Mecánica de Fluidos con aplicaciones enIngeniería, Novena edición, Joseph B. Franzini,

E. John Finnemore

21 de noviembre de 2013

1. INTRODUCCIÓN

1.1. ÁMBITO DE LA MECÁNICA DE FLUIDOSExisten dos tipos de fluidos, gases y líquidos, siendo el aire y el agua los más

comunes. La Mecánica de fluidos es la ciencia de la mecánica de los líquidos ylos gases, y está basada en los mismos principios fundamentales utilizados en laMecánica de sólidos.

La Mecánica de fluidos se puede dividir en tres ramas: la Estática de fluidos,que es el estudio de la mecánica de fluidos en reposo; la Cinemática, que tratade las velocidades y las líneas de corriente sin considerar fuerzas ni energía; y laDinámica de fluidos, que trata de las relaciones entre velocidades y aceleracionesy las fuerzas ejercidas por o sobre fluidos en movimiento.

Cuando tratamos solamente de los líquidos, esta asignatura se llama Hidráu-lica.

2. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

2.1. DISTINCIÓN ENTRE UN SÓLIDO Y UN FLUIDOUn fluido bajo la aplicación del esfuerzo más mínimo fluirá y seguirá fluyendo

mientras esté presente.

2.2. DISTINCIÓN ENTRE UN GAS Y UN LÍQUIDOUn fluido puede ser un gas o un líquido. Las móleculas de un gas están mucho

más separadas que las de un líquido.Un vapor es un gas cuya temperatura y presión son tales que está muy cerca

de la fase líquida. Un ejemplo sería el vapor de agua. Un gas se puede considerarcomo un vapor sobrecalentado; o dicho en otras palabras, su estado está alejadode la fase líquida.

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El volumen de un gas o vapor es muy sensible a cambios de presión y/otemperatura.

2.3. DENSIDAD, PESO ESPECÍFICO, VOLUMEN ES-PECÍFICO Y DENSIDAD RELATIVA

2.4. FLUIDOS COMPRESIBLES E INCOMPRESIBLES

2.5. COMPRESIBILIDAD DE LOS LÍQUIDOSLa compresibilidad (cambio de volumen debido a un cambio en presión) de

un líquido es inversamente proporcional a su módulo de elasticidad volumétrico,también denominado coeficiente de compresibilidad. Se define este módulo comoEν = −νdp/dν = −(ν/dν)dp, donde ν = volumen específico y p = presión.Como −ν/dν es una razón adimensional, las unidades de Eν y p son idénticas.

2.6. PESO ESPECÍFICO DE LOS LÍQUIDOSEl peso específico de un líquido varía ligeramente con la presión, depen-

diendo del coeficiente de compresibilidad del líquido; depende también de latemperatura, y la variación puede ser notable.

2.7. ECUACIONES DE ESTADO DE LOS GASES PER-FECTOS

Las propiedades de un gas cumplen ciertas relaciones entre sí. Estas rela-ciones varían para cada gas. Cuando las condiciones de la mayoría de los gasesreales están alejadas de la fase líquida, estas relaciones se aproximan a las delos gases perfectos. Los gases perfectos se definen aquí de la forma usual, co-mo aquellos que tienen calor específico constante y cumplen la ley de los gasesperfectos,

p

ρ= pν = RT

Dado que γ = ρg:

γ =gp

RT

Debido a que estas ecuaciones relacionan varias propiedades de un gas en unestado dado, se denominan ecuaciones de estado.

Los gases perfectos pueden llamarse también ideales. Hay que tener cuidadode no confundir un gas perfecto (ideal) con un fluido ideal.

La ley de Avogadro establece que todos los gases a la misma temperaturay presión bajo la acción de un valor dado de g tienen el mismo número demoléculas por unidad de volumen, de donde se deduce que el peso específico deun gas es proporcional a su peso molecular. Por tanto, si el peso molecular se

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representa por M , γ2/γ1 = M2/M1, y γ2/γ1 = R1/R2 para los mismos valoresde temperatura, presión y g. Entonces:

M1R1 =M2R2 = constante = R0

R0 se denomina a la constante universal de los gases, y es igual a 8.312 N ·m/(kg · K) o 49.709 ft · lb/slug · ◦R).

Cuando se aumenta la presión mientras se reduce la temperatura, un gas seconvierte en vapor.

Otra ecuación fundamental para un gas perfecto es

pvn = p1vn1 = constante

donde p es la presión absoluta, v(1/ρ) el volumen específico, y n puedetener cualquier valor no negativo entre cero e infinito según el proceso quesufra el gas. Como esta ecuación describe el cambio de propiedades de un gasal pasar de un estado a otro para un proceso dado, se denomina ecuación deproceso. Si el proceso de cambio es a una temperatura constante (isotérmico),n = 1. Si no se produce ninguna transferencia de calor hacia el gas o a lainversa, el proceso se denomina adiabático. Un proceso adiabático sin fricción(y reversible) se denomina un proceso isentrópico, y se escribe k en lugar de n,donde k = cp/cv, la relación entre el calor específico a presión constante y el calorespecífico a volumen contante. Para el aire y gases diatómicos a temperaturashabituales se puede asignar a k el valor de 1.4.

