mÓdulo iii Álgebra ecuaciones · 2019. 8. 22. · iii) 4 𝑥𝑥 + 8 = 2 a) 𝑥𝑥 = 2 3. b)...

ANEXO CIU 2019

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PRODUCCIÓN E INNOVACIONES TECNOLÓGICAS:

LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

TECNICATURA EN ANALISTA PROGRAMADOR UNIVERSITARIO

MÓDULO III

ÁLGEBRA

ECUACIONES

Universidad Nacional de José C. Paz Secretaría Académica

Dirección General de Acceso y Apoyo al Estudiante Equipo de Coordinación y Asesores de Matemática Ciclo de Inicio Universitario

1

INTRODUCCIÓN

Desde el siglo XVII a.c, los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones.

En el siglo XVI a.c, los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico aja (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24

Alrededor del siglo I d.c., los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones. Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diofanto (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era la geometría. En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa las ecuaciones de primer grado. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna. El planteamiento de ecuaciones en matemáticas responde a la necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los pensamientos. Diofanto de Alejandría era un matemático de la antigua Grecia y muchos lo consideran el padre del álgebra moderna. Sin embargo, no mucho se sabe sobre su vida más allá de lo que se conservó de su obra maestra: Aritmética. Lo que si se conoce proviene de una antología escrita siglos después por Metrodorus, además de la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema:

"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

Al finalizar este módulo, te proponemos que resuelvas este problema planteando la ecuación correspondiente.



2

ECUACIONES.

Definición: Llamamos ecuación en una variable(x), llamada incógnita, a una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen a dicha variable.

Cada valor de la variable (𝒙𝒙) para el que se verifica o satisface la ecuación, se la denomina solución de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones se la denomina conjunto solución de la ecuación.

Una ecuación lineal con una incógnita puede tener ninguna, una o más de una solución. Cuando ningún valor de la variable (𝒙𝒙) satisface a la ecuación, diremos que el conjunto solución es vacio y lo simbolizamos: S = Ø o bien S = {}.

Cuando nos enfrentamos a una ecuación más complicada, hay que empezar por transformarla en otras que sean más simples, que sean equivalentes (tienen la misma solución o soluciones).

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución.

Para asegurarse que el valor encontrado es la solución buscada, es conveniente siempre verificar en la ecuación original y construir el conjunto solución únicamente con aquellos valores que la satisfacen.

Entonces, resolver una ecuación es encontrar su solución(o soluciones), o llegar a la conclusión de que no tiene.

DIFERENCIA ENTRE ECUACIÓN E IDENTIDAD Una identidad es una igualdad algebraica válida para cualquier número real que se le asigne a la o las variables que intervienen a diferencia de una ecuación, que sólo es válida para determinados valores de la variable.

Ejemplos:

● 12 .(2 𝑎𝑎 + 4) — 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 es una igualdad algebraica, sólo es cierta para 𝑎𝑎 = 2

● La expresión 2. (𝑥𝑥 — 5) + 1 = 2𝑥𝑥 — 9 es una identidad, pues se verifica para todos los números reales.

● Otra expresión que da prueba de una identidad es 𝑎𝑎𝑛𝑛 .𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑚𝑚

La ventaja que nos ofrecen las identidades es que se puede transformar una expresión en otra equivalente mediante operaciones elementales.

Según el tipo de expresión algebraica que intervienen, las ecuaciones se clasifican en: racionales (enteras y fraccionarias) e irracionales.

Ejemplos:

Racionales Enteras: 2𝑥𝑥 + 5 = − 6𝑥𝑥 + 8 ; 𝑥𝑥2 – 4𝑥𝑥 + 3 = 0

I) Racionales

Racionales Fraccionarias: 𝑥𝑥−2𝑥𝑥−1

= 𝑥𝑥−3𝑥𝑥

; 2𝑥𝑥−3

= 2

II) Irracionales: √𝑥𝑥 + 6 = 𝑥𝑥



3

Ejemplos resueltos de ecuaciones Ecuaciones lineales enteras con coeficientes enteros y fraccionarios

a) 𝟐𝟐 – 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑

𝟐𝟐

Agrupamos términos semejantes en cada miembro de la ecuación, en consecuencia nos queda:

– 12 𝑥𝑥 =

32 – 2, Operamos en el segundo miembro y luego pasamos – 1

2 dividiendo

x = – 12 : (–

12 ) Conjunto solución: S:{1}

Verificación: 2 – 12 (1) = 3

2 => 2 –

12 = 3

2 => 3

2= 3

2

b) (𝟐𝟐𝒙𝒙 – 𝟑𝟑).𝟔𝟔 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 = –𝟒𝟒 Separamos en términos en el primer miembro y aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta.

