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Iván Machín “Mecánica Celeste paso a Paso”

2rmMGF ⋅

=

rm

M

Mecánica Newtoniana 1684

MECANICA CELESTEPASO A PASO

por

Iván Machín

(Un Enfoque Pedagógico)

Copyright 2005-2007

v3.0


Licenciado en Química, Universidad Central de Venezuela (1983). M.Sc. en Química,Universidad Central de Venezuela (1989). Ph. D. en Química, Universidad Central de Venezuela (1996).

Publicaciones: 14 papers, 1 Pantente, 30 reportes técnicos, 9 presentaciones en eventos internacionales.

Experiencia Profesional:Universidad Central de Venezuela:1 año (1985-1986) Laboratorio Organometálico en síntesis Organometálica. SIDOR:2 años (1986–1988) como coordinador del laboratorio de instrumentación analítica.INTEVEP:1 año (1988–1989) Departamento Productos del Petróleo en control de calidad del combustible diesel y aditivos. 6 años (1990–1996) Departamento Petroquímico en simulación de procesos y diseño de reactores.6 años (1997 – 1999) Departamento de procesos en Catálisis Computacional, cinética y termodinámica, modelando reacciones de interés industrial.(1999 – hoy) Departamento de procesamiento de crudos pesados y extrapesados, cinética y termodinámica, modelando reacciones de conversión y reactividad de crudos pesados.

Areas de Trabajo:Conversión de metano. Reacciones de hidrotratamiento. Conversión de crudos pesados.Diseño de reactores.

Investigaciones realizadas:a)Modelación cinética y termodinámica de procesos químicos. b)Correlación entre actividad HDS con parámetros de mecánica cuántica. c)Correlación entre Energías de Enlace con parámetros de mecánica cuántica (Diatomic Bond Energy). d)Programación con FORTRA77 (UNIX,WINDOWS-95) en Mecánica Cuántica, Termodinámica, Cinética, diseño de reactores. e)Experiencia con los programas de ZINDO y Molecular Simulations MSI. f)Experiencia en Electronic Paramagnetic Resonance (EPR) : Cálculos de los tensores giromagnéticos (g-tensor) y de Interacción Hiperfinas.g)Aplicaciones del Programa de Mecánica Cuántica “CATIVIC” (desarrollado en el IVIC en el Lab. de Química Computacional por Fernando Ruette, Aníbal Sierralta, Morela Sánchez) a los estudios teóricos de la interacción de metales sobre moléculas modelo de asfaltenos con el objetivo de establecer esquemas de los mecanismos de reacción del proceso de Aquaconversión® desarrollado en INTEVEP para el procesamiento de crudos pesados y extrapesados.

IVAN CARLOS MACHIN MORERA

CURRICULUM(

2

ver Curriculum Detallado)


Mecánica Celeste Paso a Paso

Por

Iván Machín (Instructor de los cursos de Astronomía de Posición

del Planetario Humboldt)

v3.0

Un Enfoque pedagógicode la Mecánica Celeste

Copyright 2005-2007

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Mecánica Celeste Paso a Paso

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,Por cualquier medio, sin autorización del editor.

DERECHOS RESERVADOS

Copyright © 2005-2007.

Impreso en Venezuela

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A la memoria de mi Padre:Su espírutu,

ahora libre de toda atadura material, navega los insondables campos estelares.

Buen viaje viejo.

Tampoco me olvido de ustedes:Eduardo Alberto Ott

Tobías Arias

Y mucho menos de ti hijo mío:Iván Enrique Machín

DEDICATORIA

Hay!! me olvidaba de ti hermanito:Orlando Machín

5


AGRADECIMIENTOS

A Carlos Quintana, Coordinador de los Cursos del Planetario Humboldt por darme la oportunidad de llevar a cabo mi proyecto de dar clases de Mecánica Celeste en los cursos normales que se dictan en el Planetario.

A mis alumnos del Curso de Mecánica Celeste 2005 y 2006, y muy especialmente a mis alumnos Antonio Padrón, Felix y Carlos Avendaño, Fernando Rojas, Mildred Benitezy Gilberto Carballo.

6


PREFACIOEste Curso de Mecánica Celeste es el resultado de mi curiosidad por entender de dónde venían las ecuaciones para el cálculo de la posición de objetos celestes, que con tanto amor y esmero, me fueron enseñadas por mi amigo Tobías Arias (un aficionado a la astronomía de posición). Muchas veces Tobías me decía de su deseo por poder entender los libros clásicos de Mecánica Celeste, pero debido a que contenían un estilo eminentemente matemático, y donde se hacía saltos gigantes entre una ecuación y otra, en el desarrollo de los temas, le hacían imposible a Tobías y muchas personas curiosas como él, poder entender los desarrollos.

Este curso de Mecánica Celeste está dirigido a aquellas personas que tienen esta misma curiosidad por entender los principios que controlan los movimientos de los astros, y he procurado usar una matemática cuyo nivel se encuentra en los cursos básicos de cálculo diferencial en integral de los primeros dos semestres de las carreras de Ciencias e Ingeniería. Un aspecto novedoso del presente libro es la deducción detallada y paso a paso de todas las ecuaciones fundamentales de la mecánica celeste, y esta es la razón por la cual puse el título de “Mecánica Celeste Paso a Paso” a este libro. También estas deducciones son acompañadas por cometarios y notas aclaratorias al comienzo de cada capítulo.

Finalmente, es mi ferviente deseo que aquellos que lean este libro puedan lograr entender los desarrollos que personas como Newton, Lagrange y Hamilton han dado a la humanidad, y que han permitido no sólo explicar los fenómenos naturales, sino también, al control de las fuerzas de la naturaleza en favor del desarrollo de la humanidad.

Buena Suerte!!!!!!

Iván MachínJulio/2006.

7


TABLA DE MATERIAS

Cap01.Introducción................................................................................

Cap02.Elementos de órbita....................................................................Problemas.................................................................................................

Cap03.Preámbulo Newtoniano..............................................................3.1.La Ley de gravitación de Newton.....................................................3.2.Planteamiento Newtoniano del movimiento de los planetas.............3.3.Planteamiento del problema del sistema Sol-Planeta........................3.4.Solución numérica del problema Sol-Planeta....................................Problemas.................................................................................................

Cap04.Repaso matemático.....................................................................4.0.Trigonometría plana............................................................................4.1.Sistemas de coordenadas cartesiano y polar.......................................4.2.Representación cartesiana, y canónica de un vector........................... 4.3.Definición de los vectores radial y tangencial....................................4.4.Productos escalar y vectorial: y ley del área del paralelogramo.........4.5.Derivada de una función.....................................................................4.6.Derivadas de vectores.........................................................................4.7.Derivada del vector director radial.....................................................4.8.Derivada del vector director tangencial.............................................4.9.Derivada del vector radial..................................................................4.10.Derivada segunda del vector radial..................................................4.11.Definición del vector aereal.............................................................4.12.Derivada del vector aereal: La ecuación aereal...............................4.13.Ecuación polar de las cónicas: Elipse, Parábola e Hipérbola...........Problemas.................................................................................................

Cap05.Deducción de la segunda ley de Kepler....................................Problemas.................................................................................................

Página

11

19

33

525355576065728486878891939495

31

3438454750

98

8


Cap06. La ecuación del movimiento orbital........................................6.1.Deducción de la ecuación orbital.......................................................6.2.Dada F(r) y r demostrar la ecuación del movimiento orbital............6.3.Obtener F(r) introduciendo la función r en la ecuación orbital.........6.4.Dada la F(r) resolver la ecuación orbital...........................................6.5.Comentarios sobre puntos versus esferas..........................................Problemas................................................................................................

Cap07.Deducción de la ecuación de la velocidad orbital......................7.1.Expresión general de la velocidad orbital............................................7.2.Velocidad orbital en el perihelio de una órbita................................... 7.3.Conservación de la energía mecánica y velocidad orbital...................Problemas..................................................................................................

Cap08.Integración de la ecuación aureolar...........................................8.1.Resolución de la ecuación aureolar para la elipse...............................8.2.Resolución de la ecuación aureolar para la hipérbola..........................8.3.Resolución de la ecuación aureolar para la parábola...........................Problemas..................................................................................................

Cap09.Deducción de la tercera ley de Kepler........................................Problemas...................................................................................................

Cap10.Deducción de la ecuación de Kepler...........................................10.1.Demostración de dos teoremas...........................................................10.2.El problema del ángulo barrido en órbita circunferencial..................10.3.Expresión que conecta a r y E............................................................ 10.4.Expresión que conecta a θ y E............................................................10.5.Expresión que conectan a E y t: La ecuación de Kepler..................... Problemas....................................................................................................

Página

TABLA DE MATERIAS9


Cap11.Transformación de coordenadas.................................................11.1.Coordenadas rectangulares eclípticas heliocéntricas..........................11.2.Coordenadas rectangulares ecuatoriales heliocéntricas......................11.3.Coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas........................11.4.Coordenadas ascensión recta y declinación........................................Problemas....................................................................................................

Cap12.Posición, velocidad y elementos de órbita...................................12.1.Proyecciones del vector aereal uA ......................................................12.2.A partir de r y v calcular i, Ω y el parámetro h...................................12.3.A partir de r, v y h calcular a y e........................................................ 12.4.A partir de r, v, i, y Ω calcular u, θ, ω, y EPH...................................Problemas...................................................................................................

Cap13.Ejemplo de Cálculo para el asteroide 1988 TA..........................Problemas....................................................................................................

Anexo-A: Integración de funciones racionales.......................................

Bibliografía.................................................................................................

TABLA DE MATERIAS10


11


12


El curso de Mecánica Celeste es un enfoque Newtoniano de la Mecánica Celeste y se divide en trece capítulos. El capítulo 02 se revisan las tres leyes de Kepler. La primera ley es que los planetas en el sistema solar describen trayectorias elípticas y donde el Sol se ubica en uno de sus focos. La segunda ley es que los movimiento de los planetas son tales que barren áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley se puede expresar como:

Donde k’ es una constante de proporcionalidad, Δt es el tiempo del recorrido sobre su órbita respecto a un punto de referencia. La tercera ley se expresa como:

Donde P1, a1 y P2, a2 son los períodos y semiejes mayores de dos planetas cual quiera del sistema solar. En este capítulo también se definen los elementos de órbita de un objeto celeste. El capítulo 03 es una revisión de los fundamentos de la física newtoniana, la cual es aplicada al movimiento de un planeta alrededor del Sol. El capítulo 04 es una revisión de matemáticas básicas pero orientada a la definición y deducción de los vectores fundamentales de la mecánica celeste. A partir de la definición de los vectores directores (o vectores unitarios) radial (ur) y tangencial (uθ) se deducirán sus respectivas derivadas:

tkA Δ=Δ '

3

2

12

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

aa

PP

( I )

( II )

Capítulo 1. Introducción.

13Ir a Indice


Se definirá el vector posición (r) y se expresará en términos de los vectores radial y tangencial:

La derivada primera y segunda del vector r genera los vectores de velocidad orbital (v) y de aceleración (a):

Este desarrollo en términos de los vectores tangencial y radial de los vectores r, v y a se justifica por el hecho de que permite expresar de una manera mucho más sencilla, los mismos. En realidad se están expresando en coordenadas polares estos vectores fundamentales. Esto trae como consecuencia que al plantear la segunda ley de Newton para resolver el problema del movimiento del objeto sobre su órbita, se genera una ecuación diferencial mucho más sencilla de resolver (ver capítulo 06).

θuur

••

= θ ruu••

−= θθ

θuur

•••

+= θrrr

θuur

•••

+== θrrrv

θ2 2 uur ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

•••••••••

θθθ rrrrra

( III )

( IV )

( V )

1.Introducción14


También en el capítulo 04 se deduce la ecuación aereal que establece una relación entre el área barrida con el ángulo barrido y el tiempo:

El capítulo 05 empieza por expresar en notación diferencial la ec.(I) de la segunda ley de Kepler:

Comparando las ecuaciones (VI) y (VII) no es obvio que la velocidad aereal sea una constante. En este capítulo se hace una serie de relaciones que permiten demostrar que la derivada del producto vectorial rxv es cero, y por lo tanto, la segunda derivada del área barrida es igual a cero, y como consecuencia la velocidad aereal es constante:

lo que es equivalente a la segunda ley de Kepler. En el Capítulo 06 se plantea la segunda ley de Newton:

Donde m es la masa del objeto en estudio, la a es la aceleración que adquiere el objeto por efecto de F. Y donde F es la fuerza de gravedad entre el Sol y el objeto cuya forma es la ley de Newton:

[ ] AuA •

=×= θ2

21

21 r

dtd vr ( VI )

'kdtdA

=

F(r)a =m

( VII )

( VIII )

rF(r) ⋅⋅

−= 32

rmMk ( IX )

AuA hdtd

21

= ( VIIA )

1.Introducción 15


Donde k es la constante de Gauss (es una forma conveniente de expresar a la constante de gravitación de Newton en unidades acordes con el tipo de sistema). Usando las expresiones de a y F dadas en las ecuaciones (V) y (IX) y sustituyéndolas en la ec.(VIII) se obtiene la ecuación del movimiento orbital del objeto:

Esta es una ecuación diferencial siendo r la incógnita a obtener. En este capítulo se procede a resolver esta ecuación diferencial, cuya solución permite demostrar que r tiene la forma de la ecuación de una cónica y además se determina la forma de h. Si se sustituyen la ec.(V) en la ec.(VIII) se obtiene:

En este capítulo se demuestra que si r es la ecuación de una cónica, la forma de F(r) es la ley de Newton.En el capítulo 07 se deduce la velocidad orbital del objeto, a partir de la definición general de la ec.(IV):

Donde a es el semieje mayor de la órbita del objeto.

0223 =−+••

hrkrr ( X )

)()]([ 3

2

rFrhrm =−

••

( XI )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

arkv

rkv

arkv

12/2

12

2

2

2

:Hipérbola

:Parábola

:Elipse

( XII )

1.Introducción16


En el capítulo 08 se deduce la ecuación aureolar a partir de la ec.(VI) (deducida en el cap.04) y del resultado obtenido en el cap.05 (ver ec.(VIIA)) que la velocidad aereal es constante e igual a 1/2h (h es una constante arbitraria cuya forma fue obtenida en el capítulo 06 ):

Esta es una ecuación diferencial cuya solución permite obtener la posición angular del objeto como función del tiempo. La incógnita es el ángulo θ ya que r está únicamente en función de dicho ángulo:

Sustituyendo la ec.(XIV) en la ec.(XIII) se obtiene:

Donde:

La integración de (XV) genera unas funciones que conectan directamente ángulo barrido con tiempo de recorrido.

hr =•

θ2 ( XIII )

( )θcos1 eepr

+= ( XIV )

( ) ( )20

2cos1 epth

edI Δ⋅

=+

= ∫θ

θθ ( XV )

pkhe

eqp

2

)1(

=

+=

1.Introducción 17


Por ejemplo para la elipse se obtiene:

En el capítulo 09 se deduce la ley del período de la órbita (elíptica) de un objeto a partir de la ecuación aereal (ver ec.(VIIA) y para este caso donde el objeto recorre todo la órbita Δt = P y en consecuencia ΔA es igual al área de toda la elipse (=πab):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

)1(

)1(1

12

12

1'

2tan

1'2tan

12

22

2

2

2

2

22221

2

eakh

eeqp

eeE

EEN

EEM

t

epth

Ett

eM

Et

EeN

−=

+=

−+

=

+=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Δ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−−

θ

kaP

eabeakhhabP

abAPt

thAhdtdA

2/3

222

2

)1()1(

2

21

21

π

ππ

=

−=−=

=

=Δ⇒=Δ

Δ⋅=Δ⇒=

Si

( XVII )

( XVI )

1.Introducción18


También este capítulo se deduce la tercera ley de Kepler partiendo de la expresión del período orbital para cualesquiera par de planetas 1 y 2 se cumple:

Donde P1 y P2 son los períodos de los planetas 1 y 2 respectivamente, siendo la ec.(XVIII) la tercera ley de Kepler. El capítulo 10 trata sobre la deducción de las ecuaciones:

Estas permiten calcular la posición angular θ de un objeto para una dada fecha de interés F. Donde M y E son las anomalías media y excéntrica, e es la excentricidad, y n es el movimiento diario. La EPH es la época del paso por el perihelio.

3

2

12

2/32

2/31

2/32

2/31

21

21

2221

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

==

aa

PP

aa

PP

kaP

kaP ππ

( XVIII )

sinEeEM ⋅−=

( XIX )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2tan

11

2tan

2/1 Eeeθ

tnMEPHFt

Δ⋅=−=Δ )(

( XX )

( XXI )

( XXII )

1.Introducción 19


Es interesante observar que la ecuación (XXI) se la conoce como la ecuación de Kepler. Obsérvese también que la ec.(XVI) permite calcular directamente al ángulo θ pero las fórmulas son engorrosas. En cambio, las ecuaciones (XIX) a (XXII) permiten también calcular a θ pero de una manera más sencilla.

En capítulo 11 se obtendrán las ecuaciones para transformar las coordenadas sobre la órbita del objeto celeste (las cuales vienen definidas por los parámetros θ y r, y son de tipo polar) a las coordenadas ascensión recta y declinación.

En capítulo 12 se deducirán las ecuaciones que permitirán conocer los elementos de órbita un objeto celeste en estudio a partir de su posición y velocidad en un instante t.

En capítulo 13 se aplicarán las ecuaciones deducidas a lo largo de este libro, al cálculo de la ascensión recta y declinación de un objeto celeste, específicamente, se usará como ejemplo, el asteroide 1988 TA cuyos elementos de órbita fueron tomados de la circular de la IAU (International Astronomical Union) número 4662.

1.Introducción20


Capítulo 2. Elementos de órbita.Antes de hablar de elementos de órbita, tenemos que empesar por mencionar las leyes de Kepler. Este astrónomo logró sintetizar las observaciones de los movimientos de los planetas en tres leyes.

La primera ley dice que los movimientos de los planetas entorno al Sol, son elipses en donde el Sol se ubica en uno de los focos. En la Fig.2.1 se muestra cómo se construye una elipse. En la Fig.2.2 se muestra el movimiento de un planeta y el barrido que hace el ángulo ν como función del tiempo. Sabiendo el valor del ángulo para un instante t, es posible establecer la posición del planeta en su órbita. El gran problema que tuvo que enfrentar Kepler fue el de establecer una relación entre t y el ángulo. Esta fue la razón por la cual Kepler tuvo que crear su segunda ley. La segunda ley de Kepler establece que un planeta barre en su órbita áreas iguales en tiempos iguales. Matemáticamente, esta ley se expresa como:

Donde ΔA es área barrida y Δt es tiempo transcurrido desde una referencia, ver Fig.2.1.

tkA Δ⋅=Δ (2.1)

21Ir a Indice


La tercera Ley de Kepler establece una relación entre el período y el el semieje mayor de las órbitas de los planetas:

Donde a1,a2,P1 y P2 son los semiejes mayores y los períodos de los planetas 1 y 2 respectivamente (a=Semieje mayor, P=Período). Kepler necesita plantear esta Ley con la idea de poder calcular el simieje de un planeta desconocido partiendo del período y semieje de otro planeta cuyos parámetros son conocidos.

22

21

32

31

PP

aa

= (2.2)

2.Elementos de órbita22


Fig.2.1a) Manera sencilla de hacer una elipse.b) Ilustración de la segunda Ley de Kepler.

La Fig.2.1(b) muestra unas zonas oscuras cuyas areas son iguales. El espacio de tiempo que necesita un planeta para barrer dichas areas es el mismo, a pesar de que el segmento recorrido en longitud (flecha en rojo) no es el mismo.

(a)

Perihelio Afelio

(b)

2.Elementos de órbita 23


Los elementos de órbita de un objeto celeste son un conjunto de parámetros que definen la órbita de un objeto.

Los elementos de órbita de un objeto celeste son su huella digital. Cada objeto celeste tiene un conjunto característico de parámetros o elementos de órbita.Para poder calcular la posición de un objeto celeste en el cielo (planeta, asteroide o cometa) se necesitan sus elementos de órbita.

Se necesitan un total de seis parámetros orbitales para establecer completamente la órbita de un objeto celeste: distancia perihélica (q), excentricidad (e), época del paso por el perihelio (EPH), longitud del nodo ascendente (Ω), argumento del perihelio (ω), inclinación de la órbita (i). Existen otros parámetros complementarios que son: semieje mayor (a), el período (P) y el movimiento diario (n).

En esta sección se definirán todos estos parámetros.



Fig.2.2Los parámetros de una elipse.

Según la primera ley de Kepler los objetos del sistema solar describen órbitas elípticas entorno al Sol. El Sol se ubica en uno de los focos de la elipse.

La elipse es un objeto geométrico que dispone de dos focos (f1 y f2), un semieje mayor (a), un semieje menor (b), cuatro vértices (V,V’,V’’,V’’’), un centro (Ce), un parámetro C definido como el segmento de recta acotado por los puntos f1 y Ce.Además tiene un parámetro denominado excentricidad definido como el cociente entre C y a.El valor de e está entre >0 y <1.



Fig.2.3La ecuación polar de una elipse y definicón de radio vector (r) y distancia perihélica (q).

VV’

Si el objeto está sobre el vértice más cercano al Sol (V’), se dice que el objeto está en su perihelio o donde la distancia objeto-Sol es la menor posible. Si el objeto está sobre el vértice más lejano V’, se dice que el objeto está en su afelio o donde la distancia objeto-Sol es la mayor posible.El radio vector (r) es un vector que une el objeto con el Sol. El módulo de este vector da la distancia entre el Sol y objeto. La anomalía verdadera (ν) es el ángulo entre el cuerpo de r y el segmento que define el perihelio. La ec.(1) permite calcular el módulo de r como función de ν, y se la conoce como la ecuación polar de la elipse.



Fig.2.4Definición de época del paso por el perihelio.

La fecha cuando el objeto celeste pasa por su perihelio, se denomina época del paso por el perihelio y se simboliza de varias formas (EPHO, T, τ).



Fig.2.5Definición de los parámetros que dan cuentan de la orientación de la órbita

del objeto en el espacio 3D.

Debido a que todas las órbitas del sistema solar tienen como foco común el Sol, entonces, necesariamente, los planos que contienen las órbitas de todos los objetos del sistema solar deben intersectarse entre sí. En particular, si definimos el plano de la órbita de la Tierra como la referencia para las restantes órbitas del sistema solar, entonces, dichas planos de las órbitas intersectan al plano de la órbita de la Tierra, generando una línea recta que se conoce como la línea de los nodos. Tenemos el nodo ascendente cuando el objeto marcha a su perihelio y el nodo descendente cuando el objeto se aleja de su perihelio.



Fig.2.5Definición de los parámetros que dan cuentan de la orientación de la órbita

del objeto en el espacio 3D.Debido a que la órbita del objeto está en el espacio, es necesario definir unos parámetros adicionales que dan cuenta de la orientación de la órbita en el espacio. El punto vernal es un punto de referencia fundamental en astronomía, es el punto cero de todos los sistemas de referencias. La longitud del nodo ascendente (Ω) es el ángulo entre el segmento que contiene el punto vernal y el nodo ascendente. El argumento del perihelio (ω) es el ángulo entre el segmento que define el nodo ascedente y el segmento que define el perihelio del objeto. La inclinación de la órbita (i) es el ángulo entre el segmento que contiene el perihelio y el plano de la órbita de la Tierra.



