mechanika ir termodinamika

2

1

FIZIKOS ĮVADAS

1.1. Fizikos tyrimo objektas

Žodis "fizika" yra graikiškos (physis) kilmės ir reiškia gamtą. Fizika tiria

paprasčiausius, bendriausius gamtos reiškinių dėsningumus, materijos sandarą ir jos judėjimo

dėsnius. Taigi fizikos tyrimo objektas yra mus supanti gamta. Fizikos tyrimo objektas yra visa

tai, kas supa Žemę, kas yra jos paviršiuje ir gelmėse, kas yra dujose skysčiuose ir kietuose

kūnuose, kokios medžiagų savybės, kokie materijos judėjimo dėsningumai.

Erdvė ir laikas – pagrindinės materijos būties formos: erdvė reiškia materijos tįsumą ir

struktūriškumą, o laikas – būsenų trukmę ir jų kaitos nuoseklumą. Erdvė – trimatė tuštuma,

vienalytė ir izotropinė. Jos savybės: vienalytiškumas suprantamas kaip poslinkio simetrija,

t.y. lygiagrečiai perkėlus mechaninę uždarąją sistemą, jos mechaninės savybės nepakinta;

izotropiškumas reiškia visų krypčių tapatumą, t. y. pasukus uždarąją sistemą, jos mechaninės

savybės nepakinta (sukimo simetrija).

Trumpai pažvelkime į tą gamtos dalį, kuri supa Žemę. Tai yra begalinė erdvė su joje

esančiais kūnais (planetomis, žvaigždėmis, kometomis, asteroidais ir t. t.). Bendrai mes

sakome, kad tai yra Visata. Erdvės dalį, kurios matmenys yra per 1020 m, vadiname

Galaktika. Erdvės dalis, kurią galime tirti šiuolaikiniais galingais teleskopais ir

radioteleskopais, vadinama Metagalaktika. Metagalaktikos matmenys apytiksliai yra 1026 m.

Šis atstumas prilygsta 1010 šviesmečių. Dažnai jį vadiname Visatos spinduliu, nors tai

neatitinka tikrovės. Palyginimui pateikime atstumą iki Saulės, kuris yra ir Žemės

spindulį, kuris lygus Pagrindinės atomų struktūrinės dalelės yra protonai ir

neutronai. Metagalaktikoje jų yra per 10

m105,1 11⋅

.m104,6 6⋅80. Saulėje yra per 1057 protonų ir neutronų, o Žemėje

– per Dalindami 10.104 51⋅ 80 iš 1057, gauname skaičių 1023. Jis yra artimas Avogadro

skaičiui. Galime sakyti, kad Metagalaktikoje yra vienas molis žvaigždžių. Iš Metagalaktikoje

esančių protonų ir neutronų galėtų susidaryti 1023 žvaigždžių, kurių dydis prilygsta Saulei.

Mokslininkų nuomone, žvaigždžių masės yra nuo vienos šimtosios iki šimto Saulės masių.

1. Fizikos įvadas

3

Sudėtingiausias visatos reiškinys yra gyvybė. Mūsų žiniomis tobuliausiai išsivysčiusi

Visatos būtybė yra žmogus, kurio organizmą sudaro apie 1016 ląstelių, o kiekvieną ląstelę apie

1012÷1014 atomų. Negyvoji gamta egzistuoja daugelyje formų. Įvairūs protonų, neutronų ir

elektronų deriniai sudaro daugiau nei šimtą elementų ir per 1500 izotopų. Atskiri elementai,

jungdamiesi į patvarias grupes, gali sudaryti daugiau nei 106 įvairių junginių.

Eksperimentiniai mokslai sudarė galimybę pažinti mus supantį pasaulį: klasifikuoti žvaigždes,

nustatyti jų masę ir sudėtį, atstumą ir žvaigždžių judėjimo greičius, klasifikuoti gyvas būtybes

ir iššifruoti jų genetinius kodus, sintezuoti neorganinius kristalus, biochemines medžiagas ir

naujus cheminius elementus, matuoti molekulių ir atomų spektrų dažnius, kurie yra 102÷1020

Hz.

Nežiūrint į Visatoje vykstančių reiškinių sudėtingumą, pavyko nustatyti daugybę

ypatumų ir suformuluoti fundamentalius dėsnius, kuriais remiantis galima aprašyti gamtoje

vykstančius reiškinius.

Fizikos paskaitose kalbėsime apie geriausiai mums žinomus, dažniausiai stebimus ir

lengviausiai aprašomus reiškinius.

1.2. Fizikos mokslo sandara

Fizika yra eksperimentinis mokslas. Jos dėsniai – eksperimentiškai nustatyti faktai.

Šalia eksperimentinės fizikos sėkmingai vystosi ir teorinė fizika. Ji formuluoja gamtos

dėsnius ir remdamasi šiais dėsniais aiškina reiškinius, numato naujus. Fizika dažnai skirstoma

į atskirus fizikos mokslus. Pagal tiriamus objektus ji skirstoma į elementariųjų dalelių fiziką,

branduolio fiziką, atomų ir molekulių fiziką, dujų ir skysčių fiziką, kietojo kūno fiziką,

plazmos fiziką. Suskirstymas nėra vienareikšmis. Pagal kitą kriterijų – proceso tyrimą arba

materijos judėjimo formą galima išskirti materialaus taško ir kietojo kūno mechaniką, ištisinių

aplinkų mechaniką, termodinamiką ir statistinę fiziką, elektrodinamiką, sąveikos teoriją,

kvantinę mechaniką ir kvantinę lauko teoriją. Minėti fizikos mokslai tarpusavyje glaudžiai

susiję ir nėra aiškios ribos dėl objektų ir reiškinių panašumo. Pagal tyrimo tikslą gali būti

išskirta taikomoji fizika.

Ypatingas dėmesys fizikos moksle yra skiriamas svyravimams ir bangoms. Šis fizikos

skyrius nagrinėja mechaninius, akustinius, elektrinius, optinius svyravimus ir jų plitimą

erdvėje. Svyruojamasis judesys labiausiai paplitęs gamtoje, todėl neatsitiktinai jo aprašymui

fizikoje skiriama daug dėmesio.

1. Fizikos įvadas

4

1.3. Fizikos vystymosi etapų apžvalga

Įvairūs gamtos reiškiniai ir mus supančių kūnų sandara domino žmones dar gilioje

senovėje. Nuo 6 amžiaus prieš mūsų erą iki 2-ojo mūsų eros amžiaus gimė medžiagos

atominės struktūros idėja (Demokritas, Epikuras, Lukrecijus). Sukurta geocentrinė planetų

sistema (Ptolomėjus), nustatyti paprasčiausi statikos dėsniai (sverto taisyklė), šviesos lūžimo

ir atspindžio dėsniai, suformuluoti hidrostatikos principai (Archimedas), stebimi kai kurie

elektriniai reiškiniai ir magnetizmo pasireiškimai.

Spartus fizikos mokslo vystymasis prasidėjo 17 amžiuje ir yra neatskiriamai susijęs su

italų mokslininko Galilėjaus vardu. Galilėjus suprato, kad visus reiškinius reikia aprašyti

matematiškai. Jis įrodė, kad vieno kūno poveikis į kitą sąlygoja ne jo greitį, bet pagreitį.

Galilėjus suformulavo mechaninį reliatyvumo principą, įrodė, kad laisvo kritimo pagreitis

nepriklauso nuo kūno tankio ir jo masės, pagrindė Koperniko teiginius, tyrė optinius,

astronominius, šiluminius ir kitus reiškinius. Jo mokinys Toričelis nustatė atmosferos slėgį ir

pagamino pirmąjį barometrą. Anglų mokslininkas Boilis ir prancūzas Mariotas ištyrė dujų

tamprumo savybes ir nustatė dėsnį, žinomą jų vardu. 1600 m. Gilbertas tyrė elektrinius ir

magnetinius reiškinius ir parodė, kad Žemė yra didelis magnetas.

Didžiausias 17 amžiaus pasiekimas priklauso Niutonui, suformulavusiam (1687 m.)

mechanikos dėsnius. Kepleris nustatė planetų judėjimo dėsnius, o Niutonas remdamasis jais,

suformulavo Visuotinės traukos dėsnį, kurio dėka jam pavyko nuostabiu tikslumu

apskaičiuoti Mėnulio, kitų planetų ir kometų judėjimo parametrus, paaiškinti okeanų

potvynius ir atoslūgius. Tiesa, Niutonas rėmėsi absoliučios erdvės ir absoliutaus laiko sąvoka.

Tuo metu olandų fizikas Heigensas ir vokiečių fizikas Leibnicas suformulavo impulso

tvermės dėsnį. Antroje 17 amžiaus pusėje sparčiai vystosi mokslas apie šviesą. Konstruojami

teleskopai. Italų fizikas Grimaldi pastebi šviesos difrakcijos reiškinį, o Niutonas tiria šviesos

dispersijos reiškinį. 1676 m. danų fizikas Riomeris pirmą kartą išmatuoja šviesos greitį.

Šveicarų fizikai Bernulis ir Eileris, prancūzas Lagranžas sukuria idealaus skysčio

hidrodinamiką. Prancūzų fizikas Diufe nustato dviejų rūšių elektros krūvių egzistavimą ir jų

sąveikos pobūdį. Amerikiečių fizikas Franklinas nustato elektros krūvių tvermės dėsnį. Anglų

mokslininkas Kavendišas ir nepriklausomai nuo jo prancūzas Kulonas nustato nejudančių

taškinių krūvių sąveikos dėsnį. Sparčiai tiriami šiluminiai reiškiniai: šiluminė talpa, šilumos

laidumas, šiluminis spinduliavimas. Jau tuo metu įsivyrauja du požiūriai į šviesos prigimtį.

Anglų mokslininkas Jangas ir prancūzas Frenelis paaiškina šviesos interferenciją ir difrakciją.

1. Fizikos įvadas

5

Italų mokslininkai Galvanis ir Volta tiria elektros srovės reiškinius. Anglų mokslininkai Devis

ir Faradėjus nustato srovės cheminį poveikį. 1820 m. danų fizikas Erstedas nustato elektros

srovės poveikį į magnetinę rodyklę. Tais pačiais metais prancūzų fizikas Amperas įrodo, kad

visi magnetiniai reiškiniai susiję su elektros krūvių judėjimu ir eksperimentiškai nustato

srovių sąveikos dėsnį. 1826 m. Omas nustato elektrinio laidumo dėsnį. 1831 m. Faradėjus

atranda elektromagnetinės indukcijos dėsnį. Nustatomos pagrindinės kūnų magnetinės

savybės. Sukuriama kietų kūnų tamprumo teorija. Vokiečiai Majeris ir Helmholcas bei anglas

Džaulis nustato energijos tvermės dėsnį. 19 amžiaus viduryje eksperimentiškai nustatomas

mechaninės energijos ir šilumos ekvivalentas. 1850 m. vokiečių fizikas Klauzijus,

remdamasis prancūzų inžinieriaus Karno ir anglų fiziko Tomsono tyrimais, suformuluoja

fundamentalųjį šilumos teorijos antrąjį termodinamikos dėsnį. 1859 m. anglų fizikas

Maksvelis pirmas pavartoja tikimybės sąvoką ir nustato molekulių skirstinį pagal greičius.

Antroje 19 amžiaus pusėje Maksvelis sukuria klasikinės elektrodinamikos teoriją. 1886-89 m.

vokiečių fizikas Hercas eksperimentiškai nustato elektromagnetinių bangų egzistavimą. 1859

m. vokiečių mokslininkai Kirchhofas ir Bunzenas sukuria spektrinės analizės pagrindus.

Naują žingsnį fizikoje žengė anglų fizikas Tomsonas. 1897 m. nustatė elektrono

egzistavimą, nustatė, kad atomai nėra elementariosios dalelės, bet sudėtingos dalelių sistemos.

19 amžiaus pabaigoje ir 20 amžiaus pradžioje olandų fizikas Lorencas sukuria elektroninę

metalų laidumo teoriją.

20 amžiaus pradžioje paaiškėjo, kad reikia peržiūrėti erdvės ir laiko savokas. Gimsta

Einšteino reliatyvumo teorija, kurios pagrindą sukūrė Lorencas ir Puankare.

19 ir 20 amžių sandūroje įvyksta dideli pokyčiai fizikos moksle. 1900 m. vokiečių

fizikas Plankas pasiūlo kvanto sąvoką ir paaiškina šiluminio spinduliavimo dėsnius.

Einšteinas kvanto sąvoką perkelia optiniams reiškiniams ir paaiškina fotoefekto reiškinį, kurio

negalėjo paaiškinti klasikinė elektrodinamika. Danų fizikas N. Boras 1913 m sukuria atomo

modelį. E. Rezerfordas eksperimentiškai nustato branduolio egzistavimą atome ir sukuria

planetinį atomo modelį, kurį papildo N. Boras.

1912 m. vokiečių fizikas Lauje pastebi rentgeno spindulių difrakciją kristaluose. Gimsta

struktūrinė analizė (Vulfas, U. L. Bregas ir U. G. Bregas.). Olandų fizikas Debajus, vokiečių

fizikas Bornas, amerikietis Karmanas ir austrų fizikas Šredingeris sukuria kristalinio kūno

gardelės teoriją.

1920 m. buvo sukurta kvantinės mechanikos teorija, kuri aprašė mikrodalelių judėjimo

dėsningumus ir nusakė mikropasaulio priežastingumo principą. Šios teorijos pagrindą sudarė

Planko, Einšteino, Boro ir prancūzų fiziko de Broilio hipotezė apie materijos korpuskulinę ir

1. Fizikos įvadas

6

banginę prigimtį. 1927 m. buvo gauta elektronų difrakcija kristaluose. Tai patvirtino de

Broilio hipotezę. 1926 m. Šredingeris suformulavo pagrindinį kvantinės mechanikos dėsnį,

kurio matematinė išraiška, banginė lygtis, įskaitanti postuluotą materijos dvilypumą. 1925 m.

šveicarų fizikas Paulis suformulavo draudimo principą.

Kvantinė mechanika padėjo vystyti kietojo kūno teoriją. Priverstinio spinduliavimo

teorija leido sukurti naują radiofizikos sritį – kvantinę elektroniką. Atsirado lazeriai.

Dvidešimtame amžiuje pradėjo sparčiai vystytis atomo branduolio fizika. Ji padėjo įsisavinti

valdomą branduolinę reakciją, davusią galingą energijos šaltinį.

1.4. Pagrindinės fizikos neišspręstos problemos

Nauji atradimai fizikoje padeda suvokti gamtos reiškinių svarbą ir sudėtingumą. Naujos

paieškos fizikoje nemažina spręstinų problemų skaičiaus. Atvirkščiai, tyrinėjant paaiškėja

nauji nežinomi reiškiniai. Nors fizikos mokslas žino daug apie gamtos reiškinius, kūnų

struktūrą ir Visatą, tačiau šiandien yra daugybė dar neišspręstų problemų.

Elementariųjų dalelių ir branduolio fizikos pasiekimai davė galimybę pažinti Visatos ir

žvaigždžių evoliuciją, cheminių elementų susidarymą. Tačiau lieka neaišku, kokia yra

materijos būsena, esant labai dideliems tankiams ir slėgiams. Tokia būsena realizuojasi

neutroninėse žvaigždėse ir “juodose skylėse”. Nežinoma kvazarų ir radiogalaktikų prigimtis,

naujų žvaigždžių atsiradimas, intensyvaus spinduliavimo blyksniai. Nežinomas elektringų

dalelių greitinimo mechanizmas, susijęs su naujų žvaigždžių susidarymu.

Elementariųjų dalelių fizikoje nežinomas laisvųjų kvarkų ir gliujonų egzistavimas. Nėra

bendros teorijos, apimančios visus eksperimentinius rezultatus. Nėra elementariųjų dalelių

spektro teorijos. Neišspręstas traukos kvantinės teorijos uždavinys.

Didelį indėlį į atomo branduolio teorijos vystymą įnešė protoninio ir neutroninio

branduolio modelio sukūrimas, tačiau nuoseklios branduolio teorijos nėra. Nepaprastai sunku

eksperimentiškai tirti branduolio nukleonų sąveikos jėgas. Jos priklauso nuo atstumo tarp

nukleonų, nukleonų judėjimo greičių, jų spinų orientacijos. Nėra eksperimentiškai aptikti

cheminiai, ilgai egzistuojantys, elementai su masių skaičiais 114÷126, į kurių egzistavimą

nurodo teorinė fizika. Viena iš aktualiausių šios dienos branduolio fizikos problemų – tai

valdomos branduolių sintezės reakcijos įsisavinimas.

Žymus atradimas kvantinėje elektronikoje – tai kvantinių generatorių sukūrimas

(mazeriai, irrazeriai, lazeriai). Unikalios kvantinio spinduliavimo savybės (koherentiškumas,

galia siaurame spektro intervale siekia 1012÷1013 W, pluošto skėsčio kampas apie 10-4 rad.,

1. Fizikos įvadas

7

nepaprastai didelis elektrinio lauko stiprumas, viršijantis vidinius atomų laukus ir kt.) leidžia

juos panaudoti daugelyje fizikinių eksperimentų ir praktikoje. Šito išdavoje gimė netiesinė

optika. Pagrindiniai spręstini kvantinės elektronikos uždaviniai – tai kvantinių generatorių

galios didinimas, tolydus lazerių dažnio keitimas, rentgeno ir γ lazerių sukūrimas.

Kietojo kūno fizikoje svarbu sukurti medžiagas su ekstremaliomis savybėmis

mechaninio ir šiluminio atsparumo, elektrinių, magnetinių ir optinių savybių požiūriais.

Mokslininkus nepaprastai domina aukštatemperatūrinis medžiagų superlaidumas. Ieškoma

naujų metodų, leidžiančių sukurti labai mažus ir patikimus puslaidininkinius prietaisus.

Fizikus domina medžiagų plazminė būsena. Yra žinoma, kad plazminėje būsenoje yra

didesnioji Visatos dalis. Aukštatemperatūrinė plazma sudaro galimybę sukurti valdomą

branduolių sintezės reakciją. Pagrindinis plazmos fizikos uždavinys – tai jos įkaitinimas iki

109 K ir išlaikymas tokį laiką, per kurį galėtų įvykti sintezės reakcija. Mokslininkus domina

elektromagnetinis ir korpuskulinis plazmos spinduliavimas, leidžiantis paaiškinti elektringų

dalelių pagreitinimą Visatoje, atsirandant naujoms žvaigždėms, pulsarų spinduliavimą ir kt.

Fizika labai glaudžiai susijusi su kitais gamtos ir technikos mokslais. Negalima išvesti

skiriamosios ribos tarp fizikos ir bet kurio kito technikos mokslo. Daugelio mokslų pagrindą

sudaro fizikos fundamentalūs dėsniai. Naujų fizikos sričių vystymasis skatina naujų technikos

mokslų atsiradimą. Taip, pavyzdžiui, mašinų gamyba remiasi mechanikos dėsniais,

elektrotechnika ir radiotechnika – elektromagnetinių reiškinių dėsniais, puslaidininkinių

prietaisų – kietojo kūno teorija ir t.t. Kokybinius pakitimus technikoje padarė integralinių

elementų sukūrimas. Tai leido pagaminti naujas ryšių sistemas, sukurti labai mažas,

ekonomiškas, greitaeiges skaičiavimo mašinas ir kt.

1.5. Fizikos mokslo metodai

Pradedant studijuoti fizikos kursą, pravartu susipažinti su bendraisiais tyrimo metodais,

kurie taikomi tiriant fizikinius reiškinius ir procesus.

Fizikinis reiškinys arba procesas – tai dėsningai susietų dydžių kitimas laike. Toks

dydžių kitimas fizikiniame procese vertinamas kiekybiniu ir kokybiniu šių dydžių virsmu.

Fizikinis bandymas. Dėsningi ryšiai tarp fizikinių dydžių nustatomi juos stebint gamtoje

arba atliekant laboratorinius bandymus, kurių metu išlaikomos artimos gamtinio reiškinio

vyksmo sąlygos. Laboratoriniai bandymai ir gamtos reiškinių stebėjimas yra pagrindiniai

būdai tiesos kriterijui nustatyti. Tikslus ir teisingas fizikinių dydžių matavimas stebėjimo ar

bandymo metu sudaro pagrindinę mokslinio tyrimo dalį fizikos moksle.

1. Fizikos įvadas

8

Fizikos dėsnis. Visi fizikiniai reiškiniai yra tam tikrame priežastingumo sąryšyje.

Gamtos reiškinių stebėjimo ar eksperimento metu nustatomi priežastingumo ryšiai ir reiškinių

dėsningumai. Bendri dėsningumai, pagal kuriuos vyksta fizikiniai reiškiniai, vadinami fizikos

dėsniais. Apskritai dėsnis reiškia esminį pasikartojantį gamtos ar visuomenės reiškinį,

sąlygojantį jų vystymosi būtinumą.

Hipotezė. Dažnai fizikoje naudojamasi hipoteze (prielaida). Tai darome tuomet, kai

naujai pastebėtų reiškinių negali paaiškinti žinomi dėsniai arba jiems prieštarauja. Kaip

pavyzdį galime paminėti de Broilio hipotezę, kuri buvo suformuluota 1924 m. prancūzų

mokslininko de Broilio, pagal kurią mikrodalelė gali reikštis kaip banga, kurios ilgis

, čia h – Planko konstanta, m – mikrodalelės masė, v – jos greitis. Ši hipotezė

buvo vėliau patvirtinta eksperimentu, stebint elektronų difrakciją kristaluose. Hipotezė,

patvirtinta eksperimentu, virsta dėsniu.

( vm/h=λ )

Fizikinė abstrakcija. Dažnai fizikos eksperimente arba gamtos reiškinyje reikalinga

atskirti pagrindinius reiškinių aspektus nuo antraeilių. Abstrakcija atspindi tik kai kurias kūnų

savybes arba proceso charakteristikas. Taip, pavyzdžiui, sakoma absoliučiai kietasis kūnas,

materialusis taškas, tiesi linija, neklampus skystis ir kt. Dėl to nagrinėjant kietojo kūno

sukimąsi neatsižvelgiama į jo deformaciją, kurią sukelia išcentrinės jėgos, arba, nagrinėjant jo

rimtį, neatsižvelgiama į deformaciją, kurią sukelia sunkio jėga.

Teorija – principinis požiūris į nagrinėjamą reiškinį. Yra klasikinė mechanika,

reliatyvumo teorija, kvantinė lauko teorija, kvantinė mechanika ir t. t.

1.6. Fizikiniai matavimai, paklaidos ir jų skirstiniai

Matavimu vadinama eksperimentinių ir skaičiavimo operacijų seka, nustatant fizikinio

dydžio skaitinę vertę. Skaitinė vertė n reiškia matuojamojo dydžio santykį su pasirinktuoju

matavimo vienetu. Taigi fizikinis dydis lygus jo skaitinės vertės ir matavimo vieneto

sandaugai:

[ ].xnx = (1.1)

Pats fizikinis dydis – tai kokybiškai bendra, o kiekybiškai individuali fizinių objektų ar

procesų savybė, kurią galima tiesiogiai ar netiesiogiai išmatuoti. Matavimo principinė schema

pavaizduota 1.1 paveiksle

1. Fizikos įvadas

9

1.1 pav. Matavimo principinė schema

Pagrindinės matavimo priemonės yra šios: matai (saikai), matavimo prietaisai,

keitikliai, įrenginiai ir informacinės sistemos.

Matu atkuriama fizikinio dydžio vertė, pvz., svarstis yra masės matas, juosta – ilgio

matas.

Matavimo prietaisas išreiškia matavimo rezultatą atitinkamu signalu skalėje, juostoje ar

indikatoriuje. Prietaiso schema pavaizduota 1.2 paveiksle.

1.2 pav. Matavimo prietaiso principinė schema

Matavimo keitikliu sukuriamas signalas, perduodantis informaciją matavimo prietaisui

ar duomenų kaupikliui. Pirminiai keitikliai vadinami jutikliais.

Matavimo įrenginį sudaro atitinkamai sujungtų jutiklių, keitiklių, matavimo prietaisų ir

kitų įtaisų sistema.

Informacinė matavimo sistema – tai įvairių matavimo priemonių ir ryšio kanalų visuma.

Visos matavimo priemonės turi būti patikimos. Patikimumo vertinimo kriterijus yra

gedimas, kurio tikimybė q(t). Jos ir nesutrinkamo darbo tikimybės p(t) suma lygi vienetui:

( ) ( ) 1=+ tqtp . (1.2)

Fizikiniai matavimai skirstomi pagal įvairius požymius.

1. Pagal nustatomojo dydžio ir matuojamojo dydžio sąryšį matavimai esti tiesioginiai ir

netiesioginiai.

1. Fizikos įvadas

10

Tiesioginiais matavimais dydžio vertė nustatoma matavimo priemone, pvz., strypo ilgis,

lydalo temperatūra ir pan. Tačiau tai ne visada įmanoma.

Netiesioginiais matavimais dydžio vertė nustatoma iš tiesiogiai išmatuotų verčių,

susietų žinoma priklausomybe su matuojamąja. Pavyzdžiui, taip gali būti nustatytas

medžiagos tankis (reikia išmatuoti tiesiogiai kūno masę ir tiesiogiai ar netiesiogiai

tūrį).

V/m=ρ

2. Pagal nustatomojo dydžio metriką matavimai esti absoliutiniai ir santykiniai.

Absoliutinio matavimo rezultatas yra išreiškiamas tam tikrais vienetais, o santykinio

bevardis. Pavyzdžiui, mažiausias apšviestumas, kurį junta prie tamsos pripratusi akis, lygus

10-9 lx, o akies santykinis jautris ilgio bangai K = 0,017. nm680=λ

3. Pagal matuojamojo dydžio keitimo pobūdį – mechaniniai, elektriniai, magnetiniai,

optiniai ir t. t.

Fizikiniai dydžiai matuojami įvairiais metodais. Metodas (kelias į ką nors) – tikslo

siekimo būdas, tam tikru būdu sutvarkyta veikla. Taigi matavimo metodas – matavimo

principų ir priemonių vartojimo būdų visuma, nustatant fizikinio dydžio vertę ar tiriant kurią

nors reiškinio savybę.

Matavimo metodai skirstomi į tiesioginius ir balansavimo metodus. Tiesiogiai

matuojančių prietaisų skalės graduojamos matuojamų dydžių vienetais, pvz., kg, m, s, N, T,

… Balansinių matavimo prietaisų veikimas pagrįstas matuojamojo dydžio vertės palyginimu

su etalonine.

Tarptautiniu susitarimu išskirti pagrindiniai fizikiniai dydžiai ir jų matavimo vienetai (1

lentelė).

Vystantis mokslui ir technikai, didėja fizikinių dydžių matavimo tikslumas, kartu

tobulėja ir matavimo vienetų apibrėžimas.

1 metras lygus ilgiui atkarpos, kurią šviesa vakuume nusklinda per 1/299792458

sekundės. Šis apibrėžimas akivaizdus, mat šviesos greitis vakuume gan tiksliai išmatuotas:

. Dydis c – fundamentalioji gamtos konstanta. Taigi belieka išmatuoti

laiką, per kurį šviesa nusklinda 1 m. Kol kas laikas matuojamas atominiu cezio izotopo

m/s458792299=c133Cs

laikrodžiu: 1 sekundė lygi 9192631770 periodų spinduliuotės, vykstančios tarp dviejų cezio

izotopo 133Cs pagrindinės būsenos supersmulkiosios sandaros lygmenų. Apytiksliai ji lygi

1/86400 vidutinės paros daliai.

1. Fizikos įvadas

11

1 lentelė. Pagrindinių fizikinių dydžių vienetai ir jų dimensijos

Eil.

Nr. Fizikinis dydis

Dydžio

žymėjimas

Dimensijos

žymėjimas

Matavimo

vienetas

Vieneto

žymėjimas

1 Ilgis l L metras m

2 Masė m M kilogramas kg

3 Laikas t T sekundė s

4 Elektros srovės stipris I I amperas A

5 Temperatūra

(termodinaminė) T Θ kelvinas K

6 Medžiagos kiekis ν N molis mol

7 Šviesos stipris I I kandela cd

1.3 pav. Masės etalonas

Masės vienetas – kilogramas. Jis lygus

tarptautinio kilogramo etalono masei. Šis kilogramo

etalonas sudarytas iš 90 % platinos ir 10 % iridžio

lydinio ir yra pilnavidurio cilindro formos (1. 3 pav.).

1 amperas – stiprumas nuolatinės elektros srovės,

kuriai tekant dviem lygiagrečiais plonais, bet ilgais

laidininkais, esančiais 1 m atstumu vienas nuo kito

vakuume, kiekvieną jų ilgio metrą veikia magnetinė

didumo jėga. Taigi šis apibrėžimas

vėl remiasi fundamentaliąja fizikos konstanta –

magnetine konstanta µ nes

N/m102 7−⋅=vakF

,A/N 27−1040 ⋅π=

)( dlIFvak πµ= 220 . Kadangi l = d = 1 m, o I = 1 A, tai vakFπ=µ 20 .

1 kelvinas – termodinaminės temperatūros vertė, lygi 1/273,16 jos vertės, atitinkančios

vandens trigubąjį tašką (1.4 pav.). Priminsime, kad temperatūra – fizikinis dydis,

apibūdinantis termodinamiškai pusiausviros makroskopinės sistemos būseną. Taigi

temperatūra proporcinga dalelių vidutinei kinetinei energijai. Nuo jos priklauso dalelių

pasiskirstymas pagal energijas (Bolcmano d.), energinio šviesio spektrinis tankis (Planko d.),

energinis šviesis (Stefano ir Bolcmano d.) ir kt.

1. Fizikos įvadas

12

1.4 pav. Medžiagos būvio priklausomybė nuo slėgio ir temperatūros 1 molis – medžiagos kiekis sistemoje, sudarytoje iš tiek pat dalelių, kiek jų yra 0,012

kg12C. Tas dalelių skaičius vadinamas Avogadro skaičiumi NA. Taigi molių skaičius lygus

sistemos masės ir jos molio masės santykiui:

Mm=ν . (1.3)

1 kandela – šviesos stiprumas monochromatinio ( )Hz1510540 ⋅=ν , šaltinio, kurio

spinduliuotės galia ta kryptimi lygi 1/683 W/sr. Atkreipsime dėmesį į tai, kad nurodyta dažnio

vertė atitinka bangos ilgį šviesos, kuriai jautriausia žmogaus akis:

nm555Hz10540

m/s10312

8

=⋅⋅

=ν

=λc . (1.4)

Prie pagrindinių matavimo vienetų dažnai priskiriami plokščiojo ir erdvinio kampų

matavimo vienetai – radianas (rad) ir steradianas (sr).

1 radianas lygus kampui tarp spindulių, kuriuos jungiančio apskritimo lanko ilgis lygus

spindulio ilgiui. Kadangi 2π radianų atitinka 360°, tai 1 rad = 360°/2π = 57,32°. Kampo

didumas lygus lanko ir spindulio santykiui: .R/l=ϕ

1 steradianas lygus erdviniam kampui, kurio viršūnė yra sferos centre ir kuris riboja

sferos paviršiuje plotą, lygų plotui kvadrato, kurio kraštinė a = R. Kadangi visas erdvinis

kampas lygus 4π sr, tai šio dydžio, t.y. . Kampo didumas lygus

kūgio ribojamo ploto ir sferos spindulio kvadrato santykiui:

21096,7sr1 −⋅= o,sr 13571 =

.R/S 2=ω

Visi kiti matavimo vienetai yra išvestiniai. Pavyzdžiui, jėgos vienetas yra niutonas:

t.y. jis reiškiamas pagrindiniais matavimo vienetais. Dažnai vartojami

daliniai ar kartotiniai matavimo vienetai, gaunami pagrindinius vienetus padidinus ar

sumažinus 10

,s/m1kg1N1 2⋅=

n kartų (čia n = 1, 2, 3 …).

1. Fizikos įvadas

13

Negalima painioti fizikinio dydžio vieneto su jo dimensija. Dimensija – tai formulė,

siejanti nagrinėjamą fizikinį dydį su pasirinktos vienetų sistemos pagrindiniais dydžiais.

Dimensijoms žymėti vartojamos raidės surašytos 1 lentelėje. Pavyzdžiui, kinetinės energijos

dimensija ( ) 22TMLv −== 22mdimEdim k . Vienodas dimensijas gali turėti keli skirtingi

fizikiniai dydžiai.

Išmatuotoji fizikinio dydžio vertė x visada daugiau ar mažiau skiriasi nuo jo tikrosios

vertės x0, kuri paprastai taip pat nežinoma. Taip yra dėl matavimo technikos netobulumo ,

neteisingo matavimo metodo, aplinkos įtakos, nuovargio ir pan. Matavimo paklaidos

apibūdina išmatuotos vertės tikslumą. Jos esti absoliutinės ir santykinės.

Absoliutinė matavimo paklaida ∆x lygi išmatuotosios vertės xi ir tikrosios vertės x0

skirtumui:

.xxx i 0−=∆ (1.5)

Tikroji vertė paprastai nustatoma etaloniniu prietaisu. Tikroji vertė tik viena. Absoliutinė

paklaida įvertinama pagal prietaiso skalės padalas: jei jos stambios, tai ∆x lygi pusei padalos

vertės, o jei smulkios, – visos padalos vertei.

Matuojant n kartų, gaunama seka x1, x2, … , xn. Jų aritmetinis vidurkis

,n/xxn

ii∑

=

>=<1

(1.6)

matavimų vidutinė absoliutinė paklaida

.n/xxn

ii∑

=

∆>=∆<1

(1.7)

Taigi tikroji matuojamojo dydžio vertė

.xxx ∆±>=<0 (1.8) Matavimo rodykliniu prietaisu tikslumą apibūdina redukuotoji paklaida δ, lygi

didžiausios leistinos absoliutinės paklaidos ir skalės darbinės dalies galinės vertės xmax

santykiui:

.xx

max

max %100⋅∆

=δ (1.9)

Todėl dydis δ žymi prietaiso tikslumo klasę, kuri būna 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0;

2,5; 4,0. Ji žymima prietaiso skalėje ir reiškia, kad didžiausia absoliutinė paklaida negali

viršyti nurodytos vertės, pvz., V,01≤∆ maxU , kad voltmetro klasė 1,0.

Santykinė matavimo paklaida lygi absoliutinės paklaidos ir išmatuotosios vertės xi

santykiui ir dažniausiai išreiškiama procentais:

1. Fizikos įvadas

14

.xx

i

%100⋅∆

=γ (1.10)

Pagal atsiradimo priežastis paklaidos skirstomos į sistemines ir atsitiktines.

Sistemines paklaidas aptikti sunku, nes, ir kartojant matavimus, jos lieka. Tipinės jų

priežastys:

● matavimo prietaisų ar įrenginių netobulumas;

● matavimo būdo netobulumas;

● blogai suderintas įrenginys;

● nestabilios matavimo sąlygos;

● aplinkos įtaka;

● matuotojo klaidos.

Nors aptikti ir pašalinti sistemines paklaidas sunku, tačiau reikia stengtis, pvz., pakeisti

matavimo būdą, matavimo įrenginį, matavimo sąlygas.

Atsitiktinių paklaidų gana daug ir praktiškai jų išvengti neįmanoma. Dėl to matuojama

daug kartų vienodomis sąlygomis. Gauti rezultatai apdorojami, remiantis tikimybių teorija ir

matematine statistika. Išmatuoto dydžio verte laikomas aritmetinis vidurkis , kuris dar

vadinamas atsitiktinio dydžio x matematine viltimi:

⟩⟨x

,nxxn

ii∑

=

=⟩⟨1

(1.11)

čia n – matavimų skaičius.

Vidutinė kvadratinė nuokrypa nuo vidurkio

( )( )

.n

xxx

n

ii

11

2

−

⟩⟨−=σ∑= (1.12)

Šio dydžio kvadratas vadinamas dispersija:

( ) ( ).xxD 2σ= (1.13)

Matavimo rezultato pasikliautinumas įvertinamas tikslumo rodikliu ( )⟩⟨σ x :

( ) ( )( )( ) .nn

xx

nxx

n

ii

11

2

−

⟩⟨−=

σ=⟩⟨σ

∑= (1.14)

Atsitiktinių paklaidų skirstinio tankis įvairus, tačiau dėsningas (žr. histogramą 1.5 pav.).

Tikimybė, kad matavimo vertė pateks į verčių intervalą [x1, x2] lygi

1. Fizikos įvadas

15

,dx)x(pPx

x∫=

2

1

(1.15)

čia p(x) – tikimybės tankis. Funkcijos p(x) normavimo sąlyga:

.dx)x(p 1=∫+∞

∞−

(1.16)

Taigi matematinė viltis

.dx)x(xpx ∫+∞

∞−

=⟩⟨ (1.17)

Kuo siauresnė skirstinio funkcija, tuo mažesnė atskiro matavimo paklaida .xxx ⟩⟨−=∆ 1

Dispersija

( ) .dx)x(pxx∫+∞

∞−

⟩⟨−=σ 22 (1.18)

Galima įrodyti, kad

.xx 222 ⟩⟨−⟩⟨=σ (1.19)

Paklaidos gali būti tarpusavyje koreliuotos ir nekoreliuotos. Sumos dispersija

,K)y(D)x(D)yx(D xy2++=+ (1.20)

čia tarpusavio koreliacijos koeficientas. Be to 21σρσ=xyK

.2221

21 2 σ+σρσ+σ=σ∑ (1.21)

Kai atsitiktiniai dydžiai nekoreliuoti (koreliacijos koeficientas ρ = 0), tai

.22

21 σ+σ=σ∑ (1.22)

0 2 4 6 8 10 12 14

σ=2,0

x

p(x)

x0

+σ-σ

1.5 pav. Atsitiktinių paklaidų skirstinio tankis 1.6 pav. Gauso skirstinio kreivė

1. Fizikos įvadas

16

Kai dydis x ∼ y, o koeficientas ρ = ±1, tai

.21 σ±σ=σ∑ (1.23)

Daugelis fizikinių dydžių jų matavimo serijoje pasiskirsto pagal Gauso dėsnį:

( )2

2

2

21 σ

−−

σπ=

ax

)x(p e , (1.24)

čia a = x0 – vertė, atitinkanti kreivės maksimumą, σ – vertė nuo kreivės simetrijos ašies iki

vingio taško (1.6 pav.). Kuo σ mažesnė, tuo kreivė aštresnė, tačiau jos ribojamas plotas

nekinta (normavimo sąlyga ta pati).

Matematinė viltis (vidurkis)

.axdx),a,x(xpx ==σ= ∫+∞

∞−0 (1.25)

Taigi didžiausia tikimybė atitinka matuojamojo dydžio vertės aritmetinį vidurkį. Be to

,),a,x(pmax σπ=σ

21 t.y. kuo σ mažesnis, tuo pmax didesnė.

Dispersija

.dx),a,x(p)ax()x(D 22 σ=σ−= ∫+∞

∞−

(1.26)

Taigi vidutinė kvadratinė nuokrypa

.)x(D)x( σ==σ (1.27)

Apdorojant atsitiktines paklaidas, reikia nustatyti tikimybę, kad gauto rezultato

nuokrypis nuo tikrosios vertės nebūtų didesnis už pasirinktąjį pasikliautinį intervalą ∆x. Šią

tikimybę žymėsime α. Gauso skirstiniui

.dx)x(px

x∫∆+

∆−

=α (1.28)

Šio integralo vertė proporcinga plotui tarp atitinkamos Gauso kreivės ir abscisių ašies

intervale [-∆x, +∆x].

Gauso integralą galima apskaičiuoti skaitmeniškai, imant skirtingas santykio ∆x/σ

vertes. Kai σ fiksuotas, tai, didėjant ∆x, tikimybė α artėja prie vieneto. Pavyzdžiui, kai ∆x1 =

σ, tai α = 0,68, kai ∆x2 = 2σ, α = 0,95, kai ∆x3 = 3σ, α = 0,997 ir t. t. Todėl visada bet kuri

atsitiktinė paklaida turi būti apibūdinama dviem parametrais: pasikliautiniu intervalu ∆x ir

tikimybe α.

1. Fizikos įvadas

17

Žemiau pateikta Gauso dėsniu pasiskirsčiusio fizikinio dydžio tikimybių lentelė (2

lentelė), iš kurios seka, kad vertės patekimo į nurodytą verčių intervalą tikimybė tuo didesnė,

kuo σ didesnė. Tai parodyta 1.7 paveiksle.

2 lentelė. Gauso dėsniu pasiskirsčiusio fizikinio dydžio tikimybių lentelė

Intervalas iš kairės Vertė Intervalas iš dešinės P, %

x0 - σ

x0 - 1,96σ

x0 - 2σ

x0 - 2,58σ

x0 - 3σ

≤ x ≤

≤ x ≤

≤ x ≤

≤ x ≤

≤ x ≤

x0 + σ

x0 + 1,96σ

x0 + 2σ

x0 + 2,58σ

x0 + 3σ

68,3

95,0

95,5

99,0

99,7

68,3

x0 + σx0 - σ x

p(x, a, σ)

x0

b)a)

95,5

x0 + 2σx0 - 2σ x

p(x, a, σ)

x0

1.7 pav. Gauso skirstinys skirtinguose intervaluose

Praktiškai σ(x) nustatomas iš riboto matavimų skaičiaus n. Tuomet atsitiktinių paklaidų

tikimybės tankio skirstiniui geriau tinka Stjudento dėsnis. Paklaidą ⟩⟨σ=∆ xx atitiks mažesnė

tikimybės α vertė, negu paklaidą ∆x = σ. Norint gauti tas pačias α vertes, reikia σ(x)

padauginti iš tam tikro koeficiento tα, n, priklausančio nuo α ir matavimų skaičiaus n:

( ),xtx n, σ±=∆ α (1.29)

čia tα, n – Stjudento koeficientas. Jo vertės pateikiamos lentelėse.

1. Fizikos įvadas

18

Apdorojant gautus rezultatus, labai svarbu nustatyti tikimybę α, jog tikroji matuojamo

dydžio vertė x bus patikimumo intervale (x – ∆x; x + ∆x). Priklausomai nuo pasirinktos

tikimybės matavimo rezultatą reikėtų taip išreikšti:

( )xtxx n, σ±>=< α . (1.30)

Kaip buvo pažymėta, apdorojant laboratorinių darbų rezultatus, pagal standartus

reikalaujama, kad pasikliautinio intervalo ∆x tikimybė būtų lygi α = 0,95. Todėl, žinodami

matavimų skaičių n ir pasirinktą α = 0,95, iš lentelės surandame tα, n.

Pavyzdys. Matuodami strypo skersmenį, gauname 7 vertes: d1 = 5,43 mm; d2 =5,45 mm;

d3 = 5,51 mm; d4 = 5,55 mm; d5 = 5,57 mm; d6 = 5,44 mm; d7 = 5,48 mm. Šiuo atveju

mm,49577

1,dd

ii =>=< ∑

=

( ) ( ) .,ddxi

i mm020677

1

2 =⋅−><=⟩⟨σ ∑=

Pasirinkus α = 0,95, iš lentelės, kai n = 7, Stjudento koeficientas tα, n = t0,95, 7 = 1,895. Tada

matuojamojo strypo skersmens pasikliautinis intervalas:

( ) mmmmmm 0400379002089517950 ,,,,xtx ,, ≈=⋅=⟩⟨σ=∆ .

Galutinis matavimo rezultatas:

d = (5,49 ± 0,04) mm; α = 0,95.

Norint apskaičiuoti netiesioginių matavimų absoliutinę ar santykinę paklaidą, reikia

gauti atitinkamos paklaidos formulę. Tam skaičiuojamo dydžio formulė logaritmuojama, po

to diferencijuojama, gauta išraiška maksimizuojama, t.y. "–" ženklas keičiamas į "+", ir "d" →

"∆". Pailiustruosime tai, surasdami kūnų laisvojo kritimo pagreičio paklaidos didumą,

matuodami pagreitį matematine svyruokle. Jos periodo formulė:

.g/lT π= 2

Iš čia pagreitis

( ) ,Tlg 224π=

t.y. pagreitis priklauso nuo dviejų matuojamų dydžių l ir T. Paklaida ∆g priklauso nuo šių

dydžių matavimo paklaidų ∆l ir ∆T. Jų sąryšį randame aukščiau nurodytu būdu:

1) logaritmuojame:

Tlnllnlnlngln 224 −+π+= ;

2) diferencijuojame:

,TdT

ldl

gdg 200 −++=

1. Fizikos įvadas

19

3) vietoje "–" rašome "+", o vietoje "d" → "∆". Taigi santykinės paklaidos išraiška

tokia:

.T

Tll

gg ∆

+∆

=∆ 2

Matavimo absoliutinė paklaida

.T

Tllgg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+∆

±=∆2

Vadinasi, pagreitis

( ) ...ggg =∆±><= 2m/s

1.7. Vektoriai

Fizikiniai dydžiai, kuriuos apibūdina tik jų skaitinė vertė, vadinami skaliarais. Tai

laikas, masė, kelias, darbas, galia, energija, temperatūra ir kt. Fizikiniai dydžiai, kuriuos

apibūdina modulis (kryptinės atkarpos ilgis) ir kryptis erdvėje, vadinami vektoriais. Tai

poslinkis, greitis, pagreitis, jėga, lauko stipris, magnetinė indukcija ir kt. Vektoriai žymimi

juodu šriftu, pavyzdžiui, r, v, F, L arba rodykle virš atitinkamų raidžių, pavyzdžiui, ,rr ,vr ,Fr

.Lr

Vektoriaus modulis žymimas raide (r, v, F, L) arba vertikaliais brūkšneliais ( ,rr vr ir

pan.).

Vienetinio vektoriaus modulis lygus vienetui. Vienetinis vektorius arba ortas lygus

vektoriaus ir jo modulio santykiui:

.AAeA

rr= (1.31)

Vektoriaus projekcija lygi jo modulio ir kosinuso kampo, kurį jis sudaro su atitinkama ašimi,

sandaugai (1.8 pav.):

.cosrr ii ϕ= (1.32)

Padėties vektoriaus rr modulis

.zyxr 222 ++= (1.33)

Sudėti vektorius galima dviem būdais (1.9 pav.): pagal

trikampio arba lygiagretainio taisyklę. Abiem atvejais

.bacrrr

+= (1.34) 1.8 pav. Vektoriaus rr

projekcijos į X ir Y ašis

1. Fizikos įvadas

20

1.9 pav. Vektorių a

r ir b

r sudėtis

Suminio vektoriaus projekcija lygi sudedamųjų vektorių projekcijų sumai, pavyzdžiui,

.bac xxx += (1.35)

Vektorių ir ar br

skirtumas yra vektorius ,cr išbrėžtas iš br

galo į galą (1.10 pav.).

Šiuo atveju

ar

.bacrrr

−= (1.36)

Vektorių ir barr

skaliarine sandauga vadinamas skaliaras c, lygus vektorių modulių ir

kampo tarp jų kosinuso sandaugai:

( ).b,acosabcbarrrr

==⋅ (1.37)

Sukeitus dauginamuosius vietomis, sandaugos rezultatas nepakinta. Lengva įsitikinti, kad

projekcijomis išreikštų vektorių skaliarinė sandauga lygi atitinkamų projekcijų sandaugų

sumai:

( )( ) .bababakbjbibkajaiac zzyyxxzyxzyx ++=++++=rrrrrr

(1.38)

1.10 pav. Vektorių a

r ir b

r atimtis 1.11 pav. Vektorių sandaugos ba

rr× rezultatas yra

vektorius .cr

Vektorių ir barr

vektorinė sandauga lygi vektoriui cr ( ),bacrrr

×= kuris statmenas ar ir

br

vektorių plokštumai ir nukreiptas ta kryptimi, kuria slinktų dešininis sraigtas, kurio galvutė

sukama taip, kad vektorius artėtų prie ar ,br

mažėjant kampui tarp jų (1.11 pav.). Vektoriaus

modulis lygus dauginamųjų vektorių modulių ir kampo tarp jų sinuso sandaugai: cr

1. Fizikos įvadas

21

( ).b,asinabcrr

= (1.39)

Sukeitus dauginamuosius vietomis, vektoriaus cr kryptis pakinta į priešingą.

