67.12 - MECANISMOS “B”

ELÁSTICOS (BALLESTAS)

(TEÓRICO)

CÓDIGO: 67.12.22b

Prof. Ing. MAYER, Omar E.

OCTUBRE 2.002

DEFINICIÓN: Elementos de máquinas que poseen la propiedad de experimentar grandes deformaciones (se interpreta por excelencia) y dentro del período elástico, ante la acción de las cargas que los soliciten, diseñados ‘ad – hoc’ conforme sea el tipo de carga a soportar y construidos con materiales de alta elasticidad (típico acero de alta elasticidad (S.A.E. 1070)).

Los dos tipos, tal vez los más importantes por su difundida utilización en automotores, son el elástico de lámina o elástico de ballesta y el resorte helicoidal. Tanto el elástico de ballesta como el resorte helicoidal, como parte de los automotores, sustentan las carrocería y carga de los mismos transmitiendo la carga total a los ejes y / o árboles de ruedas.

ELÁSTICOS DE LÁMINAS O BALLESTAS Consisten de láminas de acero de espesor relativamente pequeño frente a las dos dimensiones lineales restantes, presentando así bajo momento areolar ecuatorial de segundo orden frente a la flexión a la que son sometidos y experimentando así grandes deformaciones ante dichas cargas y absorbiendo consecuentemente una considerable cantidad de energía solicitante.

LÁMINA DE SECCIÓN (TRANSVERSAL) CONSTANTE

Supóngase una lámina plana de ancho b y altura o espesor h uniformes sobre toda su longitud L, empotrada por uno de sus extremos y cargada estáticamente con una carga forzal de valor F en el otro tal cual se muestra en la FIGURA 01 página siguiente.

Recordando que E = Módulo de elasticidad longitudinal del material y Je = Momento areolar ecuatorial de segundo orden de la sección transversal bajo tensión, los diagramas de características y el valor de las variables correspondientes son los siguientes:

Momento flector Mf Momento flector reducido: = Mfr = --------- = -----------------------

E * Je E * Je

Momento flector máximo Mfmx = F * L F * L

Momento flector reducido máximo Mfrmx = --------- E * Je

Produciéndose la tensión normal máxima en el empotramiento, la misma resulta en:

Tensión normal Mfmx F * L 6 * F * L máxima σmx = --------- = --------------- = --------------

We ( b * h^2 ) / 6 ( b * h^2 )

L

(2/3)*L

ELASTICA(DEFORMACION)

DIAGRAMA Mf; Mfr

Mfm

xM

frmx

PLANTA

f

ELEVACIONL

Z

FIGURA 01

hb

F

En cuanto a las elástica (deformación) que experimenta la lámina, interesa la deformación máxima y la misma, produciéndose en el extremo cargado, puede ser calculada con el momento de primer orden del área del diagrama de momentos flectores reducidos respecto al extremo cargado y con la respectiva escala.

Área diagrama L F * L L momentos Amfr = Mfrmx * ---- = ---------- * ----

flectores reducidos 2 E * Je 2 Momento estático del área diagrama momentos

flectores reducidos respecto al extremo cargado: = Flecha máxima = f

2 * L F * L L 2 * L f = Amfr * ------- = ---------- * --- * ------- 3 E * Je 2 3

F * L^3 F * L^3 4 * F * L^3 f = -------------- = -------------------------------- = ------------------ 3 * E * Je 3 * E * [ ( b * h^3 ) / 12 ] E * b * h^3

Siendo que las cargas forzales y las flechas pueden relacionarse entre sí por una constante elástica que tiene en cuenta el tipo de esfuerzo, el módulo elástico correspondiente y la geometría y las dimensiones del cuerpo, y si en este caso se utiliza la designación km para identificar dicha constante, resulta:

E * b * h^3 F = km * f ⇒ km = ----------------- 4 * L^3

Siendo el diagrama longitudinal de tensiones normales máximas también triangular por ser We (módulo resistente ecuatorial) constante sobre toda la longitud, la lámina tratada no resulta ser un sólido de igual resistencia a la flexión, como lo es la siguiente de forma triangular.

LÁMINA DE FORMA TRIANGULAR Esta lámina (ver FIGURA 02 página siguiente) se comporta como un sólido de igual resistencia a la flexión, en cuanto al variar b linealmente con la longitud, resulta una variación lineal de su módulo resistente ecuatorial We.