Fig.2.6Sumario de los elementos de órbita.

Resumiendo, son seis los parámetros que describen la órbita de un objeto celeste. El semieje mayor, la excentricidad, la época del paso por el perihelio, la longitud del nodo ascendente, el argumento del perihelio y la inclinación de la órbita. Existen otros elementos órbita complementarios que se derivan de estos seis elementos ya mencionados, la distancia perihélica, elperíodo y el movimiento diario. La distancia perihélica está relacionada con el semieje mayor por medio de la ec.(1). Esto permite calcular “a” conocido “q”. El período (P) es el tiempo que le lleva un objeto es describir un ciclo completo sobre su órbita, y se calcula a través de la ec.(2). El parámetro “n” es el movimiento en grados por día que hace el objeto, y se calcula por medio de la ec.(3).

Ec.(1) Ec.(2)Ec.(3)



2.Elementos de órbita

Problemas.

1.Deducir la relación q = a(1-e) para una elipse.

2.Deducir el valor de la constante k de la segunda ley de Kepler (ver ec.(2-1)).Nota:El área de una elipse es A=πab y el la ec.(2) de la Fig.2.6.

3.Calcular el valor del afelio en una órbita elíptica.

4.Un planeta tiene un período de dos años. Calcular su semieje mayor.Nota:Usar la ec.(2.2)

5.En qué lugar de la órbita de un objeto celeste se produce la menor distancia con la Tierra. Deducir una ecuación que permita calcular la distancia mínima.Nota:Usar la ec.(1) de la Fig.(2.3), y el concepto de nodo de la Fig.(2.5).

Problemas.31

Ir a Indice


2.Elementos de órbitaProblemas.

6.Un asteroide A tiene un movimiento diario de 0.5º/día, y otro asteroide B tiene 1º/día. Cuál de los dos asteroides está más cerca de la Tierra. Cuál es el valor del semieje mayor de cada asteroide.

7.¿Para qué sirven los elementos de órbita?

32


Capítulo 3. Preámbulo Newtoniano.En esta sección se resumirá la mecánica Newtoniana asociada con las fuerzas responsables del movimiento de los planetas del sistema solar.

Se plantearán las ecuaciones de Newton del movimiento de los planetas, y se procederá a su resolución numérica.

2rmMGF ⋅

=

MecánicaNewtoniana1684

rm

M

33Ir a Indice


3.1. La Ley de gravitación de Newton.

En esta sección se resumirá la mecánica Newtoniana asociada con las fuerzas responsables del movimiento de los planetas del sistema solar.

Se plantearán las ecuaciones de Newton del movimiento de los planetas, y se procederá a su resolución numérica.

También en esta sección se definirá la cosntante de Gauss que es una forma práctica de expresar las unidades de los parámetros en términos congruentes con el tipo de sistema en estudio. Por ejemplo, la masa de los objetos celestes se miden en términos de masa respecto al sol. Las longitudes, se miden en términos de unidades astronómicas. El tiempo se mide en términos de días solares medios.

3.1. La Ley de gravitación de Newton.3.Preámbulo Newtoniano34

Ir a Indice


Fig.3.1La ley de Newton en forma vectorial.

El vector fuerza de gravitación F se puede expresar como el producto de su módulo (cuyo valor numérico está en recuadro azul) por el vector director definido como el cociente del vector r entre el módulo del vector r. El signo menos es consecuencia del hecho de que el vector r tiene sentido opuesto al vector F. El vector director define la dirección de un vector. Una forma de obtener el vector director asociado a un dado vector, es hacer el cociente del vector entre su respectivo módulo.

r

M

m

F

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⋅=

→→

rr

rmMGF 2

→

F

vector director

Módulo del vector F

3.1. La Ley de gravitación de Newton.3.Preámbulo Newtoniano 35


Fig.3.2Metodología para evaluar el producto MG

por medio de la ec.(3.2).La determinación de los parámetros absolutos M y G de la ec.(3.1) es muy complicado. En su lugar se puede evaluar el producto MG por medio de la ec.(3.2) que permite el cálculo del período P del objeto celeste (período es el tiempo que necesita un objeto celeste para describir su órbita). Se define la raíz cuadrada del producto MG como la constante de Gauss k.

GMkGMkGM

aP

rr

rmMGF

=⇔=

⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⋅=

→→

2

2/3

2

2π

(3.1)

(3.2)

(3.3)

3.1. La Ley de gravitación de Newton.3.Preámbulo Newtoniano36


Fig.3.3Cálculo del producto MG a través de la evaluación de la constante de Gauss k.

Despejando la constante de Gauss k de la ec.(3.4) se obtiene la ec.(3.5) que permite el cálculo de k. Si se usa la Tierra como referencia para calcular a k, entonces, P=365.25 días, y el semieje mayor de la Tierra es a=1UA (una unidad astronómica, que por definición es igual a 150Millones de Km), por lo tanto, un valor de k aproximado lo tenemos en la ec.(3.6). Un valor exacto de k lo tenemos en la ec.(3.7) obtenido del “Explanatory Supplement to The Astronomical Ephemeris”, (1961), pag. 96.

50172020989.0)(0172024.0

25.365;1

2

2

2/3

2/3

==

==⇒

⋅=

⋅=

exactokk

DíasPUAaTierra

Pak

kaP

π

π(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

GMk =

3.1. La Ley de gravitación de Newton.3.Preámbulo Newtoniano 37


3.2. Planteamiento Newtoniano del movimiento de los planetas.

Se plantearán las ecuaciones de Newton del movimiento de los planetas, por medio de la composición de las fuerzas de interacción gravitacional de los componentes del sistema solar sobre el objeto celeste de interés (cometa, asteroide o planeta).

3.2. Planteamiento Newtoniano del movimiento de los planetas.3.Preámbulo Newtoniano38

Ir a Indice


Fig.3.4Definición de los vectores de posición de las partículas p y 2 que forman parte de un sistema de N partículas.

El sistema de referencia cartesiano xyz permite establecer la posición de cada una de las partículas del sistema a través de los vectores de posición mostrados en la Fig.(3.4). Por ejemplo el vector rp establece la posición de la partícula p respecto al origen (donde está ubicada la partícula 1 que es el Sol). El módulo del vector r2p contiene la distancia entre la partícula 2 y la p. En la ec.(3.9) y la ec.(3.10) están las representaciones cartesianas de los vectores rp y r2. La ec.(3.11) muestra cómo calcular el módulo del vector r2p que contiene la distancia entre la partícula 2 y p.

p2 r2p

rp2

22

22

22

2222

2222

)()()(

)()()(

),,(

),,(

zzyyxxr

kzzjyyixxr

zyxr

zyxr

pppp

pppp

pppp

−+−+−=

−+−+−=

=

=

→

→

→

→

34

1

6

7

9

(3.9)

r2

xy(Sol)

(3.10)

(3.11)

z

3.Preámbulo Newtoniano3.2. Planteamiento Newtoniano del movimiento de los planetas.

39


Fig.3.5

p2 F2p

F1p

3

2

jp

jpjpjp

jp

jp

jp

pjjp

jjpp

rrm

mGF

rr

rmm

GF

FF

→→

→→

→→

⋅⋅⋅−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⋅=

= ∑

34

1

67

9

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(Sol)x

z

y

Definición de los vectores de la fuerza de interacción gravitacional de las partículas 1 y 2 sobre la partícula p

que forman parte de un sistema de N partículas.

Para calcular la evolución con el tiempo de la partícula p, porejemplo, se debe establecer todas las fuerzas de interacción del sistema de N partículas sobre la partícula p. Estas fuerzas de interacción son, en este caso del sistema Solar, las fuerzas de la gravitación. En la Fig.(3.5) se ilustran los vectores de la fuerza gravitacional F1p de la partícula 1 (el Sol) sobre p, y la fuerza gravitacional de la partícula 2 sobre P. Se necesita establecer todos los vectores de fuerza gravitacional de las N-1 partículas del sistema sobre la partícula p. Esta operación se simboliza en la ec.(3.12), donde Fp es la fuerza neta que siente p debido al efecto de las fuerzas de interacción de las N-1 partículas del sistema.


40


Fig.3.5

p2 F2p

F1p

3

2

jp

jpjpjp

jp

jp

jp

pjjp

jjpp

rrm

mGF

rr

rmm

GF

FF

→→

→→

→→

⋅⋅⋅−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⋅=

= ∑

34

1

67

9

(3.12)

(3.13)

(3.14)(Sol)

x

z

y

Definición de los vectores de la fuerza de interacción gravitacional de las partículas 1 y 2 sobre la partícula p

que forman parte de un sistema de N partículas.

Se necesita establecer todos los vectores de fuerza gravitacional de las N-1 partículas del sistema sobre la partícula p. Esta operación se simboliza en la ec.(3.12), donde Fp es la fuerza neta que siente p debido al efecto de las fuerzasde interacción de las N-1 partículas del sistema. La fuerza de interacción del par jp (Fjp) se puede evaluar a través de la ec.(3.13). Esta última ecuación es completamente equivalente a la ec.(3.14).


41


Fig.3.6Deducción de la ecuación del vector Fp en

unidades gaussianas, ec.(3.18)

∑

∑

∑

∑

→→

→→

→→

→→

⋅⋅⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅−=

=

j jp

jpjpp

j jp

jpjpp

j jp

jpjpp

jjpp

rrRm

mkF

rr

Mm

mMGF

rrm

mGF

FF

32

3

3

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

El vector Fjp que es la interacción gravitacional de la partícula j sobre la partícula en estudio p, y cuya forma matemática está expresada en la ec.(3.14). Sustituyendo esta ecuación en la ec.(3.15), se obtiene la ec.(3.16). Esta ecuación se debe expresar en unidades gaussianas. Para esto se procede a dividir y multiplicar por M (masa Solar) la ec.(3.16) para obtener la ec.(3.17), que por reordenamiento se obtiene la ec.(3.18) y donde Rmj es el cociente mj/M. El producto GM es igual a k2 la constante de Gauss al cuadrado.

Rmjk2


42


Fig.3.7Deducción de la ecuación diferencial del vector rp en

unidades gaussianas, ec.(3.22)

∑

∑

∑

→→

→→→

→→

→→

⋅⋅−=

⋅=⋅=

⋅⋅⋅−=

=

j jp

jpjp

ppppp

j jp

jpjpp

jjpp

rrRm

kdt

rd

dtrd

mamF

rrRm

mkF

FF

32

2

2

2

2

32

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

De conformidad con la segunda ley de Newton (F=ma), el vector Fp se puede expresar como se ve en la ec.(3.21). Esta ecuación se sustutuye en la ec.(3.20) que después de simplificar la masa del objeto p (mp), ya que aparece en ambos lados de la ecuación, se obtiene la ec.(3.22) que es una ecuación diferencial vectorial para la posición del objeto (rp). La solución de esta ecuación diferencial permite obtener el vector de posición del objeto p como función del tiempo.


43


Fig.3.8Descomposición de la ecuación diferencial (3.23) en sus

componentes cartesianas.

∑

∑

∑

∑

−⋅⋅−=

−⋅⋅−=

−⋅⋅−=

−+−+−=

++=

⋅⋅−=

→

→

→→

j jp

pjjp

j jp

pjjp

j jp

pjjp

pjpjpjjp

pppp

j jp

jpjp

rzzRm

kdt

zd

ryyRm

kdt

yd

rxxRm

kdt

xd

zzyyxxr

zyxr

rrRm

kdt

rd

32

2

2

32

2

2

32

2

2

32

2

2

)(

)(

)(

)()()( kji

kji

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

La ec.(3.23) se debe descomponer en sus componentes cartesianas para poder resolver esta ecuación diferencial. Las ecuaciones (3.24) y (3.25) son las representaciones cartesianas de los vectores rp y rjp. Sustituyendo estas ecuaciones en la ec.(3.23), se obtiene la ec.(3.26) que es otra forma de representar la ec.(3.23) en términos de componentes cartesianos. La ec.(3.26) es un sistema de ecuaciones diferenciales, cuya solución dá los componentes del vector rp como consecuencia de la interacción de los N-1 componentes del sistema.


44


3.3. Planteamiento del problema del sistema Sol-Planeta.

La ec.(3.26) es una ecuación general que permite resolver el problema del movimiento de un planeta “p” por efecto de los restantes componentes del sistema solar incluyendo al Sol. Newton era incapaz con la matemática de su época resolver esta complicada ecuación diferencial. Sin embargo, Newton quería demostrar que esta ecuación contiene el movimiento elíptico establecido por la primera ley de Kepler. Newton planteó un problema simple, el problema del sistema Sol-Planeta. También llamado el problema de un cuerpo. Ya que como el Sol está fijo en el origen del sistema de referencia usado para describir la posición de las partículas del sistema, entonces, sólo se mueve la partícula, y este movimiento es de tal manera, que ocurre en dos dimensiones.

3.3. Planteamiento del problema del sistema Sol-Planeta.3.Preámbulo Newtoniano 45

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Fig.3.9Ecuación diferencial (3.27) aplicable a la interacción del Sol sobre la partícula p en sus componentes cartesianas.

1

0

)(

)(

1

1

111

31

1122

2

31

1122

2

==

====

−⋅⋅−=

−⋅⋅−=

MMRm

Mmzyx

ryyRm

kdt

yd

rxxRm

kdt

xd

p

pp

p

pp

(3.27)

Si se desea estudiar la interacción del Sol (partícula j=1) sobre el planeta “p”, despreciando el resto de las partículas del sistema (el resto de los planetas), la ec.(3.26) se reduce a la ec.(3.27), donde Rm1=1 (partícula j=1). Debido a que la masa del Sol es enorme frente a las masas del planeta “p” (y los restantes planetas del sistema), se dice que el sistema mecánico corresponde a un sistema de cuerpo central, es como si estubiésemos estudiando, el problema de un cuerpo (en este caso p desplazándose respecto al Sol fijo) y no un sistema de dos cuerpos (Sol+p moviéndose respecto al centro de masa fijo). En otras palabras, el centro de masa de este sistema está prácticamente sobre el Sol, y estando también el origen del sistema de referencia cartesiano en el Sol (x1 = y1 = z1 = 0). Es bueno mencionar que un sistema de un solo cuerpo necesita sólo dos coordenadas para describir su movimiento.

3.Preámbulo Newtoniano3.3. Planteamiento del problema del sistema Sol-Planeta.

46


3.4. Solución numérica del problema Sol-Planeta.

3.Preámbulo Newtoniano 473.4. Solución numérica del problema Sol-Planeta.

La ec.(3.27) es una ecuación diferencial que permite resolver el problema del movimiento de un planeta “p” por efecto del Sol. Newton resolvió de manera numérica esta ecuación diferencial, y en esta sección vamos a describir el procedimiento numérico para su solución. Es bueno llamar la atención que este método es usado hoy en día para hacer el seguimiento de los satélites que enviamos a otros planetas gracias al poder de las computadoras. En la ref.(1) (ver Bibliografía) se muestra muy detalladamente el cálculo numérico de una órbita.

La solución de la ec.(3.27) se puede hacer por medio de una hoja de cálculo siguiendo los procedimientos numéricos descritos en esta sección. También el lector puede usar el programa Newton que genera una tabla con las coordenadas del planeta, las cuales pueden ser llevadas a una hoja de cálculo y hacer la gráfica correspondiente.

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Fig.3.10Solución de la ecuación diferencial (3.28) por medio

del método de desarrollo en series.

31

22

2

31

22

2

p

pp

p

pp

ry

kdt

yd

rx

kdt

xd

⋅=

⋅=(3.28)

2221 pppp zyxr ++= (3.29)

( ) ( ) ...........)0(21)0(01 2 +Δ⋅⋅+Δ⋅+= ttaxttvxtxtx pppp

( ) ( ) ...........)0(01 +Δ⋅+= ttaxtvxtvx ppp

(3.30)

(3.31)

La ecuación diferencial (3.28) se puede resolver aplicando el método de los desarrollos en series de Taylor. La nueva posición x(t1) se obtiene por medio de la ec.(3.30) que asume que son conocidos los valores de x(t0), vx(t0) (velocidad) y ax(t0) (aceleración) de “p” para el instante inicial t0. Donde ax(t0) se calcula de la ec.(3.28) ya que la derivada segunda es justamente la aceleración. La nueva velocidad vx(t1) se calcula por medio de la ec.(3.31). Ecuaciones y procedimientos similares se aplican para el cálculo de y(t1), vy(t1) y ay(t1).

3.Preámbulo Newtoniano3.4. Solución numérica del problema Sol-Planeta.

48


Fig.3.10Solución de la ecuación diferencial (3.28) por medio

del método de desarrollo en series. Obsérvese que las ec.(3.30) y (3.31) permiten el cálculo de la nueva posición y velocidad a t1 = t0 + Δt, pero, donde Δt debe ser suficientemente pequeño como para presindir del resto de los términos de la serie de Taylor ya que si Δt es pequeño (un valor decimal pequeño), entonces, el Δt2 es más pequeño, y el Δt3 es aún más pequeño. Esto asegura que se pueda eliminar los términos de orden superior, sin embargo, el volumen de cálculos entre el tiempo inicial (t0) y el tiempo final (tf) es enorme, de hecho, la cantidad de ciclos de cálculo es igual (tf-t0)/ Δt, y donde cada ciclo de cálculo está representado por las operaciones de la Fig.(3.10).

31

22

2

31

22

2

p

pp

p

pp

ry

kdt

yd

rx

kdt

xd

⋅=

⋅=(3.28)

2221 pppp zyxr ++= (3.29)

( ) ( ) ...........)0(21)0(01 2 +Δ⋅⋅+Δ⋅+= ttaxttvxtxtx pppp

( ) ( ) ...........)0(01 +Δ⋅+= ttaxtvxtvx ppp

(3.30)

(3.31)

3.4. Solución numérica del problema Sol-Planeta.3.Preámbulo Newtoniano 49


3.Preámbulo Newtoniano

Problemas.1.Usando el programa Newton.for resolver la ecuación diferencial (3-28) siguiendo los protocolos y procedimientos de la sección (3.4) para un objeto con posición inicial x0=0.5, y0=0; velocidad incial vx0=0, vy0=1.63, escoger el parámetro Δt con un tamaño conveniente (suficientemente pequeño) e integrar entre 0 y un tiempo final suficientemente largo como para generar una órbita completa. Usar una hoja de cálculo tipo EXCEL para graficar las coordenadas y versus x para ver la órbita. Calcular los parámetros orbitales a , q , e. Cómo se podría calcular el parámetro Ω. Introducir los datos en Newton.daty luego correr el programa Newton.exe para ver los resultados en Newton.out.Nota:En este problema se asume por conveniencia que la constante de gauss k es igual a uno. También observe que el cálculo de Ω implica la generación de la órbita de la Tierra, por ser la referencia de los elementos de órbita i , ω, Ω.

2.Resolver el Problema-1 usando una hoja de cálculo tipo EXCEL. Ver la hoja Newton.xls.

3.Si la solución numérica de la Fig.3.10 es suficiente para demostrar la mecánica de Newton para los planetas. Entonces, ¿para qué hace falta un curso de mecánica celeste?

Problemas.50

Ir a Indice


51

4.¿Por qué razón debe ser resuelta la ecuación diferencial (3-28)?, ¿por qué no es suficiente saber la aceleración o cuando más saber sólo la velocidad?Nota:En física son medibles la masa, la longitud y el tiempo. El resto son entidades conceptuales.

5.Escriba algunas líneas sobre sus ideas acerca del binomio causa-efecto. ¿Qué está asociado a la causa?. ¿Qué está asociado al efecto?Nota:Recordar que las fuerzas generan el movimiento de las partículas.

6.Interprete la siguiente sentencia de Laplace: “Todos los fenómenos naturales se pueden reducir en términos de partículas e interacciones entre partículas”.Nota:Ver la Fig.3.5

3.Preámbulo NewtonianoProblemas.


El presente capítulo es una revisión de la matemática básica que se necesita en el desarrollo de los principios de la mecánica.

En este capítulo y a lo largo de todo el libro se usarán las siguientes convenciones. Las derivadas de las funciones se expresan con un punto encima del símbolo de la función. Por ejemplo la derivada con respecto al tiempo t de la función f(t) se expresa como:

Los vectores se escriben en negrilla. Por ejemplo el vector de posición r se expresa como: r. La derivada con respecto al tiempo t del vector r se expresa como:

•

= )(tfdtdf

•

= rrdtd

52

Capítulo 4. Repaso Matemático

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Fig.4.0Nociones básicas de trigonometría plana. Las letras a,b,p y q representan ángulos.

4.0. Trigonometría Plana534. Repaso Matemático Ir a Indice


Fig.4.0: ContinuaciónNociones básicas de trigonometría plana. Las letras mayúculas representan ángulos y las letras minúsculas representan lados de triángulos. La letra p representa una constante arbitraria.

B Ca

c b

Ba

cb C

A

54 4. Repaso Matemático4.0. Trigonometría Plana


4.1. Sistemas de coordenadas cartesiano y polar.

Fig.4.1Relación de los sistemas de coordenadas cartesiano y polar para el plano. El punto P se puede representar en un plano cartesiano por medio del par ordenado (xp,yp). También se puede expresar en forma polar mediante el radio vector ry el ángulo θ.

xxp = r cos(θ)

r sen

(θ) =

yp

P

r

(xp,yp)

P(xp,yp)P(r,θ)

θ

La relación entre los sistemas de coordenadas cartesiano y polar en el plano es:

θθ

sincos

ryprxp

== (4.1)

yRegla de las Proyecciones:La proyección de r contra el ángulo θ es rcosθ, y la proyección de r a favor del ángulo θ es rsinθ.

Módulo de r

Módulo de r

θ

4. Repaso Matemático 55

θsincos

ryprxp

==

Ir a Indice


Fig.4.2Relación de los sistemas de coordenadas cartesiano y polar para el espacio. Donde r’ es la proyección sobre el plano xy del vector r.

La relación entre los sistemas de coordenadas cartesiano y polar en el espacio es:

θθφθφ

sincossincoscos

rzpryprxp

===

(4.2)

P(xp,yp,zp)r

z

y

yθ

φ

xp ypzp

P(xp,yp,zp)P(r,θ,φ)

r’

4. Repaso Matemático564.1. Sistemas de coordenadas cartesiano y polar.

θθφθφ

sincossincoscos

rzpryprxp

===


4.2. Representación cartesiana, y canónica de un vector.

Fig.4.3Representación cartesiana y canónica del vector r.

x

y

xp

yp

P

r

(xp,yp)

r = xpi + ypj

θ

Representación Canónica del vector r:

j

ii = (1,0)j = (0,1)

r =(xp,yp)

Representación Cartesiana del vector r:

Un vector es un objeto matemático que contiene información sobre la magnitud y dirección de algún parámetro. Por ejemplo, el radio vector r, contiene información de la distancia objeto-Sol y la dirección en el espacio (respecto a un sistema de referencia) donde se ubica el objeto celeste (en este caso el objeto es el punto P de la figura). Un escalar es una entidad que sólo tiene información de magnitud.