22

2

SLENKAMOJO IR SUKAMOJO JUDĖJIMO KINEMATIKA

Kinematika nagrinėja kūnų judėjimą, neatsižvelgdama į judėjimą sukėlusias priežastis,

ir priežastis, dėl kurių materialusis taškas arba kūnas juda greitėdamas, tolygiai arba

lėtėdamas. Pagal trajektorijos pobūdį judėjimas yra tiesiaeigis, kreivaeigis arba sukamasis.

Judėjimą galima stebėti tik tuomet, kai turime ne mažiau kaip du kūnus, kurių vieną

pasirenkame atskaitos pradžia. Be to proceso trukmė matuojama vienokiu ar kitokiu

laikrodžiu, t.y. įrenginiu, kuris tą patį procesą kartoja daugelį kartų. Tarpusavy nejudančių

kūnų ir laikrodžių visuma vadinama atskaitos sistema. Dažniausiai vartojama inercinė

atskaitos sistema, nes skirtingose atskaitos sistemose judančio materialiojo taško arba kūno

trajektorijos, greičiai ir pagreičiai gali būti skirtingi. Esmė ta, kad stebėtojas, esantis tokioje

atskaitos sistemoje, nejaučia judėjimo nepriklausomai nuo sistemos judėjimo greičio. Tokiu

būdu stebėtojas negali suvokti judėjimo reliatyvumo, t.y. jis negali pasakyti, ar jis juda

pasirinktoje atskaitos sistemoje, ar atskaitos sistema juda stebėtojo atžvilgiu. Tačiau

stebėtojas, susietas su čia atskaitos sistema, labai gerai jaučia greičio pokyčius (pagreičius),

nes tuomet veikia inercijos jėgos.

Tiktai tiesiaeigis judėjimas gali būti tolyginis. Kiekvienas kreivaeigis judesys turi

pagreitį. Pagreitis neatsiranda be priežasties. Šia priežastimi yra jėga, kuri įvedama fizikos

kurse, kai kalbama apie judėjimo dinamiką.

2.1. Materialusis taškas ir atskaitos sistema

Mechanika – fizikos skyrius, nagrinėjantis vieną paprasčiausių judėjimų – mechaninį

judėjimą, t.y. kūno padėties kitimą kitų kūnų atžvilgiu. Klasikinė mechanika tiria

makroskopinių kūnų judėjimą, kai jų greičiai žymiai mažesni už šviesos greitį tuštumoje

(v<<c). Reliatyvumo teorija tiria šių kūnų judėjimą, kai jų greičiai dideli (v→c).

Mikroskopinių kūnų judėjimą tiria kvantinė mechanika.

Mechanika skirstoma į kinematiką, statiką ir dinamiką. Kinematika nagrinėja judėjimą

be jį sukėlusių priežasčių. Statika tiria kūno ar kūnų sistemos pusiausvyros sąlygas. Dinamika

2. Slenkamojo ir sukamojo judėjimo kinematika

23

tiria kūno judėjimo pobūdį priklausomai nuo jį sukėlusių priežasčių ir, atvirkščiai, pagal

judėjimo pobūdį nustato tas priežastis.

Paprasčiausias mechaninis judėjimas yra absoliučiai kietojo (nesideformuojančio) kūno

slinkimas: visų jo taškų trajektorijos, greičiai ir pagreičiai yra vienodi. Paprasčiausias

objektas, kurio judėjimą nagrinėja klasikinė mechanika yra materialusis taškas. Materialiuoju

tašku vadinamas m masės makroskopinis kūnas, į kurio matmenis ir formą konkrečiomis

sąlygomis galima nekreipti dėmesio. Materialiojo taško padėtį erdvėje galima nusakyti

padėties vektoriumi rr stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje (2.1 pav.):

kzjyixrrrrr

++= , (2.1)

čia x, y, z – taško koordinatės, , , ir

jr

kr

– koordinačių ašių ortai (vienetiniai vektoriai).

Pastaba: paveiksle pažymėtos polinės koordinatės ρ ir ϕ, cilindrinės koordinatės ρ, ϕ ir

y bei sferinės koordinatės r ( rr ilgis), ϕ (azimutas) ir ϑ (polinis nuotolis). Polinių ir Dekarto

koordinačių sąryšis toks: ϑϕρ= sinsinx , ϑ= cosry , ϑϕρ= sincosz .

Xx

X

Y

v

ϑ

ϕρ

M

0 0

M x y z( , , )M x y z( , , )

y

Y

Zz Z

vr r1

∆r

r2

k

ji

2.1 pav. Materialiojo taško M padėtis stačiakampėje Dekarto koordinačių atskaitos sistemoje

2.2 pav. Materialiojo taško M trajektorija ir poslinkis r

r∆

Skaliariškai materialiojo taško padėtis erdvėje nusakoma trimis koordinatėmis x, y ir z.

Skaliarinės lygtys x(t), y(t), z(t) arba vektorinė lygtis ( )trr yra kinematinės judėjimo lygtys.

Trajektorija vadinama linija, kurią brėžia vektoriaus rr galas (2.2 pav.). Pagal

trajektorijos formą judėjimas yra tiesiaeigis arba kreivaeigis. Kelias lygus trajektorijos ilgiui.

Kryptinė atkarpa jungianti pradinę padėtį su momentine padėtimi, vadinama momentiniu

poslinkiu:

,rr∆

.rrr 12rrr

−=∆ (2.2)


24

Jo modulis

( ) ( ) ( ) ,zzyyxxr 212

212

212 −+−+−=∆ (2.3)

t.y. poslinkio modulis gali būti teigiamas, lygus nuliui arba neigiamas. Kelias s visada

teigiamas ir niekada nemažėja.

2.2. Greitis ir pagreitis

Judėjimo sparta apibūdinama linijiniu greičiu vr , lygiu poslinkio išvestinei laiko

atžvilgiu:

rdtrd

trlim

t&r

rrr

==∆∆

=→∆ 0

v . (2.4)

Linijinis greitis visada nukreiptas trajektorijos liestine judėjimo kryptimi. Jį galima išreikšti

komponentėmis:

kdtdzj

dtdyi

dtdxkji zyx

rrrrrrr++=++= vvvv . (2.5)

Greičio modulis

222zyx vvvv ++= . (2.6)

Per nykstamą laikotarpį dt poslinkio modulis dr lygus elementariajam keliui ds, t.y.

stygos ilgis lygus lanko ilgiui. Todėl greitis

,dtds

trlim

t=

∆∆

=→∆ 0

v (2.7)

t.y. linijinio greičio modulis lygus pirmajai kelio išvestinei laiko atžvilgiu. Taigi kelias

( ) ∫=2

1

t

t

dtts v . (2.8)

Geometriškai kelias lygus plotui figūros, kurią riboja greičio grafika, laiko ašis ir atitinkamos

abscisės (2.3 pav.).

Linijinio greičio kitimo sparta apibūdinama linijiniu

pagreičiu, lygiu greičio išvestinei laiko atžvilgiu

dtd

dtlimat

vv rrr

=∆

=→∆ 0

, (2.9)

t.y. linijinis pagreitis ne tik lygus greičio pirmajai

išvestinei laiko atžvilgiu, bet ir nukreiptas greičio pokyčio

kryptimi (2.4 pav., b). vrd

2.3 pav. Kelio grafinis vaizdavimas v ir t koordinačių sistemoje


25

Pagreitį galima išreikšti projekcijomis:

kdt

dj

dt

di

dtd

kajaiaa zyxzyx

rrrrrrr vvv++=++= . (2.10)

Pagreičio modulis

.aaaa zyx222 ++= (2.11)

2.4 pav. Linijinio greičio pokyčio ir linijinio pagreičio kryptys: a) greitis visada nukreiptas trajektorijos liestine; b) pagreičio ir greičio prieaugio kryptys vienodos

Žinant pagreitį, galima rasti linijinį greitį:

( ) ∫=2

1

t

t

adttv . (2.12)

___________________________________________________________________________

Materialiojo taško padėties vektoriaus kitimą aprašo lygtis ktjtirrrrr 232 ++= . Raskime

taško poslinkį per pirmąją judėjimo sekundę, jo modulį, greitį, pagreitį ir greičio modulį tuo

laiko momentu.

ktjtirrrrr 232 ++= ,

t1 = 1 s

rr∆ , ∆r, ( )1vr , ( )1ar , ( )1v – ?

Sp r e nd i ma s . Materialiojo taško poslinkis

( ) ( ) ktjtrtrrrrrrr 2

1 320 +=−=∆ .

Taigi ( ) kjrrrr 321 +=∆ .

Poslinkio modulis

( ) m 3,61m 321 22 =+=∆r .

Taško greitis laiko momentu t1 lygus

( ) ( )ktj

dttrd

trr

rr

11

1 62 +==v ,

jo modulis

( ) sm sm v 36621 22 ,=+= 2 .


26

Taško pagreitis

( ) ( ) constkdt

da ===rr

r 611 v .

___________________________________________________________________________

Materialiojo taško koordinatė , čia A = 0,25 m/s24 BtAtx −= 4, B = 9 m/s2.

Nubraižykime greičio kitimo per pirmąsias penkias sekundes grafiką ir nustatykime

ekstreminę greičio vertę. 24 BtAtx −= ,

A = 0,25 m/s4,

B = 9 m/s2

, ve – ?

Sp r e nd i ma s . Norint nubraižyti v(t) grafiką, reikalinga

šios priklausomybės išraiška ir atitinkama lentelė su

pažymėtais joje būdingaisiais taškais.

Tokie taškai atitinka, pvz., judėjimo pradžią (t = 0 s),

apsigręžimo momentą ir pan. Taigi, remiantis (2.4) formule,

taško greitis

( ) BtAtdtdxt 24 3 −==v .

Pasirinkę laiko kitimo žingsnį (0,5 s), sudarome lentelę:

t, s 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

v, m/ s 0 -9 -17 -24 -28 -29 -27 -20 -8 10 35 Deja, taip sudarytoje lentelėje yra tik vienas būdingasis taškas: kai t1 = 0 s, greitis v(0) =

0 m/s. Taigi grafikas bus tik apytikslis.

Išbrėžę liestinę ir statmenį, nustatome, kad ≈maxv 29 m/s laiko momentu t = 2,3 s.

2.5 pav. Netolyginio judėjimo greičio modulio priklausomybės nuo laiko grafikas

Tikslesnės greičio ir laiko vertės gaunamos

analitiškai:

0212 22 =−= BAt

dtdv

ir ==A

Bt62 2,45 s.

Taigi, įrašę šią laiko vertę į greičio išraišką,

gauname: ve = – 29,4 m/ s.

Trečias būdingasis taškas nustatomas iš

sąlygos (dar kartą v = 0):


27

( ) 024 231 =− BAtt , t.y. iš

1823 == A/Bt s = 4,24 s.

__________________________________________________________________________

2.3. Slenkamojo judėjimo lygtys ir grafikai

Kai materialusis taškas juda tiesiai ir tolygiai, jo linijinis greitis t.y.

nepriklauso nuo laiko ir lygus v

,const=vr

0 (2.6 pav., a). Taško koordinatė šiuo atveju tiesiškai priklauso

nuo laiko:

tx)t(x 00 v+= , (2.13)

čia x0 – pradinė koordinatė (2.6 pav., b). Tiesės polinkio kampas α tuo didesnis, kuo didesnis

greitis:

.txtg 0v=

∆∆

=α (2.14)

Taško kelias taip pat tiesiškai priklauso nuo laiko (brūkšninė linija 2.6 pav., b):

( ) ( ) txtxts 00 v=−= . (2.15)

Materialusis taškas (absoliučiai kietas kūnas) juda tiese ir yra tolygiai kintamas, kai jo

linijinis pagreitis Kai .consta =r ,a vrr

↑↑ judėjimas tolygiai greitėjantis, o kai ,a vrr↓↑ –

tolygiai lėtėjantis. Abiem atvejais

( ) ,tat rrr+= 0vv (2.16)

2.6 pav. Tiesiaeigio tolyginio judėjimo greičio (a) ir koordinatės (b) grafikai

t.y. linijinis greitis tiesiškai kinta laikui bėgant (2.7 pav., a), čia v0 – pradinis greitis. Vidutinis

greitis


28

( )[ ] 20 tvvv +=⟩⟨ (2.17)

atitinka tiesės vidurį.

2.7 pav. Tiesiaeigio tolygiai kintamo judėjimo grafikai: a) greičio; b) kelio

Tolygiai kintamo judėjimo kelias vaizduojamas arba plotu v ir t koordinačių sistemoje,

arba parabole s ir t koordinačių sistemoje (2.7 pav., b).

( ) ( )2

2

00

00

attdtatdttstt

+=+== ∫∫ vvv . (2.18)

Tolygiai kintamo judėjimo pavyzdys yra laisvasis kūno kritimas arba vertikaliai mesto kūno

kilimas tuštumoje. Dėl Žemės traukos kūnas įgyja pagreitį .gr Todėl kūno judėjimo lygtys yra

tokios:

( ) tgt rrr+= 0vv ir 22

0 gtth += v . (2.19)

Žemiau nubraižyti atitinkami grafikai (2.8 pav.).

2.8 pav. Vertikaliai aukštyn mesto kūno judėjimo grafikai: a) linijinio greičio; b) aukščio; c) pagreičio


29

2.4. Kreivaeigis judėjimas ir jo pagreitis

Kreivaeigis judėjimas yra dvimatis (plokštumoje). Jo metu visada yra įcentrinis

(normalinis) pagreitis ,anr nes šis pagreitis apibūdina linijinio greičio krypties kitimo spartą:

nRt

lima n

tnr

rr 2

0

vv=

∆

∆=

→∆ , (2.20)

čia – greičio prieaugio įcentrinė dedamoji (2.9 pav.). Be to nvr∆ vr∆

sRn ∆=∆vv , (2.21)

čia R – trajektorijos kreivumo spindulys, o ∆s – lanko AB ilgis.

2.9 pav. Kreivaeigio judėjimo pagreitis ir jo dedamosios: a) pagreitis τa

r nukreiptas liestine, pagreitis na

r

– trajektorijos kreivumo centro link; b) greičio prieaugis nvvvrrr

∆+∆=∆ τ

Tangentinis (liestinis) pagreitis apibūdina linijinio greičio modulio kitimo spartą:

τ=∆∆

=∆

∆=

→∆

τ

→∆τr

rrr

dtd

tlim

tlima

tt

vvv00

. (2.22)

Kai judėjimas greitėjantis, kryptis sutampa su τar vr kryptimi, kai lėtėjantis, yra priešingas

krypčiai. Taško pagreitis

τar

vr

τ+=+= τrrrrr

dtdn

Raaa n

vv2 . (2.23)

Jo modulis

.aaa n22τ+= (2.24)


30

Atskiras kreivaeigio judėjimo atvejis yra judėjimas apskritimu, t.y. trajektorija, kurios

kreivumo spindulys R = const. Galimi trys atvejai:

1) a,a 0=τ n = const – tolyginis judėjimas apskritimu;

2) ,consta =τ – tolygiai kintamas judėjimas apskritimu; ( )tfan =

3) ir – netolyginis judėjimas apskritimu. ( )tfa =τ ( )tan ϕ=

___________________________________________________________________________

Materialusis taškas taip juda apskritimu, kad spindulio R posūkio kampas .

Nustatykime, kaip kinta kampas tarp jo linijinio pagreičio

22 tt +=ϕ

ar ir spindulio: nekinta, didėja ar

mažėja. Kodėl? 22 tt +=ϕ ,

R

α(t)

Sp r e n d i ma s . Uždavinyje apibūdinta situacija pavaizduota

2.10 paveiksle. Linijinio pagreičio modulis

22τ+= aaa n ,

2.10 pav. Linijinis pagreitis sudaro su spinduliu R kampą α

ar

čia normalinio pagreičio modulis R

an

2v= , o

tangentinio – dtda v

=τ .

Linijinis greičio modulis

( ) t~RtRdtdR 22 +=ϕ

=ω=v .

Vadinasi, , o . Taigi 2t~an consta =τ nar

ilgėja, o τar nekinta: vektorius a ilgėja ir

sukasi prie R, t.y. kampas α mažėja.

r

___________________________________________________________________________

2.5. Sukamasis judėjimas ir jo kinematinės lygtys

Materialiojo taško judėjimas apskritimu apibūdinamas ne tik spinduliu R, bet ir

kampiniu greičiu bei kampiniu pagreičiu ωr

.εr

Kampinio greičio modulis lygus padėties vektoriaus apskritimo spindulio posūkio

kampo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu:

.dtd

tlimt

ϕ=

∆ϕ∆

=ω→∆ 0

(2.25)


31

Kampinio greičio vienetas – radianas sekundei (rad/s). Kampinis greitis, kaip vektorius,

nukreiptas sukimosi ašimi pagal dešiniojo sraigto taisyklę (2.11 pav.). Kai ,const=ω

materialiojo taško sukimosi apie ašį periodas

.T ωπ= 2 (2.26)

Sukimosi dažnis

.T π

ω==ν

21 (2.27)

Kadangi kelias ,Rs ϕ∆=∆ tai taško linijinio greičio modulis

ω=∆ϕ∆

=∆∆

=→∆→∆

Rt

limRtslim

tt 00v , (2.28)

t.y. linijinio greičio modulis proporcingas taško atstumui iki sukimosi ašies ir kampinio

greičio moduliui. Vektoriškai (2.12 pav.)

Rrrr

×ω=v . (2.29)

2.11 pav. Kampinis greitis nukreiptas sukimosi ašimi

2.12 pav. Vektoriai ,ωr

ir nukreipti pagal vektorinės sandaugos taisyklę

Rr

vr

Kampinis pagreitis apibūdina kampinio greičio kitimo spartą ir lygus jo pirmajai

išvestinei laiko atžvilgiu:

.dtd

tlimt

ω=

∆ω∆

=ε→∆

rrr

0 (2.30)

Kai sukimosi ašis nejudama, ε ir r

ωr

kryptys sutampa greitėjimo atveju ir yra priešingos

lėtėjimo atveju (2.13 pav.). Normalinį ir tangentinį pagreičius galima išreikšti taip:

RR

an2

2ω==

v (2.31)

ir Rdtda ε==τ

v (2.32)


32

2. 13 pav. Kampinio pagreičio ε

r kryptis arba arba ,↑↑ ↑↓ ω

r krypčiai

Kinematinės sukamojo judėjimo lygtys, taigi ir atitinkami grafikai, analogiškos

slenkamojo judėjimo kinematinėms lygtims:

posūkio kampas ,tt)t( 220 ε+ω=ϕ (2.33)

kampinis greitis ( ) ,tt ε+ω=ωrrr

0 (2.34)

čia – pradinis kampinis greitis. 0ωr

___________________________________________________________________________

R = 0,1 m spindulio ratas sukasi taip, kad jo posūkio kampo priklausomybė nuo laiko

reiškiama lygtimi , čia B = =2 rad s, C = 1 rad/s2CtBtA ++=ϕ 2. Apskaičiuokime ratlankio

taškų kampinio greičio, kampinio pagreičio, linijinio greičio, tangentinio ir normalinio

pagreičių modulius po 2 s nuo judėjimo pradžios. 2CtBtA ++=ϕ ,

B = 2 rad/s,

C = 1 rad/s2,

R = 0,1 m,

t1 = 2 s;

ω, ε, v, aτ, an − ?

Sp r e nd i ma s . Kampinio greičio ir pagreičio modulius

randame iš jų apibrėžimo – (2.25) ir (2.30) lygybių:

62 =+=ϕ

=ω CtBdtd rad/s,

22 ==ω

=ε Cdtd rad/s2.

Linijinius dydžius v, aτ ir an, būdingus atskiriems kūno

taškams, randame iš (2.29), (2.31) ir (2.32) lygybių:

m/s; m/s60,R =ω=v 20,Ra =ε=τ2; m/s632 ,Ra =ω=n

2.

___________________________________________________________________________

33

3

SLENKAMOJO JUDĖJIMO DINAMIKA

Kinematika mechaninį judėjimą nagrinėja, neatsižvelgiant į judėjimo priežastis.

Dinamikos uždavinys bendresnis – ji nagrinėja kūnų sąveikos įtaką jų judėjimui. Judėjimo

kitimą apibūdina pagreitis. Pagreičio sąvoką naudojame ir kinematikoje, tačiau nekeliame

klausimo, kodėl kūnai įgyja pagreičius. Jėgų savybes ir jų ryšį su pagreičiu aprašo trys

Niutono dėsniai. Šiuos dėsnius Niutonas suformulavo, apibendrinęs eksperimentinius faktus.

3.1. Pirmasis Niutono dėsnis. Inercinės atskaitos sistemos. Galilėjaus reliatyvumo principas

Pirmasis Niutono dėsnis, dažnai vadinamas inercijos dėsniu, teigia, kad kiekvienas

kūnas išlaiko rimties arba tolyginio tiesiaeigio judėjimo būseną tol, kol pašalinis poveikis

nepriverčia šią būseną pakeisti. Savybė išlaikyti apibrėžtą būseną vadinama inertiškumu.

Inertiškumas priklauso nuo kūno masės. Kūno masė yra jo inertiškumo matas, tačiau kūnų

masės nusako ir jų tarpusavio traukos jėgą. Taigi masė kartu apibūdina ir gravitaciją.

Pirmasis Niutono dėsnis galioja ne kiekvienoje atskaitos sistemoje. Sistemos, kuriose

galioja pirmasis Niutono dėsnis, vadinamos inercinėmis atskaitos sistemomis. Tai sistemos,

kurios neturi pagreičio. Tiksliau tariant, tai sistemos, kurios viena kitos atžvilgiu juda tolygiai

ir tiesiai arba yra reliatyvioje rimtyje, t.y. tos sistemos, kuriose galioja Galilėjaus reliatyvumo

principas: visi mechaniniai reiškiniai vienodomis sąlygomis bet kurioje inercinėje sistemoje

vyksta vienodai. Tuo galima įsitikinti nagrinėjant dvi atskaitos sistemas S ir S′. Pradiniu laiko

momentu t = 0 atskaitos taškai O ir O′ sutampa. Sakykime atskaitos sistema S nejuda, o

sistema S′ juda jos atžvilgiu tolygiai išilgai X ašies greičiu const=0vr (3.1 pav.). Laisvai

pasirinkto taško B padėtį apibūdina padėties vektorius

rtrrr ′+=′+=rrrrr

00 v . (3.1)

3. Slenkamojo judėjimo dinamika

34

X

B

OO

X

YYS S

ZZ

rr

r0

v0

3.1 pav. Dvi atskaitos sistemos S ir S′ juda viena kitos atžvilgiu X ašies kryptimi greičiu const=0vr

Šią lygtį galima užrašyti projekcijomis:

tttzztyytxx zyx ′=′+′=′+′=′+′= ,v,v,v 000 , (3.2)

nes laikas klasikiniu požiūriu nepriklauso nuo reliatyvaus judėjimo.

Galima rašyti ir atvirkštinės transformacijos lygtis:

tttzztyytxx zyx =′−=′−=′−=′ ,v,v,v 000 . (3.3)

Tai ir yra Galilėjaus transformacijos. Jos išreiškia mechaninį reliatyvumo principą.

Taško B greitis nejudančios sistemos atžvilgiu

vvvv ′+=+′

==rrr

rrr

00dtrd

dtrd , (3.4)

čia taško B greitis judančios sistemos atžvilgiu. v′r

Lygtis (3.4) išreiškia klasikinę greičių sudėties

teoremą: materialiojo taško greitis nejudančios

sistemos atžvilgiu lygus jo greičio judančios sistemos

atžvilgiu ir pačios šios sistemos greičio sumai. Greičio

projekcijos yra tokios: vr

zzyyxx vv,vv,vvv ′=′=′±= 0 . (3.5)

Galileo Galilėjus (1564-1642).

Italų matematikas, astronomas, fizikas

Iš lygties (3.4) gauname, kad

aa ′=rr

. (3.6)

t.y. matome, kad pagreičiai abiejose inercinėse sistemose yra vienodi. Sakome, kad pagreitis

yra invariantinis Galilėjaus transformacijų atžvilgiu. Vadinasi, ir dinamikos lygtys, pereinant

iš vienos inercinės sistemos į kitą, nekinta – jos yra koordinačių transformacijų invariantai.

Tokie invariantai klasikinėje mechanikoje yra ir kūno ilgis, ir laiko intervalas.


35

Kalbėdami apie tolygiai ir tiesiaeigiai vieną kitos atžvilgiu judančias sistemas,

prieiname išvados, kad jos yra inercinės. Kyla klausimas, kaip bus tuomet, kai nagrinėjama

sistema sukasi. Trumpai apsistokime prie jų.

Besisukančios atskaitos sistemos mus domina todėl, kad mes gyvename tokioje

sistemoje. Kaip žinome, Visatoje visos planetos ir Galaktikos sukasi. Taigi, kur betalpintume

atskaitos sistemos pradžią, turėtume besisukančią koordinačių sistemą. Niutono dėsniai

galioja su Žeme susietoje sistemoje. Taigi pravartu visas kitas sistemas lyginti su ja.

Kartais reikia atskirti vienos medžiagos molekules nuo kitų medžiagų molekulių. Tam

tikslui naudojamos ultracentrifugos. Jų sukimosi dažnis prilygsta 1000 s-1 (arba 60 000 min-1).

Taigi įcentrinis pagreitis jose lygus: 2sm62 104 ⋅≈ω= ran .

Šio ir laisvojo kūnų kritimo pagreičių santykis

56

10410104

⋅=⋅

≈gan ,

t.y. jis 400 000 kartų didesnis už g. Priminsime, kad g sukelia Žemės trauka, bet ne jos

sukimasis. Įdomu įvertinti, kokį pagreitį turės kūnai, esantys Žemės paviršiuje dėl jos

sukimosi. Žemės apsisukimo apie savo ašį periodas T = 24 val = 8,6·104 s. Kampinis sukimosi

greitis:

srad10372 3−⋅≈π=ω ,T

Žemės spindulys . Taigi įcentrinis pagreitis m, 61046 ⋅≈R

( ) 22 smsm,, 34110461037 6232 ≈⋅⋅⋅=ω= −Ra .

Dėl šio pagreičio kinta g priklausomai nuo geografinės platumos.

Žemės apsisukimo apie Saulę periodas . Šiuo atveju s 103 metai 1 7⋅≈=T

srad1022 7−⋅≈π=ω T .

Žemė nutolusi nuo Saulės atstumu r = 1,5·1011 m. Dėl to orbitinis įcentrinis pagreitis

( ) 22 smmsm, 61051102 1127 ≈⋅⋅⋅= −na .

Saulė skrieja atžvilgiu Galaktikos centro, kuris yra R = 3·1020 m atstumu nuo jos. Saulės

greitis v nustatytas iš doplerinio bangos ilgio pokyčio ir lygus 3·105 m/s. Tuomet

2smv 102

2 103 −⋅≈=ω=R

Ran .

Taigi palyginę gautus pagreičius, matome, kad juo toliau perkeliame atskaitos sistemą

nuo Žemės, tuo mažesnis pagreitis ir tuo tiksliau tenkinamas mechaninis reliatyvumo


36

principas. Atskaitos sistemos, susietos su Žeme, Saule, Galaktika, sukasi, tačiau jos

pakankamai gerai tenkina reikalavimus, keliamus inercinei koordinačių sistemai.

Pastaba. Žvaigždės sudaro dideles sistemas, kurios nutolę viena nuo kitos milžiniškais

atstumais. Kiekvieną sistemą sudaro apie 1010 žvaigždžių. Tokia grupė ir sudaro Galaktiką.

Sistemą, į kurią įeina Saulė, vadiname mūsų Galaktika. Paukščių takas yra mūsų Galaktikos

dalis. Savo ruožtu galaktikos sudaro taip vadinamus Galaktikų sambūrius.

3.2. Impulsas ir jėga. Antrasis Niutono dėsnis. Jėgos impulsas

Fizikinis dydis pr , lygus kūno (ar materialiojo taško) masės ir jo linijinio greičio

sandaugai, vadinamas impùlsu (judesio kiekiu):

vrr mp = . (3.7)

Kūnų sistemos impulsas lygus ją sudarančių kūnų impulsų sumai:

∑=

=n

iisist pp

1

rr . (3.8)

Fizikinis dydis , apibūdinantis kūnų tarpusavio

mechaninę sąveiką, dėl kurios jie deformuojasi ar įgyja

pagreitį, vadinamas jėga. Jos skaitinė vertė yra tos sąveikos

kiekybinis matas. Jėgos veikimo linija yra kreivė, kurios

liestinė kiekviename taške sutampa su jėgos kryptimi jame.

Žinomi trys mechaninių jėgų tipai: gravitacijos, tamprumo ir

trinties. Jėgos vienetas – niùtonas (N).

Fr

Izaokas Niutonas (1642-1727)

Anglų matematikas ir fizikas

Kai veikia kelios jėgos, jų poveikį galima pakeisti atstojamosios poveikiu:

. (3.9) ∑=

=n

iiatst FF

1

rr

Ši lygtis išreiškia jėgų superpozicijos principą.

Judėjimo aprašymas – tai materialiojo taško koordinačių priklausomybės nuo laiko

radimas. Šios priklausomybės dažniausiai gaunamos sprendžiant diferencialines lygtis. Kai

sistema nėra uždara, tai jos impulsas nėra pastovus. Tuomet sąveikos dydį nusako sistemos

impulso kitimo greitis. Todėl antrasis Niutono dėsnis (II N.d.) teigia, kad kūno impulso kitimo

greitis lygus jį veikiančių jėgų atstojamajai:


37

( )v, rrrr

rFdtpd

atst= . (3.10)

Kai masė nekinta, t.y. kai , dėsnio išraiška supaprastėja: constm =

( )

mrF

a atst v, rrr

r= . (3.11)

Vadinasi, kūno slenkamojo judėjimo pagreitis proporcingas jėgų atstojamajai,

atvirkščiai proporcingas masei ir nukreiptas jėgos kryptimi.

Taigi lengva nustatyti, kad jėgos dimensija lygi masės ir pagreičio dimensijų sandaugai:

. [ ] [ ] [ ] 2−=⋅= MLTamF

3.2 pav. Spyruoklinė svyruoklė. m masės pasvarėlis prikabintas prie spyruoklės

(3.10) išraiška įgyja prasmę tik tuomet, kuomet žinoma funkcija . Šios

funkcijos radimas ir yra pagrindinis mechanikos uždavinys. Panagrinėsime konkretų pavyzdį.

Prie svyruoklės pritvirtintas m masės kūnas svyruoja jos tamprumo jėgos veikiamas (3.2

pav.). Jo judėjimo lygtis, t.y. jo nuokrypis nuo pusiausvyros padėties, kai svyravimo

nuostoliai maži, išreiškiamas kosinuso arba sinuso dėsniu:

( v, rrrrF )

( TtcosAx π= 2 ), (3.12)

čia A – svyravimo amplitudė, o T – svyravimo periodas.

Kūnelio svyravimo pagreitis

xTT

tcosAT

xa22 222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−=π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−== && . (3.13)

Padauginę iš kūnelio masės m, gauname:

Fkxxm =−=&& , (3.14)


38

čia dydis ( 22 Tmk π= ) – spyruoklės tamprumo koeficientas. Matome, kad šiuo atveju jėga

priklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x. Eksperimentas rodo, kad 2Tm , o tuo pačiu ir k,

yra pastovus dydis.

Sprendžiant dinamikos uždavinius iš esmės sprendžiamos dvi problemos: žinant

judėjimo lygtį reikia nustatyti veikiančios jėgos pobūdį ir atvirkščiai, žinant jėgos pobūdį

reikia nustatyti judėjimo pobūdį. Pirmo tipo uždavinį pailiustravome pavyzdžiu. Antro tipo

uždaviniai sprendžiami žymiai sunkiau.

Kai materialųjį tašką, arba kūną veikia daugybė jėgų nF...FFFrrrr

,,,, 321 , II N.d. išraiška

tokia:

∑=

=n

iiFp

1

r&r , (3.15)

nes veikiančioms jėgoms tinka superpozicijos principas.

Iš čia

dtFpdrr

= , (3.16)

čia yra impulso pokytis, – jėgos impulsas. (3.16) lygtis yra kitokio pavidalo antrojo

Niutono dėsnio išraiška: materialiojo taško ar kūno impulso pokytis yra lygus jėgos impulsui.

pdr dtFr

___________________________________________________________________________

Įklimpus automobiliui tikslinga vieną virvės galą pririšti prie automobilio, o kitą – prie

netoliese esančio medžio, o jei jo nėra – prie įkaltos į žemę smeigės (3.3 pav.). Ties viduriu

kelkime virvę aukštyn. Reali jėga bus apie 900 N. Kokia bus virvės įtempimo jėga, kai per

vidurį virvė sudarys 170° kampą?

X

Y

F

3.3 pav. Pririšta prie automobilio ir medžio virve, keliant jėga F

r galima lengvai patraukti automobilį


39

F = 900 N,

ϕ = 5°

T – ?

S p r e n d i ma s . Virvės vidurio tašką veikia trys jėgos:

, ir Fr

1Tr

2Tr

. Pagal antrąjį Niutono dėsnį virvės lenkimo taške

atstojamoji jėga lygi nuliui. Todėl pusiausvyros atveju jų

projekcijų į X ir Y ašis sąryšiai tokie:

00 =ϕ−ϕ+ cosTcosT ,

02 =ϕ−=ϕ−ϕ− sinTFsinTsinTF .

Iš čia išreiškiame virvės įtempimo jėgos modulį:

N,N 3102552

9002

⋅=°

=ϕ

=sinsin

FT .

Taigi automobilis bus traukiamas 5,8 karto didesne jėga negu keliama virvė.

___________________________________________________________________________

Masės m1 = 2 kg tašelis ir m2 = 0,5 kg masės pasvarėlis surišti netampriu siūlu,

permestu per skridinį (3.4 pav.). Dėl to tašelis šliaužia horizontalia plokštuma, su kuria

trinties koeficientas k = 0,1. Raskime tašelio pagreitį ir siūlo įtempimo jėgą. Skridinio masės,

jo trinties ir siūlo masės nepaisykime.

m1 = 2 kg,

m2 = 0,5 kg,

k = 0,1,

g = 9,8 m/s2

a, T – ?

Sp r e nd i ma s . Pagal antrąjį Niutono dėsnį tašelis judės

pagreičiu 1ar :

1111 amFTNgm tr =+++rrrr . (1)

Šias jėgas projektuojame į X ir Y ašis:

111 amFT tr =− , (2)

01 =− Ngm . (3)

3.4 pav. Horizontalia plokštuma tašelį traukia pasvarėlis jėga gm

r2

Kadangi trinties jėga , tai gkmkNFtr 1==

1111 amgkmT =− . (4)

Pasvarėlį veikia jėga gm r2 ir siūlo įtempimo

jėga 2Tr

. Rašome antrąjį Niutono dėsnį

pasvarėliui:

2222 amTgm rrr=+ , (5)

arba projekcijomis į Y ašį:

2222 amTgm =− . (6)

Atsižvelgdami į tai, kad siūlas netąsus, moduliai TTT == 21 ir aaa == 21 .


40

Sudėję (4) ir (6) lygtis, gauname:

( )ammgkmTTgm 1212 +=−+− .

Iš čia pagreitis

( )12

12

12

12

mmkmmg

mmgkmgma

+−

=+−

= . (7)

Skaitmeniškai:

( )( )

22

sm21kg250

kg21050sm89 ,,

,,,a =+

⋅−= .

Siūlo įtempimo jėgą T gausime iš (6) lygties:

( ) ( ) N4,3sm1,29,8kg0,5 2 =−=−=−= agmamgmT 222 . (8)

3.3. Trečiasis Niutono dėsnis. Impulso tvermės dėsnis

Trečiasis Niutono dėsnis (III N.d.) nusako kūnų sąveiką kokybiškai ir papildo antrąjį

Niutono dėsnį. Jis teigia, kad kūnų sąveikos jėgos lygios, bet priešingų krypčių:

2112 FFrr

−= . (3.17)

Šios veiksmo ir atoveiksmio jėgos veikia skirtingus objektus ir visada sudaro jėgų porą.

3.5 pav. Trijų kūnų sistema. Kūnų tarpusavio sąveikos jėgos ijfr

, o išorinių jėgų atstojamosios 1Fr

, 2Fr

ir 3Fr

Kai sistema uždara, tuomet joje veikia tik tarpusavio sąveikos jėgos . Šias jėgas

vadiname vidinėmis. Pirmasis indeksas reiškia kūną, kurį veikia jėga, o antrasis nurodo, kuris

kūnas veikia. Taip, pvz., reiškia jėgą, kuria pirmąjį kūną veikia antrasis. Kūnų sistemą, kai

ji nėra uždara, gali veikti ir išorinės jėgos, kurių atstojamosios 3.5 paveiksle pažymėtos

ijfr

12fr

1Fr

,

, . 2Fr

3Fr

Rašome II N.d. kiekvienam kūnui:


41

1131211 Fffamrrrr

++= , 2232122 Fffamrrrr

++= , 3323133 Fffamrrrr

++= . (3.18)

(3.18) lygtis sudedame ir jėgas grupuojame pagal indeksus:

( ) ( ) ( ) ∑=

++++++=++3

1322331132112332211

iiFffffffamamamrrrrrrrrrr .

Tačiau , 02112 =+ ffrr

03113 =+ ffrr

, 03223 =+ ffrr

(pagal trečiąjį Niutono dėsnį). Tuomet:

∑=

=++3

1332211

iiFamamamrrrr . (3.19)

Kai sistema nėra uždara, tuomet sistemos impulso kitimo greitis lygus išorinių jėgų sumai:

( ∑=

=++3

1332211

iiFmmm

dtd rrrr vvv ) . (3.20)

Uždaros sistemos ∑ yra lygi nuliui. Skliaustuose esanti impulsų suma lygi sistemos

impulsui . Todėl

=

3

1iiFr

pr

0=dtpdr . (3.21)

Tai reiškia, kad dydis

, (3.22) constp =r

t.y. impulso tvermės dėsnis teigia, kad uždaros sistemos impulsas nekinta. Taigi impulso

tvermės dėsnis yra trečiojo Niutono dėsnio išdava, tačiau trečiasis Niutono dėsnis papildo

antrąjį. Tokiu būdu impulso tvermės dėsnį galima gauti iš antrojo, papildžius jį erdvės

vienalytiškumo sąlyga. Ją galima suformuluoti taip: jeigu kūnų uždarą sistemą lygiagrečiai

perkelsime iš vienos vietos į kitą ir visus kūnus paliksime tose pačiose sąlygose, tai joje

vykstantys mechaniniai procesai nepakis.

___________________________________________________________________________

18-ame amžiuje karo laivuose buvo naudojami pabūklai, iš kurių buvo šaudoma

akmeniniais ar metaliniais rutuliais. Raskime pabūklo atatrankos greitį v2, jeigu m1 = 5,9 kg

masės rutulys iššaunamas greičiu v1 = 490 m/s. Pabūklo masė m2 = 2000 kg.

m1 = 5,9 kg,

m2 = 2000 kg,

v1 = 490 m/s

v2 – ?

3.6 pav. Pabūklas iššauna m1 masės rutulį greičiu 1vr


42

S p r e n d i ma s . Iki šūvio ir po jo sistemos impulsas lieka nepakitęs. Todėl

0vv 2211 =+rr mm .

Iš čia pabūklo atatrankos greičio modulis

sm1,4

sm490

kg2000kg5,9vv === 1

2

12 m

m.

___________________________________________________________________________

Trečiąją raketos pakopą sudaro m1 = 500 kg masės raketa nešėja ir jungiamasis kūgis,

kurio masė m2 = 10 kg. Tarp jų įdėta suspausta spyruoklė. Bandymo metu spyruoklė suteikia

jungiamajam kūgiui 5,1 m/s greitį raketos nešėjos atžvilgiu. Raskime raketos ir kūgio greičius

Žemės atžvilgiu, kai atsijungiama orbitoje, skriejant v = 8 km/s greičiu.

m1 = 500 kg,

m2 = 10 kg,

v = 8⋅103 m/s,

v0 = 5,1 m/s

u1, u2 – ?

Sp r e nd i ma s . Taikome impulso tvermės dėsnį:

( ) 221121 umummm +=+ v , (1)

čia u1 – raketos nešėjos greitis, u2 – kūgio greitis Žemės

atžvilgiu po atsijungimo. Santykinio raketos ir kūgio greičio

modulis po atsijungimo lygus

120 uu −=v . (2)

Iš čia raketos nešėjos greičio modulis

. (3) 021 v−= uu

Iš (1) ir (3) lygčių išreiškiame kūgio greičio modulį:

Iš čia ( )

21

01

21

01212 mm

mmm

mmmu

++=

+

++=

vv

vv.

sm8005

sm

101055,1105

sm108 2

23

2 =+⋅⋅⋅

+⋅=u ir sm80002 ≈u .

3.4. Sistemos masių centras ir jo judėjimas

Kiekvienas kūnas sudarytas iš daugybės materialiųjų mi masės taškų, kurių padėties

vektoriaus . Šie taškai ar sistemos kūnai gali būti išsidėstę įvairiai. Todėl įsivaizduojamas

taškas – masių centras – apibūdina masių skirstinį kūne ar mechaninėje sistemoje. Kai masė

pasiskirsčiusi diskretiškai, masių centro padėties lygtys tokios:

crr


43

mrm

mmrmrm

r ii

n

nnc

∑=++

++=

r

K

rK

rr

1

11 (3.23)

arba koordinatėmis

mzm

zm

ymy

mxm

x iic

iic

iic

∑∑∑ === ,, . (3.24)

Kai masė pasiskirsčiusi tolygiai, centro koordinatės nustatomos integruojant:

m

dmzz

m

dmyy

m

dmxx ccc

∫∫∫ === ,, , (3.25)

čia dm – išskirto elemento masė, m – kūno masė.

Kai slenka kietasis kūnas, tai visi jo taškai, taigi ir masių centras, juda vienodu greičiu

dtrd c

c

rr

=v . (3.26)

Vadinasi, masių centro impulsas

(3.27) cc mp vrr=

lygus impulsui materialiojo taško, kurio masė

lygi kietojo kūno masei m.

Uždarosios kūnų sistemos išorinės

jėgos neveikia. Todėl II N.d. jai taip

išreiškiamas:

02

2

=dt

rdm c , (3.28)

t.y. jos . Tai reiškia, kad uždarosios

sistemos masių centras nejuda arba juda

tolygiai ir tiesiai.

0=car

Taigi sistemos masių centras juda kaip

materialusis taškas, kuriame sukoncentruota

visos sistemos masė ir kurį veikia jėga, lygi

visų išorinių jėgų atstojamajai (3.7 pav.).

3.7 pav. Nepriklausomai nuo sportininko padėties, masių centras juda kaip materialus taškas gravitacinių jėgų lauke


44

___________________________________________________________________________

Atstumas tarp kalio ir bromo atomų kalio bromido molekulėje lygus 2,82⋅10-10 m.

Kadangi atomų masė sukoncentruota branduoliuose, tai šis atstumas praktiškai yra tarp kalio

ir bromo atomų branduolių. Raskime KBr molekulės masių centro padėtį.

m1 = 79,9 a. m. v.,

m2 = 39,1 a. m. v.,

x1 = 0,

x2 = 2,82⋅10-10 m

xC – ?

C

x2

3.8 pav. Kalio bromido molekulės K ir Br atomų išsidėstymas

Sp r e nd i ma s . Tegu atskaitos sistemos pradžia sutampa su bromo atomo centru, o

kalio atomas yra X ašyje (3.8 pav.). Tuomet masių centro C koordinatės yra:

021

2211 =+

+= CC y

mmxmxm

x , .

Kadangi x1 = 0, tai 221

2 xmm

mxC += .

Atomų mases išreiškę atominiais masės vienetais, gauname

pmm1,,,

, 930822139979

139 10 =⋅+

= −Cx .

___________________________________________________________________________

Raskime plono R spindulio pusžiedžio masių centro padėtį.

m, R, S

zC – ?

Sp r e nd i ma s . Tegul pusžiedis yra XZ plokštumoje, o atskaitos

pradžia sutampa su jo kreivumo centru (3.9 pav.). Dėl simetrijos xC = 0, o

masių centras yra Z ašyje. Koordinatę zC taip nustatysime. Išskiriame mažą

elementą dl, kuris iš centro matomas kampu dϕ:

ϕ= Rddl .

Išskirto elemento tūris

ϕ== SRdSdldV ,

o masė


45

dVdm ⋅ρ= .

R sin ϕ

z

3.9 pav. Perjautas žiedas. Pjūvio plokštuma eina per kreivumo centrą

Pusžiedžio masių centro koordinatė

∫∫ ρ== dVzm

dmzm

zC11 ,

čia ρ – žiedo medžiagos tankis, z – žiedo elemento koordinatė.

Iš piešinio

ϕ= sinRz .

Taigi

π

=ρ

=ϕϕρ

= ∫π

RmSRdsin

mSRzC

22 2

0

2 .

___________________________________________________________________________

3.5. Kintamos masės kūno judėjimas

Dažnai judančio kūno masė nuolat kinta. Taip, pvz., krintantis vandens lašas garuoja ir

todėl jo masė mažėja, tačiau, kai laša krinta sočiuosiuose garuose, dėl kondensacijos jo masė

didėja; kylančios raketos ar reaktyviojo lėktuvo masė mažėja, nes dega kuras ir mažėja jo

atsargos.

Kintamos masės kūno judėjimo lygtis yra Meščerskio vardu vadinama lygtis:

( )dtdmuF

dtdm vv rrrr

−+= , (3.29)


46

čia m – kūno momentinė masė, dm/dt – jos kitimo greitis, vr – kūno greitis žemės atžvilgiu, ur

– atsiskiriančių arba prisijungiančių dalelių greitis žemės atžvilgiu, – išorinių jėgų

atstojamoji.

Fr

Antrasis dėmuo lygties dešinėje pusėje, t.y.

( ) rFdtdmu

rrr=− v (3.30)

reiškia reaktyviąją jėgą, atsirandančią dėl kūno masės kitimo. Ji tuo didesnė, kuo didesnis

raketos masės kitimo greitis ir reliatyvusis dalelių greitis vrrr−= uw . Tokia jėga veikiama

raketa ar variklis ir todėl vadinama traukos jėga. Pvz., kai w = 2500 m/s, o dm/dt = 200 kg/s,

traukos jėga lygi 500 kN.

Kai u = 0, t.y. kai kūno masė kinta dėl nejudėsiančių dalelių atsiskyrimo ar nejudėjusių

dalelių prisijungimo, kūno judėjimo lygtis virsta žinoma II N.d. išraiška:

( ) Fmdtd rr

=v . (3.31)

Nekreipiant dėmesio į išorines jėgas ( Fr

= 0) iš (3.29) lygties gaunama, kad kūno greičio

pokyčio modulis

m

dmwd −=v . (3.32)

Minuso ženklas reiškia, kad kūnas greitėja, kai jo masė mažėja. Suintegravus lygtį,

gaunama tokia kūno greičio išraiška:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++=

mmm

nw 00 1lvv . (3.33)

Tai – K. Ciolkovskio formulė, iš kurios išplaukia, kad kūno (raketos) greičio prieaugis

( )0vv − tuo didesnis, kuo didesnis dalelių atsiskyrimo (sudegusio kuro dujų ištekėjimo)

reliatyvusis greitis w ir kuo didesnis mm∆ santykis.

Pvz., norint pasiekti v = 12500 m/s greitį, kai pradinis greitis v0 = 0, o reliatyvusis

greitis w = 2500 m/s, kuro ir raketos masių santykis turi būti lygus 89.

Gatvių laistytuvo atveju reaktyvioji jėga stabdo automobilį (3.10 pav.). Norint išlaikyti

pastovų greitį, reikia padidinti . Automobilis judės tolygiai, kai variklio traukos jėga Fr

Fr

bus

lygi . Traukos jėgą suprantame, kaip atstojamąją, kuri įskaito ir trinties jėgą. urµ Fr


47

urµ

3.10 pav. Gatvių laistytuvą veikia ir reaktyvioji jėga urµ

Galimas atvejis, kai kintant kūno masei, atstojamoji reaktyvioji jėga lygi nuliui.

Pavyzdžiui, lietaus lašas, susiformavęs sočių arba persotintų garų aplinkoje ir patekęs į

nesočių garų aplinką, garuoja ir jo masė mažėja. Iš lietaus lašo visomis kryptimis išlekiančių

molekulių atstojamoji reaktyvioji jėga lygi nuliui.

