rovna nule

T

xx dtvT

v0

01

( 10.3 )

Intenzita turbulence charakterizuje relativní velikost amplitud fluktuací rychlosti vzhledem ke

střední hodnotě rychlosti např. pro směr x

x

xx

v

v 2 .

( 10.4 )

Intenzita turbulence při vyvinutém proudění v potrubí kruhového průřezu je závislá na směru - podélné fluktuace jsou větší neţ příčné, v ose mají minimum, maximum je v těsné blízkosti stěny a na stěně jsou rovny nule. Intenzita turbulence je definována stejně jako variační koeficienty v matematické statistice – obr. 10.2.

Obr.10.2 Rozloţení turbulence v potrubí, x-ová sloţka je podélná – axiální, y-ová je radiální

U stochastických jevů není jednoznačná závislost mezi dvěma nebo více veličinami, jako je tomu u deterministických závislostí, coţ se projevuje jako v detailech odlišné výsledky opakovaných experimentů. Existuje však určitá pravděpodobnost, ţe hodnotě jedné veličiny odpovídá určitá hodnota druhé veličiny. Tato závislost můţe být těsná nebo volná, případně ţádná. Stupeň závislosti udává korelační součinitel. Z průběhu korelačních součinitelů lze pak určit různá měřítka turbulence. Např. délkové makroměřítko charakterizuje efektivní rozměr vírů, atd.

10.3. Matematický popis turbulentního proudění

Přímé modelování s vyuţitím Navier-Stokesových rovnic, viz kap. 19, bude ještě dlouho kabinetní záleţitost. Pro praktické pouţití se vyuţívají

1) Statistické teorie. Přenosové jevy v turbulentním proudu mají dominantní náhodný charakter a bylo přirozené pouţít k jejich popisu nástroje matematické statistiky. Jiţ v minulém století Reynolds upravil Navierovy - Stokesovy rovnice pro turbulentní proudění tak, ţe nahradil okamţité hodnoty veličin jejich středními hodnotami a fluktuacemi. Dostal


62

tak tři nové rovnice, nazývané po něm Reynoldsovy rovnice, se šesti novými neznámými typu

jiij vv ( 10.5 )

kde indexy i a j postupně nahradíme symboly pro souřadné osy x, y, z· Výraz jivv je

střední hodnota součinu fluktuačních sloţek rychlostí. Pravé strany rovnice ( 10.5 ) mají rozměr napětí a nazývají se Reynoldsova (zdánlivá) turbulentní napětí. Protoţe nyní počet neznámých převyšuje počet rovnic, není soustava rovnic uzavřená, a hledají se stále nové moţnosti uzavření soustavy. Tímto směrem se zde nebudeme více zabývat.

2) Semiempirické modelování středních turbulentních veličin. Tento směr se soustřeďuje na stanovení veličin jeţ mají význam pro inţenýrskou praxi, jako např. pole středních rychlostí, tečná napětí, ap. První pokus řešení turbulentního proudění předloţil Boussinesq (1877), který zavedl zdánlivou (vírovou) viskozitu A , jeţ je analogií dynamické viskozity tekutiny. Na rozdíl od ní není zdánlivá viskozita látkovou vlastností, nýbrţ je funkcí souřadnic a je závislá na geometrii a dalších charakteristikách proudového pole. Pro rovinné turbulentní proudění lze pak zdánlivé tečné napětí vyjádřit rovnicí

dy

vdA x

t

( 10.6 )

a výsledné tečné napěti v turbulentním proudu bude rovno součtu

dy

vdA x .

Ve své době měl velký význam model přenosu hybnosti (Prandtl, 1925), vycházející z analogie s kinetickou teorií plynů. Analogií střední volné dráhy molekul byla tzv. směšovací délka, kterou bylo nutno určit experimentálně. I tato veličina byla funkcí souřadnic, resp. geometrie proudového pole. Fluktuace rychlostí, resp. zdánlivé tečné napětí, bylo úměrné součinu směšovací délky a místního gradientu střední rychlosti. I přes velmi hrubé předpoklady byl získán významný a dodnes uznávaný výsledek - logaritmický rychlostní profil, obr. 10.3.

1ln Kyv

vz

,

( 10.7 )

kde 0* v = konst pro daný případ proudění. 0 je tečné napětí na stěně, je hustota

tekutiny. Druhá odmocnina z podílu těchto dvou veličin má rozměr rychlosti a nazývá se třecí

rychlost v* , y je odlehlost od stěny potrubí, je tzv. Kármánova konstanta, jejíţ hodnota se pohybuje kolem 0,4 a K1 je integrační konstanta. Tento tzv. logaritmický zákon neplatí v blízkosti stěny, neboť na stěně, pro y = 0, dává nekonečně velikou rychlost. Ani integrační konstantu nemůţeme jako obvykle stanovit z podmínky, ţe na stěně tekutina lpí a rychlost je nulová. Prandtl a Kármán proto později rozdělili turbulentní proud v blízkosti stěny na tři oblasti, t.j.- obr. 3.10.

a) vazkou podvrstvu, v těsné blízkosti hladké stěny, kde převaţuje viskózní tečné napětí nad zdánlivým turbulentním napětím, nebot' příčné sloţky fluktuačních rychlostí jsou stěnou tlumeny. Tato vrstva byla původně nazývána laminární podvrstvou, ale experimenty bylo prokázáno, ţe se v ní vyskytují fluktuace. Tato vrstva je velmi tenká, zlomky milimetru, ale má velký význam při přestupu tepla. Rychlostní profil je přímkový.

b) turbulentní jádro proudu, v určité vzdálenosti od stěny uţ tečné napětí způsobené viskozitou tekutiny je zanedbatelně malé ve srovnání se zdánlivým turbulentním napětím. V této oblasti platí logaritmický zákon, v této formě zvaný zákon stěny.

c) přechodová vrstva je ta část proudu, kde obě tečná napětí způsobená viskozitou nebo turbulentním směšovacím pohybem jsou řádově stejně veliká a rychlost plynule přechází z přímkového na logaritmický zákon.


63

Na základě experimentů provedených v hladkých trubicích byly stanoveny i neznámé konstanty v logaritmickém zákoně:

5,5log75,5 *

*

yv

v

vx .

( 10.8 )

V literatuře zabývající se turbulencí se zavádí bezrozměrná rychlost

*v

vv x

( 10.9 )

a bezrozměrná odlehlost od stěny

v

yvy *

.

( 10.10 )

Logaritmický zákon má pak tvar

5,5log75,5 yv

a je znázorněn v semilogaritmických souřadnicích na obr.10.3.

Jestliţe integrační konstantu K1 v rovnici ( 10.7 ) určíme z podmínky pro osu trubice, pro níţ je odlehlost od stěny rovna poloměru trubice y = r0 a rychlost je zde rovna maximální

rychlosti maxvvx , dostaneme po úpravě rovnici pro tzv. deficit rychlosti (také defekt

rychlosti) xvv max coţ je úbytek rychlosti vzhledem k rychlosti v ose:

y

r

v

vv x 0

*

max log75,5

.

( 10.11 )

Z rovnice vidíme, ţe deficit rychlosti nezávisí na drsnosti, coţ bylo potvrzeno i experimentálně.

Známe-li rovnice rychlostního profilu středních rychlostí rv a dokáţeme-li integrací

po průřezu stanovit objemový průtok Qv, střední objemovou rychlost po průřezu SQv v a

poměr maximální rychlosti na ose průřezu ku střední objemové rychlosti v, tj. rychlost, kterou jsme dosazovali do rovnice kontinuity a do Bernoulliovy rovnice a stejně jako dříve ji budeme

Obr.10.3 Turbulentní rychlostní profil


64

označovat prostým písmenem v, pak můţeme teoreticky odvodit i součinitele třecích ztrát při turbulentním proudění. Z podmínky rovnováhy psané pro elementární částici tekutiny ve tvaru válečku o průměru rovném průměru potrubí d a délce dx.

4

4

0

ddpddx

( 10.12 )

(odkud můţeme vypočítat i třecí rychlost jako funkci tlakového spádu dp/dx) a z upraveného Weisbachova vzorce

d

v

dx

dp

2

2

,

( 10.13 )

kde v je střední objemová rychlost po průřezu, obdrţíme výraz udávající závislost součinitele třecích ztrát na veličinách jeţ závisí na tvaru rychlostního profilu

2

2

0

8

8

v

v

v

( 10.14 )

Poznámka: Místo logaritmického zákona se v turbulentním proudění pouţívá také staršího empirického mocninového zákona, obr.10.4

n

x

r

y

v

v1

0max

,

( 10.15 )

kde maxv je maximální rychlost tj. rychlost v ose potrubí, jehoţ poloměr je ro. Exponent n

není konstanta, ale mění se s Reynoldsovým číslem od 7 do 10 a s drsností potrubí.

Obr.10.4 Turbulentní rychlostní profil v obyčejných souřadnicích.

Výše uvedené dva modely turbulence mohou poskytnout pouze střední hodnoty sloţek rychlostí, případně součinitel turbulentních třecích ztrát. Nedokáţí stanovit další důleţité veličiny, jeţ charakterizují turbulenci jako jsou např. Reynoldsova napětí, kinetická

energie turbulentních fluktuací 2222/1 zyx vvvk atd. Tyto veličiny však spíše spadají

do problematiky statistických modelů a bude o nich pojednáno v kap. 19.


65

11. Hydraulický výpočet potrubí

Hydraulický výpočet potrubí je zaloţen na aplikaci rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu na určení hydraulických odporů, neboli hydraulických ztrát.

11.1. Hydraulické odpory (ztráty)

Při proudění skutečných tekutin vznikají následkem viskozity hydraulické odpory, tj. síly, které působí proti pohybu částic tekutiny. Mechanismus hydraulických odporů je sloţitý jev, který se dosud nepodařilo exaktně vyřešit aţ na jednodušší případy laminárního proudění. Proto se v hydraulických výpočtech uplatňuje řada poloempirických metod.

Obr.11.1 Tlakový spád a tečné napětí

Práce třecích sil (tečných napětí od viskozity) při proudění skutečných tekutin způsobuje rozptyl (disipaci) energie, coţ sniţuje mechanickou energii proudící tekutiny. Rozptýlená energie se mění v teplo (zvětší se vnitřní energie tekutiny, popřípadě okolí), coţ je nezvratná změna. Tradičně se proto rozptýlená energie nazývá ztrátová, i kdyţ název neodpovídá zákonu o zachování energie. Rozptýlenou (ztrátovou) energii vztahujeme obvykle na jednotku hmotnosti, tíhy nebo objemu a platí vztah

2

2vgh

pYe z

zzz

(11.1 )

Pod pojem hydraulické odpory zahrnujeme při proudění skutečné tekutiny všechny účinky, které způsobují rozptyl energie. Rozptýlená (ztrátová) energie na hydraulických odporech se projeví buď jako tlakový úbytek (vynucené proudění v potrubí apod.), nebo úbytkem kinetické energie (výtok z nádob otvory apod., anebo sníţením polohové energie (proudění v korytech, gravitační potrubí apod.) – obr. 11.1.

Hydraulické odpory se dělí na odpory třecí a místní. Třecí odpory jsou charakteristické tím, ţe závisí na délce potrubí, kanálu, apod. Ztrátový součinitel třecího odporu je přímo úměrný délce potrubí L. Místní odpory vznikají v místech, kde se mění velikost rychlosti (změna průtočného průřezu), směr rychlosti (zakřivené potrubí), popřípadě velikost i směr rychlosti (armatury) a dochází přitom k odtrţení proudu a vzniku vířivé oblasti.

Ztrátový součinitel místního odporu závisí na geometrii uvaţovaného místa (změny

průřezu, zakřivení apod.) a na proudění (druh kapaliny, rychlost). Tlaková ztráta zp je rozdíl

tlaků na délce potrubí l (u třecího odporu) nebo rozdíl před místním odporem a za ním.

Fyzikálně představuje rozptýlenou energii objemové jednotky proudící tekutiny. Ztrátová

výška zh představuje rozptýlenou energii vztaţenou na tíhovou jednotku proudící tekutiny.


66

11.2. Třecí ztráty v potrubí

Laminární proudění. U laminárního proudění pro Re2320 se velikost tlakové ztráty či ztrátové výšky dá odvodit analyticky. Při řešení vyjdeme z rovnice (9.2) pro střední rychlost

L

dpv z

s.32

2

Z rovnice vypočítáme tlakovou ztrátu a provedeme úpravu

2Re

64

2

6432 22

2

v

d

Lv

d

L

vdd

Lvpz

kde

vdRe ;

Potom tlakový spád je určen rovnicí

2

2v

d

Lpz

( 11.2 )

kde třecí součinitel je určen vztahem

Re

64

( 11.3 )

Pro ztrátovou výšku platí

g

v

d

L

g

ph z

z2

2

( 11.4 )

Výše uvedené rovnice platí pro newtonské tekutiny a s dostatečnou přesností i pro potrubí

s poměrnou drsností do 05,0 . Jak dokázaly experimenty je odchylka od vypočtených

hodnot menší neţ 1%. To ovšem předpokládá vyvinutý rovnoměrný rychlostní profil. Při nerovnoměrném rychlostním profilu, který je způsoben např. místním odporem, jsou třecí ztráty větší, a to o 10 aţ 30%, pro třecí součinitel platí modifikovaná rovnice

Re

A

( 11.5 )

kde A = 70 aţ 85. V těchto případech je Rek = 1600.

Turbulentní proudění. U turbulentního proudění je tečné napětí větší a proto jsou ztráty třením větší neţ u laminárního proudění. Vyjadřuji se stejným způsobem, tj. ztrátovou výškou hz nebo tlakovou ztrátou pz jako u laminárního proudění ( tzv. Darcy-Weisbachova rovnice)

2

2v

d

Lpz

( 11.6 )

g

v

d

L

g

ph z

z2

2

( 11.7 )

Součinitel tření je závislý na velikosti Reynoldsova čísla Re a relativní drsnosti d

k

Re,f ( 11.8 )

kde v

vdRe - Reynoldsovo číslo

d

k - relativní drsnost stěny

k - je absolutní drsnost stěny potrubí


67

Rovnice pro třecí součinitel se nedá řešit analyticky, proto musela být stanovena

experimentálně. Pro hladké potrubí 0k , v roce 1913 odvodil Blasius empirický vztah

4 Re

3164,0 (

410.8ReRe k ) ( 11.9 )

Nikuradse pro hladké potrubí udává podle výsledků pokusů vzorec

28,0Relog2

1

410.6Re

( 11.10 )

Vliv drsnosti potrubí vyšetřoval Nikuradse v letech 1930 aţ 1933. V experimentech pouţil bronzové potrubí kruhového průřezu o různých průměrech. Nejprve provedl měření v hladkém potrubí. Potom měnil drsnost potrubí nalepením tříděných pískových zrn. Výsledky měření jsou uvedeny v diagramu na obr. 11.2. Křivky pro různé poměrné drsnosti kr se odpoutávají od přímky Blasiovy, která představuje průběh

součinitele tření pro hladké potrubí. S rostoucím Reynoldsovým číslem přecházejí v soustavu čar rovnoběţných s vodorovnou osou. Z obr. je patrné, ţe od určitého Reynoldsova čísla, které závisí na poměrné drsnosti, má součinitel tření hodnotu stálou a nezáleţí na Re.

V této oblasti – zvané vyvinuté turbulentní proudění – vyjádřil Nikuradse součinitel tření vztahem

2

138,1log2

1

k

d ;

2,191Re

d

k.

( 11.11 )

Mezi oblastí hydraulických hladkých potrubí a oblasti vyvinutého turbulentního

proudění je oblast přechodová, v níţ součinitel tření závisí jak na Reynoldsově čísle, tak

na poměrné drsnosti. Pro tuto oblast bylo různými autory odvozeno několik desítek rovnic, nejčastěji se však pouţívá vzorec, který odvodil Colebrook

d

k

d

k

27,0Re

51,2log2

1;

27,0Re

51,2log2

12

.