Tensión normal Mfz F * Z máxima según σmx z = -------- = ---------------------- coordenada Z Wez ( bz * h^2 ) / 6

b * Z F * Z

Siendo bz = --------- ⇒ σmx z = ----------------------------------- L ( b * Z * h^2 ) / (6 * L)

6 * F * L

σmx z = --------------- b * h^2

No dependiendo σmx z de Z, resulta σmx z = constante = σmx, con el mismo valor que la lámina de sección constante vista anteriormente, de donde ambas láminas pueden soportar la misma carga forzal máxima, en el extremo libre al menos.

6 * F * L σmx = ---------------

b * h^2 Siendo el diagrama de momentos flectores triangular como en la lámina rectangular o de sección constante, muy por el contrario, el diagrama de momentos flectores reducidos resulta rectangular (como el de σmx z) por la variación lineal de Jez (al igual que la de Wez)

DIAGRAMA Mf

ELASTICA(DEFORMACION)

Mfm

x

DIAGRAMA Mfrf

b

L

L

PLANTA

ELEVACION Z

FIGURA 02 F

hbz

Z

h^3 b * Z h^3 b * Z * h^3 Jez = bz * ---- = --------- * ---- = ------------------

12 L 12 12 * L

Momento flector Mfz F * Z reducido Mfrz = -------- = -----------------------------------

conforme sea Z E * Jez E * (b * Z * h^3) / (12 * L)

12 * F * L Mfrz = ------------------

E * b * h^3

No dependiendo Mfrz de Z, el mismo resulta constante y por lo tanto con diagrama rectangular.

12 * F * L Mfr = ------------------

E * b * h^3

La flecha resulta mayor que la de la lámina de sección constante, en función de la diferencia de rigidez y del siguiente análisis para la lámina triangular:

Área diagrama 12 * F * L

momentos flectores Amfr = Mfr * L = ------------------ * Lreducidos E * b * h^3

Momento estático del área diagrama momentos

flectores reducidos respecto al extremo libre: = Flecha máxima = f

L 12 * F * L^2 L 6 * F * L^3 f = Amfr * --- = ------------------ * --- = ------------------ 2 E * b * h^3 2 E * b * h^3

La flecha de una lámina triangular, a una misma carga forzal solicitante F, comparada con la de la lámina rectangular o de sección constante, resulta un 50 % mayor y por lo tanto la lámina triangular puede absorber un 50 % de energía solicitante más que la lámina rectangular.

Utilizando la designación kg, para identificar la constante elástica para la lámina triangular, se tiene:

E * b * h^3 F = kg * f ⇒ kg = ------------------ 6 * L^3

Si la lámina de sección constante es cortada longitudinalmente en varias hojas de igual ancho y se las superpone como se muestra en la FIGURA 03 (primer página siguiente), no rigidizandolas entre sí, esto es, facilitando el libre deslizamiento entre ellas ante la deflexión a experimentar, el efecto resulta ser el mismo en función de que cada hoja soporta una carga inversamente proporcional al número de divisiones realizadas. En consecuencia, N láminas superpuestas con libre deslizamiento entre ellas, de espesor h y de ancho (b / N) se comporta como una sola lámina del mismo espesor y de ancho b, al menos bajo el estado de cargas en tratamiento. Idéntico razonamiento merece una lámina triangular cortada en varias hojas, superpuestas entre sí como muestra la FIGURA 04 (segunda página siguiente). La lámina triangular presenta el mismo comportamiento que el conjunto de las N divisiones obtenidas de ella y de ancho uniforme (b / N) si a las mismas les está permitido deslizarse libremente entre sí ante una deflexión de las mismas.