(2𝑥𝑥 – 3).6 + 2𝑥𝑥 = – 4 => 12𝑥𝑥 – 18 + 2𝑥𝑥 = – 4

12𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = – 4 + 18 Agrupamos términos semejantes en ambos miembros, operamos

entre ellos y despejamos la variable 14 𝑥𝑥 = 14

𝑥𝑥 = 14: 14 Conjunto solución: S: {1} Verificación: �2𝑥𝑥 – 3�. 6 + 2𝑥𝑥 = – 4 => �2.𝟏𝟏 – 3�. 6 + 2.𝟏𝟏 =– 4 => �2 – 3�. 6 + 2 =– 4 => => – 1.6 + 2 = – 4 => – 6 + 2 = – 4 => – 4 = – 4

c) (– 𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙𝒙). (– 𝟐𝟐) = (𝟐𝟐 – 𝒙𝒙). 𝟏𝟏𝟐𝟐

10 – 𝑥𝑥 = 1 − 12 𝑥𝑥 Aplicamos la propiedad distributiva en ambos miembros

– 𝑥𝑥 + 12 𝑥𝑥 = 1 – 10 Agrupamos términos semejantes en ambos miembros

– 12 𝑥𝑥 = – 9 Operamos entre ellos

𝑥𝑥 = – 9: (– 12 ) Conjunto solución: S: {18}

Verificación: (– 5 + 12 𝟏𝟏𝟏𝟏). (– 2) = (2 – 𝟏𝟏𝟏𝟏). 1

2 => (– 5 + 9). ( – 2) = (– 16). 1

2 => – 8 = – 8

d) 𝟏𝟏−𝒙𝒙𝟐𝟐

= 𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟑𝟑

Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones

3. (1 – 𝑥𝑥) = 2. (1 + 𝑥𝑥) Aplicamos la propiedad distributiva en ambos miembros 3 – 3𝑥𝑥 = 2 + 2𝑥𝑥 – 3𝑥𝑥 – 2𝑥𝑥 = 2 – 3 Agrupamos términos semejantes en ambos miembros y operamos – 5𝑥𝑥 = – 1 Despejamos 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = – 1: ( – 5) Conjunto solución S:{ 𝟏𝟏𝟓𝟓

}

Verificación: 1−𝟏𝟏𝟓𝟓2

= 1+𝟏𝟏𝟓𝟓3

=> 452

= 653 => 4

5: 2 = 6

5: 3 => 4

5. 12

= 65

. 13 => 2

5= 2

5

e) 3.(2𝑥𝑥+1)

4 – 3+5𝑥𝑥6

+ 4𝑥𝑥 + 1+𝑥𝑥3

= 15112

+ 𝑥𝑥



4

Resolvemos toda operación que tengamos en el numerador de las fracciones. En este caso, tenemos que aplicar la propiedad distributiva en el primer término del primer miembro y nos queda:

6.𝑥𝑥+34

– 3+5𝑥𝑥6

+ 4𝑥𝑥 + 1+𝑥𝑥3

= 15112

+ 𝑥𝑥 Aquí tenemos dos posibilidades de resolución

1º) Separamos el denominador de cada fracción para cada término del numerador

6𝑥𝑥4

+ 34 –

36 – 5𝑥𝑥

6 + 4𝑥𝑥 +

13 + 𝑥𝑥

3 = 151

12 + 𝑥𝑥 Operamos con términos semejantes

60𝑥𝑥12

+ 712

= 15112

+ 𝑥𝑥 Simplificamos 60𝑥𝑥12

= 5𝑥𝑥 y realizamos los pasajes de términos

5𝑥𝑥 – 𝑥𝑥 = 15112

– 712

Operamos con términos semejantes 4𝑥𝑥 = 12 𝑥𝑥 = 12: 4 Conjunto solución S:{3} 2º) Otra opción es buscar común denominador en cada miembro

3.(6𝑥𝑥+3)− 2.(3+5𝑥𝑥)+ 12.4𝑥𝑥+4.(1+𝑥𝑥)

12 = 151+12 .𝑥𝑥

12 Simplificamos el 12 del denominador

18𝑥𝑥 + 9 – 6 – 10𝑥𝑥 + 48𝑥𝑥 + 4 + 4𝑥𝑥 = 151 + 12𝑥𝑥 Aplicamos distributivas y operamos 60𝑥𝑥 + 7 = 151 + 12𝑥𝑥

60𝑥𝑥 – 12 𝑥𝑥 = 151 – 7 Realizamos el pasaje de términos 48𝑥𝑥 = 144 𝑥𝑥 = 144:𝟒𝟒𝟏𝟏 Conjunto solución S:{3}

Verificación: 3.(2.𝟑𝟑+1)

4 – 3+5.𝟑𝟑6

+ 4.3 + 1+𝟑𝟑3

= 15112

+ 3 => 214

– 3 + 12 + 43 =

18712

=>

=> 18712

= 18712

Como podes observar, llegas a un mismo resultado. Tenés la opción de elegir la forma que te resulte más fácil.

