mecanica de fluidos frank white-5ta-ed

FRANK M. WHITE

mecnicade fluidos

quintaedicin

Mecnica de Fluidos

Mecnica de Fluidos

Quinta edicin

Frank M. WhiteUniversity of Rhode Island

Equipo de Traduccin:

Marcos Vera CoelloMiguel Hermanns Navarro

Rafael Gmez Blancoscar Flores Arias

Revisor Tcnico:

Amable Lin Martnez

Dept. de Motopropulsin y TermofluidodinmicaEscuela Tcnica Superior de Ingenieros Aeronuticos

Universidad Politcnica de Madrid

MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MXICONUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTIAGO SO PAULO

AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI PARSSAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TOKIO TORONTO

MECNICA DE FLUIDOS. Quinta edicin

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento in-formtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya seaelectrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permisoprevio y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS 2004, respecto a la quinta edicin en espaol,por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAA, S. A. U.Edificio Valrealty, 1.a plantaBasauri, 1728023 Aravaca (Madrid)

Traducido de la quinta edicin en ingls deFLUID MECHANICSCopyright 2003, por McGraw-Hill, Inc.ISBN: 0-07-240217-2

ISBN: 84-481-4076-1Depsito legal: M.

Editora de la edicin en espaol: Silvia FiguerasAsistente editorial: Amelia NievaDiseo de cubierta: CD-FORMCompuesto en: Fernndez Ciudad, S.L.Impreso en:

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN

Frank M. White es Profesor Emrito de Ingeniera Mecnica y Ocenica en la Universidad de Rhode Is-land. Estudi en el Instituto Tecnolgico de Georgia (Georgia Tech) y en el Instituto Tecnolgico de Mas-sachusetts (M.I.T.). En 1966 colabor en la creacin del departamento de ingeniera ocenica de la Uni-versidad de Rhode Island, el primero de este tipo en EE.UU. Conocido principalmente como profesor yescritor, ha recibido ocho premios de docencia y ha escrito cuatro libros de texto sobre mecnica de fluidosy transferencia de calor.

Desde 1979 hasta 1990 fue editor jefe de la revista ASME Journal of Fluids Engineering y despus, en-tre 1991 y 1997, fue director del Consejo de Editores y del Comit de Publicaciones de la ASME (Ameri-can Society of Mechanical Engineers). Es miembro de la ASME y en 1991 recibi el premio ASME de In-geniera de Fluidos. Vive con su mujer, Jeanne, en Narragansett, Rhode Island.

v

El autor

A Jeanne

Prlogo xi

Prlogo a la edicin espaola xiv

CAPTULO 1Introduccin 3

1.1. Notas preliminares 31.2. Concepto de fluido 41.3. El fluido como medio continuo 51.4. Dimensiones y unidades 61.5. Propiedades del campo de velocidades 131.6. Propiedades termodinmicas de un fluido 151.7. Viscosidad y otras propiedades secundarias 221.8. Tcnicas bsicas de anlisis de los flujos 361.9. Descripcin del flujo: lneas de corriente, sendas

y lneas de traza 371.10. El resolvedor de ecuaciones de ingeniera 421.11. Incertidumbre de los datos experimentales 431.12. El examen de fundamentos de ingeniera (FE) 441.13. Tcnicas de resolucin de problemas 451.14. Historia y perspectiva de la mecnica de fluidos 45

Problemas 46Problemas del examen de fundamentos deingeniera 54Problemas extensos 54Referencias 57

CAPTULO 2Distribucin de presiones de un fluido 59

2.1. Presin y gradiente de presin 592.2. Equilibrio de una partcula fluida 612.3. Distribucin de presiones en hidrosttica 632.4. Aplicacin a la medida de presiones 692.5. Fuerzas hidrostticas sobre superficies planas 732.6. Fuerzas hidrostticas sobre superficies curvas 792.7. Fuerzas hidrostticas en fluidos estratificados 822.8. Flotacin y estabilidad 842.9. Distribucin de presiones en movimiento como

slido rgido 902.10. Medida de la presin 98

Resumen 102Problemas 102Problemas conceptuales 123

Problemas del examen de fundamentos deingeniera 124Problemas extensos 124Proyectos de diseo 126Referencias 127

CAPTULO 3Relaciones integrales para un volumen de control 129

3.1. Leyes bsicas de la mecnica de fluidos 1293.2. Teorema del transporte de Reynolds 1333.3. Conservacin de la masa 1413.4. Conservacin de la cantidad de movimiento 1483.5. Teorema del momento cintico 1613.6. Ecuacin de la energa 1663.7. Flujo sin friccin: la ecuacin de Bernoulli 177

Resumen 185Problemas 186Problemas conceptuales 213Problemas del examen de fundamentos deingeniera 213Problemas extensos 214Problemas de diseo 215Referencias 216

CAPTULO 4Relaciones diferenciales para una partcula fluida 219

4.1. El campo de aceleraciones de un fluido 2194.2. La ecuacin diferencial de conservacin de la

masa 2214.3. La ecuacin de la cantidad de movimiento en forma

diferencial 2274.4. La ecuacin diferencial del momento cintico 2344.5. La ecuacin diferencial de la energa 2354.6. Condiciones de contorno para las ecuaciones

bsicas 2384.7. La funcin de corriente 2434.8. Vorticidad e irrotacionalidad 2514.9. Flujos irrotacionales no viscosos 2534.10. Algunos flujos potenciales planos ilustrativos 2584.11. Algunos flujos viscosos incompresibles ilustrativos 263

Resumen 272Problemas 272Problemas conceptuales 282

vii

Contenido

Problemas del examen de fundamentos deingeniera 282Problemas extensos 283Referencias 284

CAPTULO 5Anlisis dimensional y semejanza 287

5.1. Introduccin 2875.2. El principio de homogeneidad dimensional 2905.3. El teorema Pi 2955.4. Adimensionalizacin de las ecuaciones bsicas 3015.5. La modelizacin y sus dificultades 310

Resumen 320Problemas 320Problemas conceptuales 328Problemas del examen de fundamentos deingeniera 329Problemas extensos 329Proyectos de diseo 330Referencias 331

CAPTULO 6Flujo viscoso en conductos 335

6.1. Regmenes en funcin del nmero de Reynolds 3356.2. Flujos internos y flujos externos 3406.3. Prdida de carga; el coeficiente de friccin 3426.4. Flujo laminar completamente desarrollado en

conductos circulares 3446.5. Modelizacin de la turbulencia 3476.6. Flujo turbulento en conductos circulares 3536.7. Tres tipos de problemas sobre flujo en tubos 3606.8. Flujo en conductos no circulares 3666.9. Prdidas localizadas en sistemas de tuberas 3766.10. Sistemas de tuberas 3846.11 Experimentacin de flujos en conductos: actuaciones

de un difusor 3906.12. Medidores en fluidos 395


CAPTULO 7Flujo alrededor de cuerpos 437

7.1. Efectos geomtricos y del nmero de Reynolds 4377.2. Mtodos integrales en la teora de la capa lmite 4407.3. Las ecuaciones de capa lmite 4447.4. Capa lmite sobre una placa plana 4467.5. Capa lmite con gradiente de presin 4557.6. Experimentacin en flujos externos 461


CAPTULO 8Flujo potencial y mecnica de fluidos computacional 505

8.1. Introduccin y repaso 5058.2. Soluciones elementales en flujos planos 5088.3. Superposicin de soluciones de flujos planos 5108.4. Flujos planos alrededor de cuerpos cerrados 5168.5. Otros flujos potenciales planos 5258.6. Imgenes 5308.7. Teora de perfiles 5328.8. Flujo potencial axilsimtrico 5438.9. Anlisis numrico 549

Resumen 563Problemas 563Problemas conceptuales 574Problemas extensos 574Proyectos de diseo 576Referencias 576

CAPTULO 9Flujo compresible 579

9.1. Introduccin 5799.2. La velocidad del sonido 5839.3. Flujo estacionario adiabtico e isentrpico 5869.4. Flujo isentrpico con cambios de rea 5919.5. La onda de choque normal 5999.6. Operacin de toberas convergentes y divergentes 6069.7. Flujo compresible en conductos con friccin 6119.8. Flujo en conductos sin friccin y con adicin de

calor 6239.9. Flujo supersnico bidimensional 6279.10. Ondas de expansin de Prandtl-Meyer 637


CAPTULO 10Flujo en canales abiertos 669

10.1. Introduccin 66910.2. Movimiento uniforme: la frmula de Chzy 67410.3. Canales eficientes para movimiento uniforme 680

viii CONTENIDO

10.4. Energa especfica; calado crtico 68210.5. El resalto hidrulico 68910.6. Movimiento gradualmente variado 69410.7. Control y medida de caudales mediante vertederos 701


CAPTULO 11Turbomquinas 725

11.1. Introduccin y clasificacin 72511.2. La bomba centrfuga 72811.3. Curvas caractersticas de bombas y reglas de

semejanza 73411.4. Bombas helicocentrfugas y axiales: la velocidad

especfica 743

11.5. Acoplamiento de bombas a una red 75111.6. Turbinas 756

Resumen 769Problemas 769Problemas conceptuales 780Problemas extensos 780Proyecto de diseo 782Referencias 782

Apndice A Propiedades fsicas de los fluidos 785

Apndice B Tablas para flujos compresibles 791

Apndice C Factores de conversin 807

Apndice D Ecuaciones de movimiento en coordenadascilndricas 811

Solucin de problemas seleccionados 813

ndice 821

CONTENIDO ix

ENFOQUE GENERAL

En la quinta edicin del libro Mecnica de Fluidos se ha aadido y suprimido material con respecto a edi-ciones anteriores, aunque la filosofa del libro se mantiene intacta. La estructura bsica, compuesta poronce captulos y apndices, sigue igual. Se siguen discutiendo los tres mtodos: integral, diferencial y ex-perimental. Se han aadido nuevos problemas, y se han modificado muchos de los problemas y ejemplosde trabajo. Se ha mantenido el estilo informal, orientado a los estudiantes, y se han aadido bastantes fo-tografas y figuras nuevas.

HERRAMIENTAS DE APRENDIZAJE

El nmero de problemas contina aumentando: de los 1089 de la primera edicin se ha pasado a 1169 enla segunda, 1392 en la tercera, 1500 en la cuarta y 1650 en esta quinta edicin. La mayor parte de ellosson los problemas estndar de final de captulo, clasificados por temas. Tambin hay problemas concep-tuales, problemas tipo test del Examen de Fundamentos de Ingeniera, problemas extensos y proyectos dediseo. En el apndice se recogen las respuestas a los problemas seleccionados (los de numeracin par).

Los problemas de ejemplo del texto principal han sido reestructurados de nuevo, siguiendo la secuenciade pasos indicada en la Seccin 1.13, con el objetivo de proporcionar una estrategia uniforme de resolucinde problemas a los estudiantes.

CAMBIOS DE CONTENIDO

Hay varias modificaciones en cada captulo. El Captulo 1 se ha reducido considerablemente, trasladando lostemas ms avanzados a captulos posteriores. Por su gran importancia, se han aadido nuevas discusionesy nuevas figuras relativas a la visualizacin de flujos.

El Captulo 2 contiene material nuevo sobre transductores de presin.El Captulo 3 introduce una lista de sugerencias especficas para tratar las dificultades de la ecuacin

de cantidad de movimiento. La ecuacin de Bernoulli sigue incluyndose al final en lugar de tratarse en unnuevo captulo. Se hace nfasis en las numerosas restricciones a las que est sometida la ecuacin de Ber-noulli, que con frecuencia utilizan de forma incorrecta tanto los estudiantes como los ingenieros gradua-dos.

