meca 2 2006 final - Πανεπιστήμιο Πατρώνspn/pdf/meca 2 2006...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕ∆ΙΑ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

«Όλο το µέληµα της φιλοσοφίας φαίνεται να συνίσταται στο εξής: από τα φαινόµενα των κινήσεων αναζητείστε τις δυνάµεις της φύσης και, κατόπιν, από τις δυνάµεις αποδείξτε τα άλλα φαινόµενα …».

Νεύτωνας (17ος αιώνας)

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΕ∆ΙΑ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

Isaak Newton (1642-1727)

2.1. ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΕ∆ΙΑ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

59

“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” 1687



Ένα πεδίο δυνάµεων αναπαρίσταται γεωµετρικά ως συνεχής απεικόνιση 3 3F : →

που σε κάθε σηµείο προσαρτά ένα διάνυσµα δύναµης ορίζοντας την κίνηση στον ευκλείδειο χώρο 3 σύµφωνα µε την εξίσωση του Νεύτωνα:

2

2

( ) F( )=d x tm x

dt.

Αποσυνθέτοντας το πεδίο δυνάµεων στις συνιστώσες του συναρτήσεις:

( )1 2 3F( ) F ( ),F ( ),F ( )=x x x x , 3iF : → , i 1, 2,3= ,

η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως σύστηµα διαφορικών εξισώσεων: 2

ii2

( ) F ( )=d x tm x

dt, i 1, 2,3= .

Τα πεδία δυνάµεων διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα µε την ύπαρξη ή όχι συνάρτησης δυναµικού, δηλαδή συνάρτησης

3U : →

τέτοιας ώστε: F( ) U( )= −∇x x , 3∀ ∈x ,

που σηµαίνει ότι:

ii

UF ( ) ( )∂= −

∂x x

x, 3∀ ∈x , i 1, 2,3= .

Η συνάρτηση δυναµικού καθορίζεται µε πρσέγγιση προσθετικής σταθεράς αποδίδοντας σε κάθε σηµείο του χώρου αντίστοιχη τιµή δυναµικής ενέργει-ας και συνακόλουθα τον διαµερίζει σε ισοδυναµικές επιφάνειες:

3c (U) / U( ) cΣ = ∈ =x x , c∈ .*

* Στον ευκλείδειο χώρο 3 το εσωτερικό γινόµενο ταυτίζει ισοµορφισµά τα διανυσµατικά πεδία µε τις διαφορικές µορφές δίνοντας τη δυνατότητα ισοµορφικής έκφρασης κάθε πεδίου δυνάµεων ως εξής:

i ii 1,2,3

( ) F ( )x x dx=

= ∑F .

Η ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού σηµαίνει ότι η διαφορική µορφή που εκφράζει το πεδίο δυνάµεων αποτελεί το διαφορικό µιας συνάρτησης:

ii 1,2,3 i

UU( ) ( )d x x dxx=

∂=

∂∑ .


61

( )F( ) 0, 0, 1x = −

3U( )x x=

( )1 2 3F( ) , ,x x x x= − − −

( )2 2 21 2 3

12

U( )x x x x= + +

( )1 2F( ) , , 0x x x= − −

( )2 21 2

12

U( )x x x= +

Παραδείγµατα πεδίων δυνάµεων και αντίστοιχων ισοδυναµικών επιφανειών στον ευκλείδειο χώρο 3 .*

* Η συνάρτηση δυναµικού καθορίζεται µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς που συνήθως προσδιορίζε-ται θέτοντας U(0) 0= . Η αριθµητική τιµή της δηλώνει τη δυναµική ενέργεια που αποδίδεταιτο σε υπό-θεµα µοναδιαίας µάζας τοποθετηµένο στο θεωρούµενο σηµείο του χώρου. Σε κάθε σηµείο του ευκλεί-δειου χώρου, η διερχόµενη ισοδυναµική επιφάνεια τέµνει προφανώς κάθετα το πεδίο δυνάµεων.


Όταν ένα υλικό σηµείο εξελίσσεται στον ευκλείδειο χώρο 3 υπό την επί-δραση ενός πεδίου δυνάµεων προερχόµενου από συνάρτηση δυναµικού τότε στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων 3 3× ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας* ως άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας:

3 3: × →E , (x,x) U(x) (x)= +E K .

Η συνάρτηση ενέργειας καθορίζει την ενεργειακή τιµή του υλικού σηµείου σε κάθε σηµείο του χώρου θέσεων και ταχυτήτων 3 3× και τον διαµερίζει σε ισοενεργειακές υπερεπιφάνειες:

oo

3 3E E( ) ( ) / ( )Σ = ∈ × =x,x x,xE E , oE ∈ .

ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή διατήρησης της ενέργειας.

Όταν ένα υλικό σηµείο εξελίσσεται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων προερχόµενου από συνάρτηση δυναµικού τότε η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Απόδειξη. Λαµβάνοντας υπόψη την εξίσωση του Νεύτωνα:

2

2

( ) U( ) 0+∇ =d x tm x

dt

διαπιστώνουµε τον µηδενισµό της παραγώγου της συνάρτησης ενέργειας ως προς το χρόνο στα σηµεία της διανυόµενης τροχιάς στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων:

( ) ( )(U + )( ), ( ) ( ), ( )= =d dx t x t x t x tdt dtE K

U( ( )) ( ( ))d x t d x tdt dt

= + =K 3 3

i i

i=1 i=1i i

U∂ ∂+ =

∂ ∂∑ ∑dx dxx dt x dt

K

U( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0=< ∇ > + < >= − < > + < >=x x t m x t x t m x t x t m x t x t .

Σχόλιο. Τα πεδία δυνάµεων στα οποία ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας, δη-λαδή εκείνα που προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού, καλούνται διατηρητικά. Σε αυτά τα πεδία δυνάµεων η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων 3 3× ως σύστηµα εξισώσεων:

i

i

( ) ( , )dx t x xmdt x

∂=

∂E , i

i

( ) ( , )dx t x xmdt x

∂= −

∂E , i 1,2,3= .

* Σαφέστερα θα λέγαµε συνάρτηση µηχανικής ενέργειας.


63

Οι λύσεις αυτού του συστήµατος ορίζουν τις τροχιές στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων και εφόσον η συνάρτηση ενέργειας πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος ύπαρ-ξης και µοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων τότε από κάθε ση-µείο του διέρχεται µια µοναδική τροχιά. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής εξελίσσονται στην αντίστοιχη ισοενερ-γειακή υπερεπιφάνεια του χώρου θέσεων-ταχυτήτων 3 3× . Από την προβολή τους στο χώρο θέσεων προκύπτουν οι φυσικές τροχιές που έχει τη δυνατότητα να διαγράψει το υλικό σηµείο µε τη δεδοµένη ενεργειακή τιµή στον ευκλείδειο χώρο

3 και οι τροχιές αυτές εγκλείονται στο χωρίο που ορίζεται από τη σχέση:

oU( ) Ex ≤ .

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1. Οµογενή πεδία δυνάµεων.

Ο όρος οµογενές πεδίο δυνάµεων δηλώνει ότι σε κάθε σηµείο του ευκλείδειου χώ-ρου 3 προσαρτάται το ίδιο σταθερό διάνυσµα δύναµης:

3 3F : → , ( )1 2 3F( ) , ,≡x a a a .

Τα οµογενή πεδία δυνάµεων προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού που ορίζεται µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς ως εξής:

3U : → , 1 1 2 2 3 3U( ) = +x a x a x + a x ,

και διαµερίζει τον ευκλείδειο χώρο 3 σε ισοδυναµικά επίπεδα:

1 1 2 2 3 3 c, ca x a x +a x+ = ∈ .

Η κίνηση ενός υλικού σηµείου µάζας m υπακούει στην εξίσωση του Νεύτωνα:

i i( ) =m x t a , i 1,2,3= ,

και για τις αρχικές συνθήκες 3o(0)x x= ∈ , 3

o(0)x v= ∈ , καθορίζεται η τροχιά του στον ευκλείδειο χώρο 3 :

( )o o o( ) / 2 /= + + 2x t x v t a t m , ( )o 1 2 3, ,=a a a a , και η ταχύτητά του:

( )o o( ) /= +x t v a t m .

Στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας:

3 3: × →E , 3 3

2i i i

i 1 i 1

1

2( , )x x a x m x

= =

= +∑ ∑E ,

που διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Πειραµατικά είναι διαπι-στωµένο ότι, όταν ένα σώµα µάζας m βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της γης και η µόνη δύναµη που ασκείται σε αυτό είναι το βάρος του, η εξίσωση που διέπει την κίνησή του είναι αυτή που ισχύει στα οµογενή πεδία δυνάµεων:


( ) =m x t m g

όπου (0,0, )= −g g δηλώνει τη γήϊνη βαρυτική επιτάχυνση. Εδώ, η µάζα υπεισέρχε-ται στη διαµόρφωση της ασκούµενης σε αυτήν δύναµης δηλαδή του βάρους της, αλλά η κίνηση δεν εξαρτάται από τη µάζα, γεγονός που στην ελεύθερη πτώση είχε διαπιστωθεί πριν αρκετούς αιώνες πειραµατικά από τον Γαλιλαίο. Συγκεκριµένα:

1( ) 0=m x t ⇒ 1 01( ) =x t v ⇒ 1 01 01( )x t x +v t=

2 ( ) 0=m x t ⇒ 2 02( ) =x t v ⇒ 2 02 02( )x t x +v t=

3 ( )m x t mg= − ⇒ 3 03( ) = −x t v gt ⇒ 3 03 03 / 2( ) = + − 2x t x v t gt .

Άρα, αν τη στιγµή 0t = το σώµα διέρχεται από τη θέση 3o 01 02 03( , , )= ∈x x x x µε τα-

χύτητα 3o 01 02 03( , , )= ∈v v v v τότε θα διανύσει την τροχιά:

o o / 2)( ) (0,0,= + − 2x t x v t g t µε ταχύτητα:

o( ) = +x t v g t .*

Τροχιά στο οµογενές πεδίο βαρύτητας του περιβάλλοντος χώρου µας.

* Η συνάρτηση ενέργειας

23( , ) || || / 2x x mgx m x= +E

διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης που καθορίζεται από την αρχική θέση και ταχύτητα. Αν το σώµα εκτοξευτεί από την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 υπό γωνία oθ και ταχύτητα µέτρου oυ

τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η ενεργειακή του τιµή θα είναι: oE / 2m 2ο= υ και εύκολα προσδιορί-

ζεται η διάρκεια της κίνησης έως την πτώση στο έδαφος: o( / )sing ο2υ θ , το µέγιστο ύψος από όπου θα

διέλθει η τροχιά: 2( / 2 )sing2ο ου θ , το βεληνεκές: ( / )sin 2g2

ο ου θ .


65

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2. Γραµµικά πεδία δυνάµεων.

Το γραµµικό πεδίο δυνάµεων: 3 3F : → , 1 1 2 2 3 3F( ) ( , , )≡ − − −x x x xκ κ κ ,

προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

3U : → , 2 2 21 1 2 2 3 3

12

U( ) ( )x x x + x= +κ κ κ ,

που διαµερίζει τον ευκλείδειο χώρο 3 σε ελλειψοειδείς ισοδυναµικές επιφάνειες στο εσωτερικό των οποίων εξελίσσονται οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής. Η συνάρτηση ενέργειας ορίζεται στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων ως εξής:

32 2

i i ii 1

12

( , ) U( ) ( ) ( )x x x x x m x=

= + = +∑E K κ ,

και σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Η εξίσωση του Νεύτωνα:

2

2

( ) U( ) 0+∇ =d x tm x

dt

που διέπει την κίνηση ενός υλικού σηµείου µάζας m εκφράζεται ως εξής:

i i i( ) ( ) 0+ =m x t x tκ , i 0>κ , i 1,2,3= ,

και θέτοντας i i / mω = κ προκύπτει:

2i i i( ) ( ) 0x t x t+ω = , i 1,2,3= .

Για δεδοµένη αρχική θέση και ταχύτητα 3o ∈x , 3

o ∈v , προσδιορίζεται η τροχιά του υλικού σηµείου στον ευκλείδειο χώρο 3 :

( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )x t x t x t x t= όπου

i i i i i( ) A cos B sinx t t t= ω + ω , i iA ,B ∈ ,

ή ισοδύναµα i i i i( ) C cos( )= ω −ϕx t t , iC ∈ , i [0, ]ϕ ∈ π ,

µε σταθερές που πληρούν τις σχέσεις:

2 2 1/ 2i i iC (A B )= + , i i itg B / Aϕ = , i 1,2,3= .


2.2. ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕ∆ΙΟΥ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

Ο όρος δρόµος στον ευκλείδειο χώρο 3 , αρχής 3∈a και πέρατος 3∈b , δηλώνει µια συνεχή απεικόνιση:

31 2:[ , ]γ →t t

ορισµένη σε ένα διάστηµα του χρονικού άξονα όπου 1( )= γa t και 2( )= γb t . Η θεώρηση ενός δρόµου σε ένα πεδίο δυνάµεων σηµαίνει ότι σε κάθε ση-µείο της προσανατολισµένης καµπύλης που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο

3 προσαρτάται το αντίστοιχο διάνυσµα του πεδίου δυνάµεων:

( )1 2 3F( ( )) F ( ( )),F ( ( )),F ( ( ))γ = γ γ γt t t t .

Όταν ένα υλικό σηµείο διανύει την προσανατολισµένη αυτή καµπύλη, µε ενδεχόµενη ταυτόχρονη επίδραση και άλλων γνωστών ή άγνωστων δυνάµε-ων, τότε ορίζεται το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων:

2

1(F) F( ( )), ( )γ ≡ < γ γ >∫W

t

tt t dt .*

Το πεδίο δυνάµεων προσαρτά την αντίστοιχη δύναµη σε κάθε σηµείο της καµπύλης την οποία διανύει ένα υλικό σηµείο µε ενδεχόµενη ταυτόχρονη επίδραση και άλλων γνωστών ή άγνωστων εξωτερικών δυνάµεων. Σχόλιο. Αν το παραγόµενο έργο από ένα πεδίο δυνάµεων κατά µήκος ενός δρόµου είναι θετικό ή αρνητικό τότε αυτό σηµαίνει αντίστοιχα ότι το πεδίο δυνάµεων συνει-σφέρει ή ανθίσταται στην κίνηση του υλικού σηµείου που διανύει αυτό το δρόµο µε ενδεχόµενη ταυτόχρονη επίδραση άλλων εξωτερικών δυνάµεων. Στην περίπτωση µηδενικού έργου το πεδίο δυνάµεων ούτε συνεισφέρει ούτε ανθίσταται στην κίνηση. * Οι δρόµοι υποτίθενται τουλάχιστο κατά τµήµατα 1C -διαφορίσιµοι ώστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα να είναι σαφώς ορισµένο. Αυτό σηµαίνει ότι, µε εξαίρεση ίσως ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων της καµπύλης, κάθε άλλο σηµείο της δέχεται εφαπτοµένη µεταβαλλόµενη κατά συνεχή τρόπο. Ενδεχόµενη αλλαγή της παραµετροποίησης του δρόµου δεν επηρεάζει την τιµή του επικαµπύλιου ολοκληρώµατος.

2.2. ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕ∆ΙΟΥ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ 67

ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή µεταβολής της δυναµικής ενέργειας.

Στα πεδία δυνάµεων που προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού το παραγό-µενο έργο κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου ισούται µε τη µεταβολή της δυνα-µικής ενέργειας µεταξύ των άκρων του:

(F) U( ) U( )= −a bW .

Απόδειξη. Το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου αρχής 1( )= γa t και πέρατος 2( )= γb t είναι:

2

1(F) U( ( )), ( ) U U( ) U( )γ = − < ∇ γ γ > = − = −∫ ∫

t b

t at t dt d a bW .

ΠΟΡΙΣΜΑ*. Όταν ένα πεδίο δυνάµεων προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού τότε το έργο που παράγει κατά µήκος κάθε δρόµου του οποίου τα άκρα ανή-κουν στην ίδια ισοδυναµική επιφάνεια είναι µηδενικό και, ειδικότερα, µηδενι-κό είναι το έργο κατά µήκος κάθε κλειστού δρόµου.

• ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή µεταβολής της κινητικής ενέργειας.

Όταν ένα υλικό σηµείο εξελίσσεται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων τότε, σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα, η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας ισούται µε το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων κατά µήκος της διανυ-όµενης τροχιάς:

2 1(F) ( ( )) ( ( ))= −x t x tW K K .

Απόδειξη. Το παραγόµενο έργο κατά µήκος της τροχιάς προσδιορίζεται ως εξής:

2 2

1 1(F) F( ( )) , ( ) ( ), ( )= < > = < > =∫ ∫

t t

t tx t x t dt m x t x t dtW

( ) ( )2 2

1 1

2( ), ( ) || ( ) ||2 2

= < > = =∫ ∫t t

t t

m md x t x t d x t

( ) ( ) ( )2 22 1 2 1|| ( ) || || ( ) || ( ) ( )

2= − = −

m x t x t x t x tK K .

* Το πόρισµα αυτό προσφέρεται ως κριτήριο µη ύπαρξης συνάρτησης δυναµικού: Όταν το παραγόµενο έργο από ένα πεδίο δυνάµεων κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου δεν είναι µηδενικό τότε δεν υφίσταται συνάρτηση δυναµικού ορισµένη στον ευκλείδειο χώρο 3 .


ΠΟΡΙΣΜΑ*. Όταν ένα σύστηµα υλικών σηµείων εξελίσσεται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων τότε, σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα, η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας ισούται µε το συνολικά παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων κατά µήκος των τροχιών των υλικών σηµείων.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ. Προσδιορισµός έργου πεδίων δυνάµεων.

1. Το έργο που παράγουν τα οµογενή πεδία δυνάµεων σε ευθύγραµµο δρόµο: 3: [0,1]γ → , 3( ) (1 ) , ,t t a t b a bγ = − + ∈ ,

εκφράζεται ως εσωτερικό γινόµενο της δύναµης επί τη µετατόπιση. Γενικότερα, το έργο που παράγει ένα οποιοδήποτε πεδίο δυνάµεων:

3 3F : → , ( )1 2 3F( ) F ( ), F ( ),F ( )=x x x x ,

σε ευθύγραµµο δρόµο προσδιορίζεται ως εξής:

1 1

i i i i i0 0i 1,2,3 i 1,2,3

(F) F ( ( )) ( ) ( ) F ( ( ))t t dt b a t dtγ= =

= γ γ = − γ∑ ∑∫ ∫W .

Ευθύγραµµος δρόµος σε οµογενές πεδίο δυνάµεων.

2. Τα οµογενή πεδία δυνάµεων διαµερίζουν τον ευκλείδειο χώρο 3 σε ισοδυναµι-κά επίπεδα και το έργο που παράγουν κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου εξαρτάται µόνο από τα άκρα του και ισούται µε τη διαφορά της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στα αντίστοιχα ισοδυναµικά επίπεδα. Όταν τα άκρα ανήκουν στο ίδιο ισοδυναµικό επίπεδο τότε το παραγόµενο έργο είναι µηδενικό. * Το πόρισµα αυτό φαίνεται εξαιρετικά απλό αλλά δεν είναι τόσο εύχρηστο. Ακόµη και αν το σύστηµα είναι αποµονωµένο οι εσωτερικές δυνάµεις έχουν δυνατότητα παραγωγής έργου µε συνέπεια τη µη δια-τήρηση της συνολικής κινητικής ενέργειας.


3. Το βαρυτικό πεδίο δυνάµεων κοντά στην επιφάνεια της γης, µε ικανοποιητική προσέγγιση για τη µελέτη των φυσικών φαινοµένων, είναι οµογενές. Όταν ένα σώ-µα µάζας m κινείται υπό την επίδραση µόνο του βάρους του, για δεδοµένη αρχική θέση και ταχύτητα 3

0 ∈x , 30 ∈v , προκύπτει η τροχιά του στον ευκλείδειο χώρο

3 :

0 0 / 2( ) (0,0, )= + − 2x t x v t g t και η ταχύτητά του:

o( ) = +x t v g t .

Στο χρονικό διάστηµα 0 ≤ ≤ ot t , το παραγόµενο έργο κατά µήκος της διανυόµενης τροχιάς ισούται µε τη µεταβολή της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στα άκρα της αλλά και µε τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας:

030 0(F) F( ( )) , ( ) ( )= < > = − − =∫ ∫W o ot t

x t x t dt mg v gt dt

( ) ( ) ( )2 2 2 203

1 12 2

( ) || (0) || x( ) x(0)= − = − = −o o o omg t mgv t m || x t || x tK K .

Τροχιές στο πεδίο βαρύτητας του περιβάλλοντος χώρου µας.

4. Το πεδίο δυνάµεων

3 3F : → , 1 2 3F( ) ( , , )= − − −x x x x ,

προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού

2 2 21 2 3

12

U( ) ( )= + +x x x x , U(0) 0= ,

και το έργο κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου ισούται µε τη διαφορά της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στις αντίστοιχες ισοδυναµικές σφαιρικές επιφάνειες:

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

12

U( ) U( ) ( ) ( ) − = + + − + + a b a a a b b b .


5. Το πεδίο δυνάµεων 3 3F : → , 1 2 3F( ) ( , , )x x x x= − − ,

προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού

2 2 21 2 3

12

U( ) ( )x x x x= + − , U(0) 0= ,

και το παραγόµενο έργο κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου ισούται µε τη διαφορά της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στις αντίστοιχες ισοδυναµικές επιφάνειες:

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

12

U( ) U( ) ( ) ( ) − = + − − + − a b a a a b b b .

∆ιαµερισµός του χώρου σε ισοδυναµικές επιφάνειες: 2 2 21 2 3 2 ,+ − = ∈x x x c c .

H τιµή c=0 ορίζει ένα διπλό κώνο, κάθε θετική τιµή του c ορίζει ένα υπερβολοειδές εκ περιστροφής και κάθε αρνητική τιµή του c ορίζει ένα δίκλαδο υπερβολοειδές.

6. Στο πεδίο δυνάµεων: 3 3F : → , 2 1 3F( ) (2 , 2 , )= −x x x x ,

ένα υλικό σηµείο διαγράφει την τροχιά:

( ) (e cos , e sin , e )− − −= t t tx t t t .