4. Repaso Matemático 57Ir a Indice


Fig.4.4Cómo obtener la información de la magnitud del

vector r.

x

y

xp

yp

P

r

(xp,yp)

r = xpi + ypj

θ


j

ii = (1,0)j = (0,1)

Magnitud del vector r:

Para obtener la información de la magnitud del vector r, se procede a hacer la raíz cuadrada del cuadrado de los componentes del vector, en este caso xp e yp, son las componentes del vector r:

22 ypxpr +=

22 ypxpr += (4.3)


4. Repaso Matemático58


Fig.4.5Cómo obtener la información de la dirección del

vector r.

x

y

xp

yp

P

r

(xp,yp)

r = xpi + ypj

θ


j

i

i = (1,0)j = (0,1)

Para obtener la información de la dirección del vector r, se procede a dividir el vector r entre su magnitud o módulo. La dirección es otro vector simbolizado como ur (“u” de unitario y se llama director):

Magnitud del vector r:

22 ypxpr +=

(4.4)

Dirección del vector r:

jrypi

rxp

rrur +==

jrypi

rxp

rrur +==




4.3. Definición de los vectores radial y tangencial.

Fig.4.6Definición de los vectores unitarios radial ur y

tangencial uθ

El vector unitario radial ur es un vector director que contiene la dirección del vector r. El vector tangencial uθ es un vector director que contiene la dirección de la tangente al punto (donde se ubica el objeto) de la curva de la curva de la trayectoria del objeto.

x

y

P(r,θ)

r

θO

r = rur

rrur =

ruθu

r

i

j

4. Repaso Matemático60Ir a Indice


Fig.4.7Translación de los vectores unitarios radial ur y tangencial uθ al origen del sistema de referencia. Se muestra la relación entre los vectores unitarios

con los vectores canónicos i y j.

x

y

rθ

O

ruθu

i

j

90

90-θ




Fig.4.8Proyección del vector radial ur sobre los ejes x e y

cartesianos.

x

y

rθ

O

ruθu

θcosru

θsinru

El vector unitario radial ur se puede proyectar sobre los ejes x e y siguiendo la regla de las proyecciones:

Debido a que ur es unitario, su módulo ur es igual a uno.

(4.5)[ ]jiur ⋅+⋅= θθ senur cos




Fig.4.9Proyección del vector tangencial uθ sobre los ejes

x e y cartesianos.

El vector unitario tangencial uθ se puede proyectar sobre los ejes x e y siguiendo la regla de las proyecciones respecto al ángulo 90-θ:

Debido a que uθ es unitario, su módulo uθ es igual a uno.

(4.6)

x

y

90−θ θu θθ cosu

θθ senu−

)90( θθ −senu

)90cos( θθ −u

[ ]jiu ⋅+⋅−= θθθθ cossenu




Fig.4.10Sumario de las proyecciones de los vectores ur ,uθy r sobre los ejes x e y, así como su representación canónica i y j. Obsérvese que el ángulo θ depende del tiempo t. Ya que la partícula P se mueve dando

lugar una trayectoria.

x

y

rθ

O

ruθu

i

j

90

90-θ

[ ][ ][ ]jiu

jiujir

r

⋅+⋅−=⋅+⋅=

+=

θθθθ

θθ

θθ coscos

))(())(cos()(

senusenu

tsenttr

r

P




4.4. Productos escalar y vectorial: Aplicaciones al área de un paralelogramo.4.4. Productos escalar y vectorial: Aplicaciones al área de un paralelogramo.

Fig.4.11Definición del producto escalar de los vectores A

y B. El producto escalar genera un número o escalar. El producto escalar representa la

proyección del vector A sobre el vector B (ver flecha en color rojo).

θcos⋅⋅=• BABA

Módulo del vector A Módulo del vector B

Producto escalar

A

Bθ

BA •

4. Repaso Matemático 65Ir a Indice



Fig.4.12Propiedades del producto escalar. Donde m es un

escalar.

( )( ) ( ) ( ) ( )

sí entre laresperpendicu son B y AB ABB A AB A

kjiB y kji ADados

ikkjji kkjjii

BABABABA CABACB A

ABB A

⇔=•++=•

++=•

++=•++=++=

=•=•=•=•=•=•

•=•=•=••+•=+•

•=•

0.)10321.)9321.)8

332211.)7321321

0.)51.)4

.)3

.)2.)1

222

222

BBBAAA

BABABABBBAAA

mmmm



4.4. Productos escalar y vectorial: Aplicaciones al área de un paralelogramo.

Fig.4.13Definición del producto vectorial de los vectores A

y B. El producto vectorial genera otro vector (vector AxB) perpendicular al plano que contiene a los vectores A y B. El módulo del vector AxBes ABsenθ, y el vector u es el vector director del

vector AxB.

θA

Bu

uBA ⋅⋅⋅=× θsenBA

Módulo del vector A Módulo del vector B

BA×

Producto vectorial




Fig.4.14Propiedades del producto vectorial. Donde m es un

escalar.

( )( ) ( ) ( ) ( )

sí entre colineales son B y AB A

B. y Alados de amoparalelogr del área el representa B Amódulo El

B A

kjiB y kji ADados

jik , ikj , kji kkjjii

BABABABA CABACB A

ABB A

⇔=×

×

=×

++=++=

=×=×=×=×=×=×

×=×=×=××+×=+×

×−=×

0.)9

.)8321321.)7

321321

.)50.)4

.)3

.)2.)1

BBBAAAkji

BBBAAA

mmmm



4.4. Producto escalar, vectorial Aplicaciones del área de un paralelogramo.

Fig.4.15Demostración que el área de un paralelogramo es igual al módulo del producto vectorial ⏐AxB⏐. El módulo de un vector se representa aquí por medio de dos segmentos paralelos de la forma⏐⏐. En los textos de geometría el área del paralelogramo es el

producto de la parte recta h por la longitud de la base. El parámetro h es igual a Asenθ, mientras que la longitud de la base es igual al módulo del

vector B.

θ

hA

B

( ) BA amoparalelogr del Area

×=⋅⋅=

⋅=

BsenABh

θ

Base



Fig.4.16Aplicación de la ley del área del paralelogramo al movimiento de una partícula en una trayectoria.

Area del Triángulo

P(r,θ)

P(r+Δr,θ+Δθ)r+Δr

θ

Δr

o

[ ] rrrrrA Δ×=Δ+×=Δ21)(

21

ΔA

El área ΔA encerrada por los tres vectores que confoman un triángulo (en color morado), se puede expresar en términos de la ley del área del paralelogramo (el triángulo de la figura tiene un área igual a la mitad de un paralelogramo):

[ ])(21 rrrA Δ+×=Δ (4.7)

A

B



r


Fig.4.17Aplicación de la ley del área del paralelogramo al movimiento de una partícula en una trayectoria.

P(r,θ)


θ

Δr

o

[ ] rrrrrA Δ×=Δ+×=Δ21)(

21

ΔA

Esta ecuación se puede desarrollar según la reglas del producto vectorial:

[ ])(21 rrrA Δ+×=Δ (4.7)

[ ] [ ]

[ ] [ ]rrrrrrA

rr

rrrrrrrA

Δ×=Δ×+×=Δ

=×

Δ×+×=Δ+×=Δ

21

210

21)(

21 (4.8)

(4.9)(4.10)




Fig.4.18Notación de la derivada de una función.

dxdy

dxdfxfyy

xy

dxdy

x

====

ΔΔ

=

•

→Δ

)(''

lim0

4.5. Derivada de una función.4. Repaso Matemático72

Ir a Indice


Fig.4.18a¿Qué es una derivada?

Desde el punto de vista geométrico la derivada es la pendiente de la recta que toca un punto de una curva (en este caso es la recta en color rojo que toca el punto M en

color verde).

αβ

La derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto de una curva se define como:

αtan)(=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xMdxxdfm

Tangenteal punto M. La ec. de la recta tangente:y = mx+bDonde m es la pendiente.

xM

(xM,yM)

f(x)

4.5. Derivada de una función.4. Repaso Matemático

Δx

Δy

yM

73


744.5. Derivada de una función.

4. Repaso Matemático

Fig.4.18bTabla de las derivadas de las funciones comunes.

F(x) F´(x)ax 1−aaxxsin xcos

xcos xsin−

xelogx1

xe xek 0

x/1 2/1 x−




Fig.4.18cTabla de las operaciones básicas con las derivadas

de las funciones.

h(x) h´(x)

)()( xgxf + )(')(' xgxf +

)(xfk ⋅ )(' xfk ⋅

)()( xgxf ⋅ )(')()()(' xgxfxgxf ⋅+⋅

))(( xgf )('))((' xfxfg ⋅

)()(

xgxf

[ ]2)()(')()()('

xgxgxfxgxf ⋅−⋅


Fig.4.18dAplicación de las derivadas para el cálculo de la

ecuación de la recta tangente al punto p.

x

yTangente al punto py = mx + b

f(x) = x2

p(0,yp)

( ) ( ) 02)(00

2 ===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= == xx

xp

xxdxd

dxxdfm

bxmy +⋅=

pyy =

La ecuación general de una recta es:

La pendiente de la recta tangente al punto P de la curva f(x) se define como:

La ecuación de la tangente es:


( )( ) 02

)(

0

02

==

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

=

x

x

xp

xm

xdxdm

dxxdfm

xp

76


Fig.4.18eLa fig.(A) es una gráfica de posición vs tiempo

derivado del estudio de un móvil que se desplaza por el mesón de la figura (B). Si la velocidad del móvil es constante, la gráfica de la fig.(A) es una recta cuya pendiente es la velocidad del móvil.

x

y = Distancia recorrida

0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

x1 x2 x3 x4

y = mx + b

Fig.(A)

Fig.(B)

4.5. Derivada de una función.4. Repaso Matemático 77


Fig.4.18fLa fig.(A) es una gráfica de posición vs tiempo derivado del estudio de un móvil que se desplaza por el mesón de

la figura (B). Si la velocidad del móvil es variable, la gráfica de la fig.(A) es una curva y la derivada en cada

punto es la velocidad del móvil.

x


0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

x1 x2 x3 x4

y = f(x)Fig.(A)

Fig.(B)


py3

78


Fig.4.18gSi la velocidad del móvil es variable, la gráfica de la fig.(A) es una curva y la derivada en cada punto es la velocidad del móvil. En particular, la velocidad en el punto “p” (v(x3)) es la derivada de f(x) evaluada en

dicho punto.

x


0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

x1 x2 x3 x4

y = f(x)Fig.(A)

Fig.(B)


mdx

xdfxvx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3

)()3(y = mx+b

Recta tangentepy3

Velocidad en “p”

79


Fig.4.19Definición de función compuesta y cómo se

calcula su derivada.

)(')(''))(()(

))((

xuufyxufxux

xufy

⋅=→→

=


Derivada de la función externa (respecto a la variable u)

Derivada de la función interna (respecto a la variable x)



Fig.4.20Aplicación de la derivada de una función

compuesta.

angxxx

xu

y

xxuu

uf

xuufyuuf

xuxy

cotcossin

1cos1'

cos)('

1)('

)(')('')ln()(

sin)ln(sin

=⋅=⋅=

=

=

⋅==

==





Fig.4.20aAplicación de la derivada de una función

compuesta.

)(sin)('')('))(sin('

)(')(')(sinsin)('

)(')('')cos()(

)()(cos

ttytty

ttutuuf

tuufyuuf

tuty

θθθθ

θθ

θθ

⋅−=⋅−=

=−=−=

⋅==

==



Fig.4.20aAplicación de la derivada de una función

compuesta.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

)(')cos1(

sin'

)('sin'

)(')('sin'cos'cos)('

'cos0'cos)'1(cos1)('

11)('

)(')(')(''

)(

cos1)()()(

))(cos1(

2

2

2

'

22

''

teper

tuevepr

ttuueueueuv

ueueueuv

vep

vep

vep

vepvf

tuuvvfrvepvf

ueuvttu

teepr

θθθ

θ

θ

θθ

⋅+

=

⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=−===

+=+=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅⋅=

=

+==

+=


Fig.4.21Derivada de un vector.

kjir

kjir

duudz

duudy

duudx

dud

uzuyuxu

)()()(

)()()()(

++=

++=Función vectorial

Derivada del vector r respecto a la variable escalar u

4. Repaso Matemático4.6. Derivadas de vectores.

84Ir a Indice


Fig.4.22Fórmulas de derivación con vectores.

Donde A,B y C son funciones vectoriales. Donde φ es una función escalar. El orden

de los factores es importante para el producto vectorial. Los operadores • y xrepresentan producto escalar y vectorial

respectivamente.

( )

( )

( )

( )

{ }

( ){ } ( )CBACBACACBA

CBACBACBACBA

AAA

BABABA

BABABA

BABA

××+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ××=××

×•+×•+×•=×•

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×=×

•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•=•

+=+

dud

dud

dudB

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

dud

.)6

.)5

.)4

.)3

.)2

.)1

φφφ

4. Repaso Matemático4.6. Derivadas de vectores.

85


Fig.4.23Derivada del vector unitario radial ur

[ ][ ][ ]jiu

jiujir

r

⋅+⋅−=⋅+⋅=

+=

θθθθ

θθ

θ coscos

))(())(cos()(

sensen

tsenttr

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

[ ] rr

r

r

r

ujiu

jiu

jiu

jiu

••

•

•

=⋅+⋅−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅=

⋅+⋅=

θθθθ

θθθθ

θθ

θθ

cos

cos

cos

cos

sendtd

dtdsen

dtd

sendtd

dtd

sendtd

dtd

θuur

••

= θ

4. Repaso Matemático4.7. Derivadas del vector radial.

86

Ver Fig.(4-8) y (4-9)

Ir a Indice


Fig.4.24Derivada del vector unitario tangencial uθ

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

[ ] r

r

ujiu

jiu

jiu

ujiu

••

•

•

•

−=⋅+⋅−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−+⋅−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−=

−=⋅+⋅−=

θθθθ

θθθθ

θθ

θθθ

θ

θ

θ

θ

sendtd

sendtd

dtd

dtdsen

dtd

sendtd

dtd

cos

cos

cos

cos

ruu••

−= θθ

4. Repaso Matemático4.8. Derivada del vector tangencial.

[ ][ ][ ]jiu

jiujir

r

⋅+⋅−=⋅+⋅=

87

+=

θθθθ

θθ

θ coscos

))(())(cos()(

sensen

tsenttrVer Fig.(4-8) y (4-9)

Ir a Indice


Fig.4.25Derivadas del vector r que equivale al

vector velocidad y el cual se expresa en función de los vectores unitarios: ur , uθ

[ ]{ }

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

θ

θ)()(

))(cos())(()()(

))(())(cos()()(

))(())(cos()())(())(cos()(

))(())(cos()(

uu

uu

jiu

jiu

jiji

ji

r

r

r

r

•••

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

++=

+++=

+=

θ

θ

θθθ

θθ

θθθθ

θθ

rr

dtdtr

dttdr

dtd

ttsendtdtr

dttdr

dtd

tsentdtdtr

dttdr

dtd

tsentdtdtrtsent

dttdr

dtd

tsenttrdtd

dtd

r

r

r

r

r

r

θuur

•••

+= θrrr

4. Repaso Matemático4.9. Derivada del vector radial.

88

[ ][ ][ ]jiu

jiujir

r

⋅+⋅−=⋅+⋅=

+=

θθθθ

θθ

θ coscos

))(())(cos()(

sensen

tsenttrVer Fig.(4-8) y (4-9)

Ir a Indice


Fig.4.26Derivadas del vector r que equivale al

vector velocidad y el cual se expresa en función de los vectores unitarios: i , j

[ ]jir ))(())(cos()( tsenttr θθ +=

[ ]{ }

[ ] [ ]

[ ] [ ]

ji

jiji

jiji

ji

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=

+++=

+=

••

•

θθθθθθ

θθθθθ

θθθθ

θθ

coscos

))(cos())(())(())(cos(

))(())(cos())(())(cos(

))(())(cos()(

dtdrsenrsen

dtdrr

dtd

ttsendtdrtsentr

dtd

tsentdtdrtsent

dtdr

dtd

tsenttrdtd

dtd

r

r

r

r

ji ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

•••

θθθθθθ coscosdtdrsenrsen

dtdrrr


89


O

uruθ

r

Fm

C V

Fig.4.27Interpretación geométrica del vector

velocidad v = r y su relación con los dos sistemas de referencia, el Rotacional

(vectores ur , uθ ) y el Fijo (vectores i , j).

y

x

j

i θuur

•••

+= θrrr

ji ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

•••

θθθθθθ coscosdtdrsenrsen

dtdrrr

Sistema de referencia rotacional

Sistema de referencia fijo


90


Fig.4.28Derivada del vector que equivale al

vector aceleración y el cual se expresa en función de los vectores unitarios: ur , uθ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•••••••••

••••

•••••••••

•••

•••

r

rrrr

r

uuuuu

uuu

uuuuu

uu

θθθθθθ

θθθ

θ

θ

θθθθ

θθθ

θ

θ

dtd

dtdrrr

dtd

rrrrrdtddtd

rdtdr

dtd

dtd

rr

r

•

r

ruu••

−= θθ

θuur

••

= θ

4. Repaso Matemático4.10. Derivada segunda del vector radial.

Ver Fig.4.23

Ver Fig.4.24

91Ir a Indice


Fig.4.28: Continuación.Derivada del vector que equivale al

vector aceleración y el cual se expresa en función de los vectores unitarios: ur , uθ

•

r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

••••••

•••••

••••

r

rr

r

uuuu

uuu

uu

2θθθ

θ

θ

θθθθ

θ

θ

rrrdtd

rrrdtd

rdtdr

dtdr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

•••••••••••

rr uuuuu 2θθθ θθθθ rrrrrr

Resumiendo los resultados.

4. Repaso Matemático4.10. Derivada segunda del vector radial.

θ2

θθθ2

2 uu

uuuuu

r

rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

+++−=•••••••••

•••••••••••

θθθ

θθθθ

rrrr

rrrrr

ra

r

92


Fig.4.29Definición del vector aereal ΔA.

Este vector es perpendicular al plano de la órbita del objeto P.

P(r,θ)


θ

Δr

o

Δrr ×=Δ21A

ΔA

Módulo del vector aereal

ΔrrΔA ×=21

Vector aereal

4. Repaso Matemático4.11. Definición del vector aereal.

93Ir a Indice


4.12. Derivada del vector aereal: La ecuación aereal.

Fig.4.30Deducción de la ecuación aereal (vector

de la velocidad aereal dA/dt) y definición del vector unitario uA.

θrθrr uuuuuΔA

rrΔA

ΔrrΔA

ΔrrΔA

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×=

Δ

×=Δ

Δ×=

Δ

×=

•••

•

θθ 2

21

21212121

rrrrt

t

tt θuur

•••

+= θrrr

0=× rr uu

Aθr uuuAΔA ••

→Δ=×==

Δθθ 22

0 21

21lim rr

dtd

tt

Aθr uuuvrA ••

=×=×= θθ 22

21

21

21 rr

dtd


Ec. Aereal

rur=r

Ver Fig.4.25

94Ir a Indice


4.13. Ecuación polar de las cónicas.

Fig.4.31Definición de la ecuación general de las

cónicas (ecuación polar) y su aplicación a la elipse.

( )νcos1 eepr

+=

ν

aq

c

( )

1

1

<

=

+=

eace

eeqp

f1 f2

4. Repaso Matemático95Ir a Indice



cónicas (ecuación polar) y su aplicación a la parábola.

( )νcos1 eepr

+=

ν

aq

c

12

==

eqp

f1 f

4. Repaso Matemático4.13. Ecuación polar de las cónicas.

96



cónicas (ecuación polar) y su aplicación a la hipérbola.

( )νcos1 eepr

+=

( )

1

1

<

=

+=

eace

eeqp

νf1f2

c

a

4. Repaso Matemático4.13. Ecuación polar de las cónicas.

97


4. Repaso MatemáticoProblemas.

Problemas.1.Demostrar usando trigometría la ley de las proyecciones de la Fig.4.1.Nota:Usar las definiciones de seno y coseno de un triángulo rectángulo.

2.Demostrar usando la ley de las proyecciones las transformaciones del sistema polar al carteciano de la Fig.4.2.

3.Demostrar que Es equivalente aNota:Usar las siguientes identidades.

98

r = xpi + ypj

i = (1,0)j = (0,1)

r =(xp,yp)

Ir a Indice


4.Mediante el uso de la ecuaciones de transformación x=rcosθ, y=rsenθ (ver ec.(4.1)), demostrar que la ecuación en coordenadas cartecianas:

Se puede reducir a la siguiente ecuación en coordenadas polares:

Nota:Usar las siguientes identidades.

5.El módulo del radio vector de una elipse se expresa como r=p/(1-ecosθ). Expresar el radio vector en forma polar, carteciana y canónica. ¿De qué otra forma se puede representar al radio vector?


99

jirdt

tyddt

txddtd )()(

••

+=

θuur

•••

+= θrrr

[ ][ ][ ]jiu

jiujir

r

⋅+⋅−=⋅+⋅=

+=

θθθθ

θθ

θ coscos

))(())(cos()(

sensen

tsenttr



100

6.Una partícula se mueve a lo largo de una elipse r=p/(1-ecosθ) de tal manera que dθ/dt=α (una constante). Encontrar las componentes radial y tangencial de la velocidad y aceleración.Nota:Usar las siguientes identidades.

θuur

•••

+= θrrr

θ2 2 uur ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

•••••••••

θθθ rrrrr


Capítulo 5. Deducción de la segundaLey de Kepler

101

En este capítulo se va a deducir la segunda ley de Kepler a partir de la ecuación aereal que fue deducida en el Cap.04 (ver Fig.4.30). La segunda ley de Kepler tiene una expresión matemática sencilla: ΔA = k Δt. Donde ΔA es el área barrida y Δt es el tiempo transcurrido para barrer el área ΔA. El problema reside en que la ecuación aereal no muestra de manera obvia que contiene la segunda ley de Kepler. El truco está en hacer la derivada de la ecuación aereal, y el resultado permite ver que la derivada de la derivada del área barrida (d /dt) es cero, lo que implica que es constante. Este resultado lleva de manera directa a la segunda ley de Kepler.

•

A

•

A

Ir a Indice


Fig.5.1Expresión de la segunda ley de Kepler, y su

comparación con la ecuación aereal. No es obvio que la ecuación aereal contiene la ley en cuestión.

Kepler con la información que disponía en su época pudo establecer el valor de k’.

Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven entorno a su órbita de tal manera que barren áreas iguales en tiempos iguales.

Peq

Peak

eaabAdiasP

AreaElipseAAPeriodoPtSitAk

tkA

)1()1('

)1(25.365

)()(

'

'

22

2

−=

−=

−==

==Δ⇒=Δ

ΔΔ

=

Δ=Δ

ππ

ππ

Ec.Aereal

2º Ley Kepler

[ ]vrAA×==

•

21

dtd

5. Deducción de la segunda ley de Kepler.102


Fig.5.2Deducción de la segunda ley de Kepler a partir de de la demostración que la derivada del vector es cero. Si se

multiplica vectorialmente la ec.(5.1) por r se obtiene la ec.(5.2) que implica la ec.(5.3). Derivando respecto a t la ec.(5.4) se

obtiene la ec.(5.5) e implica que la velocidad aereal es constante.

