mecanica de los medios continuos unidad 3 (1)
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7/26/2019 Mecanica de Los Medios Continuos Unidad 3 (1)
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OBJETIVO GENERAL DEL CURSO
Determinar el estado de esfuerzos, deformaciones y ecuaciones constitutivas de diferentes
tipos de slidos y fluidos para comprender su comportamiento cuando se encuentran
sometidos a un sistema de fuerzas en equilibrio esttico o dinmico.
Introduccin: Estado de esfueros!
Antes que nada se debe tener una definicin certera de lo que es la mecnica de los
medios continuos, es una rama de lafsica(especficamente de la mecnica) que propone
un modelo unificado para slidos deformables, slidos ridosy fluidos. !sicamente los
fluidos se clasifican en lquidosy ases. "l t#rmino medio continuo se usa tanto para
desinar un modelo matemtico, como cualquier porcin de material cuyo comportamiento
se puede describir adecuadamente por ese modelo$.
%omando como punto de partida que los estados de fuerzas estn interadas por
fuerzas lonitudinales, anulares, isotrpicas y distorsinales. & cada una de ellas cuenta
con propiedades caractersticas como son' las propiedades etensivas ( que son las
propiedades cuyo valores depende de la cantidad de sustancias presente, por eemplo la
masa, el peso el volumen y la cantidad de calor por mencionar alunas), las propiedades
intensivas o tambi#n llamadas de punto( que son las propiedades que su valor no depende
de la cantidad de sustancia, como son el peso especifico, la densidad, la presin, la
temperatura, la densidad y peso especifico).
*tro caracterstica muy particulares a la +ora de evaluar loes estados de esfuerzosson las dimensiones de estas propiedades. %ambi#n lo que son las fuerzas y esfuerzos que
act-an en un medio continuo se clasifican en fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie,
as fuerzas de cuerpo estn distribuidas de manera continua en todo el medio.
/ara realizar una evaluacin de los estados de esfuerzos se suelen utilizar varios
teoremas entre ellos el teorema de 0auc+y, en el cual se realizan evaluaciones por medio de
anlisis compleos, por interacin, por anlisis reales, por teoremas en rupo, mediante un
resultado de de la converencia de la series de potencias, con ecuaciones en derivadas
parciales, por el teorema de /icard1indelof (se eval-a un resultado sobre ecuaciones
diferenciales ordinarias) bsicamente son los medios de evaluacin utilizados por el
teorema de 0auc+y.
2obre la tensin de esfuerzos -nicamente tenemos la evaluacin de las tenciones
que act-an al realizar una tensin. "n esta evaluacin se analizan los esfuerzos de
compresin, tensin y combinadas.
Al realizar la evaluacin de los esfuerzos se debe tomar en cuenta su direccin para
de este modo obtener las componentes que conformen cada tensin.
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fluidohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gashttp://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fluidohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gashttp://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica -
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"UER#AS$ TENSIONES % DE"OR&ACIONES
"ueras e'ternas!
as fuerzas eistentes sobre los cuerpos pueden ser de superficie 1que como su nombre
indica eercen su accin sobre la superficie de los cuerpos, tales como' la presin
+idrosttica, la presin del viento, etc.1, y de volumen 1como la accin de la ravedad, las
fuerzas man#ticas, las fuerzas de inercia de cuerpos animados de movimiento acelerado,
etc.
Alunas fuerzas se distribuyen sobre superficies tan reducidas que reciben el nombre de
fuerzas o caras puntuales 1como las eercidas por las ruedas de los ve+culos ferroviarios y
de carretera1 considerndose por simplificacin aplicadas sobre un punto1.
"n eneral en las estructuras suelen diferenciarse las acciones constantes, que act-an opueden actuar en todo momento o durante laros perodos de tiempo tales como,
3 el propio peso
3 la cara permanente (pavimentos, muros de fac+adas, barandillas, cte.)
3 el peso y el empue del terreno, de las acciones variables que pueden actuar o no y que
son'
3 la sobrecara de uso (personas, ve+culos, presin de un lquido sobre las paredes de un
depsito, cte.)
3 las acciones de viento
3 la sobrecara provocada por la nieve
3 las acciones ssmicas
Determinadas acciones tales como las t#rmicas y los asientos de las cimentaciones no son
fuerzas eternas, pero no obstante provocan, al iual que #stas, tensiones, o fuerzas internas
al obliar a las estructuras a que realicen determinados desplazamientos.