Στο χρονικό διάστηµα 0 ≤ ≤ ot t , η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας είναι ίση µε το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων:

322 2 2

i i0i 1

3 1(F) F ( ( )) ( ) 3 (e 1) (|| ( ) || || (0) || )2 2

−−

0=

= = − = − = −∑∫ ∫o o o

t t ttox t x t dt e dt x t xW .


Κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας ισούται µε το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων.

7. Το έργο που παράγει το πεδίο δυνάµεων 3 3F : → , 3 3 3F( ) (sin , cos , )=x x x x ,

στο δρόµο 3 3( ) (cos , sin , ), 0 2 ,γ = ≤ ≤ πt t t t t

είναι

2 2 22 2

1 2 30 0 0(F) 3 F ( ( ))sin cos 3 F ( ( )) cos sin F ( ( ))

π π π

γ = − γ + γ + γ =∫ ∫ ∫W t t t dt t t t dt t dt

2 2 22 2 2 2 2

0 0 03 sin cos 3 cos sin 2

π π π= − + + = π∫ ∫ ∫t t dt t t dt t dt .

∆ρόµος στον ευκλείδειο χώρο 3 .*

* Οι δρόµοι που υπεισέρχονται στα παραδείγµατα δεν ορίζουν πάντα τροχιές που µπορεί να διαγράψει ένα υλικό σηµείο υπό την επίδραση µόνο του θεωρούµενου πεδίου δυνάµεων ώστε να ισχύει η αρχή µεταβολής της κινητικής ενέργειας.


8. Το έργο που παράγει ένα πεδίο δυνάµεων

3 3F : → , ( )1 2 3F( ) F ( ), F ( ),F ( )=x x x x ,

στον ελικοειδή δρόµο ( ) (cos , sin , ), 0 2γ = ≤ ≤ πt t t t t ,

είναι 2 2 2

1 2 30 0 0(F) F ( ( ))sin F ( ( )) cos F ( ( ))

π π π

γ = − γ + γ + γ∫ ∫ ∫t t dt t t dt t dtW .

Στην περίπτωση

1 2F( ) ( , , 0)= − −x x x , προκύπτει

2 2

0 0(F) cos sin sin cos 0 0

π π 2π

γ 0= − + =∫ ∫ ∫W t t dt t t dt dt .

Στην περίπτωση 3 3F : → , 2 1F( ) ( , , 0)= − −x x x ,

προκύπτει 2 22 2

0 0(F) sin cos 0 0

π π 2π

γ 0= − + =∫ ∫ ∫W t dt t dt dt .

Αυτά τα πεδία δυνάµεων προέρχονται αντίστοιχα από τις συναρτήσεις δυναµικού:

2 21 2

12

U( ) ( )= +x x x , 1 2U( ) =x x x ,

µε U(0) 0= και ότι το παραγόµενο έργο είναι µηδέν σηµαίνει ότι τα άκρα του θεω-ρούµενου ελικοειδούς δρόµου ανήκουν αντίστοιχα σε ίδια ισοδυναµική επιφάνεια.

1 2F( ) ( , , 0)= − −x x x 2 1F( ) ( , , 0)= − −x x x

Ελικοειδής δρόµος σε γραµµικά πεδία δυνάµεων.


9. Το έργο που παράγει ένα πεδίο δυνάµεων 3 3F : → , ( )1 2 3F( ) F ( ), F ( ),F ( )=x x x x ,

στον κυκλικό δρόµο ( ) (cos , sin , 0), 0 2 ,γ = ≤ ≤ πt t t t

είναι 2 2 2

i i 1 20 0 0i 1,2,3

(F) F ( ( )) ( ) F ( ( ))sin F ( ( ))cosπ π π

γ=

= γ γ = − γ + γ∑∫ ∫ ∫t t dt t t dt t t dtW .

Στην περίπτωση των πεδίων δυνάµεων

1 2 3 2 1F( , , ) ( , ,0)= −x x x x x και 1 2 3 2 1F( , , ) ( , ,0)= −x x x x x

προκύπτει αντίστοιχα 2 2 22 2

0 0 0(F) sin cos 2

π π π

γ = + = = π∫ ∫ ∫t dt t dt dtW

2 2 22 2

0 0 0(F) sin cos 2

π π π

γ = − − = − = − π∫ ∫ ∫t dt t dt dtW .

Εφόσον λοιπόν υπάρχει κλειστός δρόµος κατά µήκος του οποίου το παραγόµενο έργο δεν είναι µηδέν συµπεραίνουµε ότι αυτά τα πεδία δυνάµεων δεν προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού. Εντούτοις, στον κλειστό κυκλικό δρόµο:

( ) (0, cos , sin ), 0 2γ = ≤ ≤ πt t t t ,

παράγεται µηδενικό έργο: 2 2

i i0 0i 1,2,3

(F) F ( ( )) ( ) cos sin 0π π

γ=

= γ γ = − =∑∫ ∫W t t dt t t dt .

2 1F( ) ( , ,0)= −x x x , 2 1F( ) ( , ,0)= −x x x

Πεδία δυνάµεων που δεν προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού αφού υπάρχει κλειστός δρόµος κατά µήκος του οποίου το παραγόµενο έργο δεν είναι µηδενικό.

.


2.3. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΕ∆ΙΟΥ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

Ο στροβιλισµός ενός πεδίου δυνάµεων 3 3F : → , ( )1 2 3F( ) F ( ),F ( ),F ( )=x x x x ,

προσαρτά σε κάθε σηµείο το διάνυσµα:

F( )∇× =x 3 32 1 2 1

2 3 3 1 1 2

F ( ) F ( )F ( ) F ( ) F ( ) F ( ), ,− − − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

x xx x x xx x x x x x

που είναι εκφρασµένο στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου και προ-κύπτει από το ανάπτυγµα της συµβολικής ορίζουσας: *

1 2 3

1 2 3

1 2 3 .

F( ) / / /F ( ) F ( ) F ( )

∇× = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂e e e

x x x xx x x

Τα πεδία δυνάµεων διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα µε το αν ο στροβιλισµός τους είναι µηδενικός ή όχι. Ο µηδενισµός του στροβιλισµού δεν επηρεάζεται από αλλαγές συντεταγµένων στον ευκλείδειο χώρο 3 . Τα πεδία δυνάµεων µηδενικού στροβιλισµού καλούνται αστρόβιλα:

F( ) = 0∇× x , 3∀ ∈x .

• ΘΕΩΡΗΜΑ. Κριτήριο µηδενικού στροβιλισµού στον ευκλείδειο χώρο 3

Ένα πεδίο δυνάµεων ορισµένο στον ευκλείδειο χώρο 3 : 3 3F : → , ( )1 2 3F( ) F ( ), F ( ),F ( )=x x x x ,

είναι αστρόβιλο αν και µόνο αν προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού: 3U : → : F( ) U( )= −∇x x , 3∀ ∈x .

* Όταν το πεδίο δυνάµεων εκφραστεί ως διαφορική µορφή στον ευκλείδειο χώρο 3 :

i ii 1,2,3

( ) F ( )x x dx=

= ∑F

τότε ο στροβιλισµός εκφράζει το εξωτερικό διαφορικό:

3 32 1 2 11 2 2 3 3 1

1 2 2 3 3 1

F FF F F Fdx dx dx dx dx dxx x x x x x

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= − ∧ + − ∧ + − ∧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

dF .

2.3. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΕ∆ΙΟΥ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ 75

Απόδειξη. Αν το πεδίο δυνάµεων προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού τότε, µε προϋπόθεση την ύπαρξη και συνέχεια των µερικών παραγώγων, ισχύει:

1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3

U U U U U U, , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x x x x x x x x x

άρα F( ) U( ) = 0∇× = −∇×∇x x , 3∀ ∈x .

Αντίστροφα, αν το πεδίο δυνάµεων είναι αστρόβιλο και εφόσον ορίζεται σε ολό-κληρο τον ευκλείδειο χώρο 3 και είναι διαφορίσιµο µε συνεχείς µερικές παραγώ-γους,* θέτοντας i i=u tx , [0,1]∈t , και χρησιµοποιώντας την ταυτότητα:

( ) ( )1 1 1

0 0 0k 1,2,3

i i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 kk

F ( ) F ( , , ) F ( , , ) F ( , , )=

∂= = +

∂∑∫ ∫ ∫dx t u u u dt u u u dt u u u u dtdt u

προκύπτει η συνάρτηση δυναµικού:

3U : → , 1

0i 1,2,3

i 1 2 3 iU( ) F ( , , )=

= − ∑ ∫x tx tx tx x dt .

2 1F( ) ( , , 0)=x x x 1 2F( ) ( , , 0)= − −x x x Πεδία δυνάµεων µηδενικού στροβιλισµού.

2 1F( ) ( , ,0)= −x x x , 2 1F( ) ( , ,0)= −x x x Πεδία δυνάµεων µη µηδενικού στροβιλισµού.

* Στο κεφάλαιο αυτό, τα πεδία δυνάµεων υποτίθενται διαφορίσιµα µε συνεχείς µερικές παραγώγους.


Κατασκευή συνάρτησης δυναµικού στον ευκλείδειο χώρο 3 .

Όταν ένα πεδίο δυνάµεων 3 3F : → , ( )1 2 3F( ) F ( ), F ( ),F ( )=x x x x ,

ορίζεται σε όλο τον ευκλείδειο χώρο 3 και προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού τότε, προκειµένου να προσδιοριστεί αυτή η συνάρτηση, στηριζόµαστε στο θεώρηµα που δηλώνει ότι το παραγόµενο έργο σε οποιονδήποτε δρόµο εξαρτάται µόνο από τα άκρα του. Επιλέγουµε λοιπόν να µεταβούµε από το αρχικό σηµείο 3∈a σε ένα πέρας 3∈x διανύοντας τρεις διαδοχικούς ευθύγραµµους δρόµους αντίστοιχα πα-ράλληλους προς τους ευκλείδειους άξονες, οπότε προκύπτει η συνάρτηση:

1 2 3

1 2 31 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3U( ) F ( , , ) F ( , , ) F ( , , )= − − −∫ ∫ ∫

x x x

a a ax u x x du a u x du a a u du .

Λαµβάνοντας υπόψη ότι τα πεδία δυνάµεων που προέρχονται από συνάρτηση δυνα-µικού είναι αστρόβιλα, µε απευθείας υπολογισµό διαπιστώνουµε ότι η συνάρτηση αυτή, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, ορίζει τη συνάρτηση δυναµικού:

3U : → , F( ) U( )= −∇x x , 3∀ ∈x .

Μετάβαση από ένα αρχικό σηµείο ( )= oa x t στο σηµείο ( )x t διαµέσου τριών διαδοχικών

ευθύγραµµων δρόµων παράλληλων αντίστοιχα στους άξονες του ευκλείδειου συστήµατος αναφοράς.

Σχόλιο. Πεδία δυνάµεων που δεν ορίζονται σε όλο τον ευκλείδειο χώρο 3 .

Όταν ένα πεδίο δυνάµεων δεν ορίζεται σε όλο τον ευκλείδειο χώρο 3 , ο µηδενι-σµός του στροβιλισµού δεν διασφαλίζει πάντα την ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού. Το κριτήριο µηδενικού στροβιλισµού ισχύει εφόσον το χωρίο ορισµού του πεδίου δυνάµεων είναι απλά συνεκτικό*, π.χ. στην περίπτωση 3 0− .

* Βλ. Παράρτηµα: Λήµµα Poincaré.


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ. Προσδιορισµός συνάρτησης δυναµικού.

Το πεδίο δυνάµεων

2 3 3 12 2

1 21 2 1 2

1F( ) , ,

( ) ( ) + − −

= ++ +

x x x xx

x xx x x x

ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο 3 εκτός των σηµείων του επιπέδου 1 2 0+ =x x και µε απευθείας υπολογισµό διαπιστώνουµε ότι εκεί όπου ορίζεται είναι αστρόβιλο. Το χωρίο ορισµού του πεδίου δυνάµεων διαµερίζεται σε δυο απλά συνεκτικές συνιστώ-σες και σε κάθε µια από αυτές διασφαλίζεται η συνέχεια των µερικών παραγώγων. Αναζητούµε συνάρτηση τέτοια ώστε:

2 32

1 1 2

x xU ( )(x x )

+∂= −

∂ +x

x, 1 3

22 1 2

U ( )( )

−∂=

∂ +x x

xx x x

, 3 1 2

U 1( )x x

∂=

∂ +x

x.

Από την 3η εξίσωση προκύπτει: 3

1 21 2

U( ) A( , )= ++x

x x xx x

και σε συνδυασµό µε την 1η και 2η εξίσωση έχουµε τις σχέσεις:

22

1 1 2

A( )−∂

=∂

xx x + x

, 12

2 1 2

A( )

∂=

∂x

x x + x.

Από την 1η σχέση προκύπτει: 2

1 2 21 2

A( ) B( )= ++x

x ,x xx x

και σε συνδυασµό µε τη 2η σχέση προκύπτει η σταθερότητα του 2B( ) C=x . Προσδι-ορίζεται έτσι, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, η έκφραση της ζητούµενης συνάρτησης σε κάθε µια από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων:

2 3

1 2U( ) =

+x + x

xx x

.

Η συνάρτηση αυτή προσαρτά µονοσήµαντα σε κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων τη τιµή δυναµικής ενέργειας και έτσι σε κάθε µια από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες του καθορίζονται τα ισοδυναµικά επίπεδα χωρία:

1 2 3c (c 1) 0, cx x x+ − + = ∈ , 1 2 0x x+ > ή 1 2 0x x+ < .

Σηµειώνουµε ότι, κατά µήκος κάθε κλειστού δρόµου εγκλεισµένου σε οποιαδήποτε από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες, το παραγόµενο έργο είναι µηδενικό, άρα, σε κάθε δρόµο εγκλεισµένο σε οποιαδήποτε από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες, το παραγόµενο έργο εξαρταται µόνο από τα άκρα του δρόµου.


ΘΕΩΡΗΜΑ. Τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού.

Όταν ένα πεδίο δυνάµεων δεν είναι ορισµένο σε όλο τον ευκλείδειο χώρο 3 αλλά σε ένα χωρίο του τότε ο µηδενισµός του στροβιλισµού συνεπάγεται την τοπική* ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού. Απόδειξη. Θεωρούµε ένα πεδίο δυνάµεων

( )1 2 3F( ) F ( ), F ( ), F ( )=x x x x ,

ορισµένο σε ένα χωρίο V του ευκλείδειου χώρου 3 και, υποθέτοντας το στρο-βιλισµό του µηδενικό, αναζητούµε συνάρτηση που να πληροί τις συνθήκες:

ii

U ( ) F ( )∂= −

∂x x

x, i 1,2,3= .

Η εξίσωση i 1= δηλώνει ότι, στην περιοχή ενός σηµείου 1 2 3( , , )=a a a a του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων, η συνάρτηση αυτή οφείλει να είναι της µορφής:

1

11 2 3 1 1 2 3 1 2 3U( , , ) F ( , , ) A( , )= − +∫

x

ax x x u x x du x x .

Η συνέχεια των µερικών παραγώγων των συνιστωσών συναρτήσεων του πεδίου δυ-νάµεων επιτρέπει την παραγώγιση µέσα στο ολοκλήρωµα, οπότε:

1

1

11 2 3 1

2 2 2

FU A( , , )∂∂ ∂

= − +∂ ∂ ∂∫

x

au x x du

x x x

1

1

11 2 3 1

3 3 3

FU A( , , )∂∂ ∂

= − +∂ ∂ ∂∫

x

au x x du

x x x

και ο µηδενισµός του στροβιλισµού οδηγεί στις εκφράσεις:

1

1

21 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3

2 1 2 2

FU A A( , , ) F ( , , ) F ( , , )∂∂ ∂ ∂

= − + = − + +∂ ∂ ∂ ∂∫

x

au x x du x x x a x x

x u x x

1

1

31 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3

3 1 3 3

FU A A( , , ) F ( , , ) F ( , , )∂∂ ∂ ∂

= − + = − + +∂ ∂ ∂ ∂∫

x

au x x du x x x a x x

x u x x.

Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις i 2= και i 3= προκύπτουν δυο εξισώσεις στις οποίες υπεισέρχονται πλέον µόνο δυο µεταβλητές:

* Ο όρος τοπική ύπαρξη σηµαίνει ότι κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων διαθέτει ανοιχτή περιοχή στην οποία υφίσταται συνάρτηση δυναµικού. Το θεώρηµα αυτό δεν παρέχει καµία πληροφορία για το εύρος της περιοχής στην οποία ορίζεται η συνάρτηση δυναµικού όµως υποδεικνύει τη διαδικασία τοπικής κατασκευής της συνάρτησης δυναµικού.


i 1 2 3i

A F ( , , )∂= −

∂a x x

x, i 2,3= .

Η 1η από αυτές τις εξισώσεις υποδεικνύει ότι:

2

22 3 2 1 2 3 2 3A( , ) F ( , , ) B( )= − +∫

x

ax x a u x du x

οπότε 2

2

21 2 3 2 3

3 3

FA ( , , ) B ( )∂∂ ′= − +

∂ ∂∫x

aa u x du x

x x

και ο µηδενισµός του στροβιλισµού οδηγεί στην έκφραση:

2

2

31 2 3 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3

3 2

FA ( , , ) B ( ) F ( , , ) F ( , , ) B ( )∂∂ ′ ′= − + = − + +

∂ ∂∫x

aa u x du x a x x a a x x

x u.

Λαµβάνοντας υπόψη την 2η από αυτές τις εξισώσεις προκύπτει ότι:

3 3 1 2 3B ( ) F ( , , )′ = −x a a x άρα

3

33 3 1 2 3 3B( ) F ( , , ) C= − +∫

x

ax a a u du , C∈ .

Με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς που καθορίζεται από τη λαµβανόµενη τιµή στο σηµείο a προκύπτει η συνάρτηση δυναµικού:

1 2 3

1 2 31 2 3 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3U( , , ) F ( , , ) F ( , , ) F ( , , )= − − −∫ ∫ ∫

x x x

a a ax x x u x x du a u x du a a u du .

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ. Τοπικός προσδιορισµός συνάρτησης δυναµικού.

Το πεδίο δυνάµεων

2 12 2 2 21 2 1 2

F( ) , , 0x xxx x x x

−=

+ +

ορίζεται στο µη απλά συνεκτικό χωρίο που προκύπτει όταν εξαιρεθεί ο άξονας 3x από τον ευκλείδειο χώρο 3 και µε απευθείας υπολογισµό διαπιστώνουµε ότι εκεί όπου ορίζεται είναι αστρόβιλο. Σε ένα απλά συνεκτικό χωρίο που δεν τέµνει τον άξονα 3x διασφαλίζεται η συνέχεια των µερικών παραγώγων και το θεώρηµα δηλώ-νει την τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού που πληροί τις συνθή-κες:

22 2

1 1 2

U ( )x

xx x x

−∂=

∂ +, 1

2 22 1 2

U ( )x

xx x x∂

=∂ +

, 3

U ( ) 0xx∂

=∂

,

από τις οποίες, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, προκύπτει:


2 1U( ) Arctg( / )=x x x .

Η συνάρτηση αυτή δεν αποτελεί συνάρτηση δυναµικού στο χωρίο ορισµού του πεδίου δυνάµεων αφού δεν προσαρτά σε κάθε σηµείο του µονοσήµαντα µια τιµή δυναµικής ενέργειας. Άλλωστε, το παραγόµενο έργο κατά µήκος ενός δρόµου δεν εξαρτάται µόνο από τα άκρα του αλλά από τον ίδιο το δρόµο και, ειδικότερα, κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου δεν είναι πάντα µηδέν. Για παράδειγµα, κατά µήκος του κλειστού δρόµου:

( ) (cos , sin , 1), 0 2 ,t t t tγ = ≤ ≤ π

το παραγόµενο έργο είναι: 2 22 2 2

2 2 2 20 0 0

sin cos(F) 2cos sin cos sin

t tdt dt dtt t t t

π π π

γ− −

= + = − = − π+ +∫ ∫ ∫W .

Το αστρόβιλο πεδίο δυνάµεων του παραδείγµατος που προέρχεται µόνο τοπικά από συνάρτηση δυναµικού.

Η µη µονοσήµαντη προσάρτηση τιµής δυναµικής ενέργειας σε κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού

του πεδίου δυνάµεων οφείλεται στη µη απλή συνεκτικότητά του.

2.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 81

2.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

Ο όρος κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας δηλώνει κάθε κίνηση που καθορί-ζεται από τη µονοδιάστατη εξίσωση:

2

2 F( )=d xm xdt

, ∈x .

Η δύναµη που προκαλεί κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

U : → , U( ) F( )= −∫o

x

xx u du .

Στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας:

: × →E , 2( , ) U( ) / 2= +x x x mxE ,

που κατά τη διάρκεια της κίνησης διατηρεί σταθερή τιµή και έτσι ορίζονται τα ισοενεργειακά σύνολα από την εξίσωση ενέργειας:

2oU( ) / 2 E+ =x mx , oE ∈ .

Πρόκειται για καµπύλες που, σύµφωνα µε το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρ-τήσεων, είναι λείες στην περιοχή κάθε σηµείου στο οποίο δεν µηδενίζεται η δύναµη. Οι καµπύλες αυτές ίσως εµφανίζουν αυτοτοµές, όµως το θεώρηµα ύπαρξης και µοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων δηλώ-νει ότι από κάθε σηµείο του επιπέδου θέσεων-ταχυτήτων διέρχεται µόνο µια τροχιά. Συνεπώς, κάθε ισοενεργειακή καµπύλη αποτελείται από µια ή ενδε-χοµένως περισσότερες τροχιές ίδιας ενεργειακής τιµής. Η ενεργειακή τιµή της τροχιάς που διέρχεται από τη θέση o o( )x x t= µε ταχύτητα o o( )v x t= καθο-ρίζεται από την ενεργειακή σχέση:

2oE = U( ) / 2+o ox mv .

Η εξίσωση ενέργειας οδηγεί στη διαφορική εξίσωση:

( )1/ 2o/ 2 E U( )dxm x

dt= ± −

από όπου προσδιορίζονται οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής µε υπο-λογισµό του ολοκληρώµατος:

o oE U( )x

x

dxx−∫ .