El Captulo 4 incluye ahora el anlisis del flujo laminar de Poiseuille en conductos, como un ejemplo desolucin exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes. Este tema se vuelve a tratar brevemente en el Captu-lo 6. Si no est de acuerdo con este orden, se pueden omitir las Secciones 4.10 y 4.11 y tratarlas entonces.

El Captulo 5 contiene ahora una seccin completa donde se discute cmo elegir las variables dimen-sionalmente independientes adecuadas para el anlisis dimensional. Decidiendo en primer lugar cmo se es-calan y cmo se presentan los datos, la ambigedad desaparece o al menos se reduce.

En el Captulo 6 se ha aadido una nueva seccin sobre las prdidas de carga y el coeficiente de fric-cin. El flujo laminar y turbulento en tuberas se estudia de forma separada para aumentar la claridad. Losmodelos de turbulencia se incluyen ahora en una nueva seccin. Se han aadido nuevos datos sobre prdi-das localizadass, y se discuten nuevos medidores de caudal. Los medidores de orificio y tobera incluyenahora un factor de correccin por compresibilidad.

xi

Prlogo

El Captulo 7 contiene nuevas discusiones sobre Mecnica de Fluidos Computacional (CFD, Compu-tational Fluid Mechanics) y ms detalles sobre la aproximacin de capa lmite. Se ha aadido una nuevaseccin sobre movimientos lentos.

El Captulo 8, salvo por la adicin de nuevos problemas y referencias, queda prcticamente igual. Creoque se trata del tratamiento ms extenso del flujo potencial en un libro para estudiantes no graduados.

En el Captulo 9 se discuten con mayor detalle los flujos de Fanno y Rayleigh y se presentan algunas delas nuevas tendencias en aeronutica, tanto subsnicas como supersnicas.

El Captulo 10 contiene ms discusiones sobre el nmero de Froude y ha mejorado el tratamiento de lassoluciones compuestas de movimientos gradualmente variados gracias al Profesor Bruce E. LaRock, de laUniversidad de California, Davis. Se ha aadido un esquema sencillo de diferencias finitas para movi-mientos variados que resulta til cuando las mediciones del campo fluido son escasas. Tambin se ha in-troducido el concepto de vertedero compuesto.

El Captulo 11 est prcticamente inalterado, excepto por las mejoras y las correcciones introducidas porel Profesor Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick.

MATERIAL SUPLEMENTARIO

La pgina web en ingls del libro, http://www.mhhe.com/white5, contiene una Gua de Estudio para el Es-tudiante (Student Study Guide), preparada por el Profesor Jerry Dunn, de la Universidad Tecnolgica de Te-xas, que proporciona una revisin concisa de los principales temas tratados en un primer curso; versiones in-teractivas de los problemas del Examen de Fundamentos de Ingeniera (FE, Fundamentals of Engineering)incluidos en el texto, preparados por el Profesor Edward Anderson, de la Universidad Tecnolgica de Te-xas, que pueden servir para preparar el examen o como autoevaluacin; un enlace a la pgina web de EES;y versiones PowerPoint de todas las figuras del texto.

AGRADECIMIENTOS

Como de costumbre, hay tanta gente que ha colaborado en la elaboracin de este libro que me es imposiblerecordarlos y enumerarlos a todos. Agradezco las numerosas sugerencias y mejoras realizadas durante la es-critura del libro por Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick. Todas las revisiones, juntocon el material adicional, incluyendo el Manual de Soluciones, fueron revisados y corregidos por mi cole-ga Elizabeth J. Kenyon. Muchos otros colaboradores realizaron numerosas sugerencias y correcciones, pro-porcionaron material para el libro y me dieron nimos para seguir adelante: Alex Smits, Universidad dePrinceton; Ray Taghavi, Universidad de Kansas; Ganesh Raman, Instituto Tecnolgico de Illinois; PhilCombs, B. D. Fuller y Wayne Stroupe, U.S. Army Waterways Experiment Station; John Cimbala, Univer-sidad del Estado de Pennsylvania; Sheldon Green, Universidad de la Columbia Britnica; Nikos J. Mourtos,Universidad del Estado de San Jos; Jacques Lewalle, Universidad de Syracuse; Richard McCuen, Uni-versidad de Maryland; Andris Skattebo, Scandpower A/S; Bruce E. Larock, Universidad de California, Da-vis; Sandra Barrette y Joan Zimmer, Badger Meter, Inc.; Dean Mohan, PCB Piezotronics; Andrei Smirnove Ismail Celik, Universidad de West Virginia; Fernando Tavares de Pinho, CEFT-Transport Phenomena Re-search Centre, Portugal; S. Y. Son, Ken Kihm y J. C. Han, Universidad de Texas A&M; Ethan Lipman,Universidad de California, Davis; Deborah Pence, Universidad del Estado de Oregon; Debendra K. Das,Universidad de Alaska, Fairbanks; John Gay y Nick Galante, U.S. Navy; Dimitre Karamanev, Universidadde Western Ontario; Jay M. Khodadadi, Universidad de Auburn; John Foss, Universidad del Estado de Mi-chigan; William Palm y Raymond Wright, Universidad de Rhode Island; Haecheon Choi, Universidad Na-cional de Seoul, Korea; Lee Jay Fingersh, National Renewable Energy Laboratory; John Sheridan, Uni-versidad de Monash; Jason Reese, Universidad de Londres; Samuel S. Sih, Walla Walla College; ChihyungWen, Universidad de Da-Yeh, Taiwan; Tim Gourlay, Australian Maritime College; Azer Yalin, Universi-dad del Estado de Colorado; Donald E. Richards, Instituto Rose-Hulman; Bob Oakberg, Universidad del Es-tado de Montana; Brian James Savilonis, Instituto Politcnico de Worcester; Ryoichi S. Amano, Ph.D., Uni-versidad de Wisconsin-Milwaukee; James D. McBrayer, P.E., D.Sc., Universidad de Florida Central; DonL. Boyer, Universidad del Estado de Arizona; Savas Yavuzkurt, Universidad del Estado de Pennsylvania;Abdul I. Barakat, Universidad de California, Davis; James A. Liburdy, Universidad del Estado de Oregon;Clement Kleinstreuer, Universidad del Estado de Carolina del Norte, Raleigh; Robert G. Oakberg, Uni-

xii PRLOGO

http://www.mhhe.com/white5,

versidad del Estado de Montana. Tambin han colaborado en la revisin: Dr. John W. Nicklow, P.E., P.H.,Universidad del Sur de Illinois, Carbondale; Gary Tatterson, Universidad del Estado de North CarolinaA&T; Anthony J. McHugh, Universidad de Illinois; Soyoung Cha, Universidad de Illinois-Chicago; DonaldCarlucci, Instituto de Tecnologa Stevens; Darrell W. Pepper, Ph.D., Universidad de Nevada, Las Vegas; yFarhan H. Chowdhury, Universidad de Ingeniera y Tecnologa de Bangladesh.

Como viene siendo habitual, la colaboracin del personal de McGraw-Hill fue de enorme ayuda.Quiero dar las gracias a Jonathan Plant, Amy Hill, Regina Brooks, Rory Stein, Jill Peter, Brenda Ernzen,Rick Noel, Beverly Steuer, Meg McDonald, David Tietz, Denise Keller, Lauren Timmer y StephanieLange. Finalmente, quiero agradecer, como siempre, el apoyo y los nimos constantes de mi mujer y mi fa-milia.

PRLOGO xiii

Me complace prologar esta traduccin espaola del libro de Frank M. White, Fluid Mechanics, que a mi jui-cio representa una introduccin excelente a la Mecnica de Fluidos.Cubre muy eficazmente y con el rigorsuficiente una gran variedad de temas de inters prctico, sin requerir por parte del alumno un gran nivel deconocimientos matemticos o fsicos de partida.

Quisiera resaltar el papel que los numerosos ejercicios de este libro juegan para complementar la ex-posicin de la Mecnica de Fluidos dada en el texto principal. El autor ha conseguido, mediante una cui-dadosa seleccin de los ejercicios, ofrecer al alumno la posibilidad de aprovechar el trabajo que la realiza-cin de los ejercicios representa, no slo para mejorar su comprensin de los temas desarrollados en el texto,sino tambin para ampliar sus conocimientos y su sentido fsico del movimiento de los fluidos y de las apli-caciones prcticas de estos conocimientos. Tanto instructores como alumnos deben ser conscientes de lamagnfica oportunidad que este texto les ofrece de hacer ms eficaz su labor.

Dado que no existe uniformidad en la nomenclatura en espaol para los distintos conceptos de Mecnicade Fluidos, los traductorres, cuyo profundo conocimiento de la Mecnica de Fluidos me consta, se han vis-to frecuentemente obligados a hacer una eleccin entre las varias posibilidades, a sabiendas de que el re-sultado no puede satisfacer a todos. (Quiz sea especialmente llamativa la eleccin de tensor de esfuerzosen lugar de la alternativa de tensor de tensiones.) En todo caso los traductores han tratado de hacer apareceren el texto o en el ndice la nomenclatura alternativa.

Teniendo en cuenta que en su actividad profesional los futuros ingenieros tendrn, casi inevitablemen-te, necesidad de utilizar unidades inglesas, se ha mantenido sensiblemente la proporcin en que las unida-des inglesas y las mtricas aparecan en los ejemplos y ejercicios del texto original.

Amable Lin

Prlogo a la edicin espaola

xiv

Mecnica de fluidos

Huracn Elena en el Golfo de Mxico. A diferencia de la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles de laMecnica de Fluidos a pequea escala, la dinmica de los huracanes est dominada por la aceleracin deCoriolis debida a la rotacin de la tierra, que los hace girar en sentido contrario a las agujas del reloj en el he-misferio norte. En el presente captulo se discuten las propiedades fsicas y las condiciones de contorno quegobiernan los flujos como estos. (Por cortesa de NASA/Color-Pic Inc-E.R. Degginger/Color-Pic Inc.)

1.1. NOTAS PRELIMINARES

La Mecnica de Fluidos se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento (fluidodinmica) o en reposo(fluidoesttica). Tanto los lquidos como los gases son considerados fluidos, y el nmero de aplicaciones dela Mecnica de Fluidos es enorme: respiracin, flujo sanguneo, natacin, ventiladores, turbinas, aviones,barcos, ros, molinos de viento, tuberas, misiles, icebergs, motores, filtros, chorros y aspersores, por men-cionar algunas. Bien pensado, casi todas las cosas que existen en este planeta o son un fluido o se mueveninmersas o cerca de un fluido.

Como ciencia, est basada en un compromiso adecuado entre teora y experimentacin. Por ser la Me-cnica de Fluidos una rama de la mecnica, dispone de un conjunto de leyes de conservacin bien docu-mentadas y es posible, por tanto, un tratamiento terico riguroso. Sin embargo, la teora es a veces frus-trante, porque se refiere principalmente a ciertas situaciones idealizadas que pueden no ser vlidas en loscasos prcticos. Los dos obstculos mayores para el tratamiento terico son la geometra y la viscosidad. Lateora general del movimiento de los fluidos (Captulo 4) es demasiado difcil para permitir abordar confi-guraciones geomtricas arbitrarias, de modo que la mayor parte de los libros de texto se concentran en pla-cas planas, conductos circulares y otras geometras sencillas. Tambin es posible aplicar mtodos numri-cos a geometras arbitrarias, y actualmente existen libros especializados que explican las aproximaciones ylos mtodos de la Mecnica de Fluidos Computacional (CFD, Computational Fluid Dynamics) [1, 2,29].1 Este libro presentar muchos resultados tericos, teniendo siempre presente sus limitaciones.