Ecuaciones lineales fraccionarias Las ecuaciones que aquí trabajamos son las que se resuelven aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.

a) 2

𝑥𝑥+1= 3

𝑥𝑥−2 con x≠ -1 y x≠ 2, pues anulan el denominador

2. (𝑥𝑥 – 2) = 3. (𝑥𝑥 + 1) Aplicamos propiedad fundamental de las proporciones 2𝑥𝑥 – 4 = 3𝑥𝑥 + 3 Aplicamos propiedad distributiva 2𝑥𝑥 – 3𝑥𝑥 = 3 + 4 Pasaje de términos – 𝑥𝑥 = 7 Conjunto solución S:{-7

Verificación: 2−7+1

= 3−7−2

=> 𝟐𝟐−𝟔𝟔

= 𝟑𝟑−𝟗𝟗

=> −𝟏𝟏𝟑𝟑

= −𝟏𝟏𝟑𝟑

b) 8 𝑥𝑥2−2+3𝑥𝑥2𝑥𝑥−1

= 4𝑥𝑥

(2𝑥𝑥 – 1) .4𝑥𝑥 = 8 𝑥𝑥2 − 2 + 3𝑥𝑥 Aplicamos propiedad fundamental de las proporciones 8𝑥𝑥2 – 4𝑥𝑥 = 8𝑥𝑥2 – 2 + 3𝑥𝑥 Cancelamos los términos cuadráticos – 4𝑥𝑥 – 3𝑥𝑥 = – 2 Pasaje de términos y operamos con términos semejantes

– 7𝑥𝑥 = – 2

𝑥𝑥 = – 2: (– 7) Conjunto solución S:{𝟐𝟐𝟕𝟕 } ó S:{𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏𝟒𝟒�� }



5

Verificación: 8.(𝟐𝟐𝟕𝟕)2−2+3.(𝟐𝟐𝟕𝟕)

2(𝟐𝟐𝟕𝟕)−1 = 4.2

7 =>

𝟑𝟑𝟐𝟐𝟒𝟒𝟗𝟗− 𝟐𝟐+𝟔𝟔𝟕𝟕𝟒𝟒𝟕𝟕− 𝟏𝟏

= 𝟏𝟏𝟕𝟕 =>

−𝟐𝟐𝟒𝟒𝟒𝟒𝟗𝟗−𝟑𝟑𝟕𝟕

= 𝟏𝟏𝟕𝟕 => −𝟐𝟐𝟒𝟒

𝟒𝟒𝟗𝟗. (−𝟕𝟕

𝟑𝟑) = 𝟏𝟏

𝟕𝟕 =>

=> 𝟏𝟏𝟕𝟕

= 𝟏𝟏𝟕𝟕

Actividad Nº1 Encierra con un círculo el valor que es solución de la ecuación. Fundamenta tu respuesta resolviendo en cada caso.

i) 𝑥𝑥 – (– 1 3x) = – 1 – 𝑥𝑥 a) 𝑥𝑥 =

37 b) 𝑥𝑥 = −3

7 c) 𝑥𝑥 = −7

3

ii) 𝑥𝑥 – (– 𝑥𝑥) + 5𝑥𝑥 = – 6 + 𝑥𝑥 a) 𝑥𝑥 = – 1 b) 𝑥𝑥 = 1 c) 𝑥𝑥 = 2

iii) 4𝑥𝑥

+ 8 = 2 a) 𝑥𝑥 = 23 b) 𝑥𝑥 = −2

3 c) 𝑥𝑥 = 6

Actividad Nº2 Indica si las siguientes ecuaciones tienen una solución, varias soluciones o ninguna. Fundamenta tu respuesta resolviendo cada una de ellas. i) 3 + 8. (𝑥𝑥 + 1) = 5 + 8𝑥𝑥 ii) 3𝑥𝑥 – 1 – 3. (𝑥𝑥 + 2) = 𝑥𝑥 – 4 iii) 2. (3𝑚𝑚 – 5) = 3. (1 + 2𝑚𝑚) iv) 3𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 3 = 4𝑎𝑎 + 3 v) 3. (𝑥𝑥 – 2) + 1 = 𝑥𝑥 – 2. ( 4 – 𝑥𝑥) vi) 2𝑥𝑥 – 𝑥𝑥. (𝑥𝑥 – 1) + 4 = 3𝑥𝑥 – (𝑥𝑥 – 2). (𝑥𝑥 + 2)