[ ]

[ ]

021

21

21

21

0

0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+×=×=

×==

=×

=×=×

=

===

••

•••

•

•

•

•

•

vrA

vrvrvrA

vrAAv

urvr

uv

uFFva

r

r

r

dtd

dtd

dtd

dtdr

Fm

Fm

Fmm

0 (Producto vectorialde dos vectores colineales)

•

r

hkdtdAk

dtd

21''0 ==⇒=⇒=

••

AA lqqd

Ver Cap.04 Fig.4.30

•

A

(5.1)(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

5. Deducción de la segunda ley de Kepler. 103


Capítulo 6. La ecuación del movimiento orbitalEn este capítulo se va a deducir la ecuación del movimiento orbital:

Donde F(r) es la función que da la fuerza de interacción Sol-Planeta. Obviamente, esta F(r) es la Ley de Newton de la Gravedad. Esta es ecuación diferencial que gobierna el movimiento de un planeta entorno al Sol. Una vez deducida esta ecuación fundamental para la astronomía de posición, se procederá a la verificación de sus consistencia y por último a su resolución.

La verificación de la consistencia significa que dada F(r) y r se introducirán en la ecuación del movimiento orbital con miras a ver si se cumple la igualdad. Esto pemitirá establecer la forma de la constante h. La otra verificación implica dada la función r, se introducirá en la ecuación del movimiento orbital con la idea de ver si se obtiene la forma de F(r).

)()]([ 3

2

rFrhrm =−

••

104Ir a Indice


6.1. Deducción de la ecuación del movimiento orbital.En este capítulo se va a deducir la ecuación del movimiento orbital. Esta es una ecuación diferencial que gobierna el movimiento de un planeta entorno al Sol. En escencia se parte de la segunda ley de Newton:

Posteriormente, se expresa la aceleración en términos de los vectores unitarios radial y angular que fue deducido en el Cap.04, (ver Figura 4.28):

El problema es que esta expresión de la aceleración está en términos de derivadas primera y segunda de θ y r. Se procede a eliminar a θ expresándola en función de r mediante el uso de la ecuación aereal deducida en el Cap.04 (ver Fig.4.30) (aquí se coloca en forma modelar):

F(r)a =m

θr uua ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

•••••••

θθθ rrrr 22

6.1. Deducción de la ecuación del movimiento orbital.

hrA21

21 2 ==

••

θ

6.Ecuación del movimiento orbital. 105Ir a Indice


Finalmente queda una ecuación diferencial donde sólo está el parámetro r. Esta ecuación se la conoce como la ecuación del movimiento orbital:

Donde se asume que F(r) es la fuerza de la gravedad propuesta por Newton. La solución de esta ecuación da la función r, la cual tiene la forma clásica de la ecuación polar de las cónicas. Esto demuestra que dada la forma de F(r), las órbitas son cónicas. Y dada la forma de r, entonces, la función de F(r) es la ley de gravedad de Newton.

0223 =−+••

hrkrr

6.1. Deducción de la ecuación del movimiento orbital.6.Ecuación del movimiento orbital.106


Fig.6.1Obtención de dos relaciones fundamentales que permiten poner a θ en función de r, a partir de la

ecuación aereal.

02

02

0)(

21

2121

21'

2

2

22

2

2

=+

=+

=

=⇒=

==

=

==⇒=

••••

••••

•

••

••

••

••

θθ

θθ

θ

θθ

θ

θ

rr

rrr

rdtd

rhhr

hrA

r

hkAdt

d

AuA

0A

Ec. Aereal

6.1. Deducción de la ecuación del movimiento orbital.

(Ver Fig.5.2)

Ec. aureolar

6.Ecuación del movimiento orbital. 107


Fig.6.2Procedimiento para poner la segunda ley de Newton

(la aceleración) en términos del parámetro r.

θr uua

Fa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=•••••••

θθθ rrrr

m

22

0

2rh

=•

θ

(Ver Fig.6.1)

(Ver Fig.6.1)

Frhrm

Frhrm

rhr

rhrr

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

••

••

••••

3

2

3

2

3

22

2

rr

rr

uFu

uua

6.1. Deducción de la ecuación del movimiento orbital.6.Ecuación del movimiento orbital.108


Fig.6.3Procedimiento para deducir la ecuación

fundamental del movimiento orbital partiendo de de que la función F es la ley de gravitación de

Newton.

0

0)(

)]([

)()]([

)(

223

22

2

22

3

2

3

2

=−+

=+−

−=−

=−

=

••

••

••

••

hrkrr

kr

hrr

rmk

rhrm

rFrhrm

rFma

Ec. del movimiento orbital

Ley de gravedad de Newton

(Unidades Gaussianas)

6.1. Deducción de la ecuación del movimiento orbital.6.Ecuación del movimiento orbital. 109


6.2. Dada la F(r) y la función r demostrar la consistencia de la ecuación del movimiento orbital.

En esta sección no se va a resolver la ecuación del movimiento orbital. Se pretende demostrar la consistencia de la ecuación orbital partiendo de las formas funcionales de F(r) (la ley de Newton) y de r (ecuación polar de las cónicas), las cuales serán introducidas en dicha ecuación.

El procedimiento de la demostración de la consistencia de la ecuación del movimiento orbital consiste en tres etapas. La primera implica calcular la primera y segunda derivadas de r usando la ecuación de las cónicas. Segundo, tratar de eliminar el parámetro θ de las derivadas. Y tercero, sustituir las expresiones de las derivadas primera y segunda en la ecuación original del movimiento con la finalidad de ver que el resultado sea igual cero.

6.2. Dada la F(r) y la función r demostrar la consistencia de la ec. orbital.6.Ecuación del movimiento orbital.110

Ir a Indice


Fig.6.4Partiendo de la función r se trata de obtener la

derivada primera de r.

)cos1()1(θe

eqr+

+=

])1(

[

)1(1)(

)1(1][)()(

)1(1][)()(

)1()1(]

)cos1()1([)(

])cos1(

)1([)(

)cos1()1()cos1(

22

2

2

2

eqehsen

dtdr

eqesenh

dtdr

eqresen

rh

dtdr

eqresen

dtd

dtdr

eqeq

eeqesen

dtd

dtdr

eeqesen

dtd

dtdr

eeqet

+⋅=

+⋅⋅=

+−⋅−⋅=

+−⋅−⋅=

++

++

−⋅−⋅=

++

−⋅−⋅=

++

→+→→

θ

θ

θ

θθθ

θθθ

θθθ

θθ

0223 =−+••

hrkrr

Descomposición de la función r

Nota:La estrategia de lademostración es tratarde eliminar el θ y obtenerlas derivadas 1º y 2º de r.

Ec. movimiento orbital

6.Ecuación del movimiento orbital. 1116.2. Dada la F(r) y la función r demostrar la consistencia de la ec. orbital.


Fig.6.4: Continuación.A partir de la derivada primera de r se procede a

hacer la derivada segunda.

]1)1([])1(

[

1)1(cos

cos])1(

[

])1(

[cos)(

])1(

[cos)(

])1(

[

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

−+

⋅+

=

−+

=

⋅+

=

+⋅⋅=

+⋅⋅=

+⋅=

req

eqrh

dtrd

reqe

eeqr

hdt

rdeq

ehrh

dtrd

eqeh

dtd

dtrd

eqehsen

dtdr

θ

θ

θ

θθ

θ

)1(2

2

3

2

2

2

eqrh

rh

dtrd

+−=

0223 =−+••

hrkrr Ec. movimiento orbital

6.Ecuación del movimiento orbital.1126.2. Dada la F(r) y la función r demostrar la consistencia de la ec. orbital.


)1(

)()1(

)1(

)1(

0)1(

)1(

22

2

22

22

2

23

2

2

3

2

2

2

eakh

Elipsemayorsemiejee

qa

eqkh

eqhk

heq

rhdt

rdr

eqrh

rh

dtrd

−=

−−−

=

+=

+=

=−+

+

+−=

0223 =−+••

hrkrr

Fig.6.4: Continuación.A partir de la derivada segunda se procede a

reagrupar los términos para reconstruir la ecuación del movimiento orbital y hacer una comparación, la cual muestra que la ecuación del movimiento orbital es consistente con las formas de F(r) y r,

siempre y cuando

Esta relación permite deducir la forma de h

Comparación de estas dos ecuaciones permite deducir la forma de h

)1( 22 eakh −=

6.Ecuación del movimiento orbital. 1136.2. Dada la F(r) y la función r demostrar la consistencia de la ec. orbital.


6.3. Obtener F(r) introduciendo la función r en la ecuación orbital.

En esta sección se va a deducir la forma de F(r) partiendo de la primera ley de Kepler. En otras palabras, se va a demostrar que si una partícula se mueve describiendo una cónica, entonces, la fuerza F(r) es la Ley de la Gravedad de Newton. Este procedimiento fue el que llevó a Newton a su famosa ley.

6.3. Obtener F(r) introduciendo la función r en la ecuación orbital.

6.Ecuación del movimiento orbital.114Ir a Indice


Fig.6.5Deducción de la ley de Newton asumiendo que r

es una cónica (elipse).

)()]([ 3

2

rFrhrm =−

••

)(

)1(

)()1(

)1(

)cos1()1(

22

2

2

2

2

2

3

2

2

2

rFrmk

eqkh

rFrm

eqh

eqrh

rh

dtrd

eeqr

=−

+=

=+

−

+−=

++

=θ

(Ver Fig.6.4)

6.Ecuación del movimiento orbital.6.3. Obtener F(r) introduciendo la función r en la ecuación orbital.

115


6.4. Dada la F(r) resolver la ecuación diferencial del movimiento orbital.

En esta sección se resolverá la ecuación diferencial del movimiento orbital:

La estrategia consiste en primero transformar mediante un cambio de variable:

Este cambio permite transformar la ecuación diferencial original en otra ecuación diferencial auxiliar tal que su solución es conocida:

Finalmente las constantes A, B y C son determinadas mediante comparación y datos de contorno, permitiendo deducir la forma final de la función r que corresponde a la ecuación clásica de la elipse.

0223 =−+••

hrkrr

6.4. Dada la F(r) resolver la ecuación diferencial del movimiento orbital.

ru 1

=

02

2

2

2

=−+hku

dud

θ

CBsenAr

u ++== θθcos1

6.Ecuación del movimiento orbital.116Ir a Indice


Fig.6.6Se hacen los cambios de variables para redefinir las

derivadas con respecto a r.

0223 =−+••

hrkrr 2rh

=•

θ

(Ver Fig.6.1)(Ver Fig.6.3)

( ) 2

2222

2

2

2

2

22

22

2

2

1

1

θθθ

θθ

θθ

θθθθ

θθθ

θθθθθθ

θθ

duduhhu

dudh

dtd

dudh

dtd

dduh

ddr

dtd

dduh

dd

dd

dduh

dtd

dduh

dtd

dtrdr

dduhdu

dh

rdr

dh

ddr

rh

ddr

dtd

dtdrr

hurhhr

drr

du

ru

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

==⇒=

−=

=

••

•••

•

••

Se hace un cambio de variable

2

222

θduduhr −=

••

θdduhr −=

•

6.Ecuación del movimiento orbital. 1176.4. Dada la F(r) resolver la ecuación diferencial del movimiento orbital.


Fig.6.7Se hacen los cambios de variables que son

necesarios para transformar la ecuación orbital en otra ecuación diferencial cuya solución es

conocida.

0

0

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

32222

222

3

2

2

2

223

=−+

=+−

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−+

=−+••

••

hku

dud

uhk

dud

uhukd

uduh

rh

rkr

hrkrr

θ

θ

θ

2

222

θduduhr −=

••

(Ver Fig.6.3)r

u 1=

Ecuación diferencial auxiliar

6.Ecuación del movimiento orbital.1186.4. Dada la F(r) resolver la ecuación diferencial del movimiento orbital.


Fig.6.8Resolución de la ecuación diferencial del movimiento orbital a través de otra ecuación diferencial auxiliar y

determinación de la constante C.

02

2

2

2

=−+hku

dud

θ

0223 =−+••

hrkrr

Solución general:

Ec. diferencial original

( ) ( )

2

2

2

2

2

2

0coscos

cos

cos

cos

hkC

hkCBsenABsenA

BsenAd

ud

BAsenddu

CBsenAu

=

=−+++−−

−−=

+−=

++=

θθθθ

θθθ

θθθ

θθ (6.8.2)

(6.8.3)

Sustituyendo las ec.’s (6.8.2) y (6.8.3) en la ec.(6.8.1):

(6.8.1)

6.Ecuación del movimiento orbital. 1196.4. Dada la F(r) resolver la ecuación diferencial del movimiento orbital.


Fig.6.9Resolución de la ecuación diferencial original del

movimiento orbital una vez establecido la forma de la función u y cálculo de la constante A’.

0223 =−+••

hrkrr Ec. diferencial original

( )θ

θ

θθθ

θθθ

θθθθ

cos1)1(

cos')1(1)1(

1cos')1()1(

cos')1()1(

cos'

cos'1

cos'

1cos'

11)cos('cos

1)1(

22

2

22

2

2

22

2

2

0

2

eeqr

Aeqeqr

Aeqeq

kAeqkeqk

kAhhr

hkAh

hkA

CAur

CACBsenAur

u

eqkh

++

=

+++

+++

=++

+=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

==

+−=++=

=

+=

Es posible elegir el sistema de referencia tal que θ0 = 0

)1('')1(

eqeAeAeq+

=⇒=+

6.Ecuación del movimiento orbital.1206.4. Dada la F(r) resolver la ecuación diferencial del movimiento orbital.


6.5. Comentarios sobre puntos versus esferas.

La mecánica se fundamenta en el principio de que los fenómenos se pueden reducir en términos de partículas e interacciones entre partículas. Este principio asume que las masas de las partículas sin importar sus tamaños o sus volúmenes se concentran en su centro. En otras palabras las partículas materiales se pueden considerar como puntos materiales en una forma tal que se puede usar un modelo de punto matemático o geométrico al estilo de los axiomas de la geometría Euclidiana.

En esta sección se hará la demostración de que las esferas materiales se comportan como puntos materiales. Esto es clave ya que los planetas pueden ser considerados como simples puntos materiales. Esto permite usar todo el poder de la mecánica para la descripción del Sistema Solar. Si tal reducción no fuese posible la descripción mecánica del Sistema Solar sería mucho más compleja que los actuales modelos que se disponen en los libros de Astronomía de Posición.

6.5. Puntos versus esferas.6.Ecuación del movimiento orbital. 121

Ir a Indice


Capítulo 7. Ecuación de la velocidad orbital.En este capítulo se va a deducir la ecuación de la velocidad orbital clásica cuya expresión para las distintas órbitas es:

La deducción de estas ecuaciones comienza con la ecuación general de la velocidad orbital (v) respecto al sistema de referencia rotacional (ver Fig.4.25):

Mediante la ecuación aureolar (ver Fig.6.1) se obtiene:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

arkv

rkv

arkv

12/2

12

2

2

2

:Hipérbola

:Parábola

:Elipse

222

θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+==••

•••

θ

θ

rrv

rr uuv rr

2

222

rhrv +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

• (7.1)

122Ir a Indice


Se aplica esta ecuación orbital para el caso de una elipse, específicamente en el perihelio, donde r punto es gual a cero. Esto se demuestra a través de un relación que se había deducido en el Cap06, ver Fig.6.4:

En el perihelio θ = 0, y por lo tanto, la derivada de r (r punto) es cero. Sustituyendo este resultado en la ec.(7.1) se obtiene:

Esta ecuación es válida para las cónicas. La energía total mecánica la cual es constante en cualquier punto de la órbita, tiene la forma:

Donde Ec es la energía cinética y Ep es la energía potencial gravitatoria. En particular, la energía total en el perihelio es:

2

22

qhvPH =

rmkEpmvEc

EpEcE

22;21

−==

+=

])1(

[eq

ehsenrdtdr

+⋅==

•

θ

qq2mkhmEPH

22

21−=

(7.2)

(7.3)

7.Ecuación de la velocidad orbital. 123


Igualando la ec.(7.3) con la ec.(7.2) se puede obtener la siguinete expresión:

Esta ecuación permite despejar la velocidad orbital v que es el objetivo buscado:

Esta ecuación es válida para todas las cónicas. Cada tipo de órbita (elipse, parábola e hipérbola) tiene un parámetro h característico, lo que permite obtener la velocidad orbital para cada órbita.

qmk

qhm

rmkmv 2

2

222

21

21

−=−

qk

qh

rkv 22 2

2

222 −+=

7.Ecuación de la velocidad orbital.124


7.1. Deducción de la ecuación general de la velocidad orbital.La deducción de la ecuación general de la velocidad orbital (v) comienza con la velocidad orbital deducida en el Cap.04 respecto al sistema de referencia rotacional (ver Fig.4.25):

Mediante las expresiones para r punto y la ecuación aureolar (ver Fig.6.1), será deducida una ecuación general para la velocidad orbital:

222

θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+==••

•••

θ

θ

rrv

rr uuv rr

7.1. Deducción de la ecuación general de la velocidad orbital.

2

222

rhrv +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

•

7.Ecuación de la velocidad orbital. 125Ir a Indice


Fig.7.1Obtención de la ecuación general de la velocidad

orbital.

( )

( )

7.1. Deducción de la ecuación general de la velocidad orbital.

2

222

2

22

22

22

2

222

θ

rhrv

rhhrv

hrv

rrv

rrv

rr

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+==

•

•

••

•••

••

•••

θ

θθ

θ

θ uuv rr

22

rhhr =⇒=

••

θθ

Ver Fig.3.1

Ecuación general de la velocidad orbital.



7.2. Aplicación de la ecuación general de la velocidad orbital al cáculo de la velocidad de un planeta en el perihelio de su órbita.

A partir de la ecuación general de la velocidad orbital:

Se aplica esta ecuación orbital para el caso de una elipse, específicamente en el perihelio, donde r punto es gual a cero. Esto se demuestra a través de un relación que se había deducido en el Cap06, ver Fig.6.4:

En el perihelio θ = 0, y por lo tanto, la derivada de r (r punto) es cero. Sustituyendo este resultado en la ec.(7.1) se obtiene:

7.2. Aplicación de la ecuación general de la velocidad orbital.

2

222

rhrv +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

•

2

22

qhvPH =

])1(

[eq

ehsenrdtdr

+⋅==

•

θ

(7.1)



( )

2

22

2

222

2

222

)0(

00

1

qhv

qhv

r

eqehsenr

rhrv

PH

PH

=

+=

=⇒=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

•

•

•

θ

θ

:Perihelio el En

Fig.7.2Aplicación de la ecuación de la velocidad orbital a un planeta que pasa por su perihelio. La r punto es

igual a cero en el perihelio. La ecuación para la velocidad orbital en el perihelio es válida para

todas las cónicas.

Ecuación general de la velocidad orbital.

Esta ecuación permite calcular a r punto cuando un planeta que pasa por su perihelio

Velocidad orbital de un planeta que pasa por su perihelio.

7.Ecuación de la velocidad orbital.1287.2. Aplicación de la ecuación general de la velocidad orbital.


7.3. Aplicación de la conservación de la energía mecánica para la deducción de una expresión sencilla de la velocidad orbital: Casos de la elipse, parábola e hipérbola.

La energía total mecánica la cual es constante en cualquier punto de la órbita, tiene la forma:

Donde Ec es la energía cinética y Ep es la energía potencial gravitatoria. En particular, la energía total en el perihelio es:

Igualando la ec.(7.3) con la ec.(7.2) se puede obtener la siguinete expresión:

7.3. Aplicación de la conservación de la energía mecánica.

rmkEpmvEc

EpEcE

22;21

−==

+=

qmk

qhmEPH

22

2

21

−=

(7.2)

(7.3)

qmk

qhm

rmkmv 2

2

222

21

21

−=−



Esta ecuación permite despejar la velocidad orbital v que es el objetivo buscado:

Cada órbita tiene un parámetro h característico:

Esto permite obtener la velocidad orbital para cada órbita:

qk

qh

rkv 22 2

2

222 −+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

arkv

rkv

arkv

12/2

12

22

2

22

:Hipérbola

:Parábola

:Elipse


)1(

2

)1(

22

2

22

−=

=

−=

eakh

qkh

eakh

:Hipérbola

:Parábola

:Elipse



qk

qh

rkv

qmk

qhm

rmkmv

qmk

qhm

rmkmvEpE

qmk

qhmE

rmkmvE

qhv

PH

PH

2221

21

21

21

21

21

22

222

22

222

22

222

22

2

22

2

22

−+=

−+=

−=−==

−=

−=

=

Fig.7.3Deducción de la ecuación de la velocidad orbital usando el principio de conservación de la energía mecánica, esta relación es válida para las órbitas

elípticas, parabólicas y e hiperbólicas.

Velocidad orbital a un planeta que pasa por su perihelio

Velocidad orbital válida para las cónicas.

7.3. Aplicación de la conservación de la energía mecánica.7.Ecuación de la velocidad orbital. 131

Ir a Indice


Fig.7.4Deducción de la ecuación de la velocidad orbital para la elipse usando la ecuación de velocidad de las cónicas. Para la elipse se usa el h adecuado. El mismo razonamiento se aplica a la

parábola y la hipérbola.

qkek

rkv

qk

qek

rkv

qk

eqeek

rkv

qk

eqeqk

rkv

qk

qeak

rkv

qk

qh

rkv

2222

22

22

22

22

22

2222

22

2222

22

222

2)1(2

2)1(2

2)1(

)1)(1(2

2)1()1(2

2)1(2

22

−++=

−+

+=

−−

+−+=

−−−

+=

−−

+=

−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−=

−−=

arkv

ak

rkv

qek

rkv

12

12

)1(2

22

222

222

Velocidad orbital para las cónicas.

Velocidad orbital para la elipse

Para la elipse


)1(

)1( 22

eqa

eakh

−=

−=



Capítulo 8. Ecuación Aureolar.En este capítulo se va a deducir la ecuación la ecuación aureolar. Esta ecuación diferencial relaciona el ángulo barrido por el planeta en su órbita con el tiempo. Posteriormente será resuelta esta ecuación diferencial mediante métodos especiales de integración.

En el Cap06 en la Fig.6.1, se muestra la obtención de la ecuación aureolar:

Esta ecuación es de una enorme importancia ya que la misma contiene la relación tiempo versus ángulo barrido por un planeta sobre su órbita. Esta ecuación se puede reescribir como:

Donde h y p son parámetros que dependen del tipo de órbita, Δt es el intervalo de tiempo respecto al paso por el perihelio. En la sección 8.1 de este capítulo se procede a resolver integral I que es la parte angular de la ecuación aureolar para una órbita eliptica.

hr =•

θ2

( ) ( )20

2cos1 epth

edI Δ⋅

=+

= ∫θ

θθ

133Ir a Indice


Los parámetros h y p depende del tipo de órbita. En general para las órbitas cónicas, estos parámetros tienen la forma:

Es bueno recordar que la parábola tiene por definición e=1 (excentricidad igual a uno) Posteriormente en las secciones siguientes, se procede a aplicar los resultados de la integración para obtener la función matemática que permite relacionar angulo barrido versus tiempo para cada tipo de órbita.

pkhe

eqp

2

)1(

=

+=

8. Integración de la ecuación Aureolar.134


( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )20 0

22

22

2

2

2

cos1

cos1

cos1

cos1

epthdt

eph

ed

dteph

ed

dthdeep

eepr

dthdr

hdtdr

t Δ⋅==

+

=+

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

⋅=

=

∫ ∫θ

θθ

θθ

θθ

θ

θ

θ

Fig.8.1Obtención de la ecuación aureolar y planteamiento

de la integración de la ecuación diferencial. El parámetro Δt es el número de días respecto al paso

por el perihelio.