2.8. COMPRESIBILIDAD DE LOS GASES

2.9. ATMÓSFERA ESTÁNDAR

2.10. FLUIDO IDEALUn fluido ideal se puede definir como un fluido en el que no existe fricción;

es no viscoso (es decir, su viscosidad es cero). Por tanto, las fuerzas internas encualquier sección dentro del mismo son siempre normales a la sección, incluso sihay movimiento. Estas fuerzas son puramente fuerzas de presión.

2.11. VISCOSIDADLa viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a la deformación

cortante o angular. Al aumentarse la temperatura, la viscosidad de todo líquidodisminuye, mientras que la viscosidad de todo gas aumenta.

El esfuerzo cortante τ entre dos capas finas de fluido cualesquiera se puedeexpresar como

τ =F

A= µ

U

Y= µ

du

dy

La ecuación se denomina ecuación de viscosidad de Newton. La forma trans-puesta de la ecuación sirve para definir la constante de proporcionalidad

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µ =τ

du/dy

se denomina coeficiente de viscosidad, viscosidad absoluta, viscosidad diná-mica (debido a que está relacionada con la fuerza), o simplemente viscosidaddel fluido.

La distinción entre un sólido y un fluido reside en la manera en que cada unoresiste la aplicación de esfuerzos cortantes. En el caso de un sólido, el esfuerzocortante depende de la magnitud de la deformación; mientras que para muchosfluidos el esfuerzo cortante es proporcional a la variación de la deformación(angular) con respecto al tiempo.

Un fluido para el que la constante de proporcionalidad (es decir, la viscosi-dad) no cambia con la velocidad de deformación se denomina fluido newtoniano.

Las dimensiones de la viscosidad absoluta son fuerza por unidad de áreapartido por el gradiente de velocidad. En el sistema internacional de unidades(SI), las unidades de viscosidad absoluta son: N· s/m2 y lb · s/ft2.

Una unidad muy utilizada para la viscosidad en el sistema métrico es el poise(P). El poise = 0.10 N· s/m2. El centipoise (cP) (= 0.01 P = 1 mN· s/m2) esfrecuentemente una unidad más cómoda.

En muchos problemas relacionados con la viscosidad, ésta aparece partidapor la densidad. Esta relación se conoce como viscosidad cinemática υ, así de-nominada porque la fuerza no está involucrada en las dimensiones, quedandoúnicamente la longitud y el tiempo, como en Cinemática

υ =µ

ρ

La viscosidad cinemática υ se mide habitualmente en m2/s en el sistemainternacional, y en ft2/s en el sistema británico de unidades. Anteriormente,las unidades utilizadas en el sistema métrico eran el cm2/s, también denomi-nado stoke (St). El centistoke (cSt) (0.01 St = 10−6 m2/s) era la unidad másconveniente en muchas ocasiones.

La viscosidad absoluta de todos los fluidos es prácticamente independiente dela presión en el rango de valores que se encuentran en el campo de la ingeniería.

2.12. TENSIÓN SUPERFICIAL2.12.1. Capilaridad

Los líquidos tienen las propiedades de cohesión y adhesión; ambas son formasde atracción molecular. La cohesión permite que un líquido resista esfuerzos detensión, mientras que la adhesión le permite adherirse a otro cuerpo. En laentrefase entre un líquido y un gas, es decir, en la superficie del líquido, y en lasuperficie entre dos líquidos inmiscibles (no mezclables), la fuerza de atracciónno compensada entre móleculas forma una película imaginaria capaz de resistirtensiones. Esta propiedad de los líquidos se denomina tensión superficial. La

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capilaridad es la propiedad de aplicar fuerzas sobre fluidos mediante tubos finoso medios porosos; se debe tanto a la cohesión como a la adhesión.

2.13. PRESIÓN DE VAPOR DE LOS LÍQUIDOS

3. ESTÁTICA DE FLUIDOSNo existen esfuerzos cortantes en los fluidos en reposo, por lo que solamente

están presentes las fuerzas normales de presión.La intensidad media de la presión p se define como la fuerza ejercida sobre

una unidad de área. Si F representa la fuerza de presión normal total sobre unárea finita A, mientras que dF representa la fuerza sobre un área infinitesimaldA, la presión viene dada por

p =dF

dA

Si la presión es uniforme sobre todo el área, entonces p = F/A. En el sistemainternacional (SI) las unidades de presión que se utilizan comúnmente son elpascal (Pa = N/m2) o kPa (kN/m2), mientras que en el sistema de unidadesbritánico (BG) las unidades de presión suelen ser libras por pulgada cuadrada(psi) o libras por pie cuadrado (lb/ft2 = psf). Anteriormente, en el sistemamétrico, se utilizaban los bares y milibares para medir la presión; 1 mbar = 100Pa.

3.1. PRESIÓN EN UN PUNTO IGUAL EN TODAS DI-RECCIONES

3.2. VARIACIÓN DE PRESIÓN EN UN FLUIDO ENREPOSO

dp

dz= −γ

Ésta es la expresión general que relaciona la variación de presión en unfluido en reposo con la posición vertical. El signo negativo indica que mientrasz aumenta (mayor elevación) disminuye la presión.

Para el caso de un fluido incompresible,

p− p1 = −γ(z − z1)

donde p es la presión a una elevación z. Esta presión se puede aplicar deforma general a los líquidos debido a que son sólo ligeramente compresibles. Parapequeños cambios de elevación, la ecuación dará resultados precisos cuando seaplica a los gases.

