mecanica para ingenieros - dinamica - russell c. hibbeler

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3. MECNICA PARA INGENIEROS " DINAMICA R. C. HIBBELER http://gratislibrospdf.com/

5. ~ MECANICA PARA INGENIEROS TRADUCCIN: Virgilio Gonzlez Pozo Ingeniero Qumico Facultad de Qumica UNAM REVISIN TCNICA: Jos de la Cera Alonso Ingeniero Civil UNAM Diplom Ingenieur Universidad Tcnica de Munich Coordinador de Ingeniera Civil U A M Azcapotzalco ~ DINAMICA SEXTA EDICIN EN INGLS (TERCERA EDICIN EN ESPAOL) R.C. HIBBELER OCTAVA REIMPRESIN MXICO, 2006 COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL http://gratislibrospdf.com/

6. Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por: correo: .Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Mxico, D.F. fax pedidos: (015) 561 4063561 5231 e-mail: [email protected] home page: http://www.patriacultural.com.mx Ttulo original: ENGINEERING MECHANICS: Dynamics, 6th. ed. ISBN 0-02-354686-7 Edicin autorizada de la sexta edicin en ingls publicada por: MacmiJlan Publishing Company, a division of Macmillan Inc. USA Copyright 1992, by R.e. Hibbeler Mecnica. para. ingenieros. Dinmica. Derechos reservados respecto a la edicin: 1994, 2000, Russell e. Hibbeler 1994, 2000, COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE e.v. 2000, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE e.V. bajo el sello de Compaa Editorial Continental Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin AzcapotzaJco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Registro nm. 43 ISBN 968-26-1244-6(tercera edicin) (ISBN 968-26-0843-0 segunda edicin) (ISBN 968-26-0355-2 primera edicin) Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas , sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en Mxico Printed in Mexico Tercera edicin: 1994 Sptima reimpresin: 2004 Octava reimpresin: 2006 http://gratislibrospdf.com/

7. AL ESTUDIANTE Con la esperanza de que esta obra estimule su inters en la mecnica de ingeniera y constituya una gua aceptahle p;:ra su comprensi(n. http://gratislibrospdf.com/

9. Prlogo El objeto de este libro es dar al estudiante una presentacin cla- ra y completa de la teora y aplicaciones de la mecnica de ingeniera. Desde luego que el autor no ha trabajado solo, sino que este libro ha sido conformado en gran parte, por los comentarios y sugerencias de ms de cien especialistas en el campo de la en- seanza y de muchos de los alumnos del autor, que han sido usuarios de las ediciones anteriores. Se ha hecho bastante para preparar esta nueva edicin. Los usuarios de las ediciones anteriores advertirn que la presentacin artstica se ha mejorado con el fin de dar un sentido ms real y comprensible al material. En esta edicin se incluyen ms problemas que antes, y la mayor parte de ellos son nuevos. Aunque el contenido del libro permanece en el mismo orden, se han ampliado algunos temas, se han sustituido varios ejemplos por otros nuevos, y se han mejorado las explicacio- nes de muchos otros mediante la reformulacin de determinadas frases. Sin embargo, la caracterstica principal del libro permanece igual; es decir, cuando es necesario, se pon ,gran nfasis en el trazado de un diagrama de cuerpo libre y se acenta tambin la importancia de seleccionar un sistema de coordenadas adecuado, as como la convencin de signo aso- ciada a los componentes de vectores, cuando se aplican las ecuaciones de la mecnica. Organizacin y mtodo. El contenido de cada captulo se halla organizado en secciones bien definidas. Grupos selecciona- dos de las secciones contienen una explicacin de temas especficos, problemas de ejemplos ilustrativos y un conjunto de problemas de tarea. Los temas dentro de cada seccin se incluyen dentro de subgrupos que se identifican con ttulos en negritas. El objeto de lo anterior es presentar un mtodo estructurado para introducir ca- http://gratislibrospdf.com/

10. viii PRLOGO da definicin o concepto nuevo, y hacer accesible el libro para referencia y repaso posteriores. Al final de muchas secciones se da un "procedimiento de anlisis" con objeto de proporcionar al estudiante un repaso o resumen del material y un mtodo lgico y ordenado para seguir al aplicar la teora. Como en las ediciones anteriores, los problemas de ejemplo se resuelven empleando el mtodo que se describe, con el fin de aclarar su aplicacin numrica. Sin embargo, se entiende que, una vez que se dominen los principios necesarios y se haya adquirido la confianza y el criterio suficientes, el estudiante puede continuar por s mismo desarrollando sus propios procedimientos de resolucin de problemas. En la mayora de los casos, se sugiere como primer paso en cualquier procedimiento trazar un diagrama. Al hacerlo as, el estudiante se forma el hbito de tabular los datos necesarios, al tiempo que enfoca los aspectos fsicos del problema y su geometra relacionada. Si ese paso se lleva a cabo en forma correcta, la aplicacin de las ecuaciones de la mecnica se vuelve de alguna manera algo me- tdico, ya que los datos pueden tomarse directamente del diagrama. Este paso es de importancia especial cuando se resuelven problemas de cintica, y por esta razn en el libro se recomienda siempre trazar el correspondiente diagrama de cuerpo libre. Ya que las matemticas nos dan un medio sistemtico para aplicar los principios de la mecnica, cabe esperar que el estudiante tenga conocimientos previos de lgebra, geometra, trigo- nometra y, para una comprensin total, una parte de clculo. Se presenta el anlisis vectorial en los puntos donde su aplicacin es mayor. Su uso proporciona un medio conveniente para presentar deducciones concisas de la teora, y hace posible una solucin sencilla y sistemtica de muchos problemas tridimensionales. A veces, los problemas de ejemplo se resuelven empleando ms de un mtodo de anlisis, para que el estudiante desarrolle la capacidad de usar las matemticas como herramienta mediante la cual se puede llevar a cabo la solucin de cualquier problema del modo ms directo y eficaz. Problemas. Numerosos problemas en el libro describen casos realistas que se encuentran en la prctica de la ingeniera. Se es- pera que ese realismo estimule el inters del estudiante en la mecnica de ingeniera y al mismo tiempo desarrolle la habilidad de reducir cualquier problema, a partir de su descripcin fsica, a un modelo o representacin simblica a los cuales se puedan aplicar los principios de la mecnica. Como en las ediciones anteriores, se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pueden resolverse empleando mtodos numricos ejecutados en una computadora personal o con una calculadora programable de bolsillo. En el apndice B, se dan tcnicas numricas adecuadas y programas relacionados de computadora. En este caso la inten- http://gratislibrospdf.com/