Ver Fig.6.1

Ecuación polar de las cónicas.

La ec. Aureolar (ec.Diferencial a resolver)

Integral a resolver

8. Integración de la ecuación Aureolar. 135


8.1. Resolución de la ecuación aureolar para la elipse.

La integral a resolver es:

Aplicación del método del cambio de variables para convertir la integral (8.1) trigonométrica, otra integral pero de forma polinómica (ver Fig.(8.3) y (8.4)):

Donde t=tan(θ/2). El polinomio del denominador “D” se factoriza siguiendo la metodología de Hermite con la finalidad de calcular sus raíces para aplicar el método de integración de Hermite, ver Anexo-A Caso C-4. La integral (8.5) ahora se transforma según la metodología de Hermite en la integral (8.6) (ver Fig.(8.4) y (8.5)):

( )∫ +=

θ

θθ

02cos1 e

dI (8.1)

8.1. Resolución de la ecuación aureolar para la elipse.

( )∫ −+−++

+= 42222

2

)1()1(2)1(12

teteedttI (8.5)

( )[ ]∫ +−

+= 2222

2

)()1(12

EtedttI (8.6)

8. Integración de la ecuación Aureolar.136Ir a Indice


La integral la integral (8.6) sacando las constantes termina por dar la integral (8.7):

El integrando “C” de (8.7) se puede expresar según el método de Hermite en un nuevo cociente de polinomios dado por (8.8). El siguiente paso es determinar los parámetros M,N,M’,N’ (ver Fig.(8.6), (8.7) y(8.8)). Con estos coeficientes se tiene la nueva integral (8.13):

Esta integral se integra ahora muy fácilmente (está en las tablas de integración), obteniéndose finalmente (ver Fig.(8.9) y (8.10)):

Donde:

( )[ ]

( )[ ]

( )( )

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

++

=+

+=

−=

+

+−

= ∫∫

2222222

2

2222

2

2

'')(

1

)1(2

)(1

)1(2

EtNtM

dtd

EtdtNMt

EttC

CdteEt

dtte

I (8.7)

(8.8)

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+−

++−

= ∫ 222222 1'2

12

Ett

eM

Etdt

eNI (8.13)

( ) ( ) ( ) ( )22221

2 1'2tan

12

epth

Ett

eM

Et

EeN Δ⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−−

( ) ( )

)1()1(1

1

21

21'

2tan

22

2

2

2

2

eakhe

eqpe

eE

EEN

EEMt

−=+

=−+

=

+=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θ

8. Integración de la ecuación Aureolar.8.1. Resolución de la ecuación aureolar para la elipse.

137


Fig.8.2Aplicación del método del cambio de variables para convertir la integral (8.1) trigonométrica

mediante las ecuaciones (8.2) y (8.3), en la integral (8.4) polinómica.

( ) ( ) ( )20 0

22cos1 epthdt

eph

edI

t Δ⋅==

+= ∫ ∫

θ

θθ

( )

( )( )

( )( )

∫

∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

⋅++

=

+−

=⇒+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=⇒

+=

⋅=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

2

2

22

2

2

22

2

111)1(

211cos

2/cos12/cos1

2tan

)1(2

)1(2

)(22

tan

cos1

etet

dtI

ttt

tdtd

tdtd

tarctgt

edI

θθθθ

θθ

θθθ

θ (8.1)

(8.2)

(8.3)

(8.4)

(8.0)


138


Fig.8.3Se hacen arreglos en la ec.(8.4) para transformar esta integral en una forma polinómica, ver la ec.(8.5). Esta última integral

tiene un polinomio en el denominador con una potencia mayor que el polinomio del numerador esto indica que se debe usar el

método de Hermite

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )∫

∫

∫

∫

∫

∫

−+−+++

=

−+−++

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−++−++

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+−++

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−+

+−

⋅++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

⋅++

=

42222

2

222422

2

2

2222222

2

22222

22

222

2

22

2

2

22

)1()1(2)1(12

112)1(12

11112)1(

2

1112)1(

211

1121)1(

2111)1(

2

teteedttI

tetetdttI

ttettet

dtI

ttetet

dtI

tte

ttet

dtI

ttet

dtI (8.4)

(8.5)


139


Fig.8.4Se procede a estudiar el polinomio del denominador (D). Para esto se iguala a cero con la finalidad de calcular sus raíces para

aplicar el método de Hermite.

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

)1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1)(1(

1)1(

111)1(

121414)1(2

111

1211414)1(2

0)1()1(2)1(

0)1()1(2)1()1()1(2)1(

12

2

22

2

2

22222

2

22222

2222

2

22222

2222

2

42222

42222

2

eei

eet

eext

ee

eee

eex

eeee

x

eeee

x

eee

eeeee

x

xexeetx

teteeDtetee

dttI

−+

±=−+

±=⇒−+

==

−+

=−

−+=

−−

=

−−−−±−

=

−−−−±−−

=

−=−−

−−−−−±−−

=

=−+−++

=

=−+−++=

−+−+++

= ∫

En la elipse e<1 esto hace que existan raíces imaginarias

(8.5)


140


Fig.8.5El polinomio D se factoriza siguiendo la metodología de

Hermite con la finalidad de calcular sus raíces para aplicar el método de integración de Hermite, ver Anexo-A, Caso C-4. La

integral (8.5) ahora se transforma según la metodología de Hermite en la integral (8.6).

( )

[ ][ ]( )

[ ]∫

∫

+−

+=

+−=

−+−=−+−=

±=−+

±=

=−+−++=

−+−+++

=

2222

2

2222

22222

42222

42222

2

)()1(12

)()1(

))(()1()()()1(

)1()1(

0)1()1(2)1()1()1(2)1(

12

EtedttI

EteD

iEtiEteiEtiEteD

iEe

eit

teteeDtetee

dttI (8.5)

[ ] [ ]22222210 )()()()( dbxbaxaxaxaD +−⋅+−⋅−⋅−=

Factorización de Hermite

[ ]222)( dbx +−La parte compleja se descompone de esta manera según la metodología de Hermite.

(8.6)


141


( )

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )222

22

22

22'22'

222

'2222'

22

2222222

2

2222

2

2

2222

2

42222

2

2'''''

;''''

''''''

'')(

1

)1(2

)(1

)1(2

)()1(12

)1()1(2)1(12

EttNtMEtM

EtNtM

dtd

EtdtdEtNtM

dtdNtM

EtEtNtMEtNtM

EtNtM

dtd

EtNtM

dtd

EtdtNMt

EttC

CdteEt

dtte

I

EtedttI

teteedttI

+

+−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

+=++=+

+

++−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

++

=+

+=

−=

+

+−

=

+−

+=

−+−+++

=

∫∫

∫

∫

:Donde

Fig.8.6La integral (8.5) se transforma en la integral (8.6) sacando lasconstantes termina por dar la integral (8.7). El integrando de

(8.7) (C) se puede expresar según el método de Hermite en un nuevo cociente de polinomios dado por (8.8). El siguiente paso

es determinar los parámetros M,N,M’,N’.

(8.5)

(8.6)

(8.7)

(8.8)


142


Fig.8.7El integrando C se puede expresar según el método de Hermite

en un nuevo cociente de polinomios dado por (8.9). El siguiente paso es determinar los parámetros M,N,M’,N’. A

través de la ec.(8.10) es posible calcular estos parámetros cuyaconsecuencia es el sistema de ecuaciones (8.11).

( )[ ]

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )[ ]

( )( )

( ) ( )( )

( )[ ]

( )( ) ( ) ( )( )

( )[ ]

( )( ) ( ) ( )( )

( )[ ] ( )

( )

( ) ( )2

2

2

2

2

22222

2

2222323

222

22223

222

2

222

22222

222

2

222

2222

222

2

222

22

22222

2

222

22

22

2222222

2

21

211'1

21'1')'1(1)'(

0'0)'2('11)'(

0)'()'2()'(100

)'()'2()'()(

1

'2'2'')(

1

2''')(

1

2''')(

1

2'''''

'')(

1

EEN

EENMN

EEMEMEMEMNE

NNMEMNMN

MEMNEtNMEtMNMtttt

EtEMNEtNMEtMNMt

EttC

EttNtMEMtMEtNMt

EttC

EttNtMEtMEtNMt

EttC

EttNtMEtM

EtNMt

EttC

EttNtMEtM

EtNtM

dtd

EtNtM

dtd

EtNMt

EttC

+=⇒

−+=⇒+=

−=⇒=++⇒=+

=⇒=−

+=⇒=−=

++−+−+=+++

+

++−+−+=

+

+=

+

+−++++=

+

+=

+

+−++++=

+

+=

+

+−++

++

=+

+=

+

+−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

++

=+

+=

(8.9)

(8.10)

(8.11)


143


Fig.8.8Retomando el integrando C ec.(8.8) (ver Fig.8.7), y los valores de los parámetros M,N,M’,N’ de la ec.(8.12) se obtiene la la integral ec.(8.13) cuya estructura es ahora mucho más fácil de

tratar con los métodos convencionales de integración.

( )[ ]

( )( )

( )( )

( )

( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+−

++−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

++−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

++−

=−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

=+

+=

+=

−=

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

++

=+

+=

∫

∫∫

∫∫∫

222222

222222

2222222

2222222

2

2

2

2

2

2222222

2

1'2

12

'1

21

2

'1

21

21

2

')(

1

21

21'

0'0

'')(

1

Ett

eM

Etdt

eNI

EttMd

eEtNdt

eI

dtEttM

dtd

eEtNdt

edtC

eI

EttM

dtd

EtN

EttC

EEN

EEM

NM

EtNtM

dtd

EtNMt

EttC (8.8)

(8.12)

(8.13)


144


Fig.8.9Mediante la fórmula de integración de la ec.(8.14) se puede

integrar la integral I1. Sustituyendo este resultado en la ec.(8.13) se obtiene la integral I ec.(8.15).

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+−

++−

= ∫ 222222 1'2

12

Ett

eM

Etdt

eNI (8.13)

( )( )

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

+=

=====

+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅+

=+−

+

−

−

∫

∫

Et

EEtdxI

BA

Eba

txDonde

baxAb

axb

BAabax

dxBAx

122

22122

tan11

10

0

:

log2

tan

(8.14)I1

(8.15)

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−= −

2221

2 1'2tan

12

Ett

eM

Et

EeNI


145


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

)1(

)1(1

12

12

1'

2tan

1'2tan

12

1'2tan

12

cos1

1'2tan

12

22

2

2

2

2

22221

2

22221

20

2221

2

eakh

eeqp

eeE

EEN

EEM

t

epth

Ett

eM

Et

EeN

epth

Ett

eM

Et

EeN

edI

Ett

eM

Et

EeNI

−=

+=

−+

=

+=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Δ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−

Δ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−=

−

−

−

∫

θ

θθθ

:Elipse) la (para Donde

( ) ( )20

2cos1 epth

edI Δ⋅

=+

= ∫θ

θθ

Fig.8.10Retomando la ec.(8.0) (ver Fig.8.2), y colocando el resultado dela integración de la integral I ec.(8.15), se obtiene el resultado de

la integración de la ecuación aureolar ec.(8.16).

(8.0)

(8.15)

(8.16)

hr =•

θ2

Solución de la ec. Aureolarpara la Elipse


146


8.2. Resolución de la ecuación aureolar para la hipérbola.

8.2. Resolución de la ecuación aureolar para la hipérbola.


Para la hipérbola se usa el procedimiento de las Fig.(8.2) a (8.5) hasta obtener la integral:

La diferencia está en las raíces del polinomio “D”, del denominador de la integral, las cuales son todas reales debido a que e>1. El polinomio D se factoriza por lo procedimientos usuales (ver Fig.(8.11)), esto permite convertir la integral I de ec.(8.5) en la nueva integral ec.(8.18) (ver Fig.(8.11) y (8.12)):

El integrando C’ de la ec.(8.18) se puede descomponer:

( )∫ +=

θ

θθ

02cos1 e

dI (8.1)

( )∫ −+−++

+= 42222

2

)1()1(2)1(12

teteedttI (8.5)

( )∫ −

+−

= 222

2

2 )(1

)1(2

Ftdtt

eI (8.18)

8. Integración de la ecuación Aureolar. 147Ir a Indice


Los coeficientes A,B,C y D deben se calculados por un método de igualación, (ver Fig.(8.13), (8.14) y (8.15)) obteniéndose finalmente la solución de la ecuación aureolar de la hipérbola:

Donde:

( )22222

2

)()()()()(1'

FtD

FtC

FtB

FtA

FttC

++

++

−+

−=

−+

=

( ) ( ) ( )( )2)(

lnlnep

thFt

DFtCFt

BFtA Δ⋅=

+−++

−−−

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

eeqp

eakht

eeF

FFC

FFDB

FFA

1

12

tan

11

41

41

41

22

3

2

2

2

3

2

+=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−+

=−

=

+==

−=

θ

8. Integración de la ecuación Aureolar.8.2. Resolución de la ecuación aureolar para la hipérbola.

148


Fig.8.11Para la hipérbola se usa el procedimiento de las Fig.(8.2) a (8.5). La diferencia está en las raíces del polinomio D, las

cuales son todas reales debido a que e>1.

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

)1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1)(1(

1)1(

111)1(

121414)1(2

111

1211414)1(2

0)1()1(2)1(

0)1()1(2)1()1()1(2)1(

12

2

22

2

2

22222

2

22222

2222

2

22222

2222

2

42222

42222

2

−+

±=⇒−+

==

−+

=−

−+=

−−

=

−−−−±−

=

−−−−±−−

=

−=−−

−−−−−±−−

=

=−+−++

=

=−+−++=

−+−+++

= ∫

eet

eext

ee

eee

eex

eeee

x

eeee

x

eee

eeeee

x

xexeetx

teteeDtetee

dttI

En la hipérbola e>1 esto hace que existan raíces reales solamente.

(8.5)


149


Fig.8.12El polinomio D se factoriza como se ve en la ec.(8.17), donde

tenemos dos raíces reales distintas y cada una con multiplicidadigual a dos. Se aplica el método C2 del Anexo-A, esto permite

convertir la integral I de ec.(8.5) en la nueva integral de ec.(8.18). El integrando C’ de la ec.(8.18) se puede descomponer

según la ec.(8.19). Esta descomposición se basa en que el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ec.(8.19)

genera el denominador de la fracción C’. Los coeficientes A,B,C y D deben se calculados.

( )

( )

( )

( )

[ ] 22222

22222

2

222

2

2

22

2

2

222

42222

42222

2

)()(),(,)(),(...)()()()()(

1'

)(1

)1(2

)()(1

)1(2

)()()1(

)1()1(

0)1()1(2)1()1()1(2)1(

12

FtFtFtFtFtmcmFt

DFt

CFt

BFt

AFttC

Ftdtt

eI

FtFtdtt

eI

FtFteD

Feet

teteeDtetee

dttI

−=++−−

++

++

−+

−=

−+

=

−+

−=

−++

−=

−+−=

±=−+

±=

=−+−++=

−+−+++

=

∫

∫

∫ (8.5)

(8.17)

(8.18)(8.19)


150


Fig.8.13Se hace la suma de las fracciones del cociente C’ para obtener

la ec.(8.20). Agrupando en términos el numerador de esta ecuación y haciendo las operaciones algebraicas se tiene la relación entre los numeradores de la ec.(8.21). Esta relación

permite calcular los coeficientes A,B,C,D.

( )

( )

[ ]

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )233222

2323

22

3223

22

32232

222

2222

222

2

2222222

22222

2

222

2

2

2210

2

2)()(

)()())(()()()(

)(1

)()()()(),(,)(),(...)()()()()(

1'

)(1

)1(2

DFCFAFBFtFDCFAFFBtDFCBAFtCAtt

DFFDtDtCFtCFFCtCt

BFFBtBtAFtAFAFtAtFtFtA

FtFtDFtFtCFtBFtFtA

Ftt

FtFtFtFtFtFtFtmcmFt

DFt

CFt

BFt

AFttC

Ftdtt

eI

++−+−−−

++−+++=+++=++

+−=

+−−=

++=

−−+=−+=

−−+−++++−+

=−+

−+=−=++−−

++

++

−+

−=

−+

=

−+

−= ∫

δγβα

δ

γ

β

α

(8.5)

α β γ δ

(8.20)

(8.21)


151


Fig.8.14la relación entre los numeradores de la ec.(8.21), genera el sistema de ec.’s (8.22). Esta relación permite generar un

sistema de ecuaciones (8.23) que haciendo un poco de álgebra permite llevar al sistema (8.24) y finalmente a calcular los

coeficientes A,B,C,D.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )3

2

2

2

3

2

2

2

2332

222

233222

2323

41

41

41

/122122

0

/11

00

102022

10

2210

FFC

FFDB

FFA

FDFCDFC

DB

FDCFAFBDFCBAF

CACADB

DECFAFBFDBFCAFFDCFAFFB

DFCBAFCA

DFCFAFBFtFDCFAFFBtDFCBAFtCAtt

−=

+==

−=

=+

=+−=−

=++−

=+−+−=⇒=+

=−

=++−

=−++−⇒=−−−

=+−+=+

++−+−−−

++−+++=+++=++ δγβα

(8.21)

(8.22)

(8.23)

(8.24)


152


Fig.8.15Retomando la integral I ec.(8.0) y sustituyendo los resultados de la descomposición de la fracción C’ se obtiene la integral

(8.25) cuya forma ahora es fácil de integrar. El resultado es laecuación aureolar integrada para la hipérbola ec.(8.26).

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

eeqp

eakht

eeF

FFC

FFDB

FFA

Dondeep

thFt

DFtCFt

BFtA

FtFtdtFt

Ftdt

FtFtdtFt

Ftdt

FtdtD

FtdtC

FtdtB

FtdtAI

FtD

FtC

FtB

FtA

Ftt

epth

Ftdtt

eedI

t

1

12

tan

11

41

41

41

:)(

lnln

)(1

)(ln

)(

1)(

ln)(

)()()()(

)()()()()(1

)(1

)1(2

cos1

22

3

2

2

2

3

2

2

2

2

22

22222

2

20

222

2

20

2

+=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−+

=−

=

+==

−=

Δ⋅=

+−++

−−−

+−=

++=

+

−−=

−−=

−

++

++

−+

−=

++

++

−+

−=

−+

Δ⋅=

−+

−=

+=

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

∫∫

θ

θθθ

(8.5)

(8.25)

(8.26)

hr =•

θ2

Solución de la ec. Aureolarpara la Hipérbola


153


8.3. Resolución de la ecuación aureolar para la parábola.


Para la parábola se usa el procedimiento de las Fig.(8.16) a (8.17) hasta obtener la integral:

Donde u=θ/2. Siguiendo una serie de procedimientos usuales de integración (ver Fig.(8.18)) se obtiene la ecuación aureolar de la parábola:

Donde:

( )

8.3. Resolución de la ecuación aureolar para la parábola.

∫ +=

θ

θθ

02cos1 e

dI (8.1)

∫∫ == duuu

duI )(sec21

)(cos2

41 4

4 (8.28)

( )( )

20

3

2 )tan(3

tan21

cos1 pthuudI Δ⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+= ∫

θ

θθ

qpuqkh 22

2 2 === θ

8. Integración de la ecuación Aureolar.154Ir a Indice


Fig.8.16Obtención de la ecuación aureolar y planteamiento de la integración de la ecuación diferencial para el

caso de la parábola (e=1). El parámetro Δt es el número de días respecto al paso por el perihelio.

Ver Fig.4.1

Ecuación polar de las cónicas.

La ec. Aureolar (ec.Diferencial a resolver)

Integral a resolver

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )20 0

22

22

2

2

2

cos1

cos1

cos1

cos1

pthdt

phd

dtphd

dthdp

pr

dthdr

hdtdr

t Δ⋅==

+

=+

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

⋅=

=

∫ ∫θ

θθ

θθ

θθ

θ

θ

θ

(8.27)

8. Integración de la ecuación Aureolar.8.3. Resolución de la ecuación aureolar para la parábola.

155


Fig.8.17Aplicación del método del cambio de variables para convertir la integral (8.27) en la integral

(8.28) que es muy fácil de integrar.

( ) 20 0

22cos1 pthdt

phdI

t Δ⋅==

+= ∫ ∫

θ

θθ

( )

( )

( )

∫∫

∫

∫

==

=

=⇒=

=

=

=+

+=

duuu

duI

uu

duddduu

dI

dI

)(sec21

)(cos2

41

)cos(1sec

2212/

2/cos41

2cos2cos1

cos1

44

4

2

2

θθ

θθθ

θθ

θθ (8.27)

(8.28)


156


Fig.8.18La integral (8.27) se transformó mediante cambio de variables en la (8.28). La descomposición de

esta integral da la (8.29) constituida por integrales que aparecen en las tablas de integración.

( ) 20 0

22cos1 pthdt

phdI

t Δ⋅==

+= ∫ ∫

θ

θθ

[ ][ ] [ ]

( )( )

( )

( )( )

qpuqkh

Dondep

thuudI

uduu

uduuu

duuduuuI

duuuuuuI

duuuduuI

duIduuI

22

2

:

)tan(3

tan21

cos1

)tan(sec3

tan)(sec)(tan

sec)(sec)(tan1

)(sec)(sec)(tan)(sec1)(tan1

)(sec1)(tan)(sec1

121)(sec

21

2

20

3

2

2

322

222

22222

224

4

===

Δ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+=

=

=

+=

+=+=

+==

⋅==

∫

∫

∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

θ

θθθ

(8.27)

(8.28)

(8.29)

(8.30)

hr =•

θ2

Solución de la ec. Aureolarpara la Parábola


157


Capítulo 9. La ecuación del período y tercera ley de Kepler.En este capítulo se deduce la ecuación del período de un planeta alrededor de su órbita (ver Fig.(9.1)):

Posteriormente se usa esta ecuación para deducir la tercera Ley de Kepler (ver Fig.(9.2)):

Donde a1 y a2 son los semiejes mayores del planeta 1 y 2 respectivamente. P1 y P2 son los períodos de los panetas 1 y 2.

kaP

2/32π=

3

2

12

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

aa

PP

158Ir a Indice


Fig.9.1Obtención de la ecuación del período para una elipse partiendo de la velocidad aereal. Si un planeta describe un período P completo en su

órbita, entonces, Δt=P y el ΔA es igual al área de la elipse.

kaP

eab

eakhhabP

PtabA

thA

dthdAhdtdA

2/3

2

22

2

)1(

)1(

2

21

21

21

π

π

π

=

−=

−=

=

=Δ=Δ

Δ⋅=Δ

⋅=⇒= Ver Cap.05Fig.5.2

habPAhab ππ 2

212 =⇒Δ⋅=

1599. La ecuación del período y tercera ley de Kepler.


Fig.9.2Aplicando la ecuación del período a dos planetas

con órbita elíptica, se obtienen las ecuaciones para el período de los planetas 1 y 2 (P1 y P2). Haciendo el cociente de estas ecuaciones y

reordenando se obtiene la tercera ley de Kepler.