( 11.12 )

Tato rovnice je implicitní a se musí řešit iterací. Proto byly v posledních letech mnoha

autory odvozeny pro explicitní vzorce. Jako příklad je uvedena rovnice odvozená

Churchillem

12

1

5,1

121

Re

88

ba ,

( 11.13 )

Obr. 11.2 Nikuradseho diagram λ =(Re,ε)


68

1616

9,0

Re

3753027,0

Re

7ln457,2

ba .

Absolutní drsnost potrubí k závisí na druhu materiálu, zpracování a provozních podmínkách

(koroze, eroze). Podle zkušeností různých autorů jsou v tab 1.11 uvedeny drsnosti vybraných materiálů.

Tabulka 1.11 Absolutní drsnost materiálů potrubí

Absolutní drsnost potrubí k

Materiál potrubí Původní stav (mm)

Korodovaný stav

(mm)

Taţené trubky mosazné, měděné, hliníkové 0,0015 aţ 0,003 0,003 aţ 0,1

Bezešvé trubky ocelové 0,04 aţ 0,1 0,1 aţ 0,9

Taţené trubky ocelové 0,03 aţ 0,12 0,12 aţ 0,9

Svařované trubky ocelové 0,05 aţ 0,1 0,1 aţ 0,9

Pozinkované trubky ocelové 0,15 aţ 0,5 0,5 aţ 3,5

Vodovodní potrubí po 20-ti a více letech v provozu

0,6 aţ 3,0

Skleněné trubky, trubky z plastů 0,001 5 aţ 0,01

Pryţové hadice 0,01 aţ 0,03

Betonové potrubí 0,3 aţ 6,0

Zdrsnění vnitřních stěn potrubí vytvářel Nikuradse uměle tříděným pískem. Tato umělá drsnost, která je téměř rovnoměrná, se však liší od skutečné drsnosti, která je nerovnoměrná. Proto průběh součinitele tření v přechodové oblasti se u přirozené drsnosti odlišuje od průběhu pro umělou drsnost, jak to potvrdily Colebrookovy experimenty. – obr. 11.3.

Obr. 11.3 Třecí odpor v potrubí s přirozenou a umělou drsností

Obr. 11.4 Druhy drsností

Kromě absolutní velikosti výstupků nerovnosti k má velikost součinitele tření

podstatný vliv téţ tvar těchto výstupků. Rozlišují se dvě drsnosti, a to drsnost, která je způsobena ostrými a krátkými výstupky a druhá vlnitá drsnost, která je způsobena zaoblenými nerovnostmi tvaru dlouhých vln – obr. 11.4. U drsnosti prvního druhu závisí součinitel tření více na poměrné drsnosti a méně na Re-čísle. U vlnité drsnosti závisí součinitel více na Re-čísle a méně na poměrné drsnosti.

Výsledky měření třecího součinitele různými autory, především Colebrooka, jsou

na obr 11.5.


69

Obr.11.5 Moody-Colebrook diagram = f(Re, kr)

Z diagramu rkf Re, je patrné, ţe pro turbulentní proudění se křivky pro různé

drsnosti přimykají při niţších číslech Re k Blasiově přímce.

Od určité hodnoty Re se odpoutávají a přibliţují se vodorovné přímce. V turbulentním proudění se u stěny potrubí vytvoří vazká podvrstva , která přikrývá nerovnosti povrchu – obr. 11.6.

Z hlediska vlivu drsnosti na součinitel tření

se rozděluje turbulentní proudění na tři oblasti

1. Hydrodynamicky hladká stěna – v tomto případě vazká podvrstva zakryje nerovnosti povrchu, tyto nemají vliv na ztrátu třením a v potrubí jsou hydraulické odpory tření jako v hladkém potrubí. Takový obtékaný povrch se nazývá hydrodynamicky hladký (obr. 11.6) -

pk .

2. Oblast přechodová – v ní nerovnosti povrchu začínají vyčnívat z vazké podvrstvy. Tato oblast je charakterizována tím, ţe součinitel tření je

závislý na Re a poměrné drsnosti - Re,f .Tato oblast podle obr. 11.5 leţí mezi

Blasiovou přímkou a vodorovnými přímkami pro různé drsnosti.

3. Oblast vyvinutého turbulentního prudění – v tomto případě je tloušťka laminární podvrstvy

malá, takţe nezakryje nerovnosti obtékaného povrchu. Třecí součinitel je závislý na

poměrné drsnosti . V obr. 11.5 je tato oblast charakterizována vodorovnými přímkami pro různou poměrnou drsnost.

Nekruhové průtočné průřezy. Laminární proudění (vzhledem k platnosti Newtonova zákona pro tečné napětí od viskozity) v nekruhových potrubích se dá řešit matematicky. U laminárního proudění se třením o stěny potrubí zbrzdí částice v celém průtočném průřezu. „Mezní vrstva“ vyplňuje celý průtočný průřez a jeho tvar má vliv na rozloţení rychlosti neboli

Obr. 11.6 Hydrodynamický hladký

povrch


70

rychlostní profil. Proto je nutno pro kaţdý průřez odvodit vztah pro třecí ztráty a nelze je přepočítat z jednoho průřezu na druhý.

U turbulentního proudění v potrubí se vliv třecích sil na obtékaných stěnách omezí na podstatně menší vrstvu, která ve srovnání s charakteristickými rozměry průtočného průřezu je velmi malá. Tloušťka mezní vrstvy u turbulentního proudu závisí především na Re čísle. Jestliţe tvar průtokového průřezu potrubí nemá v podstatě vliv na součinitel tření, jsou ztráty třením turbulentního proudění v potrubí nekruhového průřezu určeny stejnými vzorci jako pro

kruhové potrubí. Místo průměru d kruhového potrubí je však třeba dosadit ekvivalent pro

nekruhové průřezy, pomocí něhoţ se vypočte Re-číslo, součinitel tření a ztrátová výška. Tento ekvivalent se nazývá hydraulický průměr – dh a je určen vztahem

O

Skonstdh

Konstantu úměrnosti je moţno zvolit. Výhodně se stanoví z podmínky, aby

hydraulický průměr kruhového potrubí dh byl roven jeho průměru d čili dh=d. Protoţe

O

Skdh a u kruhového potrubí je průtočný průřez

2

4dS

a omočený obvod dO je

44

2

dk

d

dkdh

Z rovnosti ddh 0 vyplývá konstanta 4k . Je tedy hydraulický průměr definován vztahem

O

Sdh 4

( 11.14 )

Ve výrazu je S průtočná plocha a O je omočený obvod průřezu. Hydraulický průměr

hd je tedy ekvivalent nekruhového průřezu a představuje kruhové potrubí o světlosti hdd ,

v němţ jsou stejné hydraulické ztráty jako v nekruhovém průřezu. Hydraulický průměr se můţe dosadit do výrazu pro poměrnou drsnost, do Reynoldsova čísla a do výrazu pro ztrátovou výšku

h

rh

rh

zd

kk

v

vdkf

g

v

dh ;Re;Re,;

2

1 2

( 11.15 )

Z toho je patrné, ţe výpočet ztráty třením v nekruhovém potrubí (turbulentní proudění) je shodný s výpočtem téţe ztráty v kruhovém potrubí. Pro přechod laminárního proudění

v turbulentní v nekruhových průřezech se uvaţuje kRe stejné jako u kruhového potrubí.

11.3. Místní odpory (ztráty)

V kaţdém potrubí bývají vedle rovných úseků i různá kolena, odbočky, armatury, měřící zařízení, čističe, chladiče apod., kromě toho se můţe měnit průřez potrubí. V těchto částech potrubí dochází ke změně velikosti i směru rychlosti proudění, coţ vyvolá víření, popřípadě odtrţení proudu kapaliny spojené s rozptylem energie. Energie proudící kapaliny se rozptyluje v místě potrubí, kde dochází ke změně vektoru rychlosti, proto je rozptyl nazván místními ztrátami.

Velikost místních ztrát se vyjadřuje obdobně jako ztráta třením rychlostní výškou a ztrátovým součinitelem

g

vh mzm

2

2

( 11.16 )

nebo jako měrnou ztrátovou energií

2

2vghe mzz

( 11.17 )


71

Ztrátový součinitel m závisí na druhu místní ztráty, konstrukčních parametrech,

drsnosti stěn, tvaru rychlostního profilu a na reţimu proudění. Vliv Re-čísla se projevuje – obdobně jako u třecích odporů – především při malých hodnotách Re-čísla.

Při velkých Re-číslech je ztrátový součinitel odporů konstantní. Sloţitost jevů spojených s vířením v místních odporech způsobuje to, ţe teoretické stanovení ztrátového součinitele místních odporů je nedostupné (kromě jednoduchých případů). Proto se ztrátový

součinitel určuje experimentálně. Takto určená závislost ztrátového součinitele platí jen ve

stejných podmínkách, za nichţ byl měřen, nebo ve fyzikálně podobných případech.

Místní odpory v potrubí se mohou vyjádřit ekvivalentní délkou el potrubí, v němţ je

ztráta třením stejná jako místní ztráta. Z rovnosti ztrátových výšek

g

v

d

l

g

v e

22

22

se určí ekvivalentní délka potrubí

dle

( 11.18 )

Za součinitel tření a průměr se dosadí hodnoty platné pro rovný úsek potrubí. Při změnách průřezu se mění průtočná rychlost a místní ztráty se mohou vyjádřit v závislosti na

přítokové 1v nebo odtokové rychlosti 2v - obr. 11.7.

g

v

g

vhz

22

22

2

21

1

( 11.19 )

Z této rovnice vyplývá vztah pro přepočet ztrátových součinitelů

2

2

12

2

1

221

S

S

v

v

( 11.20 )

Upravený pomocí rovnice kontinuity 2211 vSvS . Pro kruhové průřezy platí

1

4

1

222

4

2

11 ;

d

d

d

d

( 11.21 )

Ztráta náhlým rozšířením průřezu.

Při náhlém rozšíření průřezu se odtrhne proud kapaliny od stěn a vytvoří se víry obr. 11.7. Na délce rozšířeného potrubí se proud kapaliny rozšíří znovu po celém průřezu. Se změnou rychlostí je pojena změna tlaku. Při rozšíření průřezu klesá střední rychlost, a proto musí stoupnout tlak. Pro dokonalou tekutinu, která by neměla ztráty třením ani vířením, je dán tlakový rozdíl Bernoulliho rovnicí

22

2112

2vvpp t

Teoretický tlak v průřezu 2 je označen tp2 a je menší o tlakovou ztrátu spojenou

s rozšířením průřezu. Při proudění skutečné tekutiny v potrubí a kanálech není rozloţení po

Obr.11.7 Náhlé rozšíření průřezu


72

průřezu rovnoměrné, a proto kinetická energie takového proudu je větší, neţ odpovídá hodnotě vypočítané ze střední rychlosti podle průtoku, jak bylo odvozeno dříve.

Při nerovnoměrném rozdělení rychlostí jsou ztráty při náhlém rozšíření průřezu větší neţ při rovnoměrném. Následující výpočet se provede pro rovnoměrný rychlostní profil. K výpočtu hybnosti je třeba správně volit kontrolní objem, který musí zahrnovat celou oblast, v níţ se mění rychlost proudu. V uvaţovaném případě tvoří kontrolní objem válec omezený průřezy 1 a 2. Brzdicí síla ve směru proudu je dána rozdílem tlakových sil v průřezech 1 a 2. Protoţe tlak v průřezu je konstantní, je brzdicí síla, která vyvolá změnu hybnosti, dána výrazem

212 SppF

Tlak v průřezu 1 těsně za rozšířením je stejný jako těsně před rozšířením, protoţe

proud kapaliny se nerozšířil, a tím i tlak se tedy nezměnil. Brzdicí síla F se rovná změně hybnosti kapaliny proteklé v jednotce času. Hybnost v průřezu 1 je dána výrazem

1211 SvH , podobně v průřezu 2 je 2

222 SvH . Průtok kapaliny průřezy 1 a 2 je stejný.

Hybnostní věta vQF m má tvar

2122212 vvvSSpp

Tlakový rozdíl je určen Bernoulliho rovnicí pro skutečnou kapalinu,

zghvvpp

22

2112

2

Odečtením posledních dvou rovnic se dostane po úpravě výraz pro ztrátou výšku náhlým

rozšířením průřezu při uţití rovnice spojitosti 2211 SvSv

g

v

v

vv

S

Shz

221

22

22

22

21

2

1

2

Další pravou dostaneme

g

vv

g

v

S

S

g

v

S

Shz

221

21

221

21

2

2

122

2

1

2

( 11.22 )

Tento vzorec bývá nazýván Bordův (1766) nebo Carnotův. Ztrátový součinitel pro náhlé

rozšíření je určen pro průtokovou rychlost 1v (označen 1 ) a odtokovou rychlost 2v (označen

2 ) těmito výrazy:

22

2

1

2

2

11 11

d

d

S

S

22

1

2

2

1

22 11

d

d

S

S

( 11.23 )

Ztráta náhlým rozšířením průřezu je způsobena víry v oblasti mezi odtrţenou

proudnicí a stěnami. Při velkém poměru průřezů 1

2

S

S je ztráta větší neţ vypočtená hodnota,

neboť se můţe rozptýlit celá rychlostní výška. Vtéká-li kapalina rychlostí 1v z potrubí do

velké nádrţe, v níţ je rychlost 2v zanedbatelná, rozptýlí se celá kinetická energie kapaliny.

Ztráta náhlým zúžením průřezu.

K této ztrátě dochází v místě náhlého zúţení průřezu, kde se zúţením vyvolá zrychlení kapaliny. Proud kapaliny nemůţe následkem setrvačnosti sledovat tvar stěn potrubí. Matematické řešení ztráty zúţením vychází ze změny hybnosti kapaliny. Postup odvození je obdobný jako pro náhlé rozšíření. Pro ztrátovou výšku se odvodí rovnice


73

g

v

g

v

g

v

S

S

g

v

S

S

S

S

g

vv

g

pphz

2221

21

2

22

2

21

1

22

1

221

2

1

2

122

2121

( 11.24 )

Ztrátový součinitel vztaţený na přítokovou rychlost 1v nebo odtokovou rychlost v2 je

2

1

2

11 1

S

S

S

S

1

22 1

S

S

Ztráty v difuzorech. Při ztrátě náhlým rozšířením bylo dokázáno, ţe dochází ke značným ztrátám způsobeným odtrţením proudu a vířením. Ztráty mohou být podstatně zmenšeny, jestliţe přechod z menšího průřezu na větší bude pozvolný, jak je tomu u difuzoru. Difuzor se pouţívá hlavně tam, kde je třeba přeměnit kinetickou energii proudu na tlakovou (u podzvukových rychlostí) s nejmenšími ztrátami. Je známo, ţe velmi malým rozšířením průřezu se mění znatelně proudění, a to zejména rychlostní profil, který je tím více protaţen

ve směru proudění, čím je úhel rozšíření větší (obr. 11.9). Do úhlu rozšíření 6 aţ 8o

zůstává protaţený rychlostní profil symetrický k ose difuzoru. Při dalším zvětšení úhlu se proud účinkem tlakového gradientu odtrhne od stěny a symetrie proudu se poruší.

Při úhlech rozšíření

= 10o aţ 50o nastává odtrţení proudu zpravidla od jedné stěny, na níţ je rychlost menší. Proto nemůţe dojít k odtrţení proudu na protější stěně. Rychlostní profil se stane

nesymetrickým. Nesouměrnost proudu je často doprovázena nestabilním odtrháváním, coţ vyvolá kmitání proudu (pulsace) a tvoření vírů.

V difuzorech s většími úhly rozšíření neţ 50o aţ 60o nemůţe proud sledovat stěny difuzoru a odtrhává se po celém průřezu. Odtrhávání od stěny je doprovázeno menšími pulsacemi proudu. V rozšiřující se troubě nebo kanále vzrůstá smykové napětí následkem zvýšení turbulence, coţ způsobuje zvýšení ztrát. Rovněţ pulsace přispívají ke zvýšení ztrát. Nastává-li odtrţení proudu v difuzoru, jsou ztráty způsobeny převáţně vzniklými víry. Všechny ztráty mohou doprovázet ztrátu třením v difuzoru. Celkové ztráty v difuzoru je

moţno rozepsat na ztrátu třením a ztrátu spojenou se změnou průřezu, takţe zrztzd hhh .