vii) 5𝑥𝑥 – 52 =

54 . ( – 2) + 5𝑥𝑥

viii) 9𝑦𝑦 – (12) -1 = 9𝑦𝑦 + 6

ix) 72 𝑥𝑥 – 3 = 1 –

32

x) (𝑥𝑥 + 1)2 = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 Ecuaciones cuadráticas Recuerda!!!

La ecuación: 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃.𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 con 𝒂𝒂 ≠ 0 y 𝒂𝒂,𝒃𝒃, 𝒄𝒄 pertenecientes al conjunto de números reales (ℝ), es una ecuación de segundo grado, donde: 𝒂𝒂𝑥𝑥2 es el término cuadrático o de segundo grado 𝒃𝒃𝑥𝑥 es el término lineal o de primer grado 𝒄𝒄 es el término independiente. Para resolver esta ecuación y encontrar el conjunto solución, recurrimos a la fórmula cuadrática o fórmula resolvente que nos permite hallar los valores de 𝒙𝒙𝟏𝟏 y 𝒙𝒙𝟐𝟐:

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 = −𝑏𝑏 ±√𝑏𝑏2−4.𝑎𝑎.𝑐𝑐

2.𝑎𝑎

Según el valor que tome el discriminante de la ecuación: ∆ = 𝑏𝑏2 − 4.𝑎𝑎. 𝑐𝑐 , tendremos: a) 𝑆𝑆𝑆𝑆 ∆> 0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥1 ∈ ℝ 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 ∈ ℝ 𝑦𝑦 𝑥𝑥1 ≠ 𝑥𝑥2 b) 𝑆𝑆𝑆𝑆 ∆= 0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥1 ∈ ℝ 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 ∈ ℝ 𝑦𝑦 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 c) 𝑆𝑆𝑆𝑆 ∆< 0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥11𝑦𝑦 𝑥𝑥2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒ú𝑚𝑚𝑒𝑒𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒.

Ejemplos resueltos: a) 𝟒𝟒𝒙𝒙. (𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏) – 𝟏𝟏 = 0 Aplicamos la propiedad distributiva

12𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 – 1 = 0 Aplicamos la fórmula resolvente 𝑎𝑎 = 12 𝑏𝑏 = 4 𝑐𝑐 = – 1



6

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 = −4 ±�42−4.12.(−1)

2.12 => 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −4 ±√16+48

24 =>𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 = −4 ±√64

24 =>

=> 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −4 ±824 𝒙𝒙𝟏𝟏 = =

−4+824 => 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 1

6

Conjunto solución S: { 𝟏𝟏𝟔𝟔

; −𝟏𝟏𝟐𝟐}

𝑥𝑥2 = = −4−824 => 𝑥𝑥2 = −

12

Verificación:

Para 𝑥𝑥1 = 16 4(1

6 ). [3(1

6 ) + 1] – 1 = 0 =>

23 [12 + 1] – 1 = 0 => 2

3 [32] – 1 = 0 => 0 = 0

Para 𝑥𝑥2 = − 12 4(−1

2 ). [3(-1

2 ) + 1] – 1 = 0 =>−2[-3

2 + 1] – 1 = 0 => −2[-1

2] – 1 = 0 => 0 = 0

b) 𝒙𝒙𝟑𝟑

= 𝟏𝟏𝒙𝒙+𝟐𝟐 (𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 ≠ −2) Aplicamos propiedad fundamental de las proporciones

(𝑥𝑥 + 2). 𝑥𝑥 = 3.8 Aplicamos propiedad distributiva en el primer miembro 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 = 24 Pasaje de 24 al primer miembro y aplicamos fórmula resolvente

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 24 = 0 a = 1 b= 2 c = - 24

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −2 ±�22−4.1.(−24)

2.1 => 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −2 ±√4+96

2 => 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −2 ±√100

2 =>

=>𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −2 ±10

2 𝑥𝑥1 = = −2+10

2 => 𝑥𝑥1 = 𝟒𝟒

Conjunto solución S:{𝟒𝟒; −𝟔𝟔}

𝑥𝑥2= = −2−10

2 => 𝑥𝑥2 = −𝟔𝟔

Verificación:

Para 𝑥𝑥1 = 4 43

= 84+2 =>

43

= 86 => 4

3=

43

Para 𝑥𝑥2 = −6 −63

= 8−6+2 => – 2 =

8−4

=> – 2 = – 2

C) 𝑥𝑥+13

= 5𝑥𝑥 (con 𝑥𝑥 ≠ 0) Aplicamos propiedad fundamental de las proporciones

(𝑥𝑥 + 1). 𝑥𝑥 = 5.3 Aplicamos propiedad distributiva en el primer miembro 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = 15 Pasaje de 15 al primer miembro y aplicamos fórmula resolvente 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 15 = 0 a = 1 b = 1 c = - 15

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −1 ±�12−4.1.(−15)

2.1 => 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −1 ±√1+60

2 => 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −1 ±√61

2 =>

=>𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2= −1 ±7,81

2 𝑥𝑥1 = = −1+7,81

2 => 𝑥𝑥1 = 𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓

𝑥𝑥2= = −1−7,81

2 => 𝑥𝑥2 = −𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓

Conjunto solución S:{𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓; −𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓}



7

d) 𝟏𝟏. (𝒙𝒙 + 𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. (𝒙𝒙 + 𝟑𝟑)𝟐𝟐 8. (𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥+ 4) = 2. (𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥+ 9) Desarrollamos cuadrados de binomios en ambos miembros 8𝑥𝑥2 + 32𝑥𝑥 + 32 = 2𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 + 18 Aplicamos propiedad distributiva en ambos miembros 8𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥2 + 32𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 + 32 − 18 = 0 Pasaje de términos y agrupamos términos semejantes 6𝑥𝑥2 + 20𝑥𝑥 + 14 = 0 Operamos con términos semejantes 𝒂𝒂 = 6 𝒃𝒃 = 20 𝒄𝒄 = 14

𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2 = −20 ±√202−4.6.14

2.6 => 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2 = −20 ±√400−336

12 => 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2 = −20 ±√64

12 =>

=>𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2 = −20 ±812 𝑥𝑥1 =

−20+812 => 𝑥𝑥1 = −𝟏𝟏

Conjunto solución S:{−𝟏𝟏;−𝟕𝟕𝟑𝟑}

𝑥𝑥2 = −20−812 => 𝑥𝑥2 = −𝟕𝟕

𝟑𝟑

Verificación: Para 𝑥𝑥1 = −1 8. (−1 + 2)2 = 2. (−1 + 3)2 => 8.12 = 2.22 => 8 = 2.4 => 8 = 8

Para 𝑥𝑥2 = −1 8.(-73 + 2)2 = 2.(-7

3 + 3)2 => 8.(−1

3)2 = 2.(2

3)2 =>8.

19 = 2.

49 => 𝟏𝟏

𝟗𝟗= 𝟏𝟏

𝟗𝟗

c) 𝟒𝟒. (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 Resolvemos el cuadrado de binomio y aplicamos 4. ( 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1) + 16 = 0 Aplicamos propiedad distributiva 4𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 4 + 16 = 0 Operamos con términos semejantes 4𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 20 = 0 Aplicamos la fórmula resolvente

𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2 = −8 ±√82−4.4.20

2.4 => 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2= −8 ±√64−320

8 => 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2= −8 ±√−256

8

En este caso no hay solución dentro del conjunto de números reales, los valores de 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 son pares de números complejos conjugados. ¿Cómo determinar el Dominio natural en una ecuación? El dominio natural de una variable en una ecuación es el conjunto de valores permitidos para que la ecuación tenga sentido. Proponemos algunos ejemplos para comprender mejor cómo hallar el dominio en algunas ecuaciones.

a) 3

𝑥𝑥+5= 2

En este caso estamos frente a una ecuación fraccionaria donde la variable se encuentra en el denominador. Para ellos debemos tener presente que el denominador no debe ser cero, entonces, buscamos aquellos valores que lo anulan: 𝑥𝑥 + 5 ≠ 0 => 𝑥𝑥 ≠ −5 Podemos afirmar que el dominio natural de esta ecuación es: Dom.: ℝ − {−𝟓𝟓} Resolvemos la ecuación: 3 = 2. (𝑥𝑥 + 5) => 3 = 2𝑥𝑥 + 10 => 3 − 10 = 2𝑥𝑥 => 𝒙𝒙 = −𝟕𝟕

𝟐𝟐

b) −18𝑥𝑥

= 6 En esta ecuación fraccionaria el denominador es 𝑥𝑥, por lo tanto el dominio natural lo buscamos como en el ejemplo anterior 𝑥𝑥 ≠ 0. El dominio de la ecuación planteada es: Dom.: ℝ − {𝟎𝟎} Resolvemos la ecuación: −18 = 6. 𝑥𝑥 => −18: 6 = 𝑥𝑥 => 𝒙𝒙 = −𝟑𝟑