3

2

12

2/32

2/31

2/32

2/31

21

21

2221

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

==

aa

PP

aa

PP

kaP

kaP ππ

kaP

2/32π=

Planeta 1:

Planeta 2:

kaP

2/3121 π

=

kaP

2/3222 π

=

Tercera Ley de Kepler

160 9. La ecuación del período y tercera ley de Kepler.


Capítulo 10. Deducción de la ecuación de Kepler.En este capítulo se deduce la ecuación de Kepler. Esta ecuación es fundamental en la astronomía de posición debido a que el incio del cálculo de la posición de un objeto en el cielo, comienza con el cálculo de su posición en su órbita para una dada fecha. Este problema lo resolvimos en el Cap.05 donde resolvimos la ecuación aureolar. Por ejemplo, en el caso de una típica órbita elíptica:

Donde:

Se parte de la fecha F (día, mes y año) que se quiere saber la posición del objeto celeste. Después sabiendo la fecha de la epoca del paso por el perihelio EPH (también día, mes y año), entonces, es posble determinar el Δt, calculando el número de días entre las fechas F y EPH.

( ) ( ) ( ) ( )22221

2 1'2tan

12

epth

Ett

eM

Et

EeN Δ⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−−

( ) ( )

verdadera Anomalía perihelio. elpor paso al respecto días de Número

==Δ

−=+

=−+

=

+=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θ

θ

t

eakhe

eqpe

eE

EEN

EEMt

)1()1(1

1

21

21'

2tan

22

2

2

2

2

(10.1)

161Ir a Indice


Sin embargo, Kepler desarrolló una metodología completamente diferente para calcular la posición de un objeto sobre su órbita para una fecha dada. Esta metodología es mucho más sencilla que la planteada por la ecuación (10.1).

Kepler en lugar de establecer la relación directa entre el ángulo barrido y el Δt, en su lugar resolvió tres problemas relativamente sencillos. El primer problema es determinar el ángulo barrido en una órbita circunferencial, donde el Sol se ubica en su centro:

Donde M es el ángulo barrido para la fecha de interés F, este ángulo se conoce en astronomía como la anomalía media. El parámetro n es el movimiento diario, y EPH es la época del paso por el perihelio (n y EPH son elementos de órbita del objeto).

El segundo problema es que a partir del ángulo M calculado previamente, calcular el ángulo barrido por el planeta suponiendo que la órbita es una elipse, pero, el Sol sigue ubicado en el centro de la elipse:

tnMEPHFt

Δ⋅=−=Δ )(

(10.2)

10. La ecuación de Kepler.162


Donde E es el ángulo barrido para la fecha de interés F, este ángulo se conoce en astronomía como la anomalía excéntrica. El parámetro “e” es la excentricidad de la órbita del objeto (es otro elemento de órbita). Esta ecuación se la conoce como la ecuación de Kepler. El tercer y último problema que resolvió Kepler es que a partir del ángulo E calculado previamente, calcular ahora el ángulo barrido por el planeta, suponiendo que la órbita es una elipse, pero, el Sol está ubicado en uno de los focos de la elipse:

Donde f es el ángulo barrido para la fecha de interés F, este ángulo se conoce en astronomía como la anomalía verdadera. Como su nombre indica, este es el verdadero ángulo que tiene el objeto entre su perihelio y su posición actual para la fecha F. La Fig.10.1 resume los tres problemas de Kepler. Sin embargo desde el punto de vista práctico la estrategia moderna para resolver los tres problemas de Kepelr es distinta a como la ideó originalmente Kepler.

sinEeEM ⋅−= (10.3)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2tan

11

2tan

2/1 Eeef (10.4)

10. La ecuación de Kepler. 163


Fig.10.1Sea un planeta P (punto verde). El punto A’ y el ángulo

M (anomalía media) representan la posición de P suponiendo una órbita circunferencial y el Sol ubicado

en el centro C. El punto A y el ángulo E (anomalía excéntrica), representan la posición de P suponiendo

una órbita eliptica con el Sol ubicado en el centro C. El punto A es la proyección del punto H. El punto H y el ángulo θ representan la posición verdadera suponiendo

el Sol en el foco F (punto rojo) y una órbita elíptica.

H

A

BC D

a

c F

M

F = Foco de la elipseC = Centro de la elipse

E θr

PA’

Sol



10.1. Demostración de dos teoremas.

En esta sección se van a demsostrar dos teoremas muy útiles. El Primer Teorema establece (ver Fig.(10.1)):

Obsérvese que a medida que el planeta P se mueve en su órbita, las longitudes de los segmentos BH y HA varían. Sin embargo, el cociente de estos segmentos es constante.

El Segundo Teorema establece que el cociente del área BDH entre el área BDA es una constante:

21 eab

BABH

−==

21 eab

BDABDH

−==




H

A

BCD

ab

F

Primer Teorema:

21 eab

BABH

−==

P

Fig.10.2Planteamiento del Primer Teorema. Obsérvese que a medida que el planeta P se mueve en su órbita, las longitudes de los segmentos BH y HA varían. Sin

embargo, el cociente de estos segmentos es constante.

10. La ecuación de Kepler.166Ir a Indice



Fig.10.3Planteamiento de las ecuaciones para la circunferencia y la elipse cuyos centros están ubicados en C. Donde las

coordendas pertenecientes a los puntos de la circunferencia se representan por XA e YA. Las

coordendas pertenecientes a los puntos de la elipse se representan por XH e YH.

H

A

BCD

ab

F

P

Primer Teorema:

21 eab

BABH

−==

Para la circunferencia:222 aYAXA =+

Para la elipse:

12

2

2

2

=+b

YHa

XHBHYH

BAYAXHXA

===

Observaciones:

X

Y(XA,YA=BA)

(XH,YH=BH)




Fig.10.4Reordenando la ecuación de la circunferencia y usando

la ec.(10.5) se obtiene la ec.(10.6).

H

A

BCD

ab

F

P

Primer Teorema:

21 eab

BABH

−==

X

Y(XA,YA=BA)

(XH,YH=BH)


Para la elipse:

12

2

2

2

=+b

YHa

XH

BHYHBAYAXHXA

===

Observaciones:2

2

22

2222

2

2222

1 BAa

XAa

BAaXAaa

BAYAaXA

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

==−

(10.5)(10.6)




Fig.10.5Reordenando la ecuación de la elipse y usando la

ec.(10.7) se obtiene la ec.(10.8).

H

A

BCD

ab

F

P

Primer Teorema:

21 eab

BABH

−==

X

Y(XA,YA=BA)

(XH,YH=BH)


Para la elipse:

12

2

2

2

=+b

YHa

XH

BHYHBAYAXHXA

===

Observaciones:

(10.7)

222

22

2

2

2

2

1

1

BHYHa

XAb

bYH

aXA

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

(10.8)




Fig.10.6Haciendo el cociente de las ecuaciones (10.6) y (10.8) se obtiene finalmente la ecuación del teorema, por lo

que queda demostrado.

H

A

BCD

ab

F

P

Primer Teorema:

21 eab

BABH

−==

X

Y(XA,YA=BA)

(XH,YH=BH)

22

22 1 BH

aXAb =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22

22 1 BA

aXAa =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

21 eab

BABH

−==

L.Q.Q.D.

(10.6)

(10.8)




H

A

BCD

ab

F

Segundo Teorema:

P

Fig.10.7Planteamiento del Segundo Teorema. Obsérvese que a

medida que el planeta P se mueve en su órbita, las áreas BDH y BDA varían. Sin embargo, el cociente de estas

áreas es constante.

21)()( e

ab

BDAABDHA

−==

Donde:A(BDH) = Area BDH A(BDA) = Area BDA



dxaXaBDAA

XAaBDAA

XAaYA

aYAXA

XD

XA

XD

XA

∫

∫

−=

−=

−=

=+

2

2

22

22

222

1)(

)(


Fig.10.8Partiendo de la ecuación de la circunferencia y

despejando a YA, la intergral de la función YA es por definición el área de la sección de la circunferencia BDA.

H

A

BCD

ab

F

P

X

Y(XA,YA=BA)

(XH,YH=BH)

Segundo Teorema:21

)()( e

ab

BDAABDHA

−==

(10.9)

Donde:XD = Coordenada x del punto D.




Fig.10.9Partiendo de la ecuación de la elipse y despejando a YH, la intergral de la función YH es por definición el área de

la sección de la circunferencia BDH.

H

A

BCD

ab

F

P

X

Y(XA,YA=BA)

(XH,YH=BH)

Segundo Teorema:21

)()( e

ab

BDAABDHA

−==

dxaXbBDHA

aXAbYH

bYH

aXH

XD

XA∫ −=

−=

=+

2

2

2

2

2

2

2

2

1)(

1

1

(10.10)

Donde:XD = Coordenada x del punto D.




H

A

BCD

ab

F

P

X

Y(XA,YA=BA)

(XH,YH=BH)

L.Q.Q.D.

Segundo Teorema:21

)()( e

ab

BDAABDHA

−==

dxaXaBDAA

XD

XA∫ −= 2

2

1)(

dxaXbBDHA

XD

XA∫ −= 2

2

1)(

Fig.10.10Haciendo el cociente de las ecuaciones (10.9) y (10.10)

se obtiene finalmente la ecuación del teorema, por lo que queda demostrado.

(10.9)

(10.10)

21)()( e

ab

BDAABDHA

−==



10.2. El problema del ángulo barrido en órbita circunferencial.

En esta sección se aplican los principios básicos de la cinemática rotacional al problema de una órbita circunferencial, donde el Sol está ubicado en el centro de la órbita.

10. La ecuación de Kepler. 175Ir a Indice


Fig.10.2Un objeto (planeta) ubicado en A recorre una

órbita circunferencial de radio igual a “r”, a una velocidad angular constante ω. Si se fija a D como punto de referencia para el contaje del tiempo (t =

t0), entonces, en el instante t, el intervalo de tiempo transcurrido entre A y D es Δt = (t - t0). El ángulo barrido M se obtiene por simple despeje de la ecuación de definición de la velocidad angular.

A’

CD

M

r

Sol

tMt

Mttt

Δ⋅=Δ

=

−=Δ

ω

ω

)( 0

Definición de velocidad angular

10.2.El problema del ángulo barrido en una órbita circunferencial.



Fig.10.3El primer problema de Kepler consiste endeterminar el ángulo barrido en una órbita

circunferencial de radio r = a (semieeje mayor de la órbita), donde el Sol se ubica en su centro. M es

el ángulo barrido entre A y D para la fecha de interés F, este ángulo se denomina anomalía

media. El parámetro n es el movimiento diario y equivale a la velocidad angular. EPH es la época

del paso por el perihelio.

p

CDM

a

(Perihelio)

(Planeta)

Sol

tnMEPHFt

Δ⋅=−=Δ )(

10.2.El problema del ángulo barrido en una órbita circunferencial.

10. La ecuación de Kepler.

(10.2)

177


10.3. Expresión que conecta a r y E.

La estrategia para encontrar la conexión de r y E se basa en el hecho de rsenθ tiene la forma:

Esta expresión ya contiene a r y E. El probelma está en el parámetro HA que debe ser expresado en términos conocidos (ver Fig.10.4). Este parámetro se puede expresar (ver Fig.10.5) como:

Gracias a que BA se puede expresar como:

Y además, BH se puede (gracias al teorema 1) como:

Mediante una serie de arreglos algebraicos es posible (ver Fig.10.4) obtener:

HAasenEsenr −=⋅ θ

BHBAHA −=

HAasenEsenrBA −=⋅= θ

21 eab

BABH

−==

)cos1( Eear −=



Fig.10.4La estrategia para encontrar la conexión de r y Econsiste en buscar rsenθ y rcosθ en función de

parámetros conocidos ya que su cociente permite eliminar r y generar la tanθ. El problema está en

la ec.(10.5) que contiene HA, se necesita de alguna manera, poner a HA en función de algo

conocido.

H

A

BC D

a

E θr

P

aeEar

aecace

cEar

−=⋅

=⇒=

−=

coscos

coscos

θ

θ

HAasenEsenr −=⋅ θaeEar −=⋅ coscosθ

(10.5)

(10.6)

rcosθc

F

F = FocoC = Centroc = CF = ae

10.3. Expresión que conecta a r y E. 10. La ecuación de Kepler. 179


22222

2

2

2

2

22

)cos()1()cos()(

coscos1

)11(

)11(

)11(

)11(1

aeEaesenEarsenr

aeEaresenEasenr

esenEasenEasenr

esenEasenrsenEa

eBAsenrsenEaHA

senrBHsenEaBA

eBAeBABAHA

BHBAHA

−⋅+−⋅⋅=⋅+⋅

−⋅=⋅−⋅⋅=⋅

−−⋅⋅−⋅=⋅

−−⋅⋅=⋅−⋅

−−⋅=⋅−⋅=

⋅=⋅=

−−⋅=−⋅−=

−=

θθ

θθ

θ

θ

θ

θ

Fig.10.4HA se puede expresar como BA-BH según la figura arriba. BA se puede sustituir por la ec.(10.5) y BH se

puede sustituir en función de BA por medio de la ecuación del Primer Teorema para obtener la ec.(10.11).

aeEar −=⋅ coscosθ (10.5)(10.6)

21 eab

BABH

−==

Primer Teorema

H

A

BC D

a

E θr

P

rcosθc

F

(10.11)

10.3. Expresión que conecta a r y E.




Fig.10.4: ContinuaciónLa ecuación (10.11) por medio de arreglos

algebraicos se puede transformar en la ec.(10.12) que permite relacionar a r y E.

21 eab

BABH

−==

Primer Teorema

H

A

BC D

a

E θr

P

rcosθc

F

( )( )( ) ( )

( )

( )( )

)cos1()cos1(

cos2cos)cos2(cos

)cos2(cos1cos1sen

)cos2(sen)cos2(sencossen

)cos2cos(sensen)cos2cos(1sencossen

)cos()1sen()cos()sen(

222

222222

2222222222

22222222

22

22222222

22222222222

2222222222

22222222222

22222

EearEear

aEeaEeareaEeaEeaeaar

eaEeaEeaarEE

eaEeaEeaareaEeaEeaEaEar

eaEaeaEaEeaEareaEaeaEaeEarr

aeEaeEarr

−=−=

+⋅−⋅=

+⋅−+⋅+−+=

+⋅−+−⋅−=

−=

+⋅−+⋅−+=

+⋅−+⋅−+⋅+⋅=

+⋅⋅−⋅+⋅−⋅=

+⋅⋅−⋅+−⋅⋅=⋅+⋅

−⋅+−⋅⋅=⋅+⋅

θθ

θθ (10.11)

)cos1( Eear −=(10.12)

10.3. Expresión que conecta a r y E. 10. La ecuación de Kepler. 181


10.4.Expresión que conecta a θ y E.

En esta sección se va a deducir una expresión matemática que conecta a θ y E (ver Fig.10.5):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2tan

11

2tan

2/1 Eeeθ



Fig.10.5La ecuación (10.6) por medio de arreglos algebraicos y el uso de las ecs.(10.13) y (10.14), se puede transformar en

la ec.(10.15) que permite relacionar a θ y E.

H

A

BC D

a

E θr

P

rcosθc

F


aeEar −=⋅ coscosθ

(10.5)

(10.6)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++

=++

+=+

+−−

=++

−=−

++

=

−=⋅=−

−=⋅

211

2

211

2

cos1)cos1)(1(

cos1cos1cos1

cos1)cos1)(1(

cos1cos1cos1

cos1coscos

)cos1(coscos

coscos

2/1

22

Etaneetan

taneeEtan

ee

eeE

ee

eeE

eeE

earraeEa

aeEar

θ

θθ

θθθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2tan

11

2tan

2/1 Eeeθ

(10.14) ααα

cos1cos1

21tan

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(10.13)

Identidad trigonométrica

(10.15)

10.4.Expresión que conecta a θ y E.10. La ecuación de Kepler. 183


10.5.Expresión que conectan a E y t: La ecuación de Kepler.

En esta sección se deducirá la ecuación de Kepler (ver Figuras (10.6) a (10.11)):

La estrategia para encontrar la ecuación de Kepler que relaciona E y tiempo t implica encontrar una relación entre θ y t, ya que previamente, se encontró la relación E y θ por medio de la ec.(10.14) o (10.15). La conexión θ y t se logra por medio del área DFH que está relacionada con θ y t a través de la segunda Ley de Kepler. Por lo tanto se debe buscar expresar a DFH en términos de θ.

EeEtnM sin−=Δ=



Fig.10.6La estrategia para encontrar la ecuación de Kepler que relaciona E y tiempo t implica encontrar una

relación entre θ y t, ya que previamente, se encontró la relación E y θ por medio de la ec.(10.14) o

(10.15). La conexión θ y t se logra por medio del área DFH que está relacionada con θ y t a través de

la segunda Ley de Kepler. Por lo tanto se debe buscar expresar a DFH en términos de θ.

H

A

BC D

a

E θr

P

rcosθc

F

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=

2tan

11

2tan

cos1coscos

2/1 Eee

eeE

θθθ

(10.14)

thDFH Δ=21

Segunda Ley de Kepler

(10.15)

?

10.5.Expresión que conectan a E y t: La ecuación de Kepler.10. La ecuación de Kepler. 185


Fig.10.7Para poder encontrar una expresión para el área

DFH, se debe conectar el área que si es conocida DCA con DFH, ya que si se logra esto, se tiene unaconección entre Δt y θ, debido a que DCA está en función de E y tenemos una conexión entre E y θ

deducida previamente.

H

A

BC D

a

E θr

P

rcosθc

F

thDFH Δ=21


Area DCA = BDA + BCA = (1/2)(E)a2

Area DFH = BDH + BFH

10.5.Expresión que conectan a E y t: La ecuación de Kepler.10. La ecuación de Kepler.186


Fig.10.8Existe una conexión entre DCA con DFH a través de las áreas BDA y BDH gracias a la ecuación del

Segundo Teorema.

H

A

BC D

a

E θr

P

rcosθc

F

thDFH Δ=21


Area DCA = BDA + BCA = (1/2)·E·a2

Area DFH = BDH + BFH = (1/2) ·h·Δt

21 eab

BDABDH

−==

Segundo Teorema



Fig.10.9Se obtiene una expresión para DFH en función de las áreas DCA, BCA y BFH. El siguiente paso es

expresar de manera explícita estas áreas en función de términos conocidos.

H

A

BC D

a

E θr

P

rcosθc

F

Area DCA = BDA + BCA = (1/2)·E·a2

Area DFH = BDH + BFH = (1/2) ·h·Δt

21 eab

BDABDH

−==

Segundo Teorema

( )( )θθ rsenrBFH

BFHeBCAeDCAthDFH

BFHeBCADCADFH

BCADCABDABFHeBDADFH

cos21

1121

]1)[(

]1[

22

2

2

=

+−⋅−−⋅=Δ=

+−⋅−=

−=+−⋅=

10.5.Expresión que conectan a E y t: La ecuación de Kepler.10. La ecuación de Kepler.188


Fig.10.10DFH está en función de las áreas DCA, BCA y

BFH. Estas áreas se ponen en función de parámetros conocidos obteniéndose la nueva forma

de DFH ec.(10.16).

)()cos(21

24

)sin()cos(2121

1121

2

2

22

θθ rsenrBFH

EsenaEaEaBCA

EaDCA

BFHeBCAeDCAthDFH

⋅=

=⋅=

=

+−⋅−−⋅=Δ=

( ) ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅−−⋅=

−⋅⋅−−⋅⋅=

−⋅⋅−=⋅=

2222

2222

2

12112

4

11cos21

1cos21)()cos(

21

esenEeaeEsenaBFH

esenEeaesenEEaBFH

easenEaeEarsenrBFH θθ

ααα cos22 ⋅⋅= sensen

aeEaresenEasenr

−⋅=⋅−⋅⋅=⋅

coscos1 2

θθ

Ver Fig.10.4

Ver Fig.10.4

2222 1sin211

21

21 eEeaeEathDFH −⋅−−⋅=Δ=

(10.16)



Fig.10.11A partir de DFH ec.(10.16), se procede a escribir de una manera conveniente la forma de h a través de la

seguna Ley de Kepler. Sustituyendo la ec.(10.17) en la (10.16) se obtiene la ecuación de Kepler.

2222 1sin211

21

21 eEeaeEathDFH −⋅−−⋅=Δ=

(10.16)

Pn

enaP

eaPabh

abAPttAh

thA

π

ππ

π

2

1122

221

2222

=

−=−

==

=Δ⇒=ΔΔΔ

=

Δ=Δ

:Donde

Si

(10.17)

(10.18)

10.5.Expresión que conectan a E y t: La ecuación de Kepler.

EeEtnM

eEeaeEatena

eEeaeEath

sin

1sin211

211

21

1sin211

21

21

222222

2222

−=Δ=

−⋅−−⋅=Δ−

−⋅−−⋅=Δ



Una vez que el planeta P se ha hubicado en su órbita a través de los parámetros θ y r (coordenadas polares) en un instante dado. El siguiente problema es transformar estas cordenadas respecto a un sistema de referencia respecto a la Tierra. Específicamente, se quiere transfomar las coordenadas θ y r en unas nuevas coordenadas denominadas ecuatoriales geocéntricas o uranográficas, las cuales están representadas por los parámetros ascensión recta y declinación (α,δ). El propósito de este capítulo es mostrar las deducciones de las ecuaciones que permiten estas transformacionesde coordenadas.

Capítulo 11. Transformaciones de coordenadas.

191Ir a Indice2


11.1. Coordenadas rectangulares eclípticas heliocéntricas.

En esta sección se obtendrán las ecuaciones para transformar las coordenadas sobre la órbita del objeto celeste (las cuales vienen definidas por los parámetros θ y r, y son de tipo polar) a coordenadas rectangulares eclípticas heliocéntricas definidas por los parámetros x’,y’,z’.

La estrategia para la deducción de las ecuaciones de transformación de las coordenadas implica definir la posición en el espacio del planeta P, a través del vector r, pero usando dos tipos de sistemas de coordenadas, uno definido por (x’,y’z’) (ver Fig.(11.1)), y el otro definido por (l,β) (ver Fig.(11.2)) donde l es la longitud eclíptica y β es la latitud eclíptica. Posteriormente, se definen tres ejes arbitrarios, pero convenientes, donde es sencillo deducir las proyecciones del vector r(x’,y’z’) (vector r definido por x´,y’,z’) y r(l,β) (vector r definido por l y β) en dichos ejes. Las proyecciones tienen la forma (ver Figs.(11.3) a (11.8)):

11.Transformación de coordendas.192Ir a Indice2


r’(x’y’z’) = rcos(u)

r’(l,β) = r cos(b)cos(l-Ω)r’’(x’y’z’) = rsen(u)cos(i)r’’(l,β) = rcos(b)sen(l-Ω)

r’’’(x’y’z’) = rsen(u)sen(i)

r’’’(l,β) = rsen(b)

Proyección sobre eje SN Proyección sobre eje SN’’

Proyección sobre eje z’

Estos resultados permiten hacer las siguientes relaciones:

Las coordenadas (x’,y’z’) se relacionan con las (l,β) mediante las siguiente ecuaciones (ver Fig.(11.9)):

rsen(u)sen(i) = rsen(b)

rcos(u) = r cos(b) cos(l)cos(Ω)+ r cos(b) sen(l)sen(Ω)

rsen(u)cos(i) = rcos(b) sen(l)cos(Ω)+ rcos(b) cos(l)sen(Ω)

(11.7)

(11.8)(11.9)

x’ = r cos(l)cos(b)y’ = r sen(l)cos(b)z’ = r sen(b)

(11.10)

11.Transformación de coordendas.11.1. Coordenadas rectangulares eclípticas heliocéntricas.