Skutečný tlakový rozdíl na difuzoru je dán rozdílem tlaků v rozšířeném a počátečním průřezu a musí splňovat Bernoulliho rovnici pro skutečnou tekutinu čili

zghpvpv

2

221

21

22 zdgh

vvpp

2

22

21

12

Obr.11.8 Náhlé zúţení průřezu

Obr.11.9 Kuţelové potrubí (difuzor)


74

Protoţe ztrátová výška se dá vyjádřit rychlostní výškou v průřezu 1, je ztrátový součinitel difuzoru dán výrazem

21

12

2

2

121

12

2

1

2

2

1

221

1 21

2

11

2

v

pp

S

S

v

pp

v

v

v

v

g

v

hzdd

Podobně se určí ztrátový součinitel difuzoru vztaţený na odtokovou rychlost 2v :

22

12

2

1

222

12

2

2

122

2 2121

2

v

pp

S

S

v

pp

v

v

g

v

hzdd

Pro dokonalou tekutinu (bez ztrát) je tlakový rozdíl mezi průřezy 1 a 2 větší,

2

22

21

12

vvpp

Účinnost difuzoru, s níţ se mění kinetická energie na tlakovou, je dána poměrem skutečného rozdílu tlaku k teoretickému, to je

22

122

1

2

21

122

2

1

22

21

12

12

12

1

2

1

2

2

v

pp

S

Sv

pp

S

Svv

pp

pp

ppd

( 11.25 )

Hydraulické ztráty v difuzoru jsou spojeny se změnou průřezu, a proto je lze vyjádřit v poměru ke ztrátě náhlým rozšířením – rov. 11.22.

g

vv

h

h

h zd

zn

zdr

2

221

Součinitel r se nazývá stupeň rázu. Při rostoucím úhlu rozevření difuzoru, kdy změna

průřezu přechází v náhlou změnu, se stupeň rázu blíţí hodnotě jedna.

Hydraulické ztráty v difuzorech se dají vyjádřit třemi způsoby:

g

vv

g

v

g

vh rddzd

222

221

22

2

21

1

( 11.26 )

Ztrátové součinitelé 21, dd a stupeň rázu r se určí měřením. Pro vzájemný přepočet

součinitelů rdd ;; 21 , slouţí rovnice

rddS

S

S

S

S

S

2

2

12

2

1

2

2

2

11 12

( 11.27 )

nebo

rdS

S

S

S

S

S

2

1

21

2

1

2

2

2

12 2

( 11.28 )

Kuželové potrubí. Při zuţování průřezu je hydraulická ztráta způsobena rovněţ třením a lze ji určit integrací na elementární délce kuţelového potrubí. – obr. 11.10. Ztráta třením na

elementárním úseku dx určena vztahem

g

v

d

dxdhz

2

2

Celková ztráta se určí integrací diferenciální rovnice, přičemţ je nutno uvaţovat

změnu průměru a rychlosti po délce kuţelového potrubí. Rovněţ součinitel tření se mění


75

s Re-číslem, avšak v malém rozmezí, takţe se uvaţuje střední hodnota s jako konstanta.

Průměr d se mění se souřadnicí x podle vztahu

xl

dx

l

dd

1

1

2

2 ; 21

22

1

2

1

2 ;dd

d

l

l

d

d

l

l

který vyplývá z podobnosti trojúhelníků (obr. 11.10). Z rovnice kontinuity vyplývá pro rychlost 2

22

2

22

x

lv

d

dvv

Dosazením do výrazu pro zdh se dostane

Obr.11.10 Kuţelové potrubí (konfuzor)

1

2

5

22

2

52

2

l

l

szx

dx

g

v

d

ldh

a po integraci je ztrátová výška v kuţelovém potrubí

41

42

22

2

2 124

1

l

l

g

v

d

lh sz =

g

v

g

v

d

d

dd

ls

221

4

1 22

2

22

41

42

21

( 11.29 )

Z poslední rovnice vyplývá výraz pro ztrátový součinitel ztráty v kuţelovém potrubí

4

1

241

42

212 1

28

14

1

d

d

tgd

d

dd

l s

( 11.30 )

Změna směru proudění. V kaţdém potrubním systému se zpravidla vyskytuje prvek, v němţ se mění směr rychlosti tekutiny. Tento prvek tvoří zakřivené potrubí, oblouky, kolena a také kombinace oblouků. V těchto prvcích dochází k rozptylu energie, která se vyjadřuje místní ztrátou změnou směru proudění.

Obr.11.11 Síly na elementární části proudu v zakřiveném potrubí


76

K vytvoření představy proudění v zakřiveném potrubí je uţitečné si povšimnout proudění dokonalé kapaliny v kruhovém oblouku. Předpokládá se, ţe kapalina přitéká ke kolenu konstantní rychlostí rozloţenou po celém průřezu 1 –1 rovnoměrně (obr. 11.11).

Následkem zakřivení drah působí na částice kapaliny odstředivá síla, která musí být v rovnováze s tlakovou silou. Aby vznikla tlaková síla působící do středu křivosti, musí na větším poloměru r působit větší tlak. Toto lze dosáhnout v souladu s Bernoulliho rovnicí tím,

ţe se rychlost částice sníţí. Pro elementární částicí kapaliny o rozměrech drds, , která se

pohybuje ve vodorovné rovině na poloměru r a má jednotkovou šířku, je rovnováha tlakové a

odstředivé síly cp dFdF vyjádřena rovnicí

dmr

vdpds

2

Hmotnost elementární částice je drdsdm . Pro všechna vlákna na různých

poloměrech r , která vycházejí z průřezu 1-1, kde rychlosti a tlaky jsou rovnoměrně rozloţeny, platí Bernoulliho rovnice

konstvp

2

2

0 dvv

dp

z čehoţ dvvdp .

Dosazením výrazů pro diferenciály dp a dm do rovnice vyjadřující rovnováhu sil se po

úpravě dostane

0r

dr

v

dv

Integrací se dostane krv lnlnln neboli .konstvr

To je zákon potenciálního víru. Závislost rychlosti v a poloměru r je graficky

znázorněna rovnoosou hyperbolou. – obr. 11.12. V provedené úvaze a výpočtech nejsou zahrnuty třecí síly od viskozity, které se budou uplatňovat při průtoku skutečné kapaliny. Z hyperbolického rozloţení rychlostí je patrné, ţe mezi částicemi kapaliny jsou relativní rychlosti, které u skutečných kapalin vyvolávají tečné napětí úměrné rozdílům rychlostí. Skutečná tekutina nemůţe tedy protékat kolenem jako dokonalá kapalina, pro niţ byly odvozeny uvedené výrazy. Částice pomalejší budou brzdit částice

rychlejší, přičemţ u skutečné kapaliny se částice přemisťují na větší nebo menší poloměr. Vzniká sloţitý (spirálový) prostorový pohyb. Součástí tohoto proudění je vířivé proudění v příčném řezu, charakteristické dvěma víry opačného smyslu. Proud na vnitřní hraně kanálu se můţe odtrhnout, takţe vznikají víry i u stěn (obr. 11.13). Průběh tlaku na vnitřní a vnější stěně kolena je vyznačen na obr. 11.13. Čárkovaná přímka znázorňuje průběh tlaku v přímém potrubí. V diagramu je vyznačena

tlaková ztráta zp a její sloţky

odpovídající třecím ztrátám ( ztp ) a

víření ( zvp ).

Obr. 11.12 Rychlostní profil v oblouku


77

Obecně je tedy závislost ztrátového součinitele vyjádřena funkcí

var.Re,,, tgeom

d

Rfo

Obr.11.14 Schéma armatur

Četné výsledky měření ztrátového součinitele jsou uvedeny v literatuře. Jejich výsledky se dosti rozcházejí, protoţe v zakřiveném potrubí má vliv mnoho parametrů, které nejsou stejně dodrţeny ve všech experimentech.

Odpory v armaturách. Armatury (ventily, šoupátka, kohouty a klapky) slouţí k uzavření potrubí nebo k regulaci průtoku či tlaku (obr. 11.14). Při zcela otevřených uzávěrkách mají být ztráty co nejmenší. Při plném otevření mají nejmenší odpor šoupátka a kohouty. U ventilů jsou ztráty větší (aţ 25 krát) a závisí na zakřivení proudnic ve ventilovém tělese. Hydraulický odpor je způsoben jednak třením, ale hlavně vířením. Deskou šoupátka, ventilu, klapky nebo tělesem kohoutu se zuţuje průtočný průřez. Proud kapaliny nesleduje okrajovými proudnicemi přesně změny průřezu a dochází k odtrţení proudnic a vniku vířivých oblastí. Tyto jevy vyvolávají hydraulický odpor spojený s rozptylem energie.

Ztrátový součinitel se zjišťuje měřením. Obecně závisí na konstrukčním provedení armatury, na jejím poměrném otevření a na Re-čísle. Charakteristický průběh ztrátového součinitele je znázorněn v diagramu na obr. 11.15. pro šoupátko.Protoţe armatury představují proměnný odpor – obr. 11.15, pouţívají se velmi často v technické praxi pro regulaci průtoku tekutin

Obr.11.13 Proudění v zakřiveném potrubí


78

Obr.11.15 Ztrátový součinitel šoupátka

11.4. Gravitační potrubí

Gravitační potrubí obr. 11.16 spojuje dvě nádrţe A,B se spádem h. Potrubí se předpokládá dlouhé, a proto převládají hydraulické ztráty třením, ztráty místní se zanedbají. Uvaţuje se potrubí jednoduché s konstantním průměrem d a délky l. Nádrţe jsou rozlehlé, rychlosti na hladinách jsou velmi malé, spád h je tedy konstantní. Obě nádrţe a gravitační potrubí tvoří proudovou trubici, pro kterou můţeme napsat Bernoulliho rovnici, která napsaná pro průřezy 1 a 2 má tvar

zo gh

pgh

p

0

neboli zhh

Toto je rovnice pro gravitační potrubí, u kterého se potenciální energie spotřebuje na překonání hydraulických ztrát. Protoţe převládají hydraulické ztráty třením, s vyuţitím Darcy-Weisbachovy rovnice se předcházející rovnice upraví

hg

v

d

lhz

2

2

Poměrný spád je určen poměrem

5

2

2

22 8

22 d

Q

gS

Q

gdg

v

dl

hi v

( 11.31)

Protoţe poměrný spád je malý, proto platí l

h

L

hi , neboť pro malé úhly je

sintg .

Obr.11.16 Gravitační potrubí


79

Pokud není vliv místních ztrát zanedbatelný, potom Bernoulliho rovnice mezi průřezy 1 a 2 se zapíše ve tvaru

g

v

d

ll

g

v

d

lhh e

z22

22

Zde le je ekvivalentní délka potrubí nahrazující místní ztráty (viz kap. 11.3)

11.5. Jednoduché potrubí s nádrží

Pro jednoduché potrubí – (obr. 11. 17) délky l, průměru d, pro průřez 1 a 2

za předpokladu , ţe nádrţ je rozměrná – v10 platí Bernoulliho rovnice

Obr. 11.17 Jednoduché potrubí

cz

v

d

lvgh

vgh

1

21

22

222

( 11.32)

V rovnici jsou uvaţovány ztráty třením i ztráty místní - . Celkový ztrátový součinitel

d

ll

d

l ec

zahrnuje ztráty třením a všechny ztráty místní (vtok do potrubí, oblouky, armatury apod). Místní ztráty je moţné vyjádřit také pomocí ekvivalentní délky – lek.

Jednoduché potrubí je určeno pro hydraulický výpočet čtyřmi veličinami: délkou

potrubí l, průměrem potrubí d , spádem h a rychlostí v nebo průtokem Q . Současně jsou

známé fyzikální vlastnosti tekutiny, absolutní drsnost stěny potrubí, třecí součinitel a

ztrátový součinitel všech místních ztrát. Jedna ze čtyř veličin vhdl nebo Q můţe být

určená řešením rovnice (11.33) při čemţ pro třecí součinitel je vhodné volit explicitní rovnici,

aby nebylo nutné počítat iterací.

Obr. 11.18 Čára tlaku pro jednoduché potrubí


80

Při návrhu potrubí je nutné vzhledem ke spolehlivé činnosti potrubí dodrţet důleţitou podmínku a sice, ţe osa potrubí vţdy leţí pod čarou tlaku. Pro definování čáry tlaku předpokládejme vodorovné potrubí s nádrţí – obr. 11.18.

Odečteme-li od hladiny v nádrţi rychlostní výšku g

v

2

2

a spojíme-li takto vzniklý bod

s koncem potrubí dostaneme čáru tlaku. Protoţe u potrubí obvykle hg

v

2

2

pak čáru

tlaku dostaneme, jako spojnici hladiny v nádrţi s koncem potrubí – obr. 11.19.

Obr. 11.19 uvádí čáru tlaku u potrubí s místní ztrátou např. armaturou situovanou v obecném místě potrubí.

Obr. 11.19 Čára tlaku potrubí s armaturou

11.6. Složené potrubí

V technických aplikacích se uţívá velmi často i potrubní sloţení – tzv. potrubní síť - obr. 11.20. Sloţení potrubí mohou být větvená nebo okruţní. Okruţní potrubí vznikne tak, ţe ve větvené síti se dva uzly spojí tzv. diagonálou. U potrubní sítě se předpokládá, ţe odběry

budou pouze v uzlech sítě.

Pro kaţdý uzel sloţeného potrubí

musí platit rovnice spojitosti - 0iQ .

pro kaţdý úsek (větev) je moţné napsat rovnici pro tlakový spád (pro jednoduchost se uvaţují všechny úseky vodorovně)

g

v

d

L

g

vp ii

c22 1

21

Pro kaţdý okruh platí 0 p . Má-

li potrubní síť i úseků, j uzlů a k okruhů, potom celkový počet rovnic popisujících potrubí je

kjin ( 11.33 )

Jedná se o soustavu lineárních a kvadratických rovnic. Jejich řešení je nutné provést numericky s vyuţitím počítače. Je vhodné připomenout, ţe pro numerické řešení se hledají vhodné algoritmy, které zaručují rychlou konvergenci řešení.

11.7. Charakteristika potrubí

U jednoduchých případů výpočtu potrubí je výhodné pouţít grafické řešení pomocí

charakteristik,- vQfH , které pro rozvinuté turbulentní proudění jsou vyjádřeny

Obr. 11.20 Schéma potrubní sítě


81

kvadratickou parabolou. U sloţitých potrubních sítí bude naopak výhodné uţití numerických metod pomocí počítače.

Uvaţujeme vodorovné potrubí stálého průřezu obr. 11.21. Pro počáteční průřez 1 a konečný průřez 2 napíšeme Bernoulliho rovnici

2

222

211

22gh

vpvp

protoţe předpokládáme potrubí konstantního průřezu, potom z rovnice spojitosti platí

21 vv a rovnice se zjednoduší. Po úpravě

dostaneme.

vvQvQvc

c QQkQkQdgg

v

g

ppH

22

2

2

221 4

22

( 11.34 )

kde d

Lc

Tlaková výška H udává rozdíl tlakových výšek na počátku a na konci potrubí, který je

potřebný pro průtok Q. Závislost vQfH je kvadratická parabola a její grafické znázornění

je charakteristika potrubí – obr. 11.22

Je-li na začátku potrubí zpětná klapka, která brání průtoku v opačném smyslu, potom charakteristika potrubí ve třetím kvadrantu splyne se zápornou osou H. Pro potrubí se stoupáním (se spádem)- obr. 11.23 obdobným způsobem odvodíme rovnici pro tlakovou výšku.

vvQvQ QQkhQkhg

ppH

221

( 11.35)

Obr. 11.23 Schéma stoupajícího a klesajícího potrubí

Charakteristika potrubí se stoupáním (klesáním) je rovněţ kvadratická parabola, která má vrchol paraboly posunut nahoru (dolů) o výšku h.-obr. 11.24.

Obr. 11.21 Schéma vodorovného potrubního

úseku

Obr. 11.22 Charakteristiky vodorovného potrubí


82

Obr. 11.24 Charakteristika šikmého potrubí

Úseky potrubí mohou být řazeny sériově (za sebou) nebo paralelně (vedle sebe). Při sériovém řazení potrubních úseků je průtok kaţdého úseku stejný, tlakové výšky všech úseků se sčítají. Při paralelním řazení potrubních úseků jsou tlakové výšky pro všechny úseky stejné a průtoky ve všech úsecích se sčítají.