Οι τροχιές αυτές έχουν δυνατότητα να εξελιχθούν στην επιτρεπτή περιοχή κίνησης που ορίζεται από την ανισωτική σχέση:

oU( ) Ex ≤ .

Οι σηµειακές τροχιές καλούνται σηµεία ισορροπίας:

( ) 3 3o( ) , ( ) 0x t x x t≡ ≡ ∈ × .

Πρόκειται για τα σηµεία µηδενισµού της δύναµης αλλά και της ταχύτητας, άρα στα σηµεία αυτά η συνάρτηση δυναµικού λαµβάνει ακρότατες τιµές. Τα σηµεία ελαχιστοποίησής της ορίζουν τις θέσεις ευσταθούς ισορροπίας και τα σηµεία µεγιστοποίησής της ορίζουν τις θέσεις ασταθούς ισορροπίας:

oU ( ) 0x′ = , oU ( ) 0x′′ ≠ .

Η ευσταθής ισορροπία σηµαίνει ότι, στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων, το ση-µείο ισορροπίας διαθέτει περιοχή από την οποία οι διερχόµενες τροχιές είναι όλες φραγµένες, δηλαδή από την τοπική διαταραχή των συνθηκών ισορροπί-ας προκύπτουν αρχικές συνθήκες που ορίζουν φραγµένες τροχιές. Η αστα-θής ισορροπία σηµαίνει ότι στην περιοχή του σηµείου ισορροπίας υπάρχουν αρχικές συνθήκες που ορίζουν µη φραγµένες τροχιές. Η συµπεριφορά των τροχιών στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων, στην περιοχή των σηµείων ισορρο-πίας, γίνεται άµεσα αντιληπτή από το γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού λαµβάνοντας υπόψη ότι οι θέσεις από τις οποίες έχει τη δυνατότητα να διέ-λθει µια τροχιά δεδοµένης ενεργειακής τιµής καθορίζονται από τη συνθήκη:

oU( ) Ex ≤ .

Γράφηµα συνάρτησης δυναµικού και περιοχές επιτρεπτής κίνησης µε δεδοµένη ενεργειακή τιµή.


ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ MORSE: Τοπική αναγωγή σε τετραγωνικά δυναµικά.

Στην περιοχή των σηµείων ισορροπίας των συστηµάτων ενός βαθµού ελευθε-ρίας, σε κατάλληλες τοπικές συντεταγµένες, η συνάρτηση δυναµικού αποκτά τετραγωνική έκφραση και κατά συνέπεια η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως εξής:

0m x x± = .

Απόδειξη. Θέτοντας το σύστηµα αξόνων στο κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης δυνα-µικού έτσι ώστε U(0) 0= , προκύπτει:

1

0 0 0U( ) U U ( ) U ( ) A( )

x xx d d x tx dt x x′ ′= = ξ ξ = =∫ ∫ ∫ .

Η συνθήκη U (0) 0′ = διασφαλίζει ότι A(0) 0= και επαναλαµβάνοντας την ίδια δια-δικασία προκύπτει:

2U( ) = B( )x x x .

Η συνθήκη U (0) 0′′ ≠ διασφαλίζει ότι B(0) 0≠ και θέτοντας:

1/ 2( ) | B( ) |x x xφ =±

διαπιστώνουµε ότι (0) 0′φ ≠ . Άρα, στην περιοχή του 0, εξασφαλίζεται η αντιστρεψι-µότητα και η αµφιδιαφορισιµότητα του µετασχηµατισµού αλλαγής συντεταγµένων

( )x x= φ που οδηγεί στην τοπική τετραγωνική έκφραση της συνάρτησης δυναµικού:

( )1 2U ( )x x−φ = ±

και στην αντίστοιχη τοπική γραµµική έκφραση της εξίσωσης του Νεύτωνα.

Γράφηµα των τετραγωνικών συναρτήσεων δυναµικού µιας µεταβλητής και αντίστοιχη συµπεριφορά των τροχιών στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων

στην περιοχή του σηµείου ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας.


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1. Ελκτική γραµµική δύναµη.

Η µονοδιάστατη ελκτική γραµµική δύναµη:

F : → , F( ) 0= − >x x ,κ κ ,

ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

U : → , 2U( ) / 2x x=κ .

Κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m υπό την επίδραση αυ-τής της δύναµης, η συνάρτηση ενέργειας:

: × →E , 2 21 1

2 2( , ) = +E x x x m xκ ,

διατηρεί σταθερή τιµή συνεπώς, οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής εξελίσσο-νται στο ισοενεργειακό σύνολο που ορίζεται στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων από τη σχέση:

2 2o2E+ =x m xκ .

Η εξίσωση του Νεύτωνα: ( ) ( ) 0+ =m x t x tκ

οδηγεί στις λύσεις: ( ) A cos Bsin= ω + ωx t t t

όπου οι σταθερές Α και Β καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες και / mω = κ . Οι λύσεις αυτές διατυπώνονται ισοδύναµα ως εξής:

( ) Ccos( )= ω −ϕx t t , C∈ , [0, ]ϕ∈ π .*

Γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού της µονοδιάστατης ελκτικής γραµµικής δύναµης και τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων γύρω από το ευσταθές σηµείο ισορροπίας.

* Πρόκειται για µονοδιάστατες αρµονικές ταλαντώσεις που αποτελούν ειδική περίπτωση περιοδικής κίνησης γύρω από τη θέση ισορροπίας 0x = . Το πλάτος C∈ και η φάση [0, ]ϕ∈ π της ταλάντωσης καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Η περίοδός T 2 /= π ω και η συχνότητα 1/ T είναι σταθερές και δεν εξαρτώνται από το πλάτος της ταλάντωσης.


Απώλεια ενέργειας. Όταν εκτός από την ελκτική δύναµη επαναφοράς επιδρά µια δύναµη απόσβεσης προερχόµενη π.χ. από την αντίσταση του µέσου στο οποίο πραγ-µατοποιείται η ταλάντωση και που στην απλούστερη περίπτωση είναι ανάλογη της ταχύτητας µε συντελεστή > 0ρ , η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής:

( ) ( ) ( ) 0m x t x t x tρ κ+ + = .

Η διακρίνουσα του χαρακτηριστικού τριωνύµου καθορίζει τρεις περιπτώσεις:

• Ισχυρή απόσβεση: 2 mρ κ> ⇒ ( ) (A B )− −= +t t tx t e e eγ α α

• Κρίσιµη απόσβεση: 2 mρ κ= ⇒ ( ) (A B)−= +tx t e tγ

Ασθενής απόσβεση: 2 mρ κ< ⇒ ( ) C cos( )−= −ϕtx t e tγ λ

όπου Α, Β, C πραγµατικές σταθερές και

/ 2γ = mρ , 2 2α = γ −ω , 2 2λ = ω − γ , /ω = mκ .

Στην ισχυρή και στην κρίσιµη απόσβεση η µάζα επανέρχεται βαθµιαία στη θέση ισορροπίας. Στην ασθενή απόσβεση προκύπτουν φθίνουσες ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ισορροπίας και η χρονική διάρκεια µεταξύ δυο µεγίστων ή ελαχίστων ορίζει την περίοδο T 2 /λ= π .

Εξαναγκασµένη ταλάντωση. Όταν ασκείται επιπλέον µια περιοδική εξωτερική δύ-ναµη εξαρτώµενη από το χρόνο της µορφής:

o( ) cosf t f tο= ω

τότε η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής:

o( ) ( ) ( ) cos ο+ + = ωm x t x t x t f tρ κ

και η λύση της προκύπτει από το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς εξίσω-σης και µιας ειδικής λύσης που εκφράζεται ως εξής:

1 2( ) c cos c sinο ο= ω + ωx t t t , 1 2c ,c ∈ .

Σε σύντοµο χρονικό διάστηµα η γενική λύση της οµογενούς εξίσωσης τείνει να µη-δενιστεί, εκτός και αν = 0ρ , οπότε τελικά επικρατεί η ειδική λύση η οποία µετά τον προσδιορισµό των σταθερών καθορίζει την ταλάντωση:


o

2 2 2

/( ) cos(

( ) 4ο2 2

ο ο

= ω −φ)ω −ω + γ ω

f mx t t

όπου 2tg 2 /( )2

ο οφ = γω ω −ω , 0 ≤φ ≤ π .

Το πλάτος αυτής της ταλάντωσης είναι µέγιστο όταν η συχνότητα της εξωτερικής δύναµης πληροί τη σχέση:

2 2 2 2o / 2ω −ω = ρ m

οπότε καθορίζεται η καλούµενη συχνότητα συντονισµού. Στην περίπτωση = 0ρ , από το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς εξίσωσης και της ειδικής λύσης προ-κύπτει η ταλάντωση:

o2

/( ) Ccos( ) cos ο2

ο

= ω −ϕ + ωω −ω

f mx t t t , C∈ , 0 ≤ ϕ ≤ π .*

Ταλάντωση µεταβαλλόµενου πλάτους.

Σχόλιο. Αν = 0ρ και οω = ω , η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής:

o( ) ( ) cos2+ ω = ωx t x t f t

και η ειδική λύση της είναι της µορφής:

1 2( ) c cos c sinο ο= ω + ωx t t t t t

οπότε, προσδιορίζοντας τις σταθερές και προσθέτοντας τη γενική λύση της οµογε-νούς εξίσωσης, προκύπτει ταλάντωση µε απεριόριστα αυξανόµενο πλάτος:

o( ) Ccos( ) ( / 2 ) sin= ω −ϕ + ω ωx t t f m t t , C∈ , 0 ≤ ϕ ≤ π .

* Κατάλληλη επιλογή του συντελεστή και της συχνότητας της εξωτερικής δύναµης οδηγεί στη διαµόρ-φωση µεταβαλλόµενου πλάτους της εξαναγκασµένης ταλάντωσης που έχει σπουδαία πρακτική σηµασία στον τοµέα της ηλεκτρονικής και των τηλεπικοινωνιών. Συγκεκριµένα προκύπτει:

( ) csin sin , , ,= ∈x t a t b t a b c .


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2. Απωστική γραµµική δύναµη.

Η µονοδιάστατη απωστική γραµµική δύναµη:

F : → , F( ) 0x x ,= >κ κ ,

προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

U : → , 2U( ) / 2x x= −κ .

Κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m υπό την επίδραση αυ-τής της δύναµης, η συνάρτηση ενέργειας:

: × →E , 2 21 1

2 2( , )x x x m x= − +κE ,

διατηρεί σταθερή τιµή και κατά συνέπεια οι τροχιές, δεδοµένης ενεργειακής τιµής, εξελίσσονται στο ισοενεργειακό σύνολο που ορίζεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυ-τήτων από τη σχέση:

2 2o2Ex m x− =κ .

Πρόκειται για κλάδους υπερβολών συµπεριλαµβανοµένων των ασυµπτώτων ευθει-ών x x= ±ω που αντιστοιχούν σε µηδενική ενεργειακή τιµή. Από την εξίσωση του Νεύτωνα:

( ) ( ) 0m x t x t− =κ προκύπτουν οι λύσεις:

1 2( ) C Ct tx t e eω −ω= +

όπου / mω = κ και οι σταθερές 1C και 2C καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Συνεπώς, στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων, γύρω από το ασταθές σηµείο ισορροπίας, εξελίσσονται οι υπερβολικές τροχιές ενεργειακής τιµής o 1 2E 2 C C= − κ και ειδικότε-ρα οι ευθύγραµµες τροχιές που αντιστοιχούν στη µηδενική ενεργειακή τιµή.

Γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού της µονοδιάστατης απωστικής γραµµικής δύναµης και τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων γύρω από το ασταθές σηµείο ισορροπίας.


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3. Απλό επίπεδο εκκρεµές.

Στην κατηγορία των συστηµάτων ενός βαθµού ελευθερίας υπάγεται το απλό επίπε-δο εκκρεµές που εκτελεί την κίνηση του υπό την επίδραση του πεδίου βαρύτητας χωρίς τριβές, δηλαδή χωρίς απώλεια ενέργειας. Αν m είναι η µάζα του εκκρεµούς και l το µήκος του, τότε σε κάθε χρονική στιγµή η θέση του ορίζεται µε ένα σηµείο στον κύκλο που περιέχεται στο επίπεδο κίνησης µε κέντρο το σηµείο πρόσδεσης και κατά αντιστοιχία στο µοναδιαίο κύκλο 1S , ενώ η γωνιακή ταχύτητά του ορίζεται µε ένα σηµείο στην πραγµατική ευθεία . Η τελικά ασκούµενη δύναµη που προκύπτει από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας οδηγεί στην εξίσωση του Νεύτωνα:

2( ) sin ( )= −ωx t x t , /=ω g l .

Απλό επίπεδο εκκρεµές που εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση της βαρύτητας.

Η συνάρτηση ενέργειας προσµετρά το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας σε κάθε σηµείο του επιπέδου θέσεων-ταχυτήτων και µε προσέγγιση του διαστατικού παράγοντα 2ml εκφράζεται ως εξής:

( ) ( )2 21 cos 2= ω − +x,x x x /E .

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι κάθε τροχιά ενεργειακής τιµής Eo περιέχεται στην ισοενεργειακή καµπύλη που ορίζεται από την εξίσωση:

( )2 2 2o1 cos 2 Eω − + =x x / / ml .

Γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού και τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων.


Η ενεργειακή τιµή E 0=o ορίζει τα σηµεία ευσταθούς ισορροπίας ( 2 , 0)= π =x n x , ενώ η ενεργειακή τιµή E 2=o gml ορίζει τις διαχωριστικές τροχιές και τα σηµεία ασταθούς ισορροπίας ( )(2 1) , 0= + π =x n x , ∈n . Για τις ενδιάµεσες ενεργειακές τιµές κάθε ισοενεργειακή καµπύλη είναι ελλειπτική και ταυτίζεται µε µια τροχιά, ενώ για τις άλλες ενεργειακές τιµές οι ισοενεργειακές καµπύλες δεν είναι κλειστές και κάθε µια από αυτές ταυτίζεται µε µια τροχιά που αντιστοιχεί σε περιστροφική κίνηση του εκκρεµούς. Η προβολή του σηµείου ( ( ), ( ))x t x t κάθε τροχιάς στον άξονα θέσεων ή ταχυτήτων δίνει την αντίστοιχη θέση και ταχύτητα του εκκρεµούς τη δεδοµένη χρονική στιγµή.

Σχόλιο. Ακριβολογώντας, ο χώρος θέσεων-ταχυτήτων είναι το τοπολογικό γινόµενο 1S × . Η συνάρτηση ενέργειας δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο και χάρη στην

περιοδικότητά της ως προς x ορίζεται σε κάθε σηµείο 1( ) S∈ ×x,x . Ο κύλινδρος αυτός µε εκδίπλωση αποτυπώνει τις τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων × .

Αποτύπωση των τροχιών του απλού επίπεδου εκκρεµούς στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων.

Μια χρήσιµη γεωµετρική αναπαράσταση του χώρου θέσεων-ταχυτήτων προκύπτει µετασχηµατίζοντας µέσα στον ευκλείδειο χώρο 3 τον κύλινδρο 1S × ως εξής:

2 2( , ) (sin , , (1 cos ) / 2)→ − ω − +x x x x x x .

Κάθε ενεργειακή τιµή ορίζει στην 3η διάσταση ένα οριζόντιο επίπεδο το οποίο τέµνοντας τη

µετασχηµατισµένη επιφάνεια του κυλίνδρου αναδεικνύει τις αντίστοιχες τροχιές.


Απώλεια ενέργειας. Όταν ληφθεί υπόψη η αντίσταση του µέσου στο οποίο εκτελεί-ται η ταλάντωση υπό την επίδραση της βαρύτητας τότε, στην περιοχή του σηµείου ευσταθούς ισορροπίας και εφόσον η τριβή σχετίζεται γραµµικά µε την ταχύτητα, η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής:

2( ) ( ) ( ) 0+ρ +ω =x t x t x t

όπου ρ ο συντελεστής τριβής. Η εξίσωση αυτή εκφράζεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων ως γραµµικός µετασχηµατισµός:

2

0 1 = −ω −ρ

x xy y

µε χαρακτηριστική εξίσωση: 2 2 0λ + ρλ +ω = .

Η φύση των τροχιών εξαρτάται από τον συντελεστή τριβής που καθορίζει τις ιδιοτι-µές του γραµµικού µετασχηµατισµού και προκύπτουν οι ακόλουθες περιπτώσεις:

Τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεµούς στην περίπτωση απώλειας ενέργειας

εξαιτίας του µέσου στο οποίο εκτελείται η ταλάντωση ανάλογα µε την τιµή του συντελεστή τριβής .

2.5. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ∆ΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 91

2.5. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ∆ΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

Ο όρος κίνηση δυο βαθµών ελευθερίας δηλώνει κάθε κίνηση που καθορί-ζεται από τη δισδιάστατη εξίσωση:

2

2 F( )=d xm xdt

, 21 2( , )= ∈x x x ,

η οποία αποσυντίθεται στις συνιστώσες εξισώσεις: 2

11 1 22 F ( , )=

d xm x xdt

, 2

22 1 22 F ( , )=

d xm x xdt

.

Εδώ, η δύναµη που προκαλεί την κίνηση δεν προέρχεται πάντα από συνάρ-τηση δυναµικού. Όταν υπάρχει συνάρτηση δυναµικού ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας:

2 2: × →E , 2 21 2( , ) U( ) ( )

2= + +

mx x x x xE ,

και η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι στο χώρο θέσεων-ταχυτή-των 2 2× οι τροχιές ενεργειακής τιµής oE περιέχονται στο ισοενεργειακό σύνολο:

o

2 2E o( ) ( , ) / ( , ) EΣ = ∈ × =E Ex x x x .

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1. ∆ισδιάστατη αρµονική ταλάντωση.

Η γραµµική δύναµη 2 2F : → , ( )F( ) , 01 1 2 2 1 2= − − >x x x ,κ κ κ ,κ ,

ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

2U : → , 2 21 1 2 2

1

2U( ) ( )= +x x xκ κ ,

και η εξίσωση του κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m εκφράζεται ως εξής: 2

i i i( ) ( ) 0+ω =x t x t , i 1,2= ,

όπου i i /ω = mκ , i 1,2= . Η κίνηση αποσυντίθεται σε οριζόντια και κάθετη ταλά-ντωση µε αντίστοιχες συχνότητες i , i 1,2ω = :

2: →x , ( )1 2( ) ( ), ( )=x t x t x t όπου

i i i i( ) C cos( )= ω −ϕx t t , iC ∈ , i [0, ]ϕ ∈ π , i 1,2= .


Κατά τη διάρκεια της κίνησης η συνάρτηση ενέργειας:

2 2: × →E , 2 2 2 21 1 2 2 1 2

1

2 2( , ) ( ) ( )= + + +E

mx x x x x xκ κ

διατηρεί σταθερή τιµή oE άρα οι τροχιές εξελίσσονται στο εσωτερικό της έλλειψης:

2 21 1 2 2 o2 E+ ≤x xκ κ .

Το αντίστοιχο ισχύει για τις συναρτήσεις ενέργειας των συνιστωσών κινήσεων:

2 211 1 1 1 1

2 2( , ) = +E

mx x x xκ

, 2 222 2 2 2 2

2 2( , ) = +E

mx x x xκ

µε σταθερές ενεργειακές τιµές που πληρούν τη σχέση:

1 2 oE E E+ = .

Συνεπώς, ακριβέστερα, η κίνηση πραγµατοποιείται στο ορθογώνιο χωρίο:

2 21 1 1 / 2E ∈ ≤x xκ ∩ 2 2

2 1 2 / 2E ∈ ≤x xκ .

Οι τροχιές αυτής της αρµονικής ταλάντωσης καλούνται καµπύλες Lissajous*.

1 2( 1, 1)ω = ω = , 1 2( 1, 2)ω = ω = , 1 2( 1, 3)ω = ω = ,

1 2( 1, 4)ω = ω = , 1 2( 1, 5)ω = ω = , 1 2( 1, 6)ω = ω = ,

1 2( 2, 7)ω = ω = , 1 2( 4, 9)ω = ω = , 1 2( 9, 5)ω = ω = .

Καµπύλες Lissajous για διάφορες τιµές συχνοτήτων µε σταθερή διαφορά φάσης 2 1 / 4ϕ −ϕ = π .

* Αποδεικνύεται ότι όταν ο λόγος των συχνοτήτων των συνιστωσών µονοδιάστατων ταλαντώσεων είναι ρητός αριθµός τότε οι τροχιές είναι κλειστές και όταν ο λόγος τους είναι άρρητος αριθµός τότε κάθε τροχιά είναι τοπολογικά παντού πυκνή µέσα στο ορθογώνιο περίγραµµα της κίνησης.


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2. Συζευγµένες αρµονικές ταλαντώσεις µε δεσµευµένα άκρα.

Στο σύστηµα δυο ίδιων µαζών συνδεδεµένων, όπως φαίνεται στο σχήµα, µε ελατή-ρια σταθεράς > 0κ , αποµακρύνοντας κάθε µάζα από τη θέση ισορροπίας της καθο-ρίζονται οι αρχικές θέσεις για την κίνηση που επακολουθεί όταν αφεθούν ελεύθερες να εκτελέσουν ταλάντωση υπό την επίδραση της δύναµης Hooke. Πρόκειται για σύ-στηµα δυο βαθµών ελευθερίας του οποίου οι µεταβλητές δηλώνουν, κάθε χρονική στιγµή, την αντίστοιχη επέκταση των ακραίων ελατηρίων από την κατάσταση ισορ-ροπίας τους και έτσι ορίζεται η συνάρτηση δυναµικού:

2U : → , 2 2 21 1 2 2

1 1 1

2 2 2U( ) ( )= + − +x x x x xκ κ κ

από την οποία προκύτουν οι εξισώσεις της κίνησης:

1 1 1 21

2 1 2 22

U( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

U( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

∂ = − = − − − ∂ ∂ = − = − − ∂

m x t x x t x t x tx

m x t x x t x t x tx

κ κ

κ κ

Πρόκειται για σύστηµα γραµµικών διαφορικών εξισώσεων το οποίο, εισάγοντας την παράµετρο o /ω = κ m , διατυπώνεται ως εξής:

1 1 2

2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( )

2 2ο ο

2 2ο ο

= −2ω +ω

= ω − ω

x t x t x t

x t x t x t

Η ιδιαιτερότητα των δεδοµένων, ίδιες µάζες και ίδια σταθερά ελατηρίων, επιτρέπει την απευθείας επίλυση του συστήµατος παρατηρώντας ότι:

( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2ο

2ο

+ = −ω +

− = −3ω −

x t x t x t x t

x t x t x t x t

άρα 1 2

1 2

( ) ( ) A cos A sin

( ) ( ) cos 3 B sin 3ο ο

ο ο

′+ = ω + ω

′− = Β ω + ω

x t x t t t

x t x t t t

και από τις αρχικές συνθήκες:

1 10(0) x=x , 2 20(0) x=x , 1 2(0) (0) 0= =x x ,


καθορίζεται η λύση:

01 02 01 021

(x (x

4 4

x ) x )( ) cos cos 3ο ο

+ −= ω + ωx t t t

01 02 01 022

(x (x

4 4

x ) x )( ) cos cos 3ο ο

+ −= ω − ωx t t t .