El segundo obstculo para la teora es la accin de la viscosidad, que puede ser despreciada solamenteen algunos flujos idealizados (Captulo 8). En primer lugar, la viscosidad aumenta la dificultad de las ecua-ciones bsicas, aunque la aproximacin de capa lmite, hallada por Ludwig Prandtl en 1904 (Captulo 7), hasimplificado enormemente el anlisis de los flujos viscosos. En segundo lugar, la viscosidad afecta a la es-tabilidad de todos los flujos, lo que salvo a velocidades muy pequeas da lugar a un fenmeno desordena-do y aleatorio llamado turbulencia. La teora de los flujos turbulentos es rudimentaria y descansa princi-palmente sobre la experimentacin (Captulo 6), aunque es muy til para estimaciones ingenieriles. Loslibros de texto suelen presentar algoritmos digitales para analizar los flujos turbulentos [32], pero estos m-todos no son exactos, sino simples modelos basados en suposiciones empricas sobre la media temporal delcampo de esfuerzos turbulentos.

As pues, existe una teora para estudiar el flujo de los fluidos, pero en todos los casos debe tener soporteexperimental. A menudo, los datos experimentales son la fuente principal de informacin sobre determi-nados flujos, como es el caso de la resistencia y la sustentacin de cuerpos (Captulo 7). Afortunadamente,la Mecnica de Fluidos es visualizable, existe buena instrumentacin [4, 5, 35] y el uso del anlisis di-mensional y modelos a escala (Captulo 5) est muy extendido. De este modo, la experimentacin propor-ciona un complemento natural y sencillo a la teora. Se debe tener en cuenta que teora y experimentacinvan de la mano en todos los estudios de Mecnica de Fluidos.

3

Captulo 1Introduccin

1 Las referencias numeradas aparecen al final de cada captulo.

1.2. CONCEPTO DE FLUIDO

Desde el punto de vista de la Mecnica de Fluidos, la materia slo puede presentarse en dos estados: sli-do y fluido. La diferencia entre ambos es perfectamente obvia para el lego y es un ejercicio interesante pre-guntar a alguien que explique esta diferencia en palabras. La distincin tcnica radica en la reaccin de am-bos a un esfuerzo tangencial o cortante. Un slido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformacinesttica; un fluido, no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, no importa cun pequeo sea, pro-vocar el movimiento del fluido. ste se mueve y se deforma continuamente mientras se siga aplicando elesfuerzo cortante. Como corolario, podemos decir que un fluido en reposo debe estar en un estado de es-fuerzo cortante nulo; estado que se denomina a menudo condicin hidrosttica de esfuerzos en anlisis es-tructural. En esta condicin, el crculo de Mohr se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante en ningnplano que corte al elemento en cuestin.

Dada la definicin de fluido, cualquier lego sabe que existen dos clases de fluidos, lquidos y gases. Denuevo, la distincin es tcnica y concierne al efecto de las fuerzas cohesivas. Un lquido, al estar compuestopor agrupaciones de molculas muy cercanas con enormes fuerzas cohesivas, tiende a conservar su volumeny formar una superficie libre en un campo gravitatorio si no est limitado por arriba. Los flujos con su-perficie libre estn dominados por efectos gravitatorios y se estudian en los Captulos 5 y 10. Como las mo-lculas de gas estn muy separadas entre s, con fuerzas cohesivas despreciables, un gas es libre de expan-sionarse hasta que encuentre paredes que lo confinan. Un gas no tiene volumen definido y por s mismo, sinconfinamiento, forma una atmsfera que es esencialmente hidrosttica. El comportamiento hidrosttico delquidos y gases se muestra en el Captulo 2. Los gases no forman superficies libres y en los flujos gaseososraramente influyen otros efectos gravitatorios distintos de los de flotabilidad.

La Figura 1.1 muestra un bloque slido apoyado sobre un plano rgido y deformado por su propio peso.El slido adquiere una deflexin esttica, marcada exageradamente con una lnea a trazos, resistiendo es-fuerzos cortantes2 sin fluir. El diagrama de equilibrio del elemento A del lateral del bloque muestra un es-fuerzo cortante a lo largo del plano cortado a un ngulo . Como las paredes del bloque no estn sometidasa esfuerzos, el elemento A tiene esfuerzo nulo a la derecha y a la izquierda y esfuerzo de compresin = parriba y abajo. El crculo de Mohr no se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante nulo en el bloque.

Contrariamente, el lquido y el gas en reposo de la Figura 1.1 necesitan paredes para eliminar el esfuerzocortante. Las paredes ejercen una compresin p y el crculo de Mohr se reduce a un punto con esfuerzocortante nulo en todas partes, o sea, est en la condicin hidrosttica. El lquido mantiene su volumen y for-ma una superficie libre sin llenar completamente el recipiente. Si se quitan las paredes, se crea esfuerzo cor-tante y el lquido se derrama. Si el recipiente se inclina, tambin aparece esfuerzo cortante, se forman ondasy la superficie adopta una posicin horizontal, desbordndose llegado el caso. Mientras tanto, el gas se ex-pande fuera del recipiente, llenando todo el espacio disponible. El elemento A, en el gas, tambin est en lacondicin hidrosttica y ejerce una compresin p sobre la pared.

En la discusin anterior se puede distinguir claramente entre slidos, lquidos y gases. La mayor parte delos problemas ingenieriles de la Mecnica de Fluidos se refieren a estos casos claros, por ejemplo, los lquidoscomunes como agua, aceite, mercurio, gasolina y alcohol y a los gases comunes como aire, helio, hidrgenoy vapor de agua en el rango de temperaturas y presiones normales. Sin embargo, existen muchos casos lmitessobre los que se debe advertir. Algunas sustancias, aparentemente slidas como asfalto y grafito, resistenesfuerzos cortantes durante breves periodos, pero realmente se deforman y presentan comportamiento de flui-do en periodos de tiempo largos. Otras sustancias, particularmente coloides y mezclas espesas, resisten pe-queas cortaduras, pero se rompen a elevados esfuerzos cortantes y fluyen como fluidos. Hay libros de tex-to especializados dedicados al estudio general de la deformacin y el flujo, campo denominado reologa [6].Por otra parte, los lquidos y gases pueden coexistir en mezclas bifsicas, tales como vapor-agua o agua conburbujas de aire. Algunos libros de texto presentan el anlisis de estos flujos bifsicos [7]. Finalmente, hay si-tuaciones en que la diferencia entre lquido y gas se difumina. Esto ocurre a temperaturas y presiones por en-cima del llamado punto crtico de la sustancia, donde slo existe una fase semejante al gas. A medida que lapresin aumenta muy por encima del punto crtico, la sustancia gaseosa se hace tan densa que parece lqui-do y las aproximaciones termodinmicas usuales, como la ley de los gases perfectos, dejan de ser fiables. Latemperatura y presin crticas del agua son Tc = 647 K y pc = 219 atm

3, de manera que los problemas tpicoscon agua o vapor estn por debajo de dicho punto. El aire, por ser una mezcla de gases, no tiene punto crti-co propio, pero su principal componente, el nitrgeno, tiene Tc = 126 K y pc = 34 atm. Por ello, en los pro-

4 MECNICA DE FLUIDOS

2 Utilizamos el trmino esfuerzo anlogo al de tensin, es decir, con significado de fuerza por unidad de superficie (N. del T.).3 Una atmsfera equivale a 101.300 Pa = 2116 lbf/ft2.

blemas tpicos, con altas temperaturas y bajas presiones comparadas con su punto crtico, el aire se comportaclaramente como un gas. Este libro tratar solamente sobre lquidos y gases identificables como tales, y loscasos lmites citados anteriormente quedan fuera de nuestro objetivo.

1.3. EL FLUIDO COMO MEDIO CONTINUO

Hemos utilizado ya trminos tcnicos tales como presin y densidad del fluido sin una discusin rigurosade su definicin. Sabemos que los fluidos son agregaciones de molculas, muy separadas en los gases y pr-ximas en los lquidos. La distancia entre las molculas es mucho mayor que el dimetro molecular. Las mo-lculas no estn fijas en una red, sino que se mueven libremente. Por ello, la densidad, o masa por unidad devolumen, no tiene un significado preciso, pues el nmero de molculas en el interior de un volumen cual-quiera cambia continuamente. Este efecto pierde importancia si la unidad de volumen es mucho mayor queel cubo del espaciado molecular, ya que el nmero de molculas contenidas permanecer prcticamenteconstante a pesar del considerable intercambio a travs de su contorno. Si la unidad de volumen escogida esdemasiado grande, puede haber una variacin notable en la distribucin global de partculas. Esta situacinest ilustrada en la Figura 1.2, donde la densidad calculada a partir de la masa molecular m de un vo-lumen dado , aparece en funcin del volumen escogido. Hay un volumen lmite * por debajo del cuallas variaciones moleculares pueden ser importantes y por encima del cual las variaciones macroscpicastambin lo pueden ser. La densidad de un fluido se define de modo ptimo como

(1.1)

= lm *

m

INTRODUCCIN 5

Deflexinesttica

Superficielibre

Condicinhidrosttica

LquidoSlido

A A A

(a) (c)

(b) (d )

00

A A

Gas

(1)

p p

p

p

p

= 0

2

1

= p = p

1

Figura 1.1. Un slido en equilibrio puede soportar esfuerzo cortante. (a) Deflexin esttica del slido; (b) equilibrioy crculo de Mohr del elemento A del slido. Un fluido no puede. (c) Se necesitan paredes de contencin; (d) equi-librio y crculo de Mohr para el elemento A del fluido.

El volumen lmite * es alrededor de 109 mm3 para todos los lquidos y gases a presin atmosfrica. Porejemplo, 109 mm3 de aire en condiciones normales contienen aproximadamente 3 107 molculas, lo cuales suficiente para definir una densidad prcticamente constante de acuerdo con la Ecuacin (1.1). La mayorparte de los problemas ingenieriles estn relacionados con dimensiones fsicas mucho mayores que este vo-lumen lmite, de modo que la densidad es esencialmente una funcin puntual y las propiedades del fluidopueden considerarse como variables continuas en el espacio, como se esquematiza en la Figura 1.2a. Un flui-do de este tipo se denomina medio continuo, lo cual significa que la variacin de sus propiedades es tan sua-ve que se puede utilizar el clculo diferencial para analizarlo. En todos los estudios incluidos en este libroconsideraremos vlida esta premisa. Tambin en este sentido hay casos lmite para gases a tan bajas pre-siones que su espaciado molecular y su camino libre medio4 son comparables, o mayores, que el tamao delsistema. Esto obliga a abandonar la aproximacin de medio continuo en favor de la teora molecular del flu-jo de gases enrarecidos [8]. En principio, todos los problemas de Mecnica de Fluidos pueden ser abordadosdesde el punto de vista molecular, pero no lo haremos aqu. Se debe resaltar que el uso del clculo diferen-cial no prejuzga la posibilidad de saltos discontinuos en las propiedades fluidas a travs de superficies libreso de ondas de choque en fluidos compresibles (Captulo 9). Nuestros clculos deben ser suficientemente fle-xibles para poder trabajar con condiciones de contorno discontinuas.