Didelį ir netgi lemiamą vaidmenį reaktyvieji varikliai suvaidino šiuolaikinėje aviacijoje

ir kosminių tyrimų srityje. Šiose srityse vartojami labai didelės galios reaktyvieji varikliai.

Boing 747 variklių traukos jėga lygi 7,7⋅105 N ir išvysto 2,1⋅108 W galią, o raketos „Saturnas

5“ variklių traukos jėga lygi 3,3⋅107 N. Žinoma, šių jėgų negalima lyginti su gravitacinėmis

jėgomis, kurios veikia tarp Žemės ir Mėnulio, Saulės ir jos planetų.

___________________________________________________________________________

Saturnas 5 raketos buvo vartojamos Apolono skrydžiuose ir dangaus laboratorijos

(Skylab) misijose. Jose deginamas žibalo mišinys su skystu deguonimi. Geromis degimo

sąlygomis išmetamų dujų srauto greitis u = 3,1⋅103 m/ s. Kylančios raketos masė 2,45⋅106 kg,

iš kurios 1,7⋅106 kg žibalo ir skysto deguonies. Raskime raketos maksimalų greitį. Kitokių

jėgų nepaisykime.

u = 3,1⋅103 m/ s,

m0 = 2,45⋅106 kg,

mk = 1,7⋅106 kg

v – ?

3.11 pav. Apolono 11 startas. Raketą kelia „Saturnas 5” reaktyvieji varikliai

Sp r e nd i ma s . Raketos greitis skaičiuojamas naudojantis taip vadinama raketos

formule:


48

mm

nu 0l=v ,

čia u – išmetamų dujų greitis, m0 – pradinė raketos ir kuro masė, m – galinė raketos masė. Ji

lygi . Skaičiuojame greitį: kg10750 60 ⋅=−= ,mmm k

sm,

,,

sm,v 3

6

63 1073

10750104521013 ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅= nl .

___________________________________________________________________________

49

4

SUKAMOJO JUDĖJIMO DINAMIKA

4.1. Jėgos ir impulso momentai nejudančio taško ir ašies atžvilgiu

Fizikoje labai reikšmingos jėgos ir impulso momentų sąvokos. Šie momentai gali būti

skaičiuojami atžvilgiu taško ir atžvilgiu ašies. Jėgos ir impulso momentai taško atžvilgiu yra

vektoriniai dydžiai, o ašies atžvilgiu yra skaliarai lygūs jų projekcijai į pasirinktą ašį, kurioje

yra jėgos ar impulso vektorių atskaitos taškas.

Tarkime, kad jėgos ar impulso momentai ieškomi taško O atžvilgiu. Jėgos ar impulso

vektoriaus veikiamo taško P padėtį taško O atžvilgiu pažymėkime padėties vektoriumi rr (4.1

pav.). Jėgos momentas taško O atžvilgiu lygus Fr

rr ir Fr

vektorinei sandaugai:

FrMrrr

×= . (4.1)

Vektorius Mr

yra statmenas per rr ir Fr

nubrėžtai plokštumai (4.1 pav., baltai).

4.1 pav. Materialiojo taško P padėtį erdvėje nusako vektorius r

r. Tašką P veikia jėga F

r.

Jėgos momentas taško O atžvilgiu yra vektorius Mr

4.2 pav. Materialiojo taško P padėtį erdvėje nusako spindulys vektorius r

r. Tašką P veikia

impulsas pr

. Impulso momentas taško O atžvilgiu

yra vektorius Lr

4. Sukamojo judėjimo dinamika

50

Suprantama, kad perkeliant tašką P tiesėje, sutampančioje su vektoriaus veikimo

kryptimi, jėgos momentas nekinta, nes vektoriaus

Fr

Mr

modulis

( ) ϕ== sinrFF,rsinrFMrr . (4.2)

Dydis vadinamas jėgos petimi O atžvilgiu. dsinr =ϕ

Kai vektorius yra dviejų vektorių Fr

1Fr

ir 2Fr

atstojamasis vektorius, tai galime rašyti,

kad

21 FrFrFrMrrrrrrr

×+×=×= , (4.3)

t.y. atstojamojo vektoriaus momentas taško atžvilgiu yra jo sudedamųjų vektorių momentų šio

taško atžvilgiu geometrinė suma.

Trimatėje erdvėje jėgą galima išskaidyti į komponentes Fr

zyx F,F,Frrr

. Komponentė

, būdama lygiagreti ašiai Z, nesukels taško A sukamojo judesio ašies Z atžvilgiu.

Komponentes

zFr

yx F,Frr

galima pakeisti jėga 2Fr

, esančia plokštumoje XY. Šios jėgos momentas

Mz ašies Z atžvilgiu sutaps su šia ašimi (4.3 pav.). Todėl

α= cosMM z , (4.4)

Tai ir yra vektoriaus Mr

projekcija į Z ašį. Šio momento petys yra mažiausias atstumas nuo

taško O į veikimo kryptį. 2Fr

4.3 pav. M

r – jėgos momentas taško O atžvilgiu, Mz – jo projekcija į ašį Z

Kietasis kūnas susideda iš sąveikaujančių materialiųjų taškų, kuriuos veikia vidinės

jėgos (jos kompensuojasi ir judėjimui neturi įtakos) ir gali veikti išorinės jėgos. Todėl


51

atstojamasis momentas lygus tik išorinių jėgų momentų to paties taško atžvilgiu geometrinei

sumai:

∑=i

iMMrr

.

Kai išorinės jėgos veikia skirtingus kietojo kūno taškus, atstojamasis ašinis momentas

lygus atskirų jėgų ašinių momentų algebrinei sumai:

∑=i

izz MM . (4.5)

Šis dydis vadinamas sukimo momentu ir yra išorinio poveikio matas sukamajame

judėjime.

Erdvės taške P patalpinę materialųjį tašką m, kurio greitis vr , sutampa su kryptimi,

vektorių galime pakeisti impulso vektoriumi

Fr

Fr

pr . Iš analogijos galime teigti, kad impulso

momentas taško O atžvilgiu lygus padėties vektoriaus rr ir impulso pr vektorinei sandaugai:

prL rrr×= , (4.6)

čia . vrr mp =

Ašinio impulso momento vektoriaus Lr

projekcija į Z ašį:

α= cosLLz . (4.7)

Iš analogijos galima išreikšti Mr

ir Lr

projekcijas į X ir Y ašis.

___________________________________________________________________________

Cilindro formos skriemulys (m = 6 kg, R = 0,18 m) sukasi ν0 = 10 s-1 dažniu. Veikiamas

pastovaus jėgų momento, jis sustoja. Apskaičiuokime stabdymo jėgų darbą.

m = 6 kg,

R = 0,18 m,

ν0 = 10 s-1;

A − ?

Sp r e n d i ma s . Stabdymo jėgų darbui skaičiuoti

pasinaudosime sukamojo judėjimo darbo išraiška:

∫∫ϕ

ϕ

ϕ∆=ϕ=ϕ=2

1

MdMdMA z , (1)

nes Mz = M = const. Taigi ir kampinis pagreitis ε = const.

Todėl skriemulio pasisukimo kampas

220 tt ∆ε−∆ω=ϕ∆ , (2)

čia ω0 = 2πν0, o pagreitis randamas iš sustojimo momentą atitinkančios sąlygos:

t∆ε−ω= 00 . (3)

Iš šių lygčių, jas sutvarkę, gauname:


52

tMA ∆νπ= 0 . (4)

Stabdymo laiką rasime iš II Niutono dėsnio sukamajam judėjimui išraiškos:

ω∆=∆ CItM ,

čia 22mRIC = – skriemulio ašinis inercijos momentas.

Taigi MmRt 02πν=∆ . (5)

Įrašome (5) išraišką į (4) ir gauname:

619120

22 ,mRA =νπ= J.

___________________________________________________________________________

4.2. Kūno inercijos momentas. Heigenso ir Šteinerio teorema

Jėgos ir impulso momentai tarpusavyje susiję dydžiai. Ryšį rasime i-tojo materialiojo

taško impulso momentą (4.6) diferencijuodami pagal laiką:

iiiii prprL &rrr&r&r ++×= . (4.8)

Kadangi , tai pirmoji kolinearių vektorių vektorinė sandauga lygi

nuliui. Žinome, kad . Taigi iš (4.8) lygties gauname, kad

iii mp,r vv rr&r ==

ii Fpr

&r =

iiii MFrLrr

&r&r =×= . (4.9)

Šią lygtį galime apibendrinti bet kuriam materialiųjų taškų skaičiui n:

∑∑==

=n

ii

n

ii ML

11

r&r .

Vidinių jėgų momentų suma yra lygi nuliui, o yra išorinių jėgų sąlygotas sukimo

momentas. Todėl

∑=

n

iiM

1

r

išMdtLd rr

= . (4.10)

(4.10) vadinama momentų lygtimi. Ji išreiškia besisukančio kietojo kūno dinamikos

pagrindinį dėsnį (II N.d.): kūno impulso momento kitimo sparta taško atžvilgiu lygi sukimo

momentui to paties taško atžvilgiu.


53

Kai išMr

nėra lygus nuliui, tuomet kūnas sukasi. Tarkime, kad kūnas sukasi apie Z ašį

(4.4 pav.). Materialiojo taško mi impulso momentas

iiii mrL v×=rr

(4.11)

ir yra statmenas plokštumai, kurioje yra vektoriai irr ir ivr . Taško linijinį greitį ivr pakeičiame

sandauga iz rrr

×ω . Todėl

iziii rrmL rrr×ω= . (4.12)

Ašinis impulso momentas lygus iLr

projekcijai į Z ašį:

iiziiiiiz cosRrmcosLL αω=α= . (4.13)

Z

O

Liz

Rim i

iαiα

ri

vi

ω i

L i

Kristijanas Heigensas (1629-1695)

Olandų fizikas ir matematikas. Švytuoklinio laikrodžio išradėjas. Patobulino teleskopą. Atrado Saturno žiedus 4.4 pav. Liz – impulso momento

projekcija į Z ašį

Tačiau . Tuomet iii Rcosr =α

ziiiz RmL ω= 2 . (4.14)

Kūno impulso momentą gausime šią išraišką sumuodami pagal i:

∑∑==

ω==n

iiiz

n

iizz RmLL

1

2

1

. (4.15)

Pažymėkime:

IRmn

iii =∑

=1

2 . (4.16)

Tuomet


54

zz IL ω= . (4.17)

Dydis I vadinamas inercijos momentu ir yra kūno inertiškumo matas sukamajame

judėjime. Šis dydis priklauso nuo kūno masės ir jos išsidėstymo sukimosi ašies atžvilgiu,

kūno matmenų ir formos. Kai sukimosi ašis eina per masių centrą ir sutampa su kietojo kūno

simetrijos ašimi, tai ši ašis vadinama laisvąja (inercijos) ašimi.

Bet kokios formos kūnas turi tris tarpusavyje statmenas per masių centrą einančias

pagrindines inercijos ašis. Vienalyčių erdvinės simetrijos kūnų ašiniai inercijos momentai

vienodi, pvz., rutulio.

Inercijos momentas yra adityvus dydis: kietojo kūno ar kūnų sistemos inercijos

momentas lygus jo elementų ar atskirų kūnų inercijos momentų tos pačios ašies atžvilgiu

sumai :

ii

dmrI ∑= 2

arba

,L++= 21 III (4.18)

čia dmi – i-tojo elemento masė.

Taisyklingos formos vienalyčių kūnų (strypo, disko, rutulio) ašiniai inercijos momentai

apskaičiuojami išskaidant kūną į nykstamai mažus dV tūrio elementus, kurių kiekvieno masė

, ir integruojant: dVdm ⋅ρ=

∫ρ=V

z dVrI 2 , (4.19)

čia r – to elemento atstumas iki sukimosi ašies.

Apskaičiuokime, pvz., disko inercijos momentą jam statmenos simetrijos ašies atžvilgiu

(4.5 pav.). Tam b storio diską mintyse suskaidome į siaurus dr pločio žiedus. Tokio žiedo

tūris

rbdrdV π= 2 ,

čia r – žiedo spindulys. Žiedo inercijos momentas

dVrdIC2ρ= .

Diskas sudarytas iš tokių žiedų. Todėl jo inercijos momentas lygus bendraašių žiedų inercijos

momentų sumai:

∫∫ ρ=ρ= dVrdVrIC22 .

Dydis r yra kintamas dydis. Jis kinta nuo 0 iki R, čia R – disko spindulys:


55

22

4

0

2

0

2 RbdrrbdVrIRR

C ρπ=ρπ=ρ= ∫∫ . (4.20)

dr

4.5 pav. Diskas skaidomas į siaurus dr pločio žiedelius. Disko storis b, spindulys R, masė m

4.6. pav. Materialiojo taško padėtį masių centro C atžvilgiu nusako vektorius ir

r, taško O

atžvilgiu – vektorius ir ′r

. Visi vektoriai yra sukimosi ašiai statmenoje plokštumoje

Tačiau nesunku pastebėti, kad yra disko tūris, o bR 2π

mbR =ρπ 2

yra jo masė. Taigi ašinis inercijos momentas

2

2mRIC = . (4.21)

Kai sukimosi ašis neina per masių centrą (4.6 pav.), tuomet inercijos momentas šios

ašies atžvilgiu skaičiuojamas sudėtingiau. Tačiau skaičiavimas supaprastėja taikant Heigenso

ir Šteinerio teoremą, kurios matematinė išraiška tokia: 2mdII CO += , (4.22)

čia d – atstumas nuo kūno masių centro iki sukimosi ašies. Ši teorema teigia, kad kietojo kūno

ašinis inercijos momentas lygus jo inercijos momentui atžvilgiu lygiagrečios ašies, jeigu ji

eitų per masių centrą, plius masės ir atstumo tarp ašių kvadratu sandaugai.

Kai kurių kūnų inercijos momentų išraiškos pateiktos 4.7 paveiksle.


56

4.7 pav. Kai kurių kūnų inercijos momentai nurodytų ašių atžvilgiu

___________________________________________________________________________

Vienalytis R spindulio diskas sukamas apie ašį, sutampančią su vienu jo skersmeniu.

Apskaičiuokime disko ašinį inercijos momentą. Disko masė m.

m, R

ICC - ?

Sp r e n d i ma s . Disko ašinis inercijos momentas

∫= dmxICC2 ,

čia x – pasirinktos juostelės atstumas iki sukimosi ašies, dm – juostelės


57

4.8 pav. Uždavinio situacija piešinyje

masė (4.8 pav.).

Juostelės masė

rdxRmdm 22π

= .

Taigi ∫π= rdxx

RmICC

22

2 . Kadangi

22 xRr −= , tai inercijos momentas

42 2

2222

mRdxxRxRmICC =−

π= ∫ .

___________________________________________________________________________

Apskaičiuokime Mėnulio impulso momentą su Saule susietoje sistemoje.

T = 27,3⋅24⋅3600 s,

MM = 7,33⋅1022 kg,

d = 3,84⋅108 m,

RM = 1,74⋅106 m

LM - ?

S p r e n d i m a s . Kūno impulso momentas

ω= IL ,

čia I – ašinis inercijos momentas.

Mėnulio, kaip rutulio, inercijos momentas savo centro

atžvilgiu

52 2MMC RMI = ,

o jo sukimosi aplink Žemę kampinis greitis Tπ=ω 2 .

Taigi sm kg 102,88 5

4 2342

⋅=π

=T

RML MMM .

___________________________________________________________________________

4.3. Pagrindinis dinamikos dėsnis sukamajam judėjimui. Impulso momento tvermės dėsnis

Taškinį ∆m masės elementą suktis verčia liestinės kryptimi veikianti jėga ir suteikia

jam tangentinį pagreitį

Fr

τar (4.9 pav.). Todėl

ε⋅∆==∆ τ RmFam ,

čia ε – kampinis pagreitis. Padauginę šios lygybės puses iš jėgos peties R, gauname:

CMRm =ε⋅∆ 2

arba


58

C

C

IM

=ε , (4.23)

nes – jėgos momentas ašies atžvilgiu, – materialiojo taško ašinis

inercijos momentas.

FRM C = 2RmIC ∆=

Lygtis (4.23) yra materialiojo taško

sukamojo judėjimo II Niutono dėsnio

išraiška: sukimosi kampinio pagreičio

modulis proporcingas inercijos

momentui.

Analogiška lygtis galioja

materialiojo taško slenkamajam

judėjimui:

mFa = , kai m = const.

Liestinė

C

R

∆ m

F

a τ

4.9 pav. Taškinis elementas, sukamas apie ašį, einančią per tašką C

Taigi sukamojo judėjimo kampinį pagreitį εr

atitinka linijinis pagreitis a , o jėgą – jėgos

momentas.

r

Tai tinka ir kietajam kūnui, sudarytam iš daugybės taškinių elementų (4.10 pav.):

ε⋅∆++ε⋅∆+ε⋅∆=r

Krrr

2222

211 nnrmrmrmM . (4.24)

Kampinis pagreitis εr

visiems elementams

vienodas. Todėl sukimo momentas taško O

atžvilgiu

∑−

=ε⋅=ε⋅∆=n

iii dt

LdIrmM1

2

rrrr

, (4.25)

nes

Irmn

iii =∆∑

−1

2 – kūno inercijos

momentas taško O atžvilgiu.

Kai sukimosi ašis nesutampa su Z ašimi,

besisukančio kietojo kūno pagrindinio

dinamikos dėsnio išraiška tokia:

Z

X

YOB

Mε

F i

∆m i

ri

4.10 pav. Kietasis kūnas sukasi apie ašį Z


59

( )dt

dLI

dtdIM z

zzz =ω=ε= , (4.26)

čia Iz – ašinis inercijos momentas.

Kai išorinių jėgų atstojamasis momentas 0≡M arba kūnų sistema yra uždara, kūno

arba kūnų sistemos impulso momentas sukimosi taško atžvilgiu laikui bėgant nekinta:

constL =r

. (4.27)

Ši lygtis išreiškia impulso momento tvermės dėsnį taško atžvilgiu.

Analogiška lygtis ir sukimosi ašies atžvilgiu:

constIL zz =ω= . (4.28)

Tai reiškia, kad vidinėms jėgoms mažinant kūno ar sistemos inercijos momentą, proporcingai

didėja sukimosi greitis ir atvirkščiai.

___________________________________________________________________________

Pilnaviduris vienalytis cilindras rieda nuožulniąja plokštuma, kurios posvyrio kampas

α. Apskaičiuokime cilindro masės centro pagreičio vertę.

α;

aC − ?

Sp r e nd i ma s . Pavaizduojame situaciją piešinyje (4.11 pav.).

Pažymime veikiančias jėgas: sunkio gmr , reakcijos Nr

ir riedėjimo

trinties riedFr

. Pastarosios veikiamas rutulys rieda. Todėl judėjimas

yra sudėtinis ir tenka taikyti II Niutono dėsnį ir

slenkamajam, ir sukamajam judėjimams:

riedC Fsinmgma −α= ir

ε= Cried IRF ,

čia 22mRIC = – cilindro ašinis inercijos

momentas, RaC=ε – jo kampinio pagreičio

modulis.

4.11 pav. Riedantį rutulį veikia trys jėgos

___________________________________________________________________________

Masės m = 1 kg ir ilgio l = 1 m strypas gali suktis apie horizontaliąją ašį, statmeną

strypui ir einančią per jo masės centrą. Į strypą įstringa m1 = 10 g masės ir v1 = 100 m/s

greičiu lėkusi kulka (4.12 pav.). Apskaičiuokime strypo pasisukimo kampinį ir jo apatinio

galo linijinį greičius.


60

m = 1 kg,

l = 1 m,

m1 = 0,01 kg,

a = l/4;

ω, v − ?

Sp r e n d i ma s . Patogiausia pritaikyti impulso momento

tvermės dėsnį:

L”prieš” = L”po” , t. y.

Lkulkos = Lstrypo + kulkos

Arba ( )ω+= kulkosstrypo IIlm411 v .

Kadangi 2lmI strypo 121

= , 2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

4lmI kulkos ,

tai strypo kampinis greitis

( ) =+

=+

=ωlmm

mll

lm

1

112

12

11

3412

16124 vv

mm 2,98 rad/ s.

Strypo apatinio galo linijinis greitis

4.12 pav. Kulka įstringa strype

49134

62 1

11 ,v

v =+

=ω=mm

ml m/s.

___________________________________________________________________________

4.4. Kieto kūno sukamojo judėjimo kinetinė energija

Kietasis kūnas tai yra dalelių sistema. Jos kinetinė energija yra atskirų dalelių kinetinių

energijų suma. Tarkime, kad ∆mi masės kūno elemento atstumas nuo sukimosi ašies ri ir jo

linijinis greitis vi. Šio elemento kinetinė energija

2

2ii

i,k

mE

v∆=∆ . (4.29)

Tačiau žinome, kad ii rω=v . Tuomet

2

22ii

i,krm

Eω∆

=∆ .

Kūno kinetinę energiją gausime sumuodami visų kūno elementų kinetines energijas pagal

indeksą i:

222

2

1

22

1

22 ω=∆

ω=

ω∆= ∑∑

==

zn

iii

n

i

iik

Irm

rmE , (4.30)

čia Iz – ašinis kūno inercijos momentas.


61

Riedantis kūnas dalyvauja dviejuose judesiuose: slenkamajame ir sukamajame. Kai

kūno masių centro judėjimo greitis v, o sukimosi per masių centrą einančią ašį kampinis

greitis ω, tai kūno kinetinė energija lygi slenkamojo ir sukamojo judesio kinetinių energijų

sumai:

22

22 ω+= C

k

ImE v . (4.31)

Kinetinės energijos išraišką galima gauti ir iš pagrindinio dinamikos dėsnio sukamajam

judėjimui:

ε= IM

arba dtdIM ω

= .

Abi lygties puses padauginame iš dα – kampo, kuriuo pasisuko kūnas per laiką dt:

αω

=α ddtdIMd .

Mdα yra sukamojo judėjimo darbo išraiška. Nesunku suvokti, kad darbas virsta kinetine

energija. Kadangi dtd ω=α ,

ωω=ωω

=α dIdtdtdIMd .

Suintegravę gauname besisukančio kūno kinetinės energijos pokyčio išraišką:

( )20

220

2

2220

ω−ω=ω

−ω

=ωω=∆ ∫ω

ω

IIIdIEk . (4.32)

Iš gautos išraiškos matome, kad darbas, atliktas besisukančio kūno atžvilgiu, lygus kūno

sukimosi kinetinės energijos pokyčiui.

___________________________________________________________________________

Smagratis pradeda suktis ε = 0,5 s-2 kampiniu pagreičiu ir per 15 s įgyja L = 73,5

kg⋅m2/s impulso momentą. Apskaičiuokime smagračio kinetinę energiją po 20 s.

ω0 = 0,

ε = 0,5 s-2,

t1 = 15 s,

L = 73,5 kg m2/ s,

t2 = 20 s

Ek2 - ?

Sp r e nd i ma s . Sukamojo judėjimo kinetinė energija

2222 ω= Ck IE , (1)

čia IC – smagračio ašinis inercijos momentas, ω2 – kampinis

greitis po 20 s.

Kadangi impulso momentas

11 tIIL CC ε=ω= ,


62

tai smagračio inercijos momentas

1tLIC ε

= . (2)

Kampinis greitis 22 tε=ω . (3)

Įrašome (2) ir (3) išraiškas į (1) ir gauname:

J 4902 1

22

2 ==t

LtEk .

___________________________________________________________________________

Vienodos masės rutulys ir pilnaviduris cilindras rieda horizontaliąja plokštuma. Kurią

kiekvieno kūno kinetinės energijos dalį sudaro sukamojo judėjimo energija?

S p r e n d i m a s . Sąlygoje nurodyti tik kūnai ir jų judėjimo pobūdis. Jokių duomenų,

tačiau jais teks operuoti. Ieškomas dydis Ksuk,K EE . Pritaikysime (4.31) išraišką, t.y.

22

22 ω+=+= CC

suk,Ksl,KKIvm

EEE ,

čia . RC ω=v

1. Rutulio 2

52 RmIC = . Todėl

252 2

2 ω= RmE suk,K ir

222

222

107

252

2RmRmRmEK ω=

ω+

ω= ;

72

=Ksuk,K EE .

2. Pilnavidurio cilindro 2

21 RmIC = .

Taigi 22

1 22 ω= RmE suk,K ,

22

43 RmEK ω= ir

31

=Ksuk,K EE .

___________________________________________________________________________

63

5

MECHANINĖ ENERGIJA. POTENCIALINIŲ JĖGŲ LAUKAI

Impulsas yra kūno mechaninio judėjimo matas, tačiau ši kūno dinaminė charakteristika

negali būti visų judėjimo formų universalus matas. Šis dydis negali charakterizuoti sukamojo

judėjimo. Tolyginiame sukamajame judesyje simetrinių kūnų judesio kiekis visuomet yra

lygus nuliui, o nesimetrinių jis išlieka nepakitęs periodo bėgyje.

Du kūnai vieno ir dviejų niutono svorio, krintantys atitinkamai iš 20 m ir 5 m aukščio

prie Žemės paviršiaus turi vienodus impulsus, tačiau pirmasis kūnas gali suspausti dvi

vienodas spyruokles tiek, kiek antrasis tokią pat spyruoklę – vieną.

Tiesiai ir tolygiai judančio kūno judesio kiekis judėjimo metu yra pastovus, nors dėl

trinties išsiskiria šiluma ir judesio kiekiu negalime nusakyti išsiskyrusios šilumos kiekio.

Dviejų rutulių, turinčių vienodų dydžių judesio kiekius ir judančių priešpriešiais, po

plastiškojo smūgio judėjimas „išnyksta“. Pagal judesio kiekio tvermės dėsnį prieš susidūrimą

ir po susidūrimo judesio kiekis liko nepakitęs. Judesio požiūriu niekas nepakito, tačiau po

smūgio pakito rutulių temperatūra. Iš bandymų nustatyta, kad rutulių įgytas šilumos kiekis

nėra proporcingas rutulių judesio kiekių sumai. Antra vertus, negalime šių dydžių lyginti

vienu su kitu, nes judesio kiekis yra vektorinis dydis, o šilumos kiekis skaliarinis. Bandymai

parodė, kad judesio kiekis absoliutine verte nėra proporcingas šilumos kiekiui.

Uždaroms sistemoms yra tokios dalelių ar kūnų koordinačių ir greičių funkcijos, kurios

judėjimo metu išlieka pastovios. Šios funkcijos vadinamos judėjimo integralais, tačiau mus

domina tik tie, kurie pasižymi adityvumo savybe. Tokie integralai yra trys: judesio kiekis

(impulsas), impulso momentas ir energija. Uždarose sistemose galioja trys tvermės dėsniai:

judesio kiekio, impulso momento ir energijos. Šie dėsniai glaudžiai siejasi su pagrindinėmis

erdvės ir laiko savybėmis. Šiame skyriuje trumpai apžvelgsime energijos integralą, kuris yra

bendras visų judėjimo formų matas.

5. Mechaninė energija. Potencialinių jėgų laukai

64

5.1. Energija. Pastoviosios ir kintamosios jėgos darbas

Impulso tvermės dėsnis ne visuomet gali įvertinti judėjimo pokytį. Praktiškai negalime

pilnai aprašyti judėjimo tuomet, kai mechaninis judėjimas virsta kitomis judėjimo formomis

(pvz., šiluma). Šiam įvertinimui įvesime energijos sąvoką. Energija – tai kiekybinis materijos

judėjimo ir sąveikos formų matas visoms judėjimo formoms. Pagal tai energija skirstoma į

mechaninę, gravitacinę, elektromagnetinę ir kt. Su energijos sąvoka neatskiriamai susijęs

fizikinis dydis vadinamas darbu, kuris apibūdina perduotą judesio kiekį ir energiją.

Pažvelkime į kūną, gulintį ant horizontalaus paviršiaus, ir tolygiai judantį automobilį. Juos

veikia jėgos, tačiau jų impulsas nekinta. Šie reiškiniai esminiai skirtingi. Pirmuoju atveju

niekas nekinta, antruoju vyksta sudėtingas reiškinys. Judantis automobilis degina kurą, o

išsiskyręs šilumos kiekis virsta mechaniniu darbu ir sukuria traukos jėgą. Mechanikos

požiūriu reiškiniai skiriasi tik tuo, kad vienu atveju turime rimtį, o antruoju – tolyginį

judėjimą. Be to sudeginto kuro kiekis tiesiai proporcingas traukos jėgos ir automobilio

poslinkio sandaugai. Šią sandaugą vadiname darbu:

rFA rr∆⋅=∆ . (5.1)

Bendru atveju jėgos veikimo ir judėjimo kryptys dėl kai kurių priežasčių gali nesutapti

(5.1 pav.).

Todėl darbas lygus

ϕ∆⋅=∆ cosrFA . (5.2)

5.1 pav. Kūnas juda X kryptimi. Jėga F

r su

judėjimo kryptimi sudaro kampą ϕ 5.2 pav. Jėga F

r su poslinkiu r

r∆ sudaro smailų

kampą ϕ ir jos darbas yra teigiamas. Jėga 1Fr

su poslinkiu 1r

r∆ sudaro buką kampą ϕ1 ir jos darbas

yra neigiamas

Kampas tarp vektorių ir Fr

rr∆ gali būti smailus, bukas arba status. Tai reiškia, kad

A > 0, A < 0 arba A = 0. Kai jėgos atlieka darbą aplinkos atžvilgiu, tai jį laikome teigiamu,o


65

kai jėgos atlieka darbą pasirinkto kūno ar jų sistemos atžvilgiu, jis yra neigiamas. 5.2

paveiksle jėgos darbas yra teigiamas, o jėgos Fr

1Fr

– neigiamas. Statmenos jėgos pavyzdys –

įcentrinės jėgos apskritiminiame judėjime. Įcentrinė jėga darbo neatlieka, todėl apskritimu

pastoviu greičiu judančio kūno energija nekinta. Tokio tipo jėgos veikia tarp Saulės ir jos

sistemos planetų, magnetinė Lorenco jėga, veikianti judantį krūvininką magnetiniame lauke ir

t.t.

Bendrasis darbo išraiškos atvejis yra tuomet, kai materialusis taškas ar kūnas juda

trimatėje erdvėje. Jėga ir poslinkis yra vektoriniai dydžiai, o jų atliktas darbas yra lygus jėgos

ir poslinkio vektorių skaliarinei sandaugai:

zzyyxx rFrFrFrFA ∆+∆+∆=∆⋅=∆rr

. (5.3)

Darbą atliekanti jėga gali būti kintama. Ji gali kisti laike ir kintant veikimo taško

koordinatėms.

( t,rFF rrr= ) . (5.4)

Jėgos priklausomybė nuo rr ir t gali būti tiesinė ir netiesinė. Kai jėgos priklausomybė yra

tiesinė, atliktą darbą galime apskaičiuoti naudojantis jėgos vidutine verte. Tiesinės

priklausomybės nuo koordinačių pavyzdys yra tamprumo jėga, veikianti Huko dėsnio ribose.

Paprastumo dėlei pavaizduokime vienmatį atvejį, kai jėga priklauso tik nuo vienos

koordinatės. Pasirinkime koordinatę x (5.3 pav.):

kxFx = . (5.5)

Darbas skaitine verte lygus brūkšniuoto trikampio plotui:

( ) 22kxxxFA == . (5.6)

5.3 pav. Kai jėga F tiesiškai priklauso nuo x, jos atliktas darbas lygus brūkšniuotos figūros plotui

5.4 pav. Tiesinė jėgos priklausomybė nuo x: ( ) kxxF −= . Jėgos darbas lygus trapecijos plotui


66

___________________________________________________________________________

Tempiamos spyruoklės tamprumo jėgos priklausomybė nuo x išreiškiama Huko dėsniu:

(5.4 pav.). Kokį darbą reikia atlikti ištempiant spyruoklę nuo x = a iki x = b? ( ) kxxF −=

Jėgos modulio vidutinės vertės koordinačių x1 = a ir x2 = b intervale išraiška tokia:

( ) ( ) 2bakxF +−= .

Atliktas darbas ištempiant spyruoklę nurodytame koordinačių intervale

( ) xxFA ∆= ,

čia ∆x = b – a.

Sutvarkome ir gauname:

( )( ) ( )22

22 abkabbakA −−=−+−= .

Šis darbas skaitine verte lygus trapecijos plotui (5.4 pav.).

___________________________________________________________________________

5.5 pav. Grafikai, iliustruojantys jėgos F priklausomybę nuo x ir šios jėgos atliktą darbą intervale nuo x1 iki x2

Kai jėgos priklausomybė nuo koordinačių yra

netiesinė, tuomet atliktą darbą rasime dalindami visą

taško ar kūno poslinkį mažais vienodais elementais ir

laikydami juose jėgą pastovia (5.5 pav., a ir b). Jėgos

darbas intervale nuo x1 iki x2 randamas sumuojant

elementarius darbus:

( )∑ ∆= xxFA . (5.7)

Rezultatas bus tuo tikslesnis, kuo siauresni intervalai

∆x (5.5 pav., b). Riboje (5.5 pav., c) jėgos darbas

( ) ( ) dxxFxxFlimAx

x

n

iiix ∫∑ =∆=

=→∆

2

110. (5.8)

Taigi perkeliant materialųjį tašką ar kūną iš erdvės

taško 1 į tašką 2, jėgos darbas

∫ ⋅=2

1

rdFA rr. (5.9)

Po integralu esančius vektorius Fr

ir rdr užrašę

projekcijomis ir sudauginę, gausime:


67

∫∫∫ ++=2

1

2

1

2

1zzyyxx drFdrFdrFA . (5.10)

SI darbo vienetas yra džaulis (J). Tai darbas, kurį

atlieka 1 N jėga, paslinkdama kūną 1 m:

2

2

smkgmNJ ⋅

=⋅= 1111 .

Elektros energijos vienetas yra vatsekundė (Ws).

Tai yra tas pats darbo vienetas, kaip ir džaulis. Mūsų

buitiniai elektros skaitikliai suvartotą elektros energiją

skaičiuoja vatvalandėmis (Wh):

1 Wh = 3600 Ws= 3600 J = 3,6 kJ.

___________________________________________________________________________

Džeimsas Preskotas Džaulis (1818-1889)

Anglų fizikas. Pirmasis nustatė mechaninį šilumos ekvivalentą

Nuožulniąja plokštuma, kuri sudaro kampą ϕ su horizontu, jėga F veikia m = 10 kg

masės kūną ir pastumia jį aukštyn atstumu d. Raskime jėgos atliktą darbą. Trinties nėra.

Atstumai pateikti brėžinyje.

m = 10 kg,

d = 5 m,

h = 3 m,

b = 4 m

A – ?

5.6 pav. Uždavinio situacija: a) jėga F

r pastumia kūną atstumu d

nuožulniąja plokštuma aukštyn; b) kūną veikiančių jėgų diagrama

S p r e n d i m a s

Kai kūnas juda be pagreičio, jėgų projekcijoms į X ašį rašome lygtį

0=ϕ− sinmgP .

Mūsų atveju

N85853

sm89kg10 2 ,,sinmgP =⋅⋅=ϕ= .

Jėgos atliktas darbas Fr


68

J294m5N858 =⋅=== ,FddFArr

.

Nesunku įsitikinti, kad tokį patį darbą atliktume, jeigu tą patį kūną pakeltume vertikaliai

aukštyn į 3 m aukštį:

J294m3sm89kg10 2 =⋅⋅== ,PhA .

___________________________________________________________________________

Berniukas traukia 5 kg masės rogutes horizontaliu paviršiumi pastoviu greičiu (5.7

pav.). Kokį darbą jis atliks 10 m atstume, jeigu žinoma, kad slydimo trinties koeficientas µ =

0,2? Rogutes traukianti jėga sudaro α = 45° kampą su horizontu.

m = 5 kg,

v = const,

d = 10 m,

µ = 0,2,

α = 45°

A – ?

5.7 pav. Berniukas traukia rogutes horizontaliu paviršiumi pastoviu greičiu

S p r e n d i m a s

Rašome darbo išraišką

α== cosFddFArr

. (1)

Kadangi judėjimo greitis pastovus, tai iš jėgų diagramos (5.7 pav., b) gauname:

0=−α fcosF (2) ir

0=−+α mgNsinF , (3)

čia trinties jėga

Nf µ= . (4)

Turime tris lygtis su trimis nežinomaisiais F, f ir N. Iš šių lygčių eliminuojame f ir N.

Gauname, kad rogutes tempiančios jėgos modulis

N,N,,,

,, 57117070207070

89520=

⋅+⋅⋅

=αµ+α

µ=

sincosmgF .

Darbas J8817070m10N5711 ,,,cosFdA =⋅⋅=α= .

___________________________________________________________________________


69

5.2. Kinetinė ir potencinė energija. Energijos tvermės dėsnis

Mechaninė energija skirstoma į judančių kūnų kinetinę ir sąveikaujančių kūnų ar

sistemos dalelių potencinę energijas.

Kūną veikianti jėga perkelia jį iš vieno erdvės taško į kitą ir todėl atlieka apibrėžto

dydžio darbą. Kai perkeliamo kūno greitis nekinta, tai darbas atliekamas trinties ar

pasipriešinimo jėgoms nugalėti. Kai perkeliant kūną pakinta jo greitis, tai reiškia, kad dalis

darbo virto kinetine energija. Taigi kinetinė energija yra kūno mechaninio judėjimo matas ir

lygi darbui, atliktam šiam judėjimui palaikyti. Suprantama, kad tarp darbo ir kinetinės

energijos yra ryšys, kurį galima surasti. Rašome antrąjį Niutono dėsnį m masės kūnui, kurį

veikia jėga : Fr

Elementarusis atstojamosios jėgos darbas

vvvv dmdmrdFdA ==⋅=rrrr

.

Šis darbas lygus kūno kinetinės energijos pokyčiui. Todėl dydis

22

21

22

2

1

vvvv

v

v

mmdmEk −==∆ ∫ (5.11)

išreiškia kinetinės energijos pokytį, kai kūno greitis pakito nuo v1 iki v2. Greitis kito dėl visų

jėgų atstojamosios jėgos veikimo. Todėl teigiama, kad kūną veikiančios atstojamosios jėgos

darbas lygus to kūno kinetinės energijos pokyčiui. Čia kalbama tiktai apie darbą, kuris

pakeičia kinetinę energiją ir neatsižvelgiama į trintį. Galima sakyti ir atvirkščiai: kinetinės

energijos turintis kūnas gali atlikti darbą, lygų jo kinetinės energijos pokyčiui:

. (5.12) kEA ∆=

Kai du arba daugiau kūnų sąveikauja, tuomet jie gali atlikti darbą. Sąveikos prigimtis ir

pobūdis neturi esminės įtakos. Dauguma gamtoje žinomų sąveikų persiduoda per lauką,

kuriame tie kūnai yra. Tai gali būti gravitacinis laukas, elektrinis laukas, magnetinis laukas ir

t.t. Erdvė, kurios kiekviename taške patalpintą kūną veikia jėga, vadinama jėgų lauku. Tai yra

vektorinis laukas. Žemės gravitacinis laukas yra centrinis, nes visuose erdvės taškuose kūną

veikiančios jėgos yra nukreiptos į vieną tašką – Žemės centrą. Šį tašką vadiname jėgų centru.

Sąveikos jėga tarp Žemės ir bet kurio kito kūno priklauso nuo atstumo iki Žemės centro.

Keičiant šį atstumą reikia atlikti darbą arba jį atlieka pačios gravitacinės jėgos. Šiuo atveju

atliktas darbas pakeičia sąveikos energiją, kuri vadinama potencine energija. Ji apibūdina

kūnų sąveiką kiekybiškai. Tarkime, kad potFr

jėgos veikiamas kūnas iš erdvės taško A atsidūrė


70

taške B, tačiau jo kinetinė energija nepakito (5.8 pav.). Vadinasi, jėgos potFr

atliktas darbas

keičia tiktai sąveikos potencinę energiją:

. (5.13) pBpA

B

Apot EErdFA −== ∫

rr

Taigi potencinė energija lygi maksimaliam darbui, kurį gali atlikti sistemos vidinės jėgos.

5.8 pav. Materialiojo taško judėjimas trajektorija, veikiant jėgai F

r ir sunkio jėgai P

r

Konkreti potencinės energijos išraiška priklauso nuo lauko jėgų pobūdžio. Pvz., Žemės

traukos lauke potencialinė jėga yra sunkio jėga. Todėl

. (5.14) constmghE p +=

Taigi potencinė energija nustatoma konstantos tikslumu. Jūros lygyje ar Žemės paviršiuje (h =

0) potencinė energija lygi nuliui. Vadinasi, duobėje esančio kūno potencinė energija yra

neigiama (Ep = – mgh).

Tampriai deformuoto (galioja Huko dėsnis) kūno (strypo, spyruoklės) potencinė

energija

constkxdxkxEx

p +== ∫ 2

2

0

, (5.15)

čia k – tamprumo koeficientas.

Paprastai nedeformuoto kūno (x = 0) potencinė energija lygi nuliui. Todėl ir const = 0.

Vadinasi, tampriai deformuoto kūno potencinė energija

2

2kxE p = , (5.16)

t.y. proporcinga jo pailgėjimui ar sutrumpėjimui kvadratu.


71

Apskritai, sistemos potencinė energija yra jos būsenos funkcija ir priklauso nuo kūnų ar

dalelių tarpusavio išsidėstymo ir jų padėties išorinių kūnų atžvilgiu. Potencinė energija lygi

nuliui, kai sistemos kūnai nutolę vienas nuo kito atstumu, kuriuo jų sąveikos jėgos lygios

nuliui. Iš čia išplaukia, kad kūnų traukos atveju sistemos potencinė energija yra neigiama, o

stūmos atveju, atvirkščiai, ji teigiama.

Jeigu kūnui leisime laisvai kristi, tai jo potencinė energija mažės, o kinetinė didės, nes

didės krintančio kūno greitis, tačiau visuose trajektorijos taškuose suminė energija lieka ta

pati:

constmghm=+

2

2v , t.y. Ek + Ep = const . (5.17)

Lygtis (5.17) yra mechaninės energijos tvermės dėsnio išraiška konservatyviai sistemai. Tai

dalinis energijos tvermės ir virsmų dėsnio atvejis, nes energijos tvermės ir virsmų dėsnis

teigia, kad uždaros sistemos energija laikui bėgant nekinta, tik iš vienos rūšies gali virsti kita:

Ek + Ep + W = const, (5.18)

čia W – kitos rūšies, pvz., šiluminė energija, atsiradusi iš mechaninės energijos.

Tai fundamentalusis gamtos dėsnis, tinkantis tiek makroskopinių, tiek mikroskopinių

kūnų sistemoms. Visose realiose sistemose veikia ir nepotencialinės – trinties ir

pasipriešinimo – jėgos. Dėl to sistemos mechaninė energija mažėja, virsdama kitų rūšių

energija. Vadinasi, reali sistema yra disipatyvi sistema. Jos mechaninės energijos

sumažėjimas lygus vidinių nepotencialinių jėgų darbui.

5.3. Centrinių jėgų laukas. Konservatyviosios jėgos

Kūnai gali sąveikauti ir kontaktiniu būdu. Tai sąveika, kurios metu kūnai liečia vienas

kitą arba sujungti tampria ar netampria jungtimi. Kūnai sąveikauja ir tuštumoje (vakuume). Ši

sąveika aiškinama artiveikos teorija, pagal kurią kūnų arba dalelių sąveika perduodama per

tarpinę aplinką baigtiniu greičiu. Ši tarpinė aplinka yra jėgų laukas. Jėgų lauką kuria

materialūs kūnai. Jis yra materialus, jam priskiriama masė, impulsas, energija, pasižymi

inertiškumo ir gravitacijos savybėmis. Praktikoje mes žinome lauką, kuris nėra susijęs su jį

sukūrusiu šaltiniu – tai elektromagnetinis laukas. Nepriklausomai nuo to, kas kuria lauką, ir

nepriklausomai nuo to, ar jis susijęs su lauko šaltiniu, ar ne, jis yra materialus ir tai yra viena

iš materijos egzistavimo formų.

Dažnai nagrinėjami centrinių jėgų laukai – tai laukai, kuriuose sąveikaujančių kūnų ar

dalelių jėga atvirkščiai proporcinga atstumui tarp jų kvadratu:


72

rrCF rr

3= , (5.19)

čia r – atstumas tarp sąveikaujančių objektų, C – konstanta. Šia savybe pasižymi gravitacinės

ir elektrostatinės jėgos, kurioms konstanta C yra skirtinga. Gravitacinei (traukos) jėgai

MmC γ−= , (5.20)

čia γ – gravitacijos konstanta, M ir m – sąveikaujančių kūnų masės. Konstanta rašoma su

minuso ženklu, nes kito kūno padėties vektorius rr ir traukos jėga Fr

yra priešingų krypčių

(5.9 pav.).

5.9 pav. Gravitacinio lauko šaltinis yra M masės kūnas: a) m masės kūno padėtį erdvėje nusako vektorius rr

; b) kūną veikia traukos jėga F

r

Taškinių krūvininkų elektrostatinę sąveiką apibūdina konstanta

0

1

4πε±=

qqC , (5.21)

čia q ir q1 – sąveikaujantys krūviai, ε0 – elektrinė konstanta. Elektrostatinei sąveikai C rašoma

su minuso ženklu, kai krūvininkai yra priešingų ženklų, ir su teigiamu ženklu, kai krūvininkai

yra vienodų ženklų. Įrašę atitinkamas konstantas į (5.19) išraišką, turėsime:

rrMmF rr

3

γ−= (5.22)

ir

rr

qqF rr3

0

1

4πε±= . (5.23)

Gravitacijos jėgos formulė (5.22) tinka, kai sąveikauja materialūs taškai arba sferiškai

simetriški vienalyčiai kūnai, arba kai tankis yra atstumo nuo centro funkcija. Elektrostatinės


73

sąveikos jėgos formulė (5.23) taip pat tinka taškiniams krūvininkams arba sferiškai

simetriškiems tolygiai įelektrintiems kūnams arba kai krūvininko tankis yra atstumo iki centro

funkcija.

Jau minėjome, kad šie laukai yra centriniai. Tai reiškia, kad bet kuriame erdvės taške

patalpintą m masės kūną arba taškinį bandomąjį krūvininką q, veiks jėgos į vieną nejudančios

sistemos tašką, kurį vadinsime jėgų centru. Centrinių jėgų laukas yra nevienalytis, nes

skirtinguose erdvės taškuose veikia skirtingo dydžio ir, galimas daiktas, skirtingų krypčių

jėgos.

Sferiškai simetriškiems laukams jėgos absoliutinė vertė yra tiktai atstumo nuo jėgų

centro funkcija, t.y.

( )rFF = . (5.24)

Tokios pobūdžio jėgos yra potencialinės, nes, pvz., gravitacijos jėgos darbas

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−γ=γ−= ∫

122

112

1rr

MmrdrMmA

r

r

, (5.25)

t.y. atliktas darbas nepriklauso nuo kontūro formos.

Kai masė m pernešama uždaru kontūru (r1 = r2), darbas

0== ∫L

rdFA rr. (5.26)

(5.26) integralas vadinamas jėgos Fr

cirkuliacija uždaru kontūru. Tokias jėgas vadiname

potencialinėmis jėgomis.

Greta potencialinių jėgų egzistuoja kito tipo jėgos, kurias vadiname disipatyviomis. Tai

jėgos, kurių atliktas darbas yra neigiamas arba lygus nuliui. Prie šių jėgų priskiriame trinties ir

giroskopines jėgas. Giroskopinės jėgos visada statmenos judančių taškų greičiams ir todėl

darbo neatlieka.

5.4. Keplerio ir visuotinės traukos dėsniai. Žemės gravitacinis laukas. Jo stipris ir potencialas

16 a. pabaigoje dauguma mokslininkų įsitikino, kad Koperniko paskelbta heliocentrinė

sistema yra teisinga. Pagal šią sistemą Žemė ir kitos planetos juda apie Saulę, kuri yra mūsų

planetinės sistemos centras. Tačiau tuo laiku mokslininkams dar nebuvo žinomi planetų

judėjimo dėsniai nei jų judėjimą sukeliančios priežastys. Apibendrinęs daugybę danų fiziko T.