Η συνθήκη 10 20x x= ± διασφαλίζει περιοδικότητα της ταλάντωσης µε συχνότητα

1 oω = ω ή 2ω = 3 oω και σε όλες τις άλλες περιπτώσεις δεν υπάρχει περιοδικότη-τα αφού ο λόγος των συχνοτήτων δεν είναι ρητός αριθµός. Κατά την ταλάντωση η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµή:

2 21 2 1 2 o

2( , ) ( ) U( , ) E= + + =

mx x x x x xE ,

αλλά σταθερές τιµές διατηρούν και οι επιµέρους συναρτήσεις ενέργειας:

2 21 2 1 2 1

2 2

1 1( ) ( ) E2ο+ + ω + =x x x x , 2 2

1 2 1 2 22 2

1 1( ) ( ) E2ο− + ω − =x x x x ,

που καλούνται σταθερές της κίνησης ή ολοκληρώµατα της κίνησης: Το γεγονός αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων 2 2× οι τροχιές του συ-στήµατος εξελίσσονται επάνω σε τοροειδείς επιφάνειες:

Τροχιές στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων του συστήµατος ελατηρίων. Σχόλιο. Όταν τα ελατήρια έχουν διαφορετικές σταθερές και οι µάζες δεν είναι ίδιες, η επίλυση των εξισώσεων κίνησης επιτυγχάνεται µε εφαρµογή της γενικής µεθόδου επίλυσης συστηµάτων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων* και η συνάρτηση δυναµι-κού εκφράζεται ως εξής:

2U : → , 2 2 21 1 1 2 2 2

1 1 1

2 2 2U( ) ( )= + − +x x x x xκ κ κ .

* Βλ. Παράρτηµα: Συστήµατα Γραµµικών ∆ιαφορικών Εξισώσεων.


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3. Συζευγµένες αρµονικές ταλαντώσεις µε ελεύθερα άκρα.

Στο σύστηµα τριών ίδιων µαζών συνδεδεµένων, όπως φαίνεται στο σχήµα, µε ελα-τήρια αντίστοιχων σταθερών 1 > 0κ και 2 > 0κ , αποµακρύνοντας κάθε µάζα από τη θέση ισορροπίας της καθορίζονται οι αρχικές θέσεις για την κίνηση που επακο-λουθεί όταν αφεθούν ελεύθερες να εκτελέσουν ταλάντωση υπό την επίδραση της δύναµης Hooke. Σηµειώνοντας µε 1 2 3, ,x x x τις αντίστοιχες αποµακρύνσεις των µαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους, ορίζεται η συνάρτηση δυναµικού:

2 21 2 3 1 2 2 3U( , , ) ( ) ( )

2 2x x x x x x x1 2= − + −

κ κ

και προκύπτουν οι εξισώσεις της κίνησης:

1 1 21

2 1 2 32

3 2 33

U ( )

U ( ) ( )

U ( )

m x x x xx

m x x x x xx

m x x x xx

1 1

1 1 2 2

2 2

∂= − = − + ∂

∂ = − = − + +∂

∂= − = −

∂

κ κ

κ κ κ κ

κ κ

Το αδρανειακό κέντρο των τριών µαζών παραµένει ακίνητο και σε κάθε χρονική στιγµή ισχύει:

1 2 3( ) ( ) ( ) 0x t x t + x t+ =

συνεπώς αναγόµαστε σε κίνηση δυο βαθµών ελευθερίας:

1 1 2

2 1 2( ) ( 2 )m x x xm x x x

1 1

1 2 1 2

= − + = − − +

κ κκ κ κ κ

και θέτοντας:

1 1( ) A i tx t e ω= , 2 2( ) A i tx t e ω= ,

διαπιστώνουµε ότι εµφανίζονται δυο βασικές συχνότητες:

( )1/ 22 2

1 1 2 1 2 1 2ω = + + + −κ κ κ κ κ κ , ( )1/ 22 2

2 1 2 1 2 1 2ω = + − + −κ κ κ κ κ κ .

Στην περίπτωση 1 2= =1κ κ ο λόγος των συχνοτήτων είναι άρρητος άρα η κίνηση του συστήµατος των τριών µαζών δεν είναι περιοδική, όµως εύκολα προσδιορίζο-νται τιµές των 1 2,κ κ για τις οποίες ο λόγος των συχνοτήτων είναι ρητός γεγονός που διασφαλίζει την περιοδικότητα της κίνησης.


2.6. ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕ∆ΙΑ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

Ένα πεδίο δυνάµεων 3 3F : →

καλείται κεντρικό όταν οι φορείς των δυνάµεων συντρέχουν σε ένα κοινό σηµείο, το κέντρο του πεδίου*, και το µέτρο τους εξαρτάται µόνο από την απόσταση του σηµείου εφαρµογής τους από το κέντρο. Όταν η αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 ταυτιστεί µε το κέντρο του πεδίου δυνάµεων, θεωρώ-ντας το διάνυσµα θέσης ενός υποθέµατος, η ασκούµενη δύναµη εκφράζεται ως εξής:

F( ) ( ) r= φx r

όπου ο συναρτησιακός συντελεστής ( )φ r εξαρτάται µόνο από το µέτρο του διανύσµατος θέσης || r ||≡r . Εισάγοντας το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα

r /=re r η ασκούµενη δύναµη εκφράζεται επίσης ως εξής:

F( ) ( )= rx f r e .

Ένα κεντρικό πεδίο δυνάµεων καλείται ελκτικό ή απωστικό όταν αντίστοι-χα ισχύει:

( ) 0<f r ή ( ) 0>f r .

Σχηµατική παράσταση ενός ελκτικού και ενός απωστικού κεντρικού πεδίου δυνάµεων.

* Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων που υπεισέρχονται στις εφαρµογές συχνά δεν ορίζονται στο κέντρο τους.

2.6. ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕ∆ΙΑ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ 97

( )1 2 3F( ) , ,x x x x= − − − ( )1 2 3F( ) , ,x x x x=

Ελκτικό κεντρικό πεδίο δυνάµεων Απωστικό κεντρικό πεδίο δυνάµεων

Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού η τιµή της οποίας σε κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού της ορίζεται, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, από την παράγουσα του συναρτησιακού συντελεστή:

U( ) ( )d= −∫x f r r . *

Στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται κατά συνέπεια η συνάρτηση ενέρ-γειας:

3 3: × →E , ( , ) U( ) ( )= +x x x xE K ,

η οποία, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Επιπλέον, στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, σε οποιαδήποτε θέση και αν βρίσκεται ένα υλικό σηµείο, η ροπή της ασκού-µενης δύναµης ως προς το κέντρο προφανώς είναι µηδενική:

r F( ) r ( ) 0Λ = × = × =rx f r e

άρα, κατά τη διάρκεια της κίνησης, η στροφορµή διατηρείται σταθερή:

( ) r( ) p( )t t tΩ = × . * Συγκεκριµένα, η συνάρτηση δυναµικού προκύπτει από τη σύνθεση της παράγουσας συνάρτησης

U( ) ( )dr f r r= −∫

µε τη συνάρτηση που σε κάθε σηµείο προσαρτά το µέτρο του αντίστοιχου διανύσµατος θέσης και ισχύει:

i ii i i

U U ( ) ( ) F ( )d r rf r r x xx dr x x∂ ∂ ∂

= = − = −φ = −∂ ∂ ∂

, i 1, 2,3= .


ΘΕΩΡΗΜΑ. ∆ιατήρηση της ενέργειας και της στροφορµής.

Κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάµεων η ενέργεια και η στροφορµή διατηρούνται σταθερές και η τροχιά εξελίσσεται στο κάθετο προς τη στροφορµή επίπεδο. Απόδειξη. Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων διαθέτουν συνάρτηση δυναµικού οπότε η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου διατηρείται σταθερή η τιµή της συνάρτησης ενέργειας:

3 3: × →E , ( , ) U( ) ( )= +x x x xE K .

Επιπλέον, διατηρείται σταθερό το διάνυσµα της στροφορµής*:

( ) r( ) p( )t t tΩ = × αφού

( )( ) r( ) p( ) r( ) p( ) r( ) ( ) ( ) ( ) r( ) ( ) 0r rd t t t t t t f r e t f r t e t

dtΩ

= × + × = × = × = .

Ένας απλός υπολογισµός υποδεικνύει ότι η τροχιά εξελίσσεται στο επίπεδο που είναι κάθετο προς το σταθερό διάνυσµα της στροφορµής: ( ), r( ) r( ) p( ), r( ) p( ), r( ) r( ) 0 r( ) ( )< Ω > = < × > = < × > = ⇒ ⊥ Ωt t t t t t t t t t .

Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων κάθε τροχιά διαγράφεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο σταθερό διάνυσµα της στροφορµής που διέρχεται από το κέντρο του πεδίου.

* Αναφερόµαστε στη στροφορµή ως προς το κέντρο του πεδίου δυνάµεων που ταυτίζεται µε την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 .


Σχόλιο. Προσδιορισµός της ενέργειας και της στροφορµής:

Όταν ένα υλικό σηµείο κινείται υπό την επίδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάµεων και σε µια χρονική στιγµή περνά από τη θέση ox µε ταχύτητα ox τότε προσδιορίζε-ται η ενεργειακή του τιµή και η στροφορµή του που σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησης:

2o o o2

E U( ) || ||= +mx x

και

o o oΩ = ×m x x . *

Κατά συνέπεια καθορίζεται το κάθετο προς το σταθερό διάνυσµα της στροφορµής επίπεδο στο οποίο εξελίσσεται η τροχιά του υλικού σηµείου. Τελικό ζητούµενο είναι ο προσδιορισµός της τροχιάς στο επίπεδο της κίνησης όπου πλέον έχουµε τη δυνατότητα χρήσης των καρτεσιανών αλλά και των πολικών συντεταγµένων του. Στις καρτεσιανές συντεταγµένες του η ενέργεια και το µέτρο της στροφορµής εκ-φράζονται αντίστοιχα ως εξής:

( )o 1 2E U( , ) ( ) ( )2

2 21 2= ζ ζ + ζ + ζ

m t t και ( )o ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2Ω = ζ ζ − ζ ζm t t t t

και στις πολικές συντεταγµένες του προκύπτουν οι αντίστοιχες εκφράσεις:

( )2 2 2oE U( ) ( ) ( ) ( )

2= + +

mr r t r t tθ και 2o ( ) ( )Ω = m r t tθ .

Καρτεσιανές και πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης.

* Η περίπτωση µηδενικής στροφορµής σηµαίνει ότι ( ) // ( )x t x t οπότε πρόκειται για ευθύγραµµη κίνηση κατά µήκος του άξονα που διέρχεται από το κέντρο του πεδίου.


ΘΕΩΡΗΜΑ. Νόµος των εµβαδών του Kepler.

Κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάµεων, το διάνυσµα θέσης σε ισόχρονα διαστήµατα σαρώνει ίσεµβαδικά χωρία στο επίπεδο της κίνησης. Απόδειξη. Το διάνυσµα θέσης ενός υλικού σηµείου που κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνάµεων σαρώνει στο επίπεδο της κίνησης ένα χωρίο εµβαδού

( )S t και ο ρυθµός µεταβολής του στο χρόνο ορίζει την εµβαδική ταχύτητα:

( )( ) dS tC tdt

= .

Στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης, λαµβάνοντας υπόψη ότι:

( ) 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

dS t r t r t d t r t t dtθ θ= =

προκύπτει η έκφραση της εµβαδικής ταχύτητας:

21( ) ( ) ( )2

C t r t tθ= .

Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, κατά τη διάρκεια της κίνησης, η στροφορµή διατη-ρείται σταθερή και το µέτρο της είναι:

2o ( ) ( )Ω = m r t tθ ,

οπότε η εµβαδική ταχύτητα διατηρείται επίσης σταθερή:

o( ) / 2= ΩC t m . *

Νόµος των εµβαδών του Keper.

* Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων και µόνο σε αυτά ισχύει ο νόµος των εµβαδών του Kepler.


ΘΕΩΡΗΜΑ. Εξισώσεις της κίνησης στα κεντρικά πεδία δυνάµεων.

Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων οι εξισώσεις της κίνησης ενός υλικού σηµείου εκφράζονται στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης ως εξής:

2( ) ( ) ( ) ( )mr t m r t t f r− =θ

( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0r t t r t tθ θ+ = *.

Απόδειξη. Στη µιγαδική θεώρηση του επιπέδου κίνησης η θέση του υλικού σηµείου εντοπίζεται ως εξής:

( )( ) ( ) i tz t r t e θ=

από όπου προκύπτει η έκφραση της ταχύτητας: ( ) ( ( ) / 2)( ) ( ) ( ) ( )i t i tz t r t e r t t eθ θ πθ += +

και της επιτάχυνσης:

( ) ( )2 ( ( ) / 2)( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )i i tz t r t r t t e r t t r t t eθ θ πθ θ θ += − + + .

Συνεπώς, έχουµε αποσύνθεση σε ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες:

( ) ( ) ( ) ( )rr t r t r t te eθθ= + και

( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )rr t r t r t t r t t r t te eθθ θ θ= − + + .

Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων η εγκάρσια συνιστώσα της δύναµης είναι προφανώς µηδενική γεγονός που οδηγεί στην προαναφερόµενη έκφραση της εξίσωσης του Νεύτωνα.

Αποσύνθεση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες.

* Η εξίσωση αυτή σηµαίνει ότι:

( )2 ( ) ( ) 0d m r t tdt

θ =

και δηλώνει τη σταθερότητα του µέτρου της στροφορµής: 2

o ( ) ( )Ω = m r t tθ .


Σχόλιο. Από την τροχιά στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων.

Καταγράφοντας µε φυσική παρατήρηση την τροχιά ενός σωµατιδίου σε ένα κεντρι-κό πεδίο δυνάµεων καθίσταται εφικτός ο προσδιορισµός της δύναµης που προκαλεί την κίνησή του, σηµειώνοντας καταρχάς ότι οι αρχικές συνθήκες καθορίζουν τη σταθερή τιµή του µέτρου της στροφορµής:

2o ( ) ( )m r t tΩ = θ .

Θέτοντας 1/=r u διαπιστώνουµε ότι:

o o2

Ω Ω= = = −

dr dr d dr dudt d dt d m dmr

θθ θ θ

άρα 2 2 22 2

o o2 2 2

Ω Ω= = = = −

u ud r dr dr d dr d udt d dt d mdt m d

θθ θ θ

και αντικαθιστώντας στην 1η εξίσωση της κίνησης:

2( ) ( ) ( ) ( )m r t m r t t f r− =θ

προσδιορίζεται µονοσήµαντα ο συναρτησιακός συντελεστής του κεντρικού πεδίου:

2 2 2o

2.

(1/ )u d uf u u

m d Ω

= − + θ

Π.χ. Αν ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνά-µεων διαγράφει τροχιά µε πολική έκφραση*:

1 cospr

ε θ=

+, 0p > ,

θέτοντας 1/=r u προκύπτει: cos 1/u p= +ε θ

και καθορίζεται ο συναρτησιακός συντελεστής 2( ) /f r k r= − , o /k p= Ω ,

και η συνάρτηση δυναµικού: U( ) /r k r= − .

* 1<ε ⇒ έλλειψη, 1=ε ⇒ παραβολή, 1>ε ⇒ υπερβολή.


• Αναγωγή σε µονοδιάστατη κίνηση: Συνάρτηση ενεργού δυναµικού.

Σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάµεων

F( ) ( )= rx f r e

η κίνηση ενός υλικού σηµείου ορίζεται, στις πολικές συντεταγµένες του επι-πέδου κίνησης, από τις εξισώσεις:

2( ) ( ) ( ) ( )mr t m r t t f r− =θ

( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0r t t r t tθ θ+ =

από τις οποίες η δεύτερη ουσιαστικά εκφράζει τη σχέση: 2

o ( ) ( )m r t tΩ = θ .

Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτει η εξίσωση: 2 3o( ) ( ) / ( )mr t f r m r t= + Ω

στην οποία υπεισέρχεται µόνο η αποµάκρυνση του υλικού σηµείου από το κέντρο και ορίζει τη µονοδιάστατη κίνησή του στην επιβατική ακτίνα που περιστρέφεται επάνω στο επίπεδο κινησης. Θεωρώντας τη συνάρτηση δυνα-µικού U( )r του κεντρικού πεδίου δυνάµεων η µονοδιάστατη αυτή εξίσωση εκφράζεται ως εξής:

V( ) 0dmr tdr

+ =

όπου 2 2oV( ) U( ) / 2r r mr= +Ω .

Η συνάρτηση αυτή που ορίζει το δυναµικό της µονοδιάστατης κίνησης κα-λείται συνάρτηση ενεργού δυναµικού. Σε αντίθεση προς τη συνάρτηση δυ-ναµικού του κεντρικού πεδίου δυνάµεων, η συνάρτηση ενεργού δυναµικού εξαρτάται από την αρχική θέση και την αρχική ταχύτητα της κίνησης που ορίζουν τη σταθερή στροφορµή της. Από την παράγωγο σχέση:

22o

3U V Vd d d m r

dr dr drmrΩ

= + = + ω

προκύπτει η εξίσωση 2U( ) dmr t m r

drω+ = −


που σηµαίνει ύπαρξη φυγόκεντρης δύναµης την οποία αντιλαµβάνεται ο πα-ρατηρητής που µετέχει της κίνησης αλλά όχι ο παρατηρητής που βρίσκεται εκτός του επιπέδου κίνησης. Το αξιοσηµείωτο είναι ότι η ενέργεια του σω-µατιδίου που κινείται στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων:

( )2 2 2oE U( ) ( ) ( ) ( )

2mr r t r t t= + + θ

συµπίπτει µε την ενέργεια ενός υλικού σηµείου ίδιας µάζας που εκτελεί τη µονοδιάστατη κίνηση στην επιβατική ακτίνα:

2oE V( ) ( )

2mr r t= + .*

ΘΕΩΡΗΜΑ. Τροχιές στα κεντρικά πεδία δυνάµεων.

Όταν ένα υλικό σηµείο κινείται σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων η απόστασή του από το κέντρο µεταβάλλεται όπως στη µονοδιάστατη κίνηση που ορίζεται από τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού και στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης η τροχιά του καθορίζεται από τη διαφορική εξίσωση:

2o o2 E V( )m

dr r rd

Ω = ± −θ

.

Απόδειξη. Μετά την αναγωγή σε πρόβληµα µονοδιάστατης κίνησης µε ίδια ενεργει-ακή τιµή και λαµβάνοντας υπόψη την ενεργειακή σχέση:

2oE V( ) ( )

2mr r t= +

προκύπτει:

2 2 2o o2 / E V( )d d dr dmr mr mr m r

dt dr dt drΩ = = = ± −

θ θ θ

από όπου καθορίζεται η προαναφερόµενη διαφορική εξίσωση και η εξίσωση της τροχιάς στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης:

o2

o2 E V( ) odr

m r rΩ

= ± +−∫θ θ .

* Πράγµατι:

( )2

2 2 2 2 2oo 2E U( ) ( ) ( ) ( ) U( ) ( ) V( ) ( )

2 2 2 ( ) 2m m mr r t r t t r r t r r t

mr tΩ

= + + = + + = +θ .


• ∆ακτύλιοι κίνησης στα κεντρικά πεδία δυνάµεων.

Όταν ένα σωµατίδιο κινείται σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων µε ενεργειακή τι-µή oE , την ίδια ενεργειακή τιµή λαµβάνει ένα υλικό σηµείο ιδιας µάζας που εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση ορισµένη από τη συνάρτηση ενεργού δυναµι-κού, άρα:

oV( ) Er ≤ .

Οι επιτρεπτές περιοχές κίνησης δεδοµένης ενεργειακής τιµής

υποδεικνύονται από το γράφηµα της συνάρτησης ενεργού δυναµικού.

Οι τροχιές εξελίσσονται λοιπόν σε περιοχές του επιπέδου κίνησης που πλη-ρούν την ανισωτική αυτή σχέση. Πρόκειται για περιοχές αποτελούµενες από έναν ή περισσότερους δακτύλιους οµόκεντρων κύκλων µε ακτίνες τις ρίζες της εξίσωσης:

oV( ) Er = . *

Η φορά εξέλιξης των τροχιών είναι σταθερή αφού η γωνιακή ταχύτητα δια-τηρεί σταθερό πρόσηµο:

2o( ) / ( )t mr t= Ωθ .

Τα σηµεία όπου µια τροχιά συναντά τον εσωτερικό ή εξωτερικό κύκλο του δακτυλίου καλούνται αντίστοιχα περίκεντρα ή απόκεντρα της κίνησης. Τα περίκεντρα και τα απόκεντρα ορίζουν τις αψίδες της κίνησης και από εκεί η τροχιά διέρχεται εφαπτοµενικά. Πράγµατι, στις αψίδες η ταχύτητα:

( ) ( ) ( ) ( )rt r t e r t t eυ = + θθ

έχει µηδενική ακτινική συνιστώσα όπως το υποδεικνύει η ενεργειακή εξίσω-ση της µονοδιάστατης κίνησης: * Ανάλογα µε την ενεργειακή τιµή υφίσταται το ενδεχόµενο ύπαρξης µη φραγµένων τροχιών που εξελίσ-σονται στο εξωτερικό του ευρύτερου δακτυλίου. Επίσης, υφίσταται το ενδεχόµενο εκφυλισµού κάποιου δακτυλίου σε κύκλο ο οποίος στην περίπτωση αυτή αποτελεί τροχιά της κίνησης.