FORMAS CONSTRUCTIVAS de los ELÁSTICOS de BALLESTA Estos tipos de elásticos (FIGURA 05, tercera página siguiente), utilizados en la sustentación elástica de las carrocería y carga de camiones y colectivos, interponiéndose entre la carrocería y los ejes y / o árboles de ruedas; se construyen básicamente empleando simultáneamente dos tipos de hojas:

a) Hojas completas u hojas ‘maestras’ Empleándose en cantidad de 1 o 2, el conjunto es equivalente a una

lámina de ‘sección constante’.

b) Hojas o láminas ‘graduadas’

El conjunto de las mismas resulta equivalente a una lámina ‘triangular’. Las hojas son todas firmemente unidas entre sí en el centro de las mismas y tal como muestra el esquema, por medio de bridas atornilladas de manera tal que ante la acción de las cargas aplicadas en los extremos, se comportan como empotradas en correspondencia con las bridas y la curvatura de las hojas hacía ‘arriba’ tiene que ver con el pretensado de las hojas ‘maestras’ y ‘graduadas’ como más adelante se trata.

L PLANTA

L

L

PLANTA

SISTEMA 'LUEGO' DE LAPARTICION EN N LAMINAS

Y CONFIGURADO 'CONFORME'

ELEVACION

b/N

N*h

F

N particionesa realizar

ELEVACION

L

SISTEMA 'ANTES' DE LAPARTICION EN N LAMINAS

FIGURA 03

hb

F

L PLANTAN

*h

L

LPLANTA

SISTEMA 'LUEGO' DE LAPARTICION EN N LAMINAS

Y CONFIGURADO 'CONFORME'

ELEVACION

b/N

F

b

N particionesa realizar

ELEVACION

L

SISTEMA 'ANTES' DE LAPARTICION EN N LAMINAS

FIGURA 04

F h

Siendo F = Carga aplicada en cada uno de los extremos de la ballesta

L = Distancia que media entre la carga aplicada (extremo de ballesta) y la brida correspondiente de empotramiento

Nm = Número de láminas ‘maestras’ equivalente a una lámina de ‘sección constante’

Ng = Número de láminas ‘graduadas’ equivalente a una lámina ‘triangular’

bi = Ancho de cada lámina y el mismo para todas ellas, sean las mismas ‘maestras’ y / o ‘graduadas’

h = Espesor de cada lámina y el mismo para todas ellas, sean las mismas ‘maestras’ y / o ‘graduadas’

Fm = Parte de la carga F absorbida por las láminas ‘maestras’ Fg = Parte de la carga F absorbida por las láminas ‘graduadas’ fm = Flecha experimentada por la lámina equivalente de sección

constante fg = Flecha experimentada por la lámina equivalente triangular

resulta: F = Fm + Fg

4 * Fm * L^3 6 * Fg * L^3 fm = ---------------------------- ;;;;;; fg = ----------------------------

(Nm * bi) * h^3 * E (Ng * bi) * h^3 * E

Siendo ahora:

L

FLaminas

graduadas

FIGURA 05

F L

Laminamaestra

Bridasatornilladas

F

F

( Nm * bi ) * h^3 * E Constante elástica

km = ---------------------------- = conjunto 4 * L^3 láminas ‘maestras’

( Ng * bi ) * h^3 * E Constante elástica

kg = --------------------------- = conjunto 6 * L^3 láminas ‘graduadas’

resulta Fm = km * fm ;;;;;; Fg = kg * fg

Fm Fg Debiendo ser fm = fg ⇒ ---- = ---

km kg

F -- Fg Fgy siendo Fm = F -- Fg resulta ----------- = ---

km kg

4 * ( F -- Fg ) * L^3 6 * Fg * L^3 ------------------------------- = ------------------------------ ( Nm * bi ) * h^3 * E ( Ng * bi ) * h^3 * E

2 * F 3 * Fg 2 * Fg ---------- = ---------- + ----------

Nm Ng Nm

F 3 * Fg Fg F 3 1 ---- = --------- + ---- ⇒ ---- = Fg * --------- + ---- Nm 2 * Ng Nm Nm 2 * Ng Nm

F 3 * Nm + 2 * Ng 2 * Ng ---- = Fg * ------------------------- ⇒ Fg = F * ---------------------------- Nm 2 * Ng * Nm 3 * Nm + 2 * Ng

Análogamente

3 * Nm Fm = F * --------------------------

3 * Nm + 2 * Ng

Siendo σmxm = Tensión normal máxima en la lámina de sección constante equivalente y en consecuencia en las ‘maestras’ componentes

σmxg = Tensión normal máxima en la lámina triangular equivalente y en consecuencia en las ‘graduadas’ componentes

resulta:

6 * Fm * L 18 * F * L σmxm = ------------------------- = ------------------------------------------

( Nm * bi ) * h^2 bi * h^2 * ( 3 * Nm + 2 * Ng )

6 * Fg * L 12 * F * L σmxg = ------------------------ = ----------------------------------------------

( Ng * bi ) * h^2 bi * h^2 * ( 3 * Nm + 2 * Ng ) Según puede apreciarse en las dos últimas expresiones, la tensión máxima en las láminas ‘graduadas’ resulta ser menor (las dos terceras parte) de la tensión máxima en las láminas ‘maestras’, lo cual significa un desaprovechamiento de la resistencia admisible, en lo posible de no despreciar. Esta diferencia puede anularse pretensando convenientemente las láminas. La flecha máxima (descenso de el / los extremo / s cargado / s) se calcula indistintamente con la lámina equivalente de sección constante o con la lámina triangular equivalente, como muestran las siguientes ecuaciones:

f = fm = fg

4 * Fm * L^3 6 * Fg * L^3 f = ------------------------------- = ------------------------------ ( Nm * bi ) * h^3 * E ( Ng * bi ) * h^3 * E

12 * F * L^3 f = ---------------------------------------------------- bi * h^3 * E * ( 3 * Nm + 2 * Ng )

bi * h^3 * E * ( 3 * Nm + 2 * Ng ) Constante Sí k = ------------------------------------------------ = elástica

12 * L^3 conjunto ballesta

F = k * f ;;;;;; f = F / k

PRETENSADO DE LÁMINAS Habiendo visto que la tensión máxima que se produce en las láminas ‘graduadas’ es menor que la que se produce en las ‘maestras’, dichas láminas y en ambos tipos, se pueden pretensar (FIGURA 06 siguiente) a efectos de igualar las tensiones cuando las mismas y en forma conjunta son sometidas a la acción de la carga F.

La subfigura superior muestra una lámina ‘maestra’ y una ‘graduada’, antes de que las mismas sean unidas por su parte central por las bridas atornilladas. Como se puede apreciar, la curvatura de ambas láminas no es la misma. Una vez unidas por la parte central, como se muestra en la subfigura inferior, la lámina ‘maestra’ ha debido asumir una mayor curvatura y la lámina ‘graduada’ una menor. Como consecuencia de los cambios de curvatura, las fibras superiores de la lámina ‘maestra’ adquieren tensiones de compresión y las inferiores, de tracción y por el contrario, las superiores de la lámina ‘graduada’, tensiones de tracción y las inferiores, de compresión. Cargadas ambas láminas por sus extremos y existiendo empotramiento en la parte central, las fibras superiores de ambas láminas son traccionadas y las inferiores, comprimidas. Teniendo presente que en una ballesta no pretensada, las láminas ‘graduadas’ trabajan a menor tensión que las maestras (debe tenerse presente, por ejemplo, que -- 10 ‘fisicamente’ es mayor que -- 5); debe resultar de comprender que en una ballesta pretensada, ante la acción de una carga F sobre la misma, ambos tipos de láminas pueden llegar a trabajar a la misma tensión, soportando así mayor carga y aprovechando mejor las admisibilidades puestas en juego.

Habiéndose indicado en los esquemas con fi la separación o luz pre - pretensado de las láminas, a efectos una vez abridadas las mismas y cargadas con una cierta carga F, respondan dichas láminas con la misma tensión de flexión máxima, en el anexo siguiente se determinará el valor de dicha separación.

Si con F’ se designa la carga de pretensado (fuerza de ‘cierre’ entre ambos tipos de láminas) y la misma con un valor máximo ‘implicito’, en el mismo anexo se demuestra que ante una misma flecha f, el elástico pretensado soporta la carga:

fi

Laminamaestra

Laminagraduada

ANTES DEL PRETENSADOLaminamaestra

Laminagraduada DESPUES DEL PRETENSADO

FIGURA 06

F = k * f + F’

ELÁSTICO SIN PRETENSAR

ELÁSTICO PRETENSADO

DIFERENCIA A FAVOR ELÁSTICO PRETENSADO

F = k * f F = k * f + F’ F’ (fuerza de ‘cierre’ de láminas

ANEXO PRETENSADO DE LÁMINAS La FIGURA 07 siguiente representa un sistema equivalente de dos resortes helicoidales.