1.4. DIMENSIONES Y UNIDADES

Dimensin es la medida por la cual una variable fsica se expresa cuantitativamente. Unidad es una formaparticular de asignar un nmero a la dimensin cuantitativa. As, la longitud es una dimensin asociada a va-riables como distancia, desplazamiento, anchura, deflexin y altura, mientras que centmetros y pulgadasson unidades numricas para expresar la longitud. La dimensin es un concepto muy poderoso sobre el quese ha desarrollado la esplndida herramienta fsico-matemtica del anlisis dimensional (Captulo 5),mientras que las unidades son los nmeros que se buscan como respuesta final.

Los sistemas de unidades han variado siempre de pas a pas, incluso despus de adoptarse acuerdos in-ternacionales. Los ingenieros necesitan nmeros y, por tanto, sistemas de unidades, y esos nmeros debenser fiables porque la seguridad pblica est en juego. No se puede disear y construir un sistema de tuberascuyo dimetro es D y cuya longitud es L. Los ingenieros norteamericanos persisten en utilizar el sistema bri-tnico de unidades. Hay mucha posibilidad de error en este sistema y muchos estudiantes han fallado unproblema por olvidar un factor de conversin de 12 o 144 o 32,2 o 60 o 1,8. Los ingenieros, en la prctica,pueden cometer los mismos errores. El autor tiene la experiencia personal de un grave error en el diseo pre-liminar de un avin debido al olvido de un factor de 32,2 para convertir libras-masa en slugs.5


Incertidumbremicroscpica

Incertidumbremacroscpica

0

1200

* 10-9 mm3

Volumenelemental

Regin fluida

= 1000 kg/m3

= 1100

= 1200

= 1300

(a) (b)

Figura 1.2. Definicin de la densidad del fluido como medio continuo: (a) volumen elemental en una regin flui-da de densidad variable; (b) densidad calculada en funcin del tamao del volumen elemental.

4 Distancia media entre colisiones moleculares.5 Unidad de masa en el sistema britnico (N. del T.).

En una reunin internacional celebrada en Francia en 1872 se propuso la Convencin Mtrica, un tra-tado que fue firmado en 1875 por 17 pases, incluidos los Estados Unidos de Amrica. Constitua una apre-ciable mejora sobre el sistema britnico, pues su base es el nmero 10, que es la base del sistema numri-co aprendido desde la infancia en todas partes. An quedaban problemas porque incluso los pases consistema mtrico utilizaban a veces los kilopondios en lugar de dinas o newtones, kilogramos en lugar degramos, o caloras en lugar de julios. Para uniformizar el sistema mtrico, una Conferencia General de Pe-sas y Medidas celebrada en 1960, con asistencia de 40 pases, propuso el Sistema Internacional de Uni-dades (SI). Actualmente pasamos un arduo periodo de transicin hacia el SI, que probablemente durar anmuchos aos. Las asociaciones profesionales dirigen el cambio. Desde el 1 de julio de 1974 se obliga a uti-lizar el SI en todos los trabajos publicados por la Sociedad Americana de Ingenieros Mecnicos (ASME,American Society of Mechanical Engineers), que prepar un folleto explicativo al respecto [9]. El presentelibro utilizar simultneamente el SI y el sistema britnico.

Dimensiones primarias

En Mecnica de Fluidos slo hay cuatro dimensiones primarias, de las cuales derivan las dems. Son masa,longitud, tiempo y temperatura.6 Estas dimensiones y sus unidades en ambos sistemas aparecen en la Ta-bla 1.1. Ntese que la unidad Kelvin no utiliza el smbolo de grado. Las llaves que engloban un smbolocomo {M} significan dimensiones de masa. Todas las dems variables en Mecnica de Fluidos puedenexpresarse en funcin de {M}, {L}, {T} y {}. Por ejemplo, la aceleracin tiene dimensiones de {LT2}. Lams importante de estas dimensiones secundarias es la fuerza, directamente relacionada con masa, longitudy tiempo a travs de la segunda ley de Newton. La fuerza es igual a la variacin temporal de la cantidad demovimiento o, si la masa es constante,

F = ma (1.2)

De aqu podemos ver que, dimensionalmente, {F} = {MLT2}. La constante de proporcionalidad se elimi-na definiendo la unidad de fuerza exactamente en funcin de las unidades primarias. As definimos el new-ton y la libra-fuerza

1 newton fuerza = 1 N 1 kg 1 m/s2

1 libra fuerza = 1 lbf 1 slug 1 ft/s2 = 4,4482 N (l.3)

En este libro se usar la abreviatura lbf para la libra-fuerza y lb para la libra-masa. Si se adopta otra unidadde fuerza como la dina o el kilopondio, o se toma otra unidad de masa como el gramo o la libra-masa, sedebe incluir en la Ecuacin (l.2) una constante de proporcionalidad gc. En este libro no se utilizarn este tipode constantes, ya que se emplearn los sistemas internacional y britnico, donde no son necesarias.

En la Tabla 1.2 se enumeran algunas de las variables secundarias ms importantes en Mecnica de Flui-dos, expresando sus dimensiones en funcin de las cuatro primarias. Una lista ms completa de factores deconversin puede encontrarse en el Apndice C.

INTRODUCCIN 7

6 Si los efectos electromagnticos son importantes, se debe incluir una quinta, la corriente elctrica {I}, cuya unidad en el SI es elamperio (A).

Tabla 1.1. Dimensiones primarias en los sistemas SI y britnico.

Dimensin primaria Unidad SI Unidad britnica Factor de conversin

Masa {M} Kilogramo (kg) Slug 1 slug = 14,5939 kgLongitud {L} Metro (m) Pie (ft) 1 ft = 0,3048 mTiempo {T} Segundo (s) Segundo (s) 1 s = 1 sTemperatura {} Kelvin (K) Rankine (R) 1 K = 1,8 R

EJEMPLO 1.1

Un cuerpo pesa 1000 lbf en el campo gravitatorio terrestre con g = 32,174 ft/s2 (a) Cul es su masa en kilogramos?(b) Cul ser su peso en newtones en el campo gravitatorio lunar con gluna = 1,62 ft/s

2? (c) Cul ser su aceleracinsi se le aplica una fuerza de 400 lbf en la luna y en la tierra?

Solucin

Apartado (a)

La Ecuacin (1.2) dice que F = peso si a = gtierra:

F = W = mg = 1000 lbf = (m) (32,174 ft/s2)

o Resp. (a)

Comentario. El cambio de 31,08 slugs a 453,6 kg muestra la utilidad del factor de conversin 14,5939 kg/slug.

Apartado (b)

La masa del cuerpo sigue siendo la misma en la luna. La Ecuacin (1.2) nos permite calcular el peso correspondiente

F = Wluna = mgluna = (453,6 kg)(1,62 m/s2) = 735 N Resp. (b)

Apartado (c)

Este apartado no est relacionado con el peso, sino con la aplicacin directa de la segunda ley de Newton

F = 400 lbf = ma = (31,08 slugs)(a)

o Resp. (c)

Comentario. La aceleracin obtenida sera la misma en la luna, en la tierra o en cualquier otra parte.

Muchos datos en artculos y trabajos aparecen con unidades arcaicas o inconvenientes, tiles slopara alguna industria, especialidad o pas. El ingeniero debe convertir estos datos al SI o al sistema britnicoantes de usarlos. Esto requiere la aplicacin sistemtica de factores de conversin, como en el ejemplo si-guiente.

a = = =43

2 87 3 9200 lbf

1,08 slugs1 ft/s m/s2 2, ,

m = =100032 174

lbf

ft/s(31,08 slugs)(14,5939 kg/slug) = 453,6 kg2,


Tabla 1.2. Dimensiones secundarias en Mecnica de Fluidos.

Dimensin secundaria Unidad SI Unidad britnica Factor de conversin

rea {L2} m2 ft2 1 m2 = 10,764 ft2

Volumen {L3} m3 ft3 1 m3 = 35,315 ft3

Velocidad {LT1} m/s ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/sAceleracin {LT2} m/s2 ft/s2 1 ft/s2 = 0,3048 m/s2

Presin o esfuerzo {ML1T2} Pa = N/m2 lbf/ft2 1 lbf/ft2 = 47,88 PaVelocidad angular {T1} s1 s1 1 s1 = 1 s1

Energa, calor, trabajo {ML2T2} J = N m lf lbf 1 ft lbf = 1,3558 JPotencia {ML2T3} W = J/s ft lbf/s 1 ft lbf/s = 1,3558 WDensidad {ML3} kg/m3 slugs/ft3 1 slug/ft3 = 515,4 kg/m3

Viscosidad {ML1T1} kg/(m s) slugs/(ft s) 1 slug/(ft s) = 47,88 kg/(m s)Calor Especfico {L2T21} m2/(s2 K) ft2/(s R) 1 m2/(s2 K) = 5,980 ft2/(s R)

EJEMPLO 1.2

La industria relacionada con la medida de la viscosidad [27, 36] contina usando el sistema de unidades cgs, porquelos valores de la viscosidad expresados en centmetros y gramos resultan ms manejables para muchos fluidos. Launidad de viscosidad absoluta () en el sistema cgs es el poise, 1 poise = 1 g/(cm s), nombre tomado de J. L. M.Poiseuille, mdico francs que llev a cabo experimentos pioneros en 1840 sobre flujo de agua en conductos. La uni-dad de la viscosidad cinemtica () es el stokes, nombre tomado de G. G. Stokes, un fsico ingls que en 1845 co-labor en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales bsicas que gobiernan la cantidad de movimiento de los flui-dos; 1 stokes = 1 cm2/s. La viscosidad del agua a 20 C es alrededor de 0,01 poises y tambin 0,01 stokes.Exprese estos valores en (a) el SI y (b) el sistema britnico.

Solucin

Apartado (a)

Procedimiento. Cambiamos de forma sistemtica gramos a kg o slugs y centmetros a metros o pies. Valores de las propiedades. Dados = 0,01 g/(cm s) y = 0,01 cm2/s.

Solucin del apartado (a). Para convertir a unidades SI,

Resp. (a)

Apartado (b)

Para convertir al sistema britnico,

Resp. (b)

Comentario. El resultado (b) se podra haber obtenido directamente del (a) dividiendo ste por el factor de con-versin 47,88 dado en la Tabla 1.2. En el Apndice C se dan ms factores de conversin entre unidades SI y delsistema britnico.

Insistimos en el consejo: si aparecen datos con unidades no usuales se deben convertir al SI o al sistemabritnico, porque (1) es ms profesional y (2) las ecuaciones tericas de la Mecnica de Fluidos son di-mensionalmente consistentes y no requieren factores de conversin cuando se usan los sistemas citados,como muestra el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1.3

Una de las ecuaciones tericas ms tiles es la que relaciona la presin, la velocidad y la altura en el flujo estacio-nario de un fluido incompresible no viscoso con transferencia de calor despreciable,7 llamada ecuacin de Bernoulli,por Daniel Bernoulli, que public un libro de hidrodinmica en 1738:

p0 = p +12V2 + gZ (1)

donde p0 = presin de remansop = presin en el fluidoV = velocidad

= = =

= = =

0 01

0 010 01 1

00001082

,

,( , (

,

g

cm s0,01

g(1 kg/1000 g)(1 slug/14,5939 kg)

(0,01 m/cm)(1 ft/0,3048 m)s0,0000209

slug

ft s

cm

s0,01

cm m/cm) ft/0,3048 m)

s0

ft

s

2 2 2 2

= = =

= = =

0 01

0 010 01 2

,

,( ,

g

cm s0,01

g(1 kg/1000 g)

cm(0,01 m/cm)s0,001

kg

m s

cm

s0,01

cm m/cm)

s0,00001

m

s

2 2 2

INTRODUCCIN 9

7 Este conjunto de hiptesis se estudiar con detalle en el Captulo 3.

= densidadZ = alturag = aceleracin de la gravedad

(a) Demuestre que la Ecuacin (1) satisface el principio de homogeneidad dimensional, que establece que todos lostrminos aditivos en una ecuacin fsica deben tener las mismas dimensiones. (b) Demuestre que en el SI las uni-dades son consistentes sin necesidad de factores de conversin. (c) Repita el apartado (b) para el sistema britnico.