11. cin es ampliar la capacidad del estudiante para emplear otras formas de anlisis matemtico sin sacrificar el tiempo necesario para enfocarse hacia la aplicacin de los principios de la mecnica. Los problemas de este tipo que se puedan o se deban resolver con procedimientos numricos se identifican mediante un "cua- dro" (-) antes del nmero del problema. En todo el texto hay una cantidad equilibrada de probleqlas en los que se emplea el sistema ingls y el SI. Adems, en cualquier conjunto, se ha tratado de presentar los problemas en orden de dificultad creciente. En la ltima parte del libro se presenta una lista de las soluciones a todos los problemas, excepto uno de cada cuatro. Para advertir al lector que se trata de un problema sin respuesta en el libro se indica con un asterisco (*) antes del nmero del problema. Contenido. El libro consta de 11 captulos.* En el captulo 12 se describe en especial la cinemtica de una partcula, seguida de una presentacin, en el captulo 13, de la cintica de la partcula (ecuacin de movimiento). El captulo 14 trata sobre trabajo y energa, y el captulo 15 sobre impulso y cantidad de movimien- to. Los conceptos de dinmica de partculas que contienen esos cuatro captulos se resumen en una seccin de "repaso" y se da la posibilidad al estudiante para que identifique y resuelva un conjunto de diversos tipos de problemas. Para el movimiento de un cuerpo rgido en el plano se sigue una secuencia de presentacin similar: El captulo 16 trata sobre cinemtica en el plano; el 17 sobre ecuaciones de movimiento; el 18 sobre trabajo y energa; y el19 sobre impulso y cantidad de movimiento: estn segui- dos por un resumen y un conjunto de problemas de repaso para esos captulos. Si se desea, es posible cubrir los captulos 11 al19 sin prdida de continuidad: Captulos 12 y 16 (cinemtica); captulos 13 y 17 (ecuaciones de movimiento); captulos 14 y 18 (trabajo y energa); y captulos 15 y 19 (impulso y cantidad de movimiento). Si el tiempo lo permite, se puede incluir en el curso algo del material sobre movimiento tridimensional del cuerpo rgido. La cinemtica y la cintica de ese movimiento se describen, respectivamente, en los captulos 20 y 21. El captulo 22, sobre vibraciones, puede incluirse si el estudiante cuenta con el respaldo matemtico necesario. Las secciones del libro que se consideran estn ms all del propsito del curso bsico de dinmica, se marcan con una estrella (*) y se pueden omitir. Sin embargo, conviene advertir que este material ms avanzado constituye una referencia adecuada para los principios bsicos cuando se ve en otros cursos. Los primeros once captulos de la serie forman el contenido de Mecnica de Ingenie/fa: Esttica, CECSA, Mxico. PRLOGO ix http://gratislibrospdf.com/

12. x PRLOGO Reconocimientos. Mi empeo al escribir este libro ha consis- tido en que satisfaga tanto al estudiante como al maestro. En el curso de los aos, mucha gente ha ayudado en su desarrollo, y deseo reconocer sus valiosas sugerencias y comentarios. En especial, deseo dar personalmente las gracias a las siguientes perso- nas que han contribuido a esta edicin; el profesor Serge Abrate, University of Missouri-Rolla; profesor Henry C. Christiansen, Brigham Young University; profesor E. S. Doderer, Trinity Uni- versity, San Antonio; profesor A. Frank D'Souza, Illinois Institu- te of Technology; profesor J. H. Gaines, University of Texas at Arlington; profesor John Geremia, U. S. Naval Academy; profesor Richard Gill, University of Idaho; profesor Brian Mahoney, University of Wisconsin; profesor Larry Oline, University of South Florida; capitn Joseph Schwarz, U. S. Air Force Aca- demy; profesor William H. Walston, University of Maryland, Co- llege Park; y profesor Alan Zehnder, Cornell University. Se da una nota especial de agradecimiento a los profesores Edward Hornsey, University of Missouri, Rolla y Will Lidell, Jr., Auburn University at Montgomery, y a un exalumno graduado mo, el se- or Kai Beng Yap, por su ayuda al comprobar las soluciones a los problemas. Extiendo tambin mi agradecimiento a todos mis estudiantes y a los miembros de la comunidad docente que han dedicado su tiempo para mandarme sus sugerencias y comentarios. Como la lista es demasiado larga para mencionarla, tenemos la esperanza de que todos aquellos que han ayudado de esta forma acepten este reconocimiento annimo. Adems, aprecio la libertad y el apoyo que me dieron mis editores y el personal de Macmillan, en especial David Johnstone, Gary Ostedt, Dora Rizzuto, Anna Yip y Sandy Moore. Por ltimo, deseo reconocer la ayuda de mi es- posa, Conny, durante el tiempo que tard en preparar el manus- crito para su publicacin. Russell Charles Hibbeler - , http://gratislibrospdf.com/

