mechanik deformierbarer medien elastomechanik fester körper: biegung eines balkens
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Mechanik deformierbarer Medien
Elastomechanik fester Körper: Biegung eines Balkens
Inhalt
• Biegung eines Balkens
• Die „Neutrale Faser“
• Definition der „neutralen Faser“
• Bauprinzip: Röhrenknochen
Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material
• sowohl bei Dehnung
• als auch bei Verdichtung
„Hookesches Gesetz“ bei Dehnung und Verdichtung (vgl. mit der Verformung einer
Ziehharmonika):
Biegung eines Balkens
Last
Auslenkung
Elastizitätsmodul des Materials:
b
a
F
l
E
h
Biegung eines einseitig eingespannten Balkens: Die Höhe a geht mit der dritten Potenz in die Auslenkung ein.
Die „Neutrale Faser“
• Linie, deren Länge bei entsprechender Dehnung und Verdichtung konstant bleibt
Biegung eines Balkens, einseitig eingespannt
„Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert
Unterhalb der neutralen Faser wird das Material gestaucht
Oberhalb der neutralen Faser wird das Material gestreckt
F
Versuch zur Balkenbiegung
• Ein „Balken“ wird hochkant und quer dazu eingespannt. Hochkant ist die Durchbiegung viel geringer.
1 mEinseitige Lagerung
1 mBeidseitige Lagerung
1 m Durchbiegung
1 N Last
1 m Höhe
1 m Länge
1 m Breite
1 N/m2 Elastizitätsmodul
Auslenkung eines Balkens bei Biegung
Die Höhe a geht mit der dritten Potenz in die Auslenkung ein
3
34
abE
lFh
3
3
4 abE
lFh
h
albE
F
Versuch zur „Neutralen Faser“:
• Die Neutrale Faser wird im polarisierten Licht an einem in der Mitte belasteten, zweiseitig eingespannten Glasbalken gezeigt. Unter Spannung stehende Bereiche drehen die Polarisationsebene
• Man erkennt, dass das Gebiet um die „Neutrale Faser“ im Innern des Balkens ohne Spannung bleibt.
Hohler Balken, einseitig eingespannt
„Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert
Unterhalb der neutralen Faser wird das Material gestaucht
Oberhalb der neutralen Faser wird das Material gestreckt
F
Versuch: Biegung eines hohlen und eines
ausgefüllten Stabes mit gleicher Materialmenge
• Der Versuch zeigt, der Hohlstab ist viel stabiler
• Bei vorgegebener Materialmenge erreicht man mit einem innen hohlen, hohen Profil die geringste Durchbiegung
• Das (fehlende) Material im ausgehöhlten Bereich, nahe der „Neutralen Faser“, hätte ohnehin wenig zur Biegesteifigkeit beigetragen
Hohlbalken
In der Natur tragen Röhrenknochen zur Leichtbauweise der Vögel bei
Unterschied zwischen Scherung und Biegung eines Balkens
Bei der Scherung verschieben sich alle benachbarten Teilchen in gleicher Weise, die Wechselwirkungskräfte zwischen allen Teilchen werden auf Dehnung beansprucht. Bei der Biegung gibt es Bereiche mit unterschiedlichen Kraftverhältnissen, oben wird gedehnt, unten gestaucht, in der Mitte gibt es die kräftefreie „Neutrale Faser“ F
F
Zusammenfassung
• Die Auslenkung bei der Biegung eines ein- oder zweiseitig eingespannten Balkens ist proportional zur– dritten Potenz der Länge– Kehrwert der dritten Potenz der Balken Höhe– Kehrwert der Breite des Balkens– Kehrwert des Elastizitätsmoduls
• „Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert
• Bei vorgegebener Materialmenge erreicht man mit einem innen hohlen, hohen Profil die geringste Durchbiegung – Das (fehlende) Material im ausgehöhlten Bereich, nahe der
„Neutralen Faser“, hätte ohnehin wenig zur Biegesteifigkeit beigetragen
Finis