mechanics of materialseng.sut.ac.th/ce/oldce/mechmat50/mech4.pdf · mechanics of materials by...
TRANSCRIPT
MECHANICS OF MATERIALSBy
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
บทท 4Axial Load
วตถประสงค1. เพอใหทราบและเขาใจถงการเปลยนแปลงรปรางแบบยดหยนของชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกน (axial load)
4. เพอใหสามารถวเคราะหชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภมได
3. เพอใหสามารถวเคราะหชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนแบบ statically indeterminate โดยวธ displacement method และ force method ได
2. เพอใหทราบและเขาใจถง Principle of Superposition
4.1 Saint-Venant’s Principleชวยใหการหาคาหนวยแรงและความเครยดทเกดขนทหนาตดของชนสวนโครงสรางทหางจากจดทม localized stress และ localized deformation มความงายขน
4.2 Elastic Deformation of an Axially Loaded Member ใหแรงกระทาผานจด centroid ของหนาตดของแทงวตถ ไมพจารณา localized deformation เกดขนทจดทแรงกระทา วสดมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic
( )( )P xA x
σ = ddxδε =
Eσ ε=
( )( )P x dEA x dx
δ=
( ) ( )
P x dxdA x E
δ =
คาการเปลยนตาแหนง (displacement) ทเกดขนตลอดความยาว L
0
( )( )
L P x dxA x E
δ = ∫
ในกรณทพนทหนาตด A(x) = A และแรงกระทา P(x) = P และวสดเปนวสดเนอเดยว (homogeneous material) หรอ E(x) = E แลว
0
LP PLdxAE AE
δ = =∫
PLAE
δ =∑
ถาโครงสรางมชนสวนทแบงออกเปนชวงๆ ดงแสดงแลว
หรอในรปทวไป
1 2/
1 1 2 2
( )A A BA C
P L P P LAE A E
δ += +
Sign Convention ตวอยางท 4-12 2
1 2200 kN, 250 kN, 9218 mm , 13480 mm , 200 GPa, 250 MPa
AB BC
st y
P P A AE σ= = = =
= =
จงหา1. คาหนวยแรงกดอดในแนวแกนสงสด2. คาการเปลยนตาแหนงสมพทธของจด
A เทยบกบจด Cจาก FBD ของสวนทงสองของเสา
12 400 kNABP P= =
1 22 2 400 500 900 kNBCP P P= + = + =
คาหนวยแรงกดอดในแนวแกนสงสด3
6400(10 ) 43.4 MPa < O.K.
9218(10 )AB yσ σ−= =
3
6900(10 ) 66.8 MPa < O.K.
13480(10 )BC yσ σ−= =
คาการเปลยนตาแหนงสมพทธของจด A เทยบกบจด C
/BC BCAB AB
A CAB st BC st
P LP LA E A E
δ = +
แสดงวาจด A เคลอนทเขาหาจด C = 2.2 mm
3
6 9400(10 )4
9218(10 )200(10 )−
−=
3
6 9900(10 )4
13480(10 )200(10 )−
−+
= 0.0022 m 2.2 mm− = −
ตวอยางท 4-2ทอกลวง AB ทาดวย aluminum 2014-T6 มหนาตด 400 mm2
ลวด BC ทาดวยเหลก A36 ขนาดเสนผานศนยกลาง 25 mmจงหาคาการเปลยนตาแหนงทปลาย C เทยบกบจด A
70 GPaalE =
200 GPastE =
จาก FBD ของสวนของโครงสราง80 kNABP = −
80 kNBCP = +
(หด)
(ยด)เมอไดแรง PAB และ PBC แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร?