13. Contenido 12 Cinemtica de una partcula 13 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 Cinemtica rectilnea: movimiento continuo 1 Cinemtica en coordenadas rectangulares: movimiento errtico 16 Movimiento curvilneo general 28 Movimiento curvilneo: componentes rectangulares Movimiento de un proyectil 36 Movimiento curvilneo: componentes normales y tangenciales 44 Movimiento curvilneo: componentes cilndricas 58 Anlisis del movimiento absoluto dependiente de dos partculas 72 Anlisis de movimiento relativo de dos partculas empleando ejes en traslacin 79 Cintica de una partcula: fuerza y aceleracin 13.1 Leyes de Newton del movimiento 91 13.2 La ecuacin de movimiento 95 13.3 Ecuacin del movimiento para un sistema de partculas 96 1 31 91 http://gratislibrospdf.com/

14. xii CONTENIDO 13.4 Ecuaciones de movimiento: coordenadas rectangulares 98 13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas normal y tangencial 113 13.6 Ecuaciones de movimiento: coordenadas cilndricas 124 * 13.7 Movimiento con fuerza central y mecnica del espacio 133 14 Cintica de una partcula: trabajo y energa 143 14.1 El trabajo de una fuerza 143 14.2 El principio del trabajo y la energa 148 14.3 El principio del trabajo y la energa para un sistema de partculas 150 14.4 Potencia y eficiencia 163 14.5 Fuerzas conservativas y energa potencial 169 14.6 Conservacin de la energa 173 15 Cintica de una partcula: impulso y cantidad de movimiento 177 Repaso 1: 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 * 15.8 * 15.9 Principio del impulso y cantidad de movimiento lineales 185 Principio del impulso lineal y cantidad de movimiento para un sistema de partculas 197 Conservacin de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partculas 198 Impacto 209 Momento angular 221 Relacin entre el momento de una fuerza'y el momento angular 222 Los principios del impulso y momento angulares 225 Corrientes estables de fluido 235 Propulsin con masa variable 240 Cinemtica y cintica de una partcula 251 http://gratislibrospdf.com/

15. CONTENIDO xiii 16 Cinemtica plana de un cuerpo rgido 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 17 Movimiento del cuerpo rgido 265 Traslacin 267 Rotacin con respecto a un eje fijo 268 Anlisis del movimiento absoluto general en el plano 281 Anlisis del movimiento relativo: velocidad 287 Centro instantneo de velocidad cero 301 Anlisis del movimiento relativo: aceleracin 311 Anlisis de movimiento relativo empleando rotacin de ejes .324 Cintica de un cuerpo rgido en el plano: fuerza y aceleracin 17.1 Momento de inercia 338 265 337 17.2 Ecuaciones cinticas del movimiento en el plano 351 17.3 Ecuaciones de movimiento: traslacin 354 17.4 Ecuaciones de movimiento: rotacin con respecto a un eje fijo 367 17.5 Ecuaciones de movimiento: movimiento general en el plano 380 18 Cintica del cuerpo rgido en el plano: trabajo y energa 393 18.1 Energa cintica 393 18.2 Trabajo de una fuerza 397 18.3 Trabajo de un par 399 18.4 Principio del trabajo y la energa 400 18.5 Conservacin de la energa 411 19 Cintica de un cuerpo rgido en el plano: impulso y cantidad de movimiento 423 19.1 Cantidad de movimiento lineal y momento angular 423 19.2 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 428 http://gratislibrospdf.com/

16. xiv CONTENIDO 19.3 Conservacin de la cantidad de movimiento y del momento angular 433 19.4 Impacto excntrico 448 Repaso 2: Cinemtica y cintica planas de un cuerpo rgido 457 20 Cinemtica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 471 21 * 20.1 Rotacin alrededor de un punto fijo 471 * 20.2 Derivada de un vector con respecto al tiempo, medida desde un sistema fijo y otro en traslacin y rotacin 474 * 20.3 Movimiento general 480 * 20.4 Anlisis de movimiento relativo empleando ejes en traslacin y en rotacin 487 Cintica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 499 22 Vibraciones * 21.1 * 21.2 * 21.3 * 21.4 * 21.5 21.6 * 22.1 * 22.2 * 22.3 * 22.4 * 22.5 * 22.6 Momentos y productos de inercia Momento angular 510 Energa cintica 513 Ecuaciones de movimiento Movimiento giroscpico Movimiento libre de pares 521 534 540 500 Vibracin libre no amortiguada 548 Mtodos de energa 560 Vibracin forzada no amortiguada 566 Vibracin libre con amortiguamiento viscoso Vibracin forzada con amortiguamiento viscoso Analogas con circuitos elctricos 578 547 572 575 http://gratislibrospdf.com/

17. .; CONTENIDO xv APNDICES A Expresiones matemticas 583 B Anlisis numrico y computacional 587 C Anlisis vectorial 597 Respuestas 603 ndice 617 http://gratislibrospdf.com/

19. 12 Cinemtica de una partcula En este captulo estudiaremos los aspectos geomtricos del movimiento de una partcula, medido respecto a marcos de referencia fi- jos y a marcos de referencia en movimiento. Describiremos la trayectoria mediante diversos tipos de sistemas coordenados y de- terminaremos las componentes del movimiento a lo largo de los ejes coordenados. Para simplificar describiremos el movimiento a lo largo de una lnea recta antes de acometer el estudio general del movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Una vez completa- mente comprendidas estas ideas, presentaremos en los siguientes captulos el anlisis de las fuerzas que causan el movimiento. 12.1 Cinemtica rectilnea: movimiento continuo La primera parte del estudio de la mecnica de ingeniera se ocupa de la esttica, que trata del equilibrio de los cuerpos en reposo o en movimiento con velocidad constante. La segunda parte se dedica a la dinmica, que se ocupa de los cuerpos con movimiento acelerado. En este libro, el tema d'11a dinmica se presentar en dos partes: la cinemtica, que slo trata los aspectos geomtricos del movimiento, y la cintica, que es el anlisis de las fuerzas que originan el movimiento. Para comprender mejor los principios que intervienen, describiremos primero la dinmica de partculas, y a continuacin se tratarn temas sobre la dinmica del cuerpo rgido, presentado en dos dimensiones y despus en tres. Comenzaremos nuestro estudio de la dinmica describiendo la cinemtica de la partcula. Recurdese que una partcula tiene I http://gratislibrospdf.com/