En el estado inicial (subfigura izquierda) y estando ambos resortes descargados, entre sus extremos libres se verifica la separación o luz fi en análisis. En el estado de pretensado (subfigura media) y recordando que las fibras superiores de ambas láminas se tensionan de manera opuesta, como acontece también con las fibras inferiores, desaparece la separación inicial fi, tanto para las láminas como para los resortes equivalentes, de manera tal que un resorte es traccionado y el otro comprimido, como acontece entre las láminas maestras y las graduadas.

Siendo el resorte m el equivalente a la hoja ‘maestra’ y el g a la hoja ‘graduada’, f ’g representa el alargamiento del resorte ‘graduado’ (flecha de pretensado de la lámina ‘graduada’) y f ’m el acortamiento del ‘maestro’ (flecha de pretensado de la lámina ‘maestra’), y ambos efectos han sido provocados por la aplicación de la carga F’, a llamar carga de pretensado (fuerza de ‘cierre’ entre os dos tipo de láminas en la ballesta).

ELASTICOSIN

PRETENSAR

fgfm

fi

g

ELASTICOPRETENSADONO CARGADO

ELASTICOPRETENSADO

CARGADO

f

m g m

FIGURA 07

m

F

g

Fg Fm

f 'm

f 'g

F'g

F'

F'm

En el estado de carga de trabajo (subfigura derecha) (aplicación de la carga F), ambos resortes se alargan la magnitud f respecto al estado de pretensado. Considerando ambos resortes por separado, respecto al estado inicial, el resorte ‘maestro’ se alarga la magnitud fm y el ‘graduado’ la magnitud fg. Bajo este estado de carga de trabajo entonces y si el pretensado ha sido bien realizado y siendo F = Fm + Fg, N = Ng + Nm (cantidad total de láminas), debe verificarse y en función de lo que se intenta, que:

6 * Fm * L 6 * Fg * L σmxm = σmxg = ------------------------- = ------------------------

( Nm * bi ) * h^2 ( Ng * bi ) * h^2

de donde y por Fm Fg Fg Ng simplificación de variables ----- = ----- ⇒ ----- = -----

en ambos términos Nm Ng Fm Nm

Fg Ng Fm + Fg Nm + Ng F N 1 + ---- = 1 + ---- ⇒ ------------ = ------------ ⇒ ---- = ---- Fm Nm Fm Nm Fm Nm

F * Nm F * Ng

Fm = ----------- análogamente Fg = ----------- N N

Siendo fi = fg -- fm, resulta:

6 * Fg * L^3 4 * Fm * L^3 fi = fg -- fm ⇒ fi = ----------------------- -- ----------------------- (Ng * bi) * h^3 * E (Nm * bi) * h^3 * E

2 * L^3 3 * Fg 2 * Fm fi = ------------------ * --------- -- ---------- bi * h^3 * E Ng Nm

Reemplazando Fg y Fm por sus expresiones en función de F:

2 * L^3 3 * F * Ng 2 * F * Nm fi = ------------------ * ---------------- -- ----------------- bi * h^3 * E Ng * N Nm * N

2 * L^3 3 * N -- 2 * N fi = ----------------- * F * -------------------- bi * h^3 * E N^2

2 * F * L^3 fi = ----------------------------- ( N * bi ) * h^3 * E

La tensión máxima y teniendo presente σmxm = σmxg = σmx, resulta en:

6 * Fm * L 6 * Fg * L σmx = ------------------------ = ------------------------

( Nm * bi ) * h^2 ( Ng * bi ) * h^2

Reemplazando Fm y / o Fg por sus expresiones en función de F

6 * F * Nm * L 6 * F * Ng * L σmx = -------------------------------- = ------------------------------

( Nm * bi ) * h^2 * N ( Ng * bi ) * h^2 * N

6 * Fm * L 6 * Fg * L 6 * F * L σmx = --------------------- = -------------------- = ------------------

( Nm * bi ) * h^2 ( Ng * bi ) * h^2 ( N * bi ) * h^2

Siendo N = Nm + Ng, la igualdad arriba escrita multiplicada por ( 3 / 3 ), resulta en:

18 * F * L σmx = -------------------------------------------------

[ ( 3 * Nm + 3 * Ng ) * bi ] * h^2

Comparada con la correspondiente a σmxm del elástico sin pretensar (recuérdese que sin pretensar σmxm > σmxg):

18 * F * L σmxm = -------------------------------------------------

[ ( 3 * Nm + 2 * Ng ) * bi ] * h^2

resulta que el elástico pretensado, ante una misma carga forzal F, trabaja a menor tensión que el elástico sin pretensar.

