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Universidad Simón Bolívar

Mecánica de Materiales II:Deformaciones y desplazamientos

Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar


• Desplazamientos• Desplazamientos

• Deformaciones• Normal• Tangencial

• Deformaciones• Normal• Tangencial

• Relación Desplazamiento - Deformación• Relación Desplazamiento - Deformación

• Deformación homogénea• Deformación homogénea

• Estado plano de deformaciones• Circulo de Mohr – Método gráfico• Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia

• Estado plano de deformaciones• Circulo de Mohr – Método gráfico• Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia

• Análisis experimental de deformaciones• Análisis experimental de deformaciones

ContenidoContenido


Se define como:

y

x z

rR

sPP’

=z

y

x

r ( )

=w

v

u

trs ,( ) ),(, trsrtrR +=

Los desplazamientos del punto P (u,vy w) son función del sistema decoordenadas XYZ y del tiempo

Desplazamientos DeformacionesRelación

Desplazamiento - Deformación

Deformación Homogénea

Estado plano

Análisis experimental


Cuando un sólido es sometido a cargas, encada punto experimenta undesplazamiento que se descompone en:• Movimiento rígido

TraslaciónRotación

• Deformación puraCambios de longitudVariaciones de ángulos

Deformación NormalDeformación Tangencial




Estado plano



Se define como:

y

x z

r

R

sP

P’

dr

drdRn

−=ε

r+dr

s+dsQ

Q’dr

dR

nn

• εn es positiva si se alarga

• εn es negativa si se encoje




Estado plano


Deformación Normal


y

x z

r

R

sP

P’

−⋅= θπγ22

1nm

drdR

n

N

dQdq M

m90°

θ

• γnm es positiva siθ < 90°

• γnm es negativa siθ > 90°




Estado plano


Deformación Tangencial

Se define como:


y

dyL

P

Q

P’

Q’

Y

dY

v

∆L

y

vy ∂

∂=ε

v+dv


Desplazamiento -Deformación


Estado plano



y

vy ∂

∂=ε

De manera similar puede demostrarse que:

x

ux ∂

∂=εz

wz ∂

∂=ε

∂∂+

∂∂⋅=

x

v

y

uxy 2

1γ

∂∂+

∂∂⋅=

x

w

z

uxz 2

1γ

∂∂+

∂∂⋅=

y

w

z

vyz 2

1γ

De esta manera se conforma:

[ ]

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

εγγγεγγγε

ε


Desplazamiento -Deformación


Estado plano



Sucede cuando la matriz de deformaciones es idéntica en todos lospuntos del solido, es decir:

HzFyDxAu +⋅+⋅+⋅=

MzKyBxEv +⋅+⋅+⋅=

NzCyLxGw +⋅+⋅+⋅=

ctte ====== yzxzxyzyx γγγεεε

Eso significa que los desplazamientos se pueden expresar delasiguiente manera:




Estado plano



Ejemplo de deformación homogénea:Ejemplo de deformación no homogénea:

x

y




Estado plano



Ejemplo de estado plano de deformaciones:




Estado plano



Implica que una de las deformaciones principales es igual a cero:

[ ]

=000

0

0

yyx

xyx

εγγε

ε

Existe total analogía entre los esfuerzos y las deformaciones, por loque se cumple que:

( ) ( )θγθεεεε

ε ⋅⋅+⋅⋅

−+

+= 22

221 SenCos xyyxyx

x

( ) ( )θγθεε

γ ⋅⋅+⋅⋅

−= 22

211 CosSen xyxy

yx

( )yx

xytgεε

γθ

−⋅

=⋅2

2




Estado plano



γ

εnP1(ε1)

R

Cθ⋅2

2yx εε + ( ) 2

2

4 xyyxR γ

εε+

−=

P2(ε2)

• Se ubican lospuntos Px(εx,γxy) yPy(εy,-γxy) y se trazauna recta queintersecta el eje de lasabscisas en el puntoC.

Py(εy,−γxy)

Px(εx,γxy)

• Con centro en C yradio CPx, se traza lacircunferencia deradio R

• La circunferencia seintersecta con el ejede las abscisas P1 y P2

que corresponden alas deformacionesprincipalesε1 y ε2

• El ángulo(dirección principal)que forma ladeformaciónε1 con eleje x es igual y desentido contrario a lamitad del ángulo entreCP1 y CPx

• Si queremosdeterminar lasdeformacionesεx1 yγx1y1 en un plano cuyanormal forma unángulo φ en sentidoanti horario con el ejex, medimos un ángulo2φ en sentido horarioen el círculo de Mohr

Px1(σx1,τx1y1)

y

x

x1

y1

φ

2.φ




Estado plano


Mohr – Método gráfico


εn(ε1)

C

(ε2)

• Las deformacionesnormales ytangenciales en unplano perpendicular alplano XY son lascoordenadas en unpunto sobre lacircunferencia deMohr

(εy,−γxy)

(εx,γxy)

Px1(εx1,γx1y1)

y

x

x1

y1

φ

2.φ

• Los ejes X y Y serepresentan en elcírculo de Mohr comoradios

y

x

(εy,−γxy)

(εx,γxy)

• En el plano XY, losangulos son positivoscuando se miden ensentido anti horario.En el diagrama deMohr son positivos sise miden en sentidohorario

• Si un eje x1 formaun ánguloθ con otroeje x2 en el plano XY,entonces el radio CPx1

forma un ángulo -2θcon CPx2 en el circulode Mohr

Px2(εx2,γx2y2)2.θ

x2y2

θ




Estado plano


Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia

γ


Galgas extensiométricas:es un dispositivo comúnmente usado enpruebas y mediciones mecánicas. La galga extensiométrica es unaresistencia que consiste en una matriz de bobinas o cable muyfinoel cual varia su resistencia linealmente dependiendo de la cargaaplicada al dispositivo




Estado plano



( )xyyxx f γεεε ,,1 =°= 0θ

Sea una pieza en estado plano de deformaciones sometida acualquier tipo de cargas:

y

z x

( )xyyxx f γεεε ,,2 =°= 451θ( )xyyxx f γεεε ,,3 =°= 902θ

Con la finalidad de calcular:

xyyx γεε




Estado plano



x1

y1

x2

y2

x3

y3

45°

90°

1xx εε =

3xy εε =

( )312 2

1xxxxy εεεγ +⋅−=

Roseta rectangular:




Estado plano



x1

y1 x2

y2

x3

y3

60°

120°

1xx εε =( )

3

2 132 xxxy

εεεε −+⋅=( )

332 xx

xy

εεγ −=

Roseta delta:




Estado plano


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