Brahės stebėjimų, J. Kepleris (1571-1630) nustatė tris planetų judėjimo dėsnius. Pirmasis

dėsnis teigia, kad visos planetos apie Saulę juda elipsinėmis orbitomis, kurių viename židinyje


74

yra Saulė. Antrasis dėsnis teigia, kad planetos padėties vektorius, jungiantis Saulę su planeta,

per vienodus laiko tarpus nubrėžia vienodus plotus. Tai reiškia, kad nutolstant planetai nuo

Saulės jos linijinis greitis mažėja. Padėties vektoriaus nubrėžto ploto santykis su laiku, per

kurį nubrėžiamas šis plotas, vadinamas sektoriniu greičiu (5.10 pav.).

Taigi šį dėsnį dar galima formuluoti

taip – planetos sektorinis greitis yra pastovus:

constmL

dtdS

===σ2

, (5.27)

čia m – planetos masė, L – jos impulso

momentas Saulės atžvilgiu. Tokia išvada

gaunama iš impulso momento tvermės

dėsnio.

5.10 pav. Brūkšniuoti plotai lygūs: artėdama

prie Saulės planeta juda greičiau Pirmuosius du dėsnius Kepleris paskelbė 1609 m.1619 m. Kepleris paskelbė trečiąjį

dėsnį, pagal kurį planetų apsisukimo apie Saulę periodų kvadratai proporcingi jų elipsinių

orbitų didžiųjų pusašių kubui:

32

2 4 aM

Tγπ

= . (5.28)

Dydis

24π

γ=

MK

vadinamas Keplerio konstanta.

Nikolas Kopernikas

(1473-1543) Lenkų astronomas. Paaiškino heliocentrinę

planetų sistemą

Johanesas Kepleris (1571-1630)

Vokiečių astronomas, nustatęs ir suformulavęs tris planetų judėjimo dėsnius


75

Iš pirmo Keplerio dėsnio seka, kad planetos orbita yra plokščia kreivė. Iš antrojo dėsnio

seka, kad planetą veikianti jėga nukreipta į Saulę. Galima teigti, kad planetos juda centrinių

jėgų lauke praktiškai apskritiminėmis orbitomis (žr. lentelę).

Lentelė. Saulės sistemos planetų ir jų orbitų parametrai

Planeta Spindu-

lys, 103 km

Masė, kg

Vidutinis atstumas

nuo Saulės, 106 km

Apsisuk. apie Saulę periodas,

metais

Apsisuk. apie savo

ašį periodas, paromis

Orbitos ekscen-tricitetas

e

Lais-vojo krit.

pagr., g/gž

Merkurijus 2.439 3,3⋅1023 57.9 0,241 58,6 0,205 0,38

Venera 6.052 4,87⋅1024 108 0,615 243 0,006 0,91

Žemė 6.378 5,98⋅1024 149,5 1,0 0,997 0,016 1,00

Marsas 3.393 6,42⋅1023 228 1,88 1,026 0,093 0,38

Jupiteris 71.398 1,90⋅1027 778 11,9 0,41 0,048 2,53

Saturnas 60.000 5,67⋅1026 1430 29,5 0,43 0,055 1,07

Uranas 25.400 8,70⋅1025 2870 84,0 0,65 0,046 0,92

Neptūnas 24.300 1,03⋅1026 4500 165 0,77 0,008 1,19

Plutonas 1.500 1,50⋅1022 5890 248 6,39 0,246 0,045

Remdamasis šiais dėsniais ir stebėdamas dangaus kūnų (tiksliau, Mėnulio) judėjimą bei

… obuolio kritimą, anglų fizikas I. Niutonas 1686 m. paskelbė visuotinės traukos dėsnį: du

taškiniai kūnai traukia vienas kitą jėga, proporcinga jų masių sandaugai ir atvirkščiai

proporcinga atstumui tarp jų centrų kvadratu, t.y.

rrmm

F rr

321γ= , (5.29)

Henris Kevendišas (1731-1810) Anglų fizikas eksperimentatorius ir

chemikas

čia γ – gravitacinė konstanta.

Netaškinių kūnų tarpusavio traukos jėga

apskaičiuojama jų skaidymo į taškinius elementus ir

integravimo būdu.

Pirmasis eksperimentiškai gravitacinę konstantą

γ 1798 m. nustatė anglų fizikas H. Kevendišas. Tam

buvo pritaikytos sukamosios svarstyklės. Tarpusavyje


76

sąveikauja ir planetos, tačiau Saulės masė daugiau kaip 700 kartų didesnė už visų jų ir kitų jos

sistemos kūnų masę. Tokiu būdu Saulė yra pagrindinis kūnas, atsakingas už planetų judėjimą.

Dviejų ir daugelio kūnų sąveika vyksta tiesiogiai. Vadinasi, kūnų sąveika nepriklauso

nuo juos supančios aplinkos savybių. Tai aiškinama gravitacinio lauko egzistavimu. Erdvė,

kurioje nėra medžiagos, pasižymi daugeliu geometrinių ir fizikinių savybių, pvz.: mažiausias

atstumas tarp dviejų taškų yra tiesė, jungianti tuos taškus; laikas visuose erdvės taškuose teka

vienodai; šviesos spinduliai yra tiesios linijos ir kt. Įnešus į erdvę tam tikros masės M kūną,

pakinta šios erdvės savybės, pvz., šiuo atveju mažiausias atstumas tarp taškų bus ne tiesė, bet

tam tikra kreivė; laiko tėkmė šalia kūno sulėtėja ir t.t. Taigi gravitacinis laukas

charakterizuoja erdvės savybių pokytį. Kiekybiniam gravitacinio lauko įvertinimui įvedame

fizikinį dydį, kurį vadiname gravitacinio lauko stipriu:

mFGrr

= , (5.30)

t.y. gravitacinio lauko stipris lygus jėgai, kuria tas laukas traukia vienetinės masės kūną tame

lauko taške, ir nukreiptas jėgos kryptimi.

Dviejų taškinių kūnų, kurių masės M ir m, sąveikos jėga Fr

išreiškiama visuotinės traukos

dėsniu. Todėl M masės kūno sukurto gravitacinio lauko stiprio modulis: 2rMG γ= . (5.31)

Taigi gravitacinio lauko stipris priklauso nuo lauką kuriančio kūno masės M ir atstumo tarp

kūno ir erdvės taško, kuriame ieškome lauko stiprio, kvadrato. Be to G išraiška sutampa su

kūno, kurio masė m, pagreičio g išraiška. Kadangi G nepriklauso nuo m, tai galima teigti, kad

visi kūnai (nepriklausomai nuo jų masės) duotajame erdvės taške judės tuo pačiu pagreičiu g.

Daugelio taškinių kūnų atveju atstojamojo gravitacinio lauko stipris randamas iš laukų

superpozicijos principo:

, (5.32) ∑=

=n

iiGG

1

rr

t.y. lygus atskirų laukų stiprių sumai.

Gravitacinės jėgos darbas, perkeliant m masės kūną nuo Žemės paviršiaus į aukštį h,

lygus:

∫+γ

−=hR

Rr

drmMA 2 .

Suintegravę gauname


77

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ

−+

γ=

γ−

+γ

=RM

hRMm

RmM

hRmMA . (5.33)

Vadinasi, darbas gravitaciniame lauke nepriklauso nuo kūno perkėlimo trajektorijos.

Todėl gravitacijos traukos jėgos yra konservatyvios, o pats laukas – potencialinis. Kadangi

konservatyvių jėgų darbas lygus sistemos potencinės energijos sumažėjimui, tai iš formulės

gauname, kad darbas

( )121 2 ppp EEEA −−=∆−=→ (5.34)

arba

( )2121 ϕ−ϕ=→ mA , (5.35)

čia ϕ1 ir ϕ2 – lauko pradinio ir galinio taškų potencialai.

Lauko potencialas – energinė lauko charakteristika, apibūdinanti darbą perkeliant

vienetinės masės kūną iš begalybės į nagrinėjamąjį lauko tašką (arba atvirkščiai):

r

Mm

Aγ−==ϕ →∞ 1 , (5.36)

čia r – atstumas nuo M masės kūno centro iki nagrinėjamo taško.

Iš (5.36) formulės išplaukia, kad vienodo potencialo taškai yra sferiniame r = const

spindulio paviršiuje – ekvipotencialiniame paviršiuje.

Kai lauką kuria keli kūnai, jo bet kurio taško potencialas lygus dedamųjų laukų

potencialų sumai tame taške:

. (5.37) ∑=

ϕ=ϕn

ii

1

Abi traukos lauko charakteristikos – stipris ir potencialas – tarpusavyje susijusios:

ϕ−= gradGr

, (5.38)

čia

kz

jy

ix

gradrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

= (5.39)

ir vadinamas gradientu.

Taigi traukos lauko stipris lygus potencialo gradientui ir nukreiptas potencialo

didžiausio mažėjimo kryptimi.


78

5.5. Jėgos ir potencinės energijos sąryšis

Kūnų sąveikos jėga ir jų sąveikos potencinė energija yra tarpusavyje susiję dydžiai.

Apskritai kūnų sąveiką galima išreikšti jėgomis arba potencine energija. Tai priklauso nuo

uždavinio tipo. Pvz., trinties atveju patogu naudotis jėga, nes čia negalime įvesti potencinės

energijos, o pvz., kvantinėje mechanikoje judėjimo lygtyje nėra jėgos ir todėl naudojama

potencinė energija. Žinant sąveikos jėgas, kaip koordinačių funkcijas, galima rasti sąveikos

potencinę energiją. Galimas ir atvirkščias uždavinio sprendimas.

Pvz., kūną veikiančių konservatyviųjų jėgų darbas lygus jo potencinės energijos

sumažėjimui:

pdEdA −=

arba

pdErdF −=⋅rr

, (5.40)

čia – kūno poslinkis. rdr

Tai tinka bet kuriam poslinkiui . Jeigu žinome rdr ( )rU r , tai ji visiškai nusako jėgą . Lygtį

(5.40) galime užrašyti ir koordinatinėje formoje:

Fr

dUdzFdyFdxF zyx −=++ . (5.41)

Jeigu taškas pasislinktų tik X ašies kryptimi, tai rašytume:

z,yx dUdxF −=

arba

z,y

x dxdUF ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= .

Analogiškai rašytume ir kitoms koordinatėms. Šiuo atveju diferencijuojama pagal vieną

kintamąjį, o kitos dvi koordinatės yra kaip parametrai. Taip gautos išvestinės vadinamos

dalinėmis:

xUFx ∂∂

−= , yUFy ∂∂

−= , zUFz ∂∂

−= . (5.42)

Tris (5.42) skaliarines lygtis galime pakeisti viena vektorine lygtimi:

kzUj

yUi

xUF

rrrr

∂∂

+∂∂

−∂∂

−= . (5.43)

Vektorinį operatorių vadiname skaliaro gradientu ir sutrumpintai žymime grad:


79

gradUkzUj

yUi

xU

=∂∂

+∂∂

+∂∂ rrr

. (5.44)

Dar trumpiau šį operatorių vadiname „nabla“ ir žymime ∇ . Tai yra taip vadinamas

Hamiltono operatorius. Formaliai į šį veiksmą žiūrime kaip į simbolinio vektoriaus ∇

sandaugą iš skaliaro:

FUr

−=∇ .

Vektorius, kurį gauname diferencijuodami skaliarinę funkciją, nukreiptas sparčiausia

funkcijos U kitimo kryptimi.

Taigi gavome tokį jėgos ir kūno potencinės energijos sąryšį:

UgradF −=r

. (5.45)

Konkreti potencinės energijos išraiška priklauso nuo jėgų lauko pobūdžio. Pvz., pakelto

kūno potencinė energija (5.14) lygi

mghE p = , (5.46)

čia h – aukštis nuo atskaitos pradžios, kur Ep = 0.

Ši lygtis ir gaunama iš potencinės energijos ir jėgos sąryšio:

. mghdhmgdrFEh

traukosp =−=−= ∫∫0

Atvirkščiai, žinodami, pvz., deformuotos spyruoklės potencinės energijos išraišką

(5.16), t.y.

2

2kxE p = ,

galime rasti spyruoklės tamprumo jėgos išraišką:

kxkxdxdFtampr −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2 ,

čia k – tamprumo koeficientas.

5.6. Kūnų judėjimas gravitaciniame lauke

Gravitacinės jėgos yra labai silpnos, tačiau jos vaidina lemiamą vaidmenį dangaus kūnų

judėjime. Stiprios sąveikos negali vaidinti tokio vaidmens, nes jos yra artiveikės.

Elektrostatinės sąveikos jėgos yra toliveikės ir kinta pagal tą patį dėsnį kaip ir gravitacinės,

tačiau planetų judėjimui jos neturi įtakos, kadangi dangaus kūnai yra neutralūs. Kai sistemoje


80

veikia tik centrinės jėgos (disipatyviųjų jėgų nėra), tuomet galime rašyti energijos tvermės

dėsnį:

constr

MmmE =γ−=2

2v , (5.46)

čia E – visa m masės kūno energija kito M masės kūno traukos lauke.

Planetos apie Saulę juda elipsinėmis orbitomis, o jų impulso momentas Lr

Saulės

atžvilgiu yra pastovus. Todėl sistemos energijos tvermės dėsnis gali būti ir taip išreikštas:

constmrL

rMmm

E r =+γ−= 2

22

22v

, (5.47)

čia vr – planetos radialinio greičio, t.y. greičio rr kryptimi, modulis (5.11 pav.).

Dažnai vartojama sistemos redukuotosios masės sąvoka:

Mm

mM+

=µ . (5.48)

Kai masė m yra daug mažesnė už M, tuomet galima rašyti, kad redukuotoji masė

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=µ

Mmm 1 . (5.49)

Įvedus redukuotąją masę µ, dviejų kūnų judėjimo masių centro sistemoje uždavinį galima

spręsti kaip vieno kūno judėjimo uždavinį, laikant, kad šio kūno masė lygi sistemos

redukuotajai masei. Todėl II N. d. išraiška tokia:

3

2

22

2

rL

rmM

dtrd

µ+

γ−=µ . (5.50)

X

Y

M

rm

vn vr

ϕ

v

r

U U, ef

0r0

mMrU r( ) =

γ

U r U r( ) = ( ) + efL2

22 rµ

5.11 pav. Planetos padėtį apibūdina polinės koordinatės rr ir ϕ

5.12 pav. Uef (r) ir U (r) priklausomybė nuo r


81

Naudodamiesi jėgos ir potencinės energijos sąryšiu (5.40), iš (5.50) lygties gauname,

kad efektinė energija:

( ) ( ) 2

2

2 rLrUrUef µ

+= , (5.51)

čia ( )r

mMrU γ= . 5.12 paveiksle parodytos Uef (r) ir U (r) priklausomybės nuo vienintelio

kintamojo r.

U efU , Uef

0

m

M

r0

r1

E > 0

r

U r( )

U ef

0mM

r0r1E = 0 r

U r( )

U , Uef

5.13 pav. Visa sistemos energija E > 0. Kūno trajektorija yra hiperbolė

5.14 pav. Visa sistemos energija E = 0. Kūno trajektorija yra parabolė

U ef

0

m m

m

M

r0

r0

r1

r1

r2

r2

E < 0

r

r

U r( )

U , Uef

U r U r( ) = ( ) + efL2

22 r

0

0

rMm

m

KE < 0

r0

r0

mMrU r( ) =

0U r ( )2

0U r ( )

U , Uef

γ

µ

5.15 pav. Visa sistemos energija E < 0. Kūno trajektorija yra elipsė

5.16 pav. Kūnų sistemos energija E lygi minimaliai Uef (r) vertei. Kūno trajektorija yra apskritimas

Priklausomai nuo visuminės dviejų kūnų sistemos energijos E priklauso m masės kūno

judėjimo pobūdis kito M masės kūno gravitaciniame lauke. Kai E > 0, mažojo kūno orbita yra


82

hiperbolė (5.13 pav.), o r1 yra mažiausias atstumas, kuriuo kūnas m priartėja prie M. Kai E =

0, kūno m orbita yra parabolė (5.14 pav.). Kai E yra neigiama, tačiau didesnė už minimalią Uef

vertę, kūno trajektorija yra elipsė, kurios pusašiai atitinkamai yra lygūs r1 ir r2 (5.15 pav.). Kai

E lygi minimaliai Uef vertei, t.y. kai ( ) 2rUE = , kūno trajektorija yra apskritimas, kurio

spindulys lygus r0 (5.16 pav.).

Apskritai, m masės kūno judėjimo centriniame jėgų lauke lygtis yra tokia:

ϕ+

=cosepr

1 , (5.52)

čia β

=m

Lp2

– orbitos židinio parametras,

122

2+

β=

mELe – jos ekscentricitetas.

Dydis

. (5.53) constmM =γ−=β

Iš (5.52) lygties gaunami tokie orbitų tipai:

a) hiperbolinė orbita, kai e > 1, E > 0;

b) parabolinė orbita, kai e = 1, E = 0;

c) elipsinė orbita, kai e < 1, E < 0;

d) tiesė, einanti per jėgų centrą (e = 1, p = 0), kai L = 0.

Kai kūnas juda apskritimu, įcentrinė traukos jėga lygi išcentrinei:

200

20

rmM

rm

γ=v

, (5.54)

čia v0 – apskritimu judančio kūno greitis.

Kai kūnas apskritimine orbita juda Žemės traukos lauke, jo orbitinis greitis vadinamas

pirmuoju kosminiu greičiu. Šiuo atveju e = 0, parametras p = r. Kūno energija

rrL

mE222

2

2

2 β=

ββ

−=β

−= . (5.55)

Ši energija lygi kūno kinetinės ir potencinės energijų sumai:

rr

m22

2 β=

β+Iv

. (5.56)

Iš čia pirmasis kosminis greitis r atstumu nuo Žemės centro lygus

gr=Iv . (5.57)


83

čia g – laisvojo kritimo pagreitis orbitoje.

Kadangi 2rMg γ= , tai greitis vI didėja mažėjant orbitos spinduliui. Prie Žemės

paviršiaus (r = R, g = g0) jis lygus 7,912 km/s. Tai pats teoriškai mažiausias greitis, kurį įgijęs

kūnas tampa Žemės palydovu. Praktiškai kūną veikia ir oro pasipriešinimo jėga, kuriai

nugalėti reikia papildomos energijos.

Įgijęs antrąjį kosminį greitį vII , kūnas juda paraboline orbita, nugali Žemės traukos

lauką ir virsta Saulės palydovu. Šiuo atveju kūno energija

02

=β

+r

m 2IIv

. (5.58)

Iš čia

22 III vv == gr . (5.59)

Prie Žemės paviršiaus antrasis kosminis greitis lygus

vII = 11,2 km/s.

Trečiasis kosminis greitis – greitis, kurį būtina suteikti kūnui, kad jis išeitų iš Saulės

sistemos. Jis lygus 16,7 km/s. Kūno trajektorija yra hiperbolė.

Kosminiams greičiams pasiekti vartojamos daugiapakopės raketos, kurių kiekviena turi

savo reaktyvųjį, atominį ar joninį variklį.

84

6 ___________________________________________________________________________

SKYSČIŲ MECHANIKA

Mechanikos požiūriu pakankamu tikslumu galima žiūrėti į kietus kūnus, skysčius ir

dujas kaip ištisines aplinkas. Makroskopiniu požiūriu kieti kūnai turi apibrėžtą tūrį ir formą.

Medžiaga skystame būvyje turi tiktai apibrėžtą tūrį, tačiau neturi savo formos. Dujos neturi

apibrėžto tūrio nei formos. Skysčiuose ir dujose dėl didelio jų takumo negalima sukelti

tangentinių įtempių.

Skysčiuose neegzistuoja tolimoji tvarka, todėl juose nepasireiškia anizotropija, išskyrus

keletą išimčių. Yra skysčių, kurių nemažuose tūriuose molekulės yra vienodos orientacijos.

Tokiuose skysčiuose pasireiškia optinė ir kai kurių kitų savybių anizotropija. Tokie skysčiai

vadinami skystaisiais kristalais. Skystuose kristaluose molekulių tarpusavio išsidėstymas

nesiskiria nuo molekulių išsidėstymo kituose skysčiuose.

Savo savybėmis skysčiai yra labai sudėtingi, todėl jų teorija yra mažiau išvystyta negu

kietųjų kūnų arba dujinių aplinkų. Dar nėra pilnos ir išbaigtos skysčių teorijos. Praktiniu

požiūriu skysčiai ir dujos yra nepaprastai reikšmingi, nes jie yra didelė dalis aplinkos, kurioje

egzistuoja gyvybė ir augmenija. Taikomumo požiūriu sunku ir išvardinti visas sritis, tačiau

kai kurias paminėsime atskiruose klausimuose.

6.1. Slėgis nejudančiame skystyje. Paskalio dėsnis ir Archimedo keliamoji jėga

Kietojo kūno molekulių padėtis yra visiškai apibrėžta, nes jie turi savo formą, kuri yra

pastovi. Neužšaldyti skysčiai įgyja indo, kuriame jie laikomi, formą. Slegiami jie labai mažai

keičia savo tūrį. Šia savybe jie panašūs į kietus kūnus, tačiau skirtingai nei jie, skysčiai yra

takūs. Skysčiui būdingas laisvasis paviršius (paviršius, besiribojantis su dujine terpe,

atmosfera).

6. Skysčių mechanika

85

Skysčių mechanika – ištisinių aplinkų mechanika. Dėl

skysčių takumo juose negalima sukelti tangentinių įtempių,

tačiau juos slegiant, atsiranda normaliniai įtempiai.

Normaliniai įtempiai skysčiuose vadinami slėgiu. Slėgis –

jėga, veikianti paviršiaus arba skiriamosios ribos ploto

vienetą statmena kryptimi. Vartojami įvairūs slėgio vienetai.

Technikoje dažnai vartojamas slėgio vienetas – techninė

atmosfera. Ji lygi vienam jėgos kilogramui, veikiančiam 1cm2

paviršiaus plotą statmena kryptimi. Buityje neišvengiamai

susiduriame su fizikine atmosfera. Fizikinė atmosfera –

atmosferos slėgis į žemės paviršių jūros lygyje normaliomis

sąlygomis. Tai atitinka 1,033 kG/cm2 slėgį. Šį slėgį

gyvsidabrio barometre atsveria 760 mm gyvsidabrio stulpelio

sunkis (1 atm = 760 mmHg). SI slėgio vienetas yra paskalis. Paskalis – vieno niutono jėgos

slėgis į 1 m2 paviršiaus plotą statmena kryptimi (1 Pa = 1 N : 1 m2).

Blezas Paskalis (1623-1662)

Prancūzų mokslininkas, šiuolaikinės tikimybių teorijos pradininkas. Fizikoje tyrinėjo

atmosferos slėgį ir skysčių tekėjimą.

Lentelėje pateikiamos slėgio vertės įvairiuose kūnuose ar terpėse. Lentelė. Slėgis įvairiose aplinkose (N/m2)

Neutroninės žvaigždės viduje 1×1038

Saulės centre 2×1016

Branduolinio sprogimo metu gaunamas slėgis 7×1012

Didžiausias ilgalaikis laboratorijoje pasiektas slėgis 5×1011

Slėgis Žemės centre 4×1011

Ramiojo vandenyno dugne (5,5 km gylyje) 6×107

Vandens slėgis atominio reaktoriaus viduje 1,6×107

Automobilio rate 2×105

Atmosferos slėgis normaliomis sąlygomis (T = 273 K) 1,013×105

Oro slėgis jūros lygyje 1×105

7 km atstumu nuo termobranduolinio sprogimo (1 megatonos) 3×104

Tornado piltuve 2×104

Žmogaus kraujo spaudimas, viršutinis 1,6×104

Žmogaus kraujo spaudimas, apatinis 1,1×104

Giliausias laboratorijoje gaunamas vakuumas 10-12


86

Dėl mažo spūdumo, apibūdinamo izoterminiu spūdumo koeficientu

constTdpdV

VK

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1 , slegiamų skysčių tūris kinta labai mažai. Pavyzdžiui, slegiant vandenį

1000 atm slėgiu jo tūris sumažėja tik apie 5 %. Tuo remdamiesi, rasime slėgį, kurį sukelia

inde esančio skysčio sunkio jėga. Tam pritaikysime Paskalio dėsnį. Jis tinka skysčiams ir

dujoms ir teigia, kad nejudančio skysčio kiekviename jo taške slėgis visomis kryptimis yra

vienodas. Kai skysčiai slegiami išorine jėga, tai ji į visus skysčio taškus perduodama vienodai.

Slėgio nepriklausomumas nuo veikiančios jėgos krypties pavaizduotas 6.1 paveiksle.

6.1 pav. Trys slėgio jutikliai matuoja slėgį skystyje trimis skirtingomis kryptimis mažame tūryje

Raskime inde esančio skysčio slėgį į indo dugną. Tam išskirsime indo dugno ploto

elementą ∆S. Jį slegia virš jo esantis skysčio stulpelis. Jo aukštį pažymėkime h (6.2 pav.).

Pagal apibrėžimą slėgis

SPp ∆∆= ,

čia ∆P – virš plotelio ∆S esančio skysčio stulpelio sunkio jėga:

SpmgP atm ∆⋅+∆=∆ ,

čia ∆m – stulpelio skysčio masė:

Vm ∆ρ=∆ .

Stulpelio tūris

ShV ∆=∆ .

Tuomet ir Shm ∆ρ=∆ SpShgP atm ∆⋅+∆ρ=∆ .

Taigi slėgis


87

ghpSPp atm ρ+=∆∆= . (6.1)

Iš (6.1) darome labai svarbią išvadą: kadangi skysčio tankis const=ρ ir duotoje Žemės

vietoje laisvojo kritimo pagreitis constg = , tai slėgis skystyje yra tiesiog proporcingas gyliui.

Dydis ρgh vadinamas hidrostatiniu slėgiu.

patm

6.2 pav. Skystyje išskirtas stulpelis statmenas skysčio paviršiui. Stulpelio aukštis h, skerspjūvio plotas ∆S

6.3 pav. Panardintą kūną veikia skysčio slėgio jėgos 1F

r, 2Fr

ir kūno sunkio jėga Pr

Iš patirties žinome, kad kai kurie kūnai vandenyje skęsta, kiti plūduriuoja jo paviršiuje.

Galima parinkti tokius kūnus, kurie išliks pusiausvyroje, panardinti į bet kokį gylį. Tam, kad

išsiaiškintume, kada kūnai plūduriuoja, kada yra pusiausviri bet kokiame gylyje ir kada

skęsta, panardinkime į skystį kokį nors kūną. Paprastumo dėlei

taisyklingos formos kūnas, pavyzdžiui, ritinėlis panardinamas

taip, kad jo simetrijos ašis būtų statmena skysčio paviršiui (6.3

pav.). Jėgos, veikiančios ritinėlį į šoninius paviršius,

kompensuos viena kitą. Viršutinį ritinėlio pagrindą veikianti

jėga:

Archimedas

(287-212 pr.m.e.) Graikų matematikas, fizikas, mechanikas

ShgF 11rr

ρ= , (6.2)

čia S – ritinėlio pagrindo plotas.

Ritinėlio apatinį pagrindą veiks jėga:

ShgF 22rr

ρ= . (6.3)

1Fr

ir jėgų atstojamoji bus lygi jų sumai: 2Fr

( ) ( )122121 hhSghhSgFFFA −ρ−=−ρ=+=rrrrr

. (6.4)


88

Iš (6.4) pastebime, kad ir AFr

gr yra priešingų krypčių. Kadangi nukreiptas žemyn,

tai nukreipta į viršų. Tai ir yra Archimedo keliamoji jėga. Dydis yra ritinėlio

tūris, lygus išstumto vandens tūriui. Tuomet

gr

AFr

( 12 hhS − )( )12 hhgS −ρ yra išstumto skysčio sunkis.

Archimedo jėgos dydį nusakome dėsniu: į skystį (dujas) panardintą kūną veikia keliamoji

jėga, lygi išstumto skysčio (dujų) sunkiui.

Ritinėlį veikia ir jo sunkio jėga Pr

, nukreipta žemyn. Archimedo ir sunkio AFr

Pr

jėgų

atstojamoji jėga

PFF A

rrr+= . (6.5)

Kai , tuomet PFA

rr> F

r nukreipta aukštyn – kūnas kyla į skysčio paviršių ir plūduriuoja. Kai

kūnas yra pusiausvyroje su skysčiu ir „kybo” jame. O jeigu PFA

rr= PFA

rr< , tuomet kūnas

skęsta. Jėgos ir AFr

Pr

priklauso nuo skysčio ir kūno tankių.

___________________________________________________________________________

Kokia ledkalnio tūrio dalis kyšo virš vandens paviršiaus? Ledo tankis ρl = 0,92⋅103

kg/m3, o jūros vandens tankis ρv = 1, 03⋅103 kg/m3.

ρl = 0,92⋅103 kg/m3

ρv = 1, 03⋅103 kg/m3

Vore – ?

S p r e n d i m a s

Ledkalnio sunkio jėga

gVP llρ= ,

čia Vl – ledkalnio tūris, g – laisvojo kritimo pagreitis.

Ledkalnį keliančios Archimedo jėgo modulis

gVP vvA ρ= ,

čia Vv – išstumto vandens tūris, lygus vandenyje esančios ledkalnio dalies tūriui. Pusiausvyros

atveju jėgos yra vienodo didumo:

gVgV vvll ρ=ρ .

Iš čia tūrių santykis

890031920 ,

,,

==ρ

ρ=

v

l

l

v

VV

,

t.y. 89 % ledkalnio yra vandenyje. Taigi ore liko 11 % ledkalnio:

Vore = 0,11 Vl .

___________________________________________________________________________


89

Gamtoje egzistuojančių aplinkų ir medžiagų tankių intervalas yra labai platus. Lentelėje

pateikiame kai kurių medžiagų tankių vertes.

Lentelė. Kai kurių medžiagų ir aplinkų tankiai, kg/m3

Tarpžvaigždinė erdvė 10-21-10-18

Geriausias vakuumas 10-16

Vandenilis 0°C ir 1 atm 9⋅10-2

Oras 0°C ir 1 atm 1,3

100°C ir 1 atm 0,95

Polistirolas 100

Ledas 920

Vanduo 0°C ir 1 atm 1000

100°C ir 1 atm 958

Aliuminis 2700

Gyvsidabris 1,4⋅104

Platina 2,1⋅104

Žemės vidutinis tankkis 5500

branduolio tankis 9500

plutos tankis 2800

Saulės vidutinis tankis 1400

tankis jos centre 1,6⋅105

Žvaigždė baltoji nykštukė 108-1015

Urano branduolys 1017

6.2. Skysčio tekėjimas. Tolydumo lygtis

Skysčių ir dujų visumos judėjimas vadinamas tekėjimu. Judančių dalelių visuma

vadinama srautu. Nagrinėjant skysčių judėjimą, neatsižvelgiama į jų vidinę struktūrą. Skystis

laikomas vientisa aplinka. Skysčių tekėjimui aprašyti dažniausiai vartojamas Eulerio metodas.

Tai toks metodas, kuriuo nustatoma skysčio tekėjimo greičio vr priklausomybė nuo

koordinačių ir laiko įvairiuose erdvės taškuose, t.y.

( trf ,v )rr= . (6.6)


90

Skysčio tekėjimas vadinamas nuostoviuoju arba stacionariuoju, kai skysčio greitis įvairiuose

taškuose nepriklauso nuo laiko. Tuomet galime rašyti, kad greitis

( )rf rr=v . (6.7)

Kai tekančio skysčio sluoksniai nesimaišo tarpusavyje, toks tekėjimas vadinamas sluoksniniu

arba laminariniu. Jei tekančiame skystyje susidaro sūkuriai ir sluoksniai maišosi vienas su

kitu, tekėjimas vadinamas turbulentiniu.

Dažniausiai skysčio tekėjimą vaizduojame dalelių greičio vektorių visuma. Ji sudaro

vektorinį lauką. Toks laukas parodytas 6.4 paveiksle, kai skystis laminariai apteka cilindro

formos kliūtį. Patogiau skysčio tekėjimą vaizduoti srovės linijomis. Tai linijos, kurių

liečiamųjų kryptys sutampa su greičio vektoriais atitinkamuose taškuose (6.5 pav.).

Tekančiame skystyje išskirkime mažą cilindrą, kurio šoninis paviršius lygiagretus srovės

linijoms, o skerspjūvis S statmenas šioms linijoms (6.6 pav.).

6.4 pav. Rodyklėmis pavaizduoti dalelių greičiai įvairiuose erdvės taškuose

6.5 pav. Simetrinį kūną aptekančio skysčio greičio vektorių laukas

Per laiką ∆t skerspjūviu S pratekėjusio skysčio tūris

tSV ∆⋅=∆ v . (6.8)

6.6 pav. Tekančio skysčio srovės vamzdelis 6.7 pav. Tekančio skysčio srovės vamzdelis

su kintamu skerspjūvio plotu ir greičių kryptimi išilgai vamzdelio


91

6.6 paveiksle pavaizduotą cilindrą vadiname srovės vamzdeliu. Bendru atveju srovės

vamzdelis gali būti bet kokios formos ir skirtingo skerspjūvio ploto (6.7 pav). Kai skysčio

tekėjimas yra nusistovėjęs, tarp skerspjūvių S1 ir S2 esančio skysčio masė nepriklauso nuo

laiko. Tai reiškia, kad per skerspjūvį S1 įtekančio ir per S2 ištekančio skysčio masės per tą patį

laiką yra vienodos:

ρ∆=ρ∆ tStS 2211 vv .

Iš čia:

2211 SS vv =

arba v⋅S = const. (6.9)

Lygtis (6.9) vadinama tėkmės tolydumo lygtimi. Iš jos gaunama išvada, kad nespūdaus

skysčio tėkmės greitis atvirkščiai proporcingas vamzdelio skerspjūvio plotui (v ~ 1/S).

Pastaba: kai skerspjūvio plote greičiai nevienodi, tuomet per skerspjūvį pratekėjusio

skysčio masę per laiko vienetą galima taip išreikšti:

∫ρ=S

dSm0

v . (6.10)

___________________________________________________________________________

Aukščiausias pasaulio fontanas (JAV, Arizona) išmeta vandenį į 170 m aukštį. Vandens

debitas (tūris per sekundę) 26000 litrų per minutę. Koks vandens srovės greitis fontano

apačioje ir 100 metrų aukštyje? Koks yra vandens srauto skersmuo fontano apačioje ir koks

100 metrų aukštyje? Laikysime, kad tėkmė nusistovėjusi, skystis nespūdus ir krentantis

vanduo netrukdo fontano čiurkšlei, trinties nėra.

H = 170 m

h = 100 m

Q = 0,433 m3/s

v0, vh – ?

d0, dh – ?

S p r e n d i m a s

Taikome energijos tvermės dėsnį, iš kurio surasime vandens

srovės greitį fontano apačioje:

mgHm

=2

20v

.

Iš čia:

smv 520 == gH 8 .

Greitį 100 m aukštyje rasime taip pat iš energijos tvermės dėsnio:

hgmmm h −=

22

20

2 vv .


92

Iš čia greitis

smvv 3220 =−= ghh 7 .

Per laiką ∆t išmetamo vandens tūris

tSV ∆=∆ 00 v .

Iš čia rasime fontano kiaurymės plotą

2m,vv

3

000 10477 −⋅==

∆∆

=Q

tVS .

Jos skersmuo

cm9,76m =⋅=π

= −200 109762

Sd .

Čiurkšlės skersmenį aukštyje h rasime iš tėkmės

tolydumo lygties: 6.8 pav. Fontanas Arizonos valstijoje

00SSh vv = ,

čia vh – vandens greitis 100 metrų aukštyje, S –čiurkšlės skerspjūvio plotas toje vietoje.

Iš čia

2mvv 3

00 10711 −⋅== ,SSh

.

Čiurkšlės skersmuo 100 metrų aukštyje

cm 12,2m, =⋅=π

= −21012202 Sd .

___________________________________________________________________________

6.3. Bernulio lygtis ir jos praktinis taikymas

Skysčiams, kaip ir kietiesiems kūnams, taikome energijos tvermės dėsnį: skysčio

visuminės energijos pokytis lygus jam suteiktos energijos kiekio ir išorinių jėgų atlikto darbo

sumai, t.y.

AQdE δ+δ= . (6.11)

Idealaus neklampaus skysčio atveju trinties jėgų nėra, todėl energija nevirsta į šilumą.

Visuminę energiją sudaro skysčio kinetinė energija, skysčio potencinė energija Žemės traukos

lauke ir skysčio vidinė energija. Kai šilumos mainų nėra, vidinė energija nekinta, t.y. 0=dU .


93

Išskirkime nevienodo skerspjūvio ploto srovės vamzdelį

Žemės traukos lauke (6.9 pav.). Todėl nepotencialinių jėgų

skysčio atžvilgiu darbas lygus jo mechaninės energijos

pokyčiui:

Danielis Bernulis (1700-1782)

Šveicarų gydytojas, fizikas ir matematikas. Hidrodinamika – žymiausias jo traktatas, jame ir buvo parašyta lygtis, pavadinta jo vardu

∆A = ∆E . (6.12)

Darbą atlieka tik slėgio jėgos 11S1 pF = ir ,

paslinkdamos brūkšniuotus skysčio tūrius ∆V

222 SpF =

1 = ∆V2 (pagal

tėkmės tolydumo lygtį) atitinkamai atstumais ∆l1 ir ∆l2:

221121 VpVpAAA ∆−∆=∆+∆=∆ . (6.13)

Minuso ženklas reiškia, kad jėgos 2Fr

darbas neigiamas.

Tekančio skysčio mechaninės energijos pokytis

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆ρ+

∆ρ−∆ρ+

∆ρ=∆−∆=∆ ghV

VghV

VEEE 11

211

22

222

12 22vv

. (6.14)

h1

h1

h2

h2

v2

6.9 pav. Didėjančio skerspjūvio ploto skysčio srovės vamzdelis


94

Įrašome (6.13) ir (6.14) lygtis į (6.12) lygtį ir ją sutvarkome:

12

22

11

21

22pghpgh +ρ+

ρ=+ρ+

ρ vv. (6.15)

Tokia lygybė galima tik tuomet, kuomet kiekviena pusė lygi tam pačiam pastoviam

dydžiui. Todėl bet kuriam skerspjūviui

constphg =+ρ+ρ

2

2v . (6.16)

Tai ir yra Bernulio lygtis, rodanti, kad trijų slėgių skerspjūvyje suma yra pastovi.

Dydis ρv2/2 – dinaminis slėgis, ρgh – hidrostatinis slėgis, p – statinis slėgis, kuris veikia

vamzdelio sienelę.

Horizontaliam srovės vamzdeliui (h1 = h2)

constp =+ρ

2

2v , (6.17)

t.y. dinaminio ir statinio slėgių suma yra pastovus dydis: ten, kur tėkmės greitis didesnis,

slėgis mažesnis, ir atvirkščiai. Tai pritaikoma čiurkšliniuose siurbliuose, purkštuvuose, dujų

maišytuvuose ir kt.

___________________________________________________________________________

Priešgaisrinės žarnos skersmuo 6,4 cm, vandens slėgis 3,5⋅10 N/m2, o vandens tėkmės

greitis 4 m/s. Gesinimo žarnos antgalio skersmuo 2,5 cm. Koks vandens švirkštimo per antgalį

greitis ir koks slėgis jame?

Vandens švirkštimo per antgalį greitį galima išreikšti iš tolydumomo lygties

1122 SS vv = ,

sm,vv 2262112 == SS .

Horizontaliai žarnai rašome Bernulio lygtį, iš kurios rasime slėgį p2:

22 22

2112 vv ρ−ρ+= pp .

Atimame atmosferos slėgį

22 22

2112 vv ρ−ρ+−=− atat pppp .

Pagal sąlygą 251 mN1053 ⋅=− ,pp at , taigi 24

2 mN1041 ⋅=− ,pp at .

___________________________________________________________________________


95

Naudodami Bernulio lygtį galime rasti iš indo per skylutę ištekančio skysčio greitį (6.10

pav.). Ištekant skysčiui, jis teka visame inde. Tekančiame skystyje išskiriame „srovės

vamzdelį” (jis pavaizduotas punktyrine linija). Skysčio paviršiuje visų dalelių greičiai v0

vienodi ir nukreipti žemyn. Išoriniai slėgiai, veikiantys laisvą paviršių ir ištekantį skystį

kiaurymėje, yra vienodi ir lygūs p0.

h0

h

p0

v0

v

6.10 pav. Iš plataus indo išteka skystis per mažą kiaurymę

Kiaurymės skersmuo yra mažas palygus su indo skersmeniu ir aukščiu. Slėgis

kiaurymėje visame jos plote yra vienodas, tad ir skysčio greičiai vr kiaurymėje yra vienodi.

Rašome Bernulio lygtį „srovės vamzdeliui” kiaurymėje ir prie skysčio laisvojo paviršiaus:

00

20

0

2

22pghpgh +ρ+

ρ=+ρ+

ρ vv .

Kadangi , tai tėkmės per skylutę greitis vv <<0

( )hhg −= 02v . (6.18)

Tai Toričelio formulė. Taigi per mažą skylutę ištekančio skysčio greitis lygus iš (h0 – h)

aukščio laisvai krentančio kūno greičiui. Ištekėjimo greitis visiškai nepriklauso nuo krypties.

Iš to seka, kad skysčio čiurkšlę nukreipus mažu kampu aukštyn, ji pakils iki skysčio

paviršiaus lygio (6.11 pav.). Tai suprantama: kai skystyje nėra trinties, ištekančio skysčio

kinetinė energija virsta tokio pat dydžio potencine energija, t.y. pakyla į tą patį aukštį, iš kurio

skystis leidžiasi žemyn.


96

6.11 pav. Vandens ištekėjimas iš indo: a) vertikaliai aukštyn nukreipta iš indo ištekančio vandens čiurkšlė nepakils iki skysčio laisvojo paviršiaus lygio, nes jai trukdys krintantis žemyn skystis; b) mažu kampu su vertikale nukreipta čiurkšlė pakils arti laisvojo skysčio paviršiaus lygio

Toričelio formulę galima patikrinti stebint dviejų čiurkšlių susikirtimą, joms ištekant per

skirtinguose aukščiuose esančias mažas skylutes (6.12 pav.).

6.12 pav. Iš indo per dvi kiaurymes ištekančio skysčio čiurkšlės kertasi taške A

6.13 pav. Vamzdelio susiaurėjimo vietoje manometras rodo mažesnį statinį slėgį

Iš viršutinės ir apatinės kiaurymių ištekančio skysčio greičiai:

ga21 =v ir ( )212 2 yyag −+=v . (6.19)

Čiurkšlių kritimo laikai iki susikirtimo:

( ) gyyt 311 2 −= ir ( ) gyyt 322 2 −= . (6.20)

Susikirtimo taške galioja lygybė (čiurkšlių lėkimo nuotoliai vienodi):


97

2211 tt vv = . (6.21)

Iš (6.19), (6. 20), ir (6. 21) gauname, kad

ayy =− 32 . (6.22)

Vadinasi, vandens čiurkšlės susikirs taške, esančiame žemiau apatinės kiaurymės tokiu

atstumu a, kuris lygus atstumui tarp skysčio paviršiaus ir viršutinės kiaurymės.

Kai horizontalusis vamzdelis yra skirtingo skersmens su vertikaliomis slėgio matavimo

atšakomis (6.13 pav.), tai iš Bernulio ir tėkmės tolydumo lygčių lengvai apskaičiuojame

skysčio masės išeigą:

( )212

122

122SS

SSpp

m−

−ρ= . (6.23)

Masės išeigos priklausomybė nuo slėgių skirtumo leidžia nustatyti vamzdžio

skerspjūviu pratekėjusio skysčio kiekį per laiko vienetą.

Paminėsime dar vieną labai svarbią ir dažnai praktikoje taikomą Bernulio lygties išvadą.

6.14 paveiksle, a parodytas nejudantį rutuliuką aptekančio skysčio greičio vektorių laukas.

Matome, kad jis yra simetriškas abipus rutuliuko.

6.14 pav. Rutuliukas dalelių sraute: a) rimtyje esantį rutuliuką aptekančio srauto dalelių greičių vektorinis laukas; b) rutuliukas sukasi kampiniu greičiu ω pagal laikrodžio rodyklę; taškų 1 ir 2 greičiai yra Rvr ir – Rvr ; c) besisukantį rutuliuką aptekančio srauto dalelių greičių vektorinis laukas


98

6.14 paveiksle, b pavaizduotas kampiniu greičiu ω besisukantis rutuliukas. Taškuose 1 ir

2 greičio vektoriai , bet priešingų krypčių. 6.14 paveiksle, c parodytas greičio vektorių

laukas, kai besisukantį rutuliuką apteka skysčio arba dujų srautas: abipus rutuliuko greičio

vektorių laukai nėra simetriški. Kadangi virš rutuliuko ribinio sluoksnio greitis yra didesnis

negu apatinio ribinio sluoksnio, tai viršuje slėgis yra mažesnis. Todėl susidariusi slėgio

atstojamoji jėga yra nukreipta į viršų, statmenai nesutrikdyto skysčio srautui. Tai yra taip

vadinamas Magnuso reiškinys. Dėl šio efekto atsiradusios jėgos kryptis priklauso nuo greičių

skirtumo ir rutuliuko sukimosi krypties.

Rvr

6.15 paveiksle pavaizduotas greičio vektorių laukas, kuris susidaro aptekant atitinkamos

formos lėktuvo sparną. Viršutinėje sparno dalyje linijų tankis yra didesnis, o tai reiškia, kad

aptekančio srauto dalelių greitis yra didesnis, o statinis slėgis yra mažesnis. Apatinėje sparno

dalyje slėgis yra didesnis ir dėl šios priežasties atstojamoji jėga Fr

yra nukreipta aukštyn. Ji

priklauso nuo sparną aptekančio srauto greičio. Keliamoji jėga, susidariusi dėl skirtingų

aptekėjimo greičių, nėra vienintelė. Kita keliamosios jėgos dalis susidaro dėl sparno atakos

kampo atžvilgiu aptekančio srauto. Keičiant atakos kampą, galima keisti lėktuvo keliamąją

galią. Tai sudaro galimybę valdyti lėktuvą.

Įvairiomis kryptimis ir skirtingais greičiais pasukant smūgio metu futbolo kamuolį ar

teniso kamuoliuką, galima gauti sudėtingą judėjimo trajektoriją. Panaudojant Magnuso efektą,

galima įmušti kamuolį į vartus, smūgiuojant iš aikštelės kampo, kaip parodyta 6.16 paveiksle.

6.15 pav. Lėktuvo sparnui judant ore, susidaro keliamoji jėga F

r

6.16 pav. Skriejančio kamuolio trajektorija gali būti sudėtinga. Taip, mušant kampinį, galima įmušti įvartį, nors vartai stovi išilgai galinės aikštelės linijos


99

Šaunant iš medžioklinio šautuvo apvalių rutulėlių formos kulkos vamzdyje pasiskirsto

atsitiktinai ir, šliauždamos vamzdžio sienele, įgauna skirtingų krypčių sukamąjį judesį. Ore

dėl Magnuso reiškinio jos yra plačiai išsklaidomos.

6.4. Tekančio skysčio judesio kiekis ir reakcijos jėga

Sudėtingam skysčių tekėjimui nagrinėti galima naudotis judesio kiekio kitimo dėsniu.

Šiam tikslui tekančiame skystyje išskiriama tam tikra erdvės dalis. Per išskirtą tūrį

pratekančiam skysčiui taikomas judesio kiekio kitimo dėsnis. Stacionariam tekėjimui jis

formuluojamas taip: išorinių jėgų, veikiančių tekančio skysčio daleles išskirtame tūryje, suma

yra lygi tame tūryje esančio skysčio judesio kiekio kitimo greičiui. Trumpiau tariant, tai yra II

Niutono dėsnis tekančiam skysčiui. Išorinės jėgos, veikiančios daleles, dažniausiai yra traukos

jėgos Žemės gravitaciniame lauke ir išskirto tūrio paviršių veikiančios slėgio jėgos.

Stacionaraus tekėjimo atveju į paimtą tūrį įtekančio ir iš jo ištekančio skysčio kiekiai yra

vienodi.