83

12. Výtok kapaliny z nádob, přepady

12.1. Výtok malým otvorem

Obr.12.1 Výtok z nádoby otvorem ve dně

Uvaţujeme výtok kapaliny otvorem ve dně podle obr.12.1 Protoţe polohová výška je pro celý otvor konstantní, potom rychlost v otvoru je rovnoměrně rozloţena. Výtoková rychlost v tomto případě se vypočítá z Bernoulliho rovnice. V obecném případě se uvaţuje

v nádrţi tlak p , který je odlišný od tlaku ovzduší 0p , do něhoţ vytéká kapalina otvorem o

průřezu 0S . Nádoba má konstantní průřez nS (válec, hranol) a je naplněna do výšky h (obr.

12.1). Pro skutečnou kapalinu platí Bernoulliho rovnice psaná pro hladinu v nádrţi a pro výtokový průřez

0

220

22

pgh

vgh

vpz

( 12.1)

Předpokládáme, ţe průřez výtokového otvoru 0S je ve srovnání a průřezem nádrţe nS

velmi malý potom rychlost poklesu hladiny 0ov

Pro ztrátovou výšku platí známá rovnice

g

vhz

2.

2

Potom z rovnice (12.1) pro výtokovou rychlost platí

00 221

1 ppgh

ppghv

( 12.2)

Pro teoretickou výtokovou rychlost 0 dostaneme

02

ppghvt

Poměr skutečné a teoretické rychlosti je rychlostní součinitel

11

1

tv

v

( 12.3)

Při stejném tlaku v nádrţi a ve výtokovém otvoru je výtoková rychlost určena rovnicí

ghv 2 ( 12.4)


84

Pro 1 je teoretická rychlost

ghvt 2 ( 12.5)

coţ je známý Torricelliho výraz.

Při výtoku z nádoby nevyplňuje proud kapaliny zpravidla celý výtokový otvor, neboť proudnice se nemohou náhle zakřivit podle hran otvorů. Setrvačnosti částic kapaliny je způsobeno zúţení nebo kontrakce paprsku. Vyjadřuje se součinitelem kontrakce

10

S

S

( 12.6)

Součinitel zúţení závisí obecně na tvaru výtokového otvoru, jeho umístění vůči bočním stěnám a na Re-čísle.

Skutečný výtok kapaliny otvorem po dosazení rovnice (12.4) a (12.6) je

ghSghSSvQ ov 22... 0 ( 12.7)

kde

1. tv

v

Q

Q

je výtokový součinitel, který rovněţ závisí na tvaru otvoru či nátrubku a Re-čísle.

Závislost Re,, f pro ostrohranný otvor podle výsledků měření je uveden na obr.

12.2.

12.2. Výtok velkým otvorem v boční stěně

Obr.12.2 Rychlostní, kontrakční a výtokový součinitel malého otvoru

Obr.12.3 Výtok velkým otvorem obecného tvaru

Při relativně velkém otvoru ve svislé stěně je nutno respektovat závislost výtokové rychlosti kapaliny na hloubce uvaţovaného místa pod hladinou tlaku ovzduší. Skutečná výtoková rychlost kapaliny je určena vztahem (12.2) nebo (12.4). Výtok kapaliny z nádoby se

určí integrací. Elementem výtokového otvoru bdhdS (obr. 12.3) vytéká elementární

skutečný průtok kapaliny

dhghbdSvdQv .2...

Výtok rozměrným otvorem je určen obecně integrálem

S

h

h

v dhghbdQQ2

1

2

( 12.8)


85

Má-li otvor obdélníkový průřez – .konstb , potom výtok určíme integrací rovnice (12.8)

2

3

12

3

22.3

2hhgbQv

( 12.9)

12.3. Výtok ponořeným otvorem

Obr.12.4 Výtok ponořeným otvorem

Kapalina vytéká otvorem do prostředí vyplněného rovněţ kapalinou (obr.12.4). Jde v podstatě o průtok otvorem mezi dvěma nádobami. Otvor je pod oběma hladinami v nádrţích, proto je označován jako ponořený. Výtoková rychlost otvorem závisí na rozdílu hladin v nádobách.

K odvození vztahu pro výtokovou rychlost se pomyslně otvor zakryje deskou. Tlak kapaliny působící na desku z obou stran je přímo úměrný hloubce uvaţovaného místa do hladiny tlaku ovzduší. Jejich průběh je vyznačen v obrázku přímkami. Tlaky působí proti sobě, proto výsledný tlak je dán jejich rozdílem, který je po celé stěně smočené z obou stran

konstantní ghp .

Po odkrytí otvoru začne kapalina přetékat teoretickou výtokovou rychlostí

ghvt 2

Tento výraz je formálně totoţný s Torricelliho výrazem. Protoţe tlakový rozdíl je po celém průřezu ponořeného otvoru stejný, je výtoková rychlost ve všech místech stejná a nezávislá

na tvaru otvoru S .

Pro objemový průtok proto platí rovnice

ghSQv 2. ( 12.10)

12.4. Výtok při současném přítoku

Z otevřené nádoby vytéká kapalina vQ otvorem 0S (obr. 12.5) a současně přitéká

vpQ , přičemţ vvp QQ . Výtok při libovolné výšce h hladiny je určen vztahem

ghSQv 20

Kdyţ vvp QQ ., pak se poloha hladiny v nádobě bude měnit. Při vvp QQ hladina stoupá,

při vvp QQ hladina klesá.

Stoupání, popřípadě klesání hladiny trvá tak dlouho, aţ se dosáhne rovnováhy

vvp QQ . Tomuto ustálenému stavu odpovídá výška hk, pro níţ platí

kvvp ghSQQ 20


86

Obr.12.5 Výtok při současném přítoku

Vyšetříme změnu polohy hladiny v závislosti na čase t . Předpokládá se, ţe

v rovnováţném stavu v čase 0t je hladina ve výšce 0h . Skokem se změní přítok kapaliny

na hodnotu .konstQvp , např. se vpQ zvětší. V libovolném časovém okamţiku t způsobí

rozdíl přiteklé a vyteklé kapaliny za elementární čas dt zvýšení dh hladiny 0p v nádobě o

průřezu nS .

hhgS

dhS

QQ

dhSdt

k

n

vvp

n

20

( 12.11)

Integrací této rovnice se stanoví čas za který hladina stoupne nebo klesne z původní

hodnoty 0h na hodnotu h . V obecném případě je třeba také uváţit, ţe

hfSn a tfQvp

12.5. Vyprazdňování nádob

Jestliţe do nádoby nepřitéká kapalina a tedy 0vpQ , hladina klesá, aţ se nádoba

vyprázdní 0h . Čas potřebný k vyprázdnění nádoby se vypočte z diferenciální rovnice

(12.11) do níţ se dosadí 0vpQ neboli 0kh . Pak platí

ghS

dhSdt

o

n

2

( 12.12)

Z otevřené nádoby s konstantním průřezem nS se dostane integrací doba t potřebná ke

sníţení hladiny 0p z výšky 0h na h

hhgS

Sdhh

gS

St n

h

h

n

0

00

21

0 2

2

2

Při úplném vyprázdnění nádoby je konečná výška hladiny rovna 0h a potřebná doba

vyprázdnění nádoby se vypočte ze vzorce

vovov

Q

V

Q

Sh

ghS

Sht 00

00

0 222

2

( 12.13)

kde 0V – objem nádrţe


87

000 2ghSQv je výtok na začátku vyprázdňování

Vypočítaná doba úplného vyprázdnění nádoby při menších výškách hladiny h0 se můţe lišit od skutečné doby vyprázdnění. To je způsobeno kvalitativními změnami ve výtoku kapaliny otvorem, neboť při určité výšce hladiny nad otvorem vznikne nálevkovitý vír.

12.6. Přepady

Přepad je výtok nezaplněným otvorem nebo otvorem s neuzavřeným obrysem. (obr.

12.6) Nejniţší místo výtokového otvoru je korunou přepadu. Výška horní hladiny 0p (před

přepadem) nad korunou přepadu je přepadová výška h .

S přepadem se setkáváme na přehradách, kde zajišťují propuštění při maximálních průtocích a udrţení hladiny v nádrţi pod maximální úrovní. Přepady mají význam rovněţ pro měření velkých průtoků, např. v laboratořích.

Podle polohy spodní hladiny se rozlišují přepady dokonalé a nedokonalé. Dokonalý přepad je takový, při němţ spodní hladina neovlivňuje průtok přepadem. U dokonalého přepadu je spodní hladina pod korunou přepadu (obr. 12.6.) Nedokonalý přepad má ovlivněn průtok spodní hladinou, která je výše neţ koruna přepadu (obr. 12.6). Přepadová stěna můţe být poměrně tenká nebo tlustá, popřípadě se zaoblením.

Průtok dokonalým přepadem s volným proudem se stanoví jako výtok velkým otvorem ve stěně nádoby –rov. (12.8).

Obr.12.6 Dokonalý a nedokonalý přepad

S

v dhhbgQ 2

Tato rovnice je rovnice Dubuatova pro obecný tvar přepadu. Součinitel přepadu je obdobný

výtokovému součiniteli. Je závislý na přepadové výšce h a vlastnostech přepadu -

var).(Re, tgeom

Pro obdélníkový přepad (obr. 12.6) se šířkou koruny přepadu b je průtok určen

vzorcem pro rozměrný otvor ve svislé stěně (obr. 12.9). Jestliţe se dosadí 01 h a hh 2 ,

pak

ghbhQv 23

2

( 12.14)

Pro přepad s ostrou hranou a pro volný proud, který je dobře zavzdušněn (vzduch má přístup

pod přepadající proud), je střední hodnota součinitele přepadu 65,0 , pokud šířka

přepadu b je rovna šířce celého kanálu 0b . Pro přepady jiných průřezů vztahy pro

průtok je moţné najít v odborné literatuře. Pro měření průtoku se velmi často pouţívá přepad trojúhelníkový.


88

13. Proudění v rotujícím kanále

13.1. Bernoulliho rovnice pro rotující kanál

Při průtoku kapaliny kanálem, který se pohybuje, se změní energie kapaliny, neboť na

ni působí síly od pohybu kanálu. (obr. 13.1) Např. při rovnoměrné rotaci .konst působí

na kapalinu odstředivá síla. Práce, kterou tato síla vykoná při proudění kapaliny, má vliv na její energii. Bernoulliho rovnice jak byla dříve odvozena v obecném tvaru

konstUvp

2

2

zahrnuje v potenciálu U práci všech objemových sil, které působí na proudící kapalinu, tedy

i odstředivé síly při rotaci kanálu. Na částici kapaliny v rotující proudové trubici působí sloţky zrychlení

0;;2 zyr agara

Uváţíme-li, ţe platí dříve odvozená rovnice, lze zapsat

z

Ua

y

Ua

x

UagradUa zyx

;;0

při čemţ platí

dyadyadxadU zyx

Potom pro svislou osu rotace s vyuţitím výše uvedených rovnic se určí potenciál integrací

Obr.13.1 Rotující kanál


89

konstr

ghrdrdygdyadxadUU yx2

222

Dosazením do obecné Bernoulliho rovnice dostane se pro rotující kanál tato rovnice

konstu

ghvp

22

22

( 13.1)

Rychlost v je relativní rychlost kapaliny, jíţ proudí v rotujícím kanále, rychlost u je obvodová

neboli unášivá rychlost v uvaţovaném místě rotujícího kanálu. Ostatní veličiny jsou stejné jako v základní Bernoulliho rovnici.

Při odstředivém průtoku rotujícím kanálem se unášivá rychlost u zvětšuje a energie

kapaliny se zvyšuje. Tak je tomu např. v odstředivých čerpadlech. Obdobně při dostředivém průtoku unášivá rychlost se zmenšuje a energie kapaliny se sniţuje. To je případ vodních turbin (např. Francisových).

Přihlíţí-li se k hydraulickým odporům při ustáleném proudění skuteční kapaliny rotujícím kanálem, platí pro dva průřezy jedné a téţ proudové trubice Bernoulliho rovnice

zghu

ghvpu

ghvp

2222

22

2

222

21

1

211

13.2. Odstředivé čerpadlo

Čerpadlo dodává kapalině energii, která je obecně vyuţívána na:

a) zvedání kapaliny (zvyšování polohové energie),

b) zvyšování tlakové energie (přemístění kapaliny do prostoru s vyšším tlakem)

c) dopravu kapaliny (přemístění kapaliny z jednoho místa do druhého).

Obr.13.2 Schéma čerpacího zařízení

Na čerpadlo Č – obr.13.2. je napojeno sací SP a výtlačné potrubí VP, která propojují sací SN a výtlačnou nádrţ VN. Podle obr. 13.3 celou dráhu kapaliny je moţno rozdělit na čtyři části :

1. sací nádrţ a potrubí – kapalina proudí ve stojícím potrubí z nádrţe k čerpadlu, zpravidla výše poloţenému,

2. oběţné kolo – kapalina proudí v rotujícím kanále

3. difuzor nebo spirála – kapalina proudí ve stojícím kanále,

4. výtlačné potrubí a nádrţ – kapalina proudí z čerpadla do nádrţe výtlačným potrubím, pro které platí Bernoulliho rovnice pro stojící kanál.


90

Obr.13.3 Odstředivé čerpadlo

Bernoulliho rovnice pro sací potrubí – úsek 0,1, psaná pro hladinu ve spodní nádrţi a vstup do oběţného kola je

zss ghc

ghpp

2

2110

V rovnici jsou tyto veličiny: sh je geodetická sací výška, zsh jsou hydraulické odpory v sacím

potrubí čerpadla, 0p je tlak na hladinu v sací nádrţi. Veličiny označené indexem l se

vztahují na vstup do oběţného kola čerpadla.

Pro oběţné kolo platí Bernoulliho rovnice pro rotující kanál – úsek 1,2, která je pro vstupní a výstupní průřez

zoghuvpuvp

2222

22

222

21

211

Rychlosti 21,vv jsou relativní. Rychlosti 21,uu jsou unášivé, index 1 značí vstup do

oběţného kola, index 2 výstup z oběţného kola. Ztrátová výška 0zh zahrnuje ztráty spojené

s průtokem kapaliny oběţným kolem (hydraulické). Mezi rychlostmi absolutní, relativní a

unášivou platí pro vstup i výstup z oběţného kola vztah uvc . Absolutní rychlostí 2c

vystupuje kapalina z oběţného kola a vstupuje do difuzoru, kde se kinetická energie mění v tlakovou.

Pro difuzor (nebo spirálu) jako stojící kanál platí Bernoulliho rovnice psaná pro vstupní a výstupní průřez – úsek 2,3.

zdghcpcp

22

233

222

Ztráty třením v difuzoru včetně vstupních a výstupních místních ztrát jsou zahrnuty ztrátovou

výškou v difuzoru zdh . Rychlost 3c a tlak 3p jsou shodné s tlakem a rychlostní ve výtlačném

hrdle čerpadla, na které je připojeno výtlačné potrubí nádrţe

Bernoulliho rovnice pro výtlačné potrubí – úsek 3-VN


91

zvvv ghgh

pcp

2

233

Celkové ztráty ve výtlačném potrubí jsou vyjádřeny ztrátovou výškou zvh . Veličiny označené

indexem v se vztahují na výtlačnou nádrţ.

Sečtením všech čtyř rovnic se dostane

21

22

21

22

21

22

2

1ccvvuuhhhhg

pphhgY zdzozvzs

ovvst

( 13.2)

Toto je výraz pro teoretickou měrnou energii čerpadla tY , případně teoretickou dopravní

výšku čerpadla tH . Měrná energie tY představuje energii, která je předána v čerpadle

kaţdému kg hmotnosti kapaliny. Část této energie se spotřebuje v čerpadle, a to

zčzdzo ghhhg , coţ představuje hydraulické odpory v oběţném kole a difuzoru

čerpadla.