2oV( ) / 2 Er mr+ =

άρα στα σηµεία αυτά: o( )( )

t emr tΩ

υ = θ .

Ο άξονας που ορίζεται από το κέντρο του πεδίου και µια αψίδα είναι άξονας συµµετρίας της τροχιάς. Αν προσδιοριστεί το τµήµα της τροχιάς µεταξύ δυο διαδοχικών αψίδων τότε διαµέσου της συµµετρίας καθορίζεται πλήρως σε όλο το δακτύλιο. Στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης η τροχιά αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης:

2o o2 E V( )dr m r r

dΩ = ± −

θ

άρα η γωνία δυο διαδοχικών αψίδων είναι σταθερή και καθορίζεται ως εξής:

max

min

o2

o2 E V( )

r

r

drm r r

ΩΘ =

−∫ .

Όταν η γωνία αυτή είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π η τροχιά είναι περιοδική και επανέρχεται στο αρχικό σηµείο της µε ίδια ταχύτητα, ενώ, σε αντίθετη περίπτωση, είναι τοπολογικά παντού πυκνή στο εσωτερικό του δακτυλίου.

Τροχιές στο δακτύλιο κίνησης σε κεντρικά πεδία δυνάµεων.

Σχόλιο. Οι φραγµένες τροχιές είναι όλες κλειστές µόνο στα κεντρικά πεδία δυνάµε-ων που ορίζονται από τις συναρτήσεις δυναµικού:

U( ) /r k r= − ή U( ) 2r k r= , 0k > .


• Κυκλικές τροχιές σε κεντρικά πεδία δυνάµεων.

Όταν ένα σωµατίδιο κινείται σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάµεων τότε από τις εξισώσεις κίνησης προκύπτει η µονοδιάστατη διαφορική εξίσωση:

2 3o( ) ( ) / ( )mr t f r mr t= + Ω

η οποία µε την εισαγωγή του ενεργού δυναµικού εκφράζεται ως εξής:

V( ) 0dmr tdr

+ = .

Η εξίσωση αυτή ορίζει τη µονοδιάστατη κίνηση του υλικού σηµείου στην περιστρεφόµενη επιβατική ακτίνα επάνω στο επίπεδο κινησης. Συνεπώς, οι θέσεις ισορροπίας της µονοδιάστατης κίνησης στην επιβατική ακτίνα αντι-στοιχούν σε κυκλικές τροχιές στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων και αυτές οι θέ-σεις ορίζονται από τις ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης:

2 3o( ) / 0f r mr+ Ω =

εφόσον η αρχική ταχύτητα της µονοδιάστατης κίνησης είναι µηδενική*. Η αλγεβρική αυτή εξίσωση διαθέτει ρίζες µόνο όταν το πεδίο δυνάµεων είναι ελκτικό. Άν or είναι µια από τις ρίζες της, οι συνθήκες o(0)r r= και (0) 0r = θέτουν το σωµατίδιο σε κυκλική τροχιά γύρω από το κέντρο του πεδίου. Στη κυκλική αυτή κίνηση το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας είναι:

2o o o( ) /t mrω = = Ωθ

και το µέτρο της ταχύτητας πληροί τη συνθήκη: 2o o o( ) /f r r mυ = −

άρα η ασκούµενη δύναµη είναι ακριβώς η φυγόκεντρος, δηλαδή: 2

o o o( )f r m r= − ω .

Οι ρίζες της προαναφερόµενης αλγεβρικής εξίσωσης ταυτίζονται µε τα κρί-σιµα σηµεία της συνάρτησης ενεργού δυναµικού. Στα κρίσιµα σηµεία που ορίζουν ακρότατα της συνάρτησης ενεργού δυναµικού και όταν η ενεργεια-κή τιµή συµπίπτει µε την αντίστοιχη ακρότατη τιµή, από την ενεργειακή εξίσωση της µονοδιάστατης κίνησης προκύπτει ο µηδενισµός της ακτινικής συνιστώσας της ταχύτητας και διασφαλίζεται η κυκλικότητα της κίνησης. Οι κυκλικές τροχιές ανιχνεύονται λοιπόν διαµέσου των συνθηκών:

* Η συνθήκη αυτή σηµαίνει ότι την αρχική στιγµή η ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων είναι µηδενική.


oV ( ) 0r′ = και oV ( ) 0r′′ ≠ .

Η ευστάθεια ή αστάθεια των σηµείων ισορροπίας της µονοδιάστατης κίνη-σης έχει ως επακόλουθα την ευστάθεια ή αστάθεια των κυκλικών τροχιών. Ας σηµειωθεί ότι η τοπική διαταραχή των αρχικών συνθηκών από την οποία ελέγχεται η ευστάθεια ή αστάθεια των κυκλικών τροχιών επηρεάζει τη στρο-φορµή και κατά συνέπεια τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού όµως η φύση των ακροτάτων της παραµένει ανεπηρέαστη. Μια κυκλική τροχιά ακτίνας or είναι λοιπόν ευσταθής ή ασταθής όταν αντίστοιχα ισχύει:

oV ( ) 0r′′ > ή oV ( ) 0r′′ < .

Λαµβάνοντας υπόψη ότι: 2

2 4o2

V ( ) 3 / ( ) 3 ( ) /d f r mr f r f r rdr

′ ′= − − Ω = − −

προκύπτει η συνθήκη ευστάθειας:

o o o( ) 3 ( ) 0r f r f r′ + <

και η συνθήκη αστάθειας:

o o o( ) 3 ( ) 0r f r f r′ + > .

Παράδειγµα: Ευστάθεια κυκλικών τροχιών.

Στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ορίζεται από το συναρτησιακό συντελεστή:

( ) / nf r k r= − , 0k > , n∈ ,

οι κυκλικές τροχιές είναι ευσταθείς όταν 3n < και ασταθείς όταν 3n > .

Γραφική παράσταση συναρτήσεων ενεργού δυναµικού για διάφορες τιµές του n .


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ. Κίνηση σε κεντρικά πεδία δυνάµεων.

1. Ελκτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης.

Το κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί ελκτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από το κέντρο ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

U( ) lnr k r= , 0k > .

Κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός σωµατιδίου η στροφορµή διατηρείται σταθερή καθορίζοντας το επίπεδο κίνησης και τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού:

2 2oV( ) ln / 2r k r m r= + Ω .

Γραφική παράσταση της συνάρτησης δυναµικού και της συνάρτησης ενεργού δυναµικού.

Η ενέργεια διατηρείται επίσης σταθερή και την ίδια ενεργειακή τιµή έχει το υποθε-τικό υλικό σηµείο που εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση υπό την επίδραση δύναµης ορι-σµένης από τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού, συνεπώς οι επιτρεπτές περιοχές κί-νησης καθορίζονται από τη σχέση:

oV( ) E≤r : ( )2 2o o2 E lnm r k r− ≥ Ω .

Άρα, οι τροχιές είναι φραγµένες και εξελίσσονται στο δακτύλιο µε ακτίνες που ορί-ζονται από τις ρίζες της εξίσωσης:

oV( ) Er = : ( )2 2o o2 E lnm r k r− = Ω .

Αν η ενεργειακή τιµή συµπίπτει µε την ελάχιστη τιµή ενεργού δυναµικού:

o o / 2E ln ln / kk m= Ω + +

ο δακτύλιος εκφυλίζεται σε κύκλο ακτίνας o o /r mk= Ω και το σωµατίδιο διανύει την ευσταθή αυτή κυκλική τροχιά µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου o o/kω = Ω . Για πιο µεγάλες ενεργειακές τιµές οι τροχιές εξελίσσονται στο εσωτερικό του δακτυλίου και στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης ορίζονται ως εξής:

( )o o2 2

o o2 E ln

dr

r m r k rθ θ= ± Ω +

− − Ω∫ .


2. Απωστική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης.

Το κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί απωστική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από το κέντρο ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

U( ) lnr k r= − , 0k > .


2 2oV( ) ln / 2r k r m r= − + Ω .

Γραφική παράσταση της συνάρτησης δυναµικού και της συνάρτησης ενεργού δυναµικού. Η ενέργεια διατηρείται επίσης σταθερή και την ίδια ενεργειακή τιµή έχει το υποθε-τικό υλικό σηµείο που εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση υπό την επίδραση δύναµης ορι-σµένης από τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού, συνεπώς οι επιτρεπτές περιοχές κί-νησης καθορίζονται από τη σχέση:

oV( ) E≤r .: ( )2 2o o2 E lnm r k r+ ≥ Ω .

Οι τροχιές του σωµατιδίου προκύπτουν από την εξίσωση:

( )2 2o o o2 E lndr r m r k r

dθΩ = ± + − Ω

και στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης ορίζονται ως εξής:

( )o o2 2

o o2 E ln

dr

r m r k rθ θ= ± Ω +

+ − Ω∫ .

Οι τροχιές δεν είναι φραγµένες και εξελίσσονται έξω από την περιφέρεια της οποίας η ακτίνα ορίζεται από την εξίσωση:

oV( ) Er = : ( )2 2o o2 E lnm r k r+ = Ω . *

* Η συνάρτηση ενεργού δυναµικού είναι γνησίως φθίνουσα και το σωµατίδιο αποµακρύνεται αυξάνο-ντας διαρκώς την ταχύτητά του.


3. Ελκτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης.

Το κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί ελκτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

U( ) /r k r= − , 0k > .


2 2oV( ) / / 2r k r m r= − + Ω .


oV( ) E≤r .: 2 2o oE / 2 0r k r m+ −Ω ≥ .

Αν η ενεργειακή τιµή συµπίπτει µε την ελάχιστη τιµή ενεργού δυναµικού: 2 2

o oE / 2mk= − Ω

ο δακτύλιος εκφυλίζεται σε κύκλο ακτίνας 2o o /r km= Ω και το σωµατίδιο διανύει την

ευσταθή αυτή κυκλική τροχιά µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου 2 3o o/mkω = Ω . Για πιο

µεγάλες αρνητικές ενεργειακές τιµές οι τροχιές εξελίσσονται στο εσωτερικό ενός δακτυλίου και για τις θετικές ενεργειακές τιµές φεύγουν στο άπειρο. Στην §2.7 θα διαπιστώσουµε ότι οι τροχιές είναι κωνικές τοµές και στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης ορίζονται ως εξής:

1 cos ( )o

pr =+ −ε θ θ

. *

* .Πρόκειται για τις τροχιές των ουρανίων σωµάτων που καθορίζονται από το νόµο παγκόσµιας έλξης µε παράµετρο και εκκεντρότητα:

2o /p km= Ω και 2 2

o o1 2E / mk= + Ωε .


4. Απωστική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης.

Το κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί απωστική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµι-κού:

U( ) /r k r= , 0k > .


2 2oV( ) / / 2r k r m r= + Ω .


oV( ) E≤r .: 2 2o oE / 2 0r k r m− −Ω ≥ .

Η ενεργειακή τιµή εδώ είναι oE 0> και η ανισωτική σχέση αληθεύει όταν or r≥ όπου or δηλώνει τη θετική ρίζα της εξίσωσης:

2 2o oE / 2 0r k r m− −Ω = .

Οι τροχιές εξελίσσονται λοιπόν σε απόσταση or r≥ και στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης ορίζουν κλάδους υπερβολών:

cos ( ) 1o

pr =− −ε θ θ

, 1>ε , *

που προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης:

2 2o o o2 E / 2dr m r r k r m

dθΩ = ± − − Ω .

*.Η παράµετρος και η εκκεντρότητα ορίζονται όπως στο προηγούµενο παράδειγµα της ελκτικής δύναµης.


5. Ευσταθείς και ασταθείς κυκλικές τροχιές σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων. Όταν ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας κινείται στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

3U : 0− → , 6 4

3 5U( )rr r

= − ,

η σταθερή στροφορµή του ορίζει τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού: 2o

6 4 2

3 5V( )2

rr r r

Ω= − +

και η σταθερή ενεργειακή του τιµή ορίζει τους δακτυλίους επιτρεπτής κίνησης οι ακτίνες των οποίων καθορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης:

6 2 4 2o o2E 10 6 0r r r−Ω + − = .

Γραφική παράσταση της συνάρτησης δυναµικού και της συνάρτησης ενεργού δυναµικού.

Όταν η απόσταση or του σωµατιδίου από το κέντρο του πεδίου αποτελεί ρίζα της εξίσωσης:

2 4 2o 20 18 0r rΩ − + = *

τότε η συνάρτηση ενεργού δυναµικού λαµβάνει τοπικές ακρότατες τιµές και αν η ενεργειακή τιµή συµπίπτει µε αυτές τις τιµές το σωµατίδιο διαγράφει αντίστοιχες κυκλικές τροχιές µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα µέτρου 2

o o o/ rω = Ω . Στην ελάχιστη τιµή η κυκλική τροχιά είναι ευσταθής και στην τοπικά µέγιστη είναι ασταθής. Σε όλες τις άλλες πε-ριπτώσεις οι τροχιές προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης:

6 2 4 2o o o

1 2E 10 6dr r r rd r

Ω = ± − Ω + −θ

.

Προτείνουµε να προσδιορίσετε αρχικές θέσεις και ταχύτητες από τις οποίες προκύ-πτουν οι τιµές o 2Ω = και oE 0= και επιλύοντας την εξίσωση να διαπιστώσετε την περιοδικότητα των αντίστοιχων φραγµενων τροχιών στο δακτύλιο κίνησης.

* Εφόσον 2

o 50 / 9Ω ≤ .


2.7. ΚΙΝΗΣΗ ΟΥΡΑΝΙΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Από την αρχαιότητα η επικρατούσα αντίληψη για την κίνηση των σωµάτων στον ου-ράνιο θόλο ήταν γεωκεντρική, µε εξαίρεση τις απόψεις που εξέφραζε ο Αρίσταρχος ο Σάµιος. Η ανατροπή αυτής της αντίληψης ξεκίνησε από τον Κοπέρνικο (1473-1543) και τον Γαλιλαίο (1564-1642). Λίγο αργότερα, ο Johannes Kepler (1571-1630) στηριζό-µενος στις αστρονοµικές καταγραφές του Tycho Brahe (1546-1601) και παρατηρώντας ειδικότερα την κίνηση του πλανήτη Άρη, διατύπωσε τους νόµους της κίνησης των πλα-νητών γύρω από τον Ήλιο. Στην αρχή πίστεψε ότι οι πλανήτες διαγράφουν κυκλικές τροχιές διευκρινίζοντας ότι ο Ήλιος δεν αποτελεί κέντρο τους, ενώ αργότερα διατύπω-σε τη σωστή εικασία περί ελλειπτικών τροχιών σε µια από τις εστίες των οποίων βρί-σκεται ο Ήλιος. Στα δυο σπουδαία βιβλία του (1609, 1619) έδωσε τους εξής νόµους: • Κάθε πλανήτης διαγράφει ελλειπτική τροχιά σε µια από τις εστίες της οποίας

κείται ο ήλιος. • Η επιβατική ακτίνα που µε αρχή τον ήλιο υποδεικνύει τη θέση ενός πλανήτη

σαρώνει εµβαδά ανάλογα προς τους χρόνους σάρωσης. • Τα τετράγωνα των περιόδων περιφοράς των πλανητών είναι ανάλογα προς τους

κύβους των µεγάλων αξόνων των τροχιών τους. Ο Νεύτωνας αναζήτησε το πεδίο δυνάµεων υπό την επίδραση του οποίου ένα σώµα εκτελεί την κίνηση που είχε υποδείξει ο Kepler. Στηριζόµενος στην Ευκλείδεια Γεωµε-τρία οδηγήθηκε στο ότι πρόκειται για κεντρικό πεδίο δυνάµεων του οποίου η ένταση µεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα προς το τετράγωνο της απόστασης από το κέντρο του. ∆ιαφορετικά, όπως έδειξαν οι υπολογισµοί του, οι τροχιές των πλανητών δεν θα ήταν ελλειπτικές ούτε κλειστές. Επιπλέον, πείστηκε ότι οι πλανήτες, για να διατηρού-νται στην τροχιά τους, όχι µόνο πρέπει να δέχονται δυνάµεις αλλά και να ασκούν. Έτσι, η γη δέχεται την ελκτική δύναµη του ήλιου αλλά και ασκεί σε αυτόν ελκτική δύ-ναµη. Όµως, εφόσον η γη έλκει τον ήλιο θα έλκει και τα άλλα σώµατα, τους άλλους πλανήτες και τη σελήνη, συνεπώς αποτελεί κέντρο ενός δικού της κεντρικού πεδίου δυνάµεων που προκαλεί την περιφορά της σελήνης και το ίδιο ισχύει για τους άλλους πλανήτες γύρω από τους οποίους περιφέρονται οι δορυφόροι του. Ο Νεύτωνας, το 1687, στο περίφηµο βιβλίο του Philosophia Naturalis–Principia Mathematica διατύ-πωσε το νόµο της παγκόσµιας έλξης: • “∆υο σώµατα έλκονται µεταξύ τους µε δύναµη που το µέτρο της είναι ανάλογο

του γινοµένου των µαζών τους και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασής τους.”

Η σελήνη δέχεται την ελκτική δύναµη της γης αλλά και ασκεί σε αυτήν ελκτική δύναµη.

2.7. ΚΙΝΗΣΗ ΟΥΡΑΝΙΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 115

• Βαρυτικό πεδίο δυνάµεων.

Ο νόµος της παγκόσµιας έλξης του Νεύτωνα* οδηγεί στον ορισµό του πεδίου βαρύτητας ενός σώµατος ως εξής: Ένα σώµα µάζας m ορίζει ένα κεντρικό πεδίο δυνάµεων το οποίο σε κάθε σώµα µάζας m που απέχει από το κέντρο του απόσταση r ασκεί την ελκτική δύναµη:

2F( ) rmx er

= − mG , G : σταθερά παγκόσµιας έλξης.

Η σταθερά της παγκόσµιας έλξης είναι ίδια σε όλους τους τόπους για όλα τα σώµατα και ο πειραµατικός προσδιορισµός της έγινε από τον H. Cavendish το 1798. Το 1942 η τιµή της προσδιορίστηκε µε ακρίβεια 13 2 20,3.10 Nm / kg−± :

13 2 2667,3.10 N m / kg−=G .

Ο Νεύτωνας καθυστέρησε για είκοσι περίπου χρόνια την έκδοση του βιβλί-ου του που περιελάµβανε το νόµο της παγκόσµιας έλξης γιατί χρειαζόταν να ξεπεράσει µια επιπλέον δυσκολία αποδεικνύοντας ότι κάθε σφαιρικό σώµα ορίζει ίδιο βαρυτικό πεδίο µε εκείνο που ορίζεται θεωρητικά από τη µάζα του συµπυκνωµένη σηµειακά στο κέντρο του. Το γεγονός αυτό, που ισχύει µόνο στα πεδία δυνάµεων αυτής της µορφής, δίνει τη δυνατότητα αναγωγής στη θεωρία των κεντρικών πεδίων δυνάµεων µε συνάρτηση δυναµικού:

U( ) /r k r= − , k = mGm .

Στις καρτεσιανές συντεταγµένες το βαρυτικό πεδίο εκφράζεται ως εξής:

( ) ( ) ( )31 2

3/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3

, ,F( ) mxmx mx

x x x x x x x x xx

= − + + + + + +

mG

και η συνάρτηση δυναµικού:

( )1/ 22 2 21 2 3

U( )x x x

mx = −+ +

Gm .

* Ο Νεύτωνας, αναφερόµενος στην ανακάλυψή του για τις δυνάµεις που προκαλούν την κίνηση των πλα-νητών, έγραφε: «Και τον ίδιο χρόνο (1666) άρχισα να σκέφτοµαι τη βαρύτητα επεκτείνοντάς την στη σφαίρα της Σελήνης. Από τον κανόνα του Kepler κατέληξα στο ότι οι δυνάµεις που συγκρατούν τους πλανήτες στις τροχιές τους πρέπει να µεταβάλλονται αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου των αποστάσεών τους από τα κέντρα γύρω από τα οποία περιστρέφονται. Συνέκρινα τη δύναµη που απαιτείται για να συγκρατηθεί η Σελήνη στην τρο-χιά της µε εκείνη της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης και διαπίστωσα ότι αποκρίνονται αρκετά καλά.».


Ισοδυναµικές επιφάνειες του πεδίου βαρυτικών δυνάµεων.

Σχόλιο. Όπως υπέδειξε Νεύτωνας, στον προσδιορισµό της δύναµης έλξης των σω-µάτων υπεισέρχεται η παγκόσµια σταθερά G. Σε αυτή τη µικρή παγκόσµια σταθερά αντανακλάται η ασθενέστατη επίδραση της παγκόσµιας έλξης σε µικρές µάζες. Π.χ. ∆υο µάζες 100kg που απέχουν µεταξύ τους απόσταση 1m έλκονται µε την ανεπαί-σθητη δύναµη 9667.10 N− , ενώ η ισχυρή ελκτική δύναµη που ασκεί η γη στα σώµατα που βρίσκονται γύρω της οφείλεται στη µεγάλη µάζα της. Ο νόµος της παγκόσµιας έλξης αποτελεί νόµο δύναµης και όχι κίνησης και ισχύει ανεξάρτητα από το αν τα σώµατα κινούνται ή τον τρόπο µε τον οποίο κινούνται. Οι µάζες που υπεισέρχονται στη διατύπωσή του αποτελούν µέτρο έντασης της αλληλεπίδρασης των σωµάτων και καλούνται βαρυτικές µάζες. Ο Νεύτωνας πριν ανακαλύψει το νόµο της παγκό-σµιας έλξης είχε ήδη ανακαλύψει τη θεµελιώδη εξίσωση της κίνησης*. Η µάζα που υπεισέρχεται στη θεµελιώδη εξίσωση καλείται αδρανειακή µάζα και η αδρανειακή της συµπεριφορά µεταβάλλεται εφόσον της ασκηθεί µια δύναµη. Όταν η µάζα αυτή βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο τότε προκειµένου να µείνει στη θέση της απαιτείται να της ασκηθεί δύναµη αντίθετη προς τη δύναµη της παγκόσµιας έλξης. Στην περί-πτωση αυτή υπεισέρχεται η βαρυτική και όχι η αδρανειακή της φύση και αναφερό-µαστε σε βαρυτική µάζα. Ο νόµος της παγκόσµιας έλξης εµπεριέχει το ότι στο ίδιο σηµείο της γης τα βάρη των σωµάτων είναι ανάλογα των βαρυτικών µαζών τους. Ο Νεύτωνας έδειξε πειραµατικά ότι η αναλογία υφίσταται και για τις αδρανειακές µάζες, γεγονός που επιβεβαιώθηκε µε εξαιρετική ακρίβεια το 1964. Στην Κλασική Μηχανική η ισοδυναµία αυτή θεωρήθηκε συµπτωµατικό γεγονός χωρίς άλλες προε-κτάσεις, όµως πολύ αργότερα οδήγησε στη βαθύτερη κατανόηση της βαρύτητας και στην ανάπτυξη της Γενικής Σχετικότητας. * Ο Ερατοσθένης, στην αρχαιότητα, υπολόγισε την ακτίνα της γης: oR 6371 km= και αιώνες αργότερα, συσχετίζοντας το νόµο της παγκόσµιας έλξης µε τη θεµελιώδη εξίσωση της δύναµης, προσδιορίστηκε η τιµή της βαρυτικής επιτάχυνσης: 2

o/ Rg = Gm και κατά συνέπεια η µάζα της γης 2oR /g= Gm . Λέµε

λοιπό ότι ο Cavendish είναι ο πρώτος άνθρωπος που προσδιόρισε το “βάρος” της: 2066 10× τόνοι.