Para el caso de un líquido en reposo es conveniente medir las distanciasverticalmente hacia abajo desde la superficie libre del líquido. Si h es la distancia

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por debajo de la superficie libre del líquido y si a la presión del aire y vapor enla superficie se les da arbitrariamente un valor igual a cero, la ecuación se puedeescribir como

p = γh

De la ecuación se puede deducir que todos los puntos en un cuerpo continuode fluido en reposo de densidad constante están bajo la misma presión si seencuentran a la misma profundidad por debajo de la superficie del líquido (leyde Pascal). Esto indica que una superficie de presión uniforme para un líquidoen reposo es un plano horizontal.

3.3. PRESIÓN EXPRESADA COMO LA ALTURA DEUN FLUIDO

Imagine un depósito de líquido abierto cuya superficie no experimenta pre-sión, aunque en realidad la presión mínima sobre cualquier superficie de líquidoes la presión de su propio vapor. Descartando este detalle por el momento, lapresión a cualquier profundidad h es p = γh. Si se supone que γ es igual a unaconstante, existe una relación explícita entre p y h. Esto es, presión (fuerza porunidad de área) es equivalente a una altura h de algún fluido de peso específicoconstante γ. Muchas veces es más conveniente expresar la presión en términosde una altura de una columna de fluido que como presión por unidad de área.

La presión se puede expresar como la altura de una columna de cualquierfluido mediante la relación

h =p

γ

Cuando la presión se expresa de esta manera, se suele denominar altura depresión. Como la presión se expresa habitualmente en kPa (o psi en las unidadesbritánicas), y dado que habitualmente el valor de γ para el agua se supone quees de 9.81 kN/m3 (62.4 libras/pie3), una relacion conveniente es

h(m de H2O) =kPa

9,81= 0,1020× kPa

h(ft de H2O) =144× psi

62,4= 2,308× psi

p

γ+ z =

p1γ

+ z1 = constante

Para un fluido incompresible en reposo, en cualquier punto del fluido, la sumade la elevación z y la altura de presión p/γ tiene el mismo valor. Esto significaque, en un fluido en reposo, al aumentar la elevación disminuye la altura depresión, y al revés.

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3.4. PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRI-CA

La presión de los líquidos no suelen estar muy afectadas por la presión,por lo que la presión relativa se utiliza comúnmente en problemas relacionadoscon líquidos. También, a menudo, se verá que la presión atmosférica apareceen ambos lados de una ecuación cancelándose a sí misma. Por tanto, el valorde la presión atmosférica suele tener poca importancia al tratarse de líquidos,y, por esta misma razón, en los líquidos se utilian las presiones relativas casiuniversalmente.

3.5. BARÓMETROLa presión absoluta de la atmósfera se mide mediante un barómetro.

3.6. MEDICIÓN DE LA PRESIÓN3.6.1. Manómetro de Bourdon

3.6.2. Transductor de presión

Un transductor es un dispositivo que transfiere energía (en cualquier forma)de un sistema a otro.

3.6.3. Columna piezométrica

Una columna piezométrica es un dispositivo sencillo para la medición depresiones moderadas en líquidos. Consiste en un tubo de longitud adecuada endonde el líquido puede subir sin llegar a rebosar. La altura del líquido en el tubodará directamente un valor de la altura de presión.

3.6.4. Manómetro simple

Para determinar la altura de presión manométrica en A, en términos del lí-quido en A, se puede escribir una ecuación manométrica basada en las relacionesfundamentales de las presiones hidrostáticas.

3.6.5. Manómetros diferenciales

En muchos casos interesa solamente la diferencia entre dos presiones, y poreste motivo se pueden utilizar los manómetros diferenciales.

El manómetro diferencial es apropiado para medir diferencias grandes depresión, cuando se utiliza con un líquido pesado como es el mercurio.

3.7. FUERZA SOBRE UN ÁREA PLANANo puede existir una fuerza tangencial dentro de un fluido en reposo. Toda

fuerza es por tanto normal a las superficies en cuestión.

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F = γhcA

La fuerza total sobre cualquier área plana sumergida en un líquido se hallamultiplicando el peso específico del líquido por el área y la profundidad de sucentroide. El valor de F es independiente del ángulo de inclinación del planosiempre que no cambie la profundidad de su centroide.

Como γhc es la presión en el centroide, se puede decir también que la fuerzatotal sobre cualquier área plana sumergida en un líquido es el producto del áreay la presión en su centroide.

3.8. CENTRO DE PRESIÓNEl punto de aplicación de la fuerza de presión resultante sobre un área sumer-

gida se denomina el centro de presión. Necesitamos conocer su posición cuandoqueramos trabajar con el momento de esta fuerza.

La línea de acción de la fuerza de presión resultante debe pasar por el cen-troide del prisma de presión (volumen).

yp =Ay2c + IcycA

= yc +IcycA

P siempre se encuentra por debajo del centroide C y cuanto mayor sea laprofundidad de inmersión tanto más se acercará P a C.