Tūrio paviršiuje išskiriame mažus paviršiaus elementus dS ir dS1, kuriuose tekančio

skysčio greičiai būtų pasiskirstę tolygiai (6.17 pav.). Pagal išskirtų paviršiaus elementų

normalių , nr 1nr ir greičio vektorių ir vr 1vr orientaciją suprantame, kad įtekančio į tūrį skysčio

srautas bus neigiamas, o ištekančio – teigiamas. Skysčio srautas yra skysčio kiekis,

pratekantis per paviršiaus ploto elementą per laiko vienetą. Tai yra skaliarinis dydis, lygus

( ) ( ) αρ=ρ cosdSndS vv rr, (6.24)

čia dS – paviršiaus ploto elementas, ρ – skysčio tankis, vr – dalelių greičio vektorius, nr –

paviršiaus ploto elemento dS normalė. (6.24) išraišką daugindami iš v , gausime iš tūrio

ištekančio skysčio judesio kiekį:

r

αρ= cosdSpd vv rr .

Taip pat galima užrašyti ir į tūrį įtekančio skysčio impulsą 1pdr :

11 αρ= cosdSpd 11 vv rr .

Pagal visą paviršių integruodami įtekančio ir ištekančio skysčio judesio kiekius,

gausime suminį judesio kiekio pokytį per vieną sekundę, ir tai bus visas daleles išskirtame

tūryje veikiančių jėgų suma.


100

R1

6.17 pav. Tekančio skysčio sraute išskirtas tūrio elementas

6.18 pav. Vienodo skerspjūvio čiaupas, kuriuo tekantis skystis keičia kryptį kampu π/2

Impulsas yra vektorinis dydis. Kai į tūrio elementą įtekančio ir ištekančio skysčio

impulsai yra skirtingų krypčių, tai reiškia, kad impulsas kinta ir jo kitimas sukelia reakcijos

jėgą. Taip, leidžiant vandenį į suraitytą laistymo žarną, ji išsitiesina. Tai nutinka dėl reakcijos

jėgų. Mus domina, nuo ko priklauso reakcijos jėgos dydis. Raskime skysčio reakciją į čiaupą

(6.18 pav.). Punktyrine linija išskirtas skysčio tūris. Čiaupo skerspjūvis visur vienodas ir jo

plotas lygus S, todėl ir skysčio greičio modulis v visame čiaupo ilgyje yra vienodas. Per

skerspjūvį S į čiaupą įtekančio skysčio per vieną sekundę judesio kiekis:

vv AA Sp rrρ= . (6.25)

Per sekundę iš čiaupo ištekančio skysčio judesio kiekio vektoriaus kryptis sutampa su Bvr

kryptimi ir yra statmenas Apr (6.18 pav.). Iš piešinio

AB ppF rrr−= ,

arba skaliariškai 222 vSpF ρ== . (6.26)

Pagal III Niutono dėsnį į čiaupą veikianti reakcijos jėga Rr

bus priešingos krypties ir eis per

judesio kiekių krypties linijų susikirtimo tašką O.

Fr

6.19 paveiksle pavaizduotas uždaras pripiltas skysčio indas. Skystis iš jo teka per

kiaurymę indo šone. Atstumas nuo kiaurymės iki skysčio paviršiaus h. Kai indas platus, o

anga maža, pagal Bernulio lygtį skysčio tėkmės per kiaurymę greitis

( ) ρρ+= ghp02v . (6.27)


101

6.19 pav. Ištekant skysčiui atsiranda reakcijos jėga Rr

Kai angos skerspjūvio plotas S0, tai per sekundę ištekančio skysčio judesio kiekio

pokytis: 2

0 vSp ρ=∆ , (6.28)

čia ρ – skysčio tankis. Kaip žinome, pF rr∆= per sekundę, o skysčio reakcija į indą bus R

r,

kuri skaitine verte lygi , tik priešingos krypties. Jėga Fr

Rr

veiks indą, stovintį ant ritinėlių,

todėl indas judės priešinga skysčio tekėjimui kryptimi ir atliks darbą, deformuodamas tarp

indo ir atramos esančią spyruoklę. Ši jėga vadinama reaktyviąja jėga.

6.5. Skysčio vidinė trintis

Realiuose skysčiuose kartu su normalinio slėgio jėgomis veikia gretimų skysčio

sluoksnių tangentinės vidinės trinties jėgos. Šiuo teiginiu galima įsitikinti stebint skysčio

tekėjimą vamzdžiu, kuriame yra manometriniai vamzdeliai (6.20 pav.).

Rašydami Bernulio lygtį darėme prielaidą, kad skystis yra nespūdus ir neklampus, t.y.

teka be trinties. Šiuo atveju slėgis vienodo skersmens vamzdyje turėtų būti vienodas.

Praktiškai (6.20 pav.) slėgis vamzdyje mažėja skysčio tekėjimo kryptimi. Stacionariam

skysčio tekėjimui vamzdžio galuose reikia palaikyti pastovų slėgių skirtumą, kuris

kompensuotų vidinės trinties jėgas tekančiame skystyje. Kitas pavyzdys gali būti skystis

besisukančiame cilindriniame inde. Kai indas su skysčiu nesisuka, jo laisvasis paviršius yra

plokščias. Sukant apie indo simetrijos ašį, paviršius įgyja sukimosi paraboloido formą (6.21

pav.).


102

6.20 pav. Dėl vidinės trinties tekančiame skystyje slėgis tekėjimo kryptimi mažėja

6.21 pav. Skysčio laisvasis paviršius besisukančiame inde yra sukimosi paraboloidas

Pradėjus indą sukti, pradeda suktis skysčio sluoksniai, esantys prie indo sienelių. Dėl

vidinės trinties sukamasis judesys persiduoda vidiniams skysčio sluoksniams ir galiausiai

visas skystis pradeda suktis taip, kaip sukasi kietasis kūnas. Galima įrodyti, kad skysčio

pakilimo aukštis besisukančiame inde:

grh

2

22ω= , (6.29)

čia ω – kampinis sukimosi dažnis, r – paviršiaus taško atstumas iki sukimosi ašies. (6.29)

priklausomybė yra parabolinė, o sukimosi paviršius – paraboloidas. Kiekybinę vidinės trinties

išraišką galima gauti iš paprasto eksperimento (6.22 pav.).

6.22 pav. Plokštelės AB judėjimas dėl trinties persiduoda plokštelei CD

Tegu turime dvi plokšteles AB ir CD, kurių plotas S, o atstumas tarp plokštelių d.

Plokštelės AB greitis bus pastovus, kai ją veiks apibrėžto dydžio jėga Fr

. Plokštelę CD, kad ji

išsilaikytų rimtyje, reikia veikti priešingos krypties jėga Fr

. Plokštelė AB judės tolygiai, kai


103

jėgą kompensuos skysčio trinties jėga, veikianti priešinga Fr

0vr kryptimi. Eksperimentiškai

šią jėgą nustatė Niutonas:

dSF 0vη= , (6.30)

čia η – vidinės trinties arba dinaminės klampos koeficientas. Iš (6.30) lygties galima nusakyti

η fizikinę prasmę: dinaminės klampos koeficientas skaitine verte lygus vidinės trinties jėgai

tarp skysčio sluoksnių, kurių lietimosi plotas lygus vienam kvadratiniam metrui, o jų greičio

gradientas lygus sekundei minus pirmuoju, t.y. η = F, kai S = 1 m2, v0/d = 1 s-1. Jis priklauso

tiktai nuo skysčio savybių ir nuo jo temperatūros. Jo matavimo vienetas yra paskalsekundė

(Pa⋅s). Tyrimai parodė, kad skystis prilimpa prie kietojo kūno paviršiaus, kurio atžvilgiu jis

juda. Iš čia seka, kad trintis pasireiškia ne tarp skysčio ir indo sienelės, bet tarp skysčio

dalelių, nes artimiausias plokštelei skysčio sluoksnis juda kartu su plokštele. Dydis d0v

vadinamas greičio gradientu.

Skysčių (pvz., vandens) tekėjimą galime stebėti kanaluose, grioviuose. Praktiniams

poreikiams vartojami skysčiai dažniausiai teka uždarais indais – vamzdžiais. Kai vamzdžiu

tekančiame skystyje trinties jėga nėra didelė, tai jo tekėjimas yra laminarinis. Esant

nedideliam tėkmės greičiui, trinties jėgos labiau išreikštos prie vamzdžio sienelių. Tolimesni

nuo sienelių skysčio sluoksniai teka vienodu greičiu ir greičio vektorių frontas yra plokščias

(6.23 pav., a). Padidinus tekėjimo greitį, trinties jėgos pasireiškia visame vamzdžio

skerspjūvyje ir greičio vektorių frontas įgauna paraboloido formą. Ašiniame vamzdžio

pjūvyje frontas yra parabolė (6.23 pav., b).

vm

6.23 pav. Lėtai tekančio skysčio dalelių greičio vektorių frontas yra plokščias (a); greičiui padidėjus,

frontas yra sukimosi paraboloido formos (b)

Eksperimentiškai skysčių tekėjimą vamzdžiais ir jo dėsningumus nepriklausomai vienas

nuo kito nustatė 1839 m. Gagenas ir 1940 m. Ž. Puazeilis. Skysčio tėkmės greitis vamzdyje

išreiškiamas tokia lygtimi:


104

( 2221

4rR

lpp

−η

−=v ) . (6.31)

čia (p1 – p2) – slėgių skirtumas vamzdžio galuose, l – vamzdžio ilgis, R – vamzdžio spindulys,

r – atstumas nuo vamzdžio ašies.

Taigi maksimalus skysčio tėkmės greitis yra vamzdžio simetrijos ašyje (r = 0):

221

4R

lpp

m η

−=v . (6.32)

Per vamzdžio skerspjūvio plotą per vieną sekundę pratekėjusio skysčio kiekis (debitas)

421

128d

lpp

Q πη

−= , (6.33)

čia d – vamzdžio skersmuo. (6.33) išraiška yra vadinama Puazeilio formule. Ji teisinga tiktai

skysčio laminarinio tekėjimo atveju. Greitai tekančiame skystyje dėl didelių trinties jėgų

atsiranda sūkuriai. Tokį tekėjimą vadiname turbulentiniu. Apskritai skysčio tekėjimo pobūdį

nusako bedimensinis dydis vadinamas Reinoldso skaičiumi:

ηρ= vlRe , (6.34)

čia v – vidutinis tėkmės greitis, l – vamzdžio ar rutuliuko skersmuo. Šis skaičius apibūdina

skysčio kinetinės energijos santykį su šios energijos nuostoliais darbui prieš trinties jėgas. Kol

Re mažesnis už Rekriz (krizinę vertę), tol tėkmė yra laminarinė. Krizinė Re vertė priklauso nuo,

pvz., vamzdžio formos, jo spindulio, sienelių šiurkštumo, skysčio savybių. Apvalių vamzdžių

atveju (l → r) Re ≈ 1100, rutuliukui Re = 0,5.

Reinoldso skaičius yra labai svarbus parametras ne tik skysčio tekėjimui

charakterizuoti, bet ir pasipriešinimo jėgoms nusakyti, kai skystis apteka įvairių formų kūnus

(6.24 pav.).

6.24 pav. Laminarinis (a) ir turbulentinis (b) tekėjimas


105

Pasipriešinimo jėga priklauso nuo kūno formos, matmenų, srauto greičio ir jo fizinių

savybių. Kol tėkmės greitis mažas, t.y. kol Re < Rekriz, pasipriešinimo jėga yra Stokso jėga,

proporcinga sandaugai ηlv. Rutuliuko atveju

. (6.35) vrFst πη= 6

Išmatavus krintančio rutuliuko nuostovųjį greitį v∞, galima nustatyti aplinkos dinaminės

klampos koeficientą η:

2

92 rg aplrut

∞

ρ−ρ=η

v , (6.36)

čia r – rutuliuko spindulys.

Kai Re > Rekriz, atsiranda papildoma priekinio pasipriešinimo jėga – slėgių skirtumo

jėga, nes slėgis sūkurių srityje mažesnis už slėgį nesutrikdytame sraute;

2

2 SCR xxvρ

= , (6.37)

čia Cx – pasipriešinimo koeficientas, priklausantis nuo Reinoldso skaičiaus, kūno formos ir jo

orientacijos sraute.

Pateikiame lentelę, kurioje parodyta kūno forma, aptekėjimo kryptis, priekinio

pasipriešinimo koeficiento Cx ir Reinoldso skaičiaus vertės. Kūnų skerspjūvio plotai yra

vienodi.

Lentelė. Priekinio pasipriešinimo koeficiento vertės, atitinkančios nurodytas Reinoldso

skaičiaus vertes

Kūno forma ir aptekėjimo kryptis Cx Rekriz

diskas 1,11 0-5⋅106

pusė sferos 1,35-1,40 0-5⋅106

pusė sferos 0,30-0,40 0-5⋅106

rutulys 0,4 2⋅103-2,5⋅105

„lašo“ formos kūnas 0,045 1,5⋅105-6⋅106

„lašo“ formos kūnas 0,1 1,5⋅105-6⋅106

Pastaba: koeficiento Cx vertės priklauso ir nuo srauto ar kūno greičio.


106

6.6. Skysčio paviršiaus įtempis. Kapiliarumas. Papildomas slėgis po kreivu paviršiumi

Vidutinis atstumas tarp skysčio molekulių yra daug mažesnis negu tarp dujų molekulių.

Skysčio viduje esančias molekules veikia jėgos iš visų pusių, todėl jos kompensuoja viena

kitą. Skysčio paviršiuje esančias molekules veikia nekompensuotos sąveikos jėgos, ir jos yra

nukreiptos į skysčio vidų. Dėl nekompensuotų jėgų veikimo paviršinės molekulės turi

padidintą potencinės energijos kiekį. Visos sistemos stengiasi užimti būseną su mažiausia

potencine energija. Skysčio paviršius yra panašus į įtemptą plėvelę, kuri stengiasi susitraukti.

Paviršiuje veikia įtempio jėgos liestinės kryptimi. Kai uždarame kontūre sudarome plėvelę, tai

jos paviršiaus skiriamojoje riboje veikia plėvelės įtempio jėga

lf α= 2 , (6.38)

proporcinga skiriamosios ribos ilgiui l (perimetrui). Koeficientas 2 rašomas dėl to, kad

ploniausią plėvelę sudaro du monomolekuliniai sluoksniai. Proporcingumo koeficientas α yra

skysčio paviršiaus įtempio koeficientas. Paviršiaus įtempio koeficiento skaitinė vertė lygi

jėgai, veikiančiai skysčio paviršių ribojančio kontūro ilgio vienetą arba paviršiaus įtempio

koeficiento skaitinė vertė lygi laisvajai energijai paviršiaus, kurio plotas lygus vienetui.

Įrodoma, kad paviršiaus laisvoji energija yra lygi išorinių jėgų darbui, atliktam sistemos

atžvilgiu, vykstant grįžtamajam izoterminiam procesui. Ji proporcinga skysčio paviršiaus

plotui:

W = αS . (6.39)

Visų vienodo tūrio kūnų mažiausias paviršius yra sferos ar rutulio. Vadinasi, tokia

forma atitinka ir stabiliausią būseną (energija minimali). Todėl lašeliai nesvarumo būsenoje

yra rutuliukų formos.

___________________________________________________________________________

Medinis tašelis, kurio masė 1 g, o ilgis 4 cm, plūduriuoja vandens paviršiuje. Vienoje

tašelio pusėje atsargiai įpilame muilo tirpalo. Kokiu pagreičiu judės tašelis? Vandens

pasipriešinimo nepaisyti.

l = 4⋅10-2 m,

m = 1⋅10-3 kg,

α1 = 7,4⋅10-2 J/ m2,

α2 = 4,0⋅10-2 J/ m2

a – ?

S p r e n d i m a s . Tašelį iš abiejų pusių veikia paviršiaus

įtempio jėgos F1 ir F2. Rašome II Niutono dėsnį:

maFF =− 21 .

Iš čia tašelio pagreitis


107

( ) mFFa 21 −= ,

čia ir lF 11 α= lF 22 α= , α1 ir α2 – vandens ir muilo

tirpalo paviršiaus įtempio koeficientai.

Taigi

( ) 223

222sm361sm

1010041047104 ,,,a =⋅−⋅⋅

=−

−−−

.

Tašelis judės į dešinę (vandens paviršiumi (6.25 pav.)).

muilotirpalas H2O


___________________________________________________________________________

Keletas r = 1 µm spindulio vandens lašelių susilieja į vieną lašą, kurio spindulys R = 1

mm. Kiek laipsnių pakis lašo temperatūra? Šilumos mainų su aplinka nepaisyti.

r = 1⋅10-6 m,

R = 1⋅10-3 m,

α = 7,4⋅10-2 J/ m2,

ρ = 1⋅103 kg/m3,

c = 4,19⋅103 J/(kg⋅K)

∆t – ?

S p r e n d i m a s . Skysčio paviršiaus laisvoji energija tiesiai

proporcinga paviršiaus plotui, t.y.

SW ⋅α= , (1)

čia α – paviršiaus įtempio koeficientas.

Susiliejant lašeliams, skysčio paviršiaus plotas, o kartu ir

energija, sumažėja. Išsilaisvinusi paviršiaus energija virsta

skysčio vidine energija. Mažų lašelių paviršiaus plotas

nrS 24π= , (2)

čia n – lašelių skaičius.

Lašo paviršiaus plotas . Tuomet paviršiaus energijos pokytis 20 4 RS π=

( ) ( 220 4 RnrSSW −πα=−α=∆ ) . (3)

Kadangi lašeliams susiliejant skysčio tūris nekinta, tai

3434 33 Rnr π=π arba 33 rRn = . (4)

Tuomet

( ) ( )144 22332 −πα=−πα=∆ rRRRrRrW . (5)

Ši energija virsta vidine skysčio energija. Šiluma:

34 3 tcRtmcQ ∆ρπ=∆=∆ , (6)

čia ρ – skysčio tankis, c – skysčio savitoji šiluma, ∆t – lašo temperatūros pokytis.

Iš (5) su (6) lygčių gauname:

( ) 3414 32 tcRrRR ∆ρπ=−πα . (7)

Iš čia lašo temperatūros pokytis


108

( ) C052013°=

ρ−α

=∆ ,cRrRt .

Vadinasi, lašas sušilo.

___________________________________________________________________________

Prie skysčio paviršinių reiškinių priskiriami drėkinimas, kapiliarumas, adsorbcija ir kt.

Iš patirties žinome, kad skysčio laisvasis paviršius prie indo sienelės yra iškreivintas.

Iškreivintoji laisvojo paviršiaus dalis yra vadinama menisku. Plačiuose induose iškreivinti

paviršiai yra tiktai prie indo sienelės, tai yra toje vietoje, kur skysčio molekulės sąveikauja su

indo sienele. Menisko susidarymą sąlygoja molekulių sąveikos jėgų atstojamoji jėga Fr

.

Pažymėkime molekulę A veikiančių gretimų skysčio molekulių atstojamąja jėgą , sienelės

gretimų molekulių atstojamąją jėgą

1Fr

2Fr

(6.26 pav., a).

6.26 pav. Skysčio laisvojo paviršiaus ir indo sienelės ribos skirtingi atvejai

Taigi skysčio paviršiuje esančią molekulę A veikia atstojamoji jėga . Ji visuomet yra

statmena skysčio paviršiui (6.26 pav., a atstojamoji jėga

Fr

Fr

lygiagreti indo sienelei). Paviršius

prie sienelės yra plokščias. Kai jėga 2Fr

didesnė už jėgą 1Fr

, jų atstojamoji nukreipta

skysčio išorėn ir yra statmena jo paviršiui (6.26 pav., b). Dėl to susidaro įgaubtas paviršius.

Jeigu jėga mažesnė už , atstojamoji

Fr

2Fr

1Fr

Fr

nukreipta skysčio link ir yra statmena jo

paviršiui (6.26 pav., c). Susidaro išgaubtas paviršius.

Skysčio paviršiaus energija priklauso ne tik nuo skysčio prigimties, bet ir nuo tos

aplinkos, su kuria skystis ribojasi. Taške B ribojasi trys aplinkos: kietas kūnas (indo sienelė),

skystis ir dujinė aplinka (6.26 pav., b, c). 6.27 paveiksle, a ir b parodytas skysčio lašas ant


109

kieto kūno paviršiaus: a – skystis drėkina kieto kūno paviršių, b – skystis kieto kūno

paviršiaus nedrėkina.

6.27 pav. Skysčio lašas ant kieto kūno paviršiaus: a) drėkina paviršių; b) nedrėkina paviršiaus

Pusiausvyra (taškas B nejudės) bus tuomet, kuomet jėgų atstojamoji lygi nuliui:

ϑα∆+α∆=α∆ coslll SDKSKD , (6.40)

čia ∆l – yra skiriamosios ribos elementas, ϑ – drėkinimo kampas. Iš (6.40) gauname, kad

( ) SDKSKDcos αα−α=ϑ .

Iš čia

1≤αα−α SDKSKD . (6.41)

Kai SDKSKD α+α>α , lašas pasklis kieto kūno paviršiuje. Šis reiškinys vadinamas

visišku drėkinimu, o drėkinimo kampas ϑ praktiškai bus lygus nuliui.

Kai SDKDKS α+α>α , paviršius, kuriuo skystis ribojasi su kietu kūnu, trauksis į tašką ir

todėl lašas atsiskiria nuo kieto kūno. Šis reiškinys vadinamas visišku nedrėkinimu, o

drėkinimo kampas ϑ praktiškai lygus π (6.27 pav., b).

Įgaubti arba išgaubti meniskai dėl drėkinimo arba nedrėkinimo reiškinių susidaro ir

siauruose induose 6.28 pav., a, b.

Po įgaubtu menisku (6.28 pav., a) dėl paviršiaus įtempio susidaro papildomas slėgis ∆p

< 0, ir skystis siaurame inde pakyla į aukštį h. Šis papildomas slėgis po kreivu paviršiumi

išreiškiamas Laplaso formule:

( 21 11 RRp +α=∆ ) , (6.42)

čia α – skysčio paviršiaus įtempio koeficientas, R1 ir R2 – paviršiaus elemento kreivumo

spinduliai dviem tarpusavyje statmenomis kryptimis (6.28 pav.).

Po išgaubtu paviršiumi (6.28 pav., b) papildomas slėgis ∆p > 0, ir skystis nusileidžia

žemyn dydžiu h.


110

6.28 pav. Meniskai kapiliaruose drėkinančio (a) ir nedrėkinančio (b) skysčio atveju

Kai siauras indas yra vamzdelio tipo, tai RRR == 21 . Tuomet iš Laplaso formulės

gauname, kad

Rp α=∆ 2 . (6.43)

Papildomą slėgį atsveria skysčio stulpelio slėgis:

Rgh α=ρ 2 .

Menisko kreivumo spindulį R galime išreikšti vamzdelio spinduliu r (6.28 pav., a):

ϑ= cosrR . Iš čia skysčio stulpelio aukštis

grcoshρ

ϑα=

2 . (6.44)

Taigi aukštis h priklauso nuo paviršiaus įtempio koeficiento α, drėkinimo kampo ϑ, skysčio

tankio ρ ir vamzdelio spindulio r. Siauri vamzdeliai vadinami kapiliarais, o skysčio pakilimo

arba nusileidimo reiškinys – kapiliarumu.

___________________________________________________________________________

U formos skirtingų skersmenų vamzdelyje drėkinančio skysčio stulpelių aukščių

skirtumas h = 23 mm (6.29 pav.). Vamzdelių skersmenys 2 ir 0,4 mm. Skysčio tankis ρ = 0,8

g/cm3. Raskime skysčio paviršiaus įtempio koeficientą.


111

h = 23⋅10-3 m,

D1 = 2⋅10-3 m,

D2 = 0,4⋅10-3 m,

ρ = 800 kg/m3,

g = 9,81 m/s2

α – ?

Sp r e nd i ma s . Pusiausvyra yra tuomet, kai skirtingose

pusėse slėgis linijoje 1-2 yra vienodi:

21 pp = , (1)

čia 101 α−= ppp , hpppp +−= α202 , (2)

p0 – atmosferos slėgis, ir – papildomas slėgis po

iškreivintais paviršiais vamzdeliuose dėl skysčio drėkinimo

reiškinio, p

1αp

2αp

h – vandens stulpelio h slėgis.


Slėgiai 11

421 Dr

p α=

α=α ,

22

422 Dr

p α=

α=α . (3)

Taigi ghD

pD

p ρ+α

−=α

−2

01

044 . (4)

Iš čia paviršiaus įtempio koeficientas

mN2

21

21 102524

−⋅=ρ

=α ,DDDghD

.

Hidraulinio preso mažojo cilindro stūmoklį veikia 196 N jėga. Dėl to stūmoklis

nusileidžia 25 cm, o didžiojo cilindro stūmoklis pakyla 5 mm. Kokio didumo jėga veikia didijį

stūmoklį?

F1 = 196 N,

h1 = 25⋅10-2 m,

h2 = 5⋅10-2 m

F2 – ?

Sp r e n d i ma s . Pagal Paskalio dėsnį slėgiai

abiejuose cilindruose vienodi:

21 pp = arba 2211 SFSF = . (1)

Iš čia ieškomas dydis


11

22 F

SSF = . (2)

Kadangi skystis nespūdus, tai

21 VV = arba 2211 hShS = .

Iš čia

2112 hhSS = . (3)

Iš (2) ir (3) išraiškų gauname

N 98012

12 == F

hhF .


112

___________________________________________________________________________

Į cilindro formos indą įpiltos vienodos vandens ir gyvsidabrio masės. Bendras abiejų

skysčių sluoksnių aukštis 29,2 cm (6.31 pav.). Raskime skysčių slėgį į indo dugną.

ρ1 = 1⋅103 kg/m3,

ρ2 = 13,6⋅103 kg/m3,

g = 9,81 m/ s2,

h = 0,292 m

p – ?

S p r e n d i m a s . Slėgį į indo dugną sukelia abiejų skysčių sluoksniai:

21 ppp += , (1) Tačiau slėgius p1 ir p2 galime išreikšti per atitinkamo stulpelio

aukštį ir tankį:

( )22112211 ρ+ρ=ρ+ρ= hhgghghp (2)


Kadangi vandens ir gyvsidabrio stulpelių masės vienodos, tai

ShSh 2211 ρ=ρ arba 2211 hh ρ=ρ . (3)

Be to

21 hhh += . (4)

Iš (3) ir (4) lygybių

( )2121 ρ+ρρ= hh , ( )2112 ρ+ρρ= hh . (5)

(5) išraiškas įrašome į (2):

kPa352

21

21

21

21

21

21 ,ghhhgp =ρ+ρ

ρρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ+ρ

ρρ+

ρ+ρρρ

= .

Du muilo tirpalo burbulai išpūsti vieno vamzdelio galuose. Burbulų spinduliai r1 = 10

cm ir r2 = 5 cm. Koks slėgių skirtumas burbulų viduje? Kas nutiks, kai burbulus sujungsime

vamzdeliu?

r1 = 0,1 m,

r2 = 5⋅10-2 m,

α = 4,0⋅10-2 N/m

∆p – ?

S p r e n d i m a s . Slėgis burbulo viduje

α+= ppp 0 , (1)

čia p0 – atmosferos slėgis, pα – papildomas slėgis po kreivu

muilo tirpalo paviršiumi.

Papildomas slėgis rp α=α 4 , (2)

čia α – muilo plėvelės paviršiaus įtempio koeficientas, r – burbulo spindulys.

Taigi

rpp α+= 40 . (3)


113

Slėgių skirtumas

( )Pa,61

4

21

2112 =

−α=−=∆

rrrr

ppp .

Mažesniojo burbulo viduje slėgis yra didesnis. Todėl juos sujungus, vamzdeliu iš

mažesniojo oras pereis į didesnįjį. Mažasis burbulas išnyks, o didesnis padidės mažesniojo

burbulo tūriu.

114

7

SPECIALIOJI RELIATYVUMO TEORIJA

Klasikinėje mechanikoje erdvė ir laikas traktuojami kaip absoliutūs dydžiai,

nepriklausantys vienas nuo kito ir jų savybės nekinta, pereinant iš vienos sistemos į kitą.

Kūno masė ir pagreitis yra invariantiniai dydžiai visų inercinių sistemų atžvilgiu

nepriklausomai nuo jų judėjimo greičio. Iš masės ir pagreičio invariantiškumo galima daryti

išvadą, kad įvairiose inercinėse sistemose kūną veikia tokio pat dydžio jėga. Kadangi jėga yra

daugumos mechaninių reiškinių pasekmė, tai galima teigti, kad, pereinant iš vienos inercinės

sistemos į kitą, mechaniniai reiškiniai ir juos aprašančios lygtys nekinta. Lygtys, kurių

pavidalas nekinta, pereinant iš vienos inercinės sistemos į kitą, vadinamos transformacijų

invariantais. Sukūrus elektromagnetinio lauko teoriją ir išmatavus šviesos greitį, paaiškėjo,

kad Maksvelio elektrodinamikos lygtys nėra invariantinės Galilėjaus transformacijų atžvilgiu.

Elektrodinamikos reiškinių neatitikimo reliatyvumo principui priežastis ėmėsi aiškinti A.

Einšteinas ir 1905 m. paskelbė specialiąją reliatyvumo teoriją.

7.1. Specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai

Prieš daug šimtmečių jau buvo manoma, kad

šviesa sklinda baigtiniu greičiu. Pirmasis šviesos greitį

eksperimentiškai 1676 m. nustatė olandų fizikas

Riomeris. Jis šviesos greitį išmatavo, stebėdamas

Jupiterio didžiausio palydovo Io užtemimus ir gavo, kad

c = 214300 km/s. Pirmą kartą laboratoriniu būdu 1849

m. šviesos greitį išmatavo Fizo. Jis gavo c = (315300 ±

500) km/s. Vietoje Fizo matavimo būdo Fuko 1850 m.

panaudojo besisukantį veidrodį ir gavo, kad c = (298000

± 500) km/s. 1881 m. amerikiečių eksperimentatoriai

Maikelsonas ir Morlis panaudojo optinį interferometrą ir

Albertas Abrahamas Maikelsonas

(1852-1931) Amerikiečių fizikas eksperimentatorius

1907 m. Nobelio premijos lauretas

7. Specialioji reliatyvumo teorija

115

labai tiksliai (± 5 km/s) išmatavo šviesos greitį. Tikslūs šviesos greičio matavimai parodė, kad

šviesos greitis yra baigtinis, kaip ir anksčiau buvo spėjama. Paaiškėjo, kad šviesos greitis yra

invariantinis dydis visų inercinių sistemų atžvilgiu ir netenkina Galilėjaus reliatyvumo

principo, pagal kurį skirtingais greičiais judančiose inercinėse sistemose greičiai yra skirtingi.

7.1 pav. Eksperimento schema,iliustruojanti šviesos greičio radimą judančioje sistemoje


116

Atlikime tokį eksperimentą. Sakykime, kad sistemoje X, Y, Z esantis prietaisas matuoja

šviesos greitį norimu tikslumu (7.1 pav., a). Kai prietaisas tolsta nuo šviesos šaltinio greičiu v

(7.1 pav., b), pagal klasikinės mechanikos reliatyvumo principą jis matuoja greitį c′ = c – v.

Kai prietaisas artėja prie šaltinio, jis matuoja šviesos greitį c′′ = c + v (7.1 pav., c). Jeigu

prietaisas judėtų statmenai X ašiai, (7.1 pav., d), jis turėtų rodyti greitį 22 v+=′′′ cc .

Po šviesos greičio matavimų paaiškėjo, kad eksperimentas duoda rezultatą,

prieštaraujantį klasikinės mechanikos reliatyvumo teorijos išvadai: nepriklausomai nuo

prietaiso judėjimo krypties ir greičio visais atvejais gaunama ta pati šviesos greičio vertė c.

Galima teigti, kad mechaninis reliatyvumo principas yra ribotas ir netinka šviesos sklidimui

aprašyti. Kadangi eksperimentinis faktas nesiderino su Galilėjaus reliatyvumo principu,

reikėjo jo teiginius peržiūrėti iš naujo.

Todėl A. Einšteinas peržiūrėjo erdvės ir laiko

sąvokas. Pagal klasikinės mechanikos teiginį laikas

visose inercinėse koordinačių sistemose eina

vienodai. Be to klasikinė mechanika teigia, kad visose

inercinėse koordinačių sistemose kūno matmenys

nekinta. Kitaip tariant, klasikinė mechanika laikosi

nuostatos, kad erdvė ir laikas yra absoliutūs ir vienas

nepriklauso nuo kito. A. Einšteinas, remdamasis

eksperimentiniais rezultatais, suformulavo du

postulatus, iš kurių sekė labai įdomios išvados.

1. Reliatyvumo postulatas. Visos inercinės

atskaitos sistemos yra lygiavertės ir visose jose ne tik mech

(elektriniai, magnetiniai, optiniai) vyksta vienodai.

2. Šviesos greičio pastovumo postulatas. Šviesos gre

atskaitos sistemose yra vienodas ir lygus c = 3×108 m/s.

Toliau apžvelgsime, kokias išvadas galima padaryti iš š

7.2. Lorenco transformacijo

Atsižvelgiant į specialiosios reliatyvumo teorijos postu

ir laiko tarpusavio sąryšį, Galilėjaus transformacijas, nusakan

atskaitos sistemos į kitą, t.y.

Albertas Einšteinas (1879-1955)

Vokietijos (Šveicarijos ir JAV)fizikas teoretikas

aniniai, bet ir visi kiti reiškiniai

itis tuštumoje visose inercinėse

ių postulatų.

s

latus ir pakitusį požiūrį į erdvės

čias perėjimą iš vienos inercinės


117

ttzzyy

txxKK

=′=′=′

−=′′→

,,

,v0

I ir

ttzzyy

txxKK

′=

′=

′=

′+′==′

,,

,v0

(7.1)

būtina buvo pakeisti Lorenco transformacijomis:

2

20

20

1

1

β−

−=′

=′=′

β−

−=′

xc

tt

zzyy

txx

v,,

,v

ir

,x

ct

t

zzyy

txx

2

20

20

1

v,,

,1

v

β−

′+′=

′=

′=

β−

′+′=

(7.2)

čia c

0v=β , v0 – sistemų reliatyvus greitis, kuriuo jos juda X ašies kryptimi (žr. § 3.1).

Pastebėkime, kad transformuojamos ne tik

erdvinės koordinatės, bet ir laikas. Be to laiko

transformavimo formulėse yra ir koordinatės.

Vadinasi, laikas yra reliatyvus ir neatskiriamas nuo

erdvės. Kai greitis v0 mažas, t.y. kai β << 1, Lorenco

transformacijos virsta klasikinėmis Galilėjaus

transformacijomis. Atvirkščiai, jeigu v0 būtų didesnis

už c, t.y. jeigu β > 1, tai transformuojamieji dydžiai

x΄, t΄, x ir t netenka fizikinės prasmės – jie tampa

menamais. Tai reiškia, kad šviesos greitis tuštumoje

yra ribinis greitis.

Henrikas Antonas Lorencas

(1853-1928) Olandų fizikas teoretikas

Iš Lorenco transformacijų išplaukiančios išvados apžvelgiamos žemiau.

7.3. Vienlaikiškumo reliatyvumas

Įvykiai, klasikiniu požiūriu, yra vienalaikiai, jeigu jie vyksta tuo pačiu laiku, matuojami

tos atskaitos sistemos identiškais laikrodžiais įvykių vietose.

Reliatyvistiniu požiūriu, dviejų tarpusavyje nesusijusių ir skirtinguose nejudančios

atskaitos sistemos K taškuose, kurių koordinatės x1 ir x2, tuo pačiu metu t1 = t2 = t0 vykstančių

įvykių laikas judančios sistemos K′ atžvilgiu nustatomas iš Lorenco transformacijų:


118

2

220

0

22

120

0

1 11 β−

−=′

β−

−=′

xc

tt

xc

tt

v

ir

v

.

Kadangi nagrinėjamų įvykių koordinatės skirtingos (x1 ≠ x2), tai vienalaikiai įvykiai

nejudančioje sistemoje yra nevienalaikiai (t′1 ≠ t′2) kitoje judančioje inercinėje sistemoje.

Laikų momentų skirtumas t′2 – t′1 priklauso nuo įvykių vietos koordinačių skirtumo (x1 – x2) ir

nuo sistemų judėjimo reliatyvumo greičio v0.

Tarkime, kad dviejuose skirtinguose taškuose, pvz., Vilniuje ir Klaipėdoje, vienu metu

sužaibavo. Stebėtojas, esantis tarp šių miestų ir vienodai nutolęs nuo jų, tuo pačiu metu

fiksuos šiuos blyksnius, tačiau truputį vėliau negu jie įvyko. Šis laiko skirtumas lygus laikui,

kurį šviesa sklido nuo Vilniaus ar Klaipėdos iki stebėtojo S (7.2 pav.).

S

7.2 pav. Stebėtojas yra vienodu atstumu nuo Vilniaus ir Klaipėdos

Kai stebėtojas yra v0 greičiu Žemės atžvilgiu iš Vilniaus į Klaipėdą skrendančiame

erdvėlaivyje (7.3 pav.), o sužaibuos tuo metu, kai erdvėlaivis bus pusiaukelėje,

S

7.3 pav. Stebėtojas yra vienodu atstumu nuo Vilniaus ir Klaipėdos skrendančiame erdvėlaivyje


119

tai stebėtojas žaibo blyksnius fiksuos jau skirtingais laiko momentais (7.4 pav.).

S

7.4 pav. Stebėtojas pirma pastebi blyksnį Klaipėdoje, po to Vilniuje

Stebėtojas pirmiau pastebės blyksnį Klaipėdoje, o vėliau – blyksnį Vilniuje. Šis laiko

skirtumas priklausys nuo erdvėlaivio judėjimo greičio ir pusiaukelės atstumo. Jeigu

erdvėlaivis judėtų Vilniaus kryptimi, tai erdvėlaivyje esantis stebėtojas pirmiau fiksuotų

blyksnį Vilniuje, o po to Klaipėdoje.

Taigi dviejų įvykių, vykstančių skirtinguose, taškuose vienalaikiškumas yra reliatyvus:

vienoje sistemoje vienalaikiai, judančioje sistemoje esančiam stebėtojui nevienalaikiai, ir

pagaliau įvykių seka keičiasi, kai keičiasi judėjimo kryptis. Kadangi laiko sąvoka yra

reliatyvi, tai reliatyvi ir atstumo sąvoka.

7.4. Reliatyvistinė reiškinio trukmė

Tegu sistemos K′ nejudančiame taške įvykio pradžia 1t′ , o jo pabaiga . Taigi įvykio

trukmė . Nejudančios sistemos K atžvilgiu šio įvykio trukmė, kaip išplaukia iš

Lorenco transformacijų (7.2), lygi:

2t ′

12 ttt ′−′=′∆

220

12 1 ctttt

v−

′∆=−=∆ , (7.3)

čia ∆t′ – įvykio trukmė, išmatuota kartu su K′ sistema judančiu laikrodžiu, t.y. laikrodžiu,

nejudančiu atžvilgiu jos taško, kuriame vyksta įvykis. Dydis ∆t – to paties įvykio trukmė,

išmatuota v0 greičiu judančiu laikrodžiu. Laikas, išmatuotas kartu su sistema S′ (kartu su

įvykiu) judančiu laikrodžiu, vadinamas savuoju. Iš (7.3) gauname, kad savoji įvykio trukmė

2201 ctt v−∆=′∆ (7.4)


120

yra mažesnė už laboratorinę jo trukmę, t.y. už trukmę, išmatuotą nejudančios sistemos

nejudančiu identišku laikrodžiu. Trukmių skirtumas tuo didesnis, kuo didesnis sistemų

reliatyvusis greitis v0.

Vadinasi, įvykio ar reiškinio trukmė mažesnė toje inercinėje atskaitos sistemoje, kurios

atžvilgiu jis nejuda. Kadangi ∆t′ < ∆t, tai sakoma, kad kartu su sistema S′ (su įvykiu) judančio

laikrodžio eiga sulėtėja.

Reliatyvistinis laikrodžio eigos sulėtėjimas įrodytas eksperimentais su π mezonais.

7.5. Reliatyvistinis kūno sutrumpėjimas

Tegu K′ sistemoje esantis nejudantis

12 xx ′−′=′l

ilgio strypas yra lygiagretus X′ ašiai (7.5 pav.).

K

O

x1x2

Z

Y

K

Ox2

Z

X X,

Yv0

x1

7.5 pav. Strypas nejuda K′ sistemoje

Jo ilgis tuo pačiu laiko momentu

t1 = t2 = t nejudančioje sistemoje K

lygus

12 xx −=l .

Iš Lorenco transformacijų (7.2)

gauname:

212

201

202

111 β−

−=

β−

−−

β−

−=′

xxtxtx vvl ,

t.y.

ll

l >β−

=′21

. (7.5)

Vadinasi, strypo ilgis sistemoje K, kurios atžvilgiu jis juda greičiu v0, yra mažesnis už jo

ilgį tuo pačiu laiko momentu sistemoje K′, kurioje jis nejuda, t.y. mažesnis už savąjį ilgį l′.

Toks linijinių matmenų sumažėjimas judėjimo kryptimi vadinamas Lorenco

susitraukimu. Kitais žodžiais tariant, kūno matmenys didžiausi toje inercinėje atskaitos

sistemoje, kurios atžvilgiu jis yra rimtyje.


121

7.6. Reliatyvistinė greičių sudėtis

Iš Lorenco transformacijų (7.2) gauname,

2

20

20

1

v

1

v

β−

′+′=′=′=

β−

′−′=

xdc

tddt,zddz,yddy,

tdxddx .

Koordinačių diferencialus panariui daliname iš laiko diferencialo:

20

2

20

2

20

0

11

1

1

1 c,

c,

c x

zz

x

yy

x

xx vv

vv

vv

vv

vvvv

v′+

β−′=

′+

β−′=

′+

+′= . (7.6)

Analogiškai gautume atvirkštinio perėjimo K → K′ greičio projekcijų sudėties formules

20

2

20

2

20

0

11

1

1

1 c,

c,

c x

zz

x

yy

x

xx vv

vv

vv

vv

vvvv

v−

β−=′

−

β−=′

−

−=′ . (7.7)

Abi formulių grupės skiriasi viena nuo kitos tik ženklu prieš narius, kuriuose yra v0.

Kai kūnas juda lygiagrečiai X ašiai, jo greičio modulis v = vx, o kitos greičio projekcijos

vy = vz = 0, atitinkamai v′ = v′x, v′y = v′z = 0. Šiuo atveju greičių sudėties formulės tokios:

20

02

0

0

11 carba

c vvvv

vvv

vvv

−

−=′

′+

+′= . (7.8)

Iš šių formulių gaunama, kad šviesos greitis tuštumoje iš tikrųjų yra ribinis greitis. Tegu,

pvz., v0= v′ = c. Iš formulės gausime, kad šviesos greitis nejudančioje atskaitos sistemoje

lygus

cccc

cc=

++

= 21v .

Kai greičiai maži (v << c), reliatyvistinės greičių sudėties formulės (7.6) virsta

klasikinėmis.

7.7. Reliatyvistinė dinamika

Remiantis Einšteino reliatyvumo principu, pagal kurį visi gamtos dėsniai, pereinant iš

vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą, yra invariantiški, išplaukia fizikos dėsnių

invariantiškumas Lorenco transformacijų atžvilgiu. Todėl nauja erdvės ir laiko koncepcijos

traktuotė reikalavo radikaliai peržiūrėti impulso ir energijos išraiškas. Niutono mechanikoje

dalelės impulsas

vrv mp = . (7.9)


122

Jos impulsas judančioje sistemoje

0vv rrrr mpmp −=′=′ , (7.10)

nes greitis

0vvv −=′

rr .

Tačiau reliatyvumo teorijoje greičiai transformuojami, remiantis (7.6) ir (7.7) išraiškomis.

Kad impulso tvermės dėsnis atitiktų reliatyvumo principą, reikia greitį transformuoti pagal

greičių sudėties formules. Tuomet reliatyvistinis impulsas

221 cmpv

v−

=r

r . (7.11)

Kai dalelės greitis yra mažas, (7.11) išraiška virsta klasikinės mechanikos impulso

išraiška. Kai dalelės greitis didėja, impulsas pr didėja taip, kaip parodyta 7.6 paveiksle.

2 mc

3 mc

4 mc

0

mc

0,2 c 0,6 c 0,8 c 1,0 c0,4 c

p

v

7.6 pav. Dalelės impulso priklausomybė nuo greičio

___________________________________________________________________________

Elektrono greitis elektroniniame vamzdelyje v = 1,0⋅108 m/s. Raskime elektrono

impulsą.

v = 1,0⋅108 m/s

p – ?

S p r e n d i m a s

Santykinis elektrono greitis

33010031001

8

8,

sm,sm,v=

⋅⋅

=c

.


123

Taigi jo impulsas smkg,v

v⋅⋅=

−= −23

221079

1 cmp .

Iš klasikinės impulso išraiškos p = 9,1⋅10-23 kg⋅m/s. Vadinasi, paklaida sudaro apie 6 %.

___________________________________________________________________________

Žinodami klasikinį impulso ir jėgos sąryšį, analogiškai galime parašyti šių dydžių

reliatyvistinį sąryšį – antrąjį Niutono dėsnį:

atstFc

mtd

d rr

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− 221 vv . (7.12)

Kai kūnas juda jėgos kryptimi, lygtį suintegravę ir išsprendę v atžvilgiu, gauname:

22

221

cmtFm

tF

+

=v . (7.13)

Greičio priklausomybė nuo laiko pavaizduota 7.7 paveiksle. Pastebėsime, kad klasikinis

greičio kitimas tinka iki tam tikro laiko t1, kol ctmF

<< . Be to pastebime, kad greitis v

niekada neviršija šviesos greičio c.

c

0t1

2

v

v1

t

1

7.7 pav. Greičio priklausomybė nuo jėgos veikimo laiko: 1 – klasikinė, 2 – reliatyvistinė

Impulsas ir energija tarpusavyje taip pat susiję

dydžiai. Žinant impulso reliatyvistinę išraišką (7.11),

reikalinga ir kinetinei dalelės energijai suteikti

reliatyvistinę išraišką. Dalelių anihiliacijos procesas

akivaizdžiai rodo masės ir energijos sąryšį. Dalelės

rimties energija 2cmE = . (7.14)

Kinetinės energijos reliatyvistinė išraiška yra

222

2

v1cm

c

cmEk −−

= . (7.15)

Iš (7.15) matome, kad nejudančios (v = 0) dalelės Ek = 0. Mažų greičių atveju (7.15)

išraiška virsta klasikinės mechanikos kinetinės energijos išraiška, nes

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−L2

22

22

2

21

1 ccm

ccm vv

.

Vadinasi, kinetinė energija, imant tik du eilutės narius, lygi


124

22

12

22

22 vv mcm

ccmEk =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= . (7.16)

Kinetinės energijos priklausomybė nuo greičio parodyta 7.8 paveiksle.

00,2 c 0,6 c 0,8 c 1,0 c0,4 c

kE

v

4 mc2

3 mc2

2 mc2

mc2

7.8 pav. Dalelės kinetinės energijos priklausomybė nuo greičio

___________________________________________________________________________

Elektronai Stanfordo linijiniame greitintuve pagreitinami iki v = 0,999999999948 c.

Kokia yra tokiu greičiu judančio elektrono kinetinė energija?

v = 0,999999999948 c

Ek – ?

S p r e n d i m a s

Dydis v/c yra mažas. Todėl

cccc vvvv −≈−+=− 12111 22 .

Mūsų atveju 1110251 −⋅=− ,v c , ir elektrono kinetinė

energija

( ) J,,

sm,kg,v

911

283122

2 1008110252

11003101911

1 −−

− ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅⋅⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−=

ccmEk .

___________________________________________________________________________

Jau minėjome, kad rimtyje esančios dalelės energija yra mc2. Visuminė dalelės energija

lygi jos rimties energijos ir kinetinės energijos sumai:

22

22

22

222

11 ccmcm

ccmcmEcmE k vv −

=−−

+=+= . (7.17)


125

arba

4222 cmpcE += . (7.18)

Dydžiai p ir E kinta, pereinant iš vienos inercinės sistemos į kitą, tačiau skirtumas

lieka vienodas, vadinasi, tas skirtumas yra Lorenco transformacijų invariantas. 222 cpE −

Kai dalelės greitis artėja prie šviesos greičio, tai (7.18) pošaknyje c2p2 tampa žymiai

didesnis už narį m2c4. Tuomet energija

cpE ≈ . (7.19)

Ši energijos išraiška tinka ir rimties masės neturinčioms kvazidalelėmis (fotonams,

neutrinams), t.y. jų cpE ≈ . Fotonai, perduodami impulsą, slegia.

