MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 10

14.05.2008 r

Zagadnienie n ciał

Całki ruchu

z

y

x

0

Pj(xj,yj,zj)

Qi(xi,yi,zi)

ijr

BtArmn

1iii

całka środka masy:

całka pól:

całka energii (sił żywych):

constci

i

hUT

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

kkkkk r

Um1vvr

gdzie:

Powyższy układ może nie mieć rozwiązania dla pewnego momentu czasu t=t1 – osobliwość

Osobliwości należą do dwóch klas:1. zderzeniowe2. niezderzeniowe

Nkj1 jk

kj

rmm

GU

Zagadnienie n ciał

Osobliwości Problem analizy osobliwości w zagadnieniu n ciał został zapoczątkowany przez P.Painlevé w 1895 r.

Szczególnie istotne było poruszenie przez niego problemu istnienia osobliwości niezderzeniowych (rozwiązanie zostało podane sto lat później).

Równanie ruchu n ciał (przyjmując taki układ współrzędnych gdzie G=1):

i

n

1j3ij

jijiii r

Urrr

mmrm

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

zdefiniujmy zbiór zderzeń:

gdzie:

to zbiór takich konfiguracji układu, w których dochodzi do zderzenia pewnej liczby punktów

jiijZ:Z

ijn3

n,,1ji rrRrrr:Z

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Zagadnienie n ciał

Osobliwości zdefiniujmy zbiór zderzeń:

gdzie:

to zbiór takich konfiguracji układu, w których dochodzi do zderzenia pewnej liczby punktów

jiijZ:Z

ijn3

n,,1ji rrRrrr:Z

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Poza zbiorem zderzeń (R3n\Z), prawa strona układu:

jest funkcją gładką.

n

1j3ij

jijiii r

rrmmrm

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Załóżmy, że rozwiązanie r(t) zagadnienia n ciał posiada osobliwość w pewnej chwili t*(przy czym t*<∞), wtedy mamy dwie możliwości:

1. w tym wypadku wektor q jest pewnym ustalonym punktem – zderzenie

2. trajektoria nie dąży do ustalonego punktu (należącego do zbioru Z) – mamy osobliwość niezderzeniową

Zq,q)t(r*tt

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Osobliwość niezderzeniowa – ruch n punktów materialnych, w którym nie dochodzi do zderzenia żadnej ich pary, a jednocześnie po skończonym czasie suma wszystkich odległości tych par dąży do nieskończoności

Painlevé zadał pytanie o możliwość istnienia osobliwości niezderzeniowej – pokazał jednocześnie, że w zagadnieniu trzech ciał takie osobliwości nie występują.

W 1908 r. von Zeipel pokazał, że jeśli istnieje osobliwość niezderzeniowa, to maksymalnaodległość między n punktami, poruszającymi się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, może w skończonym czasie wzrastać do nieskończoności.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Dopiero w McGehee (1974) oraz Mather i McGehee (1975) pokazują, że jest możliwe istnienie osobliwości niezderzeniowej w układach czterech i pięciu ciał. Jednak w ich pracach osobliwość niezderzeniowa pojawia się po nieskończonej ilość zlinearyzowanych zderzeń (tzw. „rozdmuchiwanie” osobliwości).

Ostatecznie rozwiązanie problemu poruszonego przez Painlevé podaje Xia (1988) dla układu pięciu ciał.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

Aby zrozumieć konstrukcję Xia dobrze jest zacząć od układu trzech ciał takiego jak na rysunku

Układ dwóch ciał poruszających się bardzo szybko po ciasnych elipsach (przyciąganie zależy wtedy również od odległości między m1 i m2), tak że w pewnym położeniu prawie dochodzi do zderzeń.

Trzeci ciało (cząstka) porusza się wzdłuż prostej przechodzącej przez barycentrummas m1 i m2.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

Układ działa w taki sposób, że gdy m3 mija barycentrum to m1 i m2 również i dochodzi do „prawie” zderzenia. W efekcie m3 zostaje gwałtownie przyspieszona i zawrócona

Xia ilustruje to za pomocą piłki do koszykówki z umieszczoną tuż nad nią piłką tenisową upuszczonych na ziemię

Jeżeli piłka do koszykówki uderza w ziemię to piłka tenisowa odbija się od poruszającej się do góry piłki do koszykówki

Pęd przekazany mniejszej piłce jest ogromny i powoduje jej „wystrzelenie” w górę

Zagadnienie n ciał

Osobliwości Aby uniknąć wyrzucenia lekkiego ciała do nieskończoności , w układzie Xia mamy do czynienia z dwoma gwiazdami podwójnymi o parami równych masach.