3.9. FUERZA SOBRE UN ÁREA CURVADA3.9.1. Fuerza horizontal sobre una superficie curvada

Fx = F ′x = F ′

La fuerza horizontal en cualquier dirección dada sobre cualquier área es iguala la fuerza sobre la proyección de dicha área sobre un plano vertical normal ala dirección dada. La línea de acción de Fx debe ser la misma que la de F ′. Laecuación se puede aplicar tanto a gases como a líquidos

3.9.2. Fuerza vertical sobre un área curvada

La fuerza vertical Fz sobre una área curvada o distorsionada se puede hallarteniendo en cuenta el volumen de líquido encerrado por el área y elementosverticales que se extienden hasta el nivel de la superficie libre. Este volumende líquido está en equilibrio estático. Las únicas fuerzas verticales sobre estevolumen de líquido son la fuerza FG = pGA debido a cualquier gas (a la presiónpG) por encima del líquido, la fuerza de gravedad W que actúa hacia abajo, yFG′ la fuerza vertical que actúa hacia arriba sobre el área irregular. La fuerzaF ′z debe ser igual y opuesta a la fuerza Fz. Cualquier otra fuerza que actúe sobre

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los elementos verticales es normal al elemento, y como consecuencia horizontal.Por tanto

F ′z −W − FG = 0

Fz = F ′z =W + FG

La fuerza vertical sobre un área es igual al peso del volumen de líquido porencima de él, más cualquier fuerza superpuesta debido a la presión de un gas.La línea de acción de Fz debe ser la resultante de FG y W . FG debe pasar porel centroide del área proyectada en la superficie, W debe pasar por el centro degravedad del volumen de líquido.

3.9.3. Fuerza resultante sobre un área curvada

En general no hay una sola fuerza resultante sobre un área irregular, debidoa que las fuerzas horizontal y vertical no tienen por qué estar dentro del mismoplano. Pero en ciertos casos estas dos fuerzas coincidirán en el mismo plano yentonces se podrán combinar en una única fuerza.

3.10. FLOTACIÓN Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SU-MERGIDOS FLOTANTES

3.10.1. Cuerpo sumergido

3.10.2. Cuerpo flotante

3.11. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIÓN

4. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL FLUJO FLUI-DO

4.1. TIPOS DE FLUJOUn flujo fluido puede ser fluido ideal o fluido real. Un flujo se puede clasificar

también como el flujo de un fluido incom presible o compresible.Existen varias clasificaciones de flujo. El flujo puede ser estacionario o no

estacionario con respecto al tiempo. Puede ser laminar o turbulento.

4.2. FLUJO LAMINAR Y TURBULENTOEn una situación dada, el hecho de que un flujo sea laminar o turbulento,

o sea una combinación en mayor o menor grado de uno de los dos, es muyimportante por los efectos marcadamente distintos que estos dos tipos de flujotienen sobre una variedad de características del flujo, incluyento pérdidas deenergía, perfiles de velocidad y mezcla de materias transportadas.

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Osborne Reynolds demostró en 1883 que había dos tipos claramente diferen-tes de flujo. El primer tipo de flujo se denomina laminar, de líneas de corriente,o viscoso.

El segundo tipo de flujo se denomina flujo turbulento. Una característicaparticular de la turbulencia es su irregularidad, dado que no hay una frecuenciadefinida como en la acción de las olas, y no se produce una configuración observa-ble como en el caso de los grandes torbellinos. El flujo turbulento se caracterizapor fluctuaciones en la velocidad en todos los puntos del campo fluido.

4.3. FLUJO ESTACIONARIO Y FLUJO UNIFORMEEn un flujo estacionario, todas las condiciones en un punto dentro de una

corriente se mantienen constantes con respecto al tiempo, pero las condicionespueden ser distintas en puntos distintos. En un flujo uniforme verdadero lavelocidad en un instante dado es igual tanto en magnitud como en dirección encada punto del fluido.

4.4. SENDAS, LÍNEAS DE CORRIENTE Y LÍNEAS FLUI-DAS

Una senda es la trayectoria seguida por una partícula individual durante unperíodo de tiempo. La senda indica la dirección de la velocidad de la partículaen instantes sucesivos de tiempo.

Las líneas de corriente indican la dirección media de una serie de partículasen el mismo instante de tiempo.

Sendas y líneas de corriente son idénticas en el flujo estacionario de un fluidoen que no hay componentes de velocidad que fluctúan, en otras palabras, paraun flujo estacionario verdadero. Semejante flujo puede ser el de un fluido idealsin fricción o el de un fluido tan viscoso que se mueve tan lentamente que no seforman remolinos. Este último es el flujo laminar, dentro del cual las capas defluido se deslizan suavemente, una sobre la otra.

4.5. CANTIDAD DE FLUJO Y VELOCIDAD MEDIALa cantidad de fluido que fluye por unidad de tiempo a través de cualquier

sección se denomina cantidad de flujo o simplemente flujo. Se puede expresar 1)en términos de flujo volumétrico (caudal) (metros cúbicos por segundo, m3/s),o 2) en términos del flujo másico (kilogramos por segundo, kg/s), o 3) el flujo depeso (kilonewtones por segundo, kN/s). En las unidades británicas, los pies cúbi-cos por segundo (cfs), los slugs por segundo, las libras por segundo son bastantecomunes a la hora de expresar flujos de volumen, masa y peso respectivamente.Al tratar con fluidos incompresibles, normalmente se utiliza el caudal, mientrasque el flujo de peso o flujo másico es más conveniente con fluidos compresibles.

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4.6. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROLUn sistema fluido se refiere a una masa específica de fluido que se encuentra

dentro de contornos definidos por una superficie cerrada.En contraste, un volumen de control se refiere a una zona fija en el espacio

que no se mueve y no cambia de forma.

4.7. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

A1V1 = A2V2 = Q

Ésta es la ecuacion de continuidad aplicable a fluidos incompresibles tanto paraflujos estacionarios como no estacionarios dentro de contornos fijos.