เนองจากจด A ถกยดแนนเขากบผนง เราจะใชจด A เปนจดอางอง ดงนน
/ / /C C A B A C Bδ δ δ δ= = +
/AB AB
B AAB al
P LA E
δ =
/BC BC
C BBC st
P LA E
δ =
0.001143 0.000489 0.00163 m = 1.63 mmCδ = + = →
ดงนน คาการเปลยนตาแหนงทปลาย C เทยบกบจด A
3
6 980(10 )(0.4)
400(10 )70(10 )−
−= 0.001143 m= −
3
2 980(10 )(0.6)
(0.0125) 200(10 )π= 0.000489 m= +
Example
จาก FBD ของคานและจากสมการความสมดล
คานแกรง AB วางอยบนเสาเหลก AC เสนผานศนยกลาง 20 mm และเสา aluminum BD เสนผานศนยกลาง 40 mm จงหาคาการเปลยนตาแหนงทจด F ของคาน เมอ Est = 200 GPa และ Eal = 70 GPa
เสาเหลกเสา aluminum
คาการเปลยนตาแหนงของเสาเหลก AC
คาการเปลยนตาแหนงของเสา aluminum BD
เสาเหลกเสา aluminum
จากแผนภาพของการเปลยนตาแหนงของคาน AFB
Exampleแทงเหลกมพนทหนาตด AAB = 600 mm2 และ ABD = 1,200 mm2 จงหาคาการเปลยนตาแหนงทจด A และคาการเปลยนตาแหนงทจด B เทยบกบจด C เมอ Est = 200 GPaหาแรงภายในของสวนของโครงสรางจาก FBD และสมการความสมดล
คาการเปลยนตาแหนงทจด A เทยบกบ D
คาการเปลยนตาแหนงทจด B เทยบกบจด C+ แสดงวา δA มทศพงขน
+ แสดงวา ชวง BC เกดการยดตว
Example 4.3 Principle of Superposition
"คาการเปลยนตาแหนง/คาแรงลพธทจดใดจดหนงบนโครงสรางซงเกดจากแรงตางๆ จะหามาไดโดยการรวมทางพชคณตของคาการเปลยนตาแหนงหรอคาแรงทเกดขนจากแรงแตละแรงทกระทาอยบนโครงสรางนน"
เมอโครงสรางมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic และการเปลยนแปลงรปรางของโครงสรางมคานอยมากแลว
1 1 2 2Pd Pd P d≠ +
กรณทไมสามารถใช princ. of superposition ได
4.4 The Displacement Method of Analysis for Statically Indeterminate Axially Loaded Member
โครงสรางแบบ statically determinate ถกวเคราะหไดโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยวโครงสรางแบบ statically indeterminate ไมไมสามารถถกวเคราะหโดยใชสมการความสมดลเพยงอยางเดยวได
ซงตองใชเงอนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวเคราะห
0;yF+ ↑ =∑Equilibrium Equation;
0B AF F P+ − =
Compatibility Condition;/ 0A Bδ =
Force-Displacement Relationship;FLAE
δ =
0A AC B CBF L F LAE AE
+ − =
CBA
LF PL
= ACB
LF PL
=
เนองจากแรงทไดมคาเปนบวก ดงนน ทศทางของแรงทสมมตขนเปนทศทางทเกดขนจรง
จาก FBD
ตวอยางท 4-3แทง aluminum ในชวง AC มเสนผานศนยกลาง 10 mm
414 MPa, 70 GPaalY alEσ = =
แทงเหลก A36 ในชวง BC มเสนผานศนยกลาง 8 mm250 MPa, 200 GPast
Y stEσ = =
จงหาแรงปฏกรยาทจด A และจด B เมอ
จาก FBD และสมการความสมดล320(10 ) 0A BF F− − + =
สมการความสอดคลอง/ 0.001 mB Aδ =
278.540 mmACA =250.256 mmBCA =
alu. steel
A AC
AC al
F LA E
+
6 9(0.4)
78.540(10 )70(10 )AF
−+
7.276 7.959 100000 NA BF F− =
ทาการแกสมการ เราจะได 17.01 kNAF =
3
617.01(10 ) 216.6 MPa
78.540(10 )Aσ −= =
2.99 kNBF =3
62.99(10 ) 59.5 MPa
50.256(10 )Bσ −= =
จากความสมพนธของ load-displacement
6 9(0.8) 0.001
50.256(10 )200(10 )BF−− =
B BC
BC st
F LA E
− 0.001=
250 MPaYσ< =
414 MPaYσ< =
ยดหด
320(10 ) 0A BF F− − + =
δAC และ δBC เทากบ?
Example
จากFBD และสมการสมดลของแรง
สมการความสอดคลอง
เสา aluminum ถกเสรมดวยแกนทองเหลอง ถาแรง P กระทาตอเสาผานแผนรองหวเสาทแกรงมาก จงหาหนวยแรงตงฉากทเกดขนใน aluminum และทองเหลอง เมอ Eal = 70 GPa และ Ebr = 105 GPa
จากความสมพนธของ load-displacement
ทาการแกสมการ
ตรวจสอบ stress!