Skutečná měrná energie čerpadla dY je

zčtddzvzsv

vszčtd hHHgHhhgpp

hhgghYY

;0

( 13.3)

V rovnici pro skutečnou měrnou energii čerpadla dY je zahrnuta energie potřebná na

zvedání kapaliny vs hhg , zvýšení tlakové energie

0ppv a dopravu kapalin, která je

spojena s překonáním hydraulických odporů v sacím a výtlačném potrubí zvzs hhg .

Poměr skutečné a teoretické měrné energie čerpadla je hydraulická účinnost čerpadla, ve které jsou zahrnuty hydraulické ztráty spojené s průtokem kapaliny pracovními prostory čerpadla. Další ztráty v čerpadle jsou způsobeny zpětným průtokem kapaliny z výtlaku do sání, netěsnostmi mezi rotujícími a stojícími částmi čerpadla (objemová účinnost

čerpadla 0 ) a ztrátami v loţiskách a ucpávkách (mechanická účinnost čerpadla m ).

Celková účinnost čerpadla je

mhč .. 0 ( 13.4)

Uţitečný výkon čerpadla je

dvdm HgQYQP .. ( 13.5)

Příkon čerpadla se určí pomocí celkové účinnosti č ze vztahu

č

vd

č

vd

č

dv

čp

QYQpHgQPP

..

( 13.6)


92

Obr.13.4 Charakteristika odstředivého čerpadla

Skutečné poměry na čerpadle se zjišťují experimentálně na zkušebně a z výsledků se

sestavuje charakteristika čerpadla, tj. závislost měrné energie dY na průtoku vQ .

Charakteristika čerpadla bývá doplněna téţ křivkami příkonu, celkové účinnosti, případně

kavitační deprese h - obr. 13.4.

Teoretická měrná energie tY , jak vyplývá z odvozených rovnic, je dána rychlostními

poměry na vstupu a výstupu z oběţného kola, tj. rychlostmi 2,12121 ,,,, uuccvv 1v v1. které

určují rychlostní trojúhelníky na vstupu a výstupu z oběţného kola – obr. 13.3. Kapalina se

pohybuje v oběţném kole relativní rychlostí v , která svírá s unášivou rychlostí u úhel . Aby

nedocházelo k rázu, musí lopatky oběţného kola mít směr relativní rychlosti. Určuje tedy

úhel 1 a 2 sklon lopatek na vstupu a výstupu čerpadla. Podobně úhly lopatek v difuzoru

jsou dány směrem absolutních rychlostí 2c a 3c , jimiţ proudí kapalina stojícím difuzorem.

Podle kosinové věty platí pro vstupní rychlostní trojúhelník – obr. 13.3.

11121

21

21 cos2 cucuv

a podobně pro výstupní rychlostní trojúhelník – obr. 13.3.

22222

22

22 cos2 cucuv

Dosazením do výrazu pro teoretickou měrnou energii čerpadla tY , se dostane po úpravě

uutt cucucucuYgH 1122111222 coscos ( 13.7)

kde uc1 a uc2 jsou sloţky absolutní rychlosti do směru unášivé rychlosti u . Pro skutečnou

měrnou energii dY platí výrazy

uuhthdd cucugHgHY 1122 ( 13.8)

Je-li úhel o901 tzv. kolmý vstup, potom předcházející rovnice se zjednoduší

uhd cuY 22..


93

14. Neustálené proudění

14.1. Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění

Integrací Eulerovy rovnice hydrodynamiky byla získána pro dokonalou kapalinu (nestlačitelnou a bez vnitřního tření) rovnice Bernoulliho

konstt

ghpv

l

ds

v

2

2

,

Obr.14.1 Neustálený proud v potrubí

která platí obecně pro neustálené proudění. Pro nejjednodušší případ neustáleného proudění, kdy

kapalina je nestlačitelná ( = konst, K ) a potrubí je tuhé (E ) a stálého průřezu, je

rychlost proudění jen funkcí času v = v(t) a integrál v poslední rovnici se dá vyčíslit

aldsadsdt

dvds

t

v

lll

Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění nestlačitelné kapaliny v tuhém potrubí je

konstalghvp

2

2

,

( 14.1 )

kde a je zrychlení sloupce kapaliny v potrubí o délce l. Ostatní veličiny mají stejný význam jako dříve. Pro průřezy 1 v nádrţi a 2 na konci potrubí, jímţ protéká skutečná kapalina nestacionárně, platí Bernoulliho rovnice

zghalvp

ghvp

22

22

200

.

Kdyţ se průřez potrubí mění, je v kaţdém úseku potrubí jiná rychlost a zrychlení proudu kapaliny. Pro kaţdý časový okamţik platí rovnice kontinuity pro libovolné průřezy S1v1 = S2v2 = Sv = konst. Po uplynutí doby dt se změní rychlosti na v1 + dv1, v2 + dv2, v + dv, pro které platí obdobně rovnice kontinuity S1(v1 + dv1) = S2(v2 + dv2) = S1(v + dv). Z obou rovnic spojitosti se dostane odečtením S1dv1 = S2dv2 = Sdv

a po dělení dt je

);;( 22

11 a

dt

dva

dt

dva

dt

dv

konstSaaSaS 2211 , ( 14.2 )

coţ je druhá rovnice kontinuity pro neustálené proudění nestlačitelné kapaliny v tuhém potrubí.


94

14.2. Hydraulický ráz

Odvození se provede opět na nejjednodušším případě, kdy potrubí je napojeno na velkou nádrţ, v níţ je hladina kapaliny v konstantní výši a na konci potrubí je uzavírací či regulační armatura. Předpokládejme náhlé uzavření armatury, čímţ se okamţitě zastaví výtok kapaliny. Částice kapaliny těsně u armatury se zastaví. Jejich kinetická energie se spotřebuje na stlačení. Tím se vytvoří prostor, do kterého další částice vtékají. Při nárazu na zastavenou kapalinu dochází k přeměně kinetické energie na deformační práci spojenou se stlačením zastaveného sloupce kapaliny. Rozhraní mezi zastavenou (a stlačenou) kapalinou a pohybující se kapalinou se šíří od místa vzniku rázu, tj. armatury, rychlostí zvuku a (=

rychlost šíření tlakových vln). Zastavená kapalina má větší tlak o hodnotu p. Tlaková

(rázová) vlna, které se říká přímá, se pohybuje rovnoměrně, takţe za čas a

lt proběhne

celý úsek potrubí aţ k nádrţi a sloupec kapaliny v potrubí je stlačen – má vyšší tlak o p.

Obr.14.7 Pohyb přímé a odraţené vlny a jemu odpovídající tlakové poměry v potrubí


95

Rázová vlna se nemůţe šířit dále do nádrţe, kde je volná hladina. Na počátku potrubí je v tomto okamţiku rozhraní stlačené a nestlačené kapaliny, coţ je nerovnováţný stav. Proto stlačená kapalina začne expandovat do nádrţe, deformační energie se přemění opět v kinetickou (kapalina „odpruţí“) a rozběhne se v opačném smyslu (od uzávěru do nádrţe).

Stoupnutí tlaku p se tím zruší a čelo této vlny, zvané odraţená vlna, se šíří rychlostí zvuku zpět ke konci potrubí (k armatuře). Při expanzi posledních částic na konci potrubí vznikne

sníţení tlaku o hodnotu p (částice kapaliny mají snahu se odtrhnou od zavřeného uzávěru).

Tato tlaková vlna (sníţení tlaku o p) se opět šíří od uzávěru k nádrţi, kde se odrazí. Přitom

se sníţení tlaku p zruší a kapalina se rozběhne od uzávěru k nádrţi. Tato odraţená vlna doběhne k uzávěru, na který kapalina narazí, takţe dojde opět k zastavení a zvýšení tlaku. Ale to se jiţ celý proces šíření tlakové vlny opakuje. U kapaliny bez vnitřního tření nedochází k útlumu a rázové vlny by se neustále opakovaly. Ve skutečných kapalinách se vnitřním třením rázové vlny utlumí aţ prakticky zaniknou. Doba, ve které rázová vlna se vrátí do místa vzniku, tj. k uzávěru, se nazývá doba běhu vlny T a vypočítá se ze vztahu

a

LT

2

( 14.3 )

kde l je délka potrubí

a je rychlost zvuku.

V kapalinách je rychlost šíření tlakových vln (zvuku) určena výrazem

Kat

(14.4 )

Je to teoretická rychlost zvuku, která by se dosáhla v dokonale tuhém potrubí. Vzhledem k pruţnosti potrubí je skutečná rychlost menší

taa , (14.5 )

kde pro tenkostěnné potrubí je

Es

Kd

1

1

(14.6 )

kde K je modul stlačitelnosti kapaliny; d je průměr potrubí;

E je modul pruţnosti materiálu potrubí; s je tloušťka stěn potrubí.

Pro tlustostěnné potrubí je

22

22

21

1

dD

dD

E

K

,

kde d je vnitřní poloměr potrubí

D je vnější poloměr potrubí.

Stoupnutí tlaku při hydraulickém rázu se dostane z rovnosti kinetické energie a deformační práce při stlačení kapaliny v potrubí. Za určitý čas po uzavření armatury se dostane rázová vlna do vzdálenosti x od uzávěru.- obr. 14.8 Sloupec kapaliny o délce x se

zastaví a jeho kinetická energie

222

2

1

2

1

2

1VvSxvmvEk

( 14.7 )

se přemění na deformační práci potřebnou ke stlačení sloupce x o x

VpSxFEd 2

1

2

1

( 14.8 )

Z rovnosti dk EE se dostane


96

VpVv 2

1

2

1 2 neboli p

v

V

V

2

Poměrné objemové stlačení je dáno modulem stlačitelnosti kapaliny

pV

V

K

11 neboli

K

p

V

V

Z porovnání obou poměrných objemových změn dostane

p

v

K

p

2

( 14.9 )

a stoupnutí tlaku při hydraulickém rázu je

vavK

Kvp t

2

( 14.10 )

Tento výraz odvodil poprvé N.E. Ţukovskij (1897 – 1898).

Skutečné zvýšení tlaku při hydraulickém rázu se vypočte se skutečnou rychlostí zvuku a ,

takţe platí

vaavp t ( 14.11 )

V tomto případě se veškerá kinetická energie přeměnila v deformační práci. Takovému hydraulickému rázu se říká úplný nebo totální. Nastane v těch případech, kdy doba uzavírání

xt je kratší nebo rovna době běhu vlny T , čili

Ttz ( 14.12 )

Hydraulický ráz představuje značné zvýšení tlaku. Např. při změně rychlosti vody

smv 1 je při totálním hydraulické rázu stoupnutí tlaku

MPavKvap 4,1104,1110210 693

Pruţností potrubí je hydraulický ráz sníţen.

Bude-li čas uzavírání Tt 2 jedná se o částečný hydraulický ráz, jehoţ řešení vede na

parciální diferenciální rovnice druhého řádu, tzv. vlnové rovnice.


97

15. Věta o změně hybnosti

Vedle bilance hmotnosti, to je rovnice kontinuity a bilance energie pro 1 kg proudící kapaliny – Bernouliho rovnice, lze určit ještě impulzovou větu – větu o změně hybnosti. V inţenýrské praxi se s výhodou pouţívá všude tam, kde se sleduje jen výsledný silový účinek tekutiny na stěnu pevného tělesa. Její aplikace na celou řadu případů bude uvedena dále.

Odvození impulzové věty je následující.

Změna hybnosti 1

2

v

v

mdv je rovna impulsu síly 1

2

t

t

dtF , coţ je známo z mechaniky

2

10

v

v

t

mddt vF

( 15.1 )

Pro konstantní sílu (F = konst) a hmotnost (m = konst) se dostane po integraci

vvvF mmt 12 ( 15.2 )

Úpravou této rovnice (dělením t ) se získá rovnice

ΔHHHvvvΔvF 1212 mm QQt

mΔ

( 15.3 )

která slouţí k výpočtu sil (reakce), kterými působí obtékané plochy na proud kapaliny. Součin

vQH .m je průtoková hybnost. Síla F vyvolaná proudící kapalinou (akce) je rovna změně

průtokové hybnosti 12 HH .

Kapalina, která vtéká do kontrolního objemu V rychlostí 1v a vytéká z něho rychlostí

2v vyvolá při průtoku vQ sílu F (obr.15.1).

Obr.15.1 Věta o změně hybnosti při interakci proudů kapaliny s tělesem

Obr.15.2 Určení síly ve směru s

Pro výpočet sloţky síly ve směru s platí hybnostní věta

s2s1ss HvvvF mm QQ ( 15.4 )

kde 21,vv jsou sloţky rychlostí 21,vv do směru s .

Hybnostní věta v hydromechanice slouţí k výpočtu sil, které by bylo nutno určit integrací z Eulerových rovnic hydrodynamiky.

Příkladem aplikace hybností v hydrodynamice je výpočet silových účinků paprsků kapalin na desky a tělesa.

Paprsek kapaliny dopadající kolmo na rovinnou desku změní směr proudění

(obr.15.3). Změnou hybnosti se vyvolá síla F . Kontrolní objem V se volí tak, aby ve

vstupním průřezu proudu kapaliny byla nenarušená rychlost 1v , podobně ve výstupním

průřezu musí proud mít směr odtokové rychlosti shodný s povrchem desky. Protoţe paprsek kapaliny proudí v ovzduší, je tlaková energie konstantní. Rovněţ polohová energie


98

vodorovného paprsku se nemění. Neuvaţují-li se hydraulické odpory (po dopadu na desku),

musí být odtoková rychlost 2v stejná jako přítoková 1v ( vvv 21 vyplývá z Bernoulliho

rovnice).

Obr.15.3 Účinek paprsku na kolmou desku Obr.15.4 Účinek paprsku na obecnou rotační

plochu

Změna rychlosti ve směru síly F je 01 vvF , neboť sloţka Fv2 02Fv . Hmotnostní

průtok mQ je mm QQ , takţe

2SvQv vF ( 15.5 )

Aby odtoková rychlost byla rovnoběţná s povrchem desky, musí být deska rozměrná. Při malé desce se proud kapaliny částečně odkloní.

Paprsek kapaliny dopadající na rotační plochu ve směru její osy vyvolává sílu (obr.15.4)

vF mQ ,

kde cos1coscos 11121 vvvvvv

1SvQm

cos121 SvF ( 15.6 )

Součinitel (rychlostní) vyjadřuje vliv hydraulických odporů (tření) při obtékání rotační plochy na rychlost, která se sniţuje.

Na unášenou desku při kolmém dopadu paprsku kapaliny působí síla (obr.15.5)

vF mQ ( 15.7)

kde změna rychlosti je určena relativní rychlostí dopadu uv . Odtoková rychlost má ve

směru síly F nulovou sloţku. Je tedy

Obr.15.5 Účinek paprsku na pohybující se desku


99

uvuvv 0 ( 15.8)

Hmotnostní průtok kapaliny, která dopadne na desku je .uvSQm Silový účinek je

tedy

2uvSF vu ( 15.9)

Poznámka: Rozdíl mezi hmotnostním průtokem SvQm 1 , který vytéká z trysky a

hmotnostním průtokem avSQm , který dopadá na desku je

roven SuQQQ mmm 12 a spotřebuje se na prodlouţení paprsku.

Pohybující se deska můţe konat silovým účinkem práci. Její výkon je určen výrazem

uuvSFuP2

při čemţ platí vu ( 15.10)

Z rovnice vyplývá, ţe pro 0u a vu je výkon P nulový. Musí tedy existovat aspoň

jeden extrém pro rychlost v intervalu .0 uv

Z derivace 0322

uvuvSuvuuvSdu

dP

vyplývá 3

1

v

u.