20. 2 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA masa, pero tamao y forma despreciables. Por lo tanto, debemos limitar la aplicacin a aquellos objetos en los que sus dimensiones no tengan efectos en el anlisis del movimiento. En la mayor parte de los problemas se tiene inters en cuerpos de tamao fi- nito como cohetes, proyectiles o vehculos. Estos objetos se pueden considerar como partculas, siempre y cuando su movimien- to est caracterizado por el movimiento de su centro de masa y pueda despreciarse cualquier rotacin del cuerpo. Cinemtica rectilnea. Una partcula se puede mover a lo largo de una trayectoria tanto recta como curva. Para presentar la cinemtica del movimiento de una partcula, comenzaremos con el estudio del movimiento rectilneo. La cinemtica de ese movimiento se caracteriza especificando, en cualquier instante dado, la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula. Posicin. Se puede especificar la trayectoria recta de la partcula empleando un solo eje coordenado s, figura I2.Ia . El origen O sobre la trayectoria es un punto fijo, y a partir de ste se emplea el vector de posicin r para definir el lugar de la partcula P en cualquier instante. Sin embargo, para el movimiento rectilneo, la direccin de r siempre es a lo largo del eje s, y por lo tanto nunca cambia. Lo que va a cambiar es su magnitud y su sentido o sea la orientacin de la punta de la flecha. POrlo tanto, en el trabajo analtico es conveniente representar a r con un escalaralgebraico s, que representa a la coordenada de posicin de la partcula, figura I2.Ia. La magnitud de s y de r es la distancia de O a P medida en general en metros (m) o pies (ft), y el sentido u orientacin de la punta de la flecha de r se define mediante el signo algebraico de s. Aunque la seleccin es arbitraria, en este caso s es positivo, ya que el eje de coordenadas es positivo a la derecha del origen. Igualmen- te, ser negativo si la partcula est ubicada a la izquierda de O. Desplazamiento. El desplazamiento de la partcula se define como el cambio en su posicin. Por ejemplo, si la partcula se mueve de P a P', figura I2.1b, el desplazamiento es l1 r = r' - r. Empleando escalares algebraicos para representar a l1 r, se tiene tambin que l1 s =s' - s. Aqu l1 s es positivo, ya que la posicin final de la partcula est a la derecha de su posicin inicial; es decir, s' >s. Igualmente, si la posicin final est a la izquierda de su posicin inicial, l1 s es negativo. Como el desplazamiento de una partcula es una cantidad vectorial, se debe distinguir de la distancia que viaja la partcula. Es- pecficamente, la distancia recolTida es un escalarpositivo que representa la longitud total de la trayectoria recorrida por la partcula. Velocidad. Si la partcula se mueve a travs de un desplazamiento l1 r de P a P' durante el intervalo de tiempo l1 1, figura http://gratislibrospdf.com/

21. SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 3 12.1b, la velocidad media de la partcula durante este intervalo de tiempo es ~r v = - avg ~ t Si tomamos valores cada vez ms pequeos de ~ l, la magnitud de ~ r se hace ms y ms pequea. En consecuencia, la velocidad instantnea se define como v = lm (~r/~), o sea Posicin (al lit-O drv = - dI rr'=t1~-----~rP-~'--- s O s -+LlS~ I------s'~ Desplazamiento (b) v -I P P' -o+----------~~ 'f t-Lls-j Velocidad (e) Fig.12.1 Si se representa a v como escalar, figura 12.1c, podemos escribir tambin (12.1) Como ~ t o dI siempre es positivo, el signo que se emplea para definir el sentido de la velocidad es el mismo que el de ~ s, o de ds. Por ejemplo, si la partcula se mueve hacia la derecha, figura 12.1c, la velocidad es positiva; mientras que si se mueve hacia la izquierda, la velocidad es negativa. Se subraya aqu este hecho mediante la flecha que aparece a la izquierda de la ecuacin 12.1. La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se expresa en general en unidades de mis o ft/s. http://gratislibrospdf.com/

22. 4 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA A veces se usa el trmino "velocidad media". La velocidad media siempre es un escalar positivo y se define como la distancia total recorrida por una partcula, Sn dividida entre el tiempo transcurrido at, es decir, 3 - ST V = - sp a t -3 --~ P P' o ------'~.;.. e I p p , . -o+-------~-s Aceleracin (d) ---y ' --- -y y ' Desaceleracin (e) Aceleracin. Si se conoce la velocidad de la partcula en los dos p~ntos P y P', se define a la aceleracin media de la partcula durante el intervalo de tiempo a t como ava = - ovg a t Aqu, a v representa la diferencia de la velocidad durante el intervalo de tiempo a t; es decir, a v= v' - v, figura 12.1d. La aceleracin instantnea en el tiempo t se calcula tomando valores cada vez menores de a t y valores correspondientes, cada vez menores, de a v, de modo que a = lm ca v/a t) o bien, empleando escalares algebraicos, at-O Cdvl ~ (12.2) Sustituyendo la ecuacin 12.1 en este resultado podemos escribir tambin que d 2s a=- dt2 Tanto la aceleracin media como la aceleracin instantnea pueden ser positivas o negativas. Especficament~ cuando la partcula est frenando, o su velocidad decrece, se dice que est desacelerando. En este caso, en la figura 12.1e, v' es menor que v, y entonces av = v' - v ser negativa. En consecuencia, a ser tambin negativa, y por lo tanto actuar hacia la izquierda en sentido contrario al de v. Tambin ntese que cuando la velocidad es constante, la aceleracin es cero ya que av = v - v = O. Las unidades que se usan normalmente para expresar la magnitud de la aceleracin son ro/s2 o ft/s2. http://gratislibrospdf.com/

23. SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 5 Se puede obtener una ecuacin diferencial que implique al desplazamiento, velocidad y aceleracin a lo largo de la trayectoria eliminando la diferencial de tiempo dt entre las ecuaciones 12.1 y 12.2. Al hacerlo, es conveniente tomar en cuenta que si bien en este caso podemos formular otra ecuacin, sta no ser dependiente de las ecuaciones 12.1 y 12.2. Se demuestra que a ds = vdv (12.3) Aceleracin constante, a =ac. Cuando la aceleracin es constante, cada una de las tres ecuaciones cinemticas, ac = d v/dt, v =ds/dt yac ds = v d v se pueden integrar para obtener frmulas que relacionan a ac. v, s y t. Velocidad como funcin de tiempo. Se integra ac =dv/dt, suponiendo que inicialmente v = Vo cuando t = O. v - Vo =ac (t- O) v = Vo + a,./ Aceleracin Constante (12.4) Posicin como funcin del tiempo. Se integra v = ds/dt = Vo + act, suponiendo que inicialmente s =So cuando t =O. Ssds = .CCVo + aJ) dI So o s - So = voCt- O) + ac Ci t2 - O) s =So + VI) t + +Oc t2 Aceleracin Costante (12.5) Velocidad como funcin de la posicin. Se puede despejar a t de la ecuacin 12.4 y sustituirla en la ecuacin 12.5, o bien integrar v d v = acds, suponiendo que inicialmente v = Vo en s =so.http://gratislibrospdf.com/

24. 6 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA 1 v2- 1 JO = a (s - s )2 2 c o v2 = v~ + 2ac (s - so) Aceleracin Constante (12.6) Esta ecuacin no es independiente de las ecuaciones 12.4 y 12.5. Porqu? Las magnitudes y los signos de so. vo y ac se determinan de acuerdo con el origen y la direccin positiva del eje s que se ha- yan seleccionado. Como lo indica la flecha que aparece a la izquierda de cada ecuacin, hemos supuesto que las cantidades positivas actan hacia la derecha, de acuerdo con el eje s de coordenadas que aparece en la figura 12.1. Tambin es importante recordar que las ecuaciones de arriba son tiles slo cuando es constante la aceleracin y cuando t = 0, s =So Yv = vo. Un ejemplo comn de movimiento de aceleracin constante se tiene cuando un cuerpo cae libremente hacia el suelo. Si no se toma en cuenta la resistencia del aire y la distancia de la cada es corta, entonces la aceleracin constante hacia abajo del cuerpo cuando est cerca del suelo es aproximadamente de 9.81 m/s2 , o 32.2 ft/s2 La prueba de lo anterior aparece en el ejemplo 13.2. PROCEDIMIENTO DE ANLISIS Sistema de coordenaoos. Siempre que se aplican las ecuaciones cinemticas, es muy importante establecer primero una coordenada s de posicin a lo largo de la trayectoria y especificar su origen fijo y direccin positiva. Como la trayectoria es rectilnea, las lneas de direccin de la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula nunca cambian. Por lo tanto, se pueden representar esas cantidades como escalares algebraicos. Para trabajo analtico se puede determinar el sentido de s, v y a a partir de S!lS signos algebraicos. En los siguientes ejemplos, se indicar el sentido positivo para cada escalar mediante una flecha aliado de cada ecuacin cinemtica al momento de aplicarla. Ecuaciones cinemticas. Con frecuencia se puede establecer una relacin matemtica entre cualesquiera dos de las cuatro variables a, v, s y t, ya sea por observacin o por experimen- tacin. Cuando es se el caso, se pueden obtener las relacio- nes entre las variables restantes por diferenciacin o intcgra- http://gratislibrospdf.com/

25. SEC.12.1 CINEMTICA RECTILr-EA: MOVIMIENTO CONTINUO 7 clon, empleando las ecuaciones cinemticas a =d v/dt, v = ds/dt o a ds = vd v.* Como cada una de esas ecuacior.es relaciona a tres variables, entonces, si se conoce una variable en funcin de otra, se puede calcular una tercera variable selec- cionando la ecuacin cineiitica que relacione a las tres. Por ejemplo, supongamos que la aceleracin se conoce como funcin de la posicin, a =f(s). La velocidad puede determinarse a partir de a ds y vdv, ya que se puede sustituir af(s) en lugar de a para obtenerf(s) ds = vd v. Para despejar v se necesita integrar. Ntese que la velocidad no puede obtenerse empleando a = dv/dt, ya que f(s)dt =dv contiene dos variables, s y t del lado izquierdo y por lo tanto no puede in- tegrarse. Siempre que se lleva a cabo la integracin, es importante que se conozcan la posicin y la velocidad en de- terminado instante para evaluar ya sea la constante de integracin, si se emplea una integral ind~finida, o bien los lmites de integracin cuando se usa una integral definida. Por ltimo, tngase en cuenta que las ecuaciones 12.4 a 12.6 slo son de uso limitado. Nunca deben aplicarse esas ecuaciones a menos que se est absolutamente seguro de que la aceleracin es constante. En el apndice A se dan algunas frmulas bsicas de diferenciacin y de integracin. http://gratislibrospdf.com/

26. 8 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA Ejemplo 12.1 Fig.12.2 El vehculo en la figura 12.2 se mueve en lnea recta de tal modo que durante un breve tiempo su velocidad est definida por v =(9t2 + 21) ft/s, estando t en segundos. Calcule su posicin y aceleracin cuando t =3 s. Cuando t = O, s =O. . I - ' ----l a,Y " . ; ,~, ~ ...SOLUCIN Sistema de coordenadas. La coordenada de posicin se extien- de desde el origen fijo O hasta el vehculo. Hacia la derecha es positiva. Posicin. La velocidad del vehculo se da como funcin del tiempo, de modo que su posicin puede calcularse a partir de v = ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona av, s y t. Teniendo en cuenta que s =Ocuando t =O, tenemos* Cuando t =3 s, ds v = - = (9t2 + 21) dt f;ds = f;(9t2 + 21) dt S t S 1o = 3t 3 + t21 o s = 3t3 + t2 ) s = 3(3)3 + (3)2 = 90 ft Resp. Ace(eracin. Si se conoce la velocidad como funcin del tiempo, se calcula la aceleracin a partir de a = d v/dt, ya que esta ecuacin relaciona a a, vy t. (~"-+ ) dv d a =- =- (9t2 + 21) dt dt = 18t + 2 Cuando t =3 s, a = 18(3) + 2 = 56 ft/s2 -> Resp. No se pueden emplear las frmulas para aceleracin constante para resolver este problema. Por qu? Se puede obtener el mismo resultado calculando una constante e de integracin y no usando lmites definidos de la integral. Por ejemplo, si se integra ds = (912 + 21) dI, se obtiene s = 313 + 12+ C. Se usa la condicin de que cuando I = O, s = Oy, entonces e = O. http://gratislibrospdf.com/

27. SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 9 Ejemplo 12.2 Un proyectil pequeo se dispara verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 mis. Si el proyectil experimenta una desaceleracin igual a a = (-0.4 }) m/s2, para la cual v se mide en mis, calcule la velocidad y posicin del proyectil 4 s despus de haberlo disparado. SOLUCIN Sistema de coordenadas. Como el movimiento es hacia abajo, la coordenada de posicin es positiva hacia abajo, y el origen es- t ubicado en 0, figura 12.3. Velocidad. Se da la aceleracin como funcin de la velocidad, y por lo tanto, la velocidad se puede calcular a partir de a = d v/dta, ya que esta ecuacin relaciona a v, a y t. (Por qu no se usa v = Vo + act?). Separando las variables e integrando, con Vo = 60 mis cuando t = O, se obtiene (+!) dv a = di = - 0.4 v 3 En este caso se toma el signo positivo de la raz, ya que el proyectil se mueve hacia abajo. Cuando t =4 s, v =0.559 mis ! Resp. Posicin. Conocida la velocidad como funcin del tiempo, podemos ahora calcular la posicin del proyectil a partir de v = ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona a s, v y t. Empleando la condicin inicial s =Ocuando t =O, tenemos que (+!) v = ds =[_1_+ O8t] -1/2 dt (60)2 . f"sds = f"'[_1_+ 0.8t] -1/2dt Jo Jo (60)2 S = ~[_1_ + O8t] 1/21 t 0.8 (60)2 . o s = _1_[_1_+ 0.8t] 1/2 -~} m 0.4 (60)2 60 Cuando t = 4 s, s = 4.43m Resp. Fig.12.3 http://gratislibrospdf.com/

28. 10 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA Ejemplo 12.3 n Un;O r VA; 15 mis A", 1'.11L- 1 ~ 40 In f e o Nivel del terreno Fig.12.4 Un nio lanza una pelota en direccin vertical hacia arriba a un lado de una pared, como se ve en la figura 12.4. Si la velocidad inicial de la pelota es de 15 mis hacia arriba y se lanza a 40 m del fondo de la pared, calcule la altura mxima Sn que alcanza y su velocidad justo antes de chocar contra el suelo. Durante todo el tiempo que la pelota se encuentra en movimiento est sujeta a una aceleracin constante hacia abajo igual a 9.81 m/s2 debida a la gravedad. Desprecie el efecto de la resistencia del aire. SOLUCIN Sistema de coordenadas. Se toma el origen O de la coordenada s de posicin en el nivel del terreno inferior, y el sentido hacia arriba como positivo. Vase figura 12.4. Altura mxima. A la altura mxima, s = sa, la velocidad Vn = O. Como la pelota se arroja hacia arriba cuando t = 0, est sujeta a una velocidad VA = + 15m/s. Es positiva ya que tiene el mismo sentido que un desplazamiento positivo. Durante todo el movimiento la aceleracin es constante, de modo que a, = -9.81 m/s'. Es negativa ya que acta en sentido contrario al de la velocidad positiva, o del desplazamiento positivo. Co- mo a, es constante durante todo el movimiento, la posicin de la pelota se puede relacionar con su velocidad en los dos pun- tosA y B de la trayectoria, empleando la ecuacin 12.6, o sea (+ 1) v]= v~ + 2ac(Sa-SA) 0= (15)2 + 2(-9.81)(sa - 40) sa = 51.5m Resp. Velocidad. Para obtener la velocidad de la pelota inmediata- mente antes de chocar con el suelo podemos aplicar la ecuacin 12.6 entre los puntos B y e, figura 12.4. (+ 1) vl: = Vb + 'Ia (sc - sa) - = O + 2(-9.81)(0 - 51.5) Vc = -31.8m/s = 31.8 mis ~ Resp. Se escogi la raz negativa porque la pelota se mueve hacia abajo, y el sentido positivo de s es hacia arriba. Igualmente se puede aplicar tambin la ecuacin 12.6 entre los puntos A y e, es decir (+ 1) vl: = 0t + 2aJ'c - SA) = 152 + 2(-9.81)(0 - 40) Vc = -31.8m/s = 31.8m/s~ Nota: Se debe tener en cuenta que la pelota est sujeta a una desaceleracin entre A a B igual a 9.81 m/s2, y a continuacin, de B a e, la pelota acelera a esa misma proporcin. Ade- ms, aun cuando la pelota llega al reposo en B en forma momen- tnea (va = O), la aceleracin en B es de 9.81 m/s? lhacia abajo! .! o http://gratislibrospdf.com/