Example
จากFBD และสมการสมดลของแรง
แทงเหลก A36 3 แทงเชอมตอโดยหมดเขากบคานทแกรงมาก จงหาแรงทเกดขนในแทงเหลก เมอ AB และ EF ม พ.ท. 25 mm2 และ CD ม พ.ท. 15 mm2
สมการความสอดคลอง
จากความสมพนธของ load-displacement
ทาการแกสมการ ตรวจสอบ stress ทเกดขน!
δA δC และ δE เทากบ?
ตวอยางท 4-4
P
L
Concrete core
Steel pipe
Base plate
P
FC
FS
ทอเหลกกลวงมพนทหนาตด AS ถกเสรมดวย concrete ซงมพนทหนาตด ACmodulus of elasticity ของเหลกและ concrete คอ ES และ EC จงหา 1. หนวยแรงในทอเหลกและใน concrete2. คาการหดตวของทอจากFBD และสมการสมดลของแรง
0S CF F P+ − =
สมการความสอดคลองS Cδ δ=
จากความสมพนธของ load-displacementS C
S S C C
F L F LE A E A
=
S SS C
C C
E AF FE A
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ทาการแกสมการ
C CC
S S C C
E AF PE A E A
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
S SS
S S C C
E AF PE A E A
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
S Cδ δ=
0S CF F P+ − =
เมอไดแรง FC และ FS แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร? และ δS และ δC เทากบ?
0S CF F P+ − =
หนวยแรงทเกดขนในทอเหลกกลวงและใน concreteS S
SS S S C C
F EPA E A E A
σ⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠
C CC
C S S C C
F EPA E A E A
σ⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠Note:1. หนวยแรง σS ≤ σY ของเหลกและ σC ≤ σpl ของคอนกรต2. หนวยแรงทงสองแปรผนโดยตรงกบ modulus of elasticity ของเหลกและ
concreteคาการหดตวของทอเหลกกลวงเสรม concrete
S C
S S C C S S C C
F L F L PLE A E A E A E A
δ = = =+
ตวอยางท 4-5จงหาสมการของแรงทเกดขนในเสนลวด CD และเสนลวด EF
1E1d
2E
2d
จากFBD และสมการสมดลของแรง
1 2 (2 ) (3 ) 0Tb T b P b+ − =
2 12δ δ=
สมการความสอดคลอง
จากความสมพนธของ load-displacement1 1
11 1
T LAE
δ = 2 22
2 2
T LA E
δ =
กาหนดให 1
11 1
LfA E
= 22
2 2
LfA E
=
P
T2T1Ax
Ay
ดงนน1 1 1f Tδ = 2 2 2f Tδ =
และจาก
2 2 1 12f T f T=
ทาการแกสมการ
21
1 2
34f PTf f
=+
12
1 2
64f PTf f
=+
เนองจากแรงปฏกรยามคาเปนบวก ดงนน จงมทศทางตามทไดสมมตไว
2 12δ δ=
1 2 (2 ) (3 ) 0Tb T b P b+ − =
เมอไดแรง T1 และ T2 แลว เราจะตองตรวจสอบอะไร? และ δ1 และ δ2 เทากบ?
4.5 The Force Method of Analysis for Statically Indeterminate Axially Loaded Member จาก principle of superposition
Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −
Force-Displacement Relationship;
ACPPLAE
δ = BBF LAE
δ =
0 AC BPL F LAE AE
= −
ACB
LF PL
=
Equilibrium Equation;
0;yF+ ↑ =∑0AC
ALP F PL
+ − =
CBA
LF PL
=
ACB
LF PL
=
equilibrium equations และ force-displacement relationships
displacementsDisplacement method
compatibility equations และ force-displacement relationships
forcesForce method
สมการทใชในการหาคาตอบตวแปรทไมทราบคา
วธการ
ตวอยางท 4-6 แทง aluminum AC ม dia. 10 mm
414 MPa, 70 GPaaly alEσ = =
แทงเหลก BC ม dia. 8 mm250 MPa, 200 GPast
y stEσ = =
สมการความสอดคลอง0.001 mP Bδ δ− =
จากความสมพนธของ load-displacement3
6 920(10 )0.4
78.540(10 )70(10 ) 0.0014551 m
ACP
AC al
PLA E
δ −= =
=
B BC B ACB
BC st AC al
F L F LA E A E
δ = +
ดงนน 60.001455 0.15235(10 ) 0.001 mBF−− =
2.99 kNBF =
จากFBD และสมการสมดลของแรง20 2.99 17.01 kNAF = − =
60.15235(10 )B BFδ −=
6 9(0.4)
78.540(10 )70(10 )BF
−+6 9(0.8)
50.256(10 )200(10 )BF−=
m 001455.0=Pδ
0.001 mP Bδ δ− =
ตรวจสอบ stress!δAC และ δBC เทากบ?