Do tego układu dodajemy, jako piąte ciało, lekki wahadłowiec poruszający się wzdłuż osi z.

Środek masy pięciu ciał znajduje się w początku układu współrzędnych.

Łączny moment pędu układu jest równy zeru.

W chwili początkowej wahadłowiec znajduje się pomiędzy układami podwójnymi i porusza się w kierunku jednego z nich.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości Kiedy mija dany układ zostaje gwałtownie zawrócony i skierowany w stronę drugiegoukładu.

Kiedy dociera do drugiego układu sytuacja powtarza się.

Xia wykazał, że masy ciał i warunki początkowe można dobrać tak, że ruch wahadłowca można powtórzyć nieskończenie wiele razy w skończonym czasie

Osobliwość niezderzeniowa pojawia się, bo w granicy t->t* odległość płaszczyzn obu gwiazd podwójnych rośnie do nieskończoności

Przykład podany przez Xia może być uogólniony na dowolny układ n>5 ciał.

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

„Zwykłe” całkowanie numeryczne równań ruchu.

Jest bardzo powolne, bo czas obliczeń zależy od n2

Można go zredukować używając pewnych technik

Jest bardzo czułe na błędy użytej metody całkowania (przykład)

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

metoda Barnes-Hut – przykład analizy zagadnienia n ciał przy zredukowanej liczbie kroków obliczeniowych (czas obliczeń rośnie zgodnie z nlogn)

Polega na utworzeniu „drzewa oddziaływań”poprzez podzielenie przestrzeni na komórki, które na najniższym poziomie zawierają pojedyncze ciała

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

Ruch danej cząstki jest zdeterminowany przez oddziaływania grawitacyjne innych ciał.

W metodzie B-H zakłada się, że tylko ciała leżące najbliżej danej cząstki muszą być traktowane indywidualnie.

Oddziaływanie od bardziej odległych ciał wyznaczane jest poprzez uśrednianie po dużych komórkach.

Metoda B-H nie ma nic wspólnego z modelamitypu PIC (Particle In Cell)!

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczneDzięki metodzie B-H można obecnie efektywnie badać zderzenia galaktyk, które modeluje się jako zbiory milionów (!)gwiazd.

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne Modyfikacje metody Barnes-Hut polegają np. na innym sposobie dzielenie przestrzeni

Mogą to być na przykład kule lub elipsy

W niektórych wypadkach pozwala to uzyskać liniową zależność czasu obliczeń odliczby punktów

Fast Multipole Method (Greengard i Rokhlin 1987)

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

Metoda najbliższego sąsiada:

1. dla danego punktu liczymy odległości od innych

2. jako sąsiadów traktujemy punkty, których odległości są mniejsze od zadanego warunku (nie zapominamy o masie)

3. wyznaczmy przyspieszenie pochodzące od sąsiadów

Metoda pozwala uzyskać czas obliczeń proporcjonalny do liczby punktów (b. szybka)

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania szczególne

Pierwsze, stabilne rozwiązania dla n>2 ciał podali Lagrange i Euler

Skupili się oni głównie na zagadnieniu 3 ciał szukając symetrii pozwalających uzyskać dokładne rozwiązania.

W trzech przypadkach ciała zawsze znajdowały się na jednej prostej (wcześniej taki przykład podał Euler), a w dwóch innych masy leżały w wierzchołkach trójkąta równobocznego.

Ostatnio (Chenciner i Montgomery 2001) podany został jeszcze jeden przypadek, w którym trzy ciała poruszają się po figurze o kształcie ósemki (nieskończoności…?).

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania szczególne

Duża część rozwiązań szczególnych jest uogólnieniem znanych rozwiązań dla układu 3 ciał.

Ogólnie znane rozwiązania dla n ciał można podzielić na kilka klas:

1. płaskie – jeśli w zagadnieniu n ciał możemy w każdym momencie zdefiniować płaszczyznę zawierającą wszystkie ciała.

2. współliniowe – w przypadku gdy dla dowolnego momentu czasu wszystkie ciała znajdują się na jednej prostej

3. homograficzne – kształt utworzony przez n ciał względem barycentrum jest zachowany, przykład:

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania szczególne - przykłady

http://burtleburtle.net/bob/physics/