Protoţe vuSdu

Pd232

2

2

,

je pro 3

2

v

u záporné, jde o maximum. Maximální výkon desky tedy je

32

max27

4

33Sv

vvvSP

(15.11)

Podobným způsobem lze určit silový účinek na Peltonovo kolo (obr.15.6), které sestává z korečků, na něţ dopadá paprsek vody. Na korečku mění proud kapaliny směr proudění a tím vyvolává silový účinek. Voda dopadá na koreček (pohybující se unášivou rychlostí u )

relativní rychlostí uv . V ideálním případě se změní směr proudění o 180o takţe

z korečku odtéká relativní rychlostí uv . Neuvaţují se hydraulické ztráty. Změna

rychlosti v po průtoku korečkem je ve směru síly F (totoţný s unášivou rychlostí u )

určena vztahem

uvuvuvv 2 ( 15.12)

Na všechny korečky Peltonova kola dopadne veškerá voda vytékající z trysky, jejíţ

hmotnostní průtok je SvQm . Silový účinek na Peltonovo kolo je

uvSvvQF m 2 ( 15.13)

a výkon

uuvSvFuP 2 ( 15.14)

I tato funkce má extrém


100

3max

2

1

222 Sv

vvvSvP

(15.15)

Silové účinky proudu kapaliny na potrubí (obr.15.7) se skládají z několika sil. Na úsek potrubí (mezi průřezy 1 a 2) působí síla vyvolaná změnou průtokové hybnosti

kapaliny, a to jak směrem, tak i velikostí rychlosti

h21h2121h FFvvHHF mQ ( 15.16)

kde

2h2

1h1

vF

vF

m

m

Q

Q

( 15.17)

Dále působí na zvolený úsek potrubí tlakové síly. Účinek kapaliny v pomyslně odstraněném potrubí

v průřezu 1 vyjadřuje tlaková síl

11Spp1F ( 15.18)

Podobně v průřezu 2 působí síla 2pF . K určení výslednice sil na zvolený úsek potrubí se

přičte tíha kapaliny kF , která zaplňuje úsek potrubí a vlastní tíha potrubí gF . Vektorový

součet sil gkph FFFF ,,, dává výslednici sil, které působí na úsek potrubí 1-2:

gkph FFFFF

(15.19)

Výslednici sil F musí přenést uchycení nebo zakotvení potrubí.

Poznámka: Vliv hydraulických odporů při proudění skutečné kapaliny je zahrnout v tlakové

síle pF , nebo´t její sloţka 2pF závisí na tlaku 2p v průřezu 2, který je ovlivněn hydraulickými

odpory, jak vyplývá z Bernoulliho rovnice:

zghghvp

ghvp

2

222

111

22

Obr. 15.6 Poměry u Peltonovy

turbíny

Obr. 15.7 Účinek proudu kapaliny na potrubí


101

16. Obtékání těles

Při obtékání těles či pohybu tělesa v tekutině vznikají síly a momenty. Výslednou sílu

a moment lze rozloţit obecně na tři sloţky: odpor xF , vztlak yF a boční sílu zF a moment

klopivý Mz, klonivý xM a zatáčivý yM , obr.16.1. Při symetrickém obtékání těles pak budou

některé z těchto sloţek rovny nule (boční síla a klonivý a zatáčivý moment).

Obr.16.1 Síly a momenty působící na obtékané těleso

Nachází-li se těleso v rozlehlém proudu tekutiny, nelze jiţ tak snadno určit rychlostní a tlakové pole kolem tělesa a teoretické stanovení např. odporu a vztlaku je velmi obtíţná úloha. Jestliţe provádíme výpočet s modelem nevazké tekutiny, dostáváme nulový odpor, coţ je v rozporu s naší zkušeností (D'Alembertův paradox), neboť i při obtékání těles vzduchem, který má velmi malou viskozitu, vzniká vţdy odpor, tj. sloţka paralelní s vektorem rychlosti. Experimentálně bylo zjištěno, ţe při velkých Reynoldsových číslech sahá vliv viskozity jen do malé vzdálenosti od povrchu tělesa a tato část proudu se nazývá mezní vrstva; úplav je odplavovaná mezní vrstva, obr.16.2.

Obr.16.2 Mezní vrstva – m.v. na tenké desce

16.1. Mezní vrstva

Uvaţujme nejjednodušší případ - mezní vrstvu na tenké desce paralelní s proudem

tekutiny. Tlak je v celém objemu tekutiny konstantní. Tekutina na stěně lpí 00 v . Vlivem

viskozity se zabrzdí nejbliţší vrstvy tekutiny u povrchu desky. Rychlost s odlehlostí od stěny

narůstá aţ na hodnotu rychlosti nenarušeného proudu v . Tato tloušťka "zabrţděné"

tekutiny x je u náběţné hrany nulová a na odtokové hraně je maximální. V mezní vrstvě a

oblasti kolem desky nejsou proudnice paralelní přímky, ale tvoří mírně se rozbíhající svazek.


102

Sloţka rychlosti kolmá k desce vy « v a lze ji zanedbat. Hranice mezní vrstvy není shodná

s proudnicemi. Mimo mezní vrstvu je všude rychlost téměř konstantní, tedy v / y = 0 a proto i tečné napětí je zde rovno nule, bez ohledu na viskozitu tekutiny. Mimo mezní vrstvu můţeme tedy počítat s Bernoulliovou rovnicí pro ideální tekutiny. V mezní vrstvě však musíme viskozitu uvaţovat a proudění zde můţe být buď laminární nebo turbulentní.

Odvoďme pomocí věty o změně hybnosti vztah udávající růst tloušťky mezní vrstvy

x se vzdáleností od náběţné hrany x ,

Zvolme kontrolní oblast OAB, ohraničenou deskou, hranicí mezní vrstvy a úsečkou AB. Uvaţujme jednotkovou šířku desky b. Pro zjednodušení se volí rychlostní profil jako přímka, jeţ dá pro laminární mezní vrstvu vcelku vyhovující výsledek:

.Obr.16.3 Idealizovaná mezní vrstva na profilu. Uplav je odplavená mezní vrstva.

x

yvv

.

( 16.1 )

Ve směru prouděni působí na tekutinu v uvaţované oblasti pouze tření o stěnu:

x

x dxF0

0 ,

( 16.2 )

kde 0 je tečné napětí na stěně

xy

v

dy

dv

0

0 .

( 16.3 )

Z kontrolní oblasti vytéká průřezem AB

20

xx

M

vvdyQ

.

( 16.4 )

Toto mnoţství tekutiny přitéká do kontrolní oblasti plochou OA konstantní rychlostí v , takţe

hybnost přitékající tekutiny je

xM vvQH 21

2

1 .

( 16.5 )

Hybnost tekutiny vytékající průřezem AB z kontrolní oblasti

x

xx

M vdyvvdQH

2

0

2

0

23

1 .

( 16.6 )

Dosadíme-li rov.

( 16.2 ),

( 16.3 ),


103

( 16.5 ),

( 16.6 ) do věty o změně hybnosti napsané pro elementární část mezní vrstvy o délce dx :

dxHHHHddFx

2121

,

dxx

vdxv

dx x

x

2

06

1.

Protoţe xx ddx

x

,upraví se diferenciální rovnice separací proměnných na tvar

v

d xx

6 a po integraci

Kxv

x

122

,

( 16.7 )

coţ je parabola druhého stupně, kde 0K neboť pro 0x je 0x . Zavedeme-li do

rovnice

( 16.7 ) Reynoldsovo číslo, v němţ charakteristickou délkou bude vzdálenost od náběţné hrany x :

xvx

Re ,

( 16.8 )

bude

x

x

x

Re

46,3 .

( 16.9 )

Pomocí přesnějších výpočtů potvrzených experimenty dostaneme stejný výraz, jen konstanta je vyšší: 5,8.

Chceme-li vypočítat odpor, dosadíme z rov.

( 16.3 ) za pouţití rov.

( 16.7 )

2Re

15,1 2

0

0

vbLdxbF

L

L

x , ( 16.10 )

tj. odpor jedné strany desky, jejíţ plocha LbS . . Prvý zlomek se zpravidla označuje

součinitel odporu xc a přesnějším výpočtem dostaneme opět stejný vztah s vyšší

konstantou

L

xcRe

33,1 .

( 16.11 )

Odpor desky se pak počítá z rovnice

2

2

vScF xx ,

( 16.12 )

kde dpv 2/2 ,tj. dynamický (resp. kinetický) tlak.

Jestliţe nabíhající proud tekutiny je turbulentní, nebo jestliţe je proud laminární, ale před desku umístíme turbulizátor, např. síto, drát, pak tloušťka mezní vrstvy bude narůstat rychleji a odpor bude vyšší:

5 Re

074,0

L

xc

( 16.13 )


104

5 Re

37,0

L

x

x

( 16.14 )

(tj. střední hodnota tloušťky, neboť x kolísá s časem), viz obr. 16.4

Obr.16.4 Smíšená mezní vrstva na desce.

Ale i kdyţ je proud laminární a nepouţijeme turbulizátor, pak laminární mezní vrstva po dosaţení určité tloušťky se stane nestabilní a v určité vzdálenosti od náběţné hrany se změní v turbulentní a dostane se tzv. smíšená mezní vrstva, obr.16.4.

Obr.16.5 Závislost součinitele odporu tenké desky

V přední části je mezní vrstva laminární, v zadní turbulentní, mezi nimi přechodová oblast. Okamţitá hranice turbulentní mezní vrstva – plná nepravidelná křivka - se s časem mění. Střední tloušťka turbulentní mezní vrstvy je zakreslena čárkovaně.

Kritérium pro stanovení tohoto přechodu je opět kritické Reynoldsovo číslo, jehoţ hodnota se mění se stupněm turbulence proudu. Zpravidla se udává

5105Re

k

k

xv,

ale můţe být větší (aţ 2.106) i menší. Součinitel odporu pro smíšenou mezní vrstvu lze vyjádřit


105

LL

x

Ac

ReRe

074,0

5 ,

( 16.15 )

kde pro 510.5Re L je 1700A .

Závislost součinitele odporu xc tenké desky na Reynoldsově čísle je na obr.16.5.

Protoţe je diagram vynesen v logaritmických souřadnicích, je závislost součinitele odporu laminární mezní vrstvy,rov.

( 16.11 ) , znázorněna přímkou L stejně jako součinitele odporu turbulentní mezní

vrstvy pro hladkou desku, rov. (14.13) čárkovanou přímkou T s menším sklonem. Skutečné hodnoty součinitele odporu v turbulentní mezní vrstvě budou při vyšších hodnotách Re (nad 107) vyšší a jsou v znázorněny plnou křivkou. V turbulentní oblasti je odpor závislý i na

drsnosti desky a s rostoucí drsností roste i součinitel odporu. Křivky pro smíšenou vrstvu S

(je jich více podle velikosti Rek) se asymptoticky blíţí křivkám součinitele odporu turbulentní mezní vrstvy, neboť při rostoucích Reynoldsových číslech je část plochy desky s laminární mezní vrstvou stále menší.

16.2. Odpor těles Fx

Při obtékání reálných těles konečné tloušťky, symetrických k vektoru rychlosti v ,

jsou všechny sloţky sil kromě odporu nulové:

2

2

vScF xx .

( 16.16 )

Při obtékání těles menšími rychlostmi (aby se neuplatnil vliv stlačitelnosti), si celkový odpor rozkládáme na odpor třecí (vliv viskozity) daný integrálem tečných sil po povrchu a tlakový, způsobený nesymetrickým rozloţením tlaku po povrchu tělesa. Podle toho, která sloţka odporu převládá, coţ závisí na tvaru, můţeme tělesa rozdělit do tří skupin: deskovitá a paralelní s proudem, deskovitá a kolmá k proudu a spojitě zakřivená s relativně velikou tloušťkou nebo dobře a špatně obtékaná:

a) ocasní plochy letadel a.p. jsou typickými příklady profilovaných desek, u nichţ převládá třecí odpor. Do rov. ( 16.16 ) se však obyčejně nedosazuje smočená plocha, jako u tenké desky, nýbrţ plocha půdorysu, neboť se určí snadněji.

Součinitel odporu závisí na tvaru profilu desky, Reynoldsově čísle, drsnosti povrchu a turbulenci proudu. Průběh součinitele odporu v závislosti na Reynoldsově čísle je podobný jako pro tenkou desku, jen o něco větší vlivem malého tlakového odporu. Úplav je malý. Protoţe přechod laminárního proudění v turbulentní je silně závislý na tlakovém spádu, lze vhodným tvarováním sníţit odpor v určité oblasti Re. Jedná se o tzv. laminární profily, u nichţ je maximální tloušťka posunuta do vzdálenosti 40 aţ 60% od náběţné hrany, zatímco u klasických profilů byla asi 30%.

Obr. 16.6 Obtékání desky kolmé k proudu


106

b) U deskovitých těles postavených kolmo k proudu, obr.16.6, nebo u těles s ostrými hranami na zadní části, dochází k odtrţení proudu na hranách. Proto bod odtrţení nemění svou polohu.

Před tělesem je přetlak, za tělesem podtlak (nevhodné rozloţení tlaku). Úplav je veliký Součinitel odporu závisí hlavně na tvaru tělesa, jen pro malá Reynoldsova čísla Re < 103 je závislý i na Re, nebot' roste vliv viskozity, obr.16.7.

Hodnoty součinitelů při Re > 103 jsou závislé hlavně na tvaru, např. kruhová a čtvercová deska mají cx = 1,1 ; obdélníková deska (s teoreticky nekonečným rozpětím) cx= 2. Jako charakteristickou plochu A dosazujeme v tomto případě do rov.

( 16.12 ) plochu průmětu do roviny kolmé k

rychlosti v - čelní

průmět.

c) pro tělesa spojitě zakřivená (koule, elipsoidy, válce a p.) je charakteristické, ţe při určitých hodnotách Reynoldsových čísel dochází k pronikavým změnám součinitele odporu cx např. na obr.16.7, při Re 105. Příčinou je posunutí bodu odtrţení mezní vrstvy směrem dozadu při přechodu proudění v mezní vrstvě z laminárního na turbulentní. To má za následek zmenšení úplavu i odporu.

K odtrţení mezní vrstvy dochází zpravidla tehdy, kdyţ tekutina proudí do míst s vyšším tlakem např. na zadní části koule, válce, ale i v difuzoru a podobně. Tlakové a třecí síly působící proti pohybu částice jsou překonávány setrvačností částice tekutiny, její rychlost proto klesá, aţ v určitém místě na povrchu tělesa má rychlost nulovou, obr.16.8.

Obr.16.8 Proudění v okolí bodu odtrţení

Obr.16.7 Závislost součinitele odporu různých těles na

Reynoldsově čísle:


107

Rychlostní profil v tomto místě má inflexní bod. Za tímto místem mají rychlosti u stěny opačný smysl, neţ je tomu u hlavního proudu. U stěny vzniká zpětně proudění

V turbulentní mezní vrstvě mají částice u stěny větší kinetickou energii, protoţe rychlostní profil je plnější neţ při laminárním proudění. To je příčina posunu bodu odtrţení dozadu a zmenšení úplavu při přechodu laminárního proudění v mezní vrstvě v proudění turbulentní. Proto při Reynoldsově kritickém čísle dojde k poklesu součinitele odporu, jak jsme dříve uvedli. (obr.16.8).

Při velmi malých Reynoldsových číslech, menších neţ 1, převládá vliv vazkých sil nad tlakovými. U koule a válce je bod odtrţení posunut daleko dozadu - nedochází téměř k odtrţení. Součinitel odporu je silně závislý na Re. Pro kouli odvodil Stokes

vztah dvFx 3 . Srovnáním s rov.

( 16.12 ) při dosazení 42dS dostaneme Re24xc . Při těchto obtékáních (tzv.

plíţivé proudění) nelze hovořit o mezní vrstvě, neboť vliv viskozity sahá velmi daleko od tělesa.

U válců dochází v oblasti 40 < Re < 500 k pravidelnému, střídavému odtrhávání vírů a za válcem vzniká tzv. Kármánova vírová stezka. Tento jev je nutno respektovat u různých stavebních konstrukcí, a dbát na to, aby nedošlo k rezonanci frekvence odtrhávání vírů a vlastní frekvence konstrukce. Tento jev je také příčinou "zpívání" telefonních drátů - tzv. Strouhalových třecích tónů. Do Reynoldsova kritického čísla, jeţ pro kouli nabývá hodnot

51045,1Re aždv

k

je proudění v mezní vrstvě laminární - podkritické, bod odtrţení mezní vrstvy je ještě před maximálním průřezem, obr.16.9a. Při nadkritickém obtékání je bod odtrţení za maximálním průřezem, obr.16.9b.