Suele ser adecuada para el análisis de flujo en conductos con contornos sóli-dos.

4.8. FLUJO UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL YTRIDIMENSIONAL

El término método de análisis unidimensional se aplica al flujo entre contor-nos que son realmente tridimensionales, entendiendo que la la dimensión únicase toma sobre la línea de corriente central del flujo.

4.9. RED DE FLUJOLas líneas de corriente y la distribución de velocidades en el caso del flujo bi-

dimensional estacionario de un fluido ideal dentro de cualquier configuración decontorno se pueden determinar mediante una red de flujo. Ésta es un entramadode líneas de corriente y líneas normales (perpendiculares) a ellas, espaciadas detal manera que la distancia entre ambos conjuntos de líneas es inversamenteproporcional a la velocidad local.

4.10. USO Y LIMITACIONES DE LA RED DE FLUJOAunque la red de flujo está basada en un fluido sin fricción ideal, se puede

aplicar al flujo de un fluido real dentro de ciertos límites. Tales límites estándefinidos por la manera en que el fluido real está afectado por factores despre-ciados en la teoría del fluido ideal. El más importante de estos factores es lafricción del fluido.

Los efectos viscosos de un fluido real son más pronunciados en o cerca de uncontorno sólido disminuyendo rápidamente con la distancia al contorno.

4.11. SISTEMA DE REFERENCIA EN PROBLEMASDE FLUJO

En problemas de flujo nos interesa realmente la velocidad relativa entre elfluido y el cuerpo.

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4.12. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN UN FLUIDOESTACIONARIO

En un campo fluido tridimensional típico las velocidades pueden ser distintastanto en magnitud como en dirección en todos los puntos. También la velocidaden cualquier punto en el campo puede variar con el tiempo.

5. CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN ELFLUJO ESTACIONARIO

5.1. ENERGÍA CINÉTICA DE UN FLUIDO EN MOVI-MIENTO

Cuando un cuerpo de masa m se mueve a una velocidad V tiene una energíacinética, EC = 1

2mV2. Por tanto, si un fluido fluyese con todas las partículas

moviéndose a la misma velocidad, su energía cinética sería también 12mV

2; estose puede escribir como

EC

peso=

12mv

2

γV=

12 (γV )v2

γgV=v2

2g

donde V representa el volumen de la masa fluida. En unidades SI v2/2g seexpresa en N * m/N = m y en unidades británicas en ft * lb/lb = ft.

5.2. ENERGÍA POTENCIALLa energía potencial de una partícula de fluido depende de su altura por

encima de un plano arbitrario de referencia. Una partícula de fluido de peso Wsituada a una distancia z por encima de la referencia tiene una energía potencialdeWz. Por tanto, su energia potencial por unidad de peso es z, de nuevo medidaen unidades de N · m/N = m o de ft · lb/lb = ft.

5.3. ENERGÍA INTERNALa energía interna es energía almacenada que está asociada con el estado

molecular o interno de la materia; se puede almacenar de muchas formas distin-tas, incluyendo la térmica, nuclear, química y electrostática. Los experimentosindican que la energía interna térmica es principalmente una función de la tem-peratura.

5.4. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA PARAEL FLUJO ESTACIONARIO DE CUALQUIER FLUI-DO(p1γ1

+ z1 + α1V 21

2g+ I1

)+ hM +QC =

(p2γ2

+ z2 + α2V 22

2g+ I2

)

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Esta ecuación es aplicable a líquidos, gases y vapores, y tanto a fluidos idealescomo a fluidos reales con fricción. La única limitación es que se refiera sólo aflujos estacionarios.

5.5. ECUACIONES DE LA ENERGÍA PARA FLUIDOSESTACIONARIOS DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES,Y EL TEOREMA DE BERNOUILLI

p

γ+ z +

V 2

2g= constante

Esta ecuación se conoce como el teorema de Bernouilli y es aplicable paraun fluido incompresible sin fricción. Sin embargo, se puede aplicar a fluidosincompresibles reales con resultados buenos en situaciones donde los efectos dela fricción son muy pequeños.

5.6. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA PARA EL FLUJOESTACIONARIO DE FLUIDOS COMPRESIBLES

5.7. LA ECUACIÓN DE EULER PARA MOVIMIENTOESTACIONARIO DE UN FLUIDO IDEAL A LOLARGO DE UNA LÍNEA DE CORRIENTE

5.8. PRESIÓN EN EL FLUJO FLUIDO5.8.1. Presión en conductos de sección transversal uniforme

5.8.2. Presión estática

5.8.3. Presión de remanso

5.9. CARGAEn la ecuación todos los términos tienen dimensiones de longitud. Así, p/γ,

denominada altura de presión, representa la energia por unidad de peso almace-nada en el fluido debido a la presión a que está sometida el fluido; z, denominadaaltura geométrica, representa la energía potencial por unidad de peso de fluido;y V 2/2g, denominadad altura cinética, representa la energía cinética por unidadde peso de fluido. La suma de estos tres términos se denomina la carga total yse suele representar por H, con lo que

H =p

γ+ z +

V 2

2g

Cada término en esta ecuación, aunque habitualmente expresada en metros(o pies), representa newton metros de energía por newton de fluido en movi-miento (pie libras de energía por libra de fluido en movimiento en las unidadesbritánica). La suma de los dos términos intermedios indicados anteriormente,(p/γ + z), se denomina altura piezométrica o altura estática.