29. L SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 11 Ejemplo 12.4 Una partcula metlica se halla sometida a la influencia de un campo magntico tal que se mueve hacia abajo a travs de un fluido que llena el espacio de la placa A a la B (vase Fig. 12.5). Si la partcula parte del reposo en el punto medio e,s = 100 riun, Y se mide que la aceleracin es a = (4s) m/s2, donde s est en' metros, calcule la velocidad de la partcula al alcanzar la placa B, s =200 mm, y el tiempo que necesita para pasar de e a B. SOLUCIN Sistema de coordenadas. Como se ve en la figura 12.5, se toma a s como positiva cuando es hacia abajo, medida a partir de la placaA. Velocidad. Como la aceleracin de la partcula se conoce como funcin de la posicin, se puede obtener la velocidad como funcin de la posicin a partir de v d v =a ds. Por qu no se usan las frmulas para aceleracin constante? Si consideramos que v = Oparas = 100 mm = 0.1 m, tenemos que (+!) vdv=ads 1v v d v =l' 4s ds O 0.1 .1. v21 v = i s21 ' 2 O 2 0.1 V = 2(S2 - 0.01)1/2 (1) Cuando s = 200 mm = 0.2 m, VB = 0.346 mIs = 346 mm/s! Se escoge la raz positiva, ya que la partcula viaja hacia abajo, es decir, en la direccin +s. Tiempo. El tiempo para que la partcula viaje de e a B se puede calcular mediante v = ds/dt y la ecuacin 1, siendo s = 0.1 m cuando t = O. (+! ) ds = vdt =2(S2 - 0.01)1/2 dt f' ds = f'2dt Jo.! (S2 - 0.01)1/2 Jo In(s + .S2 _ 0.01) l'= 2t l'tU o In(s + .S2 - 0.01) + 2.30 = 2t Cuando s = 200 mm = 0.2 m, t = In(0.2 + . (0.2); - 0.(1) + 2.30 = 0.657 s Resp. A Ir200m ~B Fig.12.5 http://gratislibrospdf.com/

30. 12 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA Ejemplo 12.5 v (mis) v =3r2 - 6t -4--- - - - + - - - -- - t(s) (ls. - 3 mis) (a) (b) Fig. 12.6 Una partcula se mueve a lo largo de una lnea horizontal de tal modo que su velocidad est dada por v = (3t2-6t) mis, donde t es el tiempo en segundos. Inicialmente est en el origen O. Calcule la distancia que recorre la partcula durante el intervalo de tiempo desde t = Ohasta t = 3.5 s, y la velocidad y la rapidez medias durante ese intervalo de tiempo. SOLUCIN Sistema de coordenadas. En este caso supngase que el movimiento positivo es hacia la derecha, medido desde el origen O. Distancia recorrida. Como la velocidad est relacionada con el tiempo, la posicin en funcin del tiempo se puede calcular integrando v = ds/dt con la condicin t = O, S = O. (~) ds = vdl = (3t2 - 6t) dt f;ds = 3f~ t2 dt - 6f~ t dt s = et3 - 3t2 ) m (1) Para calcular la distancia recorrida en 3.5 s, es necesario investigar la trayectoria del movimiento. En la figura 12.6a la grfica de la funcin velocidad indica que para O: 0, y en consecuencia, la direccin r se apro- xima a la tangente a la curva en el punto P. Por lo tanto, v = lm (&-/D.f), o sea ~~O (12.7) Como dr ser tangente a la curva en P, la direccin de v tambin es tangente a la curva, figura 12.16c. La magnitud de v, se obtiene notando que la magnitud del desplazamiento r es la longitud del segmento de recta deP a P', figura 12.16b. Sabiendo que esta longitud, r tiende a la longitud del arco & a medida que D.f --> 0, tenemos que v = lm (&-/D.f) = lm (&/D.f), o sea ~~O ~t~O ~ ~ (12.8) As, la velocidad puede obtenerse diferenciando la funcin trayectoria s con respecto al tiempo. Aceleracin. Si la partcula tiene una velocidad v en el tiempo t y una velocidad v' = v + V en el tiempo t + D.f, figura 12.16d, entonces la aceleracin media de la partcula durante el intervalo D.f es . http://gratislibrospdf.com/

48. 30 CAP. 12 CINEMTICADEUNAPARTCULA p (d) (g) ;- /" ~v . I~ O' (e) ~v Odsrofa y ~ Fig. 12.16 (cont.) Av a = - avg A t O' (f) donde Av = v' - v. Para estudiar esta rapidez de cambio con el tiempo, se grafican los dos vectores velocidad en la figura 12,16d en la figura 12.16e de tal modo que sus colas estn ubicadas en el punto fijo O' y sus puntas tocan a los puntos de la curva puntea- da. A esta curva se le lla~a odgrafa, y describe el lugar geomtrico de las puntas del vector velocidad del mismo modo que la trayectoria s describe el lugar geomtrico de las puntas de la flecha del vector de posicin, figura 12.16a. Para obtener la aceleracin instantnea, se hace que At -+ O en la ecuacin anterior. En el lmite Av tender a la tangente de la odgrafa, y entonces lm (AV/At), o sea 6t~O (12.9) Sustituyendo la ecuacin 12.7 en el resultado anterior, podemos escribir tambin que Por definicin de la derivada, a acta tangente a la odgrafa, figura 12.16f, y, por lo tanto, en general, a no es tangente a la trayectoria del movimiento, figura 12.16g. Para aclarar este punto, obsrvese que Av y, en consecuencia, a deben explicar el cambio tanto de magnitud como de direccin de la velocidad v a medida que la partcula se mueve de Par, figura 12.16d, Tan slo un cambio de magnitud aumenta (o disminuye) la "longitud" de v, y esto en s permitira que a permaneciera tangente a la trayectoria. Sin embargo, para que la partcula siga la trayectoria, el cambio de direccin siempre desva al vector velocidad hacia el "in- terior", o "lado cncavo" de la trayectoria, y por lo tanto a no puede permanecer tangente a la trayectoria. http://gratislibrospdf.com/