Obr.16.9 Odtrţení proudu při obtékání koule


108

17. Proudění v korytech

17.1. Rovnoměrný průtok

Při průtoku koryty je kapalina vedena stěnami, které neohraničují celý průtočný průřez, jen část, takţe vzniká volná hladina. Na této hladině se stýká proud kapaliny s ovzduším. Můţe jít o průtok neplným potrubím, stokami, umělými otevřenými kanály nebo přirozenými koryty potoků a řek. Zpravidla jde v těchto případech o turbulentní proudění.

Při ustáleném průtoku mohou nastat dva případy, a to pohyb rovnoměrný, při němţ se rychlost proudu nemění po délce koryta a pohyb nerovnoměrný při němţ se rychlost proudu a tím i průtočný průřez (hloubka proudu) po délce koryta, tj. v závislosti na vzdálenosti mění, avšak nemění se s časem t .

Rovnoměrný průtok nastane v korytě stálého průřezu, jestliţe spád dna z na délce l

je v rovnováze se ztrátovou výškou zhz , coţ vyplývá z Bernoulliho rovnice

zghghvp

zhgvp

22

20

20

Obr.17.1 Rovnoměrný proud v korytě

Hladina vody je v tomto případě rovnoběţná se dnem koryta.

Pro ztráty třením platí vzorec

zg

v

d

lhz

2

2

Poměrný spád koryta je

g

v

dl

zi

2

2

Průřez korytem je zpravidla nekruhový, proto se zavádí místo průměru d hydraulický

poloměr o

Srh . (je třeba upozornit na rozdíl s dříve uvedeným hydraulickým průměrem hd ,

který je definován jako 4-násobek hydraulického poloměru hr a nikoliv 2- násobek).

Dosazením hh rdd 4 se upraví rovnice pro rovnoměrný průtok korytem takto:

hr

v

gi

2

8

( 17.1 )

Rychlost rovnoměrného průtoku v korytě je

hh irCirg

v

8

( 17.2 )

coţ je Chezyho rovnice. Rychlostní součinitel C pro střední rychlost rovnoměrného proudu

v korytech je vázán se součinitelem tření vztahem


109

gC

8

( 17.3 )

z čehoţ plyne, ţe Re,fC

Odborná literatura uvádí celou řadu empirických vztahů pro stanovení rychlostního

součinitele C , které byly stanoveny na základě měření. U přirozených toků bývá poměrný

spád i velmi malý. U horských řek je např. 0,002, u velkých řek v níţinách jen 0,0002.

Při návrhu koryt, stok pod. bývá obvykle zadán průtok vQ a volí se rychlost, z čehoţ

se vypočítá průřez S a poměrný spád i . Aby poměrný spád i , který je úměrný ztrátám, byl

co nejmenší, je třeba volit profil nejmenšího odporu, tj. s co největším hydraulickým poloměrem.

17.2. Nerovnoměrný průtok

V místech, kde se spád koryta mění, takţe zhz , vzniká pohyb nerovnoměrný. Při

proměnném spádu se průtočná rychlost v a tím i hloubka h mění po délce koryta, nikoliv však v závislosti na čase – obr. 17.2.

Obr.17.2 Nerovnoměrný proud v korytě Obr.17.3 Průtočný průřez koryta

Pro změnu výšky hladiny je moţné odvodit diferenciální rovnici ve tvaru, označení veličin je patrné z obr. 17.3.

dx

gS

bQ

rCS

Qi

dhv

h

v

3

2

22

2

1

(17.4 )

K integraci poslední rovnice je třeba znát tvar koryta a stanovit funkce

,hSS ;hfo

Srh ;hCC hbb .

Řešení se dá provést jen v jednoduchých případech exaktně, u sloţitějších profilů koryt se s výhodou pouţije numerické metody se.

Obr.17.4 Vodní skok

Při zvětšení poměrného spádu koryta se proud zrychluje a jeho hloubka klesá. V opačném případě při zmenšení poměrného spádu se proud zpomaluje a jeho hloubka stoupá. V druhém případě můţe dojít k náhlé změně rychlosti a tím hloubky, čemuţ se říká vodní skok.-obr. 17.4.


110

18. Fyzikální podobnost a teorie modelování

18.1. Hydrodynamická podobnost při proudění tekutin

Experimentální práce v hydraulické laboratoři je velmi významnou sloţkou výzkumné práce. Zkoumají se modely nejrůznějších strojů a zařízení, aby se poznaly jejich základní vlastnosti nebo zjistily a opravily vady, ověřují se teoretické předpoklady návrhu či projektu a velmi často se pokusně zjišťují vzájemné závislosti zúčastněných veličin.

Výsledky získané na modelu se pak přepočítávají na skutečné zařízení, tzv. dílo. Prozkoumání jevu na modelu umoţňuje také zavést opravné součinitele do teoreticky odvozených rovnic, jejichţ řešení bylo zaloţené na zjednodušujících předpokladech (aby se matematické řešení usnadnilo nebo zjednodušilo), které se však od skutečných poměrů částečně odchylují. V některých sloţitých případech, které nejsou dosud teoreticky řešitelné, se experimentem získávají pro praxi potřebné vztahy veličin.

Model se zhotovuje téměř vţdy menší neţ dílo, proto je levnější, lehčí, manipulace s nimi je snadnější, výroba modelu kratší a lze s ním experimentovat v laboratořích. Menší náklady umoţňují vyšetřovat na modelu několik alternativ a provádět úpravy během experimentování.

Výsledky měření na modelu, mají-li splnit svůj úkol, je nutno přepočítat na skutečné provedení – dílo, coţ se provádí na základě poznatků teorie fyzikální podobnosti. Fyzikální podobnost stanoví podmínky, za kterých je zkoumaný jev na modelu fyzikálně podobný jevu ve skutečném provedení – díle. Úplná fyzikální podobnost je splněna tehdy, kdyţ jsou současně splněny následující tři podmínky:

1. geometrická podobnost. Tato vyţaduje, aby poměr odpovídajících délek na modelu a na díle byl konstantní a úhly stejné

konstL

L

L

L

DíleModel

2

1

2

1

( 18.1)

2. kinematická podobnost. Tato podobnost vyţaduje, aby poměr odpovídajících rychlostí a zrychlení na modelu a díle byl konstantní

konstv

v

v

v

DM

2

1

2

1

( 18.2)

3. dynamická podobnost. Proudění tekutin je pohyb hmotných částic. Podle klasické Newtonovy mechaniky jsou příčinou pohybu síly. Proto dynamická podobnost vyţaduje, aby poměr odpovídajících sil na modelu a na díle byl konstantní

konstF

F

F

F

DM

2

1

2

1

( 18.3)

Splnění podmínek geometrické a kinematické podobnosti je obvykle snadné, sloţitější bývá splnění dynamické podobnosti.

V mechanice tekutin se vyskytuje mnoho sil, vyberme ze všech pouze ty, které se nejčastěji vyskytují a tyto nechť jsou:

Síla tlaková 2. plSpFp

Síla třecí lvSFt .

Síla setrvačná 22. vlamFS

Tíhová síla 3glmgFS

Pro n sil je moţno sestavit

2

n kritérií fyzikální podobnosti (poměr dvou sil), z čehoţ

polovina je na sobě nezávislá.


111

Kriterium fyzikální podobnosti proudění, ve kterém budou hlavní (dominantní) síly

setrvačné – sF a třecí – tF je podle rovnice (16.3) poměr konstF

F

F

F

tD

tM

SD

SM , odkud

Dt

S

Mt

S

F

F

F

F

Po dosazení za jednotlivé síly je-li

dostaneme

DMlv

vl

lv

vl

2222

DM

vlvl

DM ReRe

( 18.4 )

Výraz na levé straně je Reynoldsovo číslo na modelu a na pravé straně pak Reynoldsovo číslo na díle. Podobnost je v tomto případě splněna tehdy, jsou-li stejná Reynoldsova čísla

na modelu a na díle. DM ReRe

Podobně lze odvodit i další kriteria podobnosti:

Pro hlavní síly – tlaková pF a setrvačná sF se dostane

DS

p

MS

p

F

F

F

F

Po dosazení za jednotlivé síly a po úpravě

DMvl

lp

vl

pl

22

2

22

2 .

DMv

p

v

p

22

DM EuEu

(18.5)

Zlomek 2v

pEu

je Eulerovo číslo

Podobnost v tomto případě je splněna, jsou-li stejná Eulerova čísla na modelu a na díle

DM EuEu .

Jsou-li hlavní síly sF síla setrvačná a gF síla tíhová se dostane

Dg

S

Mg

S

F

F

F

F

Po dosazení za jednotlivé síly a úpravě

DMgl

vl

gl

vl

3

22

3

22

DMgl

v

gl

v

22

DM FrFr

( 18.6 )

Zlomek gl

vFr

2

je Froudovo číslo

Podobnost v tomto případě je splněna, jsou-li stejná Froudova čísla na modelu a na díle

DM FrFr .

18.2. Dimenzionální analýza (-teorém)

Aplikace -teorému bude názornější vysvětlena na následujícím příkladě.

Pro součinitel tření v potrubí můţeme na základě zkušeností psát, ţe je funkcí čtyř fyzikálních veličin


112

kDvf ,,, .Tzn. ţe počet proměnných veličin n=4. Tyto čtyři veličiny se dají vyjádřit

pomocí dvou základních rozměrů a sice délka M a čas t.

Počet základních rozměrů tedy je r = 2.

Počet bezrozměrných veličin je

224 rn

Mohou to být tato bezrozměrná podobnostní čísla:

vD

Re1 - číslo Reynoldsovo

D

k 2 - relativní drsnost

Závislost třecího součinitele se zapíše ve tvaru

Re,f

Pomocí -teovému, se tedy sníţil počet nezávisle proměnných z původních 4 pouze na 2, coţ představuje významné zjednodušení problému.


113

19. Rovinné potenciální proudění

19.1. Úvodní poznámky

Od 18. století je snaha najít matematické modely pro především rovinné úlohy elektrického pole, z nichţ se vyvinula teorie elektrického potenciálu, která s vyuţitím teorie funkce komplexní proměnné umoţnila řešit pole pro elektrický proud a napětí v dosti sloţitých rovinných útvarech. Výsledky byly převzaty pro analogickou úlohu, tj. pro stacionární rovinné případy proudění nevazké kapaliny. S vyuţitím konformního zobrazení byly řešeny sloţité úlohy obtékání rovinných útvarů jako leteckých profilů, lopatkových mříţí či případů proudění u sloţitě tvarovaných kanálů v hydraulických strojích. Analýzou matematických modelů a výsledků se ukázalo, ţe model nevazké tekutiny neodpovídá vţdy skutečnosti. Jeden ze závaţných dopadů je v tom, ţe obtékané objekty nevykazují odpor. To je důsledek toho, ţe základní veličina proudového pole, tj. rychlostní potenciál a s ním spojené proudové funkce jsou řízeny Laplaceovou rovnicí a platí tudíţ, ţe rotace rychlosti je u takto definovaného pole nulová

0 vvxrot ( 19.1 )

Znamená to také, ţe matematický model, z něhoţ byl v pohybové rovnici vypuštěn vazký člen, nemůţe vytvořit v proudovém poli vír, takţe v tom se odchyluje od fyzikální reality. Nicméně u štíhlých, dobře obtékaných těles se výsledky získané z potenciálního proudění příliš neodchylují skutečnosti a byly dobře pouţitelné pro praktické úvahy.

19.2. Základní rovnice

Pro ustálené proudění nestlačitelné kapaliny platí rovnice kontinuity

0

i

i

x

vvdiv

( 19.2 )

Pro rovinné proudění platí

0dy

dv

dx

dv yx ( 19.3 )

K úplnému modelu proudění je třeba přidat ještě další rovnici. Je to pohybová rovnice, Eulerova rovnice hydrodynamiky, která se získá vypuštěním členu s vazkostí z rovnice Navier Stokesovy, tedy

ii

j

ij

i

x

pa

x

vv

t

v

1

( 19.4 )

Jak plyne z dalšího, v teorii potenciálového proudění se k určení rychlostního pole pracuje pouze s rovnicí kontinuity a rovnice Eulerova slouţí k určení tlaku.

Obr. 19.1 Kinematika elementu proudící kapaliny Obr. 19.2 Definice cirkulace


114

Další důleţitou veličinou je cirkulace rychlosti. Vyjde se z kinematických vztahů dle obr.19.1

a definuje se cirkulace rychlosti jako křivkový integrál na uzavřené křivce viz obr.19.2

Rychlost otáčení elementárního objemu dle obr.19.1 lze charakterizovat cirkulací definovanou

sv dcos

( 19.5 )

Kladný smysl obíhání je takový, aby plocha uzavřená křivkou c byla po levé ruce.

Cirkulace pro elementární objem dle obr.19.2 je

dSdxdyy

v

x

vdy

dx

x

vv

dxdy

y

vvdy

dx

x

vvdx

dy

y

vvd

xyyy

xx

yy

xx

22

222

(19.6 )

Poslední výraz v rovnici ( 19.5 ) je dán Stokesovou větou S2

V literatuře se odvozuje, ţe cirkulace podél uzavřené křivky v proudovém poli je nulová

0 svd . Proto je nulový i výraz

02

y

v

x

vxy

( 19.7 )

Tento výraz charakterizuje otáčení částice kol své osy, čili její vířivost.

Potenciálové funkce:

V analogii k teorii elektrického pole zavádí se funkce rychlostního potenciálu, který splňuje tyto podmínky

yv

xv yx

( 19.8 )

Dosadí-li se tyto vztahy do rovnice kontinuity ( 19.2 ) dostane se Laplaceova rovnice pro

funkci

02

2

2

2

yx

( 19.9 )

Pozn.: Pokud se vyuţije cylindrických souřadnic (r,), definuje se

v

rvr

( 19.10 )

Čáry = konst. se nazývají ekvipotenciálami.

Proudové funkce:

Definuje-li se analogicky k předchozímu odstavci proudová funkce jako

xv

yv yx

,

( 19.11 )

pak rovněţ i proudová funkce splňuje Laplaceovu rovnici

02

2

2

2

yx

( 19.12 )

Diferenciál proudové funkce

dyvdxvdyy

dxx

d xy

( 19.13 )

umoţní definovat čáru = konst. z podmínky d = 0.


115

Tím se definuje proudnice, neboli obálka vektorů rychlosti

dyvdxv xy ( 19.14 )

z podmínky tečny k proudnici

x

y

v

v

dx

dy .

( 19.15 )

Je moţno analogicky definovat pro čáru konstantního potenciálu

y

x

v

v

dx

dy .

( 19.16 )

Z toho plyne, ţe čáry stejného potenciálu a proudnice jsou vzájemně kolmé. Dosazením

vztahů pro a do rovnice ( 19.15 ) a ( 19.16 ) dostanou se Cauchy-Riemannovy

podmínky pro a .

xyv

yxv yx

;

( 19.17 )

Jsou tedy a vzájemně závislé a z jedné funkce lze získat druhou.

Pro technickou praxi je důleţitější funkce proudová , které se vyuţívá i u skutečných kapalin.

19.3. Využití teorie potenciálového proudění, skládání proudů.

Uvedenou teorii je moţno rozvíjet dvojím způsobem. Je to především řešení proudového pole v zadané oblasti řešením Laplaceovy rovnice buď pro proudovou nebo někdy téţ pro potenciálovou funkci. 0bě tyto funkce umoţňují definovat sloţky rychlosti a následně tlakové pole v oblasti, pomocí Eulerovy rovnice hydrodynamiky. V dnešní době se řeší tyto úlohy numericky. Integrační oblast je obvykle zadávána tak, ţe je omezena 2-mi pevnými hranicemi a dvěmi protékanými. Pro tyto hranice je nutno zadat okrajové podmínky – na stěně v = 0, na protékané hranici se zadává buď rychlostní profil nebo podmínka pro tlak.

Obr.19.3 Oblast pro řešení potenciálového proudění

Obr.19.4 Paralelní proud rovnoběţný s osou x. (a= 1)

V současnosti se tyto úlohy řeší numericky vhodnými softwarovými programy. V minulosti byly tyto úlohy především vzhledem k tvaru hranice řešeny analogovými metodami pomocí analogie s odporovými papíry respektive v elektrolytické vaně. Druhá metoda je metoda skládání proudění.