Solucin

Apartado (a)

Podemos expresar la Ecuacin (1) dimensionalmente, usando llaves para representar las dimensiones de cada tr-mino:

{ML1T2} = {ML1T2} + {ML3}{L2T2} + {ML3}{LT2}{L} = {ML1T2} para todos los trminos Resp. (a)

Apartado (b)

Poniendo las unidades del SI para cada cantidad, tomadas de la Tabla 1.2:

{N/m2} = {N/m2} + {kg/m3}{m2/s2} + {kg/m3}{m/s2}{m} = {N/m2} + {kg/(m s2)}

El segundo miembro parece complicado, pero no lo es si se recuerda, por medio de la Ecuacin (1.3), que 1 kg = 1(N s2)/m.

Resp. (b)

De esta forma todos los trminos de la ecuacin de Bernoulli tienen unidades de pascales, o newtones por metro cua-drado, al utilizar el SI. No se necesitan factores de conversin, lo cual es cierto para todas las ecuaciones de la Me-cnica de Fluidos.

Apartado (c)

Introduciendo las unidades del sistema britnico, tenemos

{lbf/ft2} = {lbf/ft2} + {slugs/ft3}{ft2/s2} + {slugs/ft3}{ft/s2}{ft} = {lbf/ft2} + {slugs/(ft s2)}

Pero, por medio de la Ecuacin (1.3), 1 slug = 1 lbf s2/ft, de modo que

Resp. (c)

Todos los trminos tienen unidades de libra-fuerza por pie cuadrado. Tampoco en el sistema britnico se necesitanfactores de conversin.

An persiste en los pases anglosajones la tendencia a usar libras-fuerza por pulgada cuadrada como uni-dad de presin, porque los nmeros son ms manejables. Por ejemplo, la presin atmosfrica estndar es101.300 Pa = 14,7 lbf/in2 = 2116 lbf/ft2. El pascal es una unidad muy pequea, pues un newton es menos de14 de lbf y un metro cuadrado un rea muy grande. A pesar de lo cual el pascal va ganando aceptacin; porejemplo, los manuales de reparacin de los automviles americanos especifican ya las medidas de presines pascales.

Unidades consistentes

Las ecuaciones de la mecnica (de fluidos) no slo deben ser dimensionalmente homogneas, sino que ade-ms se deben usar unidades consistentes; esto es, todos los trminos aditivos en una ecuacin fsica deben

{ )}{

}{ }slugs/(ft s

lbf s /ft}

{ft slbf/ft2

2

22= =

{ )}{

}{ }kg/(m s

N s /m}

{m sN/m2

2

22= =


tener las mismas unidades. Esto no supone ningn problema si se usa el SI o el sistema britnico, como enel Ejemplo 1.3, pero puede resultar fatal para quienes traten de mezclar unidades inglesas coloquiales. Porejemplo, en el Captulo 9 usaremos a menudo la hiptesis de flujo gaseoso compresible, adiabtico y esta-cionario:

h + 12V2 = constante

donde h es la entalpa del fluido y V2/2 es su energa cintica por unidad de masa. Las tablas termodinmi-cas coloquiales podran expresar h en unidades trmicas inglesas por unidad de masa (Btu/lb), mientras queV suele expresarse en ft/s. Es totalmente errneo sumar Btu/lb y ft2/s2. En este caso, la unidad adecuada parala entalpa es ft lbf/slug, que es idntica a ft2/s2. El factor de conversin es 1 Btu/lb 25.040 ft2/s2 = 25.040ft lbf/slug.

Ecuaciones homogneas frente a ecuaciones dimensionalmenteinconsistentes

Todas las ecuaciones tericas de la mecnica (y de otras ramas de la fsica) son dimensionalmente homo-gneas; esto es, todos los trminos aditivos de la ecuacin tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, laecuacin de Bernoulli (1) del Ejemplo 1.3 es dimensionalmente homognea: todos los trminos tienen di-mensiones de presin o esfuerzo {F/L2}. Otro ejemplo es la ecuacin de la fsica para un cuerpo en cada li-bre cuando se desprecia la resistencia aerodinmica:

S = S0 + V0t +12gt

2

donde S0 es la posicin inicial, V0 es la velocidad inicial y g es la aceleracin de la gravedad. Cada trminoen esta ecuacin tiene dimensiones de longitud {L}. El factor 12, que proviene de la integracin, es simple-mente un nmero (adimensional), {1}. El exponente 2 tambin es adimensional.

Sin embargo, se debe advertir al lector que muchas frmulas empricas usadas en ingeniera, princi-palmente las obtenidas de correlaciones de datos, no son dimensionalmente consistentes. Sus unidades nopueden reconciliarse de forma sencilla, y algunos trminos pueden contener variables ocultas. Un ejemploes la frmula que utilizan los fabricantes de vlvulas de tuberas para calcular el caudal Q (m3/s) a travs deuna vlvula parcialmente abierta:

donde p es la cada de presiones a travs de la vlvula y S es la densidad relativa del lquido (el cocienteentre su densidad y la del agua). La cantidad C

Ves el coeficiente de flujo de la vlvula, que los fabricantes

tabulan en sus folletos. Dado que S es adimensional {1}, la frmula resulta totalmente inconsistente, puesun lado tiene dimensiones de caudal {L3/T} y el otro de raz cuadrada de salto de presiones {M1/2/L1/2T}. Deaqu se deduce que CV debe tener dimensiones, de hecho bastante raras: {L

7/2/M1/2}. La resolucin de estadiscrepancia no est clara, aunque en la literatura se observa que los valores de CV aumentan aproximada-mente como el cuadrado del tamao de la vlvula. La presentacin de datos experimentales en forma ho-mognea es el objetivo del anlisis dimensional (Captulo 5). En dicho captulo aprenderemos que una for-ma homognea de la relacin para el caudal de la vlvula es

donde es la densidad del lquido y A el rea de apertura de la vlvula. El coeficiente de descarga Cd

esadimensional y cambia muy poco con el tamao de la vlvula. De momento el lector debe creerse has-ta la discusin del Captulo 5 que la ltima expresin constituye una forma mucho mejor de presentar losdatos.

Q C Ap

d= apertura1 2/

Q Cp

V= S

1 2/

INTRODUCCIN 11

Mientras tanto, debemos concluir que las ecuaciones dimensionalmente inconsistentes, a pesar de suabundancia en la ingeniera, pueden conducir a error y son imprecisas y hasta peligrosas, pues con fre-cuencia son usadas incorrectamente fuera de su rango de aplicabilidad.

Prefijos apropiados para potencias de 10

En ingeniera, los resultados suelen ser demasiado pequeos o demasiado grandes para las unidades habi-tuales, con muchos ceros por un lado o el otro. Por ejemplo, escribir p = 114.000.000 Pa es largo y tedioso.Usando el prefijo M para decir 106, convertimos esto en un conciso p = 114 MPa (megapascales). Delmismo modo, t = 0,000000003 s es mucho ms difcil de corregir que su equivalente t = 3 ns (nanosegun-dos). Tales prefijos son comunes y convenientes, tanto en el SI como en el sistema britnico. En la Ta-bla 1.3 se da la lista completa.


Tabla 1.3. Prefijos apropiados para unidades en ingeniera.

Factor multiplicativo Prefijo Smbolo

1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h10 deca da101 deci d102 centi c103 mili m106 micro 109 nano n1012 pico p1015 femto f1018 atto a

EJEMPLO 1.4

En 1890, Robert Manning, un ingeniero irlands, propuso la siguiente frmula emprica para la velocidad media Ven el movimiento uniforme en canales abiertos (en el sistema britnico de unidades):

(1)

donde R = radio hidrulico del canal (Captulos 6 y 10)S = pendiente del canal (tangente del ngulo de la base respecto a la horizontal)n = factor de rugosidad de Manning (Captulo 10)

y n es constante para cada condicin de acabado superficial de las paredes y el fondo del canal. (a) Es dimensio-nalmente consistente la frmula de Manning? (b) La Ecuacin (1) se considera vlida en unidades del sistema bri-tnico tomando n como adimensional. Reescriba la ecuacin en el SI.

Solucin

Consideraciones. La pendiente, por ser la tangente de un ngulo, es adimensional y aparece como {1} es decir,no contiene M, L o T.

Apartado (a). Escribimos las dimensiones de cada trmino de la frmula de Manning usando parntesis {}:

{ },

{ }{ } ,

{ }{ }/ / /Vn

R SL

T nL= =1 49 1 49 12 3 1 2 2 3o

Vn

R S= 1 49 2 3 1 2, / /

Esta frmula no puede ser consistente a menos que {1,49/n} = {L1/3/T}. Si n es adimensional (como aparece siem-pre en los libros), el valor numrico 1,49 debe tener unidades de {L1/3/T}. Resp. (a)

Comentario (a). Esto puede ser trgico para un ingeniero que trabaje en un sistema de unidades diferente a menosque se d cuenta de la discrepancia. De hecho, la frmula de Manning, aunque es muy conocida, es inconsisten-te tanto dimensional como fsicamente, no tiene en cuenta de modo correcto los efectos de la rugosidad del canalsalvo para un rango muy estrecho de rugosidades y slo es vlida para el agua. Los efectos de la viscosidad y ladensidad del agua estn ocultos en el valor numrico 1,49.

Apartado (b). Del apartado anterior sabemos que el nmero 1,49 debe tener dimensiones, y por eso en el sistemabritnico debe ser 1,49 ft1/3/s. Utilizando el factor de conversin al SI para la longitud, tenemos

(1,49 ft1/3/s)(0,3048 m/ft)1/3 = 1,00 m1/3/s

Por tanto, la frmula de Manning en el SI es:

Resp. (b)

con R en metros y V en metros por segundo. Comentario (b). Realmente, estamos despistando al lector: Manning, usuario del sistema mtrico, propuso la fr-

mula de esta manera; posteriormente fue pasada al sistema britnico. Estas frmulas dimensionalmente incon-sistentes son peligrosas y deberan ser reanalizadas o aplicadas slo en casos muy concretos.

1.5. PROPIEDADES DEL CAMPO DE VELOCIDADES

En un flujo dado, la determinacin experimental o terica de las propiedades del fluido en funcin de la po-sicin y del tiempo se considera la solucin del problema. En casi todos los casos, el nfasis se hace sobrela distribucin espacio-temporal de las propiedades fluidas. Raramente se siguen las trayectorias de part-culas fluidas concretas.8 Este tratamiento de las propiedades como funciones continuas distingue la Mec-nica de Fluidos de la de Slidos, donde habitualmente el inters se centra ms en las trayectorias de sistemaso partculas individuales.

Descripciones euleriana y lagrangiana

Hay dos puntos de vista posibles para analizar los problemas de la mecnica. El primero, apropiado para laMecnica de Fluidos, trata del campo de flujo y se denomina mtodo descriptivo euleriano. En el mtodoeuleriano calculamos el campo de presiones p(x, y, z, t) del flujo, y no los cambios de presin p(t) que ex-perimenta una partcula al moverse.