8

c) 2𝑥𝑥 + 5 = 10 Al ser una ecuación entera, de primer grado o lineal, no hay ningún valor problemático como por ejemplo, dividir por cero, en consecuencia el dominio de la ecuación es Dom.: ℝ Resolvemos: 2𝑥𝑥 = 10 − 5 => 𝑥𝑥 = 5: 2 => 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓 d) 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 = 2 En este caso la ecuación también es entera de grado dos o cuadrática, en consecuencia, el dominio es el conjunto de los números reales Dom.: ℝ e) √2𝑥𝑥 − 3 = 3 Esta ecuación es de tipo irracional, su resolución la veremos al final del módulo. Para encontrar el dominio tenemos en cuenta que si el índice de una raíz es par, su radicando no debe ser negativo para que tenga solución. Por lo tanto 2𝑥𝑥 − 3 debe ser mayor o igual que cero para poder calcular la raíz que tenga solución dentro del conjunto de números reales: 2𝑥𝑥 + 3 ≥ 0 => 2𝑥𝑥 ≥ −3 => 𝑥𝑥 ≥ −3

2 Dom.: [−𝟑𝟑

𝟐𝟐; +∞)

Actividad Nº3 Halla el dominio natural y resuelve cada una de las siguientes ecuaciones verificando también el conjunto solución. Ecuaciones Enteras

i) 60 = 0.3𝑥𝑥 ii) 6𝑥𝑥 – 10 = 3.5𝑥𝑥 iii) 0.03. (𝑥𝑥 + 200) = 45

iv) 15𝑥𝑥 +

13𝑥𝑥 – 1 =

12𝑥𝑥

v) 4𝑥𝑥+13

= 12𝑥𝑥−3

7

vi) 9𝑥𝑥2 = 4 vii) 𝑥𝑥2– 1 = 8

Ecuaciones Fraccionarias

i) 12 =

3𝑥𝑥+2

ii) 5

𝑥𝑥−7 =

3𝑥𝑥−2

iii) 5 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥+2 = 1

Actividad N°4 Encuentra, de ser posible, los valor de 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 que pertenezcan al conjunto de números reales.

a) −𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 15 = 0 d) 4𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 6 = 0 g) 𝑥𝑥2 − 6 = 19 b) 2𝑥𝑥 + 3 = −4𝑥𝑥2 e) 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = 3 c) 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 16 = 0 f) 9𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 = 0



9

Actividad N°5 Halla el dominio natural y encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 3𝑥𝑥2 – 11𝑥𝑥 – 4 = 0 f) ( 𝑥𝑥 + 1). (3𝑥𝑥 + 3) = 2. (𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 1) a) 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 – 2 = 0 g) 3. (𝑥𝑥 + 1). (𝑥𝑥 – 2) = 4𝑥𝑥. ( 𝑥𝑥 – 3 ) + 2

b) 𝑥𝑥2 – 2𝑥𝑥 − 32 = 0

c) 5 – 𝑥𝑥 = 1

𝑥𝑥−3

d) (2𝑥𝑥 – 1)2 – 9 = 0

e) 2𝑥𝑥. (𝑥𝑥 – 5) + 3𝑥𝑥 = 10. (12 – 𝑥𝑥)

Ecuaciones que se expresan como el producto de varios factores

La propiedad del producto cero simplemente establece que si a.b = 0, entonces, será a = 0 o b = 0 o ambas son iguales a cero. Entonces, un producto de factores es cero si y sólo si uno o más de los factores es cero. . 𝑘𝑘. (𝑥𝑥 – 𝑝𝑝). (𝑥𝑥 – 𝑞𝑞) = 0 => (𝑥𝑥 –𝑝𝑝) = 0 ó (𝑥𝑥 – 𝑞𝑞) = 0 Ejemplo:

4. ( 𝑥𝑥 – 2). (2𝑥𝑥 + 3) = 0 𝑥𝑥 – 2 = 0 ó 2𝑥𝑥 + 3 = 0

𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ó x = −𝟑𝟑𝟐𝟐 Conjunto solución S:{𝟐𝟐;−𝟑𝟑

𝟐𝟐 } ¿Se podría aplicar propiedad distributiva y luego, en este caso, resolver la ecuación que nos queda aplicando la fórmula resolvente? Veamos: 4. ( 𝑥𝑥 – 2). (2𝑥𝑥 + 3) = 0 ( 4𝑥𝑥 – 8). (2𝑥𝑥 + 3) = 0 Aplicamos distributiva con el 4 8𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 – 16𝑥𝑥 – 24 = 0 Aplicamos distributiva de la diferencia por la suma