Spočívá v tom, ţe se definují matematicky jednoduché proudové útvary. Vychází se pak z teze, ţe pro ustálený stav platí


116

n

i

i

1

resp.

n

i

i

1

( 19.18 )

Sčítáním proudových funkcí v dané oblasti je moţné určit čáru = 0, která vytváří za jistých podmínek obrys potenciálově obtékaného objektu a z okolních vnější proudových čar je moţné učinit úsudek o proudovém poli takovéhoto tělesa.

Základní případy potenciálního proudění jsou:

a) paralelní proud

b) zdroj a propad

c) potenciální vír

a) Paralelní proud, obr.20.4, je charakterizován rychlostí a stejnou co do velikosti a směru

ve všech bodech proudového pole.

Proudová funkce

ay1 , a potenciál rychlosti ax1 . (19.19 )

Rychlost je tedy rovnoběţná s osu x, protoţe platí

.konstayx

vx

,

0yv .

Tedy xvv

Poté i proudnice = konst. jsou přímky paralelní s osou x , ekvipotenciální čáry =

konst. jsou přímky paralelní s osou y .

Kterákoli proudnice můţe představovat tuhou stěnu (normálná sloţka rychlosti je rovna nule).

b) Rovinný pramen (zdroj, zřídlo), obr. 19.5, představuje radiální proudění tekutiny z bodu do roviny.

Obr.19.5 Rovinný pramen

Obr.19.6 Potenciální vír

Pramen je charakterizován vydatností (mohutností) Q, coţ je objem tekutiny vyteklý za jednotku času

Q = 2vrr = konst., ( 19.20 )

odkud plyne pro rozloţeni rychlosti


117

.2

konstQ

rvr

, ( 19.21 )

Rychlostní potenciál a proudová funkce pramenu:

rQ

ln2

, 2

Q .

( 19.22 )

Proudnice jsou radiální přímky = konst., ekvipotenciální čáry jsou soustředné kruţnice.

Tangenciální sloţka vt = 0 a radiální sloţka rychlosti

,2

1

r

Q

rrvr

( 19.23 )

Poznámka: Centrální bod pramene je singulární bod, rychlost je tu nekonečně veliká.

Rovinný propad (nor) se od pramene liší opačným směrem proudění tekutiny.

c) Potenciální vír. obr.19.6 (vírové vlákno).

Částice tekutiny se posouvají po kruhových drahách (soustředných kruţnicích), aniţ by se otáčely kolem své osy. Částice konají translační pohyb, při kterém se deformují. Částice tekutiny se po kruhových drahách posouvají (translace a deformace), aniţ by se otáčely kolem své osy (s výjimkou jádra).

Rychlost otáčení je charakterizována cirkulací , definovanou rovnicí (198.5), která je u potenciálního víru rovna

.2 konstrvt

( 19.24 )

odtud dostaneme vztah

.2

konstrvt

( 19.25 )

V ose víru vychází opět rychlost nekonečně veliká (singulární bod). Zavádíme proto jádro víru o poloměru r0, v němţ se tekutina otáčí jako tuhé těleso, obr.19.6. Rychlostní

potenciál a proudová funkce potenciálního viru :

2

, rln

2

.

( 19.26 )

Proudnice, jak jsme jiţ řekli, jsou soustředné kruţnice, ekvipotenciální čáry jsou radiální přímky. Tangenciální sloţka rychlosti, v oblasti mimo jádro víru, ubývá s poloměrem

rrrvt

2

1

( 19.27 )

Obr.19.7 Rovinné polotěleso, rozprostírající se do nekonečna


118

a radiální sloţka rychlosti vr = 0.

Rychlostní potenciál a proudovou funkci lze u rovinného potenciálního proudění navzájem zaměnit (jak o tom svědčí poslední dva případy), neboť obě musí vyhovovat Laplaceově rovnici.

Skládání proudění

Rovinné potenciální proudění je popsáno diferenciální Laplaceovou rovnicí. Známe-li

dvě řešení této diferenciální rovnice 1 a 2 , bude i jejich součet 21 novým řešením.

Tímto způsobem lze nalézt řešení sloţitějších případů proudění.

a) Rovinné polotěleso (deska.). Sloţením paralelního proudu a pramene dostaneme obtékání desky rozprostírající se aţ do nekonečna, obr.19.7.

Proudová funkce je v základním tvaru dána jako

221

Qay .

(19.28 )

Přechodem do kartézského systému dostaneme vztahy pro vx a vy. Proudová čára = 0 udává obrys obtékaného polotělesa.

b) Rovinný dipól, obr.19.8, dostaneme tak, ţe sloţíme pramen a propad stejné mohutnosti Q, jestliţe se vzdálenost mezi nimi 2l blíţí nule a mohutnost k nekonečnu tak, aby moment

dipólu měl konečnou hodnotu QlM 2 .

Proudnice jsou kruţnice se středy na ose y a dotýkají se počátku.

Proudová funkce dipólu

r

M

yx

yM

sin

22 22

.

( 19.29 )

c) Válec kruhového průřezu. Sloţením paralelního proudu a rovinného dipólu dostáváme prakticky velmi důleţitý případ obtékání válce kruhového průřezu.

Proudová funkce je rovna aMR 2/2

sin2

r

Rra .

( 19.30 )

Poloţíme-li = 0 dostáváme = 0 tj. osa x a rovnici kruţnice r = R obr.19.9. .Sloţky rychlosti

2

2

1cosr

Ravr ,

( 19.31 )

2

2

1cosr

Ravr .

( 19.32 )

Na povrchu válce Rr je radiální sloţka nulová a tangenciální

sin2avt ( 19.33 )

pro = 0 a je vt = 0 (stagnační body A a C) maximální rychlosti vt = 2 jsou v bodech

= ± /2 tj. body B a D.

Stanovme rozloţení tlaku na povrchu válce (v nevazké tekutině jsou třecí síly rovny nule). Napišme Bernoulliovu rovnici mezi bodem v nekonečnu a bodem na povrchu válce

22

22tv

pa

p . ( 19.34 )

Rozloţení tlakového součinitele pc (bezrozměrného tlaku) dostaneme dosazením za tv z rov

(19.33)


119

22

2sin411

2

a

v

a

ppc t

p ( 19.35 )

Ve stagnačních bodech A a C je tlak největší 1pc . V bodech B a D je nejmenší

tlak 3pc . Rozloţení tlaku je symetrické vzhledem k osám x a y . Integrací tlakových sil

po povrchu válce dostaneme 0 yx FF a výsledná síla je rovna nule (D'Alembertův

paradox). Obtékání válce reálnou tekutinou souhlasí s potenciálním obtékáním pouze na přední straně válce.

Obr.19.8 Schéma dipólu

Obr.19.9 Potenciální obtékání válce kruhového průřezu

d) Rotující válec. Sloţením paralelního proudu, dipólu a potenciálního víru dostáváme rovněţ prakticky důleţitý případ obtékání rotujícího válce, obr.19.10

Potenciální vír má zde opačný smysl otáčení neţ na obr.19.6 a proto se u proudové funkce víru mění Proudová funkce

rr

Rra ln

2sin

2

( 19.36 )

Analogicky jako v předcházejícím případě určíme sloţky rychlostí

2

2

1cosr

Ravr ,

( 19.37 )

rr

Ravr

21cos

2

2

.

( 19.38 )

Na povrchu válce Rr je radiální sloţka vr = 0 a tangenciální sloţka

Ravvt

2sin2

.

( 19.39 )

Body nulové rychlosti (stagnační body A, C) leţí nyní pod osou x , viz obr.19.10 (pro

Ra4 ).


120

Obr.19.10 Obtékání rotujícího válce a vznik

vztlaku Obr.19.11 Elementární tlaková síla

působící na povrch válce.

Cirkulace narušuje symetrii proudění vzhledem k ose x nad osou x , kde jsou výsledné

rychlosti dané vektorovým součtem rychlosti paralelního proudu a potenciálního víru větší neţ v symetricky leţících bodech pod osou x , budou vzhledem k Bernoulliově rovnici tlaky

menší. Tím vzniká tlaková síla, jeţ působí na rotující válec ve směru kolmém k rychlosti a tj.

vztlak yF . Abychom mohli vypočítat jeho velikost stanovme nejprve pomocí Bernoulliovy

rovnice rozloţení tlaku na povrchu válce: 22

2sin2

22

Ra

app

.

( 19.40 )

Na povrchu válce o jednotkové délce vytkneme elementární plošku, obr.19.11

RddA

a výslednou tlakovou sílu na ni působící pdAdF rozloţíme na sloţky

dpRdFdFx coscos (19.41)

dpRdFdFy sinsin

Integrací po povrchu válce dostaneme po dosazení za p z rov. (19.41)

0cos2

0

dpRFF xx

,

( 19.42 )

tj. nulový odpor, neboť proudění je symetrické vzhledem k ose y a vztlak

0sin2

0

dpRFF yy . ( 19.43 )

Po dosazení za p z rov. ( 19.401 )

2

0

22

0

2

sin2

sin22

sin2

dR

aR

da

pRFy ,

protoţe

2

0

22

0

32

0

sin;0sin;0sin ddd

dostáváme pro vztlak tzv. Kutta-Ţukovského vzorec

aFy , ( 19.44 )

který tvoří základ teoretické aerodynamiky.


121

20. Přehled použitých označení

Označení Měřící jednotka Význam A J práce A Pa.s vírová, zdánlivá viskozita C m1/2. s –1 Chézyho součinitel E N . m –2 modul objemové pruţnosti v tahu E J energie F N = kg . m . s –2 síla F0 N objemová síla ( = Fm ) Fp N tlaková síla – plošná síla Fs N setrvačná síla Ft N tečná síla, třecí síla G N tíha ( = Fg ) H kg . m . s –1 hybnost H m tlaková výška Jx m 4 moment setrvačnosti průřezu k ose x Jxy m4 deviační moment průřezu Jy m4 moment setrvačnosti průřezu k ose y K N . m – 2 modul objemové pruţnosti tekutiny M m4 . s –1 moment dipólu My m3 statický moment plochy k ose y P W výkon Q J teplo Qm kg . s –1 hmotnostní průtok Qv m3 . s –1 objemový průtok R m poloměr S m2 plocha T K absolutní teplota T s doba běhu vlny U J . kg –1 potenciál vnějších sil V m3 objem W J = N . m práce Y J . kg –1 měrná energie Yd J . kg –1 skutečná měrná energie čerpadla Yt J . kg –1 teoretická měrná energie čerpadla a m . s –2 zrychlení a m . s –1 rychlost zvuku c m . s –1 rychlost cx 1 součinitel odporu d m průměr dh m hydraulický průměr e J . kg –1 měrná energie ez J . kg –1 ztrátová měrná energie ( = er = Yz ) g m . s –2 tíhové zrychlení h m výška, svislá vzdálenost, hloubka hz m ztrátová výška i Pa.m-1 spád tlaku i,j,k 1 jednotkové vektory k m absolutní drsnost stěny l m směšovací délka l m délka, vzdálenost le m ekvivalentní délka potrubí m kg hmotnost n 1 index toku p Pa = N . m –2 tlak, hydrostatický tlak


122

pc Pa celkový tlak pd Pa dynamický tlak ps Pa statický tlak pz Pa tlaková ztráta q J . kg –1 měrné teplo r J . kg –1 . K –1 měrná plynová konstanta r m poloměr rh m hydraulický poloměr s m dráha t oC teplota t s čas tz s doba uzavírání armatury u m . s –1 unášivá, obvodová rychlost v m . s –1 rychlost, relativní rychlost v m 3 . kg –1 měrný objem vmax m . s –1 maximální rychlost vs m . s –1 střední rychlost z průtoku v* m. s-1 třecí rychlost w m . s –1 rychlost x m souřadnice y m souřadnice z m souřadnice Γ m 2 . s –1 cirkulace rychlosti Φ m 2 . s –1 rychlostní potenciál Ψ m 2 . s –1 proudová funkce

rad úhel, směrový úhel β rad úhel, směrový úhel β K –1 součinitel teplotní objemové roztaţnosti

rad úhel, směrový úhel

N . m –3 měrná tíha δ m tloušťka mezní vrstvy δ m 2 . N –1 součinitel stlačitelnosti ε rad . s –1 úhlová deformace ε 1 součinitel kontrakce proud

1 relativní drsnost stěny trubky

1 intenzita turbulence ζ 1 ztrátový součinitel η Pa . s dynamická viskozita ηč 1 celková účinnost čerpadla ηh 1 hydraulická účinnost čerpadla ηm 1 mechanická účinnost čerpadla ηv 1 objemová účinnost čerpadla

1 součinitel ( vliv pruţnosti potrubí )

1 izoentropický exponent λ 1 součinitel tření μ 1 výtokový součinitel ν m 2 . s –1 kinematická viskozita ξ 1 stupeň rázu π 1 bezrozměrový parametr ρ kg . m –3 hustota ( měrná hmotnost ) ζ Pa normálové napětí ζ N . m –1 povrchové napětí

Pa, N . m –2 tečné ( smykové napětí )

p Pa, N . m –2 počáteční smykové napětí φ rad úhel


123

φ 1 rychlostní součinitel ω s –1 úhlová rychlost Bezrozměrná čísla: Eu - Eulerovo Fr - Froudovo Gu - Gumbelovo Ma - Machovo Ne - Newtonovo Re - Reynoldsovo Sh - Strouhalovo We - Weberovo Poznámka: - střední hodnoty značeny pruhem - fluktuační hodnoty značeny čárkou - vektory značeny tučně 21. LITERATURA BIRD,B.R, STEWART,W.E, LIGHTFOOT,E.N.:Přenosové jevy. Academia 1968 JEŢEK,J.,VÁRADIOVÁ,B.: Mechanika tekutin pro pětileté obory. ČVUT Praha,1983, 1991 JEŢEK,J.: Hydromechanika v příkladech. ČVUT Praha, 1975, 1988 KOZUBKOVÁ,M.,DRÁBKOVÁ, S.: Cvičení s Mechaniky tekutin. Sb. příkladů. VŠB-TU Ostrava 2001 MAŠTOVSKÝ,O.: Hydromechanika. SNTL Praha 1956, 1963 NOSKIEVIČ,J. A KOL.: Mechanika tekutin. SNTL/ALFA Praha 1990 NOSKIEVIČ,J.: Hydromechanika. Skriptum. ES VŠB Ostrava, 1980 NOŢIČKA,J.: Mechanika a termodynamika. ČVUT, Praha 1991 NOŢIŠKA,J.: Analogové metody v proudění. Praha, Academia 1967 SMETANA,J.: Hydraulika, 1. a 2. díl. N ČSAV Praha, 1957 TESAŘ,V.: Mezní vrstvy a turbulence. ČVUT, Praha 1984 ALBRING,W.: Angewandte Strömungslehre, Steinkopf. Dresden 1961, 1966, 1970 PRANDTL,L., OSWATITSCH,K, WIEGHARDT,K.: Fuhrer durch die Strömungslehre Vieweg. Braunschweig, 1969 SPURK,J.H.: Strömungslehre, Springer, Berlin 1989 FOX,R.W.,MC DONALD,A.T.: Introduction to Fluid Mechanics, J. Wiley & sons, New York, 1994 SCHLICHTING,H.: Grenzschittheorie. Krlsruhe, Verlag A. Braun 1965 STREETER, V.L.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1971 WHITE, F.M.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1986 HINZE,J.O.: Turbulentnosť (překlad z angličtiny). Moskva, 1963 KOČIN,N.E., KIBEL,I.A, ROZE,N.V.: Teoretičeskaja gidromechanika. Izd. tech.-teor. lit. Moskva, 1948 LOJCJANSKIJ, L.G.: Mechanika ţidkosti i gaza. Moskva, Nauka 1987 LOJCJANSKIJ,J.G.: Laminarnyj pograničnyj sloj. Moskva, 1962 GRYBOS, R.: Postavy mechaniky plynow. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998

mechanika tekutinmechanika kapalin a plynů je ástí obecné mechaniky, stejně jako mechanika...

Documents