4.6 Thermal Stressการเปลยนแปลงอณหภมทาใหชนสวนของโครงสรางเกดการเปลยนแปลงขนาดและรปราง
T T Lδ α= ∆
เมอ α = linear coefficient of thermal expansion
คณสมบตทางกลของวสด
ถาชนสวนของโครงสรางเปนแบบ statically indeterminate แลว การยดหรอการหดตวของชนสวนของโครงสรางจะเกดขนไมได ซงจะกอใหเกด thermal stress ขนในชนสวนของโครงสราง
Example
จากFBD และสมการสมดลของแรงA BF F F= =
สมการความสอดคลอง
เมออณหภม T1 = 30oC แทงเหลกถกยดเขากบจดรองรบพอด เมออณหภมเพมขนเปน T2 = 60oC จงหาหนวยแรงตงฉากทเกดขนในแทงเหลก
อณหภมสง → ทาใหขยายแตแรง → ทาใหหด
จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperature
ขยาย หด
ตวอยางท 4-76
2
Steel : 17(10 ) / , 200 GPa, 250 MPa,
600 mm
ost st y
AB
AB C E
A
α σ−= = =
=6
2
Aluminum : 24(10 ) / , 70 GPa, 414 MPa,
1200 mm
oal al y
CD
CD C E
A
α σ−= = =
=
เมออณหภมของโครงสรางเพมขนจาก 25oC เปน 125oC จงหาคาเฉลยของหนวยแรงในชนสวน AB และ CD
จากFBD และสมการสมดลของแรงst alF F F= =
/ 0.001 mA Dδ =
สมการความสอดคลอง
จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperaturest AB
st ABAB st
F L TLA E
α− + ∆
Fst Fal
0.001=al CDal CD
CD al
F L TLA E
α− + ∆
แรง → ทาใหหด แตอณหภมสง → ทาใหขยาย
6 9(0.6)
600(10 )200(10 )F−−
99.762(10 ) 0.0011F− =
112.68 kNF =
st ABst AB
AB st
F L TLA E
α− + ∆ 0.001=al CDal CD
CD al
F L TLA E
α− + ∆
6
2
Steel : 17(10 ) / , 200 GPa, 250 MPa,
600 mm
ost st y
AB
AB C E
A
α σ−= = =
=6
2
Aluminum : 24(10 ) / , 70 GPa, 414 MPa,
1200 mm
oal al y
CD
CD C E
A
α σ−= = =
=
6 9(0.4)
1200(10 )70(10 )F
−−
617(10 )100(0.6)−+
627(10 )100(0.4) 0.001−+ =
หนวยแรงในชนสวน AB และ CD
6112.68 187.8 MPa
600(10 )ABσ −= =
6112.68 93.9 MPa
1200(10 )CDσ −= =
250 MPaYσ< =
414 MPaYσ< =
Example
จากFBD และสมการสมดลของแรง
สมการความสอดคลอง
คานแกรงถกยดเขากบเสาเหลก A36 และ aluminum 2014-T6 เมอไมมแรงกระทาและอณหภม T1 = 20oC เสามความยาว 250 mm จงหาแรงทเกดขนในเสาเมอแรงกระทามคา 150 kN/m และอณหภมเพมขนเปน T2 = 80oC
โครงสรางมความสมมาตร
จากความสมพนธของ load-displacement และ displacement-temperature
ดงนน
ทาการแกสมการ
เมอกาหนดให δ พงลงเปนบวก
End of Chapter 4