8𝑥𝑥2 – 4𝑥𝑥 – 24 = 0 Operamos entre términos semejantes 𝑎𝑎 = 8 𝑏𝑏 = – 4 𝑐𝑐 = – 24

𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2 = 4 ±�(−4)2−4.8.(−24)

2.8 => 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2= 4 ±√16+768

16 => 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2= 4 ±√784

16 =>

=> 𝑥𝑥1 ,𝑥𝑥2= 4 ±2816 𝑥𝑥1=

4+2816

=> 𝑥𝑥1= 𝟐𝟐

𝑥𝑥2 = 4−2816 => 𝑥𝑥2=−

𝟑𝟑𝟐𝟐

Como podemos observar, llegamos a los mismos valores de 𝑥𝑥, pero lo más rápido y sin riesgo de equivocarte es resolver la ecuación por el primer camino que te planteamos, ¿No te parece?!!!!!

Verificación: Para 𝑥𝑥 = 2 => 4. (2 – 2). (2.2 + 3) = 0 => 4.0 .7 = 0 => 0 = 0

Para 𝑥𝑥 = −𝟑𝟑𝟐𝟐 => 4.( −𝟑𝟑

𝟐𝟐 – 2). [2. (−𝟑𝟑

𝟐𝟐) + 3] = 0 => 4. (−𝟕𝟕

𝟐𝟐 ).0 = 0 => 0 = 0



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Actividad N°6 Encuentra el conjunto solución en las siguientes ecuaciones.

a) (𝑥𝑥 + 1). (𝑥𝑥 – 4) = 0 b) 2. (𝑥𝑥 – 7). (𝑥𝑥 − 3) = 0 c) (2𝑥𝑥 + 3). (5 – 𝑥𝑥). (𝑥𝑥 – 4) = 0

Ecuaciones con módulo Según definimos en el módulo I, el módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero en la recta real.

|𝑎𝑎| = 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 – 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑎𝑎 < 0 |𝑥𝑥| = 6 => 𝒙𝒙 = 𝟔𝟔 ó 𝒙𝒙 = − 𝟔𝟔

Para resolver una ecuación con módulo aplicamos la definición: |𝑥𝑥| = 𝑎𝑎 => 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ó 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎 Ejemplos: 𝑥𝑥 + 5 = 12 => 𝑥𝑥 = 12 – 5 => 𝒙𝒙 = 𝟕𝟕

a) |𝒙𝒙 + 𝟓𝟓| = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑥𝑥 + 5 = −12 => 𝑥𝑥 = −12 – 5 => 𝒙𝒙 = −𝟏𝟏𝟕𝟕 Conjunto solución S:{𝟕𝟕; −𝟏𝟏𝟕𝟕} Verificación: |7 + 5| = |12| = 12

|−17 + 5| = |−12| = 12 b) 𝟑𝟑. |𝒙𝒙 − 𝟓𝟓| + 𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟑𝟑

3. |𝑥𝑥 − 5|= 13 – 7 => |𝑥𝑥 − 5| = 6 ∶ 3 =>|𝑥𝑥 − 5| = 2=>𝑥𝑥– 5 = 2 =>𝒙𝒙 = 𝟕𝟕 ó 𝑥𝑥 – 5 = −2 => 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑

Conjunto solución S:{𝟕𝟕; 𝟑𝟑}

Verificación: 3. |7 − 5| + 7= 13 => 3. |2|+ 7 = 13 => 3.2 + 7 = 13 => 6 + 7 = 13 => 13 = 13

3. |3 − 5| + 7= 13 => 3. |−2|+ 7 = 13 => 3.2 + 7 = 13 => 6 + 7 = 13 => 13 = 13

c) |𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟑𝟑| = −2

No tiene solución ya que el módulo o valor absoluto nunca puede ser negativo al ser una distancia.