RELACIÓN ENTRE LA CARGA F SOBRE UN ELÁSTICO

DE BALLESTA PRETENSADO, LA FLECHA f

CORRESPONDIENTE Y LA CARGA DE PRETENSADO F’.

Valiendo las siguientes relaciones, ya vistas anteriormente y referidas a las hojas sin pretensar:

F = Fm + Fg ;;;; Fm = km * fm ;;;; Fg = kg * fg

F = km * fm + kg * fg

también resulta, ahora referido al pretensado:

F’ = F’m -- F’g ;;;; fm = f -- f ’m ;;;; fg = f + f ’g

F’m = km * f ’m ;;;; F’g = kg * f ’g

de F = km * fm + kg * fg

y de fm = f -- f ’m ;;;; fg = f + f ’g

resulta F = km * ( f -- f ’m ) + kg * ( f + f ’g )

F = km * f -- km * f ’m + kg * f + kg * f ’g

F = f * ( km + kg ) + kg * f ’g -- km * f ’m

Siendo F’m = km * f ’m ;;;; F’g = kg * f ’g

resulta F = f * ( km + kg ) + F ’g -- F ’m

Siendo F’ = F’g -- F’m resulta:

F = f * ( km + kg ) + F’

( Nm * bi ) * h^3 * E ( Ng * bi ) * h^3 * E siendo km = -------------------------- ; kg = -------------------------

4 * L^3 6 * L^3

( Nm * bi ) * h^3 * E ( Ng * bi ) * h^3 * E km + kg = -------------------------- + --------------------------

4 * L^3 6 * L^3

6 * ( Nm * bi ) * h^3 * E + 4 * ( Ng * bi ) * h^3 * E km + kg = -----------------------------------------------------------------

24 * L^3

bi * h^3 * E

F = f * ------------------ * [ 3 * Nm + 2 * Ng ] + F’ 12 * L^3

bi * h^3 * E

Siendo k = ------------------ * 3 * Nm + 2 * Ng 12 * L^3

F = k * f + F’

( F -- F’ ) 12 * L^3

f = ------------ = ----------------------------------------- * ( F -- F’ ) k bi * h^3 * E * ( 3 * Nm + 2 * Ng )

Nota: La constante elástica del conjunto ballesta sin pretensar, resulta ser la misma que la del conjunto pretensado.

En cuanto a los posibles valores para F’, es de aclarar que esta variable podrá variar entre 0 (elástico sin pretensar y con luz fi) y un valor máximo F’mx (valor mínimo de F’ para anular la luz fi con el pretensado). Siendo que la fuerza de cierre que pueden llegar a ejercer las bridas atornilladas puede llegar a ser mayor que el mínimo necesario (F’mx) para anular la luz fi, la diferencia entre ambas no causará mayor pretensión que F’mx, de aquí

entonces y en cuanto a las expresiones vistas, en las mismas solo es de aplicación un valor de F’, tal que se verifique:

0 ≤ F’ ≤ F’mx

Si fp = luz entre láminas una vez pretensado el elástico y pudiendo variar F’ como arriba esta escrito, resultan válidas las siguientes correspondencias.

F’ = 0 ⇒ fp = fi

0 < F’ < F’mx ⇒ fi > fp > 0 F’ = F’mx ⇒ fp = 0

La determinación de F’mx y también de fp como función de F’, escapa al análisis de este apunte a la fecha de edición del mismo. Para resolver la cuestión habría que comenzar por analizar flexión de barras curvas y al respecto se debe tener en cuenta que lo que se ha analizado en el presente escrito no tiene en cuenta la curvatura de las láminas y que se ha considerado la cuestión como si las mismas fuesen planas. Por último corresponde mencionar que los resortes y ballestas pueden resultar de estar sometidos a solicitaciones variables y que consecuentemente deben ser dimensionados y / o verificados bajo estos aspectos.