49. SECo 12.4 MOVIMIENTO CURVILNEO: COMPONENTES RECTANGULARES 31 12.4 Movimiento curvilneo: componentes rectangulares En algunos casos, el movimiento de una partk:ula se puede des- cribir mejor a lo largo de una trayectoria representada, empleando un marco de referencia fijo x, y, z. Posicin. Si en un instante dado la partcula P est en un punto (x, y, z) en la trayectoria curva s, figura 12.17a, entonces su ubica- cin se define mediante el vector de posicin cr=xi + yj + zk I (12.10) Debido al movimiento de la partculaey a la forma de la trayectoria, las componentes X, y y z de r son todas en general, funciones del tiempo, es decir, x =x(t), y =y(t), z =z(t), y por lo tanto r = r(t). De acuerdo con la exposicin del apndice C, la magnitud de r siempre es positiva y, segn la ecuacin C. 3, se define como La direccin de r se especifica mediante las componentes del vector unitario Ur = r/r. Velocidad. La primera derivada de r con respecto al tiempo da la velocidad v de la partcula. Entonces, v = dr =--(Xi) + --(yj) + --(zk) dt dI dt dt Cuando se toma la derivada, es necesario tener en cuenta los cambios tanto en magnitud como en direccin de cada una de las componentes del vector. La derivada de la componente i de v es por lo tanto d(.) dx. di-XI =-I+X- dt dt dI El segundo trmino del lado derecho es cero, ya que el marco de referencia x, y, z es fijo, y por lo tanto la direccin y la magnitud de i no cambian con respecto al tiempo. La diferenciacin de las componentes j y k se puede llevar a cabo de manera semejante, con lo cual se llega al resultado final dr . . k v =- = vT I + v,.J + Vz( 1 . (12.11) k r=xi+yj+zk y x x y Posicin (a) /----------------- y x Velocidad (b) Fig.12.17 http://gratislibrospdf.com/

50. , 32 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA donde V,=~ V). =~ Vz =Z (12.12) La notacin de "punto" X, y, i; representa las primeras derivadas con respecto al tiempo de las ecuaciones paramtricas x =x(t), y =y(t), y z =z(t), respectivamente. La velocidad tiene una magnitud que se define como el valor positivo de y una direccin que se especifica mediante las componentes del vector unitario U v = v/v. Esta direccin siempre es tangente a la trayectoria, como se muestra en la figura 12.17b.. Aceleracin. La aceleracin de la partcula se obtiene tomando la primera derivada respecto al tiempo de la ecuacin 12.11, o la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuacin 12.10. Empleando puntos para representar las derivadas de las componentes con respecto al tiempo, tenemos que dv . . ka=-=al+aJ+a dI ' y 1 (12.13) donde a, = v,=x ay =~). =Y a l = Vl =Z (12.14) Aqu, aTO ay Yal representan, respectivamente, las primeras derivadas con respecto al tiempo de las funciones Vx = vit), vy = vit) y Vz = vz(t), o bien las segundas derivadas con respecto al tiempo de las funciones x =x(t), y =y(t) y z =z(t). La aceleracin tiene una magnitud que se define como el valor positivo de a = ,a2 + a2 + a2 , y 1 y una direccin especificada por las componentes del vector unitario u" = ala. Como a representa la rapidez de cambio de la ve- http://gratislibrospdf.com/

51. SEC.12.4 MOVIMIENTO CURVILNEO: COMPONENTES RECTANGULARES 33 locidad con respecto al tiempo, a en general no ser tangente a la trayectoria que sigue la partcula, figura 12.17c. PROCEDIMIENTO DE ANLISIS Sistema de coordenadas. Se puede emplear un sistema de coordenadas rectangulares para resolver problemas cuando puede expresarse convenientemente el movimiento en tr- minos de sus componentesx, y y z. x Cantidades cinemticas. Como el movimiento rectilneo se lleva a cabo a lo largo de cada eje, puede determinarse una descripcin del movimiento de cada componente empleando v =ds/dt ya =d v/dt, como se describi en la seccin 12.1, y se formaliz anteriormente. Tambin, si el movimiento no se expresa como parmetro del tiempo, se puede usar la ecuacin a ds = v d vd v. Una vez determinadas las componentes X, y, z de v y a, se calculan las magnitudes de esos vectores mediante el teorema de Pitgoras, ecuacin C3, y sus direccio- nes mediante las componentes de sus vectores unitarios, ecuaciones CA y C5. /-----------------y Aceleracin (e) Fig. 12.17 (cont.) http://gratislibrospdf.com/

52. .. 34 CAP.12 CINEMTICADEUNAPARTfCULA "" Ejemplo 12.9 -------------------------IIIIII!En cualquier instante se define la posicin de la cometa de la figura 12.1&zmediante las coordenadas x = (30t) ft yY = (9t2) ft, en las cuales I est en segundos. Calcule (a) la ecuacin que describe la trayectoria y la distancia de la cometa con respecto al nio, cuando t = 2 s, (b) la magnitud y la direccin de la velocidad cuando I = 2 s, Y (e) la magnitud y direccin de la aceleracin cuando I = 2 s. y B 1 .:~ 36r A x .[ 60 ft I c:.::..? (a) SOLUCIN Posicin. La ecuacin de la trayectoria se determina al elimi- nar a I de las ecuaciones para x y y, es decir, I = x/30, de modo que y = 9(x/30)2, o sea Resp. sta es la ecuacin es de una parbola, figura 12.18a. Cuando t = 2 s, x = 30(2) = 60 ft y = 9(2)2 = 36 ft La distancia en lnea recta deA a B es, por lo tanto, Resp.r = .(60)2 + (36)2 = 70.0 ft Velocidad. Empleando las ecuaciones 12.12, las componentes de la velocidad cuando I = 2 s son d Vx = d(30/) = 30 ft/s -+ v = .!I(9t2) = 18t I = 36 ft/s iy dt ,-25 ':: := 46.9 ftls 0"= 50.2 B (b) Cuando t = 2 s, la magnitud de la velocidad es v = .(30)2 + (36)2 = 46.9 ft/s Resp. Su direccin es tangente a la trayectoria, figura 12.18b, en donde v 368u = tan-J..::L= tan-1 30 = 50.2 Resp, VI Aceleracin. Las componentes de la aceleracin se determinan a partir de las ecuaciones 12.14, a = 4

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