Dalelės potencinės energijos išraiška nepakinta. Todėl mechaninės energijos tvermės

dėsnio reliatyvistinė išraiška tokia:

constEcmp =+

β− 2

2

1 . (7.20)

126

8

SVYRAVIMAI IR BANGOS

Svyravimai bene labiausiai gamtoje paplitę judėjimai. Svyruojamuoju vadiname

judėjimą arba būvio kitimą, kai jį aprašantys dydžiai laikui bėgant atsikartoja arba kinta

periodiškai. Prie svyruojamojo judėjimo priskiriame ir kūnų sukimąsi. Apie svyravimus mes

kalbame ir tuomet, kai nagrinėjame garsą, šviesą, kintamąją elektros srovę, radijo bangas,

sistemų ar kūnų svyravimus. Šių svyravimų prigimtis skirtinga, tačiau visi jie aprašomi

analogiškomis matematinėmis lygtimis. Šiame skyriuje susipažinsime su mechaniniais

svyravimais. Mechanikoje tai gali būti svyruoklių, stygų, membranų, laikrodžių svyruoklių,

vidaus degimo variklių, stūmoklių, tiltų, statinių ir kiti svyravimai, kai juos veikia kintamos

apkrovos. Dažniausiai sutinkami periodiniai reiškiniai. Jie kartojasi vienodais laiko tarpais.

Pavyzdžiui, Mėnulio sukimasis apie Žemę, planetų judėjimas apie Saulę, Žemės sukimasis

apie savo ašį, velenų sukimasis ir daugybė kitų. Laikas, per kurį atsikartoja sistemos būsena,

vadinamas periodu ir dažnai žymimas T. Jeigu f (t) yra periodinė laiko funkcija, tai bet kuriuo

laiko momentu

. ( ) ( ) K,,,kai, 321=+= nTtftf

Paprasčiausias periodinių svyravimų tipas yra harmoniniai svyravimai.

8.1. Harmoniniai svyravimai. Harmoninių svyravimų diferencialinė lygtis ir jos sprendinys

Harmoninį svyravimą apibūdinantys dydžiai kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.

Taip dažniausiai būna tuomet, kai svyruojantį tašką arba kūną veikia kvazielastinė jėga.

Kvazielastine jėga vadiname jėgą F, kuri yra proporcinga nuokrypiui x nuo pusiausvyros

padėties ir visuomet priešinga jam:

, (8.1) kxF −=

čia k – kvazitamprumo koeficientas.

8. Svyravimai ir bangos

127

Tokia sąlyga paprastai yra išpildoma mažiems svyravimams (mažoms deformacijoms). Kad

vyktų svyravimai, reikalinga sistemai suteikti pradinį impulsą, t.y. suteikti tam tikrą energijos

kiekį.

Harmoninis svyravimas – tai periodinis procesas. Kai sistemos neveikia išorinės

periodinės jėgos, tai svyravimai vadinami laisvaisiais. Kai sistema yra konservatyvi, t.y. kai

nėra energijos nuostolių, svyravimai yra neslopinamieji arba savieji. Harmoninį svyravimą

patogu vaizduoti besisukančiu vektoriumi Ar

(8.1 pav.). Taip siejamas taško judėjimas

apskritimu, kurio spindulys A, su harmoniniu svyravimu.

ωtϕ0

ωt + ϕ0

ωt = 0A

ωt + ϕ )0 A cos (

ωt + ϕ )0 A sin (

2π

X

YY

π

8.1 pav. Harmoninių svyravimų vaizdavimas besisukančiu vektoriumi A

r

Toks harmoninio svyravimo grafinis vaizdavimas vadinamas vektorinės diagramos

metodu. Pradiniu laiko momentu vektorius Ar

su X ašimi sudaro kampą . Kai 0ϕ Ar

sukasi

XY plokštumoje prieš laikrodžio rodyklę kampiniu greičiu ω, tai laiko momentu t kampas tarp

Ar

ir X ašies yra lygus 0ϕ+ωt .

Taigi Ar

projekcija į X ašį lygi

( )0ϕ+ω= tcosAx , (8.2)

projekcija į Y ašį lygi

( )0ϕ+ω= tsinAy . (8.3)


128

Abi projekcijos periodiškai kinta nuo +A iki –A. (8.2) ir (8.3) lygtys yra harmoninio

svyravimo lygtys, kuriose dydis A vadinamas svyravimo amplitude – tai didžiausiais

nuokrypis nuo pusiausvyros. Dydis 0ϕ+ωt vadinamas svyravimo faze, rodančia, kurią

amplitudės dalį sudaro momentinis nuokrypis. Čia φ0 – pradinė fazė, ω vadinamas cikliniu

dažniu:

; (8.4) νπ=ω 2

čia ν – svyravimų dažnis – svyravimų skaičius per sekundę. Atvirkščias dažniui dydis yra

svyravimų periodas:

ν

=1T . (8.5)

Konkretus harmoninio svyravimo pavyzdys – spyruoklinės svyruoklės – prie spyruoklės

pakabinto m masės kūno judėjimas (8.2 pav., a).

Kai pasvarėlis nesvyruoja, tai jo sunkio jėgą atsveria spyruoklės tamprumo jėga:

. (8.6) 0lkmg ∆⋅=

Pasvarėlį paslinkus žemyn dydžiu x, spyruoklės visas pailgėjimas lygus , o ją

veikiančią jėgų atstojamosios modulis

xl +∆ 0

( ) kxxlkmgF −=+∆−= 0 . (8.7)

Tačiau ir tamprumo jėga (žr. § 8.1)

. (8.8) kxF −=

Vadinasi, sunkio jėga svyravimui įtakos neturi, ji tik apsprendžia pusiausvyros padėtį x = 0

(8.2 pav., b).

F

∆l

F

(b)(a)

8.2 pav. Spyruoklinė svyruoklė ir veikiančios jėgos priklausomybė nuo atsilenkimo x


129

Minuso ženklas rodo, kad tamprumo jėga ir poslinkis yra priešingų krypčių. Iš čia seka, kad

yra visuomet nukreipta pusiausvyros padėties link. Tokią jėgą, nepriklausomai nuo jos

prigimties, vadiname kvazielastine. Atlenkdami pasvarėlį iš pusiausvyros padėties atliekame

darbą, nugalėdami tamprumo jėgą:

Fr

2

2

00

kxdxkxxdxFAxx

==−= ∫∫ . (8.9)

Šis darbas virsta deformuotos spyruoklės potencine energija:

2

2kxE p = . (8.10)

8.3 paveiksle parodytas m masės kūnelis, spyruoklės tamprumo jėgos Fr

veikiamas be

trinties slysta horizontalia plokštuma. 8.4 paveiksle pavaizduotos kūnelio svyravimo ribos

intervale –x1 ir x1 (a), b – potencinės energijos Ep(x) ir visuminės energijos E priklausomybė

nuo x ir c – jėgos F modulio priklausomybė nuo x.

E x( )p

8.3 pav. Paprastas harmoninis osciliatorius 8.4 pav. Potencinės, visuminės energijos ir

tamprumo jėgos modulio priklausomybė nuo spyruoklės deformacijos dydžio x

Norint nustatyti svyravimo pobūdį, reikia parašyti dinamikos lygtį ir rasti jos sprendinį.

Taigi rašome antrąjį Niutono dėsnį:

(8.11) kxxm −=&&

arba

0=+ xmkx&& . (8.12)


130

Pažymime

20ω=

mk – savojo svyravimo ciklinis dažnis antruoju laipsniu. (8.13)

Tuomet

. (8.14) 020 =ω+ xx&&

Taigi savąjį svyravimą apibūdina tiesinė vienalytė (dešinėje nulis) antros eilės diferencialinė

lygtis. Labai nesunku įsitikinti, kad jos sprendinys yra harmoninė funkcija

( ) ( )00 ϕ+ω= tcosAtx , (8.15)

kur A – yra svyravimo amplitudė, ( )00 ϕ+ω t – svyravimo fazė, φ0 –pradinė svyravimo fazė.

Amplitudę A ir pradinę fazę φ0 galima rasti iš pradinių sąlygų. Pradinės sąlygos

nustatomos pradiniu laiko momentu t = 0. Tuomet

, 00 ϕ= cosAx

00 ϕω−= sinA0v .

Iš čia amplitudė

20

20 ω

+=20v

xA , (8.16)

pradinė fazė

00

00 ω

−=ϕx

tgv

.

Pavyzdžiui, kai , tai, 00 00 =≠ vo,x

. ( ) tcosxtxxA 0000 0 ω==ϕ= ir, o

Kai , tai 00 00 ≠= vbet,x

( ) tsintxA 00

00

0

0 90 ωω

=−=ϕω

=v

ir,v

o .

Spyruoklinės svyruoklės periodo T priklausomybę nuo svyruoklės parametrų gausime iš

(8.13) išraiškos, nes

kmT π=

ωπ

= 22

0

. (8.17)

Vadinasi, svyruoklės periodas priklauso tik nuo spyruoklės tamprumo koeficiento ir

svyruojančio kūnelio masės m.


131

___________________________________________________________________________

Per kokią periodo dalį harmoningai svyruojantis kūnas pasislinks: 1) nuo pusiausvyros

iki kraštinės padėties? 2) pirmąją šio kelio pusę? 3) antrąją šio kelio pusę?

S p r e n d i m a s

Rašome harmoninio svyravimo lygtį, kai : o9000 000 −=ϕ>= ,v,x

T

tsinAtsinAx π⋅=ω⋅=

2 . (1)

Harmoningai svyruojančio kūno nuokrypis nuo pusiausvyros iki kraštinės padėties

lygus svyravimų amplitudei (x1 = A). Taigi

T

tsinAA 12π

⋅= (2)

arba 12 1 =

π

Tt

sin . (3)

Iš čia išreiškiame laiką : 1t

422

121

TTsinarcTt =π

⋅π

=⋅π

= . (4)

Pirmąją pusę kelio x2 pasislinks per laiką : 2t

2

2 2 AT

tsinA =

π⋅ (5)

arba

212 2 =

π

Tt

sin . (6)

Iš čia

12622

122

TTsinarcTt =π

⋅π

=⋅π

= . (7)

Antrąją pusę kelio kūnas pasislinks per laiką t3 :

6124213TTTttt =−=−= . (8)

___________________________________________________________________________


132

8.2. Harmoningai svyruojančio kūno greitis, pagreitis, energija

Harmoningai svyruojančio kūno išilgai X ašies nuokrypis x nuo pusiausvyros padėties

yra laiko funkcija (žr. § 8.1). Diferencijuodami šią išraišką laiko atžvilgiu, gausime

svyruojančio kūno momentinio greičio modulio išraišką:

( ) ( 0000 ϕ+ω⋅ω⋅−=ϕ+ω⋅== tsinAtcosAdtd

dtdxv ) . (8.18)

Iš čia analogiškai gauname svyravimo pagreičio modulio išraišką

( ) xtsinAdt

xddtda ⋅ω−=ϕ+ω⋅ω−=== 2

000202

2v . (8.19)

Išraiškose (8.18) ir (8.19) dydis Aω0 – greičio amplitudė, o dydis – pagreičio amplitudė.

Nuokrypio, jėgos, greičio ir pagreičio vertės esant svyruoklei įvairiose padėtyse parodytos 8.5

paveiksle.

20ωA

8.5 pav. Svyruoklės jėgos, greičio, pagreičio vertės ir kryptys priklausomai nuo jos padėties

Lygindami (8.1), (8.18) ir (8.19) galime padaryti išvadą, kad harmoningai svyruojančio kūno

poslinkis, greitis ir pagreitis yra periodinės laiko funkcijos, kurių periodai yra vienodi ir lygūs

T. 8.6 paveiksle parodyta matematinės ir spyruoklinės svyruoklių stroboskopinės nuotraukos.

Iš nuotraukų matyti, kad tolstant nuo pusiausvyros padėties svyruoklė juda lėčiau. Kai

pasvarėlio nuokrypis nuo pusiausvyros padėties lygus x, tuomet pasvarėlio momentinis greitis

išreiškiamas (8.18), o spyruoklė yra deformuota taip pat dydžiu x. Tai reiškia, kad pasvarėlio


133

kinetinė energija tuo laiko momentu lygi Ek, o deformuotos spyruoklės potencinė energija lygi

Ep. Jų vertės priklauso nuo laiko, tačiau visuminė sistemos energija E, kai nėra energijos

nuostolių, nepriklauso nuo laiko:

. (8.20) ( ) ( ) consttEtEE pk =+=

8.6 pav. Matematinės ir spyruoklinės svyruoklės stroboskopinės nuotraukos

Kadangi kinetinė energija

( ) ( ) ([ ]00

220

0022

02

221

422ϕ+ω−

ω=ϕ+ωω⋅⋅== tcos

AmtsinAmmtEk

v ) , (8.21)

o potencinė energija

( ) ( ) ( )[ 00

2

0022

221

422ϕ+ω+=ϕ+ω⋅== tcosAktcosAkkxtE p ] , (8.22)

tai (8.21) ir (8.22) išraiškas įrašę į (8.20) ir vietoje k įrašę , gauname: m20ω

( ) ( ) 22000

222000

2220 2

121

21 AmtsinAmtcosAmE ω=ϕ+ω⋅ω⋅+ϕ+ω⋅ω⋅= . (8.23)

Taigi iš tikrųjų visuminė svyravimo mechaninė energija E nepriklauso nuo laiko. Tai reiškia,

kad tamprumo jėga yra potencialinė.

Visuminės, kinetinės ir potencinės energijų grafikai pavaizduoti 8.7 paveiksle. Kaip

matome iš grafikų, svyravimo visuminė energija nekinta ir lygi ,21 2kA o potencinė ir kinetinė

energijos kinta pagal sinuso ir kosinuso kvadratų dėsnius, t.y. kinta dvigubu dažniu. Vidutinės

Ek ir Ep vertės tarpusavy lygios ir lygios E/2.


134

E

T

Ek

Ek

EkEk

E k

Ep

Ep

EpEp

Ep

( )ω ϕt + 0 0

( )ω ϕt + 0 0

8.7 pav. Kinetinės ir potencinės energijų kitimas laike (a) ir jų priklausomybė nuo poslinkio (b)

Į vandenilio molekulę galima žiūrėti kaip į dviejų svyruojančių molekulės masių centro

atžvilgiu osciliatorių sistemą. Tarpatominės sąveikos konstanta .,k mN31011 ⋅=

Osciliatoriaus masė praktiškai lygi protono masei Molekulės vibracijos

energija Raskime atomo svyravimo amplitudę ir jo maksimalų greitį.

.,m kg2710671 −⋅=

.,E J191031 −⋅=

kg2710671 −⋅= ,m ,

mN31011 ⋅= ,k ,

J191031 −⋅= ,E

xmax, vmax – ?

S p r e n d i m a s

Atomo svyravimo molekulėje amplitudę rasime iš

potencinės energijos maksimumo, kurią turi atomas

maksimaliai nutolęs nuo molekulės masių centro:

22

2 EkxE max

maxp == .

Iš čia svyravimo amplitudė

m,mN,J, 11

21

3

191011

10111031 −

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅==

kExmax .

Kai svyruojančio atomo greitis yra maksimalus, jo kinetinė energija lygi Ep max

(mechaninės energijos tvermės dėsnis).

Todėl


135

maxpmax

maxk Em

E ==2

2v .

Iš čia išreiškiame maksimalų greitį ir, įrašę skaitines vertes, gauname:

m/s,kg,

J,v 32

1

27

201088

10671105622

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅==

−

−

m

E maxpmax ,

nes atomui tenka pusė molekulės vibracijos energijos.

___________________________________________________________________________

8.3. Fizinė, matematinė ir sukamoji svyruoklės

C

ϕd

O

Fizine svyruokle vadinamas kietasis kūnas,

svyruojantis sunkio jėgos veikiamas apie

horizontalią ašį, neinančią per jo masių centrą (8.8

pav.). Pakreipus svyruoklę kampu φ ir paleidus, ji,

sunkio jėgos grąžinančiojo momento veikiama,

suksis, stengdama sumažinti kampą φ, iš inercijos

pereis pastovios pusiausvyros padėtį, sustos ir t.t.

Svyravimo periodo išraišką gausime, pritaikę

pagrindinį sukamojo judėjimo dinamikos dėsnį (II

N.d. sukamajam judėjimui): 8.8 pav. Fizinės svyruoklės svyravimas

, (8.24) ϕ⋅=ϕ⋅− &&OIsindmg

čia d – atstumas tarp svyravimų ašies ir masių centro, IO – ašinis inercijos momentas. Kai

svyravimai maži, ϕ≈ϕsin . Taigi gaunama tokia diferencialinė lygtis:

0=ϕ+ϕOIdmg

&&

arba

, (8.25) 020 =ϕω+ϕ&&

čia

OIdmg

=ω20 . (8.26)

Taigi fizinės svyruoklės harmoninio svyravimo periodas


136

dmg

IT Oπ=

ωπ

= 22

0

, (8.27)

t.y. priklauso nuo svyravimų ašies padėties masių centro atžvilgiu. Nuo šio atstumo priklauso

ir ašinis inercijos momentas. Todėl konkreti T išraiška kiekvienai svyruoklei yra skirtinga.

C

mg

ϕ

l

O

Matematinė svyruoklė – tai taškinis m

masės kūnas, pritvirtintas prie l ilgio netąsios

ir nesvarios pakabos (siūlo, virvutės, lyno,

strypelio), ir todėl svyruojantis veikiant sunkio

jėgai (8.9 pav.). Taigi matematinė svyruoklė –

dalinis fizinės svyruoklės atvejis, kai masių

centras nutolęs nuo pakabinimo taško O

atstumu l. Vadinasi OC = d = l, o svyruoklės

inercijos momentas . Įrašę šias

išraiškas į (8.27) lygtį, gauname matematinės

svyruoklės periodo išraišką:

2lmIO = 8.9 pav. Matematinė svyruoklė – dalinis fizinės svyruoklės atvejis

gmg

mT l

l

lπ=π= 22

2 , (8.28)

t.y. svyruoklės periodas nepriklauso nuo svyruojančio kūno masės, o priklauso tik nuo

pakabos ilgio ir kūnų laisvojo kritimo pagreičio toje vietoje ir tomis sąlygomis.

ϕ

Sukamąją svyruoklę sudaro horizontalioje

plokštumoje svyruojantis kūnas, pritvirtintas prie

vertikalios spyruoklės ar strypelio (8.10 pav.).

Grąžinantysis sukimo momentas atsiranda

susukant spyruoklę ar strypelį. Kai sąsūkos

kampas mažas, šis momentas proporcingas

kampui:

8.10 pav. Sukamoji svyruoklė

, (8.29) ϕ= DM

čia – sąsūkos koeficientas. 2ω= ID

Taigi svyruoklės judėjimas yra harmoninis ( tcos 00 ωϕ=ϕ ), jos svyravimo periodas

nustatomas iš pagrindinės sukamojo judėjimo dinamikos lygties:

, ϕ=ϕ− &&ID

t.y. iš lygties


137

0=ϕ+ϕID

&& .

Kadangi ID

=ω0 , tai periodas

DIT π=

ωπ

= 22

0 . (8.30)

Sukamosios svyruoklės būdu dažniausiai matuojami netaisyklingos formos kūnų

inercijos momentai.

8.4. Vienos krypties harmoninių svyravimų sudėtis. Mūša

Svyruojantysis kūnas gali tuo pačiu metu dalyvauti dviejuose ar keliuose svyravimuose.

Mus domina atstojamojo svyravimo pobūdis ir jo charakteristikos.

Tegu kūnas tuo pačiu metu svyruoja ta pačia X ašies kryptimi vienodu dažniu. Šių

svyravimų lygtys tokios:

( )01011 ϕ+ω= tcosAx ir ( )02022 ϕ+ω= tcosAx . (8.31)

Sudėkime šiuos svyravimus (lygtis) vektorinės diagramos būdu (8.11 pav.). Kadangi

vektoriai 1Ar

ir 2Ar

sukami vienodu kampiniu greičiu ω0, tai kampas tarp jų nekinta, ir todėl

atstojamojo vektoriaus Ar

modulis nekinta, o pats vektorius sukasi taip pat kampiniu greičiu

ω0.

A

A

A

1

1

2

2x x

x

0ϕ01ϕ

01ϕ

02ϕ

02ϕ

X0

Y

8.11 pav. Viena kryptimi vienodu dažniu vykstančių svyravimų sudėties vaizdavimas

besisukančiais vektoriais 21 AArr

ir


138

Vektoriaus Ar

projekcija X ašyje lygi sudedamųjų svyravimų amplitudžių projekcijų

sumai ir išreiškiama harmoninio svyravimo lygtimi:

( )0021 ϕ+ω=+= tcosAxxx . (8.32)

Atstojamojo svyravimo amplitudę galima nustatyti iš kosinusų teoremos:

. (8.33) ( )01022122

21

2 2 ϕ−ϕ⋅++= cosAAAAA

Iš (8.33) išraiškos išplaukia, kad atstojamojo svyravimo amplitudė priklauso nuo sudedamųjų

svyravimų amplitudžių ir jų pradinių fazių skirtumo.

Kai svyravimų amplitudės vienodos ( 21 AA =r

), (8.33) išraiška supaprastėja:

. (8.34) ( )[ ]010221

2 12 ϕ−ϕ+= cosAA

Kai pradinių fazių skirtumas π±=ϕ−ϕ 20102 m , kur m = 0,1,2,3,…, amplitudė

, o kai 12AA = ( )π+±=ϕ−ϕ 120102 m , tuomet A = 0. Darome išvadą, kad atstojamojo

svyravimo amplitudė, priklausomai nuo pradinių fazių skirtumo, gali turėti vertes nuo A1–A2

iki A1+A2. Mūsų atveju nuo 0 iki 2Ai .

Atstojamojo svyravimo fazė apskaičiuojama iš šios išraiškos:

022011

0220110 ϕ+ϕ

ϕ+ϕ=ϕ

cosAcosAsinAsinA

tg . (8.35)

Kai vektoriai 1Ar

ir 2Ar

sukasi nevienodais, bet artimais cikliniais dažniais (8.12 pav., a),

tuomet pradinis fazių skirtumas φ02 – φ01 kinta laike, ir todėl suprantama, kad atstojamojo

svyravimo amplitudė yra lėta laiko funkcija. Kai harmoninių svyravimų dažniai skiriasi

nedaug, t.y. kai ω<<ω∆ , amplitudės vienodos, o pradinės fazės lygios 0, šių svyravimų

lygtys tokios:

. ( ) tcosAx

,tcosAxω∆+ω=

ω=

2

1

Remdamiesi kosinusų sumos trigonometrine formule, sudedame svyravimus, atmesdami2ω∆ ,

nes 2ω∆ << ω ir gauname:

tcostcosAxxx ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω∆

=+=2

221 .


139

Skliaustuose esantis narys yra atstojamojo svyravimo amplitudė, kuri, kaip matome, priklauso

nuo laiko t ir kinta dažniu 2ω∆ . Suminis abiejų harmoninių svyravimų grafikas pavaizduotas

8.12 paveiksle, b. Toks amplitudės kitimas laike vadinamas mūša. Mūšos periodas

ω∆π

=2

mT . (8.36)

T = ∆ωm2π

t

t

t

T = ω2π

(a)

(b)

8.12 pav. Du harmoniniai skirtingo dažnio svyravimai ir jų suminis rezultatas

Taigi sudėjus du harmoninius artimų dažnių svyravimus, atstojamasis svyravimas taip pat

artimas harmoniniam, kurio dažnis ( ) 221 ω+ω=ω , o amplitudė kinta 221 ω−ω dažniu.

Apskritai, sudėjus vienos krypties skirtingo dažnio harmoninius svyravimus, atstojamasis

svyravimas neharmoninis. Atvirkščiai, bet kurį sudėtinį svyravimą galima išskaidyti į

harmoninius, o periodinį – į kartotinių dažnių harmoninius svyravimus.

Mūšos metodas taikomas muzikos instrumentams derinti, virpesių dažniui matuoti ir t.t.

___________________________________________________________________________

Materialusis taškas dalyvauja vienodo (ν = 50 Hz) dažnio ir vienos krypties

harmoniniuose svyravimuose, kurių amplitudės atitinkamai lygios 3 mm ir 2 mm. Pradinės

svyravimų fazės atitinkamai lygios .ir 0303

2π Raskime atstojamojo svyravimo amplitudę ir

maksimalų pagreitį.


140

ν01 = ν02 = 50 Hz, A1 = 3 mm, A2 = 2 mm, φ01 = 2π/3, φ02 = π/6

A, amax – ?

S p r e n d i m a s

Atstojamąją amplitudę rasime iš (8.33) išraiškos:

( )122122

21 2 ϕ−ϕ⋅++= cosAAAAA ,

t.y.

m103,6m2π23223 3223 −− ⋅=⋅⋅⋅++= cosA 10 .

Maksimalus pagreitis (žr. (8.19))

, 20ω⋅= Aamax

kur A – atstojamojo svyravimo amplitudė, ω0 – ciklinis svyravimų dažnis ir . 00 2πν=ω

Taigi

. Aamax20

24 νπ=

Įrašome skaitines vertes ir skaičiuojame:

22322 3601063501434 smsm,, =⋅⋅⋅⋅= −maxa .

___________________________________________________________________________

8.5. Statmenųjų harmoninių svyravimų sudėtis. Lisažù figūros

Materialusis taškas tuo pat metu gali svyruoti viena kitai statmenomis kryptimis.

Pažvelkime, kokia trajektorija judės materialusis taškas, kai sužadinsime jo vienodo dažnio

svyravimus X ir Y kryptimis.

Taško nuokrypius išilgai koordinačių ašių išreiškiame lygtimis:

( )01ϕ+ω= tcosAx ,

( )02ϕ+ω= tcosBy , (8.37)

čia A ir B – svyravimų amplitudės, φ01 ir φ02 – jų pradinės fazės.

Taško atstojamojo judėjimo trajektorijos lygtį gausime, eliminavę laiką t. Tam lygtis

pertvarkome:

.sintsincostcos

By

,sintsincostcosAx

0202

0101

ϕω−ϕω=

ϕω−ϕω=

Dauginame pirmąją lygtį iš cos φ02, o antrąją iš cos φ01 ir lygtis atimame:


141

( )01020102 ϕ−ϕω=ϕ−ϕ sintsincosBycos

Ax .

Padauginę lygtis iš sin φ02 ir sin φ01, analogiškai gauname:

( )01020102 ϕ−ϕω=ϕ−ϕ sintcossinBysin

Ax .

Keliame kiekvieną paskutiniąją lygtį kvadratu ir jas sudedame:

( ) ( )01022

2

2

01022

22 ϕ−ϕ=+ϕ−ϕ− sin

Bycos

ABxy

Ax . (8.38)

Taigi atstojamojo judėjimo trajektorijos lygtis yra elipsės lygtis.

Elipsės ašių orientacija X ir Y ašių atžvilgiu priklauso nuo sudedamųjų svyravimų

amplitudžių santykio ir jų pradinių fazių skirtumo (φ02 – φ01). Panagrinėkime dalinius atvejus:

1. Pradinių fazių skirtumas ∆φ = 0, ±2π, … . Šiuo atveju trajektorijos lygtis

supaprastėja:

xABy = , (8.39)

t.y. materialusis taškas harmoningai svyruoja tiesės atkarpa, kurios posvyrio kampas priklauso

nuo amplitudžių santykio (8.13 pav., a):

ABtg =α . (8.40)

2. Pradinių fazių skirtumas ∆φ = ±π, ±3π, … . Taško M trajektorijos lygtis, kaip

išplaukia iš (8.38) lygties, taip pat yra tiesės lygtis:

xABy −= , (8.41)

tik taškas svyruoja tiese antrame ir ketvirtame ketvirčiuose (8.13 pav., c).

3. Pradinių fazių skirtumas ( )2

12 π+=ϕ∆ m , čia m = 0, ±1, ±2, … . Trajektorijos lygtis

tokia:

12

2

2

2=+

By

Ax (8.42)

Tai reiškia, kad taškas juda elipse prieš laikrodžio rodyklę ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−=ϕ∆2

arba pagal ją

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=ϕ∆2

. Tai pavaizduota 8.13 paveiksle, d.


142

Y Y

Y Y

A

A

B

y

x

B

BB

M

M

M M

A

A

X X

X X

A

A A

A

B

BB

B

∆ϕ = 0ο

∆ϕ = 180ο

∆ϕ = π2

∆ϕ = π2

a B = A b B = 2A

c B = A d B = A

α

8. 13 pav. Statmenųjų svyravimų sudėties atvejai, vaizduojantys atstojamojo svyravimo trajektoriją

Kai sudedamųjų svyravimų amplitudės vienodos, t.y. kai A = B, elipsė virsta R = A = B

spindulio apskritimu:

(8.43) 222 Ryx =+

Iš čia gaunama svarbi išvada: bet kuri tolyginį judėjimą apskritimu galima išskaidyti į

du tarpusavyje statmenus vienodo dažnio ir vienodos amplitudės svyravimus.

Kai sudedami skirtingų dažnių statmenieji svyravimai, jų fazių skirtumas nuolat kinta.

Todėl ir atstojamojo svyravimo trajektorija (Lisažù figūra) yra nuolat kintanti kreivė. Kreivė

stabili, kai sudedamųjų svyravimų dažnių santykis lygus sveikųjų skaičių santykiui (8.14

pav.).

ωxω y

=

X

Y

1:1 1:2 1:3 2:3 3:4

8.14 pav. Lisažù figūrų pavyzdžiai, kai ∆φ = π/2, A = B


143

Pavyzdžiui, sudėjus svyravimus, kurių lygtys

(8.44) cm,

cm,tsiny

tsinxω=

ω=22

2

gaunamas atstojamasis svyravimas, kurio trajektorijos lygtis yra tokia:

122

21 2

22

2

2=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yx . (8.45)

Trajektorijos forma pavaizduota 8.15 paveiksle.

X, cm-1

-1

1

1

1,41-1,41 2-2

Y, cm

8.15 pav. Konkreti Lisažù figūra, kai ∆φ = 0º, A = B, ωx = ωy /2

Iš Lisažù figūros patogu nustatyti svyravimų dažnių santykį: dažnių santykis atvirkščiai

proporcingas kreivės lietimosi su stačiakampio kraštinėmis taškų skaičių santykiui:

x

y

y

x

n

n=

ω

ω . (8.46)

Nagrinėjamuoju atveju ωx/ωy = ½. Taigi, žinant vieno svyravimo dažnį, lengvai

išmatuojamas kito svyravimo dažnis.

8.6. Slopinamieji svyravimai, jų diferencialinė lygtis ir sprendinys

Visos realios svyruojančiosios sistemos yra disipatyvios. Jų energija virsta darbu prieš

pasipriešinimo jėgas, dėl ko sistemos svyravimo amplitudė mažėja. Sistemose, kuriose

svyravimo greičiai nedideli, pasipriešinimo jėgos proporcingos greičiui ir nepriklauso nuo jų

kilmės. Rašome antrąjį Niutono dėsnį. Tam prie kvazielastinės jėgos pridedame

pasipriešinimo jėgą. Kalbame apie vienmatį judėjimą, vykstantį išilgai X ašies:

vrkxdt

xdm −−=2

2 , (8.47)

kur m – svyruojančiojo kūno masė, 2

2

dtxd – jo pagreitis, (–kx) – kvazielastinė jėga, (–rv) –

pasipriešinimo jėga, r – pasipriešinimo koeficientas, v – svyravimo greitis. Masė m,


144

pasipriešinimo koeficientas r ir tamprumo koeficientas k yra sistemos parametrai. Visus

narius perkėlę į kairę pusę ir dalindami iš m, gauname:

, (8.48) 02 20 =ω+δ+ xxx &&&

čia mr

2=δ – slopinimo koeficientas,

mk

=ω20 – savųjų svyravimų ciklinis dažnis antruoju.

Tai ir yra slopinamųjų svyravimų diferencialinė lygtis. Šios lygties sprendinys yra toks:

, (8.49) ( )00 ϕ+ω= δ− tcosAx te

čia ω – slopinamųjų svyravimų ciklinis dažnis:

220 δ−ω=ω , (8.50)

t.y. slopinamųjų svyravimų ciklinis dažnis mažesnis už savųjų svyravimų dažnį tuo daugiau,

kuo didesnis slopinimas.

Dydis prieš kosinusą yra svyravimų amplitudė A. Kaip matome, ji yra laiko funkcija, jos

kitimas laike aprašomas eksponente:

, (8.51) ( ) tAtA δ−= e0

t.y. laikui bėgant, A eksponentiškai mažėja (8.16 pav.).

XA0 A0e

-δt

-A0

2T TT 2

t02 T3

8.16 pav. Slopinamojo svyravimo grafikas

Amplitudės mažėjimo greitis priklauso nuo slopinimo koeficiento mr

2=δ . Be to

slopinamieji svyravimai yra neperiodiniai, nes pasipriešinimo jėga yra proporcinga greičiui, o

pastarasis kinta dėl svyravimų slopinimo.

Slopinamųjų svyravimų periodas išreiškiamas formule:


145

22

0

22δ−ω

π=

ωπ

=T , (8.52)

čia ω0 – savųjų svyravimų ciklinis dažnis, kai sistemoje nėra energijos nuostolių.

Taigi didėjant slopinimo koeficientui δ, svyravimų

periodas ilgėja ir, kai δ = ω0, jis tampa begalinis, t.y.

svyravimai išnyksta. Kai slopinimas dar didesnis (δ =

ω0), kūno judėjimas yra aperiodinis: nuo pusiausvyros

padėties nukrypusi sistema grįždama niekados nepereis

jos du kartus (8.17 pav.).

Dažnai slopinamųjų svyravimų amplitudės

mažėjimas apibūdinamas slopinimo dekrementu,

parodančiu per periodą nutolusių svyravimo amplitudžių

santykį:

X

x0

t2

1

8.17 pav. Aperiodinis grįžimas į pusiausvyros padėtį: 1 – savaime, 2 – stumtelėjus link pusiausvyros

( )( )

T

TtAtA δ=

+e . (8.53)

Šio santykio natūrinis logaritmas vadinamas logaritminiu slopinimo dekrementu:

( )( ) T

TtAtAn δ=

+=Λ l . (8.54)

Laikas, per kurį svyravimų amplitudė sumažėja e kartų, vadinamas relaksacijos laiku. Taigi

santykis

( )( ) eet.y.,ee ===

τ+τδτδ

tAtA . (8.55)

Išlogaritmavę gauname

1=δτ

arba

τ

=δ1 . (8.56)

Vadinasi, slopinimo koeficientas yra atvirkščias dydis laikui τ, per kurį svyravimo amplitudė

sumažėja e kartų. Per šį laiką sistema susvyruoja N kartų:

TT

Nδ

=τ

=1 . (8.57)

Iš (8.54) gauname, kad logaritminis slopinimo dekrementas

N1

=Λ , (8.58)


146

t.y. atvirkščias dydis skaičiui svyravimų, po kurių svyravimo amplitudė sumažėja e kartų.

Energiniu požiūriu svyruojanti sistema apibūdinama kokybe. Ji atvirkščiai proporcinga

logaritminiam slopinimo dekrementui ir parodo sistemos energijos ir nuostolių energijos

santykį, padaugintą iš 2π:

E

EQ∆

π=Λπ

= 2 . (8.59)

Galima įrodyti, kad esant mažam slopinimui santykinis energijos sumažėjimas per periodą

Λ−=∆ 2EE , (8.60)

t.y. priklauso nuo slopinimo koeficiento δ ir periodo T.

___________________________________________________________________________

Spyruoklinės svyruoklės pradinė amplitudė lygi 10 cm. Logaritminis slopinimo

dekrementas 2,02. Raskime svyravimo amplitudę po 1 min nuo svyravimo pradžios, kai

svyruoklės masė 1 kg ir spyruoklės tamprumo koeficientas k = 196 N/m. Kam lygi svyruoklės

kokybė?

A0 = 0,1 m,

Λ = 0,02,

t = 60 s,

m = 1 kg

k = 196 N/m

A (60) – ? Q – ?

S p r e n d i m a s

Slopinamųjų svyravimų amplitudė yra laiko funkcija

(8.51):

, tAA δ−= e0

kur A0 – pradinė amplitudė, δ – slopinimo koeficientas.

Slopinimo koeficientą δ ir logaritminį slopinimo dekrementą

sieja ryšys (8.54):

TΛ

=δ ,

čia T – svyravimų periodas:

mk

T22

220

42 Λ+π=

δ−ω

π= .

Kadangi π<<Λ 2 pagal sąlygą, tai 2Λ galima nepaisyti ir tuomet

kmT π= 2 .

Amplitudė

mm96ee 200 ,AAA m

ktT

t

=== πΛ

−Λ−

.


147

Svyruoklės kokybė randama iš (8.59):

157020143

==Λπ

=,,Q .

___________________________________________________________________________

Įrenginiai, didinantys svyruojančiosios sistemos slopinimą, vadinami slopintuvais

(dempferiais, amortizatoriais).

8.7. Priverstiniai svyravimai. Rezonansas

Laisvieji svyravimai realiose sistemose slopsta dėl energijos sklaidos. Sistemos

svyravimų amplitudė nekis, jeigu sistemą veiks periodinė jėga, kuri nuolat papildys sistemos

prarastąją energiją. Paprastai tai daroma naudojant svyruojančiose sistemose taip vadinamą

teigiamąjį grįžtamąjį ryšį. Grįžtamasis ryšys sistemose gali būti realizuotas įvairiais būdais. Jo

tikslas – iš pašalinio energijos šaltinio vienodais laiko tarpais papildyti svyruojančios sistemos

energiją. Kai priverstinės jėgos periodas nesutampa su sistemos laisvųjų svyravimų periodu,

tai pradžioje vyksta svyravimų mūša, o po to nusistovi pastovios amplitudės priverstiniai

svyravimai (8.18 pav.).

X

0

nuostovusis procesaspereinamasis procesas

t

8.18 pav. Priverstiniai svyravimai atsiranda tik po pereinamojo proceso

Priverstinius svyravimus aprašome antros eilės nevienalyte (dešinė pusė nelygi nuliui)

diferencialine lygtimi:

, (8.61) tcosFxxx ω⋅=ω+δ+ 002 &&&

čia mFF m=0 – redukuotoji priverstinės jėgos amplitudė.


148

Nuostovieji sistemos svyravimai yra harmoniniai ir vyksta priverstinės jėgos cikliniu

dažniu ω. Todėl (8.61) lygties nuostoviojo proceso sprendinys yra toks:

( )ϕ−ω⋅= tcosAx , (8.62)

čia φ – sistemos nuokrypio ir jėgos fazių skirtumas.

Norėdami rasti A ir φ, įrašykime į (8.61) lygtį x, išraiškas: xx &&& ir

( ) ( ) tcosFtcosAtcosAtcosA ω=ϕ−ωω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ϕ−ωδω+π+ϕ−ωω 020

2

22 . (8.63)

Kairioji gautos lygties pusė atspindi trijų skirtingų amplitudžių ir fazių, bet vienodo dažnio

harmoninių svyravimų sudėtį, kurios suma lygi lygties dešinėje pusėje esančiam nariui.

Pavaizduokime tai vektorine diagrama (8.19 pav.).

Tam X-ų ašyje atidėkime trečiojo

svyravimo amplitudę . Antrasis

svyravimas aplenkia trečiąjį faze π/2, o

pirmasis – faze π. Pasirinktu masteliu

atidėkime ir jų amplitudes .

Iš brūkšniuoto stačiojo trikampio

randame svyruojančio kūno nuokrypio

amplitudę

A20ω

AA 2ir2 ωδω

ω2A

2 Aδω

ϕπ

( Aω ω0 22 - ) ω0

2A

0 X

F0

2π

8.19 pav. Vektorinė diagrama

( ) 22222

0

0

4 ωδ+ω−ω=

FA (8.64)

ir fazių skirtumą

220

2ω−ω

δω=ϕtg . (8.65)

Taigi priverstinių svyravimų amplitudė, nekintant sistemos parametrams, priklauso ne tik nuo

priverstinės jėgos didumo, bet ir nuo jos kitimo dažnio (8.20 pav.).

Kai priverstinės jėgos kitimo ciklinis dažnis 0=ω , svyravimų nėra, o kūno poslinkis

lygus jėgos sukeltai statinei deformacijai:

20

00 ω

=FA . (8.66)


149

ω

δ1 = 0

δ1

δ2

δ3

δ3

δ4

δ4δ2

ω0

ωrez

0A0

A

< <<

8.20 pav. Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybė nuo priverstinės jėgos dažnio ω skirtingiems δ

Jėgos kitimo dažniui didėjant, (8.64) išraiškos vardiklis mažėja, todėl svyravimų

amplitudė didėja. Amplitudė didžiausia, kai rezω=ω . Toks ryškus amplitudės padidėjimas

vadinamas rezonansu. Rezonansinį dažnį rasime iš amplitudės ekstremumo sąlygos:

0=ωd

dA . (8.67)

Tam pakanka (8.64) išraiškos pašaknio išvestinę prilyginti nuliui:

( )[ ] ( ) .dd

rezrezrez 0844 2220

22220 =ωδ+ω−ωω−=ωδ+ω−ω

ω

Iš šios lygties trijų sprendinių mums tinka tik vienas:

220 2δ−ω=ωrez . (8.68)

Vadinasi, rezonansinis dažnis mažesnis už sistemos savųjų svyravimų dažnį ω0 tuo daugiau,

kuo didesnis slopinimo koeficientas. Todėl rezonansinis kreivių maksimumas, didėjant

slopinimui, slenka kairėn, mažesnių dažnių link.

Kai dažnis rezω>ω , svyravimų amplitudė mažėja, kol pagaliau svyravimai išnyksta.

Kokybinė rezonanso charakteristika yra svyruojančios sistemos kokybė, parodanti, kiek

kartų rezonansinė amplitudės vertė didesnė už statinės deformacijos vertę:

Λπ

==0A

AQ rez , (8.69)

čia Λ – logaritminis slopinimo dekrementas. Kuo didesnė kokybė, tuo aštresnė rezonansinė

kreivė. Fazių skirtumo dažninė charakteristika pavaizduota 8.21 paveiksle. Kol priverstinė


150

jėga kinta lėtai, tol poslinkio ir jėgos fazių skirtumas artimas nuliui. Rezonanso metu tas

skirtumas lygus π/2. Be to rezonansinėje srityje fazių skirtumas kinta tuo staigiau, kuo

mažesnis slopinimas.

δ1 δ2

01 2

<

ωωrez

ϕ π

2π

8.21 pav. Fazių skirtumo dažninė charakteristika

___________________________________________________________________________

Kam lygus traukinio greitis, kai vagonų lingės svyruoja maksimalia amplitude dėl ratų

smūgių į bėgių sandūras? Bėgių ilgis 12,5 m, o linges slegia 5,5 t masė ir lingės įlinksta 16

mm, veikiant 1 t masei. Slopinimo koeficiento nepaisyti.

l = 12,5 m,

m = 5,5⋅103 kg,

F1 = 1⋅103⋅9,81 N,

s = 16⋅10-3 m,

δ = 0

v – ?

S p r e n d i m a s

Ciklinis smūgių dažnis

πν=ω 2 . (1)

Smūgių dažnis ν yra

l

v=ν . (2)

Tuomet

l

v2π=ω . (3)

Lingės svyruos maksimalia amplitude rezonanso metu, t.y. kai

mk

=ω≈δ−ω=ω 022

0 2 , (4)

čia k – lingių tamprumo koeficientas:

sFk 1= . (5)

Taigi traukinio greitis, kaip išplaukia iš (3), (4) ir (5) lygybių, lygus:

ms

F10

22v

π=

πω⋅

=ll

. (6)


151

Įrašome skaitines vertes ir gauname:

hkm7,75sm21sm105,5016,0

1081,914,325,12v 3

3==

⋅⋅⋅

⋅= .

___________________________________________________________________________

Rezonansinio pobūdžio yra daugelis akustinių, elektrinių, optinių ir branduolinių

procesų. Rezonanso metu sistema papildo savo energiją iš šaltinio palankiausiomis sąlygomis.

Vienok, reikia atsižvelgti ir į nepageidautinas rezonanso pasekmes automobiliuose,

lėktuvuose, statiniuose.

8.8. Bangų samprata. Bangų tipai. Bangos lygtis. Bangos skaičius

Kalbėsime apie dalelių svyruojamąjį judėjimą ištisinėse aplinkose. Ištisinėse aplinkose

dalelės yra tarpusavio sąryšyje, kuris savo ruožtu priklauso nuo aplinkos ir nuo jos

agregatinės būsenos. Dalelės svyravimai ryšio jėgomis persiduoda gretimoms dalelėms, o

pastarosios veikia savo tolimesnes kaimynes, ir tokiu būdu svyravimai plinta aplinkoje.

Svyravimų plitimą aplinkose ir vadiname bangomis. Tai gali būti periodinis svyravimas,

neperiodinis arba vienkartinis sužadinimas (smūgis). Bangų plitimo greitį aplinkoje sąlygoja

aplinka ir jos būsena. Kai aplinka yra vienalytė ir izotropinė, tai dalelės (molekulės)

svyravimai į visas puses persiduoda vienodai, ir visomis kryptimis jie plinta vienodu greičiu.

Tokių bangų frontas yra sfera. Pažymėkime bangų frontus dviem skirtingais laiko momentais,

kuriais jie yra r 1 ir r atstumu nuo taškinio bangų šaltinio (8.22 pav., a). Skysčio paviršiuje

sukeltų bangų frontai yra koncentriniai apskritimai (8.22 pav., b).

2

a b c

8.22 pav. a – sferinės bangos frontų pjūvis, b – bangos skysčio paviršiuje, c – telefono garsiakalbio membranos sukeltos garso bangos


152

Vandens baseinuose (tvenkiniuose, ežeruose, jūrose, vandenynuose) ilgalaikį

bangavimą sukelia vėjai. Paviršiaus plokštumos kryptimi pučiantis vėjas dėl trinties jėgų

paviršinius vandens sluoksnius neša bangų sklidimo kryptimi. Tokiu būdu viršutinių

sluoksnių vandens dalelės dalyvauja dviejuose tarpusavyje statmenuose judesiuose, ir jų

atstojamasis judesys vyksta uždaromis trajektorijomis (8.23 pav.). Dalelių trajektorijos

pavaizduotos apskritimais, tačiau realybėje jos svyruoja elipsėmis. Kaip matome, paviršinių

dalelių amplitudės yra didžiausios ir, didėjant gyliui, jos mažėja.

λ

8.23 pav. Banguojančio vandens paviršiaus dalelių judėjimo trajektorijos paviršiuje ir gilumoje

h

h

h

λ

λ

λ

a

b

c

8.24 pav. Harmoninės, neharmoninės ir lūžtančios bangos vandens paviršiuje

Silpno bangavimo atveju bangos yra artimos harmoninėms (8.24 pav., a). Bangų

aukščiui h didėjant, jos tampa nebeharmoninėmis (8.24 pav., b). Dar daugiau padidėjus bangų

aukščiui, viršutiniai vandens sluoksniai, genami vėjo, savo greičiu pralenkia bangų plitimo

greitį, ir bangos pradeda lūžti (8.24 pav., c).

Bangų fronto pobūdis priklauso nuo bangų šaltinio dydžio bangos ilgio atžvilgiu ir

aplinkos vienalytiškumo ir izotropiškumo. Kai šaltinio matmenys palyginus su bangų ilgiu yra

maži, tai šaltinį galima vadinti taškiniu, ir bangų frontai vienalytėse ir izotropinėse aplinkose

yra koncentrinės sferos (8.22 pav., c). Kai bangų šaltinio matmenys didesni už bangos ilgį,

tuomet bangų frontas turės šaltinio paviršiaus formą. Taip, pvz., ultragarso šaltinis (kvarco

kristalas), kurio skersmuo per 1 cm ir generuoja 3 MHz dažnio bangas (bangos ilgis ore λ =

0,1 mm) spinduliuos plokščiąsias bangas. 8.25 paveiksle parodyti plokščiosios ir sferinės

bangos frontų segmentai.