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5.10. POTENCIA EN EL FLUJO FLUIDO

5.11. CAVITACIÓN

5.12. DEFINICIÓN DE LAS LÍNEAS PIEZOMÉTRICASY DE ENERGÍA

Cuando se tratan problemas de flujo de líquidos, suelen ser útiles los con-ceptos de línea de energía y línea piezométrica. Incluso con flujos de gases, estosconceptos pueden resultar aprovechables. El término p/γ + z se denomina laaltura piezométrica, porque representa el nivel hasta donde subirá el líquido porun tubo de un piezómetro. La línea de altura motriz, o línea piezométrica (LP),es una línea trazada por los extremos superiores de las columnas piezométricas.Un tubo pitot es una pequeño tubo abierto con su extremo abierto apuntandoaguas arriba, que registrará la energía cinética del flujo y por tanto indicará lacarga total, p/γ + z + u2/2g.

5.13. PÉRDIDA DE CARGA EN UNA DESCARGA SU-MERGIDA

Cuando un fluido a una velocidad V se descarga por el extremo de unatubería a un depósito o embalse que es tan grande que la velocidad dentro delmismo es despreciable, la energía cinética del flujo se disipa por completo.

5.14. APLICACIÓN DE LAS LÍNEAS PIEZOMÉTRICAY DE ENERGÍA

Es útil estar familiarizado con los conceptos de línea de energía y línea pie-zométrica para la solución de problemas de flujo de fluidos incompresibles.

5.15. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMASDE FLUJO

Para resolver problemas de flujo líquido existen dos ecuaciones fundamenta-les: la ecuación de continuidad y la ecuación de la energía. Se puede emplear elsiguiente procedimiento:

1. Elija un plano de referencia que pase por un punto conveniente (más bajo).

2. Fíjese en qué secciones se conoce la velocidad o dónde se va a suponersu valor. Si en cualquier punto el área de una sección es muy grandecomparada con su valor en otros puntos, la altura cinética será tan pequeñaque se puede depreciar.

3. Fíjese en qué puntos se conoce la presión o dónde se va a suponer su valor.En un líquido en reposo, que tiene una superficie libre, se conoce la presiónen todos los puntos dentro del fluido. La presión de un chorro es igual ala del medio que lo rodea.

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4. Fíjese si existe algún punto donde se conozcan los tres términos, presión,elevación y velocidad.

5. Fíjese en si existe algún punto donde exista solamente una cantidad des-conocida.

5.16. TRAYECTORIA DE UN CHORROUn chorro líquido libre en el aire describirá una trayectoria, o caminos bajo

la acción de la gravedad, con una componente vertical de velocidad que cambiacontinuamente.

5.17. FLUJO SOBRE UNA TRAYECTORIA CURVADA

5.18. VÓRTICE ROTACIONAL O FORZADOEn teoría se puede hacer que un fluido gire como un cuerpo sólido sin que

haya movimiento relativo entre partículas, bien girando el recipiente que le con-tiene o bien agitando el fluido contenido con movimiento circular, para obligarlea girar. De esta manera se aplica un par externo. Un ejemplo común es el derotación de un líquido dentro de una bomba centrífuga o el de un gas en uncompresor centrífugo.

5.18.1. Vórtice cilíndrico forzado

5.18.2. Vórtice forzado espiral

5.19. VÓRTICES IRROTACIONALES O LIBRES5.19.1. Vórtice libre cilíndrico

5.19.2. Vórtice libre espiral

6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y FUER-ZAS EN FLUJOS

El tercer concepto básico es el principio de cantidad de movimiento. Esteprincipio tiene importancia especial en problemas de flujo donde hay que deter-minar las fuerzas que actúan. Dichas fuerzas existen siempre que la velocidadde una corriente de fluido cambie de dirección o magnitud.

6.1. DEDUCCIÓN DEL PRINCIPIO DE CANTIDAD DEMOVIMIENTO

El principio de cantidad de movimiento se derivará de la segunda ley deNewton. El flujo puede ser compresible o incompresible, real (con fricción) oideal (sin fricción), estacionario o no estacionario, y tampoco es preciso quela ecuación se aplique sobre una línea de corriente. Al aplicar la ecuación de

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la energía a fluidos reales descubrimos que era preciso calcular la pérdida deenergía. Este problema no existe a la hora de aplicar el análisis de cantidad demovimiento.

6.2. ECUACIONES DE NAVIER-STOKESSe puede deducri un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el

movimiento de un fluido real para el caso general, teniendo en cuenta las fuerzasque actúan sobre un elemento pequeño o volumen de control de fluido. Estasfuerzas son: la fuerza gravitacional, la fuerza viscosa (de fricción) y las fuerzasde presión. La ecuación de viscosidad de Newton para flujos unidimensionalesse debe extender a flujos tridimensionales antes de que se puede incorporar.

La deducción completa de estas ecuaciones es larga y laboriosa. No obstan-te, para un fluido incompresible con viscosidad constante, y para coordenadasrectangulares con z aumentando verticalmente hacia arriba, el resultado es

−∂p∂x

+ µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)= ρ

[∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

]

−∂p∂y

+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2

)= ρ

[∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

]

−ρg − ∂p

∂z+ µ

(∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2

)= ρ

[∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

]Estas ecuaciones generales fundamentales del movimiento se denominan las

ecuaciones de Navier-Stokes. Son ecuaciones diferenciales parciales no linealesde segundo orden que aún no tienen una solución analítica general, aunque síse han obtenido soluciones analíticas y numéricas para casos específicos.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son de hecho solamente una forma diferen-cial del principio de cantidad de movimiento lineal.