193


La comparación de las ecuaciones (11.7),(11.8) y (11.9) con las ecuaciones (11.10) permiten llegar a la relación buscada entre los sistemas de referencia de la órbita con el eclíptico ortogonal (ver Fig.(11.10)):

Donde u = θ + ω. Sin embargo, se necesita despejar las x´,y´y z´en función de los restantes parámetros que son conocidos. Para hacer este despeje simplemente se resuelve el sistema de ecuaciones lineales, obteniéndose (ver Fig.(11.11)):

Esta es la conexión buscada entre los sistemas de referencia sobre órbita con el ortogonal eclíptico.

r cos(u) = x’ cos(Ω) + y’ sen(Ω) r sen(u)cos(i) = y’ cos(Ω) – x’ sen(Ω) r sen(u)sen(i) = z’

(11.11)

ωθ +==

Ω+Ω=Ω−Ω=

uiurz

iururyiururx

sinsin'coscossinsincos'cossinsincoscos'

(11.12)


194


Fig.11.1.Orbita del planeta P respecto al sistema de referencia rectangular

eclíptico heliocéntrico definido por los ejes x’,y’,z’. El eje x’ está en la dirección del punto vernal. El segmento azul SN es el

nodo ascendente. El segmento pespunteado en azul SN’’ es perpendicular a SN y está sobre el plano de la eclíptica. El eje

SN’ está sobre el plano de la órbita. El ángulo entre el eje SN’ y el SN’’ es igual a i. El ángulo entre el eje z’ y SN’ es (90-i).

Plano de la órbita

N’

θr

N’’

Perihelio

Punto Vernal

90-i iZ’

x’

y’S

ΩN

i

ωu

P


195


Fig.11.2.Definición de las coordenadas longitud (l) y latitud (b) eclípticas para el planeta P. Estas coordenadas definen un sistema de referencia polar eclíptico heliocéntrico.

P

Ω

Punto Vernal

N’’

N’

l-Ωl

b

N

z’

x’

S

r

y’



Plano de la órbita

Fig.11.3.Proyección del vector r sobre SN (r’segmento rojo).

Plano de la órbita

r’ = r·cos(u)r’

(11.1) u

θr

N’’

Perihelio

Punto Vernal

90-i iZ’

x’

y’S

ΩN

i

ωu

P

r’ = rcos(u)

N’


197


Fig.11.4.Proyección del vector r sobre SN (r’). Se puede obtener

por medio de la proyección de r sobre el plano de la eclíptica (segmento verde rcos(b)) para luego proyectar

rcos(b) sobre SN (segmento rojo rcos(b)cos(l-Ω)).

r cos(b)

r’ = rcos(b)cos(l-Ω)

r’ = r cos(b)cos(l-Ω)(11.2)

P

Ω

Punto Vernal

N’’

N’

l-Ωl

b

N

z’

x’

S

r

y’



Fig.11.5.Proyección de r sobre eje SN’’(r’’). Esto se obtiene por medio

de la proyección de r sobre el eje SN’ (segmento marrón rsen(u)) y luego proyectar rsen(u) sobre el eje SN’’ (segmento

rojo rsen(u)cos(i)).

Plano de la órbita

ur’’ = r sen(u)cos(i)

(11.3)

rsen(u)

θr

N’’

Perihelio

Punto Vernal

90-i iZ’

x’

y’S

ΩN

i

ωu

P

rsen(u)

r’’= rsen(u)cos(i)N’

11.Transformación de coordendas. 19911.1. Coordenadas rectangulares eclípticas heliocéntricas.


Fig.11.6.Proyección de r sobre eje SN’’(r’’). Esto se obtiene por medio de la proyección de r sobre el plano de la eclíptica (segmento marrón rcos(b)) y luego proyectar rcos(b) sobre el eje SN’’

(segmento rojo rcos(b)sen(l-Ω)).

Plano de la órbita

u r’’ = r·cos(b)sen(l-Ω)

(11.4)

P

Ω

Punto Vernal

N’’

N’

l-Ωl

b

N

z’

x’

S

r

y’

r’’ = r·cos(b)sen(l-Ω)

rcos(b)



Fig.11.7.Proyección de r sobre eje z’(r’’’). Esto se obtiene por medio de la proyección de r sobre el eje SN’ (segmento marrón rsen(u)) y

luego proyección de rsen(u) sobre el eje z’ (segmento rojo rsen(u)sen(i)).

Plano de la órbita

u

rsen(u)

r’’’ = rsen(u)sen(i)(11.5)

P

Ω

Punto Vernal

N’’

N’

l-Ωl

b

N

z’

x’

S

r

y’

rsen(u)

r’’’= rsen(u)sen(i)


201


Fig.11.8.Proyección de r sobre eje z’(r’’’). Esto se obtiene por medio de

la proyección de r sobre el eje SN’ (segmento rojo rsen(b)).

Plano de la órbita

u r’’’ = rsen(b)

(11.6)

P

Ω

Punto Vernal

N’’

N’

l-Ωl

b

N

z’

x’

S

r

y’

rsen(b)



Fig.11.9.Resumiendo los resultados de la proyección de r sobre los distintos ejes de referencia de las figuras (11.3) a (11.8).

r’ = rcos(u)

r’ = r cos(b)cos(l-Ω)rcos(u) = r cos(b)cos(l-Ω)

r’’ = rsen(u)cos(i)

r’’ = rcos(b)sen(l-Ω)rsen(u)cos(i) = rcos(b)sen(l-Ω)

r’’’ = rsen(u)sen(i)

r’’’ = rsen(b)rsen(u)sen(i) = rsen(b)



(11.7)

(11.8)

(11.9)


203


r

x’

y’

z’

l

b


Fig.11.9.La relación entre las coordenadas

esféricas (polares) y las cartesianas.

(11.10)




Fig.11.10.La comparación entre las ecuaciones (11.7), (11.8) y (11.9) con la ec.(11.10) permite llegar al conjunto de ecuaciones (11.11). Las ec.’s (11.11) conforman un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son x’,y’,z’. La solución de este sistema permitirá establecer una relación entre la posición de un planeta en su órbita con el sistema de coordenadas rectangular, eclíptico

heliocéntrico definidos por x’,y’z’.

rsen(u)sen(i) = rsen(b)



r cos(u) = x’ cos(Ω) + y’ sen(Ω) r sen(u)cos(i) = y’ cos(Ω) – x’ sen(Ω) r sen(u)sen(i) = z’

(11.7)

(11.8)(11.9)

(11.10)

(11.11)

Donde: u = θ + ω

11.Transformación de coordendas. 20511.1. Coordenadas rectangulares eclípticas heliocéntricas.


Fig.11.11.Las primeras dos ecuaciones del sistema (11.11) conforman un

sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son x’,y’. Obsérvese que z’ ya está en función de parámetros conocidos. La solución de

este sistema permite obtener a y’. Un razonamiento similar permite obtener a x’.

r cos(u) = + x’ cos(Ω) + y’ sen(Ω) r sen(u)cos(i) = – x’ sen(Ω) + y’ cos(Ω)r sen(u)sen(i) = z’

(11.11)

Donde: u = θ + ωr cos(u) = + x’ cos(Ω) + y’ sen(Ω) r sen(u)cos(i) = – x’ sen(Ω) + y’ cos(Ω)

A = a x’ + b y’B = -b x’ + a y’

A/a = x’ + (b/a) y’B/b = -x’ + (a/b) y’

(A/a+B/b) = (b/a+a/b) y’

Ab+Baab

=b2 + a2

aby’

Donde: A= r cos(u) B= r sen(u)cos(i)a = cos(Ω) b = sen(Ω)

b2 + a2 = 1y’= Ab + Ba = r cos(u)sen(Ω) + r sen(u)cos(i)cos(Ω)



ωθ +==

Ω+Ω=Ω−Ω=

uiurz

iururyiururx

sinsin'coscossinsincos'cossinsincoscos'

Fig.11.12.La solución del sistema de ecuaciones (11.11) (ver

Fig.11.11) genera las ecuaciones (11.12) que permiten la transformación de coordenadas sobre la

órbita (θ,r) a coordenadas ortogonales eclípticas heliocéntricas (x’,y’z’).

(11.12)


207


11.2. Coordenadas rectangulares ecuatoriales heliocéntricas.

En esta sección se deducirán las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas rectangulares eclípticas x’,y’z’ en las coordenadas rectangulares ecuatoriales heliocéntricas x,y,z. Para poder hacer esto, es necesario definir el ecuador celeste (ver Fig.(11.13)) cuyo centro es la Tierra, para luego trasladarlo a un nuevo centro en el Sol. El motivo de hacer este procedimiento obedece a que las ecuaciones van a tener una estructura sencilla. La relación entre estos dos sistemas de referencia viene dada por una simple rotación de ejes (ver Fig.(11.14)):

Es necesario despejar las coordenadas x,y,z en función de las x’,y’z’:

εεεε

cos'cos'

'

zysinzzsinyy

xx

+=−=

=

(11.13)

εεεε

cos''cos'

'

zysinzsinzyy

xx

+−=+=

=

(11.14)



Fig.11.13.Identificación del Ecuador Celeste y su relación con

la eclíptica. El Ecuador tiene un ángulo con el plano de la eclíptica que se denomina oblicuidad de

la eclíptica.

Tierra

Tierra

11.Transformación de coordendas.11.2. Coordenadas rectangulares ecuatoriales heliocéntricas.

209


Fig.11.14.El Ecuador Celeste se translada desde su origen en la Tierra a su nuevo origen en el

Sol. Los ejes x,y,z definen el sistema rectangular ecuatorial heliocéntrico. En el plano xy está el ecuador celeste. Existe una relación de rotación entre los ejes de los

sistemas de referencia xyz con el x’y’z’.

z z’

y

y’

x’=x

S ε

ε

Existe una relación de rotación de ejes entre los sistemas de referencia xyz con el x’y’z’.

Tierra

Tierra


210


Fig.11.15.El Ecuador Celeste se translada desde su origen en la Tierra a su nuevo origen en el Sol. Las ec.’s (11.13) se deducen de la figura por medio de proyecciones de los ejes xyz sobre los ejes x’y’z’.Rearreglando la ec.(11.13) se obtiene la la ec.(11.14) que da la

relación entre los sistemas de coordendas. Los ejes x,y,z definen el sistema rectangular ecuatorial heliocéntrico.

z z’

y

y’

x’=x

Sε

εεεεε

cossen'sencos'

'

⋅+⋅=⋅−⋅=

=

zyzzyy

xx

(11.13)

εεεε

cos'''cos'

'

zsinyzsinzyy

xx

+−=+=

=(11.14)

εcosyεsinz ⋅−

εsen⋅yεcos⋅z


211


11.3. Coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas.

En esta sección se deducirán las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas rectangulares ecuatoriales heliocéntricas x,y,z a coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas ξ,η,ζ. Para poder hacer esto, es necesario transportar el ecuador celeste que está en el centro Sol a un nuevo centro que ahora se ubica en la Tierra (ver Fig.(11.15)) La relación entre estos dos sistemas de referencia viene dada por una simple translación de ejes (ver Fig.(11.15)):

ZzYyXx

+=+=+=

ςηξ

(11.15)



Fig.11.15.El Ecuador Celeste se translada desde su origen en el Sol

a su nuevo origen en la Tierra. El vector ρ define la posición del planeta respecto a la Tierra. El vector R

define posición del Sol (X,Y,Z) respecto a la Tierra . Los ejes ξ,η,ζ definen las coord. rectangulares ecuatoriales geocéntricas. La ec.(11.15) relaciona los sistemas de

coordendas ξ,η,ζ con x,y,z.

kjiRkjir

Rrρ

ZYXzyx

++=++=

+=

(11.15)ZzYyXx

+=+=+=

ςηξ

Tierra

Tierra

11.Transformación de coordendas.11.3. Coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas.

213


11.4. Coordenadas ecuatoriales polares geocéntricas.

En esta sección se deducirán las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas ξ,η,ζ en las coordenadas polares ecuatoriales geocéntricas α,δ (ascención recta y declinación). La relación entre estos dos sistemas de referencia viene dada por (ver Fig.(11.16)):

Mediante un arreglo de estas ecuaciones es posible despejar α,δ en función de ξ,η,ζ:

δρζδαρηδαρξ

sincossincoscos

===

(11.16)

δρζρζδ

ξηα

sin

sin

tan

=

=

=

(11.17)



Fig.11.16.Cálculo de las coordenadas polares ecuatoriales

geocéntricas del planeta P (ascención recta α, declinación δ). El Ecuador Celeste contiene a los ejes ξ y η. La

relación entre coordenadas rectangulares ξ,η,ζ con las polares α y δ viene dada por la ec.(11.16). Haciendo un

arreglo se pueden obtener las coordendas α y δ por medio de la ec.(11.17).

x

z

y

Tierra

-Y-X-Zξ

η

ζP(ξ,η,ζ)

ρ

α

δR

S

δρζρζδ

ξηα

sin

sin

tan

=

=

=

δρζδαρηδαρξ

sincossincoscos

===

(11.16)

(11.17)

r

11.Transformación de coordendas.11.4. Coordenadas ecuatoriales polares geocéntricas.

215


Existe un principio en mecánica que la posición y velocidad determinan el conocimiento pasado o futuro de una partícula. Este principio llevado a la mecánica celeste implica que si se da la posición y velocidad de un planeta, asteroide o cometa, entonces, es posible establecer de manera exacta la órbita del objeto. En este capítulo se deducirán las ecuaciones que permitirán conocer los elementos de órbita del objeto celeste en estudio a partir de su posición y velocidad en un instante t.

216

Capítulo 12. Elementos de órbita apartir de posición y velocidad en un instante t.

Ir a Indice2


12.1. Proyecciones del vector uA sobre los ejes x,y,z del sistema de referencia rectangular eclíptico heliocéntrico.

En esta sección se procederá a establecer relaciones matemáticas para las proyecciones del vector aereal con los distintos ejes del sistema de referencia eclíptico heliocéntrico (ver figuras (12.1) a (12.4)):

i

senisenseni

cos

cos

=

Ω⋅−=Ω⋅=

Ay

Ay

Ax

u

uu

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición 217Ir a Indice2


Fig.12.1.El vector unitario uA de la velocidad aereal para la órbita del

planeta P respecto al sistema de referencia rectangular eclíptico heliocéntrico definido por los ejes xyz. El eje SN define el nodo ascendente. El eje N1N2 está sobre el plano xy. Entre los ejes

SN1 y SN hay 90 grados (lo mismo para SN2 y SN). El eje N1N2 y el vector uA están contenidos en un mismo plano.

( ) AuvrA hdtd

21

21

=×=

Ver Fig.(1.2) y (2.2)

PuA

Ω Nx

z

y

Punto Vernal

i

i Perihelio

y

N1

N290

90-Ω

S

x

N1

Ω

Ω

N2 90-Ω

S

N

Vista sobre el plano xy

90-Ω(90-i)

12.1. Proyecciones del vector uA sobre los ejes x,y,z 12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición218


Fig.12.2.Proyección del vector uA sobre el eje x. La proyección del vector uA sobre el eje SN2 (sen(i) color verde) para luego proyectar sen(i) sobre el eje x (sen(i)sen(Ω) color

rojo)

PuA

Ω Nx

z

y

Punto Vernal

i

i

90-icos(90-i)=sen(i)

Perihelio

y

N1

N290

90-Ω

Sen(i)cos(90-Ω)=sen(i)sen(Ω)

S

x

N1

Ω

Ω

N2 90-Ω

S

N


12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición12.1. Proyecciones del vector uA sobre los ejes x,y,z

219


Fig.12.3.Proyección del vector uA sobre el eje y. La proyección del vector uA sobre el eje SN2 (sen(i) color verde) para

luego proyectar sen(i) sobre el eje y (-sen(i)cos(Ω) color rojo)

PuA

Ω Nx

z

y

Punto Vernal

i

i

cos(90-i)=sen(i)

Perihelio

y

N1

N290

90-Ω

sen(i)cos(180-Ω)=-sen(i)cos(Ω)

S

x

N1

Ω

Ω

N2 90-Ω

S

N


90-Ω(90-i)


220


Fig.12.4.Proyección del vector uA sobre el eje z (cos(i) color rojo).

PuA

Ω Nx

z

y

Punto Vernal

i

i Perihelio

y

N1

N290

90-Ω

cos(i)

S

x

N1

Ω

Ω

N2 90-Ω

S

N


90-Ω(90-i)


221


12.2. A partir de velocidad y posición, en un instante t calcular los elementos de órbita i, Ω y el parámetro h.

La clave para establecer los elementos de órbita de un objetoceleste, está en la conxión entre la proyección del vector unitario aereal con los distintos ejes del sistema de referencia eclíptico heliocéntrico (ver figuras (12.1) a (12.4)):

Esto es importante ya que este vector se puede conectar fácilmente con la posición y velocidad a través de la ecuación de la velocidad aereal (deducida en el Cap01) (ver Fig.(12.5)):

i

senisenseni

cos

cos

=

Ω⋅−=Ω⋅=

Ay

Ay

Ax

u

uu

( )

( ) ( ) ( )

kjivr

kjiUkjiv

kjir

kjiuvrA

A

A

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=×

+Ω⋅−+Ω⋅=++=

++=

++==×=

••••••

•••

xyyxzxxzyzzy

isenisensenizyx

zyx

huhuhuhdtd

AzAyAx

coscos

21

21

21

21

21

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición222Ir a Indice2


Este conjunto de ecuaciones permite calcular los elementos de órbita i, Ω y h (ver figuras (12.5) a (12.8)):

12.2. A partir de velocidad y posición, calcular i, Ω y el parámetro h.

( )

( )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

++=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

••

••

••

hci

cc

ccch

ihcxyyx

senihczxxz

sensenihcyzzy

3

2

1

23

22

21

3

2

1

2cos

tan

cos21

cos21

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición 223


Fig.12.5.Incorporando los resultados de las proyecciones del

vector uA a la ecuación de la velocidad aereal se obtienen un conjunto de ecuaciones que relacionan posición y

velocidad con los elementos de órbita i, Ω y h.

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )ihhucxyyx

senihhuczxxz

sensenihhucyzzy

isenisenseni

huhuhu

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

hdtd

z

y

x

AzAyAx

cos21

21

21

21

cos21

21

21

21

21

21

21

21

coscos21

21

21

21

21

21

3

2

1

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅−===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+Ω⋅−+Ω⋅=

++=×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=×

++=

++=

=×=

••

••

••

••••••

•••

kjiU

kjivr

kjivr

kjiv

kjir

uvrA

A

A

(12.1)

(12.2)

(12.3)

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición12.2. A partir de velocidad y posición, calcular i, Ω y el parámetro h.

224


Fig.12.6.A partir de las ec.’s (12.1), (12.2) y (12.3) se obtienen las

ec.’s (12.4), (12.5) y (12.6). Elevando al cuadrado los parámetros c1, c2, y c3 se obtiene la ec.(12.7) que

permite el cálculo de h.

( )

( )

( )

( )( )( )

( )

23

22

21

223

22

21

22223

22

21

2222223

22

21

22222223

22

21

2223

22222

22221

3

2

1

cos

coscos

coscos

cos

cos

cos21

cos21

ccch

hccc

iisenhccc

isenisenhccc

iisensenisenhccc

ihc

isenhc

senisenhc

ihcxyyx

senihczxxz

sensenihcyzzy

++=

=++

+=++

+Ω+Ω⋅=++

+Ω⋅+Ω⋅=++

⋅=

Ω⋅⋅=

Ω⋅⋅=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

••

••

•• (12.4)

(12.5)

(12.6)

(12.7)


225


Fig.12.7.A partir de las ec.’s (12.1), (12.2) y (12.3) se obtienen las ec.’s (12.4), (12.5), y (12.7). Haciendo el cociente de la

ec.(12.4) sobre la ec.(12.5) se obtiene la ec.(12.8) la cual permite el cálculo de Ω. La ec.(12.6) permite obtener la

ec.(12.9) para el cálculo de i.

( )

( )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

++=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ω⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

••

••

••

hci

cc

ccch

ihcxyyx

senihczxxz

sensenihcyzzy

3

2

1

23

22

21

3

2

1

2cos

tan

cos21

cos21

(12.4)

(12.5)

(12.6)

(12.7)

(12.8)

(12.9)


226


Fig.12.8.A partir de la ec.’s (12.8) se puede aplicar el inverso de la tangente para obtener a Ω, sin embargo, la tangente es una

función periódica en +/-180. Esto significa que hay una ambigüedad en el resultado, la cual se puede romper

mediante el conjunto de relaciones (12.10).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

−

2

11

2

1

tan

tan

cc

cc

36027000270180009018000

90000

21

21

21

21

<Ω<⇒><<Ω<⇒<<<Ω<⇒<>

<Ω<⇒>>

cccccccc

y Si y Si y Si y Si

(12.8)

(12.10)


227


12.3. A partir de velocidad, posición en un instante t y el valor de h, calcular los elementos de órbita a y e.

En el Cap04 se dedujeron las expresiones de la velocidad orbital para las distintas órbitas. Estas expresiones permiten obtener el semieje mayor a (ver Fig.(12.9)):

En el Cap03 se dedujeron las expresiones de la h para las distintas órbitas. Estas expresiones permiten obtener el semieje mayor conociendo h y a (ver Fig.(12.10)):

En esta sección se deducirán estas ecuaciones.

rkv

a

vkq

kv

ra

PH

21

2

21

2

2

2

2

2

2

−=

=

−=

:Hipérbola

:Parábola

:Elipse

akhe

eak

he

2

22

2

22

1

1

1

+=

=

−=

:Hipérbola

:Parábola

:Elipse

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición228Ir a Indice2


Fig.12.9.En el Cap04 se dedujeron las expresiones de la velocidad

orbital para las distintas órbitas. Estas expresiones permiten obtener el semieje mayor a.

(12.11)

12.3. A partir de velocidad, posición y h, calcular a y e.

rkv

aarkv

vvkqqkv

qkvqrrkv

kv

raarkv

PH

PHPH

PH

2112

2/2

/2/2

2112

2

22

2

22

22

2

222

−=⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

=

=⇒=

=⇒=⇒=

−=⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

:Hipérbola

Perihelio el en Velocidad

Si :Parábola

:Elipse

(12.12)

(12.13)



Fig.12.10.En el Cap03 se dedujeron las expresiones de la h para las distintas órbitas. Estas expresiones permiten obtener el

semieje mayor conociendo h y a.

akheeakh

e

akheeakh

2

2222

2

2222

1)1(

1

1)1(

+=⇒−=

=

−=⇒−=

:Hipérbola

:Parábola

:Elipse

(12.14)

(12.16)

(12.15)

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición23012.3. A partir de velocidad, posición y h, calcular a y e.