153

8.25 pav. Plokščiosios ir sferinės bangos frontų elementai

Pagal dalelių svyravimo pobūdį bangos plitimo krypties atžvilgiu bangos skirstomos į

skersines ir išilgines. Skersinėse bangose dalelės svyruoja skersai bangos sklidimo krypties

(dėl to susidaro iškilos ir įdubos), o išilginėse – bangų plitimo kryptimi (dėl to atsiranda

sutankėjimai ir išretėjimai). 8.26 paveiksle, a parodytas skersinės bangos susidarymas ir

plitimas.

a b

8.26 pav. Skersinės (a) ir išilginės (b) bangų susidarymas ir plitimas

Statmenosios rodyklės greičio vr krypčiai rodo dalelių svyravimo kryptis. 8.26

paveiksle, b parodytas išilginės bangos susidarymas ir plitimas spyruoklėje. Skersines bangas

galima sukelti aplinkose, kurioms būdinga šlyties deformacija. Šlytis būdinga tiktai

kietiesiems kūnams ir, kaip išimtis, skysčių paviršiams. Tokiu būdu skersines bangas galima

sukelti kietuosiuose kūnuose ir skysčių paviršiuose.

Bangų sklidimo tamprioje aplinkoje greitis priklauso nuo jų tipo ir aplinkos savybių.

Pvz., išilginių bangų sklidimo greitis

ρ

=E

išv , (8.70)

čia E – Jungo modulis, ρ – aplinkos tankis.


154

Skersinių bangų sklidimo greitis

ρ

=G

skv , (8.71)

čia G – šlyties modulis.

Kadangi visų medžiagų ir visada E > G, tai išilginių bangų sklidimo greitis didesnis už

skersinių bangų sklidimo greitį.

Vandens paviršiumi sklindančių bangų greitis priklauso ir nuo jų ilgio (dažnio) – joms

būdinga dispersija:

λρπ

α+πλ

=2

4v g , (8.72)

čia α – paviršiaus įtempimo koeficientas.

Kai bangos ilgis h>>λ (už gylį), kaip dažnai būna potvynių metu, sklidimo greitis

hg=v (8.73)

ir, vadinasi, nepriklauso nuo λ.

X

vfaz

λ

λ

0

-A

A

x

Y

8.27 pav. Svyravimo sklidimas X-ų ašimi

Jeigu bangas sužadinsime periodiniais judesiais, tai ir plintanti banga bus periodinė.

Bangos plitimą aplinkoje aprašome periodine koordinačių ir laiko funkcija (8.27 pav.):

( ) ( )τ−ω= tcosAtxy , , (8.74)

čia fazx v=τ – svyravimų vėlavimo laikas taške, kurio koordinatė x, vfaz – fazinis bangos

sklidimo greitis ( dtdxfaz =v ). Nors funkcijos y(x,t) grafikas panašus į harmoninio svyravimo

grafiką y(t), tačiau jie skiriasi savo esme: bangos grafikas vaizduoja visų aplinkos dalelių

poslinkį šaltinio atžvilgiu tuo laiko momentu, o svyravimo grafikas – konkrečios dalelės

nuokrypio priklausomybę nuo laiko.

Lygtis (8.74) yra plokščiosios bangos lygtis. Plokščiosios bangos amplitudė aplinkoje

nekinta. Sferinės bangos amplitudė atvirkščiai proporcinga atstumui iki taškinio bangų

šaltinio, t.y. ~1/r.


155

Dažnai bangų sklidimą vienalyte izotropine aplinka įprasta apibūdinti bangine lygtimi:

012

2

22

2=

∂∂

+∂∂

ty

vxy

faz . (8.75)

Šios lygties sprendinys yra bet kurios bangos išraiška, pvz., (8.74) išraiška.

Bangos lygtį (8.74) patogu vartoti kitokia forma:

, (8.76) ( ) ( kxtcosAtxy −ω=, )

čia faz

kv

2 ω=

λπ

= – ciklinis banginis skaičius.

Dydis λ – bangos ilgis – minimalus atstumas tarp sinfaziškai (fazių skirtumas 2π)

svyruojančių taškų, t.y. atstumas, kurį bet kuri svyravimo fazė nusklinda per periodą:

ν==λ fazfaz T vv , (8.77)

čia ν – svyravimų dažnis.

___________________________________________________________________________

Okeaninių bangų periodas T = 10 s. Bangų greitis 16 sm . Koks yra bangų ilgis? Koks

atstumas l horizontalia kryptimi tarp bangų iškilų ir įdubų? Koks didžiausias vandens

paviršiaus taškų greitis, jeigu žinome, kad vertikalus atstumas tarp bangų iškilų ir įdubų

h = 1,2 m. Bangos yra harmoninės.

T = 10 s,

vfaz = 16 m/s,

h = 1,2 m

λ, ℓ, vmax – ?

S p r e n d i m a s

Bangos ilgis

m160s10m/s16v =⋅==λ Tfaz .

Atstumas tarp gretimų iškilų ir įdubų yra lygus pusei bangos ilgio

m802

m1602 ==λ=l .

Vandens paviršiaus dalelių svyravimo greitis

( )kxtsinAdtdy

−ωω−==v .

Greičio maksimali vertė lygi greičio amplitudei Aω. Bangos amplitudė A yra lygi pusei

aukščio h, t.y. 0,6 m. Tuomet

sm38,0102m6,0v =

π⋅=ω=

sAmax .

___________________________________________________________________________


156

8.9. Bangos energija. Energijos tankis

Svyruojančios dalelės dalį savo energijos perduoda kaimyninėms dalelėms, todėl

sklindant bangai energija yra pernešama. Dalelių svyravimų išdavoje aplinka deformuojasi ir

deformacijos srityse yra padidintos potencinės energijos kiekis. Svyravimų metu vyksta

energijos kaita: potencinė virsta kinetine ir atvirkščiai. Aplinkose, kuriose nėra energijos

nuostolių, bangos energiją sudaro tiktai svyruojančių dalelių kinetinė ir potencinė energija.

Išskirkime banguojančios aplinkos nykstamai mažą tūrio elementą dV, kurio masė

. Šio elemento svyravimų kinetinė energija dVdm ⋅ρ=

( ) dVkxtsinAdtdymddEk ⋅−ω

ωρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

222

22, o jo potencinė energija

( ) dVkxtsinAdVdxdyEykdE p −ω

ρω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== 2

2222

222,

čia E – Jungo modulis.

Pastebime, kad elemento kinetinė energija lygi jo deformacijos potencinei energijai:

. pk dEdE =

Be to abi jos kinta vienodu dėsningumu ir sinfaziškai. Todėl visuminė elemento energija

( ) dVkxtsinAdEdEdE pk ⋅−ωωρ=+= 222 . (8.78)

Aplinkos tūrio vieneto energija arba energijos tūrinis tankis

( )kxtsinAdVdEw −ωωρ== 222 . (8.79)

Energijos vidutinis tūrinis tankis (vidurkinant per periodą) lygus

22

21 Aw ωρ= , (8.80)

t.y. proporcingas aplinkos tankio, svyravimų dažnio kvadrato ir amplitudės kvadrato

sandaugai.

Pritaikykime tai svyruojančiai stygai. Stygoje išskiriame mažą stygos elementą, kurio

ilgis lygus 22 dydx + (8.28 pav.). Jo kinetinė energija lygi

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛µ=

dtdydxdEk ,

čia µ – stygos ilgio vieneto masė.


157

a b

8.28 pav. Deformuota styga (a) ir energijos tankio pasiskirstymas joje (b)

Deformuotos stygos elemento pailgėjimas

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=−+=δ 11

222

dxdydxdxdydxl .

Kadangi dy/dx yra mažas, tai išskleidę eilute, gauname:

dxdxdy

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=δ

2

21

l .

Deformuotos stygos elemento potencinė energija

dxdxdyFFUd ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=δ⋅=

2

21

l ,

čia F – stygos įtempimo jėgos modulis.

Visuminė virpančios stygos elemento energija lygi energijų sumai:

( ) ( ) dxkxtsinAFdxkxtsinA

dxdxdyFdx

dtdyEd

faz⋅−ω

ω+⋅−ωω

µ=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛µ=

22

22222

22

v22

21

21

.

Elemento energiją dalindami iš ilgio dx, gauname energiją, tenkančią vienam stygos ilgio

vienetui. Tai – virpančios stygos linijinis energijos tankis:

( )kxtsinFAdxdE

faz−ω⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+µ

ω==τ 2

2

22

v2

arba

( )kxtsinAdxdE

−ωωµ= 222 ,


158

nes skersinių bangų greitis stygoje

µ

=F

fazv . (8.81)

Suvidurkinę per periodą, gauname, kad energijos linijinis tankis

22

21 Aωµ=τ . (8.82)

Energijos tankio pasiskirstymas išilgai X-ų ašies parodytas 8.28 paveiksle, b. Taigi

energijos tankis kinta dvigubai sparčiau negu svyravimai.

8.10. Bangų interferencija ir jos sąlygos

Kai dvi ar kelios bangos sklinda tiesine aplinka, kiekviena jų sklinda tarsi

„nepastebėdama“ kitų bangų, t.y. sklinda nepriklausomai viena nuo kitos. Šis reiškinys

vadinamas bangų superpozicija. Tačiau kai sklinda ir persikloja koherentinės bangos, jos

interferuoja, t.y. persiklojimo srityje susidaro stabilus interferencinis vaizdas, rodantis,

kuriuose jos taškuose bangos stiprinasi, o kuriuose jos silpninasi. Koherentinės bangos yra

vienodų arba labai artimų dažnių bangos, kurių todėl fazių skirtumas bet kuriame taške P

(8.29 pav.) nepriklauso nuo laiko ir kurių svyravimų kryptys tarpusavyje nestatmenos.

P

r2

S2

S1

r1

∆

λr =

2

8.29 pav. Koherentinės bangos sklinda iš taškinių šaltinių S1 ir S2

Ar koherentinės bangos vienos kitas stiprina, ar silpnina, priklauso nuo jų fazių ar kelių

skirtumo. Fazių skirtumo ir kelių skirtumo ϕ∆ r∆ sąryšis toks:

r∆λπ

=ϕ∆2 . (8.83)

Todėl sudėkime taške P užsiklojusių bangų lygtis:

( )11 krtcosAy −ω=


159

ir , (8.84) ( )22 krtcosAy −ω=

kai bangų pradinės fazės . 00201 =ϕ=ϕ

Taigi suminio svyravimo persiklojimo taške P lygtis tokia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−ω⋅−

=22

2 2112 rrktcosrrkcosAyP . (8.85)

Šio svyravimo amplitudė lygi

2

2 12 rrkcosAAP−

= . (8.86)

Ji maksimali, t.y. bangos stiprina viena kitą taškuose P, kuriuose jų kelių skirtumas lygus

lyginiam pusbangių skaičiui:

2

212λ

=− mrr . (8.87)

Bangų fazių skirtumas šiuose taškuose lygus

π=λ

⋅λπ

=ϕ∆ mm 22

22 , (8.88)

čia m = 0, 1, 2, ... – interferencijos maksimumo eilė.

Suminės bangos amplitudė lygi bangų amplitudžių sumai (8.30 pav.).

x

8.30 pav. Dvi vienodų dažnių ir vienodų amplitudžių bangos stiprina viena kitą, nes jų fazės sutampa

Taškuose, kuriuose bangų kelių skirtumas

( )2

1212λ

+=− mrr (8.89)

arba jų fazių skirtumas

, (8.90) ( ) ( K,2,1,0,12 =π+=ϕ∆ mm )


160

bangos naikina (8.31 pav.) arba tik silpnina (8.32 pav.) viena kitą.

8.31 pav. Dvi vienodų dažnių, bet ir vienodų amplitudžių bangos naikina viena kitą, nes jų fazių skirtumas lygus 180º

8.32 pav. Dvi vienodų dažnių, bet skirtingų amplitudžių bangos silpnina viena kitą,

nes jų fazių skirtumas lygus 180º

Abi išvados tinka tiek plokščiosioms, tiek ir sferinėms koherentinėms bangoms.

8.11. Bangų atspindys. Stovinčiosios bangos. Pūpsniai ir mazgai

Atskiras bangų interferencijos atvejis yra stovinčiųjų bangų susidarymas, susitikus

dviem priešpriešiais sklindančioms koherentinėms bangoms. Dažniausiai taip būna, kai

susitinka sklindančioji ir atspindėtoji bangos. Nustatyta, kad, bangai atsispindint nuo optiškai

tankesnės aplinkos, jos fazė kinta 180º (8.33 pav., a), o atsispindint nuo optiškai retesnės

aplinkos, bangos fazė nekinta (8.33 pav., b).


161

0

0

0

0

0

0

0

0

B

B

B

ba

v

v

v

v = 0

v = 0

AA

2A

B

B

8.33 pav. Bangos atsispindėjimas nuo tankesnės (a) aplinkos ir nuo retesnės (b)

Panagrinėkime stovinčiųjų bangų susidarymą virvutėje, kurios vienas galas prijungtas

prie vibratoriaus, o kitas – įtvirtintas (8.34 pav.).

0 X

Y l

x

yB

B

8.34 pav. Stovinčiųjų bangų susidarymas virvutėje. Vertikalios rodyklės žymi dalelių judėjimo kryptis tą pusperiodį

Tegu bangų amplitudės lygios, o pradinės fazės lygios nuliui. Rašome sklindančios

bangos lygtį:

( )kxtcosAy −ω=→ ,

atspindėtos bangos lygtį:

( ) ( )kxtcosAkxtcosAy +ω−=π++ω=← . (8.91)

Sudedame lygtis ir gauname:

. (8.92) tsinkxsinAyB ω= 2


162

Tai ir yra stovinčiosios bangos lygtis. Iš jos išplaukia, kad virvutės bet kurio taško B

amplitudė priklauso nuo jo koordinatės x. Amplitudė maksimali bangos

pūpsniuose, kurių koordinatės x

kxsinA2

p tenkina sąlygą:

. (8.93) 1=pkxsin

Iš jos išplaukia, kad ( )2

122 π+=

λπ pxp , t.y.

( ) K,,,p,mxp 2104

12 =λ

+= (8.94)

Amplitudė lygi nuliui bangos mazguose, t.y. taškuose, kurie nesvyruoja:

0 . (8.95) =mkxsin

Iš šios sąlygos gauname:

K,2,1,0,

2

t.y.,2

=λ

=

π=λπ

mmx

mx

m

m (8.96)

Patogu išreikšti koordinates xp ir xm virvutės ilgiu l. Tam pravartu prisiminti bangos

fazės kitimą jos atspindžio vietoje. Dėl to virvutės įtvirtinimo vietoje visada susidaro mazgas

(susideda priešingų fazių bangos), o jos laisvame gale – pūpsnis. Vadinasi, vienu galu

įtvirtintoje virvutėje, stygoje, strype stovinčiosios bangos susidaro, kai ilgyje l telpa nelyginis

sklindančiųjų bangų ketvirčių skaičius, t.y. kai

( ) Kl ,,,n,n 2104

12 =λ

+= (8.97)

Tai pavaizduota 8.35 paveiksle.

0

0

0

n = 0, = l λ / 4

l

n = 2, = 5l λ / 4

n = 1, = 3l λ / 4

8.35 pav. Stovinčiųjų bangų susidarymas vienu galu įtvirtintame l ilgio strype


163

Iš (8.94) ir (8.97) išraiškų gauname, kad pūpsnių koordinatės taip virpančioje virvutėje

yra šiose jos vietose:

l1212

++

=npxp . (8.98)

Analogiškai nustatome mazgų vietas virvutėje:

l12

2+

=n

mxm . (8.99)

Atstumas tarp gretimų pūpsnių (ar gretimų mazgų) lygus stovinčiosios bangos ilgiui:

2λ

=λstov . (8.100)

Stovinčioji banga energijos neperneša, nes kiek jos neša sklindančioji, tiek priešinga

kryptimi per tą patį laiką atneša atspindėtoji banga.

Gautas išvadas galima pritaikyti ir kitoms baigtinėms virpančioms sistemoms –

stygoms, strypams, plokštelėms, vamzdžiams. Kiekvienai jų būdingas tam tikras savųjų

virpesių dažnių rinkinys, priklausantis nuo jos įtvirtinimo pobūdžio. Pvz., vienu galu įtvirtinta

styga virpa dažniais

( )12v0 +ν=

λ=ν n

nn , (8.101)

čia l4

v0 =ν – pagrindinis tonas, kai n = 0.

Abiem galais įtvirtinta styga virpa dažniais (8.36 pav.)

Kl

,2,1,2v

==ν nnn (8.102)

Dydis v reiškia bangų sklidimo greitį stygoje.

8.36 pav. Stovinčiųjų bangų susidarymas abiem galais įtvirtintoje stygoje


164

Kai virpančioji sistema žadinama periodiškai, tai ji rezonuoja vienu iš savųjų dažnių: šio

dažnio virpesių amplitudė pati didžiausia.

Skudučio (oro stulpo) ilgis l = 32,85 cm. Kam lygus jo skleidžiamo garso pagrindinio

tono dažnis?

l = 0,3285 m

ν0 –

S p r e n d i m a s

Skudutis – vienu galu uždaras vamzdelis. Vadinasi, jame

susidaro tik nelyginis bangos ketvirčių skaičius:

Kl ,5,3,1,4

=λ

= nn

Be to bangos ilgis ir virpesių dažnis taip susieti:

ν

=λv .

Iš čia dažnis

l4

vn=ν .

Pagrindinio tono dažnis (n = 1)

Hz264Hz3285,04

3434v

0 =⋅

==νl

.

8.12. Garso bangos ir jų charakteristikos

Garso bangomis vadinami garso pojūtį sukeliantys tamprioje aplinkoje sklindantys

virpesiai, kurių dažnis yra nuo 16 Hz iki 20000 Hz. Bangos, kurių dažnis ν < 16 Hz,

vadinamos infragarsu, o bangos, kurių ν > 20000 Hz, – ultragarsu.

Dujoms ir skysčiams būdinga tik slėgio deformacija. Todėl šiose aplinkose gali sklisti

tik išilginės bangos. Kietieji kūnai pasižymi tempimo (gniuždymo) ir šlyties deformacijomis.

Vadinasi, jais gali sklisti tiek išilginės, tiek ir skersinės bangos.

Garso šaltiniai įvairūs: kamertonai, stygos, strypai, plokštelės, varpai, sirenos,

vamzdžiai ir kt. Infragarsą skleidžia į krantą atsimušdamos bangos (ν ≈ 0,05 Hz), audros

srautai, vulkanai (ν ≈ 0,1 Hz), žemės drebėjimai, potvyniai, atsiradę dėl povandeninių žemės

drebėjimų (cunamio bangų greitis iki 800 km/h, aukštis iki 40 m, ilgis 100-400 km).

Ultragarsas įprastai gaunamas atvirkštinio pjezoelektrinio reiškinio principu: atitinkamai

paruošta kvarco plokštelė virpa (deformuojasi) kintamame elektriniame lauke, kurio kitimo


165

dažnis lygus plokštelės savųjų virpesių dažniui (rezonansas) (8.37 pav.). Ultragarsas taikomas

hidrolokacijoje, medicinos diagnostikoje ir chirurgijoje, fizioterapijoje, vaistų pramonėje,

gręžimo technologijoje ir kt. Ultragarsu atbaidomi augalų kenkėjai, kurmiai.

kvarcoplokštelė ~

8.37 pav. Kvarco plokštelė virpa kintamame elektriniame lauke

Garso bangų plitimo greitis aplinkose priklauso nuo aplinkos savybių ir jos būsenos.

Sklidimo greitį sąlygoja tamprumo jėgos veikiančios tarp dalelių. Garso greitis dujose lygus

MRTpE

γ=ρ

γ=ρ

=v . (8.103)

čia γ – molinių savitųjų šilumų santykis (orui γ = 1,4), p – slėgis, ρ – dujų tankis, R –

universalioji dujų konstanta, M – jų molinė masė, T – temperatūra. Vadinasi, garso greitis

dujose nepriklauso nuo slėgio, bet proporcingas T .

Garso greitis skysčiuose ir kietuosiuose kūnuose yra ženkliai didesnis, nes juose žymiai

stipresnė tarpmolekulinė sąveika (žr. lentelę).

Lentelė. Garso greitis įvairiose aplinkose

Aplinka Garso greitis, m/s Oras: 0°C, 1,013⋅105 Pa 331

20°C, 1,013⋅105 Pa 344

100°C, 1,013⋅105 Pa 386

Helis 0°C, 1,013⋅105 Pa 965

Vanduo (distiliuotas) 25°C 1497

Vanduo (jūros) 17°C 1510-1550 Aliuminis 5080 (išilg.) 3080 (skers.) Sidabras 1590 (išilg.) 3600 (skers.) Geležis 5130 (išilg.) 3230 (skers.) Stiklas 5400-3490 (išilg.) 3560-3100 (skers.) Švinas 700 (išilg.) 2160 (skers.)


166

Garso greičio ir aplinkos tankio sandauga yra viena svarbiausių aplinkos akustinių

charakteristikų – jos savitoji akustinė varža:

. (8.104) vρ=aR

Pvz., garso atspindžio nuo dviejų aplinkų ribos koeficientas normalinio kritimo atveju lygus:

2

2211

2211

vvvv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ+ρρ−ρ

=R , (8.105)

čia ρi ir vi – atitinkamos aplinkos tankis ir garso greitis joje.

Nagrinėjant garso atspindį nuo oro ir vandens ribos, gaunama tokia atspindžio

koeficiento vertė:

999t.y.9990430107148430107148

4

4,R,,

,,R ==

+⋅−⋅

= %

Kietojo kūno akustinė varža didelė, pvz., geležies ( )smkg1040 26 ⋅⋅=aR , kvarco

( )smkg1015 26 ⋅⋅=aR .

Kai garso banga pereina aplinkų ribą, jos bangos ilgis kinta proporcingai sklidimo

greičiui:

121

2

1

2 nesvv

ν=ν=λλ , (virpesių dažnis nekinta). (8.106)

Taigi bangos ilgis vandenyje lygus

m491m333

14903330vv OH

OH2

2,,

oreore ==λ=λ ,

t.y. 4,47 karto didesnis negu ore.

Kai harmoninė garso banga sklinda skysčiu ar dujomis, atsiranda papildomas slėgis –

garso slėgis proporcingas aplinkos santykinei deformacijai dy/dx:

( )kxtsinAp −ωωρ=∆ v , (8.107)

čia ρv = Ra – aplinkos akustinė varža, A – dalelių virpesių amplitudė, ω – jų ciklinis dažnis.

Perteklinio slėgio amplitudė lygi

, (8.108) ω=∆ ARp amax

t.y. priklauso nuo aplinkos akustinės varžos ir pačios bangos charakteristikų.

Garso bangos perneša energiją. Tai nedidelė energija, tačiau klausos organai yra labai

jautrūs ir pajunta labai mažo intensyvumo energiją. Palyginimui pateiksime tokį pavyzdį.

Jeigu 200 žmonių, garsiai kalbėdami, sukoncentruotų garso bangų energiją į stiklinę vandens,

tai vanduo joje užvirtų per vieną valandą. Arba žmogaus ausys jaučia oro molekulių


167

virpėjimą, kurį sukelia skrendantis uodas 1,5 m atstumu. Tai reiškia, kad uodas virpina apie

16 m 3 oro.

Apskritai, garsas apibūdinamas objektyviomis ir subjektyviomis charakteristikomis.

Prie objektyvių charakteristikų priskiriamas energijos srauto tankis arba garso intensyvumas,

garso dažnis ir garso spektrinė sudėtis. Garso intensyvumas I lygus energijai, kurią garso

bangos per 1s perneša per statmeną 1 m2 plotelį:

v21

v222

2ωρ=

ρ∆

=∆⋅∆

∆= Ap

tSWI max . (8.109)

Garso dažnis – švaraus (gryno) garso charakteristika,

kuria pasižymi harmoninės garso bangos (8.38 pav.).

Garso spektrinė sudėtis apibūdina, iš kokių dažnių

virpesių sudarytas šis garsas. Sudėtinio tono spektras yra

linijinis (8.39 pav., a). Toks, pvz., yra akordo – vienalaikio

kelių švarių tonų skambesio – spektras. Triukšmo –

netvarkingo garsų mišinio – spektras yra ištisinis (8.39 pav.,

b).

A

0 ν0 ν

8.38 pav. Gryno garso spektras

Tokius garsus skleidžia varikliai, kalbančių žmonių minia, plojimai, kriokliai, miškas,

jūra.

A

0 ν0 2ν0 3ν0

ν

0 1,60,40,1

403020

10

6,4 ν, kHz

I,dB jūros

salės

a b

8.39 pav. Linijinis ir ištisinis spektrai: a – muzikos instrumento, b – triukšmo

Subjektyvios garso charakteristikos yra tono aukštis, garsumas ir tembras. Tono aukštis

yra švaraus garso dažnio matas: kuo dažnis didesnis, tuo tonas aukštesnis. Stipresnis garsas

suvokiamas kaip žemesnio tono garsas. Tačiau žmogaus ausys nevienodai skiria įvairių

dažnių garsus (8.40 pav.). Labiausiai „aštri“ klausa 600-1500 Hz dažnio garsams, kuriems

30,≈νν∆ .


168

0,4

0,6

0,8

1,0

102

104

1030

0,2

∆νν

ν, Hz

Girdos slenkstis

Skausmo slenkstis

Girdėjimo sritis

I,W/m

2I,

dB

ν, Hz 8.40 pav. Santykinio dažnio pokyčio, kurį jaučia ausis, priklausomybė nuo garso dažnio

8.41 pav. Normalios ausies dažnuminė charakteristika silpniems ir stipriems garsams

Garsumas apibūdina garso jutimo lygį, kuris priklauso nuo dažnio.

Normali žmogaus ausis jaučia įvairaus stiprio garsus. Pvz., ν = 1000 Hz dažnio garsus

girdi nuo I0 = 10-12 W/m2 (girdos slenksčio) iki Imaks = 10 W/m2 (skausmo slenksčio). Abu

slenksčiai riboja girdėjimo sritį (8.41 pav.), kurios plotis Imaks /I0 =1013.

Praktiškai vartojama logaritminė intensyvumų skalė, nes dydis

0

g10IIL l= (8.110)

vadinamas garsumo lygiu, kurio matavimo vienetas – decibelas (dB).

Intensyvumo ir garsumo sąryšį nusako Vėberio ir Fechnerio dėsnis: intensyvumui

didėjant geometrine progresija, garsumas didėja aritmetine progresija, t.y. garsumas

proporcingas garso lygiui:

0

gIIkE l⋅= , (8.111)

čia k – nuo garso dažnio ir intensyvumo priklausantis koeficientas.

Garsumo vienetas – fonas. Kai ν = 1 kHz,

garso lygio ir garsumo skalės sutampa (8.42 pav.). Iš

garsumo kreivių galima nustatyti garso lygį, taigi ir

kitokio dažnio garso intensyvumą. Pvz., kai E = 30

fonų, ν = 100 kHz, garso lygis L = 60 dB.

Lentelėje pateikti įvairių garsų lyginamieji

duomenys.

ν, Hz

L, dB E, fonai

8.42 pav. Garso lygio ir garsumo skalių palyginimas


169

Lentelė. Kai kurių garsų lyginamieji duomenys

Garsas Intensyvumas,

W/m2Garsumo lygis,

dB Stipriausias garsas, gaunamas laboratorijoje

10 9

210

Trūksta ausies būgnelis 10 4 160 Reaktyvusis variklis 3 m atstume 10 130 Skausmo riba 1 120 Stiprus griaustinis 10 1− 110 Metro traukinys, orkestras 10 2− 100 Sunkusis gatvių transportas 10 5− 70 Normali kalba 10 6− 60 Šnabždesys 10 10− 20 Normalus kvėpavimas 10 11− 10 Girdos slenkstis 2,5⋅10 12− 4

Trečioji subjektyvi garso charakteristika – tembras. Tai savitasis balso ir muzikos

instrumento skambesys, priklausantis nuo akustinio spektro sudėties. Tono aukštį nusako

pagrindinis dažnis ν0, o tembrą – viršutiniai (harmonikos), kurių dažniai 2ν0, 3ν0,... (8.39

pav.). Nustatyta, kad garso intensyvumas aplinkoje eksponentiškai mažėja:

, (8.112) ( ) xIxI µ−= e0

čia I0 – garso intensyvumas prieš įeinat į tą aplinką (x = 0), µ – silpimo koeficientas. Garsas

silpsta dėl sugerties ir sklaidos, t.y.

ρ+τ=µ . (8.113)

Sugerties koeficientas τ, taigi ir silpimo koeficientas µ, priklauso nuo aplinkos savybių

(8.43 pav.) ir virpesių dažnio (8.44 pav.).

ν

τ

ϕ

ν ν2 1 >

ϕ2ϕ1

µ

8.43 pav. Sugerties koeficiento priklausomybė nuo virpesių dažnio ore

8.44 pav. Garso silpimo koeficiento priklausomybė nuo oro drėgnumo ir dažnio


170

Taigi, dažniui didėjant, garsas silpsta greičiau, o oro santykinei drėgmei didėjant sugerties

maksimumas slenka didesnės drėgmės pusėn.

Garso silpimo greitis yra svarbi uždarų patalpų (auditorijų, salių) charakteristika. Mat,

nustojus veikti garso šaltiniui, dar sklinda nuo sienų atspindėtos bangos. Taigi kurį laiką dar

garsas girdimas. Laikas, per kurį garso intensyvumas sumažėja 106 kartų, vadinamas

reverberacijos laiku. Šis laikas proporcingas kubinei šakniai iš patalpos tūrio ( 3 V~τ ).

Koncertų salių τ ≈ 1,3-2 s, auditorijų, kambarių τ ≈ 1 s.

Bangoms, taigi ir garsui, būdingas Doplerio reiškinys, kurio esmė – priimamų bangų

dažnis nelygus siunčiamų bangų dažniui, kai bangų šaltinis ir jų imtuvas juda vienas kito

atžvilgiu:

vv1vv1

šalt

imtsiunčpriim

m

±ν=ν , (8.114)

čia v – bangų sklidimo greitis, vimt – imtuvo, všalt – šaltinio greitis aplinkos atžvilgiu.

Viršutiniai ženklai rašomi, kai šaltinis ir imtuvas (stebėtojas) artėja vienas prie kito, o

apatiniai – kai jie tolsta vienas nuo kito (8.45 pav.). Paveiksle pavaizduotas šaltinio artėjimas

prie nejudančio imtuvo (mikrofono).

Taigi

Tšaltsiunčpriim ⋅−λ=λ v

arba

vv1

1šalt

siunčpriim −ν=ν ,

t.y. . siunčpriim ν>ν

X

λsiunč

λpriimvšaltT

8.45 pav. Šaltinis artėja prie nejudančio mikrofono


171

Analogiškai nagrinėjami kiti judėjimo atvejai. Kai šaltinis ir imtuvas juda ne juos

jungiančia tiese, tai į dažnio formulę rašomos imtšalt virv rr projekcijos į tą tiesę.

Visais judėjimo atvejais priimamų garsų dažnis padidėja, kai šaltinis ir imtuvas artėja

vienas prie kito, ir sumažėja, kai jie tolsta vienas nuo kito.

Doplerio reiškinys būdingas ir elektromagnetinėms bangoms (pvz., šviesai), tik jų

dažnio pokytis priklauso nuo reliatyvaus bangų šaltinio ir imtuvo greičio. Šiuo reiškiniu

pagrįstas automobilių greičio matuoklių veikimas.

Kokiu greičiu artėja automobilis, jeigu iš jo sklindantis ν0 = 392 Hz dažnio garsas

suvokiamas kaip ν = 440 Hz dažnio garsas? Greičio matuoklis nejuda.

ν0 = 392 Hz,

ν = 440 Hz

vaut – ?

S p r e n d i m a s

Automobilio garso siųstuvo greitį rasime iš Doplerio reiškinio

formulės: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

νν

−= 01vvaut ,

čia v – garso greitis ore.

Skaičiuojame:

h

km135sm

4403921343v =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=aut .

172

9

MOLEKULINĖS FIZIKOS IR TERMODINAMIKOS PAGRINDAI

Molekulinė fizika – fizikos mokslo šaka, tirianti bet kurios agregatinės būsenos kūnų

fizikines savybes juos sudarančių dalelių sąveikos ir šiluminio judėjimo požiūriu. Jos

pagrindinis uždavinys – medžiagos makroskopinių savybių tyrimas, remiantis mikroskopine

jos sandara ir žinant, kad: 1) kūnai sudaryti iš dalelių – molekulių, atomų ar jonų; 2) dalelės

nuolat ir netvarkingai juda; 3) dalelės tarpusavy sąveikauja – stumia ar traukia vienos kitas.

Molekulė – mažiausia stabili medžiagos dalelė, pasižyminti pagrindinėmis tos

medžiagos savybėmis. Atomas – mažiausia cheminio elemento dalelė, sudaryta iš branduolio

ir apie jį skriejančių elektronų.

9.1. Statistinis ir termodinaminis tyrimo metodai

Kiekvieną kūną sudaro daugybė dalelių, pavyzdžiui, 1 cm3 vandens yra apie 3,3⋅1022

molekulių. Todėl pagrindinis molekulinės fizikos, kaip mokslo, tyrimo objektas yra statistinis.

Todėl tik daugelio dalelių sistemai būdingos tokios savybės, kurios apibūdinamos fizikiniais

dydžiais: temperatūra, slėgiu, šiluminiu laidumu, klampa ir pan. Jie išreiškia vidutinį atskirų

molekulių poveikį. Be to, daugelio dalelių sistemai būdingi statistiniai dėsningumai, t. y. tokie

priežastiniai ryšiai, kurie tik tikimybiškai apibūdina galimas būsenas. Tačiau šie dėsningumai

ir dėsniai yra objektyvūs ir išreiškia tiriamųjų reiškinių priežastinius sąryšius.

Termodinamika – fizikos mokslo šaka, tirianti makroskopinių kūnų sistemas šiluminiu

požiūriu, nesigilinant į jose vykstančių reiškinių mikroskopinę prigimtį. Todėl

termodinaminis tyrimo metodas taikomas sistemos vienos rūšies energijos virsmams kitos

rūšies energija nagrinėti. Pačią termodinaminę sistemą sudaro visuma makroskopinių kūnų,

kurie sąveikauja tarpusavyje ir su kitais kūnais ir dėl to keičiasi energijos. Sistema, kuri

nesąveikauja su išoriniais kūnais ir dėl to nesikeičia su jais nei energija, nei medžiaga,

9. Molekulinės fizikos ir termodinamikos pagrindai

173

vadinama izoliuotąja. Pagrindinis termodinaminio metodo tikslas – ištirti termodinaminės

sistemos būseną.

9.2. Būsenos termodinaminiai parametrai ir lygtys

Sistemos būseną apibūdina makroskopinių dydžių visuma: slėgis, tūris, temperatūra,

savitoji varža, įmagnetėjimas, lūžio rodiklis ir kt. Jos termodinaminę būseną apibūdina

termodinaminiai parametrai: slėgis, savitasis tūris ir temperatūra. Termodinaminė būsena yra

stacionari, kai visų jos parametrų vertės laikui bėgant nekinta. Kai visų stacionarios būsenos

sistemos dalių parametrų vertės vienodos, tai tokia būsena vadinama pusiausvyrąja. Jei dėl

kokių nors priežasčių ši būsena sutrinka, sistema savaime grįžta į pusiausvyrąją būseną. Šis

procesas vadinamas relaksacija. Per relaksacijos trukmę τ termodinaminio parametro

nuokryptis nuo pusiausvyros vertės sumažėja e = 2,72 kartų.

Pusiausvyroji būsena p ir V, p ir T ar V ir T būsenos diagramoje vaizduojama tašku (9.1

pav.). Kai sistema iš vienos pusiausvyrosios būsenos pereina į sekančias, sakoma, kad

sistemoje vyksta pusiausvyrasis termodinaminis procesas. Sistemą gali sudaryti du ar keli

skirtingi kūnai. Todėl teigiama, kad

1) jei du kūnai yra vienodos temperatūros, tai jie yra termodinaminėje pusiausvyroje;

2) jei kūnas A ir kūnas C yra termodinaminėje pusiausvyroje su kūnu B, tai kūnai A ir C

yra tarpusavio termodinaminėje pusiausvyroje (9.2 pav.). Kai sistema termiškai izoliuota nuo

aplinkos, termodinaminės pusiausvyros sąlyga tokia:

0222111 =∆+∆ TmcTmc ,

čia ci – medžiagos savitoji šiluma, mi – kūno masė, ∆Ti – jos temperatūros pokytis. Aišku, kad

kiekvieno kūno temperatūra kinta tol, kol abiejų kūnų temperatūros susivienodina.

9.1 pav. Pusiausvyrasis termodinaminis procesas vaizduojamas kreive

9.2 pav. Trijų kūnų sistemos termodinaminė pusiausvyra, kai visų jų temperatūros vienodos

Bet kurios būsenos parametrai tarpusavy susieti būsenos lygtimi:


174

( ) 0=T,V,pf . (9.1)

Konkretus šių parametrų sąryšis priklauso nuo tiriamojo objekto ir sąlygų. Pavyzdžiui,

idealiųjų dujų būsenos lygtis – Klapeirono lygtis – yra tokia:

MmRTpV = , (9.2)

čia m – dujų masė, M – jų molio masė, R – universalioji dujų konstanta. Prisiminsime, kad

idealiosiomis dujomis laikomos tos, kurių:

1) molekulių tarpusavio atstumai dideli palyginti su jų matmenimis;

2) molekulės tarpusavy nesąveikauja;

3) molekulės susiduria absoliučiai tampriai ir juda nuo susidūrimo iki susidūrimo tiesiai

ir tolygiai.

Realiųjų dujų būsenos lygtis – van der Valso lygtis – yra tokia:

( ) ( ) RTbVVap ν=ν−ν+ 22 , (9.3)

čia Mm=ν – molių skaičius, a ir b – konstantos, priklausančios nuo dujų prigimties.

_________________________________________________________________________

Vieno molio azoto dujų slėgis p = 1,013⋅106 Pa, tūris V = 2⋅10-3 m3. Įvertinkime, kiek

procentų dujos šiomis sąlygomis skiriasi nuo idealiųjų. Van der Valso konstantų vertės yra: a

= 0,14 Pa m6/mol2, b = 3,91⋅10-5 m3/mol.

ν = 1 mol,

p = 1,013⋅106 Pa,

V = 2⋅10-3 m3,

a = 0,14 Pa m6/mol2,

b = 3,91⋅10-5 m3/mol;

S p r e n d i m a s . Įvertinsime nuokrypį nuo idealiųjų

dujų pagal temperatūrų vertes, kurias gausime iš dujų

būsenų lygčių:

K244K3181

102100131 36

=⋅

⋅⋅⋅=

ν=

−

,,

RpVTid ,

( )( ) K24722

=ν

ν−ν+=

RbVVapTreal .

Taigi santykinis temperatūros nuokrypis nuo idealiųjų dujų

%21%100 ,T

TT

real

idreal ≈⋅−

=δ .

_________________________________________________________________________


175

9.3. Pagrindinė molekulinės kinetinės idealiųjų dujų teorijos lygtis

Ši lygtis sieja idealiųjų dujų būsenos slėgį su jų tūriu ir molekulių šiluminio judėjimo

vidutine kinetine energija:

1032

kEnp = , (9.4)

čia n0 – molekulių koncentracija, 1kE – vienos molekulės netvarkingojo slenkamojo

judėjimo vidutinė kinetinė energija. Taigi idealiųjų dujų slėgis lygus 2/3 vidutinės slenkamojo

judėjimo kinetinės energijos, kurią turi tūrio vienete esančios molekulės. Gaukime šią lygtį,

nagrinėdami molekulių susidūrimus su indo sienelėmis (molekulių tarpusavio susidūrimų

galime nepaisyti). Kai sienelę veikia statmena tolygiai paskirstyta jėga , tai slėgis į ją (II

Niutono dėsnis)

Fr

tSK

SFp

∆∆

== , (9.5)

čia S – sienelės plotas, tK ∆∆ – sienelės impulso kitimo sparta. Nukreipkime koordinačių

ašis statmenai kubo formos indo sienelėms (9.3 pav.). Kadangi molekulių ir sienelių

susidūrimai absoliučiai tamprūs, tai sienelės impulso pokytis dėl susidūrimo su viena

molekule (9.4 pav.) lygus

xii mK v02=∆ , (9.6)

čia m0 – molekulės masė.

9.3 pav. Koordinačių ašys statmenos indo sienelėms. Molekulių skaičius , čia n3

0 lnn = 0 – jų koncentracija 9.4 pav. Molekulės susidūrimas su

sienele yra absoliučiai tamprus


176

Laikas, per kurį teigiama X kryptimi judančios molekulės visos smūgiuos dešiniąją

sienelę, lygus

xilt v=∆ . (9.7)

Visų šių molekulių impulso pokytis

22 0

xxix

nmK v=∆ , (9.8)

čia nx – skaičius molekulių, judančių X kryptimi. 1/2 rašoma dėl to, kad tiek X, tiek Y, tiek ir Z

kryptimis juda po 1/3 visų molekulių, kurių pusė (1/2) juda tik į vieną pusę. Šių molekulių

sąlygota į sienelę vidutinė jėga

∑=

=∆

∆=

n

ixix

xx n

lm

tp

F1

20 v . (9.9)

Dydis 2

1

2x

n

ixix nn vv =∑

=

, (9.10)

čia n – molekulių skaičius kube, o 2xv – greičių kvadratų vidurkis. Kadangi nėra išskirtinių

judėjimo krypčių, tai 222zyx vvv == ir 22222 3 xzyx vvvvv =++= . Iš čia

322 vv =x . (9.11)

Taigi dujų slėgis

2003

20

31

3v

vmn

lnm

p == . (9.12)

Kadangi molekulės slenkamojo judėjimo vidutinė kinetinė energija

2201 vmEk = , (9.13)

tai slėgis

1032

kEnp = . (9.14)

Šią lygtį ir reikėjo gauti.

Padauginkime abi puses iš molio tūrio Vm:

1032

kmm EVnpV = arba

132

kA ENRT = ,

čia – Avogadro skaičius. Iš čia mA VnN 0=


177

kTEk 23

1 = , (9.15)

nes Bolcmano konstanta ANRk = . Vadinasi, molekulės slenkamojo judėjimo vidutinė

kinetinė energija proporcinga idealiųjų dujų temperatūrai ir yra jos matas. Pasiekus

absoliutaus nulio temperatūrą (T = 0 K), dingsta molekulių chaotiškas judėjimas, taigi dingsta

ir slėgis idealiose dujose, nes, kaip seka iš (9.1) ir (9.15) išraiškų, slėgis proporcingas

temperatūrai:

kTnp 0= . (9.16)

Tačiau jokiais cheminiais ir fizikiniais būdais T = 0 K temperatūra nepasiekiama.

Iš (9.13) ir (9.15) išraiškų gauname vidutinio kvadratinio greičio išraišką:

MRT

mkT~ 33

0

2 === vv , (9.17)

t. y. MT~~v . Pavyzdžiui, kai T = 293 K, deguonies molekulės smv 4782=O

~ , o

vandenilio smv 19112=H

~ . Nesunku įsitinkinti, kad temperatūrą sumažinus 100 kartų,

atitinkamų greičių vertės sumažės po 10 kartų.

9.4. Molekulių skirstiniai

Molekulių skirstinys reiškia jų pasiskirstymą pagal greičio, energijos ar kito fizikinio

dydžio vertes. Jis apibūdinamas tam tikra funkcija, kurią žinant galima apskaičiuoti

konkretaus fizikinio dydžio vidutinę vertę.

1. Maksvelio skirstinys reiškia molekulių pasiskirstymą pagal jų šiluminio greičio

vertes pusiausvyroje termodinaminėje sistemoje. Skirstinio esmė tokia: daugelio molekulių

greičių vertės artimos tam tikrai – tikimiausiojo greičio – vertei vt. Skirstinio funkcija f(v)

parodo santykinį molekulių skaičių dn/n vienetiniame greičių intervale dv:

( )v

vnddnf = . (9.18)

Dž. Maksvelis, taikydamas tikimybių teorijos metodus, gavo šitokią skirstinio funkcijos

išraišką:

( ) ( )22 vvv α−= expAf , (9.19)

čia A ir α – konstantos:


178

230

24 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π

π=kT

mA , (9.20)

kTm2

0=α , (9.21)

m0 – molekulės masė. Skirstinio funkcijos grafikas parodytas 9.5 paveiksle. Taigi, kai greitis

, ir funkcija . Kai greitis 0=v ( ) 0=vf ∞→v , funkcija ( ) 0→∞f . Tačiau tam tikrą greičio

vertę atitinka funkcijos maksimumas, kuris ir reiškia, kad daugelio molekulių greičiai artimi

tikimiausiam vt. Brūkšniuoto plotelio skaitinė vertė lygi tikimybei, kad molekulės greičio

vertė yra intervale nuo v iki v+dv:

( ) vv dfndn

= . (9.22)

Todėl visas plotas po kreive lygus suminei tikimybei:

( ) 10

=∫∞

vv df . (9.23)

9.5 pav. Skirstinio funkcijos grafikai dviem skirtingoms temperatūroms; abi kreivės nesimetriškos vt atžvilgiu

Tikimiausio greičio išraiška randama iš funkcijos ekstremumo sąlygos:

( ) 0=vv

ddf , t.y. iš ( )( ) 022 =α− vv

vexp

dd .

Iš jos MRT

mkT

t221

0

==α

=v . (9.24)

Taigi šildant dujas, skirstinio funkcijos maksimumas slenka didesnių greičių link taip, kad

plotas po kreive nekinta, nes nekinta suminė tikimybė to, kad molekulės greitis tikrai yra nuo


179

0 iki ∞. Be to, šis skirstinys tinka tik idealiųjų dujų molekulių netvarkingam šiluminiam

judėjimui.

Molekulių vidutinis aritmetinis greitis

( )MRT

mkTdf

π=

π== ∫

∞88

00

vvvv . (9.25)

Analogiškai randamas vidutinis kvadratinis greitis:

( )∫∞

=0

22 vvvv df , (9.26)

iš čia MRT

mkT~ 33

0

2 === vv . (9.27)

Taigi nagrinėjamos dujų sistemos molekulių greičių eilutė tokia:

vvv ~t << .

Eksperimentiškai Maksvelio skirstinį patvirtino O. Šternas, vėliau Dž. Eldridžas,

Lamertas ir kt. Šterno matavimo įrenginio schema parodyta 9.6 paveiksle. Bendraašių cilindrų

ašis – platininė vielutė, padengta plonu sidabro sluoksniu ir kaitinama elektros srove. Sidabrui

garuojant, jo molekulės išlekia per plyšį vidiniame cilindre ir, lėkdamos siauru pluošteliu

tuštumoje, taške O sudarydavo ryškų plyšio vaizdą (9.6 pav., a). Cilindrus sukant kampiniu

greičiu ω, sidabro molekulės patenka į išorinio cilindro sienelės taškus O1, O2, O3, … Dėl to

plyšio vaizdas išplinta (9.6 pav., c), nes laikas, per kurį molekulės nulėkdavo nuo plyšio iki

taškų Oi, lygus laikui, per kurį cilindrai pasisukdavo kampu ∆ϕ, t. y.

ωϕ∆

=−v

rR .

9.6 pav. Šterno matavimo principinė schema: a) cilindrai nejuda; b) cilindrai sukami kampiniu greičiu ω; c) plyšio vaizdas, cilindrus sukant


180

Išmatavus kampinį poslinkį ∆ϕ, galima apskaičiuoti atitinkamą molekulių greitį v:

ωϕ∆−

=rRv .

9.7 pav. Lamerto įrenginio schema

Lamerto vakuuminio įrenginio schema parodyta 9.7 paveiksle. Šiuo atveju imtuvą

pasiekia tik tos molekulės, kurios atstumą tarp diskų nulekia per laiką, lygų arba kartotinį

diskų sukimo periodui. Taigi, keičiant diskų sukimo dažnį, galima nustatyti imtuvą

pasiekiančių molekulių skaičių. Abu bandymai patvirtino molekulių Maksvelio skirstinį,

tačiau abu jie pagrįsti pluoštelio molekulių greičių matavimu, o Maksvelio skirstinys tinka tik

netvarkingam molekulių judėjimui.