6.3. FACTOR DE CORRECCIÓN DE LA CANTIDADDE MOVIMIENTO

6.4. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE CANTIDADDE MOVIMIENTO

Una aplicación común del principio de cantidad de movimiento consiste enhallar las fuerzas ejercidas por un fluido en movimiento sobre estructuras abier-tas en la atmósfera, tales como compuertas y vertederos.

16

6.5. FUERZA EJERCIDA SOBRE UN CONDUCTO APRESIÓN

6.6. FUERZA EJERCIDA SOBRE UN ÁLABE O PALAESTÁTICO

6.7. ÁLABES MÓVILES: RELACIÓN ENTRE VELOCI-DAD ABSOLUTA Y RELATIVA

6.8. FUERZA EJERCIDA POR UN CHORRO SOBREUN ÁLABE O PALA EN MOVIMIENTO

6.8.1. Álabe único, moviéndose paralelo al chorro

6.8.2. Series de álabes

6.9. REACCIÓN DE UN CHORRO

6.10. PROPULSIÓN A CHORRO6.10.1. Cohete

6.10.2. Motor de reacción

6.11. MÁQUINAS ROTATORIAS: CONTINUIDAD, VE-LOCIDADES, PAR

6.11.1. Continuidad

6.11.2. Triángulos de velocidad para el flujo radial

6.11.3. Par

6.12. CARGA EQUIVALENTE A TRABAJO MECÁNI-CO

6.13. FLUJO A TRAVÉS DE UN CANAL ROTATORIO

6.14. REACCIÓN CON ROTACIÓN

6.15. EL PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVI-MIENTO APLICADO A MOLINOS Y HÉLICES

7. SEMEJANZA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

7.1. DEFINICIÓN Y USOS DE LA SEMEJANZASi utilizamos solamente la teoría, suele ser imposible determinar todos los

datos esenciales para un flujo fluido dado, por lo que a menudo es preciso depen-der de estudios experimentales. El número de pruebas que hace falta realizar

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se puede reducir significativamente por el uso sistemático del análisis dimen-sional y las leyes de semejanza, ya que éstas técnicas permiten que los datosexperimentales se apliquen a casos distintos de los observados.

7.2. SEMEJANZA GEOMÉTRICAUna de las características deseables en los estudios con modelos es que exista

semejanza geométrica, es decir, que el modelo y su prototipo sean idénticos enforma diferenciandose solamente en tamaño. Un factor importante es que lasconfiguraciones de flujo sean geométricamente semejantes. Si los subíndices p ym corres ponden a prototipo y modelo, respectimante, definiremos la relaciónde escala lineal como

Lr =LpLm

La relación entre las dimensiones lineales del prototipo y las dimensionescorrespondientes del modelo.

7.3. SEMEJANZA CINEMÁTICALa semejanza cinemática implica que, además de la semejanza geométrica,

la relación de velocidades sea igual en todos los puntos correspondientes entrelos flujos. La relación de velocidades es

Vr =VpVm

y ésta es una constante en el caso de semejanza cinemática.

7.4. SEMEJANZA DINÁMICADos sistemas tienen semejanza dinámica si, además de semejanza cinemáti-

ca, las fuerzas correspondientes tienen la misma relación en ambos. La relaciónde fuerzas es

Fr =FpFm

que debe ser constante para que exista la semejanza dinámica.

7.4.1. Número de Reynolds

En el flujo de un fluido a través de un conducto completamente lleno, lagravedad no afecta a la configuración del flujo. Las fuerzas significativas son lainercia y la fricción del fluido debida a la viscosidad.

Considerando la relación de fuerzas de inercia a fuerzas viscosas, el paráme-tro obtenido se denomina el número de Reynolds, o Re.

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7.4.2. Número de Froude

Si solamente se tienen en cuenta las fuerzas de inercia y gravedad, se obtieneuna relación denominada número de Froude, o Fr.

7.4.3. Número de Mach

Cuando la compresibilidad es importante, es necesario considerar la relaciónentre la inercia y las fuerzas elásticas. El número de Mach, o Ma, se define comola raíz cuadrada de esta relación.

7.4.4. Número de Weber

En algunos casos de flujo, la tensión superficial puede tener importancia,pero normalmente es despreciable. La relación entre las fuerzas de inercia y latensión superficial es ρV 2L2/σL, cuya raíz cuadrada se conoce como el númerode Weber.

7.4.5. Número de Euler

Una magnitud adimensional asociada a la relación entre las fuerzas de inerciay las fuerzas de presión se conoce como el número de Euler.

7.5. RELACIONES DE ESCALAEl número de Reynolds, el número de Froude y el número de Mach son los

parámetros adimensionales más comunes en la Mecánica de fluidos.

7.6. COMENTARIOS SOBRE LOS MODELOSEn el uso de los modelos es esencial que la velocidad del flujo no sea tan baja

como para que exista flujo laminar, cuando el flujo en el prototipo es turbulento.

7.7. ANÁLISIS DIMENSIONALLa resolución de problemas de Mecánica de fluidos se puede plantear utili-

zando el análisis dimensional, una técnica matemática que se basa en el estudiode las dimensiones.