El segundo mtodo, que sigue a las partculas en su movimiento, se denomina descripcin lagrangiana.Este mtodo, muy apropiado en Mecnica de Slidos, no ser considerado en este libro. Sin embargo, losanlisis numricos de algunos flujos con lmites muy marcados, como el movimiento de gotitas aisladas, sellevan a cabo mejor en coordenadas lagrangianas [1].

Las mediciones en Mecnica de Fluidos tambin estn bien adaptadas al sistema euleriano. Por ejemplo,cuando se introduce una sonda de presin en un flujo experimental, la medicin se produce en un punto fijo(x, y, z). Las medidas contribuyen por tanto a describir el campo de presiones euleriano p(x, y, z, t). Para si-mular una medida lagrangiana la sonda debera moverse aguas abajo con la velocidad del fluido; este tipode mediciones se practican a veces en oceanografa, dejando a la deriva los aparatos de medicin que sonarrastrados por las corrientes dominantes.

Un ejemplo ilustrativo de ambas descripciones puede ser el anlisis del trfico en una autopista. Se-leccionemos un cierto tramo para estudio y determinacin del trfico. Obviamente, con el transcurso del

Unidades SI : Vn

R S= 1 0 2 3 1 2, / /

INTRODUCCIN 13

8 Un caso en que las trayectorias son importantes es el anlisis de calidad del agua en lo que respecta a las partculas contami-nantes.

tiempo varios coches entrarn y saldrn del tramo, y la identidad de los mismos estar cambiando conti-nuamente. El ingeniero de trfico ignora la identidad de los coches y se concentra en su velocidad media,medida como funcin de la posicin dentro del tramo y del tiempo, y tambin estudia el flujo o nmero decoches por hora que pasan por una cierta seccin de la autova. Este ingeniero realiza una descripcin eu-leriana del trfico. Otros investigadores, como la polica o los socilogos, pueden estar interesados en la ve-locidad y trayectoria de determinados coches. Siguiendo a stos realizan una descripcin lagrangiana del tr-fico.

El campo de velocidades

La ms importante de todas las propiedades del flujo es el campo de velocidades V(x, y, z, t). De hecho, de-terminar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema, ya que otras propiedades se obtienendirectamente de aqulla. El Captulo 2 est dedicado al clculo de la presin una vez conocido el campo develocidades. Los libros que tratan sobre transferencia de calor (por ejemplo, Referencia 10) estn espe-cialmente dedicados a encontrar el campo de temperaturas a partir del de velocidades.

En general, la velocidad es un vector, funcin de la posicin y del tiempo, que tiene tres componentesescalares u, v y w:

(1.4)

El uso de u, v y w en lugar de Vx, Vy y Vz, ms lgicas, se debe a una duradera tradicin fluidodinmica.Como muestra el siguiente ejemplo, el vector aceleracin tambin es importante en Mecnica de Flui-

dos.

EJEMPLO 1.5

Un fluido fluye a travs de una seccin convergente de un conducto, como muestra la Figura E1.5. Una sonda de ve-locidad inmersa en la seccin (1) mide un valor estacionario u1 = 1 m/s, mientras que una sonda similar en la sec-cin (2) detecta un valor estacionario u2 = 3 m/s. Estime la aceleracin del fluido, si existiera, si x = 10 cm.

Solucin

El flujo es estacionario (no vara con el tiempo), pero claramente la velocidad de las partculas fluidas aumenta al pa-sar de (1) a (2). ste es el concepto de aceleracin convectiva (Seccin 4.1). Podemos estimar la aceleracin comoel incremento de velocidad dividido por el incremento de tiempo t = x/umed:

Resp.au u

x u ux +[ ] = +[ ]incremento de velocidad

incremento de tiempo

m/s 1,0 m/s)

(0,1 m)/ m/s m/s m/s22 1

12 1 2

12

3 0

1 0 3 040

/ ( )

( ,

( , , )

V(x, y, z, t) = iu(x, y, z, t) + jv(x, y, z, t) + kw(x, y, z, t)


(1)

(2)

u1 u2

x

E1.5

Una simple estimacin indica por tanto que este flujo, aparentemente inocuo, sufre una aceleracin de cuatro vecesla aceleracin de la gravedad. En el lmite en que x y t se hacen muy pequeos, nuestra estimacin se reduce auna derivada parcial que representa la aceleracin convectiva en la direccin x:

En un flujo tridimensional (Seccin 4.1) existen nueve trminos convectivos de este tipo.

1.6. PROPIEDADES TERMODINMICAS DE UN FLUIDO

Aunque el campo de velocidades V es la propiedad ms importante del flujo, ste interacta con las pro-piedades termodinmicas del fluido. A lo largo de la discusin precedente hemos introducido las tres msimportantes:

l. Presin p2. Densidad 3. Temperatura T

Son los compaeros permanentes de la velocidad en el anlisis de los flujos. Al entrar en juego el tra-bajo, el calor y el equilibrio energtico aparecen otras cuatro propiedades termodinmicas (Captulos 3 y 4):

4. Energa interna 5. Entalpa h = + p/6. Entropa s7. Calores especficos c

py c

v

Por otro lado, los efectos de friccin y conduccin de calor estn gobernados por los denominados coeficientes de transporte:

8. Coeficiente de viscosidad 9. Conductividad trmica k

Estas nueve magnitudes son autnticas propiedades termodinmicas, que se determinan por la condicintermodinmica o estado del fluido. Por ejemplo, en una sustancia con una sola fase como oxgeno o agua,es suficiente conocer dos de las propiedades bsicas independientes9, como presin y temperatura, para de-terminar las dems:

= (p, T) h = h(p, T) = (p, T) (1.5)

y as para todas las magnitudes de la lista. Ntese que el volumen especfico, tan importante en termodi-nmica, es omitido aqu en favor de su inverso, la densidad .

Recurdese que las propiedades termodinmicas describen el estado del sistema, esto es, una porcin demateria de identidad conocida que interacta con su entorno. En la mayor parte de los casos este sistemaser una partcula fluida y todas las propiedades sern funciones continuas en el campo fluido: = (x, y,z, t), etc.

Recurdese tambin que la termodinmica estudia normalmente sistemas estticos, mientras que losfluidos se encuentran habitualmente en movimiento cambiando todas las propiedades constantemente.Las propiedades termodinmicas estticas, conservan su significado en un flujo que est tcnicamente fue-ra del equilibrio? La respuesta es s, desde un punto de vista estadstico. En gases a las presiones normales(y ms an en lquidos) tiene lugar un nmero enorme de colisiones o interacciones moleculares en dis-

ax

t

u

xu

u

xx xt

, convectiva lm= =00

INTRODUCCIN 15

9 La definicin de propiedad bsica independiente puede encontrarse en cualquier libro avanzado de termodinmica (N. del T.).

tancias tan pequeas como 1 m, de modo que un fluido sujeto a cambios repentinos se ajusta casi inme-diatamente al nuevo equilibrio. Suponemos, por tanto, que todas las propiedades termodinmicas indicadasanteriormente existen como funciones del punto en un flujo y siguen las leyes y relaciones de estado ordi-narias del equilibrio termodinmico. Hay, por supuesto, efectos importantes de no equilibrio en reaccionesqumicas y nucleares en fluidos, pero no sern estudiados en este libro.

Presin

La presin es el esfuerzo (de compresin) en un punto en un fluido en reposo (Figura 1.1). Despus de lavelocidad, la presin p es la variable ms significativa en la dinmica de un fluido. Las diferencias o gra-dientes de presin son generalmente las responsables del flujo, especialmente cuando es en conductos. Enflujos a baja velocidad, la magnitud real de la presin suele no ser importante, a menos que baje tanto comopara provocar la formacin de burbujas de vapor en los lquidos. Por conveniencia, a este tipo de problemasse le suele asignar un nivel de presin de 1 atm = 2116 lbf/ft2 = 101.300 Pa. Por el contrario, los flujos(compresibles) de gases a alta velocidad (Captulo 9) s que dependen del valor absoluto de la presin.

Temperatura

La temperatura T est relacionada con el nivel de energa interna del fluido. Puede variar considerablementedurante el flujo compresible de un gas (Captulo 9). A pesar del extenso uso que hacen los ingenieros de lasescalas Celsius y Fahrenheit, muchas de las aplicaciones de este libro requieren la utilizacin de tempera-turas absolutas (Kelvin o Rankine):

R = F + 459,69K = C + 273,16

Si las diferencias de temperatura son fuertes, la transferencia de calor puede ser importante [10], si bienaqu nuestro inters se centra en la dinmica.

Densidad

La densidad de un fluido, denominada (rho griega minscula), es su masa por unidad de volumen. La den-sidad vara mucho en los gases, aumentando casi de forma proporcional a la presin. La densidad de los l-quidos en casi constante; la densidad del agua (alrededor de 1000 kg/m3) tan slo se incrementa en un 1 por100 cuando la presin se multiplica por un factor de 220. Por lo tanto, la mayora de los lquidos se puedenconsiderar casi incompresibles.

En general, los lquidos son tres rdenes de magnitud ms densos que los gases a presin atmosfrica.El lquido ms pesado es el mercurio, y el gas ms ligero, el hidrgeno. Compare sus densidades a 20 C y1 atm:

Mercurio: = 13.580 kg/m3 Hidrgeno: = 0,0838 kg/m3

Ambas difieren en un factor de 162.000! As pues, los parmetros fsicos pueden variar considerablementeentre los distintos lquidos y gases. Estas diferencias suelen resolverse mediante el uso del anlisis dimen-sional (Captulo 5). En las Tablas A.3 y A.4 (del Apndice A) se dan las densidades de otros fluidos.

Peso especfico

El peso especfico de un fluido es su peso por unidad de volumen. Al igual que una masa m tiene un peso W = mg, la densidad y el peso especfico estn relacionados por la gravedad:

Peso especfico g (1.6)


Las unidades del peso especfico son peso por unidad de volumen, en lbf/ft3 o N/m3. El valor estndar de laaceleracin de la gravedad terrestre es g = 32,174 ft/s2 = 9,807 m/s2. As, por ejemplo, el peso especfico delaire y el agua a 20 C y 1 atm son aproximadamente

aireg = (1,205 kg/m3)(9,807 m/s2) = 11,8 N/m3 = 0,0752 lbf/ft3

aguag = (998 kg/m3)(9,807 m/s2) = 9790 N/m3 = 62,4 lbf/ft3

El peso especfico es muy til en las aplicaciones de la presin hidrosttica, que veremos en el Captulo 2.En las Tablas A.3 y A.4 se dan los pesos especficos de otros fluidos.10

Densidad relativa

La densidad relativa, denominada S, es la relacin entre la densidad del fluido y la de un fluido estndar dereferencia, tpicamente el agua a 4 C (para los lquidos) y el aire (para los gases):

(1.7)

Por ejemplo, la densidad relativa del mercurio (Hg) es SHg = 13.580/1000 13,6. Para los ingenieros re-sulta ms sencillo recordar estos valores que los valores numricos exactos de la densidad de los distintosfluidos.

Energas potencial y cintica

En termosttica, la nica energa asociada a una sustancia es la almacenada en el sistema por la actividadmolecular y las fuerzas asociadas a los enlaces qumicos. A sta se le denomina energa interna . En losflujos, a esta energa se le deben aadir dos trminos ms, procedentes de la mecnica newtoniana: la ener-ga potencial y la energa cintica.