Tensiones
"n el plano s1s de la fiura y para el elemento diferencial de superficie 4d!5
correspondiente al punto 6 act-a una tensin 4p5, que se representa por un vector y cuya
direccin puede formar con la normal al elemento 4d!5 sobre el que act-a un nulo
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cualquiera si es este nulo se podr descomponer el vector 4p5 en dos direcciones, fiura
7.A.8a, una normal a 4d!5 y otra en su plano, cuyas componentes son'
2i a un cuerpo elstico tal como el de la (fiura1a), al que se aplica un sistema de caras
eternas, se le +acen pasar por un punto * tres planos ortoonales dos a dos, sobre cada
uno de estos planos y para este punto * se presentar una tensin normal 4)5 y otra
tanencial 415 esta -ltima se descompondr en las dos direcciones paralelas a los ees
principales del plano sobre el que act-a. 0on el fin de definir las tensiones que inciden
sobre cada plano se aplica el criterio siuiente' 0ada tensin 4)5 o 415 se acompa9a de dos
subndices, el primero corresponde a la letra del ee normal al plano considerado y el
seundo a la letra del ee paralelo a la componente de que se trate (fiura1b) As 41z 5 es la
tensin tanencial que actuando sobre un plano normal al ee z resulta paralela al ee .
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0omo tensiones positivas se elien
aquellas que se orientan en el
sentido creciente de los ees, si las
caras sobre las que act-an miran
tambi#n el sentido creciente, o si se
orientan en el sentido decreciente
de los ees mirando las caras
correspondientes el sentido
decreciente de los mismos. 2on
neativas las tensiones diriidas en
sentido contrario. /or consiuiente
todas las tensiones representadas en
la (fiura1b) resultan positivas.
Defor(aciones
a deformacin es, en sentido
eneralizado, el cambio eom#trico que eperimenta un cuerpo no rido bao la accin de
las fuerzas eternas y de volumen o de inercia que a #l se aplican.
Al deformarse un cuerpo, las partculas cambian de posicin. As, al aplicar las caras /7,
/8 ... /i al cuerpo de la (fiura 8) un semento /: se deforma pasando a la posicin /;:;.
"l recorrido que eperimenta el punto / viene dado por las funciones
(,y,z).
/or otro lado el semento /: vara tras
la deformacin su lonitud de 4dl5 a 4dl
5 y adems, si asociasemos a la
deformacin otro semento tal como el
4/?@ normal a /:, se observara la
variacin anular de 6B a 6B 1 . "sta
variacin anular es muy peque9a 1se
pueden sustituir las tanentes por los
nulos1 y recibe el nombre de
distorsin.
2i nos referimos un paraleleppedo elemental en las deformaciones. 2ucede entonces que el
paraleleppedo /AC0D"!: tras la deformacin del cuerpo pasa a la posicin / A C 0 D "
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! :, se-n se aprecia en la fiura, indicndose las deformaciones por los recorridos 1u, v y
1 que eperimentan los diferentes v#rtices.
os lados del paraleleppedo modifican sus lonitudes iniciales 1 d, dy, y dz 1 de manera
que proyectadas sobre los tres ees
primitivos alcanzan los valores siuientes'(E F ) d, (E Fy ) dy, y(E Fz) dz. De la
misma manera los nulos rectos que
forman las caras del paraleleppedo antes
de la deformacin varan tras ella
alcanzando los valores' 6B 1
y , 6B 1 yz y 6B 1 z
.
"n la terminoloa +abitual se denominan
alaramientos unitarios a' , yy z y
distorsiones a' y ,yz y z.
as componentes del vector //; se-n las direcciones de los ees coordenados se
denominan'u, v, y . "n la mecnica de los medios continuos se supone que estas
componentes son funcionesdel punto y continuas 1admiten al menos primera y seunda
derivada1 "s decir'u G u (, y, z) G (, y, z) G (, y, z).
as tensiones normales 4 ) 5 dan luar a alaramientos mientras que las tensiones
tanenciales 45 provocan distorsiones 4 5. "l conunto de las variaciones lineales y
anulares delos diversos paraleleppedos elementales en que pueden suponerse
descompuestos los cuerpos, es lacausa de los recorridos finales, lineales y anulares de los
mismos.
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Teore(a de Cauc)*
2i f y son funciones continuas en Ha, bI y derivables en (a, b), eiste un punto
c
"l valor del primer miembro es constante'
a interpretacin eom#trica del teorema de 0auc+y nos dice que eisten dos
puntos (c, f(c)) y (c, (c)) de las curvas f() y (), tales que la pendiente de la
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tanente a la curva f() en el primer punto es J veces la pendiente de la tanente a la
curva () en el seundo punto.Al teorema de 0auc+y tambi#n se le suele denominar teore(a de+ ,a+or (edio
-enera+iado.
E.e(/+os
Analizar si el teore(a de Cauc)* es aplicable en el intervalo HE, KI a lasfunciones'
f() G 8 L 8 F M y () G M L >8 F 86 L N.
"n caso afirmativo, aplicarlo.as funciones f() y () son continuas en HE, KI y derivables en (E, K) por ser
polinmicas, adems se cumple que (E) O (K).
/or lo tanto se verifica el teore(a de Cauc)*'
Analizar si el el teore(a de Cauc)*es aplicable a las funciones f() G sen y
() G cos en el intervalo H6, P
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