7.7.1. Conceptos básicos

Toda ecuación racional que relaciona magnitudes físicas debe ser dimensio-nalmente homogénea.

19

7.7.2. El teorema pi

Un método más generalizado de análisis dimensional es la técnica con mayoraceptación actualmente. Este método agrupa las variables en un número menorde grupos de variables adimensionales.

8. FLUJO INCOMPRESIBLE ESTACIONARIOEN CONDUCTOS A PRESIÓN

Flujo estacionario en conductos a presión de fluidos incompresibles, es decir,aquéllos para los cuales ρ ≈ constante. Esto incluye todos los líquidos. Losgases que fluyen con cambios muy pequeños de presión se pueden considerarincompresibles. Se suponen condiciones isotérmicas para eliminar los efectostermodinámicos.

8.1. FLUJO LAMINAR Y TURBULENTOSi la pérdida de carga en una longitud dada de tubería uniforme se mide a

distintas velocidades, se observará que, siempre que la velocidad sea lo suficien-temente baja como para garantizar flujo laminar, la pérdida de carga debida ala fricción será directamente proporcional a la velocidad.

8.2. NÚMERO DE REYNOLDS CRÍTICO

8.3. RADIO HIDRÁULICO, DIÁMETRO HIDRÁULI-CO

Para conductos que tienen una sección transversal no circular es necesarioutilizar un valor para la dimensión lineal en el número de Reynolds diferente deldiámetro. Tal valor es el radio hidráulico, definido como

Rh =A

P

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8.4. PÉRDIDA DE CARGA EN CONDUCTOS DE SEC-CIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE

8.5. FRICCIÓN EN CONDUCTOS CIRCULARES

8.6. FLUJO LAMINAR EN TUBERÍAS CIRCULARES

8.7. CONDICIONES DE ENTRADA EN EL FLUJO LA-MINAR

8.8. FLUJO TURBULENTO8.8.1. Primer expresión

8.8.2. Expresión segunda

8.9. SUBCAPA VISCOSA EN FLUJO TURBULENTO

8.10. PERFIL DE VELOCIDADES EN UN FLUJO TUR-BULENTO

8.11. RUGOSIDAD DE LA TUBERÍA

8.12. DIAGRAMA PARA EL COEFICIENTE DE FRIC-CIÓN

8.13. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FLUJO ENTUBERÍAS POR EL MÉTODO DE TANTEO

8.14. RESOLUCIÓN RIGUROSA DE PROBLEMAS DEFLUJO EN TUBERÍAS

8.15. ECUACIONES EMPÍRICAS PARA EL FLUJO ENTUBERÍAS

8.16. FRICCIÓN FLUIDA EN CONDUCTOS NO CIR-CULARES

8.17. PÉRDIDAS LOCALES EN FLUJO TURBULEN-TO

8.18. PÉRDIDA DE CARGA EN LA ENTRADA

8.19. PÉRDIDA DE CARGA EN UNA DESCARGA SU-MERGIDA

8.20. PÉRDIDA DEBIDA A UN ESTRECHAMIENTO8.20.1. Estrechamiento abrupto

8.20.2. Estrechamiento gradual

8.21. PÉRDIDA DEBIDA A UN ENSANCHAMIENTO8.21.1. Ensanchamiento abrupto

8.21.2. Ensanchamiento gradual

8.22. PÉRDIDAS EN ACCESORIOS DE TUBERÍAS

8.23. PÉRDIDAS EN CURVAS Y CODOS

8.24. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TUBERÍAÚNICA CON PÉRDIDAS LOCALES

8.25. TUBERÍAS CON UNA BOMBA O UNA TURBI-NA

8.26. TUBERÍAS CON RAMIFICACIONES8.26.1. Procedimiento de resolución riguroso

8.26.2. Procedimiento de resolución aproximado

8.27. TUBERÍAS EN SERIE

8.28. TUBERÍAS EN PARALELO

8.29. REDES DE TUBERÍAS

8.30. TEMAS ADICIONALES DEL FLUJO EN TUBE-RÍAS

9. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS

9.1. INTRODUCCIÓN

9.2. RESISTENCIA DE FRICCIÓN DE LA CAPA LÍ-MITE. FLUJO INCOMPRESIBLE

9.3. CAPA LÍMITE LAMINAR PARA FLUJO INCOM-PRESIBLE SOBRE UNA PLACA PLANA LISA

9.4. CAPA LÍMITE TURBULENTA PARA FLUJO IN-COMPRESIBLE SOBRE UNA PLACA PLANA LI-SA

9.5. RESISTENCIA DE FRICCIÓN PARA FLUJO IN-COMPRESIBLE SOBRE UNA PLACA PLANA LI-SA CON RÉGIMEN DE TRANSICIÓN

9.6. SEPARACIÓN DE LA CAPA LÍMITE Y RESIS-TENCIA DE PRESIÓN

9.7. RESISTENCIA DE CUERPOS TRIDIMENSIONA-LES (FLUJO INCOMPRESIBLE)

9.8. RESISTENCIA SOBRE CUERPOS BIDIMENSIO-NALES (FLUJO INCOMPRESIBLE)

9.9. SUSTENTACIÓN Y CIRCULACIÓN

9.10. FLUJO IDEAL ALREDEDOR DE UN CILINDRO

9.11. SUSTENTACIÓN DE UN PERFIL DE ALA

9.12.

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