Actividad N°7 Resuelve las siguientes ecuaciones con módulo e indica el conjunto solución y verifícalo.

i) |𝑥𝑥| = 4 v) |4𝑥𝑥 − 1| = 5

ii) |3𝑥𝑥| = 5 vi) �2 − 𝑥𝑥3� = 1

iii) |𝑥𝑥 − 3| = 1 vii) �𝑥𝑥+1𝑥𝑥−5

� = 1

iv) |1 + 5𝑥𝑥| = – 3 viii) |3𝑥𝑥 − 1 | + 4 = 0



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Ecuaciones Irracionales. Resolver ecuaciones irracionales no es diferente de la resolución de ecuaciones lineales o cuadráticas. Para eliminar las expresiones radicales de una ecuación irracional es necesario elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación. No siempre al elevar al cuadrado ambos miembros, lo que se obtiene es una ecuación equivalente, por eso es importante verificar las soluciones encontradas en la ecuación original. Damos algunos ejemplos y además, analizamos el dominio natural en cada caso. Ejemplos: a) √𝑥𝑥 + 5 + √𝑥𝑥 – 5 = 0

Buscamos el dominio natural x + 5 ≥ 0 => x ≥ – 5 x ≥ 0 Dom.= {x/x ≥ 0} Resolvemos:

√𝑥𝑥 + 5 = 5 – √𝑥𝑥 Pasaje de término (√𝑥𝑥 + 5 )2 = (5 – √𝑥𝑥)2 Elevamos al cuadrado en ambos miembros 𝑥𝑥 + 5 = 25 – 10√𝑥𝑥 + (√𝑥𝑥 )2 simplificamos el índice y radical y desarrollamos el binomio 𝑥𝑥 + 5 = 25 – 10√𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 – 𝑥𝑥 + 5 – 25 = – 10√𝑥𝑥 Agrupamos términos semejantes para luego operar entre ellos

– 20 = – 10√𝑥𝑥 10√𝑥𝑥 = 20

√𝑥𝑥 = 20: 10 √𝑥𝑥 = 2

(√𝑥𝑥 )2= 22 => 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 Conjunto solución S:{𝟒𝟒} Verificación: √4 + 5 + √4 – 5 = 0 √9 + √4 – 5 = 0 3 + 2 – 5 = 0 0 = 0 b) √𝑥𝑥 − 5 = √2𝑥𝑥 + 7 Para encontrar el dominio natural buscamos el valor aritmético de la

raíz en cada caso y en consecuencia: 𝑥𝑥 – 5 ≥ 0 => 𝒙𝒙 ≥ 𝟓𝟓 2𝑥𝑥 + 7 ≥ 0 => 𝒙𝒙 ≥ −𝟕𝟕

𝟐𝟐 Dom.= {𝒙𝒙/𝒙𝒙 ≥ 𝟓𝟓}

Resolvemos: (√𝑥𝑥 − 5 )2= (√2𝑥𝑥 + 7 )2 Elevamos ambos miembros al cuadrado 𝑥𝑥 – 5 = 2𝑥𝑥 + 7 𝑥𝑥 – 2𝑥𝑥 = 7 + 5 Agrupamos términos semejantes y resolvemos – 𝑥𝑥 = 12 => 𝑥𝑥 = −12 Verificación: El valor de 𝒙𝒙 encontrado no pertenece al dominio, ya que estamos trabajando en el campo de números reales y este valor hace negativos los radicandos. En consecuencia, la solución es: Conjunto solución S:{∅}



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Actividad N°8 Resuelve las siguientes ecuaciones Irracionales indicando el dominio natural en cada caso.

i. 3√𝑥𝑥 – 6 = 9 ii. 5 √𝑥𝑥 = √𝑥𝑥 – 12 iii. √5𝑥𝑥 = 10

iv. �𝑥𝑥3

= 2

v. √2𝑥𝑥 − 4 + 2 = 𝑥𝑥 vi. 2 √𝑥𝑥 − 8 = – 3

Actividad Nº9 Te proponemos encontrar el conjunto solución de las ecuaciones que planteamos como ejemplos en el inicio del módulo II e indicar su dominio natural. Nos encontramos en el módulo IV de Inecuaciones!!! Bibliografía: • Marina E Andrés- Pablo J Kaczor – María C Latorre – Gustavo E Piñeiro- Gisela B Serrano

Editorial Santillana Matemática III • Martín Pérez – Gabriela Righetti – Gustavo E Piñeiro- Gisela B Serrano Editorial

Nuevamente Santillana Matemática III • Silvia Altman – Mabel Arnejo – Claudia Comparatore Editorial Tinta Fresca matemática ES3 • Stanley A Smith – Randall I. Charles – John A. Dossey – Mervin L. Keedy – Marvin L.

Bittinger. Álgebra y Trigonometría. Red federal de Formación Docente Continua. Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. Addison Wesley Longman-

Hasta aquí llegamos con ecuaciones. Te entrego la posta!!!!!

mÓdulo iii Álgebra ecuaciones · 2019. 8. 22. · iii) 4 𝑥𝑥 + 8 = 2 a) 𝑥𝑥 = 2 3. b)...

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