La energa potencial es el trabajo necesario para mover al sistema de masa m desde el origen hasta unaposicin r = ix + jy + kz venciendo al campo gravitatorio g. Su valor es mg r, o g r por unidad demasa. La energa cintica es el trabajo que se requiere para cambiar la velocidad desde cero hasta V. Su va-lor es 12mV

2 o 12V2 por unidad de masa. Por todo ello, la energa interna por unidad de masa e se escribe con-

vencionalmente en Mecnica de Fluidos como suma de tres trminos:

e = + 12V2 + (g r) (1.8)

En este libro definiremos siempre z positiva hacia arriba; de modo que g = gk y g r = gz. Entonces laEcuacin (1.8) se escribe

e = + 12V2 + gz (1.9)

La energa interna molecular es funcin de T y de p para una sustancia pura con una sola fase, mientrasque las energas potencial y cintica son propiedades cinemticas.

Ecuaciones de estado para gases

Las propiedades termodinmicas se pueden relacionar entre s, tanto terica como experimentalmente, pormedio de relaciones o ecuaciones de estado que varan de una sustancia a otra. Como se mencion ante-

S kg/m

S kg/m

gasgas

aire

gas3

lquidolquido

agua

lquido3

= =

= =

1205

1000

INTRODUCCIN 17

10 En la literatura anglosajona el peso especfico suele denotarse con la letra (gamma griega minscula) y la relacin de caloresespecficos con la letra k. Sin embargo, siguiendo una tradicin muy extendida en Mecnica de Fluidos, utilizaremos aqu el smbolo para la relacin de calores especficos y el producto g para denotar el peso especfico (N. del T.).

riormente, nos referiremos en este libro slo a sustancias puras con una fase, por ejemplo, agua en su faselquida. El segundo fluido ms comn, el aire, es una mezcla de gases, pero como las proporciones de lamezcla permanecen casi constantes entre los 160 y 2200 K, en este rango se puede considerar como una sus-tancia pura.

Todos los gases a altas temperaturas y bajas presiones (relativas a su punto crtico) siguen muy bien laley de los gases perfectos

(1.10)

donde los calores especficos cp

y cv

se definen en las Ecuaciones (1.14) y (1.15).Como la Ecuacin (1.10) es dimensionalmente consistente, R tiene las mismas dimensiones que un ca-

lor especfico, {L2T21}, o velocidad al cuadrado dividida por grado (Kelvin o Rankine). Cada gas tienesu propia constante R, igual a una constante universal dividida por el peso molecular

(1.11)

donde = 49.700 ft lbf/(slugmol R) = 8314 kJ/(kmol K). La mayora de las aplicaciones de este libroson para aire, M = 28,97/mol:

(1.12)

La presin atmosfrica estndar es 2116 lbf/ft2 = 2116 slug/(ft s2) y la temperatura estndar es 288K = 60 F = 520 R. Por tanto, la densidad estndar del aire es

(1.13)

Este valor es el adecuado para los problemas. Para otros gases consltese la Tabla A.4.En termodinmica se demuestra que la Ecuacin (1.10) requiere que la energa interna molecular de

un gas perfecto vare slo con la temperatura: = (T). Por tanto, el calor especfico cv tambin variar slocon la temperatura:

o (1.14)

Del mismo modo la entalpa h y el calor especfico cp

de un gas perfecto tambin dependen exclusivamentede la temperatura:

(1.15)

h up

u RT h T

ch

T

dh

dTc T

dh c T dT

pp

p

p

= + = + =

= = =

=

( )

( )

( )

du c T dTv= ( )

cu

T

du

dTc Tv v= = =

( )

aire

2

2 22 3116 slug/(ft s )

ft /(s R R slug/ft kg/m=

= =2

1716 5200 00237 1 22

[ )]( ), ,

Raire ft lbf/(slugmol R)

/mol

ft lbf

slug R

ft

s R

m

s K= =

=

=49 700

28 971716 1716 287

2

2

2

2

.

,

RMgas gas

=

p = RT R = cp cv = constante del gas


La relacin de calores especficos de un gas perfecto es un parmetro adimensional muy importante en elanlisis de los flujos compresibles (Captulo 9):

(1.16)

Como primera aproximacin, para los flujos de aire se considera normalmente que cp, cv y son cons-tantes:

(1.17)

En realidad, cp y cv aumentan gradualmente con la temperatura en todos los gases, y decrece gradualmente.En la Figura 1.3 se muestran los valores experimentales de la relacin de calores especficos de ocho gasestpicos.

En muchos de los problemas ingenieriles interviene el vapor de agua; pero sus condiciones de trabajosuelen estar cerca del punto crtico y la aproximacin de gas perfecto no es fiable. Al no existir frmulassimples suficientemente precisas, las propiedades del vapor de agua se pueden encontrar tanto tabuladas

aire

2 2 2 2

2 2 2 2

ft /(s R m /(s K

ft /(s R m /(s K

= =

= =

1 4

14293 718

16010 1005

,

) )

) )

cR

cR

v

p

= =c

cTp

v

( ) 1

INTRODUCCIN 19

Ar

Presin atmosfrica

H2

CO

Aire y N2

O2

Vapor

CO2

1,7

1,6

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

1,010000 3000 4000 5000

=cpcv

2000

Temperatura, R

Figura 1.3. Relacin de calores especficos de ocho gases comunes en funcin de la temperatura. (Los datos pro-ceden de la Referencia 12.)

como en CD-ROM [13], e incluso en Internet como un pequeo programa de MathPad Corp. [39]. A me-nudo, el error cometido al usar la ley de los gases perfectos no es demasiado importante, como muestra elejemplo siguiente.

EJEMPLO 1.6

Estime y cp del vapor de agua a 100 lbf/in2 y 400 F, en unidades inglesas, (a) mediante la aproximacin de gasperfecto y (b) usando las tablas ASME [13] o el programa EES.

Solucin

Procedimiento (a), ley de los gases perfectos. Aunque el vapor de agua no es un gas ideal, podemos estimar estaspropiedades con cierta exactitud usando las Ecuaciones (1.10) y (1.17). En primer lugar convertimos la presin de100 lbf/in2 a 14.400 lbf/ft2, y usamos temperaturas absolutas, (400 F + 460) = 860 R. A continuacin necesita-mos la constante del vapor, en unidades inglesas. De la Tabla A.4, el peso molecular del H2O es 18,02, de donde

El valor de la densidad se puede estimar entonces de la ley de los gases perfectos, Ecuacin (1.10):

Resp. (a)

A 860 R, de la Figura 1.3, vapor = cp/cv 1,30. Por tanto, de la Ecuacin (1.17),

Resp. (a)

Procedimiento (b), tablas o software. Se pueden consultar las tablas de vapor o programar unas lneas en EES. Encualquier caso, no conviene aplicar las unidades inglesas (psi, Btu, lbm) a las frmulas de la Mecnica de Fluidos.An as, cuando use EES asegrese de que el men Variable Info especifica unidades inglesas11: psia y F. Loscomandos EES para evaluar la densidad y el calor especfico del vapor son, para estas condiciones,

Rho = DENSITY(steam, P = 100,T = 400)Cp = SPECHEAT(steam, P = 100,T = 400)

Ntese que el software est configurado para usar psia y F, sin conversin. EES devuelve los siguientes valores,obtenidos del ajuste de las curvas experimentales,

Rho 0,2027 lbm/ft3 ; Cp 0,5289 Btu/(lbm-F)

Como se ha comentado, las unidades Btu y lbm son muy engorrosas cuando se aplican a problemas fluidodin-micos. Por lo tanto, conviene convertir a ft lbf y slugs, para lo que se puede usar, por ejemplo, la funcin Con-vert de EES, especificando como argumentos las unidades viejas y nuevas entre comillas simples:

Rho2 = Rho*CONVERT(lbm/ft^3,slug/ft^3)Cp2 = Cp*CONVERT(Btu/lbm-F,ft^2/s^2-R)

Ntese que (1) los antiguos valores de Rho y Cp se multiplican por la funcin CONVERT y (2) se supone que lasunidades a la derecha del signo de divisin / en el argumento de CONVERT estn en el denominador. EES pro-porciona estos resultados:

Rho2 = 0,00630 slug/ft3 Cp2 = 13.200 ft2/(s2-R) Resp. (b)

cR

p =

11 3 2758

1 3 112 000

( , )(

( , ).

ft lbf/(slug R)) ft lbf

slug R

=

p

RT

10 00607

4.400 lbf/ft

[2758 ft lbf/(slug R)](860 R)

slug

ft

2

3,

RMvapor

inglesas

H O2

ft lbf/(slugmol R)

18,02/mol

ft lbf

slug R= = =

49 700

2758.


11 En el sistema de unidades britnico la unidad de presin es la libra por pie cuadrado (psi, pounds per square inch), pero existendos variantes de uso comn: la presin absoluta en libras por pie cuadrado (psia, pounds per square inch absolute) y la presin ma-nomtrica en libras por pie cuadrado (psig, pounds per square inch gauge) (N. del T.).

Comentarios. Las tablas de vapor proporcionan valores muy parecidos a stos. La estimacin de gas perfecto para se queda corta en un 4 por 100 y en un 9 por 100 para c

p. La razn principal de estas discrepancias es que las

condiciones dadas estn muy cerca del punto crtico y de la lnea de saturacin del vapor. A temperaturas mayo-res y presiones menores, por ejemplo, 800 F y 50 lbf/in2, la ley de gases perfectos da y c

pcon un error menor

del 1 por 100.Una vez ms, debemos advertir que el uso de las unidades inglesas (psia, lbm, Btu) es incmodo, pues re-

quiere continuamente factores de conversin en la mayora de las ecuaciones de la Mecnica de Fluidos. El pro-grama EES maneja las unidades SI de forma eficiente, sin necesidad de factores de conversin.

Ecuaciones de estado para lquidos

El autor no conoce una ley de lquidos perfectos comparable a la de los gases. Los lquidos son casi in-compresibles y tienen un nico calor especfico prcticamente constante. Por ello, la ecuacin de estado idealizada para un lquido es

cte cp cv cte dh cp dT (1.18)

La mayor parte de los problemas de este libro pueden ser abordados con estas simples relaciones. Para elagua se toma normalmente una densidad de 1000 kg/m3 = 1,94 slugs/ft3 y un calor especfico cp = 4210m2/(s2 K) = 25.200 ft2/(s2 R). Si se precisa mayor exactitud se pueden usar tablas como en el ejemplo an-terior.

La densidad de un lquido decrece ligeramente con la temperatura y aumenta moderadamente con la pre-sin. Despreciando el efecto de la temperatura, una relacin presin-densidad emprica para lquidos es

(1.19)

donde B y n son parmetros adimensionales que varan ligeramente con la temperatura y pa y a son los va-lores atmosfricos estndar. En el caso del agua, B 3000 y n 7.

El agua de mar es una mezcla variable de agua y sal y requiere por ello tres propiedades termodinmi-cas para definir su estado. Normalmente se toma la presin, la temperatura y la salinidad S, definidacomo relacin entre el peso de la sal disuelta y el peso total de la mezcla. La salinidad media del agua demar es de 0,035, escrita usualmente como 35 partes por 1000, o 35 0/00. La densidad media del agua de mares de 1030 kg/m3. Estrictamente hablando, el agua de mar tiene tres calores especficos, todos ellos apro-ximadamente iguales y con el mismo valor del agua pura, 4210 m2/(s2 K) = 25.200 ft2/(s2 R).

EJEMPLO 1.7

La presin en la parte ms profunda del ocano es de 1100 atm. Calcule la densidad del agua de mar a dicha presin.

Solucin

La Ecuacin (1.19) es vlida tambin para agua de mar. Si la relacin de presiones es p/pa = 1100, tendremos

o

4100

30011 046

1 7

= = ,/

a

1100 3001 3000

7

( )a

p

pB B

a a

n

+( )1

INTRODUCCIN 21

Suponiendo una densidad en la superficie a

= 2,00 slugs/ft3, tenemos

1,046(2,00) = 2,09 slugs/ft3 Resp.