12.4. A partir de velocidad, posición en un instante t y los elementos de órbita i, Ωcalcular u, θ, ω y EPH.

En el Cap11 se dedujeron las ec’s (11.11) (ver Fig.(12.11)):

Las x,y,z son las coordenadas eclípticas heliocéntricas (aquí no usamos las primas que tienen en el Cap.11 por razones de simplicidad en la notación). Por lo tanto, cualquiera de estas ecuaciones permiten el cálculo de u. La ecuación general de las cónicas permite calcular la anomalía verdadera por medio de la ec.(12.17) (ver Fig.(12.11)):

La definición de u (ver ec.(8.11)) permite calcular a través de la ec.(12.18), el argumento del perihelio ω (ver Fig.(12.11)):

r cos(u) = x cos(Ω) + y sen(Ω) r sen(u)cos(i) = y cos(Ω) – x sen(Ω) r sen(u)sen(i) = zu=θ+ω

(11.11)

( ) 1coscos1

−=⇒+

=rpe

eepr θ

θ (12.17)

θωωθ −=⇒+= uu

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición 231Ir a Indice2


Para el caso de la elipse se calcula la Epoca del Paso por el Perihelio EPH por medio de las ecuaciones mostradas en la Fig.(12.12):

Para el caso de la parábola se calcula la Epoca del Paso por el Perihelio EPH por medio de (ver Fig.(12.12)):

Para el caso de la hipérbola se calcula la Epoca del Paso por el Perihelio EPH por medio de la ecuación ec.(8.26) mostrada en la Fig.(12.13).

nMtEPH

senEeEMarEe

Pn

kaP

−=

⋅−=

−=

=

=

1cos

360

2 2/3π (12.19)

(12.20)

(12.21)

(10.18)

(12.22)

( )

)(

)2/tan(3

2/tan21

2

3

EPHttp

th

−=Δ

Δ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ θθ (8.30)

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición23212.4. A partir de velocidad, posición y i, Ω calcular u, θ, ω y EPH.


Fig.12.11.En el Cap08 se dedujeron las ec’s (11.11). Las x,y,z son las coordenadas eclípticas heliocéntricas (aquí no usamos las primas que tienen en el Cap.11 por razones de simplicidad en la notación). Por lo tanto, cualquiera de estas ecuaciones permiten el cálculo de u. La ecuación general de las cónicas

permite calcular la anomalía verdadera por medio de la ec.(12.17). La definición de u permite calcular a través de

la ec.(12.18) el argumento del perihelio ω.

12.4. A partir de velocidad, posición y i, Ω calcular u, θ, ω y EPH.

r cos(u) = x cos(Ω) + y sen(Ω) r sen(u)cos(i) = y cos(Ω) – x sen(Ω) r sen(u)sen(i) = zu=θ+ω

(11.11)

( )

θωωθ

θθ

−=⇒+=

=

−=⇒+

=

uukhp

rpe

eepr

2

2

1coscos1

:Donde(12.17)

(12.18)



Fig.12.12.Para el caso de la elipse se calcula la Epoca del Paso por el Perihelio EPH por medio de las ecuaciones mostradas en la figura. En el Cap06 se dedujo la ecuación del período P ec.(12.19). Esto permite calcular el movimiento diario n ec.(12.20). Con la ec.(10.12) deducida en el Cap10 se puede calcular la anomalía excéntrica E a través de la

ec.(12.21). La ec.(10.18) deducida en el Cap10 permite calcular M. La ec.(10.2) permite calcular la EPH a través

de la ec.(12.22).

( )

( )nMtEPHEPHtnM

senEeEMarEeEear

Pn

kaP

−=⇒−⋅=

⋅−=

−=⇒−=

=

=

1coscos1

360

2 2/3π (12.19)

(12.20) (10.12)

(12.21)

(7.18)

(10.2)

(12.22)



Fig.12.12.Para el caso de la parábola se calcula la Epoca del Paso

por el Perihelio EPH por medio de la ecuación ec.(8.30) obtenida en el Cap08.

( )

)(:

)2/tan(3

2/tan21

2

3

EPHttDonde

pth

−=Δ

Δ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ θθ

(8.30)

12.Elementos de órbita a partir de velocidad y posición 23512.4. A partir de velocidad, posición y i, Ω calcular u, θ, ω y EPH.


Fig.12.13.Para el caso de la hipérbola se calcula la Epoca del Paso por el Perihelio EPH por medio de la ecuación ec.(8.26)

obtenida en el Cap08.

(8.26)( ) ( ) ( )

( )2)(lnln

epth

FxDFxC

FxBFxA Δ⋅

=+

−++−

−−

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

eeqp

eakhx

eeF

FFC

FFDB

FFA

EPHtt

1

12

tan

11

41

41

41

)(

22

3

2

2

2

3

2

+=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−+

=−

=

+==

−=

−=Δ

θ



En este capítulo se aplicarán las ecuaciones deducidas a lo largo de este libro, al cálculo de la ascensión recta y declinación de un objeto celeste, específicamente, se usará como ejemplo, el asteroide 1988 TA cuyos elementos de órbita fueron tomados de la circular de la IAU (International Astronomical Union) número 4662.

237

Capítulo 13. Ejemplo de cáculo de posición de objetos celestes.

Ir a Indice2


Fig.13.1.Planteamiento del problema.

Calcular la ascensión recta (α) y declinación (δ) del asteroide 1988 TA (circular 4662 de la IAU) y su distancia a la Tierra para el día 6 de octubre de 1988. Los elementos de órbita para la época de 1950.0 son:

EPH = 1988 Aug. 13.70 ET (13.70 de agosto de 1988)ω = 104.31 e = 0.5029 Ω = 194.67 q = 0.7964 AUi = 2.66 a = 1.6022 AU n = 0.48599 P = 2.03 años

X = -0.97628141Y = -0.19723757Z = -0.08551889

Nota:Los elementos ω,Ω,i están en grados de arco.El parámetro n está en grados por día.AU = Unidades astronómicas.

Coordenadas rectangulares ecuatoriales geocéntricas del Solpara el 6/10/1988

13.Ejemplo de cálculo de posión de objetos celestes.238


Fig.13.2.Paso(1):Cálculo de la cantidad de días entre la

fecha de interés t=6/10/1988 y la época del paso por el perihelio EPH=13/8/1988. Paso(2): Cálculo

de la anomalía media M pata la fecha t.

t = 6/10/1988EPH = 13,70/8/1988(t - EPH) = 53,30 días Paso (1)

grados,MEPHtnM

díagrados,n

Pn

,Pk

π P

díaUA,k

a /

903365425)(

4859918460

3607531688740

2

0172020990

23

2/3

=−⋅=

=

=

=

=

días

=

Paso (2)

13.Ejemplo de cálculo de posión de objetos celestes. 239


Fig.13.3.Paso(3): Cálculo de la anomalía excéntrica E. Esto implica la solución de la ecuación de Kepler que se hace a través de varias etapas de aproximación sucesiva. Obsérvese

que se introdujo un factor (180e/π) en la ecuación de Kepler debido a que esto permite la conversión de radianes a grados sexagesimales. El proceso de solución de la ec. de Kepler comienza suponiendo E0=M (Etapa-0). Posteriormente se introduce este valor tentativo de E en la ec. de Kepler para obtener un valor M0= 13,315 que teóricamente

debería coincidir con M=25,903. En este caso hay diferencias lo que indica que el valor tentativo E0=M es defectuoso. Por lo tanto, se usa la fórmula correctora para generar

ΔE0 que permite corregir el E0 para generar un valor mejorado de E (E1= E0+ΔE0=48,889063). La Etapa-1 permite mejorar aún más a E (E2= E1+ΔE1). Estas mejoras se pueden verificar a través de los sucesivos valores de ΔE, los cuales

tienden a decrecer en las sucesivas etapas. El proceso de mejora termina cuando ΔE es menor igual a 1x10-6 el cual produce en este ejemplo un E=46,96441775 grados (en la

Etapa-6 la cual no está en la figura).

( )

( )

( )

( )

( )

( )

964419,46223

018117,0)2cos(1

22

915266,25218022

982536,46112

906527,1)1cos(1

11

179468,27118011

88906385,48001

985698,22)0cos(1

00

315815,13018000

9033654,250

=Δ+=

−=⋅−−

=Δ

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−=

=Δ+=

−=⋅−−

=Δ

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−=

=Δ+=

=⋅−−

=Δ

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−=

==

EEE

EeMME

EseneEM

EEE

EeMME

EseneEM

EEE

EeMME

EseneEM

ME

π

π

π Etapa-0

Etapa-1

Etapa-2

Etapa-3

Ec. de Kepler

Fórmulacorrectora

Valor Mejorado de E

Paso (3)



Fig.13.4.Paso(4): Cálculo de la anomalía verdadera. Este paso implica despejar el valor de θ en la ec.(13.15). Pero, al

hacer el inverso de tangente se obtiene un valor de θ con una ambigüedad debida al hecho de que la función

tangente es periódica en 180 grados. Esto significa que el valor correcto de la anomalía verdadera es igual a θ,

θ+180 y θ-180. Para romper esta ambigüedad se aplica la regla que M y E están en el mismo cuadrante. El valor de M=25,9033 implica primer cuadrante (0<M<90), por lo

tanto, permite verificar que θ está en el cuadrante correcto.

( )

1346953874(1801346953874

0673476937)2/tan()1/()1(tan2

7553985890)2/tan(9644177546

7387740931)1/()1(

1

,,

,Eee

,E,E

,ee

=±=

=−+=

==

=−+

−

correcto) cuadranteθθ

θ

Paso (4)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2tan

11

2tan

2/1 Eeeθ

(13.15)



Fig.13.5.Paso(5): Cálculo del radio vector. Esto se obtiene a través

de la ec.(13.12). Paso(6): Cálculo de las coordenadas ortogonales eclípticas heliocéntricas.

Paso (5) (13.12)

UA 0523164341)cos1( ,Eear =−=

Paso (6)

9989225180)cos(0464090830)(

9674004880)cos(253251450)(

9674004880)cos(253251450)(

4446954178

,i,isen

,-,-sen

,-u,-usen

,

==

=Ω=Ω

==

=θω + = u

[ ]( )[ ]

( ) ( )[ ] 00132552802388015360cos)coscos0248619161cos)coscos

,isenusenz’ = r,(i)(+ sen(u)(u)seny’ = r,(i)sen() - sen(u)((u)x’ = r

=⋅=ΩΩ⋅=ΩΩ⋅



Fig.13.6.Paso(7): Cálculo las coordenadas rectangulares

ecuatoriales heliocéntricas. Paso(8): Cálculo de las coordenadas ortogonales ecuatoriales geocéntricas.

Paso(9): Cálculo de la distancia objeto-Tierra.

Paso (7)

0962467940)cos(')('2185508760)(')cos('

0248619161'9174076990)cos(3979486310)(

45,23

,zsenyz,senzyy

,xx,,sen

=−==−=

====

=

εεεε

εε

ε

010727904002131330600485805060

,Zz,Yy,Xx

=+==+==+=

ζηξ

Paso (8)

UA = 0541240280222

,=++Δ ζηξPaso (9)



Fig.13.7.Paso(10): Cálculo de la ascensión recta.Debido a que la

tangente es períódica en 180 grado α presenta una ambigüedad, la cual es resuelta usando la Regla de Oro.

Paso(11): Cálculo de la declinación.

Paso (10)

SegMinH

,,,

,ξηα

,ξη= (α

453416880883123

0048580506000213133060

1806880883123tan

4387213740)tan

1

=

=>=>=

±=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=

−

α

αξη

3602700,02701800,0

180900,09000,0

<<⇒><<<⇒<<

<<⇒<><<⇒>>

αξηαξη

αξηαξη

Regla de Oro

Paso (11)

'''0

1

562511

43228285,11

198209635,0)(

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ=

=Δ

−

δ

ζδ

ζδ

sen

= sen



Fig.13.7.Sumario de resultados y comparación con la circular de la IAU para el asteroide 1988 TA para la fecha 6/10/1988.

Parámetro Calculado Circular IAU (Exacto ) Δ Unidadesα (Horas,Min) 1 34,75 1 34,98 0,23 Minδ(Grados,Min) 11 25,93 11 26,26 0,33 Min

r 1,052 1,052 0 UAρ 0,054 0,054 0 UA



Anexo-A: Integración de funciones racionales.Los procedimientos resumidos en esta sección fueron tomados de Coquillat (ver bibliografía). Las integrales de funciones racionales tienen la forma:

Donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas de coeficientes reales y exponentes naturales. La integración de este tipo implica un examen rápida para comprobar de que no se trata de una integral inmediata, cuya solución es rápida. Al comprobar que noes inmediata se procede a aplicar alguno de los siguientes procedimientos según el caso.

Caso A:Grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x).Procedimiento:Se hace la división P(x)/Q(x):

Caso Aa: R(x)=0 (división exacta) la integral I1 es inmediata.

Caso Ab: R(x)≠0 en este caso R(x) será de grado inferior a Q(x) y se aplica el Caso C para la solución de la integral I2.

∫= dxxQxPI)()( (A1)

dxxQxRdxxQdx

xQxP

∫∫∫ +=)()()(

)()(

1 (A2)(I1) (I2)

246Ir a Indice2


Caso B:Grado de P(x) es igual al grado de Q(x).Procedimiento:Se hace la división P(x)/Q(x):

Caso Ba: R(x)=0 (división exacta) la integral I1 es inmediata.

Caso Bb: R(x)≠0 en este caso R(x) será de grado inferior a Q(x) y se aplica el Caso C para la solución de la integral I2.

Anexo-A: Integración de funciones racionales.

dxxQxRKdxdx

xQxP

∫∫∫ +=)()(

)()(

(I1) (I2)(A3)

247


Caso C:Grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).Procedimiento:En este caso ya no es posible la división de un polinomio de grado inferior por otro de grado superior. Se procede igualando a cero el polinomio del denominador Q(x) para obtener sus raíces. Todo polinomio de coeficientes reales yexponentes naturales puede tener la siguiente distribución de tipos de raíces:

Raíces reales simples (RRS)Raíces reales múltiples (RRM)Raíces imaginarias simples (RIS)Raíces imaginarias múltiples (RIM)

Es bueno hacer notar que las raíces imaginarias necesariamente deben estar de a pares y ser conjugadas. Por ejemplo se existe la raíz a+bi, entonces, debe existir la raíz a-bi. Ya que el producto de dos raíces conjugadas da un número real. Se dice que una raíz esmúltiple si se repite dos o más veces. En función del tipo de raíces existen cuatro subcasos.

Anexo-A: Integración de funciones racionales.248


Caso C1:La ecuación Q(x)=0 da sólo raíces reales simples.Procedimiento:Suponiendo que el polinomio Q(x) tenga tres raíces simples (α1,α2y α3), se puede descomponer como:

Donde a0 es el coeficiente que acompaña al término de mayor grado del polinomio Q(x). Esto significa que a la ecuación Q(x)=0 se le saca a 1/a0 como factor común con la idea de hacer igual a 1 el coeficiente que acompaña al término de mayor grado del polinomio Q(x). El siguiente paso es la descomposición del cociente P(x)/Q(x):

Donde A,B,C son coeficientes indeterminados que deben ser calculados vía comparación haciendo la suma de las fracciones. La integral I se transforma:

Las nuevas integrales I1, I2 y I3 son inmediatas.

NOTA:El factor 1/a0 acompaña a resultado final de la integración.

( ) ( ) ( )3210)( ααα −⋅−⋅−⋅= xxxaxQ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−

+−

+−

=−⋅−⋅−⋅

=32103210

1)()()(

αααααα xC

xB

xA

axxxaxP

xQxP

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−

+−

== ∫∫∫∫ dxx

Cdxx

Bdxx

Aa

dxxQxPI

3210

1)()(

ααα(I1) (I2) (I3)

Anexo-A: Integración de funciones racionales. 249


Caso C2:La ecuación Q(x)=0 da raíces reales simples y reales múltiples.Procedimiento:Suponiendo que el polinomio Q(x) tenga una raíz real simple (α1) y una raíz real múltiple con orden de multiplicidad de tres (α2), se puede descomponer como:

La descomposición del cociente P(x)/Q(x):

La raíz real múltiple de orden tres genera tres términos en la descomposición con exponentes 1, 2 y 3. En general si hay un orden m, entonces, se genera m términos de descomposición cuyos exponentes conforman un factorial m! Los términos A,B,C,D son coeficientes indeterminados que deben ser calculados vía comparación haciendo la suma de las fracciones. La integral I setransforma:

Las nuevas integrales I1, I2, I3 y I4 son inmediatas.

( ) ( )3210)( αα −⋅−⋅= xxaxQ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

−+

−+

−=

−⋅−⋅= 3

22

22103

210

1)()()(

αααααα xD

xC

xB

xA

axxaxP

xQxP

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

−+

−+

−== ∫∫∫∫∫ dx

xDdx

xCdx

xBdx

xA

adx

xQxPI 3

22

2210

1)()(

αααα

(I1) (I2) (I3) (I4)



Caso C3:La ecuación Q(x)=0 da raíces reales simples, y múltiples y raíces imaginarias simples.Procedimiento:Suponiendo que el polinomio Q(x) tenga una raíz real simple (α1) y una raíz real múltiple con orden de multiplicidad de 2 (α2), y las raíces imaginarias simples a+bi y a-bi, se puede descomponer como:

La descomposición del cociente P(x)/Q(x) sigue las reglas:A)Las raíces reales simples se descomponen según C1.B)Las raíces reales múltiples se descomponen según C2.C)Las raíces imaginarias simples se descomponen en una fracción cuyo numerador es un polinomio en x de primer grado completo de coeficientes indeterminados, y el denominador es una expresión ((x-a)2+b2) que engloba el producto de las dos raices imaginarias conjugadas:

La raíz real múltiple de orden 2 genera 2 términos en la descomposición con exponentes 1, y 2. El término asociado con laraíz compleja simple tiene en su numerador el término Mx+N. Los términos A,B,C,D,M y N son coeficientes indeterminados que deben ser calculados vía comparación haciendo la suma de las fracciones. La integral I se transforma:

Las nuevas integrales I1,I2,I3 son inmediatas. La integral I4 requiere de un poco más de trabajo.

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]222

210

2210

)(

)(

baxxxaxQ

biaxbiaxxxaxQ

+−⋅−⋅−⋅=

−−⋅++⋅−⋅−⋅=

αα

αα

( ) ( ) ( ) ( )[ ]⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+−+

+−

+−

+−

=222

2210

1)()(

baxNMx

xC

xB

xA

axQxP

ααα

(I1) (I2) (I3) (I4)( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

+−

+−

+−

== ∫∫∫∫∫ dxbax

NMxdxx

Cdxx

Bdxx

Aa

dxxQxPI

2222210

1)()(

ααα

Anexo-A: Integración de funciones racionales. 251


Caso C4: Descomposición de Hermite.La ecuación Q(x)=0 da raíces reales simples, y múltiples y raíces imaginarias simples y múltiples.Procedimiento:Suponiendo que el polinomio Q(x) tenga una raíz real simple (α1), una raíz real múltiple con orden de multiplicidad de 2 (α2), raíces imaginarias simples a+bi y a-bi, y raíces imaginarias múltiples de orden dos c+di y c-di, se puede descomponer como:

La descomposición del cociente P(x)/Q(x) sigue las reglas:A)Las raices reales simples se descomponen según C1.B)Las raices reales múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tomar en cuenta su multiplicidad) según C1.C)Las raices imaginarias simples se descomponen según C3.D)Las raices imaginarias múltiples se descomponen según C3 como si fueran simples.E)Se añade un término característico de la descomposición de Hermite. El término es una derivada respecto a x de un cociente donde primero se coloca el denominador, al cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raíces reales e imaginarias múltiples elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno. El numerador del término deHermite será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior al polinomio del denominador.

Los términos indeterminados deben ser calculados vía comparaciónhaciendo la suma de las fracciones. La integral I se transforma:

Las nuevas integrales son inmediatas. El factor 1/a0 acompaña a I.

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]222222210)( dcxbaxxxaxQ +−⋅+−⋅−⋅−⋅= αα

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+−⋅−+++

+−++

+−++

−+

−= 22

2

2

222221)(

)(dcxx

pnxmxdxd

dcxTSx

baxNMx

xB

xA

xQxP

ααα

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]222

2

222221)(

)(dcxx

pnxmxdxdcx

TSxdxbax

NMxdxx

Bdxx

AdxxQxP

+−⋅−+++

+−++

+−++

−+

−= ∫∫∫∫∫ ααα



Bibliografía

1)McCuskey S. W.; “Introduction to Celestial Mechanics”, Addison-Wesley, 1963.Comentarios:Este texto contiene una visión newtoniana de la mecánica celeste con gran pedagogía no ofrece desarrollos detallados de la deducción de las ecuaciones.

2)Bate R., Mueller D., White J.“Fundamentals of Astrodynamicals”, Dover Publications, 1971.Comentarios:Este texto contiene una simple pero preciosa manera de resolver la ecuación diferencial del moviento orbital basada en cálculo vectorial.

3)Spiegel M. R.; “Mecánica Teórica”, McGraw-Hill, 1978.Comentarios:El Cap.5 (Fuerzas centrales y movimiento planetario) contiene una revisión muy bien lograda de mecánica celeste.

4)Moulton F. R.;“An Introduction to Celestial Mechanics”, Second Edition, Dover Publications, 1970.

Comentarios:Obra clásica de la mecánica celeste y referenciada por todos los tratados de mecánica celeste. El libro contiene una revisión histórica resumida de la evolución de los conceptos de la mecánica celeste al final de cada capítulo. Esta obra es de muy alto nivel matemático pero el autor ha sabido desarrollar muy bién los conceptos y deducciones.

5)Kittel Ch., Knight W., Ruderman M.; “Mecánica”, Editorial Reverté, (1973): Berkeley Physics Course, Volumen 1.Comentarios:Obra clásica de la mecánica y contiene en el capítulo 9 (Fuerza Inversamente proporcional) el desarrollo de las ecuaciones del movimiento orbital de los cuerpos celestes. Es un tratado altamente pedagógico y con un nivel moderado de matemática.

6)Goldstein H.; “Mecánica Clásica”, Colección Ciencia y Técnica Aguilar, Segunda Edición 1977.Comentarios:Obra famosa en los estudios de mecánica clásica, referenciada por McCuskey para la solución de la ecuación diferencial del movimiento de los cuerpos celestes. En el capítulo 3 (El problema de Fuerzas Centrales entre Dos Cuerpos) hace un desarrollo de las ecuaciones del movimiento pero usando argumentos de conservación de la energía mecánica. Este desarrollo es diferente al planteado por McCuskey.

253Ir a Indice2


7)Meeus J.;“Astronomical Algoritms”, Willmann-Bell, Publications 1991.Comentarios:Es una collección de fórmulas para los cálculos astronómicos de muy alta precisión para posición de planetas, cometas y asteroides.

8)Duffett-Smith P.;“Practical Astronomy with your calculator”, Cambridge University Press, 1979.Comentarios:Es una collección de fórmulas para los cálculos astronómicos de baja precisión para posición de planetas, cometas y asteroides. El texto no contiene programas pero si los algoritmos.

9)Boulet D.;“Methods of orbit determination for the micro computer”, Willmann-Bell, Publications 1991.Comentarios:Es una collección de fórmulas y programas en en lenguaje Basic antiguo para los cálculos de los elementos de órbita de objetos celestes.

10)Coquillat F.; “Cálculo Integral: Metologías y Problemas”, Edit. Tebar Flores, (1980).

Bibliografía254

mecanica celeste paso a paso - sovafa.comsovafa.com/files/libro mecanica celeste.pdf · de dónde...

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