Nuo skirstinio pagal greičius funkcijos galima pereiti prie skirstinio pagal kinetines

energijos funkcijos:

( )k

k ndEdnEf = . (9.28)

Ji apibūdina santykinį skaičių molekulių, kurių kinetinė energija yra energijų intervale

. Išreiškę ( kkk dEEE +− ) 02 2 mEk=v , 02 mEk=v ir kk EmdEd 02=v , gauname,

šitokią funkcijos išraišką:

( ) ( ) ( kTEexpEkTEf kkk −π

= − 21232 ) . (9.29)


181

Funkcijos grafikas taip pat yra nesimetriška kreivė su ryškiu maksimumu (9.8 pav.). Pritaikę

ekstremumo sąlygą

9.8 pav. Skirstinio pagal molekulių kinetines energijas funkcijos grafikas

( )0=

k

k

dEEdf

, (9.30)

gauname tikimiausios kinetinės energijos išraišką:

2kTEkt = . (9.31)

Taigi šildant dujas, funkcijos maksimumas slenka didesnių kinetinių energijų kryptimi, nes

. T~Ekt

2. Barometrinė formulė. Dujų molekulės ne tik nuolat ir netvarkingai juda, bet jas

veikia ir Žemės traukos jėgos. Dėl to susidaro stacionari būsena, kurios esmė – kylant

molekulių koncentracija, taigi ir dujų slėgis mažėja. Nustatykime šio mažėjimo pobūdį. Tegul

aukštyje h dujų slėgis yra p, o aukštyje h+dh slėgis lygus p – dp (9.9 pav.). Slėgio pokytį

sąlygoja brūkšniuoto dujų stulpelio sunkis:

gdhdp ρ−= , (9.32)

čia ρ – dujų tankis, priklausantis nuo aukščio. Iš idealiųjų dujų būsenos lygties (ją galima

taikyti ir orui) dujų tankis

RTpM

Vm==ρ .

Iš šių lygčių gauname:

RTMgdh

pdp

−= . (9.33)


182

9.9 pav. Kintant aukščiui, kinta ir dujų slėgis 9.10 pav. Dujų slėgio priklausomybė nuo aukščio,

kai T = const ir g = const

Laikydami, kad temperatūra ir laisvojo kritimo pagreitis nekinta, suintegravę (9.33) lygtį

gauname:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

RTMghexpphp 0 (9.34a)

arba ( )hpp

lnMgRTh 0= , (9.34b)

čia p0 – slėgis jūros lygyje (h = 0). Formulė (9.34a) ar (9.34b) vadinama barometrine. Taigi ji

išreiškia dujų slėgio priklausomybę nuo aukščio, kai kitos sąlygos nekinta: dujų slėgis kylant

eksponentiškai mažėja (9.10 pav.). Realiai atmosferos temperatūra kylant mažėja, mažėja ir

kūnų laisvojo kritimo pagreitis g, todėl (9.34) formulė yra tik orientacinė ir tinka nestoriems

atmosferos sluoksniams. Slėgis matuojamas barometru, o specialiai metrais graduotas

barometras vadinamas aukštimačiu arba altimetru ir tinka aukščiui virš jūros lygio matuoti.

3. Bolcmano skirstinys. Dujų slėgis proporcingas molekulių koncentracijai (9.16).

Todėl barometrinę formulę galima ir taip parašyti:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

RTMghexpnhn 0

, (9.35)

čia n(h) – molekulių koncentracija aukštyje h, n0 – aukštyje 0=h . Kadangi kmRM 0= (čia

m0 – molekulės masė), tai eksponentės laipsnio rodiklis

kTE

kTghm

RTMgh p== 0

,


183

čia Ep – molekulės potencinė energija gravitaciniame lauke. Vadinasi, molekulių skirstinį

pagal aukščius atitinka jų skirstinys pagal potencines energijas:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

kTE

expnEn pp 0 , (9.36)

čia n0 – koncentracija molekulių, kurių potencinė energija lygi nuliui. Ši išraiška vadinama

Bolcmano skirstiniu išoriniame potencialiniame lauke: kai dujų temperatūra ,

molekulių koncentracija eksponentiškai didesnė ten, kur jų potencinė energija mažesnė.

constT =

9.11 pav. Bolcmano skirstinys pagal bet kurią energijos rūšį

Apskritai, Bolcmano skirstinio funkcija išreiškia santykinį molekulių skaičių erdvės

tūrio vienete:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

kTE

expnn

ndVdnEf p

p0 , (9.37)

čia n – molekulių skaičius sistemoje. Be to Bolcmanas įrodė, kad šis skirstinys teisingas bet

kuriame stacionariame išorinių potencialinių jėgų lauke, o ne tik gravitaciniame. 9.11

paveiksle pavaizduotas Bolcmano skirstinys pagal bet kurią energijos rūšį: didėjant dalelių

energijai, jų skaičius eksponentiškai mažėja. Bolcmano skirstiniu paaiškinamas kvantinių

stiprintuvų ir generatorių veikimas.

9.5. Molekulės vidutinis laisvasis lėkis

Molekulės netvarkingai juda ir nuolat susiduria tarpusavyje. Tarp dviejų gretimų

susidūrimų jos juda tiesiai ir tolygiai, nulėkdamos skirtingo ilgio laisvuosius kelius l1, l2, ...

(9.12 pav.). Todėl tikslinga nagrinėti vidutinį laisvąjį lėkį l , kuris lygus molekulės vidutinio

kelio ir vidutinio susidūrimų skaičiaus santykiui:


184

ν=

ν=

vvtt

l , (9.38)

čia v – molekulės vidutinis greitis, ν – jos susidūrimų vidutinis dažnis.

9.12 pav. Molekulės lėkiai li yra skirtingi 9.13 pav. Su kuriomis molekulėmis susiduria

nagrinėjamoji molekulė, kurios spindulys r ?

Nagrinėjamoji molekulė susiduria su visomis tomis molekulėmis, kurių centrai yra 2r

spindulio cilindre (9.13 pav.). Taigi susidūrimų vidutinis dažnis

⟩⟨π==⟩ν⟨ v200 dnVn cil

čia n0 – molekulių koncentracija. Tačiau juda visos molekulės. Todėl jų reliatyvusis greitis

yra 2 kartų didesnis už v . Vadinasi,

v022 ndπ=ν . (9.39)

Dydis vadinamas molekulės efektiniu skersmeniu. Tai mažiausias atstumas tarp

vienodų molekulių centrų jų susidūrimo metu (molekulės sustoja) (9.14 pav.). Jis priklauso

nuo molekulės prigimties ir dujų temperatūros molekulių kinetinės energijos. Taigi vienos

molekulės susidūrimų dažnis proporcingas molekulės efektiniam skersmeniui, jos vidutiniam

greičiui ir molekulių koncentracijai. Įrašę

rd 2=

ν išraišką į (9.38), gauname molekulės vidutinio

laisvojo lėkio išraišką:

022

1nd

lπ

= . (9.40)

Taigi vidutinis laisvasis lėkis tuo mažesnis, kuo didesnis molekulės efektinis skersmuo

(molekulių greičiai maži, žema temperatūra), ir atvirkščiai proporcingas dujų slėgiui (kai

temperatūra nekinta). Normaliomis sąlygomis ( K273=T , ) daugumos

dujų

Pa 100131 5⋅= ,p

l yra 10-7 m eilės dydis, o molekulių susidūrimų dažnis ν siekia 1010 s-1. Dujas


185

išretinant l didėja, o ν mažėja. Kai molekulės perlekia indą tarpusavyje nesusidurdamos,

toks dujų išretinimo laipsnis vadinamas tuštuma (vakuumu). Vakuumo sąlyga tokia:

indodl ≥ . (9.41)

Normaliomis sąlygomis tokio indo skersmuo neviršija 10-7 m. 1 lentelėje surašytos oro

molekulių vidutinio laisvojo lėkio vertės priklausomai nuo slėgio, kai oro temperatūra 0 C.

1 lentelė. Oro molekulių l vertės priklausomai nuo slėgio. Temperatūra K 273=T

p, Pa 1,013⋅105 133 1,33 1,33⋅10-2 1,33⋅10-4

l , m 6,5⋅10-8 5⋅10-5 0,5⋅10-2 0,5 50

Stūmosjėga

C

F

dr

rCTraukos

jėga

12

0

sąv

9.14 pav. Dviejų vienodų molekulių sąveikos jėgos priklausomybė nuo atstumo tarp jų

9.15 pav. Plokštelę P pasiekia tik tos sidabro molekulės, kurios nesusiduria su oro molekulėmis

Eksperimentiškai molekulės vidutinį laisvąjį lėkį galima nustatyti M. Borno ir J.

Bormano prietaisu, kurio schema pavaizduota 9.15 paveiksle. Oras išsiurbiamas iki 10-5 Pa.

Todėl iš kaitinamo sidabrinio rutuliuko S išlėkusios ir diafragmą D pralėkusios sidabro

molekulės ne visos pasiekia plokštelę P. Dėl susidūrimų su likusio oro molekulėmis jų

skaičius sumažėja

lndxdn =− , (9.42)


186

čia n – molekulių skaičius atstumu x nuo diafragmos, dx – sluoksnelio storis. Suintegravę

gauname, kad sidabro molekulių skaičius nuo diafragmos iki plokštelės mažėja

eksponentiškai:

( ) ( lxexpNxN −= 0 ), (9.43)

čia N0 – diafragmą pralėkusių sidabro molekulių skaičius. Dažnai (9.43) lygtis vadinama

molekulių skirstiniu pagal jų laisvuosius lėkius.

Taip nustatoma, kiek molekulių pasiekia tolesnes ar artimesnes plokšteles:

( ) ( )lxexpNxN 101 −= ,

( ) ( )lxexpNxN 202 −= .

Iš šių lygčių išreiškiamas molekulių vidutinis laisvasis lėkis:

( ) ( )( )2

112 xN

xNlnxxl −= . (9.44)

Keičiant oro slėgį, kinta ir oro molekulių susidūrimų dažnis, taigi ir vidutinis laisvasis lėkis.

9.6. Pirmasis termodinamikos dėsnis

Pirmasis termodinamikos dėsnis (I t. d.) sieja termodinaminės sistemos vidinę energiją

ir jos perdavimo formas – darbą ir šilumos kiekį. Sistemos vidinė energija susideda iš:

– jos dalelių netvarkingo judėjimo (slenkamojo ir sukamojo) kinetinės energijos;

– jos dalelių sąveikos potencinės energijos;

– jos dalelių atomų virpamojo judėjimo kinetinės ir potencinės energijos;

– elektroninių sluoksnių ir branduolio energijos.

Sistemos vidinė energija yra vienareikšmė jos termodinaminės būsenos funkcija ir

nepriklauso nuo šios būsenos pasiekimo būdo. Darbas reiškia vieno kūno tvarkingo judėjimo

energijos perdavimą kitam. Kartu darbas yra ir energijos kitimo matas. Jeigu darbą atlieka

pati sistema, jos energija mažėja, ir atvirkščiai, kai darbą atlieka išorės jėgos, sistemos

energija didėja. Kai mechaninė energija nekinta, kinta vidinė energija:

UE ∆=∆ . (9.45)

Dujos atlieka darbą, kai jos plečiasi:

∫= pdVA . (9.46)

Be to, kai energija perduodama atliekant darbą, tai ji gali virsti bet kurios rūšies energija

(mechanine, elektros ir pan.).


187

Šiluma yra energijos perdavimo forma, o šilumos kiekis lygus perduotos ar gautos

energijos kiekiui. Kai energija perduodama šilumos būdu, tai kinta abiejų kūnų vidinės

energijos. Tiek darbas, tiek ir šilumos kiekis priklauso nuo vykstančio proceso pobūdžio.

Taigi I t. d. teigia, kad termodinaminės sistemos vidinės energijos pokytis lygus gauto šilumos

kiekio ir sistemos atlikto darbo prieš išorės jėgas skirtumui:

AQU −=∆ (9.47)

arba , AUQ +∆=

t. y. sistemai suteiktas šilumos kiekis Q suvartojamas jos vidinei energijai padidinti dydžiu

∆U ir plėtimosi darbui A atlikti. Elementariajam termodinaminiam procesui

AdUQ δ+=δ . (9.48)

Ši išraiška rodo, kad tik sistemos vidinė energija yra vienareikšmė jos būsenos funkcija, t. y.

priklauso tik nuo būsenos parametrų p, V ir T, o jos pokytis dU lygus tų būsenų vidinių

energijų skirtumui ir nepriklauso nuo perėjimo proceso pobūdžio ir todėl yra pilnasis

diferencialas. Dydžiai δQ ir δA priklauso nuo proceso pobūdžio. Kai sistema periodiškai

grįžta į pradinę būseną, jos vidinės energijos pokytis

0==∆ ∫ dUU . (9.49)

Tuomet I t. d. taip išreiškiamas:

AQ = , (9.50)

t. y. negalimas pirmosios rūšies amžinasis šiluminis variklis, kuris atliktų didesnį darbą negu

jo gautas šilumos kiekis.

9.7. Molekulės laisvės laipsnių skaičius ir energijos tolydaus pasiskirstymo dėsnis

Kūno laisvės laipsnių skaičiumi mechanikoje suprantamas jo nepriklausomų judėjimo

krypčių skaičius. Taigi kietojo kūno laisvės laipsnių skaičius lygus šešiems: jis gali slinkti X,

Y ir Z ašių kryptimis bei suktis apie tas ašis, t. y. laisvės laipsnių skaičius

633 =+=+= suksl iii .

Aišku, kad materialusis taškas (9.16 pav., a) turi tris slenkamojo judėjimo laisvės laipsnius.

Vadinasi, tiek pat laisvės laipsnių turi ir vienatomė molekulė, kurios vidutinė slenkamojo

judėjimo kinetinė energija

kTEk 23

1 = .

Todėl jos vieną laisvės laipsnį atitinka tris kartus mažesnė energija:


188

kTEk 21

11 = .

Dviatomės molekulės maksimalus laisvės laipsnių skaičius (9.16 pav., b)

523 =+=maxi ,

triatomės (9.16 pav., c)

633 =+=maxi ,

daugiaatomės (9.16 pav., d)

633 =+=maxi .

9.16 pav. Vienatomės, dviatomės, triatomės ir daugiaatomės molekulės laisvės laipsnių skaičiai ir tvirti atomų ryšiai

Išvada: kiekvienas tvirtas ryšys sumažina molekulės (ir kietųjų kūnų sistemos) laisvės

laipsnių skaičių vienetu.

Realios molekulės atomai susieti tampriomis jungtimis ir todėl reikia įskaityti ir

virpamojo judėjimo laisvės laipsnius. Apskritai klasikinėje statistinėje fizikoje laisvės laipsnių

skaičius yra skaičius nepriklausomų kintamųjų, vienareikšmiškai apibūdinančių sistemos

suminę energiją – kinetinę ir potencinę: kinetinei rasti reikia žinoti tris greičio komponentes

vx, vy ir vz, o potencinei – tris padėties koordinates x, y ir z. Taigi statistinėje fizikoje

materialusis taškas apibūdinamas šešiais laisvės laipsniais. Tačiau idealiųjų dujų molekulės

tarpusavyje nesąveikauja ir todėl jų potencinė energija lygi nuliui. Taigi atominių idealiųjų

dujų dalelę apibūdina trys slenkamojo judėjimo laisvės laipsniai. Dviatomę molekulę

apibūdina penki laisvės laipsniai (3+2), kai ryšys kietas, ir šeši laisvės laipsniai (3+2+1), kai

ryšys tamprus. Skaičius 1 reiškia virpamojo judėjimo laisvės laipsnių skaičių. Kai ryšys

tamprus, molekulės vidutinė energija

( ) kTikTE22

1223 =⋅++= ,

nes bet kuriam slenkamojo ar sukamojo judėjimo laisvės laipsniui tenka vidutinė kinetinė

energija 2kT , o kiekvieną virpamojo judėjimo laisvės laipsnį – vidutinė energija kT (kinetinė

plius tokio pat didumo potencinė; tai teisinga, kai molekulės atomų sąveikos potencinė


189

energija yra tik jų koordinačių kvadratų funkcija). Šis teiginys sudaro Bolcmano dėsnio apie

tolygų energijos pasiskirstymą molekulės laisvės laipsniais esmę. Vadinasi, visi molekulės

laisvės laipsniai yra lygiaverčiai.

Vieno molio idealiųjų dujų, esančių termodinaminės pusiausvyros būsenoje, vidinė

energija

RTiNEU Am 2== .

Taigi ji priklauso nuo molekulės laisvės laipsnių skaičiaus i ir dujų temperatūros: šildant

idealiąsias dujas, jų vidinė energija proporcingai didėja.

9.8. Medžiagos šiluminė talpa

Medžiagos šiluminė talpa lygi šilumos kiekiui, kurį suteikus kūno temperatūra padidėja

1 K:

dTdQCkūno = . (9.51)

Pastaba: čia ir toliau vietoj δ rašysime d.

Vieno molio medžiagos šiluminė talpa vadinama jos moline šiluma:

ν= kūnoCC . (9.52)

Vieno kilogramo medžiagos šiluminė talpa vadinama savitąja šiluma:

mCc kūno= . (9.53)

Taigi šiluminės talpos matavimo vienetas yra KJ 1 , molinės šilumos – ( )KmolJ 1 ⋅ ,

savitosios šilumos – ( )KkgJ 1 ⋅ . Tiek šiluminė talpa, tiek molinė šiluma, tiek ir savitoji

šiluma priklauso nuo medžiagos cheminės sudėties, jos agregatinės būsenos ir vykstančio

termodinaminio proceso pobūdžio. Todėl aišku, kad izotermiškai šildant kūną, temperatūra

nekinta, ir šiluminė talpa . Dujoms skiriama izochorinė (∞=TC constV = ) molinė šiluma CV

ir izobarinė ( constp = ) molinė šiluma Cp. Šių šilumų išraiškos gaunamos pritaikius I t. d. ir

energijos tolygaus pasiskirstymo laisvės laipsniais dėsnį.

1. Izochorinis procesas ( , dujos nesiplečia): constV =

RidTdU

dTdQCV 2

=== . (9.54)

čia i – molekulės laisvės laipsnių skaičius.

2. Izobarinis procesas ( constp = ):


190

dTdVpC

dTdAC

dTdAdU

dTdQC VVp +=+=

+== .

Iš idealiųjų dujų būsenos lygties RTpV = gauname:

RdTpdV = .

Taigi . (9.55) RCC Vp +=

Ši lygybė vadinama R. Majerio lygtimi. Ji rodo, kad izobarinė molinė šiluma Cp visada

didesnė už izochorinę molinę šilumą CV dydžiu, lygiu universaliosios dujų konstantos R

vertei. Taip yra todėl, kad šildant dujas izochoriškai suteikiamas šilumos kiekis virsta jų

vidine energija, o šildant izobariškai dalis šilumos kiekio suvartojama jų plėtimosi darbui. Iš

(9.54) ir (9.55) išraiškų gauname:

RiC p 22+

= . (9.56)

Molinių šilumų santykis

22+

==γi

CC

V

p . (9.57)

Taigi tiek molinės šilumos, tiek ir jų santykis priklauso tik nuo molekulės sudėtingumo,

tiksliau, nuo laisvės laipsnių skaičiaus ir nepriklauso nuo temperatūros. 2 lentelėje surašytos

išmatuotos ir teorinės kai kurių dujų γ vertės.

2 lentelė. Kai kurių dujų γ vertės kambario temperatūroje

γ

Dujos Formulė i teoriškai praktiškai

Helis Neonas Argonas Kriptonas

He Ne Ar Kr

3 3 3 3

1,666 1,666 1,666 1,666

1,659 1,64 1,67 1,68

Vandenilis Azotas Deguonis Anglies oksidas

H2N2O2CO

5 5 5 5

1,40 1,40 1,40 1,40

1,41 1,40 1,40 1,40

Anglies dvideginis Vandens garai Benzolo garai Etilo spirito garai

CO2H2O C6H6

C2H5OH

6 6 6 6

1,33 1,33 1,33 1,33

1,305 1,33 1,13 1,135


191

Pastebime, kad vienatomių ir dviatomių dujų γ teorinės ir eksperimentinės vertės beveik

sutampa. Tačiau kuo sudėtingesnė molekulė, tuo mažesnės eksperimentinės vertės, lyginant

su teorinėmis. Toks verčių nesutapimas paaiškinamas sukamojo ir virpamojo judėjimų

energijos kvantavimu, t.y. galimos tik tam tikrų verčių energijos. Todėl jei šiluminio judėjimo

energija nepakankama, tai molekulės virpamieji laisvės laipsniai „įšaldomi“ ir neturi įtakos

molinei šilumai. Tai patvirtina molekulinio vandenilio ( 5=i ) CV priklausomybė nuo dujų

temperatūros (9.17 pav.).

9.17 pav. Vandenilio izochorinės molinės šilumos priklausomybė nuo dujų temperatūros

Pastebime, kad CV šuoliškai priklauso nuo temperatūros, ir tik kambario temperatūrų srityje

(arti 300 K) teoriniai rezultatai gerai sutampa su eksperimentiniais. Vadinasi, tik šiomis

sąlygomis vandenilio molekulei būdingi penki laisvės laipsniai. Žemų temperatūrų srityje (≈

50 K) vandenilio molekulei būdingi tik trys laisvės laipsniai (tik slenkamieji), o aukštoje

temperatūroje (≈ 6000 K) – netgi septyni (sužadinami ir virpamieji). Taigi klasikinė molinių

šilumų teorija yra tik apytikslė, tinkanti tik tam tikram temperatūrų intervalui.


192

___________________________________________________________________________

Aliumininis 1,5 kg masės strypelis pakaitinamas iki 180°C temperatūros ir

panardinamas į kambario temperatūros vandenį (20°C) vandenį. Vandens masė 8 kg.

Nepaisydami energijos nuostolių, apskaičiuokime galinę strypelio ir vandens temperatūrą.

mAl = 1,5 kg,

tAl = 180°C,

02Hm = 8 kg,

02Ht = 20°C;

Θ - ?

Sp r e n d i ma s . Sistema termiškai izoliuota. Todėl

strypelio atiduotas šilumos kiekis lygus vandens gautam

šilumos kiekiui:

OHAl QQ2

= ,

t. y. ( ) ( )OHOHOHAlAlAl tmctmc222

−Θ=Θ− .

Iš čia išreiškiame galinę sistemos temperatūrą:

OHOHAlAl

OHOHOHAlAlAl

mcmctmctmc

22

222

+

+=Θ .

Įrašome dydžių skaitines vertes ir skaičiuojame:

C 26 C8418451900

208418418051900°=°

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

=Θ,

, .

__________________________________________________________________________

Dujų mišinį sudaro 2 mol deguonies (O2) ir 1 mol argono (Ar). Kam lygi mišinio

izochorinė molinė šiluma?

ν1 = 2 mol,

ν2 = 1 mol,

i1 = 5,

i2 =3;

CV - ?

Sp r e n d i ma s . Mišinio molinė izochorinė šiluma

dTdUCV ν

=1 , (1)

čia molių skaičius

21 ν+ν=ν . (2)

Mišinio vidinė energija susideda iš dedamųjų dujų vidinių energijų:

RTiiRTiRTiUUU222

2211221121

ν+ν=

ν+

ν=+= . (3)

Įrašę (2) ir (3) į (1), gauname:

( )( )

( )molKJ18

molKJ

233152318

2 21

2211

⋅=

⋅⋅⋅+⋅

=ν+νν+ν

=,iiRCV .

__________________________________________________________________________


193

9.9. Pirmojo termodinamikos dėsnio taikymas termodinaminiams procesams

Dažniausiai nagrinėjami trys izoprocesai, kurių metu kuris nors būsenos parametras

nekinta, ir adiabatinis procesas, kurio metu nėra šilumos mainų su aplinka ( ). 0=dQ

1. Izobarinis procesas ( constp = ) p ir V koordinačių sistemoje vaizduojamas

horizontalia tiese (9.18 pav.), nes dujų tūris šiuo atveju proporcingas temperatūrai:

1

2

1

2

TT

VV

= .

Dujų izobarinio plėtimosi darbas

( 12

2

1

VVppdVAV

V

−== ∫ )

)

)

)

. (9.58a)

Jis lygus brūkšniuoto stačiakampio plotui. Dujos plečiasi, nes jos įkaista. Todėl iš būsenos

lygties

22 RTpV ν= ir . 11 RTpV ν=

Taigi dujų izobarinio plėtimosi darbas

( 12 TTRA −ν= . (9.58b)

Iš šios išraiškos gauname fizikinę universaliosios dujų konstantos R prasmę: R lygi vieno

molio idealiųjų dujų darbui, kurį jos atlieka izobariškai besiplėsdamos pašildžius 1 K.

Dujų vidinės energijos pokytis

( 12 TTCU V −ν=∆ . (9.59)

Taigi sistemai suteiktas šilumos kiekis

( )( ) ( 1212 TTCTTRCQ pV −ν=−+ν= , (9.60)

čia – izobarinė molinė šiluma. RCC Vp +=

9.18 pav. Plotas po izobare lygus dujų plėtimosi darbui 9.19 pav. Izochoriškai šildomos

dujos darbo neatlieka (plotas po tiese lygus nuliui)


194

2. Izochorinis procesas ( ) p ir V koordinačių sistemoje vaizduojamas

vertikalia tiese (9.19 pav.), nes slėgis šiuo atveju proporcingas temperatūrai:

constV =

1

2

1

2

TT

pp

= .

Taip šildomos dujos nesiplečia ir darbo neatlieka. Taigi visas suteikiamas šilumos kiekis

suvartojamas sistemos vidinei energijai didinti:

( 12 TTCUQ V −ν=∆= ) . (9.61)

3. Izoterminis procesas ( ) p ir V koordinačių sistemoje vaizduojamas

hiperbole(9.20 pav.), nes, kaip seka iš idealiųjų dujų būsenos lygties , jų slėgis

atvirkščiai proporcingas tūriui:

constT =

RTpV ν=

1

2

2

1

VV

pp

= .

Kadangi sistemos temperatūra nekinta, tai nekinta ir jos vidinė energija:

0=∆=∆ TCU V .

Vadinasi, I t. d. izoterminiam procesui teigia, kad visas idealiosioms dujoms suteikiamas

šilumos kiekis suvartojamos jų plėtimosi darbui:

1

22

1

2

1VV

lnRTdVVRT

MmpdVAQ

V

V

ν==== ∫∫ . (9.62)

9.20 pav. Plotas po izoterme lygus idealiųjų dujų plėtimosi darbui

9.21 pav. Adiabatinio plėtimosi darbas lygus plotui po adiabate, kuri statesnė už izotermę

4. Adiabatinis procesas ( ), kaip jau minėta, vyksta be šilumos mainų su aplinka.

Realūs procesai gali būti tik artimi adiabatiniams, nes nėra idealiai šilumą izoliuojančių

medžiagų, tačiau greitus procesus galima laikyti adiabatiniais (proceso trukmė žymiai

mažesnė už šilumos mainų trukmę). I t. d. adiabatiniam procesui teigia, kad adiabatiškai

besiplėsdamos dujos atlieka darbą, lygų jų vidinės energijos sumažėjimui:

0=dQ

( )12 TTCUA V −−=∆−= . (9.69)


195

Vadinasi, adiabatiškai besiplėsdamos dujos atvėsta ( )12 TT < . Plėtimosi darbas lygus plotui po

adiabate (9.21 pav.). Adiabatės lygtis p ir V koordinatėmis (viena iš trijų Puasono lygčių) yra:

constpV =γ , (9.64)

čia 1>=γ Vp CC – Puasono koeficientas.

__________________________________________________________________________ Gaukime p ir V sąryšį adiabatiniam procesui. Rašome I t. d. jam:

pdVdTCV +ν=0 .

Iš idealiųjų dujų būsenos lygties

RdTVdppdV ν=+ .

Iš šių lygčių, eliminavę dT, gauname:

( ) 0=++ pdVVdppdVR

CV .

Atskirkime kintamuosius:

0=+

+VdV

CRC

pdp

V

V .

Suintegravę ir potencijavę, gauname:

constpV =γ ,

čia Vp CC=γ – Puasono koeficientas.

_________________________________________________________________________

Adiabatės statumas kirtimosi su izoterme taške

Vp

dVdpsad γ−== .

Izotermės statumas tame pačiame taške (9.22 pav.)

Vp

dVdpsizot −== .

9.22 pav. Kreivių statumas apibūdinamas prieaugiais dp ir dV pasirinktame taške


196

Pastaba: abi išraiškos gautos išdiferencijavus adiabatės ir izotermės lygtis, t.y. lygtis

ir . constpV =γ constpV =

Taigi

γ=izot

ad

ss

, (9.65)

t.y. adiabatė yra γ kartų statesnė už izotermę jų kirtimosi taške p ir V sistemoje. Parašyta

Puasono lygtis (9.64) sieja idealiųjų dujų slėgį ir tūrį. Sprendžiant ją kartu su dujų būsenos

lygtimi , gaunamos kitos Puasono lygtys, siejančios tūrį ir temperatūrą: RTpV ν=

constTV =−γ 1 , (9.66)

bei slėgį ir temperatūrą:

constTp =γγ−1

. (9.67)

3 lentelėje pateikiama I t. d. taikymo suvestinė.

3 lentelė. Termodinaminius procesus apibūdinančių dydžių suvestinė

Procesas Apibūdin. parametras I t. d. Plėtimosi

darbas Vidinės energ.

pokytis Kiti

sąryšiai

Izoterminis constT = AQ = 1

2

VVlnRTA ν= 0=∆U

constpV =

Izochorinis constV = UQ ∆= 0=A TCU V∆ν=∆ 1

2

1

2

TT

pp

=

Izobarinis constp = AUQ +∆=

VpA ∆= TCU V∆ν=∆ 1

2

1

2

TT

VV

=

Adiabatinis 0=Q UA ∆−= 12211

−γ−

=VpVpA

TCU V∆ν=∆ constpV =γ

9.10. Cikliniai procesai. Grįžtamieji ir negrįžtamieji procesai

Cikliniu procesu (ciklu) vadinamas procesas ar procesų visuma, po kurios sistema grįžta

į pradinę padėtį. Žinomi geografinis, geocheminis, Saulės aktyvumo ir kiti ciklai. Daugelis

svyravimų taip pat yra cikliniai procesai. Termodinaminių ciklų principu veikia šiluminiai

varikliai, šaldymo mašinos, kompresoriai ir kt. įrenginiai. Termodinaminį ciklą sudaro bent

du termodinaminiai procesai, kurių vienas susietas su dujų plėtimusi, kitas – su jų suspaudimu


197

(9.23 pav.). Dujų plėtimosi darbas lygus plotui po kreive a ir yra teigiamas, o jų suslėgimo

darbas lygus plotui po kreive b ir yra neigiamas (jį atlieka išorės jėgos). Ciklo darbas

plotui kilpos =+= ba AAA .

9.23 pav. Tiesioginis (kairėje) ir atvirkštinis (dešinėje) termodinaminiai ciklai

9.24 pav. Šiluminio variklio (a) ir šaldymo mašinos (b) principinės schemos

Kai šis darbas teigiamas (ciklas vyksta laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi), toks ciklas

vadinamas tiesioginiu, ir atvirkščiai, kai A < 0 (ciklas vyksta prieš laikrodžio rodyklę), ciklas

vadinamas atvirkštiniu. Šiluminis variklis veikia tiesioginiu, o šaldymo mašina – atvirkštiniu

ciklu (9.24 pav.). Kadangi sistema grįžta arba gražinama į pradinę būseną, tai jos vidinės

energijos pokytis abiem atvejais lygus nuliui, t.y. 0121 =∆U . Vadinasi, I t. d.

termodinaminiam ciklui išraiška yra tokia:


198

naudingasatiduotasgautas AQQ =− .

Ciklo naudingumo koeficientas parodo, kuri gauto šilumos kiekio dalis virto naudingu

darbu:

1<−

==ηgautas

atidgautas

gautas

naud

QQQ

QA . (9.68)

Šaldymo mašinoje darbo medžiaga ima šilumą iš šaltesnio kūno ir perduoda ją šiltesniam.

Tam reikalingos išorės jėgos. Šaldymo mašina apibūdinama šaldymo koeficientu ε,

parodančiu, kiek kartų paimtas šilumos kiekis Q2 didesnis už išorės jėgų darbą Aiš:

ηη−

==ε12

išAQ

, (9.69)

čia η – šiluminio variklio (tokio pat tiesioginio ciklo) naudingumo koeficientas. Be to

. ∞≤ε≤0

Termodinaminis ciklas vadinamas grįžtamuoju, jeigu įvykus tiesioginiam, o po to

tokiam pat atvirštiniam ciklui, į pradinę būseną grįžta ir sistema, ir išoriniai kūnai, su kuriais

sistema sąveikavo. Bet kuris pusiausvyrasis procesas yra grįžtamasis. Visi realūs procesai

pasižymi didesniais ar mažesniais energijos nuostoliais (dėl trinties, šiluminio laidumo ar

pan.). Todėl jie yra negrįžtamieji. Šilumos apykaitos procesai, esant baigtiniam temperatūrų

skirtumui, taip pat yra negrįžtamieji.

___________________________________________________________________________

Dviatomių idealiųjų dujų tūris V1 = 4 l, slėgis p1 = 100 kPa, temperatūra T1 = 300 K. Iš

pradžių dujos adiabatiškai suslegiamos, ir jų tūris sumažėja 4 kartus. Po to izochoriškai

atvėsinamos iki pradinės temperatūros ir toliau izotermiškai grįžta į pradinę būseną (9.25

pav). Apskaičiuokime ciklo darbą.

γ = 1,4

V1 = 4⋅10-3 m3,

p1 = 1⋅105 Pa,

T1 = 300 K,

V2 = V1/4,

T3 = 300 K

A – ?

9.25 pav. Nagrinėjamas termodinaminis ciklas sudarytas iš trijų procesų


199

Sp r e nd i ma s . Ciklo darbas lygus atskirų termodinaminių procesų metu atliktų darbų

sumai:

133221 →→→ ++= AAAA . (1)

Apskaičiuokime kiekvieną jų. Adiabatinio suslėgimo darbas (žr. 3 lentelę)

12211

21 −γ−

=→

VpVpA . (2)

Slėgį p2 rasime iš adiabatės lygties: γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

112 V

Vpp . (3)

Įrašome (3) išraišką į (2) ir gauname:

( )J 741

141 1

1121 −=

−γ−

=−γ

→

VpA . (4)

Izochorinio proceso 2→3 metu dujų tūris nekinta ir todėl darbas

032 =→A . (5)

Dujų izoterminio plėtimosi darbas (žr. 3 lentelę)

3

1113 V

VlnRTA ν=→ , (6)

čia tūris . Molių skaičių galime išreikšti iš idealiųjų dujų būsenos lygties : 23 VV = pVRT =ν

1

11

RTVp

=ν . (7)

Taigi darbas

J 5552

11113 ==→ V

VlnVpA . (8)

Įrašome gautas darbų vertes į (1) lygtį ir apskaičiuojame ciklo darbą:

( ) J 186 J5550741 −=++−=A .

Minusas reiškia, kad šitokį darbą atliko išorės jėgos.

___________________________________________________________________________

9.11. Karno ciklas ir jo naudingumo koeficientas

Prancūzų inžinierius S. Karnò 1824 metais suformulavo jo vardu vadinamas teoremas.

Pirmoji teorema teigia, kad idealiosios grįžtamojo Karno ciklo šiluminės mašinos (9.26 pav.)


200

naudingumo koeficientas priklauso tik nuo kaitintuvo ir aušintuvo temperatūrų ir nepriklauso

nuo jos konstrukcijos bei darbo medžiagos prigimties.

9.26 pav. Idealiojo Karno šiluminio variklio principinė schema

Antroji teorema teigia, kad realios negrįžtamojo Karno ciklo šiluminės mašinos

naudingumo koeficientas ηnegr visada mažesnis už tokiomis pat sąlygomis veikiančios

grįžtamojo ciklo šiluminės mašinos naudingumo koeficientą ηgr, t.y. grnegr η<η .

Karno ciklą sudaro du izoterminiai ir du adiabatiniai procesai (9.27 pav). Dujų

izoterminį plėtimąsi (T1 = const) vaizduoja kreivė 1-2. Šio proceso metu sistema gauna

šilumos kiekį Q1 ir besiplėsdama atlieka darbą

11

2112 Q

VVlnRT

MmA == .

Atjungus šildytuvą, dujos plečiasi adiabatiškai ir atlieka darbą

( )1223 TTCA V −−= .

Šio proceso baigmės temperatūra T2 lygi temperatūrai aušintuvo, prie kurio ir prijungiamas

cilindras su dujomis. Dėl sukamo veleno inertiškumo dujos izotermiškai suslegiamos iki 4-os

būsenos. Tam reikalingas darbas

23

4234 Q

VVlnRT

MmA == ,

t.y. lygus aušintuvui atiduotam šilumos kiekiui. Ciklas baigiamas adiabatiniu dujų suslėgimu,

atjungus aušintuvą, iki pradinės būsenos. Šio proceso darbas

( )2141 TTCA V −−= .


201

9.27 pav. Tiesioginis Karno ciklas p ir V koordinačių sistemoje ir šiluminio variklio stūmoklio padėtys kiekvieno

proceso baigmėje

Taigi per ciklą atliktas darbas lygus procesų metu atliktų darbų sumai:

2141342312 QQAAAAA +=+++= .

Geometriškai jis lygus kilpos plotui. Ciklo naudingumo koeficientas

1

2

1

2

1

11TT

QQ

QA

−=−==η , (9.70)

nes 4312 VVVV = (tai seka iš adiabačių lygčių ir ). 132

121

−γ−γ = VTVT 111

142

−γ−γ = VTVT

Išvada: idealiuoju Karno ciklu veikiančio šiluminio variklio naudingumo koeficientas

priklauso tik nuo šildytuvo ir aušintuvo temperatūrų T1 ir T2.

Norint padidinti naudingumo koeficientą, reikia didinti temperatūrų skirtumą

, tačiau realiojo šiluminio variklio η riboja aplinkos temperatūra ir paties variklio

medžiagų lydymosi temperatūra.

21 TTT −=∆

Atvirkštiniu Karno ciklu (9.28 pav.) veikiančios šaldymo mašinos šaldymo koeficientas

21

2

21

22

TTT

QQQ

AQ

−=

−==ε , (9.71)

vadinasi, taip pat priklauso tik nuo šalto ir šilto kūnų temperatūrų, tačiau yra atvirkščiai

proporcingas jų skirtumui . 21 TTT −=∆


202

9.28 pav. Atvirkštinis Karno ciklas p ir V koordinačių sistemoje

9.29 pav. Vidaus degimo variklio (a) ir dyzelinio variklio (b) ciklai. Procesas 1→2 – kuro įsiurbimas, procesas

2→1 – dujų išmetimas

9.29 paveiksle pavaizduoti keturtakčio vidaus degimo (a) ir keturtakčio dyzelinio (b)

variklių ciklai. Vidaus degimo variklio (Otto) teorinis naudingumo koeficientas γ−β−=η 11teor , (9.72)

čia 12 VV=β – kuro suspaudimo laipsnis, γ – Puasono koeficientas. Taigi η didėja didėjant β

ir γ. Vienok, suspaudimo laipsnį riboja šio proceso pabaigos temperatūra T3, kurią viršijus

kuras gali užsidegti savaime. Praktinis vidaus degimo variklio koeficientas

teorreal qmPt

η<=η , (9.73)

čia P – variklio galia, m – masė benzino, suvartoto per laiką t, q – benzino degimo šiluma.

Dyzelinio variklio (Dyzelio) teorinis naudingumo koeficientas


203

( )111 1 −εγβ

−ε−=η −γ

γ

teor , (9.74)

čia 12 VV=β – kuro suspaudimo laipsnis, 14 VV=ε – dujų izobarinio plėtimosi laipsnis.

Realaus šio tipo variklio naudingumo koeficientas, aišku, mažesnis už maksimalų teorinį

(tomis pačiomis sąlygomis).

Remiantis pirmąja Karno teorema, galima pagrįsti termodinaminės temperatūrų skalės

sudarymą. Iš šiluminio variklio naudingumo koeficiento išraiškos gaunama, kad

1

2

1

2

QQ

TT

= , (9.75)

t.y. kūnų temperatūrų santykis lygus vieno kūno atiduotos, o kito kūno gautos per ciklą

šilumos kiekių santykiui. Taip sudaryta temperatūros skalė nesusijusi su jokiu

termodinaminiu kūnu (η nepriklauso nuo darbo medžiagos cheminės sudėties). Šios skalės

nulis – termodinaminės temperatūros nulis – atitinka didžiausios tvarkos būseną sistemoje,

pavyzdžiui, Karno šiluminio variklio naudingumo koeficientas, kai aušintuvo temperatūra T2

= 0 K, lygus 100%. Deja tokia temperatūra jokiais fizikiniais ar cheminiais būdais

nepasiekiama. Dėl realiųjų termodinaminių procesų negrįžtamumo šis temperatūros matavimo

būdas nepritaikomas.

___________________________________________________________________________

Buitinio šaldytuvo naudingumo koeficientą riboja aplinkos temperatūra t1 = 27°C ir

šaldymo kameros temperatūra t2 = – 17°C. Kam lygus jo šaldymo koeficientas ir kiek elektros

energijos jis suvartoja 1 kg ledo gauti? Pradinė vandens temperatūra 0°C.

T1 = 300 K,

T2 = 256 K,

T0 = 273 K,

m = 1 kg

ε – ? W – ?

Sp r e n d i ma s . Teoriškai šaldymo koeficientas

825256300

256

21

2 ,TT

T=

−=

−=ε .

Suvartotos energijos kiekis ε= QW ,

čia Q – išsiskyrusios iš vandens šilumos kiekis:

lmQ = , čia l – ledo lydymosi šiluma. Taigi

kJ 457J 825

110334 3

,,

lmW =⋅⋅

=ε

= .

Realaus buitinio šaldytuvo šaldymo koeficientas mažesnis, taigi ir elektros energijos

sąnaudos didesnės. Tai paaiškinama realiųjų procesų negrįžtamumu.

___________________________________________________________________________


204

9.12. Antrasis termodinamikos dėsnis

Pirmasis termodinamikos dėsnis tinka kiekvienam termodinaminiam procesui, kurio

metu sistemos energija nekinta, tačiau nenurodo jo vyksmo krypties. Pavyzdžiui, šis dėsnis

neprieštarauja, kad šaltesnis kūnas savaime perduotų energiją šilumos pavidalu šiltesniam,

tačiau praktiškai tai nevyksta.

Antrasis termodinamikos dėsnis nurodo termodinaminio proceso kryptį ir yra

formuluojamas įvairiai.

1. Vokiečių fizikas R. Klauzijus 1850 m. teigė, kad negalimas toks procesas, kurio

vienintelis rezultatas – energijos perdavimas šilumos pavidalu iš šaltesniojo kūno

šiltesniajam. Nors šaldymo mašinoje taip yra, tačiau kūno atšaldymas susijęs su pokyčiais dėl

išorinių jėgų darbo.

2. Anglų fizikas V. Tompsonas (Kelvinas) 1851 m. teigė, kad negalimas toks ciklinis

procesas, kurio vienintelis rezultatas – iš šildytuvo paimtos šilumos pavertimas jai

ekvivalentišku darbu. Vadinasi, ciklinio šiluminio variklio naudingumo koeficientas mažesnis

už vienetą ir negalima sukurti ciklinį šiluminį variklį be aušintuvo.

3. Remdamasis šiomis išvadomis vokiečių fizikas V. Ostvaldas 1888 m. taip

suformulavo II t. d.: negalimas antrosios rūšies amžinasis šiluminis variklis.

4. Izoliuotos sistemos entropija nemažėja:

0≥∆S ,

t.y. izoliuotose makroskopinėse sistemose termodinaminiai procesai vyksta tik ta kryptimi,

kuria sistemos entropija nemažėja.

9.13. Entropija ir jos savybės

Iš šiluminio variklio naudingumo koeficiento išraiškos seka, kad

02

2

1

1 ≤+TQ

TQ . (9.76)

Gauto šilumos kiekio ir šilumos šaltinio temperatūros santykis vadinamas redukuotuoju

šilumos kiekiu Q*:

TQ*Q = .

Taigi grįžtamojo tiesioginio Karno ciklo redukuotuojų šilumos kiekių suma lygi nuliui:


205

02

2

1

1 =+TQ

TQ

, (9.77)

o bet kurio realiojo, negrįžtamojo, ciklo – mažesnė už nulį, neigiama.

Įrodyta, kad grįžtamojo ciklinio termodinaminio proceso, sudaryto iš elementariųjų

procesų, redukuotųjų šilumos kiekių suma lygi nuliui:

0=∫ TdQ . (9.78)

Kai procesas negrįžtamas, ta suma neigiama:

0<∫ TdQ . (9.79)

Kai procesas grįžtamasis, bet neciklinis, jo redukuotasis šilumos kiekis priklauso tik nuo

termodinaminės sistemos pradinės ir galinės būsenų parametrų, bet nepriklauso nuo būsenos

pasiekimo kelio. Būsenos funkcija, kurios diferencialas yra TdQ , vadinamas sistemos

entropija S. Jos elementarusis pokytis

TdQdS = , (9.80)

t. y. lygus elementariajam redukuotajam šilumos kiekiui.

Iš entropijos elementariojo pokyčio ženklo galima spręsti apie šilumos mainų kryptį

sistemoje. Entropijos pokytis, sistemai grįžtamai perėjus iš 1 būsenos į 2, lygus:

∫=∆2

112 T

dQS gr, , (9.81)

t. y. lygus proceso redukuotajam šilumos kiekiui. Kai sistemoje vyksta keli tokie procesai,

sistemos entropijos pokytis lygus atskirų procesų entropijų pokyčių sumai. Kūnų sistemos

entropija lygi atskirų kūnų entropijų sumai.

Bet kurio kūno, kurio temperatūra T = 0 K, entropija lygi nuliui (Nersto teorema arba III

t. d. ):

00

=→

SlimT

. (9.82)

Kai sistema pereina iš 1 būsenos į 2 negrįžtamai, jos entropijos pokytis didesnis už proceso

redukuotąjį šilumos kiekį:

∫>∆2

112 T

dQS negr, . (9.83)

Kai sistema izoliuota, t.y. kai nėra energijos mainų su aplinka ( 0=dQ ), tai joje vykstantys

procesai yra adiabatiniai. Todėl entropijos pokytis


206

012 =∆ gr,S , o , (9.84) 012 >∆ negr,S

t.y. grįžtamojo proceso izoliuotoje sistemoje entropija nekinta, o negrįžtamojo proceso

izoliuotoje sistemoje entropija didėja. Taigi entropijos pokytis yra izoliuotoje sistemoje

vykstančių procesų negrįžtamumo kiekybinė charakteristika.

Apjungus abi šias išvadas, gaunama matematinė II t. d. išraiška:

0≥∆S . (9.85)

Izoliuotose sistemose vyksta savaiminiai, t.y. negrįžtamieji procesai. Todėl šių sistemų

entropija didėja, didėja iki savo maksimalios vertės, kuri būdinga sistemos pusiausvirajai

būsenai. Visata yra atvira ir todėl nepusiausvira. Vadinasi, joje šiluminiai procesai vyksta ir

vyks entropijos didėjimo kryptimi. Be to sistemos pusiausvirosios būsenos termodinaminė

tikimybė W yra maksimali. Būsenos termodinaminė tikimybė nusako skaičių būdų, kuriais

gali būti pasiekta konkreti sistemos būsena:

skaičiusbūsenųpalankiųskaičiusbūdųųlimgaW = .

Aišku, kad . ∞≤≤W1

Izoliuotajai sistemai artėjant prie pusiausvirosios būsenos, naujos būsenos

termodinaminė tikimybė taip pat didėja. Didėja, kaip jau buvo minėta, ir sistemos entropija S.

L. Bolcmanas įrodė, kad sistemos entropija proporcinga jos būsenos termodinaminės

tikimybės natūriniam logaritmui:

WlnkS = . (9.86)

Vadinasi, entropija yra sistemos būsenos termodinaminės tikimybės matas.

Remiantis Bolcmano formule, entropiją galima apibūdinti dar ir taip: entropija yra

sistemos netvarkos matas. Taip, pavyzdžiui, kryptingo judėjimo mechaninę energiją paprasta

(dėl trinties) paversti netvarkingo judėjimo šilumine energija. Toks procesas negrįžtamas ir jo

entropija didėja.

mechanika ir termodinamika

Documents