Incluso a estas inmensas presiones, la densidad aumenta menos del 5 por 100, lo cual justifica que consideremos alagua incompresible.

1.7. VISCOSIDAD Y OTRAS PROPIEDADES SECUNDARIAS

Las magnitudes tales como presin, temperatura y densidad estudiadas en la seccin anterior son variablestermodinmicas primarias caractersticas de todo sistema. Existen adems otras magnitudes secundariasque caracterizan el comportamiento especfico de los fluidos. La ms importante de stas es la viscosidad,que relaciona el esfuerzo o tensin local en un fluido en movimiento con la velocidad de deformacin delas partculas fluidas.

Viscosidad

La viscosidad es una medida cuantitativa de la resistencia de un fluido a fluir. Ms concretamente, la vis-cosidad determina la velocidad de deformacin del fluido cuando se le aplica un esfuerzo cortante dado. Po-demos movernos fcilmente a travs del aire, que tiene una viscosidad muy baja. El movimiento es ms di-fcil en el agua, con una viscosidad 50 veces mayor; pero an es ms difcil en aceite SAE 30, que es 300veces ms viscoso que el agua. Trate de deslizar su mano por glicerina, cinco veces ms viscosa que el acei-te SAE 30, o por melaza, an cinco veces ms viscosa que la glicerina. Como puede verse, los fluidos pue-den tener un amplio rango de viscosidades.

Consideremos una partcula fluida sometida a un esfuerzo cortante de valor en un plano, como indicala Figura 1.4a. El ngulo de la deformacin aumentar continuamente con el tiempo mientras siga ac-tuando el esfuerzo , movindose la superficie superior con una velocidad u mayor que la de la inferior.Los fluidos comunes como el agua, el aceite y el aire presentan una relacin lineal entre el esfuerzo aplicadoy la velocidad de deformacin resultante

(1.20)t


(b)(a)

u t t

u = u

u = 0x

u(y)

y

= dudy

du

dy

No deslizamiento en la pared

Perfil develocidad

y

0

Figura 1.4. El esfuerzo cortante produce una deformacin continua en el fluido: (a) elemento deformndose a unavelocidad /t; (b) esfuerzo cortante en un fluido newtoniano en la zona cercana a la pared.

De la geometra de la Figura 1.4a vemos que

(1.21)

En el caso lmite de variaciones infinitesimales, queda una relacin entre la velocidad de deformacin y elgradiente de la velocidad:

(1.22)

La Ecuacin (1.20) indica que el esfuerzo aplicado es tambin proporcional al gradiente de la velocidad paralos fluidos comunes. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad :

(1.23)

La Ecuacin (1.23) es dimensionalmente consistente; por tanto, tiene dimensiones de esfuerzo-tiempo:{FT/L2} o {M/(LT)}. La unidad en el sistema britnico es slug por pie y segundo, y en el SI es kilogramospor metro y segundo. Los fluidos que obedecen a la Ecuacin (1.23) se denominan fluidos newtonianos, porSir Isaac Newton, que propuso por primera vez esta ley en 1687.

En Mecnica de Fluidos no estudiamos la evolucin de (t), sino que concentramos la atencin en ladistribucin de velocidad u(y), como se indica en la Figura 1.4b. Utilizaremos la Ecuacin (1.23), en elCaptulo 4, para obtener una ecuacin diferencial que nos permita hallar la distribucin de velocidad u(y)y, ms generalmente, V(x, y, z, t) en un fluido viscoso. La Figura 1.4b ilustra una capa de cortadura,denominada capa lmite, cerca de una pared. El esfuerzo cortante es proporcional a la pendiente de la ve-locidad y es mximo en la pared. Adems, en la pared, la velocidad u es cero con respecto a la pared: estehecho recibe el nombre de condicin de no deslizamiento y es una caracterstica de todos los fluidos vis-cosos.

La viscosidad de un fluido newtoniano es una autntica propiedad termodinmica y vara con la tem-peratura y la presin. En un estado dado (p, T) hay un amplio rango de valores para los distintos fluidos mscomunes. La Tabla 1.4 presenta una lista de la viscosidad de ocho fluidos a presin y temperatura estndar.Hay una variacin de seis rdenes de magnitud del hidrgeno a la glicerina. Por ello habr grandes dife-rencias en el comportamiento de fluidos sometidos a los mismos esfuerzos.

En general, la viscosidad de un fluido aumenta slo dbilmente con la presin. Por ejemplo, si la presinp aumenta de 1 a 50 atm, la viscosidad del aire slo aumenta en un 10 por 100. Sin embargo, la tempe-ratura tiene un efecto mucho ms fuerte. Adems, la viscosidad de los gases aumenta con la temperaturaT, mientras que la de los lquidos disminuye. La Figura A.1 (en el Apndice A) muestra la variacin de la

= =ddt

du

dy

d

dt

du

dy=

tg = u ty

INTRODUCCIN 23

Tabla 1.4. Viscosidad y viscosidad cinemtica de ocho fluidos a 1 atm y 20 C.

, Relacin , RelacinFluido kg/(m s) /(H2) kg/m3 m2/s /(Hg)

Hidrgeno 8,8 106 1,0 0,084 1,05 104 920Aire 1,8 105 2,1 1,20 1,51 105 130Gasolina 2,9 104 33 680 4,22 107 3,7Agua 1,0 103 114 998 1,01 106 8,7Alcohol etlico 1,2 103 135 789 1,52 106 13Mercurio 1,5 103 170 13.580 1,16 107 1,0Aceite SAE 30 0,29 33.000 891 3,25 104 2.850Glicerina 1,5 170.000 1.264 1,18 103 10.300

1 kg/(m s) = 0,0209 slug/(ft s); 1 m2/s = 10,76 ft2/s.

viscosidad con la temperatura para varios fluidos comunes. En la mayora de las aplicaciones se despreciala dependencia de la viscosidad con la presin.

En la Figura 1.5, tomada de la Referencia 14, se ha representado la dependencia (p, T) para un fluidotpico, normalizando los datos con sus valores en el punto crtico (

c, p

c, T

c). Este comportamiento univer-

sal, llamado el principio de los estados correspondientes, es caracterstico de todos los fluidos, si bien losvalores numricos reales presentan una incertidumbre del 20 por 100 para cualquier fluido. Por ejemplo,los valores de (T) para el aire a 1 atm, tomados de la Tabla A.2, son alrededor de un 8 por 100 ms pe-queos que los que proporciona el lmite de baja densidad de la Figura 1.5.

En la Figura 1.5 se observa que cerca del punto crtico se producen cambios muy fuertes con la tem-peratura. En general, las medidas en el punto crtico son extremadamente difciles e imprecisas.

El nmero de Reynolds

El parmetro primario que determina el comportamiento de los fluidos newtonianos es el nmero adimen-sional de Reynolds:

(1.24)Re = =VL VL

v


0,4

=c

r

Tr Tc= T

0,80,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

10,9

2

3

4

5

6

789

10

0,6 0,8 1 2 3 4 5 76 8 9 10

Lquido

Reginbifsica

Puntocrtico

0,5

0

pr = p/pc = 0,2

Lmite de baja densidad

1

2

3

5

10

25

Gas denso

Figura 1.5. Viscosidad del fluido adimensionalizada con su valor en el punto crtico. Este diagrama generaliza-do es caracterstico de todos los fluidos, aunque su precisin es slo de un 20 por 100. (Los datos proceden dela Referencia 14.)

donde V y L representan la velocidad y longitud caractersticas del flujo. Como y entran como cocien-te en este parmetro, dicho cociente tiene significado propio y se denomina viscosidad cinemtica:

(1.25)

Las unidades de masa se cancelan, y as tiene dimensiones de {L2/T}, de donde le viene el nombre de vis-cosidad cinemtica.

En general, lo primero que se debe hacer al estudiar un flujo es estimar el valor del nmero de Reynolds.Valores muy pequeos de Re indican movimiento lento y viscoso, donde los efectos de la inercia son des-preciables. Valores moderados de Re corresponden al flujo laminar, caracterizado por variaciones suaves.Valores altos de Re suelen estar asociados al flujo turbulento, caracterizado por fuertes fluctuaciones aleatorias de alta frecuencia superpuestas a un flujo medio que tambin experimenta variaciones suaves conel tiempo. Los valores numricos del nmero de Reynolds correspondientes a cada caso dependen de la ge-ometra del flujo y se discutirn en los Captulos 5 a 7.

La Tabla 1.4 tambin da los valores de para los mismos ocho fluidos. Los rdenes de magnitud va-ran considerablemente y el mercurio, el ms pesado, tiene la menor viscosidad cinemtica. Todos los ga-ses tienen una elevada en comparacin con lquidos tales como la gasolina, el agua y el alcohol. Los acei-tes y la glicerina siguen teniendo los mayores valores de , pero el rango total de variacin es menor. Paravalores dados de V y L en un flujo, los diversos fluidos presentan una variacin de cuatro rdenes de mag-nitud en el nmero de Reynolds.

Flujo entre placas paralelas

Un problema clsico es el flujo inducido entre una placa fija inferior y otra superior que se mueve con ve-locidad V, como se muestra en la Figura 1.6. La holgura entre las placas es h y el fluido es newtoniano ycumple la condicin de no deslizamiento en ambas placas. Si las placas son largas, este flujo de cortaduraestacionario conduce a un perfil de velocidades u(y), como se indica, con v = w = 0. La aceleracin del flui-do es cero en todas partes.

Como la aceleracin es nula, suponiendo que la presin no vara en la direccin del flujo, se puede de-mostrar que el equilibrio de fuerzas de un pequeo elemento fluido conduce al resultado de que el esfuer-zo cortante es constante en todo el fluido. Entonces la Ecuacin (1.23) se reduce a

que se puede integrar para dar

u = a + by

La distribucin de velocidades es lineal, como muestra la Figura 1.6, y las constantes a y b se calculan conla condicin de no deslizamiento en las paredes superior e inferior:

Por ello a = 0 y b = V/h. El perfil de velocidad entre las placas es entonces

(1.26)

como se indica en la Figura 1.6. El flujo turbulento (Captulo 6) tiene un perfil distinto.

u Vy

h=

ua b y

V a b h y h=

= + == + =

0 0 0( )

( )

en

en

du

dy= =

cte

v =

INTRODUCCIN 25

Aunque la viscosidad tiene un efecto determinante en el flujo, la magnitud de los esfuerzos viscosos esmuy pequea incluso en los aceites, como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.8

Supongamos que el fluido sometido a cortadura en la Figura 1.6 es aceite SAE 30 a 20 C. Calcule el esfuerzo decortadura en el aceite si V = 3 m/s y h = 2 cm.

Solucin

Diagrama del sistema. Vase la Figura 1.6. Consideraciones. Perfil de velocidades lineal, fluido newtoniano en rgimen laminar, condicin de no desliza-

miento en ambas placas. Procedimiento. El anlisis de la Figura 1.6 conduce a la Ecuacin (1.26) si el flujo es laminar. Valores de las propiedades. De la Tabla 1.4, la viscosidad del aceite SAE 30 es = 0,29 kg/(m s). Resolucin. En la Ecuacin (1.26), la nica incgnita es el esfuerzo de cortadura del fluido:

Resp.

Comentarios. Observe las relaciones entre unidades, 1 kg m/s2 1 N y 1 N/m2 1 Pa. A pesar de que el aceite