• Το θεώρηµα του Νεύτωνα για το βαρυτικό δυναµικό.

Στην πραγµατικότητα, το βαρυτικό πεδίο δεν δηµιουργείται από ένα υλικό σηµείο αλλά από ένα σώµα και για να προσδιοριστεί η βαρυτική δύναµη πρέπει να αθροιστούν οι συνεισφορές όλων των τµηµάτων του λαµβάνοντας υπόψη την πυκνότητα κατανοµής της µάζας του και τη γεωµετρία του. Ο Νεύτωνας, µε καθαρά γεωµετρικό σκεπτικό*, απέδειξε ότι το πεδίο βαρύτη-τας που ορίζεται από κάθε σφαιρικό σώµα είναι ίδιο µε εκείνο που θα προ-έκυπτε θεωρητικά αν η µάζα του ήταν συµπυκνοµένη σηµειακά στο κέντρο του. Συνεπώς, ένα ουράνιο σώµα, στο µέτρο που µπορεί να θεωρηθεί σφαι-ρικό, ορίζει βαρυτικό πεδίο υπαγόµενο στη θεωρία των κεντρικών πεδίων δυνάµεων µε συνάρτηση δυναµικού:

( )1/ 22 2 21 2 3

U( )x x x

kx −=

+ +, k = mGm .

Σχηµατική παράσταση του βαρυτικού πεδίου δυνάµεων ενός σφαιρικού οµογενούς σώµατος.

Η κατανοµή µάζας ενός σώµατος που καταλαµβάνει ένα χωρίο V του ευ-κλείδειου χώρου 3 ορίζεται από µια πραγµατική συνάρτηση:

3: →σ

και η στοιχειώδης µάζα καθορίζεται από τη διαφορική σχέση:

1 2 3( )d x dx dx dx=m σ .

Σύµφωνα µε το νόµο της παγκόσµιας έλξης, αν µια σηµειακή µάζα m βρί-σκεται στη θέση 1 2 3

3( , , )z z zz = ∈ , η στοιχειώδης µάζα ασκεί ελκτική δύνα-µη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασής τους και η αντί-στοιχη τιµή βαρυτικού δυναµικού ορίζεται από τη διαφορική σχέση: * Η µελέτη αυτή του Νεύτωνα έδωσε το έναυσµα στη δηµιουργία του Ολοκληρωτικού Λογισµού.


( )1/ 22 2 21 1 2 2 3 3

U( )( ) ( ) ( )

m dd zx z x z x z

= −− + − + −

mG .

Άρα, το σώµα ορίζει συνολικά το βαρυτικό δυναµικό:

( )1 2 3

1/ 22 2 21 1 2 2 3 3

( )U( )( ) ( ) ( )

m x dx dx dxzx z x z x z

= −− + − + −

∫∫∫σG

V

.

Αν πρόκειται για σφαιρικό σώµα τότε θεωρούµε ένα διαµερισµό του σε οµό-κεντρους σφαιρικούς φλοιούς στοιχειώδους πάχους και, παρόλο που διαφο-ρετικοί φλοιοί δεν έχουν αναγκαστικά ίδια πυκνότητα µάζας, εντούτοις η πυκνότητα κάθε φλοιού µπορεί να θεωρηθεί σταθερή. Κάθε φλοιός ασκεί τη δική του βαρυτική δύναµη στη σηµειακή µάζα παράγοντας το δικό του βα-ρυτικό δυναµικό. Η συµµετρία του φλοιού προκαλεί ίδια συµµετρία στο βα-ρυτικό δυναµικό, γεγονός που απλουστεύει την υπολογιστική διαδικασία. Αν λοιπόν η σηµειακή µάζα απέχει απόσταση r από το κέντρο του φλοιού αρκεί να την θεωρήσουµε στη θέση 3

1 2 3( 0, 0, )z z z rz = = = = ∈ και να υπολο-γίσουµε την τιµή:

( ), 2

o1 2 3

1/ 22 2 21 2 3

U(0,0, )( )

dx dx dxrx x x r

mρ ρ1

= −+ + −

∫∫∫σGs

συµβολίζοντας 1 2,ρ ρs το σφαιρικό φλοιό ακτίνων 1 2ρ < ρ µε σταθερή πυκνότη-

τα ( )x ο=σ σ και συνολική µάζα m . Τον υπολογισµό εκτελούµε στις σφαιρι-κές συντεταγµένες του ευκλείδειου χώρου 3 :

Προσδιορισµός του βαρυτικού δυναµικού που προκαλείται από µια οµογενή σφαίρα.


( )2

1

2

o0 0

2

1/ 22 2 2 2 2

sin

(cos sin )sin ( cos )U(0,0, ) d d dm

rr

=ρ =π = π

=ρ = =

= − =+ + −

∫ ∫ ∫ρ ϕ θ

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ ϕ ρσρ θ θ ϕ ρ ϕ

G

( )2

1

o0

2

1/ 22 2

sin22 cos

d dmr r

=ρ =π

=ρ =

= − π =− +

∫ ∫ρ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ ϕ ρσρ ρ ϕ

G

( )2

1

o

2m r r dr

=ρ

=ρ

π= − + − −∫

ρ

ρ

σ ρ ρ ρ ρG .

Άρα: • r 1≤ ρ ⇒

2

o o

1

2 22 14 2 ( ) CU(0,0, ) m d mr

ρ

ρ

= − π = − π ρ −ρ =∫σ ρ ρ σG G .

• 2r ≥ ρ ⇒ 2

1

oo

2 3 32 1

4 4 ( )3

U(0,0, ) dr r r

m mr mρ

ρ

π π= − = − ρ −ρ = −∫

σσ ρ ρ

G GG m.

• 1 2rρ ≤ ≤ ρ ⇒

2

1

o o

322 2 1

224 2

3 3U(0,0, )

r

r

rm d r d mr r

rρ

ρ

ρπ = − + = − π ρ − − ∫ ∫σ ρ ρ ρ ρ σG G

και ειδικότερα 2 or r= ρ = ⇒ o

U(0,0, )r

mr = −Gm .

Συνεπώς:

• Αν η σηµειακή µάζα βρίσκεται στην εσωτερική κοιλότητα του φλοιού, το βαρυτικό δυναµικό είναι σταθερό άρα η βαρυτική δύναµη είναι µηδενική. Το γεγονός αυτό, ίσως όχι προφανές, είναι λογικό αφού, εξαιτίας της συµµε-τρίας, οι ασκούµενες βαρυτικές δυνάµεις στη σηµειακή µάζα από τα αντιδι-αµετρικά χωρία του φλοιού αλληλοαναιρούνται λαµβάνοντας υπόψη ότι το µέτρο τους είναι αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης. • Αν η σηµειακή µάζα βρίσκεται στην εξωτερική επιφάνεια του φλοιού ή πέρα από αυτήν, το βαρυτικό δυναµικό είναι ίδιο µε εκείνο που θεωρητικά ορίζεται από τη µάζα του φλοιού συµπυκνωµένη σηµειακά στο κέντρο του και προκύπτει η ασκούµενη βαρυτική δύναµη:


2F( ) rmx er

= −Gm .

Άρα, ακόµη και αν το σφαιρικό σώµα συνολικής µάζας m δεν είναι οµογε-νές αλλά αποτελείται από οµογενείς φλοιούς, σε κάθε σηµειακή µάζα που βρίσκεται στην επιφάνεια του ή πέρα από αυτήν σε απόσταση r από το κέντρο του, ασκείται η βαρυτική δύναµη:

2F( ) rmx er

= −Gm

που ορίζεται από τη συνάρτηση βαρυτικού δυναµικού:

U( ) mrr

= −Gm .

Σχόλιο. Αν η γη ήταν σφαιρική και οµογενής, κάθε σώµα µάζας m τοποθετηµένο στην επιφάνεια της θα δεχόταν την προαναφερόµενη ελκτική δύναµη. Βέβαια η γη δεν είναι ακριβώς ούτε σφαιρική ούτε οµογενής. Ο Νεύτωνας πρώτος αντιλήφθηκε ότι στη σφαιρική διαµόρφωσή της σηµαντική ευθύνη έχει η βαρύτητα αλλά προέ-βλεψε µε βεβαιότητα το ότι είναι συµπιεσµένη στους πόλους και εξογκωµένη στον ισηµερινό. Η πρόβλεψη αυτή επιβεβαιώθηκε µε µετρήσεις το 1737 και η ακριβής απόκλιση του σχήµατός της από την τέλεια σφαίρα διαπιστώθηκε µε δορυφορικές παρατηρήσεις το 1959. Τότε παρατηρήθηκε επιπλέον µια ελαφρά κορύφωσή της στο βόρειο πόλο και µια υποψία παρειών γύρω από το νότιο πόλο, γεγονός που επί-σης είχε προβλέψει ο Νεύτωνας! Όσο για την κατανοµή της µάζας της, αν ήταν στα-θερή τότε θα έπρεπε όγκος και µάζα να µεταβάλλονται ανάλογα προς τον κύβο της ακτίνας κάθε θεωρούµενου εσωτερικού σφαιρικού φλοιού πράγµα που δεν ισχύει. Στο εσωτερικό της γης το βάρος µεταβάλλεται προσεγγιστικά ανάλογα προς την απόσταση από το κέντρο της και µειώνεται όσο πλησιάζουµε στο κέντρο της.

Βαρυτική έλξη της γης ως συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της µε την προϋπόθεση ότι είναι σφαιρική και οµογενής.*

* Αν ένας άνθρωπος κατέλθει στο εσωτερικό της γης σε βάθος 100 km, το βάρος του θα µειωθεί, θα αυξηθεί ή θα µείνει ίδιο µε αυτό που έχει στην επιφάνεια της;


• Από τον Kepler στον Νεύτωνα.

Ο Kepler στα συµπεράσµατά του για τις κινήσεις των πλανητών ουσιαστικά, µε ικανοποιητική προσέγγιση, υπέδειξε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επικεντρωµένο στον ήλιο στο οποίο καταγράφεται η ελλειπτική τροχιά κάθε πλανήτη µε την παραµετρική εξίσωση:

1 cos=

+prε θ

, 0 1< <ε .

Σχήµα του Νεύτωνα για την κίνηση πλανήτη γύρω από τον Ήλιο. “Philosophia Naturalis – Principia Mathematica”

Ο Νεύτωνας, αναζητώντας τη δύναµη που προκαλεί αυτή την κίνηση, προσ-διόρισε το βαρυτικό πεδίο δυνάµεων που υπάγεται στη γενική θεωρία των κεντρικών πεδίων δυνάµεων. Η εξίσωση κίνησης µιας σηµειακής µάζας m υπό την επιδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάµεων:

F( ) ( )= rx f r e ,

θέτοντας 1/=u r , εκφράζεται ως εξής:

2

2 2 2o

(1/ )d u mu f ud u

+ = −Ωθ

και αντικαθιστώντας µε την εξίσωση της έλλειψης:

1 cos= +up p

ε θ

προσδιορίζεται ο συναρτησιακός συντελεστής:

2 2o(1/ ) uf u

m pΩ

= − ⇒ 2o

2 21( ) kf r

m p r rΩ

= − = − .


• Οι τροχιές των πλανητών και οι κωνικές τοµές του Απολλώνιου.

Ο Απολλώνιος έθεσε και µελέτησε το ακόλουθο πρόβληµα κωνικών τοµών: Με δεδοµένη µια ευθεία και ένα σηµείο Ο εκτός αυτής να προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων για τα οποία ο λόγος της απόστασής τους από το Ο προς την απόστασή τους από την ευθεία είναι σταθερός ίσος µε ε>0. Η απάντηση σε αυτό το πρόληµα έχει ως εξής:

1<ε ⇒ έλλειψη, 1=ε ⇒ παραβολή, 1>ε ⇒ υπερβολή.

Απολλώνιος (262-190 π.Χ.)

Κωνικές τοµές του Απολλώνιου: Αν η κλίση της γενέτειρας του κώνου ως προς το οριζόντιο επίπεδο είναι φ τότε η τοµή του κώνου µε ένα επίπεδο κλίσης µικρότερης, ίσης, µεγαλύτερης από φ ορίζει αντίστοιχα έλλειψη, παραβολή, υπερβολή.


• ΘΕΩΡΗΜΑ. Τροχιές στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων.

Στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων οι τροχιές των κινήσεων ορίζουν κωνικές τοµές και συγκεκριµένα όταν η ενεργειακή τιµή είναι oE τότε:

oE 0< ⇒ έλλειψη, oE 0= ⇒ παραβολή, oE 0> ⇒ υπερβολή. *

Απόδειξη. Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων η εξίσωση της κίνησης έχει ως εξής: 2

2 2 2o

(1/ )d u mu f ud u

+ = −Ωθ

, 1/u r= ,

και ειδικότερα στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων προκύπτει: 2

2 2o

d u m kud

+ =Ωθ

συνεπώς 2 2

o ocos sin cos( )ou A B k m k m C− −= + + Ω = Ω + −θ θ θ θ .

Επιλέγοντας το σύστηµα αναφοράς έτσι ώστε 0oθ = έχουµε:

2o cosu k m C−= Ω + θ

και θέτοντας: 2o /p km= Ω και 2

o /C km= Ωε

προκύπτει η εξίσωση της κωνικής τοµής:

1 cos= +up p

ε θ , 0>ε .

Η εκκεντρότητα κάθε τροχιάς καθορίζεται από την ενεργειακή της τιµή:

( )2 2 2oE

2= + −

m kr rr

θ

η οποία εκφράζεται ως εξής:

2 2 22 2 2 o

o 2 4E2 2m dr k m dr kr r

d r d rm r

Ω = + − = + − θ

θ θ.

* Στην περίπτωση των πλανητών η κίνηση γύρω από τον ήλιο είναι ελλειπτική όπως ακριβώς το είχε πει ο Kepler και το είχε αποδείξει ο Νεύτωνας. Εντούτοις, η τροχιά ενός σώµατος στο ηλιακό σύστηµα δεν είναι αναγκαστικά ελλειπτική αλλά µπορεί να είναι παραβολική ή υπερβολική. Στην περίπτωση αυτή τα σώµατα εισέρχονται στο ηλιακό σύστηµα και κατόπιν το εγκαταλείπουν χωρίς ενδεχόµενο επιστροφής.


Συνεπώς

( )2

2o2

o

2 Edu mu k ud

+ = + Ω θ

και εισάγοντας τη λύση: 2

o cosu k m C−= Ω + θ

προσδιορίζεται η τιµή της σταθεράς: 1/ 22 2

o4 2o o

2 Emk mC

= + Ω Ω

και προκύπτει η εκκεντρότητα:

2

o o2

2E1

m kΩ

= +ε , 2

o 2o

E2m k

≥ −Ω

.

Σχόλιο. Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, εισάγοντας τη συνάρτηση ενεργού δυναµι-κού, η τροχιά ενεργειακής τιµής oE ορίζεται στις πολικές συντεταγµένες του επιπέ-δου κίνησης ως εξής:

2o

o2 E V( ) or dr

m r

−Ω= ± +

−∫θ θ .

Στην περίπτωση του βαρυτικού πεδίου έχουµε τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού: 2o

2V( )2

krr mr

Ω= − +

οπότε υπολογίζοντας απευθείας το προαναφερόµενο ολοκλήρωµα* προκύπτει: 1/ 22 2

oo 2

o o

2 EArccos okm m km

r

− Ω

= − + + Ω Ω θ θ

και θέτοντας

2o /p km= Ω και

2o o

2

2E1

m kΩ

= +ε

καταλήγουµε στην εξίσωση:

1 cos( )=

+ − o

prε θ θ

.

* Θέτοντας

2o

1 k mur

= −Ω

, 2

o 2o o

2 E2

m mk= +

Ω Ω ⇒

2 2 odu

u= +

−∫∓θ θ ⇒ ( )Arccos / ou= +θ θ .


• Οι δακτύλιοι της κίνησης στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων.

Κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων, όπως σε όλα τα κεντρικά πεδία δυνάµεων, η απόστασή του από το κέντρο µετα-βάλλεται όπως στην περίπτωση µονοδιάστατης κίνησης υπό την επίδραση δύναµης ορισµένης από τη συνάρτηση ενεργού δυναµικού:

2o

2V( )2

krr mr

Ω= − + .

Γραφική παράσταση των συναρτήσεων δυναµικού και ενεργού δυναµικού στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων.

Η συνάρτηση ενέργειας του υλικού σηµείου που κινείται στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων και η συνάρτηση ενέργειας του υποθετικού υλικού σηµείου που εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση έχουν ίδιες τιµές άρα, στο επίπεδο κίνησης, η τροχιά ενεργειακής τιµής oE εξελίσσεται στο χωρίο που ορίζεται από την ανίσωση oV( ) E≤r η οποία προφανώς εκφράζεται ως εξής:

2 2o oE / 2 0r k r m+ −Ω ≥ .

∆ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• Για την ελάχιστη ενεργειακή τιµή: 2 2

o oE / 2mk= − Ω

το τριώνυµο έχει διπλή ρίζα η οποία ορίζει την ακτίνα κυκλικής τροχιάς: 2

o o /r km= Ω .

• Για ενεργειακή τιµή στο διάστηµα: 2 2

o o/ 2 E 0mk− Ω < <

το τριώνυµο έχει δυο απλές πραγµατικές ρίζες οι οποίες ορίζουν τις ακτίνες δακτυλίου όπου εξελίσσεται η τροχιά:


2 2o o

1o

2E /2E

k k mr

− + + Ω= και

2 2o o

2o

2E /2E

k k mr

− − + Ω= .

Το περίκεντρο και το διαδοχικό απόκεντρο της τροχιάς ορίζουν τη γωνία:

2

1

o2 2

o o2 E / 2

r

r

drm r r k r m

ΩΘ = =

+ −Ω∫ π .

Συνεπώς, πρόκειται για κλειστή περιοδική τροχιά και από το εµβαδόν της έλλειψης =S abπ προκύπτει η περίοδος περιφοράς:

3/ 2oT 2 / 2 /ab a k= Ω =π π .

Η απόσταση της εστίας από το κέντρο είναι =c aε , ενώ η εκκεντρότητα και η παράµετρος σχετίζονται µε τους ηµιάξονες ως εξής:

2 2o

1 / 2 E= − =a b ka

ε και 2 2o(1 ) /p a k= − = Ωε .

• Για µηδενική ενεργειακή τιµή oE 0= προκύπτει η ανισωτική σχέση:

2o / 2r km≥ Ω

που καθορίζει το χωρίο εξέλιξης της τροχιάς. Η τροχιά είναι παραβολική µε εστία στο κέντρο του πεδίου:

1 cos=

+pr

θ.

Η ελάχιστη απόσταση από το κέντρο προκύπτει όταν 0=θ άρα 2 /= Ωp km και το µέτρο της ταχύτητας µε την οποία διανύεται η τροχιά είναι:

2 /= k mrυ .

• Για θετική ενεργειακή τιµή oE 0> προκύπτει υπερβολική τροχιά µε την εστία της στο κέντρο του πεδίου. Ο µεγάλος ηµιάξονας καθορίζεται από τη σχέση 2( 1)= −p a ε και είναι / 2= oa k E . Η ελάχιστη απόσταση από το κέντρο του πεδίου είναι ( 1)−a ε και το µέτρο της ταχύτητας µε την οποία διανύεται η τροχιά είναι:

2 1 = +

km r a

υ .


Τροχιές στο βαρυτικό πεδίο δυνάµεων.


Σχόλιο. Μια ακριβέστερη µελέτη της κίνησης των πλανητών δείχνει ότι ο µεγάλος άξονας της ελλειπτικής τροχιάς κάθε πλανήτη στρέφεται αργά στο επίπεδο κίνησης γύρω από τον ήλιο. Πρόκειται για το φαινόµενο της µετάπτωσης του περιηλίου, δηλαδή του πλησιέστερου προς τον ήλιο σηµείου από όπου διέρχεται ο πλανήτης.*

Μετάπτωση του περιηλίου:

Ο µεγάλος άξονας της τροχιάς του Ερµή διαγράφει κάθε αιώνα γωνία 43′′ γύρω από τον ήλιο.

• Η περιστροφή της γης και το εκκρεµές του Foucault.

Εξετάζουµε την κίνηση µιας σηµειακής µάζας m στο βαρυτικό πεδίο της γης κατά-γράφοντάς την, αφενός σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ℜ τοποθετηµένο στο κέντρο της, αφετέρου σε ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ′ℜ τοποθετη-µένο στην επιφάνειά της. Θεωρώντας τη γη σφαιρική οµογενή και περιστρεφόµενη µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον άξονά της, η δύναµη που προκαλεί την κίνηση της σηµειακής µάζας εκφράζεται ως εξής:

( )2 2

2 2

( ) ( ) ( )F ( ) ( ) ( ) 2 ( )

d x t d x t d OO tm m t t x t t

dtdt dt′ ′ℜ ℜ ℜ

′ ′ ′′= + ω × ω × + ω × +

και συσχετίζοντάς την µε το νόµο της παγκόσµιας έλξης προκύπτει:

( ) ( )2

3 2

( ) ( )( ) ( ) 2 ( )|| ( ) ||

d x t d x tx tGM x t OO tdtx t dt

′ ′ℜ ℜ′ ′′ ′− = +ω× ω× + ω× +ω× ω× .

Κοντά στην επιφάνεια της γης η φυγόκεντρος δύναµη είναι αµελητέα και η βαρυτι-κή επιτάχυνση

3

( ) ( ( ))|| ( ) ||

x tg GM OO tx t

′= − −ω× ω×

έχει πρακτικά σταθερό µέτρο, οπότε προκύπτει η εξίσωση: 2

2

( ) ( )2

d x t d x tg

dtdt′ ′ℜ ℜ′ ′

= − ω× .

* Βλ. Μαθήµατα Φυσικής Μηχανικής Πανεπιστηµίου Berkeley, Ελληνική έκδοση, Αθήνα, 1978.


Καταγραφή της κίνησης ενός υλικού σηµείου στα συστήµατα αναφοράς ℜ και ′ℜ .

Αν το σύστηµα αναφοράς ′ℜ τοποθετηθεί σε γεωγραφικό πλάτος ϕ και ο άξονας

3′ ′O x είναι κατακόρυφος τότε 3g ge= και επιλέγοντας τον άξονα 1′ ′O x εφαπτόµενο στο µεσηµβρινό µε φορά προς νότο και τον άξονα 2′ ′O x µε φορά προς ανατολή, δηλαδή ίδια µε τη φορά περιστροφής της γης, προκύπτει:

1 3sin cose eω = −ω ϕ +ω ϕ .

Η προαναφερόµενη εξίσωση εκφράζεται τότε ως εξής:

1 1

2 2

3 3 .

( ) 0 cos 0 ( ) 0( ) 2 cos 0 sin ( ) 0( ) 0 sin 0 ( )

x t x tx t x tx t x t g

′ ′ϕ ′ ′= ω − ϕ − ϕ + ′ ′ϕ −

Το 1851, ο Jean Foucault, αναρτώντας το περίφηµο εκκρεµές στο Πάνθεον των Παρισίων, έδειξε πειραµατικά το ότι η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Το σηµείο πρόσδεσης του εκκρεµούς, µάζας m και µήκους , είναι τοποθετηµένο σε ύψος στον κατακόρυφο άξονα του συστήµατος αναφοράς ′ℜ :


Στη µάζα ασκείται, επιπλέον του βάρους B mg= , η τάση του νήµατος που ανά µο-νάδα µάζας είναι:

( )1 1 2 2 3 3T (T / ) ( )x e x e x e= − + + − ,

οπότε η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής:

1 1 1

2 2 2

3 3 3 .

( ) 0 cos 0 ( ) T /( ) 2 cos 0 sin ( ) T /( ) 0 sin 0 ( ) T / T

x t x t xx t x t xx t x t x g

′ ′ϕ − ′ ′= ω − ϕ − ϕ + − ′ ′ϕ − + −

Για µικρή απόκλιση θ από την κατακόρυφο, µε προσέγγιση 1ης τάξης, ισχύει 2

3 (1 cos ) / 2x = − θ ≈ θ

οπότε µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η κίνηση εκτελείται πρακτικά στο επίπεδο 1 2O x x′ και έτσι 3 3 0x x= = . Συνεπώς:

2T 2 sing x= − ω ϕ

και σε αυτό το πλαίσιο προκύπτει το σύστηµα εξισώσεων:

1 1 2 1 2

2 2 1 2 2.

2 sin2 cos

2 sin2 cos

gx x x x x

gx x x x x

ω ϕ = − + ω ϕ+ ω ϕ = − − ω ϕ+

Το µικρό πλάτος ταλάντωσης καθιστά αµελητέες τις ποσότητες / , / ,i ix x 1, 2=i και λαµβάνοντας υπόψη ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι µικρή προκύ-πτει το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων:

1 1 2

2 2 1.

2 cos

2 cos

gx x x

gx x x

= − + ω ϕ = − − ω ϕ

Η λύση αυτού του συστήµατος υποδεικνύει την τροχιά της προβολής στο επίπεδο 1 2O x x′ και προσδιορίζεται θέτοντας 1 2z x ix= + οπότε προκύπτει η εξίσωση:

22 0oz i z z′− ω −ω =

όπου sin′ω = ω ϕ και /o gω = ,

άρα:

1 2( ) A B , A,Bt tz t e eλ λ= + ∈ .


Οι ιδιοτιµές 1 2,λ λ της χαρακτηριστικής εξίσωσης οδηγούν στη λύση:

1 2( ) Ccos sin( cos ), ( ) Ccos cos( cos )o ox t t t x t t t= ω ω ϕ = ω ω ϕ

που εκφράζεται διανυσµατικά ως εξής:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) cos ( )o or t x t e x t e C t e t= + = ω όπου

1 2( ) sin( cos ) cos( cos )oe t t e t e= ω ϕ + ω ϕ .

Το εκκρεµές εκτελεί λοιπόν ταλάντωση περιόδου 2πωo στο επίπεδο που ορίζεται κάθε χρονική στιγµή από τον άξονα 3′O x και το διάνυσµα ( )oe t . Τη στιγµή 0=t το επίπεδο αυτό ορίζεται από τον άξονα 3′O x και τον άξονα του διανύσµατος 2e και µε την πάροδο του χρόνου περιστρέφεται γύρω από τον άξονα 3′O x µε περίοδο περιστροφής 2 / cosπ ω ϕ . Η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεµούς είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την περίοδο περιστροφής του επιπέδου ταλάντωσής η οποία εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος όπου βρίσκεται το εκκρεµές. Βλέποντας τη γη από το βόρειο πόλο, το επίπεδο ταλάντωσης περιστρέφεται κατά ανάδροµη ή ορθή φορά εφόσον το εκκρεµές βρίσκεται αντίστοιχα στο βόρειο ή το νότιο ηµισφαίριο. Αν βρίσκεται στο βόρειο πόλο το επίπεδο ταλάντωσης εκτελεί πλήρη περιστροφή σε 23 ώρες και 57 λεπτά, σε γεωγραφικό πλάτος 45ο απαιτούνται 33,5 ώρες και σε γεω-γραφικό πλάτος 5ο απαιτούνται 92,5 ώρες. Εκτελώντας το πείραµα στον ισηµερινό δεν µπορούµε να συµπεράνουµε την περιστροφή της γης.

Το εκκρεµές του Foucault στο Πάνθεον των Παρισίων.


ΟΙ ΠΛΑΝΗΤΕΣ ΤΟΥ ΗΛΙΑΚΟΥ ΜΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Ο Νεύτωνας είχε σηµειώσει ότι οι δυνάµεις που ασκούνται µεταξύ των πλανητών, παρότι µικρές σε σχέση µε την ελκτική δύναµη του Ήλιου, είναι σίγουρα σηµαντι-κές ώστε να προκαλούν απόκλιση από την τέλεια ελλειπτική τροχιά που θα καθό-ριζε αποκλειστικά το πεδίο έλξης του Ήλιου. Πρόκειται για τις καλούµενες δυνάµεις διαταραχής που µελετήθηκαν τον 18ο αιώνα και αναλύθηκαν µε ιδιαίτερη προσοχή από τον Laplace στο περίφηµο σύγγραµµά του που δηµοσιεύτηκε το 1814 µε τίτλο Ουράνια Μηχανική. Την εποχή του Νεύτωνα ήταν γνωστοί 6 µόνο πλανήτες και, το 1781, στην Αγγλία, ο William Herschel, ανακάλυψε µε τηλεσκόπιο έναν 7ο πλανή-τη, τον Ουρανό. Οι αστρονοµικές παρατηρήσεις των 50 επόµενων χρόνων έδειχναν ότι η τροχιά του Ουρανού δεν ήταν ακριβώς αυτή που υποδείκνυε η θεωρία του Νεύτωνα. Συνεπώς, ή ο Νεύτωνας έκανε λάθος ή κάποιος άλλος άγνωστος µακρινός πλανήτης διατάρασσε την τροχιά του Ουρανού. Το 1840, δυο νέοι επιστήµονες άγνωστοι µεταξύ τους, ο John Adams από την Αγγλία και ο Urbain Leverrier από τη Γαλλία, στηριζόµενοι στη θεωρία του Νεύτωνα, προσδιόρισαν µε µαθηµατικούς υπολογισµούς την τροχιά ενός 8ου πλανήτη που διατάρασσε την τροχιά του Ουρα-νού. Οι αστρονόµοι του αστεροσκοπείου του Greenwich δεν πίστεψαν τον Adams όταν τους ζητούσε να στρέψουν τα τηλεσκόπιά τους προς τη θέση όπου, σύµφωνα µε τους υπολογισµούς του, όφειλε να βρίσκεται εκείνη την εποχή ο άγνωστος πλα-νήτης. Αντίθετα, οι αστρονόµοι του αστεροσκοπείου του Βερολίνου ανταποκρί-θηκαν στην επιστολή του Leverrier και, την ίδια κιόλας µέρα, ανακάλυψαν τον πλανήτη Ποσειδώνα. Εντούτοις, και η τροχιά του Ποσειδώνα δεν συµφωνούσε από-λυτα µε τη θεωρία του Νεύτωνα. Ένας ακόµη άγνωστος, πιο µακρινός πλανήτης, διατάρασσε την πορεία του. Τους υπολογισµούς για τον προσδιορισµό της τροχιάς του 9ου πλανήτη ολοκλήρωσε το 1905 ο Αµερικανός Percival Lowell, αλλά χρειά-στηκαν 25 χρόνια έως ότου εντοπιστεί στον ουράνιο θόλο από το τηλεσκόπιο του αστεροσκοπείου της Αριζόνα. Ο 9ος πλανήτης του ηλιακού µας συστήµατος, ο Πλούτωνας, συνεχίζει την πορεία του όπως υποδεικνύει η θεωρία του Νεύτωνα και θα επανέλθει στην ίδια θέση του ουράνιου θόλου, εκεί όπου εντοπίστηκε για πρώτη φορά, το έτος 2178. Πρόσφατα, το 2005, εντοπίστηκε πέρα από τον Πλούτωνα, σε απόσταση 90 AU από τον Ήλιο, ένα άγνωστο ουράνιο σώµα που εικάζεται και ίσως αποδειχτεί ότι είναι ο 10ος πλανήτης του ηλιακού µας συστήµατος! Σχόλιο. Το κοσµικό σύστηµα του Laplace αποτελεί συνεπές σύστηµα αλληλεπιδρό-ντων σωµάτων υπαγόµενο στο γενικό σχήµα του επιστηµονικού ντετερµινισµού το οποίο, στηριζόµενο στη σχέση αιτίας και αποτελέσµατος, αποδέχεται την επικράτη-ση της προδιαγεγραµµένης τάξης. Συγκεκριµένα, ο Laplace δήλωνε ότι: «Πρέπει να αντιµετωπίζουµε την παρούσα κατάσταση του σύµπαντος ως αποτέλεσµα της προηγούµενης κατάστασής του και ως αιτία της επόµενης. Μια διάνοια που, σε µια δεδοµένη στιγµή, θα γνώριζε όλες τις δυνάµεις που κινούν τη φύση και την αντί-στοιχη κατάσταση των όντων που την αποτελούν, ενώ ταυτόχρονα θα ήταν τόσο ευρεία ώστε να µπορεί να αναλύει όλα τα δεδοµένα, θα είχε τη δυνατότητα να συµπε-ριλάβει σε ένα σχήµα τόσο τις κινήσεις των µεγαλύτερων σωµάτων του σύµπαντος όσο και εκείνες των ελαχίστων ατόµων. Τίποτε δεν θα ήταν αβέβαιο για αυτήν, το µέλλον και το παρελθόν θα ήταν πάντα παρόντα στα µάτια της.».


Τροχιές των πλανητών του ηλιακού µας συστήµατος.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

ΕΡΜΗΣ 0,39 0,24 7ο 00’ 0,206 0,38 0,06 3,6 2112 ΑΦΡΟ∆ΙΤΗ 0,72 0,62 3ο 24’ 0,007 0,95 0,82 8,5 720 ΓΗ 1,00 1,00 0ο 00’ 0,017 1,00 1,00 9,8 23,93 ΑΡΗΣ 1,52 1,88 1ο 51’ 0,093 0,53 0,11 3,8 24,61 ∆ΙΑΣ 5,20 11,86 1ο 18’ 0,048 11,20 333,33 26,0 9,84 ΚΡΟΝΟΣ 9,55 29,46 2ο 29’ 0,056 9,47 95,31 11,2 10,23 ΟΥΡΑΝΟΣ 19,22 84,01 0ο 47’ 0,046 3,70 14,57 9,4 10,80 ΠΟΣΕΙ∆ΩΝΑΣ 30,11 164,77 1ο 46’ 0,009 3,53 17,25 15,0 15,70 ΠΛΟΥΤΩΝΑΣ 39,52 248,43 17ο 09’ 0,249 0,45 0,08 8,0 16,00

(1) Μέση απόσταση του πλανήτη από τον ήλιο σε αστρονοµικές µονάδες AU.* (2) Περίοδος περιφοράς του πλανήτη γύρω από τον ήλιο σε γήινα έτη. (3) Κλίση του επιπέδου κίνησης του πλανήτη ως προς το επίπεδο κίνησης της γης. (4) Εκκεντρότητα της τροχιάς του πλανήτη. (5) Μέση ακτίνα του πλανήτη σε σχέση µε την ακτίνα της γης: 6378 km (6) Μάζα του πλανήτη σε σχέση µε τη µάζα της γης: 5,97.1024 kg (7) Επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια του πλανήτη σε m/sec2

* Ως 1 AU (αστρονοµική µονάδα) λογίζεται η µέση απόσταση της γης από τον ήλιο: 150 εκατοµµύρια χιλιόµετρα περίπου ( 6149,6.10 km ). * Η Σελήνη απέχει από τη γη 0,0025 AU (384000 km) και πραγµατοποιεί µια πλήρη περιφορά γύρω από τη γη, αλλά και περιστροφή γύρω από τον άξονά της, σε 27,3 µέρες. Η µέση ακτίνα της είναι 1738 km και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά της 1,62 m/sec2. * Η ακτίνα του ήλιου είναι 700000 km και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά του 273 m/sec2.


Σχόλιο. Το Σύµπαν αποτελείται από γαλαξίες και οι γαλαξίες από αστέρια. Το δικό µας αστέρι, ο Ήλιος, είναι ένα από τα 100 δισεκατοµµύρια αστέρια που αποτελούν το γαλαξία µας και το πλησιέστερό του αστέρι είναι ο Α του Κενταύρου που απέχει 270.000 AU ή 4 έτη φωτός. Ο γαλαξίας µας εµφανίζει µορφή δίσκου πάχους 10.000 ετών φωτός και διαµέτρου 100.000 ετών φωτός. Σε απόσταση 2.000.000 ετών φω-τός από αυτόν βρίσκεται ο πλησιέστερος γείτονάς του, ο γαλαξίας της Ανδροµέδας, µε ίδιες περίπου διαστάσεις όπως ο δικός µας. Αν φανταστείτε τις τυπικές αυτές γα-λαξιακές διαστάσεις συνεπτυγµένες σε διαστάσεις κοινού κέρµατος τότε, σε αυτή τη µικροκλίµακα, θα υπήρχε ένας γαλαξίας σε περίπου κάθε µισό µέτρο, δηλαδή το Σύµπαν είναι γεµάτο από γαλαξίες, οι οποίοι µάλιστα αποµακρύνονται ο ένας από τον άλλον µε την πάροδο του χρόνου όπως µας διαβεβαιώνει η Κοσµολογία.

Γαλαξίας της Ανδροµέδας

«Το Σύµπαν αποτελείται από Γαλαξίες και οι Γαλαξίες αποτελούνται από Αστέρια. Όλες οι άλλες δοµές οργάνωσης της ύλης - πλανήτες, δορυφόροι, κοµήτες, κλπ - αποτελούν λεπτοµέρειες.».

«Η ζωή των αστεριών είναι ένας διαρκής αγώνας ενάντια στη δύναµη της βαρύτητας η οποία, ενώ τα δηµιούργησε, κατόπιν επιδιώκει να τα καταστρέψει. Τα αστέρια, στην προσπάθειά τους να επιβιώσουν, παράγουν ενέργεια µέσω θερµοπυρηνικών αντιδράσεων όµως, επειδή οι διαθέσιµες ποσότητες ενέργειας είναι πεπερασµένες, κάποτε πεθαίνουν. Μετά το θάνατό τους, ανάλογα µε τη µάζα τους, καταλήγουν σε λευκούς και τελικά σε σκοτεινούς νάνους, αστέρες νετρονίων ή µαύρες τρύπες. Η τελευταία απεγνωσµένη αµυντική προσπάθειά τους κατά της βαρύτητας συνίσταται στις εκρήξεις σουπερνόβα και τότε σκορπίζουν τα απαραίτητα για τη ζωή µας χηµικά στοιχεία στον Γαλαξία.».*

* Από το βιβλίο του Βασίλη Ξανθόπουλου: «Περί αστέρων και συµπάντων»,

Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1990.

2.8. ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 135

2.8. ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

1. Στον ευκλείδειο χώρο 3 θεωρούµε τα ακόλουθα πεδία δυνάµεων:

( )1 2F( ) , , 0x x x= − − 2 1F( ) ( , , 0)=x x x 2 1F( ) ( , ,0)= −x x x

Σε ποια από αυτά τα πεδία δυνάµεων ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας; Προσδιορίστε τις τροχιές που έχει τη δυνατότητα να διαγράψει ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας σε κάθε ένα από αυτά τα πεδία δυνάµεων. Εξετάστε το αν οι ακόλουθες κινήσεις είναι πραγµατοποιήσιµες σε αυτά τα πεδία δυνάµεων:

( )( ) cos , sin ,=x t t t t ( ) (e cos , e sin , e )− − −= t t tx t t t 2. Στον ευκλείδειο χώρο 3 θεωρούµε τα ακόλουθα πεδία δυνάµεων:

(1) 1 2 3F( ) ( , , )=x x x x (2) 3 2 1F( ) ( , , )=x x x x

(3) 1 2 1 2F( ) ( , , )x x x x x= + (4) 1 2 1 2F( ) ( , , )x x x x x=

(5) 2 2 21 2 3F( ) ( , , )=x x x x (6) 2 2 2

3 2 1F( ) ( , , )=x x x x

(7) 1 3 3 1F( ) ( ,0, )x x x x x= + + (8) 1 3 3 1F( ) ( , 0, )= − −x x x x x

Ποια από αυτά τα πεδία δυνάµεων προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού; Προσδιορίστε το παραγόµενο έργο κατά µήκος τριών διαδοχικών ευθύγραµµων δρόµων, αντίστοιχα παράλληλων προς τους ευκλείδειους άξονες, που συνδέουν την αρχή 30∈ µε ένα οποιοδήποτε σηµείο 3

1 2 3x (x ,x ,x )= ∈ . 3. Όταν ένα πεδίο δυνάµεων δεν ορίζεται παντού στον ευκλείδειο χώρο 3 , ο µηδε-νισµός του στροβιλισµού του διασφαλίζει την ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού στο χωρίο ορισµού του; Εξετάστε την περίπτωση όπου το χωρίο ορισµού είναι απλά συ-νεκτικό ή διαµερίζεται σε απλά συνεκτικές συνιστώσες.


4. Εξετάστε την ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού στο χωρίο ορισµού του πεδίου δυ-νάµεων:

2 12 2 2 21 2 1 2 .

F( ) , , 0x x

xx x x x

−=

+ +

5. Εξετάστε την ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού στις απλά συνεκτικές συνιστώσες του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων:

3 1 1 22 2

2 3 2 3 2 3 .

1F( ) , ,( ) ( )

x x x xx

x x x x x x − − −

= + + +

6. Σωµατίδιο κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δυνάµεων:

3 3F : → , 1 2 3 1 2F( , , ) ( , ,0)x x x x x= − − .

∆ιαπιστώστε ότι το σωµατίδιο έχει τη δυνατότητα να πραγµατοποιήσει ελικοειδή κίνηση και καθορίστε κατάλληλη αρχική θέση και αρχική ταχύτητα ώστε η τροχιά του να έχει καµπυλότητα κ=1/5 και στρέψη τ =2/5. 7. Σωµατίδιο εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση και η χρονική εξέλιξή του δίνεται στα ακόλουθα σχήµατα σε δυο διαφορετικές περιπτώσεις. Σχεδιάστε τις αντίστοιχες τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων και τη γραφική παράσταση της δύναµης που προκαλεί αυτές τις κινήσεις ως συνάρτησης του χρόνου.

8. Στις κινήσεις ενός βαθµού ελευθερίας αποδείξτε ότι:

- Στα σηµεία όπου δεν µηδενίζεται η δύναµη υφίσταται τοπικό σύστηµα συντεταγ-µένων στο οποίο η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως εξής:

m x = ± κ (σταθερά).

- Στα σηµεία όπου µηδενίζεται η δύναµη χωρίς να µηδενίζεται η παράγωγός της υφίσταται τοπικό σύστηµα συντεταγµένων στο οποίο η εξίσωση του Νεύτωνα εκ-φράζεται ως εξής:

0± =m x xκ .

Σε κάθε µια από αυτές τις περιπτώσεις, εφοδιάζοντας το επίπεδο θέσων-ταχυτήτων µε τις αντίστοιχες συντεταγµένες, σχεδιάστε την τοπική µορφή των τροχιών.


9. Στις κινήσεις ενός βαθµού ελευθερίας τεκµηριώστε το συλλογισµό µε τον οποίο συνάγεται από το γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού η γεωµετρική φύση των τρο-χιών στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων. Εξετάστε την περίπτωση του απλού επίπεδου εκκρεµούς που κινείται χωρίς τριβές υπό την επίδραση της βαρύτητας.

10. Αποδείξτε ότι ο χρόνος µετάβασης από το σηµείο 1( )=a x t στο σηµείο 2( )=b x t µιας ελλειπτικής τροχιάς ενεργειακής τιµής oE του απλού επίπεδου εκκρεµούς στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων, προσδιορίζεται ως εξής:

o

/ 2E U( )

b

a

dxt mx

∆ =−∫ .

Αν ( )S E είναι το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από αυτή την κλειστή τροχιά, απόδείξτε ότι η περίοδος της κίνησης είναι:

T /= dS dE .

11. Προσδιορίστε το µήκος ενός απλού εκκρεµούς µοναδιαίας µάζας του οποίου η περίοδος ταλάντωσης είναι 1 sec. Πώς θα επηρεαστεί η περίοδος ταλάντωσης αν το εκκρεµές αυτό µεταφερθεί στη Σελήνη όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι περίπου 6 φορές µικρότερη από εκείνη της γης;


12. Όταν ένα υλικό σηµείο εκτελεί κυκλική κίνηση σταθερής γωνιακής ταχύτητας αποδείξτε ότι η προβολή του σε µια οποιαδήποτε διάµετρο του κύκλου εκτελεί αρ-µονική ταλάντωση και προσδιορίστε τα χαρακτηριστικά της. 13. Σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση υπό την επίδραση γραµµικής δύναµης επαναφοράς µε µηδενική δύναµη απόσβεσης. Τη στιγµή 0=t απέχει από την αρχή 0=x απόσταση 10m και και τη στιγµή αυτή έχει ταχύτητα 15m /s και επιτάχυνση 230m /s . Προσδιορίστε τη θέση και την ταχύτητά του σε κάθε χρονική στιγµή. Ποιο ειναι το πλάτος, η περίοδος, η συχνότητα ταλάντωσής του; Ποια δύναµη προκαλεί αυτή την κίνηση; Πώς θα τροποποιηθούν τα συµπερά-σµατά σας αν ασκείται µια δύναµη απόσβεσης ανάλογη προς την ταχύτητα; 14. Αντικείµενο βάρους 10N αναρτάται στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου αµελη-τέας µάζας προκαλώντας επιµήκυνση 30cm από την αρχική του θέση. Ασκώντας µια κατακόρυφη δύναµη το ελατήριο επιµηκύνεται κατά 10cm και κατόπιν αφήνε-ται ελεύθερο να εκτελέσει ταλάντωση. Προσδιορίστε τη θέση του αντικειµένου και την ταχύτητά του σε κάθε χρονική στιγµή, καθώς και το πλάτος, την περίοδο και τη συχνότητα ταλάντωσης. Πώς θα τροποποιηθούν τα συµπεράσµατά σας αν επιπλέον ασκηθεί µια δύναµη απόσβεσης ανάλογη προς την ταχύτητα; Αν από µια στιγµή και πέρα επιδράσει µια εξωτερική περιοδική δύναµη ίδιας συχνότητας µε εκείνη της απλής αρµονικής ταλάντωσης ποια θα είναι τα νέα συµπεράσµατά σας; 15. Αντικείµενο βάρους 30N αναρτάται στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου αµελη-τέας µάζας και σταθεράς 48κ = . Αν δεν υπάρχει δύναµη απόσβεσης και ασκηθεί εξωτερική δύναµη ( ) 120cos 6f t t= , προσδιορίστε τη θέση του σε κάθε χρονική στιγµή και δείξτε ότι εκτελεί ταλάντωση πλάτους ( ) csin sinx t at bt= . Εξετάστε το τι θα συνέβαινε αν η εξωτερική δύναµη ήταν ( ) 51sin 4f t t= . 16. Αντικείµενο µάζας 6kg αναρτάται στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου αµελη-τέας µάζας και σταθεράς 150κ = . Αν υφίσταται δύναµη απόσβεσης ανάλογη προς την ταχύτητα µε συντελεστή αναλογίας 40ρ = και ασκηθεί εξωτερική περιοδική δύναµη συχνότητας 5/6π Hz, θα προκληθεί συντονισµός; 17. Σωµατίδιο κινείται υπό την επίδραση της µονοδιάστατης δύναµης:

2F( ) = − − εx x xκ

όπου η σταθερά 0ε > είναι αρκετά µικρή σε σχέση µε τη σταθερά 0>κ . Πρόκειται για περίπτωση αναρµονικού ταλαντωτή και ζητάµε να διαπιστώσετε ότι η αποµά-κρυνση του σωµατιδίου από το σηµείο ισορροπίας, µε ικανοποιητική προσέγγιση, προσδιορίζεται ως εξής:

( )2 2( ) A cos( ) ( / 6 )cos 2( ) / 2= ω −ϕ + ε ω −ϕ − εx t t tκ κ .


18. Ποια συνθήκη οφείλουν να πληρούν οι σταθερές ενός δισδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή ώστε η ταλάντωση να εκτελείται σε ευθεία δεδοµένης κλίσης; Ποια συν-θήκη προκαλεί κυκλική τροχιά; 19. Σωµατίδιο εκτελεί επίπεδη κίνηση έτσι ώστε η απόστασή του από τους άξονες να καθορίζεται αντίστοιχα από τις σχέσεις:

1( ) A cos( )= ω +ϕx t t και 2( ) Bcos( )= ω +ϕy t t .

Αποδείξτε ότι το σωµατίδιο διαγράφει ελλειπτική τροχιά εγγεγραµµένη στο ορθο-γώνιο που ορίζεται ως εξής: x A= ± και y B= ± . Τι θα συµβεί αν η συχνότητα της µιας συνιστώσας διαταραχθεί έτσι ώστε:

1( ) A cos( )= ω +ϕx t t και 2( ) Bcos(( ) )= ω+ ε + ϕy t t .

Εξετάστε την ειδική περίπτωση: 1 2A 3, B 4, 2, / 4, 0, 0.2= = ω = ϕ = π ϕ = ε = . 20. Στον δισδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή αποδείξτε ότι ο λόγος των συχνοτήτων είναι ρητός αν και µόνο αν οι τροχιές είναι κλειστές. Αν ο λόγος των συχνοτήτων εί-ναι άρρητος τότε κάθε τροχιά είναι τοπολογικά παντού πυκνή µέσα στο περίγραµµα της κίνησης. 21. ∆υο µοναδιαίες µάζες είναι στερεωµένες µε ελατήρια σταθεράς > 0κ σε στα-θερά σηµεία και συνδέονται µεταξύ τους γραµµικά µε ελατήριο σταθεράς ′ > 0κ . Χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση δυναµικού:

2 2 21 2 1 2 1 2U( , ) ( ) ( )

2 2x x x x x - x

′= + +κ κ

προσδιορίστε τις εξισώσεις της κίνησης και τη γενική έκφραση των λύσεων τους. Προσδιορίστε µια αναγκαία συνθήκη για τα κ και ′κ ώστε η κίνηση των µαζών να είναι πάντα περιοδική. Αν ′ = 1κ , ποιες τιµές του κ πληρούν αυτή τη συνθήκη;

22. ∆υο µοναδιαίες µάζες συνδέονται µε ελατήριο σταθεράς > 0κ και η µια είναι στερεωµέµη σε σταθερό σηµείο µε ελατήριο σταθεράς ′ > 0κ . Προσδιορίστε τη συνάρτηση δυναµικού και τις εξισώσεις κίνησης. Υπάρχουν τιµές των κ και ′κ για τις οποίες η κίνηση των µαζών να είναι πάντα περιοδική;


23. Μια µάζα ισορροπεί αναρτηµένη στο άκρο δυο όµοιων ελατηρίων αµελητέας µάζας όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν η µάζα µετακινηθεί κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2 cm προσδιορίστε την περίοδο ταλάντωσης.

24. Σωµατίδιο κινείται στον ευκλείδειο χώρο 3 υπό την επίδραση δύναµης ορι-σµένης από τη συνάρτηση δυναµικού:

2 2 21 1 2 2 3 3

1

2U( ) ( )= +x x x + xκ κ κ .

Αν µια δεδοµένη στιγµή το σωµατίδιο βρίσκεται σε ένα οποιοδήποτε σηµείο του χώρου εκτός της αρχής υπάρχει περίπτωση να επιστρέψει στο σηµείο αυτό κάποια άλλη στιγµή; Εξετάστε τις ακόλουθες δυο περιπτώσεις:

1 2 31, 4, 16= = =κ κ κ και 1 2 31, 2, 5= = =κ κ κ .

25. Αποδείξτε ότι στα κεντρικά πεδία δυνάµεων οι τροχιές έχουν µηδενική στρέψη συνεπώς είναι επίπεδες και ότι το επίπεδο εξέλιξής τους διέρχεται από το κέντρο του πεδίου. Επίσης, αποδείξτε ότι στα κεντρικά πεδία δυνάµεων και µόνο σε αυτά ισχύει ο νόµος των εµβαδών του Kepler. 26. Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων µπορούν να υπάρξουν σηµεία ισορροπίας; Ευθύ-γραµµες οµαλές κινήσεις είναι εφικτές; Κυκλικές µη οµαλές κινήσεις είναι εφικτές; 27. Ποιες από τις ακόλουθες τροχιές πιστεύετε ότι δεν είναι πραγµατοποιήσιµες σε κεντρικά πεδία δυνάµεων;


28. Αποδείξτε ότι στα κεντρικά πεδία δυνάµεων κάθε φραγµένη τροχιά εξελίσσεται στο εσωτερικό ενός συγκεκριµένου δακτυλίου και ότι κάθε άξονας που ορίζεται από το κέντρο του πεδίου και µια αψίδα είναι άξονας συµµετρίας. 29. Αποδείξτε ότι στα κεντρικά πεδία δυνάµεων οι φραγµένες τροχιές είναι κλει-στές αν και µόνο αν η γωνία που ορίζεται από δυο διαδοχικές αψίδες είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π. Σε αντίθετη περίπτωση δείξτε ότι η τροχιά είναι τοπολογικά παντού πυκνή στο εσωτερικό του δακτυλίου εξέλιξής του. 30. Αποδείξτε ότι στα κεντρικά πεδία δυνάµεων που ορίζονται από τις ακόλουθες συναρτήσεις δυναµικού και µόνο σε αυτά οι φραγµένες τροχιές είναι όλες κλειστές:

U( ) /r k r= − ή U( ) 2r k r= , 0k > . 31. Εξετάστε την περιοδικότητα των φραγµένων τροχιών και την ύπαρξη κυκλικών τροχιών στα κεντρικά πεδία δυνάµεων που ορίζονται από το συναρτησιακό συντε-λεστή:

( )f r rα= ± , 1, 2α = ± ± .

32. Σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυ-νάµεων που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

2 2 21 2 3U( ) ln ( )x x x x= + + .

Αν είναι γνωστό ότι κάποια στιγµή το σωµατίδιο πέρασε από το σηµείο o (1,0,0)x = µε ταχύτητα o (0, 2,0)v = , προσδιορίστε την ενέγεια του, τη στροφορµή του, το επί-πεδο κίνησής του και δείξτε ότι διαγράφει ευσταθή κυκλική τροχιά µοναδιαίας ακτί-νας µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου o 2ω = . Αν περνούσε από το ίδιο σηµείο µε ταχύ-τητα o (1,1,0)v = , δείξτε ότι η τροχιά του εξελίσσεται στο εσωτερικό δακτυλίου µε ακτίνες που ορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης:

( )2 1 2 ln 1/ 2r r− = . ( 1 20,4321, 1,4682≈ ≈r r ). 33. Στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί ελκτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από το κέντρο του κινείται ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας. Αν κά-ποια στιγµή το σωµατίδιο πέρασε από το σηµείο o (1,0,0)x = µε ταχύτητα o (0,1,0)v = , προσδιορίστε την ενέγεια του, τη στροφορµή του, το επίπεδο κίνησής του και δείξτε ότι διαγράφει ευσταθή κυκλική τροχιά µοναδιαίας ακτίνας µε γωνιακή ταχύτητα µοναδιαίου µέτρου. Αν περνούσε από το ίδιο σηµείο µε ταχύτητα o (1,1,0)v = , δείξτε ότι η τροχιά του εξελίσσεται στο εσωτερικό δακτυλίου µε ακτίνες που ορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης:

( )2 1 ln 1/ 2r r− = . ( 1 20,5637, 2,5110≈ ≈r r ).


34. Στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί ελκτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο του κινείται ένα σωµατίδιο µοναδι-αίας µάζας. Προσδιορίστε την τροχιά του όταν γνωρίζετε ότι πέρασε από το σηµείο

o (1,0,0)x = µε ταχύτητα: (i) o (0,1,0)v = , (ii) o (1,1,0)v = . 35. Στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί απωστική δύναµη αντιστρόφως ανάλο-γη της απόστασης από το κέντρο του κινείται ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας έχο-ντας ενέργεια oE και µέτρο στροφορµής oΩ . ∆είξτε ότι το σωµατίδιο αποµακρύνε-ται από το κέντρο του πεδίου µε αυξανόµενη ταχύτητα χωρίς ποτέ να το έχει πλησι-άσει σε απόσταση µικρότερη αυτής που ορίζεται από τη θετική ρίζα της εξίσωσης:

( )2 2o oE ln / 2r r+ = Ω .

36. Στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί απωστική δύναµη αντιστρόφως ανάλο-γη του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο του κινείται ένα σωµατίδιο µονα-διαίας µάζας µε ενέργεια oE και µέτρο στροφορµής oΩ . ∆είξτε ότι το σωµατίδιο ουδέποτε πλησίασε το κέντρο του πεδίου σε απόσταση µικρότερη αυτής που ορίζε-ται από την εξίσωση:

2 2o o2E 2 0r r− −Ω = .

Γνωρίζοντας ότι κάποια στιγµή το σωµατίδιο πέρασε από το σηµείο o (1,0,0)x = µε ταχύτητα: (i) o (0,1,0)v = , (ii) o (1,1,0)v = , προσδιορίστε την τροχιά του και διαπιστώ-στε ότι πρόκειται για κλάδο υπερβολής εκκεντρότητας:

2o o1 2 Eε = + Ω .

37. Στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ασκεί ελκτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη του κύβου της απόστασης από το κέντρο του κινείται ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µά-ζας. ∆είξτε ότι είναι εφικτές οι ακόλουθες τροχιές:

1/r = θ , 1/ cosr = θ , 1/ chr = θ , 1/ shr = θ . 38. Προσδιορίστε τις τροχιές που έχει τη δυνατότητα να διαγράψει ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ορίζεται από το συναρτησιακό συντελεστή:

2( ) 1/f r r r= − − . 39. Προσδιορίστε τις τροχιές που έχει τη δυνατότητα να διαγράψει ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας µε στροφορµή µέτρου o 1Ω > .στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ορίζεται από το συναρτησιακό συντελεστή:

2 3

1 1( )f rr r

= − − .


40. Σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνά-µεων που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

6 4

3 5U( )rr r

= − .

Τι τροχιά διαγράφει µε µηδενική ενέργεια και στροφορµή µέτρου o 2Ω = ; Προσδι-ορίστε την τροχιά του για τις αρχικές συνθήκες:

(i) o (1,0,0)x = , o (0, 2,0)v = , (ii) o (3,0,0)x = , o (0, 2 /3,0)v = .

41. Σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνά-µεων που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

4 3

1 4U( )4 3

rr r

= − .

Αν την αρχική στιγµή απέχει από το κέντρο του πεδίου απόσταση o 1/ 2r = και έχει στροφορµή µέτρου o 2Ω = ποια θα είναι η κίνησή του; Τι κινήσεις έχει τη δυνατότη-τα να πραγµατοποιήσει µε ενεργειακή τιµή (i) oE 0= , (ii) oE 5/12= , έχοντας στρο-φορµή µέτρου o 3Ω = ; Προσδιορίστε την τροχιά του για τις αρχικές συνθήκες:

(i) o (1/ 3,0,0)x = , o (0,3 3,0)v = , (ii) o (1,0,0)x = , o (0, 3,0)v = . 42. Σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνά-µεων που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

1U( ) rrr e

= − .

Το σωµατίδιο αυτό µπορεί να διαγράψει ευσταθή ή ασταθή κυκλική τροχιά; Επίσης, έχει τη δυνατότητα να διαγράψει φραγµένη τροχιά µε θετική ενέργεια; 43. Σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνά-µεων που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού:

2

1U( ) rrr e

= − .

∆είξτε ότι το σωµατίδιο αυτό έχει τη δυνατότητα να διαγράψει κυκλική τροχιά και εξετάστε την ευστάθεια ή αστάθειά της ανάλογα µε την ακτίνα της. 44. Ένα σωµατίδιο έχει τη δυνατότητα να πραγµατοποιήσει την ίδια κίνηση µε ίδια χαρακτηριστικά ενέργειας και στροφορµής σε δυο διαφορετικά κεντρικά πεδία δυ-νάµεων; Εξετάστε την περίπτωση κυκλικών κινήσεων µοναδιαίας ακτίνας.


45. Σε ποιο κεντρικό πεδίο δυνάµεων ένα σωµατίδιο µπορεί να διαγράψει τη σπει-ροειδή τροχιά er θ−= ; Σε αυτό το πεδίο δυνάµεων το σωµατίδιο µπορεί να διαγρά-ψει την τροχιά 1/r = θ ; Προσδιορίστε το κεντρικό πεδίο δυνάµεων στο οποίο ένα σωµατίδιο µπορεί να διαγράψει τον ληµνίσκο µε εξίσωση cos22r = θ ; 46. Στηριζόµενοι στον 1ο νόµο του Kepler προσδιορίστε το κεντρικό πεδίο δυνάµε-ων που προκαλεί την κίνηση των πλανητών στο ηλιακό µας σύστηµα 47. Αποδείξτε τον 3ο νόµο του Kepler που δηλώνει ότι τα τετράγωνα των περιόδων περιφοράς των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ανάλογα προς τους κύβους των µεγάλων αξόνων των τροχιών τους. 48. Προσδιορίστε την περίοδο περιφοράς ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο θεωρώ-ντας γνωστούς του ηµιάξονες της ελλειπτικής τροχιάς του. 49. Η µέση απόσταση του Άρη από τον Ήλιο είναι 1524 φορές µικρότερη από εκεί-νη της Γης από τον Ήλιο. Πόσα γήινα χρόνια απαιτούνται ώστε ο Άρης να πραγµα-τοποιήσει µια πλήρη περιφορά γύρω από τον Ήλιο; 50. Ανάµεσα στους πλανήτες Άρη και ∆ία υπάρχει ένα πλήθος αστεροειδών που κινούνται σε µια ζώνη µε µέση απόσταση 2,8 AU από τον Ήλιο. Θα µπορούσαµε να σκεφτούµε ότι ίσως αυτοί οι αστεροειδείς προήλθαν από την έκρηξη ενός άγνωστου πλανήτη που υπήρχε κάποτε στο ηλιακό σύστηµα. Αριθµώντας διαδοχικά τους υπάρχοντες πλανήτες από τον Ερµή έως τον Πλούτωνα και συµβολίζοντας τη µέση απόσταση του n-οστού πλανήτη από τον Ήλιο µε nr AU, προσδιορίστε σε ηµιλογα-ριθµική κλίµακα τα αντίστοιχα σηµεία µε τεταγµένες nr 4− AU, n>1. Λαµβάνοντας υπόψη τον αγνοούµενο πλανήτη και επαναλαµβάνοντας την αρίθµηση, διαπιστώστε ότι τα σηµεία έξι πλανητών κείνται στην ίδια ευθεία σύµφωνα µε τη σχέση

nnr 2 c 0, 4= + και προσδιορίστε την τιµή του c.*

51. Κάποτε πίστεψαν στην ύπαρξη ενός πλανήτη, του Ήφαιστου, που περιφερόταν γύρω από τον Ήλιο σε µέση απόσταση 0,2 AU. Αν αυτός ο πλανήτης υπήρχε σε πόσα γήινα χρόνια θα πραγµατοποιούσε µια πλήρη περιφορά γύρω από τον Ήλιο; 52. Σε ποιο ενδιάµεσο σηµείο µεταξύ Γης και Σελήνης ένα σώµα δέχεται από τη Γη και τη Σελήνη δύναµη ίδιου µέτρου; 53. Αν ένα σώµα εκτοξευτεί από την επιφάνεια της γης µε ταχύτητα µικρότερη των 11,2km/s αποδείξτε ότι δεν θα µπορέσει να εγκαταλείψει το πεδίο της γήινης βαρύ-τητας και αν εκτοξευτεί µε ταχύτητα µικρότερη των 16,6km/s δεν θα µπορέσει να εγκαταλείψει το ηλιακό µας σύστηµα.

* Όταν το 1772 δηµοσιεύτηκε από τον Johann Bode αυτή η παρατήρηση δεν ήταν γνωστή η ύπαρξη των αστεροειδών και έως σήµερα ο εµπειρικός αυτός κανόνας παραµένει χωρίς θεωρητική θεµελίωση.


54. Κατά την τοποθέτηση ενός δορυφόρου γύρω από τη γη σε κυκλική τροχιά ακτίνας 300 km, η διεύθυνση του διανύσµατος της ταχύτητας υπέστη απόκλιση προς την πλευρά της γης κατά o1 . Επαληθεύστε ότι το περίγειο της τροχιάς θα µει-ωθεί περίπου κατά 110 km.

55. Όταν ο κοσµοναύτης A. Léonov έκανε τον περίπατό του στο διάστηµα, ενώ το διαστηµόπλοιό του εκτελούσε κυκλική τροχιά γύρω από τη γη, έριξε προς την πλευ-ρά της γης το φακό της κάµεράς του µε ταχύτητα 10m/sec. Ποια τροχιά διέγραψε ο φακός; Απάντηση.* Αναφορικά προς το διαστηµόπλοιο, ο φακός διέγραψε ελλειπτική τροχιά της οποίας ο µεγάλος και ο µικρός άξονας είχαν αντίστοιχα µήκη περίπου 32 km και 16 km. Ο φακός διέτρεξε στην τροχιά του περίπου 30 km σε 1

21 ώρα και τότε ο Léonov τον είδε να περνά δίπλα του, σε απόσταση µερικών δεκάδων µέτρων, στην αντίθετη πλευρά από εκείνη που έβλεπε τη γη.

* Από το περίφηµο βιβλίο του V. Béletski, Κίνηση ∆ιαστηµοπλοίων, Εκδόσεις Naouka, Μόσχα 1972. Βλ. Μαθηµατικές Μέθοδοι Κλασικής Μηχανικής, V. I. Arnold, Εκδόσεις Mir, Μόσχα 1976.

meca 2 2006 final - Πανεπιστήμιο Πατρώνspn/pdf/